םיילמשח תודש

‫שדות חשמליים‬
‫בהתפרצויות מרובות של הר הגעש‬
‫סקוראגימה ביפן‪ ,‬נצפו מספר רב‬
‫של התפרקויות חשמליות‬
‫)ניצוצות( מלוות בגלי קול דמויי‬
‫רעם‪ .‬תופעה זו איננה תופעת‬
‫ברקים ורעמים שבה מטען חשמלי‬
‫של ענן מים מתפרק לאדמה‪.‬‬
‫מה קורה לאזור מעל הלוע‬
‫המתחשמל? האם ניתן לומר אם‬
‫הניצוצות נעים מהלוע או כלפי‬
‫הלוע?‬
‫שדה חשמלי‬
‫)‪(Electric Field‬‬
‫מטענים חשמליים מפעילים כוחות זה על זה גם כשהם‬
‫מרוחקים זה מזה‪ .‬כיצד יודע מטען א' על קיומו של‬
‫מטען ב' ? או בניסוח אחר‪ ,‬כיצד יודע מטען א' כי הוא‬
‫אמור להרגיש כוח? כיצד אנו מסבירים את פעילות‬
‫הגומלין בין המטענים?‬
‫כיצד שער יודע על קיומו של הכדור?‬
‫אנו עושים זאת באמצעות מושג השדה החשמלי‪ :‬אנו אומרים‬
‫כי מטען ב' משנה את תכונותיו של המרחב שמסביבו‪ .‬אנו‬
‫אומרים כי הוא יוצר שדה חשמלי בכל המרחב‪ .‬מטען א' חש‬
‫את השדה החשמלי שיצר מטען ב' והשדה החשמלי הוא זה‬
‫"שמספר" לו כי עליו לחוש כוח‪.‬‬
‫שדה מהו ?‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫לטמפרטורה יש ערך מוגדר בכל נקודה בחדר‪ .‬נוכל למדוד אותה ע"י הצבת‬
‫מד חום בכול נקודה‪ .‬לאחר מכן נוכל לייצג את הטמפרטורה או ע"י ציור מפה‬
‫)דיאגראמה( או על ידי מתן פונקציה מתמטית ) ‪ T ( x, y, z‬שניתן יהיה לחשב‬
‫ממנה את הטמפרטורה בכל נקודה ונקודה ע"י הצבת שיעוריה ‪. x, y, z‬‬
‫הפונקציה הנ"ל‪, T ( x, y , z ) ,‬נקראת שדה טמפרטורה‪.‬‬
‫זהו שדה סקלרי )‪ (scalar field‬כי הטמפרטורה היא ‪r‬סקלר‪.‬‬
‫באופן דומה נוכל להגדיר שדה של מהיריות ) ‪.V ( x, y , z‬‬
‫במקרה זה השדה הינו ווקטורי )‪ (vector field‬ויש לו שלושה רכיבים ‪:‬‬
‫) ‪Vx ( x, y, z ),Vy ( x, y, z ),Vz ( x, y, z‬‬
‫‬
‫שדה כזה שתלוי רק בקואורדינאטות המרחב אך לא בזמן קרוי‬
‫שדה סטטי‪.‬‬
‫הגדרת השדה החשמלי‬
‫ על מנת להגדיר את השדה החשמלי בנקודה מסוימת במרחב נציב‬
‫שם מטען בוחן קטן )‪ (Test Charge‬וחיובי‪ . q0 ,‬נמדוד או נחשב‬
‫בעזרת חוק קולון את הכוח שמופעל עליו על ידי כל המטענים‬
‫האחרים )מטעני מקור( )לא מתוארים בציור( ונגדיר את השדה‬
‫החשמלי באופן הבא‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪p‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r F‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪p + E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪q0‬‬
‫‬
‫הכיוון של השדה החשמלי הוא ככוונו של הכוח כי המטען הבוחן חיובי‪.‬‬
‫השדה החשמלי הוא למעשה כוח ליחידת מטען חשמלי ולכן היחידה שלו‬
‫‪r‬‬
‫‪N‬‬
‫היא ניוטון‪/‬קולון‪:‬‬
‫‬
‫לאחר שמצאנו את השדה החשמלי באופן שהוסבר בכל נקודה ונקודה נוכל‬
‫לחשב את הכוח שיפעל על מטען אחר )לא המטען הבוחן( שיושם בנקודת‬
