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Argomento 2 - REDA Edizion

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Argomento 2 - REDA Edizion
Pietro Belli
MATE_FINA
Quaderno di Calcolo
Matematico-Finanziario
Argomento 1
Preambolo
L’interesse
semplice
L’interesse rappresenta il prezzo da pagare per
poter disporre di un capitale monetario non proprio
e pertanto può essere definito come “prezzo d’uso
del capitale”; in pratica, è il frutto del capitale
monetario. L’interesse sale sia col crescere del
capitale sia con l’aumentare del tempo di investimento: si dice che è funzione crescente del tempo
e del capitale. L’interesse prodotto dall’unità di
capitale (1 euro) nell’unità di tempo (1 anno) è
detto tasso di interesse o saggio di interesse e
può essere indicato come tasso unitario (es.
0,05) o come tasso percentuale (es. 5%).
Nei calcoli si usa il tasso unitario; il tasso di interesse è direttamente proporzionale al rischio e al tempo di impiego del capitale. La somma del capitale investito e dell’interesse maturato in un dato tempo è detta montante: in
sostanza è un capitale posticipato alla fine del tempo di impiego; pertanto il calcolo del montante in funzione del capitale iniziale è chiamato posticipazione. “Posticipare” significa riferire un valore finanziario a un momento futuro e, per
contro, “anticipare” significa riferire un valore finanziario a un momento antecedente: il calcolo del capitale iniziale in
funzione del montante è quindi chiamato anticipazione. Si definisce sconto l’interesse calcolato sul montante anziché sul capitale: dunque è quella somma che va detratta dal montante per ottenere il capitale iniziale.
L’interesse matura sempre alla fine del periodo di investimento: se tale periodo non supera l’unità di tempo assunta
(normalmente l’anno), il calcolo segue la legge dell’interesse semplice. Quando invece si deve operare per periodi di
più unità temporali, alla fine di ogni periodo matura un interesse che si somma al capitale divenendo anch’esso fruttifero: si ha allora l’interesse composto.
Le formule;
Esercizi svolti.
1.1
Le formule
1.1.1
Formula generale dell’interesse semplice
I = C0 . r . n
I = interesse; C0 = capitale iniziale; r = tasso unitario di interesse, cioè l’interesse di 1
euro in 1 anno (es. 3% = 0,03); n = durata dell’investimento espressa in anni o frazioni di anno (es. per 32 giorni n = 32/360; per 4 mesi n = 4/12); si noti che l’anno finanziario ha, per convenzione, la durata di 360 giorni (12 mesi di 30 giorni).
Dove
Nelle applicazioni finanziarie l’interesse semplice si applica per frazioni di anno.
ESEMPIO
Un capitale di € 12.000,00 è investito al tasso di interesse del 3% per 4 mesi e 20 giorni. Quale interesse è prodotto
al termine dell’investimento?
I = 12.000 . 0,03 .
140
= € 140,00
360
9
Argomento 1 L’interesse semplice
Formule derivate
1.1.2
C0 =
I
r ⋅n
r=
I
C0 ⋅ n
n=
I
C0 ⋅ r
ESEMPI
1. Un certo capitale è stato investito al tasso del 2,50% per un tempo di 8 mesi, al termine del quale si è ottenuto l’interesse di € 100,00. Qual è l’ammontare del capitale investito?
C0 =
100,00
= € 6.000,00
0,025 . 8/12
2. A quale tasso di interesse fu investito il capitale di € 27.000,00 che in 7 mesi e 15 giorni ha prodotto un interesse pari a
€ 506,25?
r=
506,25
= 0,03
27.000 . 225/360
3. Si è investito un capitale di € 10.500,00 al tasso del 4% ottenendo l’interesse di € 315,00. Quanto durò l’investimento?
n=
315,00
= 0,75
10.500 . 0,04
N.B. Per esprimere il tempo in mesi si moltiplica il risultato per 12; per ottenerlo in giorni si moltiplica per 360.
0,75 · 12 = 9 mesi
0,75 · 360 = 270 giorni
1.1.3
Formula del montante semplice
Serve per effettuare posticipazioni di capitali all’interesse semplice.
Cn = C0 · (1 + r · n)
Cn = montante (capitale finale); C0 = capitale iniziale;
Dove
(1 + r · n) = fattore di posticipazione a interesse semplice;
n = tempo espresso in anni; r = tasso di interesse.
ESEMPIO
Un capitale di € 20.000,00 è investito per 6 mesi al tasso del 4%. Quale capitale finale si otterrà?
Cn = 20.000 · (1 + 0,04 · 6/12) = € 20.400,00
10
L’interesse semplice
1.1.4
1 Argomento
Formula del valore scontato
Serve per effettuare anticipazioni di capitali all’interesse semplice.
C0 =
Cn
1+ r ⋅n
C0 = capitale iniziale;
Cn = montante (capitale finale);
1
1+r.n
= fattore di anticipazione a interesse semplice;
Dove
n = tempo espresso in anni;
r = tasso di interesse.
ESEMPIO
Un certo capitale è stato investito il 10 aprile al tasso del 3% e al 10 novembre dello stesso anno ha prodotto un montante di € 12.718,75. A quanto ammontava il capitale iniziale?
12.718,75
C0 =
1.1.5
1 + 0,03 · 7/12
= € 12.500,00
Formula dello sconto semplice razionale
Sc =
Cn ⋅ r ⋅ n
1+r ⋅ n
ESEMPIO
Pago con tre mesi di anticipo un debito di € 15.000,00. Quale sconto devo detrarre dal capitale se il tasso convenuto è
del 5%?
Sc =
1.1.6
15.000 · 0,05 · 3/12
1 + 0,05 · 3/12
= € 185,19
Formula dello sconto commerciale
Lo sconto commerciale è impiegato per le operazioni di sconto cambiario.
Sc = Cn · r · n
Per ottenere la somma scontata si applica direttamente la formula seguente:
C0 = Cn · (1 − r · n)
11
Argomento 1 L’interesse semplice
ESEMPI
1. Una cambiale del valore nominale di € 6.000,00, con scadenza a 3 mesi, è presentata per lo sconto bancario al tasso
del 6%. Quale sconto detrarrà la banca dall’importo del titolo?
Sc = 6.000,00 · 0,06 · 3/12 = € 90,00
2. Una cambiale di € 12.600,00, che scade fra 8 mesi e 20 giorni, viene presentata a una banca per lo sconto. Quale somma ne ricaverà se la banca applica all’operazione il tasso del 6%?
C0 = 12.600,00 · (1 − 0,06 · 260/360) = € 12.054,00
1.1.7
Formula per il calcolo di interessi
e sconti col metodo dei divisori fissi
I=
N
D
N = numero = prodotto di capitali per giorni di investimento;
D = divisore fisso = 360/r.
Dove
ESEMPIO
Si presentano allo sconto le seguenti cambiali:
N.
IMPORTI
1
2
3
4
5
12.600,00
10.800,00
6.200,00
5.500,00
9.500,00
SOMME
44.600,00
GIORNI MANCANTI ALLA SCADENZA
35
132
228
235
250
NUMERI (CAPITALI PER GIORNI)
441.000
1.425.600
1.413.600
1.292.500
2.375.000
6.947.700
Si determini, al tasso di sconto del 5%, l’ammontare complessivo dello sconto e degli importi scontati.
N = 6.947.700
D=
Sc =
360
0,05
= 7.200
6.947.700
7.200
= € 964,96
C0 = € 44.600,00 – 964,96 = € 43.635,04
12
L’interesse semplice
1.2
1 Argomento
Esercizi svolti
ESERCIZIO 1.1
All’inizio dell’anno un risparmiatore deposita, al tasso di interesse netto del 2,80%, la somma di € 2.500,00. Successivamente effettua i seguenti ulteriori depositi: € 3.000,00 alla fine di Marzo, € 1.500,00 al 15 aprile, € 2.800,00 al 22
maggio, € 3.600,00 al 10 Luglio, € 4.000,00 alla fine di settembre ed € 3.200,00 al 25 novembre. Di quale somma potrà complessivamente disporre alla fine dell’anno?
Svolgimento
Si devono sommare i montanti di ogni deposito maturati dalla valuta di ciascuna operazione fino alla fine dell’anno:
Cn = 2.500 · (1 + 0,028) + 3.000 · (1 + 0,028 · 9/12) + 1.500 · (1 + 0,028 · 255/360) + 2.800 · (1 + 0,028 · 218/360) + 3.600 · (1 + 0,028 · 170/360) +
+ 4.000 · (1 + 0,028 · 3/12) +3.200 · (1 + 0,028 · 35/360) = € 20.894,53
ESERCIZIO 1.2
Un risparmiatore deposita in forma fruttifera al tasso netto del 2% le seguenti somme: € 5.000,00 al 10 gennaio; € 4.000,00
al 10 febbraio; € 10.000,00 al 30 aprile; € 7.000,00 al 30 giugno; € 8.000,00 al 30 Settembre; € 6.000,00 al 30 novembre.
Nel medesimo anno effettua i seguenti prelievi: € 3.000,00 al 10 Maggio; € 5.000,00 al 10 agosto.
Considerando che l’istituto di credito, a partire dal 1° Settembre, ha operato una riduzione del tasso di interesse portandolo
all’1,75%, si determini l’ammontare del deposito esistente alla fine dell’anno.
Svolgimento
Occorre anzitutto determinare il montante complessivo riferito alla fine di agosto al tasso del 2% e successivamente procedere al calcolo del montante a fine anno al tasso dell’1,75%.
C8/12 = 5.000 · (1 + 0,02 · 230/360) + 4.000 · (1 + 0,02 · 200/360) + 10.000 · (1 + 0,02 · 4/12) + 7.000 · (1 + 0,02 · 2/12) – 3.000 · (1 + 0,02 · 110/360) +
– 5.000 · (1 + 0,02 · 20/360) = € 18.174,44
C12/12 = 18.174,44 · (1 + 0,0175 · 4/12) + 8.000 · (1 + 0,0175 · 3/12) + 6.000 · (1 + 0,0175 · 1/12) = € 32.324,20
ESERCIZIO 1.3
Un’impresa agricola ha dato luogo, nell’arco dell’anno, ai seguenti ricavi e costi:
DATE
15/02
18/03
30/05
10/07
20/09
30/10
30/12
RICAVI (€)
COSTI (€)
6.500,00
22.600,00
8.600,00
65.500,00
5.800,00
43.000,00
30.000,00
13
Argomento 1 L’interesse semplice
Si determini, al tasso di interesse del 3%, l’ammontare del reddito netto annuo posticipato dell’imprenditore.
Svolgimento
Il reddito netto è dato dalla somma dei ricavi al netto della somma dei costi
Rn = 65.500 · (1 + 0,03 · 170/360) + 43.000 · (1 + 0,03 · 2/12) – 6.500 · (1 + 0,03 · 315/360) – 22.600 · (1 + 0,03 · 282/360) – 8.600 · (1 + 0,03 ·
. 7/12) – 5.800 · (1 + 0,03 · 100/360) – 30.000 = € 35.242,36
ESERCIZIO 1.4
Il sig. Giuseppe ha acquistato un immobile urbano al prezzo di € 250.000,00 e ha concordato il pagamento così dilazionato:
- € 20.000,00 alla firma del preliminare di vendita;
- € 100.000,00 contestualmente al rogito notarile, che è avvenuto dopo 30 giorni;
- il saldo dopo 3 mesi dal rogito.
Considerando r = 0,04, determinare l’importo dell’ultimo versamento a saldo.
Svolgimento
Poiché il saldo avviene dopo 3 mesi dal rogito, cioè dopo 4 mesi dal preliminare, occorre posticipare ogni valore al quarto mese dal preliminare.
Cn = (250.000 – 20.000) · (1 + 0,04 · 4/12) – 100.000 · (1 + 0,04 · 3/12) = € 132.066,67
ESERCIZIO 1.5
La sig.ra Luisa deve far fronte ai seguenti debiti:
- € 20.000,00 al 10/12 dell’anno in corso;
- € 15.000,00 al 20/02 del prossimo anno;
- € 25.000,00 al 10/03 del prossimo anno.
Chiede al creditore di posticipare il primo pagamento alla fine dell’anno in corso e gli altri due al 30/05 del prossimo anno.
Il creditore accetta concordando un tasso di interesse del 5%.
Si determini l’ammontare delle somme che dovranno essere versate dalla sig.ra Luisa alle nuove scadenze.
Svolgimento
Montante del primo pagamento alla fine dell’anno in corso:
C31/12 = 20.000,00 · (1 + 0,05 · 20/360) = € 20.055,56
Somma del secondo e terzo pagamento riferita al 10/3 dell’anno successivo:
C30/05 = 15.000,00 · (1 + 0,05 · 310/360) + 25.000,00 · (1 + 0,05 · 290/360) = € 41.652,78
ESERCIZIO 1.6
La sig.ra Ester acquista un appartamento concordando i seguenti pagamenti:
- € 50.000,00 al rogito, che avviene dopo 2 mesi dall’accordo preliminare di vendita;
- € 35.000,00 dopo altri 30 giorni;
- € 120.000,00 a 4 mesi dal preliminare.
