Appendice C – Sommatorie e altro Indice 1 Simbolo di somma

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UNIVR – Facoltà di Economia – Corso di Matematica – Sede di Vicenza
Appendice C – Sommatorie e altro
Indice
1 Simbolo di somma (sommatorie)
1
2 Simbolo di prodotto (produttorie)
3
3 Simbolo di fattoriale
3
4 I numeri di Pascal
4
In questa appendice parlo brevemente di una notazione importante in matematica e in genere in tutte le sue applicazioni. È una notazione formale molto utile, con la quale è bene prendere un po’ di confidenza: il simbolo di somma e
le scritture dette sommatorie. Dedico qualche riga anche all’analogo simbolo di prodotto e ad altri due simboli che è
bene ricordare: il fattoriale e il coefficiente binomiale.
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Simbolo di somma (sommatorie)
Pn
Il simbolo i=m , con m, n naturali e n ≥ m, dice che si deve procedere alla somma dei valori dell’espressione, variabile
con i, che lo segue. Quindi
n
X
ai = am + am+1 + . . . + an .
i=m
Ad esempio
4
X
ai = a1 + a2 + a3 + a4
i=3
i=1
i
2+3i ,
,
5
X
i
3
4
5
=
+
+ .
2 + 3i
11 14 17
Le quantità ai e
che figurano nelle precedenti scritture, si dicono l’argomento della sommatoria, mentre la
variabile i, che prende i valori naturali successivi indicati nel simbolo, si dice indice della sommatoria.
Al posto di i si possono
Pn trovare altre lettere: h, j, k, . . .. Quando l’argomento è costante (indipendente dall’indice),
come ad esempio in i=m a, la scrittura indica la somma di (n− m+ 1) addendi uguali, cioè il prodotto dell’argomento
per (n − m + 1). Ad esempio
4
X
7 = 7 + 7 + 7 = 7(4 − 2 + 1) = 21.
i=2
L’uso del simbolo di somma ha lo scopo di sintetizzare scritture che potrebbero essere lunghe e noiose da scrivere: può
quindi ad esempio servire a sintetizzare un polinomio di grado n, quando n è grande oppure quando n è generico.1
Un polinomio nella variabile x è un’espressione del tipo
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , an 6= 0,
dove a0 , a1 , a2 , . . . , an sono numeri reali fissati, quindi noti, e x è una “variabile” i cui valori sono in un insieme
numerico, in genere R.
Usando quindi il simbolo di somma si può scrivere
Pn (x) =
n
X
ai xi , con an 6= 0,
i=0
qualunque sia n. Ad esempio
1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . . + 101x100 =
100
X
(k + 1)xk
k=0
1 Naturalmente per poter sintetizzare uno specifico polinomio con una sommatoria occorre che i coefficienti del polinomio si possano
scrivere attraverso una funzione dell’indice.
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oppure, che è lo stesso,
101
X
hxh−1 .
h=0
Potrete incontrare nei vostri studi anche scritture come la seguente, in cui figurano una doppia sommatoria e un doppio
indice:
n X
m
X
ai,j .
i=1 j=0
Tale scrittura dice che per ogni valore di i da 1 a n occorre sviluppare la seconda sommatoria per j da 0 a m, quindi
ad esempio
3 X
6
X
ai,j
=
3
X
(ai,4 + ai,5 + ai,6 )
i=1
i=1 j=4
= (a1,4 + a1,5 + a1,6 ) + (a2,4 + a2,5 + a2,6 ) + (a3,4 + a3,5 + a3,6 ).
Qualche studente potrebbe farsi questa bella domanda: è possibile scambiare i due simboli di somma? Provate a
convincervi, con qualche caso particolare, che la risposta è sı̀.2
Vediamo ora qualche utile formula in cui si fa uso del simbolo di sommatoria.
(a) La somma dei primi k numeri naturali:
S=
k
X
n=
n=1
k(k + 1)
.