‫השדה לפי‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫= ‪E‬‬
‫‪  C‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪F = qE‬‬
‫‪r‬‬
‫ כאן ‪ E‬הוא השדה שנוצר על ידי מטענים אחרים ולא על ידי ‪. q‬‬
‫ מנוסחא )‪ (5‬ברור כי כיוון הכוח הפועל על מטען חיובי הוא ככיוון‬
‫השדה וכיוון הכוח הפועל על מטען שלילי הפוך לכיוון השדה‪.‬‬
‫קווי שדה חשמלי )‪(electric field lines‬‬
‫קווי שדה חשמלי )קווי כוח( הוצעו ע"י פרדי לאפשר המחשה של שדות חשמליים‪.‬‬
‫קווי השדה החשמלי הם בעלי התכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬בכל נקודה המשיק לקו השדה נותן את כיוון השדה החשמלי‪.‬‬
‫‪ .2‬מספר קווי השדה החותכים יחידת שטח המאונכת להם פרופורציוני לגודל‬
‫השדה‪ .‬ככל שהקווים יותר צפופים‪ ,‬השדה יותר חזק‪.‬‬
‫‪ .3‬קווי השדה החשמלי אינם יכולים להיחתך!‪.‬‬
‫‪ .4‬קווי השדה מתחילים ממטען חיובי ומסתיימים במטען שלילי‪.‬‬
‫‪+‬‬
‫‪E‬‬
‫‪-‬‬
‫קווי שדה חשמלי של כדור טעון‬
‫מטען שלילי הומוגני‪.‬‬
‫הקווים ישרים וצפיפותם גדלה ככל‬
‫שהם יותר קרובים למטען‪ .‬כוונם‬
‫הוא כלפי המטען השלילי כיון שזהו‬
‫כיוון הכוח הפועל על מטען חיובי‬
‫בתוך השדה‪.‬‬
‫‪Van de Graaff‬‬
‫לוח מישורי אינסופי טעון במטען חיובי‬
‫צפיפות הקווים אחידה מראה שהשדה החשמלי‬
‫אינו תלוי במרחק מהמשטח‪.‬‬
‫‪Some electric field configurations‬‬
‫קווי שדה חשמלי של זוג מטענים‬
‫חיוביים ושווים‪.‬‬
‫קווי שדה חשמלי של זוג מטענים‬
‫שווים‪ ,‬אחד שלילי והשני חיובי‪ .‬זהו‬
‫דיפולי חשמלי‪.‬‬
‫השדה החשמלי של מטענים נקודתיים‬
‫‬
‫‬
‫נציב מטען בוחן חיובי‪ q0‬בקרבתו‬
‫של מטען נקודתי ‪ q‬ונחשב את הכוח לפי‬
‫‪r‬‬
‫חוק קולון‪:‬‬
‫‪qq0‬‬
‫ˆ‪F = k 2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫גודלו של השדה החשמלי‬
‫נתון ע"י נוסחא )‪ (4‬לאמור‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r F‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪E‬‬
‫ˆ‪= k 2 r‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪r‬‬
‫כיוונו של השדה החשמלי‬
‫הוא ככיוונו של הכוח והוא‬
‫פונה החוצה מ ‪ q‬אם הנ"ל‬
‫חיובי ולהפך‪.‬‬
‫השדה החשמלי של מטענים נקודתיים‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫השדה החשמלי מכוון החוצה ממטען החיובי ופנימה אל מטען‬
‫שלילי‪.‬‬
‫השדה החשמלי הוא פונקציה של המקום‪ .‬הוא יכול להשתנות גם‬
‫בגודל וגם בכיוון במעבר מנקודה לנקודה‪.‬‬
‫כיצד נחשב את השדה הנוצר ע"י אוסף של מטענים נקודתיים ?‬
‫התשובה היא פשוטה באמצעות עקרון הסופרפוזציה‪ ,‬דהיינו‬
‫נחשב את השדה הנוצר ע"י כל מטען בנפרד ונחבר את השדות‬
