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La verifica preliminare delle strutture in cemento armato

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La verifica preliminare delle strutture in cemento armato
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Università degli Studi di Roma “La Sapienza”
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE
STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO
prof. Luis Decanini
(versione del 18/06/2007)
1
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
INDICE
INDICE..................................................................................................................... 3
1.1.
Ipotesi e Convenzioni. Cemento armato........................................................... 5
TENSIONI AMMISSIBILI (Metodo n ).................................................................. 5
COEFFICIENTE DI EQUIVALENZA “n” ............................................................. 5
1.2. CALCESTRUZZO: diagramma σ − ε ............................................................ 6
RESISTENZA CARATTERISTICA DEL CALCESTRUZZO (Rck) ..................... 7
1.3.
ACCIAI: diagramma σ-ε .................................................................................. 8
CARATTERISTICHE DEGLI ACCIAI IN BARRE .............................................. 9
TENSIONI AMMISSIBILI NEGLI ACCIAI ........................................................ 10
TENSIONI AMMISSIBILI NEL CONGLOMERATO ........................................ 11
TENSIONI AMMISSIBILI DEL CONGLOMERATO ........................................ 12
TENSIONI TANGENZIALI AMMISSIBILI NEL CONGLOMERATO............. 14
1.4.
PILASTRI: carico centrato............................................................................. 15
INSTABILITÀ DEI PILASTRI ............................................................................. 19
CARICO CENTRATO........................................................................................... 19
LUNGHEZZA LIBERA DI INFLESSIONE (ℓ0) .................................................. 20
VALORI DI ω IN FUNZIONE DI
VALORI DI
lo
l
O DI o .................................................... 21
i
d
lo
E DI ω PER DIVERSE COMBINAZIONI DI l o E d ................ 22
d
CARICO ECCENTRICO ....................................................................................... 23
1.5.
PRESSIONE E FLESSIONE : PICCOLA ECCENTRICITA’...................... 24
PRESSIONE E FLESSIONE: PICCOLA ECCENTRICITA’............................... 25
1.6.
FLESSIONE SEMPLICE............................................................................... 43
1.7.
SEZIONE RETTANGOLARE CON ARMATURA SEMPLICE................. 45
Applicazione........................................................................................................... 47
1.8.
A.2 – CALCOLO DI PROGETTO. Armatura Semplice ............................... 52
CALCOLI APPROSSIMATI ................................................................................. 55
Applicazione........................................................................................................... 56
1.9.
B- SEZIONE RETTANGOLARE CON DOPPIA ARMATURA................. 58
B.2- CALCOLO DI VERIFICA DELLE TENSIONI.................................................... 58
Applicazione........................................................................................................... 60
3
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.10.
B.2- CALCOLO DI PROGETTO _Doppia Armatura ............................... 63
1.11.
Calcoli approssimati Armatura doppia ....................................................... 67
1.12.
SEZIONE A T ............................................................................................ 69
APPROCCIO SEMPLIFICATO DI VERIFICA ................................................... 73
Tabella luci massime e ammissibili, Solaio Misto, Approccio Semplificato
........................................................................................................................................ 83
Procedura semplificata: .......................................................................................... 87
Confronto tra i risultati dei differenti tipi di Verifica:............................................ 88
Calcolo del Momento Ammissibile........................................................................ 90
Confronto Risultati delle verifiche ......................................................................... 91
Verifica Semplificata:............................................................................................. 92
PRESSOFLESSIONE: Grande Eccentricità .......................................................... 93
SEZIONE PARZIALMENTE REAGENTE.................................................................. 93
C. 1. – CALCOLO DI VERIFICA DELLE TENSIONI........................................ 95
Pressoflessione-Grande Eccentricità .......................................................................... 95
C. 2_ CALCOLO DI PROGETTO- Doppia Armatura ........................................ 102
Pressoflessione-Grande Eccentricità ........................................................................ 102
Calcolo di progetto. Presso flessione-Grande Eccentricità .......................................... 106
4
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.1. Ipotesi e Convenzioni. Cemento armato
TENSIONI AMMISSIBILI (Metodo n )
1. Si ammette che le sezioni si conservino piane ( ipotesi di Navier), sia nel caso
dello sforzo normale che in quello della flessione.
2. Si ammette che la legge di Hooke sia valida per il calcestruzzo, ossia che Ec sia
costante. L’acciaio, sia teso sia compresso è in campo elastico (validità della
legge di Hooke)
3. Si conviene di non fare alcun assegnamento sulla resistenza a trazione del calcestruzzo. Si trascura la sua resistenza dove esso risulta teso.
4. Si conviene che l’aderenza tra l’acciaio e il calcestruzzo sia perfetta. Cioè
l’ugualianza delle deformazioni delle fibre di calcestruzzo e di acciaio poste a
contatto.
5. La sicurezza delle strutture si garantisce controllando che le tensioni massime,
per i carichi di esercizio, siano ovunque minori o uguali ad una frazione della
resistenza dei materiali. Tale frazione prende il nome di TENSIONI
AMMISSIBILI.
σ =
Resistenza
γ
(1)
COEFFICIENTE DI EQUIVALENZA “n”
Per le fibre di calcestruzzo e acciaio a contatto, nella condizione di congruenza (Ipotesi
4)
εc = εs = ε
(2)
σ s = Esε s
(3)
σ c = Ec ε c
(4)
εc = calcestruzzo
εs = acciaio
Per l’ipotesi 2
σs
Es
=
σc
σs =
Ec
Es
σ c = nσ c
Ec
(5)
con
n=
Es
Ec
(6)
A parità di deformazione la tensione nell’acciaio è n volte quella del calcestruzzo. Serve
a calcolare la tensione nell’acciaio in funzione di quella del conglomerato.
5
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.2. CALCESTRUZZO: diagramma σ − ε
Resistenza a compressione misurata su cubi di spigolo 20 cm (oppure 15/16 cm).
1. Rck: Resistenza caratteristica a compressione
2. f ctm : Resistenza a trazione semplice
In mancanza di diretta sperimentazione si può assumere:
(N / mm )
f ctm = 0.27 3 Rck2
2
(7)
3. Modulo Elastico
Per modulo elastico istantaneo, tangente all’origine, si può assumere:
Ec = 5700 Rck
(N / mm )
2
6
(8)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
RESISTENZA CARATTERISTICA DEL CALCESTRUZZO (Rck)
∑1n Ri
Rm =
n
(9)
Resistenza media
s=
∑1n ( Ri − Rm ) 2
n −1
(10)
s: scarto quadratico medio
Rck = Rm – K s
(11)
(K : coefficiente moltiplicatore dello scarto quadratico medio s)
Rck : Resistenza Caratteristica, frattile inferiore 5%
Le norme italiane prevedono due tipi di “controllo di accettazione”
Tipo A) Costruzioni inferiori a 1500 m3 di getto.
Il controllo, da eseguire ogni 100 m3di getto con tre prelievi, è positivo se:
1. Rm ≥ Rck + 3,5
N / mm 2
2. R1 ≥ Rck − 3,5
(
)
(N / mm )
2
R1 ≤ R2 ≤ R3
Rm =
R1 + R2 + R3
3
Tipo B) Costruzioni con più di 1500 m3di getto.
Il controllo,da eseguire ogni 1500 m3 su almeno 15 prelievi, è positivo se:
1. Rm ≥ Rck + 1,4s
(
)
2. R1 ≥ Rck − 3,5
N / mm 2
Rm = valore medio delle resistenze
R1 = valore minimo della resistenza
s = scarto quadratico medio delle 15 resistenze di prelievo
7
(12)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.3. ACCIAI: diagramma σ-ε
Per gli acciai il cui diagramma σ - ε non presenta una evidente tensione di snervamento
(ginocchio) si considera convenzionalmente fy come la tensione a cui corrisponde una
deformazione residua pari a 0,2%.
I numeri 22, 32, 38 e 44 che caratterizzano il tipo di acciaio indicano la tensione caratteristica di snervamento fyk (in kg/mm2)
8
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
CARATTERISTICHE DEGLI ACCIAI IN BARRE
1. BARRE AD ADERENZA MIGLIORATA
TIPO DI ACCIAO
Fe B38k
Fe B44 k
Tensione caratteristica di snervamento fyk............................... .... N/mm2
≥375
≥430
(kg/ mm2)
(≥38)
(≥44)
Tensione caratteristica di rottura ftx................................................... N/mm2
≥450
≥540
(≥46)
(≥55)
≥14
≥12
Piegamento a 180° 3 F
4F
migliorata Oltre 12 mm fino a su mandrino avente 6 F
diametro D
18 mm
aventi F (*)
8F
(kg/ mm2)
Allungamento As....................................................................................................... %
Per barre ad ade- Fino a 12 mm
renza
Oltre 18 mm fino a Piegamento e rad25 mm
drizzamento
Oltre 25 mm fino a mandrino
30 mm
su
8F
avente 10 F
10 F
12 F
diametro D
(*) Il diametro φ è quello della barra tonda liscia equipesante.
2. BARRE TONDE LISCE
TIPO DI ACCIAO
Tensione caratteristica di snervamento........................ .. fyk. N/mm2
(kg/ mm2)
Tensione caratteristica di rottura.......................................... ftx N/mm2
(kg/ mm2)
Allungamento As............................................................................................... %
Fe B 22 k
≥215
(≥22)
≥335
(≥34)
≥24
Fe B 32 k
≥315
(≥32)
≥490
(≥50)
≥23
Piegamento a 180° su mandrino avente diametro .....................D
≥2 F
≥3 F
Si devono usare barre di diametro compreso fra 5 e 30 mm
9
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
TENSIONI AMMISSIBILI NEGLI ACCIAI
1. BARRE AD ADERENZA MIGLIORATA
Tipo di acciaio
Fe B 38k
215 N/mm2
Tensioni Ammissibili
(2500 kg/cm2)
σs
Fe B 44k
255 N/mm2
(2600 kg/cm2)
L’aderenza migliorata si ottiene mediante dei risultati opportunamente distanziati e proporzionati.
I diametri ammessi sono:
Per Fe B 38k
5 ≤ ø ≤ 30 mm
Per Fe B 44k
5 ≤ ø ≤ 26 mm
2. BARRE TONDE LISCE
Tipo di acciaio
Tensioni Ammissibili
σs
Fe B 22k
115 N/mm2
(1200 kg/cm2)
Fe B 32k
155 N/mm2
(1600 kg/cm2)
Le norme consentono ancora l’impiego delle classiche barre tonde lisce diffusamente
usate nelle costruzione in cemento armato sino agli anni ’60 e ’70.
10
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
TENSIONI AMMISSIBILI NEL CONGLOMERATO
Le tensioni ammissibili vengono definite in funzione della Resistenza Caratteristica a 28
giorni Rck.
1. Compressione: Travi, Solette e Pilastri soggetti a flessione o presso flessione.
σ =6+
σ c = 60 +
Rck − 15
4
(N / mm )
2
Rck − 150
4
(kg / cm 2 )
(13)
(14)
2. Solette con spessore minore di 5 cm, i valori sono ridotti del 30%
3. Travi a T con soletta collaborante si riduce
- del 30% per soletta con s < 5 cm
- del 10% per soletta con s ≥ 5 cm
4. Pilastri calcolati a Compressione Semplice
per s < 25 cm
σ c = 0,70[1 − 0,03(25 − s)]σ c
(15)
σ c = 0,7σ c
(16)
per s ≥ 25 cm
s = dimensione trasversale minima della sezione
5. Pressoflessione:la tensione media dell’intera sezione non deve superare la tensione σ c .
σ c : tensione normale di compressione ammissibile per travi, solette e pilastri soggetti a
flessione o presso flessione
σ c : tensione normale di compressione ammissibile per pilastri calcolati a compressione semplice
11
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
TENSIONI AMMISSIBILI DEL CONGLOMERATO
15 ≤ Rck ≤ 50
N / mm 2
150 ≤ Rck ≤ 500
kg / cm 2
Resistenza conglomerato Valore caratteristico
28 giorni
Travi solette pilastri
Compressione
per flessione e
pressoflessione
Travi a T
con soletta
collaborante
S ≥5 cm
S < 5 cm
Rck (N/mm2)
sc (N/mm2)
sc
(N/mm2)
5,4
6,5
7,7
8,8
9,9
11,0
12,2
13,3
15
20
25
30
35
40
45
50
6,0
7,3
8,5
9,8
11,0
12,3
13,5
14,8
12
Pilastri
calcolati a
composizione semplice
sc
sc
2
(N/mm ) (N/mm2)
4,2
3,6
5,1
4,3
6,0
5,1
6,8
5,8
7,7
6,5
8,6
7,3
9,5
8,0
10,3
8,8
sc
(N/mm2)
4,2
5,1
6,0
6,8
7,7
8,6
9,5
10,3
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
TENSIONI TANGENZIALI AMMISSIBILI DEL CONGLOMERATO
1. Non è richiesta la verifica delle armature al taglio ed alla torsione quando le tensioni tangenziali massime nel conglomerato, prodotte da tali caratteristiche di
sollecitazione, non superano il valore τ co .
Rck − 15
75
(N / mm )
(17)
Rck − 150
75
(kg / cm )
(18)
τ co = 0,4 +
τ co = 4 +
2
2
2. Nella zona ove le tensioni tangenziali superano τ co , gli sforzi tangenziali devono
essere assorbiti integralmente da armature metalliche, affidando alle staffe non
meno del 40% dello sforzo globale di scorrimento.
3. La massima tensione tangenziale solo per taglio non deve superare il valore τ c1 .
τ c1 = 1,4 +
Rck − 15
35
(N / mm )
(19)
τ c1 = 14 +
Rck − 150
35
(kg / cm )
(20)
2
2
Gli stessi valori sono ammessi nelle sezioni di attacco delle ali all’anima di travi a T o a
cassone.
Nel caso di sollecitazione combinata di taglio e torsione τ c1 può essere aumentata del
10%.
