Randsteuerung von Wårmetauschern mit ærtlich verteilten Parametern: Ein flachheitsbasierter Zugang
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Randsteuerung von Wårmetauschern mit ærtlich verteilten Parametern: Ein flachheitsbasierter Zugang
THEORETISCHE ARBEIT at 8/2000 Randsteuerung von Wårmetauschern mit ærtlich verteilten Parametern: Ein flachheitsbasierter Zugang Boundary Control of Heat Exchangers with Spatially Distributed Parameters: A Flatness-Based Approach Joachim Rudolph, TU Dresden Herrn Prof. Dr.-Ing. M. Zeitz zum 60. Geburtstag gewidmet. Die Erweiterung des von den nichtlinearen endlichdimensionalen Systemen stammenden Flachheitskonzepts auf lineare Systeme mit ærtlich verteilten Parametern und Randeingriffen wird hier zum Entwurf von Steuerungen fçr typische Parallelstrom- und Gegenstromwårmetauscher ausgenutzt. Operatorenrechnung gestattet die explizite Parametrierung der Læsungen durch sogenannte flache Ausgånge. Fçr den Parallelstromwårmetauscher çbernimmt die Zuflusstemperatur der Heizflçssigkeit (bzw. der Kçhlflçssigkeit) die Rolle des flachen Ausgangs, beim Gegenstromwårmetauscher der Ortsgradient beim Zufluss der zu erwårmenden (bzw. der zu kçhlenden) Flçssigkeit. Die Læsungen lassen Integraldarstellungen mit endlichem Tråger zu, in denen Besselfunktionen auftreten; sie beschreiben ¹verteilte Totzeiten`` bzw. ¹verteilte Prådiktionen``. Es ergibt sich eine einfache exakte Methode fçr die Planung von Ûbergangsvorgången zwischen stationåren Betriebszustånden und zur Berechnung der dazu erforderlichen Steuerungen. The extension of the flatness concept, stemming from nonlinear finite dimensional systems, to linear systems with distributed parameters and boundary control is exploited here for the control of typical heat exchanger models: with parallel flow and with counter-flow. Operational calculus allows us to obtain an explicit parametrization of the solution by a so-called flat output. In the present case, this flat output is the inflow temperature of the heating (or cooling) fluid in the parallel flow case, wheras in the counter-flow case it is the spatial gradient of the temperature field at the inflow of the fluid to be heated (or cooled). These solutions give rise to integral representations comprising Bessel functions which can be interpreted as involving ¹distributed delays`` and ¹distributed predictions``. This leads to a simple exact trajectory planning method for the transition between stationary regimes and to a direct computation of the corresponding open-loop boundary controls. 1 Einleitung Differentiell flache nichtlineare Systeme [3; 4; 17; 28; 30] zeichnen sich durch eine vollståndige, endliche und freie differentielle Parametrierbarkeit der Systemtrajektorien aus: Die Læsung kann als differentielle Funktion voneinander unabhångig wåhlbarer Trajektorien eines sog. flachen Ausgangs dargestellt werden. Auf der Grundlage dieser Eigenschaft konnten effiziente Methoden zur Trajektorienplanung und zur Folgeregelung entwickelt werden. In åhnat ± Automatisierungstechnik 48 (2000) 8 # Oldenbourg Verlag licher Weise eræffnet die sog. -Freiheit linearer Totzeitsysteme [21; 6], ein aus der