ג הנש הקיזיפב טקייורפ ' לע םיעקשמה רטשמ תנצקה לש ותעפשה
by user
Comments
Transcript
ג הנש הקיזיפב טקייורפ ' לע םיעקשמה רטשמ תנצקה לש ותעפשה
פרוייקט בפיזיקה שנה ג' מגיש :מני גבאי שם המנחה:פרופ' אהוד מירון השפעתו של הקצנת משטר המשקעים על יציבותן של תבניות צמחים אינדקס .1הקדמה 3 .2רקע 4 2.1הקדמה ומטרת הפרויקט4....................................................... 2.2משוואות המודל4.................................................................. 2.3הפאראמטרים במודל5............................................................ 2.4הצורה חסרת המימדים של המודל7........................................... 2.5רקע תאורתי8....................................................................... .3הפרוייקט 11 3.1הקדמה11.............................................................................. 3.2מהלך עבודה וניתוח תוצאות11.................................................. 3.3מסקנות וסיכום15................................................................... ביביולוגרפיה .1הקדמה מחקר של צמחים מראה ,שצמחים הם אחד מהמרכיבים החיוניים של מערכות אקולוגיות. שאלות עיקריות על איך מערכות איקולוגיות מתנהגות יכולות להיות מופנות להתנהגות הצמחים .דוגמאות חשובות הם ,ההתארגנות העצמית של אוכלוסיות צמחים באזורים צחיחים וחצי צחיחים על מנת ליצור תבניות צמחיה ,תגובה פתאומית של הצמחיה לשינוים בסביבה ] [6,4ותגובה להקצנת תנאי הסביבה ].[1,2 אחת הבעיות בחקירת תכונות של מערכות אקולוגיות היא שחקירת תכונותיו של צמח בודד אינה מספקת הסבר למספר תכונות של המערכת כולה כמו הווצרות ויציבות של תבניות צמחיה ] ,[7גיוון מינים בין הצמחים .תופעות אלו יכולות להווצר מהדינמיקה הקבוצתית של המערכת .דוגמה לתבניות צמחייה היא הווצרות פסים של צמחייה על קרקע משופעת ,תופעה שנצפתה באזורים צחיחים וחצי צחיחים במקומות שונים בעולם. ניתן להסביר הווצרות כזו של תבניות צמחייה ללא תלות בהטרוגניות של הסביבה ,בעזרת מודל מתמטי שכולל תחרות בין צמחים על משאבים ,או חיזוק חיובי בין ביומסה של צמחים ומים ] ,[8כלומר כאשר גדלה כמות הביומסה גדלה איתה גם כמות המים. מטרת הפרוייקט היא ,לנתח בעזרת מודל מתמטי את נקודת המעבר בציר המשקעים הממוצעים בין מצב יציב של תבנית צמחייה למצב יציב של קרקע חסופה כתוצאה מהקצנת משטר המשקעים השנתי. בפרוייקט זה נשתמש במודל המתמטי שהוצג ע"י א.גילאד ו א.מירון] .[9המודל משתמש בשלושה חיזוקים חיוביים בין ביומסה צמחית ומים .הראשון ,גדילת משאבי המים עם גדילת הביומסה ,שאותו ניתן ליחס להפחתת אידוי המים כתוצאה מהצללה .