Sapendo che alla firma del preliminare ha versato una caparra pari al 20% del prezzo pattuito, si determini, al tasso del 5%:
a) il prezzo concordato;
b) l’ammontare della caparra.
14
L’interesse semplice
1 Argomento
Svolgimento
N.B. Se la caparra è pari al 20% del prezzo, significa che le altre rate, nell’insieme, rappresentano l’80% del prezzo pattuito.
Somma delle rate riferita all’attualità:
C0 = 50.000 ·
1
1 + 0,05 · 2/12
+ 35.000 ·
1
1 + 0,05 · 3/12
+ 120.000 ·
1
1 + 0,05 · 4/12
= € 202.187,46
Ammontare del prezzo, di cui la somma delle rate rappresenta l’80% (0,80):
Prezzo =
202.187,46
= € 252.734,32
0,80
Ammontare della caparra (pari al 20% del prezzo):
Caparra = € 252.734,32· 0,20 = € 50.546,86
ESERCIZIO 1.7
Il sig. Luigi deve far fronte ai seguenti debiti:
- € 10.000,00 con scadenza al 15/4;
- € 3.800,00 con scadenza al 22/7;
- € 5.600,00 con scadenza al 30/9.
Chiede di poter effettuare tutti i pagamenti in unico versamento da effettuarsi al 10/8. Il creditore acconsente concordando
un tasso di interesse del 3%.
Quanto dovrà pagare il sig. Luigi al 10/8?
Svolgimento
Bisogna calcolare la somma di tutti i debiti riferendoli alla data del 10/8.
C10/8 = 10.000 · (1 + 0,03 · 115/360) + 3.800 · (1 + 0,03 · 18/360) + 5.600 ·
1
1 + 0,03 · 50/360
= € 19.478,30
ESERCIZIO 1.8
Per l’acquisto di un fondo rustico è stato convenuto il prezzo di € 850.000,00 corrisposto mediante i seguenti versamenti:
- € 90.000,00 alla stipula del contratto preliminare di vendita in data 20/1;
- € 400. 000,00 al rogito in data 20/2;
- € 180.000,00 al 20/4;
- € 80.000,00 al 20/5;
- € 50.000,00 al 20/6;
- il resto al 20/07.
Considerando r = 0,05, si determini l’ammontare del versamento effettuato in data 20/7.
Svolgimento
Bisogna detrarre, dal prezzo convenuto, la somma dei diversi pagamenti tranne quello incognito. Il tutto va riferito alla data
del versamento incognito, cioè al 20/7.
C20 = (850.000 – 90.000) · (1 + 0,05 · 180/360) – 400.000 · (1 + 0,05 · 150/360) – 180.000 · (1 + 0,05 · 90/360) – 80.000 · (1 + 0,05 · 60/360) +
– 50.000 · (1 + 0,05 · 30/360) = € 57.541,67
15
Argomento 1 L’interesse semplice
ESERCIZIO 1.9
Un imprenditore riceve un finanziamento da un istituto di credito al 20/1 del corrente anno e si impegna a restituire il prestito con i relativi interessi al tasso del 5%, secondo il seguente programma:
- € 15.000,00 al 20/2;
- € 20.000,00 al 20/3;
- € 20.000,00 al 20/4;
- € 20.000,00 al 20/5;
- € 20.000,00 al 20/6;
- € 15.000,00 al 20/7.
Al 1° giugno il debitore realizza di non poter far fronte agli ultimi 2 pagamenti e chiede all’istituto di credito di poter fruire di un
ulteriore finanziamento. Valutata la situazione, l’istituto accorda il rifinanziamento dell’impresa per un importo di € 60.000,00
a condizione che a fine anno l’imprenditore restituisca l’intero importo comprendente le due rate insolute e il nuovo prestito, conteggiando un tasso di interesse del 6%.
Determinare:
a) l’importo del finanziamento acceso il 20/1;
b) la somma da rimborsare alla data del 31/12.
Svolgimento
L’ammontare del finanziamento è pari alla somma dei diversi pagamenti, anticipati al 20/1.
C0 =
+
15.000,00
1 + 0,05 · 1/12
20.000,00
1 + 0,05 · 5/12
+
+
20.000,00
1 + 0,05 · 2/12
15.000,00
1 + 0,05 · 6/12
+
20.000,00
1 + 0,05 · 3/12
+
20.000,00
1 + 0,05 · 4/1
+
= € 108.423,67
Al 1° giugno, data in cui è richiesto un ulteriore finanziamento, restano da corrispondere 2 pagamenti, rispettivamente scadenti il 20/6 e il 20/7. Pertanto, la nuova somma da rimborsare a fine anno è ottenuta posticipando, al tasso del 6%, l’importo del nuovo finanziamento più gli ultimi 2 pagamenti fino al 31/12.
Cn = 20.000,00 · (1 + 0,06 · 190/360) + 15.000,00 · (1 + 0,06 · 160/360) + 60.000,00 · (1 + 0,06 · 7/12) = € 98.133,33
ESERCIZIO 1.10
L’impresa edile “Palanca & C.” è titolare di un c/c bancario su cui deposita tutti i proventi della propria attività e dal quale
preleva di volta in volta i fondi necessari per sostenere i costi di gestione. All’inizio dell’anno disponeva di un saldo attivo di
€ 123.869,00 e, nell’esercizio in corso, ha effettuato i seguenti prelievi e versamenti:
VALUTA
10/01
20/02
05/04
20/04
04/06
10/08
20/09
15/10
09/11
30/11
10/12
16
PRELIEVI
VERSAMENTI
80.000,00
13.000,00
7.000,00
150.000,00
12.000,00
32.000,00
165.000,00
10.800,00
6.400,00
130.000,00
55.000,00
L’interesse semplice
1 Argomento
Determinare, al tasso del 3%, il reddito netto realizzato nel corso dell’esercizio.
Svolgimento
N.B. Per il calcolo degli interessi usiamo il metodo dei numeri e divisori fissi, computando i giorni da ciascuna valuta alla fine dell’anno e assegnando ai capitali e ai numeri un segno positivo per i depositi e negativo per i prelievi.
VALUTA
01/01
10/01
20/02
05/04
20/04
04/06
10/08
20/09
15/10
09/11
30/11
10/12
Saldi
CAPITALI
+123.869,00
−80.000,00
−13.000,00
−7.000,00
+150.000,00
−12.000,00
−32.000,00
+165.000,00
−10.800,00
−6.400,00
+30.000,00
−55.000,00
+252.669,00
GIORNI
360
350
310
265
250
206
140
100
75
51
30
20
NUMERI
+44.592.840
−28.000.000
v4.030.000
−1.855.000
+37.500.000
−2.472.000
−4.480.000
+16.500.000
−810.000
−326.400
+900.000
−1.100.000
+56.419.440
Calcolo degli interessi.
Divisore fisso: 360/0,03 = 12.000
I=
N
D
=
56.419.440
12.000
= € 4.701,62
Determinazione del reddito netto (ricavi meno costi):
Rn = € 252.669,00 + 4.701,62 = € 257.370,62
ESERCIZIO 1.11
La sig.ra Milena lo scorso anno ha effettuato i seguenti investimenti:
- per un certo tempo ha tenuto sul conto corrente bancario il capitale iniziale di € 30.000,00, ottenendo € 150,00 di interessi maturati al tasso netto del 2%;
- successivamente ha investito il montante ottenuto, per lo stesso periodo di tempo, al tasso del 3%;
- il montante di questo secondo investimento è stato quindi impiegato, al tasso del 5%, fino alla fine dell’anno.
Quale montante finale ha ottenuto la sig.ra Milena?
Svolgimento
a) Tempo del primo investimento:
n=
150,00
30.000 · 0,02
= 0,25
Mesi 0,25 · 12 = 3
17
Argomento 1 L’interesse semplice
b) Montante del secondo investimento:
Cn = 30.150 · (1 + 0,03 · 3/12) = € 30.376,12
c) Montante del terzo investimento:
Cn = 30.376,12 · (1 + 0,05 · 6/12) = € 31.135,52
ESERCIZIO 1.12
Il 10 febbraio dello scorso anno il sig. Lorenzo ha investito, al tasso del 5,50%, il capitale di € 28.500,00, ottenendo, dopo un certo tempo, l’interesse di € 522,50.
Al termine di tale impiego, ha investito il montante ricavato al tasso del 6% per lo stesso periodo di tempo.
Successivamente, il nuovo montante, destinato a un diverso investimento fino alla fine dell’anno, ha fruttato l’interesse
di € 335,50.
A quale tasso è avvenuto quest’ultimo investimento?
Svolgimento
a) Tempo del primo investimento:
n=
522,50
28.500 · 0,055
= 0,3333… = 4 mesi
b) Montante del primo investimento (capitale + interessi):
Cn’ = 28.500,00 + 522,50 = € 29.022,50
c) Montante del secondo investimento:
Cn’’ = 29.022,50 · (1 + 0,06 · 4/12) = € 29.602,95
d) Tasso di impiego del terzo investimento:
r=
335,50
29.602,95 · 4/12
= 0,034
ESERCIZIO 1.13
Nello scorso anno un risparmiatore ha depositato in banca, al tasso netto del 2,50%, le seguenti somme:
- € 20.000,00 il 10/01;
- € 30.000,00 il 25/03;
- € 15.000,00 il 20/06;
- € 25.000,00 il 15/09;
- € 10.000,00 il 10/11.
Sapendo che a fine anno il saldo del conto corrente ammontava a € 89.348,96, determinare l’importo del prelievo che il risparmiatore ha effettuato in data 30/07.
Svolgimento
a) Saldo finale del conto se non si fosse verificato il prelievo:
Cn = 20.000 · (1 + 0,025 · 350/360) + 30.000 · (1 + 0,025 · 275/360) + 15.000 · (1 + 0,025 · 190/360) + 25.000 · (1 + 0,025 · 105/360) +
+ 10.000 · (1 + 0,025 · 50/360) = € 101.473,96
18
L’interesse semplice
1 Argomento
b) Importo del prelievo alla data del 30/07 (5 mesi prima della chiusura del conto):
C0 =
101.473,96 – 89.348,96
1 + 0,025 · 5/12
= € 12.000,00
ESERCIZIO 1.14
La sig.ra Chiara, all’inizio dell’anno, ha contrattoun debito da restituire mediante i seguenti versamenti concordati al tasso del 5%:
- € 2.000,00 al 15/02;
- € 2.000,00 al 15/04;
- € 2.000,00 al 15/06;
- € 3.000,00 al 15/08;
- € 3.000,00 al 15/10.
In data 30/07 la sig.ra Chiara chiede al creditore di saldare il debito residuo con un unico versamento immediato. Il creditore acconsente, ma concordando una riduzione del tasso di sconto al 4%.
Determinare l’ammontare del debito iniziale e l’importo della sua estinzione al 30/07.
Svolgimento
a) Debito iniziale:
C0 =
2.000,00
+
2.000,00
1 + 0,05 · 45/360 1 + 0,05 · 105/360
+
2.000,00
1 + 0,05 · 165/360
+
3.000,00
1 + 0,05 · 225/360
+
3.000,00
1 + 0,05 · 285/360
= € 11.708,89
b) Debito residuo al 30/07.
Alla data del 30/7 mancano 2 rate al saldo del debito, per cui il debito residuo è dato dalla somma di queste rate anticipate al 30/7:
C0 =
3.000,00
1 + 0,04· 15/360
+
3.000,00
1 + 0,04 · 75/360
= € 5.970,21
ESERCIZIO 1.15
Per l’impianto di un frutteto un imprenditore agricolo sostiene i seguenti costi:
DATA
30/08
30/10
30/03
10/04
15/05
OPERAZIONE
Preparazione del terreno
Concimazione
Acquisto astoni
Acquisto sostegni e varie
Retribuzione salariati
IMPORTO (€)
16.000,00
2.000,00
8.500,00
4.500,00
4.200,00
Per far fronte a questi impegni finanziari l’agricoltore ricorre al credito agevolato, che viene concesso al tasso del 3,75%, con
l’impegno di rimborsare il capitale e i relativi interessi in data 30/07. Si determini l’ammontare della somma da rimborsare
alla data indicata.
