היגרנאו הדובע ־ #7 לוגרת יטרואית עקר 2013 רבמצדב 11 הדובע

‫תרגול ‪ #7‬־ עבודה ואנרגיה‬
‫‪ 11‬בדצמבר ‪2013‬‬
‫רקע תיאורטי‬
‫עבודה‬
‫עבודה מכנית המוגדרת בצורה הכללית ביותר באופן הבא‪:‬‬
‫‪ˆl~f‬‬
‫~‬
‫‪F~ · dl‬‬
‫‪Fz dz‬‬
‫=‬
‫‪Fx dx +‬‬
‫‪Fy dy +‬‬
‫‪zi‬‬
‫‪l~i‬‬
‫‪ˆxf‬‬
‫‪ˆyf‬‬
‫‪ˆzf‬‬
‫=‬
‫‪W‬‬
‫‪W‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪yi‬‬
‫היא כמות האנרגיה שמושקעת בגוף בעקבות כח ~‪ F‬הפועל עליו‪ ,‬כאשר הגוף מבצע העתק‬
‫כלשהו‪.‬‬
‫)‪~ = (dx, dy, dz‬‬
‫‪ dl‬הוא אלמנט מסלול וקטורי בכיוון התנועה‪ ~li = (xi , yi , zi ) .‬ו־‬
‫~‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫) ‪ lf = (xf , yf , zf‬הם וקטורי המיקום ההתחלתי ‬
‫והסופי ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫בתוך האינטגרל אנו מבצעים מכפלה סקלרית ‪~ cos θ‬‬
‫‪~ = F~ dl‬‬
‫‪ , F~ · dl‬כאשר ‪ θ‬היא הזוית‬
‫הקטנה בין שני הוקטורים‪.‬‬
‫כאשר מדובר בכח קבוע‪ ,‬כלומר‪ ,‬כח שאינו תלוי בהעתק‪ ,‬אז מקבלים ביטוי יותר פשוט ונח‬
‫לשימוש‪:‬‬
‫ ‬
‫‪~ = F~ · ∆l‬‬
‫‪~ = F~ ∆l‬‬
‫‪~ cos θ‬‬
‫‪dl‬‬
‫‪ˆl~f‬‬
‫‪ˆl~f‬‬
‫· ~‪~ = F‬‬
‫‪F~ · dl‬‬
‫~‪l‬‬
‫=‬
‫‪W‬‬
‫‪l~i‬‬
‫ ‪ i‬‬
‫‪~ = F~ ∆l‬‬
‫‪~ cos θ‬‬
‫‪= F~ · ∆l‬‬
‫‪W‬‬
‫בהינתן כח‪ ,‬נסו לחשוב מתי הוא אינו מבצע עבודה )‪ 2‬אפשרויות(!‬
‫יחידות‬
‫יחידות אנרגיה‪/‬עבודה‪ [E] = [W ] = [F ] · [∆l] = N · m = J :‬ונקראית ‪.Joule‬‬
‫‪1‬‬
‫אנרגיה‬
‫לגוף כלשהו יש אנרגיה‪ ,‬אנרגיה זו יכולה להיות מסוגים שונים‪ .‬דוגמאות לאנרגיות שונות‪:‬‬
‫אנרגיה קינטית )תנועה(‪ ,‬אנרגית גובה‪ ,‬אנרגית חם‪ ,‬אנרגיה אלסטית‪ ,‬אנרגיה כימית‪ ,‬אנרגיה‬
‫גרעינית וכו'‪ .‬בקורס זה נגדיר אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית )גובה ואלסטית(‪ ,‬אולם‬
‫לפני כן נעסוק במושג כח משמר‪.‬‬
‫כח משמר ואנרגיה פונטנציאלית‬
‫כח יקרא כח משמר אם העבודה שכח זה מבצע לאורך מסלול סגור שווה אפס‪ .‬בצורה‬
‫מתמטית‪ ,‬כח משמר יקיים‪:‬‬
‫‪ˆA‬‬
‫‪F~ · d~l = 0‬‬
‫˛‬
‫= ‪F~ · d~l‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫¸‬
‫כאשר הסימון ‪ c‬הוא אינטגרל על מסלול סגור‪ ,‬כלומר נקודת ההתחלה ונקודת הסיום היא‬
‫אותה נקודה ‪.li = lf = A‬‬