השני ,הגדלת חדירות המים לקרקע באזורים הצמחיים ,והשלישי הוא התארכות השורשים של הצמחים הגדלים. מודל זה משתמש בשלושה משתנים דינמיים המיצגים את הביומסה הצמחית ,כמות המים בקרקע ושכבת מים מעל הקרקע. לעומת מודלים אחרים המשתמשים במשתנה דינמי אחד המייצג את הביומסה ] [10,11או שני משתנים המיצגים מים בקרקע וביומסה ] ,[12,13מודל זה הוא הראשון מסוגו שמבדיל בין מים בקרקע לשכבת המים הנמצאת מעל לקרקע וצופה מצבים יציבים נוספים של תבניות צמחייה ,מה שעושה אותו המודל המתאים ביותר לפרוייקט זה .המדול יוסבר ביתר פירוט בפרק .2 בעזרת המודל נצפה להבהיר את תופעת התגובה הפתאומית של מערכות לשינויים קטנים והדרגתיים בתאיים הסביבתיים .תגובה זו מפורשת כמעבר בין שתי נקודות יציבות מנוגדות בעקבות שינוי קטן במשתנה .לדוגמה תופעת המדבור באזורים צחיחים ][14 יכולה לקרות כאשר יש מעבר בין מצב של תבנית כתמים של צמחיה למצב של קרקע חסופה בעקבות שינוי קטן במשאב המים .דוגמה זו היא בעלת עניין מרכזי לפרויקט ונדון בה בהמשך בפרק ,3שבו מוסבר גם תהליך העבודה ,ניתוח התוצאות ,ונסיים בהצאת כיוונים למחקר בעיות נוספות. .2רקע 2.1הקדמה המודל שנשתמש בפרוייקט זה מכיל מערכת של שלוש משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא לינאריות ,המכילות ביטויים לא מקומיים בצורת אינטגרל מרחבי .אינטגרלים אלו מדמים את החיזוק החיובי )התארחות השורשים כשהצמח גדל(. את משוואות המודל נפתור בעזרת איטגרציה נומרית .על מנת לפתור את האינטגרל הלא לוקאלי בכל יחידת זמן מצטרך לעשות כמות עצומה של חישובים הדורשת שימוש במחשב בעל יכולות ביצוע גבוהות ופיתוח אלגוריטים נומרי מהיר. 2.2משוואות המודל צורת המודל המוצגת בפרק זה היא עבור מין אחד ,המודל יכול להיות מורחב לכלול מספר מינים אך לא נזדקק לכך בפרוייקט זה" .פאטש" בהקשר למודל זה מוגדר להיות אזור המכוסה ע"י צמח שבדר"כ שונה בכמות במים מהסביבה החסופה שלו. שלושת המשתנים של המודל הם ]) , [ B( X , Tהמייצג את צפיפות הביומסה מעל הקרקע ביחידות של ] , [kg / m 2צפיפות המים בקרקע [W ( X , T )] ,המיצג את כמות המים הנמצאת ביחידת שטח ביחידות של ] . [kg / m 2כמות המים מעל פני המים ]) , [ H ( X , Tהמתאר שכבה דקה של מים מעל הקרקע ביחידות של ] . [mmהמשקעים מיוצגים בצורה פאראמטרית. משוואות המודל הם: BT = GB B(1 − B / K ) − MB + DB∂2 B WT = IH − N (1 − RB / K )W − GWW + DW ∂2W ) HT = P − IH + DH ∂2 ( H 2 כאשר הביטוי Tמציין גזירה חלקית בזמן .הביטוי ] GB [ yr −1מציין את קצב גידול הביומסה כאשר ] K [kg / m 2הוא הביומסה המקסימאלית .הביטוי ] GW [ yr −1מציין את צריכת המים מהקרקע ,הביטוי ] I [ yr −1מציין את קצב חילחול המים אל הקרקע והפרמטר ] P[mm / yrמציין את כמות המשקעים .הפאראמטר ] N [ yr −1מתאר את קצב אידוי המיים ,כאשר Rמתאר את ההפחתה באידוי כתוצאה מהצללה .הפארמטר ] M [ yr −1 מתאר את קצב איבוד הביומסה כתוצאה ממוות .הביטוי DB ∂ 2 Bמתאר את קצב התפשטות הזרעים כאשר הביטוי DW ∂ 2Wמתאר מעבר המים באדמה לא רבויה ].