2
La formula si può facilmente dimostrare, col metodo di Gauss3
S
=
1
+
S
= k
+
2
+
(k − 1) +
3
+
(k − 2) +
. . . + (k − 1) + k
... +
2
+
ma anche, per la
proprietà commutativa,
1
Sommando membro a membro le due uguaglianze si ha
2S = (k + 1) + (k + 1) + . . . + (k + 1) , k volte
e quindi
S=
k(k + 1)
.
2
(b) È utile anche la formula che dà la somma dei primi k quadrati dei numeri naturali. Questa è
k
X
n2 =
n=1
k(k + 1)(2k + 1)
.
6
Il procedimento che porta a tale risultato è piuttosto laborioso.
(c) La somma dei primi k cubi dei numeri naturali
k
X
k 2 (k + 1)2
n =
=
4
n=1
3
k(k + 1)
2
2
=
k
X
n=1
n
!2
.
Quindi la somma dei primi k cubi dei naturali è il quadrato della somma semplice dei primi k naturali.
2 Non
è difficile intuire che c’è di mezzo la proprietà commutativa dell’addizione.
ricavò questa formula quando aveva appena 7 anni.
3 Gauss
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3
Simbolo di prodotto (produttorie)
Quanto detto per le sommatorie si può ripetere, opportunamente adattato, per il simbolo di prodotto.
n
Y
ai = a1 · a2 · . . . · an .
i=1
Esempio
n
Y
2 = 2n .
k=1
n
Ricordo che 2 è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di cardinalità n,4 cioè costituito da n elementi (distinti).
Anche il simbolo di prodotto si può trovare ripetuto, o anche abbinato al simbolo si somma. Esempio
3 Y
5
Y
(i + k) =
i=1 k=4
o ancora
3
Y
(i + 4)(i + 5) = (1 + 4)(1 + 5)(2 + 4)(2 + 5)(3 + 4)(3 + 5) = 5 · 6 · 6 · 7 · 7 · 8 = 70560
i=1
X
2 Y
3
2
2 X
X
i3
i
i i i
1 8
3
=
=
· ·
= + = .
k
1 2 3
6
6 6
2
i=1
i=1
i=1
k=1
È forse il caso di osservare che, mentre come per le somme, i doppi simboli di prodotto si possono scambiare, non è
cosı̀ quando abbiamo somme di prodotti (o prodotti di somme). Lo studente provi a verificarlo nell’esempio qui sopra.
3
Simbolo di fattoriale
Spesso si può trovare il simbolo “!” dopo un numero naturale: si legge “fattoriale del numero naturale” e indica, in
modo sintetico, il prodotto del numero naturale stesso per tutti quelli che lo precedono.
n! = n(n − 1)(n − 2) · . . . · 2 · 1.
In particolare, se n = 1, visto che non ci sono naturali che precedono 1, intendiamo che 1! = 1. Quindi, ad esempio,
abbiamo
2! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24, . . .
Osservando che n!, quando n ≥ 2, ha la proprietà
n! = n · (n − 1)!
per estendere tale proprietà anche ad 1 si conviene che sia
0! = 1, da cui 1! = 1 · 0!.
Un aspetto che può tornare utile nel calcolo delle probabilità è il seguente: n! è il numero di tutti i possibili modi di
scrivere un insieme finito elencando i suoi elementi. Mi spiego con un esempio: sia {a, b, c, d} un insieme di 4 elementi.
Chiediamoci: in quanti modi lo possiamo scrivere scambiando (permutando) l’ordine dei suoi elementi?
Possiamo ragionare cosı̀: il primo elemento lo possiamo scegliere in 4 modi (a, b, c oppure d). Il secondo elemento lo
possiamo scegliere in 3 modi, visto che il primo è già scelto (se abbiamo scelto a come primo, non possiamo scegliere
ancora a come secondo). Il terzo in 2 modi e in un solo modo il quarto. Quindi il numeo dei modi è
4 · 3 · 2 · 1 = 4!
