Costruzioni in calcestruzzo armato

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3
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
3.1
GENERALITÀ
3.1.1 Prerogative. Le strutture in calcestruzzo armato sono formate con materiale composito
costituito da una matrice lapidea tridimensionale e da elementi lineari in acciaio.
Le caratteristiche di resistenza del calcestruzzo sono ottime per la compressione (valori fino a
50 N/mm2 ) e scarse per la trazione (valori fino a 3 N/mm2 ); nella quasi completa casistica delle
verifiche, quest’ultima viene considerata nulla e per questo motivo si introducono elementi in acciaio che resistono alle componenti di trazione.
Tale tecnologia è resa possibile dai valori molto vicini (1,0 E-5 °C –1 e 1,2 E-5 °C –1 ) dei coefficienti di dilatazione rispettivamente per il calcestruzzo e per l’acciaio e dall’aderenza fra le
barre di acciaio ed il calcestruzzo.
La matrice o getto è ottenuta con impasto di inerti naturali od artificiali di forma tondeggiante con dimensioni selezionate (ghiaia, ghiaietto, sabbia), di cemento, di acqua e di eventuali addittivi; la miscela, di consistenza pastosa, è confezionata con appositi mescolatori ed è posta in
opera all’interno delle forme in legno od acciaio che delimitano la geometria della struttura e
contengono gli elementi lineari in acciaio o barre di armatura.
La possibilità di realizzare con tale semplice tecnologia elementi strutturali anche complessi
ed ossature complete, costituisce la principale prerogativa del calcestruzzo armato (fig. 1a).
Una importante variante della tipologia sopra descritta è costituita dalle strutture composite in
acciaio-calcestruzzo, nelle quali gli elementi in acciaio sono in generale costituiti da profili laminati o saldati esterni al getto e collegati a questo mediante speciali connettori; questa tipologia
strutturale consente di utilizzare il calcestruzzo come piattabanda compressa della sezione composita, eventualmente soggetta a momenti flettenti e tagli agenti nella direzione trasversale, modellando inoltre la sezione di acciaio in modo da resistere alle azioni taglianti principali e da costituire la piattabanda tesa (fig. 1b).
Condizione essenziale per la resistenza è la compattezza del getto che viene ottenuta mediante
attrezzi meccanici (vibratori) ed agenti chimici e fisici (superfluidificanti); il rapporto A/C acqua/
cemento deve risultare il più basso possibile poiché la resistenza risulta circa inversamente proporzionale a questo parametro e per ridurre i fenomeni conseguenti alla cessione all’atmosfera
dell’acqua in eccesso.
Il cemento ha la proprietà di far presa anche se mantenuto sott’acqua. I costituenti fondamentali sono dei silicati, alluminati e ferriti di calcio che, reagendo con acqua, danno luogo a prodotti
idrati insolubili e forniti di proprietà agglomeranti.
Nella reazione tra cemento e acqua, si distinguono: una fase iniziale di consolidamento
chiamata presa che è caratterizzata ancora da una certa plasticità e che si inizia dopo 30-45
min dall’impasto e termina dopo 10-12 h e una fase di indurimento che segue la precedente e
che può durare molto tempo (anche anni), ma i cui risultati pratici si possono ottenere entro alcune settimane.
Gli elementi in acciaio annegati nel getto sono in generale costituiti da barre (diametri 630 mm), diritte o sagomate e con superficie esterna liscia o nervata (preferibile) e da reti elettrosaldate (maglie 50-300 mm diametri 4-12 mm); nelle strutture composite gli elementi in acciaio sono costituiti da profilati esterni al getto che sono solidarizzati a questo mediante appositi connettori.
Grande innovazione nelle strutture in calcestruzzo armato è derivata dalla introduzione della
precompressione, ossia di uno stato di coazione artificiale che crea uno stato tensionale di compressione nelle parti che risultano tese per effetto delle azioni esterne; tale tecnologia è applicata
ponendo preventivamente in tensione trefoli o barre di acciaio ad alta resistenza e scaricandone la
reazione risultante sul getto indurito.
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GENERALITÀ
Fig. 1.
C-277
a) Sezioni tipiche di travi in calcestruzzo armato. b) Sezioni tipiche di travi in composito acciaio/calcestruzzo. c) Azioni generalizzate su una struttura in calcestruzzo armato.
3.1.2
Fondamenti dell’analisi. Le strutture devono essere analizzate tenendo conto delle seguenti prerogative del materiale composito calcestruzzo/acciaio:
a) i legami tensioni/deformazioni sono fortemente non lineari per il calcestruzzo, di tipo elastico/plastico per l’acciaio normale e di tipo elastico con incrudimento per l’acciaio presollecitato;
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C-278
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
b) la resistenza a trazione del calcestruzzo è molto ridotta ma essenziale per garantire l’aderenza delle armature e per limitare le deformazioni;
c) il comportamento strutturale è complesso e dipende da molteplici fenomeni intrinsechi al
materiale nonché, nell’insieme, dal tempo t (fig. 1c).
Per le caratteristiche sopra riportate, l’attuale tendenza dell’indagine strutturale, orientata verso
la definizione di stati limite (C-3.3), trova particolare risalto nell’applicazione agli elementi in calcestruzzo armato.
L’analisi strutturale e le verifiche, all’interno del processo di progettazione, hanno i seguenti scopi:
Fase
Scopo
Note
1
Analisi strutturale
Determinazione delle azioni interne e
delle deformazioni dell’intera struttura.
Le caratteristiche dei materiali richiedono
analisi di tipo non lineare; in alcune condizioni è possibile la classica analisi lineare
(entrambe non trattate in questa opera).
2
Verifiche
Confronto delle azioni di progetto risultanti dalla fase 1 con quelle sviluppabili
dalla struttura, tenendo conto delle deformazioni.
L’applicazione completa dell’analisi non lineare contiene questa fase almeno per alcune azioni; negli altri casi le verifiche sono
effettuate sulle sezioni.
In generale per l’analisi devono essere assegnate le dimensioni degli elementi strutturali e,
nel caso di procedimento non lineare, devono essere definite anche le armature metalliche; per
le verifiche devono essere comunque considerate le armature, tenendo conto che una eventuale
moderata ridefinizione di queste è agevole, essendo note dal calcolo precedente le azioni di
progetto.
Con riferimento all’inefficienza del calcestruzzo soggetto a tensione di trazione, risulta opportuno da un lato considerare la riduzione delle deformazioni fornita dal calcestruzzo teso ma non
ancora fessurato, mentre dall’altro è necessaria l’eliminazione del relativo contributo alla resistenza della struttura sia per l’analisi che per le verifiche.
Nell’analisi non lineare si opera un’opportuna definizione dei legami costitutivi del calcestruzzo e dell’acciaio e viene seguita l’evoluzione del comportamento strutturale sotto l’effetto dell’incremento dei carichi, fino al raggiungimento del collasso; le verifiche complementari si svilup-pano eliminando i contributi delle parti tese di calcestruzzo.
Il calcolo delle deformazioni risulta corretto solo dall’applicazione dell’analisi non lineare; per
tale motivo questo tipo di analisi deve essere sempre utilizzato anche per la determinazione delle
azioni interne e delle reazioni vincolari delle strutture iperstatiche.
Nell’analisi lineare le azioni e le deformazioni sono determinate considerando il calcestruzzo
efficiente sia a compressione che a trazione e le successive verifiche sezionali procedono con le
ipotesi sopra riportate.
Per la corretta considerazione degli effetti geometrici del 2° ordine, quali ad esempio lo spostamento orizzontale a, del punto di applicazione di un carico verticale N (da cui la dizione effetto N, a o analogamente P, ∆) è necessaria comunque l’introduzione delle caratteristiche anelasti-che dei materiali per procedere poi con metodi di verifica semplificati.
3.1.3 Avvertenze. A motivo della non omogeneità degli elementi costituenti il calcestruzzo armato la definizione delle situazioni predette è oggetto ancora oggi di studi e ricerche.
Le organizzazioni scientifiche hanno svolto importanti ricerche nel campo delle strutture in
calcestruzzo armato sono principalmente:
CEB: Comité Eurointernational du Béton (per alcune attività in collegamento con FIP: Fédération
Internationale de la Précontrainte)
ACI: American Concrete Institute
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CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
C-279
Pur essendo comuni gli obbiettivi di fornire supporto teorico-tecnico alla razionale progettazione delle strutture in calcestruzzo armato, la presentazione delle regole di applicazione è diversa
per le due organizzazioni; la prima fa uso di un approccio un po’ complicato con l’intendimento
di porre delle basi per la stesura di regolamenti nazionali o internazionali, la seconda fornisce direttamente formule a volte un po’ semplificate per l’uso diretto da parte del progettista.
Riferimenti bibliografici dettagliati sono inseriti nel testo, con rimandi all’elenco in C-3.1.4.
Quali riferimenti normativi si citano:
Eurocodice 2, che pone le basi per l’unificazione dei regolamenti nell’ambito degli Stati
membri della Comunità Europea;
Norme Tecniche per l’esecuzione delle opere in cemento armato normale e precompresso e
per le strutture metalliche, emesse con DM dal Ministero dei Lavori Pubblici a cadenza biennale
e che fino alla emissione del 9 gennaio 1996 in parte non risultano congruenti con l’Eurocodice 2.
L’evoluzione della teoria e della sperimentazione ha già superato per alcuni problemi i riferimenti normativi citati che, d’altra parte, non devono istituzionalmente fornire dimostrazioni; per
quanto evidenziato gli sviluppi riportati nel seguito conducono a veriche che si discostano in modo non sostanziale dalle norme.
Nel seguito si considera come parametro di riferimento per la resistenza del calcestruzzo unicamente quella prismatica fc che può essere desunta da quella cubica tramite la relazione fc = 0,83 Rc .
3.1.4
Riferimenti
3.1.4.1 Raccomandazioni di Enti ed Associazioni.
[1] ACI - American Concrete Institute, Manual of Concrete Practice, 1990.
[2] CEB - Comité Eurointernational du Béton - CEB-FIP MODEL CODE, 1990.
[3] FIP - Fédération Internationale de la Précontrainte.
dal 1998 le due organizzazioni precedenti si sono fuse assumendo la denominazione fib ed
utilizzando le pubblicazioni.
[4] CEE - Eurocode N.2, Common Unified Rules for Concrete Structures, 1984.
[5] DM 14 gennaio 2008, Norme Tecniche per le costruzioni.
[6] Circolare 2 febbraio 2009, Istruzioni per l’applicazione delle Norme Tecniche per le costruzioni.
3.2
3.2.1
CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
Componenti
3.2.1.1 Cemento. Il cemento è costituito essenzialmente di una miscela di silicato tricalcico
(3CaO · SiO2), ß-bicalcico ( β -2CaO · SiO2), alluminato tricalcico (3CaO · Al2O3), di composti
identificabili come tetracalcio-alluminoferriti (4CaO · Al2O3 · Fe2O3) e di altri componenti minori.
La composizione dei cementi viene definita mediante le percentuali degli ossidi dei principali
metalli componenti (Ca, Al, Fe, Mg, K, Na) oltre quella della silice.
Viene inoltre indicata la percentuale di SO3 , che individua il contenuto (CaSO4 = CaO + SO3)
di gesso.
I rapporti tra le percentuali di questi ossidi costituiscono alcuni parametri utili all’individuazione del tipo e quindi delle caratteristiche dei cementi:
modulo idraulico Mi: dato dal rapporto tra la somma delle percentuali degli ossidi dei metalli alcalini e alcalino-terrosi e quella degli ossidi degli altri metalli e della silice:
Mi = (CaO + MgO + Na2O + K2O) / (SiO2 + Al2O3 + Fe2O3)
modulo silicico Ms: dato dal rapporto tra la percentuale di silice e quella degli ossidi di Fe e Al:
Ms = (SiO2)/(Al2O3 + Fe2O3)
modulo dei fondenti Mf: dato dal rapporto fra le percentuali degli ossidi di Al e Fe:
Mf = (Al2O3)/(Fe2O3)
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C-280
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Si distinguono i seguenti tipi:
cemento Portland, cemento pozzolanico, cemento d’altoforno e cemento alluminoso (tab. 1).
Tipi di cemento
Portland:
Pozzolanico:
è quello di uso comune se non vi sono agenti aggressivi.
è caratterizzato da un’elevata percentuale di silice e di ossidi di Al, la silice è
inoltre presente nelle sue forme idratate: ciò permette una reattività maggiore
con l’idrato di Ca riducendo la permeabilità della massa ed aumentandone quindi la resistenza agli agenti aggressivi. Rispetto al tipo Portland si hanno resistenze iniziali inferiori e il calore sviluppato durante la presa è minore.
È adatto per opere marine e nel caso di presenza di acque solfatate.
Tabella 1.
Requisiti
Alcune caratteristiche dei cementi.
Portland
Pozzolanico
Alluminoso
Altoforno
Perdita a fuoco
5
7
5
5
Residuo insolubile
3
16
3
3
3,5
3
3
3,5
Al2O3
–
–
35
–
MgO
4
3
3
7
Zolfo (da solfuri)
–
–
–
2
Inizio presa (minuti) (min)
Termine presa (ore) (max)
45’
12
45’
12
30’
10
45’
12
Analisi chimica (% max)
Solfati (espressi SO3)
Caratter. meccaniche (min)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
Resist. a fless. (N/mm )
2
dopo 24 ore
4
dopo 3 giorni
4
6
4
4
4
6
6
4
4
6
dopo 7 giorni
4
6
–
4
6
–
–
4
6
–
dopo 28 giorni
6
7
8
6
7
8
8
6
7
8
17
17
17
32
32
Resist. a compres. (N/mm2)
dopo 24 ore
17
dopo 3 giorni
17
32
17
17
32
dopo 7 giorni
17
32
–
17
32
–
–
17
32
–
dopo 28 giorni
32
42
52
32
42
52
52
32
42
52
a = cemento normale; b = cemento ad alta resistenza; c = cemento ad alta resistenza e rapido indurimento.
N.B. Per i cementi per sbarramenti di ritenuta sono richieste resistenze a compressione di 22,5 N/mm 2 e 35,0 N/mm2 rispettivamente dopo 28 e 90 giorni.
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CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
Alluminoso:
D’altoforno:
C-281
per la maggiore presenza di Al2O3 si hanno presa ed indurimento più rapidi rispetto al tipo Portland; richiede per unità di peso maggiore quantità di H2O.
Oltre ad un maggior costo si segnala la necessità di controllare la temperatura
di idratazione, mantenendola sotto i + 30 °C, per evitare trasformazioni cristalline
degli alluminati che provocano contrazioni di volume, con pericolo di fessurazione.
Per questa ragione il cemento alluminoso non viene impiegato per getti con elevati spessori.
Trova invece impiego nelle malte refrattarie.
Presenta una buona resistenza alle acque acidule (ad esempio per CO2 e SO2)
purchè il loro pH sia maggiore di 3,5; pertanto resiste bene all’acqua di mare.
Viene invece fortemente attaccato dalle acque alcaline.
risulta da miscela di diversi composti fra cui le scorie basiche macinate derivanti dagli altoforni.
Rispetto al Portland indurisce più lentamente con minore rilascio di calore di
idratazione ed è più resistente alle acque aggressive; è quindi adatto a getti di
grandi dimensioni in contatto con acqua.
La presa del cemento alluminoso avviene anche in pochi minuti. La presa e l’indurimento del
cemento sono dovuti alla formazione di idrati, che rivestono le particelle come gel, permettendone
la saldatura. I gel presentano capillari continui, che vengono segmentati e interrotti durante la presa, aumentandone quindi le proprietà meccaniche.
Se viene utilizzato un rapporto acqua/cemento troppo elevato, l’acqua in eccesso impedisce l’interruzione dei capillari e ne aumenta le dimensioni, generando caratteristiche meccaniche e di assorbimento insoddisfacenti. L’idratazione fornisce indicativamente i seguenti principali composti:
2 [3CaO · SiO2] + 6H2Ο → 3CaO · 2SiO2 · 3H2O + 3Ca(OH)2
2 [2CaO · SiO2] + 4H2O → 3CaO · 2SiO2 · 3H2O + Ca(OH)2
3 · CaO · Al2O3 + 6H2O → 3CaO · Al2O3 · 6H2O
Data l’esotermicità delle reazioni di idratazione che accompagnano la presa e l’indurimento
del cemento, da un lato viene accellerata la presa e dall’altro vengono indotte dilatazioni termiche
nella massa assoggettandola a stato di coazione che produce microfessurazioni. In climi caldi ed
in presenza di grandi masse di getto è necessario usare cementi a lenta presa ed impiegare impianti di raffreddamento. Un altro fenomeno che accompagna la presa e l’indurimento del cemento è il ritiro, la cui entità dipende fortemente dal rapporto acqua/cemento dell’impasto e da quella
cemento/inerti.
Le caratteristiche meccaniche finali di un impasto di cemento sono, infine, legate alla quantità
e alla qualità delle acque di impasto o di quelle che vengono eventualmente a contatto con esso
durante la presa, l’indurimento o l’impiego.
Le proprietà meccaniche e di resistenza agli agenti atmosferici del cemento corrispondono
strettamente all’inverso del rapporto acqua/cemento; le caratteristiche sono inoltre influenzate dalle
condizioni termoigrometriche durante la presa e la maturazione del cemento.
In generale la resistenza meccanica finale è tanto più elevata quanto minore è l’eccesso di acqua aggiunto nell’impasto rispetto alla quantità stechiometrica necessaria per idratare i vari componenti; tale eccesso può venire diminuito con l’impiego di piccole quantità di sostanze tensoattive, che provocano una migliore bagnabilità degli aggregati e una conseguente maggiore uniformità reologica della massa.
3.2.1.2 Inerti. Costituiscono componente essenziale del calcestruzzo per ridurre il ritiro della
pasta cementizia evitando fessurazioni su tutta la massa oltre che per ridurre il consumo di ce-
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C-282
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
mento; in relazione al diametro massimo si suddividono in sabbia e ghiaia (quest’ultima in varie
pezzature).
Gli inerti sopra menzionati possono essere silicei o calcarei mentre sono esclusi quelli gessosi.
La sabbia deve risultare il più possibile esente da sostanze argillose, non contenere sostanze
organiche né sali solubili dannosi alla presa ed essere costituita da grani il più possibile resistenti.
Le sabbie più adatte sono quelle di fiume o di lago, meno quelle di cava; da scartarsi quelle di
mare, per le impurezze che contengono. La distribuzione granulometrica deve presentare il 5570% in peso di dimensioni inferiori a 3 mm, ma nello stesso tempo non avere più del 20% di
componenti di dimensioni inferiori a 0,4 mm.
Le ghiaie devono essere formate di elementi resistenti non friabili né porosi (cioè prive di gelività) e prive di sostanze organiche o terrose; gli elementi debbono avere dimensioni variabili tra
7 e 15 mm e tra i 20 e i 50 mm.
La resistenza a compressione degli elementi non deve essere inferiore ai 50 N/mm2.
Un parametro che definisce semplicemente la distribuzione granulometrica di un aggregato è
costituito dal modulo di finezza, uguale alla somma delle frazioni della massa trattenuta dalla serie unificata di vagli (N.9 secondo UNI 2332-2334), le cui aperture sono in serie geometrica di
modulo 1/2.
Ad esempio è riportata una analisi granulometrica di una sabbia mista ed il calcolo del modulo di finezza:
Esempio di calcolo del modulo di finezza di una sabbia mista.
Dim. vagli
unificati (mm)
Massa
trattenuta (g)
Frazione massa
trattenuta
Somma delle
frazioni trattenute
0
50
0
0
25
0
0
0
12,5
0
0
0
6,3
60
0,020
0,020
3,0
310
0,101
0,121
1,5
300
0,098
0,219
0,6
590
0,191
0,410
0,3
1070
0,349
0,759
0,15
530
0,173
0,932
< 0,15
210
0,068
–
Totali
3070
1,000
2,460 =
modulo di finezza
Il modulo di finezza ha valori crescenti con la massima dimensione degli elementi dell’aggregato.
Le caratteristiche granulometriche degli aggregati devono essere tali da conferire sia elevata
densità alla miscela, così da ridurre al minimo il volume dei vuoti che deve essere riempito con
i composti di idratazione del cemento, sia adeguata lavorabilità, così da assicurare completo riempimento delle forme e degli interspazi fra le armature.
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CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
Fig. 2.
C-283
Distribuzioni ottimali della granulometria.
Alcune distribuzioni ottimali della granulometria sono indicate nella figura 2, le fasce di scostamento accettabili devono essere verificate in funzione delle caratteristiche che si vogliono ottenere per l’impasto e per il getto indurito.
Poiché molti aggregati, sia naturali che prodotti per frantumazione, presentano granuli che si
discostano dalla forma sferica ottimale, risultano accettabili elementi il cui coefficiente di forma C
risulti maggiore di 0,15 : C = 6V/D3 ≥ 0,15 in cui V è il volume del granulo e D il diametro della
sfera circoscritta. Particolare cautela deve essere posta nell’accertare la sensibilità delle sabbie e
delle ghiaie all’attacco alcalino da parte del cemento che, in presenza di alcuni composti silicei,
forma un gel alcalinosiliceo che assorbe acqua aumentando di volume e disgregando completamente il getto.
3.2.1.3 Acqua. L’acqua necessaria all’impasto non deve contenere elementi in sospensione,
deve essere limpida, esente il più possibile da materiali organici e non deve contenere sali disciolti (soprattutto cloruri e solfati) oltre al limite dell’1% complessivo; l’acqua di mare è quindi esclusa.
Non deve essere, infine, né troppo calda né troppo fredda (5 °C ≤ T ≤ 25 °C).
3.2.1.4 Additivi. Hanno diverse formulazioni volte all’ottenimento di particolari caratteristiche
del getto; si citano in particolare:
– fluidificanti: da impiegarsi per conferire al calcestruzzo buona lavorabilità pur con basso rapporto acqua/cemento;
– acceleranti: da impiegarsi per ridurre il tempo di presa e di indurimento;
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C-284
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
– ritardanti: da impiegarsi con lo scopo opposto in modo da ripartire in un maggiore tempo lo
sviluppo del calore di idratazione;
– aeranti: da impiegarsi per produrre nella massa 1-2% di microbolle di diametro pari a circa 0,1
mm che conferiscono buona resistenza al gelo oltre ad una migliore lavorabilità.
Sono anche disponibili prodotti che producono contemporaneamente alcuni degli effetti sopra
descritti.
3.2.1.5 Acciaio per armature normali. Le armature normali sono costituite da barre e da reti elettrosaldate entrambe prodotte nei tipi con superficie dentata per aumentare l’aderenza con il calcestruzzo. Nelle strutture costruite da alcuni decenni possono essere presenti armature con superficie liscia.
Tabella 2.
Caratteristiche meccaniche delle armature.
Acciaio B450C
Valori nominali di resistenza
fy,nom
450 N/mm2
ft,nom
540 N/mm2
Caratteristiche
Tensione caratteristica di snervamento fyk
Requisiti
Frattile (%)
≥ fy, nom
5,0
≥ ft, nom
5,0
1,15 ≤ (ft /fy)k < 1,35
10,0
(fy /fy, nom)k
≤ 1,25
10,0
Allugamento (Agt)k
≥ 7,5 %
10,0
Tensione caratteristica di rottura ftk
(ft /fy)k
Diametro del mandrino per prove di piegamento a
90° e successivo raddrizzamento senza cricche:
4φ
5φ
8φ
10 φ
φ < 12 mm
12 ≤ φ ≤ 16 mm
16 ≤ φ ≤ 25 mm
25 ≤ φ ≤ 40 mm
Acciaio B450A
Valori nominali di resistenza
fy,nom
450 N/mm2
ft,nom
540 N/mm2
Requisiti
Frattile (%)
Tensione caratteristica di snervamento fyk
Caratteristiche
≥ fy,nom
5,0
Tensione caratteristica di rottura ftk
≥ ft,nom
5,0
(ft /fy)k
≥ 1,05
10,0
(fy /fy,nom)k
≤ 1,25
10,0
Allugamento (Agt)k
≥ 2,5 %
10,0
Diametro del mandrino per prove di piegamento a
90° e successivo raddrizzamento senza cricche:
φ < 10 mm
4φ
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CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
Tabella 3.
Massimo contenuto di elementi chimici in %.
Analisi su prodotto
Carbonio
Fosforo
C-285
Analisi di colata
C
0,24
0,22
P
0,055
0,050
Zolfo
S
0,055
0,050
Rame
Cu
0,85
0,80
Azoto
N
Ceq
0,014
0,02
0,50
Carbonio equivalente
0,52
Le caratteristiche delle armature che devono essere note per l’analisi strutturale e per la progettazione sono sia quelle meccaniche, quali resistenza, snervamento, duttilità, comportamento a
fatica con le relative variazioni dovute all’effetto della temperatura, sia quelle tecnologiche quali
la piegabilità e la saldabilità, sia quelle fisico-chimiche come la sensibilità alla corrosione. Le armature sono identificate inoltre dal diametro effettivo o nominale, quest’ultimo definito per il tipo
ad aderenza migliorata come quello della barra cilindrica equipesante; per necessità pratiche di
immediata ed inequivocabile identificazione in fase di lavorazione e di posa si consideri la seguente serie di diametri d (in mm): 6 - 8 - 10 - 12 - 16 - 20 - 26 - 30 mentre sono prodotte anche
barre con diametri intermedi e superiori fino a 50 mm.
Le caratteristiche meccaniche delle barre di armatura sono definite nella tabella 2 [5].
La prova di piegamento e raddrizzamento si esegue alla temperatura di 20 ± 5 °C piegando la
barra a 90°, su mandrino avente il diametro indicato in tabella mantenendola poi per 30 minuti in
acqua bollente e procedendo, dopo raffreddamento in aria, al parziale raddrizzamento per almeno
20°. Dopo la prova il campione non deve presentare cricche.
Sono ammessi esclusivamente acciai saldabili, qualificati e controllati secondo [5] e [6]. Le
barre possono essere fornite in rotoli per diametri fino a 16 mm per B450C e fino a 10 mm per
B450A.
La deviazione ammissibile per la massa effettiva, rispetto a quella nominale è pari a ± 6%
per diametri nominali 5 ≤ φ ≤ 8 mm, e pari a ± 4,5% per 8 < φ ≤ 40 mm.
Gli acciai riportano un’apposita marchiatura con la quale viene identificato il produttore che
garantisce la qualità. L’analisi chimica effettuata su colata e l’analisi chimica di controllo effettuata sul prodotto finito devono soddisfare le limitazioni sotto riportate:
Il calcolo del carbonio equivalente Ceq è effettuato con la seguente formula:
Ceq = C + Mn / 6 + (Cr + Mo + V) / 5 + (Ni + Cu) / 15
in cui ai simboli chimici è associato il contenuto degli elementi espresso in percentuale.
Per le reti si adottano fili di diametro compreso fra 6 e 16 mm per materiale B450C e fra 5
e 10 mm per B450A, con variazioni di 1 mm. Le caratteristiche di resistenza sono definite nella
tabella 4. Il rapporto fra i diametri delle barre delle reti deve risultare: φmin/φmax ≥ 0,6.
La tensione di rottura, quella di snervamento e l’allungamento devono essere determinati con
prova di trazione su campione che comprenda almeno uno dei nodi saldati.
Deve inoltre essere controllata la resistenza al distacco offerta dalla saldatura del nodo, forzando con idoneo dispositivo il filo trasversale nella direzione di quello maggiore posto in trazione; tale resistenza, dovrà risultare superiore al 25% della forza di snervamento nominale della
barra di diametro maggiore.
La distanza assiale tra i fili elementari non deve superare 330 mm.
3.2.1.6 Acciaio da presollecitazione. Tale acciaio è disponibile normalmente nelle seguenti tipologie:
– trefoli a 7 fili con diametri nominali e sezioni riportate nella tabella 4;
– trecce a 3 fili;
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C-286
Tabella 4.
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Caratteristiche meccaniche dei diversi tipi di armatura per presollecitazione.
Barre
Fili
Trefoli
Trefoli a fili
sagomati
Trecce
≥ 1000
≥ 1570
≥ 1860
≥ 1820
≥ 1900
Tensione caratteristica allo 0,1% di deformazione
residua fp(0,1)k N/mm2
–
≥ 1420
–
–
–
Tensione caratteristica all’1% di deformazione
totale fp(1)k N/mm2
–
–
≥ 1670
≥ 1620
≥ 1700
Tensione caratteristica di snervamento fpyk N/mm2
≥ 800
–
–
–
–
Allungamento sotto carico massimo Agt (%)
≥ 3,5
≥ 3,5
≥ 3,5
≥ 3,5
≥ 3,5
Caratteristica
Tensione caratteristica di rottura fptk N/mm2
– barre a filettatura stampata o lisce (da filettare alle estremità);
– fili con estremità da lavorare (ormai in disuso).
Le caratteristiche meccaniche garantite dal produttore sono riportate nella tabella 4.
Tutti gli acciai da presollecitazione sono del tipo sensibile alla corrosione.
Per il modulo di elasticità si fa riferimento al catalogo del fornitore; valori indicativi sono i
seguenti.
Per i trefoli e le tracce il modulo elastico è circa 196 kN mm– 2 inferiore a quello (206 kN/
mm2) dei singoli fili a causa della maggiore lunghezza unitaria dovuta alla cordatura, l’allungamento a rottura su l = 600 mm è ≥ 3,5%; il rilassamento a 2000h per T = 20C e con tiro
σp = 0,75 fpk risulta ≤ 2,4%.
Per le barre il modulo elastico è circa 206 kN/mm2, il rilassamento per T = 20 °C e con tiro
P = 0,60 Fpk è nullo.
Le trecce e i trefoli fino al diametro nominale di 12,5 mm sono adatti per la pretensione purché il rapporto di cordatura tan β (definito nella fig. 3) sia superiore a 0,20.
I trefoli di diametro nominale 12,5 e 15,2 mm sono adatti alla confezione di cavi da post-compressione con tracciato curvilineo e sono ancorati alle estremità mediante apposite testate; le barre sono adatte
alla post-tensione con tracciato rettilineo.
Il tipo liscio, con filettatura di estremità realizzata per rullatura (senza asportazione di materiale) è adatto per barre corte ed in tutti i casi ove non sono tollerabili assestamenti dell’ancoraggio, con conseguente perdita di una frazione del tiro.
Fig. 3.
Rapporto di cordatura.
276-472_CAP_03_C Page 287 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
C-287
3.2.1.7 Connettori acciaio/calcestruzzo. Sono in generale costituiti da elementi a T ricavati da
profili laminati e saldati su tutto il contorno alle parti in acciaio allo scopo di assicurare collegamenti con elevata rigidezza; nel caso più diffuso di collegamenti flessibili e duttili si usano profili
ad L con saldature lungo lo spessore di una delle ali ed orientati in modo che l’ala superiore fornisca sostentamento sul calcestruzzo con effetto raddrizzante rispetto all’inflessione originata dalle
azioni tangenziali di scorrimento.
Sono disponibili e frequentemente impiegati anche connettori a piolo, con testa rifollata, che
vengono saldati, con apposita apparecchiatura, senza apporto di metallo e con fusione della parte
inferiore del gambo protetta temporaneamente con muffola ceramica.
3.2.1.8
Materiali per il consolidamento di strutture esistenti.
Sono costituiti essenzialmente da:
a) prodotti inibitori della corrosione delle armature esposte
b) prodotti adatti all’aggrappaggio di nuove malte al calcestruzzo esistente
c) malte per la ricostruzione delle parti degradate di calcestruzzo
d) resine (in generale epossidiche) e relativi “primer” per l’incollaggio al calcestruzzo di elementi di rinforzo in acciaio o in tessuti di fibre speciali
e) piastre in acciaio per il placcaggio del calcestruzzo
f) tessuti in fibra di carbonio sia per il placcaggio che per la cerchiatura di elementi strutturali in calcestruzzo
Le caratteristiche fisiche, meccaniche e le modalità di applicazione sono indicate nelle schede
preparate dai vari produttori.
3.2.2
Composti e sistemi
3.2.2.1 Calcestruzzi: composizione/confezione/posa in opera. Sono confezionati con cemento,
acqua, sabbia, aggregati di varie pezzature ed eventuali addittivi.
Le percentuali della miscela dei componenti, il contenuto di H2O e di cemento devono essere
determinati in relazione alle condizioni di impiego del calcestruzzo, definite nello schema di figura 4 unitamente ad alcune delle possibili interazioni.
Per garantire la lavorabilità del calcestruzzo in funzione della densità di armatura, della distanza fra i paramenti dei casseri e della distanza di pompaggio (se la distribuzione è effettuata
con tale metodo) si prescrivono le seguenti classi di abbassamento al cono (slump) (tab. 5):
La lavorabilità è individuabile con numerose procedure di cui quella più nota è quella dello
“slump test”, in cui si misura in mm l’abbassamento della sommità di un tronco di cono di calcestruzzo dovuto alla rimozione del contenitore (UNI 9418) determinando quindi la consistenza
dell’impasto. Secondo UNI 9417 si adottano le seguenti definizioni della consistenza in funzione
degli abbassamenti al cono e si definiscono quindi le relative classi di consistenza S (UNI 9858).
Assegnate le condizioni di impiego del calcestruzzo, sono disponibili diversi metodi per il
progetto della miscela, fra i quali quello più pratico è indicato da ACI 211.1-77 [1] ed è di seguito riportato.
Tabella 5.
Classe
Abbassamento al cono
S1
S2
S3
S4
S5
SCC
da 10 a 40
da 50 a 90
da 100 a 150
da 160 a 210
≥ 220
• (autocompattante)
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C-288
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 4.
Condizioni determinanti per il progetto della miscela.
Il metodo sopracitato si basa sulla constatazione del fatto che, assegnata la massima dimensione degli inerti, il contenuto di acqua determina la lavorabilità dell’impasto in modo abbastanza indipendente dalle proporzioni della miscela. Si può anche considerare che il rapporto
ottimale fra il volume in mucchio dell’aggregato grosso e quello della miscela, dipende soltanto
dalle dimensioni dell’elemento maggiore e dalla distribuzione granulometrica (espressa mediante
il modulo di finezza) dell’aggregato fine; la forma dei granuli dell’aggregato grosso entra in
gioco attraverso il volume in mucchio che risulta maggiore quanto più ci si discosta dalla forma sferica ottimale.
Nota la quantità dell’acqua, quella del cemento è ottenuta in modo da ottenere la resistenza
prevista.
Nella figura 5 sono riportate sotto forma grafica le relazioni sopra illustrate che consentono il
progetto della miscela; su tali diagrammi è possibile seguire come esempio l’applicazione del metodo per un calcestruzzo che deve avere consistenza plastica (slump 100 mm), con massima dimensione dell’aggregato 40 mm (avente densità in mucchio 1600 kg/m3 e densità effettiva 2600
kg/m3), sabbia con modulo di finezza 2,60 e densità 2550 kg/m3 e per classe di resistenza 35 N/
mm2; la densità del cemento è 3150 kg/m3.
Per slump 100 mm e con i dati soprariportati per gli aggregati, risulta il volume percentuale della ghiaia 0,73 e quindi la massa 0,73 × 1600 = 1170 kg; si ottiene il contenuto di H2O
276-472_CAP_03_C Page 289 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
Fig. 5.
C-289
Grafico progetto miscela.
175 kg/m3 a cui corrisponde, per classe di resistenza 35 N/mm2, il contenuto in cemento kg
340 (A/C = 0,515).
I volumi (in m3) e le masse assolute (in kg) dei componenti risultano quindi:
m3
Kg
H2O
Cemento 340/3150
Aggregato grosso 1170/2600
Aria inglobata 1%
Aggregato fine 1-0,743
0,175 
0,108 
0,450  0,743 m3
0,010 
0,257 
175
340
1170
0
655
Totali
1,000 m3
2340 Kg
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C-290
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
La densità della miscela risulta quindi 2340 kg/m3; i composti vengono preventivamente miscelati a secco e successivamente vengono aggiunti l’acqua e gli addittivi. Tale operazione viene
effettuata in mescolatori ad asse sub-orizzontale (o betoniere) o verticale e richiede in genere 3-5
minuti.
La miscela deve essere confezionata in impianto fisso mentre il convogliamento dall’impianto
è effettuato con autobetoniera, il trasporto sulla posizione di getto avviene mediante mezzi meccanici quali nastri trasportatori, canali inclinati, apposite pompe.
La posa in opera deve garantire la massima compattezza del getto ed è quindi effettuata preferibilmente con mezzi meccanici quali i vibratori, che rendono momentaneamente fluido l’impasto consentendo l’espulsione delle grosse bolle d’aria ed il riempimento delle cavità; la vibrazione
è essenziale nel caso di forte percentuale di armatura per assicurare il completo inglobamento della stessa nel calcestruzzo.
Nel caso delle riprese di getto, ossia dell’interruzione e successiva ripresa di una fase della
posa in opera, se l’intervallo non supera 1 ora a temperatura massima di 20 °C è possibile la rivibrazione della prima parte per assicurare l’unione con la seconda; in caso di intervallo maggiore
si deve considerare una discontinuità fra getti successivi e quindi provvedere all’inserimento di
barre addizionali di cucitura ed alla sagomatura del profilo del primo getto per rendere possibile
il trasferimento di azioni taglianti.
Nel caso di clima molto caldo (oltre 40 °C) si devono impiegare cementi a basso calore di
idratazione e, in certi casi, provvedere al raffreddamento della miscela con appositi impianti (per
grandi masse) o introducendo ghiaccio invece di acqua nel mescolatore.
Sussiste una relazione crescente fra la resistenza del calcestruzzo e la sua maturità, espressa
come prodotto del tempo trascorso per la temperatura.
La presa e l’inizio dell’indurimento del calcestruzzo devono avvenire in ambiente umido per
prevenire perdita di acqua che renderebbe incompleta l’idratazione del cemento; pertanto i getti
all’aperto devono essere protetti con teli o innaffiati frequentemente.
Analoghe cautele devono essere prese con temperatura esterna prossima a 0 °C per evitare la
formazione di ghiaccio all’interno della miscela con effetti distruttivi; non è consigliabile porre in
opera calcestruzzo con temperature inferiori a – 5 °C.
Negli impianti di prefabbricazione, sia in stabilimento che a piè d’opera, l’indurimento del
calcestruzzo, confezionato con cemento tipo Portland, è accelerato mediante riscaldamento delle
forme e dell’impasto rispettivamente con acqua calda e vapore saturo a temperatura minore di
Fig. 6.
Ciclo di maturazione accelerata del calcestruzzo.
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CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
C-291
80 °C così che, in generale, l’elemento raggiunge resistenza elevata (30-35 N/mm 2) dopo 12-14
ore dalla posa in opera del calcestruzzo; le modalità di applicazione del flusso termico devono
essere accuratamente studiate per ridurre le autotensioni dovute allo sfasamento della presa e
dell’indurimento che si manifesta fra le zone a contatto con le sorgenti di calore e l’interno
della massa.
In generale inoltre il ciclo di maturazione prevede un intervallo a temperatura ambiente di 35 ore, un riscaldamento con intensità 25-32 °C/h, mantenimento alla massima temperatura di 80 °C
per 3-4 ore e successivo raffreddamento con gradiente non superiore a – 25 °C/h (fig. 6). La maturazione accelerata sopra descritta produce resistenze finali inferiori del 10-15% rispetto a quelle
di analoghi calcestruzzi maturati normalmente.
3.2.2.2 Armature. Le armature sono in generale composte in gabbie risultanti dall’assemblaggio
di barre longitudinali, normali alla sezione sollecitata, e di barre trasversali o staffe, giacenti nel
piano di questa; nel caso di piastre, in cui le azioni si sviluppano secondo due direzioni, le armature sono in generale costituite da reti elettrosaldate.
Reti elettrosaldate piegate trovano impiego per costituire l’armatura a taglio e quella longitudinale secondaria di elementi strutturali sottili.
Quale armatura per il punzonamento si impiegano o legature verticali o barre aventi una
estremità rifollata ed una saldata ad un piatto che agevola il posizionamento e fornisce l’ancoraggio inferiore (fig. 7).
In tutti i casi le gabbie devono essere dotate di distanziatori che garantiscono il valore di progetto del copriferro (rivestimento in calcestruzzo delle barre) e devono risultare indeformabili durante le operazioni di getto.
Tutte le armature devono essere ancorate al calcestruzzo, per aderenza o con dispositivi di
contrasto; nel primo caso la barra potrà sviluppare la sua resistenza di progetto solo al termine
del tratto di ancoraggio.
In alcuni casi si prefabbricano parti complesse di elementi più grandi in modo da poterle preparare nella posizione più favorevole per inserirle successivamente nella gabbia.
3.2.2.3 Connessioni e connettori. Per realizzare la giunzione di barre di armatura, si provvede normalmente mediante sovrapposizione, legatura delle stesse ed inserimento di spirale di
Fig. 7.
Armatura per punzonamento.
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C-292
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 8.
Fig. 9.
Sovrapposizione di barre.
Esempio di connettore meccanico.
cerchiatura che contrasta le pressioni radiali prodotte dalla non coincidenza degli assi delle
barre (fig. 8).
Tali pressioni si manifestano sia per barre tese che per barre compresse e quindi è sempre
necessario inserire la spirale nelle giunzioni delle armature principali.
Per ovviare a tale lavorazione costosa ed aumentare lo spazio disponibile per il getto
nella zona di giunzione sono disponibili connettori meccanici di vari tipi, fra i quali, si cita
quello costituito da un manicotto che viene pressato sulle due estremità delle barre da collegare (fig. 9).
Esistono anche barre particolari, le cui nervature sono disposte a spirale così che è possibile
il collegamento diretto mediante manicotto filettato; a causa dei giochi per il montaggio con tol-
Fig. 10.
Giunzione di barre speciali.
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CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
C-293
leranze inevitabilmente grossolane degli elementi è necessario inserire su ognuna delle barre un
dado che deve essere serrato contro al manicotto (fig. 10).
3.2.2.4 Sistemi per presollecitazione. Sia nel caso della pre-tensione che della post-tensione la
presollecitazione dell’acciaio è ottenuta mediante martinetti al cui pistone vengono temporaneamente collegati i trefoli o le barre.
I trefoli, impiegati in entrambi i sistemi, sono vincolati al pistone di tesatura mediante semichiavette dentate, in acciaio indurito con superficie esterna sagomata a tronco di cono, che vengono alloggiate in fori, pure tronco-conici, predisposti in un elemento di ancoraggio in acciaio; la
conformazione sopra descritta assicura il serraggio a cuneo delle chiavette sui singoli trefoli.
Analogo sistema di vincolo è adottato per l’ancoraggio dei trefoli sia al ritegno temporaneo
nel caso della pretensione, sia alla testa annegata nel calcestruzzo nel caso della post-tensione
(fig. 11); nel primo caso il ritegno è dotato di martinetti idraulici che, dopo l’indurimento del calcestruzzo, rilasciano la tensione dei tratti liberi dei trefoli così da trasferirne gradualmente l’ancoraggio al calcestruzzo.
In entrambi i casi la presollecitazione realizza uno strato di coazione nel quale l’equilibrio è
assicurato dalle tensioni di trazione dell’acciaio e di compresiopone nel calcestruzzo.
Il meccanismo di ancoraggio mediante chiavette sopra descritto implica una perdita di 3-5
mm dell’allungamento impresso al trefolo, che può in alcuni casi essere compensata mediante sovratensione.
Per entrambi i sistemi di pre e post-tensione devono essere considerati nelle verifiche le alterazioni allo stato di coazione impresso prodotte sia dai vincoli delle strutture sia dal ritiro e dal
rifluimento del calcestruzzo.
a) Pre-tensione
Per assicurare l’aderenza, i trefoli devono essere tassativamente puliti, mediante mezzi meccanici (sabbiatura) e chimici (decappaggio, solventi) da ogni sostanza estranea depositata anche accidentalmente sulla superficie.
Deve essere posta ogni cura per evitare il contatto dei trefoli con i disarmanti applicati alle casseforme.
Fig. 11. Testa ancoraggio per cavo. (1) Fusione in ghisa sferoidale. (2) Terminale in acciaio. (3) Raccordo.
(4) Spirale in acciaio. (5) Guaina. (6) Vano nel getto (7) Raccordo per iniezione. (8) Trefolo (9) chiavette in
acciaio. (10) Anello in acciaio. (11) Foro per fissaggio della testa al cassetto. (Sistema ALGA, Milano).
276-472_CAP_03_C Page 294 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-294
Fig. 12.
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Testa di ancoraggio per barre. (1) Barra. (2) Dado conico. (3) Ancoraggio a piastra. (4) Giunzione.
(5) Tubo di sfiato o di iniezione. (6) Tappo. (Sistema Dywidag/Dywit, Milano).
Per gli operai addetti a tutte le operazioni di costruzione che coinvolgono l’uso dei trefoli è
obbligatorio l’uso di guanti puliti.
La precompressione cresce con legge approssimativamente lineare dal valore nullo a quello
totale al termine della lunghezza di ancoraggio che deve essere calcolata per il valore della
pretensione aumentata dalle azioni derivanti dall’azione dei carichi e trasferite per aderenza al
trefolo.
All’atto del trasferimento della presollecitazione al calcestruzzo, questo si deforma elasticamente producendo una riduzione del tiro dei trefoli che deve essere considerata per le verifiche.
b) Post-tensione
Nel caso della post-tensione, sia a trefoli che a barre, tali armature sono isolate dal calcestruzzo mediante guaine in banda di acciaio o in polipropilene che, dopo il tiro, vengono iniettate
in pressione mediante appositi prodotti a base cementizia, modificata per renderli tixotropici, allo
scopo di ottenere sia la protezione dalla corrosione dell’acciaio sia l’aderenza al getto su tutta la
lunghezza. Per effetto dell’attrito fra le armature e le guaine a partire dalla testata si ha una perdita di tensione che risulta funzione sia dell’ascissa curvilinea sia della somma dei valori assoluti
delle deviazioni angolari.
Prima di applicare la post-tensione è necessario eliminare vincoli e ritegni non previsti introdotti dalla cassseratura e dai relativi sostegni, in modo da non impedire le deformazioni indotte.
Per ogni cavo deve essere redatto un rapporto di tesatura sul quale sono indicati: la identificazione, la composizione, il tiro massimo applicato, l’allungamento corrispondente e quello risultante dopo l’assestamento dell’ancoraggio, nonché il volume della miscela di iniezione.
Nel caso delle barre, impiegate esclusivamente per post-tensione, l’attacco al martinetto è realizzato mediante bulloni simili a quelli impiegati per l’ancoraggio alle piastre annegate nel calcestruzzo (fig. 12).
Le ingenti forze assiali trasmesse dalle testate al calcestruzzo, generano localmente trazioni
radiali che devono essere riprese mediante spirali di acciaio e, su distanza pari circa all’altezza
dell’elemento in calcestruzzo, è presente un complesso campo di sollecitazione che richiede altre
armature.
3.2.2.5 Appoggi. Gli appoggi costituiscono un elemento fondamentale per assicurare il corretto
funzionamento strutturale dell’opera e devono quindi essere anch’essi oggetto della progettazione.
Compito degli elementi di appoggio è quello di consentire in generale movimenti assiali e rotazioni; le tipologie fondamentali in uso sono quelle in gomma naturale o artificiale armata con
276-472_CAP_03_C Page 295 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
Fig. 13.
C-295
Appoggio in gomma, acciaio e polifluoroetilene.
lamierini di acciaio vulcanizzati e quelle in gomma cerchiata con elementi di scorrimento in polifluoroetilene e acciaio inossidabile.
I primi sono dotati di rigidezza orizzontale ridotta, ma non trascurabile, dovuta alla deformazione dell’elastomero mentre i secondi hanno rigidezza rotazionale pressoché nulla e sviluppano
forze di attrito pari a circa H = 0,03 V (con V = carico verticale agente).
Esiste anche una tipologia composita, con acciaio inossidabile e polifluoroetilene sovrapposti da
un appoggio in gomma armata (fig. 13).
Per la progettazione degli appoggi in elastomero armato si rimanda alle Norme CNR 10018/85.
3.2.2.6 Casserature. Costituiscono il supporto del getto e conferiscono all’elemento strutturale
la forma prevista.
Le casserature devono essere a tenuta per evitare perdite di acqua e cemento.
L’armatura di sostegno dei casseri deve essere costruita in modo da non agire in modo staticamente scorretto sulle strutture sottostanti e per permettere il ritiro del calcestruzzo ed un facile
disarmo.
Le casserature devono essere dimensionate per sopportare correttamente le sollecitazioni dovute alla vibrazione del cls.
In mancanza di diverse prescrizioni sui disegni esecutivi, i casseri delle travature dovranno
presentare monte pari a L / 500 (L = luce fra gli appoggi).
Anche se nei disegni non sono indicati smussi dei diedri delle strutture, questi devono comunque essere eseguiti a 45° con lati di 15 mm.
Non è ammesso sulla superficie del calcestruzzo l’affioramento dei ferri o fili di ferro usati
per il sostegno o sbadacchiatura dei casseri, mentre lo è per terminali in plastica usati per distanziare le casserature purché di piccole dimensioni, disposti secondo indicazioni riportate sui particolari costruttivi.
A disarmo avvenuto i fori di tali distanziatori dovranno essere sigillati con miscela di resina
epossidica e sabbia quarzifera.
I casseri per calcestruzzo a vista devono essere eseguiti in acciaio, materia plastica o legno;
in quest’ultimo caso devono essere costruiti con tavole piallate e maschiate. In alcuni casi si ottengono particolari impronte sulla superficie mediante matrici in gomma.
Per migliorare la durabilità del calcestruzzo si applicano sulle superfici dei casseri, particolari
teli che facilitano l’espulsione dell’aria e dell’acqua in eccesso.
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C-296
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
I casseri per l’esecuzione di strutture prefabbricate sono in generale realizzati in acciaio, ed
inoltre:
– ogni giunzione tra sponda mobile e parte fissa viene completata con guarnizione antiolio, antiusura, termoresistente; sono da evitare strisciamenti di guarnizioni su parti piane durante il
disarmo.
– ogni sponda è movimentata con sistema a cerniera o a scorrimento; l’azionamento è in generale
idraulico con bloccaggio meccanico.
Nel caso di casseri per strutture presollecitate, devono essere osservate le seguenti avvertenze:
a) il cassero deve essere libero di scorrere longitudinalmente sulla pista per evitare tensioni
anomale nel manufatto e nei trefoli, all’atto del rilascio della pretensione;
b) particolare cura deve essere posta per assicurare la tenuta del cassero nelle testate e nei separatori ed in corrispondenza dei fori di uscita dei trefoli;
c) nel caso siano presenti traversi o risalti ortogonali al tiro, le parti del cassero adiacenti a
questi devono essere reciprocamente mobili allo scopo di consentire l’accorciamento dell’elemento
in fase di rilascio della pretensione.
Salvo diversa indicazione specifica sul disegno del manufatto vengono rispettate le seguenti
tolleranze dimensionali:
Planarità delle specchiature:
Lunghezza dei manufatti:
± 1 mm rispetto al piano teorico di riferimento.
– 0/+ 1 mm fino a 6 m di lunghezza; per lunghezze superiori
sarà consentito ½ millimetro per ogni frazione di 5 m di lunghezza in più.
+ 0/– 1 mm.
+ 0/– 1,5 mm.
Larghezza dei manufatti:
Diagonale del manufatto:
3.2.3 Prove sui materiali. Le prove sul calcestruzzo e sulle armature normali e da presollecitare sono codificate secondo i vari DM [5].
I controlli di accettazione devono avvenire con la supervisione del Direttore dei Lavori e le
prove, richieste dallo stesso, devono essere effettuate presso un Laboratorio Ufficiale; tutti i certificati devono essere trasmessi al Collaudatore.
3.2.3.1 Calcestruzzo. La resistenza caratteristica Rck , definita con frattile 0.05 (vedere C-3.3.4.1)
rispetto alla media dei risultati è ricavata dalle prove a compressione (UNI 6132) a 28 giorni su cubi normalizzati secondo UNI 6127-6130/1a/2a; nelle verifiche si considera la resistenza prismatica
fck ≅ 0.83 Rck .
La classe del calcestruzzo è individuata da C#/* in cui # indica la resistenza prismatica che
viene utilizzata nelle verifiche e * indica quella determinata su provini cubici.
Si hanno quindi le seguenti classi
#
8
12
16
20
25
28
32
35
40
45
50
55
60
70
80
90
*
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
67
75
85
95
105
C
Il controllo della resistenza del calcestruzzo si articola in due fasi principali, delle quali la
prima è volta ad accertare che, in relazione alle condizioni locali (inerti, sistemi di confezione e
trasporto), sia possibile ottenere la classe prevista a progetto; la seconda è quella di accettazione
del prodotto posto in opera, mediante prelievi costituiti da gruppi di due provini.
Per volumi di getto di caratteristiche omogenee inferiori a 300 m3 si esegue un prelievo ogni
100 m3 e, in ogni caso un prelievo al giorno.
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CARATTERISTICHE FISICHE E TECNICHE DEI MATERIALI
C-297
Indicando con R1 ≤ R2 ≤ R3 le resistenze minime corrispondenti a 3 prelievi, e con Rm la loro
media, il controllo è positivo se risultano verificate entrambe le disuguaglianze (unità N/mm2):
Rm ≥ Rck + 3,5
R1 ≥ Rck – 3,5
Nel caso di volumi di getto omogeneo superiori a 1500 m3 è ammesso un controllo statistico
(da ripetersi ogni 1500 m3) con un prelievo al giorno ed un minimo di 15 sul totale di 1500 m3;
il controllo è positivo se risultano soddisfatte entrambe le diseguaglianze:
Rm ≥ Rck + 1,4 s
R1 ≥ Rck – 3,5
in cui lo scarto quadratico medio
n
( R – R )2
i
m
- con R m
∑ -----------------------n–1
s =
i=1
n
=
R
∑ ----n-i e deve risultare s ≤ 0,30 Rck
i=1
La resistenza caratteristica a trazione fctk non viene determinata direttamente ma viene desunta
da quella prismatica tramite la relazione (unità N/mm2):
fctk = (0,95 ÷ 1,85) (fck / fck0)2/3 in cui fck0 = 10 N/mm2
La resistenza a trazione per flessione è pari a fcfk = 1,20 fctk
3.2.3.2 Acciaio normale. L’acciaio deve essere soggetto ad un controllo di qualità effettuato in
stabilimento e certificato dal produttore secondo procedura contenuta in [5]; ogni produttore inserisce sulle barre il proprio marchio, (composto con gruppi di nervature), che è depositato presso
il Servizio Centrale del Ministero dei Lavori Pubblici.
Sono obbligatori i controlli in cantiere, da effettuarsi presso Laboratorio Ufficiale su 3 spezzoni dello stesso produttore per ogni diametro impiegato. Il controllo è positivo se le grandezze
caratteristiche cadono entro i limiti riportati nella tabella 6 che tengono conto della dispersione
dei dati e delle variazioni che possono intervenire tra diverse apparecchiature e modalità di prova.
Se il risultato dei controlli è difforme da quello indicato nei certificati del produttore, si ripetono le prove su 10 campioni dello stesso diametro, previo avviso al produttore stesso. L’ulteriore
risultato negativo comporta l’inidoneità della partita e la comunicazione del fatto da parte del Direttore dei Lavori al Ministero del Lavori Pubblici.
I certificati emessi dal Laboratorio di Prova devono riportare l’identificazione del marchio del
produttore.
Gli scostamenti delle sezioni effettive delle barre rispetto a quelle nominali devono essere
compresi entro le deviazioni ammesse per la massa; in caso contrario devono essere inseriti nelle
verifiche i valori riscontrati.
3.2.3.3 Reti e tralicci elettrosaldati. Si applicano le procedure relative alle barre (C-3.2.3.2)
(certificazione secondo [5]) con le avvertenze di includere nei provini da sottoporre a trazione almeno un nodo saldato ed aggiungendo le prove di resistenza al distacco dei fili di diametro minore da quelli di diametro maggiore.
Tabella 6.
Caratteristica
fy minimo
fy massimo
Agt minimo
Agt minimo
Rottura/snervamento
Rottura/snervamento
Piegamento/raddrizzamento
Valori di accettazione per l’acciao normale.
Valore limite
N/mm2
425
572 N/mm2
≥ 6,0%
≥ 2,0%
1,13 ≤ ft /fy ≤ 1,37
ft /fy ≥ 1,37
assenza di cricche
Note
(450 – 25) N/mm2
[450 × (1,25 + 0,02)] N/mm2
per acciai B450C
per acciai B450A
per acciai B450C
per acciai B450A
per tutti
276-472_CAP_03_C Page 298 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-298
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
3.2.3.4 Acciaio da presollecitazione. Oltre alla certificazione del produttore, che viene effettuata
secondo [5], devono essere prelevati in cantiere tre campioni appartenenti alla stessa fornitura e
categoria e si determinano presso laboratorio ufficiale i valori medi delle tensioni fpt , fpy , fp(0,2),
fp(1) e le grandezze φ, A, Ir , E, N (a = 180°); il materiale è accettato se risulta fptm ≥ 1,03 fptk con
scarto quadratico medio sm ≤ 0,05.
ed inoltre
 f ym