‫וקטורית‪.‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪r r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E = E1 + E2 + E3 + ...+ = ∑ En‬‬
‫‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫בציור הבא מתוארים שני מטענים נקודתיים חיובים‪ q1 ,‬ו ‪q2 > q1‬‬
‫שהמרחק ביניהם הוא ‪ .L‬מצא על הקו המקשר ביניהם נקודה או נקודות‬
‫שהשדה השקול בהם הוא אפס‪.‬‬
‫‬
‫נסמן את הנקודה המבוקשת ב ‪ . p‬כך שהיא במרחק ‪ x‬מהמטען‬
‫השמאלי ובמרחק ‪ L-x‬מהימני‪ .‬שני המטענים יוצרים בנקודה‬
‫הנ"ל שדות בעלי כיוונים הפוכים‪ .‬נדרוש שהשדה בנקודה ‪p‬‬
‫יתאפס ונפעיל את נוסחא )‪ (6‬עבור השדה של מטען נקודתי‪.‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪∑ Ep = 0 ⇒ k 2 = k‬‬
‫‪x‬‬
‫‪( L − x)2‬‬
‫‪L‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪1 ± q2 / q1‬‬
‫התקבלו שני פתרונות‪ ,‬מי מהם הנכון ? אולי שניהם ?‬
‫מטען בשדה חשמלי‬
‫עד עתה טיפלנו במקור השדה‪ .‬כעת נטפל בהשפעת השדה ‪ E‬על מטען ‪q‬‬
‫)שאיננו מקור השדה( הנמצא בו‪.‬‬
‫‪F qE‬‬
‫= =‪a‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪F = q E = ma‬‬
‫כלומר למטען הנמצא בשדה חשמלי יש תאוצה והבעיה הופכת להיות‬
‫בעיה קינמטית‪.‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪.1‬המטען נכנס במהירות ‪ v0‬בכיוון השדה‬
‫‪E‬‬
‫‪qE‬‬
‫‪v = v0 +‬‬
‫‪t‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1 qE 2‬‬
‫‪r = r 0 + v0 t +‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2 m‬‬
‫ברקי הר הגעש‬
‫כאשר הר הגעש מתפרץ‪ ,‬הוא פולט אפר לאוויר‪ .‬האפר נובע מכך שמים בהר הגעש‬
‫הופכים פתאום לקיטור ע"י הלבה הרותחת‪ .‬כתוצאה מכך הסלעים מתפוררים‪.‬‬
‫תוצאה מכך נפרדים המטענים החיוביים‬
‫והשליליים‪.‬באפר ובקיטור הנפלטים נמצאים כיסים‬
‫של מטענים כאלו‪ .‬ככל שמספר הכיסים גדל‪ ,‬השדה‬
‫החשמלי בין הכיסים‪ ,‬ובין הכיסים והר הגעש גדל‪.‬‬
‫כאשר הוא מגיע לערך של ‪ 3×106 N/C‬האוויר‬
‫מתחיל להוליך חשמל כתוצאה מיוניזציה‪.‬‬
‫מולקולות האוויר במסלולי המוליכות הרגעיים‬
‫משחררים אלקטרונים המואצים ע"י השדה‬
‫החשמלי‪ .‬האלקטרונים מתנגשים במולקולות‬
‫האוויר הפולטות אור‪.‬‬
‫הניצוצות מתפתלים הן כלפי מטה והן כלפי מעלה‪ .‬ניתן להבחין בכיוון ההתפתלות‬
‫לפי כיוון הפיצול‪.‬‬
‫השדה של התפלגויות מטען רציפות‬
‫מאחר וחוק קולון ישים רק למטענים נקודתיים לא נוכל להשתמש בן עבור התפלגויות מטען‬
‫רציפות כפשוטו‪ .‬על מנת לחשב את השדה של התפלגויות מטען רציפות‪ ,‬נפעל לפי השלבים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬נחלק את הצורה להרבה אלמנטי מטען דיפרנציאלים הנושאים‬
‫מטען ‪ . dq‬לכל צורה כזו יש אורך‪ ,‬שטח‪ ,‬או נפח אופייניים‬
‫בהתאם לאופן בו מפוזר המטען‪.‬‬
