הרזח יליגרת

‫‪-1-‬‬
‫תרגילי חזרה‬
‫‪+ +‬‬
‫חישובי שדה ופוטנציאל חשמלי‪:‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ .1‬מוט זכוכית דק כופף לצורת חצי מעגל שרדיוסו ‪ . r‬מטען ‪ + q‬מפולג בצורה‬
‫אחידה לאורך החצי העליון ומטען ‪ − q‬מפולג אחידות לאורך החצי התחתון‬
‫‪p‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫של הצורה‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫א‪ .‬מצא את השדה החשמלי בנקודה ‪ , p‬מרכז חצי המעגל‪ .‬תשובה‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪π ε 0r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫= ‪.E‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה ‪ . P‬תשובה ‪. 0‬‬
‫ג‪ .‬מהי העבודה החיצונית שיש להשקיע על מנת להביא מטען חיובי ‪ +Q‬מאינסוף‬
‫לנקודה ‪ ? P‬תשובה‪. 0 :‬‬
‫ד‪ .‬מה הייתה התשובה לסעיף קודם אם במקום חצי המעגל היה נתון רבע מעגל‬
‫‪kq‬‬
‫הטעון בצורה אחידה במטען כללי ‪ ? + q‬תשובה‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ .2‬על מוט מבודד באורך ‪ L‬מפוזר מטען‬
‫חשמלי ‪ − q‬בצפיפות אחידה‪.‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪p‬‬
‫א‪ .‬חשבו את צפיפות המטען האורכית‪.‬‬
‫= ‪.W‬‬
‫‪--------------‬‬‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את השדה החשמלי בנקודה‬
‫‪ p‬הנמצאת במרחק ‪ x‬מקצה המוט‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראו כי במרחקים גדולים‪ a >> L ,‬תשובתך לסעיף ב' תצטמצם לשדה‬
‫של מטען נקודתי‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי בנקודה ‪. p‬‬
‫‪∂V‬‬
‫ה‪ .‬אשרו את הקשר שדה‪-‬פוטנציאל ת דהיינו הראו כי מתקיים‬
‫‪∂x‬‬
‫‪.E =−‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪kq  x + L ‬‬
‫= ‪ . E‬ג‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ λ = − .‬ב‪.‬‬
‫‪ln ‬‬
‫= ‪ . E‬ד‪ .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πε 0 x‬‬
‫)‪4πε 0 x( x + L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L  x ‬‬
‫= ‪.V‬‬
‫‪-2‬‬‫‪y‬‬
‫‪ .3‬על קטע של טבעת מעגלית לא מוליכה בעלת‬
‫רדיוס ‪ R‬מפולג מטען חשמלי בצפיפות קווית‬
‫)אורכית( לא אחידה‪ ,‬הנתונה באמצעות‬
‫הזווית הקוטבית ‪ φ‬על ידי הפונקציה‪:‬‬
‫‪, λ (φ ) = λ0 cos φ‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪x‬‬
‫כאשר ‪ λ0 > 0‬הוא קבוע מספרי חיובי‬
‫והפונקציה מביעה הן את גודלה של צפיפות‬
‫המטען והן את סימנה‪ .‬הטבעת משתרעת בין‬
‫הזוויות הקוטביות ‪ φ = ϑ‬ל‪φ = 2π − ϑ -‬‬
‫במגמה המנוגדת למגמת השעון )ראו איור‬
‫משמאל(‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ϑ‬‬
‫‪ϑ‬‬
‫‪λ (φ ) = λ0 cos φ‬‬
‫נתונים‪. k , R,ϑ :‬‬
‫א‪ .‬הראו כי המטען הכללי על המקטע הטבעתי הוא אפס )‪ 15‬נקודות(‪.‬‬
‫מאחר והמטען הכללי הוא אפס הרי שעל הטבעת מפוזר מטען חיובי ‪ + q‬ומטען שלילי‬
‫‪. −q‬‬
‫ב‪ .‬באיזה תחום זוויתי )עבור אילו ערכים של הזווית ‪ ( φ‬מפוזר המטען החיובי ? ובאיזה‬
‫תחום זוויתי מפוזר המטען השלילי ? נמקו את תשובתכם )‪ 5‬נקודות(‪.‬‬
‫ג‪ .‬בהסתמך על סעיף קודם‪ ,‬הביעו את הקבוע ‪ λ0‬באמצעות המטען ‪ , q‬רדיוס המקטע‬