Modultheorie linearer Systeme [2] stammendes Steuerbarkeitskonzept, die Mæglichkeit zur Læsung der Trajektorienplanung und der Folgeregelung fçr diese speziellen unendlichdimensionalen Systeme ± dieses Konzept bildet zusammen mit der Flachheit nichtlinearer Systeme auch den Ausgangspunkt fçr die Definition der sog. -Flachheit nichtlinearer Totzeitsysteme [24]. Mit Hilfe des Konzepts der -Freiheit konnten Steuerungen und Regelungen fçr solche hyperbolischen linearen Sys- 399 at 8/2000 THEORETISCHE ARBEIT teme mit verteilten Parametern und konzentrierten Stelleingriffen entworfen werden, die eine Modellierung als Totzeitsysteme zulassen [26; 8; 22; 23; 25]. Die Verallgemeinerung der -Freiheit eræffnet neue Mæglichkeiten fçr die Steuerung weiterer Systeme mit ærtlich verteilten Systemen, deren Stellgræûen çber den Rand (oder anderweitig ærtlich konzentriert) einwirken. Im Rahmen der Modultheorie werden diese Systeme durch Verwendung von an die jeweiligen Modelle angepassten Ringen beschrieben. Auf diese Weise konnten beispielsweise schon parabolische Systeme behandelt werden, die Wårmeleitungsaufgaben oder einfache Rohrreaktoren beschreiben [10; 11; 17; 16; 29], sowie durch biharmonische Gln. (Euler-Bernoulli-Balkengln.) beschriebene flexible Roboterarme [1; 9; 15] und ein piezo-elektrischer Bieger [14]. Einzelne Erweiterungen des Konzepts fçr spezielle nichtlineare Systeme mit verteilten Parametern sind ebenfalls bekannt [17; 27; 32]. In [5] wurde fçr eine durch die (lineare) Telegraphengl. beschriebene Leitung eine Signalverarbeitungsmethode vorgeschlagen, die ebenfalls auf der hier interessierenden Freiheit linearer verteilter Systeme basiert. Die zur Beschreibung dieses Systems verwandten Operatoren sind jenen åhnlich, die in den math. Modellen einfacher Wårmetauscher auftreten: Sie fçhren auf Integrale mit endlichen Trågern, die als ¹verteilte Totzeiten`` und ¹verteilte Prådiktionen`` interpretiert werden kænnen (Man erinnere sich daran, dass die verlustfreie Leitung auf Totzeitsysteme fçhrt ± s. z.B. [22].) Entsprechend treten auch bei der Trajektorienplanung der hier untersuchten Wårmetauschermodelle solche ¹verteilten Totzeiten`` und ¹verteilten Prådiktionen`` auf. Zwei Klassen von Wårmetauschern werden untersucht: Parallelstrom- und Gegenstromwårmetauscher. In Abschnitt 2 werden die mathematischen Modelle eingefçhrt und dann mit Hilfe der Operatorenrechnung in eine fçr den Entwurf von Steuerungen geeignete Form çberfçhrt. In Abschnitt 3 wird eine Steuerung fçr den Ûbergang zwischen zwei stationåren Betriebszustånden entworfen. Dazu wird jeweils einer Græûe, die die Rolle eines ¹flachen Ausgangs`` çbernimmt, eine Trajektorie zugewiesen: im Fall des Parallelstroms der Zuflusstemperatur der erwårmenden (oder kçhlenden) Flçssigkeit (die als Stellgræûe aufgefasst werden kann), im Gegenstromfall dem Ortsgradienten der zu erwårmenden (oder zu kçhlenden) Flçssigkeit beim Eintritt in den Wårmetauscher. Der erzielte Zeitverlauf der Temperaturprofile wird mit Simulationsergebnissen illustriert, und die theoretischen Grundlagen werden in Abschnitt 4 skizziert. 