13
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
TENSIONI TANGENZIALI AMMISSIBILI NEL CONGLOMERATO
Resistenza caratteristica
conglomerato
28
giorni
Limite inferiore non Limite superiore
richiesta verifica armature taglio e torsio- Taglio
ne
Taglio e torsione
Rck (N/mm2)
15
20
25
30
35
40
45
50
tco (N/mm2)
0,40
0,47
0,83
0,60
0,67
0,78
0,80
0,87
tci (N/mm2)
1,54
1,70
1,86
2,01
2,17
2,33
2,48
2,64
tci (N/mm2)
1,40
1,54
1,69
1,83
1,97
2,11
2,26
2,40
14
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.4. PILASTRI: carico centrato
µ=
As
Ac
(21)
E
n = s = 15
Ec
⎛
A ⎞
N amm = Ac σ c + nAs σ c = Ac σ c ⎜⎜1 + n s ⎟⎟
Ac ⎠
⎝
(22)
N amm = Ac σ c (1 + nµ ) = Ac σ c (1 + 15µ )
(23)
N amm = N c (1 + 15µ )
(24)
N c = Ac σ c
(25)
con
15
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1. Rck = 20 N/mm2
b (cm)
x
d (cm)
25x25
25x30
25x40
25x50
30x30
30x40
30x50
30x60
40x40
40x50
40x60
40x70
40x80
N amm / N c
Nc (kN)
319
323
510
638
459
612
765
918
816
1020
1224
1428
1632
1
σ ≅ 5,1N / mm 2
N amm (kN)
m
=0,8%
357
440
587
735
528
704
880
1056
938
1173
1408
1642
1887
1,150
m
=1%
367
440
587
733
528
704
880
1056
938
1173
1408
1642
1877
1,150
m
m
m
=1,5% =2% =2,5%
390
414
438
469
497
526
625
663
701
781
829
876
562
597
631
750
796
842
937
994
1052
1125 1193 1262
1000 1061 1122
1250 1326 1403
1499 1591 1683
1749 1856 1964
1999 2122 2244
1,225 1,300 1,375
16
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
2. Rck = 25N/mm2
b (cm)
x
d (cm)
25x25
25x30
25x40
25x50
30x30
30x40
30x50
30x60
40x40
40x50
40x60
40x70
40x80
N amm / N c
Nc (kN)
375
450
600
750
540
720
900
1080
960
1200
1440
1680
1920
1
σ ≅ 6 N / mm 2
N amm (kN)
m
=0,8%
420
504
672
840
605
806
1008
1210
1075
1344
1613
1882
2150
1,120
m
=1%
431
517
690
862
621
828
1035
1242
1104
1380
1656
1932
2208
1,150
m
m
m
=1,5% =2% =2,5%
459
487
516
551
585
619
735
780
825
919
975
1031
662
702
743
882
936
990
1103 1170 1238
1323 1404 1485
1176 1248 1320
1470 1560 1650
1764 1872 1980
2058 2184 2310
2352 2496 2640
1,225 1,300 1,375
17
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
3. Rck = 30N/mm2
b (cm)
x
d (cm)
25x25
25x30
25x40
25x50
30x30
30x40
30x50
30x60
40x40
40x50
40x60
40x70
40x80
N amm / N c
Nc (kN)
425
510
680
850
612
816
1020
1224
1088
1360
1632
1904
2176
1
σ ≅ 6,8 N / mm 2
N amm (kN)
m
=0,8%
476
571
762
952
685
914
1142
1371
1219
1523
1828
2133
2437
1,120
m
=1%
489
587
782
978
704
938
1173
1408
1251
1564
1877
2190
2502
1,150
m
m
m
=1,5% =2% =2,5%
521
553
584
625
663
701
833
884
935
1041 1105 1169
750
796
842
1000 1061 1122
1250 1326 1403
1500 1591 1683
1333 1414 1496
1666 1768 1870
1999 2122 2244
2332 2475 2618
2666 2829 2992
1,225 1,300 1,375
18
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
INSTABILITÀ DEI PILASTRI
I fenomeni di instabilità si devono considerare per snellezze λ m maggiori di 50.
lo
i
(26)
Ix
bd 3
d
=
=
≅ 0,289d
12bd
A
12
(27)
db 3
b
=
≅ 0,289b
12db
12
(28)
λm =
( λ m : snellezza meccanica).
l o = lunghezza libera di inflessione
i = raggio di inerzia
Sezione rettangolare
ix =
iy =
Iy
A
=
CARICO CENTRATO
I fenomeni di instabilità possono essere tenuti in conto mediante il coefficiente ω di amplificazione dei carichi.
ω N ≤ N amm
(29)
N amm : carico centrato ammissibile in assenza di instabilità
N: carico operante
1. Snellezze l o /i maggiori di 100 sono da considerare con particolare cautela di
progettazione e di calcolo. È necessario procedere alla verifica con metodi più
approssimati.
lo
lo
= 100 corrisponde
≅ 29
i
d
2. La verifica deve essere realizzata nel piano di massima snellezza.
19
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
LUNGHEZZA LIBERA DI INFLESSIONE (ℓ0)
La lunghezza libera di inflessione ℓ0 del pilastro è pari alla distanza tra due flessi consecutivi della deformata dovuta all’inflessione laterale. Il valore di ℓ0 dipende dai vincoli
dell’estremità del pilastro.
1. Per gli edifici in cemento armato è conveniente non scendere al di sotto del valore ℓ0=H.
2. Quando si prevedono spostamenti orizzontali, l o risulta compresa tra H e 2H.
Con valori tanto più prossimi a H quanto più sono rigidi i vincoli di estremità.
20
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
VALORI DI ω IN FUNZIONE DI
lo
l
O DI o
i
d
Coefficiente di amplificazione
l 0/ i = ln
l 0/ d = l0
50
~ 15
~ 20
~ 25
~ 29
~ 31
~ 35
~ 40
70
85
100
107
120
140
w
21
N/ Namm
1.00
1
1.08
0.92
1.32
0.76
1.62
0.62
1.83
0.55
2.28
0.44
3.00
0.33
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
VALORI DI
lo
E DI ω PER DIVERSE COMBINAZIONI DI l o E d .
d
d = 25 cm
d = 30
d = 35 cm d =40 cm d = 45 cm
cm
0
l 0 (n) l / d
w
3.5
4.0
5.0
6.0
7.0
l 0/ d
< 15
< 15
< 15
< 15
< 15
w
1
1
1
1
1
l 0/ d
16
< 15
< 15
< 15
< 15
w
1.02
1
1
1
1
l 0/ d
20
17
< 15
< 15
< 15
w
1.08
1.03
1
1
1
l 0/ d
24
20
17
15
< 15
w
1.27
1.08
1.03
1
1
l 0/ d
28
23
20
18
16
1.56
1.22
1.08
1.05
1.02
w
22
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
CARICO ECCENTRICO
Quando lo sforzo normale risulta eccentrico, può verificarsi un fenomeno di instabilità
progressiva all’aumentare della deformazione del pilastro (spostamento laterale). In tal
caso la verifica deve essere eseguita tenendo conto di:
SFORZO NORMALE
N* = N ω
Con ω valutato per la massima snellezza
MOMENTO FLETTENTE M* = c M
momento amplificato
La verifica va realizzata con i valori di Sforzo Normale N * ed M * considerando la pressione e la flessione concomitantemente.
Il coefficiente di amplificazione del momento è dato da:
1
C=
1−
(30)
N
NE
dove:
N : Sforzo Normale Operante
N E : Carico critico euleriano per la snellezza relativa al piano di flessione valutato per
un modulo di elasticità convenzionale E c* = 0,4 E c
NE =
π 2 E c* I
lo
2
≅ 3,95
Ec I
lo
(31)
2
con
E c = 5700 Rck
(N / mm )
2
(Allo Sforzo Normale ωN = N * si deve sostituire N se più sfavorevole).
23
(32)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.5. PRESSIONE E FLESSIONE : PICCOLA ECCENTRICITA’
Pilastri: Sezione Rettangolare
1. Il caso di pressione eccentrica si presenta molto spesso nei pilastri che formano
il piedritto di un telaio o che sostengono, mediante mensole delle travi trasversali.
2. Si tratta di sollecitazioni composte, flessione e pressione, dovute a forza normale
alla sezione e con piccola eccentricità.
24
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
PRESSIONE E FLESSIONE: PICCOLA ECCENTRICITA’
Si ammette che la sezione ideale equivalente sia solo compressa o anche in piccola parte
tesa, purché la tensione massima di trazione sia minore di 1/5 della tensione massima di
compressione.
In queste condizioni è valida la sovrapposizione degli effetti. Alla sezione ideale equivalente (omogeneizzata a calcestruzzo) si applicano le formule valide per i solidi omogenei.
Le tensioni nel calcestruzzo, nel caso di pressione e flessione retta, valgono:
σ=
N M
N Ne
±
y=
±
y
Ai I i
Ai
Ii
(33)
Per la sezione rettangolare risulta:
σ c max =
N M
+
Ai Wi1
(34)
σ c min =
N M
−
Ai Wi 2
(35)
25
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ARMATURA ASIMETRICA
As1 ≠ As 2
As = As1 + As 2
Essendo:
Ai = Ac+nAs : sezione ideale equivalente
Ac : sezione di calcestruzzo
Ii = Ic+nIs: Momento di inerzia della sezione ideale equivalente rispetto all’asse baricentrico
Ic : Momento di inerzia della sezione di calcestruzzo rispetto all’asse baricentrico
Is : Momento di inerzia della armatura rispetto all’asse baricentrico
Wi 1 e Wi 2 : Moduli di resistenza della sezione ideale, rispettivamente al bordo con σcmax
e con σcmin.
O: baricentro sezione calcestruzzo
G: baricentro sezione ideale equivalente
N: Sforzo Normale dei carichi esterni
M: Momento dei carichi esterni (Momento di N rispetto al baricentro O)
26
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ARMATURA SIMMETRICA
As1 = As 2
As = As1 + As 2
(36)
Ai = Ac + nAs
Ai = bd + n( As1 + As 2 )
2
bd 3
⎛c⎞
⎛c⎞
Ii =
+ nAs1 ⎜ ⎟ + nAs 2 ⎜ ⎟
12
⎝2⎠
⎝2⎠
Ii =
2
bd 3
c2
+ nAs
12
4
e=
M
N
σ c max
N M
±
Ai I i
N
⎛d ⎞ N M
±
=
⎜ ⎟=
⎝ 2 ⎠ Ai Wi Ai
⎛ eAi
⎜⎜1 ±
⎝ Wi
⎞
⎟⎟
⎠
σ c min
Il modulo di resistenza della sezione ideale rispetto ai bordi è
Wi =
2I i
d
(37)
Le distanze degli estremi del nocciolo di inerzia dal baricentro G valgono:
Ki =
2I
Wi
⇒ Ki = i
Ai
Ai d
27
(38)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Si perviene:
σ c max
N
Ai
⎛
e ⎞
⎟⎟
⎜⎜1 ±
K
i
⎠
⎝
(39)
σ c min
Esempio 1:
1. Data la Sezione Rettangolare con Armatura Simmetrica della Figura, determinare il valore del carico N ammissibile considerando un’eccentricità e = 6 cm.
b= 25 cm
d= 30 cm
c= 22 cm
Rck= 25 N/mm2
σ c = 8,5 N / mm 2
As = As1 + As 2 = 8cm 2
As1 = 4cm 2 (2φ16)
As 2 = 4cm 2 (2φ16)
A
8
µ= s =
≅ 0,0107
Ac 25 x30
(1%)
Ai = bd + nAs = 25 × 30 + 15 × 8 = 750 + 120 = 870cm 2
Ii =
bd 3
c 2 25 × 30 3
22 2
+ nAs
=
+ 15 × 8 ×
12
4
12
4
(87000mm 2 )
(40)
(41)
I i = 56250 + 14520 = 70770cm 4
(42)
2I i
2 × 70770
=
≅ 5,42cm
Ai d
870 × 30
(43)
Ki =
(estremo nocciolo)
28
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Essendo
σ c max =
N
Ai
⎛
e ⎞
⎟⎟
⎜⎜1 +
⎝ Ki ⎠
(44)
risulta
N amm =
N amm =
σ c Ai
1+
e
Ki
8,5 × 87000
= 350971N ≅ 351 kN
6,0
1+
5,42
N amm ≅ 351 kN
(45)
(46)
(47)
per e = 6 cm
La tensione minima risulta:
N
Ai
σ c min =
⎛
e ⎞ 351000 ⎛
6,0 ⎞
⎟⎟ ≅
⎜⎜1 −
⎜1 −
⎟ ≅ −0,43 N / mm 2
K
87000
5
,
42
⎝
⎠
i ⎠
⎝
(48)
(trazione)
La tensione di trazione risulta minore di
1 / 5σ c =
8,5
= 1,70
5
(49)
0,43 < 1,70
perciò è valida la sovrapposizione.
2. Considerando e = 3 cm
N amm =
σ c min =
N
Ai
8,5 × 87000
≅ 476000 N ≅ 476kN
3,0
1+
5,42
⎛
e ⎞ 476000 ⎛
3,0 ⎞
⎟⎟ ≅
⎜⎜1 −
⎜1 −
⎟ ≅ 2,44 N / mm
⎝ K i ⎠ 87000 ⎝ 5,42 ⎠
(compressione)
29
(50)
(51)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
3. Considerando e = 8 cm
N amm =
σ c min =
N
Ai
8,5 × 87000
≅ 298665 N ≅ 298,7 kN
8,0
1+
5,42
⎛
e ⎞ 298665 ⎛
8,0 ⎞
⎟⎟ ≅
⎜⎜1 −
⎜1 −
⎟ ≅ −1,63 N / mm 2
⎝ K i ⎠ 87000 ⎝ 5,42 ⎠
(52)
(53)
(trazione)
1
σc
5
1,63 < 1,70
La tensione di trazione risulta minore di
e(cm)
N amm (kN)
0
3
6
8
522
476
351
299
N amm ≅
sc max
(N/mm2)
8.5 x 0.7 ≈ 6.0
8.50
8.50
8.50
sc min
(N/mm2)
6.0
2.44
-0.43
-1.63
Aiσ c
N0
=
(1 + 6e / d ) (1 + 6e / d )
e/d
0
0.10
0.20
0.27
(54)
Criterio Approssimato
N 0 = Aiσ c = 87000 x8,5 = 739500 N ≅ 739kN
e (cm)
e/d
3
6
8
0.100
0.200
0.267
N amm (kN)
approssimato
462
336
284
30
(55)
N amm (kN)
esatto
476
351
299
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Esempio 2:
Data la sezione della figura:
(56)
b= 30 cm
d= 45 cm
c=d-2h=36 cm
As1 = 9,42cm 2 (3φ 20)
(57)
As 2 = 9,42cm 2 (3φ 20)
As 3 = 4,0cm 2 (2φ16)
As = As1 + As 2 + As 3 = 2(9,42) + 4,0 = 22,84cm 2
µ=
As
22,84
=
≅ 0,0169
Ac 30 × 45
(1,69%)
Rck = 25 N / mm 2
σ c = 8,5 N / mm 2
Ai = bd + nAs = 30 × 45 + 15 × 22,84 = 1350 + 342,6 = 1692,6cm 2
(169260mm 2 )
Non si considerano fenomeni di instabilità ( buckling ) poiché λ m =
50.
31
lo
risulta minore di
i
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1. Determinare lo sforzo normale ammissibile per la condizione di carico centrato.
N amm = Ac σ c (1 + 15µ )
(58)
σ c = 0,7σ c
(59)
N amm = 135000 × 0,7 × 8,5(1 + 15 × 0,0169) = 1006874 N ≅ 1007kN
(60)
Oppure
N amm = Ai σ c = 169260 × 0,7 × 8,5 = 1007100 N ≅ 1007kN
(61)
2. Verificare le tensioni massime e minime nel calcestruzzo considerando la sezione sottoposta allo Sforzo Normale N = 525 kN e al Momento Flettente M = 42
kNm , assumendo che la flessione agisca separatamente nei due piani verticali di
traccia x e y rispettivamente.
2.a) _ Flessione nel piano verticale di traccia x .
