Trasmissione numerica

1
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Lorenzo Piazzo
Dispense per il corso di
Trasmissione numerica
Bozza - 2008
2
Indice
1 Richiami
1.1 Segnali e sequenze deterministici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
1.2
1.3
1.4
Segnali e sequenze aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Filtri ed operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
10
14
1.5
1.6
1.7
Correlazioni e spettri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Processi Ergodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relazioni fra segnali discreti e continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
22
23
2 Trasmissione di simbolo
29
2.1
2.2
2.3
2.4
Trasmettitore di simbolo e ricevitore ottimo . . .
Ricevitore ML per il caso di canale Gaussiano . .
Modulazione PAM ed ortogonale . . . . . . . . .
Spazio dei segnali e semplificazione del ricevitore
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30
34
37
39
2.5
Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3 Trasmissione di sequenze
3.1 Trasmettitori di sequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
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3.2
3.3
3.4
3.5
Sistemi a segnali ortogonali nel tempo
Sistemi PAM e ortogonali . . . . . . .
Condizioni di Nyquist ed ISI . . . . .
Sistemi a radice di coseno rialzato . .
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51
54
57
60
3.6
Sistemi di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4 Prestazioni
4.1 Parametri di sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Spettri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
69
4.3
4.4
4.5
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Probabilita’ d’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capacita’ del canale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Trasmissioni in banda traslata
71
79
81
85
3
4
INDICE
6 Trasmissione su canali selettivi in frequenza
6.1 Sistemi di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Altre forme di equalizzazione: MSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Equalizzazione numerica: DFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Modello fisico di un sistema di trasmissione
7.1 Struttura dei sistemi di trasmissione numerica
7.2 Modello fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Canali e attenuazione . . . . . . . . . . . . .
7.4 Amplificazione . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Rumore e distorsioni . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Modello del sistema di trasmissione . . . . . .
7.7 Sincronizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . .
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97
97
99
99
102
107
109
110
114
116
8 Canali di trasmissione
121
8.1 Linee di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.2 Canale radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Fibre ottiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Analisi e dimensionamento di sistemi di trasmissione
9.1 Trasmissioni in banda base su canale Gaussiano . . . . . .
9.1.1 Analisi di un sistema PAM . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Dimensionamento. Sensibilita’ del ricevitore. . . .
9.1.3 Confronto con il sistema ottimo . . . . . . . . . . .
9.1.4 Dimensionamento della banda in un sistema PAM.
9.1.5 Sistemi efficenti in potenza . . . . . . . . . . . . .
9.1.6 Sistemi OM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.7 Sistemi PAM a radice di coseno rialzato. . . . . . .
9.2 Trasmissioni in banda traslata su canale Gaussiano . . . .
9.2.1 Sistema QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Sistema PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Confronti fra sistemi di trasmissione . . . . . . . .
9.2.4 Sistemi PAM e ASK . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Trasmissioni su cavo e sistemi multi-tratta . . . . . . . . .
9.3.1 Trasmissione su cavo coassiale . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Ripetitore analogico . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Ripetitore numerico o rigenerativo . . . . . . . . .
9.4 Trasmissioni radio e accesso multiplo . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Trasmissione su canale radio . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Sistemi multi-utente FDMA . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Sistemi multi-utente TDMA . . . . . . . . . . . . .
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144
144
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147
147
148
150
152
152
155
158
Capitolo 1
Richiami
1.1
Segnali e sequenze deterministici
Un primo tipo di segnali di interesse per le telecomunicazioni e’ costituito dalle funzioni di
una variable continua, s(t). La variabile indipendente e’ di solito il tempo, ma puo’ anche
essere di altra natura; possono esserci piu’ variabili indipendenti. Un secondo tipo di segnali di
interesse e’ quello costituito da funzioni definite solo per valori discreti (interi) della variabile
indipendente, indicati con sk o con s[k]1 . Anche in questo caso la variabile indipendente viene
di solito pensata come un indice temporale. I segnali del primo tipo sono detti segnali tempocontinui, o semplicemente segnali; i segnali del secondo tipo sono detti segnali tempo-discreti
o sequenze. Ulteriori tipi di segnali si hanno considerando che anche la variabile dipendente,
s, puo’ essere continua od assumere solo un numero discreto di valori. Avremo quindi segnali
e sequenze ampiezza-continui o ampiezza-discreti. Inoltre in generale il segnale e la sequenza
possono avere valori complessi e non solo reali.
Potenza ed energia. Per un segnale x(t) od una sequenza xk si definiscono l’ energia totale
e la potenza come
Ex =
1
T →+∞ T
Px = lim
Z
Z
+∞
−∞
T /2
−T /2
|x(t)|2 dt
Ex =
+∞
X
k=−∞
|x(t)|2 dt
Px =
|xk |2
K
X
1
|xk |2
K→+∞ 2K + 1
k=−K
lim
(1.1)
(1.2)
Se l’energia del segnale e’ finita allora il segnale si dice di energia, e la sua potenza e’ zero. Se l’
energia del segnale e’ infinita, ma la potenza e’ finita allora il segnale si dice di potenza. Questi
due tipi di segnali sono quelli di maggior interesse nel campo delle comunicazioni. I segnali di
energia hanno durata (effettiva o pratica) finita. Infatti se il segnale e’ pari a zero al di fuori
di un certo intervallo, e la sua ampiezza e’ limitata in questo intervallo, allora e’ di energia. Il
segnale puo’ anche durare da −∞ a +∞ ed essere di energia, a patto che tenda a zero abbastanza
rapidamente. Al contrario un segnale di potenza si estende per tutto l’ asse temporale, e non
tende mai a zero. Le stesse considerazioni valgono per le sequenze.
1
Nel seguito useremo di preferenza la notazione con la variabile indipendente a pedice, cioe’ sk . La notazione
con la variabile indipendente fra parentesi quadre, cioe’ s[k], e’ utile quando l’ argomento e’ un’ espressione
complessa.
5
6
CAPITOLO 1. RICHIAMI
Valore medio. Per un segnale x(t) od una sequenza xk di potenza si definisce il valore
medio come
1
T →+∞ T
Mx = lim
Z
T /2
x(t)dt
−T /2
Px =
K
X
1
xk
K→+∞ 2K + 1
k=−K
lim
(1.3)
Esempi. Rect e sinc: Due segnali molto importanti nel campo delle comunicazioni sono il
segnale rettangolare e il segnale seno cardinale:
1 1
rect(t) = 1 per t ∈ [− , ] e zero altrove
2 2
sin(πt)
πt
Questi segnali sono di energia. Sono riportati in figura 1.1.
sinc(t) =
(1.4)
(1.5)
Figura 1.1: Rect e sinc.
Tri: Il segnale tri(x) e’ un triangolo centrato sull’ origine, di altezza unitaria e base 2. E
dato da
tri(t) = 1 − |t| per t ∈ [−1, 1] e zero altrove
(1.6)
Il segnale e’ di energia ed e’ riportato in figura 1.2.
Impulso ed impulso discreto: Un segnale estremamente utile e’ l’ impulso matematico, δ(t).
L’ impulso non e’ una funzione, ma una distribuzione. Una distribuzione e’ il limite di una serie
di funzioni. Qui sotto lo definiamo utilizzando una serie di funzioni rect, ma si possono usare
anche altre funzioni:
rect(t/a)
δ(t) = lim
(1.7)
a→0
a
Per comodita’ lo si considera come una funzione particolare, che vale 0 ovunque tranne che per
t = 0, dove vale ∞. Dalla definizione si puo’ calcolare l’ area dell’ impulso:
Z
b
δ(t) = 1 se a < 0 < b
(0 altrimenti)
(1.8)
a
e verificare la seguente proprieta’ di campionamento:
Z
b
a
f (t)δ(t − τ ) = f (τ ) se a < τ < b
(0 altrimenti)
(1.9)
7
1.1. SEGNALI E SEQUENZE DETERMINISTICI
Figura 1.2: Tri.
Per le sequenze abbiamo l’ impulso discreto, la cui definizione non presenta i problemi dell’
impulso continuo:
δk = 0 per k 6= 0
(1.10)
δk = 1 per k = 0
Per l’ impulso discreto valgono proprieta’ analoghe a quelle viste per l’ impulso continuo:
b
X
k=a
Z
δk = 1 se a ≤ 0 ≤ b
(0 altrimenti)
(1.11)
b
a
fk δ[k − n] = fn se a ≤ n ≤ b
(0 altrimenti)
(1.12)
Segnali periodici: Una classe di segnali importanti per le comunicazioni sono i segnali
periodici. Un segnale x(t) si dice periodico di periodo T (e frequenza F = 1/T ) se x(t) = x(t+T ).
Facciamo alcuni esempi di segnali periodici. La cosinusoide a frequenza f0 :
x(t) = cos(2πf0 t)
(1.13)
x(t) = sin(2πf0 t)
(1.14)
La sinusoide a frequenza f0 :
L’ esponenziale complesso a frequenza f0 :
x(t) = ej2πf0 t = cos(2πf0 t) + jsin(2πf0 t)
(1.15)
I segnali periodici sono segnali di potenza. Per le sequenze abbiamo i segnali corrispondenti.
Vediamone uno. La sequenza esponenziale complesso:
xk = ej2πf0 k = cos(2πf0 k) + jsin(2πf0 k)
(1.16)
Quando risulta xk = xk+K , la sequenza si dice periodica, di periodo K. L’ esponenziale
complesso e’ periodico, di periodo M , solo se f0 e’ un numero razionale, f0 = N/M .
Treno di impulsi: Un segnale che viene spesso usato e’ il treno di impulsi a distanza T (anche
detto segnale di campionamento):
ΠT (t) =
+∞
X
k=−∞
δ(t − kT )
Il treno di impulsi e’ un segnale periodico di periodo T .
(1.17)
8
1.2
CAPITOLO 1. RICHIAMI
Segnali e sequenze aleatori
Un concetto importante per la teoria delle comunicazioni e’ quello di processo aleatorio. Consideriamo una sorgente aleatoria costitita da un fenomeno aleatorio (specificato dall’ insieme dei
possibili risultati e dalla probabilita’ di ciascuno di essi) e da una regola per associare a ciascuno
dei possibili risultati del fenomeno aleatorio una funzione del tempo x(t). La sorgente aleatoria
osserva il risultato del fenomeno aleatorio ed emette il segnale associato. Quindi la sorgente
aleatoria emette un segnale non noto a priori, ovvero emette un segnale aleatorio. L’ insieme
di tutti i segnali possibili e’ detto processo aleatorio. Il segnale emesso e’ detto realizzazione
del processo. Di norma si indica con x(t) una realizzazione e con {x(t)} o con X(t) il processo,
ma spesso, per semplicita’, si usa x(t) per indicare anche il processo. Analoghe definizioni si
possono dare anche nel caso in cui la sorgente emetta sequenze anziche’ segnali. In questo caso
invece che di processo e segnale aleatori si parla di serie e sequenza aleatorie.
I processi aleatori sono un modello utile per descrivere fenomeni realmente esistenti, come
per esempio il segnale che transitera’ su una certa linea telefonica. Non essendo noto a priori chi
parlera’ e cosa dira’, per progettare la linea si assume che sulla linea transiti un segnale emesso
da una sorgente aleatoria. Il processo aleatorio corrispondente e’ costituito da tutte le forme
d’onda che possono essere emesse da tutti i parlatori possibili.
Il segnale emesso da una sorgente aleatoria non e’ noto a priori quindi per descriverne le
caratteristiche si usa un approccio probabilistico. Ad un primo livello di descrizione si fissa un
istante particolare, t0 ; il valore del segnale emesso dalla sorgente in questo istante, x0 = x(t0 ),
non e’ noto; puo’ essere considerato la determinazione di una variabile aleatoria X0 . La variabile
aleatoria si dice estratta dal processo. Il primo livello di descrizione corrisponde a specificare la
funzione di densita’ di probabilita’ di questa variabile aleatoria, pXo (x0 ). Un secondo livello di
descrizione si ha considerando parametrico (variabile) l’istante t0 . In questo caso si specifica una
famiglia di densita’ di probabilita’, una per ogni possibile valore di t0 , e quindi si aggiunge t0 come
parametro: pXo (xo ; t0 ). Procedendo in questo modo si puo’ considerare un numero maggiore
di istanti, per esempio N e specificare la densita’ di probabilita’ congiunta delle corrispondenti
variabili aleatorie estratte. Per esempio se N = 3: pX0 X1 X2 (xo , x1 , x2 ; t0 , t1 , t2 ). L’ insieme di
tutte queste densita’ di probabilita’, fino all’ ordine N si dice gerarchia di ordine N . Con lo stesso
termine si indica la densita’ di ordine N . In linea di principio e’ possibile misurare una gerarchia.
