לוביק םילבקו (capacitors) (capacitance)

‫קיבול )‪(capacitance‬‬
‫וקבלים )‪(capacitors‬‬
‫קבל )‪ (Capacitor‬הוא התקן חשמלי האוגר אנרגיה ומטען חשמליים‪ .‬הקבל עשוי‬
‫משני לוחות מוליכים שביניהם חומר מבודד או ריק‪ .‬הלוחות נושאים מטענים‬
‫שווים בגודלם אך הם הפוכי סימן‪ .‬המטען הכללי של קבל הוא תמיד אפס‪.‬‬
‫הגדרת הקיבול‬
‫‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪d‬‬
‫‪σ‬‬
‫= ‪V = ϕ + − ϕ − = Ed‬‬
‫=‪d‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0 A‬‬
‫‪q = CV‬‬
‫הקיבול הוא מקדם הפרופורציה בין המטען על מוליך אחד‬
‫ובין הפרש הפוטנציאלים בין שני המוליכים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫= ) ‪[C ] = F ( farad‬‬
‫=‬
‫‪Volt Nm‬‬
‫‪ε0 A‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪C‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫מהו גודל של קבל אם הקיבול ‪ C=1 F‬ומרחק בין ה לוחות ‪?d = 1mm‬‬
‫‪L ~ 10 km‬‬
‫‪R ~ 6 km‬‬
‫סימול‬
‫של קבל‬
‫‪C‬‬
‫מקור‬
‫מתח‬
‫‪+‬‬
‫‪-‬‬
‫מפסק‬
‫כשאנו טוענים קבל אנו מוצאים כי המטען על לוחותיו תמיד פרופורציוני‬
‫להפרש הפוטנציאלים ‪ V‬בין לוחותיו‪ .‬לפיכך הגדרגו את היחס הקבוע בין‬
‫המטען להפרש הפוטנציאלים כקיבול הקבל )‪(capacitance‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪C = (1‬‬
‫‪V‬‬
‫חישוב הקיבול‬
‫לחישוב קיבולת מבצעים את השלבים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬טוענים את המוליכים במטען ‪.±q‬‬
‫‪ .2‬מחשבים את השדה החשמלי ‪ E‬הנוצר מהטעינה‪.‬‬
‫‪ .3‬מחשבים‪ ,‬בעזרת ‪ ,E‬את הפרש הפוטנציאלים ‪ V‬בין המוליכים‬
‫‪ .4‬מחשבים את ‪ C‬מהיחס בין המטען ‪ q‬והפרש הפוטנציאלים ‪.V‬‬
‫חישוב השדה ‪.E‬‬
‫‪ε0 ∫ E ⋅ dA = q‬‬
‫‪+‬‬
‫חישוב הפרש הפוטנציאלים ‪:V‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪V = ∫ E ⋅ ds‬‬
‫‪−‬‬
‫קבל טבלות מקבילות‬
‫מחוק גאוס )בקירוב טבלאות אינסופיות( ומעקרון‬
‫הסופרפוזיציה נקבל כי השדה בתוך הקבל )מחוץ‬
‫לקבל הוא כמובן אפס(‪.‬‬
‫הפרש הפוטנציאלים הוא‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪q ε0 A‬‬
‫= =‪C‬‬
‫‪V‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪q = ε 0 EA (2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪d‬‬
‫= ‪V = ∫ E ⋅ ds = Ed‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ε0 A‬‬
‫‪−‬‬
‫קבל כדורי‬
‫הקבל הכדורי מורכב מכדור פנימי בעל רדיוס ‪ a‬ומקליפה כדורית‬
‫חלולה שרדיוסה הפנימי הוא ‪.b‬‬
‫‪1 q‬‬
‫)‪(a < r < b‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪4πε0 r 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪q dr‬‬
‫‪q b−a‬‬
‫‪V = ∫ Eds = −‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫‪4πε0 b r‬‬
‫‪4πε0 ab‬‬
‫‪−‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪C = 4πε0‬‬
‫‪b−a‬‬
‫גם כאן רואים כי הקיבול הוא תכונה גיאומטרית‪.‬‬
‫אם ∞→‪ b‬מקבלים קיבולת של כדור בודד שרדיוסו ‪R‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪C = 4πε0 R‬‬
‫תרגיל ‪:‬‬
‫מה קיבולו של כדור הארץ בהנחה שהו כדור אחיד שרדיוסו‬