Svolgimento
La somma da rimborsare è pari al montante di ciascuna rata posticipata al 30/7:
Cn = 16.000 · (1 + 0,0375 · 11/12) + 2.000 · (1 + 0,0375 · 9/12) + 8.500 · (1 + 0,0375 · 4/12) + 4.500 · (1 + 0,0375 · 3/12) +
+ 4.200 . (1 + 0,0375 · 75/360) = € 35.987,50
19
Argomento 1 L’interesse semplice
ESERCIZIO 1.16
Un agricoltore decide di investire parte dei suoi risparmi nell’esecuzione di un miglioramento fondiario. Gli si prospettano
due possibilità: eseguire opere di drenaggio del suolo (miglioramento A) oppure costruire un magazzino attrezzato per lo stoccaggio della frutta (miglioramento B). Decide, pertanto, di orientare l’investimento verso la soluzione cui corrisponde il maggior tasso di rendimento del capitale impiegato. Il capitale corrisponde al costo della miglioria; l’interesse che se ne ottiene
è dato dall’incremento del reddito annuo conseguito per effetto della miglioria e il tasso di rendimento deriva dal rapporto tra
interesse e capitale.
Il tasso della provvista del capitale è del 4%.
Si prospettano le seguenti risultanze:
INVESTIMENTO
COSTO
€
€
€
€
€
Miglioramento A
Miglioramento B
25.000
15.000
12.000
10.000
10.000
al
al
al
al
al
30/03
30/06
30/04
30/06
30/08
REDDITO ANTE
REDDITO POST
€ 35.000,00
€ 40.000,00
€ 35.000,00
€ 38.000,00
Svolgimento
a) Costo totale a fine anno del miglioramento A:
KtA = 25.000 · (1 + 0,04 · 9/12) + 15.000 · (1 + 0,04 · 6/12) = € 41.050,00
b) Costo totale a fine anno del miglioramento B:
KtB = 12.000 · (1 + 0,04 · 8/12) + 10.000 · (1 + 0,04 · 6/12) + 10.000 · (1 + 0,04 · 4/12) = € 32.653,33
c) Incrementi di reddito:
- Miglioramento A: € 5.000,00
- Miglioramento B: € 3.000,00
d) Tassi di fruttuosità.
Il tasso di interesse è dato dal rapporto tra interesse annuo e capitale:
r=
I
C0
Nella fattispecie l’incremento di reddito rappresenta l’interesse tratto dall’investimento e il costo totale rappresenta il capitale investito.
- Miglioramento A: r =
- Miglioramento B: r =
5.000
41.050
3.000
32.653,33
= 0,12
= 0,091
Conviene effettuare il miglioramento A, cui corrisponde un tasso di fruttuosità del 12% contro un tasso del 9,1% della miglioria B.
20
L’interesse semplice
1 Argomento
ESERCIZIO 1.17
Un agricoltore acquista il 10 maggio una trattrice al prezzo di € 45.000,00 concordandone il pagamento mediante le seguenti rate senza interessi aggiuntivi:
- il 40% del prezzo dopo un mese;
- il 20% del prezzo dopo due mesi;
- il 20% del prezzo dopo tre mesi;
- il 20% del prezzo dopo quattro mesi.
I pagamenti avverranno mediante prelievo su c/c bancario intestato all’agricoltore con tasso di interesse a suo favore del
2,70%, il cui saldo, al momento dell’acquisto, è di € 53.000,00.
Quale saldo rimarrà sul suo c/c appena corrisposta l’ultima rata della trattrice?
Svolgimento
Il saldo finale è dato dalla differenza tra il saldo iniziale e ciascuna rata di pagamento, il tutto riferito alla data dell’ultima rata.
Cn = 53.000 · (1 + 0,027 · 4/12) – 45.000 · 0,40 · (1 + 0,027 · 3/12) – 45.000 · 0,20 · (1 + 0,027 · 2/12) – 45.000 · 0,20 · (1 + 0,027 · 1/12) +
– 45.000 · 0,20 = € 8.294,75
ESERCIZIO 1.18
Un imprenditore presenta alla sua banca per lo sconto le seguenti cambiali:
- € 2.000,00 scadenza 30 giorni;
- € 5.000,00 scadenza 60 giorni;
- € 4.500,00 scadenza 80 giorni;
- € 1.900,00 scadenza 90 giorni.
Determinare, al tasso del 6%, il ricavo netto che l’imprenditore otterrà dall’operazione.
Svolgimento
a) Procedimento con l’uso della formula diretta:
C0 = Cn · (1 – r · n) = 2.000 · (1 – 0,06 · 30/360) + 5.000 · (1 – 0,06 · 60/360) + 4.500 · (1 – 0,06 · 80/360) + 1.900 · (1 – 0,06 · 90/360) = € 13.251,50
b) Procedimento con i divisori fissi:
N.
1
2
3
4
Totali
Divisore fisso =
Sc =
N
D
=
360
0,06
891.000
6.000
CAPITALI
2.000,00
5.000,00
4.500,00
1.900,00
13.400,00
GIORNI
NUMERI
30
60
80
90
60.000
300.000
360.000
171.000
891.000
= 6.000
= € 148,50
C0 = € 13.400 – 148,50 = € 13.251,50
21
Argomento 1 L’interesse semplice
ESERCIZIO 1.19
Detengo una cambiale di € 12.600,00 che scade fra 3 mesi e 20 giorni. Desidero sapere se, scontando subito questo titolo al tasso di sconto del 6%, posso ottenere la somma necessaria a estinguere un mio debito di € 12.500,00 contratto al
tasso del 4% con scadenza fra 2 mesi.
Svolgimento
Valore scontato della cambiale:
C0 = 12.600 · (1 – 0,06 · 110/360) = € 12.369,00
Valore attuale del debito:
C0 =
12.500
1 + 0,04 · 2/12
= € 12.417,22
Il valore scontato della cambiale non copre del tutto la somma necessaria a estinguere il debito.
ESERCIZIO 1.20
Il sig. Carlo possiede il seguente patrimonio:
- un immobile urbano valutato € 350.000,00;
- un credito di € 60.000,00 esigibile tra 9 mesi;
- una cambiale attiva di € 45.000,00 con scadenza a 6 mesi.
Potendo realizzare subito l’ammontare di tutti i suoi averi, il sig. Carlo si propone di acquistare un fondo rustico al prezzo di
€ 500.000,00. Considerando un tasso di interesse del 3% e un tasso di sconto del 6%, si determini l’ammontare della somma residua da esborsare per l’acquisto del fondo rustico.
Svolgimento
a) Valore di realizzo del patrimonio del sig. Carlo:
C0 = 350.000 + 60.000 ·
1
1 + 0,03 · 9/12
+ 45.000 · (1 – 0,06 · 6/12) = € 452.329,70
b) Somma residua necessaria per l’acquisto del fondo rustico:
S = € 500.000,00 – 452.329,70 = € 47.670,30
ESERCIZIO 1.21
La sig.ra Marisa necessita di un prestito a fronte del quale può offrire in garanzia una cambiale del valore nominale di
€ 18.000,00 con scadenza a 9 mesi. Il finanziatore accetta l’operazione convenendo lo sconto razionale del titolo al tasso del 6.50%.
Quanto otterrà dal finanziatore la sig.ra Marisa?
Svolgimento
Sconto razionale della cambiale:
Sc =
Cn· r · n
1+r·n
22
=
18.000,00 · 0,065 · 9/12
1 + 0,065 · 9/12
= € 836,71
L’interesse semplice
1 Argomento
Valore scontato o capitale iniziale:
C0 = € 18.000,00 – 836,71 = € 17.163,29
N.B. Allo stesso risultato si perviene applicando direttamente la formula del valore scontato:
C0 =
Cn
1+r·n
=
18.000,00
1 + 0,065 · 9/12
= € 17.163,29
ESERCIZIO 1.22
Il titolare di un c/c bancario registra, all’inizio dell’anno, un saldo attivo di € 17.852,80.
Nel corso dell’anno avvengono i seguenti movimenti:
VALUTA
DEPOSITI
€ 3.200,00
10/02
25/03
€ 12.300,00
10/04
€ 10.800,00
15/06
Valore scontato di una cambiale di € 20.000,00, scadenza a 3 mesi
€ 15.600,00
10/07
20/09
PRELIEVI
Valore scontato di una cambiale di € 7.800,00, scadenza a 4 mesi
16/10
€ 21.000,00
15/11
€ 18.000,00
03/12
€ 15.000,00
Determinare l’ammontare del saldo a fine anno considerando un tasso di interesse del 2% e un tasso di sconto del 6%.
Svolgimento
Il saldo finale è dato dalla differenza tra depositi e prelievi, ciascuno posticipato a fine anno:
Cn = 17.852,80 · (1 + 0,02) – 3.200 · (1 + 0,02 · 320/360) + 12.300 · (1 + 0,02 · 275/360) + 10.800 · (1 + 0,02 · 200/360) + 20.000 · (1 – 0,06 · 3/12) ·
· (1 + 0,02 · 195/360) – 15.600 · (1 + 0,02 · 170/360) + 7.800 · (1 – 0,06 · 4/12) · (1 + 0,02 · 100/360) – 21.000 · (1 + 0,02 · 74/360) – 18.000 · (1 +
+ 0,02 · 45/360) + 15.000 · (1 + 0,02 · 27/360) = € 26.104,60
ESERCIZIO 1.23
La sig.ra Giovanna possiede una cambiale di € 2.800,00 con scadenza a 170 giorni, scontabile al tasso del 6,35%. Ha,
poi, un debito di € 1.200,00, contratto al tasso del 5%, che scade fra un mese e mezzo. Dispone, inoltre, dei seguenti capitali:
- montante di un capitale di € 12.000,00 investito 6 mesi fa al tasso del 3%;
- interesse prodotto da un capitale di € 5.000,00 impiegato al tasso del 4,50% per un tempo di 235 giorni.
La sig.ra Giovanna investe la sua attuale disponibilità netta al tasso del 3% ottenendo € 262,00 di interessi. Quanto è durato questo investimento?
23
Argomento 1 L’interesse semplice
Svolgimento
a) Capitale netto disponibile, calcolato portando all’attualità ogni componente del capitale personale:
1.200
C0 = 2.800 · (1 – 0,0635 · 170/360) –
1 + 0,05 · 45/360
b) Durata dell’investimento: n =
+ 12.000 · (1 + 0,03 · 6/12) + 5.000 · 0,045 · 235/360 = € 13.850,37
I
262,00
= 0,63 = 226 giorni
C0 · r 13.850,37 · 0,03
ESERCIZIO 1.24
Il signor Gianni sconta in banca una cambiale del valore nominale di € 30.000, con scadenza fra 6 mesi, ottenendo un ricavo netto di € 28.950,00. Determinare il tasso di interesse praticato dalla banca per l’operazione di sconto.
Svolgimento
Si determina l’ammontare dello sconto calcolato come differenza tra montante e capitale:
Sc = 30.000,00 − 28.950,00 = € 1.050,00
Dalla formula dello sconto commerciale si ricava, quindi, il tasso di interesse:
Sc = Cn . r . n;
r=
Sc
1.050
=
= 0,07
Cn . r 30.000 . 6/12
ESERCIZIO 1.25
La sig.ra Sonia è titolare di un c/c bancario con tasso attivo lordo del 2%. Nell’anno in corso sono avvenuti i seguenti movimenti:
- 01/01: saldo attivo con valuta 31/12 anno precedente: € 14.800,00; - 28/02: versamento di € 1.000,00;
- 15/04: prelievo di € 2.500,00;
- 31/08: prelievo di € 1.500,00;
- 31/010: versamento di € 2.000,00.
Determinare il saldo finale del conto al 31/12 considerando l’anno civile di 365 giorni e la ritenuta fiscale del 27% sugli interessi attivi maturati. N.B. Nel c/c bancario si utilizza, per il calcolo degli interessi, il metodo dei numeri e divisori fissi calcolando i giorni che intercorrono tra la valuta di un’operazione e quella dell’operazione successiva.
Svolgimento
14.800
1.000
1
3/12
1
VALUTA
31/12
28/02
15/04
31/08
31/10
2
28/02
2.000
3
15/04
4
5
7
8
31/08
2.500
1.500
RIASSUNTO SCALARE
SALDI PER LA VALUTA
PERIODO
14.800,00
15.800,00
13.300,00
11.800,00
13.800,00
SALDO CAPITALI
13.800,00
Divisore fisso: D = 365/0,02 = 18.250
Interessi:
Imposta erariale: Imp = € 273,80 . 0,27 = € 73,93
9
N
=
4.997.000
18.250
11
12
NUMERI
59
46
138
61
61
873.200
726.800
1.835.400
719.800
841.800
TOTALE NUMERI
4.997.000
= € 273,80
Interessi netti: I = € 273,80 − 73,93 = € 199,87
Saldo finale del c/c: S = € 13.800,00 + 199,87 = € 13.999,87
10
31/10
GIORNI
31/12-28/02
28/02-15/04
15/04-31/08
31/08-31/10
31/10-31/12
D
24
6
Argomento 2
L’interesse
composto
annuo
Preambolo
L’interesse composto può essere annuo, se matura e si converte in capitale alla fine di ogni anno,
oppure convertibile se matura e si converte in
capitale per frazioni di anno (semestrale, trimestrale, ecc.). L’interesse composto annuo è quello più
diffuso nelle applicazioni economiche ed estimative. Ne è un esempio la maggior parte dei depositi
bancari e postali.
