La verifica preliminare delle strutture in cemento armato
by user
Comments
Transcript
La verifica preliminare delle strutture in cemento armato
Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Università degli Studi di Roma “La Sapienza” Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO prof. Luis Decanini (versione del 18/06/2007) 1 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato INDICE INDICE..................................................................................................................... 3 1.1. Ipotesi e Convenzioni. Cemento armato........................................................... 5 TENSIONI AMMISSIBILI (Metodo n ).................................................................. 5 COEFFICIENTE DI EQUIVALENZA “n” ............................................................. 5 1.2. CALCESTRUZZO: diagramma σ − ε ............................................................ 6 RESISTENZA CARATTERISTICA DEL CALCESTRUZZO (Rck) ..................... 7 1.3. ACCIAI: diagramma σ-ε .................................................................................. 8 CARATTERISTICHE DEGLI ACCIAI IN BARRE .............................................. 9 TENSIONI AMMISSIBILI NEGLI ACCIAI ........................................................ 10 TENSIONI AMMISSIBILI NEL CONGLOMERATO ........................................ 11 TENSIONI AMMISSIBILI DEL CONGLOMERATO ........................................ 12 TENSIONI TANGENZIALI AMMISSIBILI NEL CONGLOMERATO............. 14 1.4. PILASTRI: carico centrato............................................................................. 15 INSTABILITÀ DEI PILASTRI ............................................................................. 19 CARICO CENTRATO........................................................................................... 19 LUNGHEZZA LIBERA DI INFLESSIONE (ℓ0) .................................................. 20 VALORI DI ω IN FUNZIONE DI VALORI DI lo l O DI o .................................................... 21 i d lo E DI ω PER DIVERSE COMBINAZIONI DI l o E d ................ 22 d CARICO ECCENTRICO ....................................................................................... 23 1.5. PRESSIONE E FLESSIONE : PICCOLA ECCENTRICITA’...................... 24 PRESSIONE E FLESSIONE: PICCOLA ECCENTRICITA’............................... 25 1.6. FLESSIONE SEMPLICE............................................................................... 43 1.7. SEZIONE RETTANGOLARE CON ARMATURA SEMPLICE................. 45 Applicazione........................................................................................................... 47 1.8. A.2 – CALCOLO DI PROGETTO. Armatura Semplice ............................... 52 CALCOLI APPROSSIMATI ................................................................................. 55 Applicazione........................................................................................................... 56 1.9. B- SEZIONE RETTANGOLARE CON DOPPIA ARMATURA................. 58 B.2- CALCOLO DI VERIFICA DELLE TENSIONI.................................................... 58 Applicazione........................................................................................................... 60 3 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.10. B.2- CALCOLO DI PROGETTO _Doppia Armatura ............................... 63 1.11. Calcoli approssimati Armatura doppia ....................................................... 67 1.12. SEZIONE A T ............................................................................................ 69 APPROCCIO SEMPLIFICATO DI VERIFICA ................................................... 73 Tabella luci massime e ammissibili, Solaio Misto, Approccio Semplificato ........................................................................................................................................ 83 Procedura semplificata: .......................................................................................... 87 Confronto tra i risultati dei differenti tipi di Verifica:............................................ 88 Calcolo del Momento Ammissibile........................................................................ 90 Confronto Risultati delle verifiche ......................................................................... 91 Verifica Semplificata:............................................................................................. 92 PRESSOFLESSIONE: Grande Eccentricità .......................................................... 93 SEZIONE PARZIALMENTE REAGENTE.................................................................. 93 C. 1. – CALCOLO DI VERIFICA DELLE TENSIONI........................................ 95 Pressoflessione-Grande Eccentricità .......................................................................... 95 C. 2_ CALCOLO DI PROGETTO- Doppia Armatura ........................................ 102 Pressoflessione-Grande Eccentricità ........................................................................ 102 Calcolo di progetto. Presso flessione-Grande Eccentricità .......................................... 106 4 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.1. Ipotesi e Convenzioni. Cemento armato TENSIONI AMMISSIBILI (Metodo n ) 1. Si ammette che le sezioni si conservino piane ( ipotesi di Navier), sia nel caso dello sforzo normale che in quello della flessione. 2. Si ammette che la legge di Hooke sia valida per il calcestruzzo, ossia che Ec sia costante. L’acciaio, sia teso sia compresso è in campo elastico (validità della legge di Hooke) 3. Si conviene di non fare alcun assegnamento sulla resistenza a trazione del calcestruzzo. Si trascura la sua resistenza dove esso risulta teso. 4. Si conviene che l’aderenza tra l’acciaio e il calcestruzzo sia perfetta. Cioè l’ugualianza delle deformazioni delle fibre di calcestruzzo e di acciaio poste a contatto. 5. La sicurezza delle strutture si garantisce controllando che le tensioni massime, per i carichi di esercizio, siano ovunque minori o uguali ad una frazione della resistenza dei materiali. Tale frazione prende il nome di TENSIONI AMMISSIBILI. σ = Resistenza γ (1) COEFFICIENTE DI EQUIVALENZA “n” Per le fibre di calcestruzzo e acciaio a contatto, nella condizione di congruenza (Ipotesi 4) εc = εs = ε (2) σ s = Esε s (3) σ c = Ec ε c (4) εc = calcestruzzo εs = acciaio Per l’ipotesi 2 σs Es = σc σs = Ec Es σ c = nσ c Ec (5) con n= Es Ec (6) A parità di deformazione la tensione nell’acciaio è n volte quella del calcestruzzo. Serve a calcolare la tensione nell’acciaio in funzione di quella del conglomerato. 5 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.2. CALCESTRUZZO: diagramma σ − ε Resistenza a compressione misurata su cubi di spigolo 20 cm (oppure 15/16 cm). 1. Rck: Resistenza caratteristica a compressione 2. f ctm : Resistenza a trazione semplice In mancanza di diretta sperimentazione si può assumere: (N / mm ) f ctm = 0.27 3 Rck2 2 (7) 3. Modulo Elastico Per modulo elastico istantaneo, tangente all’origine, si può assumere: Ec = 5700 Rck (N / mm ) 2 6 (8) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato RESISTENZA CARATTERISTICA DEL CALCESTRUZZO (Rck) ∑1n Ri Rm = n (9) Resistenza media s= ∑1n ( Ri − Rm ) 2 n −1 (10) s: scarto quadratico medio Rck = Rm – K s (11) (K : coefficiente moltiplicatore dello scarto quadratico medio s) Rck : Resistenza Caratteristica, frattile inferiore 5% Le norme italiane prevedono due tipi di “controllo di accettazione” Tipo A) Costruzioni inferiori a 1500 m3 di getto. Il controllo, da eseguire ogni 100 m3di getto con tre prelievi, è positivo se: 1. Rm ≥ Rck + 3,5 N / mm 2 2. R1 ≥ Rck − 3,5 ( ) (N / mm ) 2 R1 ≤ R2 ≤ R3 Rm = R1 + R2 + R3 3 Tipo B) Costruzioni con più di 1500 m3di getto. Il controllo,da eseguire ogni 1500 m3 su almeno 15 prelievi, è positivo se: 1. Rm ≥ Rck + 1,4s ( ) 2. R1 ≥ Rck − 3,5 N / mm 2 Rm = valore medio delle resistenze R1 = valore minimo della resistenza s = scarto quadratico medio delle 15 resistenze di prelievo 7 (12) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.3. ACCIAI: diagramma σ-ε Per gli acciai il cui diagramma σ - ε non presenta una evidente tensione di snervamento (ginocchio) si considera convenzionalmente fy come la tensione a cui corrisponde una deformazione residua pari a 0,2%. I numeri 22, 32, 38 e 44 che caratterizzano il tipo di acciaio indicano la tensione caratteristica di snervamento fyk (in kg/mm2) 8 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato CARATTERISTICHE DEGLI ACCIAI IN BARRE 1. BARRE AD ADERENZA MIGLIORATA TIPO DI ACCIAO Fe B38k Fe B44 k Tensione caratteristica di snervamento fyk............................... .... N/mm2 ≥375 ≥430 (kg/ mm2) (≥38) (≥44) Tensione caratteristica di rottura ftx................................................... N/mm2 ≥450 ≥540 (≥46) (≥55) ≥14 ≥12 Piegamento a 180° 3 F 4F migliorata Oltre 12 mm fino a su mandrino avente 6 F diametro D 18 mm aventi F (*) 8F (kg/ mm2) Allungamento As....................................................................................................... % Per barre ad ade- Fino a 12 mm renza Oltre 18 mm fino a Piegamento e rad25 mm drizzamento Oltre 25 mm fino a mandrino 30 mm su 8F avente 10 F 10 F 12 F diametro D (*) Il diametro φ è quello della barra tonda liscia equipesante. 2. BARRE TONDE LISCE TIPO DI ACCIAO Tensione caratteristica di snervamento........................ .. fyk. N/mm2 (kg/ mm2) Tensione caratteristica di rottura.......................................... ftx N/mm2 (kg/ mm2) Allungamento As............................................................................................... % Fe B 22 k ≥215 (≥22) ≥335 (≥34) ≥24 Fe B 32 k ≥315 (≥32) ≥490 (≥50) ≥23 Piegamento a 180° su mandrino avente diametro .....................D ≥2 F ≥3 F Si devono usare barre di diametro compreso fra 5 e 30 mm 9 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato TENSIONI AMMISSIBILI NEGLI ACCIAI 1. BARRE AD ADERENZA MIGLIORATA Tipo di acciaio Fe B 38k 215 N/mm2 Tensioni Ammissibili (2500 kg/cm2) σs Fe B 44k 255 N/mm2 (2600 kg/cm2) L’aderenza migliorata si ottiene mediante dei risultati opportunamente distanziati e proporzionati. I diametri ammessi sono: Per Fe B 38k 5 ≤ ø ≤ 30 mm Per Fe B 44k 5 ≤ ø ≤ 26 mm 2. BARRE TONDE LISCE Tipo di acciaio Tensioni Ammissibili σs Fe B 22k 115 N/mm2 (1200 kg/cm2) Fe B 32k 155 N/mm2 (1600 kg/cm2) Le norme consentono ancora l’impiego delle classiche barre tonde lisce diffusamente usate nelle costruzione in cemento armato sino agli anni ’60 e ’70. 