‫‪ .2‬נבטא את ‪ dq‬באמצעות גודל האלמנט וצפיפות המטען )יורחב להלן(‪,‬‬
‫המתארת כיצד המטען מפוזר על פני אורך‪ ,‬שטח‪ ,‬או נפח‪.‬‬
‫‪ .3‬נביע את גודלו של השדה החשמלי הנובע מ ‪dq‬‬
‫בנקודה‬
‫המבוקשת לפי‪:‬‬
‫| ‪| dq‬‬
‫‪dE = k 2‬‬
‫‪r‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק בין האלמנט לנקודה בה אנו רוצים לחשב את השדה‪.‬‬
‫‪ .4‬נקבע את כיוון השדה לפי מיקום המטען והנקודה בה אנו נדרשים‬
‫לחשב את השדה‪.‬‬
‫‪ .5‬השדה הכללי יימצא ע"י אינטגרציה על השדה הדיפרנציאלי‪.‬‬
‫‪ .6‬בדרך כלל שיקולי סימטריה יאפסו את אחד מרכיבי השדה‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E = ∫ dE ⇒ Ex = ∫ dEx , E y = ∫ dE y , Ez = ∫ dEz‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dq‬‬
‫ˆ‪E = k ∫ 2 r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ .1‬צפיפות המטען אורכית ‪ λ‬מתארת כיצד המטען מפוזר על פני‬
‫אורך‪ .‬היחידה של ‪ λ‬היא ‪ . [ λ ] = c / m‬עבור אלמנט‬
‫דיפרנציאלי אורכי ‪ dx‬נקבל עבור המטען‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dq = λ dx‬‬
‫אם צפיפות המטען אחידה )זהה בכל מקום אז(‬
‫‪q‬‬
‫=‪λ‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫עבור אלמנט דיפרנציאלי לאורך קשת מעגלית שאורכה ‪ds‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dθ‬‬
‫) ‪dq = λ ds = λ ( Rdθ‬‬
‫‪(2‬‬
‫צפיפות שטחית ‪σ‬‬
‫שטח‪.‬‬
‫עבור צפיפות אחידה‬
‫מתארת כיצד המטען מפוזר על פני שטח )מטען חלקי‬
‫‪q‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪A‬‬
‫היחידה של ‪ σ‬היא‪ c / m2‬עבור אלמנט דיפרנציאלי ששטחו ‪dA‬‬
‫נקבל עבור המטען‪ . dq = σ dA:‬אם לדוגמא השטח הוא מלבן הרי ש‪:‬‬
‫‪dA = dxdy‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪dx‬‬
‫אם השטח הוא לדוגמא טבעת שרדיוסה‪ r‬ועובייה‪ dr‬הרי ש‪:‬‬
‫‪dA = (2π r )dr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ (3‬צפיפות נפחית ‪ ρ‬מתארת כיצד המטען מפוזר על פני נפח‬
‫)מטען חלקי נפח(‪ .‬עבור צפיפות אחידה‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪ρ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪3‬‬
‫שנפחו‬
‫רנציאלי‬
‫דיפ‬
‫אלמנט‬
‫עבור‬
‫‪.‬‬
‫היחידה של ‪ ρ‬היא ‪c / m‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪dq = ρ dV‬‬
‫לדוגמא עבור נפחה של קליפה כדורית שרדיוסה ‪ r‬ועובייה ‪dr‬‬
‫נקבל‪dV = 4π r 2 dr :‬‬
‫‪dr‬‬
‫כי שטח פני כדור הוא‪4π r 2 :‬‬
‫השדה של מוט טעון בצפיפות אחידה‬
‫נתון מוט בעל אורך ‪ L‬הטעון חיובית בצפיפות מטען אורכית ‪ λ‬ומטען כללי ‪q‬‬
‫חשב את השדה החשמלי בגובה ‪ y‬ממרכז המוט לאורך האנך האמצעי למוט‪.‬‬
