L`UNIVERSALIZZAZIONE IN MATEMATICA Per ogni dunque

L’UNIVERSALIZZAZIONE IN MATEMATICA
Per ogni ... dunque ... per tutti!
Il Principio di Induzione1Matematica (P.I.M.)
Premessa
Il metodo dimostrativo basato sul Principio di Induzione Matematica per
convalidare la teorematicità universale di una proposizione di una teoria
matematica, nonostante il termine “in-duzione“ compaia in entrambi, non va
confuso con il metodo per induzione2 (induttivo) proprio delle scienze sperimentali.
Quest’ultimo universalizza il comportamento di un certo numero di eventi vincolati
da una legge locale. La validità di questa legge di tendenza viene convalidata da
rilievi statistici e dall’occorrenza di credenze od opinioni (il cui grado viene oggi
misurato dalla probabilità) ed è quindi estesa a tutti i possibili casi in cui si
ripresenti una situazione analoga.
Si fonda su inferenze logiche del tipo:
In-duzione (x generalizzazione)
P
C
P--->C
(x possibilità altamente probabile)
(legge universale: P implica C).
Se accade che ogni volta che “P” si da contemporaneamente anche “C”, allora si
può congetturare (con buona probabilità, fino a prova contraria) che tutte le volte
che “P” sempre anche “C”: P--->C; vel viceversa: C--->P, C implica P.
Se ogni volta che si lascia “libero un corpo pesante3(P)” questo “cade verso il basso
(C)”, è altamente probabile (fino a prova contraria) che “tutti i corpi liberi e pesanti
1
La prima formulazione del P.I.M. (Principio di Induzione Matematica) come assioma dell’aritmetica dei
numeri naturali fu fatta dal grande matematico Giuseppe Peano (1858-1932) che lo inserì tra i nove
postulati della prima assiomatizzazione dell’aritmetica in Arithmetices principia novo metodo exposita
(1889).
2
Con l'induzione [dal greco epagoghè: introduzione, importazione ma anche invocazione; dal verbo
epagho: apporto, applico, aggiungo, inferisco, cito come testimone, chiamo in aiuto, conduco, adduco,
convinco, induco, importo ...] si produce l’universale dal particolare.
3
“pesante” significa “ all’interno di un campo gravitazionale, che è notoriamente attrattivo”.
2
cadano sempre verso il basso: P --->C”; vel viceversa “C--->P: tutti i corpi che
cadono verso il basso sono liberi e pesanti”.
In casi come questo, ma non sempre, la legge congetturata è commutativa: P<-->C; un corpo cade verso il basso se e solo se è libero e pesante, o in altre parole:
“condizione necessaria e sufficiente perché un corpo cada verso il basso è che sia
libero e pesante e viceversa”. Le affermazioni “P” e “C” sono logicamente
equivalenti.
In generale, la ripetitività della syncronicità o del susseguirsi temporale o spaziale
con cui due eventi del tipo "P" e "C" (casualmente ?) accadono, genera abitudine e
consuetudine4che si insinuano e sedimentano nella memoria.
Per generalizzazione e quindi per il processo di universalizzazione si produce la
categoria della causalità che si costituisce induttivamente come a-posteriori per la
specie ma come "a-priori" ereditato per gli individui (Kantismo5 dinamico: una
proposta epistemologica che concilia posizioni storico-pragmatiche con posizioni
aprioristiche. Si tratta di un’ipotesi seduttivamente innovativa anche se ancora tutta
da indagare).
In questo tipo di argomentazione6si cela surrettiziamente la speranza che la legge
universale congetturata non venga mai falsificata (Popper7ed epigoni a parte:
4
Hume per esempio, riteneva che l’inferenza induttiva delle scienze sperimentali non fosse fondata sulla
ragione, ma sulla consuetudine e sull’abitudine, secondo cui a partire dai casi osservati ci attendiamo
naturalmente le stesse regolarità nei casi futuri: “...per quanto vi sia nel mondo qualche cosa come il caso
(chance) la nostra ignoranza della causa reale di ogni avvenimento ha lo stesso influsso dell’intelletto e
genera una sorta di credenza od opinione”. (D.Hume, Ricerca sull’intelletto umano, cit., p. 62).
Gli universali kantiani, formali ed astratti, unificano l’ontologico con il logico; sono forme a priori
dell’intelletto, condizioni per l’esperienza.
