הלאש 1 2

‫תררגיל כיתא ‪6‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫מה קיבול של קבל?‬
‫א‪ .‬לוחות‬
‫ב‪ .‬כדורי‬
‫ג‪ .‬גלילי‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫‪ (26‬נתון קבל לוחות כמתואר בציור‪ .‬הראה שעבור זויות‬
‫⎛ ‪ε 0a2‬‬
‫⎞ ‪aθ‬‬
‫‪⎜1 −‬‬
‫⎟‬
‫⎝ ‪d‬‬
‫⎠ ‪2d‬‬
‫‪ θ‬קטנות הקיבול נתון ע"י‪:‬‬
‫= ‪.C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק את הקבל להרבה קבלים דיפרנציאלים‪ ,‬כל אחד בעל לוחות מקבילים באורך ‪:dx‬‬
‫ידוע לנו שהקיבול של קבל עם לוחות מקבילים שווה ל‪-‬‬
‫‪ε0 A‬‬
‫‪d‬‬
‫= ‪ , C‬כש‪ A-‬הוא שטח הלוחות ו‪ d -‬הוא‬
‫המרחק בין הלוחות‪ .‬במקרה שלנו‪ ,‬הקיבול של כל קבל דיפרנציאלי הוא‪:‬‬
‫‪ε 0 dA‬‬
‫)‪d ( x‬‬
‫= ‪. dC‬‬
‫‪d ( x) = d + x sin θ‬‬
‫‪dA = a dx‬‬
‫כדי לקבל את הקיבול של כל הקבל‪ ,‬נחשב את האינטגרל על כל הקבלים הקטנים‪:‬‬
‫⎛ ⎡‬
‫‪a‬‬
‫⎤⎞‬
‫⎥⎟ ‪⎢ln⎜1 + d sin θ‬‬
‫⎦⎠‬
‫⎝ ⎣‬
‫⎞‬
‫⎟‬
‫‪⎠ = ε 0a‬‬
‫‪sin θ‬‬
‫‪⎛ d + a sin θ‬‬
‫‪d‬‬
‫⎝‬
‫‪sin θ‬‬
‫⎜‪ε 0 a ln‬‬
‫אם הזווית ‪ θ‬קטנה‪ , sin θ ≈ θ :‬ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪ε 0 a ln (d + x sin θ‬‬
‫=‬
‫‪sin θ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪ε 0 a dx‬‬
‫‪d + x sin θ‬‬
‫‪a‬‬
‫∫=‪C‬‬
‫‪0‬‬
‫תררגיל כיתא ‪6‬‬
‫⎤⎞ ‪ε 0 a ⎡ ⎛ a‬‬
‫⎟ ‪ln⎜1 + θ‬‬
‫⎦⎥⎠ ‪θ ⎢⎣ ⎝ d‬‬
‫‪a‬‬
‫קיבלנו פונקציה מהצורה‪ , f ( x) = ln(1 + x ) :‬כש‪θ << 1 :‬‬
‫‪d‬‬
‫≈‪C‬‬
‫≡ ‪ . x‬נפתח את הפונקציה הזאת בטור טיילור‬
‫סביב ‪: x = 0‬‬
‫‪f ' ' (0) = −1‬‬
‫‪f ' ' ( x) x 2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪=x−‬‬
‫!‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⎤‪⎡ aθ‬‬
‫⎥ ‪⎢1 − d 2‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫‪2‬‬
‫‪f ' ( 0) = 1‬‬
‫‪f (0) = 0‬‬
‫‪⇒ f ( x) ≈ f (0) + f ' (0) x +‬‬
‫‪ε 0a ⎡ a‬‬
‫‪a2 2 ⎤ ε 0a2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪θ‬‬
‫=⎥ ‪θ‬‬
‫‪θ ⎢⎣ d‬‬
‫‪d‬‬
‫⎦ ‪2d 2‬‬
‫≈‪⇒ C‬‬
‫‪Part 2‬‬
‫‪ .3‬מצא‪/‬י‪:‬‬
‫א( קיבול אפקטיבי של מערכת הקבלים‪.‬‬
‫ב( אנרגיה על הקבל האפקטיבי‪.‬‬
‫ג( פוטנציאלים ומטענים על הקבלים ‪.C1 , C4 , C3‬‬
‫‪C2 =4.0 μF‬‬
‫‪C3 = 1.5 μF‬‬
‫‪C1 = 3.0 μF‬‬
