Linee di trasmissione - Università degli studi di Pavia
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Linee di trasmissione - Università degli studi di Pavia
Facoltà di Ingegneria Università degli studi di Pavia Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica Campi Elettromagnetici e Circuiti I Linee di trasmissione Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 1 Sommario • • • • • • • • Introduzione Equazione dei telegrafisti Tipi di linee di trasmissione e loro caratteristiche Coefficiente di riflessione, impedenza e ammettenza d’onda e loro relazioni Potenza trasmessa, incidente e riflessa Linea senza perdite e diagramma d’onda stazionaria Casi particolari: linea adattata, linea in corto circuito, linea a vuoto, linea l/2, linea l/4 Carta di Smith Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 2 Introduzione Finora i fili presenti nei circuiti elettrici sono sempre stati considerati come elementi ininfluenti nel calcolo di tensioni e correnti. Il loro scopo era solo quello di indicare le interconnessioni topologiche fra i vari elementi circuitali. Questa ipotesi è valida rigorosamente solo se il circuito opera in regime stazionario e se i fili sono realizzati con conduttori ideali (resistività r = 0) e il materiale che li separa è un dielettrico perfetto (conducibilità s = 0). Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 3 Introduzione Nell’ipotesi che il circuito sia in regime stazionario, la resistività r ≠ 0 dei materiali che costituiscono i fili determina cadute di tensione tra l’ingresso e l’uscita. filo di collegamento di sezione A generatore I1 Rfilo = rd/A + V1 – I2 carico + V2 – d Esempio: Conduttori di rame r = 20 nW/m, di sezione A = 1 mm2, lunghezza della linea d = 50 m, corrente in ingresso I1 = 1 A, tensione all’ingresso V1 = 100 V. Si ha Rfilo = rd/A = 1 W, caduta di tensione sul filo = Rfilo I1 = 1 V, V2 = 99V Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 4 Introduzione Nell’ipotesi che il circuito sia in regime stazionario, la conducibilità s ≠ 0 del materiale che li separa determina una dispersione di corrente tra l’ingresso e l’uscita. filo di collegamento di sezione A generatore I1 + V1 – I2 Gisolante carico + V2 – d Esempio: Conduttanza equivalente dell’isolante Gisolante = 0.1 mS, lunghezza della linea d = 50 m, corrente in ingresso I1 = 1 A, tensione sulla linea V2 V1 = 100 V. Si ha I2 = I1 Gisolante V1 = 0.99 A Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 5 Introduzione Nell’ipotesi che il circuito sia in regime non stazionario, anche considerando conduttori ideali e dielettrici perfetti, a causa dei campi elettrici e magnetici variabili vi sono effetti di tipo induttivo e capacitivo lungo i fili. generatore I1 I2 + V1 – carico + V2 – d Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 6 Introduzione generatore carico linea di trasmissione Se la frequenza massima di lavoro non è troppo elevata, lo studio delle variazioni di tensione e corrente lungo le linee di collegamento può essere condotto nell’ipotesi che il campo elettrico e quello magnetico su ogni sezione abbiano la stessa forma dei campi stazionari. In questo caso, è possibile studiare il fenomeno con la cosiddetta “teoria elementare delle linee di trasmissione” che si basa sui concetti circuitali introdotti finora. Una trattazione più rigorosa, che verrà svolta nei successivi corsi di campi elettromagnetici, permetterà di meglio capire i limiti di questa teoria e di ottenere la soluzione esatta del problema. Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 7 Equazione dei telegrafisti z z+dz generatore carico linea di trasmissione Rdz Ldz Gdz R = resistenza per unità di lunghezza [W/m] L = induttanza per unità di lunghezza [H/m] Cdz G = conduttanza per unità di lunghezza [S/m] C = capacità per unità di lunghezza [F/m] Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 8 Equazione dei telegrafisti generatore carico linea di trasmissione Una linea di trasmissione può essere considerata come una cascata di infiniti circuiti di lunghezza infinitesima dz, ciascuno costituito da una resistenza in serie a un’induttanza e da un elemento conduttivo in parallelo ad uno capacitivo. generatore Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 carico dz Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 9 Equazione dei telegrafisti I(z) Rdz Ldz + V(z) – Gdz I(z+dz) + Cdz V(z+dz) – I ( z ) I ( z dz ) (Gdz jCdz )V ( z dz ) V ( z ) V ( z dz ) ( Rdz jLdz )I ( z ) I ( z dz ) I ( z ) lim (G jC )V ( z dz ) lim dz 0 dz 0 dz V ( z dz ) V ( z ) lim lim ( R jL)I ( z ) dz 0 dz 0 dz Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 10 Equazione dei telegrafisti dI ( z ) (G jC )V ( z ) dz dV ( z ) ( R jL)I ( z ) dz Queste due equazioni sono dette equazioni dei telegrafisti. Esse mostrano come la tensione e la corrente lungo una linea possa cambiare a causa delle sue non idealità Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 11 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti dV ( z ) ( R jL)I ( z ) dz dI ( z ) (G jC )V ( z ) dz Derivando la prima equazione rispetto a z e sostituendo si ottiene: d 2V( z) dI ( z ) ( R j L ) ( R jL)(G jC )V ( z ) 2 dz dz Introducendo la quantità complessa k 2 ( j ) 2 ( R jL)(G jC ) si può scrivere: d 2V( z) 2 k V( z) 0 2 dz Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 12 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti La soluzione dell’equazione d 2V( z) 2 ( j ) V( z) 0 2 dz è del tipo V ( z ) V0 e j ( j ) z V0 e j ( j ) z V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z 0 0 sono Dove V e V costanti arbitrarie che, come vedremo, si possono calcolare una volta che siano note le caratteristiche del carico e del generatore collegati alla linea. Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 13 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z Quale fenomeno fisico descrivono queste funzioni fasoriali? Passando al dominio del tempo si ha: 0 v (t ) | V | e z 0 cos(ωt βz arg V ) v (t ) | V0 | ez cos(ωt βz arg V0 ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 14 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti 0 v (t ) | V | e z 0 cos(ωt βz arg V ) v (t ) | V0 | ez cos(ωt βz arg V0 ) Sono funzioni periodiche di periodo T=2p/ rispetto al tempo, ma sono anche periodiche di periodo l=2p/ rispetto alla variabile spaziale z. Pertanto si può scrivere: t z v (t ) | V | e cos(2p 2p arg V0 ) T l t z z v (t ) | V0 | e cos(2p 2p arg V0 ) T l Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 0 z Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 15 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti 0 v (t ) | V | e z t z cos(2p 2p arg V0 ) T l Plot animato z linea di trasmissione Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 16 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti 0 v (t ) | V | e z t z cos(2p 2p arg V0 ) T l La funzione v+(t) è quindi un’onda che si propaga lungo la linea nel verso positivo dell’asse z e che si attenua esponenzialmente. Le costanti che appaiono nell’espressione di v+(t) prendono i seguenti nomi: = costante di attenuazione [1/m] = costante di fase [rad/m] l = lunghezza d’onda [m] Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 17 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti 0 v (t ) | V | e z t z cos(2p 2p arg V0 ) T l Con quale velocità si muovono le creste dell’onda? Se un osservatore è nell’origine (z=0) all’istante t=0 e si muove nella direzione z con velocità v=z/t, esso avrà la stessa velocità dell’onda se per lui l’argomento della funzione coseno rimane costante: t z 2p 2p arg V0 costante T l t vt 2p 2p 0 T l Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 (z, t ) l 2p v lf f T Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 18 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti t z v (t ) | V | e cos(2p 2p arg V0 ) T l 0 z Plot animato Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 19 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti t z v (t ) | V | e cos(2p 2p arg V0 ) T l 0 z La funzione v(t) è quindi un’onda che si propaga lungo la linea nel verso negativo dell’asse z e che si attenua esponenzialmente. Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 20 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti Solitamente l’attenuazione lungo la linea è abbastanza piccola rispetto alla costante di fase (<<) e si può quindi scrivere: k 2 ( j ) 2 2 j 2 2 2 j 2 Ricordando che: k 2 ( R jL)(G jC ) RG 2 LC j ( RC GL) si ottiene: 2 2 LC RG 2 ( RC GL) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 2 LC RG ( RC GL) 2 2 LC RG Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 21 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti Normalmente, anche a frequenze relativamente basse, è ben verificata l’ipotesi R << L e G << C. Ad esempio, valori tipici per una linea possono essere R = 0.02 W/m, G = 0.01 mS/m, C = 0.1 nF/m e L = 0.25 mH/m. Assumendo = 1 Mrad/s si ha R L/10 e G C/10. Si può quindi scrivere: 2 LC RG LC ( RC GL) RC GL 2 LC 2 2 LC RG Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 22 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti Sostituendo l’espressione V ( z ) V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z nell’equazione dV ( z ) ( R jL)I ( z ) dz si ottiene j ( j ) z j ( j ) z I( z ) V0 e V0 e R jL R jL V0 ( j ) z V0 ( j ) z e e Z0 Z0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 23 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti La quantità R jL R jL Z0 RC GL j j LC 2 LC è detta impedenza caratteristica della linea di trasmissione. Nell’ipotesi R << L e G << C si ha L Z0 C Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 24 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti Cosa non è l’impedenza caratteristica? Z0 Z0 ZL ZL Z0 ZL L’impedenza caratteristica non è un carico equivalente che può essere sostituito all’interno del circuito al posto della linea! Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 25 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti Riassumendo: dI ( z ) (G jC )V ( z ) dz dV ( z ) ( R jL)I ( z ) dz V ( z ) V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z V0 ( j ) z V0 ( j ) z I( z ) e e Z0 Z0 dove: L Z0 C LC RC GL R / Z 0 GZ 0 2 2 LC Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 26 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti L’andamento generale di tensioni e correnti sulla linea è quindi: V ( z ) V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z V0 ( j ) z V0 ( j ) z I( z ) e e Z0 Z0 che nel dominio del tempo risulta: v(t ) | V0 | e z cos(ωt βz arg V0 ) | V0 | ez cos(ωt βz arg V0 ) V0 z V0 V0 z V0 i (t ) e cos(ωt βz arg ) e cos(ωt βz arg ) Z0 Z0 Z0 Z0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 27 Soluzione dell’equazione dei telegrafisti Graficamente l’andamento di tensioni e correnti sulla linea risulta: Plot animato Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 28 Tipi di linee: linea bifilare r D er e0 mr m0 r campo elettrico campo magnetico Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 29 Tipi di linee: linea bifilare 1 C pe 0e r D ln r m0 mr D L ln p r r D er e0 mr m0 r Per sufficientemente grande (R << L, G << C): L 1 Z0 C p dove m0 m r D 0 ln e 0e r r p mr D ln er r 0 m0 / e 0 120p W 377 W Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 30 Tipi di linee: linea bifilare 1 C pe 0e r D ln r m0 mr D L ln p r r D er e0 mr m0 r Solitamente si ha mr = 1: 0 Z0 p Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 mr D 0 D ln ln er r p er r Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 31 Tipi di linee: filo su piano di massa r D/2 er e0 mr m0 campo elettrico campo magnetico piano di massa Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 32 Tipi di linee: filo su piano di massa 1 C pe 0e r D ln r m0 mr D L ln p r r D/2 er e0 mr m0 Per sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha: L 0 D Z0 ln C p er r Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 33 Tipi di linee: cavo coassiale De Di er e0 mr m0 campo elettrico campo magnetico Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 34 Tipi di linee: cavo coassiale 1 C 2pe 0e r De ln Di De Di er e0 m0 m r De L ln 2p Di mr m0 Per sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha: L 0 De Z0 ln C 2p e r Di Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 35 Tipi di linee: cavo coassiale I(z) De Di + V(z) z V ( z) E( R , z ) u R R ln( De / Di ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini I ( z) H ( R, z ) u 2pR Linee di trasmissione, pag. 36 Tipi di linee: cavo coassiale Attenuazione d = outside diameter of inner conductor in mm D = inside diameter of outer conductor in mm er = relative dielectric constant f= frequency in GHz rrd = inner conductor material resistivity relative to copper rrD = outer conductor material resistivity relative to copper d = loss angle Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 37 Tipi di linee: cavo coassiale Attenuazione: esempio pratico Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 38 Tipi di linee: cavo coassiale Perché 50W di impedenza caratteristica? Standardizzato intorno al 1930, rappresenta un buon compromesso tra perdite e potenza massima trasmissibile (per cavo in aria): è una via di mezzo tra la media aritmetica (53.3 W) e quella geometrica (48 W) tra 30 W (massima potenza) e 77 W (perdite minime) Cavo in aria, diametro conduttore esterno 10 mm, f = 10 GHz. Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 39 Tipi di linee: cavo coassiale Perché 75W di impedenza caratteristica? Per uso commerciale (bassa potenza), l’impedenza caratteristica standard è tipicamente 75 W. Sembrerebbe naturale poiché abbiamo visto che un’impedenza di 77 W minimizza le perdite. Ma non è così! Se il cavo non è in aria, il valore di Z0 che minimizza le perdite cambia con er e, nel caso tipico di er 1.5, il valore ottimo sarebbe intorno ai 60 W. Allora perché 75 W? Il conduttore centrale di cavi a basso costo è spesso realizzato in acciaio e ricoperto in rame. Poiché impedenze caratteristiche basse richiedono conduttori interni di sezione maggiore, la scelta dei 75 W è probabilmente stata un buon compromesso fra basse perdite e flessibilità del cavo. Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 40 Tipi di linee: cavo coassiale Come scegliere? I parametri da considerare sono molteplici: MisureElettromagnetici a Microonde e Circuiti I a.a. 2015/16 Campi Prof.Luca LucaPerregrini Perregrini Prof. coassiali, pag. 4141 Linee Cavi di trasmissione, pag. Tipi di linee: cavo coassiale Esempio di struttura reale MisureElettromagnetici a Microonde e Circuiti I a.a. 2015/16 Campi Prof.Luca LucaPerregrini Perregrini Prof. coassiali, pag. 4242 Linee Cavi di trasmissione, pag. Tipi di linee: cavo coassiale Esempio di struttura reale MisureElettromagnetici a Microonde e Circuiti I a.a. 2015/16 Campi Prof.Luca LucaPerregrini Perregrini Prof. coassiali, pag. 4343 Linee Cavi di trasmissione, pag. Tipi di linee: cavo coassiale Esempio di struttura reale Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 44 Tipi di linee: linea bifilare schermata d D 2h er e0 mr m0 d campo elettrico campo magnetico Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 45 Tipi di linee: linea bifilare schermata 1 C pe 0e r 2h( D 2 h 2 ) ln d (D2 h2 ) d D 2h er e0 mr m0 m 0 m r 2h ( D 2 h 2 ) L ln p d (D2 h2 ) d Per sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha: L 0 2h( D 2 h 2 ) Z0 ln C p er d (D2 h2 ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 46 Tipi di linee: linea a striscia (stripline) piani di massa er e0 mr m0 Per sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha: Z0 dove Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 47 Tipi di linee: microstriscia w h er e0 mr m0 campo elettrico piano di massa Per sufficientemente grande (R << L, G << C), e assumendo mr = 1 si ha: Z0 dove Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 48 Coefficiente di riflessione Z0, , d (z) ZL L=(0) z 0 Il rapporto fra la tensione dell’onda riflessa (che si propaga nel verso negativo di z) e la tensione dell’onda incidente (che si propaga nel verso positivo di z) si definisce coefficiente di riflessione : V ( z ) V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z V ( z ) V ( z ) ( j ) z 0 ( j ) z 0 V ( z) V e ( z ) V ( z) V e Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 0 0 V 2( j ) z e (0)e 2 ( j ) z V Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 49 Impedenza d’onda Z0, , Z(z) d ZL ZL=Z(z) 0 z Il rapporto fra la tensione e la corrente in ogni sezione z viene detto impedenza d’onda: V0 ( j ) z V0 ( j ) z I( z ) e e Z0 Z0 V ( z ) V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z ( j ) z 0 ( j ) z 0 V( z) V e Z ( z) Z0 I( z) V e ( j ) z 0 ( j ) z 0 V e V e 0 0 2 ( j ) z 0 2 ( j ) z 0 1 V /V e Z0 1 V /V e 2 ( j ) z 1 (0)e 1 ( z ) Z0 Z0 2 ( j ) z 1 (0)e 1 ( z ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 50 Ammettenza d’onda Z0, , d ZL Y(z) YL=Y(z) 0 z Il rapporto fra la corrente e la tensione in ogni sezione z viene detto ammettenza d’onda: V ( z ) V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z V0 ( j ) z V0 ( j ) z I( z ) e e Z0 Z0 0 0 2 ( j ) z 0 2 ( j ) z 0 I( z ) 1 1 1 V /V e Y ( z) V ( z ) Z ( z ) Z 0 1 V /V e 1 1 (0)e 2( j ) z 1 ( z ) Y0 2 ( j ) z Z 0 1 (0)e 1 ( z ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 51 Relazioni fra , Z e Y su una sezione z V ( z ) V0 e ( j ) z V0 2( j ) z ( z ) ( j ) z e (0)e 2 ( j ) z V ( z ) V0 e V0 1 ( z ) Z ( z) Z0 1 ( z ) 1 ( z ) Y ( z ) Y0 1 ( z ) Z ( z) Z0 Y ( z ) Y0 ( z ) Z ( z) Z0 Y ( z ) Y0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 52 Relazioni fra su diverse sezioni d Z0, , (zd) zd ZL (z) z 0 z ( j ) z ( j ) d V e V (z d ) 0e ( z d ) ( j ) z ( j ) d V ( z d ) V0 e e ( z )e 2 ( j ) d ( z )e 2d e j 4pd / l Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 53 Relazioni fra su diverse sezioni 1.0 Im[] Esempio: a = 0.1 m1 l=1m ( z d ) ( z )e 0.5 e j 4pd / l (z2l) = 0.27+j0.09 (zl/2) = 0.667+j0.222 (z) = 0.9+j0.3 0.5 1.0 2d 0.5 1.0 Re[] 0.5 1.0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 54 Relazioni fra impedenze su diverse sezioni d Z0, , Z(zd) zd ZL Z(z) z 0 z 1 ( z d ) 1 ( z )e 2 ( j ) d Z (z d ) Z0 Z0 1 ( z d ) 1 ( z )e 2( j ) d Z ( z ) Z 0 2( j ) d 1 e Z ( z) Z 0 Z ( z ) Z 0 tanh ( j )d Z0 Z0 Z ( z ) Z 0 2( j ) d Z Z ( z ) tanh ( j ) d 0 1 e Z ( z) Z 0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 55 Relazioni fra ammettenze su diverse sezioni d Z0, , Y(zd) zd ZL Y(z) z 0 z 1 ( z d ) 1 ( z )e 2( j ) d Y ( z d ) Y0 Y0 1 ( z d ) 1 ( z )e 2( j ) d Y ( z ) Y0 2 ( j ) d 1 e Y ( z ) Y0 Y ( z ) Y0 tanh ( j )d Y0 Y0 Y ( z ) Y0 2 ( j ) d Y Y ( z ) tanh ( j ) d 0 1 e Y ( z ) Y0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 56 Relazioni ingresso/uscita per , Z, Y d Z0, , ZL L, ZL, YL 0 I, ZI, YI z I L e 2( j ) d L e 2d e j 4pd / l Z L Z 0 tanh ( j )d Z I Z0 Z 0 Z L tanh ( j )d YL Y0 tanh ( j )d YI Y0 Y0 YL tanh ( j )d Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 57 Potenza lungo la linea Z0, , (z), Z(z), Y(z) ( j ) z 0 V( z) V e ZL z 0 z V0 ( j ) z I( z ) e 1 ( z ) Z0 1 ( z ) La potenza attiva che attraversa nel verso positivo una qualunque sezione z è data da: 2 * V0 V ( z )I ( z ) P( z ) Re e 2z Re 1 ( z ) * ( z ) ( z )* ( z ) 2 2 Z 0 2 j 2 Im( ( z )) ( z ) 2 0 V 2Z 0 e 2z 1 ( z) P ( z)1 ( z) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 2 2 inc Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 58 Potenza lungo la linea Z0, , ZL (z), Z(z), Y(z) z z 0 V ( z )I * ( z ) 2 Pinc ( z ) 1 ( z ) Pinc ( z ) Prifl ( z ) P( z ) Re 2 Pinc ( z ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 2 0 V 2Z 0 e 2z Prifl ( z ) Prof. Luca Perregrini 2 0 V 2Z 0 e 2z Linee di trasmissione, pag. 59 Potenza lungo la linea Pinc ( z ) Pinc ( z d ) Z0, , z z+d 0 z L’attenuazione in decibel tra le sezioni z e z+d risulta: 2d Pinc ( z ) e 2z ln e 2d 10 log10 10 log10 2 ( z d ) 10 log10 e 10 10 d 8 . 