‫הטבעתי‪ , R -‬והזווית ‪ . ϑ‬מהו ‪ λ0‬עבור‬
‫‪π‬‬
‫ד‪ .‬עבור‬
‫‪2‬‬
‫נקודות(‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ 15) ? ϑ‬נקודות(‪.‬‬
‫= ‪ ϑ‬מצאו את רכיבי השדה החשמלי ‪ Ex‬ו‪ E y -‬במרכז המקטע הטבעתי )‪15‬‬
‫)‪1 − cos(2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪, ∫ cos(ax)dx = sin(a x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫הדרכה‪:‬‬
‫= ‪sin 2 x‬‬
‫‪ .4‬מוט מבודד בעל אורך ‪ l‬טעון בצורה אחידה בצפיפות אורכית ‪. + λ‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה החשמלי בנקודה ‪ p‬הנמצאת בגובה ‪ y‬מעל אחד הקצוות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי באותה נקודה‪.‬‬
‫ג‪ .‬אשרו את הקשר שדה‪-‬פוטנציאל עבור רכיה ה ‪ y -‬של השדה‪ ,‬היינו הראו כי‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪. Ey = −‬‬
‫ד‪ .‬מהי הזווית שיוצר השדה החשמלי השקול עם הכיוון האופקי בנקודה ‪p‬‬
‫הנמצאת בגובה ‪ L‬מעל קצה התיל‪.‬‬
‫ה‪ .‬מהי העבודה החיצונית הנדרשת על מנת להזיז מטען חיובי ‪ +Q‬מהנקודה ‪Q‬‬
‫הנמצאת בגובה ‪ 2 L‬מעל קצה המוט לנקודה ‪ p‬הנמצאת בגובה ‪ L‬מעל קצה‬
‫המוט ?‬
‫‪-3-‬‬
‫‪‬‬
‫תשובות‪ :‬א‪ .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ex = k λ  −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪L + y2‬‬
‫‪‬‬
‫‪kλL‬‬
‫‪y y 2 + L2‬‬
‫= ‪. Ey‬‬
‫‪ y 2 + L2 + L ‬‬
‫ב‪ .‬‬
‫‪ . V = k λ ln ‬ד‪. 67.5o .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1+ 5 ‬‬
‫‪. W = kQ λ ln ‬‬
‫ה‪ .‬‬
‫‪2(1‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫חוק גאוס‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ .5‬כדור שרדיוסו ‪ R‬טעון בצפיפות מטען לא אחידה ‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ , ρ = ρ0 ‬כאשר ‪ρ0‬‬
‫קבוע‪.‬‬
‫) ‪ρ (r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ .1‬הבע את מטענו הכללי של הכדור באמצעות ‪ρ0 ,R‬‬
‫‪ .2‬מצאו את השדה במרחב )במרחק ‪ r‬ממרכז הכדור‪ ,‬התייחסו למקרים ‪ r>R‬וגם ‪(r<R‬‬
‫‪ .3‬מצאו את הפוטנציאל במרחב‬
‫‪ .4‬כדור קטן שמסתו ‪ m‬ומטענו ‪ −q‬משוחרר ממנוחה במרחק ‪ 4R‬ממרכז הכדור‪.‬‬
‫מה תהיה מהירותו של הכדור בהגיעו למרחק של ‪ 2R‬ממרכז הכדור ?‬
‫‪0≤r ≤ R‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ Q = πρ0 R .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪ kQ 2‬‬
‫ˆ‪ R 4 r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E (r ) = ‬‬
‫ˆ‪ kQ r‬‬
‫‪ r 2‬‬
‫‪ 4kQ kQ 3‬‬
‫‪ 3R − 3R 4 r 0 ≤ r ≤ R‬‬
‫‪kQq‬‬
‫= ‪.υ B‬‬
‫‪ . V ( r ) = ‬ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2mR‬‬
‫‪ kQ‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪ .5‬במרכזה של קליפה כדורית מוליכה ועבה שרדיוסיה הפנימי והחיצוני הם ‪ 2R‬ו‪3R -‬‬
‫בהתאמה נמצא כדור לא מוליך שרדיוסו ‪ . R‬הכדור נושא‬
‫מטען חשמלי חיובי בצפיפות נפחית לא אחידה המשתנה‬
‫‪r‬‬
‫עם המרחק ממרכז הכדור לפי הקשר ‪. ρ (r ) = ρ 0  ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2R‬‬