3φ 20 → 9,42cm 2
(62)
2φ16 → 4,0cm 2
Ai = Ac + nAs
Ai = 30 x 45 + 15(2 x9,42 + 4) = 1692,6cm 2
(169260mm 2 )
c x2
bd 3
I iy =
+ 15( As1 + As 2 )
12
4
I iy =
45 3 × 30
36 2
+ 15(2 × 9,42)
≅ 319375 4
12
4
32
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
c x = d − 2copriferro ≅ 45 − 9 ≅ 36cm
K ix =
2 I iy
Ai d
=
2 × 319375
≅ 8,386 cm
1692,6 × 45
K ix = distanze degli estremi del nocciolo d’inerzia dal baricentro G secondo la direzione
x.
σ cxmax
N
Ai
⎛
e ⎞
⎟⎟
⎜⎜1 ±
⎝ K ix ⎠
(63)
σ cxmin
e=
M 42kNm
=
= 0,08m (8cm)
N 525kN
σ cxmax
6,06 N / mm 2
525000 ⎛⎜
8
1±
169260 ⎜⎝ 8,386
σ cxmin
⎞
⎟
⎟
⎠
0,14 N / mm 2
entrambe le tensioni sono di compressione
σ cxmax = 6,06 < σ c = 8,5 N / mm 2
33
(64)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Esempio 3:
Ai = 1692,6 cm 2
(65)
I iy = 319375cm 4
K ix = 8,386 cm
Rck = 25 N / mm 2
σ c = 8,5 N / mm 2
σ c Ai = 1438,71 kN
N amm = 0,7σ c Ai ≅ 1007kN
(compressione centrica )
− Analisi di direzione x
e(cm)
e/d
N amm (kN)
0
2
0
0.044
4
6
8
10
12
12.6
0.089
0.133
0.178
0.222
0.267
0.280
1007
1007
(1161)
974
839
736
656
592
575
13
14
0.289
0.311
564
539
sxc min
(N/mm2)
0.7 x 8.5
(5.22)
3.01
1.41
0.20
-0.75
-1.51
-1.70
1/5 sc
- 1.83
-2.13
1/4 sc
34
∗
N amm
(kN)
approssimato
1007
1007
(1135)
938
799
696
617
553
537
526
502
∗
N amm
N amm
1
(0.98)
0.96
0.95
0.94
0.94
0.93
0.93
0.93
0.93
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
N amm =
σ cxmin =
σ c Ai
1+
N amm
Ai
e
K ix
(66)
⎛
e ⎞
⎜⎜1 −
⎟⎟
⎝ K ix ⎠
N amm ≤ 0,7σ c Ai
N * amm =
σ c Ai
1 + 6e / d
(formula semplificata)
N * amm ≤ 0,7σ c Ai
(67)
σ cxmax = σ c = 8,5 N / mm 2
σc
5
σc
4
= 1,70 N / mm 2
≅ 2,13 N / mm 2
2.b) _ Flessione nel piano verticale di traccia y .
As*1 → 2φ 20 + 1φ16
(68)
As*1 = 2 x3,14 + 2,0 = 8,28 cm 2
As*2 → 2φ 20 + 1φ16
As*2 = 8,28 cm 2
35
(69)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
As*3 → 2φ 20
As*3 = 6,28 cm 2
c y = b − 2 copriferro
c y ≅ 24 cm
Ovviamente
As*1 + As*2 + As*3 = As = 22,84 cm 2
Ai = 30 × 45 + 15 × 22,84 = 1692,6 cm 2
⎛cy
db 3
I ix =
+ 15( As*1 + As*2 )⎜⎜
12
⎝ 2
(169260 mm 2 )
2
⎞
45 x30 3
24 2
⎟⎟ =
+ 15(2 × 8,28)
12
4
⎠
I ix = 101250 + 35770 = 137020 cm 4
K iy =
2 I ix 2 × 137020
≅ 5,397cm
=
Ai b 1692,6 × 30
σ cymax
7,70 N / mm 2 ( compressione )
N
Ai
⎛
⎞
⎜1 ± e ⎟ = 525000 ⎛⎜1 ± 8 ⎞⎟
⎜ K ⎟ 169260 ⎝ 5,397 ⎠
iy ⎠
⎝
σ cymin
− 1,50 N / mm 2 ( trazione )
σ cymax = 7,70 N / mm 2 < σ c = 8,50 N / mm 2
σ
y
c min
= −1,50 N / mm <
2
σ cymax
5
=
7,70
= −1,54 N / mm 2
5
36
(70)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
9,20 7,70
=
45
x
x=
(71)
7,70
× 45
9,20
1,5 × 73
× 300 = 16425 N
2
2φ 20 + 1φ16 = 8,28 cm 2
828 mm 2
16425
= 19,9 N / mm 2
828
Ai = 1692,6 cm 2
I ix = 137020 cm 4
K ix = 5,397cm
σ c Ai = 1438,7 kN
N amm = 0,7σ c Ai ≅ 1007kN
Rck = 25 N / mm 2
σ c = 8,5 N / mm 2
37
(72)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ANALISI DIREZIONE Y
Ø 16
e(cm)
e/d
syc min
(N/mm2)
0.7 x 8.5
(5.84)
N amm (kN)
0
1
0
0.033
2
0.067
3
4
5
6
7
8
8.1
0.100
0.133
0.167
0.200
0.233
0.267
0.270
1007
1007
(1214)
1007
(1050)
925
826
747
681
626
580
575
8.5
9
0.283
0.300
559
539
N amm =
σ cymin =
(3.90)
2.43
1.26
0.32
-0.45
-1.10
-1.65
-1.70
σc/ 5
-1.90
-2.13
σc/ 4
N ∗ amm (kN)
approssimato
1007
1007
(1199)
1007
(1028)
899
799
719
654
600
553
549
533
514
N ∗ amm
N amm
1
(0.99)
(0.98)
0.97
0.97
0.96
0.96
0.96
0.95
0.95
0.95
0.95
σ c Ai
1+
N amm
Ai
e
K iy
(73)
⎛
⎞
⎜1 − e ⎟
⎜ K ⎟
iy ⎠
⎝
N amm ≤ 0,7σ c Ai
N * amm =
σ c Ai
1 + 6e / b
(formula semplificata)
N * amm ≤ 0,7σ c Ai
σ cymax = σ c = 8,5 N / mm 2
38
(74)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
σc
5
σc
4
= 1,70 N / mm 2
≅ 2,13 N / mm 2
As → 8φ 26
µ=
As = 42,48 cm 2
42,48
= 0,0315
30 x 45
(3,15%)
Ai = 30 × 45 + 15 × 42,48 = 1987,2 cm 2
σ c A i = 8,5 × 198720 = 1689120 N ≅ 1689,1kN
Rck = 25 N / mm 2
σ c = 8,5 N / mm 2
39
(75)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ANALISI DIREZIONE X
e(cm)
e/d
0
2
0
0.044
4
0.089
1182
1182
(1360)
1151
6
8
10
12
12.8
0.133
0.178
0.222
0.267
0.284
993
873
779
703
677
13*’
14*’
14.3*’
0.289
0.311
0.318
671
641
632
14.5*’’
0.322
627
I iy =
sxc min
(N/mm2)
0.7 x 8.5
(5.28)
N amm (kN)
3.90
∗
N amm
(kN)
approssimato
1182
1182
(1334)
1102
1.49
0.29
-0.66
-1.42
-1.69
sc/ 5
-1.75
-2.05
-2.13
sc/ 4
-2.19
30 × 45 3
36 2
+ 15(2 × 15,93)
≅ 382652 cm 4
12
4
c x = 36 cm
K ix =
2 I iy
= 8,558 cm
Ai d
σ cxmin =
N amm
Ai
N amm =
*
=
N amm
⎛
e ⎞
⎜⎜1 −
⎟⎟
⎝ K ix ⎠
σ c Ai
1+
e
K ix
σ c Ai
1 + 6e / d
N amm ≤ 0,7σ c Ai
σ cxmax = σ c = 8,5 N / mm 2
40
∗
N amm
N amm
1
(0.97)
(0.96)
938
817
724
650
624
0.95
0.94
0.93
0.92
0.92
618
589
581
0.92
0.92
0.92
576
0.92
(76)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
σ c Ai = 1689,1 kN
Ai = 1987,2 cm 2
As Æ 8 φ 26
As=42,48 cm2
Rck = 25 N / mm 2
σ c = 8,5 N / mm 2
σ cymax = σ c = 8,5 N / mm 2
41
(77)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ANALISI DIREZIONE Y
syc max= σ c = 8,5 N / mm 2
e(cm)
e/d
0
1
0
0.033
2
0.067
3
4
5
6
7
8
8.5
0.100
0.133
0.167
0.200
0.233
0.267
0.283
syc min
(N/mm2)
0.7 x 8.5
(5.96)
N amm (kN)
1182
1182
(1437)
1182
(1251)
1107
993
900
823
758
703
678
(4.04)
2.64
1.49
0.56
-0.21
-0.87
-1.42
-1.67
σc/ 5
∗
N amm
(kN)
approssimato
1182
1182
(1408)
1182
(1207)
1056
938
845
768
704
650
626
45 × 30 3
24 2
I ix =
+ 15(2 × 15,93)
≅ 170068 cm 4
12
4
c y = 24 cm
K iy =
2 I ix
= 5,705 cm
Ai b
σ cymin =
N amm
Ai
N amm =
*
=
N amm
⎛
⎞
⎜1 − e ⎟
⎜ K ⎟
iy ⎠
⎝
σ c Ai
1+
e
K iy
σ c Ai
1 + 6e / b
N amm ≤ 0,7σ c Ai
42
∗
N amm
N amm
1
(0.98)
(0.96)
0.95
0.94
0.94
0.93
0.93
0.92
0.92
(78)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.6. FLESSIONE SEMPLICE
Un elemento strutturale in cui le caratteristiche della sollecitazione che agiscono sono
soltanto il Momento Flettente M e il Taglio T, si dice soggetto a FLESSIONE
SEMPLICE (Lo sforzo normale N è nullo).
Il momento è contenuto in un piano normale alla sezione. Se tale piano contiene un asse
principale della sezione si ha la FLESSIONE SEMPLICE RETTA, altrimenti si ha la
FLESSIONE SEMPLICE DEVIATA. Nel seguito la Flessione Semplice Retta è denominata FLESSIONE SEMPLICE.
Nel caso delle travi inflesse una parte della sezione risulta tesa perciò si fa astrazione
dalla resistenza del calcestruzzo teso e si arma la zona tesa con barre di acciaio sufficienti per sopportare lo sforzo di trazione.
1. L’ armatura si dispone in prossimità del lembo teso (salvo il necessario copriferro) perchè la sua efficacia è tanto maggiore quanto più essa dista dall’asse neutro.
2. L’armatura si dice SEMPLICE quando le barre As si trovano soltanto nella zona
tesa. Si dice DOPPIA quando ci sono delle barre As' anche nella zona compressa.
Si considera che resistano al Momento Flettente M soltanto il calcestruzzo compresso
(insieme con le eventuali barre As’ presenti nella zona compressa) e l’acciaio teso As.
43
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
La sezione reagente è costituita dal calcestruzzo compresso e dalle armature che si possono ammettere sostituite con sezioni equivalenti di calcestruzzo nAs' ed nAs poste nelle
stesse posizioni delle barre di acciaio. Naturalmente, la sezione equivalente di calcestruzzo nAs della zona tesa si considera resistente alla trazione.
La sezione equivalente omogenea di calcestruzzo (o sezione ideale equivalente) è costituita dall’area di conglomerato compresso e dall’area dell’acciaio (teso o compresso)
moltiplicata per il coefficiente di equivalenza
n=
Es
= 15
Ec
(79)
Ammessa la legge di Hooke σc = εc Ec e considerando Ec = costante, se le sezioni si conservano piane (Navier), il diagramma delle tensioni risulta lineare.
Gi= baricentro sezione equivalente
44
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.7. SEZIONE RETTANGOLARE CON ARMATURA SEMPLICE
A.1-Calcolo di verifica delle tensioni
Date le dimensioni b e h della sezione, l’armatura tesa As e noto il momento flettente esterno M, si devono ricavare la tensione massima σc max del calcestruzzo compresso e la
tensione σ s dell’acciaio.
La sezione è verificata se:
σ max ≤ σ c
(80)
σs ≤σs
(81)
Calcestruzzo
Acciaio
σ c e σ s : tensioni ammissibili
Per l’equilibrio tra la sollecitazione esterna M e gli sforzi interni si hanno due equazioni
di equilibrio che risolvono il problema.
1. Prima si deve determinare la posizione dell’asse neutro, ossia la distanza x dal
lembo compresso.
2. trovata la posizione dell’asse neutro, si possono determinare le tensioni
σ c max e σ s .
A_ Determinazione della posizione dell’asse neutro x.
Dall’uguaglianza del risultante delle σ c della zona compressa (sforzo C c ) e del risultante di trazione dell’area di acciaio (sforzo T a ) risulta:
Cc=Ta
σ c max bx
2
(82)
= Asσ s
(83)
Essendo
σ s = nσ c max
h−x
x
(84)
Si ha:
σ c max bx
2
=nAsσ c max
h−x
x
45
(85)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Eliminando σ c max , si ottiene:
bx
h−x
= nAs
2
x
(86)
bx 2
− nAs (h − x) = 0
2
(87)
Questa relazione esprime che è nullo il momento statico della sezione ideale equivalente
rispetto all’asse neutro (che passa per il baricentro Gi).
Dall’equazione precedente risolta rispetto a x e assumendo la soluzione positiva si ricava la POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO.
x=
nAs
b
⎛
⎞
⎜ − 1 + 1 + 2bh ⎟
⎜
nAs ⎟⎠
⎝
(88)
Il risultato è indipendente dal valore di M. L’asse neutro non cambia se si varia M, ciò a
causa di avere supposto “n” costante.
B_ Determinazione delle tensioni σ c max e σ s .
Dall’uguaglianza tra momento resistente interno e quello esterno M si possono ricavare
le tensioni σ c max e σ s .
