ליגרת הרבעהו הרזחה 4

‫תרגיל ‪ - 4‬החזרה והעברה‬
‫‪e_63_1_010‬‬
‫מיתר קשור לקפיץ‬
‫מחובר לקפיץ חסר מסה‬
‫‪ ,‬מתוח במתיחות ‪ T‬בחלק השלילי של ציר ‪ .x‬קצהו ב‪-‬‬
‫מיתר חצי אינסופי שצפיפותו האורכית היא‬
‫‪.‬‬
‫באורך ‪ a‬וקצהו השני קבוע ב‪-‬‬
‫בא משמאל‪.‬‬
‫גל הרמוני במשרעת ‪ A‬ותדירות זוויתית‬
‫‪ .1‬מהם תנאי השפה?‬
‫‪ .2‬חשב את המשרעת של הגל החוזר )כולל פאזה(‪.‬‬
‫? האם היא תלויה בזמן?‬
‫‪ .3‬מהי זווית השיפוע של המיתר ב‪-‬‬
‫‪e_63_1_011‬‬
‫מקדם ההחזרה‬
‫לטבעת חסרת מסה‪ ,‬החופשית להחליק ללא חיכוך על מוט אנכי‪ .‬המתיחות‬
‫בהתאמה‪ .‬מצא את מקדם ההחזרה לגל הבא משמאל‪.‬‬
‫ו‪-‬‬
‫שני מיתרים חצי אינסופיים מחוברים בנקודה‬
‫והצפיפות של המיתר השמאלי והימני הם‬
‫‪e_63_1_012‬‬
‫מיתר קשור לקפיץ‬
‫‪ ,‬מתקדם גל הרמוני הבא משמאל‪ .‬בנקודה‬
‫במיתר אינסופי שמתיחותו ‪ T‬וצפיפותו האורכית‬
‫מסה ובעל קבוע ‪.k‬‬
‫חשב את האמפליטודות והפאזות של הגל החוזר ושל הגל העובר‪.‬‬
‫המיתר מחובר לקפיץ ניצב חסר‬
‫‪e_63_1_013‬‬
‫שלושה מיתרים מחוברים‬
‫‪ .‬מתיחותם היא ‪ T‬וצפיפותם‬
‫שלושה מיתרים מחוברים בניהם בנקודות‬
‫אינסופיים‪.‬‬
‫ואמפליטודה ‪ A‬מגיע משמאל‪.‬‬
‫גל הרמוני בתדירות זוויתית‬
‫נתון שבמיתר הראשון אין גל חוזר‪.‬‬
‫‪ .1‬מהם תנאי השפה ב‪-‬‬
‫‪ .2‬הוכח שמתקיים‬
‫וב‪-‬‬
‫‪ ,‬כאשר המיתרים ‪ 1,3‬הם חצי‬
‫?‬
‫באשר‬
‫הם מספרי הגל המתאימים‪.‬‬
‫שמאפשרים את המצב הנתון )ללא גל חוזר(‪ .‬שים לב שיש שתי אפשרויות‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את הקשרים בין הצפיפויות‬
‫‪ .4‬מה צריך להיות האורך של המיתר האמצעי בכל אחד מהמקרים האלה?‬
e_63_4_125
‫גלים על פני המים ושקט של שמים‬
.
‫ נתון כי מהירות‬.‫ פוגע בניצב בפני אגם‬,(
‫ נתון‬,‫עבור גלי קול‬
) STP ‫גל קול העובר באוויר בתנאי‬
. ‫ צפיפות המים היא טון למ"ק‬,‫ מטר לשנייה‬1400 ‫הקול במים היא‬
.‫י איזה אחוז מהספק גל הקול מוחזר לאוויר‬/‫י את מקדם ההעברה וההחזרה וחשב‬/‫א( מצא‬
.‫י איזה אחוז מהספק גל הקול מועבר לאוויר כאשר הגל הפוגע מגיע לפני האגם מתוך המים‬/‫י את מקדם ההעברה וההחזרה וחשב‬/‫ב( מצא‬
? ‫ג( מדוע כאשר שוחים מתחת לפני המים בבריכה לא שומעים קולות המגיעים מעל פני השטח‬
e_63_1_019
Nonreflecting coating
A glass lens has been coated with a nonreflecting coating that is one quater-wavelength in thickness in the
coating for light of vacuum wavelength
. The index of refraction of the coating is
; that of the glass is n.
Take the index of refraction to be constant, independent of the frequency, over the visible frequency spectrum.
Let
denote the time-averaged reflected intensity and
the incident intensity, for light at normal
incidence. Show that the fractional reflected intensity has the following dependence on the wavelength of the
incident light:
where
is the vacuum wavelength of the incident light. Take n=1.5 for glass. Suppose
light). Then
is zero for green. What is
for blue light of vacuum wavelength
What is it for the red light of vacuum wavelength
?
(green
?
e_63_1_010
0 = −T
d
dx
ψ i = Ai e iωt e −ikx
ψ r = Ar eiωt e + ikx
‫הגל הפוגע הוא‬
ik (− Ai + Ar ) + ( Ai + Ar ) / a = 0
‫מהצבה בתנאי השפה מתקבל‬
(1 − ika ) A = eiφ A
− 1 + ika
Ai = −
i
i
2
1 + ika
1 + (ka )
‫ולכן משראת הגל החוזר היא‬
.‫א‬
‫הגל החוזר הוא‬
(ψ i + ψ r ) − T (ψ i + ψ r ) / a ‫ הנובע משימור כוחות הוא‬x = 0 ‫תנאי השפה ב‬
.‫ב‬
2
Ar =
sin φ =
2ka
1 + (ka )
2
‫כאשר‬
φ
ψ ( x, t ) = Ai e iωt (e −ikx + eiφ e ikx ) = Ai e 2 e iωt cos(kx + φ / 2) ‫פונקצית הגל במיתר היא‬
i
d
dx
φ

i  ωt + 
2
ψ (0, t ) = −kAi e 
sin (φ / 2 )
‫ הוא‬x = 0 ‫והשיפוע ב‬
.‫ג‬
‫‪e_63_1_011‬‬
‫‪ψ i = Ai eiωt e −ik x‬‬
‫‪ψ r = Ar e iωt e + ik x‬‬
‫‪ψ t = At e iωt e −ik x‬‬
‫הגל הפוגע במיתר ‪ 1‬הוא‬
‫‪1‬‬
‫הגל החוזר במיתר ‪ 1‬הוא‬
‫הגל העובר במיתר ‪ 2‬הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ψ i + ψ r = ψ t ⇒ Ai + Ar = At‬‬
‫תנאי הרציפות ב ‪ x = 0‬הוא‬
‫ומשוויון כוחות ‪0 = −T1 dxd (ψ i + ψ r ) + T2 dxd ψ t ⇒ −ik1T1 (− Ai + Ar ) − ik 2T2 At = 0‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪ω‬‬
‫= ‪ k‬ואת תנאי הרציפות‬
‫נציב את היחס ‪ω ⇒ kT = µT ω‬‬
‫‪v‬‬
‫‪T‬‬
‫ונקבל‬
‫‪− i µ1T1 (− Ai + Ar ) − i µ 2T2 ( Ai + Ar ) = 0‬‬
‫ומכאן נקבל את יחס ההחזרה‬
‫=‬
‫‪µ1T1 − µ 2T2‬‬
‫‪µ1T1 + µ 2T2‬‬
‫‪Ar‬‬
‫=‬
‫‪Ai‬‬
‫=‪R‬‬
e_63_1_012
ψ i = Ai e iωt e −ikx
ψ r = Ar e iωt e + ikx
ψ t = At e iωt e − ikx
‫ הוא‬1 ‫הגל הפוגע במיתר‬
‫ הוא‬1 ‫הגל החוזר במיתר‬
‫ הוא‬2 ‫הגל העובר במיתר‬
ψ i + ψ r = ψ t ⇒ Ai + Ar = At
‫ הוא‬x = 0 ‫תנאי הרציפות ב‬
0 = −T1 dxd (ψ i + ψ r ) + T2 dxd ψ t − Kψ t ⇒ ikT ( Ai − Ar − At ) − KAt = 0 ‫ומשוויון כוחות‬
Ar =
(
‫ומכאן נקבל‬
)
− K K − 2i µT ω
K
Ai =
Ai =
− K − 2ikT
K 2 + 4 µT ω 2
K
K + 4 µT ω
2
tan φ r = −
(
e iφr Ai
2 µT ω
K
)
2i µT ω K − 2i µT ω
K


+ 1 Ai =
At = 
Ai =
K 2 + 4 µTω 2
 − K − 2ikT

tan φt =
2
K
2 µT ω
2 µT ω
K + 4 µT ω
2
2
e iφt Ai
‫‪e_63_1_013‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ψ i = Ai eiωt e −ik x‬‬
‫‪ψ t = At e iωt e −ik x‬‬
‫‪ψ b = Ab eiωt eik x‬‬
‫‪ψ f = A f e iωt e −ik x‬‬
‫הגל הפוגע במיתר ‪ 1‬הוא‬
‫‪1‬‬
‫הגל העובר במיתר ‪ 2‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫הגל החוזר במיתר ‪ 2‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫הגל הסופי במיתר ‪ 3‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫תנאי שפה ב ‪: x = 0‬‬
‫‪ψ i = ψ t + ψ b ⇒ Ai = At + Ab‬‬
‫‪0 = −T ψ i + T dxd (ψ t + ψ b ) ⇒ ik1 Ai + ik 2 (− At + Ab ) = 0‬‬
‫‪ψ t + ψ b = ψ f ⇒ At e − ik a + Ab e ik a = A f e −ik a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dx‬‬
‫תנאי שפה ב ‪: x = a‬‬
‫‪3‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪⇒ ik 2 At e − ik2a − Ab e ik2a − ik3 A f e − ik3a = 0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מתנאי שפה ב ‪ x = 0‬מקבלים‬
‫‪(ψ t + ψ b ) + T dxd ψ f‬‬
‫‪k 2 + k1‬‬
‫‪Ai‬‬
‫‪2k 2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪0 = −T‬‬
‫= ‪At‬‬
‫‪k −k‬‬
‫‪Ab = 2 1 Ai‬‬
‫‪2k 2‬‬
‫‪k −k‬‬
‫‪A f = 2 1 e i ( k3 +k2 )a Ai‬‬
‫‪k 2 − k3‬‬
‫ומהצבתם בתנאי השפה ב ‪: x = a‬‬
‫‪k 2 + k1 i (k3 −k2 )a‬‬
‫= ‪Af‬‬
‫‪e‬‬
‫‪Ai‬‬
‫‪k 2 + k3‬‬
‫‪(k 2 − k1 )(k 2 + k3 ) = e −2iak2‬‬
‫השוואת הביטויים נותנת‬
‫) ‪(k 2 − k3 )(k 2 + k1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אגף שמאל של הביטוי שקיבלנו הוא ממשי ולכן כדי שהשוויון יתקיים צריך לדרוש‬
‫‪sin 2k 2 a = 0 ⇒ 2k 2 a = nπ ⇒ cos 2k 2 a = ±1‬‬
‫מהאפשרות הראשונה )‪ (+ 1‬מקבלים ‪ k1 = k3‬ומכאן ‪µ1 = µ 3‬‬
‫מהאפשרות השניה )‪ (− 1‬מקבלים ‪ k 2 2 = k1k3‬ומכאן ‪µ 2 2 = µ1µ 3‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪λ2 n‬‬
‫במקרה הראשון )‪ (+ 1‬אורך המיתר המרכזי הוא‬
‫במקרה השני )‪ (− 1‬אורך המיתר המרכזי הוא‬
‫‪2‬‬
‫)‪λ2 (2n − 1‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪k 2 a = nπ ⇒ a‬‬
‫= ‪k 2 a = (n − 12 )π ⇒ a‬‬
‫נמצא את העקבה מתוך ההגדרה של מהירות הפאזה‪:‬‬
‫‪γP‬‬
‫‪⇒ Z = ρ ⋅ γ P = ρ ⋅ v ⇒ Z air = ρ air ⋅ γ Pair , Z w = ρ w ⋅ vw‬‬
‫‪ρ‬‬
‫=‪v‬‬
‫מכאן נמצא את מקדם ההחזרה‪:‬‬
‫‪ρ air ⋅ γ Pair − ρ w ⋅ vw‬‬
‫‪= −0.999‬‬
‫‪ρ air ⋅ γ Pair + ρ w ⋅ vw‬‬
‫‪Z air − Z w‬‬
‫=‬
‫‪Z air + Z w‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪T = 1 + R = 0.001‬‬
‫אחוז הספק הקול המוחזר לאוויר הוא‬
‫‪= 99.8%‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. RP = R‬‬
‫ב( נמצא את מקדם ההחזרה‪:‬‬
‫‪Z w − Z air ρ w ⋅ vw − ρ air ⋅ γ Pair‬‬
‫=‬
‫‪= 0.999‬‬
‫‪Z w + Z air ρ w ⋅ vw + ρ air ⋅ γ Pair‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪T = 1 + R = 1.999‬‬
‫אחוז הספק הקול העובר לאוויר הוא‬
‫‪= 0.2%‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. TP = 1 − RP = 1 − R‬‬
‫ג( מפני שאחוז מאוד קטן מהספק הקול עובר למים )‪ ,(0.2%‬לא ניתן‬
‫לשמוע כמעט דבר‪.‬‬