לוגרית 9 רפמא קוח

‫‪http://physweb.bgu.ac.il/WebTex/TMP/tmp.php‬‬
‫תירגול ‪9‬‬
‫‪CONTRIBUTIONS/e_45_2_108.html‬‬
‫חוק אמפר‬
‫זרם אחיד ‪ i0‬בכיוון הנכנס לדף זורם בגליל חלול בעל רדיוס חיצוני ‪ .R‬תיל מקביל לגליל נמצא במרחק ‪ 3R‬ממרכזו‪.‬‬
‫חשב את גודל וכיוון הזרם שצריך להיות בתיל על מנת שהשדה בנקודה ‪ P‬יהיה לו אותו גודל וכיוון הפוך לשדה‬
‫במרכז הגליל‪.‬‬
‫‪CONTRIBUTIONS/e_45_2_110.html‬‬
‫דיסקה מסתובבת‬
‫דיסקה דקה בעלת רדיוס ‪ R‬טעונה באופן אחיד על כל משטחה במטען ‪ .q‬אם הדיסקה מסתובבת בתדירות‬
‫סביב צירה‪ ,‬הראה כי‪:‬‬
‫א( השדה המגנטי במרכז הדיסקה הוא‪:‬‬
‫ב( המומנט המגנטי של הדיסקה הוא‪:‬‬
‫‪CONTRIBUTIONS/e_45_4_094.html‬‬
‫שדה מגנטי‬
‫נתון תיל בתצורה המתוארת באיור‪ .‬הקטעים המעוגלים הם קשתות קוצנטריות בעלות רדיוסים ‪ R1‬ו‪ .R2-‬חשב‪/‬י‬
‫את השדה בנקודה ‪ P‬כאשר נתון כי‬
‫‪18/12/2006 13:04‬‬
‫‪1 of 1‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫זרם אחיד ‪ i0‬בכיוון הנכנס לדף זורם בגליל חלול בעל רדיוס חיצוני ‪ .R‬תיל מקביל לגליל נמצא במרחק ‪3R‬‬
‫ממרכזו‪ .‬חשב את גודל וכיוון הזרם שצריך להיות בתיל על מנת שהשדה בנקודה ‪ P‬יהיה לו אותו גודל וכיוון‬
‫הפוך לשדה במרכז הגליל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫על פי עיקרון הסופרפוזיציה‪ ,‬השדה בכל נקודה מורכב מהשדה של הגליל פלוס השדה של התיל‪ .‬נתחיל‬
‫בחישוב השדה של התיל‪ .‬על פי חוק אמפר‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪∫ B ⋅ dl = µ o i‬‬
‫‪r‬‬
‫כשהאינטגרל הוא על איזושהי לולאה דמיונית סגורה )לולאת אמפר(‪ dl ,‬הוא וקטור דיפרנציאלי משיק‬
‫ללולאה הדימיונית‪ ,‬ו‪ i -‬הוא הזרם שעובר דרך המשטח הסגור בתוך הלולאה‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫עבור תיל אינסופי ניקח לולאת אמפר מעגלית ברדיוס ‪ r‬כמתואר בציור‪ .‬השדה ‪B‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫משיק ללולאה‪ ,‬וגם ‪ ; dl‬לכן‪ . B ⋅ dl = B ⋅ dl ⋅ cos 0° = Bdl :‬מצד שני‪,‬‬
‫משיקולי סימטריה‪ ,‬השדה המגנטי קבוע על כל הלולאה )אין שום סיבה שתהיה‬
‫תלות בזווית( ולכן ניתן להוציא אותו מהאינטגרל‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪µ o iwire‬‬
‫‪∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = B ⋅ 2πr =µo iwire ⇒ B = 2π r‬‬
‫כש‪ iwire -‬הוא הזרם שזורם בתיל )כל הזרם עובר בתוך המשטח הסגור ע"י לולאת‬
‫אמפר(‪ ,‬ו‪ r -‬הוא המרחק מהתיל‪.‬‬
‫נחשב עכשיו את השדה של הגליל בתוכו ומחוצה לו‪ .‬ניקח קודם כל לולאת אמפר בתוך הגליל‪:‬‬
‫על פי חוק אמפר‪:‬‬
‫‪B=0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dl‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪⊗ i0‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B dl‬‬
‫‪r‬‬
‫‪B‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪B‬‬
‫⇒ ‪∫ ⋅ dl = ∫ Bdl cos 0° = B ∫ dl = B ⋅ 2πr =µo 0‬‬
‫הזרם הכלול בתוך לולאת אמפר הוא אפס מכיוון שלקחנו לולאה בתוך הגליל‪,‬‬
‫והגליל חלול; כל הזרם זורם בין הרדיוס החיצוני והפנימי של הגליל‪ .‬לכן השדה‬
‫של בגליל בתוכו )ובפרט במרכז( שווה לאפס‪ .‬התרומה היחידה לשדה בנקודה זו‬
‫תבוא רק מהתיל‪.‬‬
‫ניקח עכשיו לולאת אמפר מחוץ לגליל‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl cos 0° = B ∫ dl = B ⋅ 2πr =µo i0 ⇒ B = 2πo r0‬‬
