קרפ 5 : םילבק

‫פרק ‪:5‬קבלים ודיאלקטרנים‬
‫‪ 4.1‬הקדמה‬
‫‪ 4.2‬הגדרת הקיבול‬
‫‪ 4.3‬חישוב הקיבול‬
‫‪ 4.4‬רשתות פשוטות של קבלים‬
‫‪ 4.5‬האנרגיה האגורה בקבל‬
‫‪ 4.6‬התנהגות מבודד )חומר דיאלקטרי( בשדה חשמלי‬
‫‪ 4.7‬קבלים דיאלקטרים‬
‫‪ 4.8‬חוק גאוס בחומר‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.1‬הקדמה‬
‫¾‬
‫¾‬
‫קבל )‪ (Capacitor‬הוא התקן חשמלי האוגר אנרגיה ומטען חשמליים‪.‬‬
‫הקבל עשוי משני לוחות מוליכים שביניהם חומר מבודד או ריק‪.‬‬
‫הלוחות נושאים מטענים שווים בגודלם אך הם הפוכי סימן‪.‬‬
‫המטען הכללי של קבל‬
‫הוא תמיד אפס‪.‬‬
‫קבלים משמשים ל‪:‬‬
‫‪ z‬שחרור פרץ אנרגיה במבזקים‬
‫‪ z‬פולסים של לייזר‪.‬‬
‫‪ z‬יצירת שדות חשמליים )לוחות הטיה(‬
‫‪ z‬מעגלי סינון והחלקה של זרמי חילופין‬
‫‪ z‬הגנה על זיכרונות מחשב‬
‫‪ z‬מעגלי תהודה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪ 4.2‬הגדרת הקיבול‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫לוחות הקבל כאמור נושאים מטענים שווים ומנוגדים ‪ +q‬ו‪.-q -‬‬
‫טעינתו של קבל מתבצעת על ידי חיבורו למקור של הפרש פוטנציאלים‬
‫)מקור מתח‪ ,‬סוללה ספק וכדומה(‪.‬‬
‫מקור המתח "שואב" )עדיך לומר משנע( אלקטרונים מהלוח החיובי )זה‬
‫שמחובר להדק המקור הנמצא בפוטנציאל גבוה יותר( ומעבירם אל הלוח‬
‫השלילי )הנמצא בפוטנציאל הנמוך יותר(‪ .‬כתוצאה מכל הלוח החיובי נטען‬
‫במטען ‪ +q‬והשלילי ב ‪ .–q‬זרימת המטען נפסקת כאשר השדה החשמלי‬
‫הנוצר בתוך הקבל שווה ומנוגד לזה של הסוללה‬
‫לוחות הקבל והתילים המחברים אותם למקור המתח הם מוליכים ולכן‬
‫בתנאים אלקטרוסטטים הם נמצאים באותו הפוטנציאל כמו הדקי‬
‫הסוללה‪.‬‬
‫הפרש הפוטנציאלים ‪ ΔV = V+ − V−‬בין הדקי המקור זהה לזה שבין‬
‫הדקי הסוללה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.2‬הגדרת הקיבול המשך‪...‬‬
‫‪4‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.2‬הגדרת הקיבול המשך‪...‬‬
‫סימול‬
‫של קבל‬
‫‪9‬כשאנו טוענים קבל אנו מוצאים כי המטען על לוחותיו תמיד פרופורציוני‬
‫להפרש הפוטנציאלים ‪ ΔV‬בין לוחותיו‪ .‬לפיכך נגדיר את היחס הקבוע בין‬
‫המטען להפרש הפוטנציאלים כקיבול הקבל )‪(capacitance‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.2‬הגדרת הקיבול המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫יחידת הקיבול היא הפראד )לזכרו של מיכאל פרדי(‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫] ‪[C ] = = farad [ F‬‬
‫‪V‬‬
‫¾ תרגיל דוגמא מספר ‪:1‬‬
‫לקבל אחסון ביחידת זיכרון )‪ (RAM‬קיבול של ‪ .0.055pF‬כמה אלקטרונים‬
‫עודפים יש על הלוח השלילי אם ידוע כי הקבל נטען להפרש פוטנציאלים של‬
‫‪.5.3V‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪q C ΔV‬‬
‫= = ‪Ne = q ⇒ N‬‬
‫‪= 1.8 × 106 electrons‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪6‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.3‬חישוב הקיבול‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪7‬‬
‫‪ .1‬הקבל של טבלות מקבילות‪:‬‬
‫בקבל כזה שני המוליכים עשויים טבלות מקבילות‪ .‬אם שטח לוחות‬
‫הקבל גדול בהשוואה למרווח ביניהם הרי שנוכל להתעלם מאפקטים‬
‫של שולי הקבל )אפקטי קצה( כלומר נתעלם מזליגתו של השדה‬
‫החשמלי אל מחוץ לתחום שבין שני הלוחות‪.‬‬
‫נתייחס לכל לוח כאל מישור מטען אינסופי‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הקבל של טבלות מקבילות המשך‪:...‬‬
‫נניח שהמטען על לוחות הקבל הוא ‪ q‬השטח של כל לוח הוא ‪ A‬והמרווח‬
‫ביניהם הוא ‪.d‬‬
‫¾‬
‫מעקרון הסופרפוזיציה נקבל כי השדה בתוך הקבל )מחוץ לקבל הוא כמובן‬
‫‪r‬‬
‫אפס‪.‬‬
‫‪q‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫= ‪E = E+ + E−‬‬
