Le difficoltà di soluzione dei problemi

Ricerca
italiana
PROCESSI DI
APPRENDIMENTO
VERONICA CAOBELLI,
ADRIANA MOLIN, ELISABETTA
RAMANZINI, ALESSANDRO COSENTINO
E CESARE CORNOLDI
Bambini con difficoltà
di calcolo: una ricerca
sulla promozione della conoscenza
dei fatti aritmetici
BEATRICE CAPONI, GRAZIA FALCO
ROBERTA FOCCHIATTI
E
L’apprendimento matematico
e i suoi contesti: l’alunno e la classe
(1a parte)
DIDATTICA
PROCESSI DI
INSEGNAMENTO
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
RICERCA ITALIANA
Influenza dei fattori cognitivi
ed emotivo-motivazionali nella soluzione
dei problemi aritmetici
MXXXX CARENINI
CXXXXX GREMIZZI
GIAN MARCO MARZOCCHI
Dipartimento di Psicologia
Università di Milano-Bicocca
SOMMARIO
La presente ricerca si propone di studiare l’influenza di
variabili cognitive ed emotivo-motivazionali sulle abilità
di problem solving aritmetico in bambini frequentanti la
scuola primaria. A tal fine, a partire da un campione di 504
soggetti, sono stati individuati quattro diversi gruppi in base
alla presenza/assenza di difficoltà matematiche e/o elevati
livelli d’ansia.
I risultati consentono di confermare l’importante ruolo che le
componenti emotivo-motivazionali rivestono nel processo di
soluzione dei problemi aritmetici, chiarendo anche come esse
caratterizzino in modo più o meno disfunzionale i soggetti
considerati.
L’
abilità di problem solving è da sempre ritenuta estremamente complessa
ed è stata assunta dagli esponenti del cognitivismo come paradigma del funzionamento
cognitivo, poiché riguarda tutti i compiti nei quali è necessario ricorrere a piani e strategie per il raggiungimento di un obiettivo.
In ambito matematico, l’acquisizione di questa abilità fin dai primi anni di scuola
primaria viene ritenuta fondamentale in tutte le società moderne in quanto contribuisce
alla formazione del pensiero nei suoi vari aspetti di creatività, intuizione, deduzione,
verifica e smentita.
Nell’ambito della letteratura psicologica che si è occupata di questo argomento, a
partire dagli studi di inizio secolo di matrice comportamentista, è possibile osservare
come l’abilità di risoluzione dei problemi sia stata indagata da numerosi approcci teorici che hanno contribuito a metterne in luce aspetti e caratteristiche di volta in volta
differenti, se non addirittura inconciliabili tra loro.
Gli studi della psicologia del pensiero, e in particolare dell’orientamento gestaltista, hanno contribuito infatti in modo rilevante all’analisi di una determinata tipologia
Difficoltà in matematica
Vol. 3, n. 2, febbraio 2007 (pp. xx-xx)
Edizioni Erickson Trento
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DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
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2, FEBBRAIO 2007
di problemi, definiti in seguito «problemi non routinari»; a questi ben si addice un
processo di soluzione orientato alla scoperta, che permette al solutore di raggiungere
l’insight, cioè un’improvvisa svolta nella lettura e nella comprensione di qualche elemento critico del problema che fino a poco prima risultava incompatibile con l’obiettivo
da raggiungere.
Soltanto a partire dagli anni Ottanta, grazie all’approccio dello Human Information
Processing (HIP) di stampo cognitivista, i ricercatori hanno spostato la loro attenzione
verso i problemi di tipo routinario, il cui metodo di risoluzione consiste in un processo
di ricerca progressiva delle operazioni da compiere per raggiungere la soluzione finale. Oggetto di studio privilegiato, quindi, non è più il fenomeno della ristrutturazione
cognitiva, che consente di costruire una rappresentazione completamente nuova del
problema, quanto piuttosto l’ordine sequenziale dei processi che permettono di modificare la situazione problemica iniziale, step by step, fino al raggiungimento della corretta
soluzione. Le principali componenti del problem solving sono dunque, come proposto
dal modello di Newell e Simon (1972), l’information processing system (il solutore), il
problem space (lo spazio del problema) e il task environment (l’ambiente del compito),
che interagiscono costantemente tra di loro e contribuiscono a determinare il comportamento del soggetto durante il processo di risoluzione.
A partire da questi studi, ha preso vita negli ultimi anni un nuovo filone di ricerca
che ha concentrato il proprio interesse non tanto sullo studio del problem solving come
abilità generale applicabile a tutti i contesti di vita quanto piuttosto sullo studio dell’abilità di risoluzione di problemi in ambito matematico e delle difficoltà che essa comporta
soprattutto a livello scolastico. Infatti, a fronte del crescente numero di segnalazioni di
difficoltà che bambini e ragazzi si trovano ad affrontare in campo matematico, i ricercatori
si propongono come principale obiettivo quello di stabilire perché alcuni studenti fanno
fatica a risolvere correttamente i problemi aritmetici, pur avendo ricevuto un adeguato
insegnamento a riguardo, che cosa differenzia quindi i «buoni» dai «cattivi» solutori
e quali sono da considerarsi le principali cause dell’insuccesso nel problem solving
aritmetico, al fine di poter prevenire o far fronte a queste situazioni penalizzanti.
A tale proposito, è necessario sottolineare che i numerosi studi presenti in letteratura non hanno ancora permesso di raggiungere un accordo e di formulare quindi una
teoria unitaria ed esauriente in grado di chiarire quali siano le principali componenti
che influenzano l’abilità di risoluzione dei problemi aritmetici; certo è, del resto, che
la semplice conoscenza della disciplina, degli algoritmi e delle procedure da applicare
non risulta essere una condizione sufficiente per il raggiungimento di una buona prestazione. Il problem solving è di fatto un’attività estremamente complessa che prevede
l’inevitabile intervento di abilità cognitive, metacognitive ed emotivo-motivazionali.
A livello cognitivo, uno studio molto interessante è sicuramente quello di Lucangeli e colleghi (1998) che, dopo aver effettuato una sintesi delle principali componenti
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INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
cognitive coinvolte nel processo di problem solving aritmetico, hanno individuato un
modello unitario che dimostra l’influenza di ciascuna di esse sulle abilità di svolgimento
dei problemi. In particolare, i fattori inclusi sono:
– la comprensione del testo del problema, che permette al soggetto di dare significato
alle singole affermazioni lette e di capirne le relative implicazioni;
– la rappresentazione, che consente di tradurre e integrare tutte le informazioni in
un’adeguata rappresentazione mentale;
– la categorizzazione, che consiste in un processo di analisi delle differenze e
delle somiglianze tra la rappresentazione mentale costruita e diversi schemi di
soluzione più o meno familiari presenti in memoria e consente quindi al soggetto
di classificare quello specifico problema in una precisa categoria di problemi
che si risolvono allo stesso modo;
– la pianificazione, che permette di elaborare, tenendo conto delle fasi precedenti,
un vero piano di azione, traducibile in operazioni concrete e di calcolo, nella
corretta sequenza solutoria;
– l’autovalutazione, che consiste in un processo di controllo di quanto fatto, che
ha luogo a compito terminato e permette al soggetto di verificare se il processo
di soluzione applicato ha portato o meno al successo.
Oltre a queste importanti componenti che oscillano tra il piano cognitivo e quello
metacognitivo, in letteratura sono stati individuati altri fattori che sembrano avere un
peso considerevole nel processo di soluzione dei problemi aritmetici; tra questi, una
posizione rilevante è certamente occupata dalla memoria di lavoro e in particolare
dall’esecutivo centrale, predisposto allo svolgimento di una serie di funzioni di ordine
superiore come l’inibizione delle informazioni irrilevanti, la scelta tra diverse strategie o
piani e il processo di aggiornamento continuo dell’informazione in entrata (Passolunghi,
Cornoldi e Di Liberto, 1999; Passolunghi e Siegel, 2001; Passolunghi e Pazzaglia, 2005).
Anche la memoria a lungo termine interviene nel problem solving aritmetico, permettendo al soggetto di recuperare tutte le conoscenze dichiarative e procedurali relative
al significato e ai procedimenti di attuazione delle principali operazioni aritmetiche.
Inoltre, fin dai primi studi sulla sindrome non verbale effettuati da Rourke (1987),
è emerso un coinvolgimento delle abilità visuo-spaziali nei compiti di soluzione dei
problemi aritmetici, come è stato poi confermato più recentemente dagli studi di Van
Gardener e Montague (2003), i quali hanno dimostrato come il tipo di rappresentazione
visuo-spaziale, schematica o pittorica, che i soggetti si costruiscono dopo aver letto il
problema, influisca sul successo nello svolgimento.
Infine, anche le abilità attentive sembrano giocare un ruolo importante nella
risoluzione dei problemi aritmetici, perché consentono di selezionare le informazioni
rilevanti, di mantenere attiva la concentrazione per un periodo di tempo prolungato e
di attuare un controllo sulle operazioni che si stanno effettuando.