M = Cc ς
essendo ς = h −
M = Ta ς
(89)
x
il braccio della coppia interna
3
M = σ c max
bx ⎛
x⎞
⎜h − ⎟
2⎝
3⎠
⇒ σ c max =
x⎞
⎛
M = σ s As ⎜ h − ⎟ ⇒
3⎠
⎝
σs =
46
M
x⎞
⎛ bx ⎞⎛
⎜ ⎟⎜ h − ⎟
3⎠
⎝ 2 ⎠⎝
(90)
M
x⎞
⎛
As ⎜ h − ⎟
3⎠
⎝
(91)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Applicazione
Una trave di sezione rettangolare larga b = 30 cm e alta d = 45 cm è armata con tre barre
di 20 mm (Fe B38k). Calcolare:
1. le tensioni σ c max e σ s provocate da M = 60 kNm
2. il valore di Mamm
considerando
Rck = 25 N / mm 2
σ s = 215 N / mm 2
σ c = 8,5 N / mm 2
(92)
As = 3 × 3,14 = 9,42 cm 2
(93)
a) posizione dell’asse neutro
x=
n As
b
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ − 1 + 1 + 2 b h ⎟ = 15 × 9,42 ⎜ − 1 + 1 + 2 × 30 × 41 ⎟ ≅ 15,5 cm
⎜
n AS ⎟⎠
30 ⎜⎝
15 × 9,42 ⎟⎠
⎝
(94)
Figura 1.7.1.
b) tensioni σcmax e σs
σ c max =
σ c max =
M
bx ⎛
x⎞
⎜h − ⎟
2 ⎝
3⎠
(95)
60 × 100
= 0,72 kN cm 2
30 × 15,5 ⎛
15,5 ⎞
⎜ 41 −
⎟
2
3 ⎠
⎝
(7,2 N
σs =
M
x⎞
⎛
AS ⎜ h − ⎟
3⎠
⎝
=
mm 2
(96)
)
60 × 100
= 17,8 kN cm 2
15
,
5
⎞
⎛
9,42⎜ 41 −
⎟
3 ⎠
⎝
178 N mm 2
(
47
)
(97)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
La sezione è verificata per M = 60 kNm, infatti
σ c max = 7,2 N mm 2
σ s = 178 N mm 2
σ c = 8,5 N mm 2
≤
≤ σ s = 215 N mm 2
c) il valore di Mamm si ottiene assumendo
σ c max = σ c
c
=σ c
calcestruzzo → M amm
σ c = 8,5 N mm 2
M c amm = 0,85 ×
(98)
oppure σ s = σ s
bx ⎛
x⎞
⎜h − ⎟
2⎝
3⎠
(0,85 kN
cm 2
⎛
⎝
a
acciaio → M amm
= σ s As ⎜ h −
(21,5 kN
(100)
)
30 × 15,5 ⎛
15,5 ⎞
⎜ 41 −
⎟ ≅ 7082 kNcm
2
3 ⎠
⎝
σ s = 215 N mm 2
(99)
(70,8 kNm)
x⎞
⎟
3⎠
cm 2
15,5 ⎞
⎛
a
M amm
= 21,5 × 9,42⎜ 41 −
⎟ ≅ 7260 kNcm
3 ⎠
⎝
)
(72,6 kNm)
Essendo Mcamm ≤ Maamm risulta determinante il calcestruzzo e perciò
M amm ≅ 70,8 kNm
(101)
Al M amm ≅ 70,8 kNm corrisponde una tensione σ s nell’acciaio minore di σ s
σs =
70,8 × 100
≅ 21 kN cm 2 210 N mm 2 < σ s
15,5 ⎞
⎛
9,42⎜ 41 −
⎟
3 ⎠
⎝
(
48
)
(102)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ACCIAI IN BARRE AD ADERENZA MIGLIORATA
AcciaioFeB38K
Calcestruzzo
σ c = 215 N mm
Rck
sc
m
x
gc
AcciaioFeB44 K
σ c = 255 N mm 2
2
r
a
m
x
gc
r
a
2)
(N/mm (N/mm2)
15
6.00
35.83
0.295 0.133 0.902 2.742 42.50 0.261 0.119 0.913 2.898
20
7.25
29.66
0.336 0.149 0.888 2.589 35.17 0.299 0.135 0.900 2.726
25
8.50
25.29
0.372 0.163 0.876 2.477 30.00 0.333 0.148 0.889 2.598
30
9.75
22.05
0.405 0.175 0.845 2.390 26.15 0.364 0.160 0.878 2.499
35
11.00
19.55
0.434 0.186 0.855 2.321 23.18 0.393 0.171 0.869 2.420
40
12.25
17.55
0.461 0.195 0.846 2.264 20.82 0.419 0.180 0.860 2.356
49
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ACCIAI IN BARRE TONDE LISCE
Calcestruzzo
Rck
sc
2)
(N/mm
m
Acciaio FeB 22 K
Acciaio FeB32 K
σ c = 115 N mm
σ c = 155 N mm 2
x
gc
2
r
a
m
x
gc
r
\
a
(N/mm2)
15
6.00
19.17 0.439 0.187 0.854 2.310 25.83 0.367 0.161 0.878 2.491
20
7.25
15.86 0.486 0.204 0.838 2.216 21.38 0.412 0.178 0.862 2.371
25
8.50
13.53 0.526 0.217 0.825 2.148 18.24 0.451 0.192 0.850 2.284
30
9.75
11.79 0.560 0.228 0.813 2.06 15.90 0.485 0.203 0.838 2.217
35
11.00
10.45 0.589 0.237 0.804 2.055 14.09 0.516 0.213 0.828 2.164
50
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ε=
15
m + 15
χc =
ε
ε
(1 − )
z
3
ε
ρ = (1 − )
3
α=
1
8c
m=
σs
σc
m
ε
1
0.9375
5
0.75
0.2813
0.75
1.8856
10
0.60
0.240
0.80
2.0412
15
0.50
0.2083
0.8333
2.1909
20
0.4286
0.1837
0.8571
2.333
25
0.375
0.1641
0.8750
2.4689
30
0.3333
0.1481
0.8889
2.581
35
0.3000
0.1350
0.9000
2.7257
40
0.2727
0.1240
0.9091
2.8402
45
0.2500
0.1146
0.9167
2.9542
50
0.2308
0.1069
0.9231
3.0641
55
0.2143
0.0995
0.9286
1.1704
60
0.200
0.0933
0.9333
3.2733
χc
51
ρ
α
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.8. A.2 – CALCOLO DI PROGETTO. Armatura Semplice
Nel calcolo diretto o di progetto della sezione è dato il Momento Flettente Esterno M e
si assumono le tensioni ammissibili σ c e σ s conoscendo la qualità dei due materiali.
Sono incognite: l’altezza utile h, l’area dell’ armatura As e la larghezza b.
Essendo disponibili soltanto due equazioni di equilibrio, nel caso più comune si assume
anche la larghezza b.
Come già visto, le equazioni disponibili sono:
Traslazione
bx 2
− nAs (h − x ) = 0
2
C c = Ta
(103)
Rotazione
M =σc
bx
(h − x 3) = Asσ s (h − x 3)
2
M = C c ζ = Ta ζ
Dal diagramma lineare delle tensioni si ricava:
σc σs n
=
x
h−x
da questo si ricava
x=
(104)
(105)
(106)
nσ c
h
σ s + nσ c
(107)
σs
σc
(108)
Ponendo
m=
Risulta
52
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
x=
(109)
n
h = ξh
m+n
Per l’equilibrio a rotazione rispetto al baricentro dell’armatura:
M amm =
σ c bξh ⎛
2
ξh ⎞
ξ⎞
2 ξ ⎛
⎜ h − ⎟ = σ c bh ⎜1 − ⎟
3⎠
2⎝ 3⎠
⎝
M amm = χ c bh 2σ c
(110)
(A)
(111)
avendo posto
χc =
ξ
2
(112)
(1 − ξ 3)
considerando M = Mamm si ricava:
h=
1
χc
M
M
=α
bσ c
bσ c
h =α
M
bσ c
(B)
(113)
avendo posto
α=
(114)
1
χc
Per l’equilibrio a rotazione rispetto al punto di applicazione di Cc
x⎞
⎛
M amm = Asσ s ⎜ h − ⎟ = Asσ s h(1 − ξ 3) = Asσ s ρh
3⎠
⎝
(115)
avendo posto
ρ = (1 − ξ 3)
(116)
considerando M = Mamm si ottiene:
As =
M
(C)
σ s ρh
(117)
Le formule A B e C consentono di risolvere i problemi di progetto della sezione rettangolare con armatura semplice.
I coefficienti ξ χ c ρ e α sono funzioni di n , σ c e σ s .
Tabelle molto complete dei coefficienti ξ χ c ρ e α sono riportate nei prontuari.
53
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Nel seguito si riportano due tabelle (una per l’acciaio ad aderenza migliorata e l’altra
per l’acciaio in barre lisce) considerando differenti valori della resistenza Rck del calcestruzzo.
I passi per il progetto della sezione sono:
1. Assunte le tensioni ammissibili σ c e σ s si ricavano i coefficienti ξ , χ c , ρ , α
2. Se nota b, si determina l’altezza utile h
h =α
M
bσ c
(A)
Se nota l’altezza utile h si ricava la larghezza b
M
b=
χ c h 2σ c
(118)
(119)
Oppure
b =α2
M
(120)
h σ2
2
3. Si calcola l’armatura As
As =
M
σ c ρh
54
(121)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
CALCOLI APPROSSIMATI
Noto il momento flettente M in una sezione della trave, si può determinare rapidamente
la sezione necessaria di acciaio e controllare il calcestruzzo compresso, se è nota
l’altezza utile h.
As ≅
M
0.85hσ s
determinazione approssimata dell’armatura
ρ varia poco al variare di σ c e σ s ed oscilla attorno 0.85 ÷ 0.90
La resistenza della zona compressa di calcestruzzo si può controllare in modo approssimato con la condizione:
M ≤ M c amm
controllo Approssimato del Calcestruzzo compresso
I valori semplificati di Mcamm sono:
Rck = 20 ÷ 15 N / mm 2
Rck = 25 ÷ 30 N / mm 2
c
M amm
≅ 0.19bh 2 σ c
Fe B 22k • Fe B 32k
c
M amm
≅ 0.14bh 2 σ c
Fe B 38k • Fe B 44k
c
M amm
≅ 0.21bh 2 σ c
Fe B 22k • Fe B 32k
c
M amm
≅ 0.16bh 2 σ c
Fe B 38k • Fe B 44k
55
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Applicazione
1. calcolare l’altezza utile h e l’armatura As della sezione di una trave avente
b=25cm e soggetta al momento M=35 kNm, avendo assunto
Rck = 20 N mm 2 ed acciaio FeB38K (σ s = 215 N mm 2 )
Per Rck = 20 N mm 2
σ s = 7,25 N mm 2 (0,725 kN cm 2 )
Soluzione: Dalla tabella per Acciai ad Aderenza Migliorata
si ha : ξ = 0,336 • χ c = 0,149 • α = 2,589 • ρ = 0,888
Perciò risulta:
h =α
M
35 × 100
= 2,589
≅ 36 cm
bσ c
25 × 0,725
As =
M
35 × 100
=
≅ 5,1cm 2
ρhσ s 0,888 × 36 × 21,5
(122)
2φ16 + 1φ12
x = 0,336 h ≅ 12,1cm
Applicando i calcoli approssimati si avrebbe:
As =
M
35 × 100
=
≅ 5,3 cm 2
0,85hσ s 0,85 × 36 × 21,5
(123)
• valore prossimo al calcolo preciso
M c amm ≅ 0,14bh 2σ c = 0,14 × 25 × 36 2 × 0,725 ≅ 3290 kNcm = 32,9 kNm
• valore pari al 94% di M = 35kNm.
56
(124)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Le differenze tra il calcolo preciso e quello approssimato sono piccole e si giustificano
per i calcoli di massima.
2. calcolare la larghezza b di una trave avente h = 26 cm (d = 30 cm) e determinare
l’armatura As per resistere un momento M = 58 kNm
I materiali sono:
• Rck = 30 N mm 2 • σ c = 9,75 N mm 2 0,975 kN cm 2
(
• Fe B 44 K • σ s = 255 N mm
2
(25,5 kN
cm
2
)
)
Soluzione: per questi materiali si ha:
ξ = 0 .364 • χ c = 0 .16 • ρ = 0 .878
b=
As =
M
58 × 100
=
≅ 55 cm
2
χ c h σ c 0,16 × 26 2 × 0,975
M
58 × 100
=
≅ 10cm 2
ρhσ s 0,878 × 26 × 25,5
(125)
(5φ16)
Applicando i calcoli approssimati si ha:
As ≅
M
58 × 100
=
= 10,3 cm 2
0,85hσ s 0,85 × 26 × 25,5
(126)
valore molto prossimo al calcolo preciso
c
M amm
= 0,16bh 2σ c = 0,16 × 55 × 26 2 × 0,975 = 5800kNcm = 58kNm
valore coincidente con il calcolo preciso
57
(127)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.9. B- SEZIONE RETTANGOLARE CON DOPPIA ARMATURA
B.2- CALCOLO DI VERIFICA DELLE TENSIONI
Sono date la larghezza b e l’altezza utile h della sezione, la sezione As dell’acciaio teso,
la sezione As’ dell’acciaio compresso, la distanza h’ del baricentro di As’ dal lembo
compresso, ed è noto il Momento Flettente M. Si vogliono calcolare la tensione massima σc max nel calcestruzzo compresso, la tensione σs nell’armatura tesa e la tensione σ’s
nell’armatura compressa.
1. Determinazione della posizione dell’asse neutro x eguagliando la somma dei risultanti di compressione Cc del calcestruzzo e dell’acciaio compresso Cs al risultante di trazione Ta, risulta:
C c + C s = Ta
(128)
bσ c max x
+ As' σ s' = Asσ s
2
(129)
Equilibrio Traslazione
Essendo:
σ s' = nσ c max
x − h'
x
σ s = nσ c max
(130)
h−x
x
si ottiene
(131)
bx 2
+ nAs' ( x − h ' ) − nAs (h − x) = 0
2
L’asse neutro è baricentrico rispetto alla sezione reagente trasformata in calcestruzzo.
La radice positiva di questa equazione fornisce il valore di x.
A + As' ⎡
hAs + h ' As'
x=n s
⎢− 1 + 1 + 2b
b
n( As + As' ) 2
⎢⎣
58
⎤
⎥
⎥⎦
(132)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Ponendo
As∗ = As + As'
(133)
e
h∗ =
hAs + h ' As'
As∗
(134)
si può scrivere:
As∗ ⎡
2bh∗ ⎤
x = n ⎢− 1 + 1 +
⎥
b ⎣⎢
nAs∗ ⎦⎥
(135)
2. Determinazione delle tensioni σc max, σs’, σs eguagliando il momento degli sforzi
interni Ca e Cs rispetto al baricentro dell’armatura tesa a quello esterno M, si ha:
Cc ⋅ z + Cs ⋅ c = M
(136)
Equilibrio rotazione
σ c maxbx ⎛
x⎞
' '
⎜ h − ⎟ + σ s As c = M
3⎠
⎝
(137)
M
'
bx ⎛
x⎞
' x−h
⎜ h − ⎟ + nAs c
2⎝
3⎠
x
(138)
2
con c = h – h’.
Ricavando σc max si ottiene:
σ c max =
σ = nσ c max
x − h'
x
σ s = nσ c max
h−x
x
'
s
59
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Applicazione
Una trave alta h=41 cm e larga b=30cm è armata con 4Φ20 nella zona tesa e 3 Φ 16 nella zona compressa. Determinare le tensioni provocate da M=85 kNm.