4 Ricordo
5
che per tale motivo l’insieme dei sottoinsiemi di un insieme A, cioè l’insieme delle parti di A, è anche detto insieme potenza.
si debba fare il prodotto (e non magari la somma) spero sia chiaro a tutti: per ogni scelta del primo elemento ne abbiamo 3 del
secondo, quindi 4 · 3, . . .
5 Che
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4
I numeri di Pascal
I numeri di Pascal sono i numeri naturali che Pascal ha indicato con nk , dove n, k sono naturali e n ≥ k. Ad esempio
7
5
4
,
,
.
2
3
4
Il loro significato è espresso dall’uguaglianza
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
n
n!
=
=
.
k
k!
k!(n − k)!
Si noti che in particolare n1 = n e che nn = 1.
Verrebbe spontaneo pensare che il valore dei numeri di Pascal sia in genere un numero razionale e solo in casi particolari
un naturale. Invece tali numeri sono sempre naturali.
È facile verificare che, se n > k, essi presentano le seguenti proprietà:
n
n
n
n−1 n−1
=
e
=
.
k
n−k
k
k
k−1
Se poniamo, per convenzione, n0 = 1, possiamo estendere queste proprietà anche al caso n ≥ k ≥ 0.
I numeri di Pascal possono essere utilizzati in vari ambiti. Nella teoria degli insiemi si ha, come sappiamo, che le parti
di un insieme non vuoto di cardinalità n sono 2n . Ebbene, il numero invece delle parti di cardinalità k di un insieme
di cardinalità n (ovviamente con k ≤ n) sono appunto nk . Tali parti di k elementi si dicono combinazioni di classe
k degli n elementi dell’insieme: esse sono le parti che differiscono
tra loro per almeno un elemento.6 Per tale motivo
n
tale numero si indica anche con Cn,k ; perciò Cn,k = k .
I numeri di Pascal sono presenti anche nello sviluppo del binomio di Newton e, per tale motivo, si dicono anche
coefficienti binomiali.
(a + b)n
n(n − 1) . . . (n − k + 1) n−k k
n(n − 1) n−2 2
a
b + ... +
a
b + . . . + bn
= an + nan−1 b1 +
2
k!
n n
n n−1 1
n n−k k
n n
=
a +
a
b + ...+
a
b + ...+
b
0
1
k
n
n X
n n−k k
=
a
b .
k
k=0
Ora sommiamo tutti i coefficienti binomiali
n X
n
n
n
n
n
=
+
+ ...+
+ ...+
.
k
0
1
k
n
k=0
Alla stessa espressione si perviene però anche ponendo a = b = 1, quindi
n X
n
k=0
k
= (1 + 1)n = 2n .
Il risultato non deve sorprendere: se si tiene conto del significato insiemistico del simbolo nk = numero delle parti
costituite dai sottoinsiemi di classe k, e del fatto che tra le parti di un insieme c’è il sottoinsieme vuoto e tutto l’insieme
stesso, il numero di tutti i sottoinsiemi di questo insieme sappiamo che è 2n .
Per completare questi cenni di calcolo combinatorio osserviamo che si dicono disposizioni di classe k degli elementi
di un insieme di cardinalità n tutti i sottoinsiemi ordinati di k elementiche differiscono tra loro o per l’ordine o per
almeno un elemento. Il loro numero, indicato con Dn,k , è ovviamente nk · k! = n(n − 1) . . . (n − k + 1), dato che ogni
sottoinsieme di k elementi, mutando l’ordine dei suoi elementi, dà k! sottoinsiemi. Quindi, mentre nelle combinazioni
l’ordine non è rilevante, lo è invece nelle disposizioni. È chiaro che le disposizioni sono di più delle combinazioni.
6 Trattandosi
di sottoinsiemi, l’ordine non è rilevante, cioè sottoinsiemi che differiscono solo per l’ordine sono uguali.