‫הפעם כל הזרם שזורם בגליל כלול בתוך לולאת אמפר‪ .‬קיבלנו שמחוץ לגליל השדה‬
‫שווה לשדה של תיל אינסופי‪.‬‬
‫עכשיו נפתור את התרגיל‪ .‬במרכז הגליל‪ ,‬כפי שאמרנו‪ ,‬התרומה היחידה לשדה באה‬
‫מהתיל‪ .‬המרחק בין בתיל למרכז הגליל הוא ‪ ,3R‬לכן השדה במרכז הגליל הוא‪:‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪BCenter = 0 wire = 0 wire‬‬
‫‪2π (3R ) 6πR‬‬
‫אם הזרם בתיל יוצא מהדף‪ ,‬כיוון השדה ‪ Bcenter‬יהיה כלפי מעלה‪ .‬אבל אם זה כך‪ ,‬שתי‬
‫̂‪z‬‬
‫התרומות לשדה בנקודה ‪) P‬מהגליל ומהתיל( גם יהיו כלפי מעלה ולכן השדה בנקודה‬
‫‪r‬‬
‫‪ P‬לא יהיה בכיוון הפוך לשדה במרכז הגליל‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אם הזרם בתיל נכנס לדף‬
‫‪BCilinder‬‬
‫)כמו בציור( הכיוון של ‪ Bcenter‬יהיה כלפי מטה‪ ,‬התרומה של התיל בנקודה ‪ P‬גם תהיה‬
‫כלפי מטה‪ ,‬אבל התרומה של הגליל כלפי מעלה‪ .‬לכן רק אם הזרם ‪ iwire‬נכנס לדף יש‬
‫‪⊗ i wire‬‬
‫סיכוי שבנקודה ‪ P‬השדה יהיה בכיוון הפוך לשדה במרכז הגליל‪ ⇐ .‬הכיוון של ‪BCenter‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪BWire‬‬
‫‪µ 0 i wire‬‬
‫‪BCenter = −‬‬
‫הוא כלפי מטה‪zˆ :‬‬
‫‪6πR‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪µ i‬‬
‫צריך למצוא את הזרם ‪ iwire‬כדי שהשדה בקודה ‪ P‬יהיה שווה ל‪ . B P = − BCenter = + 0 wire zˆ -‬השדה‬
‫‪6πR‬‬
‫בנקודה זו מורכב מהתרומה מהגליל )כלפי מעלה( ושל התיל )כלפי מטה(‪:‬‬
‫‪µ 0 i0‬‬
‫‪µ 0iwire‬‬
‫‪µ 0 iwire‬‬
‫‪µ 0iwire µ 0 iwire 2 µ 0iwire µ 0i0‬‬
‫= ‪BP‬‬
‫‪−‬‬
‫‪=+‬‬
‫⇒‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2π (2 R ) 2πR‬‬
‫‪6πR‬‬
‫‪2πR‬‬
‫‪6πR‬‬
‫‪3 πR‬‬
‫‪4πR‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⇒ i wire = i0‬‬
‫‪8‬‬
‫הכיוון של הזרם הוא נכנס לדף‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪BCenter‬‬
‫‪⊗ i0‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪dA = r dϕ dr‬‬
‫א(‬
‫הדיסקה מורכבת מהרבה מעגלים אינפיניטסימאליים בעלי עובי ‪ dr‬ורדיוס ‪r‬‬
‫)שמשתנה בין ‪ 0‬ל‪ .(R -‬הדיסקה טעונה והיא מסתובבת‪ ,‬לכן בכל מעגל כזה זורם‬
‫‪dϕ r‬‬
‫זרם ‪) di‬כי חלקיקים טעונים שנעים מהווים זרם חשמלי(‪ .‬הזרם של כל מעגל‬
‫‪dr‬‬
‫‪dq‬‬
‫= ‪ dq . di‬הוא המטען שנמצא בתוך דיפרנציאל של המעגל‪ ,‬והוא שווה‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dt‬‬
‫לצפיפות המטען ליחידת שטח‪ ,‬כפול השטח הדיפרנציאלי ‪:dA‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫= =‪σ‬‬
‫‪dq = σ dA‬‬
‫= ‪dA = r dϕ dr ⇒ dq‬‬
‫‪r dϕ dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π R2‬‬
‫‪A πR‬‬
‫‪q‬‬
‫‪r dϕ dr‬‬
‫‪dq π R 2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪dϕ‬‬
‫= ‪⇒ di‬‬
‫=‬
‫=‬
‫⋅ ‪r dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dϕ‬‬
‫אבל‬
‫‪dt‬‬
‫זוהי בדיוק המהירות הזוויתית ‪ . ω‬לכן‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪r dr ω‬‬
‫‪π R2‬‬
‫= ‪di‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫השדה המגנטי של מעגל בעל רדיוס ‪ r‬שזורם בו זרם ‪ I‬במרכז המעגל הוא‬
‫‪2r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪µ 0 ids × r‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪µi‬‬
‫‪r‬‬
‫∫ = ‪ ,( B = ∫ dB‬לכן השדה של כל מעגל דיפרנציאלי‬
‫‪= 0 2 ∫ ds = 0 2 2πR = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4πr‬‬