As' → 3φ16 As' = 6 cm 2
As → 4φ 20 As = 12,56 cm 2
As∗ = As' + As = 18,56 cm 2
hAs + hAs' 41×12,56 + 4 × 6
=
≅ 29,039cm
As∗
18,56
h∗ =
x=n
x = 15 ×
⎡
2bh∗ ⎤
⎢− 1 + 1 +
⎥
nAs∗ ⎥⎦
⎢⎣
18,56 ⎡
2 × 30 × 29,039 ⎤
⎢− 1 + 1 +
⎥ ≅ 15,72cm
30 ⎣
15 × 18,56 ⎦
σ c max =
• σ c max =
As∗
b
M
'
bx ⎛
x⎞
' x−h
⎜ h − ⎟ + nAs c
2⎝
3⎠
x
85 × 100
30 × 15,72 ⎛
15,72 ⎞
15,72 − 4
× ⎜ 41 −
⎟ + 15 × 6 × 37
2
3 ⎠
15,72
⎝
σ c max ≅ 0,78 kN / cm 2
7,8 N / mm 2
60
(139)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
• σ s = nσ c max
h−x
41 − 15,72
= 15 × 0,78
≅ 18,8 kN / cm 2 188 N / mm 2
x
15,72
• σ s' = nσ c max
x − h'
15,72 − 4
= 15 × 0,78
≅ 8,7 kN / cm 2
x
15,72
87 N / mm 2
Si osservi che la tensione σs’ nell’armatura compressa risulta quasi sempre moderata se
σ c max < σ c , e per i tipi di acciaio Fe b 38k e Fe B 44k sono sempre minori di σ s .
I valori ottenuti delle tensioni:
σc max = 7,8N/mm2 risulta minore del valore ammissibile σ s se il calcestruzzo ha
Rck ≥ 25kN / mm 2 .
σs = 188N/mm2 risulta minore delle tensioni ammissibili corrispondenti a Fe B 38k (σs
2
= 215N/mm2) e a Fe B 44k (σ s = 255 N / mm ) .
La tensione nell’acciaio teso σs supera i valori ammissibili corrispondenti agli acciai in
2
2
barre tonde lisce (σ s = 115 N / mm per Fe B 22k, e σ s = 155 N / mm per Fe B 32k).
Controllo dei risultati ottenuti
Si può controllare mediante l’equilibrio a traslazione
bx
σ c max + As' σ s' = Asσ s
2
30 × 15,72
× 0,78 + 6 × 8,7 ≅ 12,56 × 18,8
2
183,92 KN + 52,20 kN ≅ 236,13 kN
236,12 ≅ 236,13
61
(140)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Significato di h∗
Momento statico di As e A’s rispetto al lembo compresso
As h + As' h ' = As∗ h∗
h∗ =
As h + As' h '
As∗
As∗ = As + As'
62
(141)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.10.
B.2- CALCOLO DI PROGETTO _Doppia Armatura
Un modo agevole di procedere nel progetto della sezione rettangolare con doppia armatura consiste nell’immaginare la sezione scissa in due sezioni: l’una a semplice armatura
As 0, l’altra costituita dall’armatura compressa As’ e di una corrispondente armatura tesa
∆As.
La divisione prima e la successiva sovrapposizione delle due sezioni è lecita soltanto se
esse hanno lo stesso asse neutro in modo che As 0 e ∆As abbiano le stesse tensioni.
- questo modo consente di utilizzare i coefficienti ε, γ e ρ della sezione a semplice armatura e perciò delle tabelle corrispondenti.
Prefissati σ c , σ s , b, h e dato M
1. si determina il Momento Ammissibile M camm della sezione e l’armatura As 0 applicando le espressioni della sezione a armatura semplice.
c
M amm
= γ c bh 2σ c
As 0 =
(142)
c
M amm
ρhσ s
2. il Momento residuo ∆M = M - Mc amm deve risultare equilibrato dalla sezione
formata da A’s e ∆As.
63
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
∆As =
∆M
cσ s
As' =
∆M
cσ s'
(143)
con
σ s' = nσ c
(ε − h ' / h)
ε
=σs
(ε − h ' / h)
(1 − ε )
(144)
si può calcolare As' in funzione di ∆As
As' = ∆As
(1 − ε )
(ε − h ' / h)
(145)
3. Come armatura tesa As si ottiene:
As = As 0 + ∆As
(146)
* se M risulta minore di Mcamm non risulta necessaria l’armatura A’s, M ≤ Mcamm non è
necessaria armatura in zona compressa.
* l’armatura A’s riesce in particolare giustificata se vi è la possibilità di cambiamento
del segno del momento per cui, ad esempio, le fibre tese non sono più quelle di estradosso ma quelle di intradosso. Questa condizione è frequente in presenza di azioni sismiche.
Applicazione
Una trave di sezione rettangolare è larga b=30cm e alta h=41cm. Determinare le armature As e A’s in modo che la sezione possa sopportare un momento M = 90kNm, assu2
2
mendo σ c = 8,5 N / mm (calcestruzzo Rck = 25N/mm2) e σ s = 215 N / mm (acciaio Fe
B 38k).
2
2
per σ c = 8,5 N / mm e σ s = 215 N / mm i coefficienti per la sezione con armatura semplice sono:
• ε = 0,3723 • ρ = 0,876 • γ c = 0,163
Il momento ammissibile Mcamm per la sezione con armatura semplice vale:
c
M amm
= γ c bh 2σ c = 0,163 × 30 × 412 × 0,85 = 6987kNcm ≅ 69,9kNm
(σ c = 8,5 N / mm 2 = 0,85kN / cm 2 )
∆M = 90 − 69,9 = 20,1kNm
64
(147)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
As 0 =
c
M amm
69,9 × 100
=
≅ 9,05cm 2
ρhσ s 0,876 × 41 × 21,5
(σ s = 215 N / mm 2 = 21,5kN / cm)
• ∆As =
(148)
∆M 20,1× 100
=
≅ 2,53cm 2
cσ s 37 × 21,5
con
c = h − h ' = 37cm
• As = As 0 + ∆As = 9,05 + 2,53 = 11,58cm 2
As' =
σ s' = nσ c
∆M 20,1 × 100
=
≅ 5,77cm 2
'
37 × 9,41
cσ s
(ε − h ' / h)
ε
= 15 × 0,85
(0,3723 − 4 / 41)
0,3723
σ s' ≅ 9,41kN / cm 2 (94,1N / mm 2 )
Si adotta
As → 3φ 20 + 2φ12(11,68cm 2 )
As' → 3φ16(6,0cm 2 )
controllo equilibrio traslazione
bx
σ c + As' σ s' = Asσ s
2
con x=15,264cm
65
(149)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
30 ×
15,264
× 0,85 + 5,77 × 9,41 = 11,58 × 21,5
2
194,6 + 54,3 = 249kN
248,9kN ≅ 249kN
66
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.11.
Calcoli approssimati Armatura doppia
Noto il Momento Flettente M, le tensioni ammissibili σ c e σ s , la larghezza b e l’altezza
utile h, per i calcoli di massima, le armature As e A’s si possono determinare rapidamente mediante la procedura indicata nel seguito.
'
-dati: M, σ c , σ s , b, h (c = h − h )
-incognite: As e A’s
c
con le
1) si determina il momento ammissibile del calcestruzzo compresso M amm
seguenti espressioni semplificate che dipendono dal tipo di calcestruzzo e dal tipo di acciaio.
Rck = 20 ÷ 15 N / mm 2
Rck = 25 ÷ 30 N / mm 2
c
M amm
≅ 0.19bh 2 σ c
Fe B 22k • Fe B 32k
c
M amm
≅ 0.14bh 2 σ c
Fe B 38k • Fe B 44k
c
M amm
≅ 0.21bh 2 σ c
Fe B 22k • Fe B 32k
c
M amm
≅ 0.16bh 2 σ c
Fe B 38k • Fe B 44k
2) Se M > Mcamm si determina il Momento Residuo ∆M
c
∆M = M − M amm
Le armature si calcolano mediante le espressioni approssimate:
As =
c
M amm
∆M
+
0,85hσ s cσ s
As' =
∆M
11cσ c
3) Se M < Mcamm non è necessaria armatura compressa A’s
M
As =
0,85hσ s
67
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Applicazione
Determinare Ase A’s mediante calcoli approssimati considerando i dati della precedente
applicazione.
Dati:
M=90kNm
Rck=25N/mm2
σ c = 8,5 N / mm 2 = 0,85kN / cm 2
σ s = 215 N / mm 2 = 21,5kN / cm 2
Fe B 38k
h=41cm b=30cm c=37cm
1) dalla tabellina precedente
c
M amm
= 0,16bh 2σ c = 0,16 × 30 × 412 × 0,85 = 6858kNcm ≅ 68,6kNm
2) M > Mcamm 90>68,6 è necessaria armatura A’s compressa.
c
∆M = M − M amm
= 90 − 68,6 = 21,4kNm
3) calcolo approssimato delle armature
c
M amm
∆M
68,6 × 100
21,4 × 100
As =
+
=
+
= 9,16 + 2,69 = 11,85 cm 2
0,85hσ s cσ s 0,85 × 41 × 21,5 37 × 21,5
As' =
∆M
21,4 × 100
=
= 6,19cm 2
c11σ c 37 ×11× 0,85
Come si vede i valori approssimati sono leggermente superiori rispetto a quelli determinati in modo preciso.
Esatto
Approssimato
As
11,58 cm 2
11,85 cm 2
As'
5,77 cm 2
6,19 cm 2
68
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.12.
SEZIONE A T
Nelle costruzioni in cemento armato sono assai frequenti le travi avente sezione a forma
di T . Esse sono costituite da un tratto di soletta (ala) e da una nervatura (anima).
Nei solai con nervature, la soletta (caldana), per una certa larghezza bs , può essere considerata solidale con la nervatura.
Nel calcolo di nervature solidali con solette si può ammettere come collaborante con la
nervatura, da ciascun lato, una striscia di soletta pari alla maggiore fra le dimensioni seguenti:
- un decimo della luce della nervatura → l 0 / 10
- cinque volte lo spessore h0 della soletta → 5h0
In nessun caso la larghezza di soletta collaborante da ciascun lato può superare la metà
della luce fra le nervature né la distanza fra la sezione in esame e quella in cui ha termine la soletta.
Nelle travi isolate può convenire progettare la sezione a T anziché rettangolare, per aumentare la zona di conglomerato compresso invece di ricorrere ad armatura compressa.
Se il Momento Flettente è positivo risulta compressa la parte superiore della sezione per
cui la soletta contribuisce a resistere le tensioni di compressione. Invece se il Momento
Flettente è negativo risulta compressa la parte inferiore per cui le tensioni di compressione sono resistite dalla nervatura (larghezza b0) e dalle armature presenti nella parte
inferiore.
69
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Nella trattazione che segue si studia solo il caso in cui il Momento Flettente è positivo (soletta compressa) poiché nel caso di Momento Flettente negativo (soletta tesa) il problema è uguale al caso della sezione rettangolare già esaminato.
70
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Se la sezione è sollecitata da Momento Positivo è opportuno distinguere due casi:
1) L’asse neutro cade nella soletta x ≤ h0
Il comportamento della sezione è lo stesso che si avrebbe se la sezione fosse rettangolare di larghezza bs e di altezza h.
2) L’asse neutro taglia la nervatura x > h0
71
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Nel metodo “n” quando l’asse neutro taglia la nervatura, il blocco delle tensioni di compressione nel calcestruzzo presenta una forma piuttosto complicata e la determinazione
della posizione dell’asse neutro risulta meno semplice rispetto al caso della sezione rettangolare. Tale situazione fa utile l’impiego di approcci approssimati.
Nel calcolo delle sezioni a T, usualmente sono note le caratteristiche geometriche della
sezione ( bs , b0 , h0 , h). Si possono presentare due tipi di problemi:Essendo note anche le
armature si devono calcolare le tensioni (VERIFICA) oppure noto il Momento Esterno,
si devono determinare le armature (PROGETTO).
72
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
APPROCCIO SEMPLIFICATO DI VERIFICA
Un approccio semplificato molto adeguato per i calcoli di massima si può stabilire considerando le seguenti assunzioni:
1) si trascura la zona di calcestruzzo compresa fra il bordo inferiore della soletta e
l’asse neutro. Ciò non influisce sensibilmente sul momento resistente (poiché le
tensioni σ c ivi, sono assai ridotte).
2) Il diagramma trapezoidale di tensioni di compressione nella soletta è sostituito
da un diagramma rettangolare con una tensione pari a β σ cs , con risultante applicata a metà altezza della soletta. Il diagramma rettangolare ha il pregio di
semplificare i calcoli e la sua eventuale minore precisione può essere accettata
considerando le altre approssimazioni che necessariamente si introducono nei
calcoli di resistenza.
Il valore del coefficiente β dipende dal rapporto xp / h0 , β varia tra 0,5 e 0,7.
3) Il braccio delle forze interne si assume pari a: h − h0 / 2
Per una sezione data (sono note materiali, dimensioni e armatura) si possono ricavare,
separatamente, il momento massimo Mcamm che può resistere il calcestruzzo compresso
e il momento massimo Maamm che può resistere l’armatura tesa considerando in ciascun
caso che la tensione massima raggiunga il valore ammissibile.
73
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Naturalmente, il Momento Ammissibile Mamm effettivo corrispondente alla sezione data,
sarà il minore dei due valori calcolati.
c
a
, M amm
)
M amm = (min .M amm
•
c
a
Se M amm
< M amm
, risulta critica la zona compressa di calcestruzzo
•
a
c
Se M amm
< M amm
, risulta critica l’armatura tesa.
(150)
c
a
I momenti M amm
e M amm
si desumono dalla condizione di equilibrio a rotazione.
•
Per il calcestruzzo si considera il momento dello sforzo di compressione C rispetto al baricentro dell’armatura
M = C (h − h0 / 2)
(151)
Essendo C amm = bs h0 β σ cs , risulta:
c
M amm
= bs h0 ⋅ β ⋅ σ cs (h − h0 / 2)
(152)
(CALCESTRUZZO COMPRESSO)
•
Per l’armatura si considera il momento dello sforzo di Trazione T rispetto al
punto di applicazione dello sforzo di Compressione (metà altezza della soletta)
M = T (h − h0 / 2)
(153)
Essendo
Tamm = Asσ s
si ha:
a
M amm
= Asσ s (h − h0 / 2)
(154)
ARMATURA TESA
•
Quando Mcamm < Maamm, la tensione σs nell’armatura tesa, quando il calcestruzzo
compresso è sollecitato al suo valore ammissibile, risulta:
σs =
•
c
M amm
<σs
As (h − h0 / 2)
(155)
Se Maamm < Mcamm, la tensione del diagramma rettangolare del calcestruzzo sarà
minore di β σ cs :
74
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
σ cm =
a
M amm
< β σ cs
bs h0 (h − h0 / 2)
(156)
La precedente impostazione consente la rapida verifica della sicurezza di una sezione
data quando soggetta ad un momento esterno M.
