Introduzione all`analisi a fatica di sollecitazioni random

Introduzione Università degli Studi di Ferrara
Facoltà di Ingegneria
Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica
Corso di Progettazione Meccanica
A.A. 2005/2006
Introduzione all’analisi a fatica di sollecitazioni
random mediante un approccio in frequenza
Denis Benasciutti
Material Engineer, PhD, IWE/EWE
29/05/2006
1/21
Sommario
o
Introduzione
o
Analisi di sollecitazioni random: approccio ‘time-domain’ e ‘frequency-domain’.
o
Conteggio ‘rainflow’.
o
Approccio nel dominio del tempo (‘time-domain’):
•
o
valor medio, varianza, autocorrelazione;
Approccio nel dominio della frequenza (‘frequency-domain’):
•
definizione di densità spettrale di potenza (PSD);
•
definizione di sollecitazioni a banda stretta e banda larga;
•
momenti spettrali e parametri di banda di una PSD;
•
distribuzione statistica dei massimi per una sollecitazione random;
o
Distribuzione dei cicli in sollecitazioni random;
o
Sollecitazioni a banda stretta: approssimazione Rayleigh:
o
Sollecitazioni a banda larga: il metodo TB.
o
Danno a fatica in sollecitazioni random:
•
danno nell’approssimazione Rayleigh;
o
Stima della durata attesa.
o
Applicazione.
o
Bibliografia.
2/21
Sollecitazioni ad ampiezza costante
La ‘fatica’ è una possibile causa di cedimento delle strutture.
Per caratterizzare la resistenza a fatica di materiali o dettagli strutturali si utilizzano
prove sperimentali in laboratorio con carichi ‘semplici’ (sollecitazioni sinusoidali).
Prove ad ampiezza costante
s
[log scale]
skN=C
s
N
[log scale]
• ogni ciclo è chiaramente identificato;
• per ogni ampiezza s determiniamo il corrispondente numero di cicli a rottura N.
La curva SN (curva di Wöhler) è ottenuta mediante analisi statistica (regressione
lineare) dei punti sperimentali.
3/21
Sollecitazioni random
Le sollecitazioni in componenti meccanici in esercizio non sono ad ampiezza costante.
Condizioni di esercizio
Affidabilità strutturale di dettagli strutturali in esercizio:
• come identificare i cicli ?
metodi di conteggio
• come sommare il danno di ogni ciclo ?
leggi di accumulo del danno
4/21
Analisi di sollecitazioni random: possibili approcci
DOMINIO DEL TEMPO
DOMINIO DELLA FREQUENZA
80
Power Spectral Density
(PSD)
stress PSD
60
40
20
0
0
50
100
150
200
w[rad/sec]
METODO DI CONTEGGIO
(es. conteggio ‘rainflow’)
ampiezza
ampiezza
DISTRIBUZIONE DEI CICLI
CUMULATIVO DI CARICO
n° cicli
cicli cumulati
LEGGE DI ACCUMULO DEL DANNO
(e.g. accumulo lineare secondo Palmgren-Miner)
DANNO
5/21
Conteggio dei cicli: metodo ‘rainflow’
+5
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-4
-5
A
D
I
G
Storia di carico
(riordinata dal massimo assoluto)
H
H
F
A
D
G
B
C
C
A
E
E
O
C
C
C
B
B
F
Turning points:
• massimi: A, B, C, E, G
• minimi: B, D, F, H
F
conteggio
‘rainflow’
Cicli:
ED, CF, GH, AB
Il conteggio ‘rainflow’ identifica i cicli accoppiando massimi e minimi.
• il numero di cicli contati è uguale al numero di massimi (es. 4 massimi → 4 cicli);
• il massimo ed il minimo assoluti si accoppiano a formare il ciclo di range massimo (CF);
• gli altri cicli si formano accoppiano ogni massimo con un minimo, ad esso immediatamente
vicino (es. DE, GH, AB) o lontano (es. CF).
La complessità dell’algoritmo del conteggio ‘rainflow’ non permette di prevedere a priori le
modalità di associazione massimo/minimo nella identificazione dei cicli.
