Ammortamento di un debito

Ammortamento di un debito
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Ammortamento di un debito
Che cosa si intende per “ammortamento”?
Ammortamento
contabile
Ammortamento
finanziario
La quota di ammortamento costituisce la parte del costo
di un bene materiale o immateriale di investimento da
attribuire all’anno in corso e da accantonare per la
sostituzione al termine della vita utile del bene stesso.
L’ammortamento finanziario ha il significato di rimborso
di un debito, con pagamento degli interessi concordati
fra le parti
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Ammortamento di un debito
Classificazione in base ai tempi di corresponsione degli
interessi dovuti sul debito e del debito medesimo
1. Ammortamento in un’unica soluzione (BOT, CTZ,
0-coupon bonds)
2. Ammortamento a redditi staccati (Titoli
obbligazionari con cedola –esempio:BTP- emessi alla
pari)
3. Ammortamento graduale (Usuali mutui a medio
termine per il credito industriale ed il credito immobiliare,
contratti di vendita rateale e di leasing)
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Ammortamento di un debito
Ammortamento in un’unica soluzione
Il debitore rimborsa alla fine della durata del prestito il montante
del debito.
L’operazione finanziaria è un‘ operazione finanziaria semplice:
Ammortamento unica soluzione
1000
500
0
-500
-1000
S1
-1500
A
Af(t)
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Ammortamento di un debito
Ammortamento a redditi staccati
Il debitore paga periodo per periodo i soli interessi di competenza
ed alla scadenza finale del contratto rimborsa l’intero debito
unitamente agli interessi di competenza dell’ultimo periodo.
L’operazione finanziaria risulta:
Ammortamento a redditi staccati
1000
500
0
-500
-1000
-1500
A
-Ai
-Ai
-Ai
-A-Ai
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Ammortamento di un debito
Ammortamento graduale (continua)
Il debitore rimborsa gradualmente il debito attraverso il
pagamento di rate periodiche che, oltre agli interessi dovuti sul
debito in essere nei singoli periodi, sotto il nome quote di
interesse, comprendono le quote di debito rimborsate, dette
quote di capitale.
L’operazione finanziaria risulta ad esempio:
Ammortamento graduale
1000
800
600
400
200
0
-200
-400
A
-R1
-R2
-R3
-R4
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Ammortamento di un debito
Ammortamento graduale (segue)
• La legge finanziaria sottostante è normalmente ad interessi
composti, e quindi scindibile.
• I versamenti delle rate normalmente avvengono ad intervalli
regolari uniformi, detti periodi, ed il tasso di interesse ha come
unità di tempo di riferimento tale periodo.
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Ammortamento di un debito
Ammortamento graduale (segue)
Il debitore può porsi una delle due domande seguenti:
1. contratto un debito di 1000 al tasso di interesse del 10%
annuo, volendo ridurlo a 700 dopo un anno, quanto
deve versare?
2. contratto un debito di 1000 al tasso di interesse del 10%
annuo, versando dopo un anno 500, a quanto ammonta
il debito dopo tale versamento?
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Ammortamento di un debito
Ammortamento graduale (segue)
• caso 1:
Il debitore versa 300 per ridurre il debito, a
titolo di quota di
capitale e 100 a titolo di quota di interesse sul debito di
1000. La rata complessivamente
versata
pari
a
400
(400=300+100).
A=1000
D1=700
R1=400
I1=100
C1=300
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Ammortamento di un debito
Ammortamento graduale (segue)
• caso 2:
Nel caso 2 la rata è pari a 500, delle quali 100 sono
comunque dovute a titolo di quota di interesse e la restanti
400 possono essere considerate a titolo di quota di capitale
I1=100
R1=500
A=1000
D1=600
R1=500
C1=400
I1=100
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Ammortamento di un debito
Ammortamento graduale (segue)
Il debito residuo può essere calcolato in due modi equivalenti:
• Debito residuo=debito iniziale - quota di capitale
600
=
1000
-
400
•Debito residuo=montante del debito - rata versata
600
=
1100
-
500
Dove il montante del debito è il valore del debito se il debitore
non versa nulla.
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Ammortamento di un debito
Piano di ammortamento (continua)
E’ il documento a supporto del contratto stipulato fra le
controparti.
Gli aggiornamenti della situazione debitoria alla fine di
ogni periodo sono regolati dalle relazioni di ricorrenza.
Le relazioni di ricorrenza sono le equazioni che permettono
di calcolare tutte le variabili del piano di ammortamento del
periodo t, una volta determinate tutte le variabili del periodo
t-1
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Ammortamento di un debito
Piano di ammortamento (segue)
VARIABILI DEL PIANO:
A = importo del debito, in valore assoluto
i = tasso di interesse del periodo
n = numero delle rate
Rt = Rata da versare alla fine del periodo t
Ct = Quota di capitale del periodo t
It = Quota di interesse del periodo t
Et = Debito estinto alla fine del periodo t, subito dopo il
versamento della rata del periodo
Dt = Debito residuo alla fine del periodo t, subito dopo il
versamento della rata del periodo. Vale Dt = A - Et
Par.3.1
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Ammortamento di un debito
Classificazione in base all’impostazione usata
1. Impostazione elementare, con condizione di
chiusura elementare
2. Impostazione finanziaria con condizione di
chiusura finanziaria iniziale e finale
La condizione di chiusura consiste in una condizione
che permetta stabilire se il conto è chiuso, ossia il
debito è estinto.
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Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (continua)
Le variabili di controllo per definire la chiusura del debito sono le
quote di capitale Ct
n
Condizione di chiusura elementare: C1  C2  ...  C1n   Ct  A
t 1
Condizioni iniziali: D0 = A, E0=0, condizioni finali: Dn = 0, En=A
Relazioni di ricorrenza:
 I t  iDt 1
R  C  I
 t
t
t

