ÜBUNG 11 Die entsprechenden Themen: Aufgaben:

ÜBUNG 11
Die entsprechenden Themen:
1.
2.
Das Teilchen im zweidimensionalen Kasten
Der quantenmechanische harmonische Oszillator
Aufgaben:
1. Betrachten Sie ein Teilchen in einem zweidimensionalen Kasten. Das Teilchen ist auf
einer zweidimensionalen Fläche der Länge L in x-Richtung und L in y-Richtung
gefangen. In dieser Fläche ist die potentielle Energie null, an den Wänden steigt sie
abrupt auf unendlich. Die Masse des Teilchen sei m.
a. Wie sieht der Hamiltonoperator für dieses Problem aus?
b. Welche Randbedingungen muss die Wellenfunktion erfüllen?
c. Zeigen Sie, dass nx n y ( x, y)  N sin(n xx / L) sin(n y y / L) eine Lösung ist.
d. Welche Werte können nx und ny annehmen?
e. Leiten Sie einen Ausdruck für die Energie E nx ,n y des Teilchen als Funktion von nx, ny
und L her.
f. Welchen Wert hat N?
g. Ist das Energieniveau mit nx=2 und ny=4 entartet? Wie groß ist der Grad der Entartung?
h. Berechnen Sie die Erwartungswerte für xˆ und pˆ x für nx=3 ny=1.
(Aufgaben f, g und h!)
2. Wie lautet der Hamiltonoperator für einen quantenmechanischen harmonischen
Oszillator? Und die Schrödingergleichung?
3. Welche Funktionen werden zur Beschreibung der Eigenfunktionen eines harmonischen
Oszillators verwendet? Wie sieht das Energie-Spektrum eines quantenmechanischen
harmonischen Oszillators aus? Wie hängen die Energien von der Kraftkonstante und von
der Masse des Oszillators ab?
4. Skizzieren Sie die drei ersten Energieniveaus, Wellenfunktionen und die entsprechenden
Wahrscheinlichkeitsdichten eines eindimensionalen harmonischen Oszillators.
5. Welche Form hat die Oszillators -Wellenfunktion des Grundzustandes. Zeigen Sie, dass
diese Funktion die Schrödingergleichung für den quantenmechanischen harmonischen
Oszillator erfüllt. Welchen Wert hat der entsprechende Energieeigenwert?
6. Wie viele Eigenzustände liegen im Intervall
Oszillator (Masse m, Kraftkonstante k,  
29 
5
 6  , 6   für einen harmonischen


k
)?
m
7. Bestimmen Sie die Grundzustandsenergie eines Teilchens Masse 3m, das sich im
Potential V ( x)  k ( x  1)( x  1) bewegt.
8. Betrachten Sie ein Teilchen (Masse m), das sich im Potential (a,c und d sind Konstanten)
V ( x, y)  c( y  d ) 2  4c( x  a) 2 bewegt. Bestimmen Sie die Energieeigenwerte dieses
Teilchens. Welche Energienieveaus sind energetisch entartet?