‫‪C4=5.0 μF‬‬
‫‪20V‬‬
‫‪C2 =4.0 μF‬‬
‫‪C5=3.0 μF‬‬
‫‪ .4‬נתונים שלושה לוחות מוליכים מקבילים כמתואר בציור‪ .‬שטח כל לוח הוא ‪.A‬‬
‫הלוח האמצעי טעון במטען ‪.Q‬‬
‫א( מהו השדה החשמלי בין כל זוג לוחות?‬
‫ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בלוח המרכזי?‬
‫ג( מה הקיבול של המערכת?‬
‫‪d1‬‬
‫ד( מהו הכוח הפועל על הלוח האמצעי? ‪d2‬‬
‫ה( מהי האנרגיה של המערכת?‬
‫חשב‪/‬י על ידי חישוב ישיר )בעזרת פוטנציאל( וע"י הקיבול‪ .‬בדוק‪/‬י ששתי‬
‫התשובות יוצאות זהות!‬
‫‪) .5‬בונוס( נתון קבל לוחות ריבועי בעל אורך צלע ‪ a‬המלא עד מחצית אורכו‬
‫בחומר דיאלקטרי בעל מקדם‬
‫‪   0 1   x ‬‬
‫כאשר ‪ x‬היא קואורדינטה בין‬
‫לוחות הקבל )ראה‪/‬י באיור(‪.‬‬
‫א( מצא‪/‬י את קיבולו של הקבל הנ"ל והסבר‪/‬י את תשובתך‪.‬‬
‫ב( נתון כי על הקבל יש מתח ‪ .V0‬חשב‪/‬י כמה מהאנרגיה אגורה בחלק‬
‫‪x‬‬
‫המלא )‪ (A‬וכמה בחלק הריק )‪.(B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫*‪ .6‬נתון קבל כדורי )ראה‪/‬י שרטוט(‪ .‬טוענים את הקבל תחת מתח של ‪ 10‬וולט‪.‬‬
‫א( מהו הקיבול ומהו המטען על הקבל?‬
‫ב( מכניסים חומר דיאלקטרי בין לוחות הקבל‪ .‬המקדם הדיאלקטרי של החומר‬
‫הוא ‪ . 1.5‬בכמה ישתנה המטען?‬
‫ג( בכמה היה משתנה המתח על הקבל אם היו מנתקים את מקור המתח לפני‬
‫הכנסת חומר הדיאלקטרי?‬
‫‪R1‬‬
‫‪.R1=1cm, R2=5cm‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪10V‬‬
‫*‪ .7‬קבל לוחות רגיל ממולא בחומר דיאלקטרי כמוראה בציור יש להראות‬
‫)בעזרת חוק גאוס!( שהקיבול יהיה‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2 0 A   e1 e 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d   e1   e 2 ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Ke1‬‬
‫‪Ke2‬‬
‫‪ .3‬א( השיטה היא‪ ,‬להתחיל מזוג קבלים כלשהו‪ ,‬לצמצם אותם לקבל אפקטיבי‬
‫יחיד ולהמשיך לפשט את המעגל רכיב רכיב‪.‬‬
‫נתבונן בזוג הקבלים ‪:C2‬‬
‫הכף החיובית מחוברת‬
‫לכף החיובית‪ ,‬כלומר הם‬
‫‪C1 = 3.0 µF C6 =2.5 µF‬‬
‫‪C2 =4.0 µF‬‬
‫‪C3 = 1.5 µF‬‬
‫‪C4=5.0 µF‬‬
‫מחוברים בטור‪.‬‬
‫‪20V‬‬
‫‪C2 =4.0 µF‬‬
‫‪C5=3.0 µF‬‬
‫‪C6 =2.5 µF‬‬
‫מכאן‪,‬‬
‫ניתן לראות‬
‫‪C =2.0 µF‬‬
‫‪C3 = 1.5 µF‬‬
‫‪C1 = 3.0 µF‬‬
‫‪C4=5.0 µF‬‬
‫שהקבל החדש ו‪C3-‬‬