‫‪.R=6370km‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נוכל לייחס קיבול לכדור יחיד המבודד מסביבתו על ידי כך שנניח כי "הלוח‬
‫החסר" הוא קליפה כדורית מוליכה שרדיוסה אינסופי‪ .‬מנוסחה )‪ (6‬נקבל‬
‫‪C = 4πε 0 R = 710 µ F‬‬
‫קבל גלילי‪:‬‬
‫נתון קבל גלילי שאורכו ‪ L‬ומורכב משני גלילים‬
‫קואקסיאליים בעלי רדיוס ‪) a‬פנימי( ו – ‪b‬‬
‫)חיצוני(‪ .‬נתון כי ‪) L >> b‬אין תופעות קצה(‪.‬‬
‫משטח גאוסי בצורת גליל שרדיוסו ‪ r‬ואורכו ‪.L‬‬
‫)‪q = ε 0 EA = ε 0 E (2πrL‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2πε 0 Lr‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪q‬‬
‫‪b‬‬
‫‪V = ∫ Eds = −‬‬
‫=‬
‫) (‪ln‬‬
‫∫‬
‫‪2πε 0 L b r‬‬
‫‪2πε 0 L a‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪q‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C = = 2πε 0‬‬
‫‪V‬‬
‫)‪ln(b a‬‬
‫חיבור קבלים‬
‫כאשר מחברים שני קבלים ניתן להחליפם בקבל שווה ערך‪ .‬כל קבל מורכב‬
‫משני מוליכים‪ .‬כלומר נתונים ‪ 4‬מוליכים בסידור נתון‪ .‬ננסה לחשב את‬
‫ערכו של הקבל שווה הערך‪ .‬קיימים שתי דרכים לחיבור קבלים‪.‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C2‬‬
‫חיבור טורי‬
‫חיבור מקבילי‬
‫חיבור טורי‬
‫במקרה זה שני מוליכים מחוברים )מקוצרים( והשניים האחרים נשארים חופשיים‬
‫לחיבור למקור המתח במעגל החשמלי‪ .‬באופן סימבולי חיבור טורי מתואר‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪b‬‬
‫נתון קבל טבלאות‬
‫מקבילות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C = ε0‬‬
‫‪d‬‬
‫נכניס לתוך הקבל לוח מוליך דק המחלק‬
‫את המרחק לשני חלקים ‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫אם המוליך המרכזי דק מאוד‬
‫‪d = d1 + d 2‬‬
‫השדה במוליך המרכזי הוא אפס‪ .‬כדי לקבל מצב זה‬
‫מטענים מושרים על שני צדדיו ששווים למטענים‬
‫המקוריים‪ .‬נוצרו לנו שני קבלים המחוברים בטור‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C2 = ε0‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪-‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C1 = ε 0‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d = ε 0 = d1 + d 2 = ε 0 + ε 0‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪C C1 C 2‬‬
‫מסקנה נוספת שעל כל הקבלים בחיבור טורי יש אותו מטען‪ .‬ז"א‬
‫הפרש הפוטנציאלים עליהם שונה‪ .‬תוצאה של ‪V=q/C‬‬
‫‪d‬‬
‫החיבור המקבילי‬
‫כאן מחברים את ארבעת המוליכים בזוגות‬
‫וכל זוג למקור המתח‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫נתבונן שוב בקבלי טבלאות‪ .‬נחבר את הטבלאות‪.‬‬
‫קיבלנו קבל ששטח הטבלאות הוא סכום שטחי‬
‫הטבלאות של הקבלים המקוריים‪.‬‬
‫‪A = A1 + A 2‬‬
‫‪C2d‬‬
‫‪Cd‬‬
‫= ‪A2‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪-‬‬
‫‪C1d‬‬
‫= ‪A1‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪-‬‬
‫‪C = C1 + C 2‬‬
‫דרך אחרת‪:‬‬
‫‪ C = C1 +C2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪q = CV = q1 +q2 = C1V + C2V‬‬
‫‪+‬‬
‫חיבור טורי‬
‫חיבור מקבילי‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∑=‬