Determinati Mcamm e Maamm considerando il minor valore come Mamm, si possono presentare due casi:
1) M ≤ Mamm la sicurezza è soddisfatta
Le tensioni risultano:
σs =
σ cm =
M
≤σs
As (h − h0 / 2)
(157)
M
≤ β σ cs
bs h0 (h − h0 / 2)
2) M > Mamm, la condizione di sicurezza non è soddisfatta
a
c
2.1)se M amm
< M amm
σs =
M
>σs
As (h − h0 / 2)
σ cm =
(158)
M
b0 h0 (h − h0 / 2)
con
β σ cs ≤ σ cm ≤ β σ cs
(159)
M
As (h − h0 / 2)
(160)
c
a
< M amm
2.2)se M amm
σs =
con
σs ≤σs ≤σs
σ cm =
M
> β σ cs
bs h0 (h − h0 / 2)
75
(161)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Se la verifica della sicurezza non risulta positiva, in particolare nel calcestruzzo compresso, si deve eseguire una verifica più precisa considerando il blocco completo di
compressione della sezione a T .
L’approccio semplificato esposto assume che l’asse neutro taglia la nervatura o risulta
coincidente con il bordo inferiore della soletta. Se l’asse neutro taglia la soletta, si deve
considerare una sezione rettangolare di larghezza bs .
xp =
nAs
bs
⎛
2b h ⎞
⎜−1+ 1+ s ⎟
⎜
nAs ⎟⎠
⎝
sezione rettangolare bs
76
(162)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Applicazione
Dato un solaio misto (soletta e nervature parallele in calcestruzzo e laterizi forati) con le
dimensioni e i materiali indicati in figura e considerando diversi quantitativi di armatura
tesa, mediante l’approccio semplificato di verifica determinare:
1) I momenti ammissibili della sezione per i diversi valori di As.
2) Le tensioni nei materiali per la sezione armata con 2φ12 quando soggetta ad un
Momento Flettente M=11kNm
3) Le luci teoriche massime che può avere il solaio per condizioni di vincolo corrispondenti alla trave appoggiata, considerando carichi totali per m2 pari a:
5kN/m2, 6kN/m2, 7kN/m2.
77
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Soluzione a
Innanzitutto si determina xp supponendo una sezione rettangolare di larghezza
bs = 50cm .
xp =
nA s
bs
⎛
2b h
⎜−1+ 1+ s
⎜
nA s
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(163)
1) per As (8) = 1,00cm2, si ricava:
xp =
15 × 1 ⎛
2 × 50 × 22 ⎞
⎜−1+ 1+
⎟ ≅ 3,346cm
50 ⎜⎝
15 × 1 ⎟⎠
(164)
Risultando xp<h0 (3,346<4), l’asse neutro taglia la soletta e la sezione si considera come
rettangolare di larghezza bs = 50cm.
2) per As (12) = 2,26cm2, si ricava:
xp =
15 × 2,26 ⎛
2 × 50 × 22 ⎞
⎜−1+ 1+
⎟ ≅ 4,826cm
⎜
50 ⎝
15 × 2,26 ⎟⎠
(165)
Essendo xp>h0, l’asse neutro taglia la nervatura.
xp
h0
≅ 1,206 •
il coefficiente β = 0,61
xp
h0
− 0,11
(166)
vale:
β = 0,61 × 1,206 − 0,11 ≅ 0,626
(167)
La tensione β σ cs del blocco rettangolare di compressione risulta:
0,626 × 5,95 ≅ 3,72 N / mm 2
(168)
I risultati corrispondenti alle diverse armature sono riportati nella seguente tabella:
σ cs = 5,95 N mm 2
Armatura
2φ 8
2φ10
2φ12
2φ14
2φ16
As (cm 2 )
1,00
1,57
2,26
3,05
4,00
x p (cm)
x p ho
3,346
4,106
4,826
5,519
6,165
0,836
1,027
1,206
1,380
1,541
78
β
β σ cs ( N mm 2 )
____
0,516
0,626
0,700
0,100
____
3,07
3,72
4,17
4,17
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Soluzione b
Determinati i valori di xp e β σ cs , si possono calcolare i Momenti Ammissibili corrispondenti al calcestruzzo e all’acciaio.
1) per As (8)2φ 8 la sezione si considera di tipo rettangolare di larghezza bs = 50cm.
In tal caso si ha:
c
M amm
= bs
c
M amm
= 50 ×
xp ⎛
xp ⎞
⎜ h − ⎟σ cs
2 ⎝
3 ⎠
3,346 ⎛
3,346 ⎞
⎜ 22 −
⎟0,595 ≅ 1039kNcm ≅ 10,39kNm
2 ⎝
3 ⎠
(169)
(170)
σ cs = 5,95 N / mm 2 = 0,595kN / cm 2
2
Il Momento Ammissibile dell’armatura vale per Fe B 38k (σ s 215 N / mm )
xp ⎞
⎛
3,346 ⎞
⎛
a
• M amm
= Asσ s ⎜⎜ h − ⎟⎟ = 1,00 × 21,5⎜ 22 −
⎟ ≅ 449kNcm = 4,49kNm
3 ⎠
3 ⎠
⎝
⎝
(171)
2
2
Per Fe B 44k (σ s = 255 N / mm = 25,5kN / cm ) risulta:
a
M amm
≅ 5,33kNm
(172)
2) per AS(12)2Φ12, i valori dei Momenti Ammissibili si determinano con
l’approccio semplificato per le sezioni a T .
c
M amm
= bs h0 (h − h0 / 2)βσ cs
con
79
(173)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
βσ cs = 3,72 N / mm 2 = 0,372kN / cm 2
(174)
4⎞
⎛
c
• M amm
= 50 × 4⎜ 22 − ⎟0,372 ≅ 1488kNcm ≅ 14,88kNm
2⎠
⎝
Per Fe B 38k (σ s = 21,5kN / cm 2 ) si ha:
h ⎞
⎛
a
M amm
= Asσ s ⎜ h − 0 ⎟ = 2,26 × 21,5 × 20 = 972kNcm = 9,72kNm
2⎠
⎝
(175)
Per Fe B 44k (σ s = 25,5kN / cm 2 ) risulta
a
M amm
≅ 11,52kNm
(176)
3) In modo simile si risolvono i casi As(10)=1,57cm2, As(14)=3,08cm2 e
As(16)=4,00cm2. I risultati vengono riportati nella tabella seguente.
Come già indicato il Momento Ammissibile della sezione è il valore minore tra Mcamm e
Maamm.
c
a
, M amm
)
M amm = (min .M amm
(177)
Tabella Momenti Ammissibili, Solaio Misto, Approccio Semplificato
Rck = 25 N / mm 2 • σ cs = 5,95 N / mm 2
bs = 50cm • b0 = 10cm • h = 22cm • h0 = 4cm
Armatura
As (cm2 )
Mc amm
(kNm)
2 F8
(1.00 cm2)
2 F 10
(1.57cm2)
2 F 12
(2.26 cm2)
2 F 14
(3.08 cm2)
2 F 16
(4.00 cm2)
10.4
Fe B38k
M amm
Mc amm
(kNm)
Sezione
(kNm)
4.5
4.5
c
FeB44k
M amm
Mc amm
Sezione
(kNm)
5.3
5.3
c
12.3
6.8
6.8
8.0
8.0
14.9
9.7
9.7
11.5
11.5
16.7
13.2
13.2
15.5
15.5
16.7
14.7
16.7
20.4
16.7
80
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Soluzione c
Si considerano carichi totali per m2 di solaio (permanenti + accidentali):
q1 = 5kN / m 2
q 2 = 6kN / m 2
q3 = 7kN / m 2
I carichi per metro di nervatura, essendo l’interasse i = 0,50, risultano:
p1 = q1 × 0,50 = 5 × 0,50 = 2,5kN / m
(178)
p 2 = q 2 × 0,50 = 6 × 0,50 = 3,0kN / m
p3 = q3 × 0,50 = 7 × 0,50 = 3,5kN / m
Considerando la nervatura come trave appoggiata, il Momento Flettente massimo vale:
81
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
pl 2
8
(179)
8M mass
p
(180)
M mass =
da cui si ha :
l=
Ammettendo M mass = M amm si ricava la luce teorica massima che può avere il solaio.
lmass =
8M amm
p
(181)
Ad esempio per Fe B 38k e As(12)=2,26cm2, il Mamm vale 9,7kN/m, per cui la luce massima risulta:
per p1 = 2,5kN / m
l mass =
8 × 9,7
≅ 5,57m
2,5
(182)
per p 2 = 3,0kN / m
l mass ≅ 5,09m
(183)
l mass ≅ 4,71m
(184)
per p3 = 3,5kN / m
I risultati corrispondenti ad altre armature sono riportati nella tabella seguente.
82
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Tabella luci massime e ammissibili, Solaio Misto, Approccio Semplificato
Rck = 25 N / mm 2 • Fe B 38k e Fe B 44k
bs = 50cm • b0 = 10cm • h = 22cm • h0 = 4cm
Nervature considerate come travi appoggiate.
q1, q2, q3, carico totale per m2di solaio.
Armatura
2Ø8
2 Ø 10
2 Ø 12
2 Ø 14
2 Ø 16
Fe B 38k
q1 = 5 q2 = 6 q3 = 7 kN/m2
kN/m2
kN/m2
3,80 m
3,46 m
3,21 m
4,66 m
4,26 m
3,94 m
5,57 m
5,09 m
4,71 m
6,50 m
5,93 m
5,49 m
7,31 m
6,67 m
6,18 m
83
Fe B 44k
q1 = 5 q2 = 6 q3 = 7
kN/m2
kN/m2
kN/m2
4,12 m
3,76 m
3,48 m
5,06 m
4,62 m
4,28 m
6,07 m
5,54 m
5,13 m
7,04 m
6,43 m
5,95 m
7,31 m
6,67 m
6,18 m
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Applicazione
Verifica delle Tensioni
Sezione a T con semplice armatura
Data la sezione a T avente le dimensioni:bs = 75cm, b0 = 25cm, h = 60cm, h0 = 12cm,
2
armata con 6φ 20(18,84cm )
1) Calcolare le tensioni provocate da M=200kNm
2) Determinare il Momento Ammissibile per
Rck = 15 N / mm 2 , Rck = 20 N / mm 2 , Rck = 30 N / mm 2 , Rck = 35 N / mm 2 ,considera
ndo acciaio Fe B 44k.
84
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Soluzione a
Preliminarmente si determina xp supponendo una sezione rettangolare di larghezza
bs = 75cm
xp =
nAs
bs
⎞
⎛
⎛
⎞
⎜ − 1 + 1 + 2bs h ⎟ = 15 × 18,84 ⎜ − 1 + 1 + 2 × 75 × 60 ⎟ ≅ 17,83cm
⎜
⎜
nAs ⎟⎠
75
15 ×18,84 ⎟⎠
⎝
⎝
(185)
essendo xp>h0(17,83>12), l’asse neutro taglia la nervatura e risulta necessario calcolare
il valore di x corrispondente alla sezione a T.
L’equazione che fornisce la posizione dell’asse neutro si ottiene annullando il momento
statico della sezione reagente.
b0 x 2 + 2[h0 (bs − b0 ) + nAs ]x − h02 (bs − b0 ) − 2nAs h = 0
(186)
25 x 2 + 2[12(75 − 25) + 15(18,84)]x − 12 2 (75 − 25) − 30 × 18,84 × 60 = 0
da cui si ha:
x 2 + 70,608 x − 1644,48 = 0
(187)
La radice positiva dell’equazione di 2° grado risulta x=18,46cm
Il momento d’inerzia I i della sezione reagente rispetto all’asse neutro vale:
Ii =
Ii =
[
]
1
bs x 3 − (bs − b0 )( x − h0 ) 3 + nAs (h − x) 2
3
[
(188)
]
1
75 ×18,463 − 50(18,46 − 12) 3 + 15 × 18,84(60 − 18,46) 2
3
I i ≅ 640419,5cm 4
Le tensioni risultano:
σ c max =
σ c1 =
σs =
M
M
M
x=
× 18,46 ≅
Ii
640419,5
34692cm 3
M
M
M
( x − h0 ) =
× 6,46 ≅
640419,5
Ii
99136cm 3
nM
15M
M
(h − x) =
× 41,54 ≅
Ii
640419,5
1027,8cm 3
85
(189)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Per M=200kNm=20000kNcm, risulta:
• σ c max ≅ 0,58kN / cm 2
(5,8 N / mm 2 ) →
valore
più
preciso
più
preciso
• σ c max = 0,577kN / cm 2
• σ c1 ≅ 0,20kN / cm 2
(2,0 N / mm 2 ) → valore più preciso
• σ c1 = 0,201kN / cm 2
• σ s ≅ 19,46kN / cm 2
(194,6 N / mm 2 ) →
valore
• σ s = 19,459kN / cm 2
controllo equilibrio a traslazione:
Cn + Cs − Ta = 0
σ
+ σ c1
b0 x
σ c max + (bs − b0 )h0 c max
− Asσ s = 0
2
2
25 × 18,46
0,577 + 0,201
− 18,84 × 19,46 ≅ 0
× 0,577 + /(75 − 25)12
2
2
86
(190)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Procedura semplificata:
Trascurando per semplicità la zona di calcestruzzo compresa fra il bordo inferiore della
soletta e l’asse neutro, si ha:
bs h02
+ As hn
2
x=
bs h0 + nAs
x=
(191)
1 / 2 × 75 ×12 2 + 18,84 × 60 × 15
≅ 18,90cm
75 ×12 + 15 × 18,84
La distanza t del punto di applicazione del risultante di compressione dall’asse neutro
vale:
t = x−
12 3 ×18,90 − 2 × 12
h0 3x − 2h0
= 18,90 −
= 13,83cm
3 2 x − h0
3 2 ×18,90 − 12
(192)
Per l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione di c risulta:
σs =
M
20000
=
As (h − x + t ) 18,84(60 − 18,90 + 13,83)
σ s ≅ 19,33kN / cm 2 (193,26 N / mm 2 )
(193)
Dal diagramma lineare delle tensioni si deduce:
σ c max =
σsx
n( h − x )
σ c1 = σ c max
=
19,33 18,9
≅ 0,59kN / cm 2 (5,92 N / mm 2 )
15 60 − 18,9
x − h0
18,9 − 12
= 0,592
≅ 0,216kN / cm 2 (2,16 N / mm 2 )
x
18,9
87
(194)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Per verifiche di minore approssimazione si può supporre che la risultante di compressione c, anziché nel baricentro del trapezio delle tensioni cada nella metà dell’altezza
della soletta. Perciò:
t = x−
h0
2
(195)
Con tale criterio le tensioni risultano un poco aumentate rispetto al caso precedente:
Confronto tra i risultati dei differenti tipi di Verifica:
Tipo di verifica
Considerando blocco completo di tensioni di compressione
Trascurando zona compresa
fra il bordo inferiore della
soletta e l’asse neutro. Centro di pressione nel baricentro del trapezio
Trascurando zona compresa
fra il bordo inferiore della
soletta e l’asse neutro. Centro di pressione nella metà
altezza della soletta
x (cm)
σ c max ( N mm 2 )
σ c1 ( N mm 2 )
σ s ( N mm 2 )
18,46
5,80
2,01
194,6
18,90
5,92
2,16
193,3
18,90
6,03
2,20
196,6
Dai valori riportati emerge che, nel caso esaminato, i criteri semplificati conducono a
risultati poco differenti di quelli corrispondenti alla considerazione del blocco completo
di tensioni di compressione.