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DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
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Oltre agli aspetti prettamente cognitivi, i nuovi approcci teorici di questo ambito
della ricerca hanno messo in luce che il processo di apprendimento relativo alla soluzione
dei problemi e la corretta applicazione di quanto appreso sono fortemente influenzati
anche da una serie di variabili emotivo-motivazionali relative al soggetto che apprende,
che interagiscono tra di loro e vanno a costituire un quadro complesso da considerare
attentamente nello studio delle cause che portano all’insuccesso.
Tra queste, troviamo le attribuzioni, cioè i processi attraverso cui le persone individuano le cause degli eventi, delle azioni e dei fatti che si verificano nel loro ambiente
(Kelley, 1967) al fine di comprendere il mondo e le sue regole e di poterlo meglio controllare (Heider, 1958); le principali cause a cui si attribuiscono successi e insuccessi
sono l’impegno, l’abilità, la facilità del compito, l’aiuto e la fortuna o la loro rispettiva
mancanza, classificabili in base al tipo di locus of control, alla stabilità e alla controllabilità. Ravazzolo e colleghi (2005) sostengono che gli stili attributivi incidono sulle
prestazioni scolastiche poiché influenzano le aspettative di riuscita, la persistenza, la
scelta del livello di difficoltà del compito, le emozioni, l’uso di strategie, la motivazione,
il senso di autoefficacia e le prestazioni cognitive.
La motivazione invece, nel contesto dell’apprendimento, è un processo complesso
all’interno del quale riveste una notevole importanza un insieme di esperienze e credenze diverse da soggetto a soggetto, come sostenuto da Cornoldi e colleghi (2005). In
particolare, molto rilevanti sono le convinzioni personali relative alla staticità o alla
modificabilità dell’intelligenza, alla maggiore o minore fiducia che un soggetto ripone
nelle proprie risorse intellettive e abilità, agli obiettivi di apprendimento che persegue,
rivolti alla padronanza o alla prestazione. Spesso, infatti, i soggetti che adottano convinzioni errate o poco compatibili con un apprendimento efficace mostrano difficoltà e
preoccupazione durante l’esecuzione dei compiti, perché hanno paura di fallire e vivono
la situazione come un giudizio su di sé o, quanto meno, sulle proprie abilità.
Bandura (2000), inoltre, evidenzia l’importanza del senso di autoefficacia, che
consiste nella fiducia e nelle aspettative che una persona possiede rispetto alla capacità
di controllare se stesso e quello che accade nella sua vita, riuscendo ad affrontare con
successo situazioni nuove; in particolare, è stato dimostrato che gli studenti con un alto
senso di autoefficacia personale intraprendono volentieri compiti difficili, ricorrendo
ampiamente a strategie, sviluppano uno spiccato interesse nei riguardi delle attività
scolastiche, in cui ottengono risultati migliori, e raggiungono più frequentemente gli
obiettivi che si sono prefissati, sperimentando una maggiore soddisfazione.
Anche l’autostima scolastica risulta essere un fattore emotivo estremamente
rilevante che prende forma a partire da tutte le esperienze che il soggetto vive nell’ambiente scolastico e soprattutto dai successi e dagli insuccessi a cui uno studente
va inevitabilmente incontro; in particolare, chi possiede un buon concetto di sé come
studente si affida alle proprie abilità personali ed è sicuro di riuscire bene, mentre chi,
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INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
al contrario, ha un concetto di sé negativo tende a difendersi attribuendo gli insuccessi
e cause esterne e mettendo in atto strategie di autosabotaggio.
Infine, numerosi studi recenti, come quelli di Baloglu e Kocak (2006) e Ma e Xu
(2004), hanno individuato nell’ansia specifica per l’ambito matematico un elemento che
molto frequentemente contribuisce all’incorrere del soggetto in situazioni di insuccesso,
causate dalla sensazione di disagio che prova nel momento in cui gli viene richiesto di
eseguire compiti matematici o semplicemente di lavorare con materiale numerico.
Considerando quindi tutte le nuove ricerche condotte in questo ambito e, in
particolare, il fatto che i risultati ottenuti non hanno ancora consentito di sviluppare
una teoria unitaria e coerente in grado di spiegare quali siano effettivamente i fattori
responsabili della buona prestazione nel problem solving aritmetico e quali invece si
debbano considerare le principali cause delle difficoltà in questo campo, è stato realizzato
questo studio con l’obiettivo di verificare, all’interno di un campione del secondo ciclo
di scuola primaria, quali siano le principali cause dell’insuccesso nella risoluzione di
problemi matematici, includendo tra le variabili considerate sia fattori di tipo cognitivoneuropsicologico che fattori di tipo emotivo-motivazionale.
La ricerca
Partecipanti
Il campione è costituito da 504 bambini provenienti da otto diverse scuole primarie pubbliche e private delle province di Lecco e Milano. Più precisamente, dei 504
bambini, 244 sono maschi e 260 sono femmine, 185 alunni frequentano la classe terza,
211 la classe quarta e 108 la classe quinta. Sono stati esclusi dal campione i bambini
certificati.
Strumenti utilizzati per lo screening iniziale
Sono state somministrate collettivamente all’intero campione tre diverse prove
con l’obiettivo di ottenere punteggi validi e attendibili relativamente alla prestazione
in matematica, alla presenza di tratti d’ansia e al livello intellettivo. I risultati ottenuti
nel test di matematica e nel questionario d’ansia sono stati utilizzati come criteri di
selezione dei gruppi che hanno preso parte alla seconda parte della ricerca, mentre il
livello intellettivo si è rivelato utile per l’appaiamento del campione di controllo.
– Prova di aritmetica tratta dal Test di matematica per la scuola dell’obbligo a cura
di Amoretti, Bazzini, Pesci e Reggiani (1994). Questa prova di profitto consente
di valutare il livello di apprendimento dei principali temi di aritmetica proposti
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DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
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2, FEBBRAIO 2007
dai programmi didattici per la scuola primaria. Nello specifico, la prova di classe
terza è costituita da 13 item a risposta libera, ovvero problemi che coinvolgono
l’uso di tutte e quattro le operazioni e consentono di verificare: la codifica del
messaggio attraverso l’uso di significati (ad esempio la comprensione di espressioni quali «in più», «in meno»), la padronanza del calcolo numerico, la misura
e il confronto di durate temporali e la capacità di porre in corrispondenza una
frazione con la parte tratteggiata di una figura.
La prova di classe quarta, invece, è costituita da 12 item e comprende problemi
che coinvolgono l’uso di frazioni, l’uso di numeri «grandi» in situazioni prese
da contesti familiari di compravendita, la manipolazione di numeri arabici e
verbali (ad esempio mettere in ordine crescente numeri e frazioni, scrivere la
corrispondente forma arabica di numeri presentati in forma verbale).
La prova di classe quinta, composta da 17 item, esamina le abilità inerenti il
calcolo mentale e approssimativo, la conoscenza del valore posizionale delle
cifre e la risoluzione di problemi.
La valutazione prevede l’assegnazione di un punto per ogni risposta corretta. I
punteggi grezzi sono stati poi trasformati in percentili grazie alle apposite tabelle
di conversione.
– Scala d’ansia per l’età evolutiva di Busnelli, Dall’Aglio e Faina (1974). Il presente
questionario è costituito da 45 item: 20 relativi a situazioni ansiogene in ambito
scolastico, 20 riguardanti l’ansia ambientale o generalmente extrascolastica e 5
costituenti una scala di menzogna. Le domande, poste in forma sia affermativa
che negativa, prevedono una scelta forzata fra tre possibilità di risposta: «quasi
sempre», «qualche volta», «mai». A ogni risposta si assegna un punteggio
compreso tra 0 e 2. L’indice quantitativo utilizzato è l’ansia totale derivante
dalla somma dei punteggi ottenuti nelle singole scale di ansia ambientale e
scolastica.
– Reattivo di intelligenza generale culture free di Cattell (1974). È stata utilizzata
la scala 2-forma A della prova allo scopo di ottenere con facilità e rapidità un
indicatore delle capacità intellettive generali dei soggetti. La prova, idonea per
bambini di età compresa tra gli 8 e i 13 anni, è costituita da 46 item suddivisi in
quattro subtest: le serie, in cui il soggetto deve scegliere la figura che completa
a livello logico la serie presentata; le classificazioni, in cui il soggetto deve
indicare la figura che non appartiene allo stesso gruppo delle altre; le matrici,
in cui il bambino deve indicare la figura che completa esattamente la matrice;
le condizioni, in cui il bambino ha a disposizione una figura-campione e suo
compito è trovare un’altra figura nella quale sia possibile mettere un punto
che mantenga le stesse relazioni di quello rappresentato nella figura
di partenza. Viene assegnato un punto per ogni risposta corretta.