10 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato TENSIONI AMMISSIBILI NEL CONGLOMERATO Le tensioni ammissibili vengono definite in funzione della Resistenza Caratteristica a 28 giorni Rck. 1. Compressione: Travi, Solette e Pilastri soggetti a flessione o presso flessione. σ =6+ σ c = 60 + Rck − 15 4 (N / mm ) 2 Rck − 150 4 (kg / cm 2 ) (13) (14) 2. Solette con spessore minore di 5 cm, i valori sono ridotti del 30% 3. Travi a T con soletta collaborante si riduce - del 30% per soletta con s < 5 cm - del 10% per soletta con s ≥ 5 cm 4. Pilastri calcolati a Compressione Semplice per s < 25 cm σ c = 0,70[1 − 0,03(25 − s)]σ c (15) σ c = 0,7σ c (16) per s ≥ 25 cm s = dimensione trasversale minima della sezione 5. Pressoflessione:la tensione media dell’intera sezione non deve superare la tensione σ c . σ c : tensione normale di compressione ammissibile per travi, solette e pilastri soggetti a flessione o presso flessione σ c : tensione normale di compressione ammissibile per pilastri calcolati a compressione semplice 11 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato TENSIONI AMMISSIBILI DEL CONGLOMERATO 15 ≤ Rck ≤ 50 N / mm 2 150 ≤ Rck ≤ 500 kg / cm 2 Resistenza conglomerato Valore caratteristico 28 giorni Travi solette pilastri Compressione per flessione e pressoflessione Travi a T con soletta collaborante S ≥5 cm S < 5 cm Rck (N/mm2) sc (N/mm2) sc (N/mm2) 5,4 6,5 7,7 8,8 9,9 11,0 12,2 13,3 15 20 25 30 35 40 45 50 6,0 7,3 8,5 9,8 11,0 12,3 13,5 14,8 12 Pilastri calcolati a composizione semplice sc sc 2 (N/mm ) (N/mm2) 4,2 3,6 5,1 4,3 6,0 5,1 6,8 5,8 7,7 6,5 8,6 7,3 9,5 8,0 10,3 8,8 sc (N/mm2) 4,2 5,1 6,0 6,8 7,7 8,6 9,5 10,3 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato TENSIONI TANGENZIALI AMMISSIBILI DEL CONGLOMERATO 1. Non è richiesta la verifica delle armature al taglio ed alla torsione quando le tensioni tangenziali massime nel conglomerato, prodotte da tali caratteristiche di sollecitazione, non superano il valore τ co . Rck − 15 75 (N / mm ) (17) Rck − 150 75 (kg / cm ) (18) τ co = 0,4 + τ co = 4 + 2 2 2. Nella zona ove le tensioni tangenziali superano τ co , gli sforzi tangenziali devono essere assorbiti integralmente da armature metalliche, affidando alle staffe non meno del 40% dello sforzo globale di scorrimento. 3. La massima tensione tangenziale solo per taglio non deve superare il valore τ c1 . τ c1 = 1,4 + Rck − 15 35 (N / mm ) (19) τ c1 = 14 + Rck − 150 35 (kg / cm ) (20) 2 2 Gli stessi valori sono ammessi nelle sezioni di attacco delle ali all’anima di travi a T o a cassone. Nel caso di sollecitazione combinata di taglio e torsione τ c1 può essere aumentata del 10%. 13 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato TENSIONI TANGENZIALI AMMISSIBILI NEL CONGLOMERATO Resistenza caratteristica conglomerato 28 giorni Limite inferiore non Limite superiore richiesta verifica armature taglio e torsio- Taglio ne Taglio e torsione Rck (N/mm2) 15 20 25 30 35 40 45 50 tco (N/mm2) 0,40 0,47 0,83 0,60 0,67 0,78 0,80 0,87 tci (N/mm2) 1,54 1,70 1,86 2,01 2,17 2,33 2,48 2,64 tci (N/mm2) 1,40 1,54 1,69 1,83 1,97 2,11 2,26 2,40 14 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.4. PILASTRI: carico centrato µ= As Ac (21) E n = s = 15 Ec ⎛ A ⎞ N amm = Ac σ c + nAs σ c = Ac σ c ⎜⎜1 + n s ⎟⎟ Ac ⎠ ⎝ (22) N amm = Ac σ c (1 + nµ ) = Ac σ c (1 + 15µ ) (23) N amm = N c (1 + 15µ ) (24) N c = Ac σ c (25) con 15 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1. Rck = 20 N/mm2 b (cm) x d (cm) 25x25 25x30 25x40 25x50 30x30 30x40 30x50 30x60 40x40 40x50 40x60 40x70 40x80 N amm / N c Nc (kN) 319 323 510 638 459 612 765 918 816 1020 1224 1428 1632 1 σ ≅ 5,1N / mm 2 N amm (kN) m =0,8% 357 440 587 735 528 704 880 1056 938 1173 1408 1642 1887 1,150 m =1% 367 440 587 733 528 704 880 1056 938 1173 1408 1642 1877 1,150 m m m =1,5% =2% =2,5% 390 414 438 469 497 526 625 663 701 781 829 876 562 597 631 750 796 842 937 994 1052 1125 1193 1262 1000 1061 1122 1250 1326 1403 1499 1591 1683 1749 1856 1964 1999 2122 2244 1,225 1,300 1,375 16 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 2. Rck = 25N/mm2 b (cm) x d (cm) 25x25 25x30 25x40 25x50 30x30 30x40 30x50 30x60 40x40 40x50 40x60 40x70 40x80 N amm / N c Nc (kN) 375 450 600 750 540 720 900 1080 960 1200 1440 1680 1920 1 σ ≅ 6 N / mm 2 N amm (kN) m =0,8% 420 504 672 840 605 806 1008 1210 1075 1344 1613 1882 2150 1,120 m =1% 431 517 690 862 621 828 1035 1242 1104 1380 1656 1932 2208 1,150 m m m =1,5% =2% =2,5% 459 487 516 551 585 619 735 780 825 919 975 1031 662 702 743 882 936 990 1103 1170 1238 1323 1404 1485 1176 1248 1320 1470 1560 1650 1764 1872 1980 2058 2184 2310 2352 2496 2640 1,225 1,300 1,375 17 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 3. Rck = 30N/mm2 b (cm) x d (cm) 25x25 25x30 25x40 25x50 30x30 30x40 30x50 30x60 40x40 40x50 40x60 40x70 40x80 N amm / N c Nc (kN) 425 510 680 850 612 816 1020 1224 1088 1360 1632 1904 2176 1 σ ≅ 6,8 N / mm 2 N amm (kN) m =0,8% 476 571 762 952 685 914 1142 1371 1219 1523 1828 2133 2437 1,120 m =1% 489 587 782 978 704 938 1173 1408 1251 1564 1877 2190 2502 1,150 m m m =1,5% =2% =2,5% 521 553 584 625 663 701 833 884 935 1041 1105 1169 750 796 842 1000 1061 1122 1250 1326 1403 1500 1591 1683 1333 1414 1496 1666 1768 1870 1999 2122 2244 2332 2475 2618 2666 2829 2992 1,225 1,300 1,375 18 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato INSTABILITÀ DEI PILASTRI I fenomeni di instabilità si devono considerare per snellezze λ m maggiori di 50. lo i (26) Ix bd 3 d = = ≅ 0,289d 12bd A 12 (27) db 3 b = ≅ 0,289b 12db 12 (28) λm = ( λ m : snellezza meccanica). l o = lunghezza libera di inflessione i = raggio di inerzia Sezione rettangolare ix = iy = Iy A = CARICO CENTRATO I fenomeni di instabilità possono essere tenuti in conto mediante il coefficiente ω di amplificazione dei carichi. ω N ≤ N amm (29) N amm : carico centrato ammissibile in assenza di instabilità N: carico operante 1. Snellezze l o /i maggiori di 100 sono da considerare con particolare cautela di progettazione e di calcolo. È necessario procedere alla verifica con metodi più approssimati. lo lo = 100 corrisponde ≅ 29 i d 2. La verifica deve essere realizzata nel piano di massima snellezza. 19 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato LUNGHEZZA LIBERA DI INFLESSIONE (ℓ0) La lunghezza libera di inflessione ℓ0 del pilastro è pari alla distanza tra due flessi consecutivi della deformata dovuta all’inflessione laterale. Il valore di ℓ0 dipende dai vincoli dell’estremità del pilastro. 1. Per gli edifici in cemento armato è conveniente non scendere al di sotto del valore ℓ0=H. 2. Quando si prevedono spostamenti orizzontali, l o risulta compresa tra H e 2H. Con valori tanto più prossimi a H quanto più sono rigidi i vincoli di estremità. 20 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato VALORI DI ω IN FUNZIONE DI lo l O DI o i d Coefficiente di amplificazione l 0/ i = ln l 0/ d = l0 50 ~ 15 ~ 20 ~ 25 ~ 29 ~ 31 ~ 35 ~ 40 70 85 100 107 120 140 w 21 N/ Namm 1.00 1 1.08 0.92 1.32 0.76 1.62 0.62 1.83 0.55 2.28 0.44 3.00 0.33 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato VALORI DI lo E DI ω PER DIVERSE COMBINAZIONI DI l o E d . d d = 25 cm d = 30 d = 35 cm d =40 cm d = 45 cm cm 0 l 0 (n) l / d w 3.5 4.0 5.0 6.0 7.0 l 0/ d < 15 < 15 < 15 < 15 < 15 w 1 1 1 1 1 l 0/ d 16 < 15 < 15 < 15 < 15 w 1.02 1 1 1 1 l 0/ d 20 17 < 15 < 15 < 15 w 1.08 1.03 1 1 1 l 0/ d 24 20 17 15 < 15 w 1.27 1.08 1.03 1 1 l 0/ d 28 23 20 18 16 1.56 1.22 1.08 1.05 1.02 w 22 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato CARICO ECCENTRICO Quando lo sforzo normale risulta eccentrico, può verificarsi un fenomeno di instabilità progressiva all’aumentare della deformazione del pilastro (spostamento laterale). In tal caso la verifica deve essere eseguita tenendo conto di: SFORZO NORMALE N* = N ω Con ω valutato per la massima snellezza MOMENTO FLETTENTE M* = c M momento amplificato La verifica va realizzata con i valori di Sforzo Normale N * ed M * considerando la pressione e la flessione concomitantemente. Il coefficiente di amplificazione del momento è dato da: 1 C= 1− (30) N NE dove: N : Sforzo Normale Operante N E : Carico critico euleriano per la snellezza relativa al piano di flessione valutato per un modulo di elasticità convenzionale E c* = 0,4 E c NE = π 2 E c* I lo 2 ≅ 3,95 Ec I lo (31) 2 con E c = 5700 Rck (N / mm ) 2 (Allo Sforzo Normale ωN = N * si deve sostituire N se più sfavorevole). 23 (32) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.5. PRESSIONE E FLESSIONE : PICCOLA ECCENTRICITA’ Pilastri: Sezione Rettangolare 1. Il caso di pressione eccentrica si presenta molto spesso nei pilastri che formano il piedritto di un telaio o che sostengono, mediante mensole delle travi trasversali. 2. Si tratta di sollecitazioni composte, flessione e pressione, dovute a forza normale alla sezione e con piccola eccentricità. 24 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato PRESSIONE E FLESSIONE: PICCOLA ECCENTRICITA’ Si ammette che la sezione ideale equivalente sia solo compressa o anche in piccola parte tesa, purché la tensione massima di trazione sia minore di 1/5 della tensione massima di compressione. In queste condizioni è valida la sovrapposizione degli effetti. Alla sezione ideale equivalente (omogeneizzata a calcestruzzo) si applicano le formule valide per i solidi omogenei. Le tensioni nel calcestruzzo, nel caso di pressione e flessione retta, valgono: σ= N M N Ne ± y= ± y Ai I i Ai Ii (33) Per la sezione rettangolare risulta: σ c max = N M + Ai Wi1 (34) σ c min = N M − Ai Wi 2 (35) 25 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ARMATURA ASIMETRICA As1 ≠ As 2 As = As1 + As 2 Essendo: Ai = Ac+nAs : sezione ideale equivalente Ac : sezione di calcestruzzo Ii = Ic+nIs: Momento di inerzia della sezione ideale equivalente rispetto all’asse baricentrico Ic : Momento di inerzia della sezione di calcestruzzo rispetto all’asse baricentrico Is : Momento di inerzia della armatura rispetto all’asse baricentrico Wi 1 e Wi 2 : Moduli di resistenza della sezione ideale, rispettivamente al bordo con σcmax e con σcmin. O: baricentro sezione calcestruzzo G: baricentro sezione ideale equivalente N: Sforzo Normale dei carichi esterni M: Momento dei carichi esterni (Momento di N rispetto al baricentro O) 26 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ARMATURA SIMMETRICA As1 = As 2 As = As1 + As 2 (36) Ai = Ac + nAs Ai = bd + n( As1 + As 2 ) 2 bd 3 ⎛c⎞ ⎛c⎞ Ii = + nAs1 ⎜ ⎟ + nAs 2 ⎜ ⎟ 12 ⎝2⎠ ⎝2⎠ Ii = 2 bd 3 c2 + nAs 12 4 e= M N σ c max N M ± Ai I i N ⎛d ⎞ N M ± = ⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ Ai Wi Ai ⎛ eAi ⎜⎜1 ± ⎝ Wi ⎞ ⎟⎟ ⎠ σ c min Il modulo di resistenza della sezione ideale rispetto ai bordi è Wi = 2I i d (37) Le distanze degli estremi del nocciolo di inerzia dal baricentro G valgono: Ki = 2I Wi ⇒ Ki = i Ai Ai d 27 (38) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Si perviene: σ c max N Ai ⎛ e ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜1 ± K i ⎠ ⎝ (39) σ c min Esempio 1: 1. Data la Sezione Rettangolare con Armatura Simmetrica della Figura, determinare il valore del carico N ammissibile considerando un’eccentricità e = 6 cm. b= 25 cm d= 30 cm c= 22 cm Rck= 25 N/mm2 σ c = 8,5 N / mm 2 As = As1 + As 2 = 8cm 2 As1 = 4cm 2 (2φ16) As 2 = 4cm 2 (2φ16) A 8 µ= s = ≅ 0,0107 Ac 25 x30 (1%) Ai = bd + nAs = 25 × 30 + 15 × 8 = 750 + 120 = 870cm 2 Ii = bd 3 c 2 25 × 30 3 22 2 + nAs = + 15 × 8 × 12 4 12 4 (87000mm 2 ) (40) (41) I i = 56250 + 14520 = 70770cm 4 (42) 2I i 2 × 70770 = ≅ 5,42cm Ai d 870 × 30 (43) Ki = (estremo nocciolo) 28 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Essendo σ c max = N Ai ⎛ e ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜1 + ⎝ Ki ⎠ (44) risulta N amm = N amm = σ c Ai 1+ e Ki 8,5 × 87000 = 350971N ≅ 351 kN 6,0 1+ 5,42 N amm ≅ 351 kN (45) (46) (47) per e = 6 cm La tensione minima risulta: N Ai σ c min = ⎛ e ⎞ 351000 ⎛ 6,0 ⎞ ⎟⎟ ≅ ⎜⎜1 − ⎜1 − ⎟ ≅ −0,43 N / mm 2 K 87000 5 , 42 ⎝ ⎠ i ⎠ ⎝ (48) (trazione) La tensione di trazione risulta minore di 1 / 5σ c = 8,5 = 1,70 5 (49) 0,43 < 1,70 perciò è valida la sovrapposizione. 