Per esempio, considerando ancora il caso del segnale che transita su una linea telefonica, per la
gerarchia del primo ordine, si potrebbe misurare il valore del segnale in un certo istante su tutte
le linee telefoniche italiane, ottenere una approssimazione della densita’ di probabilita’ tramite
un istogramma, e ripetere l’ operazione in tutti gli altri istanti.
Per le serie aleatorie e’ possibile adottare un approccio identico, sostituendo gli istanti di
estrazione continui con istanti di estrazione discreti e definendo le gerarchie in maniera del tutto
simile.
Variabile aleatoria associata. Vediamo una seconda maniera di descrivere le caratteristiche statistiche di una sorgente aleatoria. Consideriamo ancora il fenomeno aleatorio che
costituisce la sorgente insieme alla regola di assegnazione. E supponiamo che ad ognuno dei
possibili risultati sia anche associato un diverso valore numerico a oltre che un segnale x(t). In
questa maniera viene definita una variabile aleatoria A, con una densita’ di probabilita’ indicata da pA (a), che diremo associata al processo aleatorio. E viene stabilita una corrispondenza
9
1.2. SEGNALI E SEQUENZE ALEATORI
biunivoca fra le determinazioni di A e le realizzazioni del processo. I segnali del processo possono essere indicati come {x(t, a)}, in cui a e’ la determinazione di A e x(t, a) e’ un segnale
diverso per ogni diverso valore di a. L’ utilita’ di questa maniera di vedere le cose sta’ nel fatto
che in questo modo e’ possibile definire una densita’ di probabilita’ per il processo aleatorio
che risulta comoda in alcune occasioni. In particolare la probabilita’ (infinitesima) che si realizzi x(t, a) e’ pari a pA (a) e quindi possiamo definire una densita’ di probabilita’ del processo
.
p(x(t, a)) = pA (a). Notiamo che p(x(t, a)) non e’ una densita’ di probabilita’ nel senso proprio del
termine, visto che il suo argomento non e’ un valore numerico (la determinazione della variabile
aleatoria) ma un segnale (la realizzazione del processo). Ma la definizione che abbiamo appena
dato permette di sostituirla con la densita’ di probabilita’ della variabile aletoria associata al
processo in qualsiasi momento. Analogamente possiamo considerare la densita’ di probabilita’
del processo condizionata ad un evento B, cioe’ p(x(t, a)|B). Ovviamente per questa densita’
.
di probabilita’ la definizione e’: p(x(t, a)|B) = pA|B (a|B). Comunque nel seguito, dove questo
non generi confusione, per semplificare la notazione tralasceremo di indicare il parametro a nelle
densita’ di probabilita’ del processo, cioe’ scriveremo direttamente p(x(t)) invece di p(x(t, a)).
Naturalmente tutti questi concetti sono estendibili immediatamente alle serie aleatorie.
Processi stazionari. Una sottoclasse importante di processi e’ quella dei processi stazionari.
Un processo si dice stazionario quando le gerarchie di qualsiasi ordine non cambiano quando
tutti gli istanti di estrazione vengono spostati della stessa quantita’ di tempo. In formule
pX0 X1 ...XN−1 (xo , x1 , ..., xN −1 ; t0 , t1 , ..., tN −1 ) =
(1.18)
= pX0 X1 ...XN−1 (xo , x1 , ..., xN −1 ; t0 + τ, t1 + τ, ..., tN −1 + τ ) per τ qualsiasi
(1.19)
Quindi, per un processo stazionario, una gerarchia non dipende dagli istanti di estrazione, ma
dalle differenze fra gli istanti di estrazione. In particolare la gerarchia del primo ordine non
dipende dal tempo e quella del secondo dipende solo dalla distanza temporale dei due istanti di
estrazione. Infatti per la gerarchia del secondo ordine possiamo scrivere
pX0 X1 (xo , x1 ; t0 , t1 ) = pX0 X1 (xo , x1 ; 0, t1 − t0 ) = PX0 X1 (xo , x1 ; t)
.
con t = t1 − t0
(1.20)
I processi stazionari sono trattabili in maniera molto simile ai segnali di potenza deterministici. Per esempio e’ possibile definire la loro potenza totale Px come il valore quadratico medio
(MSV, Mean Square Value) della variabile aleatoria estratta dal processo (in un qualsiasi istante) e il loro valor medio Mx come il valore medio della variabile aleatoria estratta: indicando
con pX (x) la gerarchia del primo ordine risulta
Px = E{|x|2 } =
Z
|x|2 pX (x)dx
(1.21)
Mx = E{x} =
Z
xpX (x)dx
(1.22)
Quella che abbiamo considerato e’ la definizione di stazionarieta’ in senso stretto (SSS, Strict
Sense Stationary). E’ possibile considerare definizioni piu’ deboli di stazionarieta’; in particolare
un processo si dice stazionario di ordine N quando la gerarchia di ordine N non cambia quando
tutti gli istanti di estrazione vengono spostati della stessa quantita’ di tempo. Un processo si
dice stazionario in senso lato (WSS, Wide Sense Stationary) quando e’ stazionario del secondo
10
CAPITOLO 1. RICHIAMI
ordine. Il concetto di stazionarieta’ e tutte le sue conseguenze si estendono alle serie aleatorie
in maniera immediata.
Variabili e processi Gaussiani. Una variabile aleatoria (reale) X si dice a distribuzione
Gaussiana quando la sua densita’ di probabilita’ e’ data da
PX (x) = √
1
2πσ 2
e−
(x−µX )2
2σ 2
(1.23)
in cui σ 2 e’ la varianza e µX e’ il valor medio. La distribuzione Gaussiana si puo’ considerare anche per variabili aleatorie multidimensionali ed ha una forma piu’ complicata che non riportiamo
ma che si trova su un qualsiasi (buon) testo di Calcolo delle Probabilita’. Una altra distribuzione
di interesse per i nostri scopi e’ quella di una variabile aleatoria complessa X = R + jI in cui
la parte reale e quella immaginaria sono variabili aleatorie, indipendenti e Gaussiane. In questo
caso la distribuzione congiunta e’ una Gaussiana bidimensionale data da
2
(r−µR )
−
−
1
1
2
2σr
q
PRI (r, i) = p
e
e
2
2πσr
2πσi2
(i−µI )2
2σ 2
i
(1.24)
dove σr2 e σi2 sono le varianze della parte reale ed immaginaria e µr e µi sono i relativi valori
medi. Una semplificazione si ottiene quando le varianze della parte reale ed immaginaria sono
uguali. In questo caso e’ semplice valutare la varianza della variabile aleatoria complessa X, che
indichiamo con σx2 , e ricavare
σx2 = E{|x|2 } = σr2 + σi2 = 2σr2 = 2σi2
(1.25)
e cioe’ che la varianza della variabile complessa e’ pari al doppio della varianza della parte
reale od immaginaria. A questo punto, a partire dalla PRI (r, i), introducendo il valore medio
complesso della variabile, dato da µx = µr + jµi , si puo’ scrivere direttamente la distribuzione
per la variabile complessa che e’ detta una Gaussiana Circolare ed e’ data da
2
x|
1 − |x−µ
2
σx
e
.
PX (x) =
πσx2
(1.26)
Anche nel caso complesso e’ abbastanza semplice estendere i concetti al caso di variabili aleatorie
multidimensionali. La distribuzione Gaussiana e la Gaussiana Circolare sono mostrate in figura
1.3.
Per quanto riguarda i processi notiamo solo che un processo (reale o complesso) si dice Gaussiano quando le gerarchie di qualsiasi ordine estratte dal processo sono distribuzioni Gaussiane
multidimensionali (reali o complesse).
1.3
Trasformata di Fourier
Trasformata di Fourier per sequenze e segnali. Un segnale x(t) si dice impulsivo se
Z
+∞
−∞
|x(t)|dt < +∞
(1.27)
11
1.3. TRASFORMATA DI FOURIER
Figura 1.3: Densita’ Gaussiana e Gaussiana complessa.
Dato un segnale impulsivo il seguente integrale
X(f ) =
+∞
Z
−∞
x(t)e−j2πf t dt = F T {x(t)}
(1.28)
converge e definisce la Trasformata di Fourier (Fourier Transform, FT) X(f ) del segnale x(t).
Dalla FT di un segnale e’ possibile riottenere il segnale tramite una antitrasformazione (Inverse
FT, IFT), definita dal seguente integrale:
x(t) =
Z
+∞
−∞
X(f )ej2πf t df = IF T {X(f )}
(1.29)
L’ ultima formula mostra che un segnale impulsivo e’ esprimibile come una somma integrale di
un numero infinito di esponenziali complessi ej2πf t (componenti armoniche), ottenuti al variare
della loro frequenza e pesati con un peso dettato dalla FT del segnale e dato da X(f )df . La FT
e’ dunque una diversa rappresentazione del segnale nel senso che da essa possiamo ricostruire il
segnale perfettamente. In molti casi risulta piu’ comoda del segnale nel tempo: il comportamento
di molti sistemi fisici e’ descritto piu’ naturalmente in frequenza. In generale la FT di un segnale
e’ una funzione complessa. Se il segnale nel tempo e’ un segnale reale risulta a simmetria
Hermitiana: X(f ) = X(−f )∗ , ovvero la parte reale e il modulo sono funzioni pari e la parte
immaginaria e la fase funzioni dispari.
Per sequenze valgono risultati analoghi. In particolare una sequenza xn e’ detta impulsiva
se
+∞
X
n=−∞
|xn | < +∞
(1.30)
Per le sequenze impulsive e’ possibile definire una operazione di FT nella seguente maniera:
X[f ] =
+∞
X
k=−∞
xn e−j2πf n = F T {xn }
(1.31)
L’ operazione di antitrasformazione permette di riottenere la sequenza a partire dalla FT X[f ]:
xn =
Z
1
2
− 21
X[f ]ej2πf n df = IF T {X[f ]}
(1.32)
12
CAPITOLO 1. RICHIAMI
Come per i segnali, anche la trasformata di Fourier per sequenze in generale e’ una funzione
complessa. Se la sequenza nel tempo e’ reale risulta a simmetria Hermitiana: X[f ] = X[−f ]∗ .
Inoltre X[f ] e’ periodica in f con periodo 1.
Trasformata Discreta di Fourier. Per sequenze e’ definita una seconda operazione di FT
detta Trasformata di Fourier Discreta (Discrete FT, DFT). In particolare la DFT e’ definita
solo per sequenze di lunghezza finita. Sia data una sequenza di N campioni, xn per n = 0..N −1.
La DFT di questa sequenza e’ data da:
−1
nk
1 NX
Xk = √
xn e−j2π N k = 0..N − 1
N n=0
(1.33)
e l’ operazione inversa, IDFT, e’ la seguente:
−1
nk
1 NX
xn = √
Xk ej2π N n = 0..N − 1
N k=0
(1.34)
La DFT e’ naturalmente strettamente legata alla FT e ha proprieta’ ed interpretazioni molto
simili. Il vero vantaggio della DFT e’ quello di essere facilmente implementabile nei sistemi di
elaborazione numerica dei segnali. In particolare, quando N e’ una potenza di due, esiste una
implementazione particolarmente veloce della DFT, che prende il nome di Fast FT (FFT).
Serie di Fourier e Trasformata di Fourier per segnali e sequenze periodiche. Per
un segnale periodico x(t) con periodo T e frequenza F = 1/T si definsce Serie di Fourier (Fourier
Series, FS) la seguente sequenza:
Xk =
1
T
Z
T
x(t)e−j2πF kt dt
(1.35)
0
Dalla FS e’ possibile ricostruire il segnale tramite la seguente operazione IFS:
x(t) =
+∞
X
Xk ej2πF kt
(1.36)
k=−∞
L’ ultima formula mostra che i segnali periodici sono rappresentabili come una somma infinita di
.
esponenziali complessi alle frequenze fk = kF (frequenze armoniche) pesati con i corrispondenti
coefficenti Xk della FS.