‫‪20V‬‬
‫מחוברים במקביל כי‬
‫המתח על הכף העליונה של כ"א מהם‬
‫חייב להיות זהה‪.‬‬
‫‪C1 = 3.0 µF C6 =2.5 µF‬‬
‫מכאן‪,‬‬
‫נתבונן ב‪ .C5-‬הקבל מקוצר‬
‫‪C5=3.0 µF‬‬
‫‪C = 3.5 µF‬‬
‫‪C4=5.0 µF‬‬
‫על ידי תיל שמתחבר ל‪ .C-‬אפשר‬
‫לדמות זאת על ידי כך שמגדירים‬
‫‪20V‬‬
‫קבל ∞ =’‪C‬‬
‫בעל קיבול ∞ הנמצא מול ‪ .C5‬מכיוון שהם‬
‫‪C5=3.0 µF‬‬
‫מחוברים במקביל‪ ,‬הקיבול האפקטיבי שלהם‬
‫הוא ∞ )מכיוון שהמתח משני צידי ‪ C5‬חייב להיות זהה(‪.‬‬
‫מכאן‪ C ,‬ו‪ C4-‬מחוברים במקביל‪,‬‬
‫‪C1 = 3.0 µF‬‬
‫לכן נקבל‬
‫‪C = 3.5 µF‬‬
‫‪C4=5.0 µF‬‬
‫‪20V‬‬
‫מכאן‪ ,‬הקיבול הכללי מתקבל מחיבור‬
‫‪C1 = 3.0 µF‬‬
‫בטור של ‪ C‬ו‪ ,C1-‬כך ש‪.Ct=2.22 µF-‬‬
‫‪C = 8.5µ F‬‬
‫‪20V‬‬
‫ב( האנרגיה היא‬
‫‪1‬‬
‫‪U = CtV 2 = 4.44 × 10−4 J‬‬
‫‪2‬‬
‫ג( ע"מ למצוא את המתחים נלך אחורה מסעיף א'‪ C1 .‬מחובר בטור עם ‪ ,C‬לכן‬
‫‪V1 + V = ε‬‬
‫⎫‬
‫‪Ct ε‬‬
‫‪q‬‬
‫‪C‬‬
‫‪=ε‬‬
‫‪= 14.78V ⇒ q1 = V1C1 = 4.43 × 10−5 C‬‬
‫‪⎬ ⇒ V1 + = ε ⇒ V1 = ε −‬‬
‫⎭ ‪q1 = q = Ct ε‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C1 + C‬‬
‫המתח על קבל ‪ C‬הוא ‪ . V = 5.22V‬מכיוון ש‪ C4-‬מחובר במקביל ל‪ C-‬מהשלב‬
‫הקודם )בסעיף א'( ‪ . V = V4 = 5.22V‬כמו"כ‪ C3 ,‬מחובר במקביל ל‪ C4-‬לכן‬
‫‪ . V3 = V4 = 5.22V‬מכאן ‪. q3 = 7.83 ×10−6 C , q4 = 2.61×10−5 C‬‬
‫)היופי הוא בפשטות‪(...‬‬
‫‪ .4‬א( בשני הלוחות המוארקים הפוטנציאל ‪d1‬‬
‫‪E1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪E2‬‬
‫שווה לאפס‪ .‬מאחר ועל הלוח המרכזי‬
‫קיים פוטנציאל כלשהו הפרש‬
‫הפוטנציאלים בין הלוח העליון למרכזי שווה להפרש הפוטנציאלים בין הלוח‬
‫התחתון למרכזי‪ ,‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫בעזרת חוק גאוס נקבל משוואה נוספת‪:‬‬
‫‪∆V1 = ∆V2 ⇒ E1d1 = E2 d 2‬‬
‫)‪ – S‬שטח הבסיס של המשטח הגאוסי )הגליל((‬
‫‪Q‬‬
‫נזכור ש‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪= E1S + E2 S‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪= E1 + E2‬‬
‫‪Aε 0‬‬
‫= ‪ σ‬ונצמצם את ‪ S‬ונקבל‪:‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪Aε 0 d1 + d 2‬‬
‫מפתרון שתי המשוואות נקבל‪:‬‬
‫‪Sσ‬‬
‫= ‪, E2‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪Aε 0 d1 + d 2‬‬