Noi modelliamo il reale come un insieme unitario e strutturato, di fenomeni determinati o oggetti
discretizzati nello spazio e nel tempo, connessi da relazioni isomorfe a leggi necessarie del nostro
intelletto, ossia da strutture trascendentali del nostro pensiero.
Già Hegel riesce in qualche modo a storicizzare l’astratezza degli universali kantiani rendendoli concreti,
cioè storici e, molto più tardi, lo stesso Kuhn ebbe a definirsi un “kantiano con categorie mobili ”.
5
6
Lo scetticismo nei confronti di questo tipo di argomentazione ha, in realtà, origini molto antiche. Nel IV
sec. a. C. si svilupparono diverse scuole di pensiero, molte delle quali durarono fino al II sec. d.C., fra
queste il pirronismo di Elide (360-275 a.C.). La fonte principale delle posizioni di tale scuola sono gli
scritti di Sesto Empirico (circa 200 d.C.) che fornì argomenti per una grande varietà di dubbi scettici (cfr.
Sesto empirico, Contro i logici, tr.it. Laterza, Bari 1975). Uno di questi è se e l’induzione possa condurre
alla conoscenza: “Facile a confutarsi stimo essere il procedimento per induzione. E invero, poiché
vogliono per via di essa confermare l’universale, muovendo dai particolari, o faranno questo percorrendo
“tutti” i particolari o soltanto “alcuni”. Se soltanto “alcuni”, l’induzione sarà mal sicura, essendo possibile
3
falsificazionismo), ma semmai ulteriormente corroborata da prove o sperimenti
futuri (: verificazionismo8).
Il metodo induttivo delle scienze sperimentali azzarda congetture dalla validità
generale9 spesso altamente probabile, ma si tratta di un metodo che non ha nulla a
che fare con il rigore matematico10.
che all’universale contrasti qualcuno dei particolari omessi per l’induzione. Se “tutti”, intraprenderanno
un’impresa impossibile, infiniti essendo e illimitati i particolari. Ond’è che in questa maniera, e per un
verso e per l’altro, secondo me, accade che l’induzione vacilli.”. (Sesto Empirico, Scritti Pirroniani, tr. it.,
Laterza, Roma Bari 1988, p.104).
7
Anche per Popper, un numero per quanto elevato di verificazioni non consente di considerare
universalmente vera una legge o più in generale una teoria scientifica. Egli critica il principio di induzione
delle scienze sperimentali, in quanto non si possono inferire leggi o teorie universali da singoli fatti
osservabili; mentre una sola falsificazione è sufficiente per dimostrarne la falsità. Di più, il criterio di
falsificazione definisce scientifico un sistema di asserzioni se e solo se è potenzialmente falsificabile. Una
teoria è falsa quando viene falsificata, mentre non si può mai sapere se è vera; per Popper le teorie
debbono essere considerate valide finché non sono falsificate. Il concetto di "teoria scientifica" può solo
aspirare ad uno statuto di validità provvisoria; fino a che non viene falsificata rimane una semplice
"congettura".
8
Il "principio di verificazione", formulato a livello filosofico dal "Circolo di Vienna" come strumento
metodologico, è così esprimibile:
sono dotate di significato quelle proposizioni che permettono un confronto diretto tra la loro formulazione
linguistica, più o meno sintetica o formale, e la realtà empirica.
Il “verificazionismo” decide quali enunciati hanno significato, ma non è applicabile a se stesso in quanto
non verificabile empiricamente.
Questo paradosso porterà, in seguito, Neurath ad optare per il "fisicalismo" che abbandona il confronto tra
proposizioni e realtà per un confronto intra-linguistico tra enunciati ed enunciati: un’espressione è vera se
è coerente con il sistema linguistico in cui è inserita . Si parla di "fisicalismo" perché invece di una
corrispondenza tra linguaggio e realtà, Neurath postula addirittura la loro identità.