‫ראשית נבחן את הסימטריה‬
‫של הבעיה‪ .‬נביט באלמנט מטען‬
‫דיפרנציאלי ‪ dq‬הנמצא בגובה ‪z‬‬
‫מעל הראשית שעוביו ‪ .dz‬הנ"ל‬
‫‪r‬‬
‫יוצר שדה ‪ dE‬בזווית ‪ θ‬מתחת לציר‬
‫ה – ‪ .x‬כעת ברור כי בגלל המצב‬
‫הסימטרי קיים אלמנט מטען זהה‬
‫הנמצא בגובה ‪ z‬מתחת לראשית‪.‬‬
‫הנ"ל יוצר שדה בעל גודל זהה )מדוע ?(‬
‫ובכיוון ‪ θ‬מעל ציר ה‪.x -‬‬
‫לאור האמור לעיל ברור כי רכיב ה –‪z‬‬
‫של השדה מתאפס )גם רכיה ה –‪ .(x‬ומכאן‬
‫ברור לנו כי השדה החשמלי ניצב למוט‪.‬‬
‫נותר לנו לחשב את ערכו‪.‬‬
‫ראשית נחשב את ‪ . dq‬בגלל שהמטען מפוזר לאורך‬
‫‪ dq‬עבור גודל השדה‬
‫קו הרי שנוכל לרשום ‪. = λ dz‬‬
‫החשמלי נקבל מחוק קולון‪:‬‬
‫‪dq‬‬
‫‪λ dz‬‬
‫‪dE = k 2 = k 2‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪(z + y2‬‬
‫כאשר הצבנו את כמות המטען והשתמשנו‬
‫במשפט פיתגורס על מנת להביע את ‪ r‬באמצעות ‪.z‬‬
‫עבור רכיב ה –‪ y‬נקבל‪:‬‬
‫‪λ ydz‬‬
‫‪( z 2 + y 2 )3/ 2‬‬
‫‪=k‬‬
‫‪λ dz‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(z + y ) z + y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dE y = dEcosθ = k‬‬
‫כל שנותר לעשותו הוא לבצע אינטגרציה על אורך המוט בגבולות המתאימים‪.‬‬
‫‪dz‬‬
‫‪kλ L‬‬
‫=‬
‫∫ ‪E = kλ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3/‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪L‬‬
‫‪/4‬‬
‫) ‪−L/2 (z + y‬‬
‫‪L/2‬‬
‫כאשר השתמשנו בתוצאת האינטגרל‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ ( x2 + a 2 )3/ 2 = a 2 x 2 + a 2‬‬
‫את התוצאה האחרונה עבור השדה של המוט נוכל להביע באמצעות המטען הכללי‪.‬‬
‫מאחר והמוט טעון בצפיפות אחידה הרי ש‪ λ = q / L :‬ומכאן נקבל‪:‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪y y2+L2 /4‬‬
‫=‪E‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪k q‬‬
‫‪y y + L /4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪E‬‬
‫נבחן את הביטוי הנ"ל‪ :‬כאשר נקודת ההסתכלות רחוקה מאוד‬
‫כלומר כאשר ‪ y>>L‬נוכל להשתמש בקירוב הבינום‪:‬‬
‫‪− 1/ 2 kq  1‬‬
‫‪kq ‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫≈‬
‫‪−‬‬
‫≈‬
‫=‪E‬‬
‫)‪1 + ( L / 2 y‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫‪L‬‬
‫‪/‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y2‬‬
‫)‪y 1 + ( L / 2 y‬‬
‫‪kq‬‬
‫הווה אומר המוט מתנהג כמטען נקודתי בנקודות רחוקות וזה לא מפתיע‪.‬‬
‫מה נקבל אם המוט הוא אינסופי באורכו ? ניקח את הגבול של משוואה )‪ (1‬לאינסוף )נשתמש‬
‫בגרסה הכתובה באמצעות צפיפות המטען( )כי המטען במוט בעל אורך אינסופי גם הוא‬
‫אינסופי( ונקבל‪:‬‬
‫‪2k λ‬‬
‫‪lim(k λ‬‬
‫=)‬
‫∞→‪L‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y y 2 + L2 / 4‬‬
‫‪L‬‬
‫או באמצעות הקבוע החשמלי‪:‬‬
‫שדה של תיל אינסופי‪:‬‬
‫‪λ 1‬‬
‫=‪E‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪2πε o y‬‬
‫נשאלת השאלה מה התועלת בביטוי שכזה הרי אין במציאות תיל אינסופי‪ .‬ובכן כאשר‬
‫מסתכלים על התיל מקרוב ורחוק מקצותיו הוא נראה לנו אינסופי והביטוי המקורב והפשוט‬
‫נותן תוצאה משביעת רצון‪.‬‬
‫הגרף הבא ממחיש את הפתרון המדויק לעומת המקורב עבור מוט שאורכו ‪1m‬‬
‫ועבור מוט אינסופי באורכן בעלי אותה צפיפות מטען‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫‪15‬‬
‫מקורב‬
‫‪10‬‬
‫מדויק‬
‫‪5‬‬
‫ניתן לראות כי קרוב למוט‬
‫הפתרונות כמעת ומתלכדים‬
‫‪0‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-15‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪E‬‬
‫השדה של טבעת מעגלית‬
‫חשב את השדה של טבעת מעגלית בעלת רדיוס ‪ R‬והטעונה בצפיפות מטען‬
‫אורכית ‪ λ‬ובגובה ‪ z‬מעל מרכז הטבעת על ציר הסימטריה‪.‬‬
‫ראשית נשים לב שבגלל‬
‫הסימטריה הרכיב האופקי‬
‫של השדה )המקביל לטבעת(‬
‫מתאפס‪ .‬הדבר נובע כי לכל‬
‫אלמנט מטען ‪ dq‬יש אלמנט זהה‬
‫הנמצא מצידו השני של הקוטר‬
‫ומרחקו מנקודת השדה זהה‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dE‬‬
‫‪dEz‬‬
‫נביע את אלמנט המטען‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dE‬‬
‫)‪dq = λ ds = λ ( Rdφ ) (1‬‬
‫גודל השדה הוא‪:‬‬
‫‪dq‬‬
‫‪λ Rdφ‬‬
‫‪dE = k 2 = k 2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪(z + R‬‬
‫עבור רכיב ה –‪ z‬נקבל‪:‬‬
‫‪λ Rzdφ‬‬
‫)‪(3‬‬
‫) ‪(z + R‬‬
‫‪2 3/ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dEz = dE cos θ = k‬‬
‫נבצע את האינטגרציה הזוויתית הפשוטה לקבלת‪:‬‬
‫‪λ (2π R ) z‬‬
‫‪( z 2 + R 2 )3/ 2‬‬
‫‪Ez = k‬‬
‫‪dEz‬‬
‫נוכל להביע את התוצאה הסופית באמצעות המטען הכללי של הטבעת‪:‬‬
‫‪qz‬‬
‫‪Ez = k 2‬‬
‫‪( z + R 2 )3/ 2‬‬
‫‬
‫‬
‫נשים לב שבמרכז הטבעת ובמישורה )‪ (z=0‬השדה מתאפס ולכן על מטען‬
‫שיושם של לא יפעל כל כוח‪.‬‬
‫במרחק רב מהטבעת‪ z>>R ,‬נקבל ע"י פיתוח הבינום‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪kqz‬‬
‫‪ R   kq‬‬
‫‪= 3 1 +    ≈ 2‬‬
‫‪z   z   z‬‬
‫‬
‫זוהי התנהגות של מטען נקודתי‪.‬‬
‫‪qz‬‬
‫‪Ez = k 2‬‬
‫‪( z + R 2 )3/ 2‬‬
‫השדה של דסקה מעגלית‬
‫חשב את השדה של דסקה מעגלית‬
‫שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען ‪σ‬‬
‫ובגובה ‪ z‬מעל מרכזה‪.‬‬
‫את השדה של דסקה נחשב‬
‫כסופרפוזציה של טבעות מטען אותם‬
‫חקרנו‬
‫בסעיף הקודם‪ .‬נביט בטבעת שרדיוסה‬
‫‪ w‬ועובייה ‪dw‬‬
‫את הביטוי עבור השדה של‬
‫טבעת בעלת מטען ‪ q‬ורדיוס ‪R‬‬