‫‪+‬‬
‫= =‬
‫)‪(2‬‬
‫‪2ε 0 2ε 0 ε 0 Aε 0‬‬
‫הפרש הפוטנציאלים הוא‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪− r‬‬
‫‪−‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪E ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds = E ∫ ds = Ed (3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪8‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫∫ ‪ΔV = V+ − V− = −‬‬
‫‪−‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הקבל של טבלות מקבילות המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫קיבלנו קשר חשוב בין השדה להפרש הפוטנציאל בין לוחותיו של קבל‬
‫לוחות‪:‬‬
‫¾‬
‫נציב את )‪ (2‬ב )‪ (3‬ונשתמש בהגדרת הקיבול )‪ (1‬ונקבל עבור הקיבול של‬
‫קבל לוחות‪:‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫=‪E‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪(5‬‬
‫¾‬
‫‪9‬‬
‫‪ε0 A‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪C‬‬
‫אנו רואים כי הקיבול תלוי בגיאומטריה‪ ,‬השטח ‪ A‬והמרווח בין הלוחות‬
‫‪ .d‬הקיבול תלוי בחומר שבין הלוחות אבל לא תלוי בהפרש‬
‫הפוטנציאלים או במטען החשמלי‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב הקיבול המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .2‬הקבל הכדורי‪:‬‬
‫¾‬
‫הקבל הכדורי מורכב מכדור פנימי בעל רדיוס ‪ a‬ומקליפה כדורית חלולה‬
‫שרדיוסה הפנימי הוא ‪.b‬‬
‫אנו יודעים מחוק גאוס כי עבור‬
‫‪ a<r<b‬השדה מושפע ממטען הכדור‬
‫בלבד‪ .‬זה מתנהג כמטען נקודתי‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪1 q‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪a<r<b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫¾‬
‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים על ידי‬
‫אינטגרל רדיאלי על השדה‪:‬‬
‫‪q dr‬‬
‫⎞‪q ⎛1 1‬‬
‫∫ = ‪Eds‬‬
‫=‬
‫⎟ ‪⎜ −‬‬
‫‪a 4πε r 2‬‬
‫⎠ ‪4πε 0 ⎝ a b‬‬
‫‪[email protected] 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−‬‬
‫∫ = ‪ΔV = V+ − V−‬‬
‫‪+‬‬
‫הקבל הכדורי‪:‬‬
‫¾‬
‫נציב את התוצאה האחרונה בהגדרת הקיבול ונקבל עבור הקיבול של קבל‬
‫כדורי‪:‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪C = 4πε 0‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪b−a‬‬
‫¾‬
‫גם כאן רואים כי הקיבול הוא תכונה גיאומטרית‪.‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:2‬‬
‫מה קיבולו של כדור הארץ בהנחה שהו כדור אחיד שרדיוסו ‪.R=6370km‬‬
‫פתרון‬
‫נוכל לייחס קיבול לכדור יחיד המבודד מסביבתו על ידי כך שנניח כי "הלוח‬
‫החסר" הוא קליפה כדורית מוליכה שרדיוסה אינסופי‪ .‬מנוסחה )‪ (6‬נקבל בגבול‬
‫∞→‪: b‬‬
‫‪C = 4πε 0 R = 710 μ F‬‬
‫‪11‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב הקיבול המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪ .3‬הקבל הגלילי‪:‬‬
‫הקבל הגלילי מורכב מגליל פנימי מקשי בעל רדיוס ‪ a‬הנושא מטען ‪q‬‬
‫הנתון בתוך מוליך צינורי שרדיוסו הפנימי ‪ b‬והוא נושא מטען ‪.–q‬‬
‫המטענים מפוזרים על פני המוליכים בצורה אחידה‪ .‬נניח כי אורך הגליל‬
‫הוא ‪ L‬כך ש ‪ L>>b‬ונוכל להתייחס לגליל כאינסופי‪.‬‬
‫משטח‬
‫גאוסי גליל‬
‫‪12‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הקבל הגלילי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫מחוק גאוס נקבל עבור השדה החשמלי )השדה רדיאלי( באזורים השונים‪:‬‬
‫‪⎧0‬‬
‫‪0<r <a‬‬
‫⎪‬
‫‪⎪ q 1‬‬
‫⎨ = ) ‪E (r‬‬
‫‪a≤r <b‬‬
‫‪⎪ 2πε 0 L r‬‬
‫‪⎪⎩0‬‬
‫‪r ≥b‬‬
‫¾‬
‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים בין המשטח החיובי לשלילי‪:‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪q‬‬
‫⎞‪⎛b‬‬