Oltre che la FS, risulta comodo definire anche una FT per segnali periodici. Notiamo pero’
che un segnale periodico e’ un segnale di potenza e quindi non impulsivo. E quindi la FT
non e’ a rigore definita. In pratica e’ pero’ possibile adottare delle definizioni in senso limite
che permettono di utilizzare il concetto di FT anche per i segnali periodici e per altri segnali
particolari come l’ impulso matematico. In particolare, dato un segnale periodico x(t), con
periodo T e frequenza F = 1/T , la sua FT e’ un treno di impulsi posti alle frequenze armoniche
e di area pari ai coefficenti della FS corrispondente, ovvero:
X(f ) =
X
k
Xk δ(f − fk )
(1.37)
La FS e’ definita anche per le sequenze. In particolare le operazioni di FS e IFS sono date
dalle eq. (1.33) e (1.34) in cui i valori degli indici k ed n sono qualsiasi e non sono limitati all’
13
1.3. TRASFORMATA DI FOURIER
intervallo 0..N − 1. Ovvero, data una sequenza periodica di periodo N la (1.33) definisce la
sua FS Xk . Come si vede la FS e’ anch’essa una sequenza periodica di periodo N . Dalla FS si
riottiene la sequenza originaria utilizzando la (1.34) per qualsiasi valore di n.
Infine, anche per sequenze periodiche, e’ possibile considerare una FT in senso limite. In
particolare, data una sequenza periodica xn , con periodo N e frequenza K = 1/N , la sua
FT e’ un treno di impulsi a posti alle frequenze armoniche di area pari ai coefficenti della FS
corrispondente, ovvero:
X
X[f ] =
Xk δ(f − fk )
(1.38)
k
Proprieta’ della trasformata di Fourier. Ricordiamo alcune delle principali proprieta’
della trasformata di Fourier. Faremo riferimento ai segnali continui, ma proprieta’ analoghe si
hanno per le sequenze. La maggior parte delle proprieta’ si dimostra facilmente a partire dalle
definizioni di FT e IFT. Se X(f ) = F T {x(t)} e Y (f ) = F T {y(t)} allora:
F T {ax(t) + by(t)} = aX(f ) + bY (f )
F T {x(t − τ )} = X(f )e−j2πf τ
F T {x(t)ej2πf0 t } = X(f − f0 )
F T {X(t)} = x(−f )
1
F T {x(at)} = |a|
X(f /a)
F T {x(−t)} = X(−f )
F T {x(t)∗ } = X(−f )∗
F T {x(−t)∗ } = X(f )∗
proprieta’
proprieta’
proprieta’
proprieta’
proprieta’
di
di
di
di
di
linearita’
traslazione nel tempo
traslazione in frequenza
dualita’
scala
(1.39)
Inoltre in generale maggiore e’ l’estensione nel tempo di un segnale, minore e’ la sua estensione
in frequenza e viceversa (cfr. proprieta’ di scala).
Integrale e somma di convoluzione. Dati due segnali x(t) e y(t) si definisce la loro
convoluzione z(t) = x(t) ∗ y(t) con il seguente integrale
z(t) =
Z
+∞
−∞
x(τ )y(t − τ )dτ =
Z
+∞
−∞
y(τ )x(t − τ )dτ
(1.40)
L’ analoga definizione per le sequenze e’
z[k] =
+∞
X
n−∞
x[n]y[k − n] =
+∞
X
n−∞
y[n]x[k − n]
(1.41)
Esiste una importante proprieta’ della trasformata di fourier collegata all’ integrale di convoluzione. Se X(f ) = F T {x(t)} e Y (f ) = F T {y(t)} allora:
F T {x(t) ∗ y(t)} = X(f )Y (f )
F T {x(t)y(t)} = X(f ) ∗ Y (f )
teorema della convoluzione
proprieta’ di prodotto nel tempo
(1.42)
Per sequenze si hanno risultati analoghi:
F T {xn ∗ yn } = X[f ]Y [f ]
F T {xn yn } = X[f ] ∗ Y [f ]
teorema della convoluzione
proprieta’ di prodotto nel tempo
(1.43)
14
CAPITOLO 1. RICHIAMI
Esempi di trasformata di Fourier. FT dell’ impulso e della costante:
x(t) = δ(t) ↔ X(f ) = 1
x(t) = 1 ↔ X(f ) = δ(f )
(1.44)
La prima si calcola direttamente, risolvendo l’ integrale (applicando la proprieta’ di campionamento dell’ impulso); la seconda applicando la proprieta’ di dualita’.
FT dell’ esponenziale complesso:
x(t) = ej2πf0 t ↔ X(f ) = δ(f − f0 )
(1.45)
Si calcola applicando la proprieta’ di traslazione in frequenza alla FT della costante.
FT del seno e del coseno:
δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )
2
x(t) = cos(2πf0 t) ↔ X(f ) =
x(t) = sin(2πf0 t) ↔ X(f ) = X(f ) =
δ(f − f0 ) + jδ(f + f0 )
2j
(1.46)
(1.47)
Si calcolano usando la trasformata dell’ esponenizale complesso e ricordando che
cos(2πf0 t) =
ej2πf0 t + e−j2πf0 t
2
ej2πf0 t − e−j2πf0 t
.
2j
(1.48)
x(t) = sinc(t) ↔ X(f ) = rect(f )
(1.49)
sin(2πf0 t) =
FT della rect e della sinc:
x(t) = rect(t) ↔ X(f ) = sinc(f )
La prima si calcola risolvendo l’ integrale di definizione della trasformata, la seconda con il
principio di dualita’ sulla base della prima.
FT del treno di impulsi: Si puo’ calcolare notando che ΠT (t) e’ periodico di periodo T , e’
quindi possibile calcolare i coefficienti della FS Xk e risulta Xk = 1/T = F , cosi’ che
ΠT (f ) = F
+∞
X
k=−∞
δ(f − kF )
(1.50)
Notiamo inoltre che antitrasformando si ottiene
ΠT (t) = F
Z
+∞
X
k=−∞
j2πf t
δ(f − kF )e
df = F
+∞
X
ej2πkF t
(1.51)
k=−∞
che costituisce una maniera alternativa di scrivere il treno di impulsi.
1.4
Filtri ed operatori
Sui segnali e sulle sequenze sono naturalmente definite le operazioni matematiche definite sulle
funzioni e sulle successioni, come la somma e il prodotto, la moltiplicazione per una costante
etc. Inoltre i segnali e le sequenze attraversano sistemi fisici che li trasformano in altri segnali.
Per il momento ci concentriamo sui segnali. Indichiamo con y(t) = T {x(t)} un operatore che
compie una trasformazione generica sul segnale x(t), di ingresso, e produce un segnale di uscita
15
1.4. FILTRI ED OPERATORI
y(t). Un operatore e’ detto senza memoria se il valore dell’ uscita in un generico istante dipende
solo dal valore dell’ ingresso nello stesso istante, e non dal valore del segnale in altri istanti. Un
operatore e’ detto lineare se:
T {ax(t) + by(t)} = aT {x(t)} + bT {y(t)}
(1.52)
Un operatore e’ detto permanente se:
y(t) = T {x(t)} => T {x(t − τ )} = y(t − τ )
(1.53)
L’ estensione delle definizioni al caso delle sequenze e’ immediata.
Filtri. Un operatore lineare e permanente e’ detto filtro. Il legame fra ingresso ed uscita di
un filtro puo’ sempre essere espresso tramite la convoluzione fra l’ ingresso ed una funzione h(t)
detta risposta impulsiva del filtro:
y(t) =
Z
x(τ )h(t − τ )dτ =
Z
h(τ )x(t − τ )dτ
(1.54)
La risposta impulsiva caratterizza completamente il filtro, e coincide con la risposta del filtro
all’ impulso applicato nell’ istante 0:
y(t) =
Z
δ(τ )h(t − τ )dτ = h(t)
(1.55)
Causalita’ e stabilita’. Se la risposta impulsiva di un filtro e’ diversa da 0 per t < 0, allora,
ipotizzando di applicare in ingresso un impulso in t = 0, la risposta del sistema inizia prima dell’
istante zero ovvero prima dell’ istante di applicazione dell’ impulso di ingresso. Questi sistemi
sono detti non-causali; al contrario, se h(t) = 0 per t < 0 il sistema e’ causale. Naturalmente i
sistemi non causali non sono realizzabili in pratica. Ma e’ sempre possibile realizzare un sistema
che produca la stessa uscita ritardata. Inoltre i sistemi non causali sono comodi nella teoria
perche’ semplificano formule e ragionamenti. La maggior parte dei sistemi che consideriamo nel
testo saranno non causali.
Un filtro e’ detto stabile quando ad un ingresso limitato in ampiezza corrisponde una uscita
limitata in ampiezza. Un filtro e’ stabile se la risposta impulsiva e’ un segnale impulsivo, cioe’
se
Z
|h(t)|dt < ∞
(1.56)
Per un filtro stabile dunque la risposta impulsiva e’ dotata di trasformata di Fourier H(f ). Se
anche l’ingresso ha una trasformata di Fourier X(f ), per la proprieta’ di convoluzione nel tempo,
anche l’ uscita ha una trasformata di Fourier, data da
Y (f ) = X(f )H(f )
(1.57)
H(f ) e’ detta funzione di trasferimento del filtro. Se h(t) e’ reale, il filtro si dice idealmente
realizzabile, e H(f ) e’ a simmetria Hermitiana.
Sequenze. Per le sequenze un filtro si definisce in modo analogo, a partire da una sequenza
risposta impulsiva, hk , usando una somma di convoluzione. L’ uscita yk si ottiene dall’ ingresso
xk cosi’
X
yk =
xn hk−n
(1.58)
n
16
CAPITOLO 1. RICHIAMI
ed e’ possibile ripetere tutte le considerazioni gia’ fatte per i segnali.
Segnali aleatori. E’ possibile definire l’ operazione di filtraggio di un processo aleatorio.
Per definizione il filtraggio di un processo aleatorio produce in uscita un secondo processo aleatorio. Il processo di uscita e’ costituito da tutte le realizzazioni del processo di ingresso filtrate.
E’ possibile dimostrare che se il processo di ingresso e’ stazionario anche quello di uscita e’
stazionario. E che se il processo di ingresso e’ Gaussiano anche quello di uscita e’ Gaussiano.
Filtri passa-basso e passa-banda. Un filtro che viene spesso utilizzato nel campo delle
comunicazioni e’ il filtro passa-basso. La funzione di trasferimento di un filtro passa-basso di
banda W e’ data da H(f ) = rect(f /(2W )) ed e’ mostrata in figura 1.4. Come si nota la
funzione di trasferimento e’ pari a 1 per tutte le frequenze tali che |f | < W e cioe’ comprese
fra −W e W , mentre e’ nulla al di fuori di questo intervallo di frequenze. Quindi il filtro fara’
passare senza alcuna modifica tutte le componenti di segnale a frequenze comprese in −W..W ed
eliminera’ tutte le componenti a frequenze superiori. La frequenza W e’ detta banda passante
o semplicemente banda del passa-basso. La risposta impulsiva di un passa-basso si ottiene
antitrasformando rect(f /(2W )), e vale 2W sinc(2W t).
Figura 1.4: Filtri passa-basso e passa-banda.
Un secondo filtro di interesse e’ il filtro passa-banda, la cui funzione di trasferimento e’
riportata in figura 1.4. Come si vede la funzione di trasferimento e’ unitaria nell’ intervallo
f0 < |f | < f1 ed e’ nulla al di fuori. Il filtro elimina quindi tutte le componenti di segnale al di
fuori di questo intervallo e lascia inalterate le componenti comprese nell’ intervallo. La banda
f0 < |f | < f1 e’ detta la banda passante del filtro.
1.5
Correlazioni e spettri
Una funzione estremamente utile per lo studio dei segnali e’ la funzione di autocorrelazione.
La funzione (l’integrale) di autocorrelazione ha definizioni diverse per segnali e sequenze di
energia, di potenza e aleatori. In particolare dato un segnale x(t) o una sequenza xk di energia
l’autocorrelazione e’ la seguente
Rx (t) =
Z
x(τ )∗ x(τ + t)dτ
Rx [k] =
+∞
X
n=−∞
x∗n xn+k
(1.59)
17
1.5. CORRELAZIONI E SPETTRI
Per un segnale x(t) o una sequenza xk di potenza l’autocorrelazione e’ la seguente:
1
Rx (t) = lim
T →∞ T
Z
T
2
− T2
x(τ )∗ x(τ + t)dτ
K
X
1
x∗n xn+k
K→∞ 2K + 1
n=−K
Rx [k] = lim
(1.60)
Per un processo x(t) o una serie xk stazionari si definisce la funzione di autocorrelazione come:
Rx (t) = E{x(τ )∗ x(τ + t)}
Rx [k] = E{x∗n xn+k }
(1.61)
Pur avendo definizioni diverse a seconda del tipo di segnale, la funzione di autocorrelazione
ha un significato e delle proprieta’ molto simili nei diversi casi. Per questo abbiamo usato lo
stesso simbolo Rx (t) o Rx [k] per i tre tipi di segnali o sequenze. Per illustrare alcune delle
proprieta’ dell’ autocorrelazione fissiamo le idee sulla autocorrelazione di un segnale di potenza,
ma le stesse considerazioni valgono per segnali e sequenze, impulsivi e aleatori. La funzione
di autocorrelazione e’ a simmetria Hermitiana: Rx (t) = Rx (−t)∗ . Se il segnale e’ reale e’ una
funzione reale e pari. Se valutata in 0 fornisce la potenza totale del segnale (energia totale per
segnali di energia). La funzione ha in 0 il valore massimo. E’ invariante ad una traslazione del
segnale nel tempo, cioe’, posto y(t) = x(t − τ ), risulta Ry (t) = Rx (t). Se valutata in un istante
generico t, misura la correlazione esistente fra il segnale ed una copia del segnale ritardata di
t secondi: piu’ e’ alta piu’ le due copie saranno simili, piu’ e’ prossima a 0 piu’ le copie sono
differenti. In generale, due copie del segnale distanti t secondi sono sempre meno simili all’
aumentare di t; quindi l’ autocorrelazione tende a 0 (se il segnale ha valor medio 0). Se il
segnale e’ periodico, con periodo T , due copie del segnale distanti T secondi sono identiche.