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INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
Strumenti utilizzati nella seconda parte della ricerca
Per la seconda parte della ricerca è stata individuata una serie di test che consentisse di valutare in modo approfondito sia l’abilità di risoluzione di problemi matematici,
che costituisce la variabile dipendente dello studio, sia l’assetto emotivo-motivazionale
e cognitivo-neuropsicologico di ogni bambino. Nello specifico, le variabili emotive sono
state misurate attraverso l’uso di questionari, principalmente a scelta chiusa, poiché
ritenuti di facile comprensione ed esecuzione, adatti alla somministrazione collettiva
e di veloce compilazione. Per quanto riguarda le prove cognitive, sono stati invece
preferiti test brevi, realizzati in formati accattivanti, da proporre individualmente e
in chiave ludica. Inoltre, nella scelta tra i diversi strumenti di rilevazione disponibili,
sono stati considerati come guida i seguenti criteri: la presenza di una pubblicazione
in lingua italiana; l’esistenza, dove possibile, di un campione normativo di riferimento
italiano; l’elevata validità, soprattutto nel caso in cui venivano somministrate scale o
subtest singoli.
Valutazione delle abilità di risoluzione di problemi aritmetici
Per valutare questo aspetto è stato utilizzato il Test delle abilità di Soluzione dei
Problemi Matematici (SPM) di Lucangeli, Tressoldi e Cendron (1998). Frutto di un recente
contributo e dotato di buone caratteristiche psicometriche, il test consente di ottenere
in modo relativamente rapido un profilo individuale delle principali abilità coinvolte
nella risoluzione dei problemi. Questa batteria è stata somministrata per ottenere un
punteggio attendibile che fungesse da variabile dipendente delle abilità di soluzione
dei problemi. Le variabili cognitivo-neuropsicologiche ed emotivo-motivazionali rappresentano le variabili indipendenti.
La prova viene somministrata collettivamente, si differenzia per classe frequentata
ed è composta da quattro problemi aritmetici da risolvere, ognuno dei quali è suddiviso
nelle cinque componenti cognitive fondamentali che si sono dimostrate in grado di spiegare la maggior parte della varianza relativa all’abilità di risoluzione: la comprensione
delle informazioni presenti nel problema e delle loro relazioni, la rappresentazione mediante uno schema in grado di strutturarle e integrarle, la categorizzazione del problema
in base alla struttura profonda, la pianificazione delle procedure e delle operazioni, lo
svolgimento e l’autovalutazione della correttezza delle procedure applicate. Il tempo
massimo a disposizione è un’ora. La valutazione, per quanto concerne comprensione,
rappresentazione e categorizzazione, varia in caso di risposta corretta (4 punti), parziale
(3 punti), errata (2 punti) o irrilevante (1 punto). Per quanto riguarda lo svolgimento,
invece, il punteggio varia in base a soluzione corretta (4 punti), procedura corretta con
errore di calcolo (3 punti), soluzione parzialmente corretta (2 punti), soluzione errata (1
punto). La pianificazione viene valutata in base al numero di fasi correttamente ordinate
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DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
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2, FEBBRAIO 2007
(un punto per ogni fase se il primo passaggio è corretto). Infine, si assegna un punteggio
compreso fra 1 e 3 all’autovalutazione in base alla concordanza tra il punteggio ottenuto
nello svolgimento del problema e la valutazione della correttezza della procedura.
Valutazione delle componenti emotivo-motivazionali
– Autostima scolastica: Scala del successo scolastico tratta dal Test Multidimensionale dell’Autostima (TMA) di Bracken (1993). Il questionario è costituito da
25 item positivi e negativi a cui il soggetto deve rispondere in base alla sua
esperienza. I temi presentati riguardano, ad esempio, l’organizzazione del lavoro
a casa e in classe, il rapporto con insegnanti e compagni e le caratteristiche
personali («Sono fiero del mio lavoro scolastico», «Pare che io non abbia mai
buone idee»). Le risposte possibili sono «assolutamente vero», «vero», «falso»,
«assolutamente falso»; a ciascuna di esse è attribuito un punteggio compreso
tra 1 e 4. La veste grafica di presentazione dello strumento e, in alcuni casi,
anche l’espressione lessicale degli item sono state modificate per migliorare la
chiarezza e la comprensibilità da parte dei bambini.
I punteggi utilizzati sono quelli standard ottenuti con l’apposita tabella di conversione.
– Attribuzioni e convinzioni: Questionari sulle convinzioni e sulle attribuzioni
tratti dalla Batteria di valutazione delle abilità e della motivazione allo studio
per ragazzi dagli 8 ai 15 anni (AMOS) di Cornoldi, De Beni, Zamperlin e Meneghetti (2005). Sono stati proposti ai bambini quattro brevi questionari relativi
alle teorie dell’intelligenza, alla fiducia nella propria intelligenza, agli obiettivi
di apprendimento e alle attribuzioni. Il Questionario sulle convinzioni relative
alle teorie dell’intelligenza è composto da quattro affermazioni relative alla modificabilità dell’intelligenza rispetto alle quali il soggetto deve esprimere il suo
grado di accordo su una scala a quattro punti («d’accordo», «un po’ d’accordo»,
«un po’ contrario», «contrario»). Il punteggio raggiunto dal bambino, ottenuto
assegnando a ogni item da 1 a 4 punti, consente di rilevare se egli consideri
l’intelligenza rispettivamente come un’entità incrementabile e suscettibile di
cambiamento oppure come un’entità statica e immutabile.
Il Questionario sulle convinzioni relative alla fiducia nella propria intelligenza è
costituito da tre coppie di affermazioni e richiede un doppio compito: il soggetto, infatti, deve prima scegliere, per ogni coppia di affermazioni, quella che lui
ritiene vera e successivamente indicare il suo grado di veridicità. Assegnando a
ogni coppia di item un punteggio compreso tra 1 e 4 punti, si ottiene un indice
complessivo che rispecchia il grado di fiducia nella propria intelligenza.
Il Questionario sugli obiettivi dell’apprendimento è composto da 5 affermazioni
su cui il soggetto deve esprimere un giudizio personale. Rispetto alle prime
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INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
quattro affermazioni (ad esempio «I bei voti sono per me più importanti delle
cose che imparo») deve indicare il suo grado di accordo su una scala a 4 punti
(«d’accordo», «un po’ d’accordo», «un po’ contrario», «contrario»), mentre
rispetto alla quinta («Mi piacciono i compiti») deve segnalare i due compiti
che preferisce svolgere fra i quattro elencati, indicandone anche l’ordine di
preferenza. Il punteggio totale è indicativo di obiettivi orientati alla padronanza
o alla prestazione.
Il Questionario sulle attribuzioni, infine, consiste in 8 domande, quattro riferite
a situazioni di successo scolastico (ad esempio «In un compito scritto di matematica sei riuscito a eseguire tutti i calcoli correttamente; perché è successo
questo?») e quattro a situazioni di insuccesso (ad esempio «In un esercizio alla
lavagna fai scena muta; perché è successo questo?»). Per ognuna il soggetto deve
indicare, tra le cinque cause proposte (impegno, abilità, aiuto, caratteristiche
del compito, fortuna), la prima e la seconda in ordine di importanza che ritiene
possano attenere al suo modo di pensare. La valutazione prevede l’assegnazione
di due punti per la prima scelta e di un punto per la seconda. I punteggi grezzi
informano circa il quadro delle attribuzioni causali tipiche del bambino.
– Autoefficacia scolastica: Scala di autoefficacia scolastica percepita di Caprara
(2001). Questo strumento consente di misurare le convinzioni che i bambini e i
ragazzi hanno riguardo alle loro capacità di studiare alcune materie, di regolare
la propria motivazione e lo svolgimento delle attività scolastiche, di trovare
supporto al proprio apprendimento e individuare modalità di studio che lo favoriscano. La scala, di rapida somministrazione, è costituita da 19 item valutati
su una scala a 5 punti; le alternative di risposta sono: «molto capace» (5 punti),
«abbastanza capace» (4 punti), «mediamente capace» (3 punti), «poco capace»
(2 punti), «per nulla capace» (1 punto).
– Ansia matematica: Questionario d’ansia matematica adattato dal questionario di
Cornoldi, Caponi, Falco, Focchiatti, Lucangeli e Todeschini (1995). Il presente
questionario è un adattamento di quello presentato da Cornoldi e colleghi in
Matematica e metacognizione (1995); abbiamo deciso di proporlo in una diversa
vesta grafica e con un lessico semplificato in modo da renderlo più semplice e
adeguato per i bambini della scuola primaria. Le 15 domande, positive e negative, riguardano tipiche situazioni di ansia matematica (interrogazioni, compiti,
capacità di gestione di situazioni difficili) per cui sono previste quattro risposte
possibili: «assolutamente vero», «vero», «falso» e «assolutamente falso». La
valutazione per ciascun item avviene con un punteggio compreso tra 0 e 3 e,
nello specifico, punteggi bassi indicano un elevato livello di ansia matematica
mentre punteggi alti indicano uno scarso livello di ansia matematica.