‫=‬
‫⎟ ⎜ ‪ln‬‬
‫⎠ ‪r 2πε 0 L ⎝ a‬‬
‫¾‬
‫‪b‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2πε 0 L ∫a‬‬
‫‪−‬‬
‫= ‪ΔV = ∫ Eds‬‬
‫‪+‬‬
‫נציב להגדרת הקיבול ונקבל‪:‬‬
‫‪13‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C = 2πε 0‬‬
‫)‪(7‬‬
‫) ‪ln ( b / a‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב הקיבול המשך‪...‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:3‬‬
‫המרווח בין לוחותיו של קבל לוחות הוא ‪ .d=1mm‬מה צריך להיות שטח‬
‫לוחותיו אם קיבולו הוא ‪ .1F‬מהנוסחא של קבל לוחות נקבל‪:‬‬
‫) ‪1F (10−3 m‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Cd‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪C = ε0 ⇒ A‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪m‬‬
‫=‬
‫=‬
‫×‬
‫‪d‬‬
‫‪ε 0 8.85 × 10−12 F / m‬‬
‫שימו לב זהו שטח עצום של ריבוע בעל אורך צלע של ‪ 10‬ק"מ !‬
‫מהנוסחא לקיבול של קבל לוחות ניתן לקבל יחידה אלטרנטיבית לקבוע‬
‫החשמלי והיא הפרד למטר‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪F‬‬
‫= ] ‪[ε 0‬‬
‫‪[email protected] m‬‬
‫‪ 4.4‬רשתות פשוטות של קבלים‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫בניתוח של רשתות של קבלים יש לדעת את הקיבול השקול של‬
‫המערכת‪.‬‬
‫הקיבול השקול יוגדר כקיבול של קבל יחיד שהשפעתו על המעגל זהה‬
‫להשפעת הרשת כולה‪.‬‬
‫נבחין בין שתי צורות חיבור‪ :‬החיבור הטורי והחיבור המקבילי‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C2‬‬
‫חיבור מקבילי‬
‫חיבור טורי‬
‫‪15‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.4‬רשתות פשוטות של קבלים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .1‬החיבור המקבילי‪:‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪CT‬‬
‫¾‬
‫‪16‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C2‬‬
‫מאפייני החיבור המקבילי‬
‫‪ z‬במעבר מ ‪ a‬ל ‪ b‬נוכל לבחור באחד ממספר מסלולים מקבילים‪.‬‬
‫‪ z‬כאשר מקור מתח מחובר בין הדקי הרשת ‪ ,‬כל אלמנט של הרשת‬
‫מחובר לאותו הפרש פוטנציאלים מאחר ולוחות הקבלים והתילים‬
‫הם משטח שווה פוטנציאל ‪.‬‬
‫‪ z‬המטען הכללי מתחלק בין אלמנטי המעגל‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫החיבור המקבילי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫מהמאפיין השלישי נקבל כי המטען על הקבל השקול הוא‪:‬‬
‫)‪qT = q1 + q2 (8‬‬
‫¾‬
‫מהגדרת הקיבול נוכל לרשום עבור המטען של כל קבל‪:‬‬
‫)‪q1 = C1Vab , q2 = C2Vab (9‬‬
‫לגבי הקבל השקול נוכל לרשום‪:‬‬
‫)‪qT = CTVab (10‬‬
‫נציב את )‪ (9‬ו – )‪ (10‬במשוואה )‪(8‬‬
‫)‪CT = C1 + C2 (11‬‬
‫‪17‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫החיבור המקבילי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫עבור מספר כלשהוא של קבלים נקבל‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪CT = ∑ Ci (12‬‬
‫‪i =1‬‬
‫¾‬
‫‪ .2‬החיבור הטורי‪:‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪b‬‬
‫¾‬
‫‪18‬‬
‫‪a‬‬
‫מאפייני החיבור הטורי‪:‬‬
‫‪ z‬במעבר מ ‪ a‬ל ‪ b‬חייבים לעבור דרך כל אחד מהאלמנטים‪.‬‬
‫‪ z‬סכום המתחים על הקבלים שווה למתח הכללי על צירופם‪.‬‬
‫‪ z‬המטען על כל אלמנט שווה וזהו גם המטען על הקבל השקול‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫החיבור הטורי המשך‬
‫¾‬
‫על מנת להבין את התכונה השלישית נביט בציור הבא‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪19‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪−q + q −q + q‬‬
‫נניח שמטען ‪ –q‬מופיע על הלוח השמאלי של הקבל ‪ .C1‬מאחר והקבל‬
‫נושא מטענים שווים ומנוגדים הרי שעל הלוח הימני של הקבל השמאלי‬