2 Mathematische Modelle Ein einfacher Wårmetauscher besteht aus zwei ineinander steckenden zylindrischen Rohren mit einer gemeinsamen Symmetrieachse (vgl. Bild 1). Nimmt man den Wårmeaustausch zwischen dem åuûeren Rohr und der Umgebung und 400 u(t) = Ta(0,t) T a ( z , t ) νa Ti(0,t) T i ( z , t ) νi z=0 z=1 Bild 1: Prinzipskizze eines einfachen Wårmetauschers. die Wårmeleitung als vernachlåssigbar an, so erhålt man ein mathematisches Modell der Form @Ti @Ti vi a Ta @t @z @Ta @Ta va b Ti @t @z Ti Ta : 1a 1b Dabei stehen Ta z; t und Ti z; t fçr die Temperaturen im åuûeren bzw. im inneren Rohr, z 2 0; 1 ist die Orts- und t 0 die Zeitvariable. Die konstanten und reellen Parameter des Modells sind: die Stræmungsgeschwindigkeiten vi und va , die Dichten i ; a und die spezifischen Wårmekapazitåten ci ; ca der Flçssigkeiten innen und auûen, schlieûlich der Wårmeaustauschkoeffizient i und die Radien der Rohre ri und ra . Mit diesen physikalischen Parametern kann man a 2 i 2 i ri und b ci i r i ca a r2a r2i definieren. Zur Vereinfachung der Schreibweise ist die Långe des Wårmetauschers normiert. Werden als Anfangsbedingung stationåre Profile angenommen, so kann in Folge der Linearitåt des Modells Ti z; 0 Ta z; 0 0 betrachtet werden; jedes andere stationåre Profil kann durch Superposition addiert werden. Wird fçr den Gegenstromfall eine negative Geschwindigkeit im Innenrohr, vi < 0, verwandt, sind die pDgln. des Modells in beiden Fållen identisch. Hingegen ergeben sich unterschiedliche Randbedingungen, denn der Zufluss des Innenrohrs befindet sich in diesem Fall bei z 1. Fasst man die Zuflusstemperatur des Auûenrohrs (bei z 0) als Stellgræûe auf, u t Ta 0; t, so ergeben sich die Randbedingungen Ti 0; t Ti0 t 0; Ta 0; t u t fçr den Parallelstrom und Ti 1; t Ti1 t 0; Ta 0; t u t bei Gegenstrom. Es ist hilfreich, in den pDgln. durch die Geschwindigkeiten zu dividieren und die Mittelwerte und Differenzgræûen als Parameter zu verwenden: 1 1 1 1 1 1 ; 4 ; 2 vi va 2 vi va 1 a b 1 a b ; 4 ; 2 vi va 2 vi va at 8/2000 J. Rudolph: Randsteuerung von Wårmetauschern mit ærtlich verteilten Parametern . . . damit lauten die Gln. (1) @Ti @Ti 4 @z @t @Ta @z 4 @Ta @t 2.1.2 Gegenstromwårmetauscher 4 Ta 4 Ti Ti 0 Fçr den Gegenstromwårmetauscher ergeben sich analog die ortsabhångigen Ûbertragungsfunktionen Ta 0: Nun gewinnt man die pDgln. des Gegenstromfalls aus denen des Parallelstromfalls, indem man vi > 0 verwendet und jeweils durch 4 und durch 4 ersetzt, und vice versa. G TTia0 z; s N 1 z; s T^i z; s D s T^a 0; s G TTaa0 z; s N 2 z; s T^a z; s ; D s T^a 0; s mit D s e 2.1 Ûbertragungsfunktionen Einfçhren des Operators s fçr die Ableitung nach der Zeit t und der Operatorfunktionen1 T^i z; s und T^a z; s ± s. dazu Abschnitt 4 ± fçhrt auf das System gew. Dgln. d T^i 4 s T^i dz d T^a dz 4 s T^a 4 T^a 4 T^i T^a 0: Darin spielt s die Rolle eines Parameters. Fçr dieses lineare Differentialgleichungssystem kann leicht die allgemeine Læsung in Abhångigkeit der Randbedingungen bestimmt werden. Dies fçhrt in bekannter Weise auf die im folgenden detailliertenÛbertragungsfunktionen. N 1 z; s e s 44 z 1 4 p sinh 2 s2 2 s 42 1 p 2 s2 2 s 42 N 2 z; s e s 44 z 1 q cosh 2 s2 2 s 42 1 2.1.1 Parallelstromwårmetauscher s Fçr den