6/21
Caratterizzazione processo random: ‘time-domain’
x(t)
T
1
µ x = ∫ x ( t ) dt
T 0
x(t+τ)
x(t)
t
τ
1
σ =
T
2
x
valor medio
T
2
(
)
x
(
t
)
−
µ
dt
x
∫
varianza
0
T
T
σ x2
1
R (τ ) = ∫ x(t ) x(t + τ ) dt
T 0
R ( −τ ) = R (τ )
simmetria
R (0) = σ x2
se µ x = 0
autocorrelazione
7/21
Legame ‘time-domain’ e ‘frequency-domain’
La PSD e l’autocorrelazione sono una coppia di trasformate di Fourier :
+∞
⎧
− i 2π f τ
S
(
f
)
R
(
τ
)
e
dτ
=
⎪
∫
⎪
−∞
⎨
∞
⎪ R (τ ) = S ( f ) ei 2π f τ df
∫
⎪
⎩
−∞
Wiener-Khinchine (1930)
Le relazioni di W-K trasferiscono tutte le proprietà del processo random dal dominio del tempo a
quello della frequenza.
POWER SPECTRAL DENSITY
AUTOCORRELAZIONE
(PSD)
S( f ) ≥ 0
∀f
S (− f ) = S ( f )
simmetria
8/21
Sollecitazione random: PSD e autocorrelazione
Banda stretta (narrow-band)
2
R( τ)
S(f) [MPa /Hz]
1
x(t) [MPa]
3
0.25
2
0.5
0.2
0.15
1
0
0.1
0
-1
-0.5
0.05
-2
0
-100
0
100
-1
0
0.1
0.2
-3
0
0.1
τ [sec]
f [Hz]
0.2
0.3
0.4
0.3
0.4
t [sec]
Banda larga (wide-band)
2
R( τ)
S(f) [MPa /Hz]
1
3
0.25
2
0.5
0.2
0.15
1
0
0.1
0
-1
-0.5
0.05
0
-100
x(t) [MPa]
-2
0
f [Hz]
100
-1
0
0.1
τ [sec]
0.2
-3
0
0.1
0.2
t [sec]
9/21
Caratterizzazione della PSD
Per caratterizzare la ‘geometria’ della PSD si definiscono :
momenti spettrali
λn =
+∞
∫
f n S ( f ) df
−∞
parametri di banda
α1 =
λ1
λ0 λ2
α2 =
λ2
λ0 λ4
0 ≤ α1 , α 2 ≤ 1
In base alle relazioni di Wiener-Khinchine si ha che :
+∞
λ0 = σ = ∫ S ( f ) df = Area ( PSD)
2
x
−∞
il momento di ordine zero (=area della PSD) è la varianza della sollecitazione random.
10/21
Interpretazione geometrica dei parametri di banda
I parametri di banda sono coefficienti adimensionali
che sintetizzano la ‘forma’ di una PSD.
Banda stretta
α1 , α 2 → 1
banda stretta
α1 , α 2 → 0
banda larga
Banda larga
Bimodale
α1 = 0.9999
α1 = 0.9449
α1 = 0.6661
α 2 = 0.9997
α 2 = 0.8477
α 2 = 0.3600
2
2
2
S(f) [MPa /Hz]
S(f) [MPa /Hz]
S(f) [MPa /Hz]
0.25
0.25
0.25
0.2
0.2
0.2
0.15
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
-100
0
f [Hz]
100
0
-100
-
0.1
0.05
0
f [Hz]
100
0
-100
0
100
f [Hz]
11/21
Sollecitazioni gaussiane: distribuzione di massimi e minimi
Processi gaussiani: seguono una distribuzione normale rispetto al valor medio.
x(t)
4
2
2
2
0
0
0
x
STORIA DI CARICO
-2
-4
u
DISTRIBUZIONE GAUSSIANA
4
4
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-4
DISTRIBUZIONE DEI MASSIMI
α2 = 0
α 2 = 0.5
α2 = 1
-2
0
0.2
t
-4
0.4
0
0.2
f(x)
0.4
0.6
0.8
p p (u)
Per processi gaussiani la PSD permette di determinare la distribuzione dei massimi:
• processo a banda larga (α2<1) :
• processo a banda stretta (α2=1) :
pp ( u ) =
pp ( u ) =
1−α
2
2
2π σ
2
x
u
σ
2
x
−
e
−
e
u2
2 σ x2
u2
2 σ x2 (1−α 22 )
α u
+ 22 e
σx
(u ≥ 0)
− la distribuzione delle valli è simmetrica rispetto al valor medio:
−
u2
2 σ x2
⎛
⎞
α2 u
⎜
⎟
Φ
2
2
⎜ σ (1 − α ) ⎟
x
2 ⎠
⎝
(distribuzione Rayleigh)
p v ( u ) = pp ( − u )
− in un processo a banda stretta tutti i picchi sono positivi (maggiori del valor medio).
12/21
Distribuzione dei cicli in sollecitazioni random
Nel conteggio ‘rainfow’ i cicli si formano accoppiando massimi e minimi.
Per formare i cicli non è sufficiente conoscere la posizione assoluta di massimi e
minimi (cioè la loro distribuzione statistica), ma anche la loro posizione relativa.
In una sollecitazione random, la complessità dell’algoritmo ‘rainflow’ non permette in generale di
ricavare la distribuzione statistica dei cicli contati direttamente dalla distribuzione dei massimi e
minimi (cioè dalla PSD), tranne che in casi molto semplici (es. sollecitazioni a banda stretta).
13/21
Sollecitazioni a banda stretta: approssimazione Rayleigh
x(t)
In un processo a banda stretta sappiamo che ad
ogni massimo segue un minimo quasi simmetrico.
s
E’ quindi intuitivo individuare un ciclo associando ad
un massimo il minimo seguente.
Quindi il valore dell’ampiezza s di un generico ciclo
5
coincide con il valore del massimo (vedi figura).
s/σ X
La distribuzione delle ampiezze è quindi nota e
coincide con la distribuzione dei massimi
(distribuzione Rayleigh):
cumulativo osservato
approssimazione Rayleigh
4
3
p( s) =
2
banda stretta
α1 = 0.9999
α2 = 0.9997
1
s
σ
2
x
e
s2
− 2
2σ x
0
1
10
100
1000
10000
cicli cumulati
14/21
Sollecitazioni a banda larga
L’approssimazione Rayleigh è rigorosamente corretta solo per sollecitazioni a banda stretta.
Infatti, in sollecitazioni a banda larga non è detto che ad un massimo segua un minimo
simmetrico rispetto al valore medio:
3
x(t)
2
1
0
-1
-2
-3
0
0.05
0.1
0.15
t
0.2
0.25
0.3
Applicare l’approssimazione Rayleigh a sollecitazioni a banda larga può quindi risultare errato.
In particolare, in sollecitazioni a banda larga l’approssimazione Rayleigh tende a stimare cicli di
ampiezza maggiore di quelli effettivamente contati con il metodo ‘rainflow’.
15/21
Sollecitazioni a banda larga
Tuttavia, come accennato in precedenza, a causa della complessità dell’algoritmo con cui il
conteggio ‘rainflow’ accoppia massimi e minimi per definire i cicli di fatica (un massimo non è
sempre accoppiato con il minimo seguente), non è possibile definire statisticamente in modo
esatto la distribuzione dei cicli in una sollecitazione a banda larga.
Pertanto i metodi esistenti in letteratura forniscono solamente stime approssimate della
distribuzione dei cicli
5
p( s )
(adottando, ad esempio, opportune combinazioni di distribuzioni).
s/σ X
Esempio
cumulativo osservato
approssimazione Rayleigh
4
metodo TB
metodo TB (Benasciutti & Tovo, 2002-2005)
p( s ) = b α 2
3
banda larga
2
α1 = 0.2
α2 = 0.1
b = 0.134
1
s
σ x2
−
e
s2
2 σ x2
+ (1 − b)
s
α 22 σ x2
−
e
(
α1 − α 2 )[1.112 (1 + α1α 2 − (α1 + α 2 ) ) e 2.11α
b=
(α 2 − 1 )2
2
s2
2 α 22σ x2
+ (α1 − α 2 )
]
0
1
10
100
1000
10000
100000
cicli cumulati
16/21
Danno a fatica in sollecitazioni random
Data la relazione SN :
ampiezza
sk N = C
in ipotesi di Miner, il danno di 1 ciclo di ampiezza s è :
1 sk
=
N C
Il danno totale nel tempo T è la somma del danno:
sik ni
D(T ) = ∑
C
i
si
ni
n° cicli
si
ni
ampiezza i-esima
n° cicli contati con ampiezza si
La sommatoria è estesa a tutti i livelli di ampiezza si presenti.
Il numero totale di cicli contati è quindi N (T ) =
∑n
i
.
i
In sollecitazioni random, l’istogramma si approssima con una distribuzione continua
Se N(T) è il numero di cicli contati nel tempo T, il numero di cicli con ampiezza s è
p(s ) .
N (T ) p( s )ds
Sostituendo la sommatoria con l’integrale, otteniamo il danno nel tempo T :
∞
sk
D (T ) = N (T ) ∫ p( s ) ds
C
0
Eq. (1)
17/21
Danno nell’approssimazione Rayleigh
In un processo a banda stretta:
x(t)
• le ampiezze seguono una distribuzione Rayleigh:
s
p( s) =
s
σ x2
−
e
s2
2 σ x2
• Il numero dei cicli coincide con il numero di
attraversamenti dello zero:
ν0 =
N (T ) = ν 0T
λ2
λ0
Sostituendo quindi in Eq.(1) si calcola il danno atteso nel tempo T :
∞
DRAY (T ) = N (T ) ∫
0
∞
s
s
νT
p ( s ) ds = 0 ∫ s k 2 e
C
C 0 σx
k
−
s2
2 σ x2
ds = ....
∞
svolgendo i calcoli ed introducendo la ‘funzione gamma’
Γ( a ) = ∫ u a −1e −u du
si ottiene:
0
DRAY (T ) =
ν 0T
C
( 2σ ) Γ⎛⎜⎝1 + k2 ⎞⎟⎠
2
x
k
approssimazione Rayleigh
18/21
Stima della durata attesa a fatica
x(t)
STORIA DI CARICO
Il danno a fatica cresce nel tempo.
2
La rottura per fatica avviene all’istante Tf
in cui il danno raggiunge il valore unitario.
1
0
-1
Pertanto la durata a fatica Tf è definita
dalla relazione:
-2
-3
t
D(T)
DANNO
D(T f ) = 1
1
Tf
0.5
0
T
Esempio
T fRAY =
Tf
C
ν0
( 2σ ) Γ⎛⎜⎝1 + k2 ⎞⎟⎠
2
x
k
19/21
Applicazione
x2
m2
k2
x1
z
MODELLO SEMPLICE
DI SOSPENSIONE
FUNZIONE DI RISPOSTA IN
FREQUENZA
2
|H(f)|
c2
m1
k1
c1
4
f
PROFILO STRADALE RANDOM
2
• conosciamo la PSD dell’input esterno
• conosciamo la risposta in frequenza del sistema
(es. analisi FEM)
0
-2
-4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Se il sistema è lineare, posso determinare la PSD
della risposta:
2
S out ( f ) = H ( f ) Sin ( f )
20/21
Bibliografia
Libri
Lutes LD, Sarkani S. Stochastic analysis of structural and mechanical vibrations. PrenticeHall, 1997.
Muscolino G. Dinamica delle strutture. McGraw-Hill, 2002.
Benasciutti D. Fatigue analysis of random loadings. Tesi di Dottorato, Dipartimento di
Ingegneria, Università di Ferrara, pp. 254.
(http://www.ing.unife.it/costrmacch/bena/pdf/PhD_Thesis_2005.pdf)
Articoli su rivista
Atzori B., Tovo R. I metodi per il conteggio dei cicli di fatica: stato dell'ar-te, problemi e
possibilità di sviluppo. ATA Ingegneria Automobilistica, 1994, 47(4), 175-183.
Tovo R. Cycle distribution and fatigue damage under broad-band random loading. Int. J.
Fatigue, 2002, 24(11), 1137-1147.
Benasciutti D, Tovo R. Spectral methods for lifetime prediction under wide-band stationary
random processes. Int J Fatigue, 2005, 27(8), 867-877.
Benasciutti D, Tovo R. Comparison of spectral methods for fatigue analysis in broad-band
Gaussian random processes. In press in Prob Eng Mechanics
(doi:10.1016/j.probengmech.2005.10.003).
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