[18 לבסןף הפאראמטר ]) DH [m 4 /( yr ⋅ kgמתאר את מקדם החיכוך בין המים מעל הקרקע לקרקע עצמה. הערה :במשוואות המודל המקוריות ישנה תלות בשיפוע הקרקע אך מכיוון שבפרויקט זה השיפוע הוא אפס ,במשוואות לא מופיעים האיברים שתלויים בשיפוע. 2.3הפאראמטרים במודל התלות המפורשת של קצב חילחול המים שמעל פני הקרקע אל הקרקע בצפיפות הביומסה הינו ]:[17,16,15 B( X , T ) + Qf B( X , T ) + Q I ( X ,T ) = A כאשר ] A[ yr −1מייצג את קצב החילחול בקרקע מכוסה באופן אחיד Q[kg / m 2 ] ,מייצג ביומסה שבה הצמח מתקרב ליכולתו המקסימאלית להגדיל את החילחול ,זו תכונה של הצמח המתאפיינת לדוגמה מרוחב העלים f ,מגדיר את ההבדל בחילחול בין קרקע חסופה לקרקע מכוסה באופן אחיד ,ויכול לתאר קרום ביולוגי .כולם פאראמטרים קבועים. קצב הגידול GBבנקודה Xבזמן Tהינו מהצורה: GB ( X , T ) = Λ ∫ Ω G ( X , X ', T )W ( X ', T )dX ', 1 | X − X ' |2 [exp − ], 2π S02 2[ S0 (1 + EB( X , T ))]2 = ) G ( X , X ', T כאשר האינטגרציה נעשית על כל התחום Ωוהביטוי ) G ( X , X ', Tמנורמל כך שעבור B = 0 האינטגרציה על התחום כולו שווה לאחד .שים לב שקצב הגידול אינו תלוי רק בכמות המים הנמצאת במיקום הצמח אלה גם בסביבתו ,גודל הרוחב של הגאוסיאן מתאר את אורך השורשים כאשר S0הוא אורך השורשים המינימלי ו ] E[(kg / m 2 ) −1הוא הגידול עבור יחידת ביומסה. הביטוי עבור קצב צריכת המים מהאדמה בנקודה Xבזמן Tהוא: GW ( X , T ) = Γ ∫ Ω G ( X ', X , T ) B ( X ', T )dX '. שים לב ש ) . G ( X ', X , T ) ≠ G ( X , X ', Tקצב צריכת המים מהאדמה תלוי בנקודה מסוימת בכל הצמחים שהשורשים שלהם מגיעים עד נקודה זו .הפאראמטר Γהוא ביחידות של ] [(kg / m 2 ) yr −1ומודד את צריכת המים ליחידת ביומסה . כל הפאראמטרים מסוכמים בטבלה :2.1 יחידות פאראמטר K Q 2 kg / m 2 kg / m M yr −1 A N −1 yr −1 yr −1 E Λ −1 Γ −1 ) ( kg / m ( kg / m ) yr ( kg / m ) yr 2 −1 −1 2 2 DB m 2 / yr DW m 2 / yr DH ) m 4 / ( yr ⋅ kg S0 m P R f 2 −1 yr ⋅ kg / m - תאור ביומסה מקסימאלית אפשרית עבור כל יחידת שטח חילחול מתחת ליחידת שטח של ביומסה קצב איבוד הביומסה קצב חילחול בקרקע עם כיסוי אחיד קצב אידוי של המים בקרקע התארכות השורשים ליחידת ביומסה קצב גידול הביומסה ליחידת מים בקרקע קצב צריכת המים ליחידת ביומסה מקדם התפשטות זרעים מקדם התפשטות המים בקרקע מקדם חיכוך בין המים בקרקע למים על פני השטח אורך שורשים מינימאלי קצב המשקעים ירידה באידוי בעקבות הצללה יחס בין חילחול באדמה חסופה לאדמה מכוסה טבלה 2.1 בפרק זה פאראמטר המשקעים מייצג ממוצע משקעים שנתי .הקירוב מוצדק עבור מינים כמו שיחים ,שזמן קצב הגידול שלהם הוא בסדר גודל הרבה יותר גדול מסדר גודל הזמן של שינוי במשקעים .בפרק 3פאראמטר המשקעים מקבל צורה של גאוסיאן מחזורי ,כאשר זמן המחזור שלו הוא שנה אחת ,על מנת לדמות את השינוי בגשם במשך השנה .רוחב הגאוסיאן מתאר את מספר החודשים הגשומים בשנה. 2.4הצורה חסרת המימדים של המודל יותר פשוט לנתח את משוואות המודל בעזרת משתנים ופראמטרים חסרי מימד .