68 d Pinc ( z d ) e ln 10 ln 10 dB dB = 8.68 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 60 Casi particolari: linea senza perdite d =0 Z0, ZL L, ZL, YL 0 I, ZI, YI I L e 2 ( j ) d L e j 4pd / l z I L Z L Z 0 tanh ( j )d Z L jZ 0 tan d Z I Z0 Z0 Z 0 Z L tanh ( j )d Z 0 jZ L tan d YL Y0 tanh ( j )d YL jY0 tan d YI Y0 Y0 Y0 YL tanh ( j )d Y0 jYL tan d Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 61 Diagramma d’onda stazionaria | V ( z ) || V0 e jz (1 L e j 4pz / l ) || V0 | | 1 L e j 4pz / l | V0 jz | V j 4pz / l 0 | | I( z ) | e (1 L e ) | 1 L e j 4pz / l | Z0 Z0 Al variare di z, le ampiezze della tensione e della corrente variano fra due estremi: Vmin | V ( z ) | Vmax I min | I ( z ) | I max dove: Vmin | V0 | (1 | L |) Vmax | V0 | (1 | L |) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini I min | V0 | (1 | L |) Z0 I max | V0 | (1 | L |) Z0 Linee di trasmissione, pag. 62 Diagramma d’onda stazionaria | V ( z ) || V0 e jz (1 L e j 4pz / l ) || V0 | | 1 L e j 4pz / l | V0 jz | V j 4pz / l 0 | | I( z ) | e (1 L e ) | 1 L e j 4pz / l | Z0 Z0 L 0.1 j 0.2 reale positivo 1.4 1 | L | 1.2 1.0 0.8 1 | L | 0.6 | 1 L e j 4pz / l | | 1 L e j 4pz / l | 1.4 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 reale negativo 0.4 l/4 0.2 l/2 1.2 1.0 Prof. Luca Perregrini 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 z Linee di trasmissione, pag. 63 Diagramma d’onda stazionaria Si definisce rapporto d’onda stazionaria la quantità Vmax I max 1 | | 1 | L | ROS Vmin I min 1 | | 1 | L | E’ evidente che 1 ROS Si ha: ROS 1 | || L | ROS 1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 64 Diagramma d’onda stazionaria 1 ( z ) Ricordando che Z ( z ) Z 0 1 ( z ) ROS 1 | || L | ROS 1 L 0.1 j 0.2 = ||, Z(z) = Zmax = Z0 ROS 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 | 1 L e j 4pz / l | = ||, Z(z) = Zmin = Z0/ROS | 1 L e j 4pz / l | 1.4 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 0.4 0.2 1.2 1.0 Prof. Luca Perregrini 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 z Linee di trasmissione, pag. 65 Casi particolari: linea senza perdite Poiché la linea è senza perdite la potenza che giunge al carico coincide con quella d’ingresso: P( z ) PI PL 2 0 V 2Z 0 1 ( z) 2 Tenendo conto delle relazioni 1 | L | ROS 1 | L | Vmax Z 0 I max | V | 1 | L | 1 | L | 0 si ottiene 2 2 Vmax Z 0 I max P( z ) PI PL 2 Z 0 ROS 2 ROS Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 66 Casi particolari: linea adattata d ZL = Z0 YL = Y0 Z0, , L, ZL, YL 0 I, ZI, YI L 0 ZL I L e 2( j ) d 0 Z L Z 0 tanh ( j )d Z I Z0 Z 0 Z L tanh ( j )d Z I Z0 YL Y0 tanh ( j )d YI Y0 Y0 YL tanh ( j )d YI Y0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 z Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 67 Casi particolari: linea adattata Poiché non vi è riflessione sul carico ((z) = L = 0) si ha: P( z ) Pinc ( z ) 1 ( z ) 2 P inc ( z ) 2 0 V 2Z 0 e 2z quindi PL PI e 2d Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 68 Casi particolari: linea in corto circuito d ZL = 0 YL = ∞ Z0, , L, ZL, YL 0 I, ZI, YI Z L Z0 L 1 Z L Z0 z I L e 2( j ) d e 2d e j 4pd / l Z L Z 0 tanh ( j )d Z I Z0 Z 0 tanh ( j )d Z 0 Z L tanh ( j )d YL Y0 tanh ( j )d 1 YI Y0 Y0 Y0 YL tanh ( j )d tanh ( j )d Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 69 Casi particolari: linea in corto circuito [W] 400 corto circuito 200 0.5 1.0 1.5 2.0 d/l 200 400 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 circuito aperto Prof. Luca Perregrini Z 0sinh 2d cosh 2d cos 4pd / l jZ 0sin 4pd / l X Im( Z I ) cosh 2d cos 4pd / l R Re( Z I ) Linee di trasmissione, pag. 70 Casi particolari: linea in corto circuito L 1 I e j 4pd / l 2p d Z I jZ 0 tand jZ 0 tan d jZ 0 tan l v 2pd VI V e V e 2 jV sin l V0 j 2pd / l V0 j 2pd / l V0 2pd II e e 2 cos Z0 Z0 Z0 l j 2pd / l 0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 0 j 2pd / l Prof. Luca Perregrini 0 Linee di trasmissione, pag. 71 Casi particolari: linea in corto circuito 2pd | VI | 2 | V || sin | l | V0 | 2pd | I I | 2 | cos | Z0 l 0 ROS=∞ 2.0 1.5 1.0 2pd 2 | sin | l 2pd 2 | cos | l Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 0.5 1.4 1.2 1.0 Prof. Luca Perregrini 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Linee di trasmissione, pag. 72 Casi particolari: linea a vuoto d ZL = ∞ YL = 0 Z0, , L, ZL, YL 0 I, ZI, YI YL Y0 L 1 YL Y0 z I L e 2( j ) d e 2d e j 4pd / l Z L Z 0 tanh ( j )d Z0 Z I Z0 Z 0 Z L tanh ( j )d tanh ( j )d YL