‫הקליפה המוליכה אינה טעונה כלל‪ .‬נתונים‪R, ε 0 , ρ 0 :‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪+Q‬‬
‫א‪ .‬הראו כי מטענו הכללי של הכדור נתון על ידי‪:‬‬
‫‪Q = π ρ0 R3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ρ (r ) = ρ0 ‬‬
‫‪-4‬‬‫ב‪ .‬מהו המטען החשמלי על הדופן הפנימית של הקליפה העבה ? נמקו תשובותיכם!‬
‫)‪ 5‬נקודות(‬
‫ג‪ .‬מהו המטען החשמלי על הדופן החיצונית של הקליפה העבה ? נמקו תשובותיכם‬
‫)‪ 5‬נקודות(‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשבו את השדה החשמלי בכל אזורי המרחב )‪ 15‬נקודות(‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל אזורי המרחב )‪ 15‬נקודות(‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬ראו בוחן קייץ ‪2006‬‬
‫‪ .6‬גליל מלא שרדיוסו ‪ d‬העשוי מחומר מבודד נושא מטען חשמלי בצפיפות נפחית לא‬
‫‪ r2 ‬‬
‫אחידה המשתנה עם המרחק מציר הגליל בהתאם לפונקציה ‪. ρ (r ) = ρ 0 1 + 2 ‬‬
‫‪ d ‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השדה החשמלי בכל אזורי המרחב‬
‫ב‪ .‬חשבו את הפרש הפוטנציאלים בין נקודה הנמצאת במרחק ‪ 3d‬מציר הגליל‬
‫ומחוצה לו ונקודה הגליל במרחק ‪ 2d‬מצירו‪.‬‬
‫ג‪ .‬לכדור קטן שמסתו ‪ m‬הנושא מטען חיובי ‪ +Q‬ניתנת מהירות ‪ υ0‬בנקודה‬
‫‪ , r = 3d‬בכיוון המאונך לפני הגליל‪ .‬לאיזה מרחק מינימאלי מפני הגליל יגיע‬
‫הכדור ?‬
‫) ‪ρ 0 r ( r 2 + 2d 2‬‬
‫‪3 d 2 ρ0‬‬
‫=) ‪. E (r ≥ d‬‬
‫= ) ‪ E ( 0 < r < d‬ועבור‬
‫תשובה‪ :‬א‪ .‬עבור‬
‫‪4ε 0 d 2‬‬
‫‪4ε 0 r‬‬
‫‪ − 2m υ02 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3d 2 ρ0  3 ‬‬
‫‪3d 2 ρ0‬‬
‫‪= d  3e‬‬
‫= ‪ . ∆V‬ג‪− 1 .‬‬
‫ב‪ln   .‬‬
‫‪4ε 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪rmin‬‬
‫חישובי קיבול‬
‫‪ .7‬קבל של טבלות מקבילות )ראה איור ‪ (2‬ממולא בחומר דיאלקטרי שקבועו היחסי‬
‫משתנה עם המרחק בין הלוחות באופן רציף לפי‬
‫הקשר‪y :‬‬
‫‪ε 2 − ε1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ε r ( y ) = ε1 +‬‬
‫‪y‬‬
‫כאשר‬
‫‪ . 0 ≤ y ≤ d‬הנח כי המרחק בין הלוחות הוא ‪, d‬‬
‫‪A‬‬
‫שטחם הוא ‪ A‬ואורכם ‪ . l‬אם ידוע כי הקבל מחובר‬
‫להפרש פוטנציאלים קבוע‪ V0 ,‬חשבו‬
‫‪d‬‬
‫)‪ε r ( y‬‬
‫‪-5‬‬‫א‪ .‬את קיבול הקבל‬
‫ב‪ .‬המטען החופשי על לוחותיו‬
‫ג‪ .‬את השדה החשמלי בין לוחות הקבל‪.‬‬
‫פתרו את התרגיל בשני אופנים‪ .1 :‬באמצעות חוק גאוס בחומר‪ .2 .‬באמצעות פריסת‬
‫הקבל לקבלים דיפרנציאלים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרו ופתרו את התרגיל עבור קבוע‬
‫דיאלקטרי‬
‫המשתנה עם קואורדינאטת ‪ x‬באופן‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ε 2 − ε1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ε 0 (ε 2 − ε1 ) AV0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪d ln‬‬
‫‪ε1‬‬
‫ˆ‪y‬‬
‫ד‪.‬‬
‫) ‪ε 0 A ( ε1 − ε 2‬‬
‫‪+q‬‬
‫)‪p ( x,0‬‬
‫‪x‬‬
‫= ‪cT‬‬
‫‪l‬‬
‫= ‪ . Q = CTV0‬ג‪.‬‬
‫) ‪V0 ( ε 2 − ε1‬‬
‫‪ ε ‬‬
‫‪ε −ε‬‬
‫‪d ln  2  ε1 + 2 1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ ε1  ‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪ε r ( x ) = ε1 +‬‬