I problemi che si presentano in questo ambito
sono legati alla ricerca del montante, al calcolo del
valore attuale, al calcolo dell’interesse maturato e
del tasso di interesse applicato. Chi usa un capitale non proprio per un certo tempo, alla scadenza
dovrà restituire il capitale più l’interesse maturato.
Tale somma complessiva costituisce il montante.
Per valore attuale si intende, invece, l’ammontare del capitale iniziale corrispondente a un montante noto.
Un caso particolare richiede l’applicazione simultanea dell’interesse semplice e composto. Questa problematica concerne i calcoli relativi a investimenti che comprendono anni interi e frazioni di anno; in tali casi si deve applicare l’interesse composto per gli anni interi e l’interesse semplice per le frazioni di anno.
Nelle applicazioni economico-estimative assumono notevole rilievo le operazioni di posticipazione e anticipazione a
interesse composto, che peraltro hanno lo stesso significato di quelle relative all’interesse semplice. L’uso dei coefficienti di posticipazione e di anticipazione consente di spostare avanti e indietro nel tempo i valori finanziari.
Le formule; Esercizi svolti.
2.1
Le formule
2.1.1
Formula del montante composto
Serve per effettuare posticipazioni di capitali a interesse composto.
Cn = C0 qn
Cn = montante (capitale più interesse);
C0 = capitale iniziale; q = 1 + r;
n = tempo espresso in anni;
r = tasso di interesse (interesse di 1 euro in 1 anno).
Nelle applicazioni finanziarie l’interesse composto si
applica per anni interi.
Dove
ESEMPI
1. Investendo al tasso del 3% un capitale di € 32.000,00, quale montante si otterrà dopo 4 anni?
Cn = € 32.000 · 1,034 = € 36.016,28
2. Ho depositato in banca al tasso del 2,50% la somma di € 25.000,00. Dopo 2 anni la banca ha ridotto il tasso di interesse portandolo al 2,25%. Quale montante otterrò dopo altri 2 anni?
Cn = 25.000 · 1,0252 · 1,02252 = € 27.460,88
25
Argomento 2 L’interesse composto annuo
2.1.2
Applicazione simultanea
dell’interesse semplice e composto
Si applica per tempi che comprendono anni interi e frazioni di anno.
ESEMPIO
Investendo un capitale di € 10.000,00 al tasso del 2%, quale montante si otterrà dopo 3 anni e 9 mesi?
Cn = 10.000 · q3 · (1 + 0,02 · 9/12) = € 10.771,26
2.1.3
Formula del valore attuale
C 0 = Cn
I
qn
1
= fattore di anticipazione a interesse composto annuo.
qn
Dove
ESEMPI
1. Ho il diritto di riscuotere la somma di € 25.000,00 fra 3 anni. Chiedo di poter disporre subito di tale diritto: quanto otterrò se viene applicato un tasso di interesse del 5%?
C0 = 25.000 ·
1
= € 21.595,94
q3
2. Per estinguere un debito dovrei versare € 10.000,00 fra 2 anni e € 20.000,00 fra 3 anni. Chiedo di estinguere il mio debito mediante un versamento immediato. Quanto dovrò pagare se è stato convenuto un tasso di interesse del 2,50%?
C0 = 10.000 ·
1
q2
+ 20.000 ·
2.1.4
1
q3
= € 28.090,13
Formula dell’interesse composto annuo
I = C0 (qn − 1)
ESEMPIO
Un capitale di € 12.500,00 è stato impiegato al tasso del 5% per un tempo di 3 anni. Quale interesse se ne è ottenuto?
I = 12.500 · (q3 − 1) = € 1.970,31
26
L’interesse composto annuo
2.1.5
2 Argomento
Formule inverse
C0 =
I
q −1
r=
n
n
Cn
−1
C0
ESEMPI
1. Quale capitale, impiegato oggi al tasso del 3%, è in grado di produrre dopo 2 anni l’interesse di € 2.500,00?
2.500,00
C0 =
q2 − 1
= € 41.050,90
2. Un capitale di € 15.000,00 ha prodotto, in 2 anni, un montante di € 16.224,00. A quale tasso è avvenuto l’investimento?
r=
2
2.2
16.224,00
− 1 = 0,04
15.000,00
Esercizi svolti
ESERCIZIO 2.1
Il sig. Filippo riscuote oggi la somma derivante dal rimborso di un prestito di originari € 32.000,00, concesso 3 anni fa al
tasso d’interesse del 4%. Per contro, ha l’impegno di pagare l’importo di € 34.700,00 fra 5 anni.
Chiede di utilizzare il rimborso ottenuto per estinguere subito il suo debito, concordando con il creditore un tasso di sconto
del 3%.
Qual è la situazione finanziaria odierna del sig. Filippo?
Svolgimento
Occorre posticipare il valore del prestito concesso 2 anni addietro e detrarvi il valore attuale del debito.
C = 32.000 · (1 + 0,04)3 – 34.700
1
(1 + 0,03)5
= € 35.995,65 – 29.932,52 = € 6.063,12
ESERCIZIO 2.2
La sig.ra Laura ha intenzione di acquistare un immobile alle seguenti condizioni: oggi, alla firma del preliminare di vendita,
versa un assegno di € 30.000,00 e paga € 6,22 di spese; successivamente concorda i seguenti pagamenti:
- fra 6 mesi, alla stipula del rogito, € 50.000,00;
- fra 2 anni € 80.000;
- fra 3 anni € 90.000.
Considerando un tasso di interesse del 4%, qual è il prezzo di compravendita dell’immobile?
Svolgimento
Il prezzo corrisponde alla somma di tutti i pagamenti portati all’attualità:
C0 = 30.006,22 + 50.000
1
1 + 0,04 · 6/12
+ 80.000
1
q2
+ 90.000
1
q3
= € 233.000,00
27
Argomento 2 L’interesse composto annuo
ESERCIZIO 2.3
Devo far fronte a un impegno finanziario di € 50.000,00 disponibili fra 5 anni. Per raccogliere i fondi necessari, effettuo i
seguenti investimenti al tasso del 3%:
- € 5.000,00 subito;
- € 8.000,00 fra 1 anno;
- € 10.000,00 fra 2 anni;
- € 8.000,00 fra 3 anni;
- € 10.000,00 fra 4 anni.
Quanto dovrò aggiungere al montante maturato alla fine del 5° anno per soddisfare l’impegno assunto?
a) Montante degli investimenti effettuati riferito alla fine del 5° anno:
Cn = 5.000 · q5 + 8.000 · q4 + 10.000 · q3 + 8.000 · q2 + 10.000 · q = € 44.514,91
b) Somma da aggiungere:
S = 50.000,00 – 44.514,91 = € 5.485,09
ESERCIZIO 2.4
La sig.ra Claudia possiede un capitale monetario che decide di suddividere in due diversi investimenti: una parte, messa a
frutto al tasso del 4%, ha maturato in 3 anni l’interesse di € 2.497,28; l’altra parte, investita al tasso del 5%, ha fornito, dopo 3 anni, un montante di € 27.783,00.
Determinare l’ammontare del capitale iniziale posseduto dalla sig.ra Claudia.
Svolgimento
Si tratta di calcolare il capitale corrispondente a due diversi investimenti: del primo si conosce l’interesse maturato in 3 anni, del secondo il montante prodotto, sempre in 3 anni.
Si ricorda che il capitale iniziale è dato dall’interesse diviso per qn − 1 oppure dal montante diviso per qn.
C0 =
2.497,28
1,043 − 1
+
27.783,00
1,053
= € 44.000,00
ESERCIZIO 2.5
Il sig. Giorgio accantona i suoi risparmi per raccogliere quanto necessario per acquistare un appartamento in proprietà. L’istituto di credito prescelto adotta un tasso di interesse netto del 2,80%. Durante gli ultimi 5 anni sono state depositate dal sig.
Giorgio le seguenti somme:
- € 20.000,00 all’inizio del 1° anno;
- € 18.200,00 al terzo mese del 2° anno;
- € 10.000,00 alla fine del 3° anno;
- € 50.000,00 a metà del 4° anno;
- € 50.000,00 alla fine del 4° anno.
Quanto dovrà aggiungere il sig. Giorgio alla somma accumulatasi alla fine del 5° anno se l’immobile che lo interessa è in vendita al prezzo di € 180.000,00?
Svolgimento
Montante finale dei depositi alla fine del 5° anno:
Cn = 20.000 · q5 + 18.200 · (1 + 0,028·9/12) · q3 + 10.000 · q2 + 50.000 · (1 + 0,28·6/12) · q + 50.000 · q = 157.235,91
Aggiunta necessaria:
A = € 180.000,00 – 157.235,91 = € 22.764,09
28
L’interesse composto annuo
2 Argomento
ESERCIZIO 2.6
La sig.ra Antonella contrae oggi un prestito con l’impegno di restituirlo mediante i seguenti versamenti:
- € 25.000,00 fra 1 anno;
- € 30.000,00 fra 2 anni;
- € 35.000,00 fra 3 anni.
Se l’operazione è avvenuta al tasso di interesse del 6%, qual è l’importo della somma ricevuta in prestito dalla sig.ra Antonella?
Svolgimento
Il capitale iniziale è ottenuto moltiplicando ciascun importo versato per il relativo coefficiente di anticipazione:
C0 = 25.000
1
1
1
+ 30.000 2 + 35.000 3 = € 79.671,47
q
q
q
ESERCIZIO 2.7
Su un appezzamento di terreno è praticata la rotazione quadriennale ottenendosi i seguenti redditi:
- 1° anno € 12.000,00;
- 2° anno € 13.000,00;
- 3° anno € 10.000,00;
- 4° anno € 9.000,00.
Determinare, al tasso del 3%, il reddito complessivo maturato alla fine del quadriennio.
Tale reddito, investito in un’attività produttiva, fornisce, dopo 3 anni, un montante di € 55.030,22. A quale tasso è avvenuto questo investimento?
Svolgimento
a) Montante finale dei redditi del quadriennio:
Cn = 12.000 · q3 + 13.000 · q2 + 10.000 · q + 9.000 = € 46.204,42
b) Saggio di interesse, noti che siano il capitale, il montante e il tempo di impiego:
r=
n
Cn
−1
C0
r=
3
55.030,22
− 1 = 0,06
46.204,42
ESERCIZIO 2.8
Un agricoltore ha in animo l’esecuzione di opere di miglioramento fondiario per le quali sono preventivati i seguenti costi:
- all’inizio dei lavori € 6.800,00;
- dopo 4 mesi € 8.500,00;
- dopo 1 anno € 11.000,00;
- dopo 2 anni € 20.000,00.
Per far fronte a questi impegni, prima dell’inizio dei lavori ha messo a risparmio le seguenti somme al tasso del 2,50%:
- 3 anni prima € 10.000,00;
- 2 anni prima € 15.000,00;
- 1 anno prima € 8.000,00.
Quale capitale sarà ulteriormente necessario per finanziare completamente l’operazione e in quale momento è richiesta tale disponibilità?
29
Argomento 2 L’interesse composto annuo
Svolgimento
a) Risparmio accumulato all’inizio dei lavori:
Cn = 10.000 · q3 + 15.000 · q2 + 8.000 · q = € 34.728,28
b) Risparmio residuo dopo 4 mesi:
Cn = (34.728,28 – 6.800) · (1 + 0,025 · 4/12) – 8.500 = € 19.661,01
c) Risparmio residuo dopo 1 anno:
Cn = 19.661,01 · 1,025 – 11.000 = € 9.152,54
d) Risparmio residuo dopo 2 anni:
Cn = 9.152,54 · 1,025 – 20.000 = € −10.618,64
e) Risposta
Il finanziamento delle opere di miglioramento necessita, oltre ai risparmi accantonati, di un capitale di € 10.618,64 disponibile 2 anni dopo l’inizio dei lavori.
ESERCIZIO 2.9
iIl sig. Sergio apre un conto corrente bancario e vi effettua le seguenti operazioni:
- all’apertura un versamento di € 20.000,00;
- dopo 1 anno e 3 mesi un versamento di € 10.500,00;
- dopo 2 anni un prelievo di € 5.000,00;
- dopo 3 anni un versamento di € 35.000,00;
- dopo 3 anni e mezzo un prelievo di € 25.000.
Calcolare, al tasso del 3%, l’ammontare del saldo del c/c intestato al sig. Sergio dopo 4 anni dall’apertura.
