ר ש י ם רז י לגעמ ו ... 5.1 יל משח ה םרזה תרדג ה 5.2

‫הזרם החשמלי ומעגלי זרם ישר‬
‫‪ 5.1‬הגדרת הזרם החשמלי‬
‫‪ 5.2‬חוק אוהם‬
‫‪ 5.3‬המעגל החשמלי הפשוט‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.1‬הגדרת הזרם החשמלי‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫תנועה של מטען חשמלי נקראת זרם חשמלי‪.‬‬
‫מהגדרה זו ברור כי מוליך שזורם בו זרם בהכרח אינו נמצא במצב‬
‫אלקטרוסטאטי‪ .‬מכאן נובע כי השדה החשמלי בקרבו של מוליך נושא‬
‫זרם הוא אינו אפס כבמקרה האלקטרוסטאטי‪.‬‬
‫שדה החשמלי נחוץ על מנת לקיים את הזרם החשמלי‪.‬‬
‫הגדרת הזרם החשמלי‪:‬‬
‫הזרם החשמלי מוגדר להיות כמות המטען החשמלי נטו‬
‫הזורמת דרך משטח מסוים ליחידת זמן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הגדרת הזרם החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נניח כי כמות מטען ‪ dq‬חולפת‬
‫דרך משטח ‪) A‬שטח חתך של תיל‬
‫לדוגמא( בפרק זמן ‪ .dt‬כמותית‬
‫יוגדר הזרם החשמלי להיות‪:‬‬
‫‪dq‬‬
‫=‪i‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫על מנת שיזרום זרם חייב מטען‬
‫נטו לחצות את המשטח‪.‬‬
‫אם אטומים ניטראליים חוצים את המשטח הרי שלא זורם זרם למרות‬
‫העובדה שמטענים כן עוברים וזאת בגלל העובדה שכמות זהה של‬
‫מטענים חיוביים ולשלילים חוצים את המשטח‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הגדרת הזרם החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫לזרם החשמלי יש כיוון המוגדר להיות כיוון הזרימה של המטען החיובי‪,‬‬
‫אפילו אם בפועל זורמים אלקטרונים‪ .‬זוהי מגמת הזרם המוסכמת‪.‬‬
‫היחידה של הזרם החשמלי במערכת ‪ SI‬היא האמפר‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪= Ampere‬‬
‫‪s‬‬
‫= ] ‪[I‬‬
‫עבור זרם קבוע נוסחא )‪ (1‬תקבל את הצורה‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪I‬‬
‫‪t‬‬
‫‪4‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הגדרת הזרם החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫את המטען נטו החוצה משטח כלשהוא נקבל על ידי אינטגרציה של משוואה‬
‫)‪:(1‬‬
‫)‪q = ∫ i (t )dt (2‬‬
‫¾‬
‫גודל ווקטורי הקשור לזרם הוא צפיפות הזרם החשמלי המוגדר כזרם‬
‫ליחידת שטח‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪A‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫=‪j‬‬
‫כיוונו של ווקטור צפיפות הזרם מוגדר ככיוונו של הזרם החשמלי )המגמה‬
‫המוסכמת(‪.‬‬
‫את הזרם העובר דרך משטח כלשהוא נוכל לחשב ע"י אינטגרציה של‬
‫צפיפות הזרם לאמור‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪r r‬‬
‫)‪i = ∫ j ⋅ dA (3‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הגדרת הזרם החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪r‬‬
‫כאשר ‪ dA‬הוא אלמנט שטח דיפרנציאלי הניצב למשטח דרכו אנו רוצים‬
‫לחשב את הזרם וכיוונו הוא כזה שהמכפלה הסקלארית היא חיובית‪.‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:1‬‬
‫קוטרו של תיל אלומיניום גלילי הוא ‪ 2.5mm‬והוא נושא זרם של ‪1.3 A‬‬
‫מצא את צפיפות הזרם בתיל‪.‬‬
‫שטח החתך של התיל הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪= 4.6 × 10 m‬‬