‫‪ε 0 (ε 2 − ε1 ) A‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪d ln‬‬
‫‪ε1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫=‬
‫‪Q‬‬
‫‪Aε 0ε r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫= ‪.E‬‬
‫ציור תרגיל ‪8‬‬
‫= ‪.c‬‬
‫‪ .8‬שני תילים מוליכים‪ ,‬ישרים וארוכים מאוד‪ ,‬בעלי רדיוס ‪ R‬ואורך ‪ l‬כל אחד‪,‬‬
‫נושאים מטען חשמלי בצפיפות אחידה‪ .‬התיל השמאלי נושא מטען ‪ + q‬והתיל הימני‬
‫נושא מטען ‪ . − q‬התילים מקבילים זה לזה והמרחק בין צירי האורך שלהם הוא ‪, d‬‬
‫כמתואר באיור ‪ .2‬בין שני התילים קיים ריק‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי בנקודה )‪ p ( x,0‬הנמצאת על ציר ה‪ . x -‬תוכלו להניח‬
‫כי התילים אינסופיים באורכם‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשבו את הפרש הפוטנציאלים בין משטחי שני התילים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הראו כי הקיבול ליחידת אורך של זוג התילים נתון על ידי‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪d−R‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪+‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫= ) ‪ . E p ( x‬ב‪ .‬‬
‫‪πε 0l  R ‬‬
‫) ‪2πε 0l x 2πε 0l( d − x‬‬
‫‪q‬‬
‫‪πε 0‬‬
‫‪d −R‬‬
‫‪ln ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R ‬‬
‫= ‪. ∆V‬‬
‫‪C‬‬
‫=‬
‫‪l‬‬
‫‪-6-‬‬
‫‪ .9‬קבל גלילי בנוי ממוליך גלילי פנימי ארוך בעל רדיוס‬
‫‪ a‬הנתון בתוך חללו של מוליך גלילי חיצוני שרדיוסו‬
‫‪] b‬ראו איור משמאל[‪ .‬התווך בין הגלילים הינו ריק‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫אם נתון כי פוטנציאל המוליך הפנימי הוא ‪V‬‬
‫‪L‬‬
‫ופוטנציאל המוליך החיצוני הוא אפס חשבו את‪:‬‬
‫א‪ .‬צפיפות המטען האורכית )מטען ליחידת אורך( על כל‬
‫אחד ממוליכי הקבל‪.‬‬
‫ב‪ .‬השדה החשמלי במרחק ‪ r‬מציר האורך של המוליך‬
‫איור ‪2‬‬
‫הגלילי הפנימי‪.‬‬
‫ג‪ .‬את קיבול הקבל ליחידת אורך‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬חשבו קודם את הקיבול וממנו את צפיפות המטען באמצעות הגדרת‬
‫הקיבול‪ .‬את השדה החשמלי חשבו באמצעות חוק גאוס‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫‪V‬‬
‫‪2πε 0V‬‬
‫=‬
‫= ‪ . E‬ג‪.‬‬
‫= ‪ . λ‬ב‪rˆ .‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪l‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln  ‬‬
‫‪ln   r‬‬
‫‪ln  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪-7‬‬‫‪ .10‬קבל כדורי מורכב משתי קליפות כדוריות‪ ,‬קונצנטריות‪ ,‬ומוליכות שביניהם חומר‬
‫מבודד‪ .‬נתון קבל כדורי שרדיוס מוליכו הפנימי הוא ‪ R1‬ורדיוס מוליכו החיצוני הוא‬
‫‪. R2‬נפח הקבל ממולא בחומר דיאלקטרי שקבועו גדל ליניארית עם המרחק ממרכז‬
‫המערכת‪ ,‬דהיינו ‪ , ε r ( r ) = B r‬כאשר ‪ B‬הוא פרמטר‪ .‬בין שני הקליפות המוליכות‬
‫מושם הפרש פוטנציאלים קבוע ‪. V0‬‬
‫א‪ .‬חשבו את קיבול הקבל‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את צפיפות המטען על כל אחד מלוחות הקבל‬
‫ג‪ .‬חשבו את השדה החשמלי כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז המערכת‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R2 R1‬‬