על ידי שינוי הפאראמטרים והמשתנים כמתואר בטבלה 2.2אנו מקבלים את המודל בצורה הבאה bt = G b b (1 − b ) − µ b + δ b ∂ 2 b wt = Ih − ν (1 − ρ b ) w − G w w + δ w ∂ 2 w ) ht = ρ − Ih + δ h ∂ 2 ( h 2 כאשר tו ) x = ( x, yהם קורדינטות הזמן והמקום חסרי המימד ,ו . x ' = ( x ', y ') , ∂ 2 = ∂ 2x + ∂ 2y קצב החילחול מקבל את הצורה: b( x, t ) + qf b ( x, t ) + q I ( x, t ) = α קצב הגידול של הביומסה וקצב צריכת המים מהקרקע הינם: Gb ( x, t ) = ν ∫ Ω g ( x, x ', t ) w( x ', t )dx ', Gw ( x, t ) = γ ∫ Ω g ( x ', x, t )b( x ', t )dx ', 1 | x − x ' |2 exp[− ] 2π 2(1 + η b( x, t )) 2 = ) g ( x, x ', t פאראמטר חסר מימד יצוג בפראמטרים בעלי מימד פאראמטר חסר מימד יצוג בפראמטרים בעלי מימד b ω B/K ΛW / N p δb ΛP / MN DB / MS02 h q ΛH / N Q/K δw DW / MS02 ν α η γ N /M A/ M EK ΓK / M δh ζ ρ DH N / M ΛS02 t x ΛZ / N R MT X / S0 טבלה 2.2 2.5רקע תיאורתי על מנת למצא התנהגות מערכת ראשית נרצה לדעת עבור אלו משקעים המערכת משנה את מצבה היציב בקרקע חסופה למצב של קרקע מכוסה .נבחר תנאי התחלה של קרקע חסופה כלומר b( x, t ) = 0ונפתור את משוואות המודל .עבור תנאי התחלה זה ניתן לפתור את המשוואות אנליטית עלידי איפוס התלות במקום ובזמן. נקבל את המשוואות הבאות: IH = P ; W = IH / N = P / N ; G B = Λ P / N והמשוואה עבור Bהופכת ל: BT = (GB − M ) B = (ΛP / N − M ) B = M ( p − 1) B כאשר p = ΛP / MNהוא פאראמטר המשקעים חסר המימד. מכאן נקבל: ] B = B0 exp[ M ( p − 1) B הביטוי ) M ( p − 1קובע את קצב הגידול ,וניתן לראות שכל עוד p < 1הביטוי שלילי והצמח אינו יכול לגדול .כאשר p ≥ 1הצמח יכול לגדול ,והמצב של קרקע חסופה אינו יציב יותר . הנקודה p = 1בגרף של ) B( pנקראת pCוהיא תמיד שווה לאחד עבור הערך חסר המימדים של המשקעים. נסתכל על נקודה על ציר המשקעים שערכה קטן מהנקודה , pCונבחר תנאי התחלה השונים מ , b( x, t ) = 0המערכת יכולה להתפתח לשני כיוונים כתלות בתנאי ההתחלה ,אם כמות הביומסה נמוכה בהתחלה ,המערכת לא תתאושש ותתיצב במצב של קרקע חסופה ,עבור מספיק ביומסה ,המערכת תתיצב במצב של תבנית או כיסוי מלא של הקרקע. על מנת לבדוק מהי כמות המשקעים הממוצעת המינימלית הדרושה על מנת שהתבנית תשאר יציבה ,נקטין כעט את כמות המשקעים בצורה הדרגתית עד שהמערכת דועכת למצב של קרקע חסופה והנקודה על ציר המשקעים שבה המערכת דועכת נקראת . p1 Biomass Vegetation pattern Uniform cover p pC = 1 תמונה :1ביסטביליות בין תבנית צמחיה וקרקע חסופה וביפורקציה קריטית בין קרקע חסופה לכיסוי אחיד p1 על מנת למצא את השפעת הקצנת משטר המשקעים נשתמש בפונקציה מחזורית בעלת מחזור של שנה ,כאשר בכל מחזור תהיה הפונקציה גאוסיאן. פארמטר המשקעים חסר המימד יהיה מן הצורה: 1 (t − ) 2 ] 2 p = C exp[− 2σ 2 כאשר tילך מ 0עד שנה בזמן חסר מימד ,והפאראמטר σיתאר את מספר החודשים הגשומים בשנה .מרבית הגשם מרוכז בעונה הגשומה והשארית ידמה לחות או טל .הפאראמטר Cינורמל כך שכמות הגשם הכוללת בשנה תהיה שווה לכמות הגשם היורדת עבור פאראמטר משקעים קבוע .משקעים אחידים מדומים בפרויקט עלידי . σ = 1 p 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 t 12 10 8 6 4 2 תמונה :2פונקצית הגאוסיאן עבור מחזור של שנה אחת כאשר כל צבע מתאר אורך עונה גשומה שונה ,כלומר σשונה ,בתמונה גרפים עבור 2,3,4,6,8,12חודשים גשומים ,וככל ש σקטן רוחב הגאוסיאן קטן והערך המקסימאלי שלו גדל .3הפרויקט 3.1הקדמה הווצרות של תבנית צמחים ממין אחד או ממספק מינים יכולה לעזור לצמחים לשרוד בממוצע משקעים נמוך יותר מאשר זה הדרוש בשביל כיסוי אחיד של הקרקע בצמחיה. לדוגמה התחרות של הביומסה על מים במרכז עיגול היא גדולה מאשר זו בצדדים ולכן ביומסה שורדת בקצות העיגול ויוצרת טבעת .דוגמאות נוספות הם פסים על קרקע בשיפוע ] [16,17או תבנית של נקודות ,תבניות אלו יכולות להיות יציבות בתנאים שכיסוי אחיד לא. נסתכל במערכת המכילה מין אחד עם פאראמטרים המתארים עשבוני ,ונרצה למצא תבניות יציבות בממוצעי משקעים שונים .המודל צופה שעבור אותה כמות משקעים שנתית יש יותר ממצב יציב אחד ותנאי ההתחלה של המערכת יקבעו לאיזה תבנית המערכת תתיצב .מביסביליות זו אנו מקבלים את תופעת ההיסטרסיס .תופעה זו קשורה למדבור אזורים צחיחים וחצי צחיחים .בפרק זה נבחון את השפעת הקצנת משטר המשקעים על תופעה זו. 3.2מהלך עבודה וניתוח תוצאות סימולצית המודל תעשה בעזרת קוד קיים ובמחשב בעל יכולת ביצוע גבוהה באוניברסיטת בן גוריון .המשוואות יפתרו בצורה נומרית כאשר הזמן חסר המימד dtהינו 10−5ומספר הצעדים בשנה יהיה . M / dt לפני הרצת הסימולציה במחשב נרצה לדעת האם עבור הפאראמטרים שבחרנו יש פתרון יציב נוסף מלבד הפתרון ההומוגני .בעזרת קובץ MATLABנפתור את משוואות המודל עבור פתרון הומוגני ,לאחר מכן נוסיף הפרעה מהצורה: ε eωt + ikx + c.c הפתרון יתן יחס דיספרסיה ) , ω (kומיחס זה ניתן לראות שעבור ωשלילי ההפרעה תדעך ועבור ωחיובי ההפרעה תתגבר בזמן ,ונצפה לפתרון יציב לא הומגני. על מנת לראות את השפעת הקצנת המשקעים על מערכת נרצה לבחור מינים בעלי זמן חיים הקטן משנה אחת .ניתן להעריך את זמן החיים מהפתרון ההומוגני ע"י הביטוי ]) 1/[ M ( p − 1שביחידות של . 1/ year הפאראמטרים שנשתמש בפרויקט זה מתארים צמח עשבוני עם זמן חיים נמוך יחסית ובעלי פתרונות יציבים שונים מהפתרון הטריוויאלי של קרקע חסופה בתחום . p < pC הפאראמטרים מיוצגים בטבלה .3 תחילה נמצא את הגרף עבור כמות משקעים קבועה כלומר) .( σ = 1נשתמש בתבנית של כתמים בתור תנאי התחלה עבור pקטן במעט מ . pCלאחר זמן מדומה של 200שנה קיבלנו תבנית יציבה של טבעות ,כעט נקטין את pבהדרגתיות עד למציאת הנקודה . p1 לאחר מכן ניקח את התבניות היציבות שקיבלנו עבור כל ערך שונה של pונקטין בהדרגה את מספר החודשים הגשומים בשנה תוך שמירה על כמות ממוצעת שנתית קבועה של המשקעים .הקצנה זו יכולה לדמות את המעבר מחורף ארוך לחורף קצר ,תופעה היכולה להגרם כתוצאה מהתחממות כדור הארץ. התוצאות מובאות בתמונה .3 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02 -0.03 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 Precipitation תמונה :3התפלגות הביומסה עבור כל מספר חודשים גשומים שונה . Biomass Color | No' of raining months | 12 | 8 | 6 | 4 | 3 | 2 0.08 נאסוף את כל נקודות ה p1ונבדוק את השינוי בנקודות כתלות ב . σ Data: Data1_B Model: ExpDec1 Equation: y = A1*exp(-x/t1) + y0 0.90 Weighting: y No weighting 0.85 0.80 Chi^2/DoF = 6.0809E-6 R^2 = 0.99977 0.53048 6.44223 ±0.00138 ±0.49099 0.6657 ±0.01695 0.75 Pc 0.70 y0 A1 0.65 t1 0.60 0.55 0.50 12 8 10 4 6 2 ]nrm[month תמונה :4קירוב אקספוננציאלי של תלות נקודות הדעיכה p1ב . σ ניתן לראות כי התלות של p1ב σהיא בקירוב טוב דעיכה אקספוננציאלית .ככל ש σ גדל p1קטן או ככל ש σקטן )התנאים מוקצנים( המערכת זקוקה לכמות גשמים ממוצעת שנתית גדולה יותר על מנת לשרוד. ערך פאראמטר −1 R 0.05 0.125m F 0.1 0.128m2 ⋅ yr −1 / kg E Q 3.5m 2 / kg M S0 Λ K N A Γ פאראמטר 6 yr ערך 2 0.2kg / m −1 2 0.05kg / m 4 yr DB 2 −4 6.25 ⋅10 m / yr 40 yr −1 DW 2 −2 2 DH −1 2m ⋅ yr / kg 6.25 ⋅10 m / yr ) 0.05m / ( yr ⋅ kg 4 על מנת להבין טוב יותר את התנהגות המערכת נראה ,לאחר שחיכינו זמן רב ונתנו למערכת להתייצב ,כיצד מתנהגת המערכת במשך שנה וחצי. 0.12 Data: Data1_B Model: Gauss )Equation: y=y0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((x-xc)/w)^2 Weighting: y No weighting = -- Chi^2/DoF R^2 = 0 -0.05443 0.64007 0.29961 0.41088 0.08 y0 xc w A 0.06 0.04 0.02 0.00 1/12 3/12 5/12 7/12 9/12 11/12 13/12 15/12 17/12 ]Time[months תמונה :5התנהגות מערכת במשך תקופה של שנה וחצי לאחר תקופה של 60שנה ,עבור σ = 2 /12ו p = 0.9 Biomass ±7.0386E-143 ±-±3.0065E-135 ±-- 0.10 3.3מסקנות וסיכום מניתוח התוצאות ניתן לראות שהתלות של p1במספר החודשים הגשומים היא התנהגות מונוטונית אקספוננציאלית דועכת. ניתן להסביר את התנהגות המערכת ע"י הסתכלות על תמונה .5תמונה זו מתארת את התנהגות המערכת בכמות משקעים יחסית גבוהה ,אך למרות זאת בחודשים שלא יורד גשם כמות הביומסה יורדת לערך נמוך מאוד והצמח אינו מספיק לנצל את העונה הגשומה בשביל להתאושש ,ולכן ירידה נוספת במשקעים תוביל להעלמות הביומסה בעונה היבשה. את הקושי להתאושדש בעונה הגשומה ניתן להסביר מכך שהפאראמטר Kהקובע את הערך המקסימאלי של הביומסה נמוך עבור עשבוני ולכך הצמח גדל לגודלו המקסימאלי ואינו מנצל את ריכוז המים הגבוה של העונה הגשומה. כמו כן ניתן לראות מהביטוי של אידוי המים שככל שכמות המים גדולה יותר האידוי גדול