‫‪πd‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪A‬‬
‫ומכאן שצפיפות הזרם נתונה על ידי‪:‬‬
‫‪I‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j = = 2.6 × 10 A / m‬‬
‫‪A‬‬
‫‪6‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הגדרת הזרם החשמלי המשך‪...‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪:2‬‬
‫צפיפות הזרם העובר דרך מוליך גלילי שרדיוסו ‪ R‬משתנה על פני שטח‬
‫החתך של הגליל לפי הקשר‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫⎞‪r‬‬
‫⎛‬
‫ˆ‪j = j0 ⎜1 − ⎟ z‬‬
‫⎠‪⎝ R‬‬
‫כאשר ‪ j0‬הוא קבוע מספרי ו ‪ r‬הוא המרחק מציר הגליל‪ .‬הבע את הזרם‬
‫הכללי העובר דרך הגליל באמצאות ‪ j0‬ו‪-‬באמצעות שטח החתך ‪.A=πr2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dr‬‬
‫אלמנט השטח הוא‪:‬‬
‫ˆ‪dA = 2π rdr z‬‬
‫‪r‬‬
‫נחשב את הזרם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪π j0 R‬‬
‫‪Aj0‬‬
‫= ‪i = ∫ j ⋅ dA = 2π j0 ∫ r (1 − )dr‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪r‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ 5.2‬חוק אוהם‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪8‬‬
‫מעבר המטען החשמלי במוליך )דהינו הזרם החשמלי( אינו תהליך‬
‫אידיאלי נטול הפסדים אנרגטיים‪ .‬החומר )כל חומר רגיל ( מתנגד‬
‫למעבר הזרם החשמלי דרכו‪ .‬הביטוי החיצוני להתנגדות זו הוא עלייה‬
‫בטמפרטורה של המוליך‪.‬‬
‫כאשר המוליך נמצא בשדה חשמלי המטענים החיוביים מואצים בכיוון‬
‫השדה והשלילים נגד כיוון השדה‪ .‬תהליך ההאצה אינו רציף כתוצאה‬
‫מהתנגשויות חוזרות ונשנות של נשאי המטען ביונים הקבועים למקומם‬
‫במוליך‪ .‬לאחר התנגשות נשאי המטען נעים בכיוונים אקראיים‪.‬‬
‫לפיכך‪ ,‬נוכל להביט על תהליך מעבר הזרם החשמלי כתהליך בו נשאי‬
‫המטען )אלקטרונים במתכות( מואצים תוך כדי התנגשויות רבות‪.‬‬
‫בסיכומו של דבר אפשר להבחין בהיסחפות של נשאי המטען )החיוביים(‬
‫בכיוון השדה החשמלי המאלץ‪ .‬המהירות בה נשאי המטען נסחפים‬
‫בכיוון השדה נקראת מהירות הסחיפה‪.‬‬
‫ניתן לדמות את הזרימה החשמלית כזרימת נוזל בצינור סתום חלקית‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪9‬‬
‫האיור הבא מתאר מצב אפשרי של תנועת אלקטרון במוליך‬
‫הקו המלא מראה תנועה של אלקטרון במוליך מהנקודה ‪ x‬לנקודה ‪ y‬תוך כדי ביצוע‬
‫‪ 6‬התנגשויות‪ .‬הקו המרוסק מראה את תנועתו של האלקטרון בנוכחות השדה‬
‫החשמלי‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫חוק אוהם מספק קשר )ליניארי( בין צפיפות הזרם החשמלי לשדה‬
‫החשמלי הקיים בקרבו של המוליך‪ .‬נעיר כי חוק אוהם אינו מתקיים עבור‬
‫כל החומרים‪ .‬עבור מוליכים חוק אוהם תקף ובתנאי שהשדה החשמלי‬
‫אינו חזק מידי‪:‬‬
‫¾‬
‫המקדם ‪ σ‬נקרא המוליכות הסגולית )‪ (Conductivity‬של החומר והוא‬
‫תכונה של החומר ללא תלות בצורתו‪ .‬המוליכות הסגולית כן תלויה‬
‫בטמפרטורה‪.‬‬
‫ערך גדול של המוליכות מציין שמדובר במוליך טוב ולהפך‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫= )‪[σ ] = siemen / meter ( S / m‬‬
‫‪Vm‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪j = σ E (4‬‬