9
Gli “universali”, in Kuhn, assumono un nuovo look: paradigmatico, storico, provvisorio. Per
“Paradigma” s’intendono i modelli e i metodi, universalmente riconosciuti, funzionali per indagare negli
ambiti di ricerca in atto. Quando un modello paradigmatico non riesce a normalizzare le “anomalie” entro
le proprie strutture, si genera una “catastrofe epistemologica” che porta all’elaborazione di nuovi
paradigmi. Da qui la tesi, condivisa da Kuhn con Feyerabend, dell’"incommensurabilità" delle teorie, che
consiste nell’impossibilità, in seguito alle fratture rivoluzionarie, di porre a confronto teorie scientifiche
collocate all’interno di differenti paradigmi e tradizioni filosofiche. Lo scienziato è portato inevitabilmente
a porsi problematiche di carattere non solo epistemologico ma anche ontologico. La comunità scientifica
attraversa momenti di “riorientamento gestaltico” che impongono la costruzione di paradigmi sempre più
efficaci. E’ una scienza con degli invarianti sempre in discussione, che coniuga il momento popperiano
della falsificabilità con il momento della stabilità e della risoluzione “normale”. Feyerabend diventò
famoso per la sua visione anarchica della scienza e il suo negare l'esistenza di regole metodologiche
“universali”.
4
***
Tornando all’induzione matematica, il nome “Induzione matematica”, fu introdotto
dal matematico De Morgan nell’articolo “ Induction (mathematics)”, uscito nel
1838 sulla Penny Cyclopedia e il termine “induzione” fu utilizzato per la prima
volta dal matematico Bernoulli per indicare il tipo di ragionamento ricorsivo da n a
(n + 1) (induzione dimostrativa!).
La tecnica dimostrativa dell’induzione matematica si affermò definitivamente alla
fine del XIXo secolo grazie ai lavori di Frege, Dedekind, Cantor sui fondamenti
della Matematica e soprattutto con l’opera di Peano che la applicò nella sua Teoria
dei numeri, inserendola tra gli assiomi della teoria. Peano diede una precisa
formulazione del principio d’induzione matematica, equivalente a quella oggi più
comunemente in uso11.
L’induzione matematica viene anche chiamata “Induzione completa” o
“argomentazione ricorrente”, quest’ultima introdotta da Dedekind(1831-1916).
***
Formulazione rigorosa del Principio di Induzione Matematica, in termini di
proprietà:
12
Sia A(n) (leggi: A di enne), un'Affermazione dipendente da un numero naturale
qualsiasi, volendo anche zero incluso.
Supponiamo che:
10
Per Kant la "ragione pura”, il concentrato di “a priori" degli individui, si autofonda sulla rigorosa
"certezza" tipica di quella forma di conoscenza che i Greci chiamavano: mathematiké.
11
Peano assunse come concetti primitivi quelli di numero 1 e di successore. Sia dato un insieme N di
numeri, per cui valgano i seguenti assiomi:
-N non è vuoto ed 1 appartiene ad N.
-Esiste una corrispondenza biunivoca da N su N - (1). Il corrispondente del numero n mediante tale
funzione viene detto successore di n (indicato solitamente con succ(n) o n*).
-Sia A un sottoinsieme di N. Se “1” appartiene ad A e, per ogni numero” n”, se n appartiene ad A anche
”succ(n)” appartiene ad A, allora A coincide con N, cioè contiene tutti i numeri naturali.
12
Cfr. Gabriele Lolli, Dipartimento di Matematica, Università di Torino.
5
1) A(0) vel A(1) sia vera:
(cioè che l’affermazione sia vera quando n = 0, vel n = 1, chiamate basi)
e che, contemporaneamente, :
2) se A(n) è vera anche A(n + 1) lo sia,
qualunque sia il valore di n;
[vale a dire:
se l’affermazione A(n) è vera per un indeterminato valore n di N, è
necessariamente vera anche per il valore successivo a n, cioè per (n + 1);
o, in altre parole, la verità di A per un qualsiasi valore di n implica la verità di A
per il valore (n +1):
V A(n) ======>V A(n + 1) (passaggio induttivo) ],
allora
[ soddisfatte le ipotesi 1) e 2) ]:
A(n) è Vera per ogni numero naturale n.
Ricapitolando (redundantia non nocet!):
partendo dall’assioma metalogico:
premessa/e
conseguenza
(supposta/e)Vera/e ==============> Vera,
Implicazione Valida
(ragionamento fondato)
una proprietà A(n) vale per tutti i numeri naturali N, se è vera per n=0 e/o n=1 (o
più generalmente per un certo n >1…) e se essa è sempre trasferibile da un naturale
qualunque al suo successivo.
Una tale proprietà si dice induttivamente invariante.
Le due proprietà 1) e 2), indipendenti fra loro, devono valere simultaneamente.