‫‪C‬‬
‫‪Ci‬‬
‫‪C = ∑ Ci‬‬
‫רשתות פשוטות של קבלים‬
‫תרגיל ‪:‬‬
‫מצא את הקיבול השקול של הרשת אם נתון‪C1 =12µF,C2 = 5.3µF,C3 = 4.5µF :‬‬
‫מצא את הקיבול שקול של כל המערכת ואת המטען על ‪ C1‬אם לרשת ניתן מתח‬
‫של ‪.12.5V‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C12‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪CT‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫קבלים ‪ C1‬ו –‪ C2‬מחוברים במקביל ולכן קיבולם השקול הוא‬
‫סכומם‪ .C12=C1+C2 ,‬צירוף זה מחובר בטור עם ‪ C3‬ולכן‪:‬‬
‫‪CT = 3.57 µF‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪V1 = V12 = V‬‬
‫‪C 3 + C12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪CT C1 + C 2 C 3‬‬
‫‪qT = CT Vab = C12V12 = C 3V3‬‬
‫‪C1C 3‬‬
‫‪q1 = C1V1 = V‬‬
‫‪= 31µC‬‬
‫‪C 3 + C12‬‬
‫‪Vab = V12 + V3‬‬
‫אנרגיה אגורה בשדה חשמלי‬
‫קבל טעון אוגר בתוכו אנרגיה‪ ,‬או במילים‬
‫אחרות מקור המתח ביצע עבודה בטעינת‬
‫הקבל‪ .‬האנרגיה האגורה בקבל ניתנת‬
‫למחזור כאשר נאפשר לקבל להיפרק‪.‬‬
‫כדי לטעון קבל יש לעשות עבודה‪ .‬טעינת קבל‬
‫היא מעבר מטען שלילי ’‪ dq‬מהקוטב החיובי‬
‫לשלילי‪.‬‬
‫‪q 2 CV 2 1‬‬
‫=‪U‬‬
‫=‬
‫‪= 2 qV‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪2‬‬
‫צפיפות האנרגיה‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫’‪dq‬‬
‫’‪-q‬‬
‫’‪+q‬‬
‫'‪q‬‬
‫' ‪dW = V' dq ' = dq‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫= ' ‪W = ∫ q' dq‬‬
‫‪C0‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪U CV 2 1‬‬
‫‪V 2‬‬
‫=‪u‬‬
‫=‬
‫) ( ‪= 2 ε0‬‬
‫‪Ad 2Ad‬‬
‫‪d‬‬
‫בכל מטר מעוקב של קבל טעון אגורה אנרגיה התלויה‬
‫ברבוע השדה החשמלי‪ .‬זוהי תוצאה כללית‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u = ε0 E 2‬‬
‫‪2‬‬
‫אם השדה החשמלי אינו אחיד נוכל באמצעות אינטגרל נפחי לחשב את‬
‫האנרגיה האצורה במערכת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪U = ε 0 ∫ E dV‬‬
‫) ‪2 (V‬‬
‫נעיר כי למרות העובדה השנוסחא הזות פותחו עבור קבל‬
‫היה כללית ותקפה תמיד!!‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫קבל ‪ C1‬טעון במטען ‪ . Q0‬מחברים אותו במקביל לקבל אחר ‪. C2‬‬
‫חשבו את האנרגיה הפוטנציאלית האגורה במערכת לפני ואחרי החיבור‪.‬‬
‫לפני חיבור‪:‬‬
‫‪Q02‬‬
‫= ‪U0‬‬
‫‪2C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫אחרי חיבור‪:‬‬
‫‪Q02‬‬
‫‪Q02‬‬
‫= ‪U1‬‬
‫=‬
‫‪2C‬‬
‫) ‪2(C1 + C 2‬‬
‫?‬
‫‪U1‬‬
‫‪C1‬‬
‫=‬
‫‪<1‬‬
‫‪U 0 C1 + C 2‬‬
‫‪Q0‬‬
‫‪C1‬‬
‫אנלוגיה עם התנגשות פלסטית‪:‬‬
‫גודל נשמר‬
‫התנגשויות‬
‫חשמל‬
‫תנע ‪p = mv‬‬
‫מטען ‪Q = CV‬‬
‫גודל לא נשמר‬
‫אנרגיה קינטית ‪Ek = mv2/2‬‬
‫אנרגיה חשמלית ‪U = CV2/2‬‬
‫קבל עם חומר דיאלקטרי‬
‫מילוי החלל בין הטבלאות בחומר מבודד‪ ,‬הקרוי גם חומר דיאלקטרי מגדיל‬
‫את הקיבולת פי ‪ ,κ‬שהוא הקבוע הדיאלקטרי של החומר‪ .‬כלומר ‪C= κ C0‬‬
‫אשר ‪ C0‬הוא הקיבולת ללא החומר הדיאלקטרי‪.‬‬
‫חיבור קבל למקור מתח גורם לטעינת‬
‫הקבל במטען ‪ q‬לפי הנוסחה‬