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DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
N.
2, FEBBRAIO 2007
Valutazione delle componenti cognitivo-neuropsicologiche
– Abilità visuo-spaziale: Reattivo della figura complessa di Rey (1942). Questa
prova è utile per la valutazione delle competenze visuo-spaziali e dell’efficienza
della memoria a lungo termine. Essa infatti richiede la copia e riproduzione a
memoria a distanza di pochi minuti (3-5) di una figura geometrica complessa
priva di significato evidente, di facile realizzazione grafica e la cui struttura d’insieme è assai complicata, in modo da sollecitare un’attività percettiva analitica e
organizzatrice. La valutazione, sia per la copia che per la riproduzione, prevede
la rilevazione del tempo impiegato e la quantificazione del numero di elementi
correttamente riprodotti rispetto ai criteri di accuratezza e localizzazione spaziale: nello specifico, vengono assegnati 2 punti per ogni elemento corretto e ben
posto, 1 punto per ogni elemento corretto ma mal posto o deformato/incompleto
ma ben posto, 0,5 punti per ogni elemento deformato e mal posto, 0 punti per
ogni elemento irriconoscibile o assente.
– Comprensione linguistica: Prova di comprensione sintattica tratta dalla Batteria
di Valutazione Neuropsicologica per l’età evolutiva (BVN 5-11) di Bisiacchi,
Cendron, Gugliotta, Tressoldi e Vio (2005). La prova è costituita da 18 item,
ciascuno dei quali indaga una specifica struttura grammaticale; in particolare,
i primi 8 presentano varianti di tipo lessicale mentre gli altri 10 varianti di tipo
grammaticale. Per ogni item, il soggetto deve indicare, fra quattro figure proposte, quella che rappresenta correttamente la frase pronunciata dall’esaminatore.
L’item viene letto una sola volta, lentamente, con un ritmo scandito e naturale.
Si assegna un punto per ogni indicazione corretta. Le misure utilizzate sono il
totale del punteggio negli item lessicali (1-8) e il punteggio ottenuto negli item
grammaticali (9-18).
– Memoria a lungo termine: Ricordo selettivo di parole tratto dal Test di Memoria e
Apprendimento (TEMA) di Reynolds e Bigler (1994). Questo subtest consiste in un
compito di rievocazione libera verbale che consente di valutare l’apprendimento
e le funzioni di rievocazione immediata della memoria verbale; l’esaminatore
legge una lista di 12 parole comuni (ad esempio mela, serpente, piatto) che il
soggetto deve ripetere; di volta in volta, gli vengono ricordate soltanto le parole
che ha tralasciato durante la ripetizione. La somministrazione si interrompe dopo
8 prove o nel caso in cui il soggetto ricordi interamente la lista per due volte
consecutive (in questo caso, le prove rimanenti sono considerate riuscite).
La valutazione prevede l’assegnazione di un punto per ogni parola correttamente
rievocata e le misure prese in esame sono il punteggio globale e il numero di
intrusioni. Accanto a queste, abbiamo pensato di verificare la proporzione di
adiacenze tra parole della stessa categoria rispetto alle parole ricordate nel com40
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
plesso. Le categorie considerate sono le seguenti: animali (serpente, scimmia,
cane), oggetti della tavola (piatto, cucchiaio, coltello), frutti (mela, arancia) e
oggetti scolastici (matita, gomma); non classificabili sono invece state considerate
le parole «pane» e «porta».
– Attenzione sostenuta: compito di riconoscimento uditivo tratto dalla batteria
Attenzione e concentrazione di Di Nuovo (2000). È stato utilizzato il compito di
riconoscimento uditivo della prova 3 (livello di difficoltà 2), il quale richiede
al soggetto di premere un tasto del computer ogni volta che sente uno stimolo
target. La prova, grazie all’uso del computer, risulta estremamente motivante
per i soggetti e fornisce indicazioni significative sulla funzionalità dei processi
attentivi di base quali la selettività, la capacità di mantenere nel tempo la concentrazione e il saper inibire le informazioni irrilevanti.
Sono stati valutati il numero di risposte corrette, il numero di omissioni, il numero
di errori e il tempo medio di reazione.
– Memoria a breve termine: span avanti e indietro di sillabe senza senso. Per
valutare le componenti attive e passive della memoria a breve termine verbale
è stata creata una lista di sillabe senza senso secondo il metodo proposto da
Ebbinghaus (trad. it. 1985); sono state utilizzate le lettere dell’alfabeto italiano
e ogni sillaba è stata formata in modo che un suono vocalico fosse posto tra due
consonanti e che si evitassero ripetizioni di suoni troppo simili. È bene precisare
che ci si è avvalsi di materiale senza senso per avere una misura pura di tale
abilità, non influenzabile dalle competenze linguistico-semantiche dei soggetti.
Il compito è composto da serie di sillabe che coprono uno span di memoria da
2 a 7 elementi; per ogni livello sono previste due differenti serie di sillabe. La
prova veniva interrotta dopo due insuccessi consecutivi. La valutazione prevede
l’assegnazione di un punto per ogni item correttamente rievocato.
Procedura
Inizialmente è stata condotta una prima fase di screening che ha coinvolto l’intero
campione; al fine di selezionare un sottocampione con specifiche caratteristiche sono
stati somministrati collettivamente il Questionario d’ansia per l’età evolutiva di Busnelli
e la prova di aritmetica del Test di matematica per la scuola dell’obbligo di Amoretti. Il
Reattivo di intelligenza generale di Cattell è invece stato somministrato con la finalità
di ottenere una valida misura per appaiare il campione di controllo.
La somministrazione, che richiedeva circa due ore, si è svolta in orario scolastico,
all’interno della classe, generalmente in presenza dell’insegnante di matematica.
Dal campione di partenza sono stati eliminati i bambini con quoziente intellettivo inferiore a 70 e sono stati poi selezionati 4 distinti gruppi di bambini così caratterizzati:
41
DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
N.
2, FEBBRAIO 2007
1. gruppo difficoltà matematiche: include bambini con una bassa prestazione in
matematica (inferiore al 10° percentile) e con un livello di ansia non elevato
(inferiore al 70° percentile);
2. gruppo ansia: include bambini con un elevato livello d’ansia (superiore al 90°
percentile) ma un’adeguata prestazione in matematica (superiore al 30°
percentile);
3. gruppo misto: include bambini con una bassa prestazione in matematica (inferiore al 10° percentile) e con un significativo livello d’ansia (superiore al 70°
percentile);
4. gruppo di controllo: appaiato per sesso, classe frequentata e livello intellettivo ai
precedenti gruppi, include bambini con un’adeguata prestazione in matematica
(superiore al 40° percentile) e con un livello d’ansia non elevato (inferiore
al 50° percentile).
La tabella 1 riassume i dati relativi alla numerosità dei soggetti e alla caratterizzazione interna di ciascun gruppo, in relazione al genere e alla classe frequentata.
A tutti e quattro i gruppi, costituiti complessivamente da 76 bambini, è stata
dunque somministrata la batteria di prove sopradescritta: nello specifico, sono state
valutate collettivamente l’abilità di soluzione di problemi aritmetici e le componenti
emotivo-motivazionali, mentre sono state valutate individualmente le componenti
cognitivo-neuropsicologiche.
Gli strumenti di questa seconda fase sono stati somministrati durante l’orario
scolastico, in spazi comuni a tutte le classi. La parte collettiva ha richiesto un impegno
di circa un’ora e 30 minuti, mentre la parte individuale, in base alla velocità dei singoli
bambini, un tempo compreso tra i 20 e i 50 minuti.
TABELLA 1
Numerosità e caratteristiche dei soggetti appartenenti ai quattro gruppi
selezionati
Difficoltà
matematiche
Ansia
Misto
Controllo
M
F
M
F
M
F
M
F
a
Classe 3
4
5
2
2
1
2
4
3
Classe 4a
5
4
5
6
1
2
6
6
Classe 5a
5
2
2
1
1
1
3
3
14
11
9
9
3
5
13
12
Totale
genere
Totale
42
25
18
8
25
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
Risultati
In primo luogo sono state condotte delle analisi della varianza a una via per verificare la presenza di differenze significative tra i quattro gruppi rispetto alle principali
variabili esaminate.
La tabella 2 presenta i valori medi e le deviazioni standard relativi alle variabili
demografiche (età) e di selezione del campione (quoziente intellettivo, livello d’ansia
in percentili e prestazione matematica in percentili), differenziati in base ai quattro
diversi gruppi di appartenenza.
