Flachheit: Ein neuer Zugang zur Steuerung und Regelung

Flachheit: Ein neuer Zugang
zur Steuerung und Regelung
nichtlinearer Systeme
Ralf Rothfuß, Stuttgart, Joachim Rudolph, Dresden und Michael Zeitz, Stuttgart
Dr.-Ing. R d f Rothfuß war zuf Zeit der Entstehung des
vorliegenden Aufsatzes wissenschaftlicher Mitarbeiter
am Institut fiir Systemdynamik und Regelungstechnik
der Universität Stuttgari bei Prof. Dr.-Ing. M. Zeitz.
Hauptarbeitsfelder: Regler und Beobachter für nichtlineare Systeme, rechneninterstützter Entwurf mit Hilfe
von Computer-Algebra-Systemen.
Adresse: Bergstraße 23, D-731 19 Zell.
Dr. Joachim Rudolph ist Stipendiat der Deutschen
Forschungsgemeinschafiam Institut für Regelungs- und
Steumngstheone der Technischen Universittit Dresden
bei Prof. Dr.-Ing. K. Reinschke. Hauptarbeitsfelder:
Regelung und Beobachter nichtlinearer Systeme, algebraische Methoden, lineare und nichtlineare unendlichdimensionale Systeme.
Adresse: Institut für Regelungs- und Steuening~theone,
Technische Universität Dresden, Mommsenstr. 13, D01062 Dresden.
E-mal: mdolph@erssl I .et-tu-dresden.de
Prof. Dr.-Ing. Michael Zeitz ist Professor arn Institut fur
Systemdynamik und Regelungstechnik der Universitat
Stuttgart. Hauptarbeitsfelder: nichtlineare Regelung und
Beobachtung, Systeme mit verteilten Parametern, Methoden und Werkzeuge zur rechneninterstutzten Modell i e m g und Simulation.
Adresse: ISR-1304, Universität Stuttgart, D-70550
StuttgaIt.
E-mail: [email protected]
Das 1992 von Fliess, Levine, Martin und Rouchon
eingeführte Konzept der Flachheit eröfiet einen neuen
Zugang zur Analyse und zum Entwurf nichtlinearer
Systeme. Flache nichtlineare Systeme sind eine
Verallgemeinerung der linearen steuerbaren Systeme
und ermöglichen einen systematischen Entwurf von
Steuerungen und Regelungen zur Trajektorienfolge. Zur
Realisierung der flachheitsbasierten Folgeregelung
können nichtlineare Beobachter mit zeitvarianter
Verstärkung verwendet werden. Die Flachhea'tsanalyse
und der flachheitsbasierte Entwurf einer ,Steuerung,
einer asyrnptotischen Folgeregelung und eines nichtlinearen Folgebeobachters werden erläutert. Dazu wird
das Beispiel eines kinematischen Fahrzeugmodells
betrachtet.
at - Automatisierungstechnik 45 (1997) 11 O R. Oldenbourg Verlag
Flatness: A new approach to control of nonlinear
systems
The flatness concept as introduced by Fliess, Levine,
Martin und Rouchon in 1992 ofSers a new approachfor
the analysis und the design of nonlinear systems. Flut
nonlinear systerns are a generalization of the linear
controllable ones. They allow a systematic design of a
nonlinear tracking control in Open or closed loop. Fora
realization of the flatness-based tracking feedback,
nonlinear observers with time-varying gain may be
used. The flatness analysis und the flatness-based
design of an Open loop control, of a feedback tracking
control, und of a nonlinear tracking observer are
explained. For this, the example of a kinematical car
model is considered.
1 Einführende Übersicht
,,Flachheit" ist eine Eigenschaft, die in allen
Bereichen vorkommt, und der Begriff ,,flach" wird in
unterschiedlichster Weise verwendet. Stets jedoch wenn auch mitunter im übertragenen Sinne - bezeichnet ,,flach" eine geometrische Eigenschaft und impliziert gleichzeitig eine gewisse ,,Einfachheita der
betrachteten Struktur. So ist im Management heutzutage der Begriff einer ,,flachenc' Hierarchie geläufig,
und es gibt hier in der Tat eine gewisse Analogie zu den
flachen Systemen: eine ,,flacheu Struktur vereinfacht
das Verständnis der funktionalen Zusammenhänge und
erleichtert die Steuerung eines Systems.