‫קיבלנו בסעיף הקודם‪ .‬כאן הרדיוס‬
‫של הטבעת הוא ‪ w‬ומטענה הוא ‪dq‬‬
‫לפיכך הביטוי עבור השדה הינו‪:‬‬
‫‪z dq‬‬
‫‪dE = k 2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪2 3/2‬‬
‫) ‪(z + w‬‬
‫כעת כמות המטען היא‪:‬‬
‫)‪dq = σ dA = σ (2π w dw ) (2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dE‬‬
‫נציב את כמות המטען )‪ (2‬בביטוי עבור השדה ונבצע אינטגרציה על ‪ w‬מ ‪0‬‬
‫ועד ל – ‪.R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪w‬‬
‫‪1‬‬
‫∫ ‪Ez = 2π kσ z‬‬
‫‪= 2π kσ z  −‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3/ 2‬‬
‫‪ w + z 0‬‬
‫‪0 w + z‬‬
‫)‬
‫כאשר נעשה שימוש באינטגרל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (3‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪ z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪= 2π kσ  −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫ ( x 2 + a 2 ) dx = − x 2 + a 2‬‬
‫נביע את התוצאה הסופית באמצעות המטען הכללי‪ .‬היות וצפיפות המטען‬
‫‪q‬‬
‫אחידה הרי ש‪:‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪π R2‬‬
‫נציב עבור צפיפות המטען ונקבל עבור נקודה מעל המישור ‪: z > 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2kq ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪Ez = 2  1 −‬‬
‫)‪ (4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪z +R ‬‬
‫נבדוק התנהגות במרחק גדול‪:‬‬
‫‪2kq ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 −1/ 2 ‬‬
‫= ‪Ez = 2 1 − z ( z + R ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪R ‬‬
‫‪2 −1/ 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2kq‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2kq‬‬
‫‪1 R  kq‬‬
‫‪) = 2‬‬
‫‪1 − 1 + 2   ≈ 2 1 − (1 −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪R  ‬‬
‫‪z   R ‬‬
‫‪2 z  z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫גם כאן אנו רואים כי השדה של דסקה מתנהג כשדה של מטען‬
‫נקודתי עבור מרחקים גדולים‪.‬‬
‫נבדוק מה קורה בגבול ∞ → ‪ R‬ז‪.‬א הדסקה נהפכת למישור מטען‬
‫איסופי‪ .‬כמובן שנצטרך לבדוק את הביטוי )‪ (3‬הכתוב באמצעות‬
‫צפיפות המטען ולא את הביטוי )‪.(4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪lim  2π kσ 1 −‬‬
‫‪= 2π kσ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∞→ ‪R‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫באמצעות הקבוע החשמלי נקבל עבור השדה של מישור מטען‬
‫אינסופי‪:‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪2ε 0‬‬
‫=‪E‬‬
‫זהו שדה אחיד המאונך למישור המטען ובלתי תלוי במרחק מהמישור‬