Parallelstromwårmetauscher ergibt sich ^ T^i z; s G TTia0 z; s u s q # " 2 sinh 42 s2 24 4s z q 4 2 42 s2 244 s e s z ^ u s ^ T^a z; s G TTaa0 z; s u s " q 2 cosh 42 s2 244 s z q # 2 sinh 42 s2 24 4s z q s 4 4 2 42 s2 244 s e s z ^ u s; mit den ortsabhångigen Ûbertragungsfunktionen G TTia0 z; s und G TTaa0 z; s von der Stellgræûe u Ta0 jeweils zu den Temperaturen innen und auûen an der Stelle z. 1 Die sich mit dem hier verwendeten MikusÌnskischen Operatorenkalkçl ergebenden Ausdrçcke entsprechen in vielen Anwendungen jenen, die sich bei einer Verwendung der Laplacetransformation ergåben ± s. hierzu z.B. [20]. Die Voraussetzungen zur Anwendung dieses Operatorenkalkçls sind weniger streng und gestatten die Læsung der hier untersuchten Aufgabe. q cosh 2 s2 2 s 42 p! 2 2 2 sinh s 2 s 4 p s 2 s2 2 s 42 T^i 0 s 44 sinh z z p 2 s2 2 s 42 1 p 2 s2 2 s 42 z ! : Unter Verwendung von ^ D 1 s T^ a 0; s B s kænnen T^ i z; s und T^ a z; s dargestellt werden, ohne den zu D s inversen Operator zu benutzen: ^ T^ i z; s N 1 z; sB s ^ T^a z; s N 2 z; sB s: ^ Es lohnt sich, die physikalische Bedeutung der Græûe B s offenzulegen, die die Rolle eines ¹flachen Ausgangs`` çbernimmt. Man verifiziert leicht durch Ableiten von T^i nach z und Auswerten bei z 1, dass sie (bis auf eine Skalierung) den Ortsgradienten des Temperaturprofils Ti z; t im Innenrohr bei z 1 beschreibt: B t 1 @T i 1; t: 4 @z Stationår entspricht dieser Gradient der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Rohren an der Stelle z 1, das ergibt sich aus der pDgl. (1a) des Modells. Es kann nun bereits ein wesentlicher Unterschied zwischen den beiden Fållen unterstrichen werden: Wåhrend im Parallelstromfall zur Berechnung der Temperaturprofile keiner der auftretenden Operatoren invertiert werden muû, wird 401 THEORETISCHE ARBEIT at 8/2000 ^ ereine solche Operatorinversion zum Einfçhren von B s forderlich. Aus dieser Græûe kænnen allerdings die Temperaturen dann leicht berechnet werden, diese Berechnung bildet den Inhalt des nåchsten Abschnitts. Die Erærterung dieser Unterschiede wird in der Folge noch vertieft. 3 Ûbergang zwischen stationåren Profilen Fçr den Gegenstromwårmetauscher treten die gleichen Operatoren auf: Es gençgt somit auch hier, jeweils mit q4 und mit 4 zu vertauschen. Mit 2 2 4 / erhålt man 4 Ti z; t 2 e B t Z 1 z 1 z d 3.1 Zeitabhångige Læsungen Zur Berechnung der Funktionen, die den in den Gln. fçr die Wårmetauscher auftretenden Operatoren und Operatorfunktionen entsprechen, kann man sich der Korrespondenzentafeln der Laplacetransformation bedienen. So findet man beispielsweise als Nr. 337 in der Tabelle des Buchs von G. Fodor [13] ( p ) p T 2 2 e L 1 p 1 t T J0 t2 T 2 2 2 fçr T > 0, wobei J0 die Besselsche Funktion erster Gattung nullter Ordnung ist. Diese Korrespondenz kann im Rahmen von MikusÌnskis zur Berechnung p Operatorenkalkçl p p von 2 2 2 2 sinh T / und cosh T 2 2 auf T < 0 ausgedehnt werden (Man kann das Ergebnis leicht verifizieren.). Die Substitution von q 2 42 4 s ; und T 4 z ; 4 4 fçhrt fçr den Parallelstromfall auf Ti z; t 4 e z 2 4 4 Z z q J0 2 4 z2 4 z e 4 4 Ta 0; t z d und e z Ta z; t 2 4 q Z z 4 z q J1 2 4 z2 2 4 z2 4 z e 4 4 e 4 Ta 0; t z d z Ta 0; t 4z; Ta z; t 2 e e Z 1 z 1 z 1 z B t 1 z q J 0 2 1 z 2 q J1 2 1 z2 q 2 1 z 2 d B t 1 z: Hier wird neben der ¹verteilten Totzeit`` auch eine ¹verteilte Prådikton`` (jeweils endlicher Amplitude) erforderlich: Die geplante Trajektorie von B muû um im Voraus bekannt sein, denn zur Berechnung der Temperaturen an der Stelle z 0 wird B t benætigt. 