Für nichtlineare Systeme als Modelle gesteuerter
Prozesse steht der Flachheitsbegriff in direktem
Zusammenhang mit der geometrischen Interpretation
der Lösungen der zugrundeliegenden Differentialgleichungen. Die flachen Systeme können nämlich in
geeigneten Koordinaten wie lineare Systeme in linearen
Räumen dargestellt werden. Diese Koordinaten beschreiben die Zustände und die Eingänge des Systems
und zusätzlich alle zeitlichen Ableitungen. Die neuen
Koordinaten stehen mit den Originalkoordinaten in
einem (formal eindeutig umkehrbaren) nichtlinearen
Zusammenhang. Die so eingeführten nichtlinearen
Koordinatentransformationen können als dynamische
Rückführungen interpretiert werden.
mit dimj = dima gjbt, der die folgenden Bedingungen
erfüllt. Di-e Zusmde xh i = 1, ... ,n und die Einguss i = I ? ... m können als Funktionen d a Komponenten yi, i = 1, „, ,pn und einer endlichen Anzahl ihrer
Zeitableitungm (4
yi eindeutig ausged&kt werden:
.I
I
Bild 1: Staxiaae Konzentration CB,~@J des @wtim&ten Produlas
B als ~wktiodider Komponenten des flaeim AUQMS y = tyl,ydT
eins%cht?aisch&nRührke8seIrci&kara [I21.
r -..ag>rna-*- >
YM
fixS,U,)= 0 eines flachen Spte?m (45, Hierzu be(4
trachtet man die iGln. (6) Br y =Y, mit ys = 0,k 2 1
..-
xs =SJlO>slo> 10) =*1dysl,
Sind diese Bedingungen zumindest lokal emllt, so
heil3t der fiktive:Ausgang (.I jkcke-er Awgang.
Wegen dimy = dimu und (6bS sind die Komponenten v m y diflerenticll ~nab$ängig,dh. sie erfüllen
keine Diffei:renhlgleichuagen der Form
Csa>
Mit diesen Beziehungen werden die Ruhelagen
(X, U,) durch den flachen Ausgang y, vo1lst;Itndig
pmetriert. Im Untetschied hierzu ist eine explizite
Darst~llungdes Zusammenhangs xs[us] hiufig nicht
maglich. Mit Hilfe der parnetriertan Dmtellung (8)
von Zustand X, und Eingang u, lassen sich die
Diese Bedingung wird häufig anstelle der Forderung Ruhelagen des flachen Systems in Plhhbgigkeit von
dimy=dimu in der Definition flacher Systeme ys einfach berechnen, grafisch verm&haulicht=ri und
benutzt, ihr Nachweis ist jedoch schwieriger. Aufgrund eventuell auch optimieren.
Diese Yorgehensweise wurde erstmals am Beispiel
der differentiellen Unabmgigkeit sind die Trajektorien
mit einer Falgeeines
chemischen R*kesselr&tars
%urdie Komponenten von y voneiaander unabh2ingig.
e
i
n
A
-+ t2 4 C
und
e
i
m
Parallelreaktian
Da in der oben genannten Definition nur die Existenz
SPI
-+ D zu dem erwtlnschten Produkt B angewendet
ein= flachen Aursgan~gefordert wird, existiem fur
ein flaches System beliebig viele fla~heAus@nge [SI. [12], Der Zustand x = [eA,ca, T, T K ] ~wird durch die
Die8e Freiheit h t zur Folgtz, daß es haufig einen Konzentrationen CA und CE wwie die Temperaturen T
flachen Ausgang p gibt, dex nur eine Funktion &(X) des und T, im ReaMorinnern bzw. im K W m t e l
der normierte
Zustand&x ist oder fiir den die. B ~ & m u n gder Gln. (6) be~chrieben, Die StellgrGbn &CI
Volumenstmm
und
ilie
Kühlleistung
(dim
= 2). In
einfach ist. Insbesondere ergibt sich sa auch häufig die
[I21
wird
gezeigt,
daß
Möglichkeit, einen flachen Au~gangmit einer anschaulichen Bedeutung und einer direkten Rebvanz fur das
ZU lcisende &gelpmblem zu w & h h (vgl. hierzu die
Beispiel1ir;te in [lQn.