Corrispondentemente la funzione di autocorrelazione presenta dei massimi negli istanti multipli
di T e risulta periodica.
Spettro di un segnale. Consideriamo un segnale di energia x(t) con energia totale Ex .
Vogliamo introdurre il concetto di spettro di densita’ di energia del segnale. Come passo preliminare occorre definire il concetto di energia del segnale compresa in una certa banda. A
questo fine consideriamo una banda, identificata da una frequenza minima f1 (eventualmente
pari a zero) e una massima f2 . Consideriamo un fitro passa-banda ideale in questa banda e
definiamo l’ energia del segnale x(t) compresa nella banda in questione come l’ energia totale del
segnale che si ottiene in uscita dal filtro quando l’ ingresso e’ x(t). Indichiamo questa energia
con ∆E (f1 , f2 ). Il senso della definizione si comprende considerando che il filtro elimina tutte
le componenti armoniche del segnale al di fuori della banda. Cio’ posto possiamo introdurre il
concetto di spettro di densita’ di energia. Lo spettro e’ una funzione della frequenza, indicata
con Ex (f ), il cui integrale esteso ad una certa banda risulta pari all’ energia del segnale in quella
banda, ovvero, in formule, tale che
∆E (f1 , f2 ) =
Z
f2
f1
Ex (f )df.
(1.62)
Lo spettro di densita’ di energia indica dunque come l’ energia del segnale e’ ripartita sulle varie
frequenze. Naturalmente estendendo l’ integrale a tutto l’ asse si deve ottenere l’ energia totale
e cioe’
Z
Ex =
Ex (f )df.
(1.63)
18
CAPITOLO 1. RICHIAMI
Cerchiamo ora di calcolare lo spettro di densita’ di energia di un segnale x(t) dotato di
FT X(f ). Come passo preliminare notiamo che e’ verificata la seguente relazione (teorema di
Parseval)
Z
Z
Ex =
|x(t)|2 dt =
|X(f )|2 df
(1.64)
Sulla base dell’ ultima relazione e ricordando che la FT dell’ uscita di un filtro e’ pari alla FT
dell’ ingresso moltiplicata per la funzione di trasferimento del filtro e’ facile convincersi che
∆E(f1 , f2 ) =
f2
Z
f1
|X(f )|2 df
(1.65)
Confrontando l’ ultima formula con la (1.62) si ottiene Ex (f ) = |X(f )|2 , ovvero che lo spettro
di densita’ di energia e’ pari al modulo quadro della FT del segnale. Inoltre, visto che risulta
|X(f )|2 = F T {Rx (t)} come si verfica facilmente, possiamo scrivere (teorema di Wiener per
segnali impulsivi):
Ex (f ) = F T {Rx (t)}
(1.66)
ovvero, a parole, che lo spettro di densita’ di energia di un segnale e’ pari alla FT dell’
autocorrelazione del segnale.
Per i segnali di potenza, deterministici o aleatori stazionari, in analogia con quanto fatto
per i segnali di energia, e’ possibile introdurre il concetto di spettro di densita’ di potenza. In
particolare e’ possibile definire la potenza di un segnale x(t) compresa nella banda da f1 a f2 ,
indicata con ∆P (f1 , f2 ), come la potenza del segnale di uscita da un filtro passa-banda ideale
(con banda passante da f1 a f2 ) quando l’ingresso e’ x(t). Anche in questo caso lo spettro di
densita’ di potenza e’ una funzione della frequenza, indicata con Px (f ), che misura la potenza
presente ad ogni frequenza e quindi permette di calcolare la potenza del segnale in un intervallo
di frequenze come
∆P (f1 , f2 ) =
Z
f2
f1
Px (f )df
(1.67)
E’ possibile dimostrare che questa funzione esiste e che si ha (teorema di Wiener per segnali di
potenza e aleatori stazionari)
Px (f ) = F T {Rx (t)}
(1.68)
ovvero, a parole, che lo spettro di densita’ di potenza di un segnale e’ pari alla FT dell’
autocorrelazione del segnale.
Circa le proprieta’ degli spettri di energia e di potenza notiamo solo che, essendo la funzione
di autocorrelazione a simmetria Hermitiana, lo spettro risulta una funzione reale. Per un segnale
reale la funzione di autocorrelazione e’ reale e pari, e quindi lo spettro e’ una funzione reale e
pari. Naturalmente per l’energia e la potenza totale risulta
Ex =
Z
Ex (f )df
Px =
Z
Px (f )df
(1.69)
Filtraggio. Quando un segnale attraversa un filtro l’ autocorrelazione e lo spettro del
segnale di uscita sono legati alle corrispondenti funzioni del segnale di ingresso. In particolare
e’ possibile dimostrare che, quando un segnale di energia x(t) attraversa un filtro con risposta
impulsiva h(t) e funzione di trasferimento H(f ), per il segnale di uscita y(t) risulta
Ry (t) = Rx (t) ∗ Rh (t)
Ey (f ) = Ex (f )|H(f )|2
(1.70)
19
1.5. CORRELAZIONI E SPETTRI
Analogamente e’ possibile dimostrare che, quando un segnale di potenza x(t) (processo aleatorio)
attraversa un filtro con risposta impulsiva h(t) e funzione di trasferimento H(f ), per il segnale
(processo) di uscita y(t) risulta
Ry (t) = Rx (t) ∗ Rh (t)
Py (f ) = Px (f )|H(f )|2
(1.71)
E’ naturalmente possibile estendere i ragionamenti e le definizioni alle sequenze. Anche in
questo caso lo spettro e’ la trasformata della funzione di autocorrelazione. Tutte le proprieta’ di
cui godono gli spettri per segnali continui si ritrovano anche nel caso delle sequenze, con qualche
modifica. Per esempio, visto che per le sequenze gli spettri risultano periodici con periodo 1,
per ottenere la potenza (o l’energia totale) e’ necessario limitare l’ intervallo di integrazione ad
un solo periodo, ovvero:
Ex =
Z
1
2
− 21
Ex [f ]df
Px =
Z
1
2
− 12
Px [f ]df
(1.72)
Rumore Gaussiano e processo bianco. Un processo x(t) si dice bianco quando il suo
spettro di potenza risulta perfettamente piatto, ovvero quando:
Px (f ) = A
(1.73)
dove A e’ una costante qualsiasi. Il processo e’ detto bianco in analogia con lo spettro della
luce bianca che, come e’ noto, contiene potenza a tutte le frequenze visibili e risulta quindi
piatto. Il processo bianco e’ un caso limite. Infatti la sua potenza risulta infinita e quindi
non esistono segnali fisici che lo realizzino. Il processo bianco e’ pero’ utile (esattamente come l’
impulso matematico) perche’ il suo uso permette di semplificare la derivazione e la presentazione
di molti risultati. Antitrasformando lo spettro si ottiene la funzione di autocorrelazione del
processo, data da:
Rx (t) = Aδ(t)
(1.74)
Dall’ ultima formula si nota che due campioni del processo, se presi in istanti di tempo diversi,
sono scorrelati (cioe’ hanno correlazione nulla).
Il rumore termico e’ un disturbo sempre presente nei sistemi di comunicazione. Questo
rumore e’ ben modellato da un processo bianco e Gaussiano. Normalmente il rumore termico si
aggiunge al segnale utile. Per questi motivi il rumore termico e’ detto anche rumore Gaussiano
Bianco Additivo (AWGN, Additive White Gaussian Noise) o semplicemente rumore Gaussiano.
Quindi un rumore Gaussiano e’ un processo n(t) con spettro
Pn (f ) =
e autocorrelazione
N0
2
(1.75)
N0
δ(t)
(1.76)
2
dove N0 e’ una costante che determina l’ ampiezza dello spettro. Infine ricordiamo che per un
processo bianco due variabili aleatorie estratte dal processo in istanti di tempo differenti sono
scorrelate. Quando il processo e’ Gaussiano bianco queste variabili aleatorie sono a distribuzione
Gaussiana. E risultano quindi statisticamente indipendenti.
Rn (t) =
20
CAPITOLO 1. RICHIAMI
Intercorrelazione. Oltre alla autocorelazione una seconda operazione importante nel campo delle comunicazioni e’ l’ operazione di intercorrelazione (o brevemente correlazione) fra due
segnali. Anche in questo caso la definizione e’ diversa per segnali e sequenze di energia, di
potenza e stocastici. In particolare dati due segnali x(t) e y(t) o due sequenze xk e yk di cui
almeno uno di impulsivo e di energia l’intercorrelazione e’ la seguente
Rxy (t) =
Z
x(τ )∗ y(τ + t)dτ
Rxy [k] =
+∞
X
x∗n yn+k
(1.77)
n=−∞
Per due segnali x(t) e y(t) o due sequenze xk e yk di potenza l’intercorrelazione e’ la seguente:
1
T →∞ T
Rxy (t) = lim
Z
T
2
− T2
K
X
1
x∗n yn+k
K→∞ 2K + 1
n=−K
x(τ )∗ y(τ + t)dτ
Rxy [k] = lim
(1.78)
Per due processi x(t) e y(t) o due serie xk e yk si definisce la funzione di intercorrelazione come:
Rxy (t, τ ) = E{x(τ )∗ y(τ + t)}
Rxy [k, n] = E{x∗n yn+k }
(1.79)
L’ intercorrelazione fra due segnali si indica anche con l’operatore ⊙ e cioe’ si scrive
Rxy (t) = x(t) ⊙ y(t)
(1.80)
Rx (t) = x(t) ⊙ x(t)
(1.81)
Come si verifica facilmente, risulta
e cioe’ l’ autocorrelazione e’ l’intercorrelazione di un segnale con se stesso.
Prima di concludere citiamo alcune proprieta’ dell’ intercorrelazione fra segnali di energia
che saranno utilizzate in seguito. E’ facile verificare2 che
x(t) ⊙ y(t) = x(−t)∗ ∗ y(t)
(1.86)
ovvero che l’ intercorrelazione fra due segnali e’ la convoluzione fra il primo segnale coniugato e
ribaltato nel tempo ed il secondo. Ricordando la (1.39) ed il teorema della convoluzione (1.42)
2
Si noti che
x(t) ⊙ y(t) =
Z
+∞
x(τ )∗y(τ + t)dτ =
(1.82)
−∞
e sostituendo τ ′ = −τ :
=
Z
−∞
x(−τ ′ )∗ y(−τ ′ + t)d(−τ ′) =
(1.83)
+∞
da cui sostituendo, per chiarezza, τ = τ ′ :
=
Z
+∞
x(−τ )∗y(t − τ )dτ =
(1.84)
−∞
da cui confrontando con la definizione di convoluzione si ottiene
= x(−t)∗ ∗ y(t)
.
(1.85)
1.5. CORRELAZIONI E SPETTRI
21
dall’ ultima formula, quando entrambe le funzioni coinvolte nella correlazione sono dotate di
FT, risulta
F T {Rxy (t)} = X(f )∗ Y (f ).
(1.87)
Banda di un segnale. In linea generale la banda di un segnale e’ pari all’ ampiezza della
porzione di asse positivo delle frequenze in cui lo spettro (di energia o di potenza) del segnale
e’ significativamente diverso da zero. A partire da questa definizione generale e’ possibile dare
diverse definizioni piu’ precise di banda che variano a seconda del segnale che si sta considerando.