3.2 Trajektorienplanung und Berechnung der Steuerungen Zur Parametrierung eines Ûbergangs zwischen zwei stationåren Profilen reicht es nun aus, folgende Trajektorien fçr den jeweiligen ¹flachen Ausgang`` zu wåhlen: 0; t 3 t 7 !u t 2 R fçr die Stellgræûe u im Parallelstromfall; und 0; t 3 t 7 !B t 2 R fçr den Gradienten @Ti / @z 1; t beim Gegenstromwårmetauscher. Man beachte, dass (im Gegensatz beispielsweise zu den parabolischen pDgln. in [10; 11; 16]) keinerlei Differenzierbarkeitseigenschaften fçr diese Trajektorien gefordert werden mçssen: Es handelt sich um ein hyperbolisches System. Fçr den Parallelstromwårmetauscher wird der Endwert der Trajektorie aus dem gewçnschten stationåren Wert der Temperatur im Innenrohr am Ende des Ûbergangsvorgangs berechnet, also aus Ti 1; t T istat: (1); es muû u t Tastat: 0 2 4 1 e 2 Ti 1; t gelten. Die Wahl der Funktion zwischen dem Anfangswert u 0 0 und dem Endwert u t ist a priori freigestellt. mit der Besselfunktion erster Gattung erster Ordnung J1 . Es ergibt sich also fçr die Temperaturprofile jeweils ein Integral mit endlichem Tråger, das als ¹verteilte Totzeit`` interpretiert werden kann2. Fçr den Gegenstromfall wird åhnlich vorgegangen: 2 Man kann dieses Ergebnis auch mit der Riemannschen Integrationsmethode ableiten. Die Stellgræûe ergibt sich daraus durch Auswertung von Ta z; t an der Stelle z 0. 402 B t 4 T i 0: 4 sinh 4 stat: at 8/2000 J. Rudolph: Randsteuerung von Wårmetauschern mit ærtlich verteilten Parametern . . . 3.3 Simulationsergebnisse Fçr den Parallelstromwårmetauscher zeigen Bild 2 und Bild 3 die zeitliche Verånderung der Temperaturprofile. 1.4 1.2 1 0.8 1.4 0.6 1.2 0.4 1 0.2 0.8 0 1 0.6 0.8 200 0.6 0.4 150 0.4 0.2 z 0 100 0.2 50 0 0 t 1 0.8 200 0.6 150 0.4 100 0.2 z 50 0 t 0 Bild 2: Zeitlicher Verlauf des ortsabhångigen Temperaturprofils im Innenrohr eines Parallelstromwårmetauschers bei einer linearen Erhæhung der Zuflusstemperatur im Auûenrohr. Bild 5: Zeitlicher Verlauf des ortsabhångigen Temperaturprofils im Auûenrohr eines Gegenstromwårmetauschers bei einer linearen Erhæhung von B t. Diese Læsung entspricht einer in t linearen Erhæhung der Stellgræûe u t, also der Temperatur Ta 0; t. Entsprechend zeigen die Bilder 4 und 5 das Verhalten eines Gegenstromwårmetauschers bei einer in t linearen Erhæhung von B t. 1.4 1.2 4 Theoretische Grundlagen 1 0.8 Es soll hier nur ein kurzer Abriss der theoretischen Grundlagen gegeben werden. Eine umfassendere Abhandlung findet sich z.B. in [7; 9; 12] und den darin angegebenen Literaturstellen. 0.6 0.4 0.2 0 1 0.8 200 0.6 150 0.4 4.1 MikusinÂskis Operatorenkalkçl 100 0.2 z 50 0 t 0 Bild 3: Zeitlicher Verlauf des ortsabhångigen Temperaturprofils im Auûenrohr eines Parallelstromwårmetauschers bei einer linearen Erhæhung der Zuflusstemperatur im Auûenrohr. 1 Die Menge der stetigen Funktionen 0; 1! C, ausgestattet mit der Addition , f g t f t g t, R t und dem Faltungsprodukt ?, f ? g t g ? f t 0 f Rt g t d 0 g f t d bildet einen kommutativen Ring C. Einem berçhmten Satz von Titchmarsh zufolge (s. [19; 20; 31]) ist C nullteilerfrei: f ? g 0 , f 0 oder g 0. Der Quotientenkærper M von C heiût MikusinÂskiKærper, seine Elemente Operatoren. Schreibweise: 1) Wird eine Funktion f t 2 C als Operator aus M aufgefasst (durch Einbettung), so schreibt man dafçr oft f f tg. 0.8 0.6 2) Das (Faltungs-)Produkt zweier Operatoren a; b 2 M wird ab geschrieben. 0.4 0.2 0 1 0.8 200 0.6 150 0.4 z 100 0.2 50 0 0 t Bild 4: Zeitlicher Verlauf des ortsabhångigen Temperaturprofils im Innenrohr eines Gegenstromwårmetauschers bei einer linearen Erhæhung von B t. Beispiele: 1) Das neutrale Element, 1, in M heiût DiracOperator, dieser entspricht der Diracschen Distribution in der Theorie von L. Schwartz, und er darf nicht mit der Heaviside-Funktion f1g 2 C verwechselt werden. 2) Die Heaviside-Funktion f1g besitzt ein inverses Element in M, den Differentialoperator s, der der gewohnten Regel gençgt: Ist f 2 C eine C 1 -Funktion, dann ist fsf g f f_g f f 0g, mit f_ der Ableitung von f . 403 at 8/2000 THEORETISCHE ARBEIT 3) Die Operatoren des Unterkærpers C s der gebrochen rationalen Ausdrçcke in s haben die çbliche Bedeutung. 4) Die Operatoren e s , mit 2 R, > 0 sind die Totzeitoperatoren konstanter Amplitude . Ihre Inversen es sind Prådiktionsoperatoren. Eine Operatorfunktion [18; 19; 20] ist eine Abbildung I ! M, I R; deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit kænnen in gewohnter Weise definiert werden. 4.2 Moduln und Systeme Sei R ein çber C durch eine endliche Anzahl von Operatoren und Operatorfunktionen erzeugter Ring, und sei A R 1 , mit 2 R, eine R-Algebra. Ein lineares R-System ist dann ein endlich erzeugter R-Modul3. Ist ein freier4 Modul, so wird eine Basis als flacher Ausgang5 bezeichnet. ^ mit ^ 2 , eine Basis, dann heiût Ist A frei6 und 1 , ^ -frei, und wird als -flacher Ausgang bezeichnet. Beispiele: 1) Mit R Rs erhålt man ein zeitinvariantes lineares endlichdimensionales System. Bilden z1 , . . ., zs ein Erzeugendensystem des R-Moduls , dann kænnen die Beziehungen P zwischen diesen Græûen, die Systemgln., in der Form si1 aj;i s zi 0, j 1, . . ., N, mit aj;i 2 R, angeschrieben werden. Der Modul ist genau dann frei, wenn er torsionsfrei ist: Das System ist dann steuerbar [2]. Jede beliebige Systemgræûe w 2 kann in diesem Fall als R-Linearkombination der Komponenten einesPflachen Ausgangs b1 , . . ., bm dargestellt werden: w m i1 ci s bi , mit ci 2 R. Fçr ein durch nur zwei Græûen y und u erzeugtes R-System mit den Gln. d s y n s u 0 entspricht die Steuerbarkeit bekanntlich der Teilerfremdheit von d s und n s, und ein flacher Ausgang, also eine Basis von , ist dann das Element b 2 , fçr das gilt y n s b und u d s b. 2) Mit R R s; e s , 2 R, > 0 erhålt man ein System, dessen Gln. ein Totzeitsystem beschreiben. Beispiele mægen die eingefçhrten Konzepte illustrieren: a) Sei 1 das durch y und u erzeugte R s; e s -System mit der Gl. s y se s u 0. Der Modul 1 ist nicht torsionsfrei und damit auch nicht frei, denn z y e s u 2 1 gençgt der Beziehung s z 0. b) Sei 2 das durch y und u erzeugte R s; e s -System mit der Gl. s2 y e s y u 0. Der Modul 2 ist frei: y 3 Die Elemente eines endlich erzeugten R-Moduls sind Linearkombinationen, mit Koeffizienten in dem Ring R, einer endlichen Zahl von sog. Erzeugenden. Es handelt sich also um zu Vektorråumen analoge Strukturen: Vektorråume sind spezielle Moduln, die çber einem Ring erzeugt werden, dessen Elemente Inverse bezçgl. der Multiplikation besitzen, also çber einem Kærper. 4 Ein freier R-Modul ist ein R-Modul, der eine Basis besitzt, also ein R-linear unabhångiges Erzeugendensystem. Auch hier erkennt man den Spezialfall der Basis eines Vektorraums. 5 franzæsisch als ¹sortie basique`` oder ¹sortie plate``, englisch als ¹basic output`` oder als ¹flat output`` 6 Man kann A als durch Hinzunehmen von 1 zu dem Ring R entstanden verstehen, d.h. in dieser Struktur kænnen Potenzen von 1 in den Koeffizienten der Linearkombinationen auftreten. 404 ist eine Basis, denn alle Græûen in 2 sind R-Linearkombinationen von y und u s2 e s y, also von der Form c y, mit c 2 R. c) Sei 3 das durch y und u erzeugte R s; e s -System mit der Gl. s y e s u 0. Der Modul 2 ist torsionsfrei aber nicht frei (ein geeignetes Kriterium findet sich z.B. in [6; 21]). Der R s; e s, es -Modul R s; e s , es 3 hingegen ist frei: Man kann u durch y ausdrçcken, wenn die Multiplikation mit dem Prådiktionsoperator e s zugelassen wird. Das System 3 ist folglich e s -frei und y ein e s flacher Ausgang. Die Erweiterung des Systems durch Hinzunahme einer Prådiktion erlaubt also die Parametrierung der Læsung mit einer Trajektorie fçr y. Was bedeuten diese Definitionen nun fçr die Wårmetauschermodelle? Fçr den Parallelstromwårmetauscher ist das System der freie C G TTia0 z; s, GTTaa0 z; s-Modul mit ^ Diese Definition des Systems besagt im weder Basis u. sentlichen, dass die in einem math. Modell des Wårmetauschers auftretenden Græûen in der Form a u^ dargestellt werden kænnen, wobei a ein Polynom in GTTia0 z; s, GTTaa0 z; s und s ist, mit komplexen Koeffizienten. So kænnen insbesondere T^a und T^i in dieser Weise dargestellt werden, wie dies in Abschnitt 2.1.1 geschah. Fçr den Gegenstromwårmetauscher ist das System der C N 1 z; s, N 2 z; s, D s-Modul , der durch T^i , T^a und u^ erzeugt wird: Die Systemgln. kænnen mit Linearkombinationen der Græûen T^i , T^a und u^ mit Koeffizienten in C N 1 z; s, N 2 z; s, D s dargestellt werden (vgl. Abschnitt 2.1.2). Der Modul ist torsionsfrei7. Sei A C N 1 z; s, N 2 z; s, D s, D s 1 ; dann ist das A-System A frei und B^ eine Basis, also ist B^ ein D-flacher Ausgang von . Dies wurde in Abschnitt 2.1.2 ausgenutzt, um lineare Gln. fçr die die Temperaturprofile beschreibenden Systemgræûen T^i und T^a abzuleiten, in denen als Koeffizienten nur Ausdrçcke aus C N 1 z; s, N 2 z; s, D s auftraten. Dadurch war es mæglich, die den Operatorfunktionen entsprechenden Funktionen von z und t zu bestimmen. Auch hier wird also, analog zu dem oben als Beispiel c) untersuchten Totzeitsystem, nach einer Erweiterung des Systems durch Zulassen der Inversion eines Operators die Parametrierung der Læsung mit einer Trajektorie fçr den D s-flachen Ausgang B^ mæglich. Das fçhrt erneut auf eine ± nun ¹verteilte`` ± Prådiktion. 