Da mit Hilfe von (6) die Grönen x und u d m h einen ein flacher Au3gang für den Reaktor ist, Dabei ist C,
fkchen Ausgang y ausgedrückt werden Hnnen, ergibt die Konzentration des Re-den
A im Zulauf. Die
s i ~ hmit der Dgl. (41, d d w h ials Funktion von y beiden Komponenten des flachen Ausgangs ,s haben
dmtellbar ist, ohne dwß Dgln. integriert werden falgende anschauliche Bedeutung: neben der Reaktormüssen. Diw bedeutet, d a Ale dyiamislshen Eigen- ternperakir yl = T ist dies die inverse Selektivität
schaften eines flach~nSysQms durch den flachen ys = (C, - cA]/cSa die die „Produktivi~'"des Reaktari~i
Ausgang und eine endliche ItaPil. von dessen Zeitab- charakterisiert.
leitungen festgdegt wesden. Deshalb spricht man auch
Die station&e Komerltr8tidn cBbs(Ys)des gewünschvon einer (endlichen) FammeYriermg des System6 ten Produkts 1Ut sich - wie in Bild 1 gezeigt - als
durch einen flwhen Au~gang.
gekrümmte H&he aber der 3-Ebene darstellen und
D i a e Parametrierung erlaubt eine ,einfache Bestim- analysieren. Bei dem betrachteten, Reaktormodell ist
m n g und Analyse der Ruhelagen @„U,) mit eine explizite Darstellung cB*,@,] nicht möglich. Für
jede Temperatur yl*, = T, gibt es eine maximale
Diffmtiakleichung wird itn Fulgend~nmit Dgl. abgekiirzt.
Produktkomemation cg wie dies in Bild 1 giesrrichelt
I
„
eingezeichnet ist. Die Gleichung dieser maximalen
Konzentrationen erhält man durch Auflösen der
Gleichung a ~ ~ , . 4 ( 3=
y~
0 ,nach
~
y2,s= T(Yi,s) und EinSetzen in cB,s(Yl,s,r(Yl,s)).
3 Flachheitsanalyse
Der wichtigste Schritt bei der Anwendung der
flachheitsbasierten Analyse- und Entwurfsmethoden
ist die Bestimmung eines flachen Ausgangs (5). Da es
bisher keine Bedingungen für die Flachheit gibt, die
gleichzeitig notwendig und hinreichend sind, kann auch
keine allgemein anwendbare Methode zur Bestimmung
eines flachen Ausgangs angegeben werden. Eine
mögliche Methode basiert auf der Betrachtung von
strukturell flachen Systemdarstellungen [13]. Deren
Bestimmungsgleichungen sind Systeme linearer partieller Dgln. erster Ordnung. Sind diese lösbar, ist das
betrachtete System flach, und jede Lösung stellt einen
flachen Ausgang dar. Wegen der umfangreichen
Literatur zu den Existenzbedingungen für flache
Ausgänge wird auf [13] verwiesen.
Alternativ zur systematischen Flachheitsanalyse
kann auch durch heuristische Überlegungen ein flacher
Ausgang bestimmt werden, was für praktische Aufgabenstellungen häufig zum Ziel führt (vgl. hierzu die
„natürlichen" flachen Ausgänge der Beispiele in [16]).
Hierfür wird aufgrund des Prozeßwissens ein Kandidat
für einen flachen Ausgang (5) gesucht, der zusammen
mit seinen Zeitableitungen ,,möglichst viel Information" über das dynamische Verhalten des Systems
beinhaltet. Die Überprüfung, ob es sich tatsächlich um
einen flachen Ausgang handelt, wird mit Hilfe der Gln.
(6) vorgenommen. Dazu werden durch sukzessive
Zeitableitungen des flachen Ausgangs nichtlineare
algebraische Gleichungen zur Bestimmung der Größen
x und u hergeleitet. Dies bedeutet, daß die GI. (5) so oft
abgeleitet werden muß, bis aus dem resultierenden
(P,+l) .
Gleichungssystem für yi, . . . , yi , i = 1, .. . , m alle
Unbekannten xj, j = 1, ... , n und ui, ui, . .. ,
Bild 2: Ersatzbild und kinematisches Modell (9) eines zweiachsigen
Fahrzeugs.
X I = ul cosx3 xZ = u1 sinx3 X3 = ul tanirz
(9)
I
4,
I
I
X1
C
i = 1 , ... , m (zumindest lokal) bestimmt werden
können. Die dabei auftretenden Eingangsableitungen
werden als neue algebraische Unbekannte betrachtet,
wodurch sich die Zahl der Unbekannten erhöht. Ein
Kandidat für einen flachen Ausgang ist umso erfolgversprechender, je höher die Ordnung der Zeitableitungen
der Komponenten yi ist, die erstmals von den Eingangsgrößen abhängen. In diesem Sinne ist ein flacher
Ausgang eines Systems ,,möglichst weit entfernt" von
den Eingangsgrößen.