2. Considerando e = 3 cm N amm = σ c min = N Ai 8,5 × 87000 ≅ 476000 N ≅ 476kN 3,0 1+ 5,42 ⎛ e ⎞ 476000 ⎛ 3,0 ⎞ ⎟⎟ ≅ ⎜⎜1 − ⎜1 − ⎟ ≅ 2,44 N / mm ⎝ K i ⎠ 87000 ⎝ 5,42 ⎠ (compressione) 29 (50) (51) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 3. Considerando e = 8 cm N amm = σ c min = N Ai 8,5 × 87000 ≅ 298665 N ≅ 298,7 kN 8,0 1+ 5,42 ⎛ e ⎞ 298665 ⎛ 8,0 ⎞ ⎟⎟ ≅ ⎜⎜1 − ⎜1 − ⎟ ≅ −1,63 N / mm 2 ⎝ K i ⎠ 87000 ⎝ 5,42 ⎠ (52) (53) (trazione) 1 σc 5 1,63 < 1,70 La tensione di trazione risulta minore di e(cm) N amm (kN) 0 3 6 8 522 476 351 299 N amm ≅ sc max (N/mm2) 8.5 x 0.7 ≈ 6.0 8.50 8.50 8.50 sc min (N/mm2) 6.0 2.44 -0.43 -1.63 Aiσ c N0 = (1 + 6e / d ) (1 + 6e / d ) e/d 0 0.10 0.20 0.27 (54) Criterio Approssimato N 0 = Aiσ c = 87000 x8,5 = 739500 N ≅ 739kN e (cm) e/d 3 6 8 0.100 0.200 0.267 N amm (kN) approssimato 462 336 284 30 (55) N amm (kN) esatto 476 351 299 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Esempio 2: Data la sezione della figura: (56) b= 30 cm d= 45 cm c=d-2h=36 cm As1 = 9,42cm 2 (3φ 20) (57) As 2 = 9,42cm 2 (3φ 20) As 3 = 4,0cm 2 (2φ16) As = As1 + As 2 + As 3 = 2(9,42) + 4,0 = 22,84cm 2 µ= As 22,84 = ≅ 0,0169 Ac 30 × 45 (1,69%) Rck = 25 N / mm 2 σ c = 8,5 N / mm 2 Ai = bd + nAs = 30 × 45 + 15 × 22,84 = 1350 + 342,6 = 1692,6cm 2 (169260mm 2 ) Non si considerano fenomeni di instabilità ( buckling ) poiché λ m = 50. 31 lo risulta minore di i Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1. Determinare lo sforzo normale ammissibile per la condizione di carico centrato. N amm = Ac σ c (1 + 15µ ) (58) σ c = 0,7σ c (59) N amm = 135000 × 0,7 × 8,5(1 + 15 × 0,0169) = 1006874 N ≅ 1007kN (60) Oppure N amm = Ai σ c = 169260 × 0,7 × 8,5 = 1007100 N ≅ 1007kN (61) 2. Verificare le tensioni massime e minime nel calcestruzzo considerando la sezione sottoposta allo Sforzo Normale N = 525 kN e al Momento Flettente M = 42 kNm , assumendo che la flessione agisca separatamente nei due piani verticali di traccia x e y rispettivamente. 2.a) _ Flessione nel piano verticale di traccia x . 3φ 20 → 9,42cm 2 (62) 2φ16 → 4,0cm 2 Ai = Ac + nAs Ai = 30 x 45 + 15(2 x9,42 + 4) = 1692,6cm 2 (169260mm 2 ) c x2 bd 3 I iy = + 15( As1 + As 2 ) 12 4 I iy = 45 3 × 30 36 2 + 15(2 × 9,42) ≅ 319375 4 12 4 32 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato c x = d − 2copriferro ≅ 45 − 9 ≅ 36cm K ix = 2 I iy Ai d = 2 × 319375 ≅ 8,386 cm 1692,6 × 45 K ix = distanze degli estremi del nocciolo d’inerzia dal baricentro G secondo la direzione x. σ cxmax N Ai ⎛ e ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜1 ± ⎝ K ix ⎠ (63) σ cxmin e= M 42kNm = = 0,08m (8cm) N 525kN σ cxmax 6,06 N / mm 2 525000 ⎛⎜ 8 1± 169260 ⎜⎝ 8,386 σ cxmin ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 0,14 N / mm 2 entrambe le tensioni sono di compressione σ cxmax = 6,06 < σ c = 8,5 N / mm 2 33 (64) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Esempio 3: Ai = 1692,6 cm 2 (65) I iy = 319375cm 4 K ix = 8,386 cm Rck = 25 N / mm 2 σ c = 8,5 N / mm 2 σ c Ai = 1438,71 kN N amm = 0,7σ c Ai ≅ 1007kN (compressione centrica ) − Analisi di direzione x e(cm) e/d N amm (kN) 0 2 0 0.044 4 6 8 10 12 12.6 0.089 0.133 0.178 0.222 0.267 0.280 1007 1007 (1161) 974 839 736 656 592 575 13 14 0.289 0.311 564 539 sxc min (N/mm2) 0.7 x 8.5 (5.22) 3.01 1.41 0.20 -0.75 -1.51 -1.70 1/5 sc - 1.83 -2.13 1/4 sc 34 ∗ N amm (kN) approssimato 1007 1007 (1135) 938 799 696 617 553 537 526 502 ∗ N amm N amm 1 (0.98) 0.96 0.95 0.94 0.94 0.93 0.93 0.93 0.93 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato N amm = σ cxmin = σ c Ai 1+ N amm Ai e K ix (66) ⎛ e ⎞ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎝ K ix ⎠ N amm ≤ 0,7σ c Ai N * amm = σ c Ai 1 + 6e / d (formula semplificata) N * amm ≤ 0,7σ c Ai (67) σ cxmax = σ c = 8,5 N / mm 2 σc 5 σc 4 = 1,70 N / mm 2 ≅ 2,13 N / mm 2 2.b) _ Flessione nel piano verticale di traccia y . As*1 → 2φ 20 + 1φ16 (68) As*1 = 2 x3,14 + 2,0 = 8,28 cm 2 As*2 → 2φ 20 + 1φ16 As*2 = 8,28 cm 2 35 (69) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato As*3 → 2φ 20 As*3 = 6,28 cm 2 c y = b − 2 copriferro c y ≅ 24 cm Ovviamente As*1 + As*2 + As*3 = As = 22,84 cm 2 Ai = 30 × 45 + 15 × 22,84 = 1692,6 cm 2 ⎛cy db 3 I ix = + 15( As*1 + As*2 )⎜⎜ 12 ⎝ 2 (169260 mm 2 ) 2 ⎞ 45 x30 3 24 2 ⎟⎟ = + 15(2 × 8,28) 12 4 ⎠ I ix = 101250 + 35770 = 137020 cm 4 K iy = 2 I ix 2 × 137020 ≅ 5,397cm = Ai b 1692,6 × 30 σ cymax 7,70 N / mm 2 ( compressione ) N Ai ⎛ ⎞ ⎜1 ± e ⎟ = 525000 ⎛⎜1 ± 8 ⎞⎟ ⎜ K ⎟ 169260 ⎝ 5,397 ⎠ iy ⎠ ⎝ σ cymin − 1,50 N / mm 2 ( trazione ) σ cymax = 7,70 N / mm 2 < σ c = 8,50 N / mm 2 σ y c min = −1,50 N / mm < 2 σ cymax 5 = 7,70 = −1,54 N / mm 2 5 36 (70) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 9,20 7,70 = 45 x x= (71) 7,70 × 45 9,20 1,5 × 73 × 300 = 16425 N 2 2φ 20 + 1φ16 = 8,28 cm 2 828 mm 2 16425 = 19,9 N / mm 2 828 Ai = 1692,6 cm 2 I ix = 137020 cm 4 K ix = 5,397cm σ c Ai = 1438,7 kN N amm = 0,7σ c Ai ≅ 1007kN Rck = 25 N / mm 2 σ c = 8,5 N / mm 2 37 (72) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ANALISI DIREZIONE Y Ø 16 e(cm) e/d syc min (N/mm2) 0.7 x 8.5 (5.84) N amm (kN) 0 1 0 0.033 2 0.067 3 4 5 6 7 8 8.1 0.100 0.133 0.167 0.200 0.233 0.267 0.270 1007 1007 (1214) 1007 (1050) 925 826 747 681 626 580 575 8.5 9 0.283 0.300 559 539 N amm = σ cymin = (3.90) 2.43 1.26 0.32 -0.45 -1.10 -1.65 -1.70 σc/ 5 -1.90 -2.13 σc/ 4 N ∗ amm (kN) approssimato 1007 1007 (1199) 1007 (1028) 899 799 719 654 600 553 549 533 514 N ∗ amm N amm 1 (0.99) (0.98) 0.97 0.97 0.96 0.96 0.96 0.95 0.95 0.95 0.95 σ c Ai 1+ N amm Ai e K iy (73) ⎛ ⎞ ⎜1 − e ⎟ ⎜ K ⎟ iy ⎠ ⎝ N amm ≤ 0,7σ c Ai N * amm = σ c Ai 1 + 6e / b (formula semplificata) N * amm ≤ 0,7σ c Ai σ cymax = σ c = 8,5 N / mm 2 38 (74) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato σc 5 σc 4 = 1,70 N / mm 2 ≅ 2,13 N / mm 2 As → 8φ 26 µ= As = 42,48 cm 2 42,48 = 0,0315 30 x 45 (3,15%) Ai = 30 × 45 + 15 × 42,48 = 1987,2 cm 2 σ c A i = 8,5 × 198720 = 1689120 N ≅ 1689,1kN Rck = 25 N / mm 2 σ c = 8,5 N / mm 2 39 (75) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ANALISI DIREZIONE X e(cm) e/d 0 2 0 0.044 4 0.089 1182 1182 (1360) 1151 6 8 10 12 12.8 0.133 0.178 0.222 0.267 0.284 993 873 779 703 677 13*’ 14*’ 14.3*’ 0.289 0.311 0.318 671 641 632 14.5*’’ 0.322 627 I iy = sxc min (N/mm2) 0.7 x 8.5 (5.28) N amm (kN) 3.90 ∗ N amm (kN) approssimato 1182 1182 (1334) 1102 1.49 0.29 -0.66 -1.42 -1.69 sc/ 5 -1.75 -2.05 -2.13 sc/ 4 -2.19 30 × 45 3 36 2 + 15(2 × 15,93) ≅ 382652 cm 4 12 4 c x = 36 cm K ix = 2 I iy = 8,558 cm Ai d σ cxmin = N amm Ai N amm = * = N amm ⎛ e ⎞ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎝ K ix ⎠ σ c Ai 1+ e K ix σ c Ai 1 + 6e / d N amm ≤ 0,7σ c Ai σ cxmax = σ c = 8,5 N / mm 2 40 ∗ N amm N amm 1 (0.97) (0.96) 938 817 724 650 624 0.95 0.94 0.93 0.92 0.92 618 589 581 0.92 0.92 0.92 576 0.92 (76) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato σ c Ai = 1689,1 kN Ai = 1987,2 cm 2 As Æ 8 φ 26 As=42,48 cm2 Rck = 25 N / mm 2 σ c = 8,5 N / mm 2 σ cymax = σ c = 8,5 N / mm 2 41 (77) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ANALISI DIREZIONE Y syc max= σ c = 8,5 N / mm 2 e(cm) e/d 0 1 0 0.033 2 0.067 3 4 5 6 7 8 8.5 0.100 0.133 0.167 0.200 0.233 0.267 0.283 syc min (N/mm2) 0.7 x 8.5 (5.96) N amm (kN) 1182 1182 (1437) 1182 (1251) 1107 993 900 823 758 703 678 (4.04) 2.64 1.49 0.56 -0.21 -0.87 -1.42 -1.67 σc/ 5 ∗ N amm (kN) approssimato 1182 1182 (1408) 1182 (1207) 1056 938 845 768 704 650 626 45 × 30 3 24 2 I ix = + 15(2 × 15,93) ≅ 170068 cm 4 12 4 c y = 24 cm K iy = 2 I ix = 5,705 cm Ai b σ cymin = N amm Ai N amm = * = N amm ⎛ ⎞ ⎜1 − e ⎟ ⎜ K ⎟ iy ⎠ ⎝ σ c Ai 1+ e K iy σ c Ai 1 + 6e / b N amm ≤ 0,7σ c Ai 42 ∗ N amm N amm 1 (0.98) (0.96) 0.95 0.94 0.94 0.93 0.93 0.92 0.92 (78) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.6. FLESSIONE SEMPLICE Un elemento strutturale in cui le caratteristiche della sollecitazione che agiscono sono soltanto il Momento Flettente M e il Taglio T, si dice soggetto a FLESSIONE SEMPLICE (Lo sforzo normale N è nullo). Il momento è contenuto in un piano normale alla sezione. Se tale piano contiene un asse principale della sezione si ha la FLESSIONE SEMPLICE RETTA, altrimenti si ha la FLESSIONE SEMPLICE DEVIATA. Nel seguito la Flessione Semplice Retta è denominata FLESSIONE SEMPLICE. Nel caso delle travi inflesse una parte della sezione risulta tesa perciò si fa astrazione dalla resistenza del calcestruzzo teso e si arma la zona tesa con barre di acciaio sufficienti per sopportare lo sforzo di trazione. 1. L’ armatura si dispone in prossimità del lembo teso (salvo il necessario copriferro) perchè la sua efficacia è tanto maggiore quanto più essa dista dall’asse neutro. 2. L’armatura si dice SEMPLICE quando le barre As si trovano soltanto nella zona tesa. Si dice DOPPIA quando ci sono delle barre As' anche nella zona compressa. Si considera che resistano al Momento Flettente M soltanto il calcestruzzo compresso (insieme con le eventuali barre As’ presenti nella zona compressa) e l’acciaio teso As. 43 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato La sezione reagente è costituita dal calcestruzzo compresso e dalle armature che si possono ammettere sostituite con sezioni equivalenti di calcestruzzo nAs' ed nAs poste nelle stesse posizioni delle barre di acciaio. Naturalmente, la sezione equivalente di calcestruzzo nAs della zona tesa si considera resistente alla trazione. La sezione equivalente omogenea di calcestruzzo (o sezione ideale equivalente) è costituita dall’area di conglomerato compresso e dall’area dell’acciaio (teso o compresso) moltiplicata per il coefficiente di equivalenza n= Es = 15 Ec (79) Ammessa la legge di Hooke σc = εc Ec e considerando Ec = costante, se le sezioni si conservano piane (Navier), il diagramma delle tensioni risulta lineare. Gi= baricentro sezione equivalente 44 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.7. SEZIONE RETTANGOLARE CON ARMATURA SEMPLICE A.1-Calcolo di verifica delle tensioni Date le dimensioni b e h della sezione, l’armatura tesa As e noto il momento flettente esterno M, si devono ricavare la tensione massima σc max del calcestruzzo compresso e la tensione σ s dell’acciaio. La sezione è verificata se: σ max ≤ σ c (80) σs ≤σs (81) Calcestruzzo Acciaio σ c e σ s : tensioni ammissibili Per l’equilibrio tra la sollecitazione esterna M e gli sforzi interni si hanno due equazioni di equilibrio che risolvono il problema. 1. Prima si deve determinare la posizione dell’asse neutro, ossia la distanza x dal lembo compresso. 