יותר ולכן בתקופה גשומה קצרה בעלת משקעים רבים האידוי הרבה יותר גבוהה מאשר בתקופה גשומה ארוכה. מחקר נוסף יכול לבדוק איך מתנהגות המערכות עם פאראמטר Kשונה. בעונת חורף ישנם ימים גשומים וימים ללא גשם בכלל אפשר לדמות עונה גשומה בצורה טובה יותר ע"י הוספת תדירות נוספת של המשקעים ,יתכן וצורת הגאוסין של המשקעים היא זו שמביאה לדעיכה אקספוננציאלית מדויייקת כל כך ,ובעזרת תדירות נוספת נוכל לצפות בתופעות נוספות. ניתן להוסיף תכונות של זרעים למערכת היכולים להגביר את העמידות בעונה היבשה. Bibliography 1. R.W. Broker an t.v. Callaghan, Oikos 81, 196-207 (1998) . 2. R.M. Callaway’ R.W. Brooker, P.Choler, Z. Kikvidze, C,J,Lortiek, R. Michalet, L.Paolini, F.I. Pugnaireq, B.Newingham, E.T. Aschehoug, C. Armasq, D.Kikodze, and B.J. Cook, Nature 417, 844-848 (2002). 3. C. Valentin, J.M. d’Herbes, and J.poesen, Catenea 37, 1-24 (1999). 4. Catena Vol. 37: Special issue devoted entirely to banded vegetation. 5. C.G Jones, J.H. Lawton and M.Shachak, Oikos 69, 373-386 (1994). 6. C.G. Jones, J.H. Lawton and M.Shachak, Ecology 78, 1946-1957 (1997). 7. M. Rieterk, S.C. Dekker, P.C de Ruiter and J. Van de Koppel, Sience 305, 1926-1029 (2004), and references therein. 8. J.B. Wilson and A.D.Q. Agnew, Adw. Ecol. Res 23, 263-336 (1992). 9. E,gilad, J. von hardenberg, A. Provenzale, M, Shachak and E. Meron, Phys. Rev Lett. 93 0981051(2-4) (2004); E. Meron and E. Gilad, in Complex Population Dynemics: Nonlinear Modeling in Ecology, Epideology and Genetics, B. Blasius, J. Kurths, and L. Stone Eds. World-Scientific, (in press). 10.J.M Thiery, J. M. d’Herbes and C. Valentin, J. Ecol. 83, 497-507 (1995) 11.D.L. Dunkerley, Plant Ecol. 129, 103-111 (1997). 12.C.A. Klausmeier, Science 284, 1826-1828 (1999). 13.J. Von Hardenberg, E. Meron, M. Shachak and Y. Zarmi, Phys. Rev Lett. 87, 198101(1-4) (2001). 14.H.T. Dublin, A.R. Sinclair, and J. Mcglade, J. Anim. Ecol. 59, 1147-1164 (1990). 15.M Rietkerk M.M.c.Boerlijst, F. Van Langevelde, R. HillersLambers, J. Van de Koppel, L. Kumar, H.H.T. Prins and A.M. De roons, Am. Nat. 160,524-530 (2002). 16.E.gilad, J. von Hardenberg, A. Provenzale, M. Shachak and E. Meron, Phys Rev . Lett. 93 0981051 (1-4) (2004); E. Meron and E. Gilad, in Complex Population Dynamics: Nonlinear Modeling in Ecolegy, Epidemiology and Genetics, B. Blasius, J.Kurths, and L. Stone Eds. World-Scientific,(in press). 17.B.H. Walker, D.Ludwig, C.s. Holling, and R.m. Peterman, J.Ecol. 69, 473-498(1981). 18.D.Hillel, Environmental Soil Physics (Academic Press, San Diego, 1998).