Esempio tipico
6
Si immagini di dover far cadere una serie infinita di tessere di un “domino” poste
verticalmente ad una distanza reciproca minore della loro altezza. Se il primo in
qualche modo cade verso il secondo, e anche il secondo cade verso il terzo, che a
sua volta cade verso il quarto e così via, uno dopo l’altro cadono tutti.
-La proprietà di cadere, in questo caso, per esempio, verso destra, è induttiva per il
motivo che la distanza è minore dell'altezza.
La prima ipotesi non si riferisce necessariamente solo al valore 1, se la caduta
iniziasse da un ennesimo pezzo, a cadere di conseguenza sarebbero tutti i pezzi
successivi all’ennesimo, in altre parole dall’ennesimo in poi.
-Se non cade nessun domino, naturalmente, rimangono tutti in piedi, anche se la
proprietà di cadere verso destra è induttiva.
Altro esempio tipico
Pensiamo ad una fila infinita di soldati schierati davanti al loro comandante. Questi
sussurra all’orecchio del primo della fila una parola d’ordine e gli ordina di
comunicarla all’orecchio del suo vicino; ordina quindi a tutti i soldati di
comunicare la parola ricevuta dal compagno che lo precede a quello che lo segue.
Essendo la fila infinita, il passaggio induttivo continua a ripetersi senza fine.
Il comandante è sicuro che ogni soldato e quindi tutti conoscano la parola d’ordine:
il primo soldato la conosce perché gliel’ha comunicata lui stesso, ed inoltre sa che i
suoi soldati ubbidiscono sempre ai suoi ordini in modo preciso.
Può fare una verifica semplicemente chiedendo la parola d’ordine ad un unico,
qualsiasi, soldato della fila.
***
La famosa proprietà dei numeri naturali N, esprimibile nei termini:
la somma di dei primi enne numeri, con n > 2, si può ottenere sommando l’ultimo
numero n della serie con il primo, cioè 1, moltiplicando poi la somma per n e
dividendo il risultato per 2,
(
In formule:
1 + 2 + ... + n = (n + 1) . n (che, per ovvie proprietà aritmetiche) =
2
7
= (n + 1) . n/2
oppure = n . (n + 1)/2
)
è una proprietà induttiva, cioè vale per tutti i numeri naturali.
(Attenzione che i due numeri n e la somma (n + 1) sono successivi, quindi
necessariamente uno dei due è pari, vale a dire divisibile per 2).
Tale proprietà, come aveva intuito l’allora giovane matematico Carl Friedrich
Gauss, verso la fine del XVIII° sec., afferma, ad esempio, che la somma dei primi
100 numeri naturali si può ottenere sommando l’ultimo numero 100 col primo 1,
moltiplicando quindi la somma per la metà dei numeri della serie, cioè per 50:
(100 + 1) . 100/2 = 101 . 50 = 5.050 .
Proviamola x induzione:
-per n = 2:
1+2 = (2 + 1) . 2 = 3 è Vera;
2
-se vale anche il passo induttivo per un generico n >2:
1 + 2 + … + n = (n + 1) n =====> implica
2
=> 1 + 2 + … + n + (n + 1) = [(n + 1) + 1] (n + 1) = (n + 2 )( n + 1) ,
2
2
allora essa, per il Principio di Induzione Matematica, vale per ogni n.
***
Proviamo il passo induttivo, dimostrando che se è Vero che:
1 + 2 + ... + n = (n + 1)n
2
è Vero anche che:
per n >2 qualsiasi,
1 + 2 + … + n + (n + 1) = (n + 2 )(n + 1)/2.
8
Dimostrazione (<=chi è allergico alle dimostrazioni matematiche può saltarla)
Dobbiamo provare che:
1 + 2 + ... + n = (n + 1)n/2 =====> implica
=>1 + 2 + … + n + (n + 1) = (n + 2)(n + 1)/2.
Ma:
1 + 2 + … + n + (n + 1) = (1 + 2 + … + n) + (n + 1);
per la proprietà associativa dell’addizione
Il primo addendo, per ipotesi e uguale a:
1 + 2 + ... + n = (n + 1)n/2;
sostituendo:
(1 + 2 + … + n) + (n + 1) = (n + 1)n/2 + (n + 1) =
raccogliendo (n + 1)
= ( n + 1) [(n/2 + 1 ] = (n + 1)(n + 2) = (n + 1)( n + 2)/2 = (n + 2)( n + 1)/2
2
c.v.d. (<=fine della dimostrazione)
E’ interessante notare come la somma tra i due naturali:
100 e 1, che sono simmetrici rispetto a metà della distanza tra 50 e 51, risulti
uguale alle somme tra tutte le altre coppie di simmetrici:
(100 + 1) = 99 + 2 = 98 + 3 = 97 + 4 = … = (50 + 51) = … = 4 + 97 = 3 +
98 = 2 + 99 = (1 + 100), tutte uguali a 101! …
***
Facoltativamente:
vediamo un altro esempio di proprietà universalmente valida per i Naturali N0 (zero
incluso).