 f p ( 02 )m

 f p ( 1 )m
 f pyk

≥ 1, 04  f p ( 02 ) k

 f p(1)k
3.3
con s m ≤ 0,07 f pk
DURABILITÀ
Il calcestruzzo è soggetto a degrado per effetto degli agenti esterni. Poiché il degrado dipende da
alcune caratteristiche intrinseche, è necessario garantire alla struttura un periodo di utilizzazione
senza interventi di manutenzione importanti, consono agli scopi per i quali è stata progettata. Tali
concetti si riferiscono alla durabilità.
3.3.1 Introduzione. La durabilità di una struttura in calcestruzzo dipende, oltre che dal corretto
uso, dal livello di degradazione a cui sono soggetti sia il getto che le armature per effetto delle
condizioni ambientali che innescano reazioni fra calcestruzzo e agenti aggressivi in generale. La
fessurazione del calcestruzzo, pressochè inevitabile nel caso di armature passive, costituisce una
menomazione della durabiltà; lo stato fessurativo deve quindi essere controllato.
In condizioni normali l'acciaio che costituisce l'armatura è circondato da calcestruzzo che ha
un pH elevato (in generale circa pari a 12,5) e che quindi fa formare sulla barra un microscopico
strato di ossido passivante. In modo sintetico si individuano le fasi principali e gli interventi per
il controllo del degrado della struttura:
a) fase di progettazione: selezione della tipologia strutturale più adatta, dei materiali, dello stato tensionale di servizio, delle deformazioni massime e dei particolari costruttivi fondamentali;
b) fase di costruzione: l’assoluto rispetto delle specifiche progettuali in ogni dettaglio ed in
particolare per il getto;
c) fase di pre-corrosione – processo di carbonatazione più rapido del previsto: si oppone opportuno trattamento di protezione superficiale;
d) fase di corrosione locale – delaminazioni del calcestruzzo ed ossidazione delle armature:
sono necessari interventi di ripristino;
e) fase di corrosione generalizzata – si tratta di un’estensione della fase precedente: è necessario il ricondizionamento totale.
Il periodo di vita utile della struttura deve essere preconcordato con il committente in quanto
non esistono specifiche in proposito, ad eccezione di quelle inglesi per i ponti che lo fissano a
120 anni. Salvo quanto sopra si accettano implicitamente 50 anni. Il raggiungimento del termine
temporale della funzionalità previsto non implica necessariamente la messa fuori servizio della
struttura ma richiede la considerazione del rapporto costi/benefici fra un ricondizionamento ed una
nuova costruzione.
3.3.2 Degrado. Il decadimento delle caratteristiche del calcestruzzo deriva dal trasporto attraverso la sua massa di gas ed acqua presenti nell’ambiente; tale processo avviene sia attraverso le
microcavità intercomunicanti contenute nel getto sia attraverso le fessure.
Conseguentemente si manifestano i seguenti fenomeni chimico-fisici, non necessariamente
contemporanei:
276-472_CAP_03_C Page 299 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DURABILITÀ
Fig. 14.
C-299
Principio della corrosione delle armature.
Carbonatazione
L’idrossido di calcio presente nella massa e che assicura un potenziale pH = 9 ÷ 12 (tale, in
generale, da preservare l’acciaio dalla corrosione), viene trasformato in carbonato di calcio
dall’anidride carbonica
Ca(OH)2 + CO2 → CaCO3 + H2O
Attacco acido
L’idrossido di calcio, i silicati e gli alluminati di calcio idrati vengono ridotti a sali dell’acido
agente, con conseguente grave perdita della compattezza della massa.
Corrosione dell’armatura
Con valore del pH che si riscontra nel primo periodo del getto (pH ≅ 12) si forma sulla superficie delle armature uno strato passivante che ne impedisce la corrosione. Per valori di pH < 9
dovuti alla carbonatazione ed alla pioggia acida lo strato passivante è dissolto e inizia la corrosione delle armature dovuta alla formazione di ossido Fe2O3.
Lo schema del processo di corrosione (fig. 14) comprende un anodo dove sono rilasciati elettroni, un conduttore che è la stessa barra di acciaio, un catodo dove gli elettroni sono assorbiti in
presenza di ossigeno ed umidità e l'elettrolito, costituito dal calcestruzzo umido, che consente il
movimento di ioni fra il catodo e l'anodo.
Le profondità d1 della carbonatazione e d2 della penetrazione degli ioni aggressivi sono entrambe espresse dalla relazione: d1,2 = α1,2 At1/2, dove t è il tempo in anni, A è funzione della permeabilità del calcestruzzo e della sua umidità relativa, α1 dipende dalla concentrazione di gas acidi, α2 dipende dalla concentrazione degli ioni aggressivi, d1 risulta variabile da 0,05 a 20 mm (casi estremi) in un anno e per calcestruzzo con basso valore del rapporto acqua cemento, d2 è compreso fra 1 e 2 mm nello stesso periodo.
Le armature presollecitate sono molto sensibili alla microfessurazione indotta da corrosione in
presenza di elevate tensioni permanenti ed inoltre sono rese fragili dall’idrogeno che si forma e si
ricombina durante la formazione di ossido.
Delaminazione del calcestruzzo
È conseguenza diretta delle tensioni di espansione conseguenti alla corrosione delle armature,
i cui ossidi tendono ad occupare un volume fino a 6 volte maggiore di quello competente al solo
componente Fe.
276-472_CAP_03_C Page 300 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-300
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Attacco alcalino
Alcuni tipi di inerti, specialmente di origine appenninica, contengono silice che può combinarsi con gli ioni di sodio e potassio presenti in soluzione nei pori e conseguentemente espandersi
fino a disgregare completamente la massa. Risulta evidente che l’interazione fra i fenomeni sopra
descritti produce un degrado incrementale della struttura.
3.3.3 Precauzioni
a) Le condizioni ambientali sfavorevoli alla conservazione del calcestruzzo sono riportate in
C-3.3.4, mentre in C-3.3.6 è indicata la classificazione delle armature in base alla sensibilità alla
corrosione.
Sotto questi aspetti la precauzione primaria per ritardare il degrado consiste nel conferimento di buon ricoprimento delle armature con calcestruzzo; copriferro maggiore di 50 mm è sconsigliabile in quanto è necessario in tale strato armatura addizionale sottile per limitarne la fessurazione.
Indicando con t lo spessore dello strato ossidato di acciaio la riduzione specifica della sezione
di una barra di raggio r è data da:
A
r–t2
2t
------e =  ---------- ≅ 1 – ----As  r 
r
ed è quindi sfavorevole per le barre minori; ad esempio con t = 0,5 mm, per barre rispettivamente
di diametro 5 e 16 mm, si ha
r = 2,5 mm Ae/As = 0,60;
r = 8,0 mm Ae/As = 0,88
b) Le condizioni di getto e di maturazione del calcestruzzo hanno grande importanza per
la sua successiva buona conservazione; selezione della miscela in funzione della sezione
strutturale, casseri a perfetta tenuta, corretto posizionamento delle armature, accurata vibrazione, protezione del getto dall’irraggiamento e dalla rapida disidratazione devono essere programmate.
c) Poiché una frazione importante degli agenti aggressivi è trasportata dalla pioggia, devono
essere previsti accuratamente drenaggi, gocciolatoi e protezione dal dilavamento.
3.3.4 Condizioni ambientali.
nelle seguenti classi:
Le condizioni ambientali normali sono di seguito raggruppate
– non aggressiva: interno dei fabbricati d’abitazione e uffici, ambienti con basso valore umidità
relativa es. max 60% per meno di 3 mesi/anno;
– moderatamente aggressiva: interno dei fabbricati con elevato tenore di umidità relativa, acqua
corrente; esterno in generale; terreni normali;
– aggressiva: esterno in ambiente industriale o marino; liquidi leggermente aciduli, acqua marina,
acqua ricca di ossigeno; gas corrosivi o terreni fortemente acidi.
Codificate nell’Eurocodice 2, e riassunte nella tabella 6.
3.3.5 Caratteristiche del calcestruzzo per ottenere la durabilità. I parametri che definiscono
la miscela dell’impasto necessaria per ottenere la protezione dell’armatura e del calcestruzzo dagli
attacchi ambientali devono essere assegnate con criteri che esulano dal solo conseguimento delle
resistenze minime richieste. La correlazione fra le caratteristiche del calcestruzzo e le classi di
esposizione è indicata nella tabella 7 rielaborata da EC2.
Le resistenze indicate, devono essere aumentate di due classi nel caso si voglia assicurare una
vita utile dell’opera pari a 100 anni. Nel caso di getti piani (ad esempio solette) è possibile ridurre la resistenza di una classe. Analoga riduzione è applicabile se è assicurato un controllo speciale
della qualità del calcestruzzo.
276-472_CAP_03_C Page 301 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DURABILITÀ
Caratteristiche minime del calcestruzzo
per diverse condizioni.
Classe
Rapporto max
a/c
Contenuto
min. cemento
(kg/m3)
Contenuto
minimo
aria %
Classe
resistenza
minima
Tabella 7.
C-301
Descrizione dell’ambiente
Esempi informativi di situazioni
a cui possono applicarsi le classi
di esposizione
1 Nessun rischio di corrosione o di attacco
C16/25
/
/
/
X0
Cls privo di armatura o inserti
metallici: tutte le esposizioni
eccetto dove c’è gelo/disgelo,
abrasione o attacco chimico.
Cls con armatura o inserti metallici: molto asciutto
Cls all’interno all’interno di edifici con umidità dell’aria molto
bassa
2 Corrosione indotta da carbonatazione
C20/25
/
260
0.65
XC1
Asciutto o permanentemente
bagnato
Cls all’interno di edifici con bassa umidità relativa. Cls costantemente immerso nell’acqua
C25/30
/
280
0.60
XC2
Bagnato, raramente asciutto
Superfici di cls a contatto con acqua per lungo tempo. Fondazioni
C30/37
/
280
0.55
XC3
Umidità elevata
Cls all’interno di edifici con umidità dell’aria elevata. Cls esposto
all’esterno protetto dalla pioggia
C30/37
/
300
0.50
XC4
Ciclicamente bagnato e asciutto
Superficidi cls soggette al contatto ciclico con acqua
C30/37
/
300
0.55
XD1
Umidità moderata
Superfici di cls esposte ad atmosfera salina
C30/37
/
300
0.50
XD2
Bagnato, raramente asciutto
Piscine. Cls esposto ad acque industriali contenenti cloruri
C35/45
/
320
0.45
XD3
Ciclicamente bagnato e asciutto
Parti di ponti esposte a spruzzi
contenenti cloruri. Pavimentazioni e parcheggi
3 Corrosione indotta da cloruri
4 Corrosione indotta da cloruri presenti nell’acqua di mare
C30/37
/
300
0.50
XS1
Esposto a nebbia salina ma non
in contatto diretto con acqua di
mare
Strutture prossime oppure sulla
costa
C35/45
/
320
0.45
XS2
Permanentemente sommerso
Parti di strutture marine sommerse
C35/45
/
340
0.45
XS3
Zone esposte alle onde, agli
spruzzi oppure alle maree
Parti di strutture marine in elevazione
C30/37
/
300
0.55
XF1
Moderata saturazione d’acqua,
in assenza di antigelo
Superfici verticali di Cls esposte
alla pioggia e al gelo
5 Attacco di cicli gelo/disgelo
C30/37
4
300
0.55
XF2
Moderata saturazione d’acqua,
con uso di agente antigelo
Superfici verticali in Cls di strutture stradali esposte al gelo e ad
agenti antigelo
C30/37
4
320
0.50
XF3
Elevata saturazione d’acqua, in
assenza di antigelo
Superfici orizzontali di Cls esposte alla pioggia e al gelo
C30/37
4
340
0.45
XF4
Elevata saturazione d’acqua,
con antigelo oppure acqua di
mare
Strade e impalcati da ponte. Zone
di strutture marine soggette a
spruzzi ed esposte al gelo
(segue)
276-472_CAP_03_C Page 302 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-302
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Classe
Rapporto max
a/c
Contenuto
min. cemento
(kg/m3)
Contenuto
minimo
aria %
Classe
resistenza
minima
(seguito tabella 7)
Descrizione dell’ambiente
Esempi informativi di situazioni
a cui possono applicarsi le classi
di esposizione
6 Attacco chimico
C30/37
/
300
0.55
XA1
Ambiente chimico debolmente aggressivo secondo il prospetto 2 della EN 206-1
Suoli naturali e acqua del terreno debolmente aggressivo (*)
C30/37
/
320
0.50
XA2
Ambiente chimico moderatamente aggressivo secondo il
prospetto 2 della EN 206-1
Suoli naturali e acqua del terreno
moderatamente aggressivo (*)
C35/45
/
360
0.45
XA3
Ambiente chimico fortemente
aggressivo secondo il prospetto 2 della EN 206-1
Suoli naturali e acqua del terreno fortemente aggressivo (*)
(*) Per la definizione del grado di aggressività si rimanda al prospetto 2 EN 206-1.
3.3.6 Sensibilità delle armature alla corrosione. Per quanto attiene alla sensibilità alla corrosione delle armature, si considerano praticamente i due livelli:
– molto sensibili: acciai da precompressione; acciai normali laminati a freddo soggetti a tensione
permanente superiore a 400 Nmm–2; acciai trattati termicamente; tutte le armature aventi diametro inferiore a 4 mm;
– poco sensibili: tutti gli altri tipi di armatura.
In ogni caso il copriferro dev’essere superiore al massimo dei valori del diametro delle barre
e dell’inerte.
Tabella 8.
Classe di vita
strutturale (anni)
10
20
30
50
100
> 100
Tabella 9.
Classe di vita
strutturale (anni)
10
20
30
50
100
> 100
Valori del copriferro minimo, cmin,dur, con riferimento alla durabilità
per acciai di armatura ordinaria, in accordo alla EN 10080.
Classe di esposizione secondo la tabella 6
X0
XC1
XC2/XC3
XC4
XD1/XS1
XD2/XS2
XD3/XS3
10
10
10
10
15
20
10
10
10
15
20
25
10
15
20
25
30
35
15
20
25
30
35
40
20
25
30
35
40
45
25
30
35
40
45
50
30
35
40
45
50
55
Valori del copriferro minimo, cmin,dur, con riferimento alla durabilità
per acciai di armatura da precompressione.
Classe di esposizione secondo la tabella 6
X0
XC1
XC2/XC3
XC4
XD1/XS1
XD2/XS2
XD3/XS3
10
10
10
10
15
20
15
15
20
25
30
35
20
25
30
35
40
45
25
30
35
40
45
50
30
35
40
45
50
55
35
40
45
50
55
60
40
45
50
55
60
65
276-472_CAP_03_C Page 303 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CRITERI DI PROGETTAZIONE
C-303
3.3.7 Ripristino. Un ricondizionamento della struttura è possibile solo se le condizioni di degrado non sono eccessive; gli interventi sono:
a) Verniciatura protettiva. In generale da effettuarsi con prodotti aventi matrice acrilica
che consentono la formazione di strato protettivo impermeabile all’acqua ma permeabile al
vapore che viene rilasciato per lungo tempo dal calcestruzzo per effetto del ritiro e del rifluimento.
Ovviamente la verniciatura deve essere preceduta da accurata pulizia delle superfici e distacco di eventuali scaglie; in presenza di fessurazione la protezione è più complessa e richiede
la posa di una rete di nylon impregnata con una malta di 2-3 mm di spessore, confezionata con
polimeri in grado di conferire l’elasticità necessaria ad evitarne la rottura in corrispondenza delle lesioni.
b) Protezione delle armature. Nel caso in cui le armature risultino ossidate è necessaria la
asportazione delle parti di calcestruzzo deteriorate, la rimozione meccanica dell’ossido, la protezione dell’acciaio con resina epossidica e la ricostruzione del calcestruzzo con malta a legante
epossidico.
c) Ricondizionamento della struttura. Nel caso in cui il degrado è tale da ingenerare
menomazione della resistenza, è possibile, ma non sempre conveniente, un intervento radicale
di ablazione di tutte le parti deteriorate e la ricostruzione della parte corrosa delle barre con
piastre di acciaio incollate con resina epossidica al calcestruzzo; le piastre devono essere protette e coibentate perché esposte all’incendio in presenza di materiale termosensibile (resina
epossidica).
In alternativa alle piastre di acciaio è possibile impiegare strisce preconfezionate di tessuto di
fibre di carbonio, anch’esse da applicare con appositi collanti e da proteggere dall’incendio.
3.4
CRITERI DI PROGETTAZIONE
3.4.1 Generalità. L’esigenza di un superamento dei metodi di dimensionamento delle strutture
basati sulle tensioni ammissibili ha iniziato ad imporsi e a divenire sempre più consolidata nell’ultimo trentennio per opera di ricercatori e tecnici di differenti nazionalità. Con il metodo anzidetto
le tensioni σ di progetto, risultanti da calcolo lineare, sono poste a confronto con quelle ammissibili ra ottenute dividendo le sollecitazioni di rottura r dei provini dei materiali per un coefficiente di sicurezza globale γ e deve quindi risultare σ ≤ ra = r / γ .
Tale coefficiente di sicurezza deve tenere conto sia della possibile riduzione della resistenza
dei materiali rispetto a quella ipotizzata, sia delle incertezze relative ai carichi, alle dimensioni geometriche della struttura reale, alla costruzione ed alle ipotesi semplificative utilizzate nel progetto
della struttura; l’impossibilità di suddividere in modo razionale tale coefficiente di sicurezza attribuendo peso differente ai vari fattori di incertezza costituisce un primo elemento di giudizio negativo verso questo metodo di verifica.
I carichi, che nell’analisi strutturale devono essere intesi come generalizzati ossia costituiti da
forze ripartite o concentrate, da distorsioni impresse, da coazioni, da variazioni termiche ed effetti
reologici ecc., vengono trattati nello stesso modo sia se costituiti direttamente da forze applicate
sia dalle altre condizioni il cui effetto è di natura completamente diversa.
Inoltre le dimensioni reali della struttura hanno influenza sia sulle linee d’asse delle azioni e
di applicazione dei carichi sia sulle caratteristiche delle sezioni resistenti, ma le relative difformità, rispetto alle indicazioni di progetto, non sono trasformabili in puri effetti tensionali; analoghe
considerazioni sono valide per le approssimazioni dell’analisi strutturale.
Sono correttamente in parte rappresentate dal coefficiente di sicurezza globale le incertezze
sulle caratteristiche dei materiali e, con qualche forzatura, quelle relative alla realizzazione (maturazione ritardata, disarmo anticipato, non esatta posa delle armature ecc.).
276-472_CAP_03_C Page 304 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-304
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Un secondo, altrettanto importante, elemento di giudizio negativo nei confronti del metodo di
verifica con le tensioni ammissibili è costituito dall’ipotesi di legge lineare di dipendenza delle
tensioni dalle deformazioni, in considerazione dell’evidenza sperimentale di comportamento dei
materiali da costruzione che mostrano transizione graduale fra la proporzionalità riscontrabile in
campo elastico e la susseguente plasticizzazione.
Con tali premesse l’analisi e le verifiche delle tensioni rispetto a quelle ammissibili non possono cogliere il reale comportamento della struttura sotto l’azione dei carichi né fornire adeguata
valutazione della sua sicurezza.
Da circa 30 anni si sono gradualmente proposti ed adottati altri criteri di analisi e di verifica
della sicurezza basati sia su leggi costitutive sforzi-deformazioni più aderenti al comportamento
reale, anche se necessariamente semplificate per consentirne un uso pratico, sia sulla attribuzione
di coefficienti di sicurezza separati per i carichi e per i materiali.
I carichi e le azioni risultanti dalla loro applicazione sono opportunamente distinti in relazione
alle incertezze relative alla loro definizione che, certamente, sono minori per le condizioni permanenti rispetto a quelle accidentali; oltre alle condizioni di collasso, sono anche controllate situazioni che possono risultare critiche per l’uso e la conservazione della struttura.
Tali nuovi criteri, differenti da quelli classici basati sulle tensioni ammissibili, sono comunemente denominati metodi di verifica agli “stati limite”.
Si definiscono stati limite, particolari situazioni di carico o di sollecitazione o di deformazione o di ambiente in corrispondenza delle quali viene messa in evidenza la capacità di resistenza
e di durabilità della struttura.
3.4.2 Metodo agli stati limite. Allo stato attuale risulta comunque accertato che il metodo agli
stati limite consente una migliore conoscenza del reale comportamento delle strutture sia nelle
condizioni di esercizio (SLE) che in quelle estreme di collasso (SLU).
Alle prime (SLE) sono direttamente connessi i criteri di durabilità delle costruzioni e quindi
si controllano:
– lo stato di fessurazione, perché, in relazione alle condizioni ambientali ed alla sensibilità alla
corrosione dell’armatura prevista, sia assicurata la conservazione di questa e sia evitato il degrado progressivo del calcestruzzo;
– lo stato di deformazione, strettamente connesso a quello di fessurazione ed alle proprietà di rifluimento del calcestruzzo e di rilassamento dell’acciaio presollecitato, per la verifica della
compatibilità, sia a breve che a lungo termine, con l’uso della struttura e con i componenti non
strutturali previsti (ad esempio nel caso di edilizia civile i tramezzi ed i pavimenti); analoga
verifica deve essere istituita per la deformabilità della struttura sotto carichi dinamici, ove sia
dato questo caso.
Alle condizioni di collasso (SLU) corrisponde il massimo della capacità portante della struttura e ne viene quindi evidenziata la reale sicurezza; si controllano allora:
– stati limite di rottura per azioni:
–
–
–
–
–
normali
flettenti
taglianti
torcenti
di punzonamento
con le relative
combinazioni
instabilità per azioni normali e flettenti, a breve ed a lungo termine;
sicurezza dell’ancoraggio delle barre in zone particolari;
sicurezza per l’incendio;
sicurezza per evento sismico;
verifica a fatica dell’acciaio e del calcestruzzo pure connessa con l’azione dei carichi dinamici.
276-472_CAP_03_C Page 305 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CRITERI DI PROGETTAZIONE
C-305
La determinazione degli stati limite di collasso sopra indicati, richiede analisi particolari che
si discostano in modo rilevante dalle ipotesi poste a base del calcolo di verifica delle tensioni ammissibili.
Devono ovviamente essere anche verificate le condizioni di equilibrio generale e locale della
struttura:
– perdita di equilibrio della struttura considerata come corpo rigido (ribaltamento, slittamento,
sollevamento);
– trasformazione della struttura in meccanismo per il raggiungimento delle condizioni di plasticità in alcune sezioni.
3.4.3 Applicazione del metodo per le verifiche SLU.
trollo della disuguaglianza:
Rd / Sd ≥ 1,0
In sintesi l’applicazione richiede il con-
in cui Sd rappresenta in generale le azioni di calcolo dovute al sistema dei carichi generalizzati e
determinate mediante analisi strutturale e Rd le azioni resistenti di calcolo della struttura; è bene
rilevare che nella realtà le due funzioni S e R non sono indipendenti ed evidenziare la semplificazione derivante, ove possibile, dal calcolo separato delle predette variabili.
La definizione delle azioni Sd ed Rd implica la conoscenza statistica del comportamento strutturale, del valore dei carichi applicati, delle resistenze dei materiali e delle tolleranze sulle dimensioni geometriche; per ovviare alla complessità delle ricerche, si fa ricorso ad una semplificazione
consistente nel considerare, per il calcolo delle grandezze sopra elencate, i valori caratteristici qk
dei carichi e rk delle resistenze ottenuti fissando a priori la probabilità P che quelli effettivi possano risultare superiori o inferiori a quelli così considerati.
Si introducono poi i coefficienti di sicurezza:
γq differenziati e maggiorativi in relazione ai tipi di carico generalizzato qk ;
γm differenziati e minorativi relativi alle resistenze dei materiali rk .
L’applicazione dei coefficienti di sicurezza ai valori caratteristici ha il vantaggio di poter definire questi ultimi in modo univoco e contemporaneamente di tenere conto della diversa influenza
delle variabili che consentono il calcolo delle azioni di progetto.
In generale quindi per n carichi e per l materiali:
Sd = S (γq1 q1k , γq2 q2k , ... γqn qnk)
Rd = R (r1k / γm1 , r2k / γm2 , ... rl k / γm l )
Riportando in un grafico (fig. 15) le densità f di probabilità delle azioni S ed R, si evidenziano i valori caratteristici Sk , Rk e quelli di progetto Sd , Rd ; le aree comprese fra le curve e l’asse delle ascisse rappresentano le probabilità connesse con il riscontro del valore indicato
P( x 0 ) =
∫
x0
0
f ( x )dx , che definisce la probabilità della funzione f = densità di probabilità della
variabile x.
Per le azioni S di progetto si distinguono inoltre due casi fondamentali e precisamente:
n
– linearità fra carichi ed azioni; l’espressione precedente si semplifica: S d =
∑i γ qi S ( qik )
1
– caso generale: è opportuna l’introduzione di coefficienti di sicurezza parziali relativi rispettivamente ai carichi ed alle cause di non linearità; l’espressione riportata rimane in generale valida se si
introducono in essa parametri addizionali di sicurezza, come ad esempio, per il caso di una colonna snella, un valore minimo, diverso da zero, della eccentricità del carico posto in sommità.
Nelle strutture isostatiche, in cui il collasso di una sezione è sufficiente a trasformare la struttura stessa in un meccanismo e quindi a provocarne il crollo, la misura della sicurezza è espressa
semplicemente dal rapporto fra le azioni resistenti della sezione e quelle massime di progetto.
276-472_CAP_03_C Page 306 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-306
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 15.
Valori caratteristici e di progetto delle azioni e delle resistenze.
Nelle strutture iperstatiche, il collasso di una sezione non è in generale sufficiente per trasformare la struttura in un meccanismo; al crescere delle azioni esterne la sezione più sollecitata, se
correttamente progettata, è in grado di subire adattamenti plastici per cui, pur aumentando le deformazioni, le sollecitazioni rimangono quasi stazionarie ed inferiori a quelle di rottura e si forma
un così detto “concio plastico”.
La struttura perde un grado di iperstaticità per ogni sezione che raggiunge lo stato precedentemente descritto e quindi risultano maggiormente impegnate parti inizialmente a livelli inferiori
di sollecitazione; tale modifica delle funzioni che governano l’aumento delle azioni interne cessa
sia quando la struttura diventa ipostatica o labile, sia quando, nelle sezioni plasticizzate, risultano
deformazioni non più compatibili con quelle massime dei materiali.
La misura della sicurezza, per quelle strutture iperstatiche in cui la progettazione ed i materiali
rendono possibile la ripartizione differenziale delle variazioni delle azioni interne (duttilità in senso
esteso) non è più quindi quello relativo ad una sola sezione ma dipende dal grado di iperstaticità.
3.4.4
Grandezze caratteristiche.
3.4.4.1 Valori caratteristici delle resistenze. Nell’ipotesi di distribuzione normale di una variabile aleatoria x la densità di probabilità f (x) può essere espressa dalla funzione di Gauss ossia,
con l’uso di unità “standardizzate”, M = valore medio di x, s 2 = quadrato della deviazione standard di x o varianza:
∫
∞
e –( z 2 ⁄ 2 )
f ( x ) = ---------------2π
M =
x–M
z = -------------s
P( x) =
–∞
∫
2
x f ( x )d x
z
0
s =
∫
∞
–∞
2
( x – M ) f ( x )d x
f ( z )dz
Risulta inoltre la probabilità P (x) relativa alla densità f (x) e quindi, prefissato P (z), è possibile determinare il corrispondente valore di z e conseguentemente, calcolati dai risultati sperimentali M ed s, ottenere il frattile Xk = M + z – s.
Si osserva che, ponendo in generale per le resistenze un frattile inferiore al valore medio M,
risulta z < 0 e quindi il valore caratteristico Xk è sempre minore della media M.
Si riportano nella seguente tabella i valori di z corrispondenti ad alcuni valori delle probabilità:
P (z)
=
0,0001
0,0005
0,0010
0,0050
0,0100
0,0500
0,10
z
=
– 3,89
– 3,28
– 3,09
– 2,57
– 2,33
– 1,645
– 1,29
276-472_CAP_03_C Page 307 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CRITERI DI PROGETTAZIONE
C-307
Nell’ipotesi che le prove di laboratorio diano risultati Xi con distribuzione gaussiana o normale, passando dal continuo al discreto, si ottiene per valori relativi ad n campioni:
n
∑i X i
1
R m = --------------n
Rk
Rm
s
n
k
∑
2 1⁄2
( X i – Rm )
i
s = --------------------------------n–1
R k = R m – ks
valore caratteristico
valore medio dei risultati
deviazione standard
numero di prove eseguite
coefficiente dipendente da n e dalla probabilità prefissata Pr .
Valori numerici di k in funzione di n e P sono desumibili dal grafico della figura 16.
Nell’ipotesi di elevato numero di prove, riportando in un grafico la cosiddetta densità di probabilità fR dell’azione resistente R in funzione dei valori di R , in modo da individuarne la distribuzione statistica, si evidenzia l’effetto della dispersione ridotta per la curva 1 rispetto alla 2 a
parità di valore medio Rm (fig. 17).
Le aree tratteggiate rappresentano per ognuno dei casi le probabilità Pr corrispondenti
all’evento di valori inferiori a quelli Rk denominati “resistenze caratteristiche” o, in generale, frattili di ordine Pr della distribuzione fr .
Dalla precedente formulazione risulta l’importanza del contenimento della deviazione s per
avvicinare la resistenza caratteristica Rk al valore medio Rm delle prove.
In generale i valori caratteristici delle resistenze Rk dei materiali con le quali si calcolano le
azioni resistenti Rd si fissano in modo che la probabilità Pr di riscontrare nella pratica valori inferiori ad Rk sia ad esempio inferiore a 0,05.
Fig. 16.
Valori di k in funzione di n e P.
276-472_CAP_03_C Page 308 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-308
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 17.
Diverse distribuzioni di risultati.
3.4.4.2 Valori caratteristici dei carichi. I valori caratteristici dei carichi qk, con i quali si calcolano le azioni di progetto Sd , sono valutati con criteri statistici, non riportati per brevità, ma simili a quelli indicati per le resistenze dei materiali.
Tali valori sono i frattili di ordine 95%, ossia tali da avere la probabilità 95% di non essere superati
nel corso dell’impiego della struttura e quindi sono correntemente espressi maggiorando i valori medi.
Nei casi in cui i carichi di origine permanente abbiano azione stabilizzante è necessario porre
un limite inferiore avente probabilità ad esempio 0,005 di non risultare minorato dagli eventi; ovviamente i carichi accidentali stabilizzanti non vengono considerati.
Si hanno quindi valori caratteristici superiore ed inferiore con le relative probabilità PR:
qks = qm + 1,645s
PR = 0,05
qki = qm – 2,570s
PR = 0,005
In alcuni casi particolare attenzione deve essere posta nella valutazione dei carichi permanenti
che sono costituiti dai pesi propri delle strutture e delle parti fisse dell’opera, queste ultime in genere aggiunte posteriormente al disarmo; in mancanza di esatta definizione del contributo di tali
parti fisse si considera un valore superiore ed un valore inferiore in relazione alle verifiche.
Analogo problema si pone per i carichi accidentali che sono in generale prescritti dalle norme o fissati dall’utilizzatore; quest’ultimo caso ricorre ad esempio nel caso di strutture per impianti industriali.
Le spinte del terreno sono in generale, allo stato attuale delle conoscenze, valutate per eccesso
ed anche la loro distribuzione verticale dipende dalle caratteristiche di rigidezza della struttura e
dai suoi vincoli; in questo caso è possibile formulare soltanto un limite superiore alle azioni indotte.
3.4.4.3 Valori caratteristici della precompressione. La forza di precompressione può essere
esattamente valutata in fase di tiro mediante le relative attrezzature se convenientemente tarate; le
fonti di incertezza derivano principalmente da:
–
–
–
–
distribuzione e valore delle perdite per attrito lungo il tracciato delle armature presollecitate;
assestamenti locali delle testate;
perdite sistematiche in fase di bloccaggio dovute al sistema di ancoraggio;
perdite sistematiche dovute alla viscoelasticità dell’acciaio e del calcestruzzo ed al ritiro.
276-472_CAP_03_C Page 309 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CRITERI DI PROGETTAZIONE
C-309
In relazione al sistema ed al tipo di precompressione applicata, nonché delle attrezzature di tiro e dei materiali impiegati, le incertezze sopra elencate hanno peso diverso e, in ogni caso, conducono alla definizione di valori caratteristici superiori ed inferiori; l’effetto delle perdite viscoelastiche viene valutato mediante apposita analisi strutturale.
Il valore medio Pm della forza di precompressione lungo l’armatura è quindi espresso in funzione dell’ascissa curvilinea x dal punto di tiro e del tempo t, da cui dipendono rispettivamente
le perdite per attrito e quelle viscoelastiche e di ritiro; i valori caratteristici superiori ed inferiori
sono anch’essi definiti sulla scorta di coefficienti sperimentali.
I coefficienti γP possono essere fissati ad esempio secondo [2] come segue:
– pretensione e postensione aderente
– pretensione e postensione non aderente
= 1,10
= 1,05
= 0,90
= 0,95
mentre è γP = 1,0 secondo [5].
3.4.5 Coefficienti di sicurezza dei materiali. I coefficienti di sicurezza relativi ai materiali
(indicati genericamente con γm) sono minorativi rispetto alle resistenze caratteristiche Rk e consentono di definire le resistenze di calcolo Rd = Rk / γm.
Poiché le incertezze relative alla resistenza dei materiali dipendono dalle condizioni di confezione e posa in opera degli stessi e dai controlli applicabili, i coefficienti γm devono essere scelti tenendo conto di tali considerazioni.
Si stabiliscono inoltre legami sforzi-deformazioni σd = f (ε) schematizzati per il calcolo degli
stati limite sia di resistenza che di tensione e di deformazione in esercizio; secondo le attuali conoscenze si introducono a volte, ed in particolare per il calcestruzzo, legami differenti per ognuno
dei problemi di verifica.
Le deformazioni massime εd dei materiali sono pure definite su base sperimentale in quanto
pongono un limite alla loro capacità di plasticizzazione
3.4.5.1 Calcestruzzo: coefficienti γc secondo [5].
Prefabbricato in stabilimento
1,40
Gettato in opera con controllo rigoroso 1,40
Gettato in opera con controllo normale 1,50
Poiché le prove hanno dimostrato che la permanenza continua del carico riduce la resistenza
del calcestruzzo, in questo caso di sollecitazione si introduce un ulteriore fattore riduttivo pari a
0,85 così che fcd = 0,85 fck / γc
La resistenza caratteristica fck è quella così detta “prismatica” ossia dedotta da prove su cilindri di altezza 300 mm e diametro 150 mm; sussiste la relazione fck = 0,83 Rck fra le resistenze prismatica e “cubica”, ossia quella ottenuta da prove su cubetti normalizzati in Italia.
Nel caso di elementi piani (solette o pareti), aventi spessore minore di 50 mm, la resistenza
di calcolo si riduce a 0,80 fcd.
3.4.5.2
Acciaio normale: coefficiente γs .
Controllato in stabilimento
3.4.5.3
[5]
1,15
Acciaio da precompressione: coefficiente γp .
Controllato in stabilimento
[5]
1,15
3.4.6 Coefficienti di sicurezza dei carichi. I coefficienti di sicurezza γF relativi ai carichi generalizzati esterni, indicati genericamente con Fk , sono maggiorativi rispetto ai valori caratteristici
degli stessi e consentono di definire sia i carichi di progetto Fd = Fk γF sia le azioni di progetto
Sd = S(Fd).
276-472_CAP_03_C Page 310 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-310
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tabella 10.
Coefficienti di partecipazione delle azioni variabili.
Categoria
ψ0j
ψ1j
ψ2j
Categoria A – Ambienti ad uso residenziale
Categoria B – Uffici
Categoria C – Ambienti suscettibili di affollamento
Categorìa D – Ambienti ad uso commerciale
Categoria E – Biblioteche, archivi, magazzini e ambienti ad uso industriale
Categoria F – Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso ≤ 30 kN)
Categoria G – Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso > 30 kN)
Categoria H – Coperture
Vento
Neve (a quota ≤ 1000 m s.l.m.)
Neve (a quota > 1000 m s.l.m.)
Variazioni termiche
0,7
0,7
0,7
0,7
1,0
0,7
0,7
0,0
0,6
0,5
0,7
0,6
0,5
0,5
0,7
0,7
0,9
0,7
0,5
0,0
0,2
0,2
0,5
0,5
0,3
0,3
0,6
0,6
0,8
0,6
0,3
0,0
0,0
0,0
0,2
0,0
Poiché le incertezze relative alle azioni sono differenziate rispetto all’origine delle stesse, i
coefficienti γF devono essere scelti tenendo conto di tali considerazioni; si riportano di seguito i
valori desunti da [5]
Peso proprio Gk
Carichi permanenti non strutturali
Carichi accidentali Qk
Precompressione Pk
Deformazione impressa
γG0
γG1
γQ
γP
γδ
1,30/1,00
1,50/0,00
1,50/0,00
1,10/0,90
1,20/0,90
Il primo valore corrisponde ad azione sfavorevole, il secondo ad azione favorevole.
Ai carichi di progetto si associano i fattori di partecipazione ψ che tengono conto della probabilità di azione contemporanea dei carichi accidentali (tab. 10):
ψ0 caratterizza l’entità del carico variabile adottata nella combinazione fondamentale per la verifica a rottura e nella combinazione rara per gli stati limite di servizio;
ψ1 partecipazione frequente ossia tale da poter essere considerata agente sulla struttura per più di
100 000 volte nella vita della struttura;
ψ2 partecipazione quasi permanente.
Si considerano inoltre in alcuni casi anche azioni accidentali eccezionali, indicate con Fa ,
quali ad esempio quelle dovute a: urti, esplosioni, allagamenti ecc.; tali azioni sono valutate in
generale conglobando nel valore di progetto il relativo coefficiente di sicurezza γa .
3.4.7 Azioni di progetto e resistenti. In definitiva, noto il valore caratteristico Qk di un’azione
variabile, nelle verifiche si considerano i valori γQ ψ0 Qk , γQ ψ1 Qk , γQ ψ2 Qk , in relazione alle verifiche a rottura e di esercizio come di seguito indicato.
Si definiscono così le combinazioni delle azioni dovute ai carichi:
– Sd fondamentale per verifica a rottura;
– Sa fondamentale accidentale;
n



Sd = S  γ G Gk + γ P Pk + γ Q  Q1 k +
ψ 0 i Q ik 



i=2
∑
n


Sa = S  Gk + Pk + F a + ψ 1 Q1 k +
ψ 2 i Q ik


i=2
∑
276-472_CAP_03_C Page 311 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DEFORMAZIONI DIFFERITE
C-311
– Ss di esercizio, caratterizzate da γF = 1 e γm = 1:
la piú sfavorevole, in relazione alla verifica eseguita, per le seguenti possibilità di ricorrenza:

S




Ss =  S



S


n


ψ 0i Q ik
 G k + P k + Q 1k +


i=2
∑
n


ψ 2i Q ik
 G k + P k + ψ 1k Q 1k +


i=2
∑
n


ψ 2i Q ik
 Gk + Pk +


i=1
∑
Le azioni resistenti Rd si calcolano in generale tenendo conto dei legami non lineari fra le
tensioni e le deformazioni dei materiali ed applicando alle loro caratteristiche i coefficienti di sicurezza.
La verifica di sicurezza è soddisfatta se Rd > Sd
3.5
DEFORMAZIONI DIFFERITE
3.5.1 Definizioni ed ipotesi. Le deformazioni differite del calcestruzzo sono quelle di origine
viscosa, dipendenti dal tempo; il ritiro, il rigonfiamento, il rifluimento ed il rilassamento rientrano
in questa categoria.
Si definisce rifluimento la variazione, in genere positiva, dello stato di deformazione che avviene
susseguentemente all’applicazione di uno stato di sollecitazione, anche se questo rimane costante.
Il fenomeno duale detto rilassamento è la variazione, in genere negativa, dello stato di sollecitazione che avviene susseguentemente all’applicazione di uno stato di deformazione, anche se
questa rimane costante.
L’acciaio preteso è soggetto ad una riduzione della tensione iniziale, denominata rilassamento,
che avviene senza variazione dello stato di deformazione; analogo fenomeno si manifesta nel calcestruzzo per effetto di una deformazione impressa.
Il rifluimento ed il rilassamento del calcestruzzo sono interdipendenti e risulta quindi necessario individuare i parametri che ne definiscono soltanto una delle due funzioni; risultando più agevole la misura di deformazioni sotto carico costante viene di solito definita la sola funzione di rifluimento, ricavando da questa quella del rilassamento.
Nella seguente trattazione si suppongono addittive le deformazioni di ritiro e di rifluimento
ossia si considerano separatamente i due fenomeni e, anche sperimentalmente, si misurano le deformazioni di rifluimento come differenza fra quelle di due identici provini uno carico ed uno
scarico aventi la stessa età, composizione del getto e conservati nello stesso ambiente. La variazione di deformazione del provino scarico è assunta come deformazione di ritiro.
Per definizione le deformazioni di rifluimento avvengono dopo che si sono manifestate le deformazioni elastiche conseguenti all’applicazione del carico; agli effetti pratici sperimentali il conteggio di tali deformazioni differite inizia convenzionalmente al termine della variazione di carico
da 0 al valore prefissato applicata a rateo costante nell’intervallo di 60 s.
Nella definizione della funzione di rifluimento si considerano le deformazioni proporzionali a
quelle elastiche misurate dopo 60 s dall’inizio di applicazione del carico; si considera inoltre che
il coefficiente di Poisson ν sia invariabile con il tempo e che quindi la componente della deformazione ortogonale alla direzione di sollecitazione non sia soggetta a variazione.
Tutte le ipotesi semplificative sopra elencate sono valide solo se negli intervalli considerati non
vi è variazione di umidità dell’ambiente e se il livello di sollecitazione è inferiore a circa 0,4 fck .
La formulazione dei legami costitutivi delle variabili che definiscono l’andamento delle deformazioni differite è desunta da [2].
276-472_CAP_03_C Page 312 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-312
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
3.5.1.1 Rifluimento del calcestruzzo. Le deformazioni libere del calcestruzzo conseguenti all’applicazione di una tensione applicata al tempo t0 e mantenuta costante sono espresse convenzionalmente al tempo t dalla relazione
φ ( t, t 0 )
1
ε cl ( t, t 0 ) = σ c ( t 0 ) --------------- + ---------------E c28
Ec (t0)
in cui il primo termine rappresenta l’effetto elastico immediato ed il secondo quello del rifluimento, crescente in modo asintotico con il tempo t e definito dalla funzione φ (t, t0) e dal modulo elastico Ec28 corrispondente all’età di 28 giorni dal getto.
La funzione di rifluimento è definita dalla seguente espressione che tiene conto di diversi effetti:
φ ( t, t 0 ) = φ RH β ( f cm )β ( t 0 )β ( t – t 0 )
con:
φ RH
effetto di:
RH
1 – ----------RH 0
= 1 + ----------------------------------hr 1 ⁄ 3
( 0, 46 )  -----
 h 0
umidità relativa RH(%) e spessore hr = 2 (Ac / u)
(Ac = area della sezione di calcestruzzo, u = perimetro
sezione di calcestruzzo a contatto con l’atmosfera)
5, 3
β ( f cm ) = ----------------------f cm  1 ⁄ 2
 --------- f cm0
1
β ( t 0 ) = -----------------------------t0 1 ⁄ 5
0,1 +  ----
 t 1
t – t0
β ( t – t 0 ) = ------------------------------βH t1 + t – t0
resistenza media fcm del calcestruzzo (N mm– 2)
età di carico del calcestruzzo t0
3 ⁄ 10
evoluzione asintotica con il tempo espresso in giorni

RH 18  h r
β H = 150  1 + 1,2 -----------  ----- + 250 ≤ 1500
RH 0  h 0

Le espressioni soprariportate e desunte da [2] sono rese adimensionali dalle costanti sotto indicate:
RH 0 = 100%
h 0 = 100 mm
f cm 0 = 10 N mm –2
t 1 = 1 giorno
Valori delle funzioni di rifluimento a tempo infinito φ (∞, t0) e di ritiro εcr (∞, tr) sono riportati
nella tabella 11.
Tabella 11.
Valori a tempo infinito delle funzioni di rifluimento φ (∞, t0) e ritiro εcr (∞, tr)
del calcestruzzo (rispettivamente riga superiore ed inferiore).
Età di riferimento t0 (giorni)
spessore hr = 2Ac / u (mm)
200
3
7
8
60
Umidità relativa RH%
75
55
75
55
75
55
φ ( ∞, t 0 )
2,7
3,8
2,2
3,0
1,4
1,7
0,26
0,43
0,23
0,32
0,16
0,19
2,1
2,9
1,9
2,5
1,7
2,0
0,21
0,31
0,21
0,30
0,20
0,28
1000 ε cr ( ∞ ,t
r)
φ ( ∞, t 0 )
600
1000 ε cr ( ∞, t
r)
> 60
276-472_CAP_03_C Page 313 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DEFORMAZIONI DIFFERITE
C-313
3.5.1.2 Ritiro del calcestruzzo. Le deformazioni libere (negative) del calcestruzzo dovute al ritiro
supposto agente all’età tr , sono espresse convenzionalmente al tempo t dalla seguente relazione che
tiene conto di diversi effetti:
ε cr ( t , t r ) = β RH ε r ( f cm ) β r ( t – t r )
con:
effetto di:
RH
β RH = – 1.55 1 –  -----------
 RH 0
3
f cm 
ε r ( f cm ) = 160 + 10 β c  9 – ---------- E–6

f cm0
umidità relativa RH(%) (RH < 99%)
resistenza media fcm del calcestruzzo
tipo di cemento: per βc = 4, a lenta presa; per
βc = 5, normale; per βc = 8 a rapida presa e ad alta
resistenza.
1⁄2
t – tr
β r ( t – t r ) = ----------------------------------------------hr 2
350 t 1  ----- + t – t r
 h 0
evoluzione asintotica con il tempo t (giorni)
i valori delle costanti sono quelli già definiti per il rifluimento.
3.5.1.3 Rilassamento dell’armatura presollecitata. Il rilassamento intrinseco a tempo infinito
dell’acciaio presollecitato è individuabile tramite la relazione:
∆ σ p∞ = – σ p k p ( λ – 0,4 )
2
λ ≥ 0,4
con σ p = presollecitazione iniziale
σ
λ = -------pf pk
 3/2 trefoli normali
kp = 
 2/3 trefoli stabilizzati
f pk = resistenza caratteristica a rottura dell’acciaio. L’evoluzione in funzione del tempo t – t0
espresso in ore dall’applicazione del tiro è esprimibile dalle relazioni:
 1
t–t
 ------ ln  -----------0 + 1

 16  t rl

∆ σ p ∞   2 (t – t0)  1 ⁄ 5
∆σpr (t – t0) =
  ----------------------
 100000 t rl
 1.00