2. trovata la posizione dell’asse neutro, si possono determinare le tensioni σ c max e σ s . A_ Determinazione della posizione dell’asse neutro x. Dall’uguaglianza del risultante delle σ c della zona compressa (sforzo C c ) e del risultante di trazione dell’area di acciaio (sforzo T a ) risulta: Cc=Ta σ c max bx 2 (82) = Asσ s (83) Essendo σ s = nσ c max h−x x (84) Si ha: σ c max bx 2 =nAsσ c max h−x x 45 (85) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Eliminando σ c max , si ottiene: bx h−x = nAs 2 x (86) bx 2 − nAs (h − x) = 0 2 (87) Questa relazione esprime che è nullo il momento statico della sezione ideale equivalente rispetto all’asse neutro (che passa per il baricentro Gi). Dall’equazione precedente risolta rispetto a x e assumendo la soluzione positiva si ricava la POSIZIONE DELL’ASSE NEUTRO. x= nAs b ⎛ ⎞ ⎜ − 1 + 1 + 2bh ⎟ ⎜ nAs ⎟⎠ ⎝ (88) Il risultato è indipendente dal valore di M. L’asse neutro non cambia se si varia M, ciò a causa di avere supposto “n” costante. B_ Determinazione delle tensioni σ c max e σ s . Dall’uguaglianza tra momento resistente interno e quello esterno M si possono ricavare le tensioni σ c max e σ s . M = Cc ς essendo ς = h − M = Ta ς (89) x il braccio della coppia interna 3 M = σ c max bx ⎛ x⎞ ⎜h − ⎟ 2⎝ 3⎠ ⇒ σ c max = x⎞ ⎛ M = σ s As ⎜ h − ⎟ ⇒ 3⎠ ⎝ σs = 46 M x⎞ ⎛ bx ⎞⎛ ⎜ ⎟⎜ h − ⎟ 3⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ (90) M x⎞ ⎛ As ⎜ h − ⎟ 3⎠ ⎝ (91) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Applicazione Una trave di sezione rettangolare larga b = 30 cm e alta d = 45 cm è armata con tre barre di 20 mm (Fe B38k). Calcolare: 1. le tensioni σ c max e σ s provocate da M = 60 kNm 2. il valore di Mamm considerando Rck = 25 N / mm 2 σ s = 215 N / mm 2 σ c = 8,5 N / mm 2 (92) As = 3 × 3,14 = 9,42 cm 2 (93) a) posizione dell’asse neutro x= n As b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ − 1 + 1 + 2 b h ⎟ = 15 × 9,42 ⎜ − 1 + 1 + 2 × 30 × 41 ⎟ ≅ 15,5 cm ⎜ n AS ⎟⎠ 30 ⎜⎝ 15 × 9,42 ⎟⎠ ⎝ (94) Figura 1.7.1. b) tensioni σcmax e σs σ c max = σ c max = M bx ⎛ x⎞ ⎜h − ⎟ 2 ⎝ 3⎠ (95) 60 × 100 = 0,72 kN cm 2 30 × 15,5 ⎛ 15,5 ⎞ ⎜ 41 − ⎟ 2 3 ⎠ ⎝ (7,2 N σs = M x⎞ ⎛ AS ⎜ h − ⎟ 3⎠ ⎝ = mm 2 (96) ) 60 × 100 = 17,8 kN cm 2 15 , 5 ⎞ ⎛ 9,42⎜ 41 − ⎟ 3 ⎠ ⎝ 178 N mm 2 ( 47 ) (97) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato La sezione è verificata per M = 60 kNm, infatti σ c max = 7,2 N mm 2 σ s = 178 N mm 2 σ c = 8,5 N mm 2 ≤ ≤ σ s = 215 N mm 2 c) il valore di Mamm si ottiene assumendo σ c max = σ c c =σ c calcestruzzo → M amm σ c = 8,5 N mm 2 M c amm = 0,85 × (98) oppure σ s = σ s bx ⎛ x⎞ ⎜h − ⎟ 2⎝ 3⎠ (0,85 kN cm 2 ⎛ ⎝ a acciaio → M amm = σ s As ⎜ h − (21,5 kN (100) ) 30 × 15,5 ⎛ 15,5 ⎞ ⎜ 41 − ⎟ ≅ 7082 kNcm 2 3 ⎠ ⎝ σ s = 215 N mm 2 (99) (70,8 kNm) x⎞ ⎟ 3⎠ cm 2 15,5 ⎞ ⎛ a M amm = 21,5 × 9,42⎜ 41 − ⎟ ≅ 7260 kNcm 3 ⎠ ⎝ ) (72,6 kNm) Essendo Mcamm ≤ Maamm risulta determinante il calcestruzzo e perciò M amm ≅ 70,8 kNm (101) Al M amm ≅ 70,8 kNm corrisponde una tensione σ s nell’acciaio minore di σ s σs = 70,8 × 100 ≅ 21 kN cm 2 210 N mm 2 < σ s 15,5 ⎞ ⎛ 9,42⎜ 41 − ⎟ 3 ⎠ ⎝ ( 48 ) (102) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ACCIAI IN BARRE AD ADERENZA MIGLIORATA AcciaioFeB38K Calcestruzzo σ c = 215 N mm Rck sc m x gc AcciaioFeB44 K σ c = 255 N mm 2 2 r a m x gc r a 2) (N/mm (N/mm2) 15 6.00 35.83 0.295 0.133 0.902 2.742 42.50 0.261 0.119 0.913 2.898 20 7.25 29.66 0.336 0.149 0.888 2.589 35.17 0.299 0.135 0.900 2.726 25 8.50 25.29 0.372 0.163 0.876 2.477 30.00 0.333 0.148 0.889 2.598 30 9.75 22.05 0.405 0.175 0.845 2.390 26.15 0.364 0.160 0.878 2.499 35 11.00 19.55 0.434 0.186 0.855 2.321 23.18 0.393 0.171 0.869 2.420 40 12.25 17.55 0.461 0.195 0.846 2.264 20.82 0.419 0.180 0.860 2.356 49 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ACCIAI IN BARRE TONDE LISCE Calcestruzzo Rck sc 2) (N/mm m Acciaio FeB 22 K Acciaio FeB32 K σ c = 115 N mm σ c = 155 N mm 2 x gc 2 r a m x gc r \ a (N/mm2) 15 6.00 19.17 0.439 0.187 0.854 2.310 25.83 0.367 0.161 0.878 2.491 20 7.25 15.86 0.486 0.204 0.838 2.216 21.38 0.412 0.178 0.862 2.371 25 8.50 13.53 0.526 0.217 0.825 2.148 18.24 0.451 0.192 0.850 2.284 30 9.75 11.79 0.560 0.228 0.813 2.06 15.90 0.485 0.203 0.838 2.217 35 11.00 10.45 0.589 0.237 0.804 2.055 14.09 0.516 0.213 0.828 2.164 50 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ε= 15 m + 15 χc = ε ε (1 − ) z 3 ε ρ = (1 − ) 3 α= 1 8c m= σs σc m ε 1 0.9375 5 0.75 0.2813 0.75 1.8856 10 0.60 0.240 0.80 2.0412 15 0.50 0.2083 0.8333 2.1909 20 0.4286 0.1837 0.8571 2.333 25 0.375 0.1641 0.8750 2.4689 30 0.3333 0.1481 0.8889 2.581 35 0.3000 0.1350 0.9000 2.7257 40 0.2727 0.1240 0.9091 2.8402 45 0.2500 0.1146 0.9167 2.9542 50 0.2308 0.1069 0.9231 3.0641 55 0.2143 0.0995 0.9286 1.1704 60 0.200 0.0933 0.9333 3.2733 χc 51 ρ α Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.8. A.2 – CALCOLO DI PROGETTO. Armatura Semplice Nel calcolo diretto o di progetto della sezione è dato il Momento Flettente Esterno M e si assumono le tensioni ammissibili σ c e σ s conoscendo la qualità dei due materiali. Sono incognite: l’altezza utile h, l’area dell’ armatura As e la larghezza b. Essendo disponibili soltanto due equazioni di equilibrio, nel caso più comune si assume anche la larghezza b. Come già visto, le equazioni disponibili sono: Traslazione bx 2 − nAs (h − x ) = 0 2 C c = Ta (103) Rotazione M =σc bx (h − x 3) = Asσ s (h − x 3) 2 M = C c ζ = Ta ζ Dal diagramma lineare delle tensioni si ricava: σc σs n = x h−x da questo si ricava x= (104) (105) (106) nσ c h σ s + nσ c (107) σs σc (108) Ponendo m= Risulta 52 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato x= (109) n h = ξh m+n Per l’equilibrio a rotazione rispetto al baricentro dell’armatura: M amm = σ c bξh ⎛ 2 ξh ⎞ ξ⎞ 2 ξ ⎛ ⎜ h − ⎟ = σ c bh ⎜1 − ⎟ 3⎠ 2⎝ 3⎠ ⎝ M amm = χ c bh 2σ c (110) (A) (111) avendo posto χc = ξ 2 (112) (1 − ξ 3) considerando M = Mamm si ricava: h= 1 χc M M =α bσ c bσ c h =α M bσ c (B) (113) avendo posto α= (114) 1 χc Per l’equilibrio a rotazione rispetto al punto di applicazione di Cc x⎞ ⎛ M amm = Asσ s ⎜ h − ⎟ = Asσ s h(1 − ξ 3) = Asσ s ρh 3⎠ ⎝ (115) avendo posto ρ = (1 − ξ 3) (116) considerando M = Mamm si ottiene: As = M (C) σ s ρh (117) Le formule A B e C consentono di risolvere i problemi di progetto della sezione rettangolare con armatura semplice. I coefficienti ξ χ c ρ e α sono funzioni di n , σ c e σ s . Tabelle molto complete dei coefficienti ξ χ c ρ e α sono riportate nei prontuari. 53 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Nel seguito si riportano due tabelle (una per l’acciaio ad aderenza migliorata e l’altra per l’acciaio in barre lisce) considerando differenti valori della resistenza Rck del calcestruzzo. I passi per il progetto della sezione sono: 1. Assunte le tensioni ammissibili σ c e σ s si ricavano i coefficienti ξ , χ c , ρ , α 2. Se nota b, si determina l’altezza utile h h =α M bσ c (A) Se nota l’altezza utile h si ricava la larghezza b M b= χ c h 2σ c (118) (119) Oppure b =α2 M (120) h σ2 2 3. Si calcola l’armatura As As = M σ c ρh 54 (121) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato CALCOLI APPROSSIMATI Noto il momento flettente M in una sezione della trave, si può determinare rapidamente la sezione necessaria di acciaio e controllare il calcestruzzo compresso, se è nota l’altezza utile h. As ≅ M 0.85hσ s determinazione approssimata dell’armatura ρ varia poco al variare di σ c e σ s ed oscilla attorno 0.85 ÷ 0.90 La resistenza della zona compressa di calcestruzzo si può controllare in modo approssimato con la condizione: M ≤ M c amm controllo Approssimato del Calcestruzzo compresso I valori semplificati di Mcamm sono: Rck = 20 ÷ 15 N / mm 2 Rck = 25 ÷ 30 N / mm 2 c M amm ≅ 0.19bh 2 σ c Fe B 22k • Fe B 32k c M amm ≅ 0.14bh 2 σ c Fe B 38k • Fe B 44k c M amm ≅ 0.21bh 2 σ c Fe B 22k • Fe B 32k c M amm ≅ 0.16bh 2 σ c Fe B 38k • Fe B 44k 55 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Applicazione 1. calcolare l’altezza utile h e l’armatura As della sezione di una trave avente b=25cm e soggetta al momento M=35 kNm, avendo assunto Rck = 20 N mm 2 ed acciaio FeB38K (σ s = 215 N mm 2 ) Per Rck = 20 N mm 2 σ s = 7,25 N mm 2 (0,725 kN cm 2 ) Soluzione: Dalla tabella per Acciai ad Aderenza Migliorata si ha : ξ = 0,336 • χ c = 0,149 • α = 2,589 • ρ = 0,888 Perciò risulta: h =α M 35 × 100 = 2,589 ≅ 36 cm bσ c 25 × 0,725 As = M 35 × 100 = ≅ 5,1cm 2 ρhσ s 0,888 × 36 × 21,5 (122) 2φ16 + 1φ12 x = 0,336 h ≅ 12,1cm Applicando i calcoli approssimati si avrebbe: As = M 35 × 100 = ≅ 5,3 cm 2 0,85hσ s 0,85 × 36 × 21,5 (123) • valore prossimo al calcolo preciso M c amm ≅ 0,14bh 2σ c = 0,14 × 25 × 36 2 × 0,725 ≅ 3290 kNcm = 32,9 kNm • valore pari al 94% di M = 35kNm. 56 (124) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Le differenze tra il calcolo preciso e quello approssimato sono piccole e si giustificano per i calcoli di massima. 2. calcolare la larghezza b di una trave avente h = 26 cm (d = 30 cm) e determinare l’armatura As per resistere un momento M = 58 kNm I materiali sono: • Rck = 30 N mm 2 • σ c = 9,75 N mm 2 0,975 kN cm 2 ( • Fe B 44 K • σ s = 255 N mm 2 (25,5 kN cm 2 ) ) Soluzione: per questi materiali si ha: ξ = 0 .364 • χ c = 0 .16 • ρ = 0 .878 b= As = M 58 × 100 = ≅ 55 cm 2 χ c h σ c 0,16 × 26 2 × 0,975 M 58 × 100 = ≅ 10cm 2 ρhσ s 0,878 × 26 × 25,5 (125) (5φ16) Applicando i calcoli approssimati si ha: As ≅ M 58 × 100 = = 10,3 cm 2 0,85hσ s 0,85 × 26 × 25,5 (126) valore molto prossimo al calcolo preciso c M amm = 0,16bh 2σ c = 0,16 × 55 × 26 2 × 0,975 = 5800kNcm = 58kNm valore coincidente con il calcolo preciso 57 (127) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.9. B- SEZIONE RETTANGOLARE CON DOPPIA ARMATURA B.2- CALCOLO DI VERIFICA DELLE TENSIONI Sono date la larghezza b e l’altezza utile h della sezione, la sezione As dell’acciaio teso, la sezione As’ dell’acciaio compresso, la distanza h’ del baricentro di As’ dal lembo compresso, ed è noto il Momento Flettente M. Si vogliono calcolare la tensione massima σc max nel calcestruzzo compresso, la tensione σs nell’armatura tesa e la tensione σ’s nell’armatura compressa. 