Die Flachheitsanalyse soll nachfolgend am Beispiel
des kinematischen Modells (9) eines Fahrzeugs (Bild 2)
erläutert werden, für das die flachheitsbasierte Realisierung des Einparkvorgangs auch in [7] diskutiert wird.
Eingangsgrößen sind die Fahrgeschwindigkeit U , und
der Lenkwinkel u2. Zustandsgrößen sind die Koordinaten xi und x2 des Hinterachsmittelpunktes P sowie
der Winkel x3 der Fahrzeugachse.
Ein Kandidat für einen flachen Ausgang des Fahrzeugs sind die Koordinaten des Mittelpunkts P der
Hinterachse. Dies deckt sich mit der Erfahrung beim
Rückwärtseinparken, daß der Einparkvorgang durch die
Trajektorie der Hinterachse bestimmt wird. Im folgenden wird gezeigt, daß die Koordinaten
tatsächlich einen flachen Ausgang für das Modell (9)
bilden. Hierfür werden die Zeitableitungen y l , j 2 , y i
und y2 gebildet und die resultierenden Gleichungen
nach X, u und ui aufgelöst:
Auf der linken Seite des Gleichungssystems (1 1)
stehen sechs Gleichungen für die sechs Unbekannten
XI,x2,x3, u l , U1 und u2. Die rechte Seite entspricht den
Gln. (6). Damit ist das Fahrzeugmodell (9) flach. Der
Nachweis, daß (10) ein flacher Ausgang ist, wird in [2]
mittels kinematischer Überlegungen ohne Zuhilfenahme der Gln. (1 1) geführt.
Die Beziehungen für X, u und u1 in (11) sind nur
lokal gültig. Außerdem hängen die Gleichungen für x3,
ul,u l und u2 von dem Quotienten y2/y1 ab. Wenn die
Geschwindigkeit des Fahrzeugs Null wird, d.h.
y l = y2 = 0 ist, treten in diesen Ausdrücken Singularitäten auf. Aus der Anschauung weiß man jedoch, daß
das Fahrzeug in jedem Punkt angehalten werden kann,
d.h. die genannten Singularitäten stellen in der Praxis
keine Einschränkung dar. Bei einer Implementierung
der Gln. (1 1) ist es erforderlich, diese Singularitäten zu
eliminieren. Hierfür wird in [ 151 eine Zeittransformation, die einer Parametrierung der Trajektorien durch
deren Bogenlänge s = o(t)entspricht, verwendet.
Die rechentechnische Flachheitsanalyse ist in Bild 3
als Schema dargestellt: aus dem flachen Ausgang (10)
können durch Zeitableitungen (dicke Pfeile) und
algebraische Umformungen (gestrichelte Pfeile) alle
Bidh Sehema der F%cMieitsanalyse fiir das kinemtitiehe E h zeugmodeU (9). DaM stehen die g&cheiltea Pfeife - -+ für die
Bestimmmg der SY*xt. X= ~3~~ 1 ~und
6 1%aus yl, y ~yi,
,
y2, yi und j%.
anderen SystemgrQhn (xj,MI, Ui,W) bsitimmt werdes
den. D i w Seher& mprlbentiert au& die
inversen F&mw&Hs
zwischen den Auagg~en
Y1,z
B & i w F @i,2.
Die fiir die knalym der Flachbit t&kmkr~chen
symboliahen Rechnungen sind teilweise m h t 'winfaagreich. Sie künnen jedwh mit Hilfe eines ComputerAIgebra-Sy&ems, wie z.B. MATHEmTICA oder
MAPLE, rmhnemterstützt durchgeführt werden. Hierfür wird in [13] eine in M A m n U implementierte Fk&donsb&liothek für die Anwendung der
flachheitsbasierten Methode vorgestellt.
~~~
4 Flachheitsbasierte Steuerung
Für flache System ist es leicht möglich, das
nichtlineare TfaJektorienfolgeproblemenimdtx durch
eine Steuern (im offenen Kreis) oder durch eine
Regelung zu lösen. Bei der Vorgab bm. Planung der
Cofltrajektorkn Mnnm die hlgenden drei FUe uqterschieden werden:
(i)Die SoWlraj.e.bx-orien werden Tüs den flachen
h g m g 2 als binreichend oft diEmn~ierbarer
Zeimerlauf gtd(Q, t E [U,Z'l vorgegiben.
