  

‫תאריך הבחינה‪___25.7.2012__ :‬‬
‫_גנדי כוגנוב______‬
‫שם המרצה‪:‬‬
‫___פיסיקה‪1-‬‬
‫שם הקורס‪:‬‬
‫____‪__ 203-1-1371‬‬
‫מספר הקורס‪:‬‬
‫שנה‪ 2012 :‬סמסטר‪:‬ב' מועד‪ :‬ב'‬
‫___‪ 3‬שעות_____‬
‫משך הבחינה‪:‬‬
‫_דף נוסחאות מצורף‬
‫חומר עזר‪:‬‬
‫שאלה ‪ 25( 1‬נקודות)‬
‫חלקיק בעל מסה ‪ m‬נע לאורך מסלול המתואר באופן הבא‪:‬‬
‫‪x  x0 cos 0 t ‬‬
‫‪y  y 0 sin  0 t ‬‬
‫כאשר ‪ x0 y0 , 0‬הם גדלים חיוביים‬
‫א‪ .‬הוכיחו שהכוח הפועל על החלקיק הוא כוח מרכזי (כלומר כוח שכיוונו תמיד‬
‫לכיוון ראשית הצירים)‪ 9( .‬הקודות)‬
‫ב‪ .‬נתון ‪ . x0  y 0‬ידוע שהכוח בכל מקום במרחב הוא כוח מרכזי וגודלו קבוע‪ .‬נתון‬
‫שהאנרגיה הפוטנציאלית בראשית הצירים היא אפס‪ ,‬מצאו ביטוי לאנרגיה‬
‫הפוטנציאלית לאורך ציר ‪( x‬כלומר בכל הנקודות בהן ‪ 9( )y=0‬נקודות)‬
‫ג‪ .‬כעת עוזבים את החלקיק ממנוחה בנקודה ‪ , x0 ,0‬מצאו את מהירותו בראשית‬
‫הצירים‪( .‬הכוח מהסעיפים הקודמים עדיין פועל) (‪ 7‬נקודות)‬
‫פתרון‬
‫‪‬‬
‫א וקטור ˆ‪ r  x0 cos0 t xˆ  y0 sin 0 t y‬הוא וקטור שיוצא מראשית הצירים לכיוון‬
‫נקודה כלשהי במרחב‪ .‬כיוון וקטור התאוצה הוא גם כיוון וקטור הכוח הפועל על‬
‫החלקיק‪ .‬נמצא כיוון וקטור זה‪ .‬הוקטור עצמו הוא‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a  r  0 x0 cos0t xˆ  0 y0 sin 0 t yˆ  0 r‬‬
‫‪‬‬
‫אנו רואים שכיוון וקטור זה הוא בדיוק בפוך לכיוון וקטור ‪ r‬ולכן מצביע מאותה נקודה‬
‫לכיוון הראשית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬גודל הכוח הוא ‪ . F  m a  m0 x0‬מכיוון שהכוח הוא כוח מרכזי‪ ,‬אנו מקבלים‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫שבציר ‪ x‬הכוח הוא ˆ‪F  m0 x0 x‬‬
‫נמצא את האנרגיה הפוטנציאלית‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪U   Fx dx  m0 x0 x‬‬
‫‪0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E k  U‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv  m 0 x0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v  20 x0‬‬
‫שאלה ‪ 25( 2‬נקודות)‬
‫כדור בעל מסה ‪ m‬נזרק מתחת לאופק לתוך מים במהירות התחלתית ‪ v0‬ובזווית ‪ . ‬על‬
‫הכדור פועלים‪ :‬כוח חיכוך עם המים ‪ f  kv‬וכוח ארכימדס (כוח עילוי) שכיוונו כלפי‬
‫ומעלה וגודלו קבוע ושווה ל ‪( . FA‬כמובן שפועל פה גם כוח המשיכה)‪.‬‬
‫א‪ .‬עבור ‪ , FA  mg‬מהי המהירות הסופית של הכדור? (‪ 9‬נקודות)‬
‫ב‪ .‬מצאו את מהירות הכדור כפונקציה של זמן‪ 8( .‬נקודות)‬
‫ג‪ .‬נתון כעת ש ‪ . FA  mg‬מצאו את העומק המרבי שאליו יגיע הכדור‪ 8( .‬נקודות)‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬המהירות הסופית של הכדור‪ ,‬כאשר סכום הכוחות הוא אפס‪ .‬בציר ‪ x‬המהירות הזו תהיה אפס כי יש‬
‫רק חיכוך‪ .‬בציר ‪:y‬‬
‫‪mg  FA  kvy  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪mg  FA‬‬
‫‪k‬‬
‫‪vy ‬‬
‫ב‪ .‬יש שתי משוואות דיפרנציאליות‪ ,‬אחת לציר ‪ ,x‬השנייה לציר ‪:y‬‬
‫‪1)  kvx  mvx‬‬
‫‪2)mg  FA  kvy  mv y‬‬
1)
2)
dv x
k
  dt
vx
m
dv y
mg  FA  kv y
VX
1) 
V0 COS