‫כח משמר ניתן לתיאור על ידי פונקציה שהיא סקלר ‪) U‬בניגוד לכח שהוא וקטור(‪ .‬הקשר‬
‫בין השניים הוא‪:‬‬
‫‪dU‬‬
‫‪dl‬‬
‫‪F =−‬‬
‫או לחילופין‪ ,‬ניתן לקבל את ‪ U‬מתוך הכח ‪:F‬‬
‫ˆ‬
‫~‬
‫‪= − F~ · dl‬‬
‫‪U‬‬
‫כאשר את קבוע האינטגרציה אנו קובעים להיות ‪ ,U0 = 0‬נקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית‬
‫מתאפסת‪ .‬הסיבה היא שהגודל הפיסיקלי שמשמעותי הוא הפרשי אנרגיה = כמות האנרגיה‬
‫שמושקעת‪/‬מתקבלת‪ .‬לכן באנרגיה פוטנציאלית עלינו תמיד לבחור נקודה‪/‬קו ייחוס לאורכו‬
‫היא מתאפסת‪ .‬בחירה זו היא שרירותית אך חשוב לבחור אותה נכון כדי להקל על פתרון‬
‫הבעיה‪.‬‬
‫הפרש אנרגיה פוטנציאלית בין שתי נקודות התחלתית וסופית‪:‬‬
‫‪ˆl~f‬‬
‫‪~ = −W‬‬
‫‪F~ · dl‬‬
‫‪∆U = Uf − Ui = −‬‬
‫‪l~i‬‬
‫אנרגיה קינטית‬
‫אם לגוף יש מסה ‪ m‬ומהירות ‪ ,v‬אזי תהיה לו אנרגיה קינטית שמחושבת על פי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mv 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Ek = K‬‬
‫‪2‬‬
uitw lr ltep seb
geke ,dlrn itlk uitwd gek md milretd zegekd ,ueeikd jldna .
uitwd xeyina dziy`x xy`k ,dlrn oeeika
y
W =
R
~
F~ dr
dhpicxe`ew mr mixiv zkxrn xgap .dlrn itlk caekd
:`id caekd zcear .ietxd
−d
Z
l deey dzxcbda dcear
−mgdy = −mgy|−d
0 = mgd
Wg =
0
:`id uitwd gek zcear
Z
−d
−d
Z
kdy = −
k|y|dy = −
Wk =
0
0
ky 2 −d
kd2
|0 = −
2
2
ziyrpy dceard z` mircei epgp` .dibxp` ilewiya xfrp ,dribtd rbxa dqnd zexidn z` lawl zpn lr
z` onqp .zihpiwd dibxp`a yxtdd df ,dibxp` - dcear htyn itl .ezxivr cre dribtd rbxn sebd lr
:
v0
a dribtd zexidn
Ki + W = Kf
mv02
kd2
+ mgd −
=0
2
2
k
v02 = d2 − 2gd
m
,qt` `id dligza zihpiwd dibxp`d
Wg = mgh
.
`id
,uitwd cre
h
daebn dyer caekdy dceard
:mcewd sirqdn zexidnd itl `id ,uitwd mr ybtnd zcewpae
Ki + W = Kf
kd2
=
− mgd
2
2
k 2
h=
d −d
2mg
mv02
0 + mgh =
h
:
1±
d± =
q
k
1 + 4h 2mg
k
mg
:lawp
mg
d˜ =
k
s
1+
k
1 + 2 · 4h
2mg
!
h
zervn`a
=
mg
k
d
z` riap lk mcew ,oexg`d sirqd liaya
k 2
d −d−h=0
2mg
s
!
k
1 ± 1 + 4h
2mg
z` litkp m` .qeltd oniq mr df `ed ihpeelxd oexztd
mg
=
k
1
s
1+
k
1+2·4
2mg
k 2
d −d
2mg
!