1. Determinazione della posizione dell’asse neutro x eguagliando la somma dei risultanti di compressione Cc del calcestruzzo e dell’acciaio compresso Cs al risultante di trazione Ta, risulta: C c + C s = Ta (128) bσ c max x + As' σ s' = Asσ s 2 (129) Equilibrio Traslazione Essendo: σ s' = nσ c max x − h' x σ s = nσ c max (130) h−x x si ottiene (131) bx 2 + nAs' ( x − h ' ) − nAs (h − x) = 0 2 L’asse neutro è baricentrico rispetto alla sezione reagente trasformata in calcestruzzo. La radice positiva di questa equazione fornisce il valore di x. A + As' ⎡ hAs + h ' As' x=n s ⎢− 1 + 1 + 2b b n( As + As' ) 2 ⎢⎣ 58 ⎤ ⎥ ⎥⎦ (132) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Ponendo As∗ = As + As' (133) e h∗ = hAs + h ' As' As∗ (134) si può scrivere: As∗ ⎡ 2bh∗ ⎤ x = n ⎢− 1 + 1 + ⎥ b ⎣⎢ nAs∗ ⎦⎥ (135) 2. Determinazione delle tensioni σc max, σs’, σs eguagliando il momento degli sforzi interni Ca e Cs rispetto al baricentro dell’armatura tesa a quello esterno M, si ha: Cc ⋅ z + Cs ⋅ c = M (136) Equilibrio rotazione σ c maxbx ⎛ x⎞ ' ' ⎜ h − ⎟ + σ s As c = M 3⎠ ⎝ (137) M ' bx ⎛ x⎞ ' x−h ⎜ h − ⎟ + nAs c 2⎝ 3⎠ x (138) 2 con c = h – h’. Ricavando σc max si ottiene: σ c max = σ = nσ c max x − h' x σ s = nσ c max h−x x ' s 59 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Applicazione Una trave alta h=41 cm e larga b=30cm è armata con 4Φ20 nella zona tesa e 3 Φ 16 nella zona compressa. Determinare le tensioni provocate da M=85 kNm. As' → 3φ16 As' = 6 cm 2 As → 4φ 20 As = 12,56 cm 2 As∗ = As' + As = 18,56 cm 2 hAs + hAs' 41×12,56 + 4 × 6 = ≅ 29,039cm As∗ 18,56 h∗ = x=n x = 15 × ⎡ 2bh∗ ⎤ ⎢− 1 + 1 + ⎥ nAs∗ ⎥⎦ ⎢⎣ 18,56 ⎡ 2 × 30 × 29,039 ⎤ ⎢− 1 + 1 + ⎥ ≅ 15,72cm 30 ⎣ 15 × 18,56 ⎦ σ c max = • σ c max = As∗ b M ' bx ⎛ x⎞ ' x−h ⎜ h − ⎟ + nAs c 2⎝ 3⎠ x 85 × 100 30 × 15,72 ⎛ 15,72 ⎞ 15,72 − 4 × ⎜ 41 − ⎟ + 15 × 6 × 37 2 3 ⎠ 15,72 ⎝ σ c max ≅ 0,78 kN / cm 2 7,8 N / mm 2 60 (139) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato • σ s = nσ c max h−x 41 − 15,72 = 15 × 0,78 ≅ 18,8 kN / cm 2 188 N / mm 2 x 15,72 • σ s' = nσ c max x − h' 15,72 − 4 = 15 × 0,78 ≅ 8,7 kN / cm 2 x 15,72 87 N / mm 2 Si osservi che la tensione σs’ nell’armatura compressa risulta quasi sempre moderata se σ c max < σ c , e per i tipi di acciaio Fe b 38k e Fe B 44k sono sempre minori di σ s . I valori ottenuti delle tensioni: σc max = 7,8N/mm2 risulta minore del valore ammissibile σ s se il calcestruzzo ha Rck ≥ 25kN / mm 2 . σs = 188N/mm2 risulta minore delle tensioni ammissibili corrispondenti a Fe B 38k (σs 2 = 215N/mm2) e a Fe B 44k (σ s = 255 N / mm ) . La tensione nell’acciaio teso σs supera i valori ammissibili corrispondenti agli acciai in 2 2 barre tonde lisce (σ s = 115 N / mm per Fe B 22k, e σ s = 155 N / mm per Fe B 32k). Controllo dei risultati ottenuti Si può controllare mediante l’equilibrio a traslazione bx σ c max + As' σ s' = Asσ s 2 30 × 15,72 × 0,78 + 6 × 8,7 ≅ 12,56 × 18,8 2 183,92 KN + 52,20 kN ≅ 236,13 kN 236,12 ≅ 236,13 61 (140) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Significato di h∗ Momento statico di As e A’s rispetto al lembo compresso As h + As' h ' = As∗ h∗ h∗ = As h + As' h ' As∗ As∗ = As + As' 62 (141) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.10. B.2- CALCOLO DI PROGETTO _Doppia Armatura Un modo agevole di procedere nel progetto della sezione rettangolare con doppia armatura consiste nell’immaginare la sezione scissa in due sezioni: l’una a semplice armatura As 0, l’altra costituita dall’armatura compressa As’ e di una corrispondente armatura tesa ∆As. La divisione prima e la successiva sovrapposizione delle due sezioni è lecita soltanto se esse hanno lo stesso asse neutro in modo che As 0 e ∆As abbiano le stesse tensioni. - questo modo consente di utilizzare i coefficienti ε, γ e ρ della sezione a semplice armatura e perciò delle tabelle corrispondenti. Prefissati σ c , σ s , b, h e dato M 1. si determina il Momento Ammissibile M camm della sezione e l’armatura As 0 applicando le espressioni della sezione a armatura semplice. c M amm = γ c bh 2σ c As 0 = (142) c M amm ρhσ s 2. il Momento residuo ∆M = M - Mc amm deve risultare equilibrato dalla sezione formata da A’s e ∆As. 63 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ∆As = ∆M cσ s As' = ∆M cσ s' (143) con σ s' = nσ c (ε − h ' / h) ε =σs (ε − h ' / h) (1 − ε ) (144) si può calcolare As' in funzione di ∆As As' = ∆As (1 − ε ) (ε − h ' / h) (145) 3. Come armatura tesa As si ottiene: As = As 0 + ∆As (146) * se M risulta minore di Mcamm non risulta necessaria l’armatura A’s, M ≤ Mcamm non è necessaria armatura in zona compressa. * l’armatura A’s riesce in particolare giustificata se vi è la possibilità di cambiamento del segno del momento per cui, ad esempio, le fibre tese non sono più quelle di estradosso ma quelle di intradosso. Questa condizione è frequente in presenza di azioni sismiche. Applicazione Una trave di sezione rettangolare è larga b=30cm e alta h=41cm. Determinare le armature As e A’s in modo che la sezione possa sopportare un momento M = 90kNm, assu2 2 mendo σ c = 8,5 N / mm (calcestruzzo Rck = 25N/mm2) e σ s = 215 N / mm (acciaio Fe B 38k). 2 2 per σ c = 8,5 N / mm e σ s = 215 N / mm i coefficienti per la sezione con armatura semplice sono: • ε = 0,3723 • ρ = 0,876 • γ c = 0,163 Il momento ammissibile Mcamm per la sezione con armatura semplice vale: c M amm = γ c bh 2σ c = 0,163 × 30 × 412 × 0,85 = 6987kNcm ≅ 69,9kNm (σ c = 8,5 N / mm 2 = 0,85kN / cm 2 ) ∆M = 90 − 69,9 = 20,1kNm 64 (147) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato As 0 = c M amm 69,9 × 100 = ≅ 9,05cm 2 ρhσ s 0,876 × 41 × 21,5 (σ s = 215 N / mm 2 = 21,5kN / cm) • ∆As = (148) ∆M 20,1× 100 = ≅ 2,53cm 2 cσ s 37 × 21,5 con c = h − h ' = 37cm • As = As 0 + ∆As = 9,05 + 2,53 = 11,58cm 2 As' = σ s' = nσ c ∆M 20,1 × 100 = ≅ 5,77cm 2 ' 37 × 9,41 cσ s (ε − h ' / h) ε = 15 × 0,85 (0,3723 − 4 / 41) 0,3723 σ s' ≅ 9,41kN / cm 2 (94,1N / mm 2 ) Si adotta As → 3φ 20 + 2φ12(11,68cm 2 ) As' → 3φ16(6,0cm 2 ) controllo equilibrio traslazione bx σ c + As' σ s' = Asσ s 2 con x=15,264cm 65 (149) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 30 × 15,264 × 0,85 + 5,77 × 9,41 = 11,58 × 21,5 2 194,6 + 54,3 = 249kN 248,9kN ≅ 249kN 66 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.11. Calcoli approssimati Armatura doppia Noto il Momento Flettente M, le tensioni ammissibili σ c e σ s , la larghezza b e l’altezza utile h, per i calcoli di massima, le armature As e A’s si possono determinare rapidamente mediante la procedura indicata nel seguito. ' -dati: M, σ c , σ s , b, h (c = h − h ) -incognite: As e A’s c con le 1) si determina il momento ammissibile del calcestruzzo compresso M amm seguenti espressioni semplificate che dipendono dal tipo di calcestruzzo e dal tipo di acciaio. Rck = 20 ÷ 15 N / mm 2 Rck = 25 ÷ 30 N / mm 2 c M amm ≅ 0.19bh 2 σ c Fe B 22k • Fe B 32k c M amm ≅ 0.14bh 2 σ c Fe B 38k • Fe B 44k c M amm ≅ 0.21bh 2 σ c Fe B 22k • Fe B 32k c M amm ≅ 0.16bh 2 σ c Fe B 38k • Fe B 44k 2) Se M > Mcamm si determina il Momento Residuo ∆M c ∆M = M − M amm Le armature si calcolano mediante le espressioni approssimate: As = c M amm ∆M + 0,85hσ s cσ s As' = ∆M 11cσ c 3) Se M < Mcamm non è necessaria armatura compressa A’s M As = 0,85hσ s 67 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Applicazione Determinare Ase A’s mediante calcoli approssimati considerando i dati della precedente applicazione. Dati: M=90kNm Rck=25N/mm2 σ c = 8,5 N / mm 2 = 0,85kN / cm 2 σ s = 215 N / mm 2 = 21,5kN / cm 2 Fe B 38k h=41cm b=30cm c=37cm 1) dalla tabellina precedente c M amm = 0,16bh 2σ c = 0,16 × 30 × 412 × 0,85 = 6858kNcm ≅ 68,6kNm 2) M > Mcamm 90>68,6 è necessaria armatura A’s compressa. c ∆M = M − M amm = 90 − 68,6 = 21,4kNm 3) calcolo approssimato delle armature c M amm ∆M 68,6 × 100 21,4 × 100 As = + = + = 9,16 + 2,69 = 11,85 cm 2 0,85hσ s cσ s 0,85 × 41 × 21,5 37 × 21,5 As' = ∆M 21,4 × 100 = = 6,19cm 2 c11σ c 37 ×11× 0,85 Come si vede i valori approssimati sono leggermente superiori rispetto a quelli determinati in modo preciso. Esatto Approssimato As 11,58 cm 2 11,85 cm 2 As' 5,77 cm 2 6,19 cm 2 68 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.12. SEZIONE A T Nelle costruzioni in cemento armato sono assai frequenti le travi avente sezione a forma di T . Esse sono costituite da un tratto di soletta (ala) e da una nervatura (anima). Nei solai con nervature, la soletta (caldana), per una certa larghezza bs , può essere considerata solidale con la nervatura. Nel calcolo di nervature solidali con solette si può ammettere come collaborante con la nervatura, da ciascun lato, una striscia di soletta pari alla maggiore fra le dimensioni seguenti: - un decimo della luce della nervatura → l 0 / 10 - cinque volte lo spessore h0 della soletta → 5h0 In nessun caso la larghezza di soletta collaborante da ciascun lato può superare la metà della luce fra le nervature né la distanza fra la sezione in esame e quella in cui ha termine la soletta. Nelle travi isolate può convenire progettare la sezione a T anziché rettangolare, per aumentare la zona di conglomerato compresso invece di ricorrere ad armatura compressa. Se il Momento Flettente è positivo risulta compressa la parte superiore della sezione per cui la soletta contribuisce a resistere le tensioni di compressione. Invece se il Momento Flettente è negativo risulta compressa la parte inferiore per cui le tensioni di compressione sono resistite dalla nervatura (larghezza b0) e dalle armature presenti nella parte inferiore. 69 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Nella trattazione che segue si studia solo il caso in cui il Momento Flettente è positivo (soletta compressa) poiché nel caso di Momento Flettente negativo (soletta tesa) il problema è uguale al caso della sezione rettangolare già esaminato. 70 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Se la sezione è sollecitata da Momento Positivo è opportuno distinguere due casi: 1) L’asse neutro cade nella soletta x ≤ h0 Il comportamento della sezione è lo stesso che si avrebbe se la sezione fosse rettangolare di larghezza bs e di altezza h. 2) L’asse neutro taglia la nervatura x > h0 71 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Nel metodo “n” quando l’asse neutro taglia la nervatura, il blocco delle tensioni di compressione nel calcestruzzo presenta una forma piuttosto complicata e la determinazione della posizione dell’asse neutro risulta meno semplice rispetto al caso della sezione rettangolare. Tale situazione fa utile l’impiego di approcci approssimati. Nel calcolo delle sezioni a T, usualmente sono note le caratteristiche geometriche della sezione ( bs , b0 , h0 , h). Si possono presentare due tipi di problemi:Essendo note anche le armature si devono calcolare le tensioni (VERIFICA) oppure noto il Momento Esterno, si devono determinare le armature (PROGETTO). 72 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato APPROCCIO SEMPLIFICATO DI VERIFICA Un approccio semplificato molto adeguato per i calcoli di massima si può stabilire considerando le seguenti assunzioni: 1) si trascura la zona di calcestruzzo compresa fra il bordo inferiore della soletta e l’asse neutro. Ciò non influisce sensibilmente sul momento resistente (poiché le tensioni σ c ivi, sono assai ridotte). 2) Il diagramma trapezoidale di tensioni di compressione nella soletta è sostituito da un diagramma rettangolare con una tensione pari a β σ cs , con risultante applicata a metà altezza della soletta. Il diagramma rettangolare ha il pregio di semplificare i calcoli e la sua eventuale minore precisione può essere accettata considerando le altre approssimazioni che necessariamente si introducono nei calcoli di resistenza. Il valore del coefficiente β dipende dal rapporto xp / h0 , β varia tra 0,5 e 0,7. 3) Il braccio delle forze interne si assume pari a: h − h0 / 2 Per una sezione data (sono note materiali, dimensioni e armatura) si possono ricavare, separatamente, il momento massimo Mcamm che può resistere il calcestruzzo compresso e il momento massimo Maamm che può resistere l’armatura tesa considerando in ciascun caso che la tensione massima raggiunga il valore ammissibile. 