(ii) Die Soiltrs~jektorienwerden Tür die Regelgrtjßen
W = q(x), dirn w = m als hinreichend oft Bifferenzierbmr ZeItverIauf w;Xt), t E [0, T] v~rgegeben,
wobei mindestens eine R
e wk
i E (1, ... ,m) keine Komponente des flachen
Ausgangs y ist.
(iii) Die Solltmjebrien sind nur durch den Anfangszustand xa(0")d den Endzustand
festgelegt.
Das hieraus resuhierende Folgeprob1em KZgt eng
mit der Frage nach der Steuerbarkeit zusammen.
Die B e s b w g ber Steuerfunktion B&) ZU1: Lösung
des Folgepmblem ist dann leicht
Bftd 4: Eirip*jeMe
möghch, w m die Soll-je]Rtoien
wie im Fall (i) in den Koordinaten
des flachen Ausgangs y vorgegeben
sind. Dphdb & ~ e ndie Problem@eliufigen (G) und (iii) zuerst auf
dieme F& z u ~ c l e g e mwerden.
Zur Wm~buwd ~ Trajektsr
den W&) kann man in ~ " =dq[xd)
den Z U Mxd
Hilfe vm (6a)
durch g d und &in6 2ki~ble;ltungen
ersetzen
Büd 5%S&@&fim X&) und y&t] in &XI ufspt%hglich.enbm.
den flatehm Koordinaten. Die & & ~ n'Lifi'tm ba;i y&O) und
deuten an,&J$
die Vogabe von 1&0] und x&"J auoh &s Werte
W
k 2 1 für d = 0 bm.
einer endlishm W von Zdtabieitungen
t = X f ~ ~ e l q sind.
gt
Diese Beziehung stellt eine (implizite) Dgl. für die
Soiltrajektorieydt) dar, die symbolisch oder numerisch
(stabil) integriert werden muß. Gibt man für das
Fahrzeugmodell (9) beispielsweise die Jolltrajektorien wl,At) und wz,At) für die Koordinaten
(X,+ cosX$ 112 + sin x3) des VaPderac&smitte1punkts
vor, so erhält man mit (12) die beiden folgenden
impliziten Dgln. nu Bestimmung den Solltmjektorien
yl,At) und w2,At)
Darau& ervtnimmt man, da@ die Mooadfnaten des
V a r d ~ m B ~ d ~ ~ l pflru ndie
~ s Tmjahärieiplmung
wenlgex 8wipe-tsind.
F& &P F&zeugmodeIl(9] gehlirt das Ehparken in
eine PrnHa~bzu dem Fall (Iii), waki n x h Bild 4 der
Anfairgsmtzu3d xA0) und der Endzinstmd xAT)
vorgegeben sind. Aus diesen körnen mit Elfe von
(11) die Anfangs- und Endwerte yA0) und yAT) der
Solltrajaktorien und deren =tableitungen bis zur
zweiten Ordnung für den Bachen Ausgang (10)
bestimmt werden. Diese beiden Positionen werden
dann maer Bde3rsichtigung eventireller Hindernisse
durch himeichend oft differenzierbare Kurven (Splines,
Polynome, etc.) miteinander verbundmi, wie dies in
Bild 4 dargestellt ist.
Y&,
t6
Ca, T1 fiir das FahneuS (93.
Die ZusEandwc-g
(15)
hängt von der Ehganpbleitung .Jl
ab. In der asymptotischen Folgeregelung (15), (18) wird diese Ableitung jedoch mit Hilf& von (18c)
d m h Zeitableitung der Solltrqjektorie yl,d ausgxl&c?& Es handelt
sich dm um ein sbatishes Regelgesetz. Da der Zwtand des geschiossenen Irlre?isc:sdurch db RiickfXhung nicht em~itefiwir4 spricht
mim &I
Cl3 von h e r q w i statischRn Swmddc-m.
Ras B l i o e b m W des flachI r I Tr Bfmbh&bad Qs flshhei-&n
FommeiseU fuf das F*mp@doEl P),
hsütsbasiertm F
eh*a IDick
W+k Meuten, C$&
neben &I angemigten CMiBe @.B, F()i zueh alie &r die
dss
3'( ist in
ld 7mcanUngen erforderlichen &itaHGtuqgen dlem CWBs ein-gw~hloscnsind.
dargestellt, Dabei wird davon ausgegangen, daß aUe Z m W e X @messen werden. Das Blwkhaltbild U&&
die folgen- 6 Ni~btHnearerFolgebeobachter mit
den vier Bl&b. dic d@nehzehen Schntrcn des &twwfs
VerSmkung
einer fiachheit-en
mymptotischen Folgmegelung
entspmhea: In Block 1werden die S ~ l l ~ e k t o d>At)
en
Für die Reaaisiening der flachheipsbnsierten Folgerefur die Komponetl@n des flachen Ausgang&- wie in gelung ist die Kmtnis aller Zustände erforderlich. Aus
Abschnitt 4 beschrieben - aus den Solltgjektorien wAt) diesem Grund müsm die nicht gemessenen Zustandsfür die Regel@h bereshrret und fiir die Führwgs- variablen aus den MeBgrdkn
gMknouifschaltung in dem Folgeregler (B1mk 3) verwendet, In Blwk 2 wircl die Dynamik des Folgefehlen
durch die &stmxtlsrii(15) ex& ürtearisiert. In
~ 1 @ 3prird d m h den FoIgeregler (18) das Ein- mit Hilfe eines Beobachters geschm werden. Für
schwingverhalte~~dt.s PolgefeNem vorPIegebsn. In beobachtbsre f l d e Systeme kann ehe nichtlineare
Z u s t a n d s s c h l i ~auf der Basis der um die SoUtraBlock 4 wrrd der flache Awgangy aus x und a beos-t
jebrien
kin&s.igtrten Gleichungen eatwoden wea&n
Anstelle der qmsi-staeiscbn Zu8tandsrüc-g
[12;
13;
21)1. Dies soll ebenfaI1s an Beispiel des
(15), (18) kam auch eine & ~ u $ ~ s ZustzzndMckck
Fafiraw&lls
(9) @w@
i
W&&
wobei die
Rhnrng h
v m [I91 (~81.&U& 13; 41)
das
K
o
r
n
~
a
dw
~
a
Hhterachsrriittelpu&"s
Fitlwzeugmadell P) mg~ge'benwerden. E ~ r z uführt
man mit
z&va*m
*
den neuen Zuxtmd x4 und die aeueu Elamge
ein. WWt man analog zu (14) die Eingänge
y
ÜI? @2
V2=j2,
so erhält man durch Auflasen der Gleichungen für yl
und y 2 in (11) nach iil und & die djnrcunische
Zustandsrüc-g
der Form
Im Unterschied zur quasi-statkhen ZilstanMckMmmg (15)-),
(181, bei dw der Zuszand dw geschlos-
gemessen werdtzn. In diesem Fall stimmen die Meßgr2ißen
% mit den Kompanmten y l , yz des flachen
Ausgangs (18) überein. Diese spezielle Annahe ist
nicht erforderlich bzw. im allgemeinen auch nicht
~ ist im Fall
g der Messung
s
des flachen
erfüllt, ~
Ausgangs wegen der Beziehung (Ga) das flache System
beobachtbar.
Für den Entwurf des Beobachters wird angenommen,
daß das Fakuzeug durch die quasi-statische Zustandsrückfühaong (15), (18) geregelt wird
senen Wm die Dimension drei hat, ist diese bei der
d~amischenZumhdgacmmng gleich ,vIm.
Die a.m B E ~ c ~ Bdeu
Is F&x=:up&lla
erHä.r-t.e
Vorgehensmia him Entwurf einer asmpb~sehen
Dabei dmtean die GröEien 9, &, 8 und an, daß die
F t i l p e g d m ~@t meh allgemein Rir flach nichtlineare, System Dabei sind &e vier anhmd von Bild 7 Zushde x bf5 der Bildung & geh-6x3
Grafien
diskutiertem E n t d m h r i t t e ausmflih-en [B].
durch die Seh3itmverte X erse&t werden.
B e b Entwarf des ni~A~%&M~IT
Falg&hM&m
nrr w * m g
i i l a c b m Po~~B*
gelung d d m cllie b1&n fioi$enden J3gew-n
ausgmttm
(a) Aufgmnd dm F$&itsoXmM (13) kQmm
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&S S & t f % i m m ~ d ~ f ~ ~ d r )
Bie I%cdlvWk3.) für di.e 2kmkWb sowie $ie
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