0 < (t – t0) < 1000 ore
1000 < (t – t0) < 500 000 ore
500 000 > (t – t0)
t rl = 10 ore
Le prove di certificazione sono in generale effettuate con tensione iniziale caratterizzata da
λ = 0,75 per un periodo t – t0 = 1000 ore e quindi, dalla prima delle precedenti relazioni, noto
∆σpr (1000), si calcola ∆σp∞ ed è quindi determinabile il comportamento per qualunque valore di t – t0 .
A titolo di esempio con λ = 0,75 risultano a 1000 ore rispettivamente le perdite per trefoli:
 0,080 normali
∆σ pr ( 1000 ) = f pk 
 0,035 stabilizzati
si ottengono quindi le perdite intrinseche a tempo infinito
 0,277
∆σ p∞ = f pk 
 0,121
276-472_CAP_03_C Page 314 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-314
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
3.5.2 Effetti del rifluimento e del rilassamento del calcestruzzo. Assegnato uno stato di sollecitazione, applicato al tempo t = t0 della vita della struttura e poi mantenuto costante, la deformazione totale al tempo t (comprensiva della frazione elastica ed esclusi gli altri effetti, ritiro, variazioni termiche ecc.), si esprime con la (1)
εc ( t , t0 ) = σc ( t 0 ) J ( t , t0 )
con:
(1)
φ ( t , t0 )
1
J ( t , t 0 ) = ---------------- + ---------------Ec
Ec (t0)
Con Ec = modulo di riferimento per le caratteristiche reologiche del calcestruzzo (si considera
normalmente Ec = E28 modulo a 28 giorni di maturazione)
Se la σ (t) varia susseguentemente al tempo t0 in modo discreto, per intervalli ∆σ (ti), o continuo
dσ (t) secondo funzione derivabile rispetto a t, per t > t0 , si ottengono, per la sovrapponibilità degli
effetti derivante dalla proporzionalità sopra ricordata, rispettivamente le seguenti espressioni (2):
 σ c ( t 0 ) J ( t , t 0 ) + Σ i J ( t , t i ) ∆σ c ( t i )

t
εc ( t , t0 ) = 
 σ c ( t 0 ) J ( t , t 0 ) + J ( t ,τ ) dσ c ( τ )
t0

∫
(2)
L’evoluzione delle deformazioni in funzione dei carichi e del tempo è indicata in modo qualitativo nella figura 18.
Fig. 18.
Evoluzione delle deformazioni.
276-472_CAP_03_C Page 315 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DEFORMAZIONI DIFFERITE
C-315
Nel caso di variazione della σ (t) rappresentabile mediante incrementi finiti costanti in
ogni intervallo di tempo, lo schema di calcolo della deformazione ε (t) è riportato nella figura 19.
In definitiva, assegnata una storia di carico σ (t), è possibile calcolare la deformazione corrispondente ε (t) mediante semplice integrazione, conseguibile con vari metodi (non discussi in seguito).
Nel caso sia invece assegnata una storia di deformazione impressa ε (t), la corrispondente sollecitazione σ (t) è teoricamente ricavabile dalla (2) considerata come equazione integrale; questo
problema di rilassamento è più semplicemente affrontabile se si definisce la funzione di rilassa-
Fig. 19.
Calcolo deformazioni.
276-472_CAP_03_C Page 316 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-316
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
mento R (t, t0) che gode delle proprietà duali di quella di rifluimento J (t, t0), così da poter definire la sollecitazione σ (t) derivante dalla storia di deformazione ε (t), mediante la (3)
σ c ( t , t 0 ) = ε c( t 0 ) R ( t , t 0 ) +
con:
∫
t
R ( t ,τ )dε( τ )
(3)
t0
t < t0
ε(t) = 0
ε (t ) = ε (t0)
t = t0
ε(t)
t > t0
derivabile
Analogamente al problema del rifluimento tale espressione generale può essere risolta per integrazione del 2° membro se è nota la storia della deformazione ε (t) ottenendo σ (t), oppure può
essere considerata equazione integrale in ε (t), se è nota la storia della sollecitazione σ (t).
Dalle considerazioni di dualità sopra citate e per la definizione delle funzioni di rifluimento e
di rilassamento, se ne evidenziano le seguenti proprietà:
1
J ( t ,t ) = -------------E c( t )
R ( t ,t ) = E c ( t )
(4)
se nella (3) si pone ε (t) = 1 per t ≥ t0 , per cui σ (t, t0) = 1 R (t, t0) + 0, la (2) applicata con le stesse condizioni fornisce la relazione (5)
1 = R ( t 0 , t ) J ( t, t 0 ) +
∫
t
t0
J ( t, τ ) dR ( τ, t 0 )
(5)
che, con semplici trasformazioni, diviene un’equazione integrale non omogenea di Volterra che
consente di ricavare univocamente R (t, t0) in funzione di J (t, t0); resta quindi confermata la necessità di definire la sola funzione di rifluimento.
Per l’impiego pratico nei problemi di ingegneria, sono riportati nelle figure 20 ÷ 25 diagrammi delle funzioni di rifluimento e rilassamento modificate Ec28 J (t, t0) e R (t, t0) / Ec28 per diversi
valori del tempo t0 (giorni) e dei parametri spessore fittizio hr e umidità ambientale RH; il valore
finale di t è stato assunto pari a 10000 giorni (27 anni), età oltre la quale le variazioni delle funzioni in oggetto divengono insignificanti.
3.5.3 Coefficiente di invecchiamento.
equivalente (6)
L’equazione (2) può essere scritta nella forma algebrica
χ ( t , t 0 )φ ( t , t 0 )
1
ε c ( t , t 0 ) = σ c ( t 0 ) J ( t , t 0 ) + [ σ c ( t ) – σ c ( t 0 ) ] ---------------- + -----------------------------------Ec
Ec (t0)
(6)
nella quale si è introdotto il coefficiente cosiddetto di invecchiamento χ (t, t0) definito dalla (7).
1
1
χ ( t , t 0 ) = ---------------------------- + -----------------------------------------R ( t , t 0 ) 1 – E c ( t 0 )J ( t , t 0 )
1 – -----------------Ec (t0)
(7)
In tal modo si esprimono le deformazioni mediante le tensioni σ (t), σ (t0) agenti agli estremi
dell’intervallo (t – t0) senza doverne considerare l’effettiva evoluzione.
La trasformazione operata è corretta per tutte le condizioni derivanti da una combinazione lineare
di problemi di puro rifluimento (tensioni costanti) e di puro rilassamento (deformazioni costanti);
per problemi non riconducibili al caso enunciato ma comunque relativi a tensioni e deformazioni
evolventi asintoticamente con il tempo, l’approssimazione derivante dalla applicazione delle (6) è
sufficiente per i problemi di progettazione strutturale.
276-472_CAP_03_C Page 317 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DEFORMAZIONI DIFFERITE
Fig. 20.
Funzioni di rifluimento e rilassamento con RH = 90% e hr = 200 mm.
C-317
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C-318
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 21.
Funzioni di rifluimento e rilassamento con RH = 90% e hr = 400 mm.
276-472_CAP_03_C Page 319 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DEFORMAZIONI DIFFERITE
Fig. 22.
Funzioni di rifluimento e rilassamento con RH = 70% e hr = 200 mm.
C-319
276-472_CAP_03_C Page 320 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-320
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 23.
Funzioni di rifluimento e rilassamento con RH = 70% e hr = 400 mm.
276-472_CAP_03_C Page 321 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DEFORMAZIONI DIFFERITE
Fig. 24.
Funzioni di rifluimento e rilassamento con RH = 40% e hr = 200 mm.
C-321
276-472_CAP_03_C Page 322 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-322
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 25.
Funzioni di rifluimento e rilassamento con RH = 40% e hr = 400 mm.
276-472_CAP_03_C Page 323 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
DEFORMAZIONI DIFFERITE
C-323
La determinazione di χ (t, t0) avviene mediante la (7), dopo la definizione della funzione
J (t, t0) ed il calcolo di R (t, t0); se si escludono casi estremi di rifluimento, la dipendenza del coefficiente di invecchiamento dai parametri reologici è limitata e non è molto sensibile all’età di
calcolo ma è ovviamente infuenzata dall’età di riferimento t0 .
Quale valore di prima approssimazione si può assumere χ = 0,8, oppure usare l’espressione (8):
t 0 /t 1
χ ≅ ----------------------1 + t 0 /t 1
(8)
3.5.4 Principi di viscoelasticità lineare. Oltre alle premesse ipotesi di proporzionalità delle deformazioni viscose rispetto a quelle elastiche, per i calcoli strutturali sono opportune le seguenti
ulteriori considerazioni.
1. La struttura considerata deve essere omogenea, ossia le proprietà di rifluimento sono costanti nella sezione e lungo gli elementi costituenti; questa assunzione implica getto contemporaneo e trascurabile l’effetto dovuto alla presenza di armatura.
2. Nel caso non sia verificata la condizione 1) sull’intera struttura, è possibile suddividere
quest’ultima in tronchi in cui è valida la condizione di omogeneità (questo artificio estende notevolmente la mole dei calcoli numerici).
3. Nel caso in cui si voglia calcolare la variazione di tensione nell’armatura dovuta ai fenomeni viscosi, questa può essere considerata come un vincolo elastico interno alla struttura
(C-3.6.2).
4. I vincoli sono considerati con rigidezza infinita.
5. Si trascurano le deformazioni tangenziali (da taglio e torsione).
Con le premesse addizionali di cui sopra, la generica deformazione elastica istantanea εe è
esprimibile in funzione dello stato di sollecitazione mediante le equazioni di elasticità (9).
σe ( t )
ε e ( t ) = -----------E co
σ ( t ) = σe ( t )
(9)
con Eco modulo elastico di riferimento, ricordando l’espressione (2) della deformazione ε (t) in
funzione del rifluimento J (t, o), valida per ogni tronco omogeneo della struttura, e supponendo
che la distribuzione “elastica” delle tensioni (che soddisfa l’equilibrio) rappresenti anche la distribuzione delle tensioni viscoelastiche, sostituendo le (9) nella (2), si ottiene la (10)
ε ( t ) = E co
∫
t
0
J ( t ,τ ) d εe( τ )
(10)
Poiché εe (t) risulta somma di contributi dεe (τ) che soddisfano alle condizioni di compatibilità
delle deformazioni, anche ε (t) gode di tale proprietà; poiché la (10) rappresenta un sistema di
tensioni e di deformazioni equilibrate e congruenti, costituisce anche l’unica possibile soluzione.
Considerando ancora che ogni componente degli spostamenti elastici Ue è funzione lineare
delle deformazioni εe, le espressioni degli spostamenti U (t) sono esprimibili mediante la relazione
(11), formalmente simile alla (10)
U ( t ) = E co
∫
∂ Ue ( τ )
J ( t ,τ ) ------------------- dτ
∂τ
0
t
(11)
La seconda delle (9) e la (11) esprimono il 1° principio della viscoelasticità lineare:
“In una struttura omogenea con vincoli rigidi lo stato di sforzo σe (t) dovuto a forze esterne
applicate F (t) non è modificato dal rifluimento mentre lo stato di deformazione U (t) è legato a
quello elastico Ue (t) attraverso l’operatore integrale”.
276-472_CAP_03_C Page 324 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-324
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Con dualità si ottengono le relazioni (12)
U (t) = Ue (t)
1
σ ( t ) = -------E co
∫
t
0
∂ σe ( τ )
R ( t ,τ ) ------------------∂τ
(12)
e quindi il 2° principio della viscoelasticità lineare:
“In una struttura omogenea a vincoli rigidi lo stato di deformazione elastica Ue (t) dovuto a
spostamenti impressi U (t) non è modificato dal rifluimento mentre lo stato di sollecitazione σ (t)
è legato a quello elastico σe (t) attraverso l’operatore integrale”.
Osservazione: le (11) e le (12) consentono di risolvere i problemi di risposta in termini di
spostamenti e di sollecitazioni, rispettivamente per sollecitazioni o spostamenti impressi, purché siano note entrambe le funzioni di rifluimento J e rilassamento R, tali problemi prendono normalmente il nome rispettivo di problemi di rifluimento e di rilassamento.
3.5.5 Effetti del rilassamento dell’armatura presollecitata (o attiva). Il rilassamento dell’armatura avviene in presenza del ritiro e del rifluimento del calcestruzzo che producono una caduta
della presollecitazione ed assume quindi un valore minore rispetto a quello intrinseco, indicato in
C-3.4.1.3; poiché le leggi costitutive evidenziate sono complesse, è opportuna la introduzione di
un coefficiente di riduzione γr per il calcolo del rilassamento efficace ∆σpe = γr ∆σpr .
Una sufficientemente accurata definizione di γr è espressa dalla relazione
γ r = e ( – 6,7 + 3,5λ )α
con
∆σ p – ∆σ pr
α = -------------------------------------σp
in cui ∆σ p è il valore assoluto della variazione di tensione
dell’armatura attiva dovuto agli effetti combinati del ritiro, del
rifluimento e del rilassamento, che vengono calcolati in funzione
della presollecitazione iniziale σ p e ∆σ pr è il valore assoluto
del rilassamento intrinseco.
3.6
PRESOLLECITAZIONE
3.6.1 Aspetti strutturali. I più importanti aspetti strutturali della precompressione derivano dallo stato di coazione applicato fra l’armatura (definita per tale motivo “attiva”) ed il calcestruzzo;
la risultante delle tensioni in questo materiale è predisposta in generale con verso tale da opporsi
alle azioni dei carichi.
Le azioni sul calcestruzzo prodotte dalla presollecitazione sono uguali e contrarie a quelle
dell’armatura; il sistema di forze è quindi equilibrato.
Per effetto dello stato di coazione si manifestano deformazioni che, nel solo caso di struttura
iperstatica, modificano le reazioni dei vincoli.
Le motivazioni per l’applicazione della precompressione sono svariate ed essenzialmente raggruppabili nelle seguenti categorie:
– conferimento di maggiore capacità di carico e conseguente possibilità di rinforzo di strutture
esistenti;
– riduzione o annullamento dello stato di fessurazione;
– riduzione delle tensioni principali di trazione dovute al taglio e della relativa armatura;
– aumento della rigidezza e conseguente riduzione delle deformazioni;
– aumento della sicurezza contro l’instabilità;
– conferimento di maggiore affinità geometrica della struttura alla linea delle pressioni dovuta ai
carichi;
276-472_CAP_03_C Page 325 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
PRESOLLECITAZIONE
C-325
– uso razionale delle caratteristiche dei materiali: calcestruzzo impegnato prevalentemente a compressione; acciaio impegnato a trazione, con tensione molto maggiore di quella compatibile con
lo stato accettabile di fessurazione;
– riduzione delle sezioni e delle armature con conseguente maggiore efficienza della struttura e
facilità di getto;
– solidarizzazione di elementi separati.
Fra le particolarità della precompressione deve essere segnalata la modifica della forma del
dominio di rottura della sezione con incremento della capacità portante che dipende dall’entità
della coazione impressa (C-3.8.3).
La solidarizzazione tra l’armatura attiva ed il calcestruzzo, direttamente realizzata per aderenza nel caso della pretensione e mediante iniezione delle guaine con malta speciale nel caso della
postensione, fà si che l’acciaio presollecitato segua in ogni sezione il campo di deformazioni prodotto dai carichi e quindi abbia comportamento, per tale azione, analogo a quello dell’armatura
normale, risultando quindi soggetto alle relative variazioni di tensione e fornendo quindi un contributo per le condizioni di esercizio e di rottura.
Nel caso di assenza della solidarizzazione l’armatura presollecitata costituisce a tutti gli effetti
un elemento strutturale distinto da quello realizzato in calcestruzzo; alcune componenti degli spostamenti sono rese congruenti con quelle dell’elemento in calcestruzzo alle estremità e nei punti
di deviazione del tracciato.
Tale particolarità implica che le variazioni prodotte dai carichi sulla risultante della trazione
dell’armatura presollecitata siano costanti su tutta la lunghezza di questa e siano quindi scarsamente influenzate dalle azioni di esercizio; soltanto in presenza di grandi deformazioni e quindi
in condizioni che devono essere controllate in relazione alla tipologia della struttura, diviene apprezzabile l’effetto irrigidente non lineare dovuto all’aumento della freccia del cavo.
3.6.2 Pre-tensione e post-tensione.
guono due procedimenti:
Con riferimento alla presollecitazione dell’acciaio si distin-
– Pre-tensione: prima del getto l’acciaio viene pretesato prendendo contrasto su ancoraggi fissi e,
ad avvenuto indurimento, la reazione di compressione sugli ancoraggi viene gradualmente rilasciata così da trasferirla per aderenza al calcestruzzo.
In generale il tracciato dell’armatura è rettilineo o al massimo a spezzata rettilinea con uno o
due punti di deviazione; il sistema è adatto ad impianti di prefabbricazione (fig. 26).
– Post-tensione: l’armatura da presollecitare viene posta in opera entro guaine che la rendono indipendente dal getto e, ad indurimento avvenuto, viene tesata prendendo contrasto sulla struttura, così da trasferire alla stessa la reazione di compressione, ed infine viene bloccata mediante
una testa di ancoraggio (fig. 27); le guaine vengono vengono successivamente iniettate con miscele cementizie per preservare l’armatura dalla corrosione e renderla aderente alla struttura per
l’intera lunghezza, così che, per le variazioni di carico, gli allungamenti risultano in ogni sezione uguali a quelli del calcestruzzo adiacente.
Fig. 26. Principio pre-tensione. (1) Trave gettata dopo il tiro. (2) Armatura pre-tesa.
(3) Deviazione e contrasto iniziale. (4) Martinetto di tiro. (5) Ancoraggio per aderenza.
(6) Casseri della trave. (7) Struttura fissa di reazione.
276-472_CAP_03_C Page 326 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-326
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 27. Principio post-tensione. (1) Trave gettata prima del tiro. (2) Armatura postesa (entro guaina).
(3) Contrasto fornito dal c/s. (4) Martinetto di tiro. (5) Testata di ancoraggio. (6) Cassero della trave.
In generale il tracciato dell’armatura inguainata o cavo è curvilineo, in modo da poter realizzare in ogni sezione il migliore stato di coazione possibile.
Il sistema è adatto all’uso generale, sia in opera che negli impianti di prefabbricazione.
In alcuni casi l’armatura presollecitata è disposta all’esterno del getto e viene collegata a questo soltanto nei punti di deviazione del tracciato (necessariamente a spezzata rettilinea) ed alle
testate di tiro e di ancoraggio; l’armatura deve essere quindi rivestita adeguatamente per la protezione dalla corrosione.
Il sistema è adatto al rinforzo di strutture esistenti e, in certi casi, per semplificare la posa
dell’armatura normale ed il getto del calcestruzzo.
3.6.3 Applicazioni. La presollecitazione è applicata con notevoli vantaggi tecnico-economici
nella quasi totalità delle tipologie strutturali nei casi in cui si richiedano notevoli prestazioni per
la capacità di carico e per la luce libera, tenendo in considerazione gli aspetti della durabilità e
della affidabilità.
Per travi semplicemente appoggiate si adotta generalmente un rapporto altezza/luce variabile
da 1/15 a 1/25; valori ancora inferiori sono possibili, ma risultano antieconomici e danno luogo a
deformabilità elevata. La forma della sezione trasversale ha pure importanza per la funzionalità
della costruzione; risulta evidente come a parità di materiale siano più convenienti sezioni con
grande momento quadratico di superficie realizzabili con forme a I, a T o a cassone.
La scelta fra questi profili dipende essenzialmente dal rapporto fra il peso proprio della trave
g e il sovraccarico q; per bassi valori di g/q si utilizzano sezioni con grande piattabanda inferiore,
capace di immagazzinare una elevata risultante di sollecitazione di precompressione e in grado di
sopportare quindi una elevata risultante di sforzi di trazione, prodotti dalla successiva azione del
sovraccarico q.
Quando il rapporto g/q aumenta, come nel caso dei ponti di grande luce (ove non intervengano altre considerazioni sulla stabilità trasversale e sulla deformabilità), la piattabanda inferiore
può notevolmente ridursi sino al minimo indispensabile per l’alloggiamento dei cavi.
Per qualunque valore del rapporto g/q è essenziale la presenza di una piattabanda superiore,
che sposta verso l’alto il baricentro della sezione, così che, in fase di servizio, è grande l’eccentricità della precompressione ed è possibile limitare o annullare le trazioni al lembo inferiore, dovute ai carichi d’esercizio e alle cadute di tensione per ritiro e viscosità del calcestruzzo e per rilassamento della tensione dell’armatura attiva; allo stato limite ultimo, la mancanza di una piattabanda superiore, sede delle forze di compressione, che formano con la risultante delle trazioni
nell’acciaio la coppia interna resistente, riduce il braccio di leva e quindi il momento di collasso
e la sicurezza a rottura.
Nel caso di piastre nervate con elevato rapporto luce/altezza e forti sovraccarichi, la pretensione dell’armatura attiva posta al lembo inferiore delle nervature costituisce soluzione ottimale; lo
stato di coazione impresso consente ampie forature nelle anime allo scopo di inserimento di passaggi per impianti.
La precompressione è impiegata con successo nelle strutture a guscio allo scopo di ridurre o
eliminare le sollecitazioni di trazione originate dal regime di tensioni membranali e flessionali. Si
276-472_CAP_03_C Page 327 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
PRESOLLECITAZIONE
C-327
impiegano a questo scopo cavi di limitato ingombro, disposti nello spessore dei gusci oppure nelle travi di bordo.
A causa dell’iperstaticità interna dei gusci il calcolo degli effetti della presollecitazione richiede la formulazione di un adeguato modello matematico della struttura mediante elementi finiti.
Nelle cupole i cavi sono disposti nelle travi d’imposta ad anello, così da realizzare una coazione centripeta; l’intera circonferenza è coperta con più segmenti di cavo tesati alle estremità e
sovrapposti parzialmente, così da ridurre le perdite di attrito.
Nei serbatoi e nei sili cilindrici i cavi hanno generalmente andamento verticale e circonferenziale; i primi allo scopo di fornire presollecitazione contro i momenti flettenti longitudinali originati dai vincoli e dalle condizioni di carico (inclusa la variazione di temperatura fra la superficie
interna a contatto con il materiale e quella esterna soggetta alle variazioni ambientali), i secondi
per contrastare con forze radiali centripete le pressioni interne e le coazioni indotte dal gradiente
termico nello spessore della parete.
Per le strutture di sostegno si annota l’impiego della precompressione nei pali prefabbricati di
grande diametro per uso ad esempio nei pontili; la precompressione è quasi sempre realizzata con
trefoli aderenti con risultante baricentrica e ha lo scopo di fornire al calcestruzzo una riserva di
compressione necessaria a contenere entro limiti modesti le sollecitazioni risultanti dovute alle flessioni trasversali, originate dalle spinte del vento e delle onde e dovute alle azioni assiali sviluppate
in fase di infissione. Nelle paratie si usano con successo tiranti di ancoraggio presollecitati, realizzati
con appositi cavi infilati entro fori praticati nel terreno e solidarizzati a questo mediante opportune
iniezioni; lo scopo della presollecitazione è quello di annullare gli assestamenti della paratia per
effetto delle spinte del terreno e di modificare queste ultime in modo da ridurne gli effetti (fig. 28).
La presollecitazione è impiegata anche nelle piste stradali ed aeroportuali, ottenendo fra l’altro
il notevole distanziamento dei giunti, essendo possibile la riduzione delle sollecitazioni dovute al
ritiro e alle variazioni termiche; particolari accorgimenti sono necessari per consentire l’accorciamento, sia in fase di tiro che susseguente, delle strutture a contatto del terreno.
Fig. 28.
Schema di tirante di ancoraggio per paratie.
276-472_CAP_03_C Page 328 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-328
3.6.4
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tracciato del cavo
3.6.4.1
Criteri generali. In generale si sceglie un tracciato del cavo tale da generare azioni
aventi verso opposto rispetto a quelle dovute ai carichi esterni; per ottimizzare l’effetto della coazione si pone il cavo alla massima possibile eccentricità rispetto al lembo che risulta compresso
per effetto dei carichi.
Sono da evitare controcurve del tracciato a causa dei maggiori attriti derivanti dalle pressioni alterne
dei trefoli inferiori su quelli superiori e contro la guaina e viceversa; per questo motivo non sono utilizzabili cavi i cui trefoli non sono tesati contemporaneamente, ma singolarmente o a gruppi.
Variazioni brusche del tracciato dei cavi inducono forti sollecitazioni locali nel calcestruzzo e
nell’acciaio preteso.
Nelle zone verso gli appoggi è necessaria una minore presollecitazione, per cui si provvede a
rialzare i cavi con tracciato generalmente parabolico o ad ancorarne alcuni in sezioni intermedie.
Con il primo provvedimento si ottiene un benefico effetto nei confronti delle azioni di taglio, che
vengono direttamente ridotte dalle componenti verticali della precompressione, sviluppate nei tratti
curvilinei.
Analogo effetto si ottiene nel caso della pre-tensione con la deviazione di alcuni trefoli oppure, ove è possibile, costruendo travi ad altezza variabile, in modo che i fili rettilinei realizzino eccentricità variabili rispetto al tracciato del relativo asse baricentrico.
Nel caso di tracciati rettilinei paralleli degli assi della trave e dell’armatura pretesa, verso gli
appoggi si riduce l’azione flettente della precompressione rendendo alcuni trefoli localmente non
aderenti al calcestruzzo mediante apposite guaine.
Anche nelle strutture iperstatiche il tracciato dei cavi è configurato in relazione all’andamento
dei momenti flettenti dovuti ai carichi, in modo da contrastare nel modo migliore la loro azione;
nel caso di travi continue soggette a sovraccarico mobile in ogni sezione è abbastanza ampio il
divario fra il momento massimo e quello minimo presi in valore assoluto, per cui l’eccentricità
del cavo deve essere opportunamente ridotta per non avere sovrasollecitazioni in presenza del momento minimo.
Come norma generale i tracciati adottati praticamente sono più dolci di quelli impiegati in strutture
isostatiche per ridurre le perdite di attrito, già elevate a causa della notevole lunghezza dei cavi.
Nel caso di punte elevate di flessione dovute ai carichi (ad es. sugli appoggi delle travi continue
e nei nodi dei telai) si introducono corti cavi addizionali a forte curvatura denominati cavi cappello.
3.6.4.2 Posizionamento dei cavi. È necessario garantire ai cavi una copertura di calcestruzzo
pari ad almeno 6 cm e ciò allo scopo di limitare il pericolo di corrosione e per evitare il distacco
di placche di calcestruzzo sotto elevate sollecitazioni di compressione, quali si possono avere in
fase di tiro dei cavi sotto l’azione del solo peso proprio. Tale ricoprimento assicura anche, se ben
ancorato e provvisto di armatura passiva, una resistenza all’incendio pari ad almeno 45′.
Il distanziamento dei cavi deve essere tale da garantire il buon riempimento di calcestruzzo e
quindi pari ad almeno 5 cm. Nelle zone in cui i cavi sono curvi, tale distanziamento deve aumentare per consentire la diffusione delle pressioni radiali esercitate sul calcestruzzo ed evitare lo
sfondamento del sottile strato di separazione.
Devono essere previsti i raccordi per l’iniezione delle guaine ed i relativi sfiati, disponendo
preferibilmente i primi nei tratti più bassi dei cavi ed i secondi nei tratti più alti.
In fase esecutiva deve essere garantito l’esatto posizionamento dei cavi, che si ottiene con apposite staffe di sostegno, poste a interasse almeno di 1 metro nel caso di cavi a trefoli e 2 metri
nel caso di barre rigide.
Le testate di tiro ed il relativo tratto di raccordo al cavo devono essere disposti con asse rettilineo, tangente al tratto terminale del cavo, per evitare sovratensioni locali nell’armatura attiva e
nel calcestruzzo.
Più cavi possono essere disposti nella struttura con differenti tracciati in modo da ottenere in
ogni sezione una buona diffusione dell’armatura metallica; risultano inoltre più semplici gli alloggiamenti per le testate e minori le sollecitazioni trasversali che vengono originate agli ancoraggi.
276-472_CAP_03_C Page 329 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
PRESOLLECITAZIONE
C-329
Fig. 29. Definizione
equazione del cavo.
3.6.4.3 Definizione analitica. Nella progettazione del tracciato del cavo ricorre spesso il problema della relativa determinazione geometrica in funzione di parametri prefissati quali le ordinate e
gli angoli formati con l’asse della trave alle estremità di un tratto di lunghezza l; con questa definizione risulta facile suddividere il cavo in tronchi per i quali sono stabilite le condizioni geometriche in modo conveniente per ottenere lo stato di coazione prescelto.
Con riferimento alla figura 29 l’equazione del cavo risulta una cubica espressa dalla (13) che
riporta anche le derivate prima e seconda, utili per il calcolo dei carichi equivalenti.
y
dy
-----dx
x3
1 3 x2
= ---2
l
x2 l
2xl
2
d y
-------2dx
6x
2l
yl – y0
x l2 l3 – 2 -------------- + tan ϕ l + tan ϕ 0
l
yl – y0
l2 0 3 -------------- – tan ϕ l + – 2 tan ϕ 0
l
tan ϕ0
0
0
(13)
y
----0l
3.6.5 Azioni equivalenti alla precompressione. Lo stato di coazione prodotto dalla presollecitazione dell’armatura attiva è individuato da due sistemi di forze aventi risultanti con norma
uguale e verso opposto, agenti rispettivamente sulla parte in calcestruzzo, comprensiva delle armature passive, e sull’armatura attiva.
La riduzione della presollecitazione ad un sistema di carichi, è valida per entrambi i casi di
armatura scorrevole o resa aderente; nel secondo caso l’armatura attiva collabora direttamente alla
resistenza della sezione.
Le variazioni dimensionali del calcestruzzo, dovute al ritiro ed al rifluimento così come il rilassamento dell’acciaio preteso riducono le tensioni di tutte le armature attive.
3.6.5.1 Azione della pre-tensione. L’armatura pretesa costituisce un elemento strutturale interno a
cui è impressa una dilatazione preventiva ε p ; la condizione di congruenza, impostata in una sezione di
ancoraggio di testata, fra gli allungamenti dell’acciaio e gli accorciamenti delle fibre di calcestruzzo
adiacenti, consente di determinare l’azione incognita mutua P finale a deformazioni elastiche avvenute.
Ad esempio, con riferimento alla figura 30, per una trave rettangolare di luce l, e sezione costante con armatura attiva rettilinea e soggetta a pretensione P , avente eccentricità y0 ed yl agli
estremi, il valore della coazione P risulta dalla congruenza degli spostamenti ∆sp dell’armatura attiva e ∆sc della trave lungo l’asse della prima, all’atto del trasferimento della pretensione.
Risulta:
yl – y0
l
∆s p = --------------------------- ( P – P );
tan ϕ = --------------E p A p cos ϕ
l
276-472_CAP_03_C Page 330 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-330
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 30.
Schema calcolo azione della pretensione.
Assumendo come riferimento l’asse longitudinale baricentrico e quello trasversale, le azioni nella
generica sezione x sono espresse in funzione dell’azione incognita di pre-tensione P da:
N ( x ) = – P cos ϕ;
M ( x ) = – P cos ϕ ( y 0 + x tan ϕ )
indicando con y (x) = y0 + x tan ϕ l’ordinata generica dell’armatura attiva, risulta anche
M ( x ) = – P y ( x ) cos ϕ
La deformazione specifica del calcestruzzo al livello dell’armatura attiva risulta:
(A ed I area e momento quadratico di suσ cp ( x )
1 N ( x) M ( x) y( x)
ε cp ( x ) = --------------- = ----- ------------ + -----------------------perficie della sezione composta omogeEc
A
I
Ec
neizzata a calcestruzzo)
Sostituendo le espressioni di N(x), M(x) si ottiene:
2
– P cos ϕ 1 y ( x )
ε cp ( x ) = ---------------------- --- + ------------Ec
I
A
L’accorciamento ∆sc della trave composta lungo l’asse dell’armatura attiva risulta dall’integrazione di εcp (x) sulla lunghezza l / cos ϕ e quindi, con le opportune sostituzioni:
∆s c =
∫
l ⁄ cos ϕ
0
1
ε cp ( x )dl = ------------cos ϕ
∫
l
0
– Pl 1 1 2
2
ε cp ( x )dx = ---------- --- + ----- ( y 0 + y l + y 0 y l )
E c A 3I
L’equazione di congruenza
∆s c = ∆s p
fornisce
E p A p cos ϕ 1 1 2
P
- --- + ----- ( y 0 + y l2 + y 0 y l )
--- = 1 + --------------------------P
Ec
A 3I
Nel caso di armatura attiva avente eccentricità costante e = y0 = yl, risulta cos ϕ = 1 e
E p A p 1 e2
P
--- = 1 + ------------- --- + ---Ec A I
P
e quindi M (x) = – Pe N (x) = – P V (x) = 0.
le reazioni vincolari sono tutte nulle.
3.6.5.2 Azione della post-compressione. In questo sistema, in fase di tesatura del cavo, vengono
compensati dal martinetto gli accorciamenti elastici del calcestruzzo dovuti all’introduzione della
post-compressione e quindi il tiro rilevato P è uguale a quello applicato P ; nel caso di tesatura
successiva di più cavi, l’accorciamento elastico indotto dal cavo riduce il tiro di quelli precedentemente tesati.
276-472_CAP_03_C Page 331 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
PRESOLLECITAZIONE
C-331
Il cavo scorrevole viene bloccato dopo la tesatura alle testate della trave; la sua azione sul
calcestruzzo è costituita da due carichi concentrati (agli ancoraggi) e da carichi ripartiti lungo la
guaina. La successiva iniezione di malta nella guaina rende il cavo aderente al calcestruzzo, senza
mutare lo stato di precompressione.
Tenendo conto degli attriti e delle reazioni interne fra cavo e trave e noto P, è possibile calcolare le azioni nelle sezioni correnti.
Con riferimento alla figura 31, un elemento rϕ dϕ del cavo singolo scorrevole, in presenza
d’attrito fra guaina e calcestruzzo, risulta soggetto a una pressione normale wn ed a una resistenza
d’attrito tangenziale wt , che rappresentano la reazione della trave per unità di lunghezza del cavo.
Le relazioni che esprimono l’equilibrio dell’elemento, sono:
 w n r ϕ dϕ = Pdϕ

 w t r ϕ dϕ = – dP
Le pressioni e le forze PA, PB agenti agli estremi A e B di un tratto finito di cavo, formano
un sistema di forze in equilibrio; la P in una sezione qualunque D del cavo è tangente al suo asse ed è la risultante delle forze PA, wn, wt, relative al tratto A D del cavo; sul tratto di trave A D
agiscono per reazione le forze opposte a quelle precedenti.
Ponendo µ coefficiente d’attrito fra cavo e guaina si hanno le equazioni d’equilibrio (14):

 wn


w =
 t

P
= ----rϕ
– dP
------------ = µ ( w n ) ossia:
r ϕ dϕ
dP
µP + ---------- = 0
dϕ
(14)
La soluzione dell’equazione differenziale (14) è esprimibile in funzione del tiro P0 e dell’inclinazione all’origine del cavo.
Per l’inevitabile andamento ondulato della guaina fra i punti di fissaggio si usa introdurre una
corrispondente deviazione angolare ρ (analoga a quella del tratto curvo di cavo), espressa in radianti per metro lineare di sviluppo del cavo curvo o diritto, ottenendo quindi un’ulteriore riduzione del tiro P che risulta dalla 14 con s sviluppo del cavo (15).
P = P0 e
Fig. 31.
– µ ( ϕ – ϕ 0 – ρs )
Equilibrio di un elemento di cavo.
(15)
276-472_CAP_03_C Page 332 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-332
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tabella 12.
Tipo guaina
Coefficienti di attrito guaina/cavo.
Minima dist. fra supporti (m)
Minimo raggio curv. (m) (1)
m
(rad–1)
ρ (rad/m) (2)
0,80 - 1,20
3,00 - 9,00
0,20
0,005 - 0,008
0,17
0,004 - 0,007
acciaio normale
lubrificato
polietilene
0,70 - 1,00
2,50 - 9,00
0,14
0,007 - 0,010
polietilene
ingrassato (3)
0,60 - 1,50
2,50
0,06
0,008 - 0,010
(1) I valori riportati sono corrispondenti rispettivamente ai tiri minimo e massimo 0,15-10 MN e risultano quindi variabili a causa del numero di trefoli componenti il cavo.
(2) I valori riportati sono relativi ai valori minimi e massimi della distanza fra i supporti della guaina.
3
( ) Usato per cavi monotrefolo permanentemente scorrevoli.
Si assumono i valori riportati in tabella (8) del coefficiente di attrito in funzione del tipo di
trattamento della guaina e della rigidezza di questa, che dipende dal suo diametro e dalla distanza
fra i supporti.
Nel caso di asse baricentrico x rettilineo della trave, se le tangenti al cavo formano con questo angoli ϕ sufficientemente piccoli perché sia:
cos ϕ ≅ 1
dy
ϕ ≅ sin ϕ ≅ tan ϕ = -----dx
ed inoltre per curvatura del cavo limitata sia lecito porre
2
1
d y
----- = --------2rϕ
dx
i carichi equivalenti e le relative azioni risultanti sono espressi da:
Nx = – P
2
d y dy
w x = P --------2  ------ – µ ;
dx  dx 
2
d y
dy
w y = P --------2  – 1 – µ ------- ;
d x
dx 
m z = Py w x ;
dy
V y = – P -----dx
M z = – Py
Nel caso sia necessario uno stato di coazione centripeto, come ad esempio nelle travi di bordo di strutture assialsimmetriche spingenti o delle pareti di serbatoi e sili cilindrici, è necessario
suddividere il cavo ad anello in più archi sia per consentirne il tiro che per ottenere pressioni il
più possibile uniformi sulla circonferenza.
Nella figura 32 sono riportati i diagrammi del tiro del cavo, calcolati per µ = 0,20, ρ = 0 per
i casi pratici relativi a 2, 3, 4, 6 ancoraggi sulla circonferenza e tesatura da entrambe le estremità
di ogni arco.
Si osserva che la differenza fra il tiro da 6 punti, rispetto a quello da 4 consiste unicamente
nel valore più elevato della tensione media.
Perdite di tensione addizionali e pari a (0,02 ÷ 0,04) P si manifestano nella testata di tiro a
causa di una deviazione localizzata dei trefoli; nei sistemi di ancoraggio dei trefoli mediante chiavette dentate si ha anche una perdita di allungamento pari a circa 4-6 mm e dovuta all’assestamento dell’assieme.
276-472_CAP_03_C Page 333 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
PRESOLLECITAZIONE
Fig. 32.
C-333
Suddivisione cavi ad anello.
3.6.5.3 Cavo parabolico. Con riferimento alla figura 33 l’equazione del cavo parabolico avente
eccentricità yA e yB agli estremi e freccia h riferita all’asse baricentrico della trave risulta:
x 2
x
dy
1
x
y ( x ) = – 4h  ------ + ( y B – y A + 4 h )  ------ + y A ; ------ = --- – 8 h  ------ + y B – y A + 4 h ;
 l 
 l 
 l 
dx
l
2
d y
– 8h
-------2- = ---------2
dx
l
L’ordinata y rappresenta anche l’eccentricità del cavo.
Agli estremi A e B risultano rispettivamente:
tan ϕA = (yB – yA + 4h) / l
tan ϕB = (yB – yA – 4h) / l
Le azioni equivalenti alla precompressione risultano quindi agli estremi:
N A = – P A cos ϕ A
T A = – P A sin ϕ A
M A = – P A cos ϕ A y A
N B = – P B cos ϕ B
T B = – P B sin ϕ B
M B = – P B cos ϕ B y B
Per il tiro dalla estremità A, la caduta di tensione fra gli estremi A e B è calcolabile mediante la
(15); osservando che la deviazione angolare totale vale α = ϕA + ϕB e la lunghezza del cavo può
essere assunta pari a l, si ottiene:
PB = P A e
Fig. 33.
– µ ( α + ρl )
Trave rettilinea con cavo parabolico.
276-472_CAP_03_C Page 334 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-334
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
ed all’ascissa x
P( x) = PA e
– µ [ α ( x ) + ρx ]
3.6.5.4 Esempio. Ponendo
l = 10,0 m yA = + 0,10 m yB = + 0,50 m
tiene:
dy
con α ( x ) = – arctan  ------ + ϕ A
 d x
h = 0,60 m
µ = 0,17
ρ = 0,005,
PA = 1000 kN si ot-
tan ϕA = 0,280 sin ϕA = 0,267 cos ϕA = 0,963
tan ϕB = 0,200 sin ϕB = 0,196 cos ϕB = 0,981 ϕA + ϕB = 0,4704
PB = 1000 e–0,17 (0,4704 + 0,005 × 10,0) = 915,3 kN
N A = – 1000 × 0,963 = – 963 kN
N B = – 915,3 × 0,981 = – 898 kN
T A = – 1000 × 0,267 = – 267 kN
T B = – 915,3 × 0,196 = – 179 kN
M A = – 963 × 0,10 = – 96,3 kNm
M B = – 898 × 0,50 = – 449 kNm
Nella sezione di mezzeria, con x = 5,00,
dy
------ = 0,040, α (x) = 0,2329, sin α = 0,2308,
dx
cos α = 0,9730, si ottiene:
Pl/2 = 1000 e–0.17(0.2329+0,005 × 5,00) = 958,1 KN e quindi
N l/2 = –931,3 kN,
T l/2 = –220,9 kM
M l/2 = 55 δkMn
3.6.6 Perdite di tensione per deformazioni differite. Le variazioni dimensionali del calcestruzzo dovute al ritiro ed al rifluimento producono una deformazione negativa di accorciamento
dell’armatura attiva e quindi una diminuzione della precompressione; analoga riduzione, senza modifica della deformazione intrinseca, è prodotta dal rilassamento della stessa armatura.
Lo schema qualitativo dell’evoluzione temporale della precompressione è riportato nella figura
34, a partire dal tempo t0 corrispondente all’applicazione all’applicazione della precompressione
per le due condizioni di pre-tensione e post-tensione, che differiscono per la quota di rilassamento
iniziale che avviene sul banco per il primo sistema e per la diversa distribuzione delle perdite elastiche nel caso di tiro successivo di cavi del secondo sistema.
Gli effetti sullo stato tensionale sono determinabili con il metodo esposto in C-3.6.2.
3.6.7 Precompressione delle strutture iperstatiche. Lo stato di coazione generato dalla precompressione produce deformazioni nella struttura iperstatica salvo che nelle sezioni poste in corrispondenza dei vincoli sovrabbondanti ove insorgono reazioni iperstatiche. Per la natura stessa di
tali reazioni, tendenti a contrastare le deformazioni prodotte dalla precompressione sulla struttura
resa isostatica, si avrà nella struttura reale iperstatica una diminuzione dell’efficienza della precompressione; per questo motivo le reazioni vincolari prodotte dallo stato di coazione sono dette
parassite.
In particolare il luogo dei punti di applicazione delle risultanti dell’azione di presollecitazione e
di quelle parassite anzidette non è più coincidente con l’asse del cavo come nelle strutture isostatiche, ma definisce una curva delle pressioni distinta da questo. È quindi evidente che per realizzare la massima efficienza della precompressione occorre minimizzare le reazioni parassite, predisponendo innanzi tutto vincoli atti a consentire l’accorciamento assiale della struttura e determinando un tracciato dei cavi tale da generare deformazioni nella struttura principale isostatica compatibili con i vincoli effettivi sovrabbondanti.
276-472_CAP_03_C Page 335 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
PRESOLLECITAZIONE
Fig. 34.
C-335
Evoluzione temporale della precompressione.
Per il caso particolare delle travi continue sussiste il teorema di Guyon, che dimostra che:
“l’andamento della curva delle pressioni dipende soltanto dalla curvatura del cavo (ad azione assiale costante) e dalla sua posizione sugli appoggi estremi, ma non dall’eccentricità di questo sugli appoggi intermedi”.
Per la risoluzione delle strutture iperstatiche precompresse, risulta quindi opportuno l’uso dei
carichi equivalenti definiti in C-3.5.5.2.
3.6.8 Interazione progettazione/costruzione. Per le ragioni di seguito esposte, le strutture presollecitate sono estremamente sensibili alle modalità di esecuzione ed inoltre, applicando la coazione nelle fasi e nelle età più opportune, risulta possibile un notevole incremento dell’affidabilità
e della durabilità dell’opera; è quindi necessaria, già in sede di progettazione, la previsione delle
modalità e delle condizioni di costruzione e deve essere posta particolare attenzione alle seguenti
problematiche.
a) Primo fattore essenziale è la resistenza del calcestruzzo che deve essere tale da sopportare
con adeguato grado di sicurezza le sollecitazioni introdotte dal tiro dei cavi.
L’età del getto ha pure importanza agli effetti delle perdite dovute alla viscosità ed al ritiro,
cosicché nel caso di presollecitazione di calcestruzzo molto giovane è opportuno prevedere una ritaratura del tiro dei cavi, in modo da ridurre l’entità delle perdite di cui sopra.
D’altra parte sembra sperimentalmente acquisito un miglioramento della resistenza a trazione
del calcestruzzo derivante da una lieve compressione, applicata dopo pochissimi giorni dal getto;
con tale operazione si ottiene anche un efficace contrasto alle sollecitazioni di ritiro. È quindi consigliabile operare una prima tesatura parziale molto presto dopo il getto e una seconda più oltre,
onde ottenere contemporaneamente una riduzione delle perdite e un miglioramento della qualità.
276-472_CAP_03_C Page 336 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-336
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
b) Durante il tiro si manifesta l’accorciamento assiale e la curvatura dell’elemento di calcestruzzo, così che è indispensabile prevedere tutti gli accorgimenti costruttivi, atti a evitare che i
casseri e il banchinaggio di sostegno forniscano contrasto a questi movimenti. Per lo stesso motivo, nel caso di più nervature collegate in fase di getto da strutture trasversali, per ridurre le sollecitazioni in questi elementi di collegamento è opportuno raggiungere la presollecitazione richiesta in tappe successive, operando gradualmente su tutte le nervature, oppure predisporre attrezzature per il tiro contemporaneo su tutte.
c) Si osservi che se si precomprime per fasi, occorre anche disarmare gradualmente l’elemento,
in proporzione alla parte del carico permanente che agisce in ogni fase; in caso contrario, essendo
l’armatura di sostegno elastica, essa seguirebbe (con il recupero graduale della sua deformazione
dovuta a tutto il carico permanente) l’inflessione verso l’alto, prodotta via via con il procedere
della precompressione, determinando condizioni di carico e di vincolo incerte, talora assai sfavorevoli.
d) Nel caso di più cavi presenti in una trave, in fase di tiro si compensano le perdite della
forza di presollecitazione dei cavi già tesati, causate dall’accorciamento del calcestruzzo, mediante
incrementi di tale forza man mano decrescenti con l’ordine di tesatura.
Pure in fase di tiro si compensano le perdite dovute all’assestamento degli ancoraggi, mediante sovratensione atta a fornire un sovrallungamento del cavo di entità pari all’’assestamento.
Con analoga sovratensione seguita da rilascio sino alla tensione prevista è possibile ridurre le
perdite per attrito, realizzando un diagramma di tali perdite più favorevole.
e) Nel caso della pretensione sono ancora più importanti la qualità e la resistenza del calcestruzzo, in quanto non è possibile riprendere il tiro in tappe successive; il trasferimento della forza di precompressione al calcestruzzo deve essere lento, in modo da non alterare l’equilibrio
dell’autoancoraggio dei trefoli basato su attrito e aderenza; deve essere evitato il taglio dell’armatura attiva per i fenomeni dinamici connessi alla conseguente rottura brusca, mentre l’uso di martinetti idraulici è buon procedimento per il rilascio della tensione.
Fig. 35. Armature tipiche nella zona di ancoraggio di un cavo: (1) piastra della testata, (2) spirale di
cerchiatura, (3) armatura per le tensioni ai lembi, (4) armatura di ripartizione, (5) legature.
276-472_CAP_03_C Page 337 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
PRESOLLECITAZIONE
C-337
f) Si devono disporre armature passive in direzione dell’asse della trave, allo scopo di ridurre
gli effetti del ritiro agenti prima del tiro dei cavi e per assorbire le risultanti degli sforzi di trazione non compensati dalla precompressione.
Più importanti sono le armature trasversali, le quali, sotto forma di staffe, hanno il compito
di assorbire le trazioni, prodotte a valle delle piastre di ancoraggio (fig. 35) e nei punti di variazione dell’asse geometrico dei cavi o dell’asse baricentrico della trave.
Nel tronco di struttura di lunghezza circa pari all’altezza della trave in cui avviene la diffusione della forza di precompressione, derivante dalle singole testate di ancoraggio, occorre dimensionare le staffe per gli sforzi di taglio, ignorando il contributo della presollecita-zione.
Occorre anche verificare che la riduzione della staffatura consentita dalla precompressione,
non lasci l’anima scoperta nei confronti degli effetti torcenti forniti da carichi eccentrici.
L’armatura verticale deve essere integrata con gli elementi che fissano il cavo nella posizione
di progetto e che deve essere garantita in ogni direzione (anche verso l’alto, a causa dell’azione
dei vibratori).
3.6.9 Verifiche e controlli. Con l’eccezione di strutture costruite per fasi successive, si calcolano le tensioni derivanti dalla combinazione più sfavorevole di carico, così da avere per praticità
di calcolo le condizioni di carico caratteristiche seguenti.
1. Condizione iniziale di costruzione (prima del ritiro εcr e delle deformazioni viscose εcl ) ed
eventualmente, nel caso della pretensione, con una frazione del rilassamento ∆σpr dell’armatura attiva, con peso proprio Gk e precompressione iniziale Pk (x, t = 0): produce in generale le massime
compressioni al bordo prossimo al cavo e trazioni al bordo opposto, in presenza di caratteristiche
di resistenza del calcestruzzo inferiori a quelle finali.
2. Condizione d’esercizio finale (dopo εcr + εcl + ∆σpr) costituita dalla precompressione
Pk (x, t = ∞) finale + effetti del carico d’esercizio gk + qk: fornisce in generale trazione nella zona
prossima al cavo e compressione nella zona opposta.
Per entrambe le condizioni di carico sopra evidenziate si devono effettuare verifiche per gli
stati limite di servizio; quelle per la rottura sono in generale necessarie solo per la 2a condizione.
Sono pure opportuni i seguenti controlli.
3. Forze radiali: ove il cavo è curvato, si devono controllare le pressioni radiali sul calcestruzzo e le relative forze di trazione ortogonali di fenditura indotte nel calcestruzzo.
4. Trasmissione delle forze di precompressione al calcestruzzo: vanno valutate le forze di trazione e di flessione nel calcestruzzo e disposte adeguatamente le armature.
5. Ancoraggi dei trefoli per la pretensione: le tensioni devono essere controllate accuratamente,
tenendo anche conto delle azioni taglianti e flettenti indotte dai carichi.
6. Variazioni brusche di sezione, andamento spezzato dell’asse baricentrico (ad esempio nella
zona centrale di una trave a doppia falda): sono causa di concentrazioni di tensioni, per cui deve
essere prevista idonea armatura.
Per le verifiche sopra esposte e per i controlli di esecuzione occorre valutare le seguenti deformazioni.
a) Estensione del cavo: è la somma dell’allungamento del cavo + l’accorciamento della trave
in calcestruzzo (dovuto al trasferimento della precompressione); occorre tener in conto l’attrito.
Nel calcolo si deve indicare se e di quanto deve quindi essere maggiorato il tiro (temporaneamente o permanentemente) all’estremità tesa del cavo, allo scopo di ridurre tale perdita di tensione
nel cavo nelle sezioni importanti.
b) Accorciamento e deformazione della trave di calcestruzzo: si determinano l’accorciamento
assiale totale (elastico a precompressione iniziale + effetto ritiro e viscosità + deformazioni termiche) e le deformazioni di flessione della trave per lo studio delle modalità di disarmo e per la
stabilità degli appoggi, dei pilastri e per i giunti.
c) Inflessioni: a causa della viscosità, l’inflessione della trave tende a variare; le inflessioni (o
quella massima) vanno calcolate per sollecitazioni sotto carico permanente (con effetto viscoso).
276-472_CAP_03_C Page 338 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-338
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
La monta iniziale è stabilita in relazione a queste inflessioni teoriche totali tenuto conto di quelle
iniziali dovute alla precompressione.
3.7
ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
Vengono esposti i metodi di calcolo delle tensioni sulla sezione, per il caso della flessione composta retta, presupponendo che siano già state determinate mediante l’analisi della struttura le
azioni di progetto per gli stati limite di servizio; lo stato tensionale costituisce la base per lo studio dei problemi connessi con la fessurazione e con le deformazioni.
Si considerano legami costitutivi lineari per i materiali poiché il campo di tensioni riscontrabile negli stati di servizio è caratterizzato da limitati scostamenti dalla proporzionalità.
Poiché il problema dell’analisi tensionale coinvolge anche le sezioni pre- o post-compresse,
gli sviluppi riportati considerano anche l’armatura attiva con la relativa deformazione impressa
ε p , assumendo quindi validità generale.
In generale la distribuzione delle tensioni e delle deformazioni delle sezioni dovute ai carichi,
al rifluimento e al ritiro del calcestruzzo ed al rilassamento dell’acciaio preteso, è variabile con lo
stato tensionale.
L’analisi deve essere effettuata tenendo in conto la presenza delle armature, in quanto queste
agiscono come vincoli interni alla struttura e contrastano le deformazioni del calcestruzzo.
Il procedimento è basato sull’assunzione della congruenza fra le deformazioni dell’acciaio e
del calcestruzzo adiacente; queste ultime sono prodotte dalla storia di carico e dalle condizioni
ambientali, nonché dalla modifica delle caratteristiche delle sezioni per effetto ad esempio di getti
in opera aggiunti posteriormente alla struttura primaria.
3.7.1 Effetti immediati delle azioni normale e flettente. Si assumono come positive le sollecitazioni di trazione, ed i corrispondenti allungamenti; un momento tale da tendere le fibre inferiori è pure considerato positivo così come la curvatura corrispondente.
L’ordinata y di ogni elemento delle sezioni è misurata verso il basso rispetto ad un punto arbitrario di riferimento O.
3.7.1.1 Campo delle deformazioni e delle tensioni. Si ipotizza la conservazione della planarità
delle sezioni per effetto delle azioni applicate, anche nello stato di fessurazione, in accordo alle
indicazioni della sperimentazione.
Il campo delle deformazioni è quindi espresso dalla relazione (16), in cui ε0 è la deformazione nel punto di riferimento O e ψ è la curvatura (fig. 36)
ε ( y ) = ε 0 + ψy
(16)
Analogamente si definisce il campo delle tensioni σ (y) = σ0 + γ y
3.7.1.2 Legami costitutivi. All’istante considerato t le relazioni fra le sollecitazioni e le deformazioni di ogni materiale componente la sezione sono esprimibili mediante le relazioni (17):
calcestruzzo
σc ( y ) = E c ( t ) ε ( y ) ( ε < 0 )
arm. passiva
σs ( y ) = E s ε ( y )
arm. attiva
σp( y) = E p[ε( y) + εp ]
(17)
con: Em = modulo di elasticità (eventualmente secante) del materiale m considerato e quindi in generale:
σ m ( y ) = E m ε ( y ) = E m ( ε 0 + ψy ) = σ 0 + γy
(18)
276-472_CAP_03_C Page 339 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
Fig. 36.
C-339
Campi delle deformazioni e delle tensioni.
3.7.1.3 Equazioni di equilibrio. Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione attorno all’asse orizzontale passante per O e per azioni N, M riferite anch’esse al punto O (arbitrario), sono esplicitate nelle (19)
N =
∫σ
c
dA + Σ i A si σ si + Σ j A pj σ pj
Ac
M =
∫
(19)
σ c y dA + Σ i A si y si σ si + Σ j A pj y pj σ pj
Ac
con Ac area della sezione di calcestruzzo nella quale εc = ≤ 0.
Sostituendo le precedenti relazioni nelle (19), ed introducendo le grandezze:
Es
α s = -----------Ec(t )
∫
S =
∫
I =
∫
A =
Ac
Ac
Ac
rapporti di omogeneizzazione delle armature passiva ed attiva;
Ep
α p = -----------Ec(t )
area sez. omogeneizzata a cls
d A + α s Σ i A si + α p Σ j A pj
y dA + α s Σ i y si A si + α p Σ j y pj A pj
2
2
2
y dA + α s Σ i y si A si + α p Σ i y pj A pj
N p = E p Σ j ε pj A pj
M p = E p Σ j ε pj y pj A pj
momento statico rispetto all’asse di riferimento della sezione omogeneizzata a cls;
momento quadratico rispetto all’asse di riferimento della sezione omogeneizzata a cls;
azioni dovute alla precompressione
si ottengono le (20):
N
M
= Ec(t )
A S ε0
S
I
ψ
+
Np
e, con riferimento al campo delle tensioni
Mp
N
M
=
A S σ0
S
I
γ
(20)
3.7.1.4 Ricerca dello stato di deformazione. Le (20) costituiscono un sistema di due equazioni
nelle due incognite ε0, ψ, che è lineare se e solo se:
– la sezione è interamente reagente, oppure
– la sezione è costituita dalle sole armature.
276-472_CAP_03_C Page 340 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-340
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
In tali casi la soluzione è data dalle (21)
ε0
ψ
I –S N – N p
1
= -------------------------------------2
–
S A M – Mp
E c ( t ) ( AI – S )
(21)
Nel caso in cui in parte della sezione risulti εc > 0 e quindi si abbia tensione di trazione nel
calcestruzzo, deve essere annullato il relativo contributo e quindi si ha parzializzazione della sezione; le equazioni di equilibrio (19) si scrivono allora limitando l’integrazione alla parte compressa ed effettuando la sommatoria dei contributi delle armature normali e presollecitate.
Se la sezione è parzializzata, il sistema è non lineare, in quanto le quantità A, S, I dipendono
dalla soluzione e sono calcolate in questa fase considerando la sola parte compressa della sezione
di calcestruzzo e le aree delle armature passive ed attive omogeneizzate con i coefficienti αs e αp .
In particolare queste grandezze possono essere espresse in funzione della quota dell’asse neutro yn = – ε0 / ψ.
La quota dell’asse neutro viene determinato risolvendo per via iterativa l’equazione (22), non
lineare nell’incognita yn , ricavata dalle (20).
S–Ay
N–N
------------------p- = ------------------nM – Mp
I – S yn
(22)
Si osserva che la posizione dell’asse neutro dipende soltanto dal rapporto (N – Np)/(M – Mp) e
non, separatamente, dai valori N, M, Mp , Mp.
La (21) è sempre valida per il calcolo delle deformazioni introducendo per le grandezze A, S,
I i valori corrispondenti alla sezione composta parzializzata.
Fig. 37.
Sezione composta con trapezi.
276-472_CAP_03_C Page 341 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
Fig. 38.
C-341
Posizione relativa dell’asse neutro.
In generale si può porre dA = b (y) dy e quindi, per sezioni aventi perimetro composto da
spezzata di segmenti rettilinei l’equazione che consente di determinare yn risulta di 3° grado; è
bene rilevare che qualunque forma di sezione può essere ricondotta a questo caso operando una
suddivisione sufficientemente estesa.
Si suddivide l’intervallo di integrazione O, yn, mediante estremi intermedi, coincidenti con le
ordinate delle basi dei trapezi di cui è in questo caso composta la sezione; le espressioni delle caratteristiche geometriche A, S, I risultano, per la parte relativa al calcestruzzo, dalla somma dei
contributi dei singoli trapezi indicati nelle (23), con riferimento alla figura 37.
A k = ( b ks + b ki ) h k ⁄ 2
S k = A k ( y ks + yγ k4 ) = A k y k
( b ks + 2b ki )h k
y kG = --------------------------------3 ( b ks + b ki )
2
3
2
(23)
2
I k = A k y k + h k ( b ks + b ki + 4 b ks b ki ) ⁄ 36 ( b ks + b ki )
Poiché devono essere considerati esclusivamente trapezi o subtrapezi appartenenti alla sola
parte compressa della sezione, si hanno 3 casi, individuati rispettivamente dalla posizione di questi rispetto all’asse neutro n-n (fig 38); ne consegue che il calcolo deve considerare i trapezi del
caso 1, scartare quelli del 3 e ricercare l’altezza del subtrapezio superiore del caso 2.
Lo schema del procedimento di calcolo è indicato nella figura 39 con riferimento alla parte
di sezione posta al di sopra della retta di ordinata ym misurata dal centro O.
Nell’analisi della sezione si distinguono 4 casi identificati nella figura 40 con A B C D in relazione alla posizione ed all’estensione della zona compressa quale conseguenza del segno
dell’azione assiale N e della posizione del suo punto di applicazione (funzione di M).
Le caratteristiche geometriche della sezione di calcestruzzo del caso B sono ottenute per differenza fra quelle calcolate per i casi C e A.
3.7.1.5 Calcolo della posizione dell’asse neutro. Poiché la posizione yn dell’asse neutro è incognita, viene svolto il calcolo delle caratteristiche geometriche dei trapezi secondo lo schema di figura 41, controllando il valore delle funzioni F 0 (ym), F 1 (ym) espresse dalle (24 a, b) rispettivamente nei casi M ≠ 0, N = 0 (flessione semplice) ed M ≠ 0, N ≠ 0 (flessione composta).
Tali funzioni, esprimono le condizioni di equilibrio rispettivamente alla traslazione ed alla
rotazione ed hanno valore nullo per ym = yn e quindi, individuato dal cambiamento di segno della
funzione considerata il trapezio intersecato dall’asse, si usa il metodo della bisezione per calcolare yn .
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C-342
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 39.
Fig. 40.
Schema di calcolo della posizione dell’asse neutro.
Effetti della eccentricità e del segno dell’azione assiale.
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ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
Fig. 41.
Schema di calcolo delle caratteristiche geometriche.
C-343
276-472_CAP_03_C Page 344 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-344
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Per arrestare l’iterazione si pone un’approssimazione prefissata δ al valore della funzione F (yn).
Per N = 0 si ha:
F 0 ( ym ) =
∫
ym
0
( y m – y ) dA + α s Σ i A si ( y m – y si ) + α p Σ j A pj ( y m – y pj )
(24 a)
Per N ≠ 0 si ha:
F 1 ( ym ) =
∫
ym
0
y ( y m – y ) dA + α s Σ i A si y si ( y m – y si ) +α p Σ j A pj ( y m – y pj )
Fig. 42.
M
/ F °( y m )  – ---
Schema di calcolo delle deformazioni e delle tensioni.
N
(24 b)
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ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
C-345
Il flusso completo del calcolo delle deformazioni della sezione e delle tensioni è riportato nella figura 42; un esempio di applicazione è sviluppato in C-3.6.1.6.
Per i casi particolari di sezione rettangolare o a T, la posizione dell’asse neutro è individuata
dalle seguenti relazioni, nelle quali si è indicata con d la distanza del centro di applicazione di N
al di sopra del bordo compresso e con bw e t, rispettivamente, lo spessore dell’anima e della piattabanda della sezione a T.
Per la sezione rettangolare:
N=0
b y n2 – 2α s
∑ i ( h i – y n ) A si
N≠0
b y n3
bd – 6α s ∑ i ( h i + d ) ( h i – y n ) A si = 0
+
3 y n2
= 0
Per la sezione a T:
∑ i ( h i – y n ) A si
N=0
b y n2 – ( b – b w ) ( y n – t ) 2 – 2α s
N≠0
( 2b – b w ) y n3 + 3 ( 2b – b w )d y n2 – 3t ( b – b w ) ( t + 2d ) y n + t 2 ( b – b w ) ( 3d + 2t ) = 0
= 0
Noto yn si calcolano A, I, S e quindi le deformazioni mediante le (21)
3.7.1.6 Esempio.
Dati: Calcestruzzo Ec = 29,4 E6 kN m–2; Acciaio Es = 206 E6 kN m–2; αs = 7,0; N = 0 M = 160
kN m (fig. 43).
1) Ricerca posizione asse neutro:
essendo N = 0, si applica direttamente la (24 a); poiché si tratta di flessione semplice yn > 0 (caso
A) per i due trapezi che compongono la figura si ha rispettivamente
Trapezio
ys
0
0,10
1
2
yi
0,10
0,60
h
0,10
0,50
bs
0,80
0,25
bi
0,80
0,20
dA
0,80 dy
[0,25 – 0,10 (y – 0,10 )] dy
1a iterazione ym = 0 si osserva che risulta nullo il contributo del calcestruzzo e negativo il valore
di F° (0)
2a iterazione
ym = 0,10;
calcestruzzo
∫
0, 1
yn = 0,10
(0,1 – y) 0,8 dy = 0,0040 m3
0
Fig. 43.
Sezione della trave.
276-472_CAP_03_C Page 346 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-346
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
acciaio
7,0 E – 4 [3,0 (0,1 – 0,02) + 15,0 (0,1 – 0,57)] = – 0,0048 m3
F° (0,10) = – 0,0008 m3
3a iterazione
poiché F° è sempre negativa, l’asse neutro cade entro il 2° trapezio e si ricerca
direttamente yn tramite la relazione F° (yn) = 0; l’intervallo di integrazione 0, yn è
suddiviso in 0-0,10; 0,10-yn così che risulta invariato il contributo del 1° trapezio;
calcestruzzo
0,004
∫
yn
(yn – y) [0,25 – 0,1 (y – 0,1)] dy =
0,1
= 0,00532 – 0,02600 yn + 0,13000 y n2 – 0,0166 y n3
acciaio
7,0 E – 4 [3,0 (yn – 0,02) + 15,0 (yn – 0,57)] = – 0,00603 + 0,01260 yn
F° (yn) = – 0,00071 – 0,01340 yn + 0,13000 y n2 – 0,01667 y n3
F° (yn) = 0
yn = 0,145 m.
2) Caratteristiche geometriche della sezione parzializzata (23): b (yn) = 0,2455 m; sono calcolati
nell’ordine i contributi di: trapezio 1, sub-trapezio 2, acciaio
A = [0,8 × 0,10 = 0,8] + [0,0450 (25 + 0,2455) / 2 = 0,0111] + [7,0 E 4 (3,0 + 15,0) = 0,0126] = 0,1037 m2
0,045 ( 0,25 + 0,2455 × 2 )
S = [0,08 × 0,10 / 2 = 0,004] + 0,0111  0,10 ------------------------------------------------------------- = 0,0224  = 0,0014 +