Svolgimento
Occorre fare la somma algebrica dei versamenti e dei prelievi posticipandoli tutti al 4° anno dopo l’apertura del conto.
Cn = 20.000 · q4 + 10.500·(1 + 0,03 · 9/12) · q2 – 5.000 · q2 + 35.000 · q – 25.000 · (1 + 0,03 · 6/12) = € 39.270,76
ESERCIZIO 2.10
La sig.ra Anna è titolare di un c/c bancario fruttifero al tasso netto del 2,50%. L’ultimo estratto conto presentava, con riferimento a 20 giorni addietro, un saldo attivo di € 45.213,50. La sig.ra Anna decide di acquistare un appartamento al prezzo di € 215.000,00 utilizzando il saldo del proprio conto, cui aggiungere un prestito bancario al tasso del 6%, rimborsabile
in 4 rate, ciascuna pari a un quarto del valore iniziale del prestito, rispettivamente con scadenza fra 2 anni, fra 2 anni e mezzo, fra 3 anni e fra 3 anni e mezzo.
Determinare l’ammontare di ciascuna rata da corrispondere per l’estinzione del prestito.
Svolgimento
a) Valore iniziale del prestito:
C = 215.000 – 45.213,50 · (1 + 0,025 · 20/360) = € 169.723,70
b) Valore iniziale di ciascuna rata:
R=
169.723,70
4
= 42.430,93
c) Importo prima rata:
R1 = 42.430,93 · 1,062 = € 47.675,39
30
L’interesse composto annuo
2 Argomento
d) Importo seconda rata:
R2 = 42.430,93 · 1,062 · (1 + 0,06 · 6/12) = € 49.105,65
e) Importo terza rata:
R3 = 42.430,93 · 1,063 = € 50.535,92
f) Importo quarta rata:
R3 = 42.430,93 · 1,063 · (1 + 0,06 · 6/12) = € 52.051,99
ESERCIZIO 2.11
Per l’acquisto di un fondo rustico il sig. Giacomo ha concordato col venditore il seguente pagamento:
- € 20.000,00 quale caparra alla firma del preliminare di vendita, 3 mesi prima del rogito;
- € 50.000,00 al rogito;
- € 150.000,00 dopo 1 anno dal rogito;
- € 150.000,00 dopo 2 anni dal rogito;
- € 200.000,00 dopo 2 anni e mezzo dal rogito;
- € 200.000,00 dopo 3 anni dal rogito.
Determinare, al tasso del 5%, il prezzo di vendita dell’immobile al momento del rogito.
Svolgimento
Il prezzo di acquisto è calcolato anticipando all’attualità ogni pagamento:
P = 20.000 · (1 + 0,05 · 3/12) + 50.000 + 150.000
1
q
+ 150.000
1
q2
+ 200.000
1
q2
·
1
(1 + 0,05 · 6/12)
+ 200.000
1
q3
= € 698.910,45
ESERCIZIO 2.12
Il sig. Armando fruisce di un prestito di € 50.000,00 con l’impegno di rimborsarlo, al tasso del 5%, dopo 3 anni e mezzo. Per
far fronte al suo impegno, il sig. Armando 1 anno prima della scadenza deposita, al tasso del 2% la somma di € 20.000,00 e,
5 mesi prima della scadenza, l’altra somma necessaria per l’estinzione concordata.
Calcolare l’importo di quest’ultimo deposito.
Svolgimento
a) Somma mancante al momento dell’estinzione del debito:
Cn = 50.000 · 1,053 · (1 + 0,05 · 6/12) – 20.000 · 1,02 = € 38.928,28
b) Versamento da effettuare 5 mesi prima della scadenza:
C0 =
38.928,28
1 + 0,02 · 5/12
= € 38.606,56
ESERCIZIO 2.13
Il sig. Umberto ha un debito che deve essere estinto pagando € 10.000,00 fra 8 mesi ed € 30.000,00 fra 2 anni. Egli vorrebbe, invece, estinguere il suo impegno pagando € 20.000,00 subito e la differenza fra 4 anni e mezzo. Quanto dovrà pagare a quest’ultima scadenza se viene convenuto un tasso di interesse del 6%?
Svolgimento
Il momento di riferimento dell’incognita è 4 anni e mezzo dopo la contrazione del debito: pertanto, a quella data devono essere
riportati tutti i valori, assegnando segni positivi a quanto doveva essere pagato e negativi alla nuova richiesta alternativa.
Cn = 10.000 · (1 + 0,06 · 4/12) · q3 · (1 + 0,06 · 6/12) + 30.000 · q2 · (1 + 0,06 · 6/12) – 20.000 · q4 · (1 + 0,06 · 6/12) = € 21.225,03
31
Argomento 2 L’interesse composto annuo
ESERCIZIO 2.14
Il sig. Roberto investe i seguenti capitali al tasso del 3%:
- all’inizio del 1° anno € 10.000,00;
- alla fine del 1° anno € 20.000,00;
- a metà del 2° anno € 15.000,00;
- al terzo mese del 3° anno € 12.500,00;
- alla fine del 4° anno € 18.000,00.
Alla fine del 5° anno il sig. Roberto ritira il montante maturato e lo investe al tasso del 5%. Quale interesse sarà maturato da
questo investimento dopo altri 3 anni?
Svolgimento
a) Montante alla fine del 5° anno:
Cn = 10.000 · 1,035 + 20.000 · 1,034 + 15.000 · (1 + 0,03 · 6/12) · 1,033 + 12.500 · (1 + 0,03 · 9/12) · 1,032 + 18.000 · 1,03 = € 82.839,31
b) Interesse dell’investimento di 3 anni:
I = 82.839,31 · (1,053 − 1) = € 13.057,55
ESERCIZIO 2.15
La sig.ra Enrica acquistò, 2 anni fa, un appartamento pagato con le seguenti modalità: subito, al momento del rogito, girando una cambiale del valore nominale di € 50.000,00 con scadenza a 3 mesi, scontabile commercialmente al tasso del
6%; successivamente mediante le seguenti rate:
- € 50.000,00 dopo 6 mesi;
- € 60.000,00 dopo 1 anno e mezzo;
- € 60.000,00 dopo 2 anni e 8 mesi;
- € 50.000,00 dopo 3 anni e mezzo.
Determinare al tasso di interesse del 4%:
a) l’ammontare del prezzo iniziale di vendita;
b) la somma che la sig.ra Enrica dovrebbe pagare se volesse estinguere oggi il suo debito residuo.
Svolgimento
a) Prezzo di vendita dell’appartamento, ottenuto scontando la cambiale e sommandovi l’anticipazione all’attualità di ogni rata di pagamento:
C0 = 50.000 ⋅ (1 − 0,06 ⋅ 3 / 12) + 50.000
+ 50.000
1
1
1
1
1
+
+ 60.000 ⋅
+ 60.000 2 ⋅
1+ 0,04 ⋅ 6 / 12
q 1+ 0,04 ⋅ 6 / 12
q 1+ 0,04 ⋅ 8 / 12
1
1
=€ 252.441,45
q3 1+ 0,04 ⋅ 6 / 12
b) Debito residuo alla fine del 2° anno.
Al momento indicato mancano 2 rate di pagamento: il debito residuo consiste nella loro somma anticipata alla fine del 2°
anno.
C0 = 60.000
32
1
1 + 0,04 · 8/12
+ 50.000
1
1
1 + 0,04 · 6/12
q
= € 105.575,80
L’interesse composto annuo
2 Argomento
ESERCIZIO 2.16
Il sig. Ugo vendette 3 anni fa un appezzamento di terreno il cui pagamento fu concordato mediante i seguenti versamenti:
€ 30.000,00 subito; € 10.000,00 dopo 1 anno; € 10.000,00 dopo 2 anni; € 10.000,00 dopo 3 anni. I suddetti versamenti furono depositati sul suo c/c al tasso di interesse del 2,20%, che anteriormente al primo versamento presentava un
saldo attivo di € 32.500,00.
Oggi il sig. Ugo intende acquistare un appartamento al prezzo di € 200.000,00, che pagherà in parte con i propri risparmi e,
per la parte mancante, ricorrendo a un prestito bancario al tasso del 5%, da rimborsare per metà dopo 6 mesi e per metà
dopo 1 anno.
Determinare:
a) l’ammontare del prestito bancario;
b) l’ammontare di ciascuna delle due rate di estinzione del prestito.
Svolgimento
a) Ammontare del prestito bancario.
È dato dal prezzo di acquisto dell’appartamento meno l’attuale saldo attivo del conto corrente del sig. Ugo.
P = € 200.000,00 – (32.500,00 + 30.000,00) · 1,0223 – 10.000,00 · 1,0222 – 10.000,00 · 1,022 – 10.000,00 = € 102.618,74
b) Ammontare della prima rata di estinzione del prestito:
R1 =
102.618,74
2
· (1 + 0,05 · 6/12) = € 52.592,10
c) Ammontare della seconda rata di estinzione del prestito:
R2 =
102.618,74
2
· 1,05 = € 53.874,84
ESERCIZIO 2.17
Il sig. Riccardo, alla nascita del proprio figlio, aprì un conto corrente bancario depositandovi la somma di € 25.000,00 vincolati al tasso del 3,50%, al fine di costituire il capitale necessario per acquistare una casa quando il figlio raggiungerà il 18°
anno di età. Successivamente il sig. Riccardo effettuò, nel medesimo conto, i seguenti versamenti:
- € 10.000,00 dopo 2 anni;
- € 20.000,00 dopo 4 anni;
- € 5.000,00 dopo 7 anni;
- € 15.000,00 dopo 12 anni;
- € 20.000,00 dopo 14 anni.
Giunto al 16° anno di età del figlio, il sig. Riccardo ritiene che la somma necessaria per acquistare la casa fra 2 anni sarà pari a € 180.000,00. Quanto dovrà versare in questo momento per avere tale disponibilità finanziaria al 18° anno del figlio?
Svolgimento
Appare evidente come l’ulteriore versamento da effettuare al 16° anno sia pari alla differenza tra il prezzo della casa e la somma dei precedenti versamenti, il tutto riferito alla data del 16° anno del figlio. Occorrerà quindi anticipare di due anni la somma di € 180.000,00 e posticipare ogni versamento del tempo necessario per giungere al 16° anno. Il tutto al tasso del 3,50%.
C16 = € 180.000,00
1
q2
– 25.000,00 · q16 – 10.000,00 · q14 – 20.000,00 · q12 – 5.000,00 · q9 – 15.000,00 · q4 – 20.000,00 · q2 = € 32.822,12
33
Argomento 2 L’interesse composto annuo
ESERCIZIO 2.18
La sig. ra Cecilia vuole acquistare un appartamento al prezzo di € 220.000,00. Le sue attuali disponibilità finanziarie derivano dal saldo del suo conto corrente aperto 3 anni fa, al tasso netto del 2,50%, con un versamento di € 40.000,00. Successivamente vi ha effettuato i seguenti depositi: dopo 1 anno € 20.000,00; dopo 1 anno e mezzo € 10.000,00; dopo 2
anni € 30.000,00; dopo 2 anni e mezzo € 10.000,00; dopo 2 anni e 9 mesi € 20.000,00. Inoltre la sig.ra Cecilia dispone
di una cambiale attiva del valore nominale di € 32.000,00, con scadenza a 5 mesi, scontabile commercialmente al tasso
del 6%.
Per l’importo mancante a raggiungere il prezzo concordato, il venditore dell’appartamento concede un pagamento di
€ 25.000,00 dopo 8 mesi e la rimanenza dopo 1 anno al tasso del 5%.
A quanto ammonta l’ultimo pagamento?
Svolgimento
Occorre determinare l’ammontare delle disponibilità finanziarie della sig.ra Cecilia, date dal saldo attuale del conto corrente
più il valore scontato della cambiale. Detraendo l’importo di tali disponibilità dal prezzo dell’appartamento, si ottiene l’importo mancante riferito all’attualità. Occorre, poi, posticipare di 1 anno tale importo e detrarvi la rata di € 25.000,00, anch’essa posticipata a fine anno, per ottenere l’importo dell’ultima rata al momento della sua scadenza.
a) Disponibilità finanziaria attuale:
D = 40.000,00 · q3 + 20.000,00 · q2 + 10.000,00 · (1 + 0,025 · 6/12) · q + 30.000,00 · q + 10.000,00 · (1 + 0,025 · 6/12) + 20.000,00 · (1 + 0,025 · 3/12) +
+ 32.000,00 · (1 − 0,06 · 5/12) = € 166.666,25
b) Importo mancante a raggiungere il prezzo dell’appartamento:
Imp = € 220.000 – 166.666,25 = € 53.333,75
c) Importo dell’ultimo pagamento:
Imp2 = € 53.333,75 · 1,05 – 25.000,00 · (1 + 0,05 · 4/12) = € 30.583,77
34
Argomento 3
Preambolo
Questo tipo di interesse composto è caratterizzato dal fatto che l’interesse si somma al capitale
diventando a sua volta fruttifero non una volta
all’anno, ma più volte nello stesso anno. Si indica con t il numero di conversioni che si realizza in
un anno.