‫¾‬
‫‪10‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1siemen = 1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫מקובל להביע את נוסחא )‪ (4‬באמצעות ההתנגדות הסגולית המוגדרת‬
‫כערך ההופכי של המוליכות הסגולית )‪:(Resistivity‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪σ‬‬
‫=‪ρ‬‬
‫¾‬
‫באמצעות ההתנגדות הסגולית חוק אוהם ייכתב בצורה‪:‬‬
‫¾‬
‫היחידה של המוליכות הסגולית היא‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪E = ρ j (6‬‬
‫)‪[ ρ ] = ohm ⋅ m (Ω ⋅ m‬‬
‫‪11‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪12‬‬
‫עבור מוליך אידיאלי ‪ ρ=0‬ועבור מבודד אידיאלי ההתנגדות הסגולית‬
‫היא אינסופית‪ .‬הטבלה הבאה מראה ערכים טיפוסים של התנגדויות‬
‫סגוליות‪:‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫הציור הבא מראה מוליך באורך ‪ L‬בעל שטח חתך אחיד ‪ A‬אשר נמצא‬
‫תחת הפרש פוטנציאלים )מתח( ‪ . ΔV‬בתוך המוליך שורר שדה אחיד‬
‫‪) E=ΔV/L‬ראה נוסחא )‪ (4‬שבפרק קודם(‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫‪A‬‬
‫¾‬
‫עבור צפיפות זרם אחידה נקבל‪:‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫‪i‬‬
‫⇒‪E=ρj‬‬
‫‪=ρ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪A‬‬
‫‪13‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נכתוב את הנוסחא האחרונה בצורה‪:‬‬
‫⎞‪⎛ L‬‬
‫)‪ΔV = ⎜ ρ ⎟ i (7‬‬
‫⎠‪⎝ A‬‬
‫¾‬
‫כלומר המתח )הפרש הפוטנציאלים( בין קצות המוליך פרופורציוני לזרם‪.‬‬
‫מקדם הפרופורציה נקרא ההתנגדות החשמלית של המוליך והוא מסומן‬
‫באות ‪(Resistance) R‬‬
‫¾‬
‫באמצעות ההתנגדות חוק אוהם ייכתב באופן הבא‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R=ρ‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪ΔV = iR (9‬‬
‫‪14‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫מנוסחא )‪ (8‬אנו רואים כי להבדיל מההתנגדות הסגולית ההתנגדות כן‬
‫תלויה בגיאומטריה של המוליך‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R=ρ‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪A‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪15‬‬
‫‪V‬‬
‫‪1Ω = 1‬‬
‫היחידה של ההתנגדות החשמלית היא האוהם‪Amp :‬‬
‫ככול שהמוליך ארוך יותר או ששטח החתך שלו צר יותר ההתנגדות‬
‫גדלה‪.‬‬
‫נוסחא )‪ (8‬נכונה עבור מוליכים בעלי שטח חתך אחיד‪ .‬אם שטח החתך של‬
‫המוליך לא אחיד ניתן לחלק את מוליך למוליכים דיפרנציאלים קטנים‬
‫עבורם שטח החתך כמעט ולא משתנה ולהשתמש באינטגרציה‪ ,‬כפי‬
‫שנראה להלן‪ .‬מוליכים המצייתים לחוק אוהם נקראים מוליכים קווים‬
‫בגלל הקשר הקוי בין מתח לזרם חשמלי‪.‬‬
‫אלמנט מעגל המהווה התנגדות נקרא נגד וסימולו הוא‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪ ):3‬חוברת תרגילים תרגיל ‪(90‬‬
‫‪l‬‬
‫למוליך גלילי בעל שטח חתך‪ A‬ואורך ‪ l‬מוליכות סגולית המשתנה לפי ‪σ = σ 0‬‬
‫‪x‬‬