‫יהיה מטען ‪ .+q‬אולם‪ ,‬המוליך בצורת האות ‪ H‬אינו מחובר לשום דבר‪.‬‬
‫הוא היה ניטראלי והוא חייב להישאר ניטרלי לפיכך על הלוח השמאלי‬
‫של ‪ C2‬יופיע ‪.–q‬‬
‫מתכונה מספר ‪ 2‬נקבל‪:‬‬
‫)‪Vab = VC1 + VC 2 (13‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫החיבור הטורי המשך‬
‫¾‬
‫נציב לנוסחא האחרונה את הגדרת הקיבול ואת העובדה שהמטען על‬
‫כל אלמנט זהה ונקבל‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪= +‬‬
‫‪CT C1 C2‬‬
‫¾‬
‫נצמצם ונקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪= +‬‬
‫‪CT C1 C2‬‬
‫ובאופן כלל עבור מספר כלשהוא של קבלים‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪= ∑ (15‬‬
‫‪CT i =1 Ci‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫רשתות פשוטות של קבלים המשך‪...‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:3‬‬
‫מצא את הקיבול השקול של הרשת אם נתון‪C1 =12μF,C2 = 5.3μF,C3 = 4.5μF:‬‬
‫מצא את המטען על ‪ C1‬אם לרשת ניתן מתח של ‪.12.5V‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C12‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪CT‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪21‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫רשתות פשוטות של קבלים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫קבלים ‪ C1‬ו –‪ C2‬מחוברים במקביל ולכן קיבולם השקול הוא סכומם‪,‬‬
‫כלומר ‪ .C12=C1+C2=17.3μF‬צירוף זה מחובר בטור עם ‪ C3‬ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪⇒ CT = 3.57 μ F‬‬
‫‪CT C12 C3‬‬
‫¾‬
‫נלך הפוך ונמצא ראשית את המטען על הקבל השקול‪:‬‬
‫‪qT = CTVab = 44.6 μ C‬‬
‫¾‬
‫מטען זה הוא גם המטען על הצירוף ‪) C12‬מדוע ?( ומכן שנוכל למצוא את‬
‫המתח על ‪.C12‬‬
‫‪q12‬‬
‫‪= 2.58V‬‬
‫¾‬
‫‪C12‬‬
‫= ‪V12‬‬
‫זהו המתח על ‪) C1‬מדוע ?( ומכאן ש‪q1 = C1V1 = 31μ C :‬‬
‫‪22‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.5‬האנרגיה האגורה בקבל‬
‫¾‬
‫בשיעור הקודם ראינו כי כל מערך של מטענים חשמליים נושא עימו‬
‫אנרגיה פוטנציאלית השווה לעבודה הנדרשת על מנת להרכיב את‬
‫המערכת ממטענים שנמצאים בתחילה במרחק אינסופי זה מזה‪.‬‬
‫¾‬
‫באופן דומה קבל טעון אוגר בתוכו אנרגיה‪ ,‬או במילים אחרות מקור‬
‫המתח ביצע עבודה בטעינת הקבל על כך שהעביר אלקטרונים מן הלוח‬
‫החיובי לשלילי‪.‬‬
‫¾‬
‫האנרגיה האגורה בקבל ניתנת למחזור כאשר נאפשר לקבל להיפרק‪.‬‬
‫¾‬
‫נניח כי ברגע זה הקבל כבר רכש מטען ’‪ q‬ועל כן הפרש הפוטנציאלים בין‬
‫הדקיו הוא ‪ .V=q’/C‬אם כעת יועבר מטען קטן ’‪ dq‬הדבר יוביל לשינוי‬
‫באנרגיה הפוטנציאלית בשיעור ’‪dU=V dq‬‬
‫‪23‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫האנרגיה האגורה בקבל המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫או‬
‫'‪q‬‬
‫' ‪dU = dq‬‬
‫‪C‬‬
‫' ‪dq‬‬
‫תהליך הטעינה יימשך עד שהקבל ייטען‬
‫למטען ‪ . q‬האנרגיה הפוטנציאלית האגורה‬
‫בקבל תהייה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫'‪q‬‬
‫‪q2‬‬
‫= ' ‪dq‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫’‪+q’ -q‬‬
‫‪C‬‬
‫∫ = ‪U = ∫ dU‬‬
‫‪0‬‬
‫או אם נשתמש בהגדרת הקיבול )משוואה ‪ (1‬נקבל את הצורות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫‪q2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪U‬‬
‫)‪= C ΔV = qΔV (16‬‬
‫‪2C 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪24‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫האנרגיה האגורה בקבל המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נשאלת השאלה היכן "נמצאת אנרגיה זו" ? כדי לענות על שאלה זו נדמיין‬