1
dt
m
dv x
k T
   dt
vx
m 0
 kdv y
VY
2) 
V0 SIN
mg  FA  kv y
1)v x  v 0 cos e

k t
dt
m 0
k
 t
m
 mg  FA  kvy 
k
   t
2) ln 
m
 mg  FA  kv sin  
2) v y 
mg  FA  mg  FA  kv sin  e
k
k
 t
m
‫ בנקודה‬y ‫ נדרוש שהמהירות בציר‬,‫ הפתרון של המהירות כפונקציה של זמן הוא עדיין אותו פתרון‬.‫ג‬
:‫התחתונה תהיה שווה לאפס ונמצא את זמן ההגעה למהירות זו‬
mg  FA  mg  FA  kv0 sin  e
k

t
k
 t
m
0
m  mg  FA  kv0 sin  

ln 
k 
mg  FA

:‫נמצא את המרחק שירד כפונקציה של זמן‬
mg  FA  mg  FA  kv0 sin  e
0
k
y
t
k
 t
m
 kt

mmg  FA  kv0 sin   e m  1
mgt  FA t




2
k
k
:‫נציב את הזמן שעבורו המהירות תתאפס ונקבל‬
y

 mg  FA  kv0 sin  
m
  kv0 sin  
mg  FA ln 
2 
mg  FA
k 



:2 ‫ מתוך משוואה‬:‫דרך נוספת‬
‫‪mg  FA  kvy  mv y‬‬
‫‪mgdt  FA dt  kvy dt  mdv y‬‬
‫‪v y dt  dy‬‬
‫‪‬‬
‫‪dy  mdv y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ mg  FA  kvy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪vy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪vy‬‬
‫‪dy  m‬‬
‫‪ mg  F  kv‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪vy‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪v0 s sin‬‬
‫‪ mg  FA  kvy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dy  ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫את האינטגרל הנ"ל ניתן לפתואר בצורה פשוטה ע"י הצבה‪ z  mg  FA  kv y :‬ונקבל את אותו הביטוי‬
‫שקיבלנו למעלה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ mg  FA  kv0 sin  ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mg‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪kv‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mg  FA‬‬
‫‪k2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫שאלה ‪ 25( 3‬נקודות)‬
‫דיסקה בעלת מסה ‪ m‬ורדיוס ‪ R‬מונחת על משטח בעל מקדם חיכוך ‪ .  k‬לעבר שפת‬
‫הדיסקה העליונה נורה קליע אשר ננעץ בה‪ .‬נתון כי מסת הקליע היא ‪ m‬ומהירותו ‪, v0‬‬
‫כמו כן נתון כי בתחתית הדיסקה נעוץ בורג בעל מסה ‪( . m‬הבורג אינו מקבע את‬
‫הדיסקה)‬
‫‪v0‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫א‪ .‬מהי המהירות הזוויתית ומהירות מרכז המסה של הדיסקה לאחר הפגיעה? (‪10‬‬
‫נקודות)‬
‫ב‪ .‬מהי המהירות הזוויתית ומהירות מרכז המסה של הדיסקה כעבור זמן רב? (‪10‬‬
‫נקודות)‬
‫ג‪ .‬כמה זמן ייקח לדיסקה להגיע למהירות זו? (‪ 5‬נקודות)‬
‫פתרון‬
‫‪5‬‬
‫מומנט ההתמד של הדיסקה עם הבורג והקליע הוא‪mR 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫ושימור תנ"ז‪ ui ( :‬היא מהירות מרכז המסה רגע אחרי הפגיעה ו ‪  i‬היא המהירות‬
‫הזוויתית רגע אחרי הפגיעה)‬
‫‪5‬‬
‫‪mv0 R  I i  mR 2 i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv0  3mui‬‬
‫‪ . I ‬שימור תנע קווי‬
‫‪‬‬
‫‪2 v0‬‬
‫‪5 R‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u i  v0‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬אנו רואים ש ‪( ui  i R‬פרפור) ולכן יש לנו את משוואות התנועה הבאות‪:‬‬
‫‪f k  3ma‬‬
‫‪i ‬‬
‫‪f k R  I‬‬
‫‪v  vi  at‬‬
‫‪   i  t‬‬
‫‪v  R‬‬
‫פתרונן ייתן‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪v  v0‬‬
‫‪33‬‬
‫‪12 v0‬‬
‫‪‬‬
‫‪33 R‬‬
‫ג‪ .‬נזכור ש ‪ f   k mg  a   k g‬נציב במשוואה השלישית‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v0  v0   k gt‬‬
‫‪33‬‬
‫‪3‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪33 k g‬‬
‫שאלה ‪ 25( 4‬נקודות)‬
‫נחש שאורכו ‪ L‬ומסתו ‪ m0‬עומד בתנוחת התקפה על קצה זנבו כשיתר גופו באוויר‪ .‬מכיוון‬
‫שהנחש הוא נחש משקפיים ולכן עיוור‪ ,‬הוא לא רואה מה קורה מסביבו והולך לישון‪ .‬הנחש מניח‬
‫בהדרגתיות את גופו על הקרקע כך שמסת החלק של הנחש שנוגע בקרקע גדל בקצב קבוע‬
‫‪dm‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬הנחש כמובן‪ ,‬כמו כל הנחשים‪ ,‬עומד על משקל‪.‬‬
‫‪dt‬‬
‫נחש בזמן ‪t=0‬‬
‫נחש בזמן ‪t‬‬
‫כלשהו‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת חלק הנחש שבאוויר כפונקציה של זמן? (‪ 12‬נקודות)‬
‫ב‪ .‬מה מראה המשקל כפונקציה של זמן? (‪ 13‬נקודות)‬
‫פתרון‬
‫א‪m  m0  t .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P(t )  mv‬‬
‫‪P(t  dt )  (m  dm)v‬‬
‫) ‪P(t  dt )  P(t‬‬
‫‪dm‬‬
‫‪ v‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪F  m0 g  N ‬‬
‫‪N  m0 g  v‬‬
‫‪m0‬‬
‫נגדיר‬
‫‪L‬‬
‫‪ dm  dl‬כאשר ‪ dl‬היא חתיכה מאורך החבל‪.‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪dt  vdt‬‬
‫(ניתן לעשות זאת גם בדרך פשוטה של חישוב יחסים)‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2L‬‬
‫‪N  m0 g ‬‬
‫‪ m0 g ‬‬
‫‪‬‬
‫‪m0‬‬
‫‪  ‬ונראה שמתקיים הקשר‪:‬‬