‫כאשר ‪ x‬נמדד מקצה המוליך לאורכו‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את ההתנגדות הכוללת של המערכת‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי צפיפות הזרם במוליך אם נשים הפרש פוטנציאלים ‪ V‬בין קצותיו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה יהיה השדה החשמלי בתוך המוליך כאשר יזרום בו זרם ?‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫א‪ .‬נחלק את הגליל לדסקות בעלות עובי ‪.dx‬‬
‫‪16‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫ההתנגדות של טבעת דיפרנציאלית כזו היא לפי נוסחא )‪:(8‬‬
‫‪d l 1 dx‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪dR = ρ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪A σ A σ 0l A‬‬
‫נבצע אינטגרציה של אלמנט ההתנגדות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪l‬‬
‫∫=‪R‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪0 σ lA‬‬
‫‪2σ 0 A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪l‬‬
‫ב‪ .‬מחוק אוהם נקבל‪:‬‬
‫‪V 2V σ 0‬‬
‫= = ‪V = iR ⇒ i‬‬
‫‪R‬‬
‫‪A‬‬
‫ומכאן נקבל עבור צפיפות הזרם‪:‬‬
‫‪17‬‬
‫‪i 2V σ 0‬‬
‫= =‪j‬‬
‫‪A‬‬
‫‪l‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫ג‪ .‬מחוק אוהם נקבל‪:‬‬
‫‪2Vx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫= ‪j =σE ⇒ E‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪ ):4‬חוברת תרגילים תרגיל ‪(93‬‬
‫חשב את ההתנגדות בין בסיסי חרוט קטום שרדיוס בסיסיו הם ‪ a‬ו‪ b -‬העשוי‬
‫מחומר בעל התנגדות סגולית אחידה ‪.ρ‬‬
‫‪18‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫‪l‬‬
‫נפתור את הבעיה‬
‫כסופרפוזיציה של דסקות‬
‫בעלות עובי ‪ dx‬ורדיוס ‪.r‬‬
‫מהגיאומטריה של הבעיה נקבל‬
‫כי‪r = a + x tan θ :‬‬
‫מצד שני‪:‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b−a‬‬
‫= ‪tan θ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪r =a+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪l‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪dl‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪=ρ‬‬
‫‪dR = ρ‬‬
‫ההתנגדות של דסקה דיפרנציאלית‪:‬‬
‫‪−‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪π [a +‬‬
‫]‪x‬‬
‫‪l‬‬
‫‪19‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חוק אוהם המשך‪...‬‬
‫ומכאן נקבל‪:‬‬
‫‪l‬‬
‫‪b‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪l‬‬
‫‪dy ρ l‬‬
‫∫‪R = ρ‬‬
‫∫‪= ρ‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫) ‪a π (b − a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪b−a 2‬‬
‫‪π ab‬‬
‫‪y‬‬
‫‪π [a +‬‬
‫]‪x‬‬
‫‪l‬‬
‫כאשר בוצעה החלפת משתנה האינטגרציה ל‪:‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‪y =a+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫אם ‪ a=b‬כבגליל הרי שנקבל‪R = ρ 2 = ρ :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪πa‬‬
‫כצפוי ממוליך בעל שטח חתך אחיד‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.3‬המעגל החשמלי הפשוט‬
‫‪ 9‬מעגל חשמלי הוא מסלול הולכה סגור לזרם החשמלי‪.‬‬
‫‪ 9‬כדי שיזרום זרם במעגל הוא חייב להכיל מקור של הפרש פוטנציאלים‪.‬‬
‫‪ 9‬תפקידו של מקור המתח הוא לקיים הפרש פוטנציאלים קבוע בין הדקיו‪.‬‬