‫‪R2 − R1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. C = 8πε 0 B‬‬
‫‪r 2V R2 2 R12 1‬‬
‫‪R2 2‬‬
‫‪R12‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪.E‬‬
‫‪r‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‬
‫‪.‬‬
‫‪σ‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪BV‬‬
‫‪,‬‬
‫‪σ‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪BV‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R2 2 − R12 r 3‬‬
‫‪R2 2 − R12‬‬
‫‪R2 2 − R12‬‬
‫‪) * .11‬בעיית אתגר( )לא נדרש לבחינה(‬
‫‪εr‬‬
‫מוליך גלילי שרדיוסו ‪ R‬נתון במרכזה של קליפה‬
‫‪5R‬‬
‫גלילית שרדיוסה ‪ . 10R‬מסביב למוליך הפנימי קיים‬
‫‪R‬‬
‫מעטה דיאלקטרי גלילי גם כן שעוביו ‪ ] 4 R‬כלומר זהו‬
‫צינור דיאלקטרי ברדיוס ‪ 5 R‬שהגליל הפנימי נתון‬
‫בתוכו[ שקבועו הדיאלקטרי היחסי ‪ . ε r‬ניתן להניח כי כל‬
‫‪10R‬‬
‫הגלילים ארוכים מאוד‪ .‬הראו כי הקיבול ליחידת אורך‬
‫‪C‬‬
‫‪2πε 0‬‬
‫=‬
‫נתון על ידי‪:‬‬
‫‪l ln 2 + ln 5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪εr‬‬
‫זרם והתנגדות‬
‫‪ .12‬מייצרים נגד על ידי עיצובו של חומר בעל התנגדות סגולית קבועה‬
‫‪ ρ‬לצורת גליל חלול שאורכו ‪ l‬ורדיוסיו הפנימי והחיצוני הם ‪ra‬‬
‫‪l‬‬
‫ו‪ rb -‬בהתאמה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשבו את התנגדות הנגד‪ ,‬את הזרם העובר דרכו ואת צפיפות‬
‫הזרם החשמלי‪ ,‬כאשר הפרש פוטנציאלים נתון ‪ ∆V‬מושם‬
‫בין בסיסיו‪ ,‬באופן שהזרם זורם במקביל לציר הסימטריה של‬
‫הגליל‪.‬‬
‫‪ra‬‬
‫‪rb‬‬
‫‪-8‬‬‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כמו בסעיף א' אלא שהפעם הפרש הפוטנציאלים מושם בין המוליך הפנימי‬
‫והחיצוני וידוע כי הזרם זורם רדיאלית‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫חזרו על סעיפים קודמים כאשר‬
‫‪rb‬‬
‫‪∆V‬‬
‫‪i‬‬
‫=‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪lρ π ( rb − ra 2‬‬
‫=‪, j‬‬
‫‪. ρ (r ) = ρ0‬‬
‫) ‪π ∆V ( rb 2 − ra 2‬‬
‫‪ρl‬‬
‫=‪, i‬‬
‫)‬
‫‪ρl‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π ( rb − ra‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∆V‬‬
‫‪ρ  rb ‬‬
‫‪2π l ∆V‬‬
‫‪i‬‬
‫=‬
‫= ‪ln   , i‬‬
‫=‪, j‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ rb ‬‬
‫‪ rb ‬‬
‫‪2π l  ra ‬‬
‫‪2π rl‬‬
‫‪ρ ln  ‬‬
‫‪ρ ln r‬‬
‫‪ ra ‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫‪ ra ‬‬
‫) ‪2π ∆V rb (rb − ra‬‬
‫‪∆V rb‬‬
‫‪i‬‬
‫=‪; j‬‬
‫=‬
‫ג‪(1 .‬‬
‫‪ρ0 l‬‬
‫‪ρ 0l r 2π (rb − ra )r‬‬
‫ד‪.‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫=‪, i‬‬
‫‪ρ0 l‬‬
‫) ‪2π rb (rb − ra‬‬
‫) ‪ρ 0 ( rb − ra‬‬
‫‪i‬‬
‫‪∆V rb‬‬
‫‪2π ∆Vrb l‬‬
‫=‬
‫=‪, i‬‬
‫=‪, j‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪2π l rb‬‬
‫‪2π r l ρ0 ( rb − ra ) r‬‬
‫) ‪ρ 0 ( rb − ra‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫‪ .13‬התווך בין שני כדורים מוליכים קונצנטריים שרדיוסיהם ‪ a‬ו‪ b -‬בהתאמה ממולא‬
‫בחומר בעל התנגדות סגולית קבועה ‪. ρ‬‬
‫‪ρ 1 1‬‬