5 Zusammenfassung Wie fçr flache nichtlineare Systeme (endlicher Dimension) kænnen auch fçr die çblichen Modelle einfacher Wårmetauscher, lineare Systeme mit ærtlich verteilten Parametern und Randeingriffen, die Læsungen mit einem ¹flachen Ausgang`` parametriert werden. Dies gestattet eine effiziente Planung von Ûbergangsvorgången und die Berechnung der dazu erforderlichen Stellsignale. Das zugrunde7 D.h. es gibt keine Beziehung der Form az 0 mit 0 6 a 2 C N 1 z; s, N 2 z; s, D s und z 2 . J. Rudolph: Randsteuerung von Wårmetauschern mit ærtlich verteilten Parametern . . . liegende Konzept erweitert das zur Flachheit analoge Konzept der -Freiheit linearer Totzeitsysteme mit Totzeiten konstanter Amplitude. Die Interpretation der mit Hilfe des Operatorenkalkçls erhaltenen Læsung im Zeitbereich ergibt ¹verteilte Totzeiten`` und ¹verteilte Prådiktionen``, die durch Integrale mit endlichen Trågern beschrieben werden. Wåhrend das Entwurfsverfahren fçr den Parallelstromwårmetauscher im wesentlichen die Berechnung der Læsung fçr einen vorgegebenen Stellgræûenverlauf ausnutzt, wird fçr den Gegenstromwårmetauscher der Zeitverlauf einer Græûe vorgegeben, die zunåchst nicht zu den das System beschreibenden sog. Systemgræûen gehært: Im zugrundeliegenden modultheoretischen Rahmen ist eine Erweiterung des Systems durch Hinzunahme eines inversen Operators erforderlich. Auf diese Weise kommt es zum Auftreten einer ¹verteilten Prådiktion``. Eine Reihe weiterer Beispiele zur Anwendung des vorgestellten Konzepts findet sich in der Literaturliste. Dabei treten je nach den pDgln. der Modelle unterschiedliche Operatoren auf, die im Gegensatz zur hier verwandten Integraldarstellung mitunter auf Reihendarstellungen fçhren. Wåhrend bei den hier untersuchten hyperbolischen Systemen keinerlei Differenzierbarkeitsanforderungen an die Trajektorien des ¹flachen Ausgangs`` gestellt werden mçssen, sind dann glatte Trajektorien erforderlich, die auûerdem zusåtzlichen Bedingungen gençgen mçssen, um die Konvergenz der Reihen sicherzustellen. Danksagung Die vorgestellten Ergebnisse entstanden im Rahmen eines von der Deutschen Forschungsgemeinschaft gefærderten Projektes. Der Dank des Autors gilt auch den ehemaligen Diplomanden am Institut fçr Regelungs- und Steuerungstheorie Herrn Dipl.-Ing. Th. Wallstein und Herrn Dipl.-Ing. F. Woittennek fçr ihre Beteiligung an den Berechnungen und den Programmierarbeiten zur Simulation. Literatur [1] Y. 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Springer-Verlag, New York, 1984. 406 Manuskripteingang: 13. Januar 2000. Dr. Joachim Rudolph ist als Stipendiat im Habilitandenprogramm der Deutschen Forschungsgemeinschaft am Institut fçr Regelungs- und Steuerungstheorie der TU Dresden bei Prof. K. Reinschke tåtig. Hauptarbeitsfelder: Regler- und Beobachterentwurf fçr nichtlineare Regelstrecken, algebraische Methoden, lineare und nichtlineare unendlichdimensionale Systeme. Adresse: Institut fçr Regelungs- und Steuerungstheorie, Technische Universitåt Dresden, Mommsenstr. 13, D-01062 Dresden, E-Mail: [email protected]