TABELLA 2
Statistiche descrittive delle variabili demografiche e di selezione del campione
Variabili
Età
QI (Cattell)
Ansia
Amoretti
Difficoltà
matematiche
Ansia
Misto
Controllo
M
DS
M
DS
M
DS
M
DS
9,92
0,81
9,94
0,64
9,88
0,83
9,96
0,73
101,00
16,69
114,39
18,64
93,38
17,76
103,84
5,53
34,04
18,72
93,89
9,39
80,5
5,24
26,36
13,34
4,8
2,02
49,67
18,19
4,38
1,92
58,08
13,77
In particolare emerge che la variabile età non mostra differenze significative tra
gruppi (F (3,75) = 0.030, p = 0.993), come previsto in base al relativo bilanciamento
effettuato in precedenza; il quoziente intellettivo invece presenta un significativo effetto
gruppo (F (3,75) = 4.736, p = 0.005) dovuto alla peggiore prestazione dei soggetti con
difficoltà matematiche rispetto a quelli con alti livelli di ansia (p = 0.026) e di quelli
del gruppo misto rispetto a quelli con disturbi d’ansia (p = 0.007).
Nella tabella 3 sono presentate, per ciascun gruppo, le medie e le deviazioni
standard relative alle abilità di svolgimento, valutate con il test SPM, e alle componenti
cognitivo-neuropsicologiche ed emotivo-motivazionali considerate.
Relativamente alle variabili cognitive verificate attraverso la somministrazione del
test SPM (comprensione, rappresentazione, categorizzazione, pianificazione, svolgimento
e autovalutazione), sono emerse differenze significative tra gruppi per la rappresentazione
(F (3,75) = 5.037, p = 0.003) e lo svolgimento (F (3,75) = 8.512, p < 0.001). In particolare, riguardo alla rappresentazione, emerge che il gruppo con difficoltà matematiche
43
DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
TABELLA 3
N.
2, FEBBRAIO 2007
Statistiche descrittive: svolgimento, variabili cognitivo-neuropsicologiche
ed emotivo- motivazionali
Variabili
Difficoltà
matematiche
Ansia
Misto
Controllo
M
DS
M
DS
M
DS
5,27
1,96
8,94
3,11
5,67
2,05
8,6
3,26
Copia
25,08
4,37
27,06
4,45
24,56
4,27
25,58
4,87
Memoria
12,72
5,95
14,86
5,21
9,13
5,04
13,4
6,49
SPM svolgimento
M
DS
Figura di Rey
Comprensione linguaggio
Item lessicali
7,92
0,40
8,00
0
7,88
0,35
7,84
0,47
Item grammaticali
8,28
1,17
9,11
0,96
7,88
1,73
9,00
1,04
Avanti
4,12
1,09
4,61
1,14
2,88
1,46
4,64
1,41
Indietro
2,68
0,85
3,56
0,86
2,13
1,13
3,24
0,93
82,32
9,18
86,78
4,39
85,13
5,38
84,68
5,82
1,84
2,67
1,22
1,31
1,50
1,69
0,92
1,12
25,57
10,15
31,00
9,09
18,74
13,11
26,39
14,01
16,84
2,84
17,72
0,57
16,75
1,67
17,44
1,47
Errori
1,00
1,22
1,11
1,37
0,63
0,74
1,16
1,14
Omissioni
1,16
2,84
0,28
0,57
1,38
1,77
0,56
1,47
Tempo di reazione
0,58
0,01
0,56
0,13
0,55
0,1
0,53
0,06
Span memoria
Ricordo selettivo di parole
Parole ricordate
Intrusioni
Adiacenze
CPT
Risposte esatte
(continua)
44
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
(continua)
Attribuzioni: successo
Impegno
3,76
2,39
4,11
2,52
3,25
2,19
4,40
1,85
Abilità
2,44
2,00
2,61
1,97
1,50
1,69
3,88
2,24
Aiuto
0,96
1,40
0,50
0,79
1,50
1,31
0,20
0,58
Compito
2,28
1,43
2,56
2,04
3,25
1,98
2,40
1,96
Caso
2,44
2,16
2,22
1,73
2,50
1,69
1,12
1,56
Attribuzioni: insuccesso
Impegno
3,36
2,10
4,78
2,13
4,13
1,55
5,00
1,55
Abilità
1,84
1,37
1,22
1,66
1,75
1,28
1,36
1,82
Aiuto
1,08
1,41
0,39
0,78
0,63
1,06
0,44
0,96
Compito
3,68
1,91
3,50
2,15
3,50
1,20
3,80
1,96
Caso
2,04
1,93
2,11
1,91
2,00
2,07
1,40
2,10
Teorie
intelligenza
9,88
1,45
9,89
2,95
9,00
1,77
10,12
1,56
Fiducia
intelligenza
7,44
2,14
8,00
1,41
6,25
1,58
8,48
1,90
11,68
2,34
13,67
3,90
10,88
2,17
13,12
2,42
Punteggio grezzo
65,40
5,92
66,83
6,40
64,50
6,78
74,44
7,83
Punteggio
standard
88,36
8,09
90,56
9,18
87,25
9,44
100,64
10,63
Autoefficacia
63,88
9,86
62,72
13,16
52,75
13,80
71,04
8,96
Ansia
matematica
25,96
4,78
22,22
6,22
26,25
5,12
28,84
6,07
Obiettivi
apprendimento
Autostima (TMA)
45
DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
N.
2, FEBBRAIO 2007
e il gruppo misto hanno una prestazione peggiore rispetto al gruppo caratterizzato da
disturbi d’ansia, con un livello di significatività rispettivamente di p = 0.016 per il primo
e di p = 0,010 per il secondo; riguardo allo svolgimento si rileva invece una prestazione
del gruppo con difficoltà matematiche peggiore rispetto sia a quello con alti livelli di
ansia (p = 0.001) sia a quello di controllo (p < 0.001).
Per quanto riguarda le altre variabili cognitive considerate, non sono state riscontrate differenze significative tra i diversi gruppi esaminati a eccezione delle prestazioni
ottenute nelle prove di memoria a breve termine: nello specifico, emerge una significativa
diversità nel numero di item ricordati sia nella prova di span avanti (F (3,75) = 3.385,
p = 0.023), dovuta a una peggiore prestazione del gruppo misto rispetto al gruppo di
controllo (p = 0.015), sia in quella di span indietro (F (3,75) = 5.456, p = 0.002), a
causa di una peggiore prestazione del gruppo con difficoltà matematiche rispetto a
quello con ansia (p = 0.026) e del gruppo misto rispetto a quelli con ansia (p = 0.006)
e di controllo (p = 0.025).
Emergono invece notevoli differenze di prestazione media all’interno dei quattro
gruppi considerati nelle prove emotivo-motivazionali. In particolare, in relazione allo
stile attributivo si osserva un effetto gruppo significativo per l’attribuzione dei propri
successi sia all’abilità personale (F (3,75) = 3.877, p = 0.013), che appare caratterizzare
maggiormente il gruppo di controllo rispetto al gruppo misto (p = 0.023), sia all’aiuto
esterno (F (3,75) = 3.700, p = 0.016), che contraddistingue in misura maggiore il gruppo misto rispetto ai controlli (p = 0.029); emerge inoltre che l’attribuzione dei propri
insuccessi alla mancanza di impegno (F (3,75) = 3.009, p = 0.036) differenzia in modo
significativo il gruppo di controllo rispetto a quello con difficoltà matematiche, caratterizzando in misura maggiore il primo rispetto al secondo (p = 0.025).
A livello motivazionale, si riscontrano differenze significative per quanto riguarda sia le convinzioni relative alla fiducia nella propria intelligenza (F (3,75) = 3.301,
p = 0.025) che quelle inerenti agli obiettivi di apprendimento (F (3,75) = 3.533, p =
0.019); nel primo caso, infatti, emerge che i soggetti del gruppo misto hanno un livello
di fiducia inferiore rispetto ai controlli (p = 0.026), nel secondo caso, invece, l’effetto
gruppo emerso non risulta confermato dal confronto al post-hoc, dove si osservano
esclusivamente dei valori di tendenza alla significatività per la più frequente assunzione
di obiettivi rivolti alla padronanza da parte dei soggetti del gruppo con elevati tratti
d’ansia rispetto a quelli del gruppo misto (p = 0.065) e a quelli del gruppo con difficoltà
matematiche (p = 0.076).
Sono stati riscontrati inoltre degli effetti gruppo significativi per i punteggi ottenuti
alla Scala del successo scolastico del test TMA (F (3,75) = 9.185, p < 0.001), al questionario di Autoefficacia scolastica percepita (F (3,75) = 7.969, p < 0.001) e al Questionario
di ansia matematica (F (3,75) = 4.498, p = 0.006).