9
Sia n un numero naturale qualsiasi, la proprietà dell’espressione aritmetica (n3 – n)
di essere divisibile per 3 vale per tutti i naturali.
Dobbiamo provare due cose:
- che essa è vera per n = 0 (vel n = 1)
- e che se (n3 – n) è divisibile per 3, anche [(n + 1)3 – (n+1)] è divisibile per 3.
Per n = 0: n3 – n = 03 – 0 = 0 – 0 = 0, che è ovviamente divisibile per 3.
(Allo stesso modo, volendo, per n = 1: n3 – n = 13 – 1 = 1 – 1 = 0; che è pure
ovviamente divisibile per 3).
Supponiamo ora che, per un generico n, (n3 – n) sia divisibile per 3 e facciamo
vedere che quest’ipotesi implica che, anche per il successivo (n+1), l’espressione
[(n + 1)3 – (n + 1)] è divisibile per 3.
Dire che (n3 – n) è divisibile per 3 equivale a dire che esiste ed è unico un naturale
m < n tale che:
n3 – n = 3m;
ma: (n3 – n) = n . (n2 – 1) = n . (n + 1) . (n – 1) =
= (n – 1) . n . (n + 1);
quindi, sostituendo e tralasciando il segno di moltiplicazione, :
(n – 1) n (n + 1) = 3m.
(n3 – n) = (n – 1) n (n + 1) è il prodotto di tre naturali consecutivi ...
“sicuramente“ tra i tre fattori c’è un multiplo di 3! ...
Proviamo ora, per induzione, che anche [(n + 1)3 – (n + 1)] è divisibile per 3:
[(n + 1)3 – (n + 1)] = (n + 1) . [(n + 1)2 – 1] =
= (n + 1)[ n2 + 1 + 2n – 1] = (n + 1)[ n2 + 1 + 2n - 1 ] =
= (n + 1)(n2 + 2n) = raccogliendo n nel secondo fattore =
10
= (n + 1) n [ n + 2 ] = n(n + 1)(n + 2);
( … ancora tre naturali consecutivi!)
Dobbiamo dimostrare che questo risultato è ancora di un multiplo di 3.
Ma: (n + 2) = (n – 1 + 3)!
Sostituendo nella moltiplicazione:
n(n + 1)(n + 2) = n(n+1)(n – 1 + 3) = n(n + 1)[(n – 1) + 3] = . . .
= (n – 1) n(n + 1) + 3 n(n + 1);
(n – 1) n (n + 1) = 3m per ipotesi; dunque si ha:
n (n + 1)( n + 2) = 3m + 3n (n +1) = 3[ m + n ( n + 1) ], che è evidentemente un
multiplo di 3! c. v. d.
Dimostrato il passaggio induttivo, la proprietà, per il principio di induzione vale per
ogni n.
La proprietà di essere primo, invece, non è induttiva per i numeri naturali,
altrimenti si dimostrerebbe che tutti i numeri naturali sono primi (!).
* **
Dimostrare A(n) per ogni n (per induzione) significa, ripetiamo ancora una volta,
provare due cose: che A(0) [vel A (1), vel A (n) per un n qualsiasi] è vera, e che
A(n) =>A(n + 1).
Chi si prende carico di assicurarci che allora A(n) vale per ogni e quindi
potenzialmente per tutti gli infiniti N0?
La struttura stessa dei numeri naturali N0!, in cui ogni numero si ottiene dal primo
iterando un numero finito di volte l'operazione successore.
Applicando l’assioma metalogico della:
De-duzione
(modus ponens)
11
A(n)
A(n) =>A(n+1)
A(n+1)
(x necessità)
(teorema),
ricorsivamente ad ogni passo:
A(0)
A(0) =>A(1)
A(1)
A(1) =>A(2)
A(2)
A(2) =>A(3)
A(3)
A(3) =>A(4)
A(4)
...