‫‪ 9‬במקור מתח אידיאלי הפרש הפוטנציאלים בין קצותיו בלתי תלוי בזרם‪.‬‬
‫בפועל בכל מקור מתח הפרש הפוטנציאלים כן תלוי בזרם‪.‬‬
‫מעגל פשוט ומגמת‬
‫הזרם‬
‫המוסכמת‬
‫‪21‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.3‬המעגל החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ 5.3.1‬מפל המתח על אלמנט התנגדות‪:‬‬
‫אנו יודעים כי מטען חיובי נע מפוטנציאל גבוהה לנמוך‪ ,‬כלומר ‪. Va > Vb‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪R‬‬
‫ובכמה נמוך הפוטנציאל בנקודה ‪ b‬מזה שב‪ ? a -‬את התשובה מספק חוק‬
‫אוהם הקובע כי בין קצותיו של נגד הבדל הפוטנציאלים הוא ‪ .iR‬כלומר‪:‬‬
‫‪Va = Vb + iR‬‬
‫‪22‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.3‬המעגל החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫מפל המתח בין שתי נקודות על פני מוליך אידיאלי הוא אפס כי‬
‫התנגדותו החשמלית היא אפס‪ .‬כתוצאה מכך כל הפרש הפוטנציאלים‬
‫שהסוללה מספקת יימסר לצרכני המעגל‪.‬‬
‫ניתן לדמות את מקור המתח למשאבה הדוחפת את המטענים‬
‫מפוטנציאל נמוך לגבוהה בתוכה ומגבוהה לנמוך במעגל החיצוני‪.‬‬
‫¾‬
‫הסוללה אינה מקור למטען החשמלי!!! היא רק משנעת אותו‪.‬‬
‫¾‬
‫מגמת הזרם המוסכמת‪:‬‬
‫¾‬
‫מגמת הזרם במעגל היא זו שבה מטען חיובי היה זורם במעגל‪ ,‬למרות‬
‫שבדרך כלל מטען שלילי הוא זה שזורם‪.‬‬
‫¾‬
‫‪23‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.3‬המעגל החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ 5.3.2‬שימור המטען החשמלי‪:‬‬
‫המטען החשמלי אינו מצטבר באף נקודה במעגל‪ .‬על כל אלקטרון שנכנס‬
‫למקור המתח בצד אחד יש אלקטרון שיוצא מצידו השני‬
‫‪24‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.3‬המעגל החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫צומת במעגל היא נקודה שבה מתחברים שלושה מוליכים או יותר‪.‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪i3‬‬
‫‪i1‬‬
‫כלל הצומת של קירכהוף‬
‫סך כל הזרמים הנכנסים לצומת שווה לסך כל הזרמים היוצאים ממנו‪.‬‬
‫)‪i1 + i2 = i3 (9‬‬
‫‪25‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.3‬המעגל החשמלי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫כלל הצומת של קירכהוף הוא הצהרה של שימור המטען החשמלי‪.‬‬
‫¾‬
‫‪ 5.3.3‬כוח אלקטרו‪-‬מניע )‪:(e.m.f‬‬
‫¾‬
‫על מנת שיזרום זרם במעגל יש צורך כאמור בהתקן אשר יוצר הפרש‬
‫פוטנציאלים קבוע בין הדקיו‪ .‬אנו יודעים כי במוליך )נגד( המטען זורם‬
‫מפוטנציאל גבוהה לנמוך‪ .‬על מנת שיזרום זרם במעגל הוא חייב לכלול‬
‫התקן בו המטען יזרום מפוטנציאל נמוך לגבוהה‪.‬‬
‫התקן שזו התכונה שלו נקרא מקור של כא"מ‪ ,‬או מקור המתח‪.‬‬
‫הסימון של מקור כא"מ במעגל הוא‪:‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪26‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.3.3‬כוח אלקטרו‪-‬מניע המשך‪...‬‬
‫החץ המציין את הכא"מ מכוון במגמה של עליית הפוטנציאל‪ ,‬כלומר מ ה )‪(-‬‬
‫ל‪(+) -‬‬
‫בציור‪ :‬האישה ממלאת את תפקיד‬
‫מקור המתח בכך שהיא מעלה את‬
‫הכדורים מאנרגיה פוטנציאלית נמוכה‬
‫)הרצפה( לאנרגיה פוטנציאלית גבוהה‪.‬‬