‫‪4πR‬‬
‫‪4πR‬‬
‫‪2R‬‬
‫= ‪) B‬לפי חוק ביו‪-‬סבר‬
‫הוא )בכיוון יוצא מהדף אם הדיסקה מסתובבת נגד כיוון השעון(‪:‬‬
‫‪µ 0 di µ 0 q ω‬‬
‫‪µ qω‬‬
‫=‬
‫‪rdr = 0 2 dr‬‬
‫‪2r‬‬
‫‪2r π R 2‬‬
‫‪2π R‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫כדי לקבל את סה"כ השדה במרכז הדיסקה‪ ,‬צריך לחשב אינטגרל על כל המעגלים הדיפרנציאלים‪:‬‬
‫‪µ qω R‬‬
‫‪µ qω R µ qω‬‬
‫‪B = 0 2 ∫ dr = 0 2 r 0 = 0‬‬
‫‪2π R 0‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪2π R‬‬
‫‪r‬‬
‫כמובן‪ ,‬הכיוון של השדה הוא )על פי חוק יד ימין( יוצא מהדף כי כל שדה ‪ dB‬יוצא מהדף‪.‬‬
‫ב( המומנט המגנטי של לולאה מעגלית עם זרם ‪ di‬הוא‪:‬‬
‫‪dµ = NdiA = N di π r‬‬
‫‪ N‬הוא מספר הכריכות ובמקרה זה הוא שווה לאחד לכל מעגל‪ .‬כדי לקבל את סה"כ המומנט המגנטי של כל‬
‫הדיסקה נחשב את האינטגרל על כל המעגלים‪:‬‬
‫‪µ = ∫ dµ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪qω R 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫=‬
‫‪qω‬‬
‫‪qω‬‬
‫‪qω r 4‬‬
‫‪dµ = π r‬‬
‫‪r dr ⇒ µ = 2 ∫ r 3 dr = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πR‬‬
‫‪R 0‬‬
‫‪R 4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫הכוון של ‪ µ‬הוא תמיד מאונך למשטח המעגל ולפי יד ימין הוא בכיוון המסומן בציור‪) .‬בציור הראשון הוא‬
‫יהיה בכיוון היוצא מהדף(‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫נחשב את השדה המגנטי בעזרת חוק ביו סבר‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r µ0 I dL × rr‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫⋅‬
‫‪4π‬‬
‫‪r3‬‬
‫לשני המוליכים הישרים שמחברים את הקשתות האבר בחוק ביו סבר של‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ dL || r → dL × r = 0 dL × r‬מקיים כאשר ‪ r‬הוא המרחק לנקודה ‪.P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dL‬‬
‫‪P r P‬‬
‫‪r‬‬
‫‪PR , R‬‬
‫לכן התרומה היחידה תהיה משתי הקשתות ברדיוסים ‪ . 1 2‬נקבע כיוון חיובי לתוך הדף‪ ,‬ונחשב שדה מגנטי‬
‫של טבעת ברדיוס ‪ R‬בזוית פתיחה של ‪ θ‬ע"י חלוקת הקשת למקטעים קטנים שהשדה שכל מקטע קטן יוצר‬
‫נתון לפי חוק ביו‪-‬סוור‪.‬‬
‫‪dL‬‬
‫‪R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r =R‬‬
‫‪dL‬‬
‫ניצב לרדיוס )גיאומטריה( לכן‪:‬‬
‫ואלמנט הזרם שאורכו‬
‫מכוון שהקשת ברדיוס קבוע‬
‫)‪r µ0 I dL ⋅ R ⋅ sin (90‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫⋅‬
‫‪4π‬‬
‫‪R3‬‬
‫לפי הביטוי של אורך קשת‪:‬‬
‫‪µ 0 I R ⋅ dθ‬‬
‫= ‪dB‬‬
‫⋅‬
‫‪4π‬‬
‫‪R2‬‬
‫סכומים על כל תחום הזוויות ומקבלים את ‪B‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪µ I dθ µ 0 I θ‬‬
‫∫ ‪B= 0‬‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪4π 0 R 4π R‬‬
‫לכן למערכת שבבעיה השדה המגנטי הוא‪:‬‬
‫‪µ0 I  1 1 ‬‬
‫= ‪B = B2 − B1‬‬
‫‪θ − ‬‬
‫‪4π  R2 R1 ‬‬
‫הסיבה שמחסירים את ‪ B2 − B1‬היא כי כיווני הזרמים הפוכים בשתי הקשתות‪.‬‬
‫‪µ I  R − R2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪B = 0 θ  1‬‬
‫‪4π  R1 ⋅ R2 ‬‬
‫נציב מספרים‪:‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪4π ⋅ 10 3.6 2π  0.45 − 0.17 ‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ = 2.75µT = 0.0275G‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪3  0.45 ⋅ 0.17 ‬‬