3 ( 0,25 + 0,2455 )
3
+ [7,0 E – 4 (3,0 × 0,02 + 15,0 × 0,57)] = 0,0060] = 0,0114 m
I =[0,8 × 0,103 / 3 = 0,00027] +
2
2
0,25 + 0,2455 + 4 × 0,25 × 0,2455
2
3
+ 0,0111 × 0,0224 + --------------------------------------------------------------------------------------- 0,045 = 0,00017 +
36 ( 0,25 + 0,2455 )
+ 7,0 E – 4 (3,0 × 0,022 + 15,0 × 0,572 = 0,00341) = 0,00385 m4
3) Calcolo delle deformazioni e delle tensioni (21):
Ec (AI – S2) = 7917 kNm4
– 160 × 0,0114
ε 0 = ----------------------------------- = – 0,2304 E – 3m°
7917
160 × 0,1037
ψ = ------------------------------- = 2,0957 E – 3m–1
7917
ε s1 = ( – 0,2304 + 0,02 × 2,0957 )E – 3 = – 0,1885 E – 3
ε s2 = ( – 0,2304 + 0,57 × 2,0957 )E – 3 = 0,9642 E – 3
σ c ( y = 0 ) = – 0,2304 E – 3 × 29,4E 6 = – 6774 kN m –2
σ s1 = – 0,1885 E – 3 × 206E6 = –38,8 E 3 kN m –2
σ s2 = – 0,9642 E – 3 × 206E6 = 198,6 E 3 kN m –2
3.7.1.7 Azioni di decompressione. In una struttura presollecitata le variazioni ∆N, ∆M delle
azioni esterne riducono la compressione del lembo estremo creata dall’eventuale stato di coazione
preesistente fino ad annullarla ed infine generano sollecitazione di trazione che parzializza la sezione e deve essere assorbita dalle armature.
L’effetto globale delle azioni esterne sulle deformazioni e sulle tensioni risulta quindi dalla
somma della frazione così detta di decompressione, che annulla lo stato di sollecitazione pre-esistente e che agisce sull’intera sezione completamente reagente, e dal relativo complemento agente
sulla sezione ideale parzializzata (fig. 44).
La definizione dello stato di decompressione è necessaria agli effetti del successivo controllo
dell’entità della possibile fessurazione.
276-472_CAP_03_C Page 347 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
C-347
Fig. 44. Stato di decompressione e di trazione ad un lembo. 1) Stato tensionale preesistente. 2) Tensioni
e risultanti di decompressione. 3) Stato tensionale nullo. 4) Stato tensionale e risultanti per variazioni ∆N, ∆M
applicate allo stato 1.
Le azioni ∆Ndc , ∆Mdc di decompressione devono generare sollecitazioni uguali e contrarie a
quelle totali esistenti, individuate da σ0 e γ, e quindi sono calcolabili applicando le (25), con le
caratteristiche geometriche dell’intera sezione composta.
∆N dc
∆ M dc
= – A
S
S
I
σ0
(25)
γ
Le variazioni delle deformazioni dovute all’applicazione di ∆Ndc , ∆Mdc risultano dall’inversione e cambiamento di segno della (24) [vedere anche (21)].
Poiché il calcestruzzo possiede una resistenza a trazione limitata al valore fct , (di cui non si tiene
conto per la verifica della resistenza) i complementi delle azioni che superano lo stato di decompressione, Nf = N – ∆Ndc , Mf = M – ∆Mdc , devono essere applicati alla sezione parzializzata calcolando mediante le (22) l’ordinata dell’asse neutro e le ∆σf , ∆εof , ∆ψf secondo il metodo già riportato.
L’indice f è riferito a sezione parzializzata.
3.7.1.8 Azioni di fessurazione. Le azioni che producono al lembo teso una tensione σc pari alla
resistenza a rottura per trazione del calcestruzzo sono denominate “di fessurazione”.
In assenza di tensioni preesistenti, e nell’ipotesi di valore nullo dell’azione assiale valgono le
seguenti relazioni (26) con h = distanza da O del lembo teso:
0 = N = Aσ0 + Sγ;
Mf = Sσ0 + Iγ;
σ0 + hγ = fc t
che consentono di determinare
AI – S 2
M f = f ct ------------------- = f ct W 1
Ah – S
(26)
la seconda uguaglianza vale nel caso sia stato determinato il modulo resistente W1 della sezione.
Le caratteristiche geometriche sono quelle della sezione omogeneizzata completamente reagente.
3.7.2 Variazione temporale delle deformazioni e delle tensioni. Le deformazioni differite dovute al ritiro e rifluimento del calcestruzzo non possono avvenire liberamente in quanto contrastate dalle armature; analogamente gli effetti del rilassamento dell’acciaio presollecitato sono contrastati dal calcestruzzo e dalle armature passive. In entrambi i casi si genera uno stato di coazione,
pressoché ininfluente agli effetti della sicurezza a rottura della sezione, ma importante per la corretta valutazione delle condizioni di esercizio.
3.7.2.1 Effetto del tempo sulle leggi costitutive dei materiali. In accordo alla teoria della viscosità lineare, la relazione fra tensioni e deformazioni del calcestruzzo è rappresentata in funzione
276-472_CAP_03_C Page 348 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-348
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
del tempo dalle relazioni (27) ottenute dalle (1) ponendo per semplicità Ec = Ec (t0):
∆σ c ( t 0 )
∆ε c ( t, t 0 ) = ------------------- [ 1 + φ ( t, t 0 ) ]
Ec (t0)
∆γ c ( t 0 )
∆ψ c ( t, t 0 ) = ------------------ [ 1 + φ ( t, t 0 ) ]
Ec (t0)
(27)
con:
t0
t
Ec (t0)
φ ( t, t 0 )
=
=
=
=
età di introduzione della variazione di tensione;
età a cui si considerano gli effetti;
modulo secandel calcestruzzo all’età t0;
coefficiente di viscosità.
Se la variazione di tensione è introdotta con rateo costante fra le età t0 e t, la corrispondente
variazione della deformazione è espressa dall’equazione (28) [v. anche la (6)]:
1 + χφ ( t , t 0 ) ∆σ c ( t , t 0 )
∆ σc ( t , t 0 )
1
= ------------------------------= -------------------E
(
t
)
E
(
t
,
t
)
c
0
c
0
∆ψ c ( t , t 0 )
∆ γ c (t , t0)
∆ γ c ( t, t 0 )
(28)
Ec (t0)
- modulo efficace fra to e t
E c ( t, t 0 ) = -----------------------------1 + χφ ( t, t 0 )
(29)
∆ε c ( t, t 0 )
con
in cui:
χ (t, t0) = coefficiente di invecchiamento, anch’esso funzione di t e t0 .
Si indicano con ε0cr (t, t0) < 0, ψcr (t, t0) rispettivamente la deformazione (negativa) e la pendenza
del diagramma delle ε dovute al ritiro libero del calcestruzzo, ossia in assenza di vincoli esterni
od interni, essendo questi ultimi costituiti dalle armature che si oppongono all’accorciamento.
Il parametro ψcr permette di considerare ritiro variabile con l’ordinata che si manifesta nel caso di diverse condizioni di esposizione delle parti della sezione.
Deve essere anche tenuto in conto l’effetto contemporaneo del rilassamento dell’armatura attiva, del quale, per le elaborazioni riportate in C-3.4.5, è significativo il valore efficace ∆σpe; poiché ∆σpe non è noto a priori, si pone ∆σ p∞ = 0,85 ∆σ p∞ e si effettuano i calcoli, in seguito ai
quali si ottengono valori più approssimati di α, λ che vengono considerati per una nuova iterazione, se necessaria.
3.7.2.2 Calcolo dello stato di tensione e di deformazione. Avendo determinato i valori ∆σpe , φ,
εcr si possono calcolare le variazioni temporali delle tensioni e delle deformazioni mediante l’applicazione del metodo delle deformazioni (fig. 45).
Si osserva che tale metodo è più adatto alla soluzione del problema in quanto considera le
due incognite ε0 e ψ, mentre quello delle forze dovrebbe considerare come incognite tutte le azioni assiali competenti alle aree di calcestruzzo compresso e di acciaio.
1 - Si applicano alla sezione composta (parzializzata o completa) le deformazioni istantanee
ε0 (t0), ψ (t0) prodotte da N (t0), M (t0) e calcolate con le (21)
2 - Nell’ipotesi di rifluimento e ritiro liberi, e quindi, considerando le caratteristiche geometriche
della sola parte reagente di calcestruzzo e trascurando le armature, si applicano alla sezione
le deformazioni differite (30)
∆ ε 0 cv ( t , t 0 )
∆ ψ cv ( t , t 0 )
= φ ( t ,t 0 )
ε0 c ( t 0 )
ψc ( t0 )
+
ε 0 cr ( t , t 0 )
ψ cr ( t, t 0 )
(30)
3 - Con le (29) e (30) si calcola la distribuzione fittizia delle tensioni che, applicata gradualmente fra t0 e t alla sola parte di calcestruzzo reagente e considerando il modulo elastico
276-472_CAP_03_C Page 349 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
C-349
Fig. 45. Metodo delle deformazioni applicato alla sezione composta. (1) Deformazioni istantanee. 2) Deformazioni libere del cls per ritiro e rifluimento. 3) Rilassamento libero. 4) Tensioni e le loro risultanti che annullano le deformazioni 2 del cls. 5) Azioni che annullano il rilassamento. 6) Azioni 4 e 5 applicate con segno opposto alla sezione composta.
Ec (t, t0), annulla le deformazioni indicate al precedente punto 2 (31)
∆σ 0 c∗ ( t , t 0 )
∆γ c∗ ( t , t 0 )
= –E c ( t , t 0 )
∆ε 0 cv ( t , t 0 )
∆ψ cv ( t, t 0 )
(31)
e che ha come risultanti (32)
∆ N c∗ ( t, t 0 )
∆ M c∗ ( t , t 0 )
= – Ec (t , t0)
Ac
Sc
∆ ε 0 cv ( t , t 0 )
Sc
Ic
∆ψ cv ( t , t 0 )
(32)
4 - Si applica alla sola armatura presollecitata la forza ∆P rj ( t, t 0 ) (negativa) dovuta al rilassamento efficace (33).
∆P rj ( t, t 0 ) = ∆σ pr ( t, t 0 ) A pj
(33)
5 - Si calcolano con le (34) le azioni, riferite al centro O, da applicare nell’armatura presollecitata tali da annullare la deformazione dovuta al rilassamento.
∆ N p∗ ( t , t 0 )
∆ M p∗ ( t , t 0 )
= – ∆σ pr ( t , t 0 )
Σ j A pj
Σ j A pj y j
(34)
6 - Le condizioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione sono soddisfatte se si applicano
alla sezione composta le azioni (35) opposte a quelle precedentemente calcolate ai punti 3 e
5; la considerazione della sezione composta, completa o parzializzata in relazione all’insorgere o meno di trazione nel calcestruzzo assicura la congruenza delle deformazioni del calce-
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C-350
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
struzzo, dell’acciaio normale e presollecitato.
∆N v
∆Mv
= –
∆ N c∗ + ∆ N p∗
∆ M c∗ + ∆ M p ∗
(tutte le azioni sono funzione di t, t0)
(35)
Le corrispondenti deformazioni sono espresse mediante la (36)
∆ε 0 ( t , t 0 )
∆ψ ( t , t 0 )
I
–St ∆ N v
1
- t
= ----------------------------------------------2
E c ( t , t 0 ) [ At It – St ] ( –St ) At ∆ M v
(36)
in cui le caratteristiche geometriche della sezione, contrassegnate con l’indice t, sono modificate
rispetto a quelle iniziali a causa della variazione dei rapporti: αs = Es / Ec (t), αp = Ep / Ec (t) . Se la
sezione è parzializzata, per il motivo di cui sopra e per la modifica del rapporto M (t) / N (t), varia
anche la posizione dell’asse neutro che, in generale, si sposta verso il basso riducendo la compressione nel calcestruzzo ed aumentando leggermente la trazione nell’acciaio; ciò significa che
sarebbe necessario modificare, fra t0 e t, le caratteristiche geometriche della sezione reagente
A, S, I, rinunciando però alla sovrapponibilità delle tensioni assunta nella trattazione.
Si osserva anche che, in generale, per effetto delle deformazioni viscose, la posizione dell’asse in cui sono nulle le deformazioni, non coincide con quella in cui sono nulle le tensioni.
Considerando il contributo del calcestruzzo della sola zona compressa determinata al tempo
t0 , si trascura quello della parte limitata di calcestruzzo compreso fra la zona di cui sopra ed
il nuovo asse neutro calcolato al tempo t (fig. 46). L’approssimazione introdotta è dell’ordine
di grandezza delle incertezze attinenti alla definizione dei parametri reologici della sezione e consente di sommare le tensioni e le deformazioni evidenziate nelle fasi sopra descritte, semplificando
la mole dei calcoli senza per altro contraddire l’equilibrio delle tensioni e la congruenza delle
deformazioni.
È in ogni caso possibile eliminare l’approssimazione citata mediante iterazione che porti alla
coincidenza dell’altezza della zona compressa con l’ordinata dell’asse neutro (fig. 47); date le incertezze relative all’esatta definizione delle deformazioni viscose, tale iterazione è praticamente
priva di significato pratico.
Lo stato di deformazione del calcestruzzo è determinato dalla somma dei contributi delle fasi
di cui ai punti 1, 2, 3, 6; osservando che le deformazioni calcolate per le fasi dei punti 2 e 3
sono uguali ed opposte, si tiene conto soltanto dei contributi dei punti 1 e 6.
Fig. 46. Diagrammi delle deformazioni e delle tensioni. 1) Deformazioni. 2) Tensioni.
3) Variazioni delle tensioni nel cls. 4) Tensioni effettive. 5) Tensioni approssimate.
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ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
C-351
Fig. 47. Sezione con getto successivo. 1) Trave con getto aggiunto al tempo t0. 2) Deformazioni della trave.
3) Deformazioni libere del getto e della trave. 4) Tensioni e loro risultanti che annullano le deformazioni libere. 5) Risultanti delle tensioni 4 applicate con segno opposto alla sezione completa 1.
Lo stato di tensione del calcestruzzo è determinato dalla somma delle fasi 1, 3, 6.
Lo stato di tensione nell’armatura passiva è determinato dalla somma delle fasi 1, 6, mentre
quello dell’armatura attiva è determinato dalla somma delle fasi 1, 5, 6.
Un esempio è riportato in C-3.7.2.4.
Analogo procedimento è applicabile per il caso di parti in calcestruzzo della sezione con diverse età e storia di carico; tipico esempio è quello di getto collaborante aggiunto ad una trave
già costruita.
In linea di principio si osservano in tale caso i seguenti eventi:
1 - viene effettuato il getto collaborante e pertanto la sola trave è soggetta alla variazione delle
tensioni e delle deformazioni dovute al peso aggiuntivo;
2 - durante la maturazione del getto aumentano con il tempo le deformazioni di rifluimento della
trave per effetto dei carichi precedenti, di quelli aggiunti e per il ritiro;
3 - l’anzidetta variazione delle deformazioni coinvolge anche il getto aggiunto il cui modulo elastico cresce con l’età a partire da un valore nullo;
4 - l’interazione fra le variazioni delle deformazioni e del modulo elastico del getto genera tensioni in quest’ultimo, crescenti con il tempo ma mitigate dal coefficiente di viscosità (più
elevato nel getto più giovane rispetto a quello della trave);
5 - le tensioni dovute al ritiro del getto aggiunto agiscono, in questo, in senso contrario a quelle
dei carichi;
6 - carichi addizionali, applicati alla sezione composta della trave e del getto generano ulteriori
azioni, tensioni e deformazioni, variabili con il tempo.
Analogo procedimento viene applicato per la determinazione delle variazioni di tensione nelle
strutture composite in presenza del getto aggiunto ad una trave in acciaio, tenendo ovviamente
conto che quest’ultimo non è soggetto a ritiro e rifluimento propri.
La trattazione teorica della storia dei carichi, delle deformazioni, e delle tensioni può essere
effettuata con i metodi generali di analisi sempreché siano noti con sufficiente esattezza i parametri reologici del getto aggiuntivo, non rigorosamente quantificabili nelle 100 ore iniziali.
Per una soluzione ingegneristica sufficientemente approssimata del problema è necessaria
l’ipotesi semplificativa per cui si considera il getto aggiuntivo istantaneamente collaborante, al
tempo t0, dal quale si calcolano le variazioni temporali delle tensioni e delle deformazioni, eventualmente suddividendo l’intervallo t – t0 in parti, a cui si associano gli opportuni valori del modulo elastico, del ritiro e del rifluimento.
Il calcolo si svolge con gli stessi criteri precedentemente illustrati, con riferimento alla figura 47.
3.7.2.3 Riepilogo fasi dell’analisi. In sintesi lo studio dello stato di tensione e deformazione di
una sezione in calcestruzzo armato normale o precompresso all’età t deve considerarne la “storia”
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C-352
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 48.
Schema delle fasi dell’analisi.
a partire dall’età t0 alla quale sono applicati i carichi, e l’eventuale precompressione iniziale; si
individuano le seguenti fasi dell’analisi.
1. Si calcolano gli incrementi istantanei delle deformazioni e delle tensioni al tempo t0 con le
caratteristiche geometriche della sezione ideale totalmente reagente (o parzializzata se si verifica
che la fessurazione avviene in questa fase).
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ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
C-353
2. Si calcolano gli incrementi delle deformazioni e delle tensioni intervenuti per effetto del ritiro, rifluimento, rilassamento fra l’età t0 e quella t, immediatamente precedente all’applicazione di
nuovi carichi.
3. Si sommano gli incrementi delle tensioni ottenuti nelle due fasi precedenti per calcolare le
azioni di decompressione e le corrispondenti deformazioni e si determina la frazione dei carichi
agenti all’età t che deve essere applicata alla sezione parzializzata.
4. Si calcolano l’altezza della zona compressa e le variazioni di deformazione e di tensione;
se necessario si tiene conto della “tension stiffening” nel calcolo delle deformazioni totali o dello
stato di fessurazione (C-3.1).
5. Si ripete il procedimento dalla fase 1) per l’incremento di carico applicato all’età t; si sommano tutte le deformazioni e le tensioni accumulate nelle fasi precedenti. Si può controllare che
le risultanti delle tensioni siano uguali a quelle prodotte dalla precompressione iniziale e da tutti
i carichi agenti.
Le fasi sopra descritte sono riassunte nello schema di figura 48 che costituisce anche il diagramma a blocchi di un programma di calcolo.
3.7.2.4 Esempio (fig. 49). Caratteristiche del calcestruzzo: Ec (t0) = 30 E6 kN m–2; Ec (t) = 33 E6 kN
m–2; fc t = 2400 kN m–2. Caratteristiche dell’acciaio: Es = 206 E6 kN m–2.
Azioni considerate: 1) al tempo t0
N=0
M = 160 kN m
2) al tempo t
effetto del ritiro
εcr = – 0,3 E – 3; ψcr = 0
effetto rifluimento
φ (t, t0) = 2,8
coeff. invecchiamento
χ (t, t0) = 0,8
Fase 1 - Effetti immediati.
a) Caratteristiche geometriche della sezione composta completa al tempo t0, punto O di riferimento sul bordo superiore:
α s = E s ⁄ E c = 6,87 y g = 0,230 m
A 1 = 0,191 m 2
S 1 = 0,0440 m 3
I 1 = 0,0174 m 4
E c ( AI – S 2 ) 1 = 41632 kN m 4
b) Deformazioni corrispondenti (21):
ε 0 = – 160 × 0,0440 ⁄ 41632 = – 0,1689 E – 3
ψ = 160 × 0,191 ⁄ 41632 = 0,7332 E – 3
ε i = ( – 0,1689 + 0,60 × 0,7332 ) E – 3 = 0,2710 E – 3
Fig. 49.
Sezione della trave.
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C-354
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tensioni corrispondenti:
σ0 = – 30 E6 × 0,1689 E – 3 = – 5068 kN m–2
σi = 30 E6 × 0,2710 E – 3 = 8129 kN m–2
σs2 = 206 E6 (– 0,1689 + 0,57 × 0,7332 E – 3 = 51299 kN m–2
σi > fct la sezione è quindi fessurata.
c) Calcolo della posizione dell’asse neutro (24):
∫
0,10
0
( y n – y )0,80 dy +
∫
yn
0,10
( y n – y )0,20 dy + 6,87 [ 3,14 ( y n – 0,02 ) + 12,56 ( y n – 0,57 )]E – 4 = 0
2
0,10 y n + 0,071 y n – 0,0081 = 0
y n = 0,101 m
d) Caratteristiche geometriche sezione composta parzializzata:
A 2 = 0,0897 m
2
S 2 = 8,860 E – 3 m
2
I 2 = 3,060 E – 3 m
2
2
E c ( AI – S ) 2 = 5885 kN m
e) Deformazioni (21):
ε 0 = – 160 × 8,860E – 3/ 3885 = – 0,2409 E – 3 m
ψ = 160 × 0,0897 ⁄ 5885 = 2,4386 E – 3 m
–1
ε s2 = ( – 0,2409 + 2,4683 × 0,67 )E – 3 = 1,1491E – 3
Tensioni (16):
σ 0 = – 7227 kN m
–2
σ s2 = 236715 kN m
γ = 73149 kN m
–3
σ sl = – 39578 kN m
–2
–2
Fase 2 - Effetti a lungo termine
a) Modulo modificato per fenomeni viscosi (28):
E c = 30E6 ⁄ ( 1 + 2,8 × 0,8 ) = 9,26 E6 kN m
–2
b) Variazione libera deformazioni (29):
∆ε 0cv ( t , t 0 ) = 2,8 ( – 0,2409 E – 3 ) – 0,3 E – 3 m = – 0,9475 E – 3 m
∆ψ cv ( t , t 0 ) = 2,8 × 2,4386 E – 3 = 6,8281 E – 3 m
–1
c) Caratteristiche geometriche della sola parte reagente del calcestruzzo
A c = 80E – 3 m
2
S c = 4,00 E – 3 m
3
I c = 0,2667E – 3 m
4
d) Tensioni che annullano le deformazioni (31):
∆σ 0c∗ = – 9,26E6 ( – 0,9475E – 3 ) = 9024 kN m
∆γ c∗ = – 9,26E6 × 6,8281E – 3 = – 63228 kN m
–2
–3
e) Azioni che impediscono le deformazioni (32)
∆N ∗ ( t , t 0 )
∆M ∗ ( t , t 0 )
4 E – 3 – 0,9475 E – 3 = 469 kN = – ∆N v
= – 9,26E6 80
∆M v
4
0,2667
6,8281
19,2 kN m
4
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ANALISI TENSIONALE PER FLESSIONE RETTA COMPOSTA
C-355
f) Applicazione ∆Nv, ∆Mv alla sezione composta parzializzata al tempo t , le cui caratteristiche
geometriche sono:
y n = 0,10 m
α s ( t ) = E s ⁄ E c ( t ) = 22,25
A = 0,10 × 0,80 + 22,25 ( 3,14 + 12,56 )E – 4 = 0,1156 m
2
2
S = 0,80 × 0,10 ⁄ 2 + 22,25 ( 3.14 × 0,02 + 12,56 × 0,57 )E – 4 = 0,0204 m
3
2
3
I = 0,80 × 0,10 ⁄ 3 + 22,25 ( 3,14 × 0,02 + 12,56 × 0,57 )E – 4 = 0,0095 m
2
4
6
AI – S = 6,8569 E – 4 m
variazione delle deformazioni risulta dalla (36):
∆ε 0 ( t , t 0 )
∆ψ ( t , t 0 )
1
= ---------------------------------------- 0,0095
9,26E6 × 6,8569 – 0,0204
– 0,0204 – 469 = – 6,394 E – 4
11,572
0,1156 – 19,2
g) Verifica equilibrio.
Tensioni (kN m–2):
σ 0 = – 7227 + 9024 + 9,26E6 ( – 6,394E – 4 ) = – 4124
σ ( y = y n ) = 0 + 9024 – 0,10 × 63228 + 9,26E6 ( – 6,394 + 0,10 × 11,572 )E – 4 = – 2148
σ s1 = – 39578 + 206E6 ( – 6,394 + 0,02 × 11,572 )E – 4 = – 166527
σ s2 = 236715 + 206E6 ( – 6,394 + 0,57 × 11,572 )E – 4 = 240877
Azioni
N = [ ( – 4124 – 2148 ) × 0,80 × 0,10 ⁄ 2 = – 250,88 ] + [ – 166527 × 3,14E – 4 = – 52,29 ] +
+ [ 240887 × 12,56E – 4 = 302,54 ] = – 0,63 kN
( 4124 + 2 × 2148 ) × 0,10
y N = ------------------------------------------------------------- = 0,0447 m
c
3 ( 4124 + 2148 )
y N = 0,02 m
1
y N = 0,57 m
2
M = – 250,88 × 0,0447 – 52,29 × 0,02 + 302,54 × 0,57 = 160,18 kN m
Fig. 50.
Variazione delle tensioni.
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C-356
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
L’equilibrio è quindi soddisfatto e le differenze rispetto alle azioni applicate (N = 0, M = 160
kNm) sono dell’ordine di grandezza delle approssimazioni numeriche del calcolo.
L’ordinata alla quale si annullerebbero le tensioni di compressione risulta
y = 0,10 × 4124 / (–2148 + 4124) = 0,209 m
N.B.: si è trascurato il contributo della parte compressa dell’anima di altezza 0,109 m, per cui le
tensioni effettive del calcestruzzo risultano leggermente minori di quelle calcolate mentre è trascurabile la variazione dello stato tensionale nell’acciaio (fig. 50).
h) Somma deformazioni:
lembo superiore ε0 = (– 0,2409 – 0,6394) E – 3 = – 0,8803 E – 3
livello armature inferiore εs2 = [– 0,8803 + 0,57 (2,4386 + 1,1572)] E – 3 = 1,1693 E – 3
l’ordinata alla quale si annullano le deformazioni risulta y = 0,57 × 0,8803/ (0,8803 + 1,1693) =
= 0,245 m.
3.8
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI SERVIZIO (SLE)
3.8.1 Fessurazione. Le strutture possono mostrare cavillature più o meno estese e profonde dovute a rottura locale del calcestruzzo per trazione e limitate nell’apertura dalla presenza dell’armatura metallica; il loro andamento è normalmente legato alla causa che le ha prodotte, rimovibile
nella quasi totalità dei casi solo nelle strutture completamente precompresse e realizzate con opportuni accorgimenti di getto e maturazione.
Sollecitazioni di trazione possono essere originate anche da impedito ritiro (vincoli errati, getto di calcestruzzo fresco su calcestruzzo indurito, eccesso di armatura ecc.), oppure da gradienti
termici sullo spessore dovuti ad esempio a maturazione artificiale o alla diversa esposizione delle
facce (travi a cassone o travi laterali dei ponti ecc.).
La presenza della fessurazione costituisce in ogni caso menomazione strutturale per i seguenti
motivi principali:
a) gli agenti aggressivi raggiungono immediatamente le armature metalliche provocandone la
corrosione;
b) la fessurazione aumenta la permeabilità della struttura all’acqua ed ai gas;
c) la fessurazione riduce la rigidezza della struttura;
d) in corrispondenza di ogni lesione l’intera risultante delle trazioni nella sezione considerata
è sopportata dall’armatura che, nel caso di carichi ciclici, risulta soggetta a maggior escursione
dello stato tensionale con possibile danneggiamento per fatica;
e) la fessurazione costituisce difetto di aspetto della struttura.
L’accettabilità delle fessure dipende per alcune di esse dalla funzione che deve essere espletata dalla struttura; si possono stabilire delle regole di controllo commisurate al rispetto della funzionalità e basate su indagini ed osservazioni su opere esistenti.
È necessario quindi fissare opportuni valori al copriferro per assicurare protezione alle barre, nonché valori massimi delle aperture delle lesioni che dipendono dai parametri geometrici
della sezione e tensionali delle armature; entrambi i valori sono in generale fissati tenendo conto delle condizioni di aggressività dell’ambiente e del grado di sensibilità alla corrosione delle
armature.
In alcuni casi si impone che non vengano superati gli stati di formazione delle fessure o di
decompressione.
Stato di decompressione. Lo stato di decompressione corrisponde a tensione nulla al lembo
considerato.
Stato di formazione delle fessure. Quello di formazione delle fessure corrisponde a tensione
≤ fctm/1,20, con fctm resistenza media a trazione del calcestruzzo.
Aperture massime lesioni. Nella tabella 13 sono riportati i valori delle diverse aperture massime delle lesioni per le varie condizioni ambientali e contingenze dei carichi. I valori massimi di
riferimento sono: w1 = 0,2 mm, w2 = 0,3 mm, w3 = 0,4 mm.
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VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI SERVIZIO (SLE)
Tabella 13.
C-357
Aperture massime delle lesioni per diverse condizioni ambientali.
Armatura
Condizioni
ambientali
Classe
di esposizione
Combinazione
di azioni
Aggressive
wd
Stato limite
wd
ap. fessure
≤ w2
ap. fessure
≤ w3
quasi permanente
ap. fessure
≤ w1
ap. fessure
≤ w2
frequente
ap. fessure
≤ w1
ap. fessure
≤ w2
Molto
aggressive
X0, XC1, XC2, XC3, XF1
XC4, XD1, XS1, XA1,
XA2, XF2, XF3
XD2, XD3, XS2, XS3,
XA3, XF4
Poco sensibile
Stato limite
frequente
Ordinarie
Sensibile
quasi permanente
frequente
quasi permanente
decompressione
–
ap. fessure
≤ w1
formazione fessure
–
ap. fessure
≤ w1
decompressione
–
ap. fessure
≤ w1
3.8.1.1 Fessurazione per azione assiale e flettente. Trattandosi di stato limite di servizio, le
azioni sono considerate con γs = 1 e i materiali con γm = 1.
Il calcolo dell’apertura delle lesioni è effettuato considerando l’azione di combinazioni dei carichi agenti con gli opportuni «fattori di partecipazione» che tengono conto sia della loro probabilità di presenza contemporanea, sia della loro durata.
Con riferimento al caso elementare di un elemento lineare in calcestruzzo simmetricamente
armato soggetto ad azione assiale centrata di trazione, applicata direttamente alle armature (fig.
51), si osserva, al crescere dell’azione N, la formazione di fessure nel calcestruzzo a passo
equidistante.
Il fenomeno sopra descritto evidenzia che:
1) all’atto della formazione delle fessure è stata localmente raggiunta la resistenza a trazione
del calcestruzzo (σcs = fct); la corrispondente tensione nell’acciaio, nella sezione parzializzata, è indicata con σsf ;
Fig. 51.
Schema fessurativo per elemento teso.
(1) (2) stati del calcestruzzo.
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C-358
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 52.
Variazione carico - deformazione-tensione.
2) in corrispondenza delle fessure l’intera azione assiale è sopportata dalle armature, il contributo del calcestruzzo è nullo (stato 2);
3) le tensioni nel calcestruzzo sono originate dal trasferimento per aderenza di parte delle
azioni applicate alle barre di armatura, così che, ad una certa distanza dalle lesioni viene ripristinata la congruenza delle deformazioni dei due materiali e la sezione è interamente reagente
(stato 1);
4) immediatamente prima della rottura del calcestruzzo σcs = fct , la tensione nell’acciaio è
quella competente alla sezione totalmente reagente e, nel diagramma N, εs lo stato dell’armatura
è individuato dal punto L, (fig. 52) nell’istante della rottura lo stato è individuato dal punto F.
Fra L e F si manifestano incrementi di tensione e di deformazione dell’acciaio.
5) in un tratto fra due fessure contigue le tensioni nel calcestruzzo e nell’acciaio sono comprese fra i valori calcolabili considerando rispettivamente la sezione completamente reagente o
parzializzata.
L’allungamento ∆l dell’elemento fra due lesioni consecutive, poste a distanza l, consente di
definire con la (37) la deformazione specifica media εsm dell’acciaio che, per quanto sopra osservato, risulta minore di una quantità ∆εs della deformazione che si manifesta in corripondenza di
una lesione.
∆l
ε sm = ----- = ε s2 – ∆ε s
l
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VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI SERVIZIO (SLE)
C-359
Le deformazioni dell’acciaio, nelle sezioni soggette agli stati 1 e 2 rispettivamente, sono
espresse da:
N
N
ε s1 = ---------------------------------ε s 2 = ------------(37)
E c Ac + E s As
E s As
I legami, supposti lineari fra tensioni e deformazioni nell’acciaio, sono rappresentati, al crescere dell’azione N, dalle rette 2 e 1, corrispondenti rispettivamente ai valori calcolati nelle due
ipotesi estreme di sezione parzializzata e totalmente reagente (fig. 49).
Per lo sviluppo dei calcoli è conveniente introdurre un modello dell’elemento in cui sono
congiunte tutte le parti l1 con calcestruzzo non fessurato e quelle l2 dove è reagente il solo acciaio, il parametro ξ = l2 / l esprime l’estensione della fessurazione e quindi vale 0 per elementi non
fessurati ed è compreso fra 0 e 1 nel caso N > Ncrt .
Risulta quindi εsm = (1 – ξ) εs1 + ξ εs2
ε s1 < ε sm < ε s2
con riferimento alla figura 49, considerando un’ipotetica deformazione εs1 originata nell’armatura
della sezione completamente reagente per σcs > fct , risulta la seconda delle (38) che, sostituita nella prima delle (37), fornisce l’espressione completa per εsm (39), che evolve secondo la curva 3.
σ sf
∆ε s = ∆ε smx -------σs 2
σ sf
∆ε smx = ( ε s2 – ε s1 ) ------σ s2
(38)
∆εs risulta essere funzione inversa di σs2
σ sf 2
ε sm = ε s2 – ( ε s2 – ε s1 ) -------- = ( 1 – ξ ) ε s 1 + ξε s 2
σ s2
ε cm = ( 1 – ξ ) ε s 1
σ sf
ξ = 1 – -------σs 2
2
(39)
La differenza fra i valori in ascissa delle curve 2 e 3, rappresenta, per un valore assegnato di
σs , l’effetto della “tension stiffening” = riduzione della dilatazione dell’acciaio per effetto del contributo del calcestruzzo teso.
Tale effetto risulta massimo all’inizio della fessurazione e diminuisce con la predetta legge
iperbolica al crescere di σs .
Per tenere conto delle proprietà di aderenza dell’acciaio e dell’influenza della durata di applicazione e della probabilità della ripetizione delle azioni esterne, si introducono (40) coefficienti
correttivi ß1 e ß2 nella espressione di ξ.
σ sf 2
ξ = 1 – β 1 β 2 ------σs 2 ;
β1 =
β2 =
per
σs 2 > σs l
(40)
per barre ad aderenza migliorata
1.0
0.5 per barre lisce
per il primo carico di breve durata
1.0
0.5 per carichi ripetuti o singoli di lunga durata
Risulta allora definibile (41) il modulo elastico medio Esm > Es variabile con σs2.
σ s2
E sm = ------ε sm
(41)
Le considerazioni precedentemente svolte per il caso dell’azione assiale centrata, agente su sezione simmetrica, possono essere estese al caso in cui questa risulti eccentrica o perché agente su
sezione non simmetrica o per l’effetto concomitante di un’azione flettente.
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C-360
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
In questi casi è necessario tenere in conto la modifica delle tensioni nell’acciaio e nel calcestruzzo dovute al ritiro ed al rifluimento, che producono graduale spostamento della posizione
dell’asse neutro.
3.8.1.2 Calcolo dell’apertura delle lesioni. L’apertura delle lesioni, è determinabile con formule
semiempiriche, per tenere conto dei parametri geometrici e tensionali che influenzano il fenomeno.
Indicando con wm il valore medio dell’apertura delle lesioni, si può stabilire in prima approssimazione:
w m = ε slm s rm
ove:
srm è l’intervallo medio tra due lesioni successive;
εslm è la deformazione media dell’acciaio rispetto al calcestruzzo:
per la (39) e (40) si ha:
(42)
σs 2
σ st 2
ε slm = ε sm – ε cm + ε cr = ξε s 2 + ε cr = -------  1 – β 1 β 2 -------  + ε cr

Es
σs 2 
con ε cr : valore assoluto della deformazione per ritiro nel calcestruzzo.
Il minimo valore di srm è la lunghezza lm , a partire da una lesione esistente, necessaria per
trasferire dall’acciaio al calcestruzzo la forza di trazione di rottura in una zona Acf della sezione
adiacente alle armature. Questa lunghezza è ricavabile imponendo l’equilibrio alla traslazione del
volume di calcestruzzo, adiacente all’armatura, compreso tra una lesione e la zona in cui viene
raggiunta la resistenza a trazione del calcestruzzo:
A cf f ct = l m τ a n π d
ove:
τa : tensione tangenziale di aderenza tra barra e calcestruzzo,
n : numero di barre di armatura,
d : diametro della barra di armatura.
L’area Acf è definita con le indicazioni della figura 53.
(43)
2
con
nπd
A s = ------------ :area armatura
4
Introducendo la percentuale di armatura ρf = As /Acf , dalla (43) si ricava (44):
d f ct
l m = ----------------4 τa ρ f
(44)
L’esperienza dimostra che il rapporto K1 = fct / τa fra la resistenza a trazione del calcestruzzo
fct e la tensione limite τa di aderenza non è funzione della resistenza del calcestruzzo ed è circa
costante, mentre dipende dal tipo di superficie delle barre, con i seguenti valori medi:
K1 = 0,4 per acciaio ad aderenza migliorata
K =1 0,8 per barre lisce.
Viene introdotto un ulteriore fattore correttivo K2 di Acf , per tenere conto dell’effettiva estensione di tale area in funzione del regime tensionale della zona fessurata; risulta K2 = 1 per trazioh f - per flessione pura o composta.
ne centrata, K 2 = 1 – ------------a – yn
La lunghezza lm assume dunque la seguente espressione (45):
K1 K2 d
l m = -------------------4 ρf
(45)
276-472_CAP_03_C Page 361 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI SERVIZIO (SLE)
Fig. 53.
C-361
Definizione dell’area di calcestruzzo collaborante con le armature.
Ulteriori correzioni sono necessarie per tenere conto della distanza s tra le barre di armatura
e del copriferro c, così che la distanza media srm fra le fessure ha la seguente espressione (46):
s rm = 2c + 0,2 s + l m
(46)
Le stesse considerazioni valgono per il controllo delle aperture delle lesioni nella zona
dell’anima, al di sopra di quella ove sono concentrate le armature principali.
Le formule proposte risultano sperimentalmente valide anche per barre disposte non perpendicolarmente alle fessure; l’apertura caratteristica deve essere allora maggiorata con coefficiente
moltiplicativo variabile linearmente da 1 a 2 per angolo variabile da 75° a 45°.
L’apertura delle lesioni è quindi calcolabile con la (42); il valore caratteristico di tale apertura
media vale wk = 1,65 ÷ 1,70 wm (il primo valore corrisponde a dispersione normale, il secondo è
quello pratico che deve essere confrontato con i valori ammissibili precedentemente discussi).
Per il calcolo dell’apertura delle lesioni dovute a impedite deformazioni, è lecito porre
wk = 1,30 wm poiché in questo caso, all’atto della fessurazione, a causa della diminuzione della rigidezza, viene ridotto anche lo stato di coazione ed inoltre si è osservata minore dispersione dei
valori delle aperture delle lesioni.
Come regola pratica, è certamente soddisfatto il rispetto delle aperture limite se si impiegano
i tassi di lavoro σs 2, i diametri e la spaziatura minima fra le barre riportati nella tabella 14.
276-472_CAP_03_C Page 362 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-362
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tabella 14.
Tensioni e parametri dell’armatura per limitazione aperture fessure.
ss2 (N mm– 2)
wk = 0,4 mm
d (mm)
c = 20 mm
s (mm)
280
240
200
160
120
100
20
24
30
125
175
200
wk = 0,2 mm
d (mm)
c = 25 mm
s (mm)
12
18
24
30
075
100
200
200
Dalla precedente trattazione risulta inoltre che è necessaria una minima percentuale di armatura per controllare la fessurazione; per ovvie ragioni di equilibrio la trazione del calcestruzzo
all’atto della formazione delle lesioni deve essere sostenuta da armatura in percentuale (47):
f ct
ρ min = -----f sy
(47)
ad esempio con fct = 2 N mm– 2, fsy = 400 N mm– 2 risulta ρmin = 0,005.
Quale area di calcestruzzo di riferimento, si considera l’intera sezione nel caso di trazione
semplice e quella di altezza pari ad 1/3 della zona tesa nel caso di azione assiale eccentrica.
3.8.1.3 Esempio. (fig. 54) Sezione rettangolare con armatura passiva: fessurazione per flessione,
verifica in ambiente moderatamente aggressivo, armatura poco sensibile alla corrosione, ipotesi di
carico immediato senza intervento deformazioni a lungo termine (εcr = 0, φ = 0); assegnati: Es /
Ec = 15
Mg = 100 kN m
Mq = 100 kN m
ψ = 0,6 combinazione di carico frequente
si ottiene
Mfd = 100 + 0,6 × 100 = 160 kN m
Dalla tabella 8 si ottiene valore minimo del copriferro c = 25 mm, apertura ammissibile lesioni wk = 0,2 mm.
Per calcestruzzo di classe fck = 30 N/mm2 si può considerare fct = 2,5 N/mm2.
Fig. 54.
Sezione considerata.
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VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI SERVIZIO (SLE)
C-363
Per il calcolo della sezione di acciaio si assume fyk = 510 N/mm2, barre ad aderenza migliorata d = 20 mm con Es = 210 E6 kN m–2 γs = 1,15; l’armatura necessaria a flessione a rottura (v.
C-3.8.4) con γG = 1,35 γQ = 1,50, Md 100 × 1,35 + 100 × 1,50 = 285 kN m, braccio di leva
z = 0,86 × (0,80 –0,025 – 0,01) = 0,86 × 0,765 = 0,658 m
risulta: As = 1000 × 285 × 1,15/0,658 × 510 = 977 mm2: 3 φ 20 (942 mm2 = 9,42 E – 4 m2
1) Situazione di esercizio per verifica a fessurazione: effettuando il calcolo secondo la teoria
lineare con Es/Ec = 15 si ottengono l’altezza della zona compressa yn e le sollecitazioni nei materiali per Mf d
yn = 0,266 m
σ c2 = – 8904 kN m –2 σ s2 = 251090 kN m –2
secondo la tabella 9 non è automaticamente soddisfatta la verifica a fessurazione (σs = 200 000
kN/m2, d = 12 mm, s = 75 mm); è allora necessaria verifica completa.
2) Momento di fessurazione: con W = 0,20 × 0,802/6 = 0,0213 m3 (trascurando il contributo
dell’armatura metallica) e fct = 2500 kN m– 2, si ottiene il momento di fessurazione:
Mf = 2500 × 0,0213 = 53,25 kN m; in assenza di azione assiale risulta:
M
σ sf
53.25
------= ---------f = ------------- = 0.3328
σ s2
M fd
160
3) Calcolo dilatazione specifica armatura: εs2 = 251090/210E6 = 1,196 E – 3
4) Effetto “tension stiffening”: per barre nervate β1 = 1 e per carico ripetuto β2 = 0,5; dalla
(40) si ottiene:
ξ = 1 – 1,0 × 0,5 × 0,33282 = 0,9446
εsml = 0,9446 × 1,196 E – 3 = 1,129E – 3
5) Calcolo apertura lesioni: dalla geometria della sezione e delle armature si ottiene:
hf = 0,025 + 0,01 + 7,5 × 0,02 = 0,185 m
ρf = 0,0255
K1 = 0,4
Acf = 0,20 × 0,185 = 0,037 m2
As = 9,42 E – 42
0,185
K2 = 1 – -------------------------------------- = 0,827
2 ( 0,80 – 0,266 )
con la (45) si ottiene:
0,4 × 0,827 × 0, 02
l m = --------------------------------------------- = 0,0648 m
4 × 0,0255
s rm = 2 × 0,025 + 0,2 × 0,065 + 0,0648 = 0,128 m
wm = 1,129E – 3 × 0,128 = 0,145E – 3 m = 0,145 mm
wk = 1,70 × 0,145 = 0,246 mm > 0,20 ammissibile per ambiente moderatamente aggressivo considerato.
6) Revisione progettazione: l’adozione di 4d18 (4 × 254 = 1018 mm2) in sostituzione di 3d20
fornisce, in modo approssimato (considerando invariato il braccio di leva precedentemente calcolato), ρf = 1018E – 4/0,20 × 0,185 = 0,0275
s = 43 mm (diametro massimo inerte 25 mm)
0,4 × 0,827 × 0,018
l m = ----------------------------------------------- = 0,054 m
4 × 0,0275
srm = 2 × 0,025 + 0,2 × 0,043 + 0,054 = 0,113 m
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C-364
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
ed osservando che ξ, con l’approssimazione di cui sopra, rimane circa invariato
942
ε sml = 1,196E – 3 × ------------ = 1,107 E – 3
1018
wm = 0,125 mm
3.8.2
wk = 0,213 mm (~ ammissibile)
Deformazioni
3.8.2.1 Metodo di calcolo. Lo stato di deformazione deve essere controllato rispetto alle condizioni di esercizio della struttura per evitare ad esempio rottura di parti vetrate di serramenti, fessurazione di divisori rigidi, rottura di pavimentazioni, impedito uso di carroponti e di macchine di
precisione ecc., spiacevole sensazione di vibrazioni per gli utenti.
Per i primi tre eventi elencati il valore limite del massimo spostamento deve risultare inferiore a 10 mm e a l/250 (l = luce della struttura); per l’uso di carroponti il limite superiore è l/750.
Le deformazioni dipendono dallo stato di fessurazione e dal tempo di applicazione dei carichi; il calcolo teorico è basato sul principio dei lavori virtuali integrando il prodotto delle curvature medie dovute alle azioni considerate per il momento flettente dovuto a carico unitario nella
sezione di calcolo.
Si osserva che le variazioni di rigidezza dovute alla fessurazione generano soltanto variazioni
di curvatura e di spostamento nel caso di travi isostatiche mentre nel caso di travi iperstatiche si
manifestano anche variazioni delle reazioni sovrabbondanti e quindi modifiche dello stato tensionale; in tale caso è quindi necessario fare uso di un procedimento iterativo o di un’analisi non lineare (entrambi non pertinenti agli scopi del Manuale).
Alcune semplificazioni consentono una valutazione rapida degli spostamenti con perdita di
precisione accettabile nella pratica; si assume che in presenza di fessurazione la curvatura media
ψm sia esprimibile con una relazione analoga a quella impiegata per definire la deformazione media nell’acciaio, ossia (48):
ψ m = ( 1 – ξ ) ψ 1 + ξψ 2
(48)
2
Mf
con ξ = 1 – β 1 β 2 ------coefficiente di interpolazione fra le curvature corrispondenti allo stato
M
non fessurato 1 e fessurato 2 (fig. 55); le tensioni nell’acciaio dovute a M sono calcolate con le
caratteristiche geometriche della sezione parzializzata.
Le curvature menzionate sono espresse da (49):
M
ψ 1 = -----------Ec I 1
M
ψ 2 = -----------Ec I 2
(49)
con I1 e I2 momenti quadratici di superficie della sezione omogeneizzata rispettivamente totalmente reagente e parzializzata, mentre la rigidezza media è espressa da (50):
M
( EI ) m = ------ψm
(50)
Nel caso in cui sia presente anche azione assiale N, definita l’eccentricità (supposta costante
al variare di M e N) e = M/N, si osserva che la fessurazione avviene per il valore del momento
Mf definito dalla (51):
f ct
M f = ----------------------1
1
--------- + ------A1 e W 1
(51)
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VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI SERVIZIO (SLE)
Fig. 55.
C-365
Interpolazione fra curvatura minima e massima.
con A1, W1, rispettivamente area e modulo resistente della sezione omogeneizzata interamente reagente e, conseguentemente, che valgono le formule sopra riportate.
Note le curvature, si calcola lo spostamento ritenuto significativo, ad esempio per la sezione
di mezzeria di una trave o per l’estremità libera di uno sbalzo facendo uso di formule semplificate, basate sul metodo di integrazione di Simpson, che correlano il parametro desiderato con le
curvature in alcune sezioni.
Con riferimento alla figura 56 e con la curvatura relativa alla sezione di momento massimo
si ha (52):
2
ψl
δ = β -------48
(52)
Con i metodi esposti in C-3.6 si possono determinare gli effetti tensionali delle deformazioni
specifiche differite dei materiali e quindi calcolare le relative variazioni di curvatura dovute al ritiro, al rifluimento ed al rilassamento dell’eventuale armatura attiva.
Il ritiro, a causa della presenza di armatura che agisce come vincolo elastico interno, genera
tensioni di trazione nel calcestruzzo adiacente e quindi produce direttamente un aumento delle deformazioni ed indirettamente influenza lo stato fessurativo e quindi ancora le deformazioni.
Fig. 56.
Posizione di calcolo degli spostamenti.
276-472_CAP_03_C Page 366 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-366
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Le analisi devono considerare la possibile fessurazione con la relativa variazione delle caratteristiche
geometriche delle sezioni e quindi condurre alla valutazione della curvatura media ψm per la successiva
applicazione al calcolo degli spostamenti; l’esempio seguente evidenzia i passi del procedimento.
3.8.2.2 Esempio. Trave in semplice appoggio di luce 10,00 m, con le caratteristiche dei materiali e
della sezione già considerati nell’esempio in C-3.6.2.4, supposte costanti per l’intera lunghezza; le azioni nella sezione di mezzeria sono identiche, è richiesto il calcolo dello spostamento totale massimo.
Al tempo t0 la curvatura nella sezione di mezzeria totalmente reagente prodotta dall’applicazione immediata dei carichi risulta ψ1 (t0) = 0,7332E – 3m–1 e la sezione risulta fessurata; per
fct = 2400 kN m– 2 si ottiene con la (26):
2
0,191 × 0,0174 – 0,0044
M f ( t 0 ) = 2400 ---------------------------------------------------------- = 51,3 kNm
0,191 × 0,57 – 0,044
la curvatura prodotta sulla sezione parzializzata risulta ψ2(t0) = 2,4386E – 3m–1, e le tensioni
σ0 = – 7227 kN m– 2, γ = 73149 kN m– 3, σs = 236715 kN m– 2; per Mf sopra calcolato la tensione
nell’acciaio vale σsf = σs Mf / M = 0,32 σs .
Considerando uso di barre nervate e carico istantaneo si pone rispettivamente β1 = 1,0
β2 = 1,0 ed il coefficiente di interpolazione fra le curvature vale ξ (t0) = 1 – 0,322 = 0,898.
La curvatura media istantanea vale:
ψm (t0) = [(1 – 0,898) × 0,7332 + 0,898 × 2,4386] E – 3 = 2,264E – 3 m– 1
e lo spostamento istantaneo nella sezione di mezzeria (52):
δ (t0) = 5 × 102 × 2,264E – 3/48 = 0,0236 m
Nel caso in cui l’armatura longitudinale sia costante per l’intera lunghezza della trave, i tratti
di lunghezza l = 0,879 m in vicinanza degli appoggi sono soggetti a momento inferiore a Mf così
che, per il calcolo degli spostamenti, dovrebbe essere considerata la maggiore rigidezza; l’influenza sul valore calcolato è trascurabile.
Per effetto del tempo risulta la variazione di curvatura ∆ψ (t – t0) = 1,157E – 3 m–1 e la tensione nell’acciaio σs = 240877 kN m–2; il corrispondente momento di fessurazione vale:
2
0,1156 × 0,0095 – 0,0204
M f ( t ) = 2400 ----------------------------------------------------------------- = 36,17 kN m
0,1156 × 0,57 – 0,0204
A causa dell’aumento della tensione nell’acciaio, della diminuzione del momento di fessurazione
e delle caratteristiche geometriche della sezione, nonché del valore 0,5 da assegnare a β2 per il
carico mantenuto nel tempo, il contributo del calcestruzzo teso è trascurabile e si assume ξ = 1,0.
La variazione di curvatura media coincide con il valore ∆ψ2 e quindi l’aumento della deformazione in mezzeria vale:
∆δ (t – t0) = 5 × 102 × 1,157E – 3 / 48 = 0,0121 m
lo spostamento totale vale: δ (t) = 0,0236 + 0,0121 = 0,0357 m
3.8.3 Vibrazioni. Per assicurare un corretto comportamento della struttura, in relazione all’uso
inerente, è opportuno che le frequenze dei modi di vibrazione siano sufficientemente discoste da
quelle delle forze eccitatrici.
Per il caso in cui è previsto movimento di persone, alcuni valori delle frequenze critiche sono
riportati nella tabella 15 [2].
f crit
La condizione di non risonanza si scrive ---------- < f oppure f > Kfcrit con:
K
K = numero intero
fcrit = frequenza critica
f = frequenza della struttura
276-472_CAP_03_C Page 367 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI SERVIZIO (SLE)
Tabella 15.
C-367
Frequenze indotte dal pubblico.
Frequenze critiche (s–1)
Uso edificio
Palestre
Sale da ballo
Sale da concerto
Marciapiedi e piste ciclabili
8,0
7,0
3,5
1,6-2,5 / 3,5-4,5
Gli accorgimenti utili per modificare il comportamento dinamico della struttura consistono in
una variazione della rigidezza o della massa o nell’accoppiamento a sistemi di smorzamento.
Per un sistema ad un solo grado di libertà l’equazione di equilibrio dinamico in assenza di
forzanti si scrive:
2
∂ u(t)
∂u ( t )
m --------------+ c ------------- + ku ( t ) = 0
2
∂t
∂t
in cui u è lo spostamento
m è la massa del corpo
c è lo smorzamento viscoso
k è la rigidezza
Per tensioni del calcestruzzo non superiori a 0,7 fcd e con fessurazione limitata (wk =
0,2 mm), il rapporto λ = c/ccr fra lo smorzamento intrinseco c e quello critico ccr vale circa 0,05
e quindi le frequenze fc del sistema smorzato non differiscono da quelle f del sistema libero.
Lo smorzamento intrinseco sviluppato dalle strutture in calcestruzzo armato è di tipo isteretico
ed è quindi moltiplicatore dello spostamento e non della velocità nella equazione generale di
equilibrio dinamico secondo la definizione classica di c.
Opportuni metodi di analisi dinamica consentono di determinare lo smorzamento viscoso
equivalente ossia tale da generare la stessa perdita di energia in un ciclo.
Se aumentano oltre ai limiti indicati la tensione nel calcestruzzo e l’apertura delle lesioni, lo
smorzamento aumenta ma si osserva un danneggiamento ciclico dei materiali; tale problema è
considerato nella trattazione della resistenza a fatica.
Per una valutazione sperimentale del rapporto λ, avendo misurato i picchi u di spostamento
rispettivamente ai cicli i ed i + n (dovuti ad esempio ad un urto artificiale) vale la relazione approssimata:
ui
2nπλ = ln  ---------- ; per λ = 0,055 in 2 cicli si dimezza lo spostamento massimo
 u i + n
In assenza di azione assiale, per travi di luce l, con rigidezza EI e carico totale q per unità
di lunghezza uniformi, le frequenze proprie del 1° modo sono espresse da (53):
K
f = -----n2π
EIg
--------4ql
(53)
in cui g è la accelerazione di gravità espressa in unità congruenti con quelle delle altre grandezze,
Kn è un coefficiente che dipende dal tipo di vincolo e dal modo considerato secondo la tabella 16.
Tabella 16.
Valori di K n per (53).
Modo
Kn
Appoggi
Incastro e appoggio
Incastri
Mensola
1
K1
09,87
015,4
022,4
03,52
2
K2
39,50
050,0
061,7
22,00
3
K3
88,80
104,0
121,0
61,70
276-472_CAP_03_C Page 368 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-368
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
3.9
STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
3.9.1 Ipotesi per le verifiche. La rottura di una sezione in calcestruzzo armato normale o precompresso dovuta a flessione semplice o combinata con azione assiale è originata dal cedimento
del calcestruzzo della zona compressa; per sezioni debolmente armate questo cedimento è susseguente ad un’eccessiva deformazione plastica dell’armatura tesa che, solo in casi rari, raggiunge
anch’essa la rottura (fig. 57).
Le ipotesi, confermate sperimentalmente, poste a base del calcolo delle azioni resistenti sono
le seguenti.
3.9.1.1 Le sezioni si conservano piane al crescere delle deformazioni e fino a rottura. Ciò
equivale a trascurare le deformazioni dovute all’azione tagliante; tale ipotesi si discosta molto poco dalla condizione reale purché il rapporto fra la distanza l fra i punti di momento nullo
nell’elemento considerato e l’altezza h della sezione risulti l/h ≥ 2.
Quando l/h < 2 è necessario riferirsi al metodo di verifica delle travi parete.
3.9.1.2 Le armature subiscono le stesse deformazioni del calcestruzzo adiacente. Tale ipotesi
presuppone aderenza perfetta fra i due materiali mentre in realtà in vicinanza delle fessure si manifesta un limitato slittamento dell’armatura; poiché con le armature normalmente impiegate si osserva che le variazioni medie delle deformazioni dell’acciaio e del calcestruzzo (considerando per
questo anche l’apertura delle fessure) sono sensibilmente uguali, l’ipotesi è confermata nell’intorno
della sezione considerata.
3.9.1.3 Si trascura il contributo del calcestruzzo teso. Anche in prossimità della rottura, al di
sotto della zona compressa sussiste una zona tesa con sollecitazione inferiore a quella di rottura,
ma l’effetto sulla resistenza della sezione è trascurabile.
Inoltre le sollecitazioni dovute ad impedito ritiro o a variazioni di temperatura, hanno valori
prossimi alla resistenza a trazione del calcestruzzo.
Per il calcolo delle deformazioni è invece più importante la presenza del calcestruzzo teso sia
nella zona predetta che nei tronchi delimitati da due lesioni successive per il calcolo delle deformazioni.
Il calcestruzzo teso mantiene comunque il compito fondamentale di collegamento fra l’armatura e la zona compressa ed è quindi soggetto a sollecitazioni di taglio longitudinale che
Fig. 57.
Aspetto di sezione prossima al collasso.
276-472_CAP_03_C Page 369 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
Fig. 58.
C-369
Diagramma tensioni-deformazioni di calcolo del calcestruzzo.
normalmente si sviluppano su una parte dell’elemento considerato anche al di fuori della sezione di rottura.
3.9.1.4 Legame tensioni deformazioni del calcestruzzo. È definito con un andamento parabolico
per 0 ≥ εc > – 0,0020 e lineare costante per – 0,0020 > εc > – 0,0035.
Nel caso di azioni mantenute a lungo, si limita il valore della compressione massima a
fcd = 0,85 fck / γc , ottenendo quindi il diagramma convenzionale della figura 58 e le relazioni (54).
εc ≥ 0
0 > εc ≥ εcc
εcc > εc ≥ εcu
σc = 0
ε εc
σc = – fcd  2 – ------c  -----
ε cc ε cc
σc = – fcd
(54)
con εcc = – 0,0020.
L’accorciamento massimo del calcestruzzo compresso è fissato a:
εcu = – 0,0035 nel caso di flessione semplice o composta
εcu = – 0,0020 nel caso di compressione centrata
Tali valori sono stati desunti da sperimentazione su provini in calcestruzzo non armato e non
tengono conto dell’eventuale confinamento della zona compressa fornita di apposita armatura trasversale o da stato di tensione biassiale.
3.9.1.5 Legame tensioni-deformazioni dell’acciaio. L’allungamento massimo dell’armatura tesa
è fissato a: εsu = 0,0100 e tale valore è assunto anche per la variazione di allungamento oltre
quello εp indotto da presollecitazione (normalmente 0,003 ÷ 0,007 nel caso della presollecitazione
con armatura aderente).
La limitazione a 0,01 per εsu rispetto al valore di rottura 0,03 ÷ 0,05 del materiale (*) costituisce presidio verso un’eccessiva deformazione; di fatto viene osservata per εs = 0,02 una fessurazione molto importante e tale da mettere fuori uso la struttura.
L’accorciamento massimo dell’acciaio nella zona compressa è uguale a quello del calcestruzzo per l’ipotesi in C-3.8.1.2; viene quindi definito con le (55) il legame tensioni-deformazioni per
l’acciaio dolce o trafilato a freddo che è rappresentato nella figura 59; fyd è la tensione di snerf yd
vamento di progetto dell’acciaio e εsy la corrispondente deformazione -------Es
276-472_CAP_03_C Page 370 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-370
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 59.
Diagramma tensioni-deformazioni di calcolo dell’acciaio normale.
– εcu ≤ εs ≤ – fyd
– fyd < εs ≤ fyd
fyd < εs ≤ εsu
σs = fyd
σs = ε s E s
σc = – fcd
(55)
Per gli acciai lavorati a caldo, che manifestano un marcato incrudimento, si sostituisce lo
schema bilatero con una trilatera in analogia a quanto indicato nel paragrafo successivo per l’acciaio presollecitato.
3.9.1.6 Legame tensioni-deformazioni dell’acciaio presollecitato. Diagramma trilatero o raccordato è adottato per i trefoli da presollecitazione che non mostrano ben definito valore della sollecitazione di snervamento. La legge costitutiva è individuata dalle (56) ed è rappresentata nella figura 59.
0 ≤ εp ≤ εp0
σp = εp E p
εp0 < εp ≤ εp2
ε p – ε p0
σp = fpd0 + --------------------- (fpd2 – fpd0)
ε p2 – ε p0
εp2 < εp ≤ εpd
ε p – ε p2
σp = fpd2 + --------------------- (fpdu – fpd2)
ε pu – ε p2
fpd0 = (2 fpd1 – fpd2)
(56)
f pd 0
εp0 = ---------Ep
fpd1,2 = sollecitazioni convenzionali di snervamento di progetto corrispondenti a deformazioni permanenti allo scarico pari a 0,001 e 0,002 rispettivamente;
εp0 è la deformazione corrispondente a fpd0 .
fpdu è la tensione di rottura di progetto fpk / γp che, a causa della limitazione εp < εpd non è completamente utilizzata per le verifiche.
( ε pd = ε p + 0.0100 )
ε pu = 0.0300
276-472_CAP_03_C Page 371 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
Fig. 60.
C-371
Diagramma tensioni-deformazioni di calcolo dell’acciaio presollecitato.
3.9.2 Domini delle deformazioni. Per l’analisi della resistenza della sezione è opportuno stabilire i campi di possibile variazione delle deformazioni limite dei materiali, con i massimi precedentemente indicati.
Vengono quindi individuati 5 domini, detti di Rüsch, entro i quali può cadere il diagramma
delle ε relativo alla sezione considerata (fig. 61); per ognuno di questi vengono raggiunte deformazioni limite e quindi condizioni di «rottura» prefissate e precisamente:
Dominio I:
Dominio II:
la sezione è interamente tesa con eccentricità variabile da 0 al punto di nocciolo
inferiore; l’asse neutro è esterno alla sezione e diviene tangente ad essa nel caso
di diagramma delle ε coincidente con A0; si raggiunge la massima deformazione
dell’acciaio teso.
il diagramma delle ε ruota attorno ad A, la sezione è in parte tesa ed in parte
compressa, l’asse neutro è interno alla sezione e scende fino al punto B con
OB = 3,5h/(3,5 + 10) = 0,259h (in questo ultimo caso si raggiungono contemporaneamente le deformazioni massime dell’acciaio e del calcestruzzo); negli altri casi si
ha sempre la massima deformazione dell’acciaio.
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C-372
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 61.
Domini delle deformazioni.
Dominio III: il diagramma delle ε ruota attorno a C, la sezione è in parte tesa ed in parte compressa, l’asse neutro taglia la sezione e scende fino al punto D con OD = = 3,5h/
(3,5 + εsy) (in questo ultimo caso l’acciaio raggiunge il limite di proporzionalità);
viene sempre raggiunta la massima deformazione del calcestruzzo compresso.
Dominio IV: il diagramma delle ε ruota attorno a C, la parte tesa della sezione si riduce sino ad
avere sollecitazione nulla al lembo inferiore (azione assiale di compressione al punto
di nocciolo superiore); si ha sempre la massima deformazione del calcestruzzo compresso e con diagramma CG si ha sezione compressa sull’intera altezza h.
Dominio V: il diagramma delle ε ruota attorno al punto F, la sezione è interamente compressa
con asse neutro esterno alla sezione; con EF = 1,5 h /3,5 = 0,428 h = 3/7 h si ha deformazione del calcestruzzo variabile fra – 0,0035 e – 0,0020 (*).
3.9.3
Influenza della precompressione.
Si distinguono 2 casi e precisamente:
1) le armature di precompressione sono aderenti alla sezione;
2) le armature di precompressione sono fissate alla struttura soltanto in alcuni punti intermedi
ed alle loro estremità.
Nel caso 1) le armature contribuiscono alla resistenza della sezione; se sono poste nella zona
meno compressa della sezione, per effetto delle azioni di calcolo, si totalizza nell’acciaio presollecitato un allungamento uguale a quello delle fibre di calcestruzzo adiacenti e che si sovrappone
a quello dovuto al tiro iniziale (fig. 62).
La tensione corrispondente viene dedotta dal diagramma costitutivo dell’acciaio in corrispondenza della deformazione totale
εt = ε 1 + εo + εp
La forza di pretensione dell’armatura attiva deve essere equilibrata da compressione eccentrica addizionale del calcestruzzo e dell’armatura passiva; con l’aumento conseguente della risultante delle
compressioni e con lo spostamento verso il lembo teso della relativa retta di azione si ottiene una maggiore estensione della zona compressa ed un aumento della resistenza a pressoflessione della sezione.
Nel caso in cui le armature presollecitate siano poste nella zona più compressa della sezione,
al crescere delle azioni di calcolo la deformazione totale di questo acciaio diminuisce e la forza
di precompressione deve essere considerata come azione esterna; le armature contribuiscono alla
resistenza solo fino al raggiungimento del detensionamento σ p + ∆σ p = 0 .
276-472_CAP_03_C Page 373 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
C-373
Fig. 62. Deformazioni delle armature attive. a) deformazioni limite εl ; b) deformazioni preventive ε0
(effetto della pretensione sulla sezione); c) deformazione impressa alle armature attive εp .
Nel caso 2) le armature presollecitate non contribuiscono alla resistenza della sezione e le
condizioni di rottura, a parità di sezione, si raggiungono ben più rapidamente, cioè per un carico
di rottura inferiore a quello del caso d’armature aderenti.
Infatti l’armatura (ancorata agli estremi) agisce come un tirante di un arco sotto l’effetto dei
carichi esterni, e la sua funzione principale è stata concepita principalmente per creare lo stato di
precompressione per le condizioni di esercizio.
L’aumento + ∆σp di tensione nell’armatura dovuto all’allungamento della congiungente i punti
di ancoraggio dell’armatura risulta limitato e quindi è poco efficace il contributo al momento resistente interno.
Per i motivi anzidetti l’asse neutro della sezione si sposta verso l’alto, riducendo pure rapidamente la zona compressa, sinché non si verifica lo schiacciamento del calcestruzzo compresso (o,
a seconda della sezione e qualità dell’acciaio, anche lo strappamento dell’armatura).
Con questo sistema occorre disporre di un’adeguata sezione di calcestruzzo o di un’idonea armatura ausiliaria a trazione.
Il calcolo a rottura in questo caso deve essere sviluppato sull’intera struttura considerando
l’armatura pretesa come vincolo elastico.
3.9.4
Analisi della sezione
3.9.4.1 Azioni resistenti. Per una generica sezione Ω, con asse di simmetria, sollecitata da forza
assiale N e momento M, si possono scrivere le equazioni di compatibilità e di equilibrio con le
convenzioni di segno εc < 0, y > 0 da asse baricentrico verso l’alto, secondo la figura 63.
Le deformazioni sono espresse dalle seguenti relazioni di compatibilità (57).
( – εc + εs ) ( y – yG )
- + εc
ε ( y ) = -------------------------------------------h
oppure
y – yn
ε ( y ) = ε c ----------------yG – yn
(57)
La posizione dell’asse neutro risulta individuata dalla relazione (58), mentre delle due deformazioni εc ed εs una è nota e pari al valore limite precedente fissato per le deformazioni specifiche dei materiali.
– hε c y G – y n = ------------------– εc + εs
(58)
276-472_CAP_03_C Page 374 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-374
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 63.
Convenzioni di segno e deformazioni per analisi sezionale.
Le equazioni di equilibrio alla sezione risultano dalle (59)
alla traslazione N =
∫ σ ( y ) b ( y ) dy + ∑ A
c
si
i
Ω
σ si ( y i ) +
∑j A pj σ pj ( y j )
(59)
alla rotazione M =
∫ σ ( y ) b ( y ) y dy + ∑ A
c
Ω
i
si
σ si ( y i ) y i +
∑j A pj σ pj ( y j ) y j
in queste relazioni le σc (y) e le σs (y), σp (y) sono determinate in funzione delle εc (y) e εs (y),
εp (y) mediante i legami tensioni-deformazioni precedentemente definiti.
Le (59) costituiscono l’equazione parametrica di una curva nel piano N, M che individua la
frontiera del dominio di rottura della sezione.
In pratica, per la complessità dei calcoli, è possibile soltanto elaborare problemi di verifica in
cui, assegnata la geometria della sezione e delle armature e fissato il campo delle deformazioni,
è possibile determinare i corrispondenti M e N.
Con riferimento alla figura 64, supposte assegnate le dimensioni a, b, di una sezione rettangolare, il copriferro c ed il diametro d delle barre, si traccia un diagramma lineare delle ε che individua un asse neutro a distanza ycn dal bordo compresso e le deformazioni specifiche – εc al
bordo compresso e εs 2 in corrispondenza dell’armatura più tesa.
Si prolunga verso l’alto e verso il basso tale diagramma in modo da individuare i punti C ed
S che distano rispettivamente dalla retta di riferimento – 0,0035 e 0,0100; sulle orizzontali per C
e per S si riportano i diagrammi di calcolo delle tensioni σcd del calcestruzzo e σsd dell’acciaio.
Per ogni punto C1 appartenente al diagramma delle deformazioni della zona compressa è possibile individuare sul diagramma delle tensioni la corrispondente σc1 ed è quindi possibile tracciare l’andamento delle σc per l’altezza ycn della zona compressa e calcolarne la risultante Nc con la
posizione yc .
Analogalmente per ogni punto Si in corrispondenza di ogni livello di armatura i posta a distanza ysi dall’asse neutro è possibile determinare la sollecitazione σsi sul diagramma σs, εsd
dell’acciaio e la risultante Nsi .
Le risultanti delle forze interne riferite all’asse baricentrico della sezione rettangolare di solo
calcestruzzo sono (60):
N = N c + Σ i N si
a
a
M = N c  y c + ----- – y cn + Σ i N si y si –  ----- – y cn


2

2
(60)
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STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
Fig. 64.
Interdipendenza tra tensioni, deformazioni e dimensioni.
C-375
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C-376
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Se si è scelto il diagramma delle ε in modo che venga raggiunta una delle deformazioni limite del calcestruzzo o dell’acciaio, N ed M divengono azioni resistenti limiti ed individuano un
punto della frontiera del dominio di rottura della sezione.
3.9.4.2 Esempio. Assegnata la sezione riportata nella figura 65, con le caratteristiche dei materiali:
fcd = – 26 630 kN / m2
– Calcestruzzo fck = 47 000 kN / m2
– Acciaio Feb440k fsd = 382 610 kN / m2
Es = 21 E 7 kN / m2
verificare la resistenza alle azioni di progetto
Nd = –1200 kN
Md = 300 kN m
• 4 φ 20
m2
As1 = As3 = 7,80 E – 4
As2 = 2,65 E – 4 m2
εsy = 1,822 E – 3
4 φ 12
⋅ 8 φ 5 (rete)
Viene assunta la distribuzione delle deformazioni indicata nella figura 65 b) con 1000 εc = – 3,5,
1000 εs3 = 7,0 e si calcolano le seguenti grandezze:
ycn = 0,41 × 3,5/(3,5 + 7,0) = 0,138 m
ds2 = 0,19 + 0,03 – ycn = 0,082 m
ds3 = 0,19 + ds2 = 0,272 m
1000 εs1 = – (0,138 – 0,030) × 3,5 / 0,138 = –2,739
1000 εs2 = 0,082 × 7,00/0,272 = 2,110
1000 εs3 = 7,0
1000 εsy = 382610 / 21 E 4 = 1,822
h2 = 0,138 × 2 / 3,5 = 0,078 m
εc = – 3,5y / 0,138 = – 25,36y
σc = fcd y ≥ 0,078
σc = fcd εc (4 – εc) / 4 = – 169 170y (4 – 25,36y) y < 0,078
Il contributo del calcestruzzo vale:
Nc1 = – 26 630 × 0,44 (0,138 – 0,078)= – 704,35 kN dc1 = 0,22 – 0,060 / 2 = 0,190 Mc1 = 133,83 kN m
Nc2 = – 169 170 × 0,44
Mc2 = 169170 × 0,44
∫
∫
0.078
0
0.078
0
0.078
y (4–25,36 y) dy = – 74 430[4y2/2 – 25,36 y3 /3]0
(4 y – 25,36 y2) (y + 0,082) dy = + 74 430
= + 74 430 [0,328 y2 / 2 + 1,920 y3 / 3 – 25,36 y ]
4 0.078
0
∫
0.078
0
= – 610,4 kN
(0,328 y + 1,920 y2 – 25,36 y3) dy =
= 78,61 kN m
Il contributo dell’acciaio vale:
Ns1 = – 382 610 × 7,80 E – 4
Fig. 65.
= – 298,44 kN
ds1 = 0,19 m
Ms1 = 56,70 kN m
a) Caratteristiche della sezione verificata. b) Campo delle deformazioni. c) Risultanti.
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STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
Fig. 66.
C-377
Schema per sezione rettangolare.
Ns2 = – 382 610 × 2,65 E – 4
= + 101,39 kN
ds 1 = 0
Ms1 = 0,000 kN m
Ns3 = – 382 610 × 7,80 E – 4
= + 298,44 kN
ds3 = 0,19
Ms3 = 56,70 kN m
TOTALE
Nr = ∑ (Nc + Ns) = – 1213,4 kN
Mr = ∑ (Mc + Ms) = 325,8 kN m
Poiché risultano entrambe soddisfatte le relazioni Nd < Nr M < Mr, è verificata la sicurezza a
rottura a pressoflessione della sezione.
3.9.4.3 Sezione rettangolare. Nel caso della sezione rettangolare, con riferimento alla figura 66
ed assumendo come riferimento il punto 0 posto sul bordo compresso ed il campo delle deformazioni definito da ε0 , ψ, il contributo del calcestruzzo per 0 > εc ≥ εcc è espresso da (61), ricordan–ε
do che l’asse neutro è individuato da y n = ---------0 :
ψ
yn
N 0c
=b
∫
0
– bf c
σ c dy = ---------2
ε cc
yn
M 0c = b
∫
0
yn
∫ (2ε
cc
0
– bf c
σ c ydy = ---------2
ε cc
yn
∫
0
– bf ε 0 2
– ε 0 – ψ y ) ( ε 0 + ψ y ) dy = -----------c  ------ ( – 3 ε cc + ε 0 )
3 ψ  ε cc
(61)
– bf ε 0 2
( 2 ε cc – ε 0 – ψ y ) ( ε 0 + ψ y ) y dy = ------------c2  ------ ε 0 ( 4 ε cc – ε 0 )
12 ψ  ε cc
Mc
ε 0 ( 4ε cc – ε 0 )
il punto di applicazione di Nc risulta y oc = -------0c = ------------------------------------.
4ψ ( – 3ε cc + ε 0 )
N0
Per εcc > εc ≥ εcu il contributo del calcestruzzo è somma di due termini, e precisamente Ncp
per il diagramma parabolico di altezza hp completo del vertice e Ncr per la zona a tensione costante con i relativi punti di applicazione definiti dalle (62):
2
N cp = – --- b f c h p
3
5 ε cc
y cp = y n  1 – --- ------
 8 ε0 
I contributi delle armature per ε s
ε cc
N cr = – b f c y n  1 – ----- ε0 
ε cc
1
y cr = --- y n  1 – -----2  ε0 
ε cc
h p = y n -----ε0
(62)
= ε 0 + ψ y s ≤ ε sn sono espressi dalle (63):
N s = E s Σ i A si ( ε 0 + ψ y si )
M s = E s Σ i A si y si ( ε 0 + ψ y si )
(63)
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C-378
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fissando valori di ε0 e ψ tali da ottenere le massime deformazioni dei materiali si possono
calcolare le azioni NR, MR corrispondenti alle frontiere fra i domini di Rüsch ottenendo quindi alcuni punti della frontiera del dominio di rottura.
3.9.5 Interazione N, M. Mediante rappresentazione nelle coordinate εs , εc le rette che delimitano i domini di Rüsch, risultano individuate dal punto corrispondente ai valori delle deformazioni
limite dei materiali; le possibili distribuzioni delle deformazioni comprese nei singoli domini sono
individuate dai segmenti 1, 2, 3, 4, 5, 6 che congiungono i vertici del grafico della figura 67.
La parte tratteggiata rappresenta il “percorso di ritorno” dal punto C di compressione semplice a quello T di trazione semplice, attraverso introduzione di momenti di segno contrario a quelli
considerati nel “percorso di andata”.
Ad ogni coppia di valori εs , εc corrisponde una coppia di azioni interne limite Nr , Mr ottenute mediante le (59); conseguentemente viene definita nel piano N, M una curva che rappresenta
l’interazione fra l’azione assiale ed il momento flettente limite e che costituisce la frontiera del
dominio di rottura della sezione.
Nel caso in cui sia presente armatura attiva presollecitata e resa aderente, valgono le considerazioni riportate per il caso 1) in C-3.8.3; nella figura 68 sono riportati i domini di rottura di una sezione
nella quale è presente armatura attiva soggetta a diversi livelli di deformazione impressa iniziale εp .
Si osserva l’aumento della resistenza a pressoflessione della sezione con l’aumento di tale deformazione; in assenza di azione assiale l’aumento del momento resistente è funzione lineare di εp .
Poiché in generale le sezioni resistenti delle strutture hanno forma complessa, non assimilabile a quella rettangolare, è conveniente l’uso di un programma di calcolo.
3.9.6 Verifica della sicurezza. Poiché in generale la sezione deve essere verificata per diverse
coppie di valori ND , MD , l’uso del dominio di interazione è molto utile in quanto consente di valutare per ogni condizione di carico il grado di sicurezza della struttura, tenendo conto che deve
risultare: (N,M)D ≤ (N,M)R .
Una fondamentale proprietà della frontiera del dominio di rottura è che è chiusa ed è sempre
convessa, così che qualunque vettore che collega due punti di essa giace completamente all’inter-
Fig. 67.
Grafico delle deformazioni limite.
276-472_CAP_03_C Page 379 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
Fig. 68.
C-379
Variazione del dominio di rottura per diversi valori della precompressione.
no del dominio ossia è possibile effettuare il controllo della sezione per la coppia di azioni di
progetto ND , MD assegnata, corrispondente ad esempio al punto 1 della figura 69, in modo indipendente dalle condizioni di carico con cui è raggiunto lo stato limite di rottura (“percorsi” 1 - 5,
5 - 4 equivalgono al “percorso diretto” 1 - 4).
Si possono quindi definire coefficienti di sicurezza differenziati rispetto alle azioni di progetto
e precisamente:
avendo definito nel piano NR , MR i punti:
1 di coordinate ND , MD
2 di coordinate 0, MD
3 di coordinate ND , 0
e ricordando che deve risultare γ > 1,0 si hanno i seguenti casi:
a) Nell’ipotesi in cui sia ND che MD vengano incrementati con lo stesso moltiplicatore, viene
definito il punto 5 all’intersezione fra la retta 01 e la frontiera del dominio; il coefficiente di sicurezza è espresso da γ = 05
------ .
01
b) Nell’ipotesi in cui, mantenendo invariato ND , venga incrementato solo MD , viene definito
------ .
il punto 4; il coefficiente di sicurezza vale γ = 34
31
c) Invertendo i ruoli di ND ed MD del caso b, si definisce il punto 6 ed il coefficiente di sicurezza vale γ = 26
------ .
21
276-472_CAP_03_C Page 380 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-380
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 69.
Principi di verifica della sicurezza.
3.9.7 Diagrammi di rottura adimensionali. Per un rapido dimensionamento di massima di
una sezione rettangolare sono utili i domini adimensionali di rottura che vengono determinati con
le seguenti modalità.
3.9.7.1 Convenzioni di segno e di riferimento. Le azioni sono, per semplicità di verifica, riferite al baricentro della sezione completa di solo calcestruzzo avente altezza totale a.
Le ordinate delle aree di calcestruzzo e di acciaio sono riferite a tale baricentro e considerate
positive se rivolte verso il basso.
Le deformazioni specifiche ε e le tensioni corrispondenti σ, sia del calcestruzzo che dell’acciaio sono negative se dovute a compressione.
L’azione assiale adimensionale ν è negativa se di compressione; l’azione flettente adimensionale µ è positiva se tende le fibre inferiori della sezione.
Le azioni effettive sono calcolate con le relazioni N = Nc ν, M = a Nc µ, con Nc = Ac fcd .
3.9.7.2 Procedimento di costruzione.
a) Si assegnano i valori del copriferro relativo c/a , nonché la resistenza fsk di snervamento
dell’acciaio (supposto di tipo normale) ed il relativo coefficiente di sicurezza γs .
b) Si assegna la percentuale meccanica di armatura ρm = fsd As/fcd Ac
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STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
C-381
c) Si assegnano, rispettivamente al bordo superiore del calcestruzzo ed al livello inferiore
di armatura, coppie εc, εs (valori moltiplicati per 1000) di deformazioni specifiche che descrivono in modo convenientemente preciso le variazioni delle stesse all’interno dei domini di
Rüsch.
Per completare le informazioni relative al comportamento della sezione, i diagrammi adimensionali sono corredati da porzioni di rette che collegano i punti per i quali si hanno le stesse coppie di valori 1000 εc , 1000 εs ; in tal modo è consentita lungo tali rette l’interpolazione
per valori di ρm differenti da quelli riportati ed il calcolo della posizione dell’asse neutro
yn = a · εc /(εs – εc).
La resistenza fcd del calcestruzzo interviene a posteriori nel calcolo di Nc e con la sezione totale di acciaio As per il calcolo di ρm ; l’altezza totale a della sezione interviene solo nel calcolo
di Nc e, come fattore moltiplicativo, per il calcolo di M (ma non di µ). La larghezza b della sezione interviene solo nel calcolo di Ac .
Poiché esistono altri testi che riportanto alcuni dei diagrammi di cui sopra, è opportuno che,
prima del loro uso eventuale, ci si accerti se sono stati ottenuti secondo lo schema corretto precedente.
3.9.7.3 Grafici. Sono di seguito riportati alcuni grafici (fig. 70 ÷ 75) sviluppati per sezioni rettangolari in funzione della percentuale meccanica di armatura ρm , con acciaio caratterizzato da:
fsk = 440 N mm2 γs = 1,15 fsd = 383 N mm– 2 e con diversi valori del copriferro relativo e della
distribuzione di armatura.
I grafici sono utilizzatili anche per sezioni αT purché l’asse neutro cada nella piattabanda
compressa alla quale viene assegnata larghezza b.
3.9.7.4 Esempio. Per la sezione a T riportata nella figura 76, calcolare il momento massimo
per N = 0.
Risultano i seguenti parametri:
c/a = 0,004/0,80 = 0,05 A *s1 = 0.20 A *s 2 = 0.10 A *s 3 = 0.70
per calcestruzzo con fcd = 18 N
mm– 2 risulta Nc = 0,80 × 0,60 × 18 E 3 = 8640 kN ρm = 383 × 3202/8640 E 3 = 0,142.
Nel grafico della figura 77, si traccia per interpolazione la curva corrispondente a ρm = 0,142;
in corrispondenza all’asse µ si stima l’intersezione con la retta delle deformazioni εc = – 1,71,
εs = 10,0; si controlla che l’asse neutro cade a yn = 1,71 / (10 + 1,71) 0,76 = 0,11 m dal bordo superiore, ossia entro la soletta, ottenendo conferma che il diagramma è applicabile (si osserva che
per la sola azione flettente lo spessore della soletta potrebbe essere ridotto a circa 0,11 m, mantenendo invariato il momento massimo).
Nella figura 77, l’ordinata all’origine della curva ρm = 0,142 fornisce µ = 0,096 e quindi
Mmax = 0,80 × 8640 × 0,096 = 663 kN m a cui potrebbe corrispondere, con moltiplicatore di tutti i
carichi γq = 1,5, il momento di esercizio Me = 442 kN m.
Per confronto, con il metodo delle tensioni ammissibili e con Es / Ec = 15, si ottiene:
altezza zona compressa yn = 0,212 m I = 1,3168E – 2 m4 e, con M = 663/(1,5 × 1,15) = 384 kNm
σc = – 6,19 N mm–2 σs = 239,9 N mm–2; la verifica a rottura indica quindi un aumento della capacità portante pari a 442/384 = 1,15.
Può porsi il problema inverso della determinazione dell’armatura necessaria per la resistenza
al momento Md = 1100 kN m; si calcola µ = 1100 / (0,80 × 8640) = 0,159 e si ottiene per interpolazione ρm = 0,237 e quindi As = 8640 E 3 × 0,237/383 = 5346 mm2.
L’armatura al lembo inferiore risulta As3 = 0,70 × 5346 = 3742 mm2 = 7d 26 mm ed è quindi
necessario ampliare la parte inferiore dell’anima per alloggiare le barre senza modifica delle verifiche, salvo che per la lieve variazione del momento di progetto, oppure disporle su due strati
modificando quindi c / a e rifacendo la verifica sul diagramma di competenza.
Si verifica ancora che le deformazioni risultano εc = – 0,00275 εs = 0,010 e quindi la posizione
dell’asse neutro yn = 2,75 / (10+2,75) × 0,76 = 0,164 cade ancora entro la soletta, giustificando l’uso
di grafico redatto per sezione rettangolare.
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Domini di interazione N, M, ρm con: c/a = 0,025;
A *s1 = 0,10;
A *s3 = 0,80.
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 70.
C-382
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Domini di interazione N, M, ρm con: c/a = 0,025;
A *s1 = 0,30;
A *s3 = 0,60.
C-383
Fig. 71.
STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
276-472_CAP_03_C Page 384 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
Domini di interazione N, M, ρm con: c/a = 0,025;
A *s1 = 0,45;
A *s3 = 0,45.
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 72.
C-384
276-472_CAP_03_C Page 385 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
Domini di interazione N, M, ρm con: c/a = 0,050;
A *s1 = 0,10;
A *s3 = 0,80.
C-385
Fig. 73.
STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
276-472_CAP_03_C Page 386 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
Domini di interazione N, M, ρm con: c/a = 0,050;
A *s1 = 0,30;
A *s3 = 0,60.
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 74.
C-386
276-472_CAP_03_C Page 387 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
Domini di interazione N, M, ρm con: c/a = 0,050;
A *s1 = 0,45;
A *s3 = 0,45.
C-387
Fig. 75.
STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE COMPOSTA
276-472_CAP_03_C Page 388 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-388
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 76.
Caratteristiche della sezione studiata.
Fig. 77.
Uso diagrammi ν, µ, ρm .
276-472_CAP_03_C Page 389 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-389
3.10 VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO,
PUNZONAMENTO, TORSIONE, PERDITA DI ADERENZA
3.10.1 Generalità del problema. Viene raggruppata in un unico capitolo la trattazione delle
verifiche a rottura che coinvolgono in modo essenziale la resistenza al taglio del calcestruzzo; non
appena si approfondisce il problema si rende palese come sia improprio, anche se molte volte comodo e pratico, fare riferimento alla predetta resistenza e sia invece più corretto considerare il
contributo a trazione del calcestruzzo, con i relativi limiti, come risulta dalla decomposizione delle
tensioni taglianti nelle tensioni principali reali.
La presenza contemporanea di azioni di flessione/taglio/torsione, flessione/punzonamento, flessione/taglio/ancoraggio richiedono un approccio unificato al problema della resistenza a rottura
della sezione e la considerazione concettuale degli elementi resistenti che, per quanto sopra esposto, e non potendo affidare al calcestruzzo tensioni di trazione (esclusi alcuni casi particolari), si
riducono a quelli che trovano corrispondenza nelle proprietà dei materiali e quindi capaci di resistere a sola compressione se costituiti da calcestruzzo e a trazione (o compressione) se costituiti
da acciaio.
Lo schema strutturale che consente di evidenziare in modo plausibile il comportamento dei
materiali è quello a puntoni (calcestruzzo) e tiranti (armature).
Nelle verifiche si tiene conto della resistenza a compressione del calcestruzzo che risulta ridotta dalla presenza di fessure e dalla variazione di tensione dell’acciaio nel tratto intermedio fra
due lesioni consecutive dovuta all’effetto irrigidente del calcestruzzo teso non fessurato (C-3.7).
Tale metodologia è stata utilizzata agli inizi del secolo da Ritter e Morsch che per primi hanno individuato uno schema reticolare quale elemento resistente nel corpo della struttura in cui si
assume che il calcestruzzo non è resistente a trazione.
3.10.1.1 Modelli con puntoni e tiranti. La generalizzazione dello schema reticolare è stata perseguita da numerosi studiosi e ricercatori; nella letteratura tecnica è noto come «strut-and-tie-model» (modello con puntoni e tiranti).
La prima fase della progettazione secondo questi concetti è la risoluzione delle strutture con
i noti metodi volti a determinare le azioni in ogni sezione e quindi mediante analisi lineare (ove
applicabile) o non lineare. La seconda fase attua la suddivisione della struttura in parti, denominate rispettivamente B e D in relazione al loro prevedibile comportamento e precisamente:
– B secondo l’ipotesi di Bernoulli che assume campo lineare delle deformazioni delle sezioni e
che consente il calcolo delle tensioni mediante le azioni risultanti dall’analisi strutturale;
– D secondo principi non riconducibili all’ipotesi citata e che denotano Disturbo o Discontinuità
del regime tensionale.
Tale suddivisione è facilitata dall’applicazione del principio di Saint-Venant per cui le zone D
si estendono per una lunghezza l dall’origine della discontinuità pari all’altezza a dell’elemento e
vengono analizzate come sottostrutture.
Tipiche discontinuità sono costituite da (fig. 78):
a – appoggi
b – carichi concentrati
c – nodi di telai
d – mensole tozze
e – variazione delle sezioni e fori
f – elementi tozzi
Nelle zone D la terza fase consiste nella schematizzazione ingegneristica degli elementi compressi e tesi che costituisce una valida soluzione ingegneristica in contrapposizione ad analisi sofisticata non sempre attendibile; è necessario rilevare che le sezioni anche omogenee non conservano la loro planarità dopo la deformazione e che inoltre, dovendo rinunciare al contributo del
calcestruzzo teso, l’estensione del procedimento alle zone B non è indispensabile per le verifiche
a flessione ma costituisce comunque modello per taglio, torsione ecc.
276-472_CAP_03_C Page 390 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-390
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 78.
Tipiche zone D nelle strutture.
Gli elementi compressi rappresentano campi di tensioni nel calcestruzzo con compressione
prevalente nella direzione dell’asse dei puntoni; i tiranti rappresentano uno o più strati di armature
tese oppure campi di tensioni nel calcestruzzo con trazione prevalente inferiore a quella di rottura
nella direzione dell’asse.
Lo schema a tiranti e puntoni è quindi essenzialmente orientato alle verifiche per lo stato limite di massima capacità portante della struttura ma può essere utilizzato anche per lo studio allo
stato limite di servizio delle zone D.
Nel primo caso ne è possibile l’estensione a tutta la struttura comprendendo anche le zone B
(che risultano fessurate); nel secondo la schematizzazione delle zone B risulta troppo grossolana.
Quale criterio per la scelta dello schema da adottarsi vale in genere, con riferimento alle traiettorie delle tensioni principali e con possibili scostamenti dovuti a problemi pratici di disposizione delle armature, quello dell’attribuzione al calcestruzzo delle membrature di maggiore lunghezza
e viceversa per l’acciaio, ovviamente purché sia ottenibile un sistema equilibrato.
Con le assunzioni di cui sopra si ottiene la maggiore possibile rigidezza e quindi, in conformità al teorema sul minimo lavoro di deformazione, il più attendibile schema statico.
La formulazione matematica di tale criterio è quindi:
Σi Fi li εmi = minimo,
con Fi = azione nell’elemento i, di lunghezza = li
εmi = deformazione media specifica dell’elemento i.
Disponendo l’armatura in altro modo, la struttura trova comunque un equilibrio interno ma
con maggiori deformazioni, che ingenerano quindi fessurazioni più importanti e richiedono inoltre
una verifica della duttilità per evitare un collasso locale prima che altre parti della struttura raggiungano le massime sollecitazioni.
Devono essere in ogni caso rispettate le condizioni di esercizio, nelle quali si considerano la
durabilità e l’affidabilità della struttura, così che in generale deve essere disposta armatura diffusa
secondo i 3 assi e non solo concentrata ove si suppone l’esistenza di un elemento tipo «tirante».
3.10.1.2 Comportamento dei puntoni, dei tiranti e dei nodi. Lo studio in dettaglio delle traiettorie delle tensioni principali mostra che i campi delle compressioni hanno normalmente un’origine ristretta, di dimensioni pari a quelle della superficie ove sono applicate le pressioni dirette originate dall’introduzione delle azioni esterne o interne, e tendono poi ad allargarsi con la profondità dando origine ad una conformazione così detta a «bottiglia».
276-472_CAP_03_C Page 391 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-391
Nella porzione di tale campo in cui la curvatura delle traiettorie presenta una sorta di rigonfiamento, sono presenti elevate tensioni di trazione ortogonali al flusso delle compressioni che devono essere presidiate da armature; nel caso in cui l’armatura non sia presente, si deve considerare la possibilità di fessurazione, con conseguente limitazione del carico di rottura del puntone.
* la tensione media per la verifica dei puntoni e con f = f / γ quella
In generale, indicando con f cd
cd
ck c
di progetto, si considera
* = 1,0 f
f cd
cd per campo di tensioni di compressione monoassiale
* = 0,8 f
f cd
cd per campo con fessurazione parallela ai flussi di compressione
* = 0,6 f
f cd
cd per campo con fessurazione obliqua ai flussi di compressione.
In prossimità dell’area su cui è applicata l’azione, la curvatura delle traiettorie delle compressioni è inversa alla precedente così che le tensioni trasversali risultano di compressione e lo stato
biassiale risultante è favorevole alla resistenza del calcestruzzo.
Il flusso delle tensioni di trazione è normalmente sostenuto dalle armature metalliche che devono risultare efficienti fino dall’origine dei tiranti e quindi essere ancorate con sicurezza; gli ancoraggi delle barre generano nel calcestruzzo un campo locale di tensione.
Tipico esempio è il caso della sedia di appoggio di una trave, in cui l’ancoraggio aumenta il
carico trasferito al nodo inferiore (fig. 79), si noti anche che la lunghezza di ancoraggio lb è minore di la a causa delle pressioni date dalla reazione di appoggio.
I nodi sono costituiti dalla congiunzione di due o più elementi, puntoni o tiranti e dalla zona
di applicazione di azioni esterne o interne, ed hanno la funzione di trasferimento e deviazione
delle forze concorrenti.
In generale i nodi che si possono considerare «diffusi» o perché ampi campi di compressione
si congiungono fra loro o perché costituiti con barre ravvicinate, non sono critici purché le armature passanti siano ancorate oltre le zone dove devono contrastare le trazioni.
Quando invece le forze sono concentrate, la loro deviazione avviene in nodi finiti, per i quali
devono essere verificate le condizioni di resistenza; la distribuzione delle tensioni all’interno di tali nodi è così complessa che non può essere analizzata a livello tecnico ed è necessario ricorrere
a criteri semplificati di dimensionamento, dettati dalla sperimentazione e precisamente:
a) la geometria del nodo deve essere congruente con l’orientamento e la direzione delle forze
concorrenti;
b) le barre di armatura devono essere distribuite su altezza e larghezza sufficienti per raccogliere i campi di tensione concorrenti senza generare ulteriori tensioni parassite nella direzione ortogonale al piano di giacitura delle forze;
Fig. 79.
Modello di una sedia di appoggio.
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C-392
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
c) l’ancoraggio delle barre deve essere sviluppato con sicurezza oltre la zona ove il campo
delle compressioni interessa le armature e viene deviato;
* medie di verifica a compressione sono definite come segue:
d) le tensioni f cd
* = 1,1 f
f cd
cd per unione di soli puntoni che creano uno stato di tensione bi- o tridimensionale
* = 0,8 f
f cd
cd nei nodi ove devono essere ancorate delle barre.
3.10.1.3 Tipologie dei nodi. I nodi possono essere raggruppati in due tipologie fondamentali,
rappresentate nelle figure 80 e 81, dalle quali possono essere derivati numerosi sottocasi.
Fig. 80.
Nodo intermedio.
276-472_CAP_03_C Page 393 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
Fig. 81.
3.10.2
C-393
Nodo di appoggio.
Rottura a taglio
3.10.2.1 Generalità. Considerando incrementi successivi dei carichi, il calcestruzzo passa da
uno stato in cui è totalmente reagente, a quelli successivi di fessurazione e rottura.
La direzione e la sezione dell’armatura influenzano la distribuzione, la direzione e la grandezza delle tensioni interne, nonché lo stato di fessurazione associato, così che risulta quindi
praticamente impossibile un calcolo anche approssimato dello stato di sollecitazione realmente
agente; vi sono circa 20 parametri che influenzano le sollecitazioni in questo caso e, per buona
parte di essi, non si hanno sufficienti conoscenze dei relativi dati fisici necessari per un’eventuale analisi teorica.
L’indagine del problema è quindi stata condotta principalmente mediante sperimentazione.
3.10.2.2 Elementi senza armatura a taglio.
Comportamento a rottura. La sperimentazione ha dimostrato che, in questo caso, ad un certo livello di carico appaiono fessure per lo più verticali anche nelle zone ove è presente preponderante azione tagliante (con orientamento a 45° delle tensioni principali), mentre le primitive ipotesi
erano orientate verso uno schema di funzionamento ad arco/tirante, ossia con formazione di una
linea delle pressioni nel calcestruzzo inclinata verso gli appoggi e con componente orizzontale
contrastata dall’armatura orizzontale.
La situazione di equilibrio del nodo di appoggio è simile a quella riportata nella figura 81.
276-472_CAP_03_C Page 394 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-394
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Successivi studi hanno posto in evidenza che la tensione nell’armatura decresce verso gli appoggi secondo legge affine a quella del momento flettente, in contrasto con l’ipotesi di arco/tirante che richiede tiro costante, ed hanno individuato nell’ingranamento delle superfici separate dalle
lesioni e nella azione di spinatura fra le stesse creata dall’armatura longitudinale i motivi della diminuizione osservata (fig. 82).
Nella zona non fessurata della sezione il regime delle tensioni risultante dalla compressione
Nc = M/z (z = braccio della coppia interna) e dal taglio Vc è caratterizzato da tensione principale
di trazione inferiore a fct e giustifica il contributo Vc alla resistenza al taglio, in assenza di inclinazione della linea delle pressioni.
Verifica. Con le considerazioni precedentemente svolte sono proposte per la verifica formule
semplificate quasi completamente empiriche, fra le quali quella riportata dal CEB, in cui è introdotta una resistenza fittizia a taglio che, opportunamente correlata a quella a trazione e applicata
alla sezione completa di calcestruzzo, tiene conto in modo sufficientemente approssimato dei vari
parametri che contribuiscono alla resistenza.
L’armatura longitudinale che condiziona la rottura a taglio è equiparata a calcestruzzo con
fattore di amplificazione 50; tale fattore, al contrario di quello di omogeneizzazione, non dipende
dal rapporto fra i moduli elastici dei materiali.
L’effetto dell’ingranamento e della spinatura è considerato mediante fattore che è funzione
decrescente dell’altezza della trave.
Fig. 82.
Contributi alla resistenza in corrispondenza di una lesione.
276-472_CAP_03_C Page 395 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
Fig. 83.
C-395
Verifica sezione senza armatura a taglio.
La verifica allo stato limite di taglio, consiste nel controllare che sia soddisfatta la condizione
generale VD ≤ VR tenendo conto dell’assenza di armatura trasversale, secondo la (64).
V C R = τ rd b a ( 1 + 50 ρ l ) k
1
con: τrd
fctd
γc
ρl
(64)
=
=
=
=
0.25 fctd .
resistenza a trazione di progetto del calcestruzzo ( fctd = 0,30 fck 2/3 N mm–2 / γc)
coefficiente di sicurezza relativo alla resistenza del calcestruzzo
Al /b a percentuale di armatura longitudinale, prolungata per 1,5 h oltre la sezione considerata e sicuramente ancorata
(non è opportuno considerare valori di ρl > 0,02)
k = 1,60 – a (a in metri) tiene conto dell’effetto dell’ingranamento ed assume valore minimo 1,00.
Esempio. Per la sezione di una trave rappresentata nella figura 83, effettuare la verifica all’azione tagliante VD = 140 kN all’appoggio in assenza di armatura a taglio per fck = 35 N mm–2.
Con riferimento alla (64) si calcola con a = 0,25 m, b = 0,80 m il rapporto di armatura longitudinale inferiore ρl = 1885/(0,25 × 0,80) E 6 = 0,0094, il coefficiente di ingranamento vale
k = 1,60 – 0,25 = 1,35.
Assumendo γc = 1,5, si ottiene fctd = 0,30 × 352/3/1,5 = 2,14 N mm–2 ed infine si calcola
VcR1 = 0,175 × 2,14 × 250 × 800(1 + 50 × 0,0094) × 1,35 = 148,6 E 3 N essendo VD < VcR1 la verifica
è soddisfatta.
3.10.2.3 Elementi con armatura a taglio.
Comportamento a rottura. Tali elementi si comportano in modo nettamente differente da quelli
privi di armatura a taglio; le fessure a taglio si innestano ancora su quelle prodotte dalla flessione
ma, al di sopra del livello ove è presente l’armatura longitudinale, si inclinano rimanendo circa
parallele fra loro ma non rettilinee e si estendono verso l’alto oltre le precedenti.
L’andamento delle lesioni suggerisce inizialmente come modello attendibile lo schema a traliccio della figura 84 in cui sono evidenziate bielle compresse di calcestruzzo inclinate con β sul
corrente teso, separate dalle lesioni ed attraversate da staffe, che sono in genere disposte con angolo α compreso fra 90° e 45°.
Si è osservato che, a causa dell’ingranamento, è consentito il trasferimento di azioni tangenziali fra le superfici delle lesioni, e che le bielle compresse non sono quindi necessariamente parallele a queste ed inoltre le tensioni nelle staffe risultano ridotte rispetto a quelle calcolate con il
modello a traliccio.
Per la presenza della staffatura risultano più efficienti, rispetto al caso senza armatura a taglio, sia l’ingranamento delle superfici separate dalle lesioni, sia l’effetto di spinatura prodotto
dalle barre longitudinali.
276-472_CAP_03_C Page 396 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-396
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 84.
Comportamento a taglio per trave con staffe.
Si è pure osservato che le barre piegate sono da evitarsi in quanto producono elevate tensioni
trasversali che in certi casi portano fino alla scissione longitudinale della trave; i migliori risultati
si ottengono con staffe inclinate o verticali che certamente si prestano meglio a riprendere le
componenti verticali degli sforzi agenti nelle bielle di calcestruzzo. Considerando lo schema a traliccio per le travi continue (fig. 85), risulta che le zone tese superiori ed inferiori si estendono entrambe oltre all’ascissa di momento nullo, così che una porzione della trave in tale posizione risulta tesa ad entrambi i bordi con le seguenti importanti conseguenze:
1) le armature superiore ed inferiore devono essere prolungate oltre la posizione di cui sopra
per lunghezza pari ad almeno 1,5h con sicuro ancoraggio in tale zona;
2) mancando ogni azione di compressione, in questa zona tutta l’azione tagliante deve essere
assorbita dall’armatura.
Fig. 85.
Modello a tiranti e puntoni per trave continua.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-397
Verifica. Sezioni rettangolari o a T. A seguito delle considerazioni di cui sopra, la capacità di
resistenza della struttura risulta dalla somma di due addendi, di cui il primo Vc rappresenta il contributo del calcestruzzo e degli effetti secondari ed il secondo Vs quello dell’armatura a taglio e
si verificherà che siano entrambe soddisfatte le relazioni (65):
V D ≤ V cR2 + V sR
V D ≤ V cR3
(65)
con le espressioni (66) discusse nel seguito
V cR2 = 0.45 f ctd b w h
z
V sR = A st ------ (ctg β + ctg α ) f sd sin α
t
(66)
V cR3 = 0.60 f cd b w z sin 2 β ( ctg β + ctg α )
Il valore di VcR2 risulta circa 2,5 volte maggiore di quello calcolato in assenza di armatura,
perché, pur essendo riferito al solo calcestruzzo, risente in realtà della presenza della staffatura,
sia per il diverso schema (a traliccio) di funzionamento, sia per gli effetti secondari di ingranamento fra le lesioni e di spinatura.
Per tale motivo deve essere comunque presente armatura minima a taglio Asw = 0,45 fctd bw h/fsd (fig.
86) e le staffe devono essere chiuse; in caso contrario la trave deve essere considerata come priva di armatura (vedi caso precedente).
È pure importante la presenza di armatura longitudinale nell’anima, per limitare l’ampiezza
delle lesioni sia di flessione che di taglio e quindi consentire trasferimento di parte dell’azione tagliante attraverso il contributo del calcestruzzo.
Al crescere dell’azione tagliante di progetto VD, il contributo dato da Vc diminuisce a causa
dell’aumento dell’ampiezza delle lesioni che riduce l’effetto dell’ingranamento e della spinatura;
posto V *c = Vcr2 per VD ≥ 3 V *c i contributi di cui sopra sono trascurabili.
Per valori di VD compresi fra V *c e 3 V *c , si considera una riduzione lineare ponendo
Vc = (V – V *c )/2.
È bene rilevare che con VD = Vc risulterebbe Vs = 0 ma è sempre necessaria l’armatura minima sopra indicata.
Con riferimento alla figura 87, che rappresenta una porzione dello schema a traliccio, si evidenziano staffe inclinate di α sull’orizzontale con interasse t e bielle di calcestruzzo inclinate di
β, l’area totale ATst di staffe presenti sulla lunghezza l = z (ctg ß + ctg α), con z braccio della coppia interna (distanza fra le risultanti delle compressioni e delle trazioni), risulta ATst = Ast l/t
(Ast = area della singola staffa).
Fig. 86.
Armatura a taglio.
276-472_CAP_03_C Page 398 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-398
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 87.
Schema resistente di calcolo.
Tale area di acciaio, sollecitata alla tensione di snervamento di calcolo fsd fornisce forza
Fs = ATst fsd che può equilibrare una frazione Vs dell’azione tagliante purché l’armatura longitudinale
sia sufficiente a equilibrare la trazione addizionale Nl = VD (ctg β – ctg α)/2 oltre a quella necessaria
per la flessione nella sezione considerata; risulta quindi VsR = Fs sin α e quindi la seconda delle (66).
Si può porre z = 0,9 h mentre i valori di ß sono compresi fra 30° e 60° secondo le considerazioni precedentemente riportate, così che 3/5 ≤ ctg ß ≤ 5/3.
Per la trazione addizionale del corrente teso, considerando lo schema generale a traliccio della
trave riportato in figura 88, alla destra del nodo n, la trazione nel corrente inferiore, costante fino
al nodo (n + 1), vale V [n ctg ß + (n – 1) ctg α] mentre con trave a sezione piena, a metà del campo n – 1, n , per effetto del momento flettente, è richiesta trazione
Vl
1
1
N = -----  n – ------ = V  n – ------ ( ctg β + ctg α )

z 
2
2
Fig. 88.
Calcolo azioni nel corrente teso.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-399
V - (ctg β – ctg α); si ottiene quindi con la (67) l’armatura longitudida cui la differenza ∆N = ------2
nale supplementare variabile con VD lungo la trave.
V D ( ctg β – ctg α )
∆ A sl = ---------------------------------------------2 f sd
(67)
Nella zona centrale della trave ove il taglio è nullo si annulla pure la trazione addizionale e
l’armatura è limitata a quella necessaria per la flessione.
Si ottiene lo stesso risultato prolungando verso l’appoggio per una lunghezza lv l’armatura a
flessione determinata nelle varie sezioni a partire da quella di momento massimo; si ottiene
∆N -z = --z- (ctg β – ctg α ) costante per tutta la trave.
l v = --------V
2
Quanto sopra equivale ancora al dimensionamento per diagramma del momento M* (x) flettente modificato come nella figura 89.
È necessario inoltre verificare che non venga superata la resistenza a compressione delle bielle di calcestruzzo inclinate di ß sull’orizzontale; sulla lunghezza l = z (ctg ß + ctg α) competente ad
una biella è presente l’azione assiale VD/sin ß e la sezione resistente è Ab = bw l sin ß così che risulta la tensione media (68):
VD
σ cw = --------------------------------------------------------------zb w sin 2 β (ctg β + ctg α )
(68)
e dovrà essere fissato un valore limite a σcw , tenendo conto del complesso stato tensionale che ha
sede nella biella considerata, e della riduzione della sezione dovuta alla fessurazione.
Per tali considerazioni, suffragate dalla sperimentazione, si pone max σcw = 0,60 fcd e quindi
con z = 0,9h si ottiene la terza delle (66).
Esempio. Per la sezione a T di una trave rappresentata nella figura 90, effettuare la verifica per
l’azione tagliante di progetto VD = 850 kN.
Il braccio della coppia interna risulta per la sezione a T:
z = 0,90 – 0,05 – 0,10/2 = 0,80 m
L’armatura trasversale è costituita da staffe verticali (α = 90°) d 10 mm, Ast = 78,5 mm2 poste
ad interasse 200 mm e si pone ctg β = 1,65, sin ß = 0,52.
Si assumono i seguenti valori per la resistenza di progetto dei materiali:
fcd = 0,85 × 40/1,5 = 22,7 N mm–2
fctd = 0,30 ×
Fig. 89.
402/3
fsd = 440/1,10 = 400 N mm–2
/ 1,5 = 2,34 N mm–2
Modifica diagramma di calcolo del momento flettente.
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C-400
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 90.
Si calcola:
Verifica a taglio sezione a T.
VcR2 = 0,45 × 2,34 × 200 × 900 = 189,5 E3 N
VsR = 2 × 78,5 (0,80/0,20) (1,65 + 1,00) × 400 × 1,0 = 666,0 E3 N
risulta quindi soddisfatta la relazione VD < (189,5 + 666,0 = 855,5 kN).
La resistenza a compressione delle bielle dell’anima vale:
VcR3 = 0,60 × 22,7 × 200 × 800 × 0,522(1,65 + 1,00) = 1561 E3 N ed è VD << VcR3
L’armatura a flessione necessaria nella sezione verificata a taglio deve essere incrementata
della quantità (67):
∆Asl = 1/2 [850E3 (1,65 – 1,00)] / 400 = 552 mm2
3.10.2.4 Sezioni di forma diversa dalla rettangolare o a T. Per sezioni di forma particolare,
come ad esempio quelle circolari o anulari, valgono le seguenti trasformazioni che le riconducono
ai casi già trattati mediante la definizione di larghezza ed altezza equivalenti be, he (fig. 91):
sezione circolare be = 0,90 d
he = 0,45 d + 0,64(h – d / 2)
Asl = 0,5 As
sezione anulare
be = 0,785 dm + s
he = 0,785 dm + s/2
Asl = 0,25 As
Fig. 91.
Parametri per trasformazione sezioni circolari ed anulari.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-401
3.10.2.5 Casi speciali di verifica.
a) Collegamento delle piattabande all’anima travi a T o I. Nelle travi con sezione a T e a I, la
piattabanda superiore è in generale dimensionata per resistere all’azione di compressione originata
dal momento flettente; le sollecitazioni di compressione sono introdotte nella piattabanda attraverso le tensioni tangenziali trasmesse dall’anima e danno luogo ad azioni trasversali di trazione Nz
(fig. 92).
Nel caso delle travi a I, analogo problema si pone per la piattabanda inferiore, in generale tesa, ed
adottata per consentire l’alloggiamento di armatura e per conferire maggiore rigidezza alla struttura.
b) Appoggio indiretto. Si dà questo caso nell’intersezione di una trave secondaria con una
principale, che fornisce quindi alla prima appoggio indiretto; l’ultima biella compressa della trave
secondaria scarica la propria azione al bordo inferiore di quella principale e richiede quindi armatura di sospensione.
Tutti questi casi si trattano sempre mediante schematizzazione a traliccio effettuata con i criteri precedentemente esposti (fig. 93).
c) Travi tozze. Il caso delle travi tozze mette in evidenza l’esistenza di ampie zone di materiale inerte; per il caso con l = h e carico q distribuito superiormente si ottiene sperimentalmente
forza N i di trazione costante lungo l e pari a N i = 0,20 ql, con retta d’azione posta a 0,09 d dal
bordo inferiore (se tale caso fosse erroneamente trattato con la teoria ordinaria della flessione si
otterebbe Ni = 0,125 ql).
Il comportamento è quindi tipicamente ad arco-tirante che richiede sicuro ancoraggio delle
barre longitudinali sull’appoggio e che viene analizzato con un modello a tiranti e puntoni; analogo modello viene utilizzato in presenza di altri elementi che alterano il regime tensionale, quali
ad esempio ampi fori (fig. 94).
Fig. 92.
Trazione trasversale nella piattabanda superiore.
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C-402
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 93. Schemi delle intersezioni
di trave secondaria e principale.
Fig. 94. Schema resistente
di trave tozza.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-403
d) Mensole. Questo elemento strutturale viene schematizzato mediante tralicci il cui tracciato
è tale da minimizzare l’energia elastica del sistema, tenendo conto della posizione di applicazione
del carico; in pratica si avranno quindi aste tese della minor lunghezza possibile a causa della minor rigidezza delle barre d’acciaio rispetto a quella del calcestruzzo compresso.
Barre di armatura compressa, se orientate in modo razionale e convenientemente staffate per
evitarne l’instabilità, costituiscono direzione preferenziale per i puntoni dello schema a traliccio.
Nella figura 95 si evidenziano gli schemi che meglio approssimano il comportamento delle
mensole in relazione alla posizione del carico e della geometria; il primo con azione dall’alto richiede per la verifica la determinazione di e (possibile eccentricità addizionale non intenzionale)
e l’indagine sull’esistenza anche di forza orizzontale H, mentre il secondo è tipicamente dovuto
all’appoggio indiretto di trave continua, ortogonale al disegno che concentra verso il basso le proprie bielle compresse.
Le condizioni di resistenza sono espresse dalle (69) rispettivamente per i due casi:
a)
b)
hV D + h s H D
N DS = ------------------------------ + H D ≤ [ N SR = A s f sd ]
0.85h
N DS
CD = ---------- a 2 + ( 0.85h ) 2 ≤ [ C R = 0,20 hb f cd ]
a
N DS =
V D2 + CD2 ≤ N SR
(68)
aV D
CD = ------------- ≤ C R
0.80h
In entrambi gli schemi si considera efficiente a compressione una porzione di calcestruzzo di
dimensioni h*b con b = larghezza della mensola, h* = 0,2h; nella determinazione di h è necessario
fare attenzione alla reale altezza, tenendo conto dei diametri delle barre e del copriferro.
L’armatura tesa deve essere sicuramente ancorata e quindi disposta secondo le forme indicate
nella figura 96, la staffatura verticale ha la sola funzione di mantenere in fase di getto l’armatura
nella posizione prevista.
Fig. 95.
Schemi resistenti per mensole: h/a ≤ 2.
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C-404
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 96.
Armature per mensole.
Mensole con rapporti h/a > 2 devono essere verificate per h = 2a, a meno di prevedere barre
compresse staffate disposte secondo le linee di azione di C; questa soluzione richiede di volta in
volta considerazioni particolari concernenti la sezione di acciaio e l’aderenza al calcestruzzo su
lunghezza ridotta e non può quindi essere generalizzata.
e) Esempio. Verificare la mensola nella figura 97 per
fck = 30 MN/m2
fsn = 440 MN/m2
VD = 500 kN
γc = 1,5
γs = 1,10
HD = 100 kN
fcd = 22,7 N/mm2
fsd = 400 N/mm2
si assume eccentricità non intenzionale e = 0,03 m così che a = 0,25 + 0,03 = 0,28 m per la verifica
si può considerare h =2 × 0,28 = 0,56 m.
L’armatura tesa (2 φ 20 + 2 φ 12) ha la sezione As = 2 (314 + 113) = 854 mm2 ed è posta alla
distanza hs = 0,06 m dal bordo superiore.
500 × 0,28 + 100 × 0,08
N DS = ---------------------------------------------------------- + 100 = 311 kN
( 0,85 × 0,56 = 0,47 )
N RS = 854 × 400 = 341,8 E3 kN > NDS
311
C D = ---------0,28
C R = 112 × 300 × 22,7 = 762 E3 kN > C D
0,28 2 + 0,47 2 = 607 kN
con h* = 0,2 × 560 = 112 mm b = 300 mm
L’armatura è quindi disposta come indicato nella figura, tenendo conto delle barre aggiuntive
necessarie per completare la gabbia di armatura.
Controllo distanza baricentro armatura da bordo superiore
ds = 2[ 314 (20 + 8 + 20/2 + 113 × 94]/854 = 53 mm in accordo con il valore assunto nel progetto.
L’altezza della mensola potrebbe essere ridotta al valore h = 0,53 + 0,06 = 0,59 m.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
Fig. 97.
3.10.3
C-405
Verifica di una mensola.
Punzonamento
3.10.3.1 Generalità. Il punzonamento è un tipo particolare di rottura per taglio e flessione che
può intervenire nel caso di carico concentrato diretto o dovuto a reazione di appoggio, applicato
a una struttura bidimensionale (piastra con spessore trascurabile rispetto alle altre dimensioni); rispetto al caso già trattato del taglio il fenomeno si estende attorno alla zona caricata e richiede
studio di problema spaziale anziché piano.
In condizioni di simmetria radiale della struttura nell’intorno del carico la rottura avviene lungo una superficie teoricamente tronco-conica che si sviluppa dal perimetro dell’area caricata attraverso lo spessore della piastra; la pendenza media di tale superficie rispetto al piano della struttura è minore di 30° (fig. 98).
Nel caso di piastre di fondazione, la pressione del terreno agente sulla superficie interna al
perimetro di rottura contrasta direttamente parte del carico trasmesso dalla colonna e quindi la relativa risultante può essere dedotta dal carico totale agli effetti del calcolo della resistenza al punzonamento; si considera in questo caso pendenza media della superficie di rottura prossima a 45°.
Il sistema di azioni in gioco è messo in evidenza dalle seguenti considerazioni:
a) nel caso di piastra indefinita, uniformemente caricata e sopportata da colonne equidistanti
(fig. 99), semplici considerazioni di equilibrio forniscono l’espressione del taglio per unità di contorno v (x) = q (l 2 – 4x2) / 8 x che cresce con legge iperbolica, dal valore nullo per x = l / 2, al diminuire della distanza x dal centro della colonna;
b) con riferimento al caso precedente, nell’intorno delle colonne sussiste una simmetria radiale
per i momenti radiali mr e circonferenziali mθ ; per r = 0,22 l si ha mr = 0;
c) secondo le considerazioni riportate in b, è possibile isolare una porzione circolare della piastra, di raggio r = 0,22l, concentrica alla colonna, e seguirne l’evoluzione al crescere del carico,
supposto per semplicità distribuito sul contorno esterno.
Per valori del carico che producono momenti radiali inferiori a quelli corrispondenti alla fessurazione, lo schema strutturale e le azioni flettenti sono riportati nella figura 100a; per valori maggiori del
carico si osserva la formazione di fessura circonferenziale sul bordo della colonna con conseguente ri-
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C-406
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 98.
Fig. 99.
Schemi di rottura per punzonamento.
Azioni taglianti in piastra indefinita sopportata da colonne.
Fig. 100.
Andamento azioni flettenti e schemi strutturali.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-407
duzione della rigidezza radiale che, al limite, individua lo schema strutturale della figura 100b, in cui
nella zona sovrastante la colonna sono nulli gli incrementi del momento flettente radiale ∆mr .
In questa seconda configurazione l’equilibrio è assicurato dai momenti circonferenziali mθ
che assumono valori elevati, dando origine ad un sistema radiale di fessure; a causa del valore limitato del momento radiale mr , pure le curvature radiali sono limitate e non è possibile una sostanziale ridistribuzione del carico.
3.10.3.2 Caso senza armatura trasversale.
Schema teorico. Nel caso di supporto circolare e con carico assialsimmetrico lo schema resistente a tiranti e puntoni è rappresentato nella figura 101; ad ogni nodo superiore ed inferiore sono
applicate anche le risultanti delle azioni circonferenziali Hθs , Hθi .
Valutazione numerica. Si individua una linea piana, che definisce l’intersezione della superficie di
controllo, che si sviluppa verticalmente sullo spessore, con la superficie orizzontale della piastra (fig. 102).
La forma di tale linea, priva di concavità, è assunta come luogo dei punti aventi distanza minima 0,5 hm
dal contorno dell’area caricata (hm = (hx + hy)/2 distanza media delle armature dal bordo compresso).
Per colonna rettangolare di lati a, b il perimetro di tale linea ha lunghezza u = 2 (a + b) +
+ 4 hm mentre, per colonna circolare di diametro D, u = (D + hm) π.
Lungo tale linea si definisce un’azione resistente di punzonamento di progetto,
V cR = τ rd uh m
(69)
La sollecitazione nominale resistente di taglio τRD è definita come:
τ rd = 0,12ξ ( 100 ρ f ck )
1/3
( f ck in N/mm 2 )
(70)
hm = (hx + hy) / 2.
in cui ξ = 1 + ( 200/h m )1/2 è un fattore, funzione dell’altezza utile hm espressa in mm, che tiene
conto della dipendenza dallo spessore della forma della superficie di rottura
La percentuale di armatura ρ è definita come media aritmetica di quelle relative alle due direzioni ortogonali secondo cui è normalmente disposta l’armatura (giova ricordare che l’armatura
da mettere in conto è soltanto quella disposta in corrispondenza del lembo opposto a quello ove
agisce la reazione concentrata); si considerano le barre comprese entro la distanza 1,5 hm dal contorno della colonna e si pone il limite ρ ≤ 0,03 al valore da introdurre nella formula.
Fig. 101.
Schema resistente in assenza di armatura trasversale.
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C-408
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 102.
Perimetro di verifica.
Non appare esplicitamente la resistenza caratteristica di snervamento dell’acciaio che deve comunque essere assunta minore di 425 N/mm2 per la verifica collaterale a flessione che deve essere effettuata al bordo dell’area caricata.
3.10.3.3 Caso con armatura trasversale.
Schema teorico. L’armatura trasversale, disposta in posizione tale da attraversare la potenziale
superficie di rottura, ha lo scopo di bilanciare le forze di trazione nel calcestruzzo; se l’armatura
è correttamente dimensionata ed estesa fino ad opportuna distanza dalla zona caricata, il carico di
collasso aumenta rispetto a quello del caso precedente e la superficie di rottura diviene pressoché
cilindrica con raggio ridotto ed in generale coincidente con quello dell’impronta del supporto.
Lo schema resistente a tiranti e puntoni è riportato nella figura 103.
L’armatura può essere costituita sia da staffe, sia da ferri piegati, sia da elementi in carpenteria metallica composti con un piatto a cui sono saldati chiodi Nelson (fig. 104).
Per evitare la rottura delle bielle compresse di calcestruzzo che convergono sull’area caricata
deve essere posto un limite alla percentuale di armatura a taglio realmente utilizzabile per aumentare la resistenza al punzonamento.
Valutazione numerica. Per il dimensionamento pratico si procede come segue: la piastra attorno al supporto è divisa in zone di ampiezza 1,5 hm, sovrapposte per 0,75 hm; per ognuno dei
contorni esterni di tali zone aventi perimetro u variabile si controlla se la resistenza del solo cal-
Fig. 103.
Schema resistente con armatura trasversale.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
Fig. 104.
C-409
Ripartizione e tipologia armature trasversali.
cestruzzo è sufficiente; in caso contrario, sia sul perimetro esterno che su quello interno, si aggiunge armatura che fornisce un contributo aggiuntivo a quello del calcestruzzo (71)
V sR = A t f sd sin α
α inclinazione sulla orizzontale della armatura
At area metallica su un solo perimetro
(71)
La posizione del primo ordine di armature può cadere entro una striscia di larghezza 0,5 hm; la
tensione di progetto dell’acciaio deve essere limitata a σs ≤ 300 N mm–2 e deve comunque essere
VsR ≤ 0,60 VcR (fig. 105).
Esempio. Verificare la resistenza al punzonamento di piastra di fondazione di dimensioni
2,00 × 3,00 × 0,30 soggetta al carico concentrato di 560 kN trasmesso da una colonna di dimensioni 0,30 × 0,45 m, rappresentata nella figura 106.
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C-410
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 105.
Disposizione armature trasversali.
Fig. 106.
Verifica al punzonamento.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-411
I materiali sono caratterizzati da fck = 30/N/mm2, fsd = 440/1,10 = 400 N/mm2, con hx = 0,27 m,
hy = 0,25 m, risulta hm = 260 mm, ξ = 1 + 200/260 = 1,877 .
Il perimetro di punzonamento vale u = 2(0,30 + 0,45) + 4 × 0,26 = 2,54 m e definisce in pianta
l’area (0,45 + 0,26) × (0,30 + 0,26) = 0,398 m2.
Considerando a favore di sicurezza la reazione media del terreno σT = 560/3,0 × 2,0 = 93 kN/m2,
l’azione di punzonamento di progetto vale VD = 560 – 93 × 0,398 = 523 kN.
Considerando le barre comprese nelle strisce di larghezza
ly = 2 × 1,5 × 0,30 + 0,30 = 1,20 m con hy = 0,27 m
lx = 2 × 1,5 × 0,30 + 0,45 = 1,35 m con hx = 0,25 m
si ottengono le percentuali di armatura con As = π cm2 (barre d 20 mm)
ρx = 7 π/120 × 27 = 0,0068
ρy = 5 π/135 × 25 = 0,0047
da cui la media ρm = 0,0057 risulta anche:
τ rd = 0,12 × 1,877
3
2
100 × 0,0057 × 30 = 0,580 N mm –2 = 580 kN m
L’azione resistente di punzonamento vale VR = 580 × 2,54 × 0,26 = 383 kN < VD .
È necessaria armatura metallica verticale di sezione: At = (523 – 383) / 300000 = 4,66 E – 4 m2;
la soluzione è possibile perché risulta VsR = 140kN < 0,60 × 383 = 230 kN.
La distanza d alla quale non è più necessaria la staffatura è determinata dalla relazione
u = 523/580 × 0,26 = 3,47 m da cui: d = [3,47 – 2(0,30 + 0,45)]/8 = 0,25 m.
Prevedendo l’uso di 4 staffe d 8 a due braccia e senza effettuare riduzione di diametro all’aumentare della distanza d, con At = 4E – 4 m2, essendo zi = 0,75 × 0,26 = 0,20 m, la disposizione
dell’armatura risulta dalla figura 106.
3.10.4
Torsione
3.10.4.1 Modalità di rottura. In generale un’azione torcente esterna T è equilibrata da un momento torcente interno T1 (torsione primaria) e da uno stato tensionale longitudinale dovuto
all’impedito svergolamento delle sezioni.
Non appena si manifesta fessurazione, si annullano le tensioni longitudinali di trazione e
quindi l’effetto dell’impedito svergolamento non è di importanza fondamentale per la verifica allo
stato limite di rottura, purché si consideri l’intero valore dell’azione torcente senza tenere conto
del contributo della torsione secondaria.
Al crescere dei carichi, la fessurazione, avente andamento elicoidale attorno alla trave, si
estende limitatamente (a volte con inclinazione differente da quella iniziale), ma cresce l’apertura
delle lesioni; raggiunto lo snervamento delle armature (longitudinali e staffe), l’angolo di torsione
φ cresce molto rapidamente fino alla rottura che può avvenire sia per cedimento delle sezioni del
calcestruzzo compresso delimitate da fessure contigue, sia per strappamento dell’armatura longitudinale e/o delle staffe.
Nel caso di sezioni piene, si osserva il distacco dal nucleo centrale (che rimane poi inerte) di
uno strato esterno di calcestruzzo contenente le armature; questo fenomeno evidenzia anche a rottura la concentrazione delle tensioni verso il perimetro esterno e suggerisce lo studio di una trave
a cassone, di spessore opportuno, equivalente a quella piena considerata.
L’andamento a spirale delle lesioni mostra angoli ß pressoché costanti su tutte le facce, con
valore della tangente compreso fra i limiti 1/2 ≤ tan ß ≤ 2; sia le armature longitudinali che
quelle trasversali (staffe) ortogonali alle prime risultano tese con forze rispettivamente Fsl ed
Fst , mentre gli elementi in calcestruzzo compresi fra le lesioni risultano compressi da forze Fc
(fig. 107).
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C-412
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 107.
Elementi resistenti a rottura.
3.10.4.2 Schema di calcolo. In analogia alla trattazione della rottura per taglio e per poter studiare in modo unitario e congruente anche i casi frequenti di azioni contemporanee di torsione,
flessione e taglio, la trave viene schematizzata con un traliccio spaziale in cui i correnti sono formati dalle armature poste ai vertici della sezione, le aste di parete sono costituite da bielle compresse di calcestruzzo avvolte ad elica con angolo ß costante su tutte le facce e dalle staffe tese
poste ad interasse t.
Nel caso della sezione cava un flusso di tensioni tangenziali τbe, invariabile lungo l’asse, costituisce un campo staticamente ammissibile per il caso della torsione T = costante; indicando con
Ao l’area della figura individuata dai vertici posti in corrispondenza delle armature longitudinali, e
con be lo spessore della parete della trave ideale a cassone, la relazione precedente si scrive
τbe = T/2Ao (fig. 108).
La risultante C delle compressioni oblique nel calcestruzzo, dovute alla risultante V = τbe hl
delle tensioni tangenziali τ agenti su una parete della trave vale, posto be = d0 /6 (d0 = diametro
del cerchio massimo iscritto nel poligono che congiunge le armature longitudinali):
T hl
- = σ c β b e h l cos β
C = V ⁄ sin β = τ b e h l ⁄ sin β = --------------------2 A o sin β
e conseguentemente si ottiene la relazione
T = A o b e σ c β sin 2 β
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
Fig. 108.
C-413
Trave equivalente a cassone, equilibrio delle forze.
C
2τ
ed anche σ cβ = --------------------------- = ---------------sin 2 β
b e h l cos β
Fissato, con criteri esposti nel seguito, un valore massimo f *cd della resistenza a compressione
del calcestruzzo, si ottiene il corrispondente valore limite del momento torcente (71).
T CR = f*cd A o b e sin 2 β
(71)
Le forze nelle barre superiori ed inferiori di una faccia hanno intensità H = τ be hl ctg β e
quelle nella singola staffa, posta ad interasse t,
Vt
N st = ------------------ = τ b e t tan β
h l ctg β
Estendendo il calcolo a tutte le facce della sezione si ottiene la risultante Nl di tutte le forze
agenti nelle barre:
N l = ΣH = τb e ctg β Σ h l = τ b e u ctg β
sostituendo al flusso τbe la quantità equivalente T/2Ao si ottiene (72):
Tu ctg β
N l = ------------------2 Ao
Tt
N st = --------- tan β
2 Ao
(72)
con u perimetro dell’area Ao .
L’armatura longitudinale e le staffe sono quindi in grado di resistere a momenti torcenti massimi rispettivamente definiti da (73):
Al
T lR = 2 A o tg β ----- f sld
u
A st
T stR = 2 A o ctg β ------- f std
t
Al = area armatura longitudinale
Ast = area della singola staffa
t = interasse delle staffe
fsld , fstd = sollecitazioni di snervamento di progetto dell’armatura longitudinale e delle staffe
(73)
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C-414
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Si osserva che le espressioni dei momenti torcenti limite sopportabili dall’armatura longitudinale e dalle staffe sono indipendenti dalle dimensioni be , h della sezione così che gli sviluppi
analitici riportati per una faccia verticale della trave sono validi anche per la faccia opposta e per
quelle orizzontali.
Analogamente al caso dell’azione tagliante, anche il calcestruzzo teso contribuisce alla resistenza fornita dalle staffe in misura decrescente con lo stato di fessurazione.
Nell’ipotesi di raggiungimento dello snervamento contemporaneamente nella totalità delle barre longitudinali e nelle staffe, e precedentemente alla rottura del calcestruzzo, si ottiene il valore
limite a rottura del momento torcente (74):
T sR = T lR = T tR
(74)
a cui corrisponde
tg β =
u A
1
-----------st- con ------ ≤ tg β ≤ 2;
2
t A sl
f sld = f std = f sd
e quindi
T sR = f sd
A sl A st
---------------ut
3.10.4.3 Verifiche. Per quanto sopra esposto si deve controllare che il momento, torcente di
calcolo TD sia contemporaneamente minore dei momenti resistenti forniti dal calcestruzzo, dalle
staffe e dall’armatura longitudinale:
TD ≤
 T
 CR

 T ctR

T
 lR
+ T stR
(75)
in cui:
T CR = 0.5 f cd A o b e sin 2 β
rappresenta il massimo contributo delle bielle compresse di calcestruzzo,
A st
T stR = 2 A o ctg β ------- f std
t
(76)
rappresenta il massimo contributo delle staffe, di area Ast, poste ad interasse t e con sollecitazione
di snervamento di calcolo fstd ,
 5 Tcto

TctR =  0

TD 

 5 T cto  1.5 – ----------------10 T cto 

(TD ≤ 5Tcto)
(TD ≥ 15Tcto)
(77)
(variazione lineare per valori intermedi di TD)
rappresenta il contributo del calcestruzzo teso con Tcto = 0,25 fctd A o h* h* = min (hl , bl )
Al
T lR = 2 A o tg β ----- f sld
u
(78)
rappresenta il massimo contributo delle barre di armatura longitudinale.
L’armatura deve essere disposta in modo che l’azione assiale delle bielle compresse di calcestruzzo possa confluire nei nodi del traliccio spaziale individuati dall’incrocio fra le staffe e l’ar-
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
Fig. 109.
C-415
Dettagli di contenimento e ancoraggio delle armature.
matura longitudinale; la pressione esercitata dalle bielle di calcestruzzo può inflettere le barre longitudinali disposte nei vertici della sezione provocando il distacco di una porzione di calcestruzzo
se il diametro di queste è esiguo o se le staffe sono ad interasse eccessivo.
Per questo motivo e per limitare la fessurazione, è bene risulti t < hl /2 con hl distanza minima fra le barre d’angolo; analogamente le barre longitudinali devono essere sicuramente ancorate all’estremità per riprendere le spinte, altrimenti «a vuoto», delle bielle di calcestruzzo
(fig. 109).
3.10.4.4 Effetto di azioni concomitanti. Poiché la torsione è normalmente associata alle azioni
di flessione e di taglio, il caso precedentemente trattato della torsione pura non si presenta quasi
mai nella realtà.
La trattazione del problema viene effettuata sovrapponendo le tre azioni ed introducendole
nello schema a traliccio, previa individuazione dei flussi delle azioni tangenziali agenti sulle facce
della trave (fig. 110) e nell’ipotesi di poter confondere la distanza hl fra le barre ai vertici con il
lato a dell’intera sezione.
lato 1
+ V be
( τ be ) 1 = T
------------------2 Ao
T
lati 2,4 ( τ be ) 2.4 = --------2 Ao
lato 3
(79)
– V b-e
( τ be ) 3 = T
-----------------2 Ao
Le componenti di compressione nel calcestruzzo originate dei flussi di cui sopra hanno in generale inclinazioni βi diverse per ogni faccia della trave.
Presupponendo lo snervamento contemporaneo di tutti i lati delle staffe di area costante Ast,
si ottiene per ogni faccia il valore limite
N st = τb i tg β i = A st f sd
276-472_CAP_03_C Page 416 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-416
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 110.
Azioni concomitanti di torsione, flessione e taglio.
tτb
ossia ctg β i = ---------i ed introducendo in questa espressione i flussi sopra calcolati, è possibile deN st
terminare i valori dell’angolo βi relativo ad ogni faccia mediante le relazioni:
t ( T + 2 V be )
ctg β 1 = ------------------------------2 A 0 N st
Tt
ctg β 2 = ctg β 4 = -------------------2 A 0 N st
t ( T – 2 V be )
ctg β 3 = ----------------------------2 A 0 N st
th l
e posto F = ----------------- si ottengono le armature longitudinali addizionali a quelle necessarie a flessione.
N st f sd
( τb e ) 1 h l ctg β 1
T + 2V b e 2
T – 2V b e 2
T 2
= F  ----------------------- A l2 = A l4 = F  --------- A l3 = F  ---------------------- (80)
A l1 = -------------------------------------




2
A
2
A
2 Ao 
f sd
o
o
Tali armature sono relative agli estremi delle singole facce della trave e, in zona tesa, devono
essere aggiunte a quelle calcolate per la flessione; in zona compressa l’armatura totale
Al1 + Al2 + Al3 + Al4 può essere ridotta della quantità Md / hfsd corrispondente al contributo del calcestruzzo ma deve essere assicurata distribuzione ai vertici proporzionale alle sezioni necessarie
Al,i+Al,i+1.
Per il calcestruzzo compresso delle anime, la sovrapposizione degli effetti della torsione e del
taglio, consente di calcolare (τbe)mx , di determinare σc = 2τ/sin 2β e quindi controllare che risulti,
in presenza di fessurazione σc < 0,5 fcd .
276-472_CAP_03_C Page 417 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-417
In alternativa si fissa β costante per tutte le facce e si effettua per tale valore il dimensionamento delle armature longitudinali e delle staffe; per minimizzare il consumo di acciaio in genere
si pone tan β = 3/5.
Si ottengono quindi rispettivamente le armature longitudinali, le staffe e le tensioni nel calcestruzzo, come ordinato nel seguente schema (81).
Lato
Moltiplicatore
Costante
1
T + 2V b e
----------------------2 Ao
2,4
T
--------2 Ao
3
T – 2V b
----------------------e
2 Ao
Al
Ast
σc
h ctg β
----------------f sd
t tan β
---------------f sd
2
---------------------b e sin 2 β
(81)
3.10.4.5 Esempio. Calcolare il momento torcente limite per la trave indicata nella figura 111 e composta con calcestruzzo caratterizzato da fck = 45 N mm–2 e quindi, con γc = 1,5; fcd = 30 [N/mm2] ed armata con barre di acciaio con fsd = 440/1,10 = 400 N/mm2
Risulta fctd = 0,24 × (452)1/3/1,50 = 2,02 N/mm2 = 2020 kN/m2
Si calcola
Ao = (0,40 – 2 × 0,04) (0,30 – 2 × 0,04) = 0,070 m2
be = 0,22/6 = 0,037 m
u = 2(0,32 + 0,22) = 1,08 m
Il massimo contributo del calcestruzzo a trazione risulta, con Tcto = 0,25 × 2020 × 0,070 × 0,22 =
= 7,8 kN m
5 × 7,8 = 39 kN m
per T ≤ 39 kN m
TctR =
58,5 – T/2 kN m
per T ≤ 117 kN m
Risulta anche
Tcr = 0,5 × 30 000 × 0,070 × 0,037 × sin (2β) = 38,85 sin 2 β kNm
TstR = 2 × 0,070 × 0,5 E – 4 × 400 000 ctg β/0,10 = 28,00 ctg β kNm
T1R = 2 × 0,070 × 4 × 2,0 E – 4 × 400 000 tan β/1,08 = 41,48 tan β kNm
Fig. 111.
Verifica a torsione.
276-472_CAP_03_C Page 418 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-418
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
e quindi per i valori di tan ß sotto riportati si ottiene:
tan ß
3/5
1,00
5/3
TcR
34,28
38,85
34,28
T stR + T ctR
57,11
44,66
37,20
TlR
24,89
41,48
69,13
Il momento limite massimo che soddisfa a tutte le condizioni, ed è determinato dalla rottura
delle bielle compresse di calcestruzzo, risulta per tan β = 1,00:
TR = 38,85 kN m
3.10.5
Perdita di aderenza
3.10.5.1 Generalità. L’effetto denominato globalmente «aderenza» che consente l’interazione,
tramite tensioni tangenziali τa, fra le barre di acciaio ed il calcestruzzo risulta dovuto alla sovrapposizione di due effetti complementari costituiti dall’adesione e dall’attrito; il primo ha origine
chimico-fisica e si sviluppa con la maturazione del calcestruzzo, il secondo, essenzialmente di origine fisica, dipende dallo stato della superficie della barra e dalla resistenza del calcestruzzo.
Al crescere di τa indotta da aumento dell’azione assiale in una barra, si osserva un primo intervallo in cui essendo efficiente l’adesione non vi è scorrimento fra questa ed il calcestruzzo; seguono poi intervalli con scorrimenti crescenti dovuti alla mobilitazione di forze di attrito associate
ad un complesso campo di tensioni nel calcestruzzo (fig. 112).
Per barre lisce o peggio sporche il contributo dell’attrito è limitato e devono essere previsti
opportuni ancoraggi (fig. 112) (ad uncino (2) o a cappio) alle estremità oppure con barre trasversali saldate (1); tali predisposizioni vengono attuate anche per barre nervate quando è necessario
ridurre la lunghezza di ancoraggio.
Attorno ai risalti delle barre nervate nel calcestruzzo si ha sollecitazione di compressione
obliqua, associata a trazione circonferenziale che, per elevati valori di τa , superata la resistenza a
trazione fct, dà luogo ad un sistema di microfessure radiali attorno alle barre (fig. 113).
In questo secondo stadio l’aderenza dipende quindi dalla resistenza a trazione del calcestruzzo, dalla posizione della barra nel getto, dal copriferro, dalla presenza di altre barre parallele ravvicinate e di staffatura che attraversi la zona di tensioni circonferenziali offrendo un confinamento
alle relative dilatazioni.
La resistenza a compressione del calcestruzzo interviene per contrastare le sollecitazioni indotte dai risalti delle barre nervate; per questo ultimo motivo è importante la forma ed il passo dei
risalti delle barre, per i quali si definisce l’area relativa
k A r sin β
a r = --------------------π d cs
con: k
Ar
ß
d
cs
numero dei risalti sulla circonferenza
area della sezione di un risalto sul suo piano longitudinale
angolo fra asse risalto e asse barra
diametro nominale della barra
distanza fra i risalti
Numerose prove hanno evidenziato che il valore ottimale di ar risulta come segue:
ar
≥ 0,040
≥ 0,045
≥ 0,055
4 ≤ d < 6 mm
6 ≤ d < 12 mm
50 ≤ d < 50 mm
e che, a parità di ar , hanno migliore comportamento le barre con piccoli risalti ravvicinati.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
Fig. 112.
Fig. 113.
Ancoraggio delle barre.
Tensioni nel calcestruzzo attorno a barra nervata.
C-419
276-472_CAP_03_C Page 420 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-420
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
3.10.5.2 Analisi teorica. Indicando con udx la superficie di un tratto di barra di lunghezza dx,
la variazione di tiro nell’armatura vale As dσs = τa udx
A s dσ s
da cui τ a = ----- -------u dx
As d 2 σs
dτ a
ossia -------- = ----- ---------dx
u dx 2
che esprime la coincidenza del flesso di σs con il massimo di τa (fig. 114)
Per barre circolari di diametro d, la relazione precedente diviene
dσ
4
--------s = --- τ a ( x )
d
dx
mentre per l’equilibrio nel calcestruzzo che circonda la barra risulta
dσ
– dσ
---------c = ------------s
dx
dx
così che la variazione di scorrimento ds fra barra e calcestruzzo sul tratto dx è espressa dalla differenza fra le deformazioni dell’acciaio e del calcestruzzo ossia vale:
σs ( x ) σc ( x )
ds
- – ------------------ = -----------dx
Es
Ec
ossia, tenendo presente la precedente,
4τ a
E s A s
d2 s
-------2- = ---------  1 + -----------Esd 
E c A c
dx
Determinando sperimentalmente la relazione τa = f (s) fra l’aderenza e lo scorrimento della
barra ed assumendone l’indipendenza dalla posizione (individuata con x) ed introducendo le variabili adimensionali ξ = --x- , S = --s- ossia ponendo τa (x) = f [S (ξ)], si ottiene (82):
d
d
E s A s
4
d2 S
--------2 = Kf [ S ( ξ ) ] K = ----------  1 + ----------(82)
Es d 
E c A c
dx
equazione differenziale nello scorrimento S (ξ), che, integrata con le opportune condizioni al contorno consente poi di ricavare τa (x) e quindi σs; si ritiene normalmente accettabile per questo caso la costanza del rapporto Es / Ec al variare delle tensioni.
3.10.5.3 Valori limiti dell’aderenza – lunghezza ancoraggio.
renza nelle condizioni migliori può essere assunta:
τad = ß1 ß2 ß3 fctd
La sollecitazione limite τad di ade(83)
con fctd resistenza a trazione di progetto del calcestruzzo e con
 1,0 per barre lisce
β1 =  1,2 per trefoli a 7 fili
 2,25 per barre nervate

 1,0 per buone posizioni dell’armatura nel getto (*)
β2 = 
 0,7 negli altri casi
(*) Le barre sono in condizione di buona aderenza quando si trovano immerse nel getto con un battente di almeno 0,25 m, oppure sono inclinate sull’orizzontale di un angolo compreso fra 45° e 90°; le barre superiori
(rispetto alla direzione di geott) sono in condizione di aderenza ridotta prudentemente al 70%, a causa della naturale menomazione delle caratteristiche di resistenza del calcestruzzo verso la superficie.
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VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
Fig. 114.
C-421
Andamento delle tensioni di aderenza.
 1,0 per diametro delle barre minore di 32 mm

β3 =  132 – d
- ( d > 32 mm )
 ----------------100

La lunghezza base di ancoraggio las è quella necessaria per trasferire la massima risultante
delle tensioni fsd dell’armatura di diametro d e vale quindi:
d f
l as = ------- ------sd4 τ ad
(84)
276-472_CAP_03_C Page 422 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-422
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 115.
Coefficienti per uso formula (85).
La lunghezza di ancoraggio di progetto dipende dalle piegature della barra, dal confinamento
del calcestruzzo e dalla presenza di campi di compressione favorevoli, quali ad esempio quelli
originati da reazione di appoggio, ed è espressa dalla relazione (85):
l sd = l as α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 ≥ l amin
(85)
I coefficienti α1 → α5 hanno sempre valore 1,00 salvo nelle ricorrenze dei casi riportati nella figura 115 ed inoltre deve essere:
per barre nervate α3 α4 α5 > 0.70
per barre lisce
α3 α4 α5 > 1.00, mentre si pone
max [0,30 las , 10 d, 100 mm]

lamin = 
 max [0,60 las , 10 d, 100 mm]
barre
 compresse

 tese
Per acciaio con fsd = 400 N mm–2 e calcestruzzo con fck = 25 N mm– 2 così che
25
f ctd = ( f ctk,min ) ⁄ γ c = 0,95  ------
 10
2/3
⁄ 1,5 = 1,17 N mm –2
avendo definito con la (83) e per β1 = β2 = β3 = 1,00, la τad limite, la lunghezza base di ancoraggio
di una barra nervata di diametro inferiore a 32 mm, in buona posizione rispetto al getto vale 38 d.
Analogamente per una barra liscia nelle stesse condizioni e con fsd = 300 N mm–2 la lunghezza
base di ancoraggio è pari a 68 d.
3.10.5.4 Giunzione delle barre. Per la lunghezza di sovrapposizione delle barre, le cui giunzioni devono essere sfalsate, si assume il precedente valore di la moltiplicato per un coefficiente α6
che varia da 1,2 a 1,8 in funzione della variazione da 20% a 50% della percentuale delle barre
giuntate rispetto al totale; per barre distanti oltre 5 d dai bordi della trave il coefficiente α6 varia
da 1,1 a 1,4 a causa del confinamento prodotto dalla massa di calcestruzzo.
276-472_CAP_03_C Page 423 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER IL TAGLIO, PUNZONAMENTO, TORSIONE
C-423
La distanza mutua fra due barre sovrapposte non deve risultare superiore a 4 d; in corrispondenza delle giunzioni è bene prevedere armatura trasversale di sezione pari a 0,20 quella delle
barre longitudinali (le staffe possono essere prese in conto).
3.10.5.5 Ancoraggio armature presollecitate. Nel caso di armature presollecitate, aderenti normalmente ancorate nei tratti terminali delle travi in presenza di azioni flettenti e taglianti, il problema del trasferimento al calcestruzzo della pretensione è sovrapposto a quello dell’insorgere di
tensioni dovute alle azioni esterne; inoltre si devono considerare le caratteristiche di aderenza differenti da quelle delle barre normali per lo stato e la forma delle superficie.
Sono inoltre influenti il sistema di rilascio della tensione ed il verso dell’azione applicata
all’armatura attiva: l’ancoraggio migliora per tiro crescente dall’estremità libera verso l’interno
della massa di calcestruzzo a causa delle pressioni radiali originate dalla tendenza dell’acciaio al
ritorno alle dimensioni della sezione primitiva, successivamente ridotta dalle deformazioni trasversali indotte dalla pretensione (effetto Hoyer).
La tecnologia si è orientata in questi ultimi anni verso i trefoli che hanno quasi ovunque soppiantato altri tipi di armature presollecitate; per questo tipo di acciaio, purché posto in opera con
copriferro non inferiore a 3 d, la lunghezza base di ancoraggio allo sfilamento può essere assunta
sulla scorta dei seguenti parametri:
A pt f pd
l ap = -----------------π d τ ap
τ ap = 1,20 ⋅ 0,70 f ctd
(86)
con fpd = fak /1,15 tensione massima di progetto a rottura e Apt = sezione dell’acciaio presollecitato;
per il calcolo di lap si deve considerare la resistenza del calcestruzzo all’atto del rilascio dei trefoli (nel caso di trefoli a 7 fili si assume Apt/πd = 7d/36).
La lunghezza di trasmissione della presollecitazione, che viene considerata per il calcolo delle
azioni trasversali nel calcestruzzo, è definito da:
σ pi
l apt = α s α g α w ⋅ -------- ⋅ l ap
f pd
con αs =
1,0 rilascio graduale
1,25 rilascio improvviso (taglio del trefolo)
αg =
1,0
0,5
per tenere conto del contributo a flessione e taglio
per tenere la verifica delle sezioni trasversali
αw =
0,5
0,7
per trefoli
per fili dentali o piegati
σ pi è la tensione nell’acciaio dopo il rilascio
La lunghezza di ancoraggio di progetto, da considerare nelle verifiche è definita da:
σ pd – σ p
l apd = l apt + l ap -------------------f pd
(85)
con [ σ pd ≤ f pd ] – σ p = tensione nell’acciaio presollecitato dovuto alla azioni esterne.
Ad esempio un trefolo di diametro nominale 15 mm, con fpd = 1860/1,15 = 1610 N/mm2, sezione Apt = 140 mm2, preteso con σ pd = 1350 N mm–2 e rilasciato gradualmente entro calcestruz7 ⋅ 15 ⋅ 1610
zo con fck = 35 N mm–2, ha la lunghezza base di ancoraggio, lap = ------------------------------ = 3850 mm essendo
36 ⋅ 1,22
2/3
35
τap = 1,20 × 0,7 × 0,95  ------ / 1,5 = 1,22 N mm–2.
 10
276-472_CAP_03_C Page 424 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-424
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
La lunghezza di trasmissione rivolta
1350
lapt = 1,0 · 1,0 · 0,5 · ------------ · 3850 = 1614 mm
1610
e quello di ancoraggio di progetto, assumendo ad esempio
σ pd – σ p = N/mm2,
risulta:
200
l apd = 1614 + 3850 ⋅ ------------ = 2092 mm
1610
Per il caso dello sfilamento la lunghezza di ancoraggio di progetto lad coincide con quella base lap .
Indicando con δ il rientro del trefolo nel calcestruzzo dopo il rilascio, ossia il valore massimo
dello slittamento rispetto al calcestruzzo, si può anche esprimere la lunghezza di ancoraggio come
l aδ = 2.00 δ E p ⁄ σ p .
Ad esempio con δ = 4,5 mm, Ep = 196 000 N mm–2, σ p = 1350 N mm –2 si ottiene laδ = 1307 mm.
La lunghezza di ancoraggio necessaria per evitare lo sfilamento di un trefolo sollecitato a rottura, in assenza quindi dell’effetto Hoyer, è in generale proporzionale ad lap secondo un moltiplicatore α che viene assunto pari a:
 1,4 per carichi statici

α =  1,5 per ponti stradali
 1,6 per ponti ferroviari

 1,8 nel caso di richiesta resistenza al fuoco(*)
Quanto sopra è valido in assenza di fessurazione del calcestruzzo nella zona di ancoraggio e
quindi si deve accertare che alla distanza lpd dell’estremità della trave risulti la tensione σcp (originata al livello dell’armatura pretesa dall’azione flettente di progetto MD = MGD + MQD + MPD) inferiore alla resistenza di progetto a rottura a trazione del calcestruzzo:
σcp (MD) < fctd
Nel caso in cui tale disuguaglianza non sia verificata, si determina la distanza lf alla quale si
ha formazione di fessurazione per effetto di MD e si calcola la sollecitazione σpl nell’acciaio preteso e nell’armatura lenta per effetto di MD e della componente orizzontale della risultante delle
compressioni dovute al taglio VD agenti nella biella inclinata di calcestruzzo che termina inferiormente nella sezione di verifica (fig. 116):
M
V D l 1
1
-----------------σ pl =  -------D- + ---------- z
h  A p + As
(88)
si assume poi
l1 = h
in presenza di staffatura
l1 = 1,5h in assenza di staffatura
si calcola poi la lunghezza ld necessaria per ancorare sicuramente l’armatura attiva per la tensione
σp = σ p + σpl; se ld < lf l’ancoraggio avviene in zona non fessurata ed è quindi efficiente, mentre
in caso contrario è necessario aumentare la lunghezza lf oppure aumentare l’armatura lenta per ridurre σpl . La verifica precedente deve essere comunque effettuata in corrispondenza dell’appoggio
con σp = VDl1 / h(As + Ap), MD = 0 ove si assume il valore ridotto ld = 2/3 lap per tenere conto del
favorevole effetto della reazione di appoggio sull’ancoraggio; deve ancora risultare lf < ld .
(*) In questo caso è anche necessaria cerchiatura a spirale attorno al trefolo sulla lunghezza lpd e dimensionata
per resistere a 0,10 σ p A pt .
276-472_CAP_03_C Page 425 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ALTRI STATI LIMITE
Fig. 116.
3.11
3.11.1
C-425
Principio verifica.
ALTRI STATI LIMITE
Resistenza a fatica
3.11.1.1 Natura del fenomeno. Deve essere considerato l’effetto sui materiali della ripetizione
dei carichi con occorrenza superiore a 104 per il periodo di servizio della struttura; si osserva un
progressivo danneggiamento delle parti interessate, con conseguente riduzione del modulo elastico
del calcestruzzo e ridistribuzione delle tensioni verso le parti più integre, e con un aumento delle
deformazioni.
L’armatura non mostra in generale segni esteriori di degrado ma il danneggiamento della
struttura molecolare conduce a rottura quasi improvvisa.
La resistenza al sisma, che pure è basata sul massimo possibile danneggiamento, presenta diverse caratteristiche ed è trattata in C-3.10.3.
Il danneggiamento è quantificabile in funzione dei seguenti parametri indipendenti:
a) livello della sollecitazione massima;
b) intervallo fra sollecitazione massima e minima;
c) numero dei cicli.
È evidente che quando il livello della sollecitazione massima è pari alla resistenza a rottura
del materiale, il numero dei cicli possibili è 1.
Per meglio evidenziare la relazione intercorrente fra i parametri elencati, si fa ricorso alle
curve N, S, che rappresentano il comportamento del materiale risultante da una regressione applicata a risultati sperimentali.
Se tali curve sono rappresentate in coordinate cartesiane, riportando in ascissa il logaritmo in
base 10 del numero dei cicli (LogN) ed in ordinata il rapporto (σmax – σmin) / fm = S fra l’intervallo
delle sollecitazioni massime e minime e la resistenza media a rottura del materiale, il grafico risultante è costituito da una serie di segmenti rettilinei ognuno dei quali corrisponde a valori diversi di σmax (σm1, σm2, σmn) (fig. 117).
La correlazione fra le variabili che influenzano il fenomeno è espressa per il calcestruzzo dalla (89) (nel seguito per semplicità di scrittura le tensioni di compressione nel calcestruzzo sono
assunte positive):
– σ min + σ max
σ c max
- log N con β = 0,064 ÷ 0,080
------------- = 1 – β -----------------------------(89)
σ max
f cm
Nei casi in cui è verificata la resistenza a rottura secondo il metodo degli stati limite, non si
hanno menomazioni per fatica in servizio qualunque sia l’intervallo delle tensioni di esercizio per
276-472_CAP_03_C Page 426 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-426
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 117.
Fig. 118.
Diagramma N,S.
Diagramma di Goodman e criterio di resistenza.
log N < 4 (N = 10000 cicli); salvo che per strutture di sostegno di macchine vibranti, non è necessario considerare il caso di log N > 8.
Un’altra rappresentazione del legame fra i parametri è quella di Goodman (fig. 118), con il
relativo criterio di resistenza.
Quanto sopra è in generale valido per ampiezza costante dell’intervallo fra le sollecitazioni,
mentre nelle strutture si constata variabilità di tale ampiezza σimax – σimin, di σmax e del relativo
numero di cicli Ni; è più utile in tale caso fare riferimento all’ipotesi di Palmgren-Miner (non del
tutto confermata sperimentalmente), secondo la quale il degrado della struttura cresce linearmente
con il numero di cicli applicati ad ogni livello.
276-472_CAP_03_C Page 427 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ALTRI STATI LIMITE
Fig. 119.
C-427
Livelli di sollecitazione.
In sostanza, se il numero di cicli che produce la rottura per un livello di sollecitazione σi
(che contempla σimax e σimin) è Ni, la frazione del danneggiamento prodotto da Nid cicli allo stesso livello è Nid / Ni; il criterio di rottura è definito da:
c
∑ (N
1
i
id
⁄ N iR ) = α
con c =numero dei livelli di sollecitazione considerati,
α = 1 nella formulazione originaria e < 1 per migliorare la congruenza con le prove sperimentali:
– in generale minori valori di σmin riducono il numero di cicli possibili;
– la resistenza a fatica dipende dalla distribuzione delle ampiezze nel gruppo dei livelli
di sollecitazione considerato (fig. 119).
3.11.1.2 Caso del c.a. e c.a.p. La resistenza a fatica è normalmente considerata come stato limite ultimo, con coefficienti maggiorativi dei carichi γq e minorativi delle resistenze γm in generale diversi da quelli adottati per le altre verifiche.
In particolare si definiscono i seguenti coefficienti:
γsd
γc, fat
= 1,10 coefficiente maggiorativo delle azioni di calcolo definite con
γg = γq = 1,0 γp = 0,9 ÷ 1,2
= 1,5; γs, fat = 1,15 coefficienti minorativi delle resistenze a fatica (coincidono con γc e γs)
La verifica è soddisfatta se la menomazione calcolata DD risulta minore di quella sopportabile
dal materiale DR.
Devono essere verificate sia la resistenza a compressione del calcestruzzo sia quella a trazione dell’acciaio; per quest’ultima occorre considerare il passaggio dallo stato tensionale pre- e post-fessurazione.
Oltre alle azioni normali, flettenti, taglianti, torcenti deve essere verificata la condizione di
ancoraggio delle barre o dei trefoli aderenti.
3.11.1.3 Verifiche. Per strutture soggette a cicli di carico inferiori a 108, devono essere soddisfatte le seguenti verifiche:
per l’acciaio:
∆σ s, fat ( N )γ sd × max ∆σ sd ≤ -------------------------γ s, fat
I valori di ∆σs,fat (N) per l’armatura passiva ed attiva sono riportati nella tabella 17.
(90)
276-472_CAP_03_C Page 428 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-428
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tabella 17.
Variazione massima a fatica della tensione nella armature.
∆σs,fat (N mm–2)
Tipo di armatura
barre diritte o piegate con D > 25 d
barre piegate con D < 25 d
ξ = 0,35 + 0,026 D/d
N1 = 106
N2 = 108
210
125
0.210 ξ
0.125 ξ
connettori meccanici
050
050
barre presollecitate rettilinee
160
095
trefoli rettilinei pretesi
160
095
cavi curvi di trefoli postesi
120
065
per il calcestruzzo in compressione:
0,45 f cd, fat
γ sd × max σ c η c ≤ ---------------------------γ c, fat
1
η c = ---------------------------------------------1,5 – 0,5 σ c 1 / σ c2
ηc
(91)
fattore che tiene conto del gradiente di σc nella zona compressa
σ c 1 valore assoluto minimo
σ c 2 valore assoluto massimo
entrambi calcolati entro 0,30 m dal bordo compresso
f ck
f cd, fat = 0,85 fck  1 – ----------------

25 f cko 
(92)
con fck 0 = 10 N mm–2.
3.11.2
Resistenza all’incendio
3.11.2.1 Generalità. Tutte le strutture devono essere in grado di resistere all’incendio in modo
adeguato alla destinazione dell’edificio di cui costituiscono l’ossatura; normalmente si accetta un
degrado conseguente all’evento e la necessità di successivi interventi di riparazione.
Deve in ogni caso essere evitata la formazione di fessure passanti che consentano la fuga di
fiamme o di prodotti di combustione verso gli ambienti circostanti; gli spessori devono essere tali da
limitare l’incremento di temperatura della faccia opposta a quella ove si sviluppa l’incendio al valore
di 140 °C come media e 180 °C come punta massima localizzata per il tempo prefissato di resistenza.
In relazione a tale tempo espresso in minuti si definiscono classi di resistenza R30, R60,
R90, R120 ecc. prefissate in relazione al tipo e destinazione d’uso dell’edificio considerato.
Normalmente le strutture in c.a. e c.a.p. collassano quando la temperatura dell’acciaio ha raggiunto valore critico rispetto alla sollecitazione agente; il calcestruzzo che avvolge le armature ha
il compito fondamentale di ritardare tale evento entro i termini sopra fissati.
Le strutture iperstatiche, salvo verifica della compatibilità delle grandi deformazioni dovute
all’aumento di temperatura, hanno in generale maggiore tempo di resistenza poiché il raggiungimento della temperatura critica in una sezione determina una ridistribuzione delle azioni interne che
in genere coinvolge parti della struttura a temperatura minore e quindi con maggiore capacità di resistenza; ad esempio, in una trave continua investita dall’incendio al lembo inferiore, si osserva un
graduale incremento del momento sugli appoggi ove l’armatura è disposta al lembo superiore.
276-472_CAP_03_C Page 429 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ALTRI STATI LIMITE
C-429
La verifica dello stato limite di resistenza al fuoco è soddisfatta se è provato che:
tfr > tfd
in cui:
tfr è il tempo in minuti, calcolato o risultante da prova sperimentale, di resistenza all’incendio
«standard», tenendo conto delle condizioni di esposizione della struttura.
tfd è il tempo di resistenza in minuti richiesto dal tipo e destinaione dell’edificio considerato, in
generale fissato dalla normativa.
L’incendio «standard» è definito secondo le ISO 834 mediante aumento di temperatura
dell’aria dell’ambiente secondo l’espressione (93)
∆T = T – T 0 = 345 log ( 8 t + 1 ) K
(93)
(T0 = temperatura iniziale ambiente, t = tempo in minuti, K = gradi Kelvin).
Per la determinazione di tfr è necessario modificare i parametri che definiscono l’incendio tipo sopra citato valutando l’evoluzione della temperatura alla quale è soggetta la struttura tenendo
conto della conformazione degli ambienti e della quantità di materiale combustibile presente;
Devono essere considerati:
1. riduzione delle resistenze del calcestruzzo e dell’acciaio conseguenti all’aumento della temperatura;
2. applicazione di coefficienti di sicurezza ridotti per i materiali e per i carichi generalizzati
in relazione all’accettazione di degrado strutturale conseguente all’evento;
3. per la stabilità generale della struttura deve essere controllata la possibilità di grandi allungamenti degli elementi direttamente investiti dal calore, senza che si producano dissesti e quindi
considerando che:
4. l’impuntamento dei giunti genera elevate azioni di compressione con pericolo di instabilità;
5. l’elevata rigidezza delle strutture verticali può dar luogo all’effetto precedente e/o a marcata
fessurazione;
6. il gradiente termico fra la superficie esposta all’incendio e quella opposta può dar luogo a
grandi distorsioni con effetti nefasti sulla stabilità dell’intera struttura.
3.11.2.2 Determinazione del regime termico.
Calcolo delle temperature esterne. Per il calcolo dell’evoluzione della temperatura a cui sono soggette
le strutture, è necessario in primo luogo determinare l’intensità qf del cosiddetto carico di incendio:
qf = ∑ µi m i H i / Af
con: Af
mi
Hi
µi
=
=
=
=
superficie della zona in cui può svilupparsi l’incendio (m2).
massa del generico materiale combustibile i insistente su Af (kg).
potere calorifico del materiale i (vedi tabella 18) (MJ/kg).
coefficiente di combustione (indica la frazione del materiale i che può bruciare).
Presupponendo la completa combustione dei materiali di cui sopra, la massima temperatura
raggiunta nell’ambiente dipende dalle caratteristiche termiche delle pareti di perimetro e dalla ventilazione definita dal fattore
χ = A ⋅ h ⁄ At ( m
1⁄2
)
(m2)
con A = superficie totale delle aperture
h = altezza ponderale delle aperture h = Σi hi Ai / A (m)
At = superficie totale del soffitto, del pavimento e delle pareti comprese le aperture (m2).
Si definiscono il fattore Kf che permette di ottenere il carico equivalente di incendio qef ed il
fattore χe equivalente di ventilazione mediante le relazioni:
qef = Kf ⋅ qt
χe = K f χ
Kf dipende oltre che dal fattore A
secondo la tabella 19.
h ⁄ A k , anche dalle caratteristiche termiche del contorno,
276-472_CAP_03_C Page 430 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-430
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tabella 18.
Potere calorifico H in MJ/kg di alcuni solidi e liquidi.
SOLIDI
34
19
28
30
21
47
42
24
25-29
18
18
12-15
Resina epossidica
Resina melaminica
Fenol-formaldeide
Poliestere
Fibra poliestere rinforzata
Polietilene
Polistirene
Poliuretano
Poliuretano espanso
Cloruro di Polivinile
Urea-formaldeide
Urea-formaldeide espansa
Gomme
Gomma espansa
Guttaperca
Ritagli di gomma
Seta
Paglia/Fieno
Legno
Lana
32-36
40
15
30
17-21
29
28-34
35
31
18
17
40
8-21
20
21
16-18
47
Antracite
Asfalto
Cellulosa
Carbone legna
Vestiti
Carbone fossile
Carbone
Sughero (grado SP)
Sughero (grado F)
Cotone
Grano
Grasso
Rifiuti di cucina
Cuoio
Linoleum
Carta, cartone
Cera
Plastiche
ABS
Acrilica
Celluloide
40
27
19
32
45
21
17-21
17
17-20
23
I valori sopra riportati sono relativi a materiali allo stato secco; il potere calorifico Hf di materiali umidi può essere determinato con la formula Hf = H(1–0,01u)–0,025 u, con u contenuto di umidità in % della massa.
LIQUIDI
Petrolio
Gasolio
Olio di semi
Metanolo
43
41-42
39
23
Tabella 19.
Tipo di
compartimento
Tipo A
Tipo B
Tipo C
Tipo D
A)
B)
C)
D)
contorno
contorno
contorno
contorno
Olio di paraffina
Benzina
Alcoli
Catrame
41
44
33-34
38
Valori di fattore Kf .
Rapporto di ventilazione A
h ⁄ At ( m
1⁄2
)
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
1,00
0,85
3,00
1,35
1,00
0,85
3,00
1,35
1,00
0,85
3,00
1,35
1,00
0,85
3,00
1,50
1,00
0,85
3,00
1,55
1,00
0,85
2,50
1,65
in materiale con conduttività termica λ = 0,81 W/m °C e capacità termica C = 1,67 MJ/m °C
in calcestruzzo
in calcestruzzo leggero con densità m = 500 kg m–3
50% in calcestruzzo normale e 50% in cls leggero con m = 500 kg m–3
Il tempo equivalente in minuti di esposizione all’incendio standard è allora determinabile mediante la relazione (94):
Af K
t e = 0,067 q ef ------ ------f
At χ
(94)
che, introdotta nella (93) consente di calcolare la massima variazione di temperatura T – T0
dell’ambiente a cui sono esposte le strutture.
276-472_CAP_03_C Page 431 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ALTRI STATI LIMITE
C-431
Una successiva analisi termica consente di determinare i valori raggiunti all’interno della struttura.
Ad esempio in un compartimento di tipo B con dimensioni in pianta 8,60 × 8,60 m, altezza
4,50 m, dotato di due aperture di dimensioni 3,00 × 2,00 m e 4,00 × 3,50 m in presenza di
10 000 kg di materiale avente H = 20 MJ/kg e coefficiente di combustione µ = 0,60, si ha:
A = 4,00 × 3,50 + 3,00 × 2,00 = 20,0 m2
Af = 8,60 × 8,60 = 74,0 m2
At = 74,0 + 4 × 8,60 × 4,50 = 228,8 m2
h = (3,502 × 4,00 + 2,002 × 3,00) / 20,0 = 3,05 m
χ = 20,0
3,05 ⁄ 228,8 = 0,1527 m
1⁄2
K F = 0,85
0,85 10 000 × 0,60 × 20
q ef = ---------------------------------------------------------- = 1378 MJ/m 2
74
74
0,85
t e = 0, 067 × 1378 × ------------- ---------------- = 70 minuti T – T 0 = 345 log ( 8 × 70 × 1 ) = 949 K
228,8 0,1527
Calcolo delle temperature interne. Per il calcolo del regime termico sono necessari i seguenti parametri dei materiali:
calcestruzzo:
conduttività termica λ:
capacità termica c:
densità ρ:
in generale decrescente con l’aumento di temperatura e dipendente dal contenuto di umidità; valori a 373 K (20 °C) variabili da 1,5 a 1,8 W/m K;
in generale crescente con la temperatura, valore medio a 100 °C pari a
0,9 kJ/kg K;
in generale decrescente con l’aumento della temperatura, sia per effetto
dell’evaporazione dell’umidità contenuta nel calcestruzzo, sia per l’aumento del volume dovuto all’espansione termica.
Supponendo di trattare un caso piano, quale è quello che si presenta normalmente con elementi strutturali in cui una dimensione è preponderante sulle altre, l’andamento delle temperature
τ è descritto in funzione del tempo t dall’equazione di Fourier (95)
λ ∂ 2 τ ∂τ
∂τ
------ = ------  -------2- + -------2-
cρ  ∂ x ∂y 
∂t
(95)
Con la condizione al contorno D (T – τ0) ∂n = –λ ∂t .
τ0
∂n
∂t
D
=
=
=
=
temperatura del contorno del solido, T temperatura ambiente
differenziale secondo la normale del contorno
variazione del tempo
coefficiente di trasmissione termica totale (W / m2K).
Suddividendo la sezione considerata in elementi di dimensioni ∆x = ∆y = ∆ e contornandola
con uno strato di elementi addizionali per simulare le condizioni al contorno, fissando ∆t = Cρ∆2/
4, le equazioni di cui sopra si possono ridurre alle differenze finite mediante le relazioni (96):
( τ m, n ) t + ∆t = 1/4 ( τ m – 1 ,n + τ m + 1 ,n + τ m, n – 1 + τ m, n + 1 ) t
λ
∆
T∆ +  ------- – ------- τ i
K
2
τ 0 = ----------------------------------------------λ
∆
------- + ------K
2
(96)
276-472_CAP_03_C Page 432 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-432
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tabella 20.
Temperature interne ( °C) in corrispondenza barre in funzione del copriferro.
Durata di esposizione al fuoco (minuti)
Tipo di struttura
Pilastri
c (mm)
Muri e solette
c (mm)
030
060
090
Note
120
15
380
580
680
750
30
260
460
580
660
45
110
320
450
540
15
340
540
640
700
30
220
410
520
590
45
100
270
400
480
1
2
Note: (1) Le temperature reali variano rispetto a quelle riportate con legge circa parabolica da 1,2 a 0,9 dai vertici ai punti
medi dei lati.
(2) I valori sono relativi all’esposizione al fuoco di un solo paramento.
Tabella 21.
Temperatura ( °C) nei punti significativi delle travi come indicato nella figura 120.
Travi
con largh.
b (m)
Durata di esposizione al fuoco (minuti)
30
60
0,12
350
370
420
550
140
160
230
430
0,18
350
360
410
550
110
130
210
410
030
050
140
360
0,24
350
360
410
550
110
130
210
410
025
050
130
360
005
030
110
350
90
600
630
690
780
420
470
560
710
660
590
660
760
320
370
480
660
200
260
390
610
560
590
650
760
310
360
470
650
160
230
360
590
090
170
320
570
120
740
760
810
880
610
650
720
820
680
710
770
850
470
530
630
770
360
430
550
730
670
700
760
850
440
500
610
760
280
370
500
705
210
300
460
680
820
840
880
940
720
760
810
890
760
790
840
920
580
640
720
850
490
560
670
820
740
780
830
910
540
600
700
830
400
480
610
780
320
420
560
760
τ0 = temperatura nell’elemento fittizio di contorno
τi = temperatura nell’elemento confinante con quello fittizio
ossia la temperatura al tempo t + ∆t al centro di un elemento è uguale alla media di quelle calcolate al tempo t nei quattro elementi adiacenti.
Essendo note le temperature T è possibile procedere iterativamente per il calcolo delle temperature interne al solido considerato.
L’equazione riportata non considera la transizione a vapore dell’acqua contenuta nei pori del
calcestruzzo e fornisce quindi valori di temperatura a favore di sicurezza.
Valori calcolati. Per le principali tipologie strutturali si ottengono i valori delle temperature
interne del calcestruzzo in corrispondenza delle armature riportati nella tabella 20, in funzione del
copriferro c.
Per le travi esposte al fuoco su 3 superfici, le temperature di alcuni punti significativi, indicati nella figura 120, sono riportati nella tabella 21.
3.11.2.3 Proprietà meccaniche dei materiali ad elevata temperatura.
a) Calcestruzzo. Sono di seguito riportate le schematizzazioni utili per i calcoli (v. figure
121 e 122).
276-472_CAP_03_C Page 433 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ALTRI STATI LIMITE
Fig. 120.
Fig. 121.
Punti di calcolo delle temperature nelle travi.
Variazione con la temperatura delle caratteristiche del calcestruzzo.
C-433
276-472_CAP_03_C Page 434 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-434
Fig. 122.
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Variazione con la temperatura dei coefficienti di dilatazione del calcestruzzo e dell’acciaio.
1) resistenza a compressione: rimane costante nell’intervallo 0-200 °C e poi da 200 °C a
700 °C cade linearmente fino al 20% di quella iniziale;
2) resistenza a trazione: rimane costante nell’intervallo 0-60 °C e poi da 60 °C a 700 °C cade
linearmente al 20% del valore iniziale; rimane poi costante fino a 800 °C;
3) modulo di elasticità: rimane costante nell’intervallo 0-50 °C poi, da 50 °C a 700 °C cade linearmente fino al 10% del valore iniziale;
4) coefficienti di dilatazione termica: sono costanti fino ad una temperatura critica, poi assumono
improvvisamente valori notevolmente maggiori causa di modifiche chimico-fisiche dei componenti.
b) Acciaio normale e preteso. In generale in tutti gli acciai che hanno subito trattamento
meccanico volto a migliorarne le caratteristiche di resistenza, l’aumento della temperatura riduce
gradualmente queste proprietà, secondo la figura 123.
Fig. 123.
Caratteristiche dell’acciaio in funzione della temperatura.
276-472_CAP_03_C Page 435 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ALTRI STATI LIMITE
C-435
1) resistenza a trazione: rimane invariata fino a 250 °C per gli acciai normali e fino a 150 °C
per gli acciai da precompressione; decade rispettivamente fino al 17% del valore iniziale nell’intervallo 250-700 °C e fino al 10% da 150 a 500 °C;
2) modulo elastico: per tutti gli acciai rimane invariato fino a 150 °C e poi decade fino al
20% del valore iniziale nell’intervallo 150-700 °C.
3.11.2.4 Coefficienti di sicurezza per stato limite di incendio. Si tratta di una condizione eccezionale. Per i materiali si assume in generale:
per il calcestruzzo γcf = 1,0
per tutti gli acciai γsf = 1,0
per le azioni esterne Sd si assume in generale:
γD = 0,7 ÷ 1,00 nell’espressione Sd = γD S (G γG, Q γQ, P γP)
I carichi accidentali Q da considerare sono solo quelli con elevata probabilità di presenza in
caso di incendio, definita dai coefficienti di partecipazione Ψ (C-3.3.6).
Ad esempio la folla non rientra in questo caso perché si presuppone sia evacuata prima che
la temperatura della struttura diventi critica per la stabilità.
Per quanto sopra esposto, presupponendo per le verifiche allo stato limite di collasso in assenza di incendio l’adozione dei normali coefficienti di sicurezza γS = 1,15 per l’acciaio e
γQ = 1,50 per i carichi, dal grafico 122 si ottiene in corrispondenza della caduta di resistenza
dell’acciaio 0,57 = 1/1,15 × 1,50, la temperatura di circa 500 °C alla quale per γsf = 1,0 e
γG = γQ = 1,0 si ha approssimativamente il collasso della sezione (la verifica esatta dovrebbe essere
istituita partendo dai legami sforzi-deformazioni dei materiali modificati per l’effetto termico).
3.11.2.5 Regole pratiche. In funzione delle classi di resistenza al fuoco previste sono riportate
nella tabella 22 le dimensioni minime richieste per le strutture in c.a.
Tabella 22.
Dimensioni strutturali minime per resistenza all’incendio.
Resistenza all’incendio (minuti)
Struttura
Note
30
60
90
120
0,15
0,10
0,20
0,12
0,24
0,14
0,30
0,16
1
0,08
25,00
0,125
40,00
0,15
55,00
0,20
65,00
3
pilastri quadrati b × b
pilastri rettangolari b × 5b
b (m)
b (m)
tiranti b × 2b
b (m)
c (mm)
muri (spessore s)
s (m)
0,10
0,11
0,13
0,15
1
impalcati in semplice appoggio
h (m)
c (mm)
0,06
15,00
0,07
20,00
0,09
30,00
0,11
40,00
3
impalcati continui
h (m)
c (mm)
Kl
0,06
15,00
0,125
0,07
15,0
0,15
0,09
20,00
0,20
0,11
25,00
0,25
2,3
travi h × b in semplice appoggio b (m)
c (mm)
0,12
25,00
0,16
40,00
0,20
55,00
0,24
65,00
3
travi h × b continue
0,08
25,00
0,125
0,11
25,00
0,15
0,14
33,00
0,20
0,17
40,00
0,25
2,3
b (m)
c (mm)
Kl
Note: (1) Dimensioni valide per snellezza λ < 35 ed armatura verticale non considerata per il dimensionamento, copriferro 25 mm.
(2) Devono essere presenti armature sugli appoggi tali da equilibrare almeno la metà del momento limite in campata
calcolato in assenza di continuità; il coefficiente Kl definisce le lunghezze ls di estensione di tali armature rispetto
alla distanza l fra gli appoggi K = ls / l.
Il 20% delle armature superiori deve essere esteso a tutta la trave.
(3) Per copriferro maggiore di 40 mm è necessaria una rete aggiuntiva.
276-472_CAP_03_C Page 436 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-436
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
3.11.2.6 Esempio. Verifica allo stato limite di incendio tipo per durata 60 min di una trave con
un incastro ed un appoggio soggetta a carico permanente g = 15 kN m–1 ed accidentale
q = 24 kN m–1 avente le caratteristiche indicate nella figura 124.
1
Dalla tabella 16 per b = 0.24 m e t = 60 min risulta la temperatura media --- ( 570 + 590 + 650 + 760 ) =
4
= 642 °C negli elementi inferiori e, analogamente di 470 °C nell’acciaio inferiore e ∆T = 345 log (8 × 60 + 1) =
= 925 °C nell’ambiente.
Con riferimento alla figura 123 la resistenza a trazione dell’acciaio con fs = 430 N mm–2 vale:
470 – 250
f st = 430 1 – ------------------------ ⋅ ( 1 – 0.17 ) = 256 N mm –2
700 – 250
Il momento limite corrispondente con γs = 1,0 e braccio di leva z = 0,9 × 0,608 = 0.547 m vale:
M2T = 3 × 314 × 1,0 × 256 × 0.547 = 132,5 kN m
la sezione critica, nella quale il momento positivo è massimo è posta alla distanza x = 3,22 m
dall’appoggio.
Il carico massimo sopportabile con lo schema strutturale iniziale risulta (g + q) = 128 M2T / 9l2 =
= 128 × 132,5/9 × 8,602 = 25,5 kN m–1 ed il corrispondente momento nella sezione di incastro
M3T = –1/8 × 8,602 × 25,5 = – 235,5 kN m.
Nell’ipotesi di formazione di cerniera plastica nella sezione critica, deve essere verificato se la parte di carico in eccedenza ∆ (g + q) = 39 – 25,5 = 13,5 kN m–1 è sopportato dalla struttura modificata.
In tale ipotesi l’azione della parte sinistra sulla parte incastrata vale:
∆R = 3,22 × 13,5/2 = 21,7 kN e la conseguente variazione di momento negativo
∆M3 = – 21,7(8,60 – 3,22 = 5,38) – 13,5 × 5,382/2 = – 312,3 kN m
Fig. 124.
Struttura per verifica allo stato limite di incendio.
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ALTRI STATI LIMITE
C-437
In totale nella sezione di incastro si ha MD = – 235,5 – 312,3 = – 547,8 a cui corrispondono le
azioni nel calcestruzzo e nell’acciaio:
NcT = – NsT = – 547,8/(0,9 × 0,61) = – 997,8 kN
Considerando che l’armatura resistente (8d20 = 2513 mm2) è all’estradosso e quindi a temperatura minore di 250 °C, non si ha alcuna menomazione della relativa resistenza e quindi
NsR = 2513 × 430/1000 = 1080 kN > NST.
Per la verifica del bordo compresso di altezza circa 0,20 × 0,61 = 0,12 m in corrispondenza della
temperatura media pari a 427 °C la resistenza del calcestruzzo di classe fck = 45 N mm–2 vale:
fcF = 45[1 – 0,80(427 – 200) / (700 – 200)] = 29 N mm–2
e quindi, tenendo conto di 2 barre d 20, con capacità 256 N mm–2 la massima risultante delle
compressioni vale:
C = (29 × 120 × 240 + 2 × 314 × 256)/1000 = 996 kN = NcT
È necessario ancora verificare che nella struttura modificata, con cerniera in 2, non sussistano
sezioni in cui il momento positivo superi quello calcolato.
La reazione sull’appoggio 1 vale: R1 = 3 × 25,5 × 8,60/8 + 13,5 × 3,22/2 = 104 kN; l’espressione
del momento flettente è M (x) = 104,0 x – 39,0 x2/2 e risulta massima per x = 2,66 m con
M (2,66) = 138,7 kN m > M2T = 132,5 kN m.
È quindi necessario o un aumento dell’armatura inferiore o l’applicazione di un intonaco isolante che limiti la temperatura nell’acciaio al valore T = 450 °C a cui corrisponde tensione utile
271 N mm–2 in grado di equilibrare il maggiore tiro nell’armatura.
Si osserva che in tal modo si modificherebbe anche la posizione della sezione in cui si forma
la cerniera plastica e che quindi l’analisi potrebbe essere iterata fino all’approssimazione richiesta.
3.11.3
Resistenza al sisma
3.11.3.1 Azioni. Le azioni sismiche sono correlate all’intensità massima dei terremoti della regione in esame, nonché al tipo di terreno attinente alla località di costruzione; le scosse sono di
natura sussultoria (in direzione verticale) ed ondulatoria (in direzione orizzontale).
Entrambe inducono nelle fondazioni della struttura accelerazioni, velocità di traslazione e spostamenti che si possono normalmente ritenere indipendenti dalle caratteristiche dell’edificio, salvo
nel caso in cui questo abbia massa rilevante e sia quindi necessario lo studio della interazione dinamica terreno-struttura.
Le scosse nella direzione verticale, in parte prive di correlazione diretta con quelle orizzontali, generano forze inerziali variabili con il tempo che si sovrappongono algebricamente a quelle
indotte dai carichi e sono determinabili tenendo conto delle caratteristiche dinamiche della struttura così che non si pongono in generale nuovi problemi per le verifiche.
Le forze inerziali, distribuite lungo l’altezza dell’edificio e prodotte dalle scosse nella direzione orizzontale, inducono nella struttura elevate azioni flettenti e taglianti di segno alternato e richiedono quindi analisi specifica.
Per effetto delle accelerazioni orizzontali in generale il comportamento della struttura è non
lineare ed è necessario fare affidamento sulla duttilità, ossia sulla capacità di dissipare una frazione considerevole di energia mediante cicli isteretici senza che venga sostanzialmente menomata la
resistenza; risulta implicito il danneggiamento al termine dell’evento e la necessità di riparazioni.
Nel caso si volesse dimensionare la struttura in modo che il comportamento sia lineare si otterrebbe aumento delle accelerazioni indotte incompatibile con l’uso dell’edificio (distruzione degli
elementi non strutturali, proiezione di oggetti, etc.).
Poiché la dissipazione di energia limita le azioni ed il conseguente danneggiamento riduce la
rigidezza e sposta il periodo proprio della struttura verso valori più elevati a cui corrisponde una
minore energia dell’evento sismico, è lecito effettuare le analisi in campo elastico sotto le condizioni nel seguito esposte.
276-472_CAP_03_C Page 438 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-438
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
In modo semplificato la capacità di resistenza strutturale in campo non lineare è tenuta in
conto considerando azioni sismiche artificialmente ridotte rispetto a quelle che si avrebbero per
comportamento indefinitamente elastico.
Con riferimento alla figura 125, identificato lo spostamento umax a cui risulta soggetto un elemento strutturale analizzato in campo elastico, indipendentemente dalla sua resistenza e con usn
Se
quello corrispondente al limite di proporzionalità, sussiste la relazione: µ = umax/usn = ------- fra il
S sn
fattore di duttilità µ ed il rapporto fra le azioni corrispondenti Se ed Ssn; la resistenza richiesta
all’elemento può quindi essere espressa mediante l’azione Se di risposta elastica all’evento sismico
divisa per il fattore di duttilità, ossia S sn = S-----e .
µ
Per evitare il ricorso ad analisi non lineari si introduce il concetto di fattore di struttura il
quale è funzione del fattore di duttilità e tiene conto della capacità di dissipazione isteretica di
energia e viene impiegato per correggere i risultati di un’analisi lineare al fine di ottenere una stima dell’effettiva risposta non lineare.
I valori del fattore di struttura sono quindi individuati dal rapporto fra l’intensità sismica che
provoca il collasso della struttura tenendo conto del reale comportamento non lineare dissipativo
e l’intensità sismica corrispondente al limite della linearità; in relazione alle tipologie strutturali, è
possibile assegnare a priori valori medi di tali fattori.
Nel caso esemplificativo di struttura con un solo grado di libertà (fig. 126) l’equazione di
equilibrio elastico dinamico in direzione orizzontale si scrive:
mü + cu̇ + ku = – müg
in cui u, u̇ , ü sono rispettivamente lo spostamento, la velocità e l’accelerazione della struttura di
massa m, k è la rigidezza, c lo smorzamento, üg è l’accelerazione del terreno.
Nell’ipotesi, normalmente verificata di smorzamento inferiore al 0,10 di quello critico, è lecito
confondere i periodi dei modi di vibrazione non smorzata con quelli reali; è quindi possibile costruire in modo univoco l’inviluppo delle massime caratteristiche del moto indotto nella struttura,
al variare dei relativi parametri dinamici, risolvendo la relativa equazione. Assumendo come note
le caratteristiche del moto del terreno, ad esempio utilizzando accelerogrammi reali o generati matematicamente (con tecniche che esulano dagli scopi del presente manuale), si cacolano gli invi-
Fig. 125.
Definizione del fattore di duttilità.
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ALTRI STATI LIMITE
Fig. 126.
C-439
Schema di oscillatore semplice.
luppi di cui sopra (in generale per smorzamento ξ pari a 0,05 di quello critico) che prendono il
nome di spettri di risposta elastici di spostamento, velocità, accellerazione.
In particolare, a un accelerogramma üg(τ) corrisponde lo spostamento u(τ) dell’oscillatore secondo la funzione
1
u ( τ ) = ---ω
in cui
t
∫ ü (τ) e
g
– ξω ( t – τ )
sin ω ( t – τ ) dτ
0
ω =
k
---- ,
m
c
ξ = -----------2mω
S ( ξ, ω )
Si può poi calcolare il massimo ü max = S d = ------------------- , con S ( ξ, ω ) uguale al valore massiω
mo dell’integrale al 2° membro; Sd è lo spostamento spettrale mentre l’accelerazione spettrale è
Sa = ω2Sd e la forza inerziale sviluppata vale Fs, max = k Sd = m Sa.
Per gli scopi pratici è fondamentale lo spettro della accelerazione di risposta espressa in
funzione del periodo proprio della struttura; benché sussistano semplici relazioni che consentono di ricavare da tale spettro i corrispondenti parametri di velocità e di spostamento, in generale questi non coincidono con i relativi spettri determinati sulla scorta delle registrazioni di
eventuali reali.
Si dimostra che, nel caso di frequenze modali sufficientemente scalate, ossia tali che risulti fi–1 /
fi > 0,90 e per comportamento elastico, è possibile determinare le azioni nella struttura effettuandone
un’analisi modale ed applicando alla fondazione le accelerazioni risultanti dallo spettro di risposta in
corrispondenza dei periodi relativi ai modi; si evita quindi di dover considerare tutti i possibili accelerogrammi, determinarne gli effetti e calcolarne l’inviluppo, come necessario nel caso di comportamento non lineare.
Con tale procedimento è necessario considerare un numero di modi tale da assicurare la partecipazione al moto di almeno il 90% delle masse; gli effetti dei singoli modi sono combinati assumendo come valore efficace la radice quadrata della somma dei quadrati dei contributi modali,
così da tenere conto della parziale contemporaneità delle partecipazioni.
Lo spettro dell’accelerazione di risposta di progetto per analisi lineare (fig. 127) è definibile
analiticamente in funzione del periodo T , mediante le relazioni (97) riportate secondo la normativa [5].
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C-440
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 127.
Spettro dell’accelerazione di risposta di progetto.
0 ≤ T < TB
1
T
T
S e ( T ) = a g SηF 0 ------ + ----------  1 – ------
T B ηF 0 
T B
TB ≤ T < TC
S e ( T ) = a g SηF 0
TC ≤ T < TD
TC
S e ( T ) = a g SηF 0  ------
T
TD ≤ T
(97)
T C T B
S e ( T ) = a g SηF 0  ------------ T2 
con
S
= SS ST è un coefficiente che tiene conto della categoria del sottosuolo, identificata da SS, e
delle condizioni topografiche secondo ST.
ag
è il valore dell’accelerazione di picco del luogo per il periodo di ritorno di riferimento.
F0 ≥ 2,20 è il fattore di amplificazione dell’accelerazione spettrale su terreno infinitamente rigido.
10
η = ------------ ≥ 0,55 è il coefficiente che tiene conto dello smorzamento viscoso equivalente ξ (%)
5+ξ
della struttura, se ξ = 5% , allora η = 1,00.
TB = TC /3 è il periodo corrispondente al tratto dello spettro con accelerazione costante.
TC = C C T C* è il periodo corrispondente al tratto dello spettro con velocità costante.
4a
TD = -------g- + 1,6 è il periodo corrispondente al tratto dello spettro con spostamento costante.
g
Il valore di ag (accelerazione massima) è legato alla pericolosità del luogo ed è fornito, unitamente a F0 in funzione del periodo di ritorno dell’evento sismico e della probabilità di superamento dei relativi parametri nel periodo di riferimento, tramite le coordinate geografiche direttamente dal sito di INGV (Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia).
Tale periodo è quindi differenziato in funzione del prodotto VR = VN CU fra la vita nominale
VN prevista per la costruzione e la classe di uso CC della stessa e in funzione delle probabilità di
superamento associate alle verifiche previste
Probabilità
Stato limite
di superamento
SLO – stato limite di operatività
81%
stato limite di servizio
SLD – stato limite di danno
63%
stato limite di servizio
SLV – stato limite di salvaguardia della vita
10%
stato limite ultimo
SLC – stato limite di collasso
5%
stato limite ultimo
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ALTRI STATI LIMITE
Tabella 23.
C-441
Valori di SS e CC.
Categoria sottosuolo
SS
CC
A
1,00
1,00
B
ag
1,00 ≤ 1,40 – 0,40 F 0 ----- ≤ 1,20
g
1,10 ( T C* ) –0,20
C
ag
1,00 ≤ 1,70 – 0,60 F 0 ----- ≤ 1,50
g
1,05 ( T C* ) –0,33
D
ag
0,90 ≤ 2,40 – 1,50 F 0 ----- ≤ 1,80
g
1,25 ( T C* ) –0,50
E
ag
1,00 ≤ 2,00 – 1,10 F 0 ----- ≤ 1,60
g
1,15 ( T C* ) –0,40
I valori di SS e CC dipendono dalle categorie del sottosuolo secondo la tabella 23.
Dove le categorie di sottosuolo sono, rispettivamente:
A) Ammassi rocciosi affioranti o terreni molto rigidi caratterizzati da valori di Vs,30 superiori
a 800 m/s, eventualmente comprendenti in superficie uno strato di alterazione, con spessore massimo pari a 3 m.
B) Rocce tenere e depositi di terreni a grana grossa molto addensati o terreni a grana fina
molto consistenti con spessori superiori a 30 m, caratterizzati da un graduale miglioramento delle
proprietà meccaniche con la profondità e da valori di Vs,30 compresi tra 360 m/s e 800 m/s (ovvero NSPT,30 > 50 nei terreni a grana grossa e cu,30 > 250 kPa nei terreni a grana fina).
C) Depositi di terreni a grana grossa mediamente addensati o terreni a grana fina mediamente consistenti con spessori superiori a 30 m, caratterizzati da un graduale miglioramento delle
proprietà meccaniche con la profondità e da valori di Vs,30 compresi tra 180 m/s e 360 m/s (ovvero 15 < NSPT,30 < 50 nei terreni a grana grossa e 70 < cu,30 < 250 kPa nei terreni a grana fina).
D) Depositi di terreni a grana grossa scarsamente addensati o di terreni a grana fina scarsamente consistenti, con spessori superiori a 30 m, caratterizzati da un graduale miglioramento
delle proprietà meccaniche con la profondità e da valori di Vs,30 inferiori a 180 m/s (ovvero
NSPT,30 < 1 nei terreni a grana grossa e cu,30 < 70 kPa nei terreni a grana fina).
E) Terreni dei sottosuoli di tipo C o D per spessore non superiore a 20 m, posti sul substrato
di riferimento (con Vs > 800 m/s).
Il coefficiente ST, è assegnato con riferimento alla categoria topografica che caratterizza la
posizione dell’opera:
T1
T2
T3
T4
–
–
–
–
Superficie pianeggiante, pendii e rilievi isolati con inclinazione media i ≤ 15°, ST = 1,0
Pendii con inclinazione media i > 15°, ST = 1,2
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base e 15° ≤ i ≤ 30°, ST = 1,2
Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base e i > 30°, o con ubicazione
dell’opera in corrispondenza della cresta del rilievo, ST = 1,4
3.11.3.2 Criteri di progetto. Il progetto deve garantire il migliore comportamento strutturale,
minimizzando le concentrazioni di tensione, la richiesta di duttilità ed i danni riscontrabili dopo
l’evento sismico.
Il progetto deve perseguire la gerarchia delle resistenze, aumentando la capacità delle zone
ove è insita una fragililità, per garantire la localizzazione e la anticipata formazione di meccanismi duttili che sono in grado di dissipare energia. Per esempio la resistenza di progetto a taglio
non viene determinata sulla scorta dei risultati della analisi ma in base alle azioni corrispondenti
alla attivazione dei meccanismi duttili.
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C-442
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Poiché alle colonne compete il trasferimento dei carichi alle fondazioni in presenza degli effetti del 2° ordine è bene evitare il collegamento a travi di grande rigidezza allo scopo di limitare
i momenti indotti e concentrare negli elementi orizzontali la dissipazione di energia; a questo scopo la somma dei momenti resistenti delle parti di colonna superiore ed inferiore deve risultare
maggiore di quella delle estremità delle travi concorrenti. In queste condizioni il migliore rimedio
al collasso per instabilità delle colonne consiste nel loro rinforzo piuttosto che nell’aumento di rigidezza, allo scopo di ridurre la necessità di comportamento non elastico.
Devono essere posti in atto tutti gli accorgimenti atti a conferire alla struttura la massima
possibile duttilità, mediante accurata disposizione delle armature, adeguato ancoraggio, adozione di
staffe chiuse integrate da legature, eliminazione nei nodi delle eccentricità relative degli assi degli
elementi strutturali concorrenti.
Le estremità dei setti irrigidenti devono essere presidiate con armature di confinamento e se
possibile conformate con sezione orizzontale a doppio T; le travi di collegamento fra setti devono
essere armate anche con barre diagonali fittamente staffate (fig. 128).
Nei setti irrigidenti si prolunga verso l’alto, per lunghezza pari alla larghezza, l’armatura necessaria alla base e poi la si riduce linearmente così da evitare deformazioni non elastiche nelle
sezioni più elevate; è opportuno affidare ai setti anche una frazione dei carichi verticali per evitare che risultino tesi per effetto delle azioni sismiche.
La percentuale di armatura deve risultare 0,01 < ρ < 0,06 in modo da assicurare un buon intervallo fra il momento di fessurazione e quello di snervamento, ed evitare concentrazione eccessiva di barre che pone difficoltà di getto e possibile riduzione di resistenza a taglio.
Le giunzioni delle barre devono essere effettuate nelle zone di momento nullo ed in ogni caso presidiate da spirale; nelle colonne è bene prevedere connettori meccanici.
Fig. 128.
Dettagli di armatura.
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ALTRI STATI LIMITE
C-443
In generale, in una struttura “regolare” sono limitate le concentrazioni delle azioni in alcuni
degli elementi resistenti; è quindi buona norma di progettazione attuare la ricerca di schemi strutturali dotati di tale caratteristica.
Si definisce come regolare un edificio la cui pianta non abbia angoli rientranti, con eventuali arretramenti dei piani superiori centrati rispetto a quelli inferiori e con centro delle masse possto nell’intorno (definito da un raggio pari 0,05 la dimensione minore della pianta) di quello delle rigidezze.
La regolarità della struttura può essere vanificata da elementi non strutturali quali i muri divisori
e le facciate che conferiscono rigidezze non quantificabili e manifestano comportamento fragile; è
buona norma costruttiva prevedere giunti orizzontali ad ogni piano alla sommità di tali elementi.
3.11.3.3 Analisi. In generale le strutture degli edifici costituiscono un insieme tridimensionale
nel quale l’elevata rigidezza planare degli impalcati impone un asservimento agli spostamenti orizzontali di ogni livello così che i modi fondamentali di vibrazione sono riconducibili a combinazioni di traslazioni orizzontali lungo due assi ortogonali e di una rotazione attorno ad un asse verticale; fra due piani successivi intervengono negli elementi verticali le deformazioni dovute alla
flessione ed al taglio (fig. 129).
I modi associati a spostamenti verticali si manifestano con periodi molto più brevi, salvo che
nelle strutture a sbalzo o con rapporto luce/altezza maggiore di 20.
Gli spostamenti relativi fra i piani modificano le rette di azione dei carichi sovrastanti e quindi inducono negli elementi verticali effetti del 2° ordine; è necessario considerare che in tale situazione viene modificato il comportamento dinamico della struttura, in genere con aumento del
periodo, con significativo scostamento dalla linearità.
In generale gli effetti di cui sopra sono trascurabili se è verificata la disuguaglianza (98) che
pone un limite alla sensibilità della struttura alle azioni del 2° ordine:
W i ∆ ui
----------------- ≤ 0.10
H i hi
(98)
in cui Hi e Wi sono rispettivamente la risultante al piano i delle forze inerziali orizzontali e dei
carichi verticali soprastanti, ∆ui è lo spostamento elastico fra i piani, hi è l’interpiano.
Poiché non è determinabile a priori la direzione delle scosse rispetto all’edificio, sarebbe necessaria la ricerca della condizione più sfavorevole; risulta possibile semplificare tale procedura ap-
Fig. 129.
Effetto della rigidezza orizzontale degli impalcati sui modi di vibrazione.
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C-444
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 130.
Eccentricità addizionale delle masse.
plicando lo spettro di risposta di calcolo lungo la direzione a cui compete il massimo periodo proprio
della struttura ed analogo contemporaneo spettro moltiplicato per 0,3 nella direzione ortogonale.
Nel caso in cui la struttura risulti “regolare” è possibile effettuare l’analisi considerando separatamente modelli planari contenenti i telai ortogonali; nell’attribuzione delle masse ai nodi dei telai è necessario mettere in conto un’eccentricità addizionale en , definita nella figura 130, dovuta
alle incertezze sulla reale distribuzione dei carichi.
Nel caso non si effettuasse l’analisi dinamica dell’edificio il primo periodo di vibrazione può
essere calcolato mediante la formula di Rayleigh (99):
T 1 = 2π
Σ W i u 2i
-------------------g Σ F i ui
(99)
in cui Fi sono forze orizzontali arbitrarie variabili linearmente con l’altezza ed applicate ai piani
i ed alle quali corrispondono gli spostamenti ui ; Wi /g sono le masse corrispondenti ai carichi Wi
agenti al piano i.
Sempre nell’ipotesi di struttura «regolare» e nel caso di periodo inferiore a 2,5 Tc è possibile
effettuare un’analisi statica, detta «equivalente» a quella dinamica, assumendo a priori una distribuzione lineare delle accelerazioni crescente verso l’alto definita dal fattore λi alle masse Wi /g ed
attribuendo ad ogni piano, posto ad altezza zi rispetto alle fondazioni le forze inerziali Hi corrispondenti, secondo le espressioni (100):
∑
∑
W jz j
S d ( T )z i W i
H i = -------------------------- con z w = ------------------gz w
Wj
(100)
zw è l’altezza del baricentro della costruzione.
Tale assunzione è basata sulla ipotesi di prima forma modale corrispondente a quello di trave
con solo incastro alla base e partecipazione di tutte le masse a tale modo.
Per tenere conto che i modi di vibrazione corrispondenti a frequenza elevata possono alterare
il diagramma dei momenti flettenti calcolato con l’analisi statica equivalente e che tale effetto è
maggiore per strutture con bassa frequenza fondamentale, i momenti di calcolo delle colonne devono essere maggiorati mediante un fattore di correzione stimato γE = 0,6 T1 + 0,85 con T1 periodo
fondamentale in secondi e con la limitazione 1,1 < γE < 1,8.
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ALTRI STATI LIMITE
C-445
Analogamente per i setti si maggiorano le azioni di taglio orizzontali con γE = 0,1N + 0,9 < 1,8
con N = numero dei piani, per tenere conto del reale comportamento dinamico.
3.11.3.4 Verifiche. Per le verifiche relative agli stati limite di servizio (SLO, SLD), si considera lo spettro di risposta elastico definito dalle (97), associato a tali condizioni, mentre per quelle
relative agli stati limite ultimi si utilizza lo spettro di progetto Sd (T) ottenuto da quello Se (T) ponendo nelle varie formule η = 1/q, con q fattore di struttura che ne rappresenta il comportamento
isteretico dissipativo.
Tale fattore di struttura viene definito in funzione della tipologia dell’organismo resistente e
della relativa classe di duttilità: CD “A”, alta o CD “B”, bassa. Le classi sono differenziate per
l’entità delle plasticizzazioni, possibili e pianificate in fase di progettazione, che consentono dissipazione di energia per isteresi. I particolari costruttivi di tali zone dissipative devono assicurare la
trasmissione delle sollecitazioni anche in presenza di azioni cicliche.
In generale, per evitare l’estensione incontrollata della plasticizzazione, le parti adiacenti devono essere verificate per le azioni al contorno di progetto, generate dalle zone dissipative e maggiorate con il coefficiente γRd. Il coefficiente γRd vale 1,30 per CD “A” e 1,10 per CD “B”.
Si pone quindi q = q0 kR, in cui q0 dipende dalla tipologia strutturale, dalla classe di duttilità
e dal rapporto αu/α1 fra il valore αu dell’azione sismica per il quale si ha la formazione di un numero di cerniere plastiche tale da rendere labile la struttura e quello α1 corrispondente alla formazione della prima plasticizzazione per flessione; kR tiene in conto le eventuali irregolarità in altezza della struttura e vale 1,00 per regolarità, mentre si riduce a 0,8 in caso contrario.
Per strutture regolari in pianta, possono essere adottati i seguenti valori di αu/α1
a) Strutture a telaio o miste equivalenti a telai
– strutture a telaio di un piano
αu/α1 = 1,1
– strutture a telaio con più piani e una sola campata
αu/α1 = 1,2
– strutture a telaio con più piani e più campate
αu/α1 = 1,3
b) Strutture a pareti o miste equivalenti a pareti
– strutture con solo due pareti non accoppiate per direzione orizzontale αu/α1 = 1,0
– altre strutture a pareti non accoppiate
αu/α1 = 1,1
– strutture a pareti accoppiate o miste equivalenti a pareti
αu/α1 = 1,2
Le strutture possono essere classificate secondo diverse tipologie e caratterizzate dai corrispondenti valori di q0 (tab. 24).
Per evitare il collasso a seguito della rottura delle pareti, i valori di q0 sono ridotti con il fattore kw che assume i seguenti valori: per strutture a telaio o miste kw = 1, per strutture a pareti
kw = (1 + α0)/3, ma compreso fra 0,5 e 1,0, con α0 = rapporto fra altezza e larghezza delle pareti.
Le strutture a pareti estese debolmente armate devono essere progettare in CD “B”. Strutture
aventi i telai resistenti all’azione sismica composti, anche in una sola delle direzioni principali,
con travi a spessore devono essere progettate in CD “B” a meno che tali travi non si possano
considerare elementi strutturali secondari.
Per confermare la validità dei fattori q0, la duttilità di curvatura µϕ della struttura deve soddisfare la seguente disuguaglianza
µϕ ≥ [1,50 2q0 – 1]
per T1 ≥ TC
per T1 < TC
µϕ ≥ 1,50 [1 + 2(q0 – 1) TC/T1]
Tale duttilità è calcolata come rapporto fra la curvatura corrispondente all’85% di quella a rottura della sezione e quella determinata dallo snervamento dell’armatura µϕ = ry/r0,85u (fig. 131).
Indicando con ± E le azioni indotte dal sisma, deve essere verificata la condizione generale
limite (101):
(101)
S D = S ( G + P + ± E + Σψ 2 i Q i ) < R D
in cui i coefficienti di contemporaneità ψ2i sono quelli relativi ai carichi quasi permanenti
(C-3.3.6), tutti i carichi sono considerati con moltiplicatore γQ = 1; il coefficiente di sicurezza
per l’effetto E del sisma è implicito nella definizione dello spettro Ra .
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C-446
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Tabella 24.
Valori di q0 in funzione della tipologia della struttura.
q0
Tipologia della struttura
CD “B”
CD “A”
Strutture a telaio, nelle quali la resistenza alle azioni sia verticali che orizzontali è
affidata principalmente a telai spaziali, aventi resistenza a taglio alla base ≥ 65%
della resistenza a taglio totale.
3αu/α1
4,5αu/α1
Strutture a pareti, nelle quali la resistenza alle azioni sia verticali che orizzontali
è affidata principalmente a pareti, singole o accoppiate, aventi resistenza a taglio
alla base ≥ 65% della resistenza a taglio totale.
3,0
4,0αu/α1
Strutture miste telaio-pareti, nelle quali la resistenza alle azioni verticali è affidata prevalentemente ai telai, la resistenza alle azioni orizzontali è affidata in parte
ai telai e in parte alle pareti, singole o accoppiate. Se più del 50% dell’azione
orizzontale è assorbita dai telai, si parla di strutture miste equivalenti a telai, altrimenti si parla di strutture miste equivalenti a pareti.
3αu/α1
4,5αu/α1
Strutture deformabili torsionalmente, composte da telai e/o pareti, la cui rigidezza torsionale non soddisfa a ogni piano la condizione r/ls > 0,8 , nella quale:
r 2 = rapporto tra la rigidezza torsionale e flessionale di piano,
l s2 = (L2 + B2)/12, con L e B dimensioni in pianta del piano.
2,0
3,0
Strutture a pendolo inverso, nelle quali almeno il 50% della massa è nel terzo superiore dell’altezza della costruzione o nelle quali la dissipazione d’energia avviene alla base di un singolo elemento strutturale.
1,50
2,0
Fig. 131.
Curvatura per la definizione di µϕ.
Per il calcolo delle azioni resistenti RD si assumono i coefficienti di sicurezza dei materiali
riportati in C-3.3.5.
Per tenere conto del possibile sfavorevole incremento oltre al valore di progetto della rigidezza delle travi di collegamento, si maggiora la relativa resistenza al taglio del 25% e si adotta tale
valore quale azione assiale per la verifica dei setti irrigidenti.
Per la verifica delle travi si considerano i momenti fittizi di estremità, in generale maggiori
di quelli determinati con l’analisi strutturale, ma necessari per evitare una rottura fragile per taglio
degli elementi orizzontali.
A ogni estremità tali momenti sono espressi da
∑
∑
M Rc

M id = γ Rd M Rb,i ; min  1, ------------------
M Rb

in cui γRd è un fattore che tiene in conto la possibile sovraresistenza dell’acciaio per effetto
dell’incrudimento, MRb,i è il momento di progetto della trave risultante dalla analisi, mentre
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ALTRI STATI LIMITE
Fig. 132.
∑
C-447
Momenti flettenti nel nodo strutturale.
∑
M Rc e
M Rb sono le somme dei valori dei momenti resistenti di progetto delle estremità
delle colonne e delle travi concorrenti nel nodo considerato (fig. 132).
Sia per i setti che per le colonne l’azione assiale di progetto non deve essere superiore a
0,5 Ac fck in modo da assicurare un adeguato livello di duttilità.
Per la verifica a taglio si considera l’effetto dei carichi e quello derivante dai momenti resistenti delle estremità dell’elemento, secondo l’espressione (102) e figura 132.
V D = V G + ψ2 V Q ± V E ± V M
Fig. 133.
s
i
 M1 + M2
1
V M = ----- max 
i
s
l
 ( – M )1 + M 2
Disposizione delle staffe.
(102)
276-472_CAP_03_C Page 448 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-448
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
L’interasse tl delle staffe (chiuse e con diametro minimo 6 mm) nelle zone terminali delle
travi e dei pilastri, deve soddisfare le condizioni indicate nella figura 133. Si deve verificare, in
particolare, che
0,0018 f cd
A ss ≤  A si + ----------------- -------- b l a l

µ ϕ ε syd f yd
f ctm
A si ≥ 0,5 A ss ovunque A si ≥ 0,5 b l a l ---------f yk
Con analogo procedimento si determinano le percentuali di armatura e i valori di progetto per
le estremità delle colonne
∑
∑
M Rb

M d = γ Rd M Rc ; min  1, ------------------
M Rc

In entrambi i casi si assegna a γRd il valore 1,30 per CD “A” e 1,10 per CD “B”.
Nel caso delle travi, a causa dell’inversione ciclica dei momenti dovuti al sisma, (con conseguente possibile deformazione plastica delle armature superiori e inferiori e fessurazione sull’intera altezza), non deve essere messo in conto il contributo del calcestruzzo teso VcR2 alla resistenza
al taglio (C-3.9.2.3).
Quando sia sempre presente un’azione assiale di compressione, come nel caso delle colonne,
indicando con Mdec ed MD rispettivamente il momento di decompressione e quello di progetto, posto βdec = 1 + Mdec / MD < 2, si può considerare attiva la parte del contributo del calcestruzzo teso:
∗ ⋅ β dec = 0,45 f ctd bh β dec
∗ = VcR2
VcR2
Nei setti di lunghezza l l’armatura orizzontale minima posta a interasse t è definita da
N D∗ – -----V D – VcR2
∗
A
A
V D – VcR2
Ac - .
, mentre quella verticale a interasse v a V = ------v = ---------------------------------------a t = -----t = --------------------------l fs
l fs
t
v
3.11.3.5 Esempio. Verificare la resistenza al sisma della struttura rappresentata nella figura 134.
La struttura può essere definita come regolare; la presenza di due setti irrigidenti consente
l’analisi di telai piani fra i quali si considera nel presente esempio quello longitudinale di bordo.
I carichi agenti sono:
– permanenti incluso il peso proprio g = 6,5 kN m–2;
– accidentali ai livelli 1,2,3: ψ = 0,4 q = 5,0 kN m–2;
– accidentali al livello 4: ψ = 0,2 q = 2,0 kN m–2.
I carichi totali di progetto risultano quindi:
– al livello 4: 6,5 + 0,2 × 2 = 6,9 kN m–2
– ai livelli 1-2-3: 6,5 + 0,4 × 5 = 8,5 kN m–2
Per i materiali si considera calcestruzzo con fck = 36 N mm–2 e acciaio con fs = 430 N mm–2.
Si suppone che la struttura abbia un coefficiente di importanza I = 1,1 e che debba essere costruita su terreno ghiaioso caratterizzato da S = 1,28 e per il quale la massima accelerazione è prevista a = 3,2 m s–2 con T0 = 0,4 s.
Il primo modo risulta essere di traslazione secondo x, con periodo 0,42 s; a tale condizione
si può ritenere associato un comportamento a telaio, a cui corrisponde il coefficiente ξ = 3,5.
Risulta quindi per α = 2,5:
0,40 2 / 3
R a = ( 0,42 ) = 1,1 × 2,5 × 3,2 × 1,28  ---------- ⁄ 3,5 = 3,11 m s –2
 0,42
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ALTRI STATI LIMITE
Fig. 134.
C-449
Schema della struttura, carichi verticali ed orizzontali.
Per l’analisi statica equivalente si calcolano i carichi di competenza ad ogni piano del telaio
in esame; supponendo che tutti i telai longitudinali abbiano la stessa rigidezza e considerando gli
impalcati infinitamente rigidi nel loro piano, ad ogni telaio competono forze inerziali uguali mentre risultano ovviamente diversi i carichi verticali.
Nella direzione considerata i centri delle masse e delle rigidezze giacciono sulla stessa retta,
deve essere quindi considerata la sola eccentricità addizionale em = 0,05 × 14 = 0,7 m; la coppia risultante delle forze inerziali M = Ra em ∑m è assorbita dai setti trasversali che hanno rigidezza
molto superiore a quella dei telai longitudinali.
L’area di competenza per le forze inerziali agenti sul telaio di bordo risulta A = (6,0 + 8,0) ×
(9,0 + 9,0)/3 = 84 m2, ed inoltre è Ra /g = 0,317.
Per l’effettuazione dell’analisi statica equivalente, si ordinano nella seguente tabella i carichi
orizzontali agenti ad ogni piano e si applicano le (100).
Piano
h (m)
Wi (kN)
λi
λiWi (kN)
Ra λiWi /g (kN)
4
3
2
1
17,0
13,0
09,0
05,0
84 (6,5 + 0,2 × 2 = 6,9) = 579,6
84 (6,5 + 0,4 × 5 = 8,5) = 714,0
84 (6,5 + 0,4 × 5 = 8,5) = 714,0
84 (6,5 + 0,4 × 5 = 8,5) = 714,0
1,5882
1,2145
0,8408
0,4671
920,54
867,18
600,35
333,53
292,48
275,52
190,75
105,97
∑Wi = 2721,6
∑Wi hi = 29 131,2 kN m
hG = 10,70 m
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C-450
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 135.
Diagrammi delle azioni normali e flettenti.
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ALTRI STATI LIMITE
C-451
Per l’analisi del telaio piano è necessario calcolare i carichi verticali (concomitanti con le azioni
orizzontali evidenziate) che, per effetto della rigidezza degli impalcati, hanno una diversa ripartizione.
Con riferimento alla figura 134b si ottengono i valori massimi dei carichi che ne definiscono
la distribuzione trapezoidale ipotizzata per solai orditi in due direzioni.
Si effettua l’analisi del telaio mediante codice di calcolo lineare per i carichi considerati, relativi alla combinazione principale di progetto (101); i risultati sono riportati nella figura 135.
Alla base della colonna centrale assumendo γE = 0,6 × 0,42 + 0,85 = 1,10 si ottiene N = – 642 kN,
M = 886,8 × 1,10 = 975 kN m; nel diagramma di interazione della colonna, riportato nella figura 136,
Fig. 136.
Verifica della colonna centrale.
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C-452
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
il punto corrispondente cade all’interno della frontiera del dominio di rottura calcolato per fcD = 36/
1,5 N mm–2 fsD = 430/1,15 N mm–2; si noti che, a favore di sicurezza, non è stato applicato a N il
moltiplicatore γE .
Invertendo il verso delle forze orizzontali risulta N = – 190 kN, M = –1,10 × 905 = – 995 kN m
e la verifica è ugualmente soddisfatta (fig. 136).
Si osserva che la colonna laterale sinistra è soggetta ad azione assiale di trazione N = + 588
kN al momento M = 797,4 × 1,10 = 877 kN m ed al taglio V = 260 kN e che quindi risulta ridotta
la resistenza al taglio; la sezione adottata risulta inoltre insufficiente per la verifica a tensoflessione; per ovviare ad entrambe le carenze è necessario un aumento della sezione e delle armature o,
meglio, l’adozione di precompressione assiale tale da equilibrare la trazione (1 cavo 4d15 mm
con fp = 1800 N mm–2 fornisce Np = – 4 × 139 × 1050 = 583,8 kN).
3.12
ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
3.12.1 Motivazioni. In generale nella analisi strutturale le relazioni di equilibrio devono essere
riferite alla geometria della struttura dopo l’intervento delle deformazioni; la relazione Q,u fra i
carichi Q e gli spostamenti u risulta non lineare per le motivazioni esposte nel seguito.
Si possono individuare 3 casi in cui le usuali ipotesi di proporzionalità fra azioni e deformazioni non sono più valide.
a) Effetto di azioni elevate: in presenza di forze e momenti significativi, le equazioni di equilibrio relative alla configurazione indeformata differiscono sensibilmente da quelle ottenute tenendo conto delle deformazioni anche se queste sono limitate (vedere effetto P, ∆ in C-3.11.3).
b) Effetto di grandi spostamenti: in presenza di grandi spostamenti come ad esempio in un arco molto ribassato, cadono le ipotesi di proporzionalità fra deformazioni e spostamenti e variano
significativamente le posizioni delle azioni.
c) Effetto della non linearità delle leggi costitutive dei materiali: quando la relazione tensionideformazioni non è lineare, vengono modificati gli spostamenti derivanti dalle azioni anche se le
equazioni di equilibrio relative alla configurazione indeformata possono risultare sufficientemente
approssimate.
c1) Il legame costitutivo, non è lineare per il calcestruzzo (anche per limitati valori delle tensioni)
e per l’acciaio, oltre lo snervamento.
c2) Gli spostamenti u dipendono dal tempo per effetto del ritiro e del rifluimento del calcestruzzo
e del rilassamento dell’armatura attiva.
In generale fra le strutture sensibili a questi effetti sono da considerare i telai nei quali le colonne hanno snellezza (103):
λ = l0
A
--------c > 25
Ic
(103)
3.12.2 Sviluppo dell’analisi (cenni). A causa delle non linearità evidenziate viene a cadere la
sovrapponibilità degli effetti e quindi deve essere effettuata una analisi per ogni condizione di carico; in questa ottica i problemi di instabilità sono trattati mediante l’individuazione del valore di
uno o più carichi che, in presenza di altri carichi assunti come costanti, non sono equilibrati dalle
azioni interne.
Le equazioni generali di equilibrio possono essere poste nella forma generale Ku = Q tenendo
conto che la matrice di rigidezza K è funzione degli spostamenti u e dipende dalle tensioni attraverso le leggi costitutive dei materiali.
Per quanto sopra non è possibile l’inversione di K per ottenere u e quindi si deve procedere
per successive linearizzazioni scegliendo un metodo di soluzione; gli effetti della non linearità
delle leggi costitutive dei materiali sono considerati nella formulazione (nel riferimento locale)
della matrice di rigidezza di ogni elemento finito componente la struttura mentre quelli della non
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ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
C-453
linearità geometrica sono considerati inserendo gli spostamenti nella matrice di trasformazione delle rigidezze nel riferimento globale.
A causa della fessurazione e delle deformazioni differite la risposta della struttura (spostamenti ed azioni interne) dipende dalla storia del carico e quindi, nella soluzione matematica, dal percorso prescelto.
I metodi più diffusi di soluzione sono i seguenti:
a) Metodo del carico incrementale. Il carico totale Q è suddiviso in incrementi ∆Q, si forma
la matrice K usando le rigidezze tangenti, ossia quelle calcolate per gli spostamenti e le tensioni
del passo precedente, si calcolano gli spostamenti incrementali ∆ u e quelli totali u.
Ad ogni passo è quindi possibile tenere anche conto degli effetti delle deformazioni differite,
della temperatura, di cedimenti vincolari e degli effetti della fessurazione.
Il procedimento termina quando si è ottenuta la risposta della struttura al carico Q, oppure
quando le azioni interne non equilibrano il carico o gli spostamenti sono eccessivi (fig. 137a).
b) Metodo iterativo. Si applica l’intero carico Q e si calcola la frazione non equilibrata Qne
sottraendo da Q la relativa risultante Ri delle azioni resistenti interne; il rapporto Qne / Q rappresenta la entità della discrepanza dallo stato di equilibrio.
Si aggiorna la matrice di rigidezza e si applica alla struttura Qne, iterando fino al raggiungimento dell’equilibrio (se esiste).
Tale metodo è più rapido del primo ma i risultati sono meno corretti perché dipendenti dal
percorso (fig. 137b).
c) Metodo combinato. Tale metodo combina i vantaggi dei due precedenti, applicando il carico per incrementi ed iterando per una rapida convergenza.
Lo schema di analisi non lineare secondo il metodo combinato è riportato nel seguito.
Tempo tn si suddivide il carico Q in frazioni ∆Q e si applica alla struttura la frazione ∆Qn .
Fasi: a) Per ogni elemento strutturale si calcola la matrice di rigidezza tangente nel sistema locale, in base alla geometria ed alle leggi costitutive dei materiali; mediante la matrice
di trasformazione si assembla la matrice di rigidezza globale K.
b) Si risolve il sistema K ∆u = ∆Qn per gli incrementi ∆u degli spostamenti e si opera la
trasformazione in coordinate locali per ottenere gli incrementi di spostamento alle estremità degli elementi finiti.
c) Mediante le leggi costitutive, dagli spostamenti di estremità si calcolano le deformazioni
∆ε che vengono sommate a quelle precedenti per ottenere quelle totali εn .
d) Si calcolano gli spostamenti totali un e conseguentemente si aggiornano le lunghezze
degli elementi e le matrici di trasformazione degli spostamenti dal sistema di riferimento locale a quello globale.
Fig. 137.
a) b)
Schemi concettuali dei metodi a, b, c.
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C-454
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
e) Si sottraggono le deformazioni non meccaniche εnm da quelle totali εn , per ottenere quelle
εs inerenti allo stato tensionale; tramite le leggi costitutive (σ, εs) si calcolano le tensioni
al tempo tn , considerando anche gli effetti delle possibili inversioni delle azioni.
f) Si integrano le tensioni sulle sezioni e si calcolano le azioni interne corrispondenti Ri
che vengono trasformate nel sistema globale tenendo conto degli spostamenti un.
g) Si calcolano le frazioni non equilibrate Qne dei carichi totali Qn, sottraendo da questi i
contributi delle azioni interne Ri: Qne = Qn – Ri .
h) Si pone ∆Qn = Qne, lo si applica alla struttura e si riparte da a; l’iterazione si arresta se
risulta ∆Qn < tolleranza prefissata.
Tempo tn + 1: si riparte da a) incrementando i carichi.
Gli effetti delle deformazioni non meccaniche (ritiro, rifluimento, rilassamento, temperatura)
sono calcolati dalle relative deformazioni mediante la seguente procedura.
n1 Al tempo tn si bloccano gli spostamenti dei nodi.
n2 Si calcolano al tempo tn+1 le azioni necessarie per impedire gli spostamenti dei nodi, se questi fossero liberi; si integrano quindi le tensioni prodotte dalle deformazioni non meccaniche
che si sviluppano fra tn e tn+1 per effetto del vincolo dei nodi n1.
n3 Al tempo tn+1 si liberano i nodi e si applicano a questi, con verso opposto, le azioni precedentemente calcolate, che sono quindi trattate alla stregua di carichi addizionali ∆Qnm.
n4 Al tempo tn+1 l’incremento di carico è quindi espresso da:
∆Q n + 1 = Q ne, n + ∆Q nm + ∆Q
Con il procedimento illustrato si considerano gli effettivi legami tensioni deformazioni dei
materiali in modo da valutare esattamente gli effetti del secondo ordine e si determinano i valori
QR dei carichi che provocano il collasso della struttura e quindi i risultanti moltiplicatori
γQR = QR / Q rispetto ai valori di esercizio.
L’effetto delle carenze di resistenza dei materiali è valutabile in modo corretto soltanto in termini di sensibilità relativa della struttura ossia calcolandone le azioni per i valori QD = γQD × Q e
verificando che QD < R/γm indipendentemente dalle deformazioni corrispondenti nel legame costitutivo assunto per il progetto.
Per le strutture correnti si adottano metodi semplificati di analisi che, in generale, considerano
una sola legge costitutiva basata sulle resistenze ridotte di progetto RD = R/γm e quindi sovrastimando gli effetti geometrici del 2° ordine; alcuni di questi sono illustrati nel seguito.
3.12.3
Metodo approssimato per telai piani
3.12.3.1 Principi informatori. Supponendo trascurabili gli accorciamenti elastici delle travi, la
struttura a telaio è risolta in campo elastico attribuendo alle aste rigidezze secanti ottenute dai
diagrammi di interazione N, M, h / r (h / r = curvatura adimensionale) per valori inizialmente stimati
di MD e ND; oltre alle azioni nelle membrature dovute ai carichi FD, si ottengono spostamenti
orizzontali ui ad ogni piano che modificano le rette di azione dei carichi verticali e richiedono
una nuova analisi del telaio con la geometria variata (fig. 138).
Si tratta in sostanza di aggiungere alle coordinate dei nodi gli spostamenti uin e di iterare il
calcolo fino a quando i valori nel ciclo n differiscono da quelli del ciclo n – 1 di una quantità
prefissata ui,n – ui,n–1 < δ.
Ad ogni passo n, essendo noti per ogni membratura del telaio i valori M, N, è necessario
ricontrollare, tramite le relazioni di interazione N, M, h/r, se le rigidezze assunte a base del calcolo devono essere ridotte; in caso affermativo si deve ripetere il procedimento dall’inizio adottando
le rigidezze equivalenti calcolate con la (104), secondo lo schema della figura 139 suddividendo
la lunghezza in tratti ∆x.
l
( EI ) eq = ----------(104)
∆x
Σ -----EI
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ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
Fig. 138.
Fig. 139.
C-455
Effetti del 2° ordine nei telai piani.
Relazioni momento, curvatura, rigidezza.
Per il calcolo delle deformazioni si assumono leggi costitutive correlate alle resistenze medie dei
materiali tenendo conto eventualmente anche dell’effetto irrigidente del calcestruzzo teso.
3.12.3.2 Interazione azione assiale, flettente, curvatura. Per una sezione di cui è assegnata la
geometria, la posizione e l’area delle armature ed i relativi legami tensioni-deformazioni dei materiali, ad ogni coppia di valori di valori dei parametri ε0 e ψ che definiscono il campo delle deformazioni corrisponde una coppia di azioni interne N,M.
Prefissando l’azione assiale N, al variare di M, è possibile determinare il campo pure variabile delle deformazioni e quindi ricavare il legame M, ψ; si osserva che varia anche ε0 e quindi la
deformazione assiale dell’elemento εl = ε0 + yl × ψ = con yl ordinata del baricentro.
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C-456
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 140.
Interazione N, M, 1/r.
La relazione differenziale di equilibrio valida in campo elastico
1
– d2 y ( x )
M ( x)
-------------- = -------------------- = – --- = ψ
r
EI ( x )
d x2
per un tronco dx di trave soggetto ad M(x) e conseguentemente deformato con legge y (x), può essere considerata valida allo scopo di determinare, noti N, M, ψ, la rigidezza corrispondente EI (x);
si noti come in tal modo si possa definire soltanto il valore del prodotto EI (x) e come questo dipenda anche dal valore della azione assiale N e del momento M attraverso ε0 e ψ.
La relazione completa di interazione N, M, ψ è rappresentabile nel piano M, 1/r con un fascio di curve ognuna corrispondente ad un valore di N (fig. 140).
A causa della non linearità del legame tensioni-deformazioni del calcestruzzo, non è possibile,
anche per le forme più semplici di sezione, la determinazione analitica del legame di interazione
ed è quindi necessario procedere con metodi numerici per ogni caso assegnato; il numero e la ripetizione dei calcoli necessari richiedono l’uso dell’elaboratore.
Le equazioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione della sezione si scrivono rispettivamente (105):
Σ∆ A c σ c + Σ∆ A s σ s = N
(105)
Σ∆ A c y c σ c + Σ∆ A s y s σ s = M
in cui ∆Ac e ∆As sono rispettivamente le aree elementari di calcestruzzo e di acciaio, poste a distanza yc, ys dal punto O della sezione completa.
σc , σs dipendono da ε tramite le leggi tensioni-deformazioni; il campo delle deformazioni è dato
da ε = ε0 + yψ.
Si assumono come incognite ε0 e ψ (fig. 141) rispettivamente deformazione specifica di riferimento su un punto O e inclinazione sulla verticale del diagramma delle deformazioni.
Per ogni valore prefissato di ψ, che assume il ruolo di variabile indipendente per il calcolo
di M, è possibile determinare ε0 in modo che risulti soddisfatto l’equilibrio alla traslazione e quindi ricavare M; al variare di ψ, per intervalli ∆ψ prefissati, dalla relazione di equilibrio alla rotazione si ottengono quindi valori numerici della relazione di interazione cercata.
Si osserva che, per l’effetto irrigidente del calcestruzzo (C-3.7.1.1) fra due lesioni, si dovrebbe introdurre nel calcolo della curvatura la deformazione media dell’acciaio εsm ; tenendo conto
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ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
C-457
che l’analisi è dedicata al comportamento strutturale sotto azioni elevate, alle quali corrispondono
tensioni nell’acciaio altrettanto elevate, tale effetto è trascurabile.
Per il calcolo di ε0 si usa il metodo di Newton-Raphson di successiva approssimazione che
normalmente converge entro l’errore massimo del 1% in 4 o 5 cicli; assegnati due valori iniziali
ε01 ed ε02 = ε01 + ∆ε0, e calcolate con la prima delle (105) le corrispettive azioni assiali N1, N2,
una migliore approssimazione è fornita dalla estrapolazione lineare (106)
N – N1
ε 0 = ε 01 + ∆ε 0 -----------------N2 – Ni
(106)
che viene impiegata iterativamente fino a quando risulta N – Ni < ∆N con ∆N errore massimo
prefissato (ad esempio si pone ∆N/N = 0,001).
I calcoli sono ovviamente terminati quando, per N assegnato, al crescere di ψ si raggiunge la
rottura di uno dei materiali.
Nel caso della sezione rettangolare, assumendo valide anche per il calcolo delle deformazioni
le leggi costitutive dei materiali (54 e 55), sostituendo comunque in queste le resistenze caratteristiche a quelle di progetto, i legami azioni-deformazioni risultano dalle (61)-(62)-(63).
3.12.3.3 Esempio. Per la sezione rettangolare rappresentata nella figura 141 impostare il calcolo
della relazione momento curvatura per N = – 680 kN e con calcestruzzo avente resistenza media
fcm = 30 000 kN m–2, εcc = – 2 E – 3.
Si stabilisce per ψ l’incremento ∆ψ = 0,5 E – 3.
Per determinare un valore iniziale per ε0, ponendo:
αs = Es /Ec = 10, Es = 21 E 7 kN m–2, Ec = 30 E 6 kN m–2, Ai = 0,30 × 0,40 + 2 × 10 × 8,24 E – 4 = 0,1365 m2
si ottiene:
– 680
ε 0 = ------------------------------------ = – 0,1661E – 3
0,1365 × 30E6
ψ = 0 (risulta quindi anche M = 0)
Si pone:
ψ1 = 0 + 0,5 E – 3 = 0,5E – 3 ε0,1 = [– 0,1661 – 0,05] E – 3 = – 0,2161 E – 3 e si calcola con le (61)
Fig. 141.
Sezione per ricerca relazione momento-curvatura.
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C-458
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
2
– 0,30 × 30000 – 0,2161
N 1.1 = -----------------------------------  ---------------------- × ( – 3 ( – 2 ) – 0,2161 )E – 3 = – 405 +
3 × 0,5E – 3  – 2 
+ [ 8,24E – 4 × 21E7 ( 2 ( – 0,2161 ) + ( 0,03+0,37 ) × 0,5 ) E – 3 = –40,2 ] = – 445,2 kN
Poiché N1,1 ≠ N si pone ε0,2 = [– 0,2161 – 0,05] E – 3 = – 0,2661 E – 3 e, lasciato invariato ψ,
si calcola N2,1 = – 609 – 57,5 = – 666,5 kN.
Si determina con la formula di Newton-Raphson (104)
– 680 + 445,2
ε 0.3 = – 0,2161 –0,05  ------------------------------------  E – 3 = – 0,2692 E – 3
 – 665,5 + 445,2 
e quindi N3,1 = – 622,7 – 58,5 = – 681,3 kN.
Ritenendo il valore calcolato sufficientemente approssimato a quello prefissato, si calcola:
– 0,30 × 30000 – 0,2692 2
M 1 = ----------------------------------2-  -------------------  ( – 0,2692E – 3 ) ( 4 × ( – 2 ) – 0,2692 )E – 3 = – 113,0
( 120,5E – 3 )  – 2 
+ [ 8,24E – 4 × 21E7 ( – 0,2692 + 0,03 × 0,5 )0,03 +
+ ( – 0,2692 + 0,37 × 0,5 )0,37 )E – 3 = – 6,7 ] = – 119,7 kN m
Risulta quindi determinata una coppia di valori ψ1 = 0,5 E – 3; M1 = –119,7 kN m, corrispondenti a h/r = 0,37 × 0,5 E – 3 = 0,185 E – 3.
Poiché le azioni calcolate sono applicate al centro O, si calcolano quelle equivalenti sul centro geometrico:
NG = – 681,3 kN
MG = – 119,7 + 681,3 × 0,40/2 = + 16,6 kN m
Si procede in modo analogo per ψ2 e così di seguito; il diagramma completo, calcolato mediante programma, è riportato nella figura 142.
3.12.3.4 Metodo N,a. In alternativa a quello generale trova impiego il metodo detto N, a, oppure P, ∆, che approssima sufficientemente l’effetto degli spostamenti mediante applicazione ad
ogni piano i di forze orizzontali addizionali e fittizie tali da generare azioni circa equivalenti a
quelle derivanti dagli spostamenti dei punti di applicazione dei carichi (107).
ai
H i = ---- N i – H i – 1
li
n
Ni =
∑ ( N ij ) + N i – 1
1
(107)
j
in cui ai = ui – ui+1 è lo spostamento relativo del piano i rispetto a quello sottostante dovuto alle forze
orizzontali Fi; Ni è la somma di tutti i carichi verticali del piano i e di quelli soprastanti (fig. 143).
Tale relazione è esatta per aste incernierate alle estremità, nelle quali il momento del secondo
ordine N a cresce linearmente dalla sommità alla base; nel caso di aste con incastri elastici, come
quelle di un telaio, la relazione è a favore di sicurezza poiché la deformata si discosta dalla precedente in direzione sfavorevole alla sommità ove è minore il momento del 2° ordine e in direzione favorevole alla base ove il momento è maggiore.
Si effettua una seconda risoluzione del telaio considerando agenti ad ogni piano le forze
Hi + Fi ed ottenendo nuovi spostamenti ai2; se questi differiscono molto dagli ai1 calcolati precedentemente, si ripete il calcolo delle nuove forze Hi2 e si itera fino ad ottenere la convergenza.
In pratica si osserva che i momenti flettenti nelle colonne aumentano ad ogni passo di calcolo all’incirca secondo una progressione geometrica di ragione α < 1 e quindi il valore asintotico
risulta (108).
M2 – M1 M3 – M2
M1
α = --------------------- ≈ --------------------(108)
M = -----------M3
M2
1–α
276-472_CAP_03_C Page 459 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
Fig. 142.
C-459
Relazione momento-curvatura risultante.
I carichi verticali ed orizzontali sono amplificati con coefficienti γQ, mentre le resistenze caratteristiche dei materiali sono divise per i coefficienti γm per ottenere rispettivamente le azioni
esterne ed interne di progetto.
Il metodo non necessita quindi dell’aggiornamento ad ogni passo della geometria della struttura ma
richiede comunque il calcolo delle forze orizzontali fittizie e ovviamente la modifica delle rigidezze.
3.12.4 Metodo della colonna modello. Tale metodo si applica a colonne con schema strutturale riconducibile ad incastro alla base e sommità libera (fig. 144).
Si ipotizza che la deformata della colonna sia di tipo cosinusoidale e si scrivono le equazioni
di equilibrio nella configurazione deformata; indicando con 1/r0 la curvatura alla base della colonna,
πx
e con a lo spostamento in sommità, la deformata risulta: y = a  1 – cos ------ e quindi con l0 = 2l

2l 
d 2y
1
---- = -------dx 2
ro
x=0
π 2
= a  -------
 l0 
ossia
1 lo 2
a = ----  -------
ro  π 
(109)
276-472_CAP_03_C Page 460 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-460
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 143.
Fig. 144.
Metodo N, a.
Schema colonna modello.
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ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
Fig. 145.
C-461
Relazione curvatura-momenti totali, del 1° e del 2° ordine.
Il momento flettente M0 alla base della colonna è somma di due contributi:
M0 = M1 + M2
(110)
con: M1 = Ne + H l momento del 1° ordine
1
M2 = N a
momento del 2° ordine, che risulta per la (109) funzione lineare di ---ro
Note le caratteristiche geometriche della sezione della colonna ed il legame tensioni-deformazioni dei materiali che la costituiscono, è possibile determinare la relazione di interazione M0 (N,
1/r0) (fig. 145) e quindi:
M1 = M0 – N a
(111)
Il momento del secondo ordine cresce linearmente con 1/r0 in accordo alla (109); il momento
M1max è dato dalla massima differenza tra M0 e M2 .
La trattazione precedente presuppone che la deformata della colonna abbia andamento cosinusoidale; il risultato ottenuto con tale ipotesi è tanto più corretto quanto più i carichi esterni inducono nella colonna una deformata vicina a quella ipotizzata.
Esistono alcune varianti al metodo che consentono di ridurre l’approssimazione dei risultati
dovuta a tale scostamento.
Il metodo è applicabile anche a colonne con vincoli diversi alle due estremità poste a distanza l; in tal caso, considerando la opportuna deformata, si determina la sezione critica ove si valuta il momento M e quindi si considera la relativa altezza di inflessione l0.
Nelle analisi occorre tener conto dell’effetto del rifluimento che esalta la deformabilità della
struttura; a questo scopo si modifica il legame costitutivo del calcestruzzo moltiplicando le deformazioni per (1 + φ), con φ funzione di rifluimento (C-3.4.1.1).
Poiché le imperfezioni di costruzione non consentono di garantire l’esatta posizione dei carichi verticali rispetto all’asse geometrico della colonna, è bene tenere in conto un’eccentricità non
intenzionale di questi pari a e = l/300 con un minimo di 20 mm (che porta ad una diminuzione
del massimo momento del primo ordine pari a N e).
Nelle figure 146, 147 e 148 sono riportate per sezione rettangolare, e valori 0,1; 0,2 e 0,3
del rapporto meccanico di armatura ρm = As fsd / (fcd Ac = Nc) le curve che rappresentano i valori
µ = M0 / hNc in funzione delle curvature adimensionali h/r, per valori discreti di ν = N/Nc e che
276-472_CAP_03_C Page 462 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-462
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 146.
Diagramma per metodo della colonna modello con: ρm = 0,10.
consentono di determinare graficamente il valore di µ1max; le curve sono relative agli effetti immediati e a εsn = 2 E – 3.
Il momento adimensionale del secondo ordine è espresso da (112):
2
υ  lo  h
µ 2 = ----2-  ----- --π h r
(112)
276-472_CAP_03_C Page 463 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
Fig. 147.
C-463
Diagramma per metodo della colonna modello con: ρm = 0,20.
l o 12
Per le sezioni rettangolari, indicando con λ = ------------- la snellezza, il momento adimensionale
h
υ - λ 2 --h- ; nei grafici sono quindi riportati
del secondo ordine è esprimibile anche con: µ 2 = ----------r
12π 2
segmenti corrispondenti a valori discreti di υλ2 per h/r = 0,0030; 0,0045 che consentono di tracciare agevolmente l’andamento (rettilineo) di µ2.
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C-464
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 148.
3.12.4.1
Diagramma per metodo della colonna modello con: ρm = 0,30.
Esempio colonna modello.
γ H H = 8,5 kN
Con riferimento alla figura 149, si assume:
γ N N = 600 kN
e = 0,02 m
M 1D = 8,5 × 8 + 600 × 0,02 = 80,0 kN m
f ck = 28300 kN m –2
f cd = 18865 kN m –2
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ANALISI NON LINEARE ED EFFETTI DEL 2° ORDINE
Fig. 149.
C-465
Caratteristiche geometriche della colonna.
N c = 0,30 × 0,53 × 18865 = 3000 kN
f sk = 483000 kN m –2
γ s = 1,15
f sd = 420000 kN m –2
rapporto meccanico di armatura ρm = 714 E – 4 × 420000/3000 = 0,10
lunghezza di libera inflessione l0 = 2 × 8,0 = 16,0 m, snellezza λ = 16 12 ⁄ 0,5 = 110,85 azione
assiale adimensionalizzata ν = 600/3000 = 0,20
Nel grafico corrispondente a ρm = 0,10 (fig. 150), si traccia la retta corrispondente a υλ 2= 2457.
Volendo evitare l’interpolazione fra i valori υλ2 = 2000; 2500 si possono determinare due
punti di appartenenza alla retta µ2, ad esempio
h/r = 0,003;
0,0045
µ2 = 0,0623; 0,0934
Il massimo valore di µ1 = µ – µ2 vale circa 0,055 = 0,130-0,075 per h/r = 0,00365; risulta
quindi M1R = µ1 hNc = 0,055 × 0,50 × 3000 = 82,5 kN > M1D = 80,0 kN m e la verifica è quindi soddisfatta.
Lo spostamento teorico della sommità della colonna calcolato per la curvatura adimensionale
h/r = 0,00365 risulta (109):
0,00365 16,0 2
a = -------------------  ---------- = 0,189 m
0,50  π 
il momento totale alla base è quindi M = 600 (0,189 + 0,020) + 8,5 × 8,0 = 193,7 kN m.
Se le azioni di progetto sono permanenti, assumendo per la funzione di rifluimento il valore
φ = 2,2, lo spostamento alla sommità diviene:
a(t) = (1 + 2,2) × 0,189 = 0,605 m
ed il momento alla base:
M(t) = 442,9 kN m > MR = 0,130 × 0,50 × 3000 = 195 kN m
e quindi la verifica non è soddisfatta ed è messa in evidenza la possibilità di un collasso per effetto del rifluimento.
276-472_CAP_03_C Page 466 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-466
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Fig. 150.
3.13
Determinazione µ1max con uso del grafico.
CRITERI PER LA DISPOSIZIONE DELLE ARMATURE E DISEGNO
DELLA STRUTTURA
3.13.1 Disposizione delle armature. Solo la corretta disposizione delle armature consente la attuazione dei sistema resistente all’interno della struttura ideato o intuito in fase di progettazione; per
lo scopo predetto è necessaria la completa rappresentazione delle armature nei disegni costruttivi.
276-472_CAP_03_C Page 467 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CRITERI PER LA DISPOSIZIONE DELLE ARMATURE E DISEGNO DELLA STRUTTURA
3.13.1.1 Requisiti strutturali.
siti principali e precisamente:
C-467
La disposizione delle armature deve ottemperare ad alcuni requi-
a) il contenimento delle trazioni evidenziate dai tiranti nello schema a tiranti e puntoni che
fornisce equilibrio nello stato limite di rottura progettato; rientrano in questo scopo anche le predisposizioni per il confinamento dei calcestruzzo compresso ove necessario
b) il contenimento della apertura delle lesioni nello stato limite di servizio
c) il conferimento di duttilità agli elementi strutturali
d) garanzia dell’ancoraggio di ogni barra mediante piastre terminali o tramite una adeguata
lunghezza di trasmissione delle tensioni di aderenza.
In generale i requisiti a e b conducono a diverse distribuzioni delle armature che, in ogni caso, devono essere attuate entrambe; inoltre le giunzioni delle barre devono, ove possibile, essere
poste nelle zone in cui la loro tensione risulta minore mentre in caso contrario devono essere
adottati connettori meccanici.
La disposizione delle armature deve ovviamente soddisfare alle esigenze della struttura che
deve essere realizzata e che spesso risulta essere più complessa dei corrispondente schema adottato per l’analisi.
Tipico esempio sono i fori di piccole dimensioni necessari per gli impianti e che spesso devono essere posizionati in adiacenza ai pilastri in corrispondenza alle connessioni con le travi; ovviamente i fori di maggiore dimensione sono considerati anche nello schema della struttura.
3.13.1.2 Requisiti costruttivi. La disposizione delle armature deve consentire in fase di getto il
riempimento, in modo sicuro, della forma e l’avvolgimento completo delle barre, previe considerazione delle caratteristiche della miscela.
Difficoltà di questo tipo devono essere risolte in sede di progetto; il disegno delle armature
avuto riguardo alle reali dimensioni è un valido mezzo per evidenziarle.
3.13.2 Disegno della struttura. Gli elaborati grafici costituiscono il riferimento per la realizzazione della struttura e devono quindi risultare esaurienti ed univoci. Interventi durante la costruzione espletati dalla Direzione dei Lavori possono essere utili solo se preventivamente programmati e mirati al controllo ed eventuale miglioramento di particolari complessi di armature; negli
altri casi deve essere espletata unicamente la funzione di controllo della corrispondenza dei materiali e della costruzione agli elaborati progettuali.
Si evidenziano quindi disegni di assieme, costituiti da piante e sezioni dei getti, sulle quali
vengono riportati i giunti, gli appoggi, le sequenze di disarmo ed inoltre i carichi di progetto
(permanenti ed accidentali) e le classi di resistenza dei materiali.
Sono riportati tutti i riferimenti per la identificazione di elementi strutturali il cui sviluppo sia
dettagliato in altri elaborati.
Normalmente le piante sono organizzate come viste “speculari” degli impalcati ossia come questi apparirebbero riflessi in uno specchio sottostante; in tal modo appaiono sezionate le strutture di
sostegno ed in vista le nervature così che risultano evidenziati gli elementi strutturali ed è immediatamente comprensibile la conformazione delle forme e dei banchinaggi necessari per la costruzione.
Su tali elaborati o su altri dedicati allo scopo sono indicati i riferimenti necessari per il tracciamento dell’opera con appoggio sui capisaldi riportati sul terreno.
Seguono disegni dettagliati delle forme delle strutture che vengono definite tecnicamente come “carpenterie”; analoghi elaborati riportano gli assiemi ed i dettagli delle armature passive ed
attive e degli elementi metallici in generale.
3.13.2.1
Disegno delle armature.
a) la disposizione generale
b) l’assieme
I disegni delle armature devono evidenziare:
276-472_CAP_03_C Page 468 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-468
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
c) i dettagli
d) lo sviluppo dei componenti.
Devono inoltre consentire al progettista una visione completa per il controllo della corrispondenza alle ipotesi di progetto ed ai risultati delle analisi e dare al direttore dei lavori un documento di riferimento per il controllo della realizzazione.
Per quanto sopra evidenziato sono necessarie:
a) una o più rappresentazioni planimetriche che identificano la disposizione generale dei vari
livelli delle armature e le marche che individuano le singole barre o le gabbie tipiche
b) rappresentazione delle sezioni longitudinali e trasversali delle gabbie tipiche (costituite da
barre, staffe e legature).
c) sviluppo dei dettagli e dei particolari tipici od unici atti ad evidenziare quanto è necessario
per il corretto comportamento strutturale e per verificare con le reali dimensioni delle armature
l’esistenza di sufficiente spazio per l’effettuazione dei getto
d) sviluppo delle singole barre che ne individua il numero totale, il passo, diametro e la sagoma con le relative dimensioni parziali; a volte tali elaborati sono costituiti da tabelle che raggruppano elementi geometricamente simili ma con dimensioni diverse.
Un esempio di possibile rappresentazione delle armature e delle carpenterie è riportato nelle
figure 151, 152 e 153 relative ad un solaio continuo a cassettonato (per concessione Redesco Progetti srl – Milano).
Si verifica inoltre la esistenza di almeno una sequenza di montaggio che consenta di realizzare l’armatura progettata e, possibilmente, di attuare fuori opera un premontaggio parziale.
3.13.2.2 Convenzioni grafiche. Non esistono specifiche norme per la definizione dei segni grafici da adottarsi per l’indicazione delle armature; si riportano nella fig. 154 quelle in uso presso
una nota società di progettazione (per concessione Redesco srl – Milano).
Sono evidenziati il riferimento delle quote parziali di sagomatura all’esterno delle barre, i raggi di curvatura ammissibili, la giacitura dei risvolti delle barre nel caso sia ortogonale al piano di
rappresentazione.
In generale si rappresenta con linea sottile il contorno esterno della struttura in calcestruzzo e
con linee nere di spessore grosso le armature principali e di spessore medio le armature secondarie, le staffe e le legature.
Tutte le barre devono essere contrassegnate nei disegni con una marca alfanumerica che ne
consente la identificazione ed il reperimento sullo stesso elaborato o su tabulato della sagomatura,
diametro, giacitura, passo e / o numero totale.
Unitamente alle predette caratteristiche devono risultare le eventuali giunzioni meccaniche, i
terminali saldati ecc.; per le armature secondarie rettilinee longitudinali la definizione “corrente”
ne implica l’estensione all’intera lunghezza della struttura, con eventuali sovrapposizioni da effettuarsi secondo particolari o specifiche.
Le quote sono espresse sempre in mm per il diametro; è consentita l’unità cm per le altre caratteristiche; le unità adottate devono essere evidenziate sugli elaborati.
Analoghe caratteristiche vengono conferite agli elaborati relativi alle parti in acciaio delle
strutture miste.
Gli inserti metallici che devono essere predisposti per molteplici funzioni sono rappresentati
su appositi elaborati con le note costruttive e secondo le relative convenzioni di disegno per saldature ecc.; le quote sono sempre espresse in mm.
Per la definizione del tracciato dei cavi per la post-tensione si ricorre ad appositi elaborati
che riportano le relative coordinate con riferimento al contorno esterno dei calcestruzzo che in fase esecutiva è materializzato dai paramenti interni delle casserature; vengono anche riportate le tipologie delle testate di tiro e di ancoraggio, le armature locali di cerchiatura, i sistemi di fissaggio dei cavo, la posizione ed il tracciato dei raccordi per l’iniezione delle guaine.
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CRITERI PER LA DISPOSIZIONE DELLE ARMATURE E DISEGNO DELLA STRUTTURA
Fig. 151.
C-469
Solaio continuo a cassettonato. Armatura superiore e inferiore.
Vengono inoltre indicati la composizione dei cavo (numero e diametro dei trefoli, diametro e
tipo delle barre), il tiro e l’allungamento corrispondente al netto degli assestamenti degli ancoraggi, il tipo della guaina, le specifiche di iniezione e di protezione finale delle testate.
Quando sono presenti più cavi deve essere riportata la sequenza di tiro; in ogni caso devono
essere indicate le operazioni preventive di disarmo per consentire senza vincoli non previsti le deformazioni della struttura indotte dalla precompressione.
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C-470
Fig. 152.
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Solaio continuo a cassettonato. Dettaglio, livelli A, B, C, D, E, F, G, H, L, M armature,
livelli reti Ri , Rs e barre di cucitura CR.
Deve inoltre essere specificata la resistenza caratteristica dei calcestruzzo alla data dei tiro.
Nel caso della post-tensione esterna vengono identificate le selle di deviazione con i relativi particolari e gli spostamenti che devono sia essere assegnati preventivamente al tiro che risultare posteriormente.
Nel caso della pretensione devono pure essere chiaramente identificate le armature attive con
le eventuali testate di ancoraggio ed i tratti di guaina che le separano dal getto; nelle sezioni trasversali la posizione delle armature è denominata “maschera”.
276-472_CAP_03_C Page 471 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
CRITERI PER LA DISPOSIZIONE DELLE ARMATURE E DISEGNO DELLA STRUTTURA
Fig. 153.
C-471
Solaio continuo a cassettonato. Caratteristiche armatura.
Appositi disegni sono dedicati ad altri elementi quali giunti ed appoggi, con gli opportuni riferimenti alle specifiche di costruzione.
3.13.3 Collaudo. Per ottenere l’agibilità delle strutture è prevista dall’art. 7 della legge 05/11/
1971 N. 1086 la effettuazione del collaudo da parte di Ingegnere iscritto all’apposito Albo ed
estraneo a qualunque attività di progettazione, direzione lavori e costruzione dell’opera.
276-472_CAP_03_C Page 472 Tuesday, February 28, 2012 10:39 AM
C-472
Fig. 154.
STRUTTURE IN CALCESTRUZZO ARMATO
Indicazioni generali. Cxx/yy indica C resistenza prismatica/resistenza cubica, per esempio, C35/40.
Al posto di # può esserci A oppure C.
Il collaudatore deve ispezionare l’opera, rilevandone eventuali difformità rispetto al progetto e
difetti apparenti, deve inoltre controllare i certificati di prova dei materiali ed i verbali delle eventuali prove di carico fatte eseguire dal direttore dei lavori, nonché esaminare l’impostazione generale della progettazione, degli schemi di calcolo e delle azioni considerate.
Nell’ambito della propria discrezionalità il collaudatore può fare effettuare prove di carico,
prove sui materiali e controlli non distruttibili sulle strutture, nonché assumere documentazioni integrative di progetto.
Le prove di carico devono essere effettuate previo assenso del progettista e del direttore dei
lavori (che è responsabile della loro effettuazione, anche con riguardo a eventuali puntellazioni
precauzionali); le azioni indotte dalle prove devono essere tali da determinare le massime tensioni
corrispondenti a condizioni rare (C-3.3.6).
L’esito delle prove deve essere valutato sulla base dei seguenti risultati:
– buona proporzionalità fra carichi e deformazioni
– assenza di lesioni, deformazioni permanenti o dissesti che compromettano la sicurezza e la durabilità dell’opera
– assenza di sensibili deformazioni permanenti, eventualmente da verificare ripetendo la prova di
carico in modo da eliminare gli effetti degli assestamenti iniziali
– buon accordo fra le tensioni e le deformazioni rilevate e calcolate.