Comments
Description
Transcript
שת " ב
שם הקורס :פיסיקה 1 שנה :תש"ע סמסטר ב מועד ב מס הקורס203‐1‐1371 : תאריך המבחן 12/07/2010 :שעה 13:30 שם המרצה/ים :ד"ר גנדי כוגנוב משך המבחן 3שעות חומר עזר :מחשבון +דף נוסחאות מצורף. שאלה 25) :1נקודות( בתחרות קפיצה למים ממקפצה שגבהה h = 10mקופץ אתלט שמסתו mאנכית ,ממנוחה. א .חשבו את מהירות פגיעת האתלט במים ואת זמן שהותו באוויר בהנחה כי התנגדות האוויר זניחה ) 6נקודות( . G ב .במהלך תנועת האתלט במים פועל עליו כוח צמיגי המתנגד לכיוון תנועתו מהצורה , F = −bυ 2 ˆjכאשר bהוא קבוע מספרי ו υ -היא המהירות .תוכלו להניח כי משקל האתלט מאוזן לגמרי על ידי כוח הציפה שהמים מפעילים עליו ,כך שהכוח היחידי הרלוונטי הוא כוח הצמיגות שהוזכר לעיל . חשבו את מהירותו של האתלט כפונקציה של עומק המים . y ,קחו את y = 0בגובה פני המים ואת הכיוון החיובי של ציר ה y -מטה ) 7נקודות(. b ג .אם ידוע כי = 0.4 m −1 m ד. חשבו את העומק בו מהירות האתלט היא עשירית ממהירות פגיעתו במים ) 6נקודות( . חשבו את מיקומו האנכי של האתלט כפונקציה של הזמן 6) y ( t ) ,נקודות(. שאלה 25) :2נקודות( בול שמסתו m = 500 grמונח על גבי מישור משופע שזווית נטייתו . α = 30Dהבול מחובר אל קפיץ שקבוע האלסטיות שלו , k = 30 N / mהמחובר מצידו לחלקו העליון של המישור המשופע )ראו איור משמאל(. k במצב בו הקפיץ רפוי חובטים בבול ומקנים לו מהירות התחלתית m , υ0 = 0.5m / secבמורד המישור המשופע .מקדם החיכוך הקינטי בין הבול לבין המישור המשופע הוא . µ k = 0.2סמנו את התארכות הקפיץ x=0 α = 30D ממצבו הרפוי ב. x - א. חשבו את רכיבו המקביל למשטח של הכוח השקול הפועל על הבול ) 6נקודות( . ב. חשבו את העבודה שמבצע הכוח השקול מתחילת התנועה ועד למצב בו התארכות הקפיץ היא ? x = 5cm ) 6נקודות( . ג. חשבו את מהירות הבול כאשר 6) x = 5cmנקודות( . ד. במקרה אחר משחררים את הבול מאותה הנקודה )רפיון הקפיץ( ללא מהירות התחלתית .חשבו את התארכותו המקסימאלית של הקפיץ ) 7נקודות( . שאלה 25) :3נקודות( בול שמסתו M = 0.25kgנמצא על שולחן אופקי חלק ומחובר אל קצהו הימני של קפיץ שקבוע האלסטיות שלו . k = 40 N / m אורכו הרפוי של הקפיץ הוא . l0 = 2mכוח אופקי לא קבוע שגודלו k = 40 N / m G ˆ P ( x ) = 84 x 2 i ) P = 84 x 2 ( Nהמכוון ימינה מתחיל לפעול על הבול כאשר הוא נמצא במנוחה בנקודה Aהמרוחקת מרחק l0מהקיר האנכי שאליו M d = 1m B A l0 = 2m מחובר הקפיץ ]ראו איור משמאל[. א. מהי מהירות הגוף בעוברו בנקודה Bהנמצאת במרחק d = 1mמימין לנקודה 9) ? Aנקודות( ב. בנקודה Bמפסיק הכוח Pלפעול והגוף ממשיך לבצע תנודות אופקיות .