88
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
B - soluzione b)
Si richiede il calcolo del Momento Ammissibile della sezione data per il calcestruzzo
con Rck variabile tra 15 e 35 N/mm2 considerando acciaio Fe B 44k.
1) Tensioni ammissibili nel calcestruzzo
Nelle travi a T con soletta collaborante la tensione ammissibile è ridotta rispetto al caso
di sezioni rettangolari. La riduzione è funzione dello spessore della soletta e vale:
-30% per soletta di spessore < 5cm → σ cs = 0,7σ c
-10% per soletta di spessore ≥ 5cm → σ cs = 0,9σ c
nel caso esaminato (h0 = 12cm) la riduzione sarà del 10% :
⎡
⎣
σ cs = 0,9⎢6 +
Rck − 15 ⎤
2
⎥⎦ ( N / mm )
4
σ cs = 0,9σ
(196)
2) Tensione ammissibile nell’acciaio
Per Fe B 44k si ha σ s = 255 N / mm 2
B.1 • Determinazione di Mamm considerando blocco completo di compressione.
Dalle espressioni ricavate in precedenza per la sezione data si ha:
c
M amm
≅ 34692(cm 3 )σ cs
Momento Ammissibile del cls.
a
M amm
≅ 1028(cm 3 )σ cs
Momento Ammissibile dell’acciaio
σ c1 =
M amm
99136(cm 3 )
Tensione compressione del calcestruzzo nel bordo inferiore della soletta
Ovviamente, il Momento Ammissibile della sezione corrisponde al minore dei due valoc
a
e M amm
.
ri M amm
Nella tabella seguente si riportano i risultati ottenuti.
89
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Calcolo del Momento Ammissibile
bs = 75cm • b0 = 25cm • h0 = 12cm • h = 60cm • As = 18,84cm 2
Rck
(N/mm2)
15
20
25
30
35
σ cs
2
(N/mm )
5,40
6,50
7,65
8,80
9,90
Mcamm
(kNm)
187,3
225,3
265,4
305,3
343,5
σc1
(N/mm2)
1,9
2,3
2,7
3,1
3,5
σs **
(N/mm2)
182,2
219,3
258,2*
297,0*
334,0*
Maamm
(kNm)
262,1
262,1
262,1
262,1
262,1
Mamm
(kNm)
187,3
225,5
262,1
262,1
262,1
*valori superiori a σ s = 255 N / mm 2 (Fe B 44k)
1) Per Rck = 15N/mm2e Rck = 20N/mm2risulta determinante Mcamm ( calcestruzzo)
2) Per Rck = 25N/mm2, Rck = 30N/mm2 e Rck = 35N/mm2, risulta determinante
a
M amm
(acciaio)
**: valori della tensione nell’acciaio corrispondenti a Mcamm
σs =
c
M amm
1028(cm 3 )
90
(197)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Confronto Risultati delle verifiche
bs = 52cm • b0 = 12cm • h0 = 4cm • h = 27cm • As = 3,08cm 2 (2φ14)
Blocco completo compressioni
x = 6,407 cm
Semplificata
x = 6,54 cm
Rck = 15
Rck = 20
Rck = 25
Rck = 30
1
σ cs
(N/mm2)
2
0,7 σ cs
(N/mm2)
1
2
1
2
1
2
1
2
4,20
2,94
5,08
3,55
5,95
4,17
6,83
4,78
Mcamm
(kNm)
σc1
(N/mm2)
σs *
(N/mm2)
Maamm
(kNm)
Mamm
(kNm)
Mcamm
(kNm)
_____
σs *
(N/mm2)
Maamm
(kNm)
Mamm
(kNm)
15,7
15,3
19,0
18,5
22,3
21,7
25,5
24,8
1,6
_____
1,9
_____
2,2
_____
2,6
_____
202,5
198,5
244,7
239,9
286,9**
281,3**
329,1**
322,6**
* valori tensioni nell’acciaio corrispondenti a Mcamm
2
** valori superiori a σ s = 255 N / mm (Fe B 44k)
91
19,8
19,6
19,8
19,6
19,8
19,6
19,8
19,6
15,7
15,3
19,0
18,5
19,8
19,6
19,8
19,6
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Verifica Semplificata:
h ⎞
⎛
c
= bs h0 ⎜ h − 0 ⎟0,7σ cs
M amm
2⎠
⎝
h ⎞
⎛
a
= Asσ s ⎜ h − 0 ⎟
M amm
2⎠
⎝
*σ s =
c
M amm
h ⎞
⎛
As ⎜ h − 0 ⎟
2⎠
⎝
92
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
PRESSOFLESSIONE: Grande Eccentricità
SEZIONE PARZIALMENTE REAGENTE
Lo Sforzo Normale N è applicato fuori del nocciolo della sezione omogenea totale. La
presenza della componente N fa sì che l’asse neutro non è più baricentrico come nel caso della flessione semplice.
La profondità x risulta aumentata, perché lo sforzo di compressione interno deve essere
maggiore di quello trazione e perciò deve crescere la zona compressa.
C c + C s − Ts = N
(198)
L’asse neutro è l’antipolare del centro di pressione P rispetto all’ellisse d’inerzia della
sezione reagente equivalente (trasformata in calcestruzzo).
Le tensioni non si ricavano sommando quelle dovute separatamente a N e a M. Infatti
alle due sollecitazioni corrispondono sezioni reagenti differenti, a N centrato reagisce
l’intera sezione, mentre a M non reagisce il conglomerato teso. La sovrapposizione non
è più lecita.
O : traccia dell’asse geometrico del pilastro o trave ( baricentro della sezione di calcestruzzo ) b•d
P : centro di pressione esterno o interno alla sezione, ma esterno al nocciolo
e=
M
: eccentricità dello sforzo esterno N rispetto al centro O
N
h ' : distanza del baricentro dell’armatura tesa As dal lembo teso oppure distanza
dell’armatura compressa As' dal lembo compresso
d : altezza totale della sezione
h = d − h ' : altezza utile alla sezione.
b : larghezza della sezione.
c : distanza tra il baricentro di As e quello di As'
93
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
ea = e +
c
: eccentricità di N rispetto al baricentro dell’armatura tesa As .(distanza del
2
centro di pressione P dal baricentro dell’armatura tesa As )
a' = e −
c
: distanza del centro di pressione P dal baricentro dell’armatura compressa As'
2
x : distanza dell’asse neutro dal lembo compresso della sezione.
r : distanza tra il centro di pressione e il lembo compresso della sezione r = e − d / 2
94
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
C. 1. – CALCOLO DI VERIFICA DELLE TENSIONI
Pressoflessione-Grande Eccentricità
Si determina anzitutto la posizione dell’asse neutro, che in questo caso taglia la sezione.
L’equilibrio di momenti rispetto a una retta parallela all’asse neutro e passante per il
centro di pressione P fornisce la seguente espressione:
x⎞
⎛
C c ⎜ r + ⎟ + c a a ' = Ts ea
(199)
3⎠
⎝
σ c max
bx ⎛
d x⎞
'
' '
⎜ e − + ⎟ + σ s As a − Asσ s ea = 0
2⎝
2 3⎠
essendo:
σ s' = nσ c max
x − h'
x
σ s = nσ c max
h−x
x
(200)
Dall’equazione di equilibrio, sostituendo σ s' e σ s , si ottiene:
[
]
[
]
bx 3 b ⎛
d⎞
+ ⎜ e − ⎟ x 2 + n As ea + As' a ' x − n As he a + As' h ' a ' = 0
6
2⎝
2⎠
(201)
Equazione di terzo grado in x che risolve il problema.
* Se P è interno alla sezione ( e-d/2 ) e a ' risultano negativi.
Con l’equazione di equilibrio dei momenti rispetto al baricentro dell’armatura tesa As, si
ricava il valore di σc max.
x⎞
⎛
C c ⎜ h − ⎟ + C a ⋅ c − Nea = 0
3⎠
⎝
σ c max
(202)
'
bx
(h − x / 3) + σ c max nAs' x − h ⋅ c − Nea = 0
2
x
di cui :
σ c max =
Nea
'
bx ⎛
x⎞
' x−h
−
h
nA
+
c
⎜
⎟
s
x
2⎝
3⎠
(203)
σ s' e σ s si determinano con le note formule:
σ s' = nσ c max
95
x − h'
x
(204)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
σ s = nσ c max
h−x
x
Applicazioni
Verifica delle tensioni:
Presso flessione_ Grande Eccentricità
Data la seguente sezione:
As' = 9,42cm 2 (3φ 20)
As = 9,42cm 2 (3φ 20)
d = 45cm
h ' = 4cm
h = 41cm
b=30cm
c = d − 2h ' = 37cm
1) Determinare le tensioni σc max, σ’s, σs, quando la sezione sia sollecitata da M =
48,75 kNm e N=150 kN.
M 48,75
e=
=
= 0,325m = 32,5cm
(205)
N
150
• ea = e + c / 2 = 32,5 +
• a' = e −
•e−
37
= 51cm
2
37
c
= 32,5 −
= 14cm
2
2
d
= 32,5 − 22,5 = 10cm
2
il centro di pressione risulta esterno alla sezione
96
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1.1) Sostituendo nella equazione di terzo grado in x si ottiene:
5 x 3 + 150 x 2 + 9184,50 x − 303371 = 0
(206)
la cui risoluzione fornisce : x ≅ 20,91cm
2) Mantenendo costante l’eccentricità e = 32,5 cm (ea = 51cm) determinare il valore di N
e delle tensioni σ e σ’ , ammettendo σ c max = σ c per diversi tipi di calamm
s
s
cestruzzo. Controllare sicurezza nelle armature.
N ⋅ ea
σ c max =
14902cm 3
(207)
(ottenuta nel precedente caso), da cui si ottiene:
N amm =
• N amm = σ c
σ c 14902cm 3
(208)
ea
14902cm 3
≅ σ c × 292,2cm 2
51cm
• σ s = nσ c
h−x
= 15σ c
x
41 − 20,91
≅ 14,41σ c
20,91
• σ s' = nσ c
x − h'
= 15σ c
x
20,91 − 4
≅ 12,13σ c
20,91
( trazione )
(209)
( compressione )
e / d ≅ 0,72
e d ≅ 0,72
Rck ( N mm 2 )
15
20
25
*
30
35
(210)
Trazione
σ c ( N mm 2 )
6,00
7,25
8,50
9,75
11,00
N amm (kN )
175
212
248
285
321
97
σ s ( N mm 2 )
86,5
104,5
122,5
140,5
158,5
Compressione
σ s1 ( N mm 2 )
72,8
88,0
103,0
118,3
133,4
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
(
1) Non verifica sicurezza per Fe B 22k σ s = σ s' = 115 N / mm 2
)
2) Non verifica sicurezza per Fe B 22k né per Fe B 32k (σ s = 155 N / mm 2 )
* vedi più avanti applicazione b) nel caso d progetto della sezione.
3) Per la sezione data, considerando una eccentricità della forza N pari a e = 16,5
cm (ea = e+c/2 = 35cm) determinare il valore di Namm e delle tensioni σs e σ’s
ammettendo σ c max = σ c per diversi tipi di calcestruzzo. Controllare la sicurezza
nelle armature.
Soluzione:
3.1) Rispetto ai casi precedenti cambia la posizione dell’asse neutro x poiché varia e.
L’equazione di terzo grado che fornisce x è:
A):
[
]
[
]
bx 3 b
+ (e − d / 2) x 3 + n As ea + As' a ' x − n As hea + As' h ' a ' = 0
6
2
(211)
2
• As' = 9,42cm 2 • h ' = 4cm
b = 30 cm • e = 16,5cm • As = 9,42cm
h = d − h ' = 45 − 4 = 41cm • d = 45cm • c = d − 2h ' = 45 − 2 × 4 = 37cm
ea = e + c / 2 = 16,5 +
37
= 35cm
2
a ' = e − c / 2 = 16,5 −
37
= −2cm
2
e − d / 2 = 16,5 −
(212)
45
= −6cm
2
sostituendo nell’equazione A) e, operando si ottiene:
x 3 − 18 x 2 + 932,6 x − 40327 = 0
(213)
la cui risoluzione fornisce x ≅ 30,60cm
3.2) La tensione massima nel calcestruzzo compresso si ricava dall’espressione seguen-
te:
σ c max =
N ⋅ ea
bx
x − h'
(h − x / 3) + nAs'
⋅c
2
x
3.3) La tensione massima nel calcestruzzo compresso σ c max è fornita da:
98
(214)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
σ c max =
σ c max =
• σ c max ≅
N ⋅ ea
bx
x − h'
(h − x / 3) + nAs'
⋅c
2
x
(215)
N ⋅ ea
30 × 20,91 ⎛
20,91 ⎞
20,91 − 4
× 37
⎜ 41 −
⎟ + 15 × 9,42
2
3 ⎠
20,91
⎝
N ⋅ ea
150 × 51
=
≅ 0,51KN / cm 2 ≅ 5,1N / mm 2
3
14902
14902cm
3.4)Tensioni nelle armature
20,91 − 4
x − h'
= 15 × 5,1
≅ 61,9 N / mm 2
20,91
x
(216)
h−x
41 − 20,91
= 15 × 5,1
≅ 73,5 N / mm 2
x
20,91
(217)
• σ s' = nσ c max
(compressione)
σ s = nσ c max
(trazione)
-
La sezione è verificata poiché σ c max < 6 N / mm 2 = σ c ( Rck = 15 N / mm 2 ) ed i-
-
noltre σ s' e σ s < 115 N / mm 2 (Fe B 22k)
La resistenza caratteristica minima richiesta risulta:
Rck = 4σ c max − 9 = 4 × 5,1 N
mm 2
− 9 = 11,4 N
mm 2
(218)
Si ricorda
σc =6+
Rck − 15
( N mm 2 ) ⇒ 4σ c − 9 = Rck ( N mm 2 )
4
Sostituendo si ha:
99
(219)
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
σ c max =
N ⋅ ea
30,6 ⎛
30,6 ⎞
30,6 − 4
30 ×
× 37
⎜ 41 −
⎟ + 15 × 9,42 ×
2 ⎝
3 ⎠
30,6
(220)
Ammettendo σ c max = σ c
σc =
N amm ⋅ ea
18682cm 3
(221)
con e=16,5cm ea = 35cm risulta:
c .3)
N amm =
18682cm 3
σ c = 533,8(cm 2 )σ c
35cm
Le tensioni σ s e σ s' risultano:
σ s = 15σ c
41 − 30,6
h−x
= 15σ c
≅ 5,10σ c
30,6
x
σ s = 15σ c
30.6 − 4
h−x
≅ 13.04σ c
= 15σ c
30,6
x
(trazione )
(compressione )
e d ≅ 0,37
Trazione
Rck ( N mm 2 ) σ c ( N mm 2 )
*
N amm (kN )
M (kNm)
σ s ( N mm 2 )
Compressione
σ s1 ( N mm 2 )
15
6,00
320
52,8
30,6
78,2
20
7,25
387
63,9
37,0
94,5
25
8,50
454
74,9
43,4
110,8
30
9,75
520
85,9
49,7
127,1
1
35
11,00
587
96,9
56,1
143,4
2
'
2
1) Non verifica sicurezza per Fe B 22k (σ s = σ s = 115 N / mm )
Situazione tensionale per Rck = 25 N / mm 2 (8,5 N / m 2 ) .
x = 30,6cm
100
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Anche in questo caso, lo sforzo Normale N è applicato fuori del nocciolo della sezione
omogenea totale, infatti:
e > Ki
16,5 > 8,835
Ki = distanza dell’estremo del nocciolo d’inerzia dal baricentro O della sezione omogenea totale.