A(n)
A(n) =>A(n+1)
A(n+1)
...
A(0) vale per l’ipotesi 1); A(1) vale per l’ipotesi 2); dunque vale A(3) sempre per la
2); quindi A(4)...e così via all’infinito, cioè per ogni “ n” ... dunque per tutti gli “n”
(per il Principio di Ricorsione, sostanzialmente equivalente al P I M13).
13
Sono almeno due i principi equivalenti al P I M:
-Principio di Ricorsione (P R), detto anche Principio di Induzione forte:
Se per ogni intero k, la validità della A(i) per tutti gli i < k, implica A(k), allora vale per ogni intero n.
e
-Principio di Buon Ordinamento (P B O):
Ogni insieme non vuoto di numeri naturali contiene un minimo elemento.
(Cfr. G. Mazzaghi - B.Picchi, Il principio di Induzione, in L'insegnamento della Matematica e delle
scienze integrate, VOL.14 N.2, SEZ.B, febbraio 1991).
12
Per altre strutture, per esempio per i razionali, questa tecnica dimostrativa non è
applicabile. Si parla quindi di Principio d’induzione sui naturali.
Tale principio era noto ed in uso dei matematici prima della sua formulazione
esplicita in forme equivalenti.
***
Dal punto di vista logico è da tener presente quanto segue:
l'obiettivo finale è quello di dimostrare, mediante deduzione ricorsiva che la
proprietà A è vera “potenzialmente” per tutti gli n appartenenti ad N0.
(UNIVERSALIZZAZIONE MATEMATICA!)
Invece il singolo passo induttivo non si riferisce a tutti gli n ma ad un generico n,
qualunque: per esso non si dimostra A(n), ma si dimostra che se valesse A(n) allora
varrebbe anche A(n+1).
La deduzione ricorsiva deduce particolare da particolare: universalizza
sequenzialmente e “discretamente” nel senso matematico del termine.
Il principio di induzione matematica, utilizzato prevalentemente in Teoria dei
numeri (ma non solo necessariamente in essa), raramente ci consente di
immaginare o enunciare proprietà; si limita ad offrire una via per dimostrare
congetture preventivamente intuite per altra via.
Nella ricerca delle proprietà ci si può servire del principio di induzione statistica
tipico delle scienze sperimentali; effettuando una serie di prove per tentativi ed
errori, finché non si intuisca una legge chiara cui soddisfano tutti i casi esaminati.
Fatto questo, si prova a dimostrare la validità universale della legge congetturata
utilizzando il metodo di Induzione completa o altre tecniche. Solo a dimostrazione
avvenuta si è autorizzati a ritenere universalmente valida la congettura o la formula
intuita, scoperta o costruita.
Tali equivalenze si possono dimostrare provando che P I M => PR, PR => P B O e infine, per chiudere il
triangolo, P B O => P I M.
Provata l’equivalenza tra i tre principi (che per questioni di spazio non riportiamo qui), di volta in volta ci
si potrà servire nelle dimostrazioni induttive di quello più gestibile.
13
Dal punto di vista del rigore logico-matematico non basta il conforto di alta
probabilità statistica per avvalorare una legge; è necessaria la certezza14 che la
congettura sia un Teorema per la Teoria; vale a dire che sua verità sia stata
convalidata da una rigorosa e generale dimostrazione.
Ad esempio, la formula: n2 + n + 41 fornisce sempre numeri primi se si
sostituiscono ad n tutti i valori da 1 a 39, ma per n = 40 si ottiene: 402 + 40 + 41 =
1600 + 81 = 1681 = 412 che non è ovviamente primo.
Solo una corretta deduzione15, molto amata dai greci e dai filosofi sempre alla
ricerca della verità16, garantisce che una volta accettate in qualche modo per vere le
premesse, necessariamente dobbiamo accettare per vera e incontestabile anche la
conclusione.
La certezza è un buon garante per la verità, anche se può accadere che all’interno di
un sistema deduttivo ci possano essere delle verità indimostrabili o proposizioni
indecidibili. Ma su questo punto apriremmo un altro fondamentale capitolo della
storia recente della matematica…
14
Cartesio, fondatore di un tipo di sapere basato sulla certezza e sull'esattezza, per raggiungere le quali
fondamentale è il Metodo unitamente alla consapevolezza che ciò che sfugge al metodo non è conoscibile,
considerava la scienza non come un garante di verità definitive quanto un ambito di ricerca continua di
verità provvisorie, all'interno della quale la conoscenza è in continua espansione.