‫‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪q = CV‬‬
‫מילוי הקבל בחומר שהקבוע שלו ‪ κ‬גורם‬
‫לקבל להטען במטען גדול יותר לפי‬
‫‪E' = E‬‬
‫‪q ' = κCV = κq‬‬
‫המטען הנוסף נמסר לקבל ע"י מקור המתח‪.‬‬
‫אם טוענים את הקבל במטען ‪q‬‬
‫ומנתקים את מקור המתח‪ ,‬הפרש‬
‫הפוטנציאלים על הקבל יהיה‬
‫‪σ‬‬
‫= ‪E0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪V0‬‬
‫‪C‬‬
‫ממלאים כעת את הקבל בחומר‬
‫דיאלקטרי ‪ .κ‬הפרש הפוטנציאלים‬
‫על הקבל יקטן ויהיה‬
‫‪V0‬‬
‫‪E0‬‬
‫= ‪E = Vd‬‬
‫=‪d‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪kε 0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪V0‬‬
‫=‬
‫=‪V‬‬
‫‪κC κ‬‬
‫אפשר להכליל את התוצאות של הכנסת חומר דיאלקטרי‬
‫בנפח מלא בחומר דיאלקטרי בעל קבוע דיאלקטרי ‪ κ‬כל המשוואות‬
‫האלקרוסטטיות שמופיע בהם ‪ ε0‬צריכות להשתנות בכך שמופיע‬
‫בהם האבר ‪.ε=κε0‬‬
‫שדה סביב מטען נקודתי בתוך חומר‬
‫שדה מחוץ לפני מוליך בתוך חומר‬
‫‪1‬‬
‫‪U = ∫ εE 2 dV‬‬
‫) ‪2 (V‬‬
‫‪1 q‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪4πκε0 r 2‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫=‪E‬‬
‫=‬
‫‪κε 0 ε‬‬
‫‪ε = kε 0‬‬
‫חומר מבודד )דיאלקטרי( בשדה חשמלי‪ :‬תמונה‬
‫מיקרוסקופית‬
‫‪ .1‬חומרים דיאלקטריים פולריים‬
‫)קוטביים( כגון מולקולות של מים ‪.‬‬
‫‪ .2‬חומרים דיאלקטריים לא פולרים‬
‫חוק גאוס בקבל טבלאות ללא‬
‫חומר דיאלקטרי נותן‬
‫‪q‬‬
‫= ‪E0‬‬
‫‪ε0 A‬‬
‫חוק גאוס בחומר‬
‫‪ε 0 ∫ E 0 ⋅ d A = ε 0 E0 A = q‬‬
‫מילוי החלל בין הטבלאות בחומר דיאלקטרי‬
‫יוצר מטען מושרה ’‪ q‬ומקטין שדה בפקטור ‪k‬‬
‫‪E0‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪E‬‬
‫=‬
‫‪κ κε0 A‬‬
‫'‪q − q‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪Aε 0‬‬
‫‪ε 0 ∫ κE ⋅ d A = q‬‬
‫כאשר ‪ q‬הוא המטען החופשי בלבד ולא מטען מושרה‪.‬‬
‫תרגיל‬
‫נתונה טבעת כדורית שרדיוסה הפנימי ‪ a‬והחיצוני ‪ .b‬בתוך הטבעת‬
‫מצוי חומר דיאלקטרי שקבועו משתנה לפי ‪, κ e = α / r‬כאשר‬
‫‪ r‬הוא המרחק ממרכז המערכת ו – ‪ α‬הוא קבוע מספרי‪ .‬מצא את‬
‫הקיבול של הטבעת‪.‬‬
‫‪ε0 ∫κe E ⋅ d A = q‬‬
‫‪α ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε 0   E 4πr = q‬‬
‫‪r‬‬
‫)‬
‫ולכו השדה הוא‪:‬‬
‫(‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪4πε 0α r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
:b ‫ ל‬a ‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים בין‬
Vab = − ∫
a
b
r r
E ⋅ ds =
q
4πε 0α
∫
b
a
dr
q
b
=
ln  
r 4πε 0α  a 
:‫נציב בהגדרת הקיבול ונקבל‬
4πε 0α
q
C=
=
Vab
b
ln  
a
‫פתרון בדרך ב'‬
‫ניתן להתייחס לבעיה כאל סופרפויציה של קבלי לוחות‬
‫ששטחם הוא ‪ A=4πr2‬ועוביים ‪ ,dr‬המחוברים בטור‪.‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪d ‬‬
‫=‬
‫‪ C  α ε (4πr 2 ) 4παε 0 r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪1‬‬
‫‪b‬‬
‫∫=‬
‫=‬
‫‪ln ‬‬
‫‪CT a 4πε 0αr 4πε 0α  a ‬‬
‫‪4πε 0α‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪C‬‬
‫=‬
‫‪Vab‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ln  ‬‬
‫‪a‬‬