46
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
Nello specifico, tutti e tre i gruppi con disturbi mostrano di possedere un livello
medio di autostima scolastica inferiore rispetto a quello dei soggetti del gruppo di controllo, con p < 0.001 per i soggetti con difficoltà matematiche e pari a 0.005 sia per quelli
con elevati tratti d’ansia che per quelli con una caratterizzazione di tipo misto; inoltre, i
bambini inclusi nel gruppo misto presentano un minor senso di autoefficacia scolastica
rispetto a quelli con difficoltà matematiche (p = 0.022), a quelli con alti livelli di ansia
(p = 0.017) e ai soggetti appartenenti al gruppo di controllo (p < 0.001); infine, è stata
anche verificata la presenza di un livello medio di ansia matematica superiore nei
soggetti del gruppo con alti livelli d’ansia rispetto ai controlli (p = 0.003).
Considerando le stesse variabili è stata condotta un’ulteriore analisi della varianza
a due fattori (ansia x difficoltà matematiche) con l’obiettivo di chiarire se le differenze
riscontrate fossero attribuibili maggiormente alla presenza di un disturbo matematico
o a quella di un disturbo d’ansia. È necessario precisare che, per le variabili con più
indicatori, si è scelto di introdurre solo i punteggi più informativi per evitare errori di
tipo I: nel caso delle attribuzioni, infatti, sono stati utilizzati solamente quattro indicatori immediati e sintetici che permettono di differenziare tra cause a locus interno
(«impegno» e «abilità») e cause a locus esterno («aiuto», «compito» e «caso») in caso
sia di successo che di fallimento.
Nella tabella 4 vengono indicate le variabili cognitive ed emotivo-motivazionali
incluse nell’analisi e le corrispondenti significatività; in grigio sono evidenziati i valori
di p che risultano significativi.
A partire dai valori riportati, è possibile osservare che la presenza di un’interazione
tra i due fattori considerati si associa solamente a elevati livelli di ansia matematica.
I soggetti che invece mostrano esclusivamente delle difficoltà in matematica
presentano in associazione un quadro peculiare di componenti cognitive ed emotivomotivazionali: essi infatti hanno delle basse prestazioni in entrambe le prove di span
e nel compito di comprensione di item grammaticali e tendono a ottenere una bassa
percentuale di adiacenze nel subtest di rievocazione selettiva di parole (TEMA); a livello
emotivo-motivazionale, invece, mostrano la tendenza ad attribuire soprattutto i propri
successi a cause esterne, a possedere una scarsa concezione di sé come studenti e un
basso senso di autoefficacia in ambito scolastico, a fidarsi limitatamente della propria
intelligenza e a porsi obiettivi di apprendimento orientati alla prestazione.
Invece, i bambini che presentano elevati livelli di ansia generale mostrano, a livello
cognitivo, una bassa prestazione nella prova di span in avanti e, a livello emotivo-motivazionale, rivelano anch’essi la tendenza ad attribuire i propri successi soprattutto a
cause esterne, ad avere uno scarso senso di autostima e di autoefficacia scolastica e a
sperimentare in misura maggiore situazioni di ansietà di fronte a compiti matematici
o stimoli numerici.
47
DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
TABELLA 4
N.
2, FEBBRAIO 2007
Risultati dell’analisi della varianza a due vie (difficoltà matematica x ansia)
Effetto
difficoltà
matematica
Effetto
ansia
Effetto difficoltà
matematica x
ansia
Span memoria avanti
p = 0,006
p = 0,043
p = 0,146
Span memoria indietro
p < 0,001
p = 0,612
p = 0,074
Comprensione
grammaticale
p = 0,007
p = 0,587
p = 0,573
% adiacenze (MLT)
p = 0,036
p = 0,723
p = 0,060
Attribuzione interna
successo
p = 0,027
p = 0,031
p = 0,676
Attribuzione esterna
successo
p = 0,033
p = 0,024
p = 0,724
Autostima scolastica
p = 0,004
p = 0,017
p = 0,063
Autoefficacia scolastica
p < 0,001
p = 0,001
p = 0,213
Ansia matematica
p = 0,700
p = 0,032
p = 0,024
Fiducia nell’intelligenza
p = 0,005
p = 0,087
p = 0,418
Obiettivi d’apprendimento
p = 0,002
p = 0,899
p = 0,222
Variabili
Correlazioni
Con l’intento di verificare quali siano le principali relazioni intercorrenti tra le
variabili emotivo-motivazionali considerate e come si caratterizzino in funzione della
presenza di una difficoltà in matematica o di elevati tratti d’ansia, sono state effettuate
alcune analisi di correlazione, distinte per i quattro gruppi di soggetti.
Nella tabella 5 sono riportate le correlazioni inerenti il gruppo con difficoltà in
matematica (n = 33).
In questo gruppo, i bambini che presentano alti punteggi nella scala relativa
all’autostima scolastica hanno anche un elevato senso di autoefficacia scolastica e un
48
C
D
E
F
G
H
I
L
Ansia
matematica
Successo
interno
Successo
esterno
Insuccesso
interno
Insuccesso
esterno
Teorie
intelligenza
Fiducia
intelligenza
Obiettivi
* = p < .05; ** = p < .01
0,362*
B
Autoefficacia
0,29
0,253
-0,18
-0,108
0,108
-0,018
0,034
0,562**
1
A
Autostima
A
r2
0,243
0,088
-0,04
0,043
-0,043
-0,035
0,01
0,266
1
B
-0,01
0,053
-0,11
-0,264
0,264
-0,072
0,148
1
C
0,166
-0,02
0,109
-0,65**
0,65**
-0,983**
1
D
-0,16
0,02
-0,12
0,609**
-0,609**
1
E
0,061
-0,11
0,08
-1
1
F
-0,06
0,108
-0,08
1
G
Correlazioni tra variabili emotive relative ai soggetti con difficoltà matematiche
Variabili
TABELLA 5
0,126
-0,383*
1
H
0,176
1
I
1
L
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
49
DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
N.
2, FEBBRAIO 2007
basso livello di ansia matematica (alto punteggio nel questionario). Inoltre, emerge che
le convinzioni relative alle teorie sull’intelligenza correlano negativamente con quelle
relative alla fiducia che viene riposta in essa; ciò significherebbe che questi bambini
quanto più ritengono valida una teoria dell’intelligenza di tipo incrementale
tanto meno mostrano fiducia nelle proprie competenze. Infine, rispetto alle
attribuzioni si coglie come vi sia un legame positivo tra l’attribuzione del successo a
fattori esterni e quella dell’insuccesso a fattori esterni e tra l’attribuzione dell’insuccesso
a fattori interni e quella del successo a fattori interni, si deduce quindi come in questi
bambini vi sia la tendenza a identificare locus comuni per la spiegazione del successo
e dell’insuccesso.
Nella tabella 6 sono invece riportate le correlazioni inerenti il gruppo con elevati
tratti d’ansia (n = 26).
Dalla lettura dei risultati si coglie che i soggetti con un elevato livello di autostima
scolastica mostrano anche alti punteggi nel questionario di autoefficacia e una minore
ansia di tipo matematico; inoltre, un elevato senso di autoefficacia scolastica correla
positivamente con una forte fiducia nella propria intelligenza e con uno stile attributivo
che tende a giustificare il proprio successo tramite il ricorso a fattori causali di tipo
interno quali l’impegno e l’abilità. Infine, si può affermare anche che la tendenza ad
attribuire i motivi dei propri successi e insuccessi a cause interne mostra una correlazione
significativa con l’assunzione di obiettivi di apprendimento rivolti alla padronanza.
Nella tabella 7 infine vengono riportate le correlazioni riscontrate nel gruppo di
controllo (n = 25).
Come nei precedenti, anche in questo gruppo si rileva che ad alti punteggi di
autostima scolastica corrispondono punteggi elevati di autoefficacia. Si osserva inoltre
che i bambini che presentano alti punteggi di autostima scolastica tendono maggiormente ad attribuire i propri successi a cause interne mentre i soggetti con un basso
livello di ansia matematica (alto punteggio nel relativo questionario) hanno una maggiore
propensione ad assumere la volontà di padronanza come obiettivo di apprendimento
più importante.
Regressione lineare semplice
Al fine di chiarire il ruolo delle componenti cognitive ed emotive nello svolgimento di problemi aritmetici e poter dunque identificare le discriminanti del successo e
dell’insuccesso è stata condotta su tutti e quattro i gruppi un’analisi di regressione con
metodo stepwise. Sono stati inseriti come variabile dipendente i punteggi ottenuti nella
componente «svolgimento» valutata con il test SPM e, come variabili indipendenti, i
punteggi ottenuti in tutte le prove cognitive ed emotive incluse nello studio.
