Divisione tra polinomi

Divisione tra polinomi
Nell’insieme dei numeri naturali la divisione tra due numeri m ed n si può sempre eseguire e tale
operazione avrà un quoziente q ed un resto r
m
n
r
q
11
2
1
5
⟺
𝑚 =𝑛∙𝑞+𝑟
𝑐𝑜𝑛 𝑟 < 𝑛
⟺
11 = 2 ∙ 5 + 1
𝑐𝑜𝑛 1 < 2
Esempio
Nel caso in cui r = 0 si dice che m è esattamente divisibile per n
12
2
0
6
⟺
12 = 2 ∙ 6
Ciò accade anche nella divisione tra polinomi. Dati due polinomi A(x) e B(x), con B(x) diverso dal
polinomio nullo, ordinati secondo le potenze decrescenti della lettera x, esistono due polinomi e
scriveremo:
A(x)
B(x)
R(x)
Q(x)
⟺
𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖 𝑅(𝑥) 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖 𝐵(𝑥)
Nel caso in cui R(x) = 0 si dice che il polinomio A(x) è esattamente divisibile per il polinomio B(x)
A(x)
B(x)
0
Q(x)
⟺
𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥)
Dove:




A(x) è il dividendo
B(x) è il divisore
Q(x) è il quoziente
R(x) è il resto
Prof. G. Frassanito – Liceo scientifico “E. Medi” - Galatone
Pag. 1
Nella divisione tra numeri naturali non ha senso fare la divisione se il dividendo è minore del
divisore; in questo caso, infatti, il quoziente sarebbe zero e il resto sarebbe uguale al dividendo.
4
7
4
0
Allo stesso modo, non ha senso eseguire la divisione tra polinomi quando il grado del divisore è
( )=
maggiore o uguale al grado del dividendo; anche in questo caso
e
( )= ( )
A(x)
B(x)
R(x)
0
⟺
𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) ∙ + 𝑅(𝑥) ⟺
𝐴(𝑥) = 𝑅(𝑥)
Regola per dividere un polinomio A(x) di grado m per un polinomio B(x) di grado n con
1. Ordinare i due polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile x;
2. Dividere il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore: il quoziente così
ottenuto è il primo termine del quoziente
3. Moltiplicare il primo termine del quoziente per il divisore e sommare il prodotto cambiato di
segno al dividendo. Il polinomio che si ottiene è il primo resto parziale
4. Se il grado del resto parziale è inferiore al grado del divisore la divisione termina e il resto
parziale è il resto della divisione; se, invece, il grado del resto parziale è superiore al grado del
divisore si assume come dividendo il resto parziale e si ripetono i passi 2 e 3 fino a che non si
giunge ad un resto parziale di grado inferiore a quello del divisore. Se l’ultimo resto è zero
allora il polinomio A(x) è esattamente divisibile per B(x).
I seguenti esempi chiariranno meglio quanto detto.
Esempio 1
Dividere il polinomio ( ) =
+
+
per il polinomio ( ) =
+
Il polinomio A(x) è ordinato mentre il polinomio B(x) deve essere ordinato secondo le potenze
decrescenti della variabile x, cioè ( ) = 2 +
Disponiamo i due polinomi secondo il seguente schema:
6𝑥 3 + 7𝑥
𝑥+5
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2𝑥 + 𝑥
Pag. 2
Eseguiamo le indicazioni del punto 2 e del punto 3
6𝑥 3 + 7𝑥
6𝑥 3
𝑥+5
2𝑥 + 𝑥
𝑥
𝑥 + 9𝑥
4𝑥 + 8𝑥 + 5
Poiché il primo resto parziale è di grado maggiore o uguale al grado del divisore, assumiamo come
dividendo il resto parziale eseguiamo le indicazioni del punto 2 e del punto 3
6𝑥 3 + 7𝑥
6𝑥 3
𝑥+5
2𝑥 + 𝑥
𝑥+2
𝑥 + 9𝑥
4𝑥 + 8𝑥 + 5
4𝑥
2𝑥 + 6
6𝑥 + 11
Il grado del resto parziale è inferiore al grado del divisore e, pertanto, la divisione finisce con il
seguente risultato:
( )=
( ) = 6 + 11
+2
Poiché il resto non è zero il polinomio A(x) non è esattamente divisibile per il polinomio B(x) e
6
3
+7
+ 5 = (2
+
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)(
+ 2) + 6 + 11
Pag. 3
Esempio 2
( )=
+
5𝑥 + 11𝑥 + 1
𝑥+2
Eseguire la divisione tra il polinomio
( )=
+
𝑥
1 𝑥3
𝑥
2𝑥 3
𝑥3
12𝑥 3
+
per il polinomio
4𝑥 + 𝑥 +
5𝑥 + 11𝑥 + 1
3
12𝑥 + 8𝑥
𝑥 + 11𝑥 + 1
𝑥
2𝑥
9𝑥 + 1
9𝑥
6
4
Poiché il resto non è zero il polinomio A(x) non è esattamente divisibile per il polinomio B(x) e
Risultato della divisione:
3
( )=
1
3
5
4
+
( )=4
+4
+ 11 + 1 = (
+ 2)(
4
2
+
+ )+4
Esempio 3
Eseguire la divisione tra il polinomio ( ) =
+
per il polinomio ( ) =
ordinando i polinomi secondo le potenze decrescenti prima di una lettera e poi dell’altra.
Ordiniamo rispetto alla lettera x:
+ 𝑎 𝑥 + 2𝑎3 𝑥
4𝑥
+4𝑥
2𝑥 + 𝑎
2𝑎𝑥 3
2𝑥 3 + 𝑎𝑥
𝑎3
2𝑎𝑥 3 + 𝑎2 𝑥2 + 2𝑎 𝑥
2𝑎𝑥 3
𝑎 𝑥
2𝑎3 𝑥
2𝑎3 𝑥 + 𝑎
𝑎
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Poiché il resto non è zero il polinomio A(x) non è esattamente divisibile per il polinomio B(x) e
Risultato della divisione:
( )=2 + 2
( )= 4
4
+
+2
3
= (2
+
2
)( 2 + ) +
4
Ordiniamo rispetto alla lettera a:
2𝑥𝑎3 + 𝑥 𝑎
𝑎
4𝑥
3
2𝑥𝑎 + 5𝑥 𝑎 + 1 𝑥 3
2𝑥𝑎 + 4𝑥 𝑎
5𝑥 𝑎
5𝑥 𝑎
2𝑥
4𝑥
3
+1 𝑥 𝑎
1 𝑥 3𝑎
4𝑥4
-1 𝑥 3 𝑎
+ 2 𝑥4
16𝑥
Poiché il resto non è zero il polinomio A(x) non è esattamente divisibile per il polinomio B(x) e
Risultato della divisione:
( )= 2 2+5 2 +1
( ) = 16 4
2
3
+
4
= (2
+5
+1
3 )(
2 ) + 16
4
Esercizi proposti
1. (
2. (2
3. (
3
2) (
2)
+ + 1) (2
1)
3
) (
+2
+
2 )
Bibliografia
N. Dodero – P. Baroncini – R. Manfredi – I. Fragni: Lineamenti. Math BLU nella matematica
Algebra vol. 1
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Pag. 5