 Et  Et 1  Ct

 Dt  Dt 1  Ct
quota interesse
rata
debito estinto
debito
residuo
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Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (segue)
Esempio i=10% e D0 =1000 si ha:
t=1
C1=300
I1 = iD0 =10%1000 = 100
R1 = C1 + I1 = 300+100 = 400
E1 = E0 + C1 = 0+300 = 300
D1 = D0 - C1 = 1000 - 300 = 700
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Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (segue)
t=2
C2=400
I2 = iD1 =10%700 = 70
R2 = C2 + I2 = 400+70 = 470
E2 = E1 + C2 = 300+400 = 700
D2 = D1 – C2 = 700 - 400 = 300
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Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (segue)
t=3
C3=300
I3 = iD2 =10%300 = 30
R3 = C3 + I3 = 300+30 = 330
E3 = E2 + C3 = 700+300 = 1000
D3 = D2 – C3 = 300 - 300 = 0
300+400+300 = 1000 la
elementare è soddisfatta
condizione
di
chiusura
Il piano di ammortamento risulta…
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Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (segue)
i=10% A =1000
t
Dt
Ct
It
Rt
Et
0
1000
1
700
300
100
400
300
2
300
400
70
470
700
3
0
300
30
330
1000
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Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (segue)
Graficamente la scomposizione delle rate in quota
capitale e quota interesse è:
Scomposizione rate
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
It
Ct
1
2
periodi
3
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Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (segue)
Per il debito estinto Et si ha :
s 1
E1  E 0  C 1  C 1
...
st
E t  E t 1  C t  C 1  C 2  ...  C t 
t
C
s 1
s
...
sn
E n  E n 1  C n  C 1  C 2  ...  C n 
n
C
s 1
s
 A
Se t=n, si ha che il debito estinto finale En deve eguagliare
il debito iniziale A.
L’ultima relazione rappresenta la condizione di chiusura
elementare
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Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (segue)
Debito residuo in forma retrospettiva:
Iterando la relazione Ds = Ds-1 – Cs si ottiene l’espressione del
debito residuo in forma retrospettiva (il debito residuo è
funzione delle quote di capitale delle rate già pagate)
t
Dt  A   C s
s 1
t
C
s 1
s
A
C1
C2
C…
Ct
D
D
A…
1t
2
22/35
1
2
…..
t
Ammortamento di un debito
Impostazione elementare (segue)
DEBITO RESIDUO IN FORMA PROSPETTIVA
Iterando la relazione Ds-1=Ds+Cs (ottenuta da Ds=Ds-1– Cs)
per s=n, n-1, …, t+1 con Dn =0 si ottiene:
Dt 
n
C
s  t 1
s
l’espressione del debito residuo in forma prospettiva (il debito residuo è
funzione delle quote di capitale delle rate da pagare nei periodi t+1,
t+2,...n)
n
C
s  t 1
C1
1
C…
Ct
C…
Cn-1
Cn
…
t
t+ …
n-1
n
s
Dt
Dt+…
DDnn-1
=0
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Par.3.2
Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (continua)
Le variabili di controllo per definire la chiusura del debito sono le
rate Rt
Condizione di chiusura
finanziaria iniziale:
n
R1 1  i   R2 1  i   ...  Rn 1  i    Rt 1  i   A
1
2
n
t
t 1
Condizioni iniziali: D0 = A, E0=0, Condizioni finali: Dn = 0, En=A
Relazioni di ricorrenza:
 I t  iDt 1
 D  D 1  i   R
 t
t 1
t