Dalla regressione lineare risulta che la batteria di test proposta ai 76 bambini
costituenti il campione sperimentale consente di spiegare il 27,4% della varianza; le
50
C
D
E
F
G
H
I
L
Ansia
matematica
Successo
interno
Successo
esterno
Insuccesso
interno
Insuccesso
esterno
Teorie
intelligenza
Fiducia
intelligenza
Obiettivi
* = p < .05; ** = p < .01
0,658**
B
Autoefficacia
-0,041
0,283
0,053
-0,049
0,049
-0,358
0,358
0,604**
1
A
Autostima
A
r2
Variabili
0,132
0,463*
0,099
-0,059
0,059
-0,416*
0,416*
0,337
1
B
-0,084
-0,081
0,002
-0,186
0,186
-0,024
0,024
1
C
0,535**
0,236
0,316
-0,37
0,369
-1
1
D
-0,535**
-0,236
-0,316
0,369
-0,369
1
E
0,457*
-0,295
0,03
-1
1
F
1
G
-0,457*
0,295
-0,03
TABELLA 6 Correlazioni tra variabili emotive relative ai soggetti con elevati livelli d’ansia
0,042
-0,132
1
H
0,247
1
I
L
1
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
51
52
C
D
E
F
G
H
I
L
Ansia
matematica
Successo
interno
Successo
esterno
Insuccesso
interno
Insuccesso
esterno
Teorie
intelligenza
Fiducia
intelligenza
Obiettivi
* = p < .05; ** = p < .01
0,404*
B
Autoefficacia
-0,144
0,226
0,045
0,303
-0,303
-0,415*
0,415*
0,371
0,146
0,276
0,186
-0,186
0,015
-0,015
0,261
1
B
0,506**
-0,029
-0,033
-0,092
0,092
-0,296
0,296
1
C
0,284
0,306
0,095
-0,17
0,169
-1
1
D
-0,284
-0,306
-0,095
0,169
-0,169
1
E
0,266
0,1
-0,208
-1
1
F
-0,266
-0,1
0,208
1
G
0,15
-0,287
1
H
-0,08
1
I
1
L
N.
0,267
1
A
Autostima
A
r2
Variabili
TABELLA 7 Correlazioni tra variabili emotive relative ai soggetti del gruppo di controllo
DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
2, FEBBRAIO 2007
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
variabili incluse nel modello sono l’attribuzione del successo all’aiuto, la comprensione
degli item grammaticali e le convinzioni relative agli obiettivi di apprendimento (F (3,75)
= 9.043, p < 0.001; R2 = 0.274). In particolare, l’attribuzione del proprio successo
all’aiuto esterno (β = -0.280) da sola spiega l’11,8% della varianza, la comprensione
grammaticale (β = 0.289) da sola spiega l’8,6% della varianza, mentre le convinzioni
sugli obiettivi di apprendimento (β = 0.265) spiegano il restante 7% della varianza.
Discussione e conclusioni
Il presente lavoro è nato dalla volontà di verificare quali siano le principali cause
dell’insuccesso nella risoluzione dei problemi aritmetici e quali componenti possano
essere considerate maggiormente predittive sia a livello cognitivo che a livello emotivomotivazionale.
L’analisi della varianza a due vie condotta per i due fattori difficoltà matematiche
e ansia rivela risultati interessanti per quanto riguarda gli effetti specifici determinati
dalla presenza dell’uno o dell’altro fattore in ambito sia cognitivo che emotivo-motivazionale.
La presenza di difficoltà in matematica si associa, a livello cognitivo, a bassi punteggi
nello span indietro, a conferma dei precedenti studi sulle difficoltà esecutive in compiti
di memoria di lavoro riscontrate in bambini con scarse prestazioni nel problem solving
aritmetico; questo risultato dimostra anche che il deficit a cui si fa riferimento è di tipo
generale e non specifico per l’elaborazione di materiale numerico, dal momento che la
prova utilizzata in questo studio presuppone la memorizzazione di stimoli verbali senza
senso. Non era previsto invece il dato relativo alla caduta anche nello span in avanti
in quanto questi bambini non dovrebbero presentare una flessione di prestazione nei
compiti che coinvolgono il loop articolatorio: questo ci ha portato a riflettere rispetto alle
caratteristiche del nostro campione, in cui non è stata monitorata la presenza di un’associazione con disturbi della lettura che facilmente spiegherebbero questa prestazione.
Emergono inoltre degli effetti significativi rispetto alla comprensione di item grammaticali
e alla percentuale di adiacenze prodotte nel compito di rievocazione selettiva di parole:
sembrerebbe dunque che i bambini che presentano difficoltà in matematica facciano
più fatica a dare il corretto significato a quanto letto all’interno del testo del problema,
a individuare quindi i dati importanti per una corretta rappresentazione e impostazione
del procedimento risolutorio e a mettere in atto un comportamento strategico ed efficace
nei compiti che vengono loro proposti, caratteristiche che, nel loro insieme, appaiono
fortemente discriminanti tra «buoni» e «cattivi» solutori di problemi aritmetici.
La presenza di elevati tratti d’ansia si associa invece, a livello cognitivo, a una
caduta nello span avanti, dovuta probabilmente a un’interferenza di questo fattore emo-
53
DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
N.
2, FEBBRAIO 2007
tivo sulla funzionalità della memoria a breve termine o al fatto che questa prova viene
presentata prima di quella di span indietro, dove la prestazione risulta migliore grazie
alla familiarizzazione con il compito.
Per quanto riguarda poi le componenti di tipo emotivo-motivazionale, è possibile
osservare che la presenza sia di difficoltà in matematica sia di elevati tratti d’ansia si
associa a un quadro disfunzionale all’apprendimento, probabilmente legato, nel primo
caso, all’esperienza di fallimenti ripetuti che il bambino sperimenta in ambito scolastico,
nel secondo caso, invece, alla manifestazione di questo tratto di personalità che incide
sulla lettura e sulla percezione che egli ha delle proprie esperienze. In particolare, si
può riscontrare una tendenza del soggetto ad attribuire i propri successi a cause esterne
e ad avere un concetto di sé come studente piuttosto mediocre e una minore fiducia
nelle proprie possibilità di riuscita di fronte ai compiti scolastici. Inoltre, i bambini con
difficoltà in matematica mostrano una maggiore tendenza a porsi obiettivi di apprendimento orientati alla prestazione piuttosto che alla padronanza e una minore fiducia nella
propria intelligenza; quelli invece con elevati tratti d’ansia generale presentano una
forte caratterizzazione ansiosa anche in ambito matematico. Questo effetto specifico si
riscontra anche per i soggetti appartenenti al gruppo misto che presentano un’interazione
fra i due fattori considerati (difficoltà matematiche x ansia). L’ansia, dunque, all’interno
del presente studio, si delinea come una caratteristica di personalità che scarsamente
si affianca a una bassa prestazione in matematica, in quanto sono pochi i bambini che
presentano entrambe queste condizioni; tuttavia, i dati sopra esposti suggeriscono che la
sua presenza sembra giocare un ruolo importante sulla qualità emotiva dell’esperienza
scolastica, fondamentale all’interno del processo di apprendimento.
Infine, i risultati più significativi ottenuti mediante l’applicazione delle analisi
di correlazione riguardano la presenza di una fitta rete di interazioni tra le variabili di
tipo emotivo-motivazionale, che va a confermare lo stretto legame esistente fra questi
costrutti, in accordo con quanto sostenuto in letteratura da recenti lavori (Nunez et al.,
2005); questo dato dovrebbe portare a considerare maggiormente e con più attenzione
l’importante ruolo che queste variabili svolgono all’interno dell’esperienza scolastica
del bambino: egli, infatti, vive gran parte del suo tempo a scuola, ed è proprio lì che
si formano e si stabilizzano parzialmente le sue convinzioni, la sua concezione di sé,
la sua personalità e le sue aspettative rispetto alle capacità che sarà in grado o meno
di sviluppare. Nello specifico, è possibile osservare che sia i bambini con elevati tratti
d’ansia che i bambini con difficoltà in matematica affiancano a uno scarso concetto di
sé come studenti una bassa percezione di efficacia nelle attività scolastiche e un maggiore livello di ansia relativo ai compiti matematici. Come sostenuto anche da Saccani
e Cornoldi (2005), gli studenti che presentano difficoltà nella soluzione di problemi
aritmetici sono portati a sperimentare una storia di insuccessi e quindi a sviluppare, a
fronte di essi, un senso di scarsa competenza che contribuisce a renderli ansiosi rispetto
54
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
alla materia e a provare quelle sensazioni di disagio e paura che rendono difficoltoso
il processo di apprendimento. Al contrario, per i soggetti ansiosi, è possibile supporre
che gli elevati livelli di ansia matematica, così come la bassa percezione di sé e delle
proprie competenze in ambito scolastico, prescindano dal fallimento, viste le buone
prestazioni che essi raggiungono nella soluzione dei problemi aritmetici; ciò potrebbe
dunque essere dovuto all’espressione della loro generale caratterizzazione ansiosa che
arriva a investire questo specifico contesto di apprendimento così come tutte le altre
situazioni di vita (Hembree, 1990).
Per i bambini con difficoltà in matematica, inoltre, si osserva un legame positivo
fra la tendenza ad attribuire i propri successi e i propri fallimenti a cause esterne, poco
controllabili da parte del soggetto; ciò richiama alla mente il cosiddetto stile attributivo
della pedina, che trae origine dai continui fallimenti sperimentati e che risulta dannoso
all’apprendimento in quanto caratterizzato dall’assunzione di un atteggiamento fatalistico, in base al quale si ritiene che il proprio contributo personale non possa avere alcun
effetto sull’ambiente e sulla prestazione.