לאיזה מרחק מינימאלי מהקיר מגיע הבול במהלך תנודותיו ? ) 8נקודות( ג. מהו המרחק המקסימאלי של הגוף מהקיר ? ) 8נקודות( שאלה 25) 4נקודות( 1/3 הראה כי מהירות vשל המכונית בעלת מסה mומונעת על ידי הספק קבוע Pנתונה על ידי: כאשר xהוא המרחק שעוברת המכונית ממנוחה. ⎞ ⎛ 3xP ⎜= ,v ⎟ ⎠ ⎝ m Fext v= dp d ( mv ) = = = ma + mv dt dt a= F = −k∆x dr dt d 2r dt 2 f s ≤ µs N f k = µk N r = r0 + vt + at 2 2 v = v0 + at v 2 = v02 + 2a (r − r0 ) B WA→ B = F ⋅ dr = K B − K A A v AO = v AO' + v O'O W A→ B = U A − U B U A + K A = UB + KB K= mv 2 2 U = mgh U= v2 ar = = ω2R R ω= ! ω = 2πf = kx 2 2 dϕ dt 2π T v = ωR, a = αR p = mv P= F ( x, y, z ) dxdydz = F ( r ,θ , z ) r ⋅ drdθ dz pi = M tf J = Fdt = p f − pi ti F ( x, y, z ) dxdydz = F ( r , θ , ϕ ) r 2 sin θ ⋅ drdθ dϕ rcm = rcm = mi ri mi 1 rdm M drcm = Mvcm dt x = Rθ vT = Rω ω= dθ dt I = r 2 dm I = I cm + Mh 2 dω α= dt aT = Rα aR = θ = θ 0 + ω0t + mi ri2 I= τ = Iα v2 = ω2R R K= Iω 2 2 W = τdφ αt 2 2 L = Iω ω = ω0 + α t ω 2 = ω 2 + 2α (θ − θ 0 ) 0 L=r×p τ =r×F m x + υx + kx = 0 k= x(t ) = Ae τ= 2m υ , − t τ τ ext = mg L cos(ω ′t + ϕ ) ω′ = ω 2 − F = − kx 1 U =− τ2 k , m f = ω , 2π Gm1m2 r F= ! " ω= dL dt T= 1 f F21 = − T2 = A ( x ) = A ( x0 ) + Gm1m2 r2 Gm1 m2 r12 3 4π 2 3 R GM A′ ( x0 ) A′′ ( x0 ) 2 ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + 1! 2! + r12 III A( n ) ( x0 ) n ( x − x0 ) n! פתרון מועד ב 1 2 א .הקופץ יורד גובה hומתחיל ממהירות אפס ולכן ,ברגע פגיעתו במיםmv : 2 mgh v m נקבל . v 2 gh 2 10זמן שהיה באוויר יחושב ע"פ v v0 gtולכן 2s g s t ב .הכוח היחיד הפועל הינו . F bv 2 maנפתור את המשוואה הדיפרנציאלית: dv dt bv 2 m dv b dt 2 m v במקרה הזה המהירות ההתחלתית היא המהירות שנמצאה בסעיף הקודם: v0 10 2 נעשה אינטגרציה לביטוי ממעל: dv b t dt 2 m 0 v v t v0 ונקבל: 1 1 b t v0 vt m m bv0 t 1 1 b t vt v0 m mv0 mv0 m bv0 t vt נחשב את vt dt : yt t 0 yt y 0 המהירות ההתחלתית היא אפס .נציב במשוואה: m t bv0 m m bv0 t dt ln b 0 m bv0 t b m yt אנו מעוניינים למצוא את המהירות כפונקציה של המיקום .נבודד את הביטוי בהא מותך המהירות: m bv0 t v 0 m vt ונציב אותו בביטוי במיקום: y t m v0 ln b vt :ונקבל v v0 e by m :דרך נוספת וקלה יותר bv 2 ma m dv dv dy dv m mv dt dy dt dy dv b dy v m :זוהי משוואה דיפרנציאלית פשוטה שאותה אתם מכירים ואנו מקבלים v v0 e by m : נציבv 0.1v0 : המהירות הסופית.ג 0.1v0 v0 e by m by ln 0.1 m m 1 y ln 0.1 ln 0.1 b 0.4 ) הוא גם ביטוי שלילי ולכן סך הכל הביטוי הסופי הוא חיוביln 0.1 (לא לשכוח ש . חושב בסעיף ב.ד 2 שאלה : ולכןf k k N k mg cos כאשרF mg sin kx f k .א F mg sin kx k mg cos 5 5 1 בW Fdx mg sin kx k mg cos dx mgx sin kx2 k mgx cos |50 . 