¨ Ubungsblatt 7 Experimentalphysik IVa (Festk¨orperphysik I) WS 2012/13

Experimentalphysik IVa (Festkörperphysik I)
WS 2012/13
Prof. Dr. Rolf Pelster
Übungsblatt 7
für die Übungen in der Woche vom 10.12.-14.12.2012
1) Zustandsdichte
a) Berechnen Sie den Verlauf der Zustandsdichtefunktion D(ω), die sich in der Debye’schen Kontinuumsnäherung für eine eindimensionale Kette aus (N + 1) Atome in
Abstand a ergibt. Zeigen Sie, dass im eindimensionalen Fall gilt:
D(ω) =
N ·a
π · vs
Zeigen Sie, dass im zweidimensionalen Fall, d.h. für ein ebenes Gitter der Fläche A, gilt:
D(ω) =
A·ω
2 · π · vs2
b) Berechnen Sie für eine lineare Kette identischer Massenpunkte die Zustandsdichtefunktion D(ω) longitudinaler Phononen. Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion und
vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis von a).
Hinweis: Für eine eindimensionale Kette lautet die Dispersionsgleichung
r
r
C q · a C
· sin
und
vs =
·a
ω =2·
M
2
M
c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Maximalfrequenz ωmax des Phononenspektrums und der oberen Grenzfrequenz ωD der Debye’schen Kontinuumsnäherung für
die lineare Kette.
2) Wärmekapazität der linearen Kette
Gegeben sei eine lineare Kette identischer Massenpunkte der Masse m, die in der Ruhelage den gegenseitigen Abstand a haben. Benachbarte Massepunkte seien durch eine Feder
der Konstanten f1 gekoppelt. Berechnen Sie die spezifische Wärmekapazität der Kette in
der Debye-Näherung für T → 0 und für T → ∞.
Hinweis: Benutzen Sie das Zwischenergebnis von Aufgabe 1a. Für den Fall T → ∞,
führen
Z ∞Sie die neue Variable 2β = 1/(kB T ) ein und für den Fall T → 0, x = ~ ω β. Es
x
π
gilt
dx =
exp(x) − 1
6
0
3) Debye-Modell der spezifischen Wärme
An kristallinem Argon messen Sie die spezifische Wärme c V in Abhängigkeit von der
Temperatur T .
T [K]
1
−1
−1
cv [mJ.mol .K ] 2,57
1,3 1,4
5,06 7,73
1,6
9,98
1,7
1,8
12,80 15,46
1,9
2,0
17,73 20,48
Stellen Sie die Werte geeignet dar und bestimmen Sie die Debyetemperatur θD und die
Debyefrequenz ωD .