Un tipo particolare di segnali e’ quello dei segnali limitati in banda. I segnali limitati in
banda sono di due tipi: di banda base o passabasso e di banda traslata o passa-banda. Un segnale
si dice limitato in banda, di banda base e con banda W se questo segnale non viene modificato
facendolo passare in un filtro passabasso con banda W . Analogamente un segnale si dice limitato
in banda, di banda traslata e con banda W centrata su f0 se questo segnale non viene modificato
facendolo passare in un filtro passabanda con banda W centrata su f0 . I segnali limitati in banda
hanno uno spettro che e’ pari a zero al di fuori di un certo intervallo di frequenze. Per esempio
in figura 1.5 sono riportati due spettri di questo tipo. Il primo spettro e’ relativo ad un segnale
di banda base limitato in banda: e’ compreso nell’ intervallo [−W..W ] ed e’ nullo per frequenze
f tali che |f | > W . Il secondo spettro e’ relativo ad un segnale di banda traslata limitato in
banda: e’ diverso da zero solo in due intervalli, ciascuno di ampiezza W , centrati sulle frequenze
−f0 e +f0 . Per entrambi questi segnali la banda e’ definita pari a W .
Figura 1.5: Spettri di segnali limitati in banda.
I segnali limitati in banda sono un utile strumento teorico ma i segnali reali non sono limitati
in banda. In generale lo spettro di un segnale reale si riduce ma non diviene mai zero. In figura
1.6 sono riportati due spettri di questo tipo, uno di banda base ed uno di banda traslata. Come
si vede in entrambe i casi gli spettri tendono a zero ma non si annullano mai. Per questi segnali
la banda deve essere opportunamente definita ed esistono molte maniere diverse di farlo. Per
esempio, considerando il caso di banda base, si puo’ indicare come banda la frequenza oltre la
quale lo spettro rimane al di sotto della meta’ del valore massimo (banda a 3 dB). Oppure si puo’
indicare con banda la frequenza W tale che il 99% dell’energia o della potenza e’ compresa nell’
intervallo [−W..W ]. O ancora, in maniera piu approssimativa, si puo’ indicare come banda la
posizione del primo zero spettrale. Insomma esistono molte definizioni che sono tutte comunque
22
CAPITOLO 1. RICHIAMI
legate e piu’ o meno equivalenti. E naturalmente le stesse considerazioni si possono estendere al
caso di segnali di banda traslata.
Figura 1.6: Spettri di segnali non limitati in banda.
1.6
Processi Ergodici
I processi ergodici sono una classe di processi stazionari. Per caratterizzare questa classe dobbiamo fare alcune considerazioni preliminari. Consideriamo una funzione di una variabile fo (xo )
ed una funzione di due variabili f1 (xo , x1 ). Dato un segnale di potenza x(t), e considerata una
variabile temporale t si definiscono le medie temporali di queste funzioni sul segnale come:
1
T →+∞ T
Z
.
Mt {fo (xo )} = lim
1
T →+∞ T
.
Mt {f1 (xo , x1 ); t} = lim
T /2
−T /2
Z
fo (x(τ ))dτ
(1.88)
T /2
−T /2
f1 (x(τ ), x(τ + t))dτ
(1.89)
Le medie temporali calcolate su funzioni di una variabile si dicono del primo ordine, quelle su
calcolate su funzioni di due variabili si dicono del secondo ordine. Come si vede, fissata la
funzione, le medie del primo ordine sono numeri, mentre quelle del secondo ordine sono funzioni
di t. Naturalmente e’ possibile considerare medie di ordini superiori, ma la cosa non ha grande
interesse da un punto di vista applicativo. Abbiamo gia’ incontrato medie temporali di questo
tipo. Per esempio
Z
1 T /2
Mt {fo (xo ) = xo } = lim
x(τ )dτ = Mx
(1.90)
T →+∞ T −T /2
1
Mt {fo (xo ) = |xo | } = lim
T →+∞ T
2
Mt {f1 (xo , x1 ) =
x∗o x1 ; t}
1
= lim
T →+∞ T
Z
Z
T /2
−T /2
T /2
−T /2
|x(τ )|2 dτ = Px
x(τ )∗ x(τ + t))dτ = Rx (t)
(1.91)
(1.92)
Consideriamo ancora le stesse funzioni f0 e f1 . Dato un processo stazionario x(t), ed indicando
con x(τ ), x(τ + t) le variabili aleatorie estratte dal processo negli istanti τ e τ + t, si definiscono
1.7. RELAZIONI FRA SEGNALI DISCRETI E CONTINUI
23
le medie d’ insieme (valori attesi) delle funzioni sul processo:
.
Mi {fo (xo )} = E{f0 (x(τ )} =
.
Mi {f1 (xo , x1 ); t} = E{f1 (x(τ ), x(τ + t))} =
Z
Z
fo (xo )pX0 (xo )dxo
f1 (xo , x1 )pX0 X1 (xo , x1 ; t)dxo dx1
(1.93)
(1.94)
Dove abbiamo indicato con pX0 (xo ) e pX0 X1 (xo , x1 ; t) le gerarchie di primo e secondo ordine del
processo stazionario. Anche in questo caso la media del primo ordine e’ una costante, quella del
secondo ordine una funzione di t. Abbiamo gia’ incontrato medie d’ insieme di questo tipo. Per
esempio
Mi {xo } = E{x(τ )} = Mx
(1.95)
Mi {|xo |2 } = E{|x(τ )|2 } = Px
(1.96)
Mi {x∗o x1 ; t} = E{x(τ )∗ x(τ + t)} = Rx (t)
(1.97)
Veniamo ora alla definizione di processo ergodico. Le medie di insieme sono definite su un
processo, mentre le medie temporali sono definite sui segnali. Un processo e’ una collezione di
segnali, per cui, data una funzione, e’ possibile calcolare le medie di insieme della funzione sul
processo e le medie temporali della stessa funzione sulle realizzazioni del processo. Un processo
si definisce ergodico se le medie d’ insieme di una funzione coincidono con quelle temporali
calcolate su una qualsiasi realizzazione. Una prima conseguenza della definizione e’ che tutte le
realizzazioni di un processo ergodico hanno le stesse medie temporali. Una seconda conseguenza
e’ che le medie d’ insieme di un processo ergodico si possono misurare misurando le medie
temporali di una qualsiasi realizzazione.
Molti dei processi di interesse pratico sono ergodici. Per verificare se un processo e’ ergodico
e’ possibile misurare le medie temporali su un gran numero di realizzazioni e controllare che
coincidano fra loro e con la media di insieme. In alternativa, se si dispone di un modello matematico del processo puo’ essere possibile verificare l’ ergodicita’ con metodi analitici. E’ possibile
anche dare definizioni piu’ deboli; per esempio ci si potrebbe accontentare di processi ergodici al
primo ordine, oppure solo su particolari medie, (es. processi ergodici nel valor medio, nell’ autocorrelazione). E’ possibile anche dare definizioni piu’ stringenti; per esempio si puo’ richiedere
che le gerarchie fino ad un certo ordine possano essere stimate su una qualsiasi realizzazione: in
questo caso si potrebbe dimostrare che le medie di insieme fino allo stesso ordine coincidono con
le medie temporali.
1.7
Relazioni fra segnali discreti e continui
Teorema del campionamento. E’ possibile dimostrare che un segnale deterministico x(t) di
banda base e limitato in banda e’ ricostruibile a partire dai soli valori che assume in un insieme
discreto di istanti. In particolare, se il segnale ha banda W i campioni devono essere estratti a
frequenza F = 2W , ovvero a passo temporale T = 1/F e il segnale e’ ricostruibile (teorema del
campionamento) alla seguente maniera
x(t) =
X
n
x(nT )sinc(
t − nT
)
T
(1.98)
24
CAPITOLO 1. RICHIAMI
La dimostrazione del teorema e’ semplice per i segnali di energia, piu’ complessa per quelli di
potenza. I valori x(nT ) sono detti campioni del segnale. La sequenza xn = x(nT ) e’ detta
la sequenza dei campioni del segnale. Il teorema del campionamento stabilisce che un segnale
limitato in banda puo’ essere rappresentato dalla sequenza dei suoi campioni, xn , senza perdita
di informazione. Naturalmente e’ anche vero il viceversa. Il teorema stabilisce quindi una
corrispondenza biunivoca fra segnali limitati in banda e sequenze.
Campionatore. Nel diagramma di figura 1.7 e’ mostrato un campionatore a passo T = 1/F .
Il campionatore accetta come ingresso un segnale continuo x(t) e produce in uscita una sequenza
xn = x(nt). Questo blocco produce una sequenza a partire dal segnale e costituisce quindi l’
interfaccia tra il mondo dei segnali tempo continui e quello dei segnali tempo discreti.
Figura 1.7: Campionatore.
E’ istruttivo studiare come sono e’ legati gli spettri della sequenza e del segnale. Intanto
notiamo che se il segnale campionato e’ di energia la sequenza risultante e’ di energia; se il
segnale e’ di potenza la sequenza e’ di potenza. Per segnali di energia, e’ possibile dimostrare
che se il segnale campionato ha trasformata di Fourier X(f ), la sequenza xn ha trasformata
X[f ] =
1X
f −n
X(
)
T n
T
(1.99)
La FT e’ disegnata in figura 1.8 insieme alla FT del segnale campionato. Come si nota la FT
della sequenza e’ costituita da una serie di repliche della FT del segnale, scalate di un fattore
F = 1/T in frequenza e centrate sulle frequenze intere. Notiamo che se la banda della FT
del segnale risulta minore di F/2 la versione scalata della FT ha banda minore o uguale di 0.5
e le varie repliche rimangono ben separate e si capisce che il segnale di partenza puo’ essere
perfettamente ricostruito. In questo caso ed indicando con Ex l’ energia del segnale e con E[x]
quella della sequenza (di solito usiamo Ex , per indicare entrambe le energie ma qui occorre
distinguerle) risulta:
E[x] = Ex /T.
(1.100)
Al contrario se il segnale campionato ha banda maggiore di F/2 le repliche si sovrappongono (si
dice che si ha aliasing) e non e’ piu’ possibile ricostruire perfettamente il segnale a partire dalla
sequenza.
1.7. RELAZIONI FRA SEGNALI DISCRETI E CONTINUI
25
Figura 1.8: FT del segnale e delle sequenza.
Per quanto riguarda i segnali di potenza, se il segnale ha spettro Px (f ), la sequenza xn ha
spettro
1X
f −n
)
(1.101)
PX [f ] =
PX (
T n
T
e si possono ripetere considerazioni analoghe a quelle fatte per il caso di segnali di energia.
Inoltre se la banda del segnale campionato e’ inferiore a F/2, ed indicando con Px l’ energia del
segnale e con P[x] quella della potenza (di solito usiamo Px , per indicare le due potenze ma qui
occorre distinguerle) risulta:
P[x] = Px
(1.102)
Infine e’ facile estendere la trattazione al caso dei processi aleatori limitati in banda. Il campionamento di un processo aleatorio corrisponde al campionamento di tutte le sue realizzazioni,
e produce una serie aleatoria che rappresenta perfettamente il processo di partenza a patto che
la frequenza di campionamento sia almeno pari al doppio della banda del processo. I legami fra
gli spettri del processo e della serie sono identici a quelli esistenti fra lo spettro del segnale e
della sequenza gia’ visti nel caso non aleatorio.
Filtro sagomatore Nel diagramma di figura 1.9 e’ mostrato un filtro sagomatore a passo
T = 1/F . Il filtro sagomatore accetta come ingresso una sequenza xn e produce in uscita un
segnale continuo dato da
X
x(t) =
xn g(t − nT )
(1.103)
n
dove g(t) e’ una forma d’ onda di energia assegnata, detta risposta impulsiva del filtro sagomatore.
Questo blocco produce un segnale a partire da una sequenza e costituisce quindi l’ interfaccia tra
il mondo dei segnali tempo discreti e quello dei segnali tempo continui. Il segnale prodotto da
un filtro sagomatore dato dalla (1.103) e’ detto onda PAM (Pulse Amplitue Modulation: onda
a modulazione dell’ ampiezza dell’ impulso).
Notiamo che un filtro sagomatore puo’ anche essere schematizzato come in figura 1.10, ovvero
come la cascata fra un formatore di impulsi a passo T ed un fitro analogico con risposta impulsiva
g(t). Il formatore di impulsi accetta in ingresso una sequenza xn e produce il seguente segnale
xo (t) =
X
n
xn δ(t − nT )
(1.104)
26
CAPITOLO 1. RICHIAMI
Figura 1.9: Filtro sagomatore.