‫הכדורים יפלו דרך הצינור הממולא‬
‫בנוזל צמיגי) המדמה את ההתנגדות(‬
‫מאנרגיה פוטנציאלית גבוהה לנמוכה‬
‫ע"י שדה הגרוויטציה‪ .‬באותו האופן‬
‫מקור הכא"מ מעלה את המטען‬
‫החשמלי החיובי בפוטנציאל‪ .‬משם הוא‬
‫כבר יזרום בנגד "בעצמו" )השדה‬
‫החשמלי ידחוף אותו(‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ 5.3.3‬כוח אלקטרו‪-‬מניע המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫מקור הכא"מ הוא התקן של המרת אנרגיה מסוג מסוים לאנרגיה‬
‫חשמלית‪.‬‬
‫בסוללה ממורת אנרגיה כימית ‪ <-‬חשמלית‪.‬‬
‫בגנראטור מומרת אנרגיה מכאנית‪ <-‬חשמלית‪.‬‬
‫בכול מקור של כא"מ קיימת התנגדות לעצם "הייצור" של הפרש‬
‫הפוטנציאלים‪ .‬אנו נתייחס להתנגדות זו כאל התנגדות אוהמית והיא‬
‫חלק בלתי נפרד של מקור הכא"מ‪.‬‬
‫התנגדות זו נקראת התנגדות פנימית והיא גורמת להקטנת הפרש‬
‫הפוטנציאלים בין הדקי המקור כאשר זורם דרכו זרם‪.‬‬
‫כמותית הכא"מ יוגדר כעבודה שמבצע המקור כאשר הוא מזיז מטען‬
‫חיובי ‪ dq‬מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוהה‪ ,‬ליחידת מטען‪:‬‬
‫‪dW‬‬
‫=‪ε‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪dq‬‬
‫‪28‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.3.3‬כוח אלקטרו‪-‬מניע המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫היחידה של הכא"מ היא‪:‬‬
‫‪J‬‬
‫‪[ε ] = = Volt‬‬
‫‪C‬‬
‫¾‬
‫ניתן גם להגדיר את הכא"מ באופן‪:‬‬
‫)‪(11‬‬
‫¾‬
‫‪r‬‬
‫‪F r‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪q‬‬
‫∫‬
‫=‪ε‬‬
‫כאשר הכוח המופיע בהגדרה האחרונה‬
‫הוא הכוח הפועל בתוך המקור והוא לא‬
‫חשמלי‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.4‬ניתוח של מעגלים פשוטים‬
‫¾‬
‫מטרתנו בניתוח מעגלים היא במציאת הזרם בגודלו וכיוונו‪.‬‬
‫¾‬
‫שלב ראשון בניתוח המעגל הוא קביעת מגמה שרירותית לזרם‪ .‬נקיף‬
‫את המעגל )במגמה כלשהיא( ונסכם את כל הפרשי הפוטנציאלים שאנו‬
‫פוגשים‪ .‬היות והתחלנו מנקודה מסוימת וחזרנו לאותה הנקודה הרי‬
‫ברור שסכום כל הפרשי הפוטנציאלים צריך להיות אפס!!‬
‫‪30‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.4‬ניתוח של מעגלים פשוטים‬
‫‪ 5.4.1‬כלל העניבה של קירכהוף‪:‬‬
‫הסכום האלגברי של כל הפרשי הפוטנציאלים בלולאה סגורה הוא אפס‪.‬‬
‫)‪∑V = 0 (12‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫על מנת להשתמש בנוסחה האחרונה נקיף את המעגל במגמה מסוימת‬
‫ונסכם את כל הפרשי הפוטנציאלים לפי כלל הסימנים הבא‪:‬‬
‫כאשר עוברים במקור מ ה )‪ (-‬ל – )‪ (+‬אנו עולים בפוטנציאל והכא"מ‬
‫יילקח חיובי ולהפך‪.‬‬
‫כאשר אנו עוברים בנגד במגמת הזרם אנו יורדים בפוטנציאל ואת מפל‬
‫המתח על הנגד )‪ (iR‬ניקח עם סימן שלילי ולהיפך‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫ניתוח של מעגלים פשוטים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫והיה וקיבלנו תוצאה שלילית עבור הזרם פירושו של דבר כי מגמת‬
‫הזרם האמיתית הפוכה למגמה אותה ניחשנו‪.‬‬
‫)‪(11‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪−iR + ε = 0 ⇒ i‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫ניתוח של מעגלים פשוטים המשך‪...‬‬