‫‪ (1‬הראו כי ההתנגדות בין שני הכדורים היא‪ −  :‬‬
‫‪4π  a b ‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫‪ (2‬חשבו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק ממרכז המערכת ‪ r‬והפרש‬
‫‪∆Vab‬‬
‫הפוטנציאלים ‪ ∆V‬בין שני המשטחים הכדוריים‪ .‬תשובה‪:‬‬
‫‪ρ (b − a ) r 2‬‬
‫‪r‬‬
‫חזרו ופתרו את התרגיל עבור מוליכות סגולית‬
‫‪b‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪4π r 2‬‬
‫=‬
‫‪b∆V‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ρ 0r b ln  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. ρ = ρ0‬‬
‫‪ρ0  b ‬‬
‫= ‪ln   ; j‬‬
‫‪4π b  a ‬‬
‫=‪R‬‬
‫=‪.j‬‬
‫‪-9-‬‬
‫‪ .14‬נתון מוליך העשוי מחומר בעל‬
‫התנגדות סגולית ‪ . ρ‬למוליך חתך‬
‫רוחבי שצורתו מלבן בעל עובי ‪a‬‬
‫וחתך אורכי שצורתו טרפז שווה‬
‫שוקיים‪ .‬אורך בסיסי הטרפז הוא‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ b‬ו‪ c -‬בהתאמה וגובהו הוא ‪h‬‬
‫)ראה איור(‪ .‬מחברים את המוליך‬
‫‪V‬‬
‫למתח קבוע ‪ V‬ומזרימים זרם ישר‬
‫בין בסיסיו‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬ההתנגדות הכללית ‪ R‬בכיוון זרימת הזרם‪.‬‬
‫ב‪ .‬צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק ‪ x‬מן הבסיס הקטן‪.‬‬
‫ג‪ .‬את השדה החשמלי כפונקציה של המרחק ‪ x‬מן הבסיס הקטן‪.‬‬
‫)‪r V (c − b‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪V a (c − b‬‬
‫‪ρh‬‬
‫‪c‬‬
‫=‪E‬‬
‫= ‪ . i‬ג‪xˆ .‬‬
‫= ‪ . R‬ב‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ln   .‬‬
‫‪c −b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a (c − b)  b ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪hln   b +‬‬
‫‪ρ h ln  ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫חוק אמפר וכוח הפועל על תיל נושא זרם‬
‫‪ .15‬בצינור ארוך דק דפנות שרדיוסו החיצוני הוא‬
‫‪p‬‬
‫‪ R‬זורם זרם ‪ i0‬המפולג בצורה אחידה‪ .‬כיוון‬
‫הזרם בצינור הוא אל תוך הדף‪ .‬במרחק ‪3R‬‬
‫ממרכז הצינור מוצב תיל הנושא זרם חשמלי ‪i‬‬
‫במקביל לציר הצינור ובאותו הכיוון )ראה איור‬
‫‪.(3‬‬
‫א‪ .‬חשב את השדה המגנטי במרכז הצינור‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫איור ‪3‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השדה המגנטי בנקודה ‪p‬‬
‫הנמצאת במרחק ‪ 2R‬ממרכז הצינור‬
‫ג‪ .‬מה צריך להיות היחס בין הזרמים ‪ i‬ו‪ i0 -‬על מנת שעצמת השדה המגנטי‬
‫השקול בנקודה ‪ p‬תהיה שווה לזו שבמרכז הצינור אך הפוכה לו במגמה ?‬
‫‪3‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪µ i i‬‬
‫‪‬‬
‫תשובה א‪. BA = 0 .‬ב‪. B p = 0  0 − i  .‬ג‪. i = i0 .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6π R‬‬
‫‪2π R  2 ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪-10-‬‬
‫‪ .16‬כבל קואקסיאלי מורכב במוליך פנימי גלילי בעל רדיוס ‪ R1‬הנתון‬
‫‪R2‬‬
‫בתוך מוליך חיצוני בצורת צינור שרדיוסיו הפנימי והחיצוני הם ‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫ו‪ . R3 -‬הזרם ‪ I‬זורם במוליך הפנימי בכיוון אחד וחוזר במוליך‬
‫‪R3‬‬
‫הצינורי בכיוון ההפוך‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בכל אזורי המרחב‪.‬‬