0 0 2 m 0.5kg k 300 N / m יש להציב: 30 k 0.2 x 5m E k W ג. 1 2 1 1 2 mv mv0 mgx sin kx2 k mgx cos |50 2 2 2 מתוך הביטוי הנ"ל יש לחלץ את vכמובן כאשר Wהוא הערך שחושב בסעיף הקודם ד. הגוף התחיל ממהירות אפס וסיים במהירות אפס ולכן W=0נציב את הביטוי לעבודה: 1 2 kx k mgx cos 0 2 mgx sin פתרון אחד הוא הטריוויאלי x=0אבל זה לא מה שאנו מחפשים .נמצא את הפתרון השני: 1 mgx sin kx 2 k mgx cos 0 2 1 2 kx mgx sin k mgx cos 2 2mg sin k cos x k שאלה 3 א .נזכור שעל מנת לחשב מהירות כפונקציה של מרחק ,הפעולה הכי חכמה תהיה לעשות שיקולי אנרגיה .לצורך כך נמצא את העבודה שנעשתה על ידי כוח הקפיץ ואת העבודה שנעשתה ע"י הכוח החיצוני וזה יהיה שווה לשינוי באנרגיה הקינטית: W P Fx dx x 0 x W 84 x 2 kx dx 0 W 28 x 3 20 x 2 כאשר הצבנו .k=20N/mו xהוא התארכות הקפיץ מנקודת שיווי המשקל. העבודה שווה לשינוי באנריגה הקינטית .המהירות ההתחלתית היא אפס ולכן נקבל: 1 2 mv 28 x 3 20 x 2 2 יש להציב כעת x=1ולמצוא את המהירות מתוך הנתונים. m s v8 ב .ניתן למצוא זאת בשתי דרכים .הדרך הראשונה והפשוטה יותר באמצעות שיקולי אנרגיה .ברגע שהוא עובר בנקודה ,Bסך הכל האנרגיה שלו היא 1 1 1 Ei kx2 mv 2כאשר , k=40 ,x=1ו mv 2 2 2 2 הוא הביטוי שמצאנו בסעיף הקודם, מקבלים: 1 2 kx 28 x 3 20 x 2 2 Ei 1 2 . Ei 28Jהאנרגיה הסופית היא רק פוטנציאליתkxmax Ei 28 J : 2 7 m 5 E f ונקבל: x max 7 ולכן האורך המינימלי הינו m 5 l 0 xmax 2 m דרך נוספת תהיה לפי תנאי התחלה x0 1m .וכמו כן s x xmax cost כאשר xmaxהאמפליטודה היא הגודל אותו אנו מחפשים v0 8משוואת התנועה הינה k ו 160 4 10 m . v xmax sint נציב תנאי התחלה ונקבל: . הביטוי למהירות הוא הנגזרת של המיקום והינו x0 x max cos v0 x max sin v0 מתוך שתי המשוואות הנ"ל מקבלים: x0 2 ומכאן 5 8 4 10 tan tan 1 cos 2 sin tan cos cos 1 cos 2 tan cos 2 2 cos 2 tan 2 1 cos 2 cos 2 tan 2 1 1 1 1 5 cos 2 2 7 tan 1 2 1 5 5 7 cos ניזכר ש x0 xmax cos ולכן 7 5 x0 cos x max 7 ג .האורך המקסימלי הינו m 5 l 0 xmax 2 שאלה 4 (הפתרון מופיע בהרצאות של גנדי) W Pdt W Fdx Fvdt P Fv . P Fv const לפי התרגיל אנו מחפשים ביטוי עם P,v,xולנו יש ביטוי P,F,vז"א ,צריך למצוא ביטוי למרחק .xנמצא את המרחק .אחרי שנמצא את המהירות כפונקציה של הזמן נוכל לעשות אינטגרל ולמצוא את המיקום כפונקציה של הזמן .נתחיל מהעבודה ששווה לשינוי באנרגיה הקינטית: 1 2 mv 2 Pdt 1 2 mv 2 W Pt P . W קבוע (כמו כן אנו מניחים מהירות התחלתית אפס) ולכן: 2P 1/ 2 ולכןt : m v אינטגרציה תתן (אין צורך לרשום x x0כי xהוא כבר המרחק נטו): 2 2P 3 / 2 t 3 m x נבודד את הזמן משתי המשוואות (של המרחק ושל המהירות): 3x m mv 2 tו 2 2P 2P t 3/ 2 נציב את הראשונה בתוך השנייה: 3x m 2 2P 3/ 2 mv 2 2P מעכשיו זה רק אלגברה: 3 9x 2m 8P 1/ 3 mv 2 9 x 2 m 2 P 8 P 1/ 3 9x 2 P 2 v 2 m ולבסוף: 1/ 3 mv 2 2P 3xP v m 2