Y0 tanh ( j )d YI Y0 Y0 tanh ( j )d Y0 YL tanh ( j )d Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 73 Casi particolari: linea a vuoto L 1 I e j 4pd / l 2p d YI jY0 tand jY0 tan d jY0 tan l v 2pd VI V e V e 2V cos l V0 j 2pd / l V0 j 2pd / l V0 2pd II e e 2 j sin Z0 Z0 Z0 l j 2pd / l 0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 0 j 2pd / l Prof. Luca Perregrini 0 Linee di trasmissione, pag. 74 Casi particolari: linea l/2 senza perdite d d = l/2, = 0 d = p , d = 0 Z0, , ZL L, ZL, YL 0 I, ZI, YI I L e 2( j ) d L e 2d e j 4pd / l L z tanh jp 0 Z L Z 0 tanh ( j )d Z L Z 0 tanh jp Z I Z0 Z0 ZL Z 0 Z L tanh ( j )d Z 0 Z L tanh jp YL Y0 tanh ( j )d YI Y0 YL Y0 YL tanh ( j )d Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 75 Casi particolari: linea l/2 senza perdite Poiché: VL V0 V0 VI V0 e jp V0 e jp (V0 V0 ) V0 V0 IL Z0 Z0 V0 V0 V0 jp V0 jp II e e Z0 Z0 Z0 Z0 si ha: VL VI I L I I indipendentemente dal valore del carico Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 76 Casi particolari: linea l/4 senza perdite d d = l/4, = 0 d = p/2, d = 0 Z0, , ZL L, ZL, YL 0 I, ZI, YI I L e 2( j ) d L e 2d e j 4pd / l L z tanh jp Z L Z 0 tanh ( j )d Z L Z 0 tanh jp / 2 Z 02 Z I Z0 Z0 Z 0 Z L tanh ( j )d Z 0 Z L tanh jp / 2 Z L YL Y0 tanh ( j )d Y02 YI Y0 Y0 YL tanh ( j )d YL Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 77 Casi particolari: linea l/4 senza perdite Poiché: VL V0 V0 VI V0 e jp / 2 V0 e jp / 2 j (V0 V0 ) V0 V0 IL Z0 Z0 V0 V0 V0 jp / 2 V0 jp / 2 II e e j Z0 Z0 Z0 Z0 si ha: VL jZ 0 I I VI IL j Z0 indipendentemente dal valore del carico Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 78 Casi particolari: linea l/4 senza perdite Collegando in parallelo gli ingressi di N linee l/4 chiuse su carichi Z1, Z2, …, ZN, le correnti sui carichi risultano tutte in fase e dipendono solo dalla tensione d’ingresso e dalle impedenze caratteristiche delle I1 linee. Z1 l/4 I1 jVI / Z 01 l/4 + I2 Z2 Z02 VI I 3 jVI / Z 03 I3 Z3 l/4 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 I 2 jVI / Z 02 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 79 Matrice di trasmissione di una linea I1 d I2 V1 + – Z0, , + – V2 0 z La matrice di trasmissione è comunemente utilizzata per descrivere le relazioni fra tensioni e correnti all’ingresso e all’uscita di una linea. V1 A B V2 I C D I 1 2 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 80 Matrice di trasmissione di una linea I1 d I2 V1 + – Z0, , + – V2 0 V ( z ) V0 e ( j ) z V0 e ( j ) z z V0 ( j ) z V0 ( j ) z I( z) e e Z0 Z0 In z = 0 e z = d si ha: V1 V (d ) V0 e ( j ) d V0 e ( j ) d V2 V (0) V0 V0 V0 ( j ) d V0 ( j ) d I1 I ( d ) e e Z0 Z0 V0 V0 I 2 I(0) Z0 Z0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 81 Matrice di trasmissione di una linea I1 d I2 V1 + – Z0, , + – V2 0 z V V Eliminando 0 e 0 dalle precedenti equazioni, si ricava: cosh( j )d V1 sinh( j )d I1 Z0 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Z 0 sinh( j )d V2 A B V 2 cosh( j )d C D I 2 I2 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 82 Matrice di trasmissione di una linea Vogliamo calcolare i valori di VA e ZA affinché il circuito Zg V0 + – I1 d I2 V1 + – Z0, , + – V2 Sia equivalente a ZA VA + – Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 I2 V2 + – Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 83 Matrice di trasmissione di una linea Zg V0 + – I1 d I2 V1 + – Z0, , + – V2 V1 AV2 BI 2 V0 V1 V0 AV2 BI 2 I1 CV2 DI 2 Zg Zg Zg Zg da cui: V0 V2 A CZ g A CZ g V0 I2 V2 B DZ g B DZ g B DZ g A CZ g Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 84 Matrice di trasmissione di una linea ZA Poiché per il circuito equivalente si ha: VA + – VA V2 I2 ZA I2 V2 + – confrontando con la formula V0 V2 A CZ g I2 B DZ g A CZ g Si ottiene V0 VA A CZ g Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 ZA Prof. Luca Perregrini B DZ g A CZ g Linee di trasmissione, pag. 85 Matrice di trasmissione di una linea La potenza disponibile del generatore equivalente risulta: PdA VA 2 8 ReZ A V0 8 A CZ g 2 2 B DZ g Re A CZ g Pd A CZ g ReZ g Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 2 Pd * Re ( B / Z D )( A C Z ) g g B DZ g Re A CZ g Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 86 Matrice di trasmissione di una linea Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0) V0 VA A CZ g V0 Zg cosh( j )d sinh( j )d Z0 V0 ed e jd e d e jd ed e jd e d e jd 2 2 V0 e d e jd Z0 sinh( j )d Z g cosh( j )d ZA Zg Zg A CZ g cosh( j )d sinh( j )d Z0 B DZ g Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 87 Matrice di trasmissione di una linea Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0) Pd PdA Re (B / Z g D)( A CZ g )* Pd Re (sinh( j )d cosh( j )d )(cosh( j )d sinh( j )d )* Pd 2 sinh( j )d cosh( j )d Pd d e e j d e 2 d e Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 j d d e e jd e 2 d e Prof. Luca Perregrini j d 2 Pd d e e j d 2 Pd e 2d Linee di trasmissione, pag. 88 Matrice di trasmissione di una linea Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0) Zg d V0 + – Z0, , ZA VA + – VA V0 e d e jd ZA Zg PdA Pd e 2d Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 89 Matrice di trasmissione di una linea Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0) linea senza perdite ( = 0) Zg d V0 + – Z0, , ZA VA + – VA V0 e jd ZA Zg PdA Pd Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 90 Matrice di trasmissione di una linea Caso particolare: generatore adattato alla linea (Zg = Z0), linea senza perdite ( = 0) Zg d V0 + – Z0, , ZA VA + – VA V0 e ZA Zg PdA Pd Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini j d N.B.: cambia solo la fase della tensione Linee di trasmissione, pag. 91 Carta di Smith Si definisce l’impedenza normalizzata: Z ( z) Z ( z ) R( z ) j X ( z ) Z0 Indicando con u e v la parte reale e immaginaria di ( = u+jv) si ha : Z ( z ) 1 ( z ) 1 u jv Z ( z ) R( z ) j X ( z ) Z0 1 ( z ) 1 u jv Esiste una relazione biunivoca fra le coppie ( R, X ) e le coppie (u,v): ( R, X ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 (u, v) Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 92 Carta di Smith v Z R jX X u jv 1 0 1 u R 1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 93 Carta di Smith Quali curve descrivono R cost e X cost sul piano (u,v)? 1 u jv 1 u 2 v 2 2v R jX j 2 2 1 u jv (1 u ) v (1 u ) 2 v 2 2 R cost 2 R 1 u v 2 R 1 R 1 X cost 1 1 2 u 1 v 2 X X 2 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 94 Carta di Smith 2 R cost 2 R 1 u v 2 R 1 R 1 R 1 Circonferenze con centro nel punto , 0 e raggio R 1 R 1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 95 Carta di Smith v Z R jX X u jv R 0.2 R 0.5 R0 R 1 R2 R5 0 0.2 0.5 1 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 2 u R Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 96 Carta di Smith 2 X cost 1 1 u 1 v 2 X X 2 1 1 Circonferenze con centro nel punto 1 , e raggio X X Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 97 Carta di Smith X Z R jX v u jv 2 X 0.5 X 1 X 2 X 0.2 1 X 5 0.5 0.2 0 0.2 X 0 u R 0.5 X 5 1 X 0.2 X 2 X 0.5 X 1 2 Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 98 Carta di Smith Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 99 Carta di Smith Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 100 Carta di Smith d Z0, , I, ZI ZL L, ZL 0 z ZL I L e 2d e j 4pd / l Z I Z0 Z L Z 0 tanh ( j )d Z 0 Z L tanh ( j )d |L| ZI |I| d/l punto notevole Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 101 Carta di Smith Se si definisce l’ammettenza normalizzata: Y ( z) Y ( z ) G ( z ) j B( z ) Y0 Indicando con u e v la parte reale e immaginaria di ( = u+jv) si ha : Y ( z ) 1 ( z ) 1 u jv 1 Y ( z ) G ( z ) j B( z ) Y0 1 ( z ) 1 u jv Z ( z ) Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 102 Carta di Smith Con la Carta di Smith è immediata la trasformazione da impedenza Im ad ammettenza e viceversa. Z || Re Re || Y Im Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 103 Carta di Smith altri dati Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 104 Carta di Smith Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2015/16 Prof. Luca Perregrini Linee di trasmissione, pag. 105