‫עבור מעגל זה נקבל )נקיף לדוגמא נגד מגמת הזרם(‬
‫)‪(12‬‬
‫‪33‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪R1 + R1‬‬
‫= ‪−ε + iR1 + iR2 = 0 ⇒ i‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.4‬ניתוח של מעגלים פשוטים‬
‫‪ 5.4.2‬הפרש פוטנציאלים בין שתי נקודות במעגל‪:‬‬
‫¾ נשתמש בכלל העניבה‪ .‬נתחיל מנקודה מסוימת נרשום את הפוטנציאל‬
‫שלה לדוגמא ‪ Va‬נעבור על פני אלמנטי מעגל )במגמה כלשהיא( עד הגיענו‬
‫לנקודה המבוקשת לדוגמא ‪ Vb‬תוך סיכום של הפרשי פוטנציאלים לפי‬
‫הכללים שפורטו לע"ל‪.‬‬
‫¾ את הפרשי הפוטנציאלים נוכל לחשב רק לאחר שהזרם במעגל חושב‪.‬‬
‫¾ בהמשך לדוגמא קודמת‪:‬‬
‫¾ בענף העליון נקבל‪:‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R1 + R2‬‬
‫¾‬
‫‪Va − iR1 = Vb ⇒ Vab = iR1 = ε‬‬
‫בענף התחתון )דרך המקור( נקבל‪:‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R1 + R2‬‬
‫‪34‬‬
‫‪Va − ε + iR2 = Vb ⇒ Vab = ε − iR2 = ε‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.4‬ניתוח של מעגלים פשוטים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ 5.4.3‬התנגדות פנימית של מקור המתח‪:‬‬
‫¾‬
‫לכל מקור מתח קיימת התנגדות פנימית התלויה בסוג החומרים ממנו‬
‫בנוי המקור‪.‬‬
‫להתנגדות הפנימית יש תוצא לא רצוי של הקטנת מתח ההדקים כפי‬
‫שנראה להלן‪ .‬לצערנו לא ניתן לבטל אותה‪.‬‬
‫ההתנגדות הפנימית מצייתת לחוק אוהם‪ .‬הציור הבא מתאר את מקור‬
‫המתח ואת ההתנגדות הפנימית בצידו‪.‬‬
‫נחשב את הזרם במעגל‪:‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪ε‬‬
‫¾‬
‫= ‪−iR − ir + ε = 0 ⇒ i‬‬
‫‪R+r‬‬
‫ואת מתח ההדקים‪:‬‬
‫‪Va + ir − ε = Vb ⇒ Vab = ε − ir‬‬
‫‪35‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.4‬ניתוח של מעגלים פשוטים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪5‬‬
‫מצא את הזרם במעגל ואת מתח ההדקים על פני כל מקור‬
‫‪ε1 = 2.1V ,ε 2 = 4.4V , r1 = 1.8Ω, r2 = 2.3Ω, R = 5.5Ω‬‬
‫‪36‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פתרון תרגיל דוגמא מספר ‪5‬‬
‫המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נחשב את הזרם במעגל לפי כלל העניבה‪:‬‬
‫‪= 0.24 A‬‬
‫¾‬
‫‪ε 2 − ε1‬‬
‫‪R + r1 + r2‬‬
‫= ‪−iR − ir2 + ε 2 − ε1 − ir1 = 0 ⇒ i‬‬
‫נחשב את מתח ההדקים על פני המקור הימני‪:‬‬
‫‪Vb − ir2 + ε 2 = Va ⇒ Vab = ε 2 − ir2 = +3.8V‬‬
‫¾‬
‫ועל פני המקור השמאלי‪:‬‬
‫‪Va − ε1 − ir1 = Vc ⇒ Vac = ε1 + ir1 = +2.5V‬‬
‫‪37‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 5.5‬רשתות פשוטות של נגדים‬
‫¾ מקור בו מתח ההדקים גדול מהכא"מ הוא מקור בטעינה ולהפך מקור בו‬
‫מתח ההדקים קטן מהמקור נמצא בתהליך פריקה‪.‬‬
‫¾ נדון בשתי צורות חיבור הטורי והמקבילי‪.‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪i‬‬
‫‪R2‬‬
‫חיבור טורי‬
‫חיבור מקבילי‬
‫‪38‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪i‬‬
‫החיבור הטורי‬
‫‪R2‬‬
‫¾‬
‫‪:‬הטורי החיבור מאפייני‬
‫¾‬
‫‪.‬זהה נגד כל דרך הזרם‬
‫‪.‬להתנגדויות בהתאם מתחלק המתח‬
‫‪.‬המקור למתח שווה הכללי המתח‬
‫לזרם זהה השקול המגד דרך הזרם‬
‫‪.‬אלמנט כל דרך‬
‫‪:‬נקבל והשלישית הראשונה מהתכונות‬
‫¾‬
‫¾‬
‫•‬
‫‪:‬נקבל השנייה מהתכונה‬
‫¾‬
‫‪39‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪i‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪VR 1 = iR1 , VR2 = iR2 (13‬‬
‫)‪Vab = VR1 + VR2 (14‬‬
‫הכללי למתח יחובר השקול הנגד‬
‫‪R‬‬
‫)‪Vab = iRT (15‬‬
‫החיבור הטורי המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נציב את )‪ (13‬ו‪ (15) -‬לתוך )‪ (14‬ונקבל‪:‬‬
‫‪iRT = iR1 + iR2‬‬
‫¾‬
‫ומכאן נקבל עבור הנגד השקול‪:‬‬
‫)‪RT = R1 + R2 (15‬‬
‫¾‬
‫עבור מספר כלשהוא של נגדים בטור נקבל‪:‬‬
‫)‪RT = ∑ R (16‬‬
‫‪40‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫החיבור המקבילי‬
‫מאפייני החיבור המקבילי‪:‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ .I‬הזרם מתפצל בצומת‬
‫‪ .II‬כל נגד מחובר באופן בלתי תלוי‬
‫לאותו הפרש הפוטנציאלים‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ .III‬הזרם בנגד השקול הוא הזרם‬
‫הכללי‪.‬‬
‫מתכונה ‪) 1‬כלל הצומת( נקבל‬
‫מתכונה ‪ 2‬נקבל‪:‬‬
‫‪41‬‬
‫‪i1‬‬
‫‪i2‬‬
‫‪R2‬‬
‫)‪i = i1 + i2 (17‬‬
‫)‪Vab = i1R1, Vab = i2 R2 (18‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪i‬‬
‫‪a‬‬
‫החיבור המקבילי המשך‪...‬‬
‫‪ 9‬עבור הנגד השקול נקבל‪:‬‬
‫)‪Vab = iRT (19‬‬
‫‪ 9‬מנוסחאות )‪ (18) (17‬ו‪ (19) -‬נקבל‪:‬‬
‫‪Vab Vab Vab‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪R1 R2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= +‬‬
‫‪RT R1 R2‬‬
‫¾‬
‫עבור מספר כלשהוא של נגדים‪:‬‬
‫‪42‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪= ∑ (20‬‬
‫‪RT‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ 5.6‬מעברי אנרגיה במעגל חשמלי‬
‫‪ .1‬הספק המקור‪:‬‬
‫נחשב את ההספק המתפתח‬
‫בסוללה‪ ,‬דהיינו את הקצב בו‬
‫מומרת האנרגיה הפנימית לאנרגיה‬
‫חשמלית‪ .‬כאשר מטען ‪ dq‬מוסע‬
‫מההדק בעל הפוטנציאל הנמוך‬
‫לגבוהה הסוללה מבצעת עבודה‬
‫ההספק‬
‫בשיעור‪:‬‬
‫המופק על ידי מקור המתח הוא‬
‫הקצב בו המקור מבצע את העבודה‬
‫‪dW = ε dq‬‬
‫דהיינו‪:‬‬
‫‪dW‬‬
‫‪dq‬‬
‫=‬
‫‪=ε‬‬
‫)‪= ε i (21‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪43‬‬
‫‪Pemf‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מעברי אנרגיה במעגל חשמלי המשך ‪...‬‬
‫¾‬
‫יחידת ההספק )מסוג כלשהוא( היא הוואט‪:‬‬
‫‪Joules‬‬
‫‪1W = 1‬‬
‫‪C‬‬
‫¾‬
‫‪ .2‬הספק חום המתפתח בנגד‪:‬‬
‫כאשר מטען ‪ dq‬עובר בנגד הוא חש בהפרש פוטנציאלים‬
‫‪ . dU = dq ΔVR‬אנרגיה זו מעברת לנגד ונוצר בו חום בקצב‪:‬‬
‫)‪(22‬‬
‫‪44‬‬
‫‪dU‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪PR‬‬
‫= ‪= i ΔVR = i R‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מעברי אנרגיה במעגל חשמלי המשך ‪...‬‬
‫¾‬
‫אם קיימת התנגדות פנימית הרי שגם בה מתפתח חום בקצב של ‪:‬‬
‫‪Pr = i r‬‬
‫‪2‬‬
‫¾‬
‫נבדוק את מאזן האנרגיה‪ ,‬כלומר האם ‪ Pemf = PR + Pr‬כפי שמתחייב‬
‫משימור האנרגיה ?‬
‫) ‪iε = i R + i R ⇒ ε = i ( r + R‬‬
‫‪2‬‬
‫¾‬
‫כפי שאכן קורה‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪2‬‬