‫= ‪E1‬‬
‫ב( הפוטנציאל החשמלי בלוח המרכזי‪:‬‬
‫‪Q d1d 2‬‬
‫‪Aε 0 d1 + d 2‬‬
‫= ‪E1d1 = E2 d 2‬‬
‫ג( ע"מ למצוא את הקיבול של המערכת נשים לב כי יש למעשה שני קבלים‪.‬‬
‫האחד‪ ,‬מהלוח העליון לאמצעי‪ ,‬והשני‪ ,‬מהאמצעי לתחתון‪ .‬שני לוחות אלו‬
‫מחוברים במקביל )לוח עליון לחצי לוח מרכזי ולוח תחתון לחצי לוח מרכזי(‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d + d2‬‬
‫‪+ ε0‬‬
‫‪= ε0 A 1‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪d1d 2‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪C = C1 + C2 = ε 0‬‬
‫ד( את המטען על חצי העליון של הלוח המרכזי נוכל למצוא בעזרת התוצאה‬
‫מסעיף א'‪ :‬באופן כללי עבור שדה בין לוחות ‪-‬‬
‫‪q‬‬
‫‪Aε 0‬‬
‫= ‪ , E‬לכן‪:‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪d2‬‬
‫=‬
‫‪⇒ q1 = Q‬‬
‫‪Aε 0 Aε 0 d1 + d 2‬‬
‫‪d1 + d 2‬‬
‫= ‪E1‬‬
‫הכוח על הלוח המרכזי הוא השדה שיוצר הלוח העליון )בלבד!!( כפול המטען‪:‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪Q 2 d 22‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪⋅ 1 =Q‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫‪d1 + d 2 2 Aε 0‬‬
‫‪d1 + d 2 2 Aε 0 d1 + d 2 2 Aε 0 ( d1 + d 2 )2‬‬
‫‪F1 = q1 E = Q‬‬
‫באופן דומה נקבל עבור החצי התחתון‪ .‬הכוח השקול הפועל על הלוח המרכזי‬
‫)המינוס בא כי הכוחות פונים לכיוונים שונים!(‪:‬‬
‫) ‪Q 2 ( d 2 − d1‬‬
‫=‬
‫) ‪2 Aε 0 ( d1 + d 2‬‬
‫) ‪Q 2 ( d 22 − d12‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪2 Aε 0 ( d1 + d 2‬‬
‫=‬
‫‪Q 2 d12‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪2 Aε 0 ( d1 + d 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪Q 2 d 22‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪2 Aε 0 ( d1 + d 2‬‬
‫= ‪F = F1 − F2‬‬
‫ה( האנרגיה האגורה במערכת )בשתי הדרכים(‪.‬‬
‫בפתרון לפי הפוטנציאל נשים לב כי האנרגיה היא המטען של חצי העליון של‬
‫הלוח המרכזי כפול השדה שיוצר הלוח העליון פלוס המטען של חצי התחתון‬
‫של הלוח המרכזי כפול השדה שיוצר הלוח התחתון‪:‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪Q d1d 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪d1 + d 2 2 Aε 0 d1 + d 2‬‬
‫‪U = q1 ⋅ ∆V + q2 ⋅ ∆V = q1 ⋅ d1 E↑ + q2 ⋅ d 2 E↓ = Q‬‬
‫) ‪d1d 2Q 2 ( d1 + d 2‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪Q d1d 2‬‬
‫‪Q2‬‬
‫‪d1d 22‬‬
‫‪Q2‬‬
‫‪d 2 d12‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪d1 + d 2 2 Aε 0 d1 + d 2 2 Aε 0 ( d1 + d 2 )2 2 Aε 0 ( d1 + d 2 )2 2 Aε 0 ( d1 + d 2 )2‬‬
‫‪+Q‬‬
‫‪d1d 2Q 2‬‬
‫) ‪2 Aε 0 ( d1 + d 2‬‬
‫‪d1d 2Q 2‬‬
‫=‬
‫) ‪2 Aε 0 (d1 + d 2‬‬
‫)‬
‫‪Q2‬‬
‫) ‪Aε 0 ( d1 + d 2‬‬
‫‪d1d 2‬‬
‫(‬
‫=‬
‫‪1 Q2‬‬
‫=‬
‫=‪U‬‬
‫‪2 C 2‬‬
‫‪ .5‬א( נפרק את הקבל המורכב לקבלים פשוטים יותר‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫תחילה נחלק אותו לשני חלקים‪ ,‬ימני ושמאלי‪ .‬מפל המתח על הקבל השמאלי‬
‫שווה לימני )הם מחוברים ע"י מוליך( לכן‪ ,‬נתייחס אליהם כאל קבלים‬
‫במקביל‪ .‬בנוסף‪ ,‬נחלק את הקבל הימני לקבלים אינפיניטסימליים לרוחבו‪ .‬מפל‬
‫המתח על הקבל הימני הוא סכום של מפלי המתחים על אוסף הקבלים‬
‫האינפיניטסימליים )גם המטען הכולל זהה למטען בכל קבל(‪ ,‬לכן נתייחס‬
‫לאוסף קבלים אלו כמחוברים בטור‪.‬‬
CT = C A + CB
d
ε 0α a 2 ⎫
1
1
2dx
2
A
ln (1 + α d ) ⇒ C A =
dC A = ε
→
=
=
=
⎪
2 ln (1 + α d ) ⎪
dx
C A ∫ dC A ∫0 ε 0 (1 + α x ) a 2 ε 0α a 2
⎬⇒
A
a2
⎪
CB = ε 0 = ε 0
⎪⎭
d
2d
⎞
a2 ⎛ 1
α
⇒ CT = ε 0 ⎜⎜ +
⎟[F ]
2 ⎝ d ln (1 + α d ) ⎟⎠
,‫ על כן‬.V0-‫ המתח עליהם זהה ושווה ל‬,‫ב( מכיוון שהקבלים מחוברים במקביל‬
1
U = CV 2
2
⎞ 2
1 a2 ⎛ 1
α
U T = ε 0 ⎜⎜ +
⎟ V0 [ J ]
2
2 ⎝ d ln (1 + α d ) ⎟⎠
1 ε 0α a 2
UA =
V02 [ J ]
2 2 ln (1 + α d )
1 a2 2
UB = ε0
V0 [ J ]
2 2d
:‫החלק של האנרגיה שאגורה בקבל הימני היא‬
1 ε 0α a 2
V02 [ J ]
2 2 ln (1 + α d )
UA
α
=
=
=
2
UT 1 a ⎛ 1
⎞ 2
⎛1
⎞
α
α
ε0 ⎜ +
⎟ V0 [ J ] ln (1 + α d ) ⎜ +
⎟
2 2 ⎝ d ln (1 + α d ) ⎠
⎝ d ln (1 + α d ) ⎠
α
αd
=
=
⎛ ln (1 + α d ) + dα ⎞ ln (1 + α d ) + dα
⎜
⎟
d
⎝
⎠
:‫החלק של האנרגיה שאגורה בקבל השמאלי היא‬
1 a2 2
1
1
ε 0 V0 [ J ]
UB
d
d
2 2d
=
=
=
=
UT 1 a 2 ⎛ 1
⎞
⎛
⎞
⎛
ln (1 + α d ) + dα ⎞
1
α
α
2
ε0 ⎜ +
⎟ V0 [ J ] ⎜ +
⎟ ⎜
⎟
2 2 ⎝ d ln (1 + α d ) ⎠
⎝ d ln (1 + α d ) ⎠ ⎝ d ln (1 + α d ) ⎠
ln (1 + α d )
=
ln (1 + α d ) + dα