Ct  Dt 1  Dt  Rt  I t
 Et  Et 1  Ct
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Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (segue)
Esempio: i=10%, D0 =1000, R1 =300, R2 =250, R3 =350 e
R4 =377, la condizione di chiusura finanziaria iniziale è:
300 250 350 377
 2  3  4  273  207  263  257  1000
1.1 1.1 1.1 1.1
Il piano di ammortamento risulta…
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Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (segue)
i=10% A =1000
t
Dt
Ct
It
Rt
Et
0
1.000
1
800
200
100
300
200
2
630
170
80
250
370
3
343
287
63
350
657
4
0
343
34
377
1.000
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Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (segue)
Graficamente la scomposizione delle rate in quota
capitale e quota interesse è:
Scomposizione rate
400
350
300
250
200
It
150
Ct
100
50
1
2
3
4
periodi
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Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (segue)
DEBITO RESIDUO IN FORMA RETROSPETTIVA
Iterando la relazione di ricorrenza del debito residuo si ottiene
l’espressione del debito residuo in forma retrospettiva:
t
Dt  A1  i    Rs 1  i 
t
t s
s 1
L’espressione indica il debito residuo come differenza fra il
montante in t del debito iniziale ed il montante delle rate già pagate.
A1  i 
t
A
-R1
-R2
-R…
-Rt
t
  Rs 1  i 
ts
s 1
0
1
2
…
t
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Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (segue)
Ponendo t=n e Dn = 0, si ha la condizione di chiusura
finanziaria finale:
n
t  n Dn  A1  i    Rs 1  i 
n
s 1
ns
n
 0  A1  i    Rs 1  i 
n
ns
s 1
Il montante all’istante n delle rate è uguale al montante del
debito iniziale.
La scindibilità degli interessi composti permette di ottenere
dalla condizione di chiusura finanziaria finale la condizione
di chiusura finanziaria iniziale.
Le condizioni di chiusura finanziaria iniziale e finale sono
dunque equivalenti.
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Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (segue)
DEBITO RESIDUO IN FORMA PROSPETTIVA
Si ottiene il debito residuo in forma prospettiva riscrivendo la
relazione di ricorrenza
Dt 
n
 Rs 1  i 
1
Dt 1  Dt  Rt 1  i  ed iterando da n a t+1 :
t s
s  t 1
La formula esprime il debito residuo come valore attuale, all’istante
t, delle rate ancora dovute.
Dt 
n
 Rs 1  i 
s  t 1
Rt+1
t
t s
t+1
Rt+2
t+2
R…
t+ …
Rn
t+n
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Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (segue)
Andam ento debito residuo
1.200
1.000
800
600
400
200
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
t
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Ammortamento di un debito
Impostazione finanziaria (segue)
Ponendo t=0 e D0 = A, si ottiene la condizione di
chiusura finanziaria iniziale:
t  0 D0  A  Rn 1  i   Rn 1 1  i 
n
Par.3.3
n 1
n
 ...  R1 1  i    Rt 1  i 
1
t
t 1
32/35
Ammortamento di un debito
Equivalenza fra le condizioni di chiusura elementare e
finanziaria (continua)
Dato il piano
elementare:
A=1000
di
ammortamento
secondo
l’impostazione
i=10%
Con quote di capitale:
C1= 300
C2= 400
C3= 300,
Le corrispondenti rate sono
R1= 400
R2= 470
R3= 330.
• Condizione di chiusura elementare:
300+400+300=1000
• Condizione di chiusura finanziaria iniziale:
400 470 330


 364  388  248  1000
1.1 1.12 1.13
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Ammortamento di un debito
Equivalenza fra le condizioni di chiusura elementare e
finanziaria (segue)
Dato il di ammortamento secondo l’impostazione finanziaria:
A=1000
i=10%, con rate:
R1= 300
R2= 250
R3= 350
R4=377
Le corrispondenti quote di capitale sono
C1= 200
C2= 170
C3= 287
C4= 343.
•Condizione di chiusura finanziaria iniziale:
300 250 350 377
 2  3  4  273  207  263  257  1000
1.1 1.1 1.1 1.1
• Condizione di chiusura elementare:
200+170+287+343=1000
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Ammortamento di un debito
Equivalenza fra le condizioni di chiusura elementare e
finanziaria (segue)
TEOREMA:
In un piano di ammortamento redatto
secondo l’impostazione elementare, con una
successione Ctt=1,2,…,n di quote di capitale
soddisfacenti la condizione di chiusura
elementare , le rate soddisfano la condizione
di chiusura finanziaria iniziale. Vale anche il
viceversa.
Per la dimostrazione della prima proprietà consultare le dispense
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Par.3.4
Ammortamento di un debito