Come si vede il segnale e’ un treno di impulsi a distanza T e con area pari ai campioni della
sequenza. E facile verificare che introducendo xo (t) nel filtro g(t) si ottiene esattamente il
segnale dato dalla (1.103). E’ istruttivo studiare come sono e’ legati gli spettri della sequenza e
Figura 1.10: Filtro sagomatore visto come cascata di un formatore di impulsi e di un filtro
analogico.
del segnale. Se la sequenza di ingresso e’ di energia, il segnale di uscita e’ di energia, e la sua
trasformata di Fourier, X(f ), e’ legata a quella della sequenza, X[f ], come segue:
X(f ) = X[f T ]G(f )
(1.105)
dove G(f ) e’ la FT di g(t). Se la sequenza di ingresso e’ di potenza, il segnale di uscita e’ di
potenza, e il suo spettro, Px (f ), e’ legato a quello della sequenza, Px [f ], come segue:
Px (f ) =
1
Px [f T ]|G(f )|2
T
(1.106)
Infine e’ possibile considerare il caso in cui l’ ingresso al filtro sagomatore sia una serie
aleatoria stazionaria. In questo caso sorge una difficolta’ matematica e cioe’ che l’ uscita risulta
essere un processo aleatorio ma non stazionario. Per rendere il processo di uscita stazionario
1.7. RELAZIONI FRA SEGNALI DISCRETI E CONTINUI
27
e’ necessario modificare la definizione di filtro sagomatore. In particolare nel caso in cui si stia
considerando il filtraggio di una serie aleatoria il filtro sagomatore produce la seguente uscita
x(t) =
X
n
xn g(t − nT + θ)
(1.107)
dove θ e’ una variabile aleatoria uniformemente distribuita fra 0 e T . Questa modifica rende il
processo di uscita stazionario. Inoltre la relazione fra gli spettri della serie e del processo e’ la
stessa che si aveva per segnali e sequenze di potenza data dalla (1.106).
28
CAPITOLO 1. RICHIAMI
Capitolo 2
Trasmissione di simbolo
Nella figura 2.1 e’ schematizzato un sistema di trasmissione numerico. In questo sistema la
sorgente produce un certo numero di bit bk , di valore 0 o 1, che devono essere fatti pervenire
alla destinazione. La sorgente e la destinazione sono collegate fra loro da un canale fisico sul
quale possono essere inviati segnali analogici. Il canale distorce i segnali che lo attraversano
cosicche’ il segnale ricevuto r(t) e’ diverso dal segnale trasmesso s(t). Il trasmettitore ha il
compito di produrre, a partire dai bit da trasmettere, il segnale analogico s(t) da inviare sul
canale. Il ricevitore ha il compito di calcolare delle stime b̂k dei bit trasmessi a partire dal
segnale ricevuto. Naturalmente l’ obbiettivo del sistema e’ quello di consegnare correttamente
il bit ovvero di rendere b̂k = bk . Quando risulta b̂k 6= bk si dice che il sistema ha commesso un
errore di trasmissione.
Figura 2.1: Trasmettitore numerico: sorg+tx+ch+rx+dest
Il trasmettitore ed il ricevitore del sistema numerico sono i blocchi sotto il controllo del
progettista. Al contrario il canale e’ un assegnato modello che schematizza il canale fisico che
collega la sorgente e la destinazione. Il trasmettitore ed il ricevitore devono essere progettati
tenendo conto di diversi obbiettivi. In primo luogo si deve cercare di rendere basso il numero
di errori di trasmissione. Ma si deve anche limitare la potenza impiegata per la trasmissione
e la banda del segnale trasmesso. Infine e’ importante che il sistema risulti semplice, e quindi
economico, da realizzare.
29
30
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
Naturalmente la progettazione del sistema dipende strettamente dal canale, visto che una
coppia trasmettitore ricevitore che si comporta molto bene su un certo canale puo’ comportarsi
molto male su un altro. In pratica si incontrano diversi tipi di canale. Uno dei canali piu’
importanti e’ il canale Gaussiano. In questo canale l’ ingresso e l’ uscita del canale sono legati
dalla seguente relazione
r(t) = s(t) + n(t)
(2.1)
in cui n(t) e’ un rumore Gaussiano Bianco (AWGN). Questo canale e’ importante perche’ il
rumore Gaussiano e’ un modello per il rumore termico che e’ presente in tutti i sistemi reali. Per
questo motivo nei primi capitoli di questo testo affronteremo il problema della progettazione del
trasmettitore e del ricevitore supponendo il canale Gaussiano. In particolare in questo capitolo
studiamo un trasmettitore che invia i bit da trasmettere in unico blocco. Questo sistema e’
molto utile da un punto di vista teorico e permette di illustrare la struttura del ricevitore
ottimo. Inoltre questo sistema e’ il sistema di trasmissione piu’ generale che si possa considerare
e qualsiasi altro sistema di trasmissione puo’ essere visto come una sua specializzazione.
2.1
Trasmettitore di simbolo e ricevitore ottimo
Consideriamo il sistema di trasmissione di figura 2.1 e supponiamo che la sorgente produca K bit
da trasmettere. Lo studio del trasmettitore e del ricevitore puo’ essere semplificato introducendo
il concetto di simbolo. A questo fine notiamo che i K bit da trasmettere non sono noti a priori
e possono assumere M = 2K possibili configurazioni. Per esempio considerando K = 2 bit
sono possibili quattro configurazioni {0, 0}, {0, 1}, {1, 0} e {1, 1}. E’ possibile associare in
modo biunivoco le diverse configurazioni dei bit agli elementi di un insieme di M valori distinti
detto alfabeto ed indicato con α. In questo modo i K bit possono essere visti come un unica
entita’ detta simbolo che assume uno dei valori dell’ alfabeto. Ed il sistema di trasmissione puo’
essere realizzato come mostrato in figura 2.2. Nello schema, al lato trasmissione, i K bit vengono
mappati nel simbolo corrispondente dal blocco codificatore di simbolo. Questo blocco puo’ essere
realizzato mediante una tabella del tipo mostrato in figura 2.3. In figura si considera il caso
in cui K = 2 e l’ alfabeto e’ composto dai primi quattro numeri interi. Nella tabella, detta
tabella di codifica, sulla colonna di sinistra compaiono le possibili configurazioni dei K bit e
sulla colonna di destra compare l’ elemento dell’ alfabeto da associare a ciascuna configurazione
e cioe’ il valore che assumera’ il simbolo. Il codificatore identifica la riga corrispondente alla
configurazione di bit in ingresso e manda in uscita il valore che compare su quella riga nella
colonna di destra. Il simbolo trasmesso, indicato con s ∈ α, viene passato al trasmettitore
che lo usa per produrre il segnale trasmesso. Il ricevitore, sulla base del segnale ricevuto,
calcola una stima del simbolo trasmesso, indicata con ŝ ∈ α. Questa stima viene passata al
blocco decodificatore di simbolo che realizza la corrispondenza inversa a quella realizzata dal
codificatore, producendo i K bit corrispondenti. Questo blocco impiega ancora la tabella di
codifica, ma nel senso contrario. In particolare, a partire dal valore stimato del simbolo, che
e’ necessariamente uno dei valori che compare nella colonna destra della tabella, restituisce la
configurazione di bit presente sulla stessa riga nella colonna di sinistra. Naturalmente tutte le
volte che s = ŝ i K bit vengono ricevuti correttamente mentre se s 6= ŝ uno o piu’ bit vengono
ricevuti in modo errato e si verifica un errore di trasmissione. Quindi il compito del trasmettitore
2.1. TRASMETTITORE DI SIMBOLO E RICEVITORE OTTIMO
31
e ricevitore diviene quello di trasferire correttamente il simbolo. Infine notiamo che a seconda
della situazione e’ conveniente considerare diversi alfabeti per il simbolo. Nel seguito ci serviremo
principalmente di due alfabeti. Il primo e’ costituito dai numeri interi da 0 a M − 1, cioe’ dall’
insieme α = {0, ..., M − 1}. Il secondo e’ costituito da M numeri reali assegnati indicati con ai ,
cioe’ dall’ insieme α = {a0 , ..., aM −1 }.
Figura 2.2: Sistema di trasmissione numerico con codifica e decodifica di simbolo
Figura 2.3: Tabella di codifica
Vediamo una possibile maniera di realizzare il trasmettitore. Indichiamo con s il simbolo da
trasmettere e supponiamo che assuma valori nell’ alfabeto {0, ..., M − 1}. Naturalmente il valore
del simbolo non e’ noto a priori e deve essere considerato la determinazione di una variabile
aleatoria che assume un valore dell’ alfabeto. Per realizzare la trasmissione il trasmettitore
dispone di un insieme di M segnali di energia indicati con gi (t) per i = 0, ..., M − 1. Questo
insieme verra’ detto insieme dei possibili segnali trasmessi o brevemente insieme dei segnali
trasmessi. E’ possibile porre i valori del simbolo in corrispondenza biunivoca con i segnali di
questo insieme. Per realizzare la trasmissione del simbolo il trasmettitore ne osserva il valore
ed invia sul canale il segnale corrispondente. In particolare, assumendo che la corrispondenza
sia quella che associa s = i con il segnale gi (t), per i = 0, ...M − 1, il segnale trasmesso si puo’
32
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
scrivere come
s(t) = gs (t).
(2.2)
Il trasmettitore che opera nella maniera appena descritta verra’ detto Trasmettitore di simbolo.
Per semplicita’ nel seguito assumiamo che l’insieme dei segnali trasmessi sia composto da segnali
reali. Ma notiamo che l’ estensione al caso di segnali complessi, utile per trattare segnali di tipo
passa-banda, e’ immediata.
Consideriamo ora il ricevitore. Ricordiamo che il compito del ricevitore e’ quello di capire
quale simbolo fosse stato trasmesso basandosi sul segnale ricevuto. In particolare il ricevitore
deve fornire una stima del simbolo trasmesso che indichiamo con ŝ. Allora se risulta ŝ = s il
ricevitore ha preso la decisione giusta, mentre se risulta ŝ 6= s il ricevitore ha commesso un
errore e la trasmissione e’ fallita. Naturalmente desideriamo che il ricevitore compia meno errori
possibili. Quindi il ricevitore migliore e’ quello che rende minima la probabilita’ di commettere
un errore, che indicheremo con Pe = pr{ŝ 6= s}. Questo ricevitore viene detto ricevitore ottimo
ed e’ quello che studieremo nel seguito del capitolo.
Il ricevitore ottimo puo’ essere realizzato per molti tipi di canale. Nel seguito del testo ci
concentreremo sul canale Gaussiano ma per il momento possiamo considerare per il canale un
modello piu’ generale. In particolare assumeremo che il segnale ricevuto r(t) sia la realizzazione
di un generico processo aleatorio {r(t)}. Il segnale ricevuto e’ aleatorio sia perche’ e’ aleatorio
il simbolo trasmesso che perche’ e’ aleatorio il comportamento del canale. Naturalmente, per
portare informazione, r(t) deve essere statisticamente dipendente dal segnale trasmesso. Questo
modello di canale e’ generale e comprende il canale Gaussiano come caso particolare. Pur
essendo generale, la struttura ed il principio di funzionamento del ricevitore ottimo possono
essere ricavati per questo canale.
Nel seguito descriviamo due ricevitori diversi: il ricevitore a massima probabilita’ a posteriori
(MAP, maximum a posteriori probability ) ed il ricevitore a massima verosimiglianza (ML,
maximum likelihood). Come vedremo il ricevitore MAP e’ ottimo, nel senso che rende minima
la Pe , mentre il ricevitore ML e’ piu’ semplice ed e’ ottimo sotto alcune condizioni.
Ricevitore MAP. Per la descrizione del ricevitore MAP conviene introdurre un insieme di
probabilita’ condizionate indicate con pi e date da
.
pi = pr{s = i|r(t)}
i = 0...M − 1.
(2.3)
A parole pi e’ la probabilita’ che sia stato trasmesso il simbolo s = i condizionata al fatto che
e’ stato ricevuto il segnale r(t). Le probabilita’ pi vengono dette le probabilita’ (del simbolo) a
posteriori, dove il termine a posteriori indica che sono le probabilita’ che si possono calcolare
dopo aver osservato il segnale ricevuto. Un secondo insieme di probabilita’ utile per la descrizione
del ricevitore e’ costituito dalle probabilita’ (del simbolo) a priori date da
Pi = pr{s = i}
i = 0...M − 1.
(2.4)
Le probabilita’ a priori sono le probabilita’ che il simbolo assuma un certo valore e sono determinate dalla sorgente aleatoria che produce i K bit da trasmettere. Il caso piu’ semplice e
piu’ diffuso in pratica e’ quello in cui tutte le possibili configurazioni di bit sono ugualmente
probabili. In questo caso le probabilita’ a priori sono uguali e date da Pi = 1/M .