15
Nella “disposizione dimostrativa” (hexis), che dovrebbe guidare la strutturazione del sapere scientifico,
i due procedimenti “induttivo” e “deduttivo” spesso si alternano.
Aristotele nell’Etica Nicomachea, VI, 3, si esprime nei termini: “ La scienza ... è una disposizione che
dirige la dimostrazione... si conosce in modo scientifico quando ... ci sono noti (per induzioni successive) i
principi primi ...”.
Tuttavia presenta come “vera scienza” solo la sistemazione “deduttiva” operata con l’“apodeixis”.
La “dimostrazione” assicura i due caratteri essenziali della scienza Aristotelica:
-le premesse universali prime, immediate, assiomatiche
-la struttura sillogistica che muove dagli Universali e deduce il particolare.
16
Spetta sempre ai greci il merito di aver reso astratta la matematica. Platone raccomandava che i futuri
re-filosofi fossero istruiti, dai venti ai trenta anni, nello studio delle scienze cosidette esatte: aritmetica,
geometria, astronomia e armonia. Insistendo sulla matematica come propedeutica alla filosofia. Per il
filosofo, la matematica risultava rigorosa in quanto i suoi esiti erano universali e necessari; ciò, a sua
volta, dipendeva dalla stabilità del suo oggetto, cui Platone attribuiva una natura metasensibile.
Le testimonianze antiche attestano la pratica del problem-solving, introdotta dallo stesso Platone che
sollecitava i propri discepoli a confrontarsi con problemi matematici sempre nuovi, ricorrendo ai
procedimenti di analisi.
14
La distinzione metodologica fra matematica e scienza sperimentale è comunque
chiara, poiché la scienza sperimentale accoglie anche conclusioni provvisorie
ottenute per induzioni su base statistico-probabilistica mentre le conclusioni basate
sulla deduzione logica sono valide per sempre, anche se di tanto in tanto si
impongono delle rivisitazioni dei fondamenti17e degli ampliamenti o mutamenti
teorici.
***
Il principio di induzione matematica si può estendere agli ordinali transfiniti, che
costituiscono un ampliamento dei naturali. Prende il nome di induzione transfinita
ed è più potente del principio di induzione forte, in quanto permette la
dimostrazione di teoremi che non possono essere dimostrati con l’induzione
matematica ordinaria.
Attenzione però, ribadiamo, colpo di scena! ?: non c'è un motivo necessario per cui
il Principio di induzione matematica [: la trasferibilità della verità di A(n) ad
A(n+1) garantisce la verità per tutti gli infiniti A(n)] debba essere di per sè vero!
Infatti, è un principio, uno schema assiomatico, interno alla Teoria dei numeri.
Ci sono aritmetiche "non standard" (vedi aritmetica di Robinson18) in cui è non
vale.19
17
La verità matematica dell’esattezza dipende, si sa, dagli “assiomi assunti”; se viene meno la loro
giustificazione si cade ovviamente in una condizione di indecidibilità, nel senso che non sono giustificabili
all’interno del sistema logico che su di essi si fonda.
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Cfr. Giorgio T. Bagni Università di Udine.
L’aritmetica di Robinson fu introdotta da Tarski, Mowstowski e Robinson nel 1953. Si indica con Q, ed è
più debole di quella di Peano, del primo ordine. Lo schema induttivo assiomatico dell’aritmetica di Peano:
(A(o), A(n) => A(n+1)) => A(n+1) per ogni n appartenente ad No,
viene sostituito dallo schema assiomatico:
per ogni n diverso da zero, esiste m tale che: n = (m + 1);
che nella teoria di Peano è invece un teorema facilmente dimostrabile per induzione.
Se l’aritmetica di Peano (PA) ha infiniti assiomi, uno per ogni formula con variabile libera, Q ne ha un
numero finito. Entrambe le teorie (PA e Q), la prima non finitamente assiomatizzabile, la seconda
finitamente, sono comunque incomplete.
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Neanche l’aritmetica, dunque, è un sistema oggettivo di essenze, strutture, principi e regole immutabili
dell’essere, ma di costruzioni poeticamente vincolate, la cui origine è rintracciabile nella grammatica del
linguaggio comune e delle sue istituzioni. Secondo Wittgentstein, si tratta di paradigmi grammaticali.
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