Nell’interesse convertibile il tasso va riferito alla
frazione di anno in cui l’interesse matura e si converte; pertanto se il tasso annuo è del 4% e l’interesse matura 2 volte all’anno, a ogni conversione
matura un tasso del 2%, pari cioè a r/t. Questi
tassi frazionari si chiamano tassi convertibili.
L’interesse
composto
convertibile
I casi possibili sono i seguenti:
Conversioni
t
Tasso
convertibile
Conversioni
t
Tasso
convertibile
ogni 6 mesi
ogni 4 mesi
ogni 3 mesi
2
3
4
r/2
r/3
r/4
ogni 2 mesi
ogni mese
6
12
r/6
r/12
Si consideri anche il fatto che, se in 1 anno si hanno t conversioni, in n anni si verificheranno tn conversioni. Pertanto,
nelle applicazioni pratiche, vengono utilizzate le stesse formule dell’interesse composto annuo, con l’avvertenza di dividere il tasso annuo per t e moltiplicare gli anni per t; in sostanza, anziché computare il numero di anni, si computa il
numero complessivo di conversioni. Il tasso annuo r citato nell’interesse convertibile è detto tasso nominale, cui corrisponde un tasso effettivo (j) superiore. Questi due tassi vengono definiti tassi equivalenti.
Le formule; Esercizi svolti.
3.1
Le formule
3.1.1
Formula del montante composto convertibile
⎛ r⎞
Cn = C0 ⎜ 1+ ⎟
⎝ t⎠
tn
Cn = montante; C0 = capitale iniziale; r = tasso
annuo di interesse; t = numero di conversioni che si
presentano in 1 anno; n = tempo espresso in anni;
tn = numero complessivo di conversioni;
Dove
r
(1 + — )tn = fattore di posticipazione all’interesse
t
composto convertibile.
ESEMPI
1. È stato investo oggi un capitale di € 30.000,00 all’interesse composto convertibile trimestrale al tasso annuo del 6%. Quale montante otterrò dopo 3 anni?
N.B. Nell’interesse trimestrale avvengono 4 conversioni all’anno.
Cn = 30.000,00 · (1 +
0,06
4
)4 · 3 = 30.000,00 · (1 + 0,015)12 = € 35.868,55
2. Un capitale di € 45.000,00 è investito per 5 anni e mezzo all’interesse convertibile semestrale al tasso annuo del 2%.
Quale montante ne deriva?
N.B. Nell’interesse semestrale in 5 anni e mezzo avvengono 11 conversioni.
Cn = 45.000,00 · (1 +
0,02 11
) = 45.000,00 · (1 + 0,01)11 = € 50.205,08
2
35
Argomento 3 L’interesse composto convertibile
3. Un capitale di € 25.000,00 è investito per 2 anni e 8 mesi all’interesse convertibile semestrale al tasso annuo del 4%.
Calcolare il montante.
N.B. In 2 anni e 8 mesi all’interesse convertibile semestrale si hanno 5 conversioni; residuano 2 mes,i per i quali si dovrà applicare l’interesse semplice.
Cn = 25.000,00 ·(1 +
0,04 5
) · (1 + 0,04 · 2/12) = 25.000,00 · (1 + 0,02)5 · (1 + 0,04 · 2/12) = € 27.786,03
2
Formula del valore attuale all’interesse convertibile
3.1.2
C 0 = Cn
1
Dove
⎛
⎜⎝ 1+
r⎞
⎟
t⎠
tn
1
⎛ r⎞
⎜⎝ 1+ ⎟⎠
t
tn
fattore di anticipazione
all’interesse composto
convertibile.
ESEMPI
1. Quale capitale, investito al tasso annuo del 4% per 2 anni e 3 mesi all’interesse convertibile trimestrale ha prodotto un
montante di € 48.000,00?
N.B. All’interesse convertibile trimestrale si hanno 4 conversioni all’anno e complessivamente, in 2 anni e 3 mesi, 9 conversioni.
C0 = 48.000,00 ⋅
1
⎛ 0,04 ⎞
⎜⎝ 1+
⎟
4 ⎠
9
= 43.888,31
2. Dovrei pagare la somma di € 32.800,00 fra 3 anni e 8 mesi. Chiedo invece di saldare oggi il mio debito. Quanto dovrò
pagare se viene concordato un tasso del 6% convertibile trimestralmente?
N.B. All’interesse convertibile trimestrale, in 3 anni e 6 mesi, si hanno 14 conversioni. Residuano 2 mesi per i quali si dovrà
applicare l’interesse semplice.
C0 = 32.800,00 ⋅
1
⎛ 0,06 ⎞
⎜⎝ 1+
⎟
4 ⎠
3.1.3
14
⋅
1
1
1
⋅
= € 26.365, 00
= 32.800,00 ⋅
14
1+ 0,06 ⋅ 2 / 12
(1+ 0,015) 1+ 0,06 ⋅ 2 / 12
Formula dell’interesse composto convertibile
⎡⎛
I = C0 ⋅ ⎢⎜ 1+
⎣⎝
36
tn
⎤
r⎞
⎟⎠ − 1⎥
t
⎦
L’interesse composto convertibile
3 Argomento
ESEMPI
Determinare l’interesse maturato in 3 anni da un capitale di € 20.000,00 impiegato al tasso del 6% convertibile ogni 4
mesi.
⎡⎛ 0,06 ⎞ 9 ⎤
9
I = 20.000,00 ⋅ ⎢⎜ 1+
− 1⎥ = 20.000,00 ⋅ ⎡⎣(1+ 0,02 ) − 1⎤⎦ = € 3.901,85
⎟
3 ⎠
⎣⎝
⎦
3.1.4
Formula del tasso effettivo di investimento
Il tasso di interesse è, per definizione, l’interesse di 1 euro in 1 anno. Impiegando l’interesse convertibile, questo tasso (r) è detto tasso nominale poiché, dal momento che a ogni conversione aumenta
il capitale, alla fine di 1 anno si ottiene un interesse effettivo maggiore di quello nominale. Per conoscere il tasso effettivo di investimento (j) è necessario applicare la seguente formula.
⎛
j = ⎜ 1+
⎝
j = tasso effettivo;
r = tasso nominale;
t = numero di conversioni in un anno.
t
r⎞
⎟ −1
t⎠
Dove
ESEMPIO
Qual è il tasso effettivo di investimento corrispondente al tasso nominale del 6% convertibile ogni 4 mesi?
3
⎛ 0,06 ⎞
3
j = ⎜ 1+
⎟ − 1 = 1,02 − 1 = 0,0612 = 6,12%
⎝
3 ⎠
3.2
Esercizi svolti
ESERCIZIO 3.1
Nell’arco di 4 anni il sig. Alberto ha effettuato le seguenti operazioni finanziarie attive e passive. Si determini la sua situazione finanziaria netta (attività meno passività) risultante alla fine del 4° anno considerando tassi nominali diversificati come
indicato.
Attivo:
- € 15.000,00 alla fine del 1° anno (r = 6% convertibile semestrale);
- € 20.000,00 a metà del 2° anno (r = 4% convertibile trimestrale);
- € 12.000,00 al 4° mese del 3° anno (r = 3% convertibile quadrimestrale);
- € 23.000,00 all’inizio del 4° anno (r = 6% convertibile bimestrale).
Passivo:
- € 6.000,00 al 3° mese del 1° anno (r = 6% convertibile quadrimestrale);
- € 18.000,00 al 9° mese del 3° anno (r = 8% convertibile trimestrale).
Svolgimento
0
3/12
6.000
15.000
20.000
1
6/12
12.000
2
4/12
23.000
9/12
3
4
18.000
37
Argomento 3 L’interesse composto convertibile
6
8
5
6
⎛ 0,06 ⎞
⎛ 0,04 ⎞
⎛ 0,03 ⎞
⎛ 0,06 ⎞
Cn = 15.000 ⋅ ⎜ 1+
+ 20.000 ⋅ ⎜ 1+
+ 12.000 ⋅ ⎜ 1+
+ 23.000 ⋅ ⎜ 1+
⎟
⎟ +
⎟
⎟
⎝
⎝
⎝
⎝
4 ⎠
6 ⎠
2 ⎠
3 ⎠
5
11
⎛ 0,06 ⎞
⎛ 0,08 ⎞
− 6.000 ⋅ (1+ 0,06 ⋅1/ 12) ⋅ ⎜ 1+
⎟⎠ − 18.000 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ = € 49.224,00
⎝
3
4 ⎠
ESERCIZIO 3.2
Un deposito fruttifero riceve i seguenti versamenti:
VALUTA
2° mese del 1° anno
inizio del 2° anno
3° mese del 2° anno
6° mese del 3° anno
IMPORTO (€)
TASSO DI INTERESSE
12.000,00
25.000,00
15.000,00
32.000,00
3,50% discontinuo annuo
3% convertibile quadrimestrale
8% convertibile trimestrale
6% convertibile semestrale
Determinare il montante prodotto dal deposito alla fine del 4° anno.
Svolgimento
12.000
0
2/12
25.000 15.000
1
32.000
3/12
2
9
Cn
6/12
3
4
11
⎛ 0, 03 ⎞
⎛ 0,08 ⎞
C4 = 12.000 ⋅ (1+ 0,035 ⋅10 / 12 ) ⋅1,035 3 + 25.000 ⋅ ⎜ 1+
+ 15.000 ⋅ ⎜ 1+
⎟
⎟ +
⎝
⎝
3 ⎠
4 ⎠
3
⎛ 0,06 ⎞
+ 32.000 ⋅ ⎜ 1+
⎟ = € 94.652,68
⎝
2 ⎠
ESERCIZIO 3.3
Tre anni or sono la sig.ra Rosanna vendette uno chalet in montagna concordando col compratore il pagamento mediante
firma delle seguenti cambiali:
- € 50.000,00 con scadenza a 3 mesi;
- € 60.000,00 con scadenza a 6 mesi;
- € 70.000,00 con scadenza a 9 mesi;
- € 50.000,00 con scadenza a 1 anno.
Alla scadenza di ciascun titolo, la sig.ra Rosanna ne depositò il ricavo in banca, fruendo di un tasso netto del 2% convertibile trimestralmente.
Oggi la sig.ra Rosanna si propone l’acquisto di un appartamento al mare, concordando un prezzo di € 260.000,00. Quanto dovrà aggiungere alla somma che risulta oggi depositata in banca?
38
L’interesse composto convertibile
3 Argomento
Svolgimento
Con riferimento a un tempo di 3 anni, si deve calcolare il montante di ciascun deposito dal momento della sua scadenza fino alla fine del 3° anno, applicando l’interesse composto convertibile semestrale al tasso nominale del 2%.
Cn
50.000 60.000 70.000 50.000
0
3/12 6/12 9/12
1
2
5
3
5
⎛ 0,02 ⎞
⎛ 0,02 ⎞
Cn = 50.000 ⋅ (1+ 0,02 ⋅ 3 / 12) ⋅ ⎜ 1+
+ 60.000 ⋅ ⎜ 1+
⎟
⎟ + 70.000 ⋅ (1+ 0,02 ⋅ 3 / 12) ⋅
⎝
⎝
2 ⎠
2 ⎠
4
4
⎛ 0,02 ⎞
⎛ 0,02 ⎞
⋅ ⎜ 1+
⎟⎠ + 50.000 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ = € 241.110, 55
⎝
2
2 ⎠
Importo da aggiungere per l’acquisto della casa al mare:
C = € 260.000,00 – 241.110,55 = € 18.889,45
ESERCIZIO 3.4
La sig.ra Attilia apre un c/c depositandovi subito la somma di € 15.000,00. Successivamente effettua i seguenti depositi:
- € 20.000,00 al 2° mese del 1° anno;
- € 17.000,00 a metà del 2° anno;
- € 23.000,00 all’8° mese del 3° anno;
- € 8.000,00 alla fine del 4° anno.
Determinare il montante complessivo disponibile per la sig.ra Attilia alla fine del 5° anno considerando le seguenti condizioni finanziarie applicate al conto corrente:
- nei primi 2 anni r = 3% convertibile quadrimestrale;
- negli ultimi 3 anni r = 4% convertibile semestrale.
Svolgimento
20.000
0
2/12
17.000
1
6/12
23.000
2
8/12
8.000
3
4
5
Occorre posticipare i primi 2 versamenti alla fine del 2° anno al tasso del 3% convertibile quadrimestrale (t = 3), quindi posticipare tale montante e i due successivi versamenti alla fine del 5° anno al tasso del 4% convertibile semestrale (t = 2).