Ki =
2I i
2 × 324532
=
≅ 8,835cm
Ai × d 1632,6 × 45
Ai = 30 × 45 + 15(2 × 9,42) ≅ 1632,6cm 2
Ii =
bd 3
c 2 30 × 45 3
37 2
+ 15( As' + As )
=
+ 15(2 × 9,42)
≅ 324532cm 4
12
4
12
4
101
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
C. 2_ CALCOLO DI PROGETTO- Doppia Armatura
Pressoflessione-Grande Eccentricità
Nella pressoflessione-Grande Eccentricità, i calcoli risultano semplici se si trasporta lo
Sforzo Normale N al baricentro dell’armatura As. Tale operazione implica considerare
un momento flettente Me = M+Nc/2. La forza N applicata nel baricentro della armatura
significa una diminuzione di armatura pari a N σ s nella espressione di calcolo.
Con questo artificio è possibile utilizzare i coefficienti ε, γ, ρ stabiliti nel caso della flessione semplice e procedere in modo analogo.
Si sostituisce l’azione del Momento Flettente M e lo sforzo normale N centrico, per
c
l’azione equivalente di un Momento Flettente M e = M × N e lo sforzo Normale N ap2
plicato nel baricentro dell’armatura tesa.
In generale, dati N e M si possono assumere come incognite soltanto due tra le quantità:
'
h; b; As ; As ; σ s ; σ c , poiché si hanno due sole equazioni indipendenti di equilibrio. Un
caso molto frequente è quello con A’s e As come incognite, assumendo come dati b, h,
σ s eσ c .
- Nella pressoflessione, come si illustrerà più avanti, non sempre è conveniente assumere che l’armatura tesa As lavori alla tensione ammissibile σ s massima del tipo di acciaio
utilizzato.
102
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
1) L’equazione di equilibrio a rotazione rispetto al baricentro dell’armatura tesa As
risulta:
Me = cc γ + c a ⋅ c
Me =
bx
(h − x / 3)σ c + As' σ s' c
2
con
Me = M + N
Me = bh 2
ε
2
c
2
(1 − ε / 3)σ c + As' σ s' c
essendo x = ε h
Me = γ c bh 2σ c + As' σ s' c
essendo
γc =
ε
2
(1 − ε / 3)
c
+ As' σ s' c
Me = M amm
c
M amm
è il momento ammissibile del calcestruzzo calcolato come nel caso della flessione semplice.
Dalla precedente espressione si ricava:
As' =
∆Me
σ s' c
con
c
∆Me = Me − M amm
x − h'
(ε − h ' / h)
= nσ c
σ = nσ c
x
ε
'
s
2) L’equazione di equilibrio a traslazione è :
cc + c a − Ta = N
103
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
bx
σ c + As' σ s' − Asσ s = N
2
da cui:
As =
σ' N
bx σ c
+ As' s −
2 σs
σs σs
Essendo
c
bx σ c M amm
=
2 σ s ρhσ s
poiché
c
cc ρh = M amm
As' =
∆Me
σ s' c
secondo 1)
sostituendo nell’equazione di As , si ricava:
c
M amm
∆Me N
+
−
As =
ρhσ s cσ s σ s
Se As risulta negativa vuol dire che il valore di x assunto ( funzione di σ c e σ s ) non è
adeguato per i valori di N e di M operanti.
Nella pressoflessione facendo lavorare l’armatura tesa As alla massima tensione ammis2
sibile σ s dell’acciaio utilizzato ( ad esempio σ s = 215 N / mm per Fe B 38k ), in gene'
rale, risultano elevati quantitativi di armatura compressa As e relativamente bassi quantitativi di armatura tesa As. Questo comporta forti disimmetrie delle armature.
In tale situazione la profondità x dell’asse neutro risulta relativamente bassa e gli elevati
sforzi interni di compressione devono essere supportati ( in buona parte ) dall’armatura
compressa.
Perciò, nella pressoflessione è logico scegliere valori σ*s minori di σ s max . In tal modo
aumenta la profondità della zona compressa e si riduce l’armatura A’s necessaria.
104
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Le precedenti considerazioni vengono illustrate mediante le seguenti applicazioni.
105
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
APPLICAZIONI
Calcolo di progetto. Presso flessione-Grande Eccentricità
Un pilastro con sezione b = 30 cm , d = 45 cm è soggetto a uno Sforzo Normale N =
285 kN e a un Momento Flettente M = 92,6 kNm, agenti secondo un asse di sollecitazione parallelo al lato maggiore.
I materiali da considerare sono:
• Calcestruzzo • Rck = 30 N / mm 2 • σ c = 9,75 N / mm 2
• AcciaioFeB38 K • σ s = 215 N / mm 2
2
2
1) Determinare A’s e As assumendo σ s = 215 N / mm • σ c = 9,75 N / mm
∗
2
2) Determinare A’ e A assumendo σ s < σ s e σ c = 9,75 N / mm
s
s
e=
M 92,6
=
= 0,325m = 32,5cm
285
N
Me = M + N
c
0,37
= 92,6 + 285 ×
2
2
Me ≅ 145,33 kNm = 14533 kNcm
e/d =
32,5
≅ 0,722
45
1) Soluzione
σ s = 21,5KN / cm 2 = 215 N / mm 2 • σ c = 0,975KN / cm 2 = 9,75 N / mm 2 .
Per m =
σ s 215
=
≅ 22,05 risulta ε = 0,405 • γ c = 0,175 • ρ = 0,865
σ c 9,75
106
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
c
M amm
= γ c bh 2σ c = 0,175 × 30 × 412 × 0,975 ≅ 8605kNcm
c
∆Me = Me − M amm
≅ 14533 − 8605 = 5928kNcm
σ s' = nσ c
16,60 − 4
x − h'
= 15 × 0,975 ×
= 11,10kN / cm 2
16,60
x
x = εh = 0,405 × 41 ≅ 16,60cm
∆Me
5928
=
≅ 14,43cm 2
'
37 × 11,10
cσ s
As' =
c
M amm
∆Me N
+
−
As =
ρhσ s cσ s σ s
As =
8605
5928
285
+
−
= 5,48cm 2
0,865 × 41 × 21,5 37 × 21,5 21,5
Controllo equilibrio traslazione:
bx
σ c + As' σ s' − Asσ s = N
2
30 × 16,60
× 0,975 + 14,43 × 11,10 − 5,48 × 21,5 ≅ 285kN
2
107
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
2) Soluzione
∗
2
2
2
Assumendo σ s = 140,5 N / mm = 14,05KN / mm • σ c = 9,75 N / mm , per:
m∗ =
σ s∗ 140,5
=
= 14,41
9,75
σc
si ha:
15
n
=
≅ 0,510
m + n 14,41 + 15
ε∗ =
∗
ρ ∗ = 1 − ε ∗ / 3 = 0,830
γ =
∗
c
ε∗
(1 − ε
2
∗
/ 3) ≅ 0,212
c∗
M amm
= γ c∗ bh 2σ c = 0,212 × 30 × 412 × 0,975 ≅ 10420kNcm
c∗
∆Me = Me − M amm
= 14533 − 10420 = 4113kNcm
* As' =
4113
∆Me
=
≅ 9,40cm 2
'
cσ s 37 × 11,83
x = ε ∗h = 0,510 × 41 = 20,91cm
σ s' = 15 × 0,975
20,91 − 4
≅ 11,83kN / cm 2
20,91
c∗
M amm
∆Me N
As = ∗ ∗ +
−
ρ hσ s cσ s∗ σ s∗
con
σ s∗ = 140,5 N / mm 2 ≅ 14,05kN / cm 2
As =
10420
4113
285
+
−
≅ 9,42cm 2
0,830 × 41× 14,05 37 ×14,05 14,05
Controllo equilibrio traslazione:
108
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
bx
σ c + As' σ s' − Asσ s∗ = N
2
30 × 20,91
× 0,975 + 9,40 × 11,83 − 9,42 × 14,05 ≅ 285kN
2
Si osservi che questo risultato è coincidente con quello ottenuto nell’applicazione b) nel
caso di verifica delle tensioni.
* Con gli stessi dati sono state determinate le armature A’s eAs assumendo
σ s∗ =
σs
= 107,5 N / mm 2
2
e σ*s = 160N/mm2. I risultati vengono riportati nella tabella seguente che riassume tutti i casi esaminati per
N = 285kN • M = 92,6kNm • b = 30cm • d = 45cm • Rc k = 30 N / mm 2 (σ c = 9,75 N / mm 2 ) :
σ c = 9,75 N / mm 2 • e / d = 0,722
σ s ∗ ( N mm 2 )
σs:
215
160
140,5
107,5
ε
x (cm)
χc
As' (cm 2 )
As (cm 2 )
As' + As (cm 2 )
0,405
16,60
0,175
14,43
5,48
19,91
0,478
0,510
0,576
19,58
20,91
23,63
0,201
0,212
0,233
10,80
9,40
6,86
7,96
9,42
13,34
18,76
18,82
20,25
1) Adottando σ*s minore di σ s aumenta la zona compressa (aumenta x) e perciò
diminuisce l’armatura compressa A’s.
2) Esiste un valore di σ*s per cui risulta A’s = As (armatura simmetrica) disposizione conveniente nel caso di pilastri di edifici.
3) Le situazioni corrispondenti a (A’s+As) min. si può ricavare mediante tentativi
variando σ*s.
109
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
4) Le situazioni corrispondenti a A’s = As armatura simmetrica, si può ricavare mediante tentativi variando σ*s.
(2) Lo stesso pilastro dell’applicazione (1) è compresso con uno sforzo Normale
N=520kN avente l’eccentricità di 0,165m rispetto al punto di mezzo della sezione considerando un’asse di sollecitazione parallelo al lato maggiore.
M = N ⋅ e = 520 × 0,165 = 85,8kNm
N = 520kN
M = 85,8kNm
riferito al punto mezzo della sezione
Me = M + N
0,37
c
= 85,8 + 520 ×
= 182kNm
2
2
Me = 182kNm
riferito al baricentro dell’armatura As
2
2
2.a) Determinare A’se As assumendo σ s = 215 N / mm • σ c = 9,75 N / mm
∗
2
2.b) Determinare A’ e A assumendo σ s < σ s e σ c = 9,75 N / mm
s
s
110
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Soluzione a)
m=
σ s 215
=
≅ 22,5
σ c 9,75
; i coefficienti risultano
Per
• ε = 0,405 • γ c = 0,175 • ρ = 0,865
c
M amm
= γ c bh 2σ c = 0,175 × 30 × 412 × 0,975 ≅ 8605kNcm
∆Me = 18200 − 8605 = 9595kNcm
c
∆Me = MeM amm
x = εh = 0,405 × 41 ≅ 16,60cm
x − h'
16,60 − 4
σ = nσ c
= 15 × 0,975 ×
= 11,10kN / cm 2
16,60
x
'
s
As' =
9595
∆Me
=
= 23,36cm 2
'
37 × 11,10
cσ s
As =
c
M amm
∆Me N
+
−
ρhσ s cσ s σ s
con
σ s = 215 N / mm 2 ≅ 21,5kN / cm 2
As =
8605
9595
520
+
−
= −0,84cm 2
0,865 × 41× 21,5 37 × 21,5 21,5
Risultando As negativa, il valore di x adottato funzione di σ c e σ s non è adeguato per i
∗
valori di N ed M, agenti sulla sezione. Adottando σ s < σ s aumenta x, diminuendo A’ e
s
aumentando As. Perciò non sempre è conveniente adottare per la As massima tensione
ammissibile σ s dell’acciaio.
111
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
Soluzione b)
Assumendo σ*s = 49,7N/mm2 (4,97kN/cm2) e σ c = 9,75 N / mm 2 (0,975kN / cm 2 )
Si ha:
m∗ =
σ s∗ 49,7
=
≅ 5,10
σ c 9,75
a cui corrispondono i coefficienti :
• ε ≅ 0,746 • γ c = 0,280 • ρ ≅ 0,751
c
M amm
= 0,280 × 30 × 412 × 0,975 ≅ 13767kNcm
c
∆Me = Me − M amm
= 18200 − 13767 = 4433kN / cm
x ≅ 30,6cm
σ s' = 15σ c
x − h'
30,6 − 4
= 15 × 0,975 ×
≅ 12,7 kN / cm 2
30,6
x
As' =
4433
∆Me
=
≅ 9,43cm 2
'
37
×
12
,
7
cσ s
c
M amm
∆Me N
As =
+
−
∗
ρhσ s cσ s∗ σ s∗
As =
13767
4433
520
+
−
≅ 10,04cm 2
0,746 × 41 × 4,97 37 × 4,97 4,97
Rispetto alla soluzione a) si può notare un forte aumento della profondità x, una diminuzione dell’armatura compressa A’s e un aumento dell’armatura tesa As.Tutto ciò come
conseguenza della diminuzione della tensione nell’armatura tesa.
Si veda l’applicazione b) nel caso di verifica delle tensioni per Rck=30N/mm2.
Con gli stessi dati N=520kN e M=85,8kN/m e dimensioni geometriche della sezione
uguali ai precedenti casi sono state determinate le armature A’s e As assumendo
σ c = 9,75 N / mm 2 ( Rck = 30 N / mm 2 ) e valori della tensione nell’armatura tesa pari a
140,5N/mm2, 107,5N/mm2 e 35N/mm2.
I risultati vengono riportati nella tabella seguente:
σ c = 9,75 N mm 2
e a = 0,367
112
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato
σ s ∗ ( N mm 2 )
σs:
*
215
140,5
107,5
49,7
35,0
ε
x (cm)
χc
As' (cm 2 )
As (cm 2 )
As' + As (cm 2 )
0,405
16,60
0,175
23,36
-0,84
NO
0,510
0,576
0,746
0,807
20,91
23,63
30,60
33,08
0,212
0,233
0,280
0,295
17,77
15,00
9,43
7,77
-0,25
0,75
10,04
18,24
NO
15,75
19,47
26,01
Adottando σ s minore di σ s aumenta la profondità x dell’asse neutro e quindi diminuisce
l’armatura compressa As.
'
Esiste un valore di σ* per il quale risulta As ≅ As (armatura simmetrica) disposizione
∗
s
conveniente per i pilastri di edifici.
Tale situazione di armatura simmetrica si può ricavare mediante tentativi variando σ*s.
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