73 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Naturalmente, il Momento Ammissibile Mamm effettivo corrispondente alla sezione data, sarà il minore dei due valori calcolati. c a , M amm ) M amm = (min .M amm • c a Se M amm < M amm , risulta critica la zona compressa di calcestruzzo • a c Se M amm < M amm , risulta critica l’armatura tesa. (150) c a I momenti M amm e M amm si desumono dalla condizione di equilibrio a rotazione. • Per il calcestruzzo si considera il momento dello sforzo di compressione C rispetto al baricentro dell’armatura M = C (h − h0 / 2) (151) Essendo C amm = bs h0 β σ cs , risulta: c M amm = bs h0 ⋅ β ⋅ σ cs (h − h0 / 2) (152) (CALCESTRUZZO COMPRESSO) • Per l’armatura si considera il momento dello sforzo di Trazione T rispetto al punto di applicazione dello sforzo di Compressione (metà altezza della soletta) M = T (h − h0 / 2) (153) Essendo Tamm = Asσ s si ha: a M amm = Asσ s (h − h0 / 2) (154) ARMATURA TESA • Quando Mcamm < Maamm, la tensione σs nell’armatura tesa, quando il calcestruzzo compresso è sollecitato al suo valore ammissibile, risulta: σs = • c M amm <σs As (h − h0 / 2) (155) Se Maamm < Mcamm, la tensione del diagramma rettangolare del calcestruzzo sarà minore di β σ cs : 74 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato σ cm = a M amm < β σ cs bs h0 (h − h0 / 2) (156) La precedente impostazione consente la rapida verifica della sicurezza di una sezione data quando soggetta ad un momento esterno M. Determinati Mcamm e Maamm considerando il minor valore come Mamm, si possono presentare due casi: 1) M ≤ Mamm la sicurezza è soddisfatta Le tensioni risultano: σs = σ cm = M ≤σs As (h − h0 / 2) (157) M ≤ β σ cs bs h0 (h − h0 / 2) 2) M > Mamm, la condizione di sicurezza non è soddisfatta a c 2.1)se M amm < M amm σs = M >σs As (h − h0 / 2) σ cm = (158) M b0 h0 (h − h0 / 2) con β σ cs ≤ σ cm ≤ β σ cs (159) M As (h − h0 / 2) (160) c a < M amm 2.2)se M amm σs = con σs ≤σs ≤σs σ cm = M > β σ cs bs h0 (h − h0 / 2) 75 (161) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Se la verifica della sicurezza non risulta positiva, in particolare nel calcestruzzo compresso, si deve eseguire una verifica più precisa considerando il blocco completo di compressione della sezione a T . L’approccio semplificato esposto assume che l’asse neutro taglia la nervatura o risulta coincidente con il bordo inferiore della soletta. Se l’asse neutro taglia la soletta, si deve considerare una sezione rettangolare di larghezza bs . xp = nAs bs ⎛ 2b h ⎞ ⎜−1+ 1+ s ⎟ ⎜ nAs ⎟⎠ ⎝ sezione rettangolare bs 76 (162) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Applicazione Dato un solaio misto (soletta e nervature parallele in calcestruzzo e laterizi forati) con le dimensioni e i materiali indicati in figura e considerando diversi quantitativi di armatura tesa, mediante l’approccio semplificato di verifica determinare: 1) I momenti ammissibili della sezione per i diversi valori di As. 2) Le tensioni nei materiali per la sezione armata con 2φ12 quando soggetta ad un Momento Flettente M=11kNm 3) Le luci teoriche massime che può avere il solaio per condizioni di vincolo corrispondenti alla trave appoggiata, considerando carichi totali per m2 pari a: 5kN/m2, 6kN/m2, 7kN/m2. 77 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Soluzione a Innanzitutto si determina xp supponendo una sezione rettangolare di larghezza bs = 50cm . xp = nA s bs ⎛ 2b h ⎜−1+ 1+ s ⎜ nA s ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (163) 1) per As (8) = 1,00cm2, si ricava: xp = 15 × 1 ⎛ 2 × 50 × 22 ⎞ ⎜−1+ 1+ ⎟ ≅ 3,346cm 50 ⎜⎝ 15 × 1 ⎟⎠ (164) Risultando xp<h0 (3,346<4), l’asse neutro taglia la soletta e la sezione si considera come rettangolare di larghezza bs = 50cm. 2) per As (12) = 2,26cm2, si ricava: xp = 15 × 2,26 ⎛ 2 × 50 × 22 ⎞ ⎜−1+ 1+ ⎟ ≅ 4,826cm ⎜ 50 ⎝ 15 × 2,26 ⎟⎠ (165) Essendo xp>h0, l’asse neutro taglia la nervatura. xp h0 ≅ 1,206 • il coefficiente β = 0,61 xp h0 − 0,11 (166) vale: β = 0,61 × 1,206 − 0,11 ≅ 0,626 (167) La tensione β σ cs del blocco rettangolare di compressione risulta: 0,626 × 5,95 ≅ 3,72 N / mm 2 (168) I risultati corrispondenti alle diverse armature sono riportati nella seguente tabella: σ cs = 5,95 N mm 2 Armatura 2φ 8 2φ10 2φ12 2φ14 2φ16 As (cm 2 ) 1,00 1,57 2,26 3,05 4,00 x p (cm) x p ho 3,346 4,106 4,826 5,519 6,165 0,836 1,027 1,206 1,380 1,541 78 β β σ cs ( N mm 2 ) ____ 0,516 0,626 0,700 0,100 ____ 3,07 3,72 4,17 4,17 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Soluzione b Determinati i valori di xp e β σ cs , si possono calcolare i Momenti Ammissibili corrispondenti al calcestruzzo e all’acciaio. 1) per As (8)2φ 8 la sezione si considera di tipo rettangolare di larghezza bs = 50cm. In tal caso si ha: c M amm = bs c M amm = 50 × xp ⎛ xp ⎞ ⎜ h − ⎟σ cs 2 ⎝ 3 ⎠ 3,346 ⎛ 3,346 ⎞ ⎜ 22 − ⎟0,595 ≅ 1039kNcm ≅ 10,39kNm 2 ⎝ 3 ⎠ (169) (170) σ cs = 5,95 N / mm 2 = 0,595kN / cm 2 2 Il Momento Ammissibile dell’armatura vale per Fe B 38k (σ s 215 N / mm ) xp ⎞ ⎛ 3,346 ⎞ ⎛ a • M amm = Asσ s ⎜⎜ h − ⎟⎟ = 1,00 × 21,5⎜ 22 − ⎟ ≅ 449kNcm = 4,49kNm 3 ⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ (171) 2 2 Per Fe B 44k (σ s = 255 N / mm = 25,5kN / cm ) risulta: a M amm ≅ 5,33kNm (172) 2) per AS(12)2Φ12, i valori dei Momenti Ammissibili si determinano con l’approccio semplificato per le sezioni a T . c M amm = bs h0 (h − h0 / 2)βσ cs con 79 (173) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato βσ cs = 3,72 N / mm 2 = 0,372kN / cm 2 (174) 4⎞ ⎛ c • M amm = 50 × 4⎜ 22 − ⎟0,372 ≅ 1488kNcm ≅ 14,88kNm 2⎠ ⎝ Per Fe B 38k (σ s = 21,5kN / cm 2 ) si ha: h ⎞ ⎛ a M amm = Asσ s ⎜ h − 0 ⎟ = 2,26 × 21,5 × 20 = 972kNcm = 9,72kNm 2⎠ ⎝ (175) Per Fe B 44k (σ s = 25,5kN / cm 2 ) risulta a M amm ≅ 11,52kNm (176) 3) In modo simile si risolvono i casi As(10)=1,57cm2, As(14)=3,08cm2 e As(16)=4,00cm2. I risultati vengono riportati nella tabella seguente. Come già indicato il Momento Ammissibile della sezione è il valore minore tra Mcamm e Maamm. c a , M amm ) M amm = (min .M amm (177) Tabella Momenti Ammissibili, Solaio Misto, Approccio Semplificato Rck = 25 N / mm 2 • σ cs = 5,95 N / mm 2 bs = 50cm • b0 = 10cm • h = 22cm • h0 = 4cm Armatura As (cm2 ) Mc amm (kNm) 2 F8 (1.00 cm2) 2 F 10 (1.57cm2) 2 F 12 (2.26 cm2) 2 F 14 (3.08 cm2) 2 F 16 (4.00 cm2) 10.4 Fe B38k M amm Mc amm (kNm) Sezione (kNm) 4.5 4.5 c FeB44k M amm Mc amm Sezione (kNm) 5.3 5.3 c 12.3 6.8 6.8 8.0 8.0 14.9 9.7 9.7 11.5 11.5 16.7 13.2 13.2 15.5 15.5 16.7 14.7 16.7 20.4 16.7 80 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Soluzione c Si considerano carichi totali per m2 di solaio (permanenti + accidentali): q1 = 5kN / m 2 q 2 = 6kN / m 2 q3 = 7kN / m 2 I carichi per metro di nervatura, essendo l’interasse i = 0,50, risultano: p1 = q1 × 0,50 = 5 × 0,50 = 2,5kN / m (178) p 2 = q 2 × 0,50 = 6 × 0,50 = 3,0kN / m p3 = q3 × 0,50 = 7 × 0,50 = 3,5kN / m Considerando la nervatura come trave appoggiata, il Momento Flettente massimo vale: 81 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato pl 2 8 (179) 8M mass p (180) M mass = da cui si ha : l= Ammettendo M mass = M amm si ricava la luce teorica massima che può avere il solaio. lmass = 8M amm p (181) Ad esempio per Fe B 38k e As(12)=2,26cm2, il Mamm vale 9,7kN/m, per cui la luce massima risulta: per p1 = 2,5kN / m l mass = 8 × 9,7 ≅ 5,57m 2,5 (182) per p 2 = 3,0kN / m l mass ≅ 5,09m (183) l mass ≅ 4,71m (184) per p3 = 3,5kN / m I risultati corrispondenti ad altre armature sono riportati nella tabella seguente. 82 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Tabella luci massime e ammissibili, Solaio Misto, Approccio Semplificato Rck = 25 N / mm 2 • Fe B 38k e Fe B 44k bs = 50cm • b0 = 10cm • h = 22cm • h0 = 4cm Nervature considerate come travi appoggiate. q1, q2, q3, carico totale per m2di solaio. Armatura 2Ø8 2 Ø 10 2 Ø 12 2 Ø 14 2 Ø 16 Fe B 38k q1 = 5 q2 = 6 q3 = 7 kN/m2 kN/m2 kN/m2 3,80 m 3,46 m 3,21 m 4,66 m 4,26 m 3,94 m 5,57 m 5,09 m 4,71 m 6,50 m 5,93 m 5,49 m 7,31 m 6,67 m 6,18 m 83 Fe B 44k q1 = 5 q2 = 6 q3 = 7 kN/m2 kN/m2 kN/m2 4,12 m 3,76 m 3,48 m 5,06 m 4,62 m 4,28 m 6,07 m 5,54 m 5,13 m 7,04 m 6,43 m 5,95 m 7,31 m 6,67 m 6,18 m Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Applicazione Verifica delle Tensioni Sezione a T con semplice armatura Data la sezione a T avente le dimensioni:bs = 75cm, b0 = 25cm, h = 60cm, h0 = 12cm, 2 armata con 6φ 20(18,84cm ) 1) Calcolare le tensioni provocate da M=200kNm 2) Determinare il Momento Ammissibile per Rck = 15 N / mm 2 , Rck = 20 N / mm 2 , Rck = 30 N / mm 2 , Rck = 35 N / mm 2 ,considera ndo acciaio Fe B 44k. 84 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Soluzione a Preliminarmente si determina xp supponendo una sezione rettangolare di larghezza bs = 75cm xp = nAs bs ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎜ − 1 + 1 + 2bs h ⎟ = 15 × 18,84 ⎜ − 1 + 1 + 2 × 75 × 60 ⎟ ≅ 17,83cm ⎜ ⎜ nAs ⎟⎠ 75 15 ×18,84 ⎟⎠ ⎝ ⎝ (185) essendo xp>h0(17,83>12), l’asse neutro taglia la nervatura e risulta necessario calcolare il valore di x corrispondente alla sezione a T. L’equazione che fornisce la posizione dell’asse neutro si ottiene annullando il momento statico della sezione reagente. b0 x 2 + 2[h0 (bs − b0 ) + nAs ]x − h02 (bs − b0 ) − 2nAs h = 0 (186) 25 x 2 + 2[12(75 − 25) + 15(18,84)]x − 12 2 (75 − 25) − 30 × 18,84 × 60 = 0 da cui si ha: x 2 + 70,608 x − 1644,48 = 0 (187) La radice positiva dell’equazione di 2° grado risulta x=18,46cm Il momento d’inerzia I i della sezione reagente rispetto all’asse neutro vale: Ii = Ii = [ ] 1 bs x 3 − (bs − b0 )( x − h0 ) 3 + nAs (h − x) 2 3 [ (188) ] 1 75 ×18,463 − 50(18,46 − 12) 3 + 15 × 18,84(60 − 18,46) 2 3 I i ≅ 640419,5cm 4 Le tensioni risultano: σ c max = σ c1 = σs = M M M x= × 18,46 ≅ Ii 640419,5 34692cm 3 M M M ( x − h0 ) = × 6,46 ≅ 640419,5 Ii 99136cm 3 nM 15M M (h − x) = × 41,54 ≅ Ii 640419,5 1027,8cm 3 85 (189) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Per M=200kNm=20000kNcm, risulta: • σ c max ≅ 0,58kN / cm 2 (5,8 N / mm 2 ) → valore più preciso più preciso • σ c max = 0,577kN / cm 2 • σ c1 ≅ 0,20kN / cm 2 (2,0 N / mm 2 ) → valore più preciso • σ c1 = 0,201kN / cm 2 • σ s ≅ 19,46kN / cm 2 (194,6 N / mm 2 ) → valore • σ s = 19,459kN / cm 2 controllo equilibrio a traslazione: Cn + Cs − Ta = 0 σ + σ c1 b0 x σ c max + (bs − b0 )h0 c max − Asσ s = 0 2 2 25 × 18,46 0,577 + 0,201 − 18,84 × 19,46 ≅ 0 × 0,577 + /(75 − 25)12 2 2 86 (190) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Procedura semplificata: Trascurando per semplicità la zona di calcestruzzo compresa fra il bordo inferiore della soletta e l’asse neutro, si ha: bs h02 + As hn 2 x= bs h0 + nAs x= (191) 1 / 2 × 75 ×12 2 + 18,84 × 60 × 15 ≅ 18,90cm 75 ×12 + 15 × 18,84 La distanza t del punto di applicazione del risultante di compressione dall’asse neutro vale: t = x− 12 3 ×18,90 − 2 × 12 h0 3x − 2h0 = 18,90 − = 13,83cm 3 2 x − h0 3 2 ×18,90 − 12 (192) Per l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione di c risulta: σs = M 20000 = As (h − x + t ) 18,84(60 − 18,90 + 13,83) σ s ≅ 19,33kN / cm 2 (193,26 N / mm 2 ) (193) Dal diagramma lineare delle tensioni si deduce: σ c max = σsx n( h − x ) σ c1 = σ c max = 19,33 18,9 ≅ 0,59kN / cm 2 (5,92 N / mm 2 ) 15 60 − 18,9 x − h0 18,9 − 12 = 0,592 ≅ 0,216kN / cm 2 (2,16 N / mm 2 ) x 18,9 87 (194) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Per verifiche di minore approssimazione si può supporre che la risultante di compressione c, anziché nel baricentro del trapezio delle tensioni cada nella metà dell’altezza della soletta. Perciò: t = x− h0 2 (195) Con tale criterio le tensioni risultano un poco aumentate rispetto al caso precedente: Confronto tra i risultati dei differenti tipi di Verifica: Tipo di verifica Considerando blocco completo di tensioni di compressione Trascurando zona compresa fra il bordo inferiore della soletta e l’asse neutro. Centro di pressione nel baricentro del trapezio Trascurando zona compresa fra il bordo inferiore della soletta e l’asse neutro. Centro di pressione nella metà altezza della soletta x (cm) σ c max ( N mm 2 ) σ c1 ( N mm 2 ) σ s ( N mm 2 ) 18,46 5,80 2,01 194,6 18,90 5,92 2,16 193,3 18,90 6,03 2,20 196,6 Dai valori riportati emerge che, nel caso esaminato, i criteri semplificati conducono a risultati poco differenti di quelli corrispondenti alla considerazione del blocco completo di tensioni di compressione. 