33
2.1. TRASMETTITORE DI SIMBOLO E RICEVITORE OTTIMO
Ora siamo pronti per descrivere il principio di funzionamento del ricevitore MAP. Questo
ricevitore osserva r(t) e calcola le probabilita’ a posteriori pi . Per stimare il simbolo trasmesso
identifica per quale valore di i si ha la probabilita’ massima, e sceglie ŝ pari a questo valore. In
formule
ŝ = argmaxi {pi }.
(2.5)
In questo modo il ricevitore minimizza la probabilita’ di sbagliare per il particolare r(t) ricevuto.
Per convincersene basta riflettere sul significato delle probabilita’ a posteriori. Per esempio
consideriamo una trasmissione binaria (quindi K = 1 e M = 2) e supponiamo che per un
particolare r(t) risulti p0 = 0.9, p1 = 0.1. Cio’ significa che nove volte su dieci, quando riceviamo
quel particolare r(t), il simbolo trasmesso era 0, mentre una volta su dieci il simbolo era 1.
In questo caso scegliendo ŝ = 0 prendiamo la decisione corretta nove volte su dieci. Quindi il
ricevitore MAP rende minima la probabilita’ di sbagliare per il particolare segnale ricevuto e
cioe’ la probabilita’ d’errore condizionata data da Pe|r(t) = pr{ŝ 6= s|r(t)}. In questa maniera
viene anche minimizzata la probabilita d’errore non condizionata Pe , per un qualsiasi segnale
ricevuto1 .
Come abbiamo visto un ricevitore MAP deve conoscere le probabilita’ a posteriori pi e in
particolare deve trovare per quale valore di i si ha il massimo delle probabilita’ a posteriori.
Per approfondire lo studio di questo ricevitore conviene scrivere le pi in una maniera diversa.
Utilizzando la regola di Bayes2 abbiamo
pi = pr{s = i|r(t)} =
p(r(t)|s = i)pr{s = i}
.
p(r(t))
(2.6)
Nell’ espressione precedente3 le probabilita’ a posteriori sono espresse in funzione delle probabilita’ a priori, Pi = pr{s = i}, della densita’ di probabilita’ di ricevere un particolare segnale r(t),
p(r(t)), e della densita’ di probabilita’ di r(t) condizionata al simbolo trasmesso, p(r(t)|s = i).
Notiamo pero’ che al ricevitore r(t) e’ un segnale noto e nella funzione p(r(t)|s = i) si deve pensare che la variabile indipendente sia i e non r(t); la funzione p(r(t)|s = i) vista come funzione
di i viene detta funzione di verosimiglianza. Visto che p(r(t)) non dipende da i, e visto che il
ricevitore MAP deve trovare il massimo di pi al variare di i, possiamo realizzare il ricevitore
cercando direttamente il massimo di
p̃i = p(r(t)|s = i)Pi
1
(2.8)
R
Si noti che la probabilita’ d’errore non condizionata si puo’ scrivere come Pe = Pe|r(t,a) p(r(t, a))da, dove l’
integrale e’ esteso all’ insieme delle possibili determinazioni della variabile aleatoria associata al processo. Visto
che p(r(t, a)) e Pe|r(t,a) sono quantita’ positive o nulle e che il segnale ricevuto non e’ sotto controllo del ricevitore
(e quindi nemmeno p(r(t, a))), per minimizzare Pe il ricevitore deve minimzzare Pe|r(t,a) per ogni r(t, a), come fa’
il ricevitore MAP.
2
Si veda, per es., [13].
3
La regola di Bayes e’ piu’ nota nella seguente forma. Dati due eventi A e B allora
pr{A|B} =
pr{B|A}pr{A}
pr{B}
(2.7)
Da questa forma e’ possibile giustificare, in modo non rigoroso, la forma che abbiamo usato: l’ evento A coincide
con l’evento {s = i}. L’ evento B coincide con l’evento {Il segnale ricevuto e’r(t)}. La probabilita’ dell’ evento
B e’ in questo caso infinitesima, e puo’ essere scritta come pr{B} = p(r(t, a))da. Analogamente pr{B|A} =
p(r(t, a)|s = i)da. Sostituendo nella regola di Bayes e semplificando da si ottiene la forma che abbiamo usato.
34
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
che dipende solo dalla funzione di verosimiglianza e dalle probabilita’ a priori. Il simbolo puo’
poi essere stimato con la seguente operazione
ŝ = argmaxi p̃i .
(2.9)
Come abbiamo appena visto, la realizzazione di un ricevitore MAP richiede il calcolo della
funzione di verosimiglianza. La funzione di verosimiglianza dipende dal legame fra segnale
trasmesso e ricevuto (cioe’ dal canale) e quindi per il calcolo di questa funzione e’ necessario
specificare piu’ precisamente il canale. La funzione puo’ essere calcolata per molti modelli di
canale diversi. Nella sezione successiva vedremo il caso di canale Gaussiano.
Ricevitore ML. Il ricevitore ML e’ simile al ricevitore MAP. Questo ricevitore calcola il
simbolo stimato come
ŝ = argmaxi {p(r(t)|s = i)}
(2.10)
ovvero decide che era stato trasmesso il simbolo che rende massima la funzione di verosimiglianza.
Il ricevitore ML non e’ ottimo, poiche’ trascura le probabilita’ a priori Pi , ma proprio per questo
e’ piu’ semplice. Inoltre in pratica le probabilita’ a priori che un simbolo assuma i diversi possibili
valori sono spesso uniformi, cioe’ uguali e pari a Pi = 1/M . In questo caso il ricevitore MAP ed
il ricevitore ML danno gli stessi risultati, come e’ facile controllare, ed il ricevitore ML e’ ottimo
al pari del MAP.
2.2
Ricevitore ML per il caso di canale Gaussiano
In questa sezione vediamo come sia possibile realizzare il ricevitore ML per il caso di canale
Gaussiano. Come vedremo questo ricevitore puo’ essere messo in molte forme diverse, tutte fra
loro equivalenti.
Ricevitore a distanza minima. Consideriamo il trasmettitore di simbolo descritto nella
sezione precedente e supponiamo che il canale sia Gaussiano. Il segnale ricevuto e’ quindi dato
da r(t) = s(t) + n(t) dove il rumore n(t) e’ un processo aleatorio Gaussiano, a media nulla,
bianco, con spettro Pn (f ) = N0 /2. Nel seguente teorema vediamo la prima delle diverse forme
in cui puo’ essere realizzato il ricevitore. Notiamo pero’ che la forma di ricevitore descritta nel
teorema non e’ realizzabile poiche’ richiede il calcolo di quantita’ che risultano di valore infinito.
L’ espressione di queste quantita’ e’ quindi da intendersi come una scrittura simbolica, valida
solo al limite (siamo cioe’ nella stessa situazione in cui ci troviamo quando consideriamo un
impulso δ(t)). Cio’ posto abbiamo il seguente:
Teorema 1 Per un trasmettiotre di simbolo che operi su un canale Gaussiano il ricevitore ML
puo’ realizzarsi calcolando le seguenti quantita’:
.
Di =
Z
|r(t) − gi (t)|2 dt i = 0, ..., M − 1
(2.11)
e stimando il simbolo trasmesso come
ŝ = argmini {Di }
Dim: vedi appendice.
(2.12)
35
2.2. RICEVITORE ML PER IL CASO DI CANALE GAUSSIANO
Sulla base del teorema 1 un ricevitore ML puo’ essere realizzato come mostrato in fig. 2.4.
Il ricevitore e’ costituito da un banco di blocchi che operano sul segnale ricevuto e calcolano
le quantita’ Di e da un decisore che implementa la (2.12). Il termine Di e’ una misura della
diversita’ fra il segnale r(t) ed il segnale gi (t). Per motivi che saranno piu’ chiari fra poco, la
radice del valore Di e’ detta la distanza fra i segnali, cosicche’ il termine Di e’ una distanza al
quadrato. Dunque un ricevitore ML calcola il quadrato della distanza fra il segnale ricevuto
ed i possibili segnali trasmessi e decide che era stato trasmesso quello che risulta alla minima
distanza dal segnale ricevuto. Questa forma di ricevitore ML e’ quindi detta ricevitore a distanza
minima.
Figura 2.4: Ricevitore a distanza minima.
Come abbiamo gia’ accennato, strettamente parlando, un ricevitore a distanza minima non
e’ realizzabile nella forma in cui l’ abbiamo presentato. Infatti la distanza fra i due segnali e’
misurata dalla energia del segnale differenza, che risulta essere infinita, visto che il rumore e’
un processo stazionario e quindi di potenza. Un’ altra maniera di dire la stessa cosa e’ dire che
il limite considerato nella dimostrazione del teorema riportata in appendice diverge, tendendo
ad infinito. Dunque la (2.11) e’ una scrittura formale che pero’ indica un modo di realizzare il
ricevitore in pratica, visto che i segnali reali sono tutti ad energia finita. Inoltre manipolando la
(2.11) si ottengono forme alternative del ricevitore ML per le quali le quantita’ calcolate hanno
valore finito e sono dunque immediatamente realizzabili. Per queste forme alternative si puo’
ripetere la dimostrazione del teorema e fare vedere che il limite converge.
Esempio. .....
Ricevitore a correlazione. Una seconda maniera di vedere e realizzare un ricevitore ML si
ottiene trasformando le quantita’ calcolate nel ricevitore a distanza minima, e su cui si effettua
la minimizzazione. In particolare notiamo che
Z
2
|r(t) − gi (t)| dt =
Z
2
r(t) dt − 2
Z
r(t)gi (t)dt +
Z
gi (t)2 dt
(2.13)
e quindi
Di = Er − 2Ri + Ei
dove
.
Er =
Z
r(t)2 dt
(2.14)
(2.15)
36
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
e’ l’ energia del segnale ricevuto,
.
Ei =
Z
gi (t)2 dt
(2.16)
e’ l’ energia dell’ i-esimo possibile segnale trasmesso e
.
Ri =
Z
r(t)gi (t)dt
(2.17)
e’ la correlazione fra il segnale ricevuto e l’ i-esimo possibile segnale trasmesso. Cio’ posto,
notando che Er non dipende dall’ indice i sul quale si effettua la minimizzazione, e che possiamo
dividere per 2 e cambiare segno all’ argomento della minimizzazione a patto di trasformarla in
una massimizzazione, abbiamo
ŝ = argmini {Di } = argmaxi {Ri − Ei /2}
(2.18)
Sulla base dell’ ultima espressione, una maniera alternativa di realizzare un ricevitore ML e’ quella di calcolare Ri , la correlazione fra il segnale ricevuto e l’ i-esimo possibile segnale trasmesso,
calcolare Ei , l’ energia dell’ i-esimo possibile segnale trasmesso, e decidere che e’ stato trasmesso
il segnale che massimizza Ri + Ei /2. Il ricevitore puo’ quindi realizzarsi come mostrato in figura
2.5. Il ricevitore e’ costituito da un banco di correlatori seguito da un decisore. I vari correlatori
calcolano le Ri e le passano al blocco di decisione. Notiamo che i termini Ei non dipendono dal
segnale ricevuto, e quindi si puo’ pensare che siano calcolati internamente al decisore. Quando
e’ messo in questa forma il ricevitore si dice ricevitore a correlazione. Notiamo che questo ricevitore non ha i problemi di divergenza che aveva il ricevitore a distanza minima, visto che le
quantita’ Ri risultano finite.
Figura 2.5: Ricevitore a correlazione
Ricevitore a filtro adattato. Una terza maniera di vedere il ricevitore si ottiene trasformando la correlazione in una convoluzione. Infatti, introducendo le funzioni hi (t) = gi (−t),
possiamo scrivere:
Ri =
Z
r(τ )gi (τ )dτ =
Z
r(τ )hi (−τ )dτ =
Z
r(τ )hi (t − τ )dτ |t=0
(2.19)
L’ ultimo termine fa’ vedere che Ri si ottiene come il valore che assume all’ istante t = 0 la
convoluzione fra il segnale ricevuto e la funzione hi (t). Quindi il ricevitore puo’ realizzarsi facendo
2.3. MODULAZIONE PAM ED ORTOGONALE
37
passare il segnale ricevuto in un banco di filtri con risposta impulsiva hi (t) e campionandone le
uscite in t = 0, come mostrato in figura 2.6. Un filtro con risposta implsiva hi (t) = gi (−t) si dice
filtro adattato (matched) all’ impulso gi (t). Di conseguenza un ricevitore ML realizzato come in
fig. 2.6 si dice ricevitore a filtro adattato.
Figura 2.6: Ricevitore a filtro adattato
Struttura dei ricevitori. Come commento generale, notiamo che le strutture di ricevitore
che abbiamo visto sono tutte divise in due parti. La prima parte, detta front-end del ricevitore,
elabora il segnale analogico ricevuto e produce in uscita M valori reali che vengono passati alla
seconda parte, detta decisore. Il decisore, appunto, decide quale simbolo fosse stato trasmesso
sulla base di queste M quantita’. Questa e’ una struttura semplice. In particolare l’ elaborazione
analogica e’ confinata nel front-end, e tutta l’ informazione contenuta nel segnale ricevuto viene
concentrata negli M valori estratti. Come vedremo in seguito questa non e’ ancora la forma piu’
semplice.
Prima di concludere notiamo che la struttura del ricevitore ottimo puo’ ricavarsi anche nel
caso in cui il rumore non sia bianco4 .
2.3
Modulazione PAM ed ortogonale
Fino ad ora non e’ stato necessario specificare i segnali gi (t) che compongono l’ insieme dei segnali
trasmessi. Infatti la struttura del ricevitore ottimo e’ stata ricavata in forma parametrica rispetto
a questi segnali. D’ altra parte per realizzare in pratica un trasmettitore di simbolo e’ necessario
specificare questi segnali. In questa sezione ci occuperemo di questo argomento. Notiamo che la
scelta dei segnali e’ delicata. Infatti anche se sappiamo come realizzare il ricevitore ottimo per
qualsiasi insieme di segnali trasmessi, le prestazioni del sistema di trasmissione sono diverse per
diversi segnali trasmessi.
PAM. Il primo insieme di possibili segnali trasmessi che consideriamo e’ costituito da M
segnali ottenuti moltiplicando un impulso (cioe’ un segnale di energia), indicato con g(t), per un
numero reale appartenente ad un insieme di M possibili valori {a0 , ..., aM −1 }. In altre parole l’
4
Si veda, per esempio, [5]
38
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
m − esimo segnale dell’ insieme, gm (t), e’ dato da
gm (t) = am g(t)
(2.20)
Quando l’ insieme dei segnali trasmessi e’ realizzato in questo modo, visto che i segnali sono
ottenuti variando (modulando) l’ ampiezza di un singolo impulso g(t), il trasmettitore si dice
trasmettitore a modulazione dell’ ampiezza dell’ impulso (PAM, pulse amplitude modulation).
La modulazione PAM sara’ quella che studieremo piu’ in dettaglio.
Notiamo che nel caso di modulazione PAM risulta piu’ comodo adottare per il simbolo
trasmesso un alfabeto composto da M numeri reali coincidenti con le possibili ampiezze dell’
impulso, ovvero assumere che s ∈ {a0 , ..., aM −1 }. In questo caso infatti, e supponendo che
quando il simbolo vale am venga trasmesso il segnale gm (t) = am g(t), il segnale trasmesso si
puo’ scrivere nella seguente forma semplificata
s(t) = sg(t).
(2.21)
Esempio. ....
Figura 2.7: Segnali OM
OM. Una seconda scelta per l’ insieme dei segnali trasmessi e’ quello di impiegare M impulsi
diversi ed ortogonali fra loro cioe’ tali da verificare le seguenti equazioni
Z
gh (t)gk (t)dt = 0 per h 6= k.
(2.22)
Diamo un esempio di segnali ortogonali. Consideriamo un intervallo di tempo di T sec, da 0 a
T , e suddividiamo questo intervallo in M sottointervalli disgiunti di durata T /M . Un insieme
di M segnali ortogonali si ottiene prendendo il primo segnale pari a 1 nel primo sottointervallo
e 0 negli altri sottointervalli, il secondo pari a 1 nel secondo sottointervallo e pari a 0 negli altri
e cosi’ via, come mostrato in figura 2.7. Indicando con τ la durata di un sottointervallo, cioe’
τ = T /M , in formule risulta:
gm (t) = rect(
t − τ /2 − mτ
) per m = 0..M − 1
τ
(2.23)
E’ facile controllare che i segnali dell’ insieme (2.23) verificano le (2.22) e quindi sono ortogonali.
Infatti segnali diversi sono diversi da 0 in porzioni di tempo diverse, ed il loro prodotto e’ sempre
2.4. SPAZIO DEI SEGNALI E SEMPLIFICAZIONE DEL RICEVITORE
39
nullo. Nel seguito, per brevita’, quando i segnali vengono scelti in modo da verificare le (2.22)
la modulazione verra’ detta modulazione ortogonale (OM, orthogonal modulation).
Nelle trasmissioni OM conviene considerare per il simbolo un alfabeto coincidente con l’
insieme dei primi numeri interi, cioe’ assumere che s ∈ {0, ..., M − 1}. Infatti, come gia’ visto,
in questo modo il segnale trasmesso si puo’ scrivere come s(t) = gs (t) (supponendo di inviare il
segnale gi (t) quando il simbolo vale s = i).
Altre modulazioni. Le modulazioni PAM ed OM sono le piu’ usate ma non esauriscono
l’ insieme delle possibilita’. Per esempio e’ possibile combinarle. Inoltre e’ possibile considerare trasmissioni con insiemi di impulsi diversi fra loro ma non ortogonali, per esempio insiemi
simplex5 . Comunque nel seguito ci limiteremo a questi due casi.
2.4
Spazio dei segnali e semplificazione del ricevitore
Nelle sezioni precedenti abbiamo studiato diverse forme di realizzazione del ricevitore ML. In
tutti i casi il ricevitore e’ diviso in due parti, il front-end, che produce M valori reali che concentrano l’ informazione portata dal segnale analogico, ed il decisore, che stima il simbolo trasmesso
sulla base di questi M valori. Questa struttura e’ semplice ma puo’ essere ulteriormente semplificata in alcuni casi, come vedremo in questa sezione. Per illustrare la semplificazione e’ necessario
introdurre il concetto di spazio dei segnali. Oltre a permettere una semplificazione del ricevitore,
il concetto di spazio dei segnali aiuta a visualizzarne e comprenderne il funzionamento.
Spazio dei segnali. Per introdurre il concetto di spazio dei segnali richiamiamo alcuni
risultati relativi alle funzioni ortonormali. Per prima cosa ricordiamo che, assegnati M segnali
gm (t) e’ sempre possibile trovare un insieme di N ≤ M funzioni fk (t) che siano fra loro ortonormali e che permettano di esprimere tutti i segnali gm (t) come loro combinazione lineare. Per
esempio e’ possibile usare la procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt6 . Dire che le
fk (t) sono fra loro ortonormali significa che
Z
fh (t)fk (t)dt = δh−k
(2.24)
dove la sequenza δk e’ l’impulso discreto, pari a 1 per k = 0 e nulla per gli altri valori di k. Dire
che gm (t) puo’ essere espresso come combinazione lineare delle fk (t) significa dire che esistono
N coefficienti gm,k tali che risulti:
gm (t) =
N
−1
X
gm,k fk (t).
(2.25)
k=0
Le funzioni fk (t) sono dette una base ortonormale per l’ insieme di funzioni gm (t). I coefficienti
gm,h sono calcolabili (come si puo’ verificare moltiplicando l’ ultima equazione per fh (t) ed
integrando) cosi’:
Z
gm,h =
gm (t)fh (t)dt
(2.26)
Naturalmente la base permette di ottenere, tramite una combinazione lineare, non solo le M
funzioni gm (t), ma una infinita’ di altre funzioni. L’ insieme di queste funzioni e’ detto spazio
5
6
Si veda per esempio [6]
Si veda, per esempio, [7]
40
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
dei segnali generato dalla base fk (t) ed e’ costituito dai segnali
x(t) =
N
−1
X
xk fk (t)
(2.27)
k=0
al variare dei coefficenti xk in tutte le maniere possibili. Notiamo che qualsiasi segnale dello
spazio dei segnali e’ perfettamente identificato dai coefficienti della combinazione lineare con la
quale viene generato dalla base. Allo stesso tempo, dato qualsiasi vettore di N numeri reali,
questo identifica un segnale. Esiste quindi una corrispondenza biunivoca fra segnali dello spazio
dei segnali e vettori di N numeri reali ovvero punti dello spazio Euclideo N -dimensionale RN .
La (2.27) permette di calcolare il segnale a partire dai coefficienti. A loro volta i coefficenti
possono essere calcolati a partire dal segnale alla seguente maniera
xk =
Z
x(t)fk (t)dt.
(2.28)
Visto che i vettori N -dimensionali hanno la struttura algebrica di spazio vettoriale, la stessa
struttura e’ posseduta dallo spazio dei segnali. Questa osservazione permette di utilizzare le
tecniche dell’ algebra lineare nello studio dei segnali. In particolare molte delle quantita’ definite
e calcolate sui segnali possono essere espresse piu’ semplicemente in termini di quantita’ calcolate
sui punti (vettori) corrispondenti. Per esempio dato un generico segnale x(t) associato al punto
x̄, risulta che l’ energia del segnale e’ pari al quadrato della distanza del punto x̄ dall’ origine,
cioe’
Ex =
Z
x(t)2 dt =
N
−1
X
x2k
(2.29)
k=0
come e’ facile verificare. Inoltre dati due segnali x(t) e y(t) associati ai punti x̄ e ȳ, risulta che
l’ energia del segnale differenza fra x(t) e y(t) e’ pari al quadrato della distanza fra i due punti,
cioe’
Z
[x(t) − y(t)]2 dt =
N
−1
X
k=0
[xk − yk ]2
(2.30)
come e’ facile verificare. Queste proprieta’ saranno utili fra poco per accrescere la nostra
comprensione sul funzionamento del ricevitore ottimo e semplificarne il funzionamento.
Per concludere introduciamo un concetto che sara’ usato in seguito. Consideriamo un
trasmettitore, con un insieme di M possibili segnali trasmessi gm (t), ed indichiamo con fk (t) una
base ortonormale per questi segnali. Come abbiamo visto ciascuno dei possibili segnali trasmessi
puo’ essere pensato come un punto nello spazio euclideo a N dimensioni RN . L’ insieme degli M
segnali trasmessi e’ dunque in corrispondenza con un insieme di punti in RN e questo insieme
di punti viene detto costellazione.
Ricevitori a correlazione e a filtro adattato. Consideriamo un trasmettitore di simbolo
ed indichiamo con fk (t) k = 0, ..., N − 1 una base ortonormale per l’ insieme degli M segnali
trasmessi. Cominciamo con il considerare il ricevitore a correlazione. Visto che risulta gm (t) =
PN −1
k=0 gm,k fk (t), sostituendo nella (2.17), vediamo che la quantita’ Ri e’ data da
Ri =
Z
r(t)
N
−1
X
k=0
gi,k fk (t)dt =
N
−1
X
k=0
gi,k
Z
r(t)fk (t)dt
(2.31)
2.4. SPAZIO DEI SEGNALI E SEMPLIFICAZIONE DEL RICEVITORE
41
L’ ultima equazione mostra che le M quantita’ Ri sono calcolabili come combinazione lineare,
con coefficienti gi,k , delle N quantita’
.
rk =
Z
r(t)fk (t)dt
(2.32)
che rappresentano la correlazione del segnale ricevuto con le funzioni della base ortonormale.
Di conseguenza il ricevitore a correlazione e’ realizzabile come mostrato in fig. 2.8. In questo
schema un banco di correlatori calcola le correlazioni rk che vengono poi fornite a dei blocchi
che calcolano le Ri implementando la (2.31). Quando N < M questo schema e’ piu’ semplice di
quello originario perche’ riduce il numero di correlatori utilizzati da M ad N . Come gia’ visto
e’ possibile realizzare la correlazione campionando nell’ istante t = 0 l’ uscita di un banco di
filtri adattati. In particolare i filtri devono essere adattati alle funzioni della base, cioe’ avere
risposta impulsiva hk (t) = fk (−t). Realizzando in questa maniera il calcolo dei rk il ricevitore
ha la forma di fig. 2.9 ed e’ ancora detto ricevitore a filtro adattato.
Figura 2.8: Ricevitore a correlazione semplificato.
Figura 2.9: Ricevitore a filtro adattato semplificato.
Ricevitore a distanza minima. Il concetto di spazio dei segnali permette di introdurre
una nuova forma di ricevitore a distanza minima, in cui la distanza non e’ calcolata direttamente
42
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
sui segnali tramite le (2.11) ma e’ invece calcolata nello spazio dei segnali. Vediamo come si
ottiene questa nuova forma di ricevitore a distanza minima. Notiamo innanzitutto che se il
segnale r(t) appartenesse allo spazio di segnali generato dalla base ortonormale, dalle (2.32)
e (2.28), il vettore r̄ = {r0 , ