ALGEBRA 3: ESERCIZI ACCENNATI A LEZIONE (1) Mostrare che

ALGEBRA 3: ESERCIZI ACCENNATI A LEZIONE
(1) Mostrare che un’applicazione lineare suriettiva T : V → W tra spazi vettoriali di dimensione
finita ammette sempre un’inversa destra.
(2) Mostrare che φ : Z/4 → Z/2 definita da φ[n]4 = [n]2 è un omomorfismo suriettivo di gruppi che
non ammette inverso destro (che sia un omomorfismo di gruppi, naturalmente).
(3) Mostrare che la proiezione canonica al quoziente φ : Z → Z/(2) è un omomorfismo suriettivo di
gruppi che non ammette inverso destro (che sia un omomorfismo di gruppi).
(4) Se φ : G → H è un omomorfismo di gruppi e l’omomorfismo di gruppi s : H → G ne è inverso
destro, allora
• φ è suriettivo
• s è iniettivo
• G è prodotto semidiretto del sottogruppo s(H) con il sottogruppo normale ker φ.
Generalmente, s è detto sezione (section) o spaccamento (splitting) di φ.
(5) Se X è un insieme, sia X = X × {±1}; se x ∈ X, indichiamo, con abuso di notazione, la coppia
(x, 1) con il simbolo x, e quella (x, −1) con il simbolo x−1 . Sia allora F (X) l’insieme delle successioni finite di elementi di X con la proprietà che due elementi consecutivi nella successione non
sono mai l’inverso uno dell’altro. Mostrare che
• La concatenazione di elementi di F (X) (cioè scrivere prima una successione e poi l’altra), opportunamente semplificata nel caso compaiano simboli consecutivi inversi, è un’operazione
associativa.
• La successione vuota è l’elemento neutro di tale operazione.
• Ogni elemento di F (X) possiede un inverso in F (X) rispetto all’operazione di concatenazione.
• Se G è un gruppo e X ⊂ G è un suo sottoinsieme, mostrare che esiste un unico omomorfismo
di gruppi φ : F (X) → G tale che φ(x) = x, dove l’argomento di φ è la successione di
lunghezza 1 la cui unica lettera è x, mentre al secondo membro compare l’elemento x ∈ G.
(6) Sia Dn il gruppo diedrale di ordine 2n, e indichiamo, come a lezione, con s la simmetria rispetto
all’asse delle x e con r la rotazione di angolo 2π/n.
• Mostrare che s2 = 1, rn = 1, (sr)2 = 1.
• Se X = {s, r}, costruire un omomorfismo di gruppi φ : F (X) → Dn tale che φ(s) = s, φ(r) =
r, e osservare che s2 , rn , (sr)2 appartengono a ker φ.
• Se N indica l’intersezione di ogni sottogruppo normale di F (X) che contiene s2 , rn , (sr)2 ,
mostrare che φ induce un omomorfismo di gruppi Φ : F (X)/N → Dn .
• Mostrare che se un gruppo G possiede due elementi r, s tali che sr = r−1 s, allora sri = r−i s
e inoltre ogni elemento del sottogruppo hr, si generato da r e s è della forma rm sn , m, n ∈ Z.
• Concludere che F (X)/N ha al più 2n elementi e che, quindi, Φ è un isomorfismo.
• Mostrare che se un gruppo G contiene due elementi s, r che soddisfano s2 = rn = (s r)2 = 1,
allora esiste un unico omomorfismo di gruppi ψ : Dn → G tale che ψ(s) = s, ψ(r) = (r).
(7) Se X è un insieme e k un campo, poniamo
VX = {α : X → k | α(x) 6= 0 solo per un numero finito di scelte di x ∈ X}.
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• Mostrare che VX è un k-spazio vettoriale rispetto alle ovvie operazioni di somma e prodotto
per elementi di k.
• Se δx (y) = δx,y , mostrare che gli elementi δx , x ∈ X, sono una base di VX .
A lezione, abbiamo P
considerato il caso in cui X è un insieme finito, e abbiamo utilizzato l’abuso
di notazione α ←→ x∈X αx x.
Mostrare che se V, W sono rappresentazioni di G, e T : V → W è un G-omomorfismo invertibile,
allora T −1 : W → V è ancora un G-omomorfismo.
Due rappresentazioni (complesse di dimensione finita) isomorfe hanno lo stesso carattere.
Mostrare che ogni spazio vettoriale possiede una base.
[Richiede il lemma di Zorn]
Mostrare che se U ⊂ V sono spazi vettoriali, allora esiste una base di V che estende una base di
U.
[Richiede il lemma di Zorn]
Utilizzare l’esercizio precedente per mostrare che un’applicazione lineare suriettiva T : V → W
ammette un’inversa destra anche nel caso di dimensione infinita.
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ALGEBRA 3
(13) Sia P : V → V un’applicazione k-lineare che soddisfa P 2 = P . Verificare che V è somma diretta
di ker P e Im P e che P coincide con la proiezione sul secondo fattore di V = ker P ⊕ Im P . In
particolare, quando char k = 0, Tr P = dim Im P . Che cosa succede se char k 6= 0?
(14) Mostrare che se {vi } sono generatori lineari dello spazio vettoriale V , e U ⊂ V è un sottospazio
vettoriale, allora {[vi ]} sono generatori di V /U .
(15) Mostrare che se U, V sono spazi vettoriali (non necessariamente di dimensione finita), allora
l’applicazione lineare
U ∗ ⊗ V 3 ψ ⊗ v 7→ (u 7→ ψ(u)v) ∈ Hom(U, V )
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ha per immagine tutte e sole le applicazioni lineari di rango finito (cioè con immagine di dimensione finita). Concludere che se almeno uno tra U e V ha dimensione finita, allora U ∗ ⊗ V è
isomorfo a Hom(U, V ).
Se U1 , U2 , V1 , V2 sono spazi vettoriali e T : U1 → U2 , S : V1 → V2 sono applicazioni lineari,
mostrare che (u1 ⊗ v1 ) 7→ T (u1 ) ⊗ S(v1 ) si estende in maniera unica ad un’applicazione lineare
T ⊗ S : U1 ⊗ V1 → U2 ⊗ V2 .
Siano {ui }, {vj } basi degli spazi vettoriali U, V rispettivamente, e M, N le matrici associate alle
applicazioni lineari T : U → U, S : V → V in tali basi. Calcolare la matrice associata a T ⊗ S :
U ⊗ V → U ⊗ V rispetto alla base {ui ⊗ vj } di U ⊗ V .
Se U, V sono spazi vettoriali di dimensione finita e T : U → U, S : V → V sono applicazioni
lineari, mostrare che Tr(T ⊗ S) = Tr(T ) · Tr(S).
Mostrare che se N1 , N2 sono sottomoduli dell’R-modulo M , allora N1 ∩ N2 e N1 + N2 = {n1 +
n2 | n1 ∈ N1 , n2 ∈ N2 } sono sottomoduli di M .
P
Se {Ni }i∈I sono sottomoduli dell’R-modulo M , sia i∈I Ni il sottoinsieme
P di tutte le somme
finite di elementi di elementi contenuti nei sottomoduli Ni . Mostrare che i∈I Ni è il più piccolo
sottomodulo di M che contiene tutti gli Ni .
Un R-modulo M si dice noetheriano (artiniano) se ogni successione crescente (decrescente) di
suoi sottomoduli è definitivamente costante.
Mostrare che, se k è un campo, allora un modulo è artiniano se e solo se è noetheriano se e solo
se ha dimensione finita.
Moatrare che se M è noetheriano (artiniano) allora anche i suoi sottomoduli e quozienti sono
noetheriani (artiniani).
Sia N ⊂ M un sottomodulo. Mostrare che M è noetheriano se e solo se N, M/N sono noetheriani.
Mostrare che M è artiniano se e solo se N, M/N sono artiniani.
Siano m1 , . . . , mk elementi dell’R-modulo M . Mostrare che l’applicazione φ : Rk → M definita
da φ(a1 , . . . , ak ) = a1 m1 + · · · + ak mk è un omomorfismo di R-moduli. Generalizzare ad un
insieme infinito di elementi.
Descrivere gli Z-moduli irriducibili (a meno di isomorfismo) e mostrare che Z, visto come Zmodulo, non contiene nessun sottomodulo irriducibile.
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA”
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