3
C2 = 20.000 ⋅ (1+ 0,03 ⋅ 2 / 12) ⋅ (1+
6
0,03 5
⎛ 0,03 ⎞
) + 17.000 ⋅ (1 + 0,03 ⋅ 2 / 12) ⋅ ⎜ 1+
⎟ = € 38.727,99
⎝
3
3 ⎠
4
2
⎛ 0,04 ⎞
⎛ 0,04 ⎞
⎛ 0,04 ⎞
C5 = 38.727,99 ⋅ ⎜ 1+
⎟ + 23.000 ⋅ (1+ 0,04 ⋅ 4 / 12) ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ + 8.000 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ = € 77.1665,10
⎝
2 ⎠
2 ⎠
2 ⎠
39
Argomento 3 L’interesse composto convertibile
ESERCIZIO 3.5
Il sig. Massimo acquista oggi un immobile urbano al prezzo di € 300.000,00. Per effettuarne il pagamento ricorre alle seguenti somme:
- il saldo attivo del suo conto corrente che, un anno fa, ammontava a € 56.890,00 e rende il tasso nominale netto del 2%
convertibile trimestrale;
- cambiali per un valore nominale complessivo di € 80.000, con scadenza a 3 mesi, scontabili al tasso del 6%;
- prestito bancario da restituire fra 2 anni e mezzo al tasso nominale del 6% convertibile trimestrale.
Determinare l’importo che dovrà essere restituito alla banca fra 2 anni e mezzo.
Svolgimento
L’ammontare del prestito bancario è pari alla differenza tra il prezzo di acquisto dell’immobile e il valore attuale del saldo del
conto corrente più quello delle cambiali scontate. Tale importo dovrà essere posticipato, all’interesse convertibile trimestrale, di 2 anni e mezzo.
10
a) Ammontare del prestito bancario:
3⎞
⎛ 0,02 ⎞
⎛
C = € 300.000 − 56.890 ⋅ ⎜ 1+
⎟ − 80.000 ⋅ ⎜⎝ 1 − 0, 06 ⋅ ⎟⎠ = € 161.400,64
⎝
4 ⎠
12
b) Importo da restituire alla banca:
⎛ 0,06 ⎞
Cn = € 161.400,64 ⋅ ⎜ 1+
⎟ = € 187.312,03
⎝
4 ⎠
10
ESERCIZIO 3.6
Alla fine dell’anno in corso il geometra Fulvio e il perito agrario Corrado decidono di avviare insieme uno studio tecnico professionale costituendo, a tal fine, una società a responsabilità limitata il cui capitale sociale derivi dall’unione dei propri patrimoni personali.
Il geometra Fulvio dispone dei seguenti capitali:
- un conto in banca al tasso netto del 2%, convertibile ogni 6 mesi il cui saldo, all’inizio dell’anno in corso, ammontava
a € 25.900,00;
- un credito di € 30.000,00 esigibile fra 6 mesi al tasso del 3%;
- il montante di un capitale di € 15.000,00 investito 3 anni or sono al tasso del 6% convertibile quadrimestrale.
Il perito Corrado possiede un immobile urbano, adatto per uso ufficio, valutato € 200.000,00 da cui va detratto il valore di
un mutuo ipotecario con debito residuo di € 95.000,00.
Determinare l’ammontare del capitale sociale attribuibile alla costituenda società.
Svolgimento
2
9
1
⎛ 0,02 ⎞
⎛ 0,06 ⎞
+ 15.000 ⋅ ⎜ 1+
Cs = 25.900 ⋅ ⎜ 1+
+ 30.000 ⋅
⎟
⎟ + 200.000 − 95.000 = € 178..903,63
⎝
⎝
3 ⎠
2 ⎠
1+ 0,03 ⋅ 6 / 12
ESERCIZIO 3.7
Il sig. Daniele, imprenditore agricolo, ha acquistato all’inizio del corrente anno una trattrice 4 r.m. al prezzo di € 60.000,00
convenendo il pagamento in 2 rate: la prima pari al 60% del prezzo con scadenza a fine aprile, la seconda pari al 40% del
prezzo con scadenza a fine giugno. Tali rate sono comprensive di interessi passivi calcolati al tasso nominale del 6% convertibile bimestrale.
Inoltre, il sig. Daniele sostiene, nel corso dell’anno, spese di gestione pari a € 6.500,00 a fine marzo; € 7.200,00 a fine luglio; € 4.800,00 a fine settembre; € 3.500,00 a fine novembre, mediante prelievi da proprio conto corrente.
Dalla vendita di prodotti agricoli il sig. Daniele riscuote i seguenti importi, via via depositati sul conto corrente bancario al tasso netto del 2%: € 35.000,00 al 10 aprile; € 40.000,00 al 20 luglio; € 18.000,00 al 30 settembre.
40
3 Argomento
L’interesse composto convertibile
Determinare la situazione finanziaria del sig. Daniele alla fine del corrente anno.
Svolgimento
Occorre distinguere il calcolo delle rate della trattrice, che va impostato in base all’interesse convertibile bimestrale al tasso
nominale del 6%, da quello relativo ai movimenti in conto corrente, che va eseguito applicando l’interesse discontinuo annuo al tasso del 2%.
a) Importo delle rate:
2
⎛ 0,06 ⎞
R1 = 60,000 ⋅ 0,60 ⋅ ⎜ 1+
⎟ = € 36.723,60 (prima rata con scadenza al 30/4)
⎝
6 ⎠
3
⎛ 0,06 ⎞
R 2 = 60,000 ⋅ 0,40 ⋅ ⎜ 1+
⎟ = € 24.727,22 (seconda rata con scadenza al 30/6)
⎝
6 ⎠
b) Saldo movimenti su conto corrente (depositi meno prelievi).
Depositi:
Cn = 35.3000 · (1 + 0,02 · 260/360) + 40.000 · (1 + 0,02 · 160/360) + 18.000 · (1 + 0,02 · 3/12) = € 93.951,11
Prelievi:
Cn = 36.723,60 · (1 + 0,02·8/12) + 24.727,22 · (1 + 0,02·6/12) + 6.500 · (1 + 0,02·9/12) + 7.200 · (1 + 0,02 · 5/12) + 4.800 · (1 + 0,02 · 3/12) + 3.500 ·
· (1 + 0,02 · 1/12) = € 84.375,07
Saldo:
S = € 93.951,11 – 84.375,07 = € 9.576,00
ESERCIZIO 3.8
Il giovane Alessio ha conseguito il diploma di geometra il 10 luglio dell’anno in corso. Da quando venne iscritto alla prima
classe della scuola elementare il padre iniziò a effettuare, all’inizio di ogni anno, un deposito a risparmio intestato al figlio. Il
primo anno il deposito ammontò a € 5.000,00 e successivamente fu incrementato ogni anno del 20%.
La fruttuosità del deposito variò come segue:
- fino alla licenza elementare (primi 5 anni): r = 6% convertibile semestrale;
- fino alla licenza media (ulteriori 3 anni): r = 3% convertibile quadrimestrale;
- fino alla maturità (ulteriori 5 anni): r = 2% convertibile trimestrale.
Di quale somma può disporre il geometra Alessio al 10 luglio di quest’anno?
Svolgimento
Importi dei depositi con incremento pari al 20% annuo:
5.000
0
6.000
7.200
8.640
10.368
12.442
14.930
17.916
1
2
3
4
5
6
7
21.499
8
25.799
30.959
9
10
37.151
44.581
11
C5
12
13
Conviene anzitutto calcolare il montante dei primi 5 versamenti al 5° anno (r = 6% convertibile semestrale):
10
8
6
4
⎛ 0,06 ⎞
⎛ 0,06 ⎞
⎛ 0,06 ⎞
⎛ 0,06 ⎞
C5 = 5.000 ⋅ ⎜ 1+
⎟⎠ + 6.000 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ + 7.200 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ +
⎟⎠ + 8.640 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎝
⎠
2
2
2
2 ⎠
2
⎛ 0,06 ⎞
+10.368 ⋅ ⎜ 1+
⎟ = € 43.641,00 (arrotonndato)
⎝
2 ⎠
41
Argomento 3 L’interesse composto convertibile
Questo montante, e i successivi 3 versamenti, vanno posticipati alla fine dell’8° anno (r = 3% convertibile quadrimestrale):
9
9
6
3
⎛ 0,03 ⎞
⎛ 0,03 ⎞
⎛ 0,03 ⎞
⎛ 0,03 ⎞
C8 = 43.641⋅ ⎜ 1+
⎟ + 14.930 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ = € 95.645,00 (arrotondato)
⎟ + 17.916 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ + 12.442 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎝
3 ⎠
3 ⎠
3 ⎠
3 ⎠
Questo montante, e i successivi 5 versamenti, vanno posticipati alla fine del 13° anno (r = 2% convertibile trimestrale):
20
20
16
12
⎛ 0,02 ⎞
⎛ 0,02 ⎞
⎛ 0,022 ⎞
⎛ 0,02 ⎞
C13 = 95.645 ⋅ ⎜ 1+
⎟⎠ + 21.499 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟⎠ + 25.799 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ +
⎟⎠ + 30.959 ⋅ ⎜⎝ 1+
⎝
4
4
4
4 ⎠
8
4
⎛ 0,02 ⎞
⎛ 0,02 ⎞
+37.151⎜ 1+
⎟ + 44.581⋅ ⎜⎝ 1+
⎟ = € 274.385,16
⎝
4 ⎠
4 ⎠
ESERCIZIO 3.9
Un capitale di € 23.000,00 è investito all’interesse convertibile trimestrale al tasso nominale del 4%.
Qual è l’ammontare degli interessi maturati dopo 3 anni e mezzo? Qual è il tasso effettivo di investimento? Se al medesimo
tasso effettivo venisse investito lo stesso capitale all’interesse annuo per il tempo di 2 anni, quale interesse si sarebbe ottenuto?
Svolgimento
a) Interessi dopo 3 anni e mezzo:
⎡⎛ 0,04 ⎞ 14 ⎤
I = 23.000 ⎢⎜ 1+
⎟ − 1⎥ = € 3.437, 91
4 ⎠
⎣⎝
⎦
b) Tasso effettivo di investimento:
⎡⎛ 0,04 ⎞ 4 ⎤
j = ⎢⎜ 1+
⎟ − 1⎥ = 0,0406
4 ⎠
⎣⎝
⎦
c) Interesse annuo dopo 2 anni:
2
I = 23.000 ⋅ ⎡⎣(1+ 0,0406 ) − 1⎤⎦ = € 1.905,51
ESERCIZIO 3.10
Ho diritto a riscuotere € 15.000,00 fra 2 anni, € 13.500,00 fra 3 anni e mezzo, € 22.000,00 fra 4 anni. Qual è il valore attuale dei miei diritti applicando un tasso di sconto del 6% convertibile semestralmente?
Svolgimento
Occorre anticipare all’attualità ogni valore.
C0 =
15.000,00
13.500,00
22.000,00
+
+
= € 41.671,04
4
7
(1+ 0,06/2) (1+ 0,06/2) (1+ 0,06/2)8
42
Argomento 4
Preambolo
Si chiamano rate frazionate quei valori finanziari
che si ripetono costantemente, nell’ambito di 1
anno, a intervalli regolari di tempo (mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali, semestrali). Si
distinguono in rate posticipate e anticipate a
seconda che siano collocate alla fine o all’inizio di
ciascuna frazione di tempo.
Sono esempi di rate frazionate i pagamenti rateali, i canoni di locazione degli immobili urbani
(generalmente pattuiti con cadenza mensile), i
canoni di affitto di fondi rustici (pagati, ad esempio, con semestralità), i salari dei lavoratori, le
rendite periodiche, i vitalizi.
I problemi finanziari relativi a tali valori periodici consistono generalmente nel calcolarne la somma riferita alla fine o
all’inizio dell’anno. Vi sono poi problemi inversi per i quali, noto che sia l’ammontare del capitale riferito alla fine o
all’inizio dell’anno, si richiede il calcolo della corrispondente rata frazionata (mensile, trimestrale, ecc.).
Le formule; Esercizi svolti.
Rate
frazionate
4.1
Le formule
4.1.1
Somma a fine anno di rate frazionate
N±1⎞
⎛
S1 = f ⋅ ⎜ N + r ⋅
⎝
2 ⎟⎠
S1 = somma a fine anno delle rate;
f = importo di ciascuna rata;
N = numero di rate nell’anno;
r = tasso di interesse;
±1 = si somma per rate anticipate, si
sottrae per rate posticipate.
Dove
ESEMPIO
Per la locazione di un immobile si paga un canone di € 600,00 mensili anticipati. Qual è l’ammontare del canone annuo
posticipato al tasso di interesse del 3%?