‫הניחו כי צפיפות הזרם אחידה בכל מקום‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪µ 0i‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪r , B( R1 ≤ r < R2 ) = 0 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π R1‬‬
‫‪2π r‬‬
‫= ) ‪B(r < R1‬‬
‫‪µ i  2R 2 − R 2 − r 2 ‬‬
‫‪B(r ≥ R3 ) = 0, B( R2 ≤ r < R3 ) = 0  2 2 1 2 ‬‬
‫‪2π r  R2 − R1‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫‪ .17‬במוליך גלילי אינסופי באורכו בעל רדיוס ‪ R0‬זורם זרם ‪, I‬‬
‫בצפיפות זרם לא אחידה המשתנה עם המרחק מציר הגליל בהתאם‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫לפונקציה‪ :‬‬
‫‪j (r ) = j 0 1 −‬‬
‫‪ R0 ‬‬
‫‪R0‬‬
‫]ראו איור[‪ j0 .‬הינו קבוע מספרי ו ‪ r -‬הוא המרחק מציר הגליל‪.‬‬
‫א( הביעו את ‪ j 0‬באמצעות ‪ I‬ו‪ 8) R0 -‬נקודות(‪.‬‬
‫ב( חשבו את השדה המגנטי בתוך המוליך הגלילי ) ‪ 9) ( r < R0‬נקודות(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪j = j0 1 − ‬‬
‫‪ R0 ‬‬
‫ג( חשב את השדה המגנטי מחוץ למוליך הגלילי ) ‪ 8) ( r ≥ R0‬נקודות(‪.‬‬
‫‪3µ0 I  1‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪3I‬‬
‫‪−‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫= ‪ . j0‬ב‪ r .‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪π R0 2‬‬
‫‪π R0  2 3R0 ‬‬
‫‪µ0 i‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2π r‬‬
‫= ) ‪B ( r ≥ R0‬‬
‫= ) ‪. B ( 0 ≤ r < R0‬‬
‫‪I‬‬
‫‪-11‬‬‫‪ .18‬תיל אינסופי באורכו הנושא זרם חשמלי ‪ I1‬מוקף בחלקו על ידי לולאת‬
‫תיל סגורה הנושאת זרם חשמלי ‪ , I 2‬כמתואר באיור ‪ .5‬הלולאה‬
‫מורכבת משני תילים ישרים בעלי אורך ‪ L‬כל אחד‪ ,‬המקבילים לתיל‬
‫‪R‬‬
‫האינסופי‪ ,‬ומשני חצאי מעגל שרדיוסם ‪ R‬המונחים במישור הניצב‬
‫למישור הדף ]המישור המאונך למישור המכיל את התיל האינסופי ואת‬
‫‪I1‬‬
‫‪L‬‬
‫שני הקטעים הישרים המרכיבים את הלולאה[‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪I2‬‬
‫חשבו את גודלו של השדה המגנטי שיוצר התיל האינסופי‬
‫במיקומם של התילים החצי מעגליים‪ .‬מהו כיוונו של שדה‬
‫מגנטי זה ?‬
‫ב‪.‬‬
‫חשבו את גודלו של הכוח שמפעיל התיל האינסופי על כל אחד‬
‫מהתילים החצי מעגליים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשבו את גודלו של הכוח השקול שמפעיל התיל האינסופי על‬
‫הלולאה הסגורה(‪.‬‬
‫‪µ0 I1‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪µ0 I1 I 2‬‬
‫ג‪L .‬‬
‫‪πR‬‬
‫= ‪ B‬בכיוון המשיק למעגל‪ .‬ב‪. FB = 0 .‬‬
‫= ‪. ΣF = F1 + F2‬‬
‫‪ .19‬תיל אינסופי באורכו הנושא זרם ‪ I1‬מונח לאורך ציר ה ‪. y -‬‬
‫במרחק ‪ a‬מימין לו מוצבת מסגרת מלבנית שממדיה הם ‪b × c‬‬
‫הנושאת זרם ‪ I 2‬במגמה המתוארת בציור‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשבו את הכוח הפועל על כל צלע של המסגרת‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשבו את הכוח השקול הפועל על המסגרת‪.‬‬
‫ˆ ‪µ0 I1I 2  b ‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ .‬צלעות אופקיות‪ln 1 +  j :‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ a‬‬
‫ˆ ‪µ0 I1I 2 c‬‬
‫ˆ ‪µII c‬‬
‫‪i ; F2 = 0 1 2‬‬
‫צלעות אנכיות‪i :‬‬
‫‪2π a‬‬
‫‪2π a + b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪I2‬‬
‫‪I1‬‬
‫‪.F =±‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. F1 = −‬‬
‫‪ .20‬תיל מוליך כופף לצורת לולאה סגורה המורכבת משני חצאי מעגל‬
‫שרדיוסם ‪ a‬ו‪ b -‬המחוברים ביניהם על ידי שני מקטעי תיל‬
‫ישרים‪ ,‬כמתואר באיור שמשמאל‪ .‬ידוע כי הלולאה נושאת זרם‬
‫‪r‬‬
‫חשמלי ‪ I‬והיא מוצבת בשדה מגנטי אחיד ‪ B‬הנכנס למישור‬
‫הדף‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את הכוח המגנטי הפועל על הקטעים הישרים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הכוח המגנטי השקול הפועל על הקטעים החצי מעגלים‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪-12‬‬‫ג‪ .‬חשבו את הכוח השקול הפועל על הלולאה‪.‬‬
‫ד‪ .‬נניח כי במקום לולאת הזרם הנתונה הייתה מוצבת בשדה מגנטי אחיד לולאת‬
‫זרם סגורה אחרת בעלת צורה כלשהיא‪ .‬מה היה הכוח המגנטי הפועל עליה‬
‫במקרה זה ?‬
‫‪r r‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . F1 = F2 = IB ( b − a ) ˆj .‬ב‪ . F = −2 IB ( b − a ) ˆj .‬ג‪ .‬אפס‪ .‬ד‪ .‬הכוח‬
‫הפועל על לולאת זרם סגורה בעלת צורה כלשהיא המוצבת בשדה מגנטי אחיד תמיד‬
‫אפס‪.‬‬
‫חוק ביו‪-‬סבר‬
‫‪ .21‬תיל ישר נגזר לצורת שני מקטעים חצי מעגליים שרדיוסם‬
‫‪ R‬שבהמשכם תילים ישרים באורך ‪ . L‬המקטעים נושאים‬
‫‪R‬‬
‫‪i‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫זרמים חשמליים ‪ i‬במגמה המתוארת בציור‪.‬‬
‫מהו השדה המגנטי במרכז המעגל שנוצר ? נמק את תשובתך! )‪ 25‬נקודות(‬
‫תשובה‪ :‬אפס‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ .22‬בתיל שאורכו ‪ L‬זורם זרם חשמלי ‪I‬‬
‫א‪ .‬מהו השדה המגנטי )גודל וכיוון(‪ ,‬שהזרם הנ"ל יוצר בנקודה ‪ , p‬הנמצאת בגובה‬
‫‪ y‬על האנך האמצעי לתיל ?‬
‫ב‪ .‬הוכח שהתוצאה של סעיף קודם אכן נותנת את הביטוי הידוע עבור השדה‬
‫המגנטי של תיל אינסופי באורכו‬
‫‪y‬‬
‫‪p‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪L‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪µ0iL‬‬
‫‪4π y y + L / 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪.B‬‬
‫‪i‬‬
‫‪z‬‬
‫‪-13‬‬‫‪ .23‬פס מתכת ישר וארוך מאוד שרוחבו‬
‫‪ w‬מונח במישור ‪ x − y‬ונושא זרם‬
‫חשמלי כללי‬
‫‪I‬‬
‫‪w‬‬
‫המפולג בצורה‬
‫אחידה בכיוון אורכו‪ .‬חשבו את‬
‫השדה המגנטי בנקודה ‪ p‬הנמצאת‬
‫‪I‬‬
‫במישור הפס ובמרחק ‪ b‬ממנו‪.‬‬
‫‪µ0 I  w ‬‬
‫תשובה‪ln 1 +  :‬‬
‫‪2π w  b ‬‬
‫= ‪.B‬‬
‫הדרכה‪ :‬התייחסו לפס כאל אוסף‬
‫של תילים אינסופיים שעוביים ‪dy‬‬
‫‪I‬‬
‫והם נושאים זרם ‪dy‬‬
‫‪w‬‬
‫‪p‬‬
‫‪b‬‬
‫‪y‬‬
‫= ‪. dI‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .24‬מקטע התיל המופיע באיור שמשמאל מורכב משני קטעים‬
‫ישרים המחוברים בניהם על ידי קשת של רבע מעגל‬
‫שרדיוסו ‪ . R = 3cm‬המשך הקטעים הישרים הוא במרכז‬
‫רבע המעגל‪ .‬התיל נושא זרם חשמלי ‪ I = 3 A‬במגמה‬
‫המתוארת באיור‪ .‬חשבו את השדה המגנטי הנוצר במרכז‬
‫רבע המעגל‪.‬‬
‫תשובה‪ B = 26 µT :‬במגמה לתוך הדף‪.‬‬