‫לעצמנו כי בעוד הקבל טעון ולא מחובר אל מקור המתח אנו מכפילים את‬
‫המרווח בין הלוחות‪ .‬כתוצאה מכך הקיבול יקטן פי ‪ 2‬ומנוסחא )‪ (16‬נסיק כי‬
‫האנרגיה תגדל פי ‪ .2‬היות ולא שינינו את המטען ורק הכפלנו את נפח הקבל‬
‫יהיה זה הגיוני להסיק כי האנרגיה נמצאת בנפח שבין לוחות הקבל‪.‬‬
‫¾‬
‫האנרגיה אגורה בתוך השדה החשמלי הקיים בנפח שבין לוחות הקבל‪.‬‬
‫נוכל לחשב את צפיפות האנרגיה המוגדרת כאנרגיה האגורה בקבל מחולקת‬
‫בנפח ‪,‬לאמור‪:‬‬
‫¾‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪V‬‬
‫‪Δ‬‬
‫‪U‬‬
‫=‪u‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪Ad‬‬
‫‪Ad‬‬
‫‪25‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫האנרגיה האגורה בקבל המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נציב את הנוסחה לקיבול של קבל הלוחות ונקבל עבור צפיפות האנרגיה‪:‬‬
‫‪1 A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε 0 ΔV 2 1‬‬
‫‪C ΔV‬‬
‫⎞ ‪⎛ ΔV‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪u‬‬
‫=‬
‫⎜ ‪= ε0‬‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪2 ⎝ d‬‬
‫‪Ad‬‬
‫‪Ad‬‬
‫¾‬
‫אולם הביטוי שבין הסוגריים הוא השדה החשמלי הקיים בין לוחות הקבל‪.‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u = ε0E‬‬
‫‪2‬‬
‫צפיפות האנרגיה‬
‫‪26‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫האנרגיה האגורה בקבל המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫אם ידועה צפיפות האנרגיה )ידוע השדה החשמלי( נוכל באמצעות אינטגרל‬
‫נפחי לחשב את האנרגיה האצורה במערכת‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪U = ε 0 ∫ E dV (18‬‬
‫‪2 All Space‬‬
‫¾ נעיר כי למרות העובדה שנוסחאות )‪ (17‬ו –)‪ (18‬פותחו‬
‫עבור קבל הן כללית ותקפות תמיד!!‬
‫‪27‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫האנרגיה האגורה בקבל המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:4‬‬
‫כדור מוליך )המבודד מסביבתו( שרדיוסו ‪ R‬נושא מטען ‪.q‬‬
‫א‪ .‬מהי האנרגיה האצורה בשדה החשמלי של הכדור ?‬
‫ב‪ .‬מהי צפיפות האנרגיה על פניו של הכדור ?‬
‫ג‪ .‬מהו רדיוסו ‪ R0‬של כדור דמיוני שמחצית מהאנרגיה הכללית אצורה‬
‫בתוכו ?‬
‫פתרון‬
‫‪E=0‬‬
‫א‪ .‬נשתמש בנוסחא )‪ .(18‬השדה בתוך המוליך ‪0‬‬
‫ומחוץ למוליך הוא כמו של מטען נקודתי ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫‪28‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪R‬‬
‫האנרגיה האגורה בקבל המשך‪...‬‬
‫‪R‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 q 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫( ∫ ‪U = ε 0 ∫ E dV = ε 0 ∫ 0dV + ε 0‬‬
‫)‬
‫‪(4‬‬
‫‪r‬‬
‫= ) ‪dr‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫‪q2 ∞ 1‬‬
‫‪q2‬‬
‫= ‪dr‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫‪R‬‬
‫‪8πε 0 r‬‬
‫‪8πε 0 R‬‬
‫ב‪ .‬צפיפות האנרגיה על פני הכדור היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⎛‬
‫⎞‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫⎜ ‪u = ε0E = ε0‬‬
‫⎟‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ⎜⎝ 4πε 0 R ⎟⎠ 32ε 0π 2 R 4‬‬
‫ג‪ .‬השאלה דורשת לחשב את הרדיוס של כדור דמיוני ‪ R0‬כך שהאנרגיה‬
‫המוכלת בין ‪ R‬ל –‪ R0‬היא מחצית מהאנרגיה הכללית‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫‪[email protected]‬‬
...‫האנרגיה האגורה בקבל המשך‬
R0
∞ 2
1
1
2
ε 0 ∫ E dV = ε 0 ∫ E dV
2 R
2 R
⇓
∫
R0
R
dr
r
2
=∫
∞
R
dr
r
2
⇒ R0 = 2 R
[email protected]
30
‫‪ 4.6‬התנהגות מבודד )חומר דיאלקטרי(‬
‫בשדה חשמלי‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪31‬‬
‫בסעיף זה נבדוק מה קורה למבודד כאשר הוא מוכנס אל תוך שדה‬
‫חשמלי חיצוני‪.‬‬
‫נזכור כי במבודד המטענים החשמליים אינם חופשיים לנוע‪ .‬לא נוצר‬
‫זרם חשמלי כאשר הנ"ל מוצב בשדה חיצוני‪.‬‬
‫כל מה שהשדה החיצוני יכול לעשות )בהנחה שאינו חזק דיו( הוא‬
‫לגרום לשנוי זעיר בהיערכות המטענים שבאטום או המולקולה‪ .‬אולם‬
‫לשינויים זעירים אלה יכולה להיות השפעה מרחיקת לכת על השדה‬
‫בתוך המבודד‪.‬‬
‫קיימים חומרים שכתוצאה מהמבנה הפנימי שלהם )מים למשל( יש‬
‫להם מומנט דיפול קבוע )ללא נוכחות שדה חיצוני(‪ .‬על חומרים כאלה‬
‫כאשר יוצבו בשדה חיצוני יפעל מומנט שיסובב את המולקולות כך שהן‬
‫תסתדרנה בכיוון השדה‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫התנהגות מבודד )חומר דיאלקטרי( בשדה‬
‫חשמלי‬
‫‪32‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫התנהגות מבודד )חומר דיאלקטרי( בשדה‬
‫חשמלי‬
‫¾‬
‫האיור הבא מראה טבלה מבודדת המוכנסת לשדה חיצוני ‪.E0‬‬
‫¾‬
‫כתוצאה מהיערכות הדיפולים בכיוון השדה נוצרת שכבה של מטענים‬
‫שליליים בחלק העליון של הטבלה ומטענים חיוביים בחלקה התחתון‪.‬‬
‫שכבה זו של מטען מושרה יוצרת שדה מושרה ’‪ E‬הנוגד את השדה‬
‫המקורי‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫¾‬
‫התנהגות מבודד )חומר דיאלקטרי( בשדה‬
‫חשמלי‬
‫¾‬
‫השדה המושרה מקטין את השדה המקורי ונוכל לרשום עבור השדה בתוך‬
‫הטבלה המבודדת‬
‫¾‬
‫התופעה של היערכות הדיפולים כתוצאה מהשדה החיצוני נקראת קיטוב‬
‫והשדה המושרה שנוצר נקרא שדה הקיטוב‪.‬‬
‫בדרך כלל היענות החומר לשדה החיצוני היא ליניארית ושדה הקיטוב‬
‫פרופורציוני לשדה החיצוני‪ .‬מכאן שנוכל לכתוב עבור השדה החשמלי בתוך‬
‫החומר‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫¾‬
‫)‪(20‬‬
‫¾‬
‫' ‪E = E0 − E‬‬
‫‪E0‬‬
‫‪κe‬‬
‫=‪E‬‬
‫הקבוע המספרי ‪ κ e‬נקרא הקבוע הדיאלקטרי של החומר והוא מספר הגדול‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪34‬‬
‫מ ‪ .1-‬עבור ריק או אוויר הוא שווה ל‪.1-‬‬
‫התנהגות מבודד )חומר דיאלקטרי( בשדה‬
‫חשמלי‬
‫¾‬
‫מהנוסחא האחרונה רואים כי השדה החשמלי בתוך החומר קטן פי‬
‫הקבוע הדיאלקטרי‪.‬‬
‫חומרים מבודדים נקראים גם חומרים דיאלקטרים‪.‬‬
‫הקבוע הדיאלקטרי תלוי בסוג החומר בטמפרטורה שלו אולם לא‬
‫בצורתו‪.‬‬
‫¾‬
‫קיימים גם חומרים לא מקוטבים )אין להם מומנט דיפול קבוע(‪.‬‬
‫כשחומרים כאלו מוכנסים לשדה חשמלי חיצוני נוצר בהם דיפול‬
‫חשמלי מושרה‪ .‬הנ"ל נוצר עקב "מתיחתם" של האטום או המולקולה‬
‫בשדה החיצוני‪ .‬ניתן להתייחס לאטום כאל ענן כדורי סימטרי של מטען‬
‫שלילי )האלקטרונים( המקיף את המטען החיובי )הגרעין(‪.‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪35‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫התנהגות מבודד )חומר דיאלקטרי( בשדה‬
‫חשמלי‬
‫¾‬
‫השדה החשמלי גורם להפרדה של‬
‫מטען כשהגרעין "נע" לכיוון השדה‬
‫בעוד שהאלקטרונים נעים לכיוון‬
‫הפוך‪ .‬התוצאה‪ :‬האטום או‬
‫המולקולה רכשו דיפול מושרה‪.‬‬
‫¾‬
‫הדיפול ייעלם עם כיבוי השדה‬
‫החשמלי‪.‬‬
‫היווצרותו של הדיפול המושרה‬
‫מסבירה את משיכתם של פיסות‬
‫נייר למסרק טעון‪.‬‬
‫¾‬
‫‪36‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.7‬קבלים דיאלקטרים‬
‫¾ מה קורה בקבל כאשר מוכנס לתוכו חומר דיאלקטרי ?‬
‫¾‬
‫¾‬
‫נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪ .1‬הכנסת חומר דיאלקטרי כאשר מקור המתח מחובר‪:‬‬
‫'‪q‬‬
‫¾‬
‫‪++++‬‬
‫‪----‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫‪q‬‬
‫‪++++‬‬
‫‪----‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫מאחר והסוללה נותרת מחוברת הרי שהשדה החשמלי גם הוא נותר ללא‬
‫שינוי )ראו נוסחא ‪ (4‬כלומר‬
‫)‪E ' = E (21‬‬
‫‪37‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫קבלים דיאלקטרים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫עבור קבל ריק הקשר בין השדה למטענים שעל לוחותיו )הוא ראו נוסחא‬
‫)‪:((2‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪(22‬‬
‫¾‬
‫‪Aε 0‬‬
‫=‪E‬‬
‫מצד שני אנו יודעים שהשדה בחומר קטן פי ‪ κ e‬כאשר יש חומר‬
‫דיאלקטי‪ .‬בנוסף השדה צריך להשתנות בגלל שהמטען כעת על לוחותיו‬
‫הוא ’‪ q‬לאמור‪:‬‬
‫'‪q‬‬
‫= '‪E‬‬
‫)‪(23‬‬
‫‪κ e Aε 0‬‬
‫¾‬
‫נשווה בין )‪ (22‬ל – )‪ (23‬ונקבל ‪ q ' = κ e q‬כלומר המטען גדל פי הקבוע‬
‫הדיאלקטרי‪ .‬מסקנה‪ :‬הקבל הדיאלקטרי יכול לאגור יותר מטען מקבל‬
‫ריק הזהה לו‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫קבלים דיאלקטרים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫כשחומר דיאלקטרי מוכנס לקבל שהיה טעון מלכתחילה הסוללה מוסיפה‬
‫מטענים נוספים‪.‬‬
‫מאחר ובמקרה זה המתח נשאר זהה הרי שנקל מהגדרת הקיבול כי‪:‬‬
‫)‪C ' = κ eC (24‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫כלומר קיבולו של קבל דיאלקטרי גדול פי ‪κ e‬‬
‫ומימדים זהים‪.‬‬
‫עבור קבל לוחות נקבל‪:‬‬
‫)‪(25‬‬
‫¾‬
‫‪κ eε 0 A‬‬
‫‪d‬‬
‫מקבל ריק בעל תצורה‬
‫=‪C‬‬
‫נדגיש כי למרות העובדה שנוסחא )‪ (24‬פותחה עבור קבל לוחות היא נכונה‬
‫עבור קבל כלשהוא‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫קבלים דיאלקטרים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .2‬הכנסת חומר דיאלקטרי כאשר מקור המתח לא מחובר‪:‬‬
‫¾‬
‫במקרה זה הקבל נטען‪ ,‬מקור המתח מוסר‪ ,‬ורק אז מוכנס החומר‬
‫הדיאלקטרי‪.‬‬
‫ברור כי במקרה זה המטען חייב להישאר זהה כלומר ‪. q ' = q‬‬
‫¾‬
‫‪q‬‬
‫¾‬
‫‪++++‬‬
‫‪----‬‬
‫‪q‬‬
‫' ‪ΔV‬‬
‫השדה בחומר קטן כאמור פי ‪ κ e‬לערך ‪:‬‬
‫)‪(26‬‬
‫‪40‬‬
‫‪E‬‬
‫‪κe‬‬
‫='‪E‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪++++‬‬
‫‪----‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫קבלים דיאלקטרים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫את המשוואה האחרונה נוכל לכתוב באמצעות הפרש הפוטנציאלים‬
‫)נוסחא )‪:(2‬‬
‫¾‬
‫כלומר גם המתח קטן פי אותו היחס‪.‬‬
‫מהמשוואה האחרונה ומהגדרת הקיבול נקבל שוב‪:‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫' ‪ΔV‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫‪d‬‬
‫=‬
‫= ' ‪⇒ ΔV‬‬
‫)‪(27‬‬
‫‪d‬‬
‫‪κe‬‬
‫‪κe‬‬
‫¾‬
‫)‪C ' = κ eC (24‬‬
‫‪41‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫קבלים דיאלקטרים המשך‪...‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪5‬‬
‫לקבל לוחות של ‪ 13.5pF‬ניתן מתח של ‪ .12.5V‬לאחר שהקבל נטען מקור‬
‫המתח מפורק וחומר דיאלקטרי שקבועו ‪ 6.5‬הוכנס אל בין לוחות הקבל‪.‬‬
‫חשב את האנרגיה האצורה בקבל לפני ואחרי הכנסת החומר הדיאלקטרי‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−9‬‬
‫‪U1 = C ΔV = (13.5 × 10 F )(12.5V ) = 1.055 × 10 J = 1055 pJ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪U1‬‬
‫= ‪Uf‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= 162 pJ‬‬
‫‪2C ' 2C κ e‬‬
‫כלומר האנרגיה קטנה פי ‪ . κ e‬לאן "נעלמה" האנרגיה ? האנרגיה לא נעלמה‪.‬‬
‫השדה החשמלי ביצע עבודה במשיכת טבלת החומר הדיאלקטרי פנימה‪.‬‬
‫למעשה החומר הדיאלקטרי נשאב פנימה אל תוך הקבל‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 4.8‬חוק גאוס בחומר‬
‫¾‬
‫כאשר כותבים את חוק גאוס בתוך חומר דיאלקטרי יש לתקנו כדלקמן‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫)‪ε 0 ∫ κ e E dA = q free (28‬‬
‫¾‬
‫כאשר ‪q free‬‬
‫הוא המטען החופשי בלבד ולא מטען מושרה‪.‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪6‬‬