13 ⎞
⎛
Ca = 600,00 ⋅ ⎜ 12 + 0,03 ⎟ = € 7.317,00
⎝
2⎠
4.1.2
Somma a inizio anno di rate frazionate
N±1⎞ 1
⎛
⋅
S0 = f ⋅ ⎜ N + r ⋅
⎝
2 ⎟⎠ q
43
Argomento 4 Rate frazionate
ESEMPIO
Per estinguere un debito si pagano, per 1 anno, € 3.800,00 posticipati ogni 2 mesi. Qual è l’ammontare del debito iniziale se il tasso convenuto è del 5%?
5⎞
⎛
S0 = 3.800,00 ⋅ ⎜ 6 + 0,05 ⋅ ⎟ = € 23.275,00
⎝
2⎠
4.1.3
Ricerca della rata corrispondente
a una somma finale o iniziale
f=
S1
N ± 1⎞
⎛
⎜⎝ N + r ⋅
⎟
2 ⎠
f=
S0 ⋅ q
N ± 1⎞
⎛
⎜⎝ N + r ⋅
⎟
2 ⎠
ESEMPI
1. Quale rata mensile anticipata dovrò versare al tasso del 2% per costituire, in 1 anno, un capitale di € 50.000,00?
f=
50.000,00
= € 4.122,00
12 + 0,02 · 13/2
2. Si deve estinguere un debito di € 8.500,00 mediante 4 rate trimestrali posticipate. Considerando un tasso di interesse
del 6%, quale importo avrà ciascuna rata?
f=
8.500 · 1,06
= € 2.202,93
4 + 0,06 · 3/2
4.2
Esercizi svolti
ESERCIZIO 4.1
La sig.ra Monica possiede un capitale monetario di € 250.000,00 che può investire scegliendo fra due opportunità:
1) acquistare un appartamento che potrà essere locato per un canone mensile anticipato di € 650,00 e comporterà spese
annue padronali per € 780,00 mediamente anticipate;
2) acquistare un appezzamento di terreno agrario che potrà essere affittato al canone di € 3.500,00 semestrali posticipati
e richiederà spese padronali pari a € 350,00 semestrali anticipate.
Considerando un tasso di interesse del 3%, quale investimento risulta migliore?
Svolgimento
Si potranno confrontare le rendite nette annue posticipate corrispondenti ai due investimenti.
a) Rendita netta dell’appartamento:
S1 = 650,00 · (12 + 0,03 · 13/2) – 780 · (1 + 0,03 · 6/12) = € 7.135,05
b) Rendita netta del terreno agrario:
S1 = 3.500 · (2 + 0,03 · 1/2) – 350 · (2 + 0,03 · 3/2) = € 6.336,75
Conviene investire nell’acquisto dell’appartamento.
44
Rate frazionate
4 Argomento
ESERCIZIO 4.2
Il prezzo a copia di un periodico mensile è di € 1,80 ed è acquistabile in edicola a partire dall’inizio di ciascun mese. L’abbonamento annuo, pagato anticipatamente, ammonta a € 20,00. Considerando un tasso di interesse del 3%, quale soluzione risulta più conveniente per il lettore?
Svolgimento
Occorre confrontare il prezzo dell’abbonamento con la somma a inizio anno di 12 rate mensili.
13 ⎞ 1
⎛
S0 = 1,80 ⋅ ⎜ 12 + 0,03 ⋅ ⎟ ⋅ = € 21,31
⎝
2⎠ q
Conviene contrarre l’abbonamento annuo al prezzo di € 20,00, poiché il costo delle 12 copie riferito a inizio anno è superiore (€ 21,31).
ESERCIZIO 4.3
Un appartamento è locato a un canone di € 1.200,00 bimestrali anticipati. Le spese a carico del proprietario ammontano
a € 120,00 a fine maggio ed € 150,00 a fine settembre. Calcolare, al tasso del 3%, il reddito annuo posticipato del proprietario e il suo reddito medio mensile anticipato.
Svolgimento
a) Reddito netto annuo posticipato:
Rn = 1.200 · (6 + 0,03 · 7/2) – 120 · (1 + 0,03 · 7/12) – 150 · (1 + 0,03 · 3/12) = € 7.052,78
b) Reddito medio mensile anticipato:
Rm =
7.052,78
12 + 0,03·13/2
= € 578,33
ESERCIZIO 4.4
Per la locazione di un immobile urbano, il sig. Tommaso paga un canone di € 4.200,00 semestrali anticipati. Egli chiede al
concedente di poter pagare lo stesso canone in 4 rate trimestrali anticipate, condizione che gli viene accordata al tasso di interesse del 5%.
Quanto pagherà ogni tre mesi il sig. Tommaso?
Svolgimento
a) Somma a fine anno delle attuali rate di canone:
S1 = 4.200 · (2 + 0,05 · 3/2) = € 8.715,00
b) Importo delle nuove rate trimestrali anticipate:
f=
8.715,00
4 + 0,05·5/2
= € 2.112,73
45
Argomento 4 Rate frazionate
ESERCIZIO 4.5
Per l’acquisto di una macchina da cantiere, un’impresa edile contrae un debito di € 68.000,00 che paga secondo il seguente piano di versamenti al tasso del 5%:
- € 10.000,00 subito;
- € 2.000,00 alla fine di ogni mese nell’arco del 1° anno;
- € 3.000,00 anticipati ogni due mesi nell’arco del 2° anno;
- € 4.000,00 anticipati ogni tre mesi nell’arco del 3° anno.
Quanto dovrà aggiungere alla fine del 3° anno per estinguere totalmente il debito?
Svolgimento
Il momento di riferimento di tutti i valori è la fine del 3° anno. A tale momento va posticipato il debito iniziale e riferiti, in detrazione, i diversi versamenti.
C3 = (68.000 – 10.000) · q3 – 2.000 · (12 + 0,05 · 11/2) · q2 – 3.000 · (6 + 0,05 · 7/2) · q – 4.000 · (4 + 0,05 · 5/2) = € 4.124,63
ESERCIZIO 4.6
All’inizio dell’anno in corso il conto corrente intestato alla sig.ra Veronica aveva un saldo attivo di € 5.812,50 e, nel corso dell’anno, all’inizio di ogni mese la sig.ra Veronica ha prelevato la somma di € 1.800,00. Per contro ha regolarmente depositato i ricavi del proprio lavoro che ammontano a € 5.900,00 alla fine di ogni bimestre e, nei mesi di luglio e novembre,
un ulteriore introito di € 2.000,00 posticipati.
Determinare, al tasso del 2%, il saldo del conto corrente della sig.ra Veronica alla fine dell’anno.
Svolgimento
Si esegue la differenza tra depositi e prelievi, riferita a fine anno.
Cn = 5.812,50 · 1,02 + 5.900 · (6 + 0,02 · 5/2) + 2.000·(1 + 0,02 · 5/12) + 2.000 · (1 + 0,02 · 1/12) – 1.800 · (12 + 0,02 · 13/2) = € 23.809,75
ESERCIZIO 4.7
Il sig. Ambrogio ha venduto un terreno di sua proprietà riscuotendo subito la somma di € 50.000,00 e successivamente,
per 1 anno, i seguenti pagamenti al tasso di interesse del 4%:
- € 25.000,00 mensili posticipati;
- € 30.000,00 trimestrali anticipati;
- € 50.000,00 semestrali posticipati.
All’atto della vendita il sig. Ambrogio ha sostenuto spese fiscali per € 9.134,60.
A quale prezzo è avvenuta la compravendita?
Svolgimento
Si devono sommare tutti i pagamenti riferendoli all’attualità.
P = 50.000 + 25.000 · (12 + 0,04 · 11/2) ·
46
1
q
+ 30.000 · (4 + 0,04 · 5/2) ·
1
q
+ 50.000 · (2 + 0,04 · 1/2 ) ·
1
q
– 9.134,60 = € 550.000,00
Rate frazionate
4 Argomento
ESERCIZIO 4.8
La sig.ra Elena intende acquistare, tra 1 anno, un’automobile al prezzo di € 35.000,00. Al momento (inizio dell’anno) dispone del seguente patrimonio finanziario:
- il saldo di un conto corrente al tasso del 2% che, 3 mesi fa, ammontava a € 6.200,00;
- il montante di un capitale di € 10.000,00 investito 3 anni fa all’interesse convertibile trimestrale al tasso nominale del 4%.
Quale somma dovrà depositare alla fine di ogni mese sul suo conto corrente per far fronte all’acquisto dell’auto?
Svolgimento
Si dovrà calcolare la differenza, a fine anno, tra il prezzo dell’auto e le disponibilità finanziarie attuali. Tale differenza dovrà
essere ripartita in rate mensili posticipate.
a) Disponibilità finanziaria a fine anno:
12
⎛ 0,04 ⎞
Cn = 6.200 ⋅ (1+ 0,02 ⋅ 3 / 12 ) ⋅ 1,02 + 10.000 ⋅ ⎜ 1+
⎟ ⋅1,02 = € 17.849,24
⎝
4 ⎠
b) Somma mancante a fine anno:
C = 35.000,00 – 17.849,24 = 17.150,76
c) Rata da accantonare mensilmente:
f=
17.150,76
= € 1.416,25
12 + 0,02 · 11/2
ESERCIZIO 4.9
Alla fine del mese di marzo dell’anno in corso il sig. Andrea stipula un contratto di acquisto di un terreno per il prezzo di
€ 200.000,00 convenendo il pagamento in parte a pronta cassa mediante versamento del saldo attivo del suo conto corrente, in parte mediante 3 rate quadrimestrali posticipate al tasso nominale del 6%.
All’inizio dell’anno scorso il saldo attivo del suo conto ammontava a € 113.280,00 con tasso di interesse del 2,50% e per
tutto lo scorso anno il sig. Andrea ha versato, alla fine di ogni mese, una somma costante di € 2.500,00. In data 13 gennaio di quest’anno ha prelevato la somma di € 4.000,00.
Determinare l’importo di ogni rata quadrimestrale che il sig. Andrea dovrà versare a saldo del prezzo convenuto.
Svolgimento
Occorre determinare, con riferimento alla fine di marzo dell’anno in corso, la differenza tra il prezzo di acquisto e il saldo del
conto corrente (r = 2,50%). Tale differenza costituisce il debito residuo, da pagare mediante 3 rate quadrimestrali posticipate; dovrà quindi essere dapprima posticipata a fine anno, quindi suddivisa in rate frazionate (r = 6%).
a) Debito residuo alla fine di marzo (r = 2,50%):
Dr = 200.000 – [113.280 · 1,025 · (1 + 0,025 · 3/12) + 2.500 · (12 + 0,025 · 11/2) · (1 + 0,025 · 3/12) – 4.000 · (1 + 0,025 · 77/360)] = € 56.650,29
b) Debito residuo riferito a fine anno (r= 6%):
C1 = 56.650,29 · (1 + 0,06 · 9/12) = € 59.199,55
c) Rata frazionata:
f=
59.199,55
= € 19.346,25
3 + 0,06 · 2/2
47
Argomento 4 Rate frazionate
ESERCIZIO 4.10
La sig.ra Flora ha diritto, per 1 anno, a riscuotere i seguenti crediti:
- € 4.300,00 trimestrali posticipati;
- € 6.800,00 quadrimestrali anticipati;
- € 8.500,00 semestrali posticipati.
In sostituzione di tali diritti la sig.ra Flora chiede di poter riscuotere una mensilità anticipata. Quanto potrà riscuotere a ogni
mese se il tasso di interesse convenuto è del 6%?
Svolgimento
Si dovrà determinare la somma di tutti i crediti riferita a fine anno, quindi suddividerla in 12 mensilità anticipate.
a) Somma finale:
Cn = 4.300 · (4 + 0,06 · 3/2) + 6.800 · (3 + 0,06 · 4/2) + 8.500 · (2 + 0,06 · 1/2) = € 56.058,00
b) Mensilità anticipata:
f=
56.058,00
12 + 0,06 · 13/2
= € 4.524,45
ESERCIZIO 4.11
Un debito viene estinto in 3 anni mediante i seguenti pagamenti: al 1° anno € 800 mensili anticipati; al 2° anno € 1.500
bimestrali posticipati; al 3° anno € 2.500 trimestrali posticipati.
Determinare al tasso del 5% l’ammontare del debito iniziale.
Svolgimento
13 ⎞ 1
5⎞ 1
3⎞ 1
⎛
⎛
⎛
C0 = 800 ⋅ ⎜ 12 + 0,05 ⋅ ⎟ ⋅ + 1.500 ⋅ ⎜ 6 + 0,05 ⋅ ⎟ ⋅ 2 + 2.500 ⋅ ⎜ 4 + 0,05 ⋅ ⎟ ⋅ 3 = € 26.524,15
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
2 q
2 q
2⎠ q
48
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