Per i bambini con elevati tratti d’ansia, invece, lo stile attributivo risulta strettamente connesso all’autoefficacia; come atteso, infatti, la tendenza ad attribuire i propri
successi a cause esterne è strettamente collegata, oltre che alla medesima propensione
in caso di insuccesso, anche a una più scarsa percezione della propria efficacia in
ambito scolastico. I soggetti di controllo presentano invece, accanto al legame positivo
tra autostima e autoefficacia, che ricorre in tutti e tre i gruppi considerati, anche quello tra l’autostima stessa e la tendenza ad attribuire i propri successi a fattori interni:
riconoscere il ruolo del proprio impegno e delle proprie abilità personali infatti è un
atteggiamento funzionale all’apprendimento e alla formazione di un concetto positivo di
sé come studente. Per questi bambini, inoltre, la minore frequenza dei vissuti di ansia
e disagio nei confronti della matematica si associa positivamente a un incremento della
motivazione a raggiungere la padronanza nella materia, e quindi a una maggiore propensione a scegliere compiti che costituiscano una sfida ottimale per le proprie capacità: il
bambino infatti, confidando di poter realizzare le proprie aspettative di successo, non
teme di sperimentare il fallimento e i relativi sensi di incompetenza, che ostacolano il
raggiungimento di una buona prestazione.
Infine è stata condotta un’analisi esplorativa tramite regressione lineare semplice
al fine di individuare quali variabili sono maggiormente predittive della prestazione
nel problem solving aritmetico. Il modello ottenuto tramite l’applicazione della regressione lineare semplice, infatti, consente di spiegare il 27,4% della varianza relativa
allo svolgimento dei problemi aritmetici. Nello specifico, rispetto all’ambito emotivomotivazionale, emerge che la tendenza ad attribuire i propri successi all’aiuto influenza
negativamente la prestazione e permette di spiegare l’11,8% della varianza; concordemente a quanto presentato in letteratura, questa credenza attributiva risulta infatti
55
DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
N.
2, FEBBRAIO 2007
disfunzionale al processo di apprendimento poiché il soggetto, non riconoscendo il ruolo
del proprio apporto personale, tende a non investire le proprie risorse nel compito e ad
affidarsi all’intervento di fattori esterni e instabili. Le convinzioni relative agli obiettivi
d’apprendimento spiegano invece il 7% della varianza e influenzano positivamente la
prestazione, in accordo con gli studi di Carol Dweck (2000) secondo cui obiettivi di
apprendimento fortemente orientati alla padronanza spronano alla scelta di sfide adeguate, alla ricerca di strategie efficaci e alla persistenza nel compito.
A livello cognitivo, la comprensione grammaticale spiega l’8,6% della varianza e
influenza positivamente la prestazione, in accordo con numerosi studi presenti in letteratura secondo cui essa risulta essere una condizione necessaria perché il bambino sia
in grado di rappresentarsi e categorizzare la situazione problemica e quindi di costruire
un piano di risoluzione corretto e completo.
Accanto ai risultati interessanti ottenuti con questo studio, è necessario sottolineare
anche la presenza di alcune limitazioni metodologiche, legate alla natura delle prove
scelte e alle caratteristiche del campione, che ne restringono le possibilità esplicative,
ma offrono interessanti spunti per ricerche future. Innanzitutto, le prove utilizzate per
testare l’ambito cognitivo e neuropsicologico non si sono rivelate particolarmente discriminanti tra solutori di problemi abili e meno abili e non hanno quindi permesso di
includere molte delle variabili considerate nel modello esplicativo ottenuto con le analisi
di regressione. In alcuni dei compiti proposti, infatti, la maggior parte dei bambini ha
ottenuto il punteggio pieno, portando al raggiungimento del cosiddetto «effetto soffitto»;
per questo, riteniamo che la scelta di prove più specifiche e sensibili avrebbe consentito
di spiegare una percentuale maggiore di varianza relativa alle abilità di svolgimento dei
problemi proposti. In particolare ciò si è verificato per la memoria a breve termine, che in
questa ricerca non è stata inclusa tra le variabili predittive della prestazione, nonostante
sia annoverata tra le variabili cognitive maggiormente esplicative sia in letteratura sia
nei risultati ottenuti con l’analisi della varianza a due vie presentati precedentemente:
nel nostro caso, è necessario considerare che la prova di span utilizzata, pur essendo
specifica per la memoria di lavoro, non consente di rilevare le competenze più complesse
dell’esecutivo centrale, ritenute cruciali per la soluzione dei problemi aritmetici, come il
riconoscimento delle informazioni rilevanti, l’inibizione di quelle irrilevanti e la capacità
di aggiornare gli stimoli in ingresso (Passolunghi, 2004). Riguardo all’ambito emotivomotivazionale, che è emerso qui in tutta la sua complessità e importanza, è essenziale
sottolineare che i questionari utilizzati per verificare le credenze e le convinzioni dei
bambini rispetto all’intelligenza e all’apprendimento permettono di giungere a conclusioni parziali a causa della ristrettezza delle loro scale di valutazione che si basano sulle
risposte fornite a un numero esiguo di domande a scelta multipla.
A limitare la portata esplicativa dello studio contribuiscono certamente anche
la numerosità e le modalità di selezione del campione, che non hanno contemplato
56
INFLUENZA DEI FATTORI COGNITIVI ED EMOTIVO-MOTIVAZIONALI NELLA SOLUZIONE DEI PROBLEMI ARITMETICI
l’esclusione o, per lo meno, l’individuazione di quei soggetti che, oltre alle difficoltà in
matematica, presentano disturbi di tipo linguistico: ciò avrebbe permesso di verificare
quali diverse competenze accomunano o distinguono queste differenti tipologie di soggetti
e di approfondire le considerazioni circa la specificità dei risultati raggiunti. Sarebbe
stato inoltre interessante verificare la specificità delle difficoltà incontrate dai soggetti
nei compiti di problem solving aritmetico in relazione anche alle restanti abilità matematiche o a problemi di tipo non routinario per giungere a conclusioni maggiormente
chiarificatrici rispetto alla complessità dell’abilità studiata.
In generale, è possibile osservare che, sebbene il presente studio chiarisca solo
parzialmente quali siano i fattori esplicativi maggiormente coinvolti nella soluzione
di problemi aritmetici, i metodi correlazionali e le analisi della varianza utilizzati
consentono di confermare l’importante ruolo che le componenti emotivo-motivazionali
considerate, quali l’autostima, l’autoefficacia scolastica, l’ansia matematica e le credenze attributive e motivazionali, rivestono all’interno del processo di apprendimento,
chiarendo inoltre il diverso contributo che portano alla caratterizzazione dei soggetti
appartenenti ai quattro differenti gruppi considerati. Resta ancora da chiarire il ruolo
rivestito dalle variabili di tipo cognitivo-neuropsicologico che, nonostante non si siano
rivelate in generale particolarmente discriminative rispetto alla prestazione, in quanto
solo la comprensione grammaticale rientra nel modello di regressione ottenuto, svolgono
certamente un ruolo fondamentale per la concretizzazione di una prestazione e di un
apprendimento efficace e strategico.
Per quanto riguarda la scelta di impostare questa ricerca includendo tra i criteri
di selezione del campione, con finalità esplorative, anche il livello di ansia generale
dei soggetti, ciò ha permesso di verificare che questa particolare caratteristica risulta
disfunzionale rispetto alla prestazione nelle abilità di problem solving solo in un gruppo
estremamente ristretto di soggetti; questa si associa piuttosto alla presenza di un profilo
emotivo chiaramente disfunzionale che differenzia i soggetti ansiosi dai controlli, che
pure mostrano una buona competenza solutoria. Il concetto di ansia matematica, invece, appare dai risultati di questo lavoro come espressione di un’ansia più generale, in
costante relazione con gli altri costrutti di tipo emotivo-motivazionale; diversamente da
quanto atteso, essa non caratterizza ampiamente i soggetti con difficoltà matematiche
e non risulta predittiva rispetto alle abilità di svolgimento. Probabilmente l’utilizzo di
un campione di soggetti di scuola primaria ha portato a una difficoltà di rilevazione
della stessa: considerando infatti che fisiologicamente i livelli d’ansia tendono ad accentuarsi soprattutto nella preadolescenza e nel periodo adolescenziale, studi di tipo
longitudinale o condotti su soggetti di età superiori porterebbero sicuramente a risultati
maggiormente esplicativi.
Il nostro oggetto di studio emerge dunque in tutta la sua complessità portandoci a
ribadire l’importanza di verificare, in modo integrato e attraverso prove specifiche, il contributo sia delle competenze cognitive che delle componenti emotivo-motivazionali.
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DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA
N.
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