‫נתונה טבעת כדורית שרדיוסה הפנימי ‪ a‬והחיצוני ‪ .b‬בתוך הטבעת מצוי חומר‬
‫דיאלקטרי שקבועו משתנה לפי ‪, κ = α / r‬כאשר ‪ r‬הוא המרחק ממרכז‬
‫‪e‬‬
‫המערכת ו – ‪ α‬הוא קבוע מספרי‪ .‬מצא את הקיבול של הטבעת‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק גאוס בחומר המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫פתרון בדרך א'‪:‬‬
‫ראשית נמצא את השדה החשמלי בתוך הטבעת‬
‫באמצעות חוק גאוס בחומר‪ .‬נניח כי על משטח ‪a‬‬
‫מפוזר מטען חופשי ‪ .+q‬בתור משטח גאוסי נבחר‬
‫כדור קונצנטרי ברדיוס ‪ .r‬מטעמי סימטריה השדה‬
‫קבוע על מעטפת גאוס ונוכל להוציאו אל מחוץ‬
‫לסימן האינטגרל ‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫משטח גאוס‬
‫‪r r‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε 0 ∫ κ e E dA = q free ⇒ ε 0 ( ) E (4π r ) = q‬‬
‫‪r‬‬
‫ולכו השדה הוא‪:‬‬
‫‪q 1‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪4πε 0α r‬‬
‫‪44‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪b‬‬
‫פתרון תרגיל דוגמא ‪ 6‬המשך‪...‬‬
‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים בין ‪ a‬ל ‪:b‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪q‬‬
‫⎞‪⎛b‬‬
‫=‬
‫⎟ ⎜ ‪ln‬‬
‫⎠ ‪r 4πε 0α ⎝ a‬‬
‫‪b‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4πε 0α‬‬
‫‪r r‬‬
‫= ‪E ⋅ ds‬‬
‫‪a‬‬
‫∫ ‪Vab = −‬‬
‫‪b‬‬
‫נציב בהגדרת הקיבול ונקבל‪:‬‬
‫‪4πε 0α‬‬
‫‪q‬‬
‫=‬
‫=‪C‬‬
‫‪Vab‬‬
‫⎞‪⎛b‬‬
‫⎟ ⎜ ‪ln‬‬
‫⎠‪⎝a‬‬
‫פתרון בדרך ב'‬
‫ניתן להתייחס לבעיה כאל סופרפויציה של קבלי לוחות ששטחם הוא‬
‫‪ A=4πr2‬ועוביים ‪ ,dr‬המחוברים בטור‪ .‬הקיבול של קבל דיפרנציאלי כזה‪:‬‬
‫) ‪ε 0 (4π r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪45‬‬
‫‪r‬‬
‫‪= 4πα‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪α‬‬
‫‪= r‬‬
‫‪κ eε 0 A‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪dr‬‬
‫= ‪dC‬‬
‫פתרון תרגיל דוגמא ‪ 6‬המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫ההופכי של הקיבול השקול של קבלים המחוברים בטור הוא הסכום של‬
‫הערך ההופכי של הקבלים )במקרה זה הסכום רציף‪ <-‬אינטגרל(‪:‬‬
‫⎞‪⎛b‬‬
‫⎟ ⎜ ‪ln‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 dr‬‬
‫⎠‪a‬‬
‫⎝‬
‫∑=‬
‫∫→‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪4πε 0α r 4πε 0α‬‬
‫‪CT‬‬
‫‪dC‬‬
‫¾‬
‫ומכאן נובע הפתרון‪:‬‬
‫‪46‬‬
‫‪4πε 0α‬‬
‫= ‪CT‬‬
‫⎞‪⎛b‬‬
‫⎟ ⎜ ‪ln‬‬
‫⎠‪⎝a‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫תרגיל דוגמא ‪7‬‬
‫¾‬
‫נתון קבל גלילי שרדיוסו הפנימי ‪ a‬והחיצוני ‪ .b‬גבהו של הקבל הוא ‪L‬‬
‫והוא ממולא בחציו בחומר שקבועו הדיאלקטרי ‪ κe1‬וחציו ממולא‬
‫בחומר דיאלקטרי שקבועו ‪ .κe2‬מצא את הקיבול השקול‪.‬‬
‫¾‬
‫פתרון‪ :‬נתייחס לכל חצי גליל כאל קבל‪.‬‬
‫שני חצאי הגלילים מחוברים ביניהם‬
‫במקביל כי מוליכי הקבל מחוברים לאותו‬
‫הפרש הפוטנציאלים‪.‬‬
‫נחשב קיבול של חצי קבל ע"י שנביט עליו‬
‫כאל אוסף של קבלים ששטח לוחותיהם‬
‫הוא ‪) A=πrL‬חצי שטח פנים של גליל(‬
‫ועוביים הוא ‪.dr‬‬
‫‪47‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫תרגיל דוגמא ‪ 7‬המשך‪...‬‬
‫הקיבול הדיפרנציאלי הוא‪:‬‬
‫)‪κ e1ε 0 (π rL‬‬
‫‪dr‬‬
‫= ‪dC‬‬
‫ולכן הקיבול של חצי הגליל הוא‪:‬‬
‫⎞‪⎛b‬‬
‫⎟ ⎜ ‪ln‬‬
‫‪b‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫⎠‪a‬‬
‫⎝‬
‫∑=‬
‫∫→‬
‫=‬
‫‪a κ ε πL r‬‬
‫‪κ e1ε 0π L‬‬
‫‪CT‬‬
‫‪dC‬‬
‫‪e1 0‬‬
‫הקיבול הכללי הוא הסכום של שני חצאי הגלילים )חיבור במקביל(‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫) ‪Lπε o (κ e1 + κ e 2‬‬
‫= ‪CT‬‬
‫⎞‪⎛b‬‬
‫⎟ ⎜ ‪ln‬‬
‫⎠ ‪[email protected] ⎝ a‬‬