88 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato B - soluzione b) Si richiede il calcolo del Momento Ammissibile della sezione data per il calcestruzzo con Rck variabile tra 15 e 35 N/mm2 considerando acciaio Fe B 44k. 1) Tensioni ammissibili nel calcestruzzo Nelle travi a T con soletta collaborante la tensione ammissibile è ridotta rispetto al caso di sezioni rettangolari. La riduzione è funzione dello spessore della soletta e vale: -30% per soletta di spessore < 5cm → σ cs = 0,7σ c -10% per soletta di spessore ≥ 5cm → σ cs = 0,9σ c nel caso esaminato (h0 = 12cm) la riduzione sarà del 10% : ⎡ ⎣ σ cs = 0,9⎢6 + Rck − 15 ⎤ 2 ⎥⎦ ( N / mm ) 4 σ cs = 0,9σ (196) 2) Tensione ammissibile nell’acciaio Per Fe B 44k si ha σ s = 255 N / mm 2 B.1 • Determinazione di Mamm considerando blocco completo di compressione. Dalle espressioni ricavate in precedenza per la sezione data si ha: c M amm ≅ 34692(cm 3 )σ cs Momento Ammissibile del cls. a M amm ≅ 1028(cm 3 )σ cs Momento Ammissibile dell’acciaio σ c1 = M amm 99136(cm 3 ) Tensione compressione del calcestruzzo nel bordo inferiore della soletta Ovviamente, il Momento Ammissibile della sezione corrisponde al minore dei due valoc a e M amm . ri M amm Nella tabella seguente si riportano i risultati ottenuti. 89 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Calcolo del Momento Ammissibile bs = 75cm • b0 = 25cm • h0 = 12cm • h = 60cm • As = 18,84cm 2 Rck (N/mm2) 15 20 25 30 35 σ cs 2 (N/mm ) 5,40 6,50 7,65 8,80 9,90 Mcamm (kNm) 187,3 225,3 265,4 305,3 343,5 σc1 (N/mm2) 1,9 2,3 2,7 3,1 3,5 σs ** (N/mm2) 182,2 219,3 258,2* 297,0* 334,0* Maamm (kNm) 262,1 262,1 262,1 262,1 262,1 Mamm (kNm) 187,3 225,5 262,1 262,1 262,1 *valori superiori a σ s = 255 N / mm 2 (Fe B 44k) 1) Per Rck = 15N/mm2e Rck = 20N/mm2risulta determinante Mcamm ( calcestruzzo) 2) Per Rck = 25N/mm2, Rck = 30N/mm2 e Rck = 35N/mm2, risulta determinante a M amm (acciaio) **: valori della tensione nell’acciaio corrispondenti a Mcamm σs = c M amm 1028(cm 3 ) 90 (197) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Confronto Risultati delle verifiche bs = 52cm • b0 = 12cm • h0 = 4cm • h = 27cm • As = 3,08cm 2 (2φ14) Blocco completo compressioni x = 6,407 cm Semplificata x = 6,54 cm Rck = 15 Rck = 20 Rck = 25 Rck = 30 1 σ cs (N/mm2) 2 0,7 σ cs (N/mm2) 1 2 1 2 1 2 1 2 4,20 2,94 5,08 3,55 5,95 4,17 6,83 4,78 Mcamm (kNm) σc1 (N/mm2) σs * (N/mm2) Maamm (kNm) Mamm (kNm) Mcamm (kNm) _____ σs * (N/mm2) Maamm (kNm) Mamm (kNm) 15,7 15,3 19,0 18,5 22,3 21,7 25,5 24,8 1,6 _____ 1,9 _____ 2,2 _____ 2,6 _____ 202,5 198,5 244,7 239,9 286,9** 281,3** 329,1** 322,6** * valori tensioni nell’acciaio corrispondenti a Mcamm 2 ** valori superiori a σ s = 255 N / mm (Fe B 44k) 91 19,8 19,6 19,8 19,6 19,8 19,6 19,8 19,6 15,7 15,3 19,0 18,5 19,8 19,6 19,8 19,6 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Verifica Semplificata: h ⎞ ⎛ c = bs h0 ⎜ h − 0 ⎟0,7σ cs M amm 2⎠ ⎝ h ⎞ ⎛ a = Asσ s ⎜ h − 0 ⎟ M amm 2⎠ ⎝ *σ s = c M amm h ⎞ ⎛ As ⎜ h − 0 ⎟ 2⎠ ⎝ 92 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato PRESSOFLESSIONE: Grande Eccentricità SEZIONE PARZIALMENTE REAGENTE Lo Sforzo Normale N è applicato fuori del nocciolo della sezione omogenea totale. La presenza della componente N fa sì che l’asse neutro non è più baricentrico come nel caso della flessione semplice. La profondità x risulta aumentata, perché lo sforzo di compressione interno deve essere maggiore di quello trazione e perciò deve crescere la zona compressa. C c + C s − Ts = N (198) L’asse neutro è l’antipolare del centro di pressione P rispetto all’ellisse d’inerzia della sezione reagente equivalente (trasformata in calcestruzzo). Le tensioni non si ricavano sommando quelle dovute separatamente a N e a M. Infatti alle due sollecitazioni corrispondono sezioni reagenti differenti, a N centrato reagisce l’intera sezione, mentre a M non reagisce il conglomerato teso. La sovrapposizione non è più lecita. O : traccia dell’asse geometrico del pilastro o trave ( baricentro della sezione di calcestruzzo ) b•d P : centro di pressione esterno o interno alla sezione, ma esterno al nocciolo e= M : eccentricità dello sforzo esterno N rispetto al centro O N h ' : distanza del baricentro dell’armatura tesa As dal lembo teso oppure distanza dell’armatura compressa As' dal lembo compresso d : altezza totale della sezione h = d − h ' : altezza utile alla sezione. b : larghezza della sezione. c : distanza tra il baricentro di As e quello di As' 93 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ea = e + c : eccentricità di N rispetto al baricentro dell’armatura tesa As .(distanza del 2 centro di pressione P dal baricentro dell’armatura tesa As ) a' = e − c : distanza del centro di pressione P dal baricentro dell’armatura compressa As' 2 x : distanza dell’asse neutro dal lembo compresso della sezione. r : distanza tra il centro di pressione e il lembo compresso della sezione r = e − d / 2 94 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato C. 1. – CALCOLO DI VERIFICA DELLE TENSIONI Pressoflessione-Grande Eccentricità Si determina anzitutto la posizione dell’asse neutro, che in questo caso taglia la sezione. L’equilibrio di momenti rispetto a una retta parallela all’asse neutro e passante per il centro di pressione P fornisce la seguente espressione: x⎞ ⎛ C c ⎜ r + ⎟ + c a a ' = Ts ea (199) 3⎠ ⎝ σ c max bx ⎛ d x⎞ ' ' ' ⎜ e − + ⎟ + σ s As a − Asσ s ea = 0 2⎝ 2 3⎠ essendo: σ s' = nσ c max x − h' x σ s = nσ c max h−x x (200) Dall’equazione di equilibrio, sostituendo σ s' e σ s , si ottiene: [ ] [ ] bx 3 b ⎛ d⎞ + ⎜ e − ⎟ x 2 + n As ea + As' a ' x − n As he a + As' h ' a ' = 0 6 2⎝ 2⎠ (201) Equazione di terzo grado in x che risolve il problema. * Se P è interno alla sezione ( e-d/2 ) e a ' risultano negativi. Con l’equazione di equilibrio dei momenti rispetto al baricentro dell’armatura tesa As, si ricava il valore di σc max. x⎞ ⎛ C c ⎜ h − ⎟ + C a ⋅ c − Nea = 0 3⎠ ⎝ σ c max (202) ' bx (h − x / 3) + σ c max nAs' x − h ⋅ c − Nea = 0 2 x di cui : σ c max = Nea ' bx ⎛ x⎞ ' x−h − h nA + c ⎜ ⎟ s x 2⎝ 3⎠ (203) σ s' e σ s si determinano con le note formule: σ s' = nσ c max 95 x − h' x (204) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato σ s = nσ c max h−x x Applicazioni Verifica delle tensioni: Presso flessione_ Grande Eccentricità Data la seguente sezione: As' = 9,42cm 2 (3φ 20) As = 9,42cm 2 (3φ 20) d = 45cm h ' = 4cm h = 41cm b=30cm c = d − 2h ' = 37cm 1) Determinare le tensioni σc max, σ’s, σs, quando la sezione sia sollecitata da M = 48,75 kNm e N=150 kN. M 48,75 e= = = 0,325m = 32,5cm (205) N 150 • ea = e + c / 2 = 32,5 + • a' = e − •e− 37 = 51cm 2 37 c = 32,5 − = 14cm 2 2 d = 32,5 − 22,5 = 10cm 2 il centro di pressione risulta esterno alla sezione 96 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1.1) Sostituendo nella equazione di terzo grado in x si ottiene: 5 x 3 + 150 x 2 + 9184,50 x − 303371 = 0 (206) la cui risoluzione fornisce : x ≅ 20,91cm 2) Mantenendo costante l’eccentricità e = 32,5 cm (ea = 51cm) determinare il valore di N e delle tensioni σ e σ’ , ammettendo σ c max = σ c per diversi tipi di calamm s s cestruzzo. Controllare sicurezza nelle armature. N ⋅ ea σ c max = 14902cm 3 (207) (ottenuta nel precedente caso), da cui si ottiene: N amm = • N amm = σ c σ c 14902cm 3 (208) ea 14902cm 3 ≅ σ c × 292,2cm 2 51cm • σ s = nσ c h−x = 15σ c x 41 − 20,91 ≅ 14,41σ c 20,91 • σ s' = nσ c x − h' = 15σ c x 20,91 − 4 ≅ 12,13σ c 20,91 ( trazione ) (209) ( compressione ) e / d ≅ 0,72 e d ≅ 0,72 Rck ( N mm 2 ) 15 20 25 * 30 35 (210) Trazione σ c ( N mm 2 ) 6,00 7,25 8,50 9,75 11,00 N amm (kN ) 175 212 248 285 321 97 σ s ( N mm 2 ) 86,5 104,5 122,5 140,5 158,5 Compressione σ s1 ( N mm 2 ) 72,8 88,0 103,0 118,3 133,4 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato ( 1) Non verifica sicurezza per Fe B 22k σ s = σ s' = 115 N / mm 2 ) 2) Non verifica sicurezza per Fe B 22k né per Fe B 32k (σ s = 155 N / mm 2 ) * vedi più avanti applicazione b) nel caso d progetto della sezione. 3) Per la sezione data, considerando una eccentricità della forza N pari a e = 16,5 cm (ea = e+c/2 = 35cm) determinare il valore di Namm e delle tensioni σs e σ’s ammettendo σ c max = σ c per diversi tipi di calcestruzzo. Controllare la sicurezza nelle armature. Soluzione: 3.1) Rispetto ai casi precedenti cambia la posizione dell’asse neutro x poiché varia e. L’equazione di terzo grado che fornisce x è: A): [ ] [ ] bx 3 b + (e − d / 2) x 3 + n As ea + As' a ' x − n As hea + As' h ' a ' = 0 6 2 (211) 2 • As' = 9,42cm 2 • h ' = 4cm b = 30 cm • e = 16,5cm • As = 9,42cm h = d − h ' = 45 − 4 = 41cm • d = 45cm • c = d − 2h ' = 45 − 2 × 4 = 37cm ea = e + c / 2 = 16,5 + 37 = 35cm 2 a ' = e − c / 2 = 16,5 − 37 = −2cm 2 e − d / 2 = 16,5 − (212) 45 = −6cm 2 sostituendo nell’equazione A) e, operando si ottiene: x 3 − 18 x 2 + 932,6 x − 40327 = 0 (213) la cui risoluzione fornisce x ≅ 30,60cm 3.2) La tensione massima nel calcestruzzo compresso si ricava dall’espressione seguen- te: σ c max = N ⋅ ea bx x − h' (h − x / 3) + nAs' ⋅c 2 x 3.3) La tensione massima nel calcestruzzo compresso σ c max è fornita da: 98 (214) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato σ c max = σ c max = • σ c max ≅ N ⋅ ea bx x − h' (h − x / 3) + nAs' ⋅c 2 x (215) N ⋅ ea 30 × 20,91 ⎛ 20,91 ⎞ 20,91 − 4 × 37 ⎜ 41 − ⎟ + 15 × 9,42 2 3 ⎠ 20,91 ⎝ N ⋅ ea 150 × 51 = ≅ 0,51KN / cm 2 ≅ 5,1N / mm 2 3 14902 14902cm 3.4)Tensioni nelle armature 20,91 − 4 x − h' = 15 × 5,1 ≅ 61,9 N / mm 2 20,91 x (216) h−x 41 − 20,91 = 15 × 5,1 ≅ 73,5 N / mm 2 x 20,91 (217) • σ s' = nσ c max (compressione) σ s = nσ c max (trazione) - La sezione è verificata poiché σ c max < 6 N / mm 2 = σ c ( Rck = 15 N / mm 2 ) ed i- - noltre σ s' e σ s < 115 N / mm 2 (Fe B 22k) La resistenza caratteristica minima richiesta risulta: Rck = 4σ c max − 9 = 4 × 5,1 N mm 2 − 9 = 11,4 N mm 2 (218) Si ricorda σc =6+ Rck − 15 ( N mm 2 ) ⇒ 4σ c − 9 = Rck ( N mm 2 ) 4 Sostituendo si ha: 99 (219) Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato σ c max = N ⋅ ea 30,6 ⎛ 30,6 ⎞ 30,6 − 4 30 × × 37 ⎜ 41 − ⎟ + 15 × 9,42 × 2 ⎝ 3 ⎠ 30,6 (220) Ammettendo σ c max = σ c σc = N amm ⋅ ea 18682cm 3 (221) con e=16,5cm ea = 35cm risulta: c .3) N amm = 18682cm 3 σ c = 533,8(cm 2 )σ c 35cm Le tensioni σ s e σ s' risultano: σ s = 15σ c 41 − 30,6 h−x = 15σ c ≅ 5,10σ c 30,6 x σ s = 15σ c 30.6 − 4 h−x ≅ 13.04σ c = 15σ c 30,6 x (trazione ) (compressione ) e d ≅ 0,37 Trazione Rck ( N mm 2 ) σ c ( N mm 2 ) * N amm (kN ) M (kNm) σ s ( N mm 2 ) Compressione σ s1 ( N mm 2 ) 15 6,00 320 52,8 30,6 78,2 20 7,25 387 63,9 37,0 94,5 25 8,50 454 74,9 43,4 110,8 30 9,75 520 85,9 49,7 127,1 1 35 11,00 587 96,9 56,1 143,4 2 ' 2 1) Non verifica sicurezza per Fe B 22k (σ s = σ s = 115 N / mm ) Situazione tensionale per Rck = 25 N / mm 2 (8,5 N / m 2 ) . x = 30,6cm 100 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Anche in questo caso, lo sforzo Normale N è applicato fuori del nocciolo della sezione omogenea totale, infatti: e > Ki 16,5 > 8,835 Ki = distanza dell’estremo del nocciolo d’inerzia dal baricentro O della sezione omogenea totale. Ki = 2I i 2 × 324532 = ≅ 8,835cm Ai × d 1632,6 × 45 Ai = 30 × 45 + 15(2 × 9,42) ≅ 1632,6cm 2 Ii = bd 3 c 2 30 × 45 3 37 2 + 15( As' + As ) = + 15(2 × 9,42) ≅ 324532cm 4 12 4 12 4 101 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato C. 2_ CALCOLO DI PROGETTO- Doppia Armatura Pressoflessione-Grande Eccentricità Nella pressoflessione-Grande Eccentricità, i calcoli risultano semplici se si trasporta lo Sforzo Normale N al baricentro dell’armatura As. Tale operazione implica considerare un momento flettente Me = M+Nc/2. La forza N applicata nel baricentro della armatura significa una diminuzione di armatura pari a N σ s nella espressione di calcolo. Con questo artificio è possibile utilizzare i coefficienti ε, γ, ρ stabiliti nel caso della flessione semplice e procedere in modo analogo. Si sostituisce l’azione del Momento Flettente M e lo sforzo normale N centrico, per c l’azione equivalente di un Momento Flettente M e = M × N e lo sforzo Normale N ap2 plicato nel baricentro dell’armatura tesa. In generale, dati N e M si possono assumere come incognite soltanto due tra le quantità: ' h; b; As ; As ; σ s ; σ c , poiché si hanno due sole equazioni indipendenti di equilibrio. Un caso molto frequente è quello con A’s e As come incognite, assumendo come dati b, h, σ s eσ c . - Nella pressoflessione, come si illustrerà più avanti, non sempre è conveniente assumere che l’armatura tesa As lavori alla tensione ammissibile σ s massima del tipo di acciaio utilizzato. 102 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 1) L’equazione di equilibrio a rotazione rispetto al baricentro dell’armatura tesa As risulta: Me = cc γ + c a ⋅ c Me = bx (h − x / 3)σ c + As' σ s' c 2 con Me = M + N Me = bh 2 ε 2 c 2 (1 − ε / 3)σ c + As' σ s' c essendo x = ε h Me = γ c bh 2σ c + As' σ s' c essendo γc = ε 2 (1 − ε / 3) c + As' σ s' c Me = M amm c M amm è il momento ammissibile del calcestruzzo calcolato come nel caso della flessione semplice. Dalla precedente espressione si ricava: As' = ∆Me σ s' c con c ∆Me = Me − M amm x − h' (ε − h ' / h) = nσ c σ = nσ c x ε ' s 2) L’equazione di equilibrio a traslazione è : cc + c a − Ta = N 103 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato bx σ c + As' σ s' − Asσ s = N 2 da cui: As = σ' N bx σ c + As' s − 2 σs σs σs Essendo c bx σ c M amm = 2 σ s ρhσ s poiché c cc ρh = M amm As' = ∆Me σ s' c secondo 1) sostituendo nell’equazione di As , si ricava: c M amm ∆Me N + − As = ρhσ s cσ s σ s Se As risulta negativa vuol dire che il valore di x assunto ( funzione di σ c e σ s ) non è adeguato per i valori di N e di M operanti. Nella pressoflessione facendo lavorare l’armatura tesa As alla massima tensione ammis2 sibile σ s dell’acciaio utilizzato ( ad esempio σ s = 215 N / mm per Fe B 38k ), in gene' rale, risultano elevati quantitativi di armatura compressa As e relativamente bassi quantitativi di armatura tesa As. Questo comporta forti disimmetrie delle armature. In tale situazione la profondità x dell’asse neutro risulta relativamente bassa e gli elevati sforzi interni di compressione devono essere supportati ( in buona parte ) dall’armatura compressa. Perciò, nella pressoflessione è logico scegliere valori σ*s minori di σ s max . In tal modo aumenta la profondità della zona compressa e si riduce l’armatura A’s necessaria. 104 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Le precedenti considerazioni vengono illustrate mediante le seguenti applicazioni. 105 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato APPLICAZIONI Calcolo di progetto. Presso flessione-Grande Eccentricità Un pilastro con sezione b = 30 cm , d = 45 cm è soggetto a uno Sforzo Normale N = 285 kN e a un Momento Flettente M = 92,6 kNm, agenti secondo un asse di sollecitazione parallelo al lato maggiore. I materiali da considerare sono: • Calcestruzzo • Rck = 30 N / mm 2 • σ c = 9,75 N / mm 2 • AcciaioFeB38 K • σ s = 215 N / mm 2 2 2 1) Determinare A’s e As assumendo σ s = 215 N / mm • σ c = 9,75 N / mm ∗ 2 2) Determinare A’ e A assumendo σ s < σ s e σ c = 9,75 N / mm s s e= M 92,6 = = 0,325m = 32,5cm 285 N Me = M + N c 0,37 = 92,6 + 285 × 2 2 Me ≅ 145,33 kNm = 14533 kNcm e/d = 32,5 ≅ 0,722 45 1) Soluzione σ s = 21,5KN / cm 2 = 215 N / mm 2 • σ c = 0,975KN / cm 2 = 9,75 N / mm 2 . Per m = σ s 215 = ≅ 22,05 risulta ε = 0,405 • γ c = 0,175 • ρ = 0,865 σ c 9,75 106 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato c M amm = γ c bh 2σ c = 0,175 × 30 × 412 × 0,975 ≅ 8605kNcm c ∆Me = Me − M amm ≅ 14533 − 8605 = 5928kNcm σ s' = nσ c 16,60 − 4 x − h' = 15 × 0,975 × = 11,10kN / cm 2 16,60 x x = εh = 0,405 × 41 ≅ 16,60cm ∆Me 5928 = ≅ 14,43cm 2 ' 37 × 11,10 cσ s As' = c M amm ∆Me N + − As = ρhσ s cσ s σ s As = 8605 5928 285 + − = 5,48cm 2 0,865 × 41 × 21,5 37 × 21,5 21,5 Controllo equilibrio traslazione: bx σ c + As' σ s' − Asσ s = N 2 30 × 16,60 × 0,975 + 14,43 × 11,10 − 5,48 × 21,5 ≅ 285kN 2 107 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 2) Soluzione ∗ 2 2 2 Assumendo σ s = 140,5 N / mm = 14,05KN / mm • σ c = 9,75 N / mm , per: m∗ = σ s∗ 140,5 = = 14,41 9,75 σc si ha: 15 n = ≅ 0,510 m + n 14,41 + 15 ε∗ = ∗ ρ ∗ = 1 − ε ∗ / 3 = 0,830 γ = ∗ c ε∗ (1 − ε 2 ∗ / 3) ≅ 0,212 c∗ M amm = γ c∗ bh 2σ c = 0,212 × 30 × 412 × 0,975 ≅ 10420kNcm c∗ ∆Me = Me − M amm = 14533 − 10420 = 4113kNcm * As' = 4113 ∆Me = ≅ 9,40cm 2 ' cσ s 37 × 11,83 x = ε ∗h = 0,510 × 41 = 20,91cm σ s' = 15 × 0,975 20,91 − 4 ≅ 11,83kN / cm 2 20,91 c∗ M amm ∆Me N As = ∗ ∗ + − ρ hσ s cσ s∗ σ s∗ con σ s∗ = 140,5 N / mm 2 ≅ 14,05kN / cm 2 As = 10420 4113 285 + − ≅ 9,42cm 2 0,830 × 41× 14,05 37 ×14,05 14,05 Controllo equilibrio traslazione: 108 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato bx σ c + As' σ s' − Asσ s∗ = N 2 30 × 20,91 × 0,975 + 9,40 × 11,83 − 9,42 × 14,05 ≅ 285kN 2 Si osservi che questo risultato è coincidente con quello ottenuto nell’applicazione b) nel caso di verifica delle tensioni. * Con gli stessi dati sono state determinate le armature A’s eAs assumendo σ s∗ = σs = 107,5 N / mm 2 2 e σ*s = 160N/mm2. I risultati vengono riportati nella tabella seguente che riassume tutti i casi esaminati per N = 285kN • M = 92,6kNm • b = 30cm • d = 45cm • Rc k = 30 N / mm 2 (σ c = 9,75 N / mm 2 ) : σ c = 9,75 N / mm 2 • e / d = 0,722 σ s ∗ ( N mm 2 ) σs: 215 160 140,5 107,5 ε x (cm) χc As' (cm 2 ) As (cm 2 ) As' + As (cm 2 ) 0,405 16,60 0,175 14,43 5,48 19,91 0,478 0,510 0,576 19,58 20,91 23,63 0,201 0,212 0,233 10,80 9,40 6,86 7,96 9,42 13,34 18,76 18,82 20,25 1) Adottando σ*s minore di σ s aumenta la zona compressa (aumenta x) e perciò diminuisce l’armatura compressa A’s. 2) Esiste un valore di σ*s per cui risulta A’s = As (armatura simmetrica) disposizione conveniente nel caso di pilastri di edifici. 3) Le situazioni corrispondenti a (A’s+As) min. si può ricavare mediante tentativi variando σ*s. 109 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato 4) Le situazioni corrispondenti a A’s = As armatura simmetrica, si può ricavare mediante tentativi variando σ*s. (2) Lo stesso pilastro dell’applicazione (1) è compresso con uno sforzo Normale N=520kN avente l’eccentricità di 0,165m rispetto al punto di mezzo della sezione considerando un’asse di sollecitazione parallelo al lato maggiore. M = N ⋅ e = 520 × 0,165 = 85,8kNm N = 520kN M = 85,8kNm riferito al punto mezzo della sezione Me = M + N 0,37 c = 85,8 + 520 × = 182kNm 2 2 Me = 182kNm riferito al baricentro dell’armatura As 2 2 2.a) Determinare A’se As assumendo σ s = 215 N / mm • σ c = 9,75 N / mm ∗ 2 2.b) Determinare A’ e A assumendo σ s < σ s e σ c = 9,75 N / mm s s 110 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Soluzione a) m= σ s 215 = ≅ 22,5 σ c 9,75 ; i coefficienti risultano Per • ε = 0,405 • γ c = 0,175 • ρ = 0,865 c M amm = γ c bh 2σ c = 0,175 × 30 × 412 × 0,975 ≅ 8605kNcm ∆Me = 18200 − 8605 = 9595kNcm c ∆Me = MeM amm x = εh = 0,405 × 41 ≅ 16,60cm x − h' 16,60 − 4 σ = nσ c = 15 × 0,975 × = 11,10kN / cm 2 16,60 x ' s As' = 9595 ∆Me = = 23,36cm 2 ' 37 × 11,10 cσ s As = c M amm ∆Me N + − ρhσ s cσ s σ s con σ s = 215 N / mm 2 ≅ 21,5kN / cm 2 As = 8605 9595 520 + − = −0,84cm 2 0,865 × 41× 21,5 37 × 21,5 21,5 Risultando As negativa, il valore di x adottato funzione di σ c e σ s non è adeguato per i ∗ valori di N ed M, agenti sulla sezione. Adottando σ s < σ s aumenta x, diminuendo A’ e s aumentando As. Perciò non sempre è conveniente adottare per la As massima tensione ammissibile σ s dell’acciaio. 111 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato Soluzione b) Assumendo σ*s = 49,7N/mm2 (4,97kN/cm2) e σ c = 9,75 N / mm 2 (0,975kN / cm 2 ) Si ha: m∗ = σ s∗ 49,7 = ≅ 5,10 σ c 9,75 a cui corrispondono i coefficienti : • ε ≅ 0,746 • γ c = 0,280 • ρ ≅ 0,751 c M amm = 0,280 × 30 × 412 × 0,975 ≅ 13767kNcm c ∆Me = Me − M amm = 18200 − 13767 = 4433kN / cm x ≅ 30,6cm σ s' = 15σ c x − h' 30,6 − 4 = 15 × 0,975 × ≅ 12,7 kN / cm 2 30,6 x As' = 4433 ∆Me = ≅ 9,43cm 2 ' 37 × 12 , 7 cσ s c M amm ∆Me N As = + − ∗ ρhσ s cσ s∗ σ s∗ As = 13767 4433 520 + − ≅ 10,04cm 2 0,746 × 41 × 4,97 37 × 4,97 4,97 Rispetto alla soluzione a) si può notare un forte aumento della profondità x, una diminuzione dell’armatura compressa A’s e un aumento dell’armatura tesa As.Tutto ciò come conseguenza della diminuzione della tensione nell’armatura tesa. Si veda l’applicazione b) nel caso di verifica delle tensioni per Rck=30N/mm2. Con gli stessi dati N=520kN e M=85,8kN/m e dimensioni geometriche della sezione uguali ai precedenti casi sono state determinate le armature A’s e As assumendo σ c = 9,75 N / mm 2 ( Rck = 30 N / mm 2 ) e valori della tensione nell’armatura tesa pari a 140,5N/mm2, 107,5N/mm2 e 35N/mm2. I risultati vengono riportati nella tabella seguente: σ c = 9,75 N mm 2 e a = 0,367 112 Luis Decanini. Il predimensionamento delle strutture in cemento armato σ s ∗ ( N mm 2 ) σs: * 215 140,5 107,5 49,7 35,0 ε x (cm) χc As' (cm 2 ) As (cm 2 ) As' + As (cm 2 ) 0,405 16,60 0,175 23,36 -0,84 NO 0,510 0,576 0,746 0,807 20,91 23,63 30,60 33,08 0,212 0,233 0,280 0,295 17,77 15,00 9,43 7,77 -0,25 0,75 10,04 18,24 NO 15,75 19,47 26,01 Adottando σ s minore di σ s aumenta la profondità x dell’asse neutro e quindi diminuisce l’armatura compressa As. ' Esiste un valore di σ* per il quale risulta As ≅ As (armatura simmetrica) disposizione ∗ s conveniente per i pilastri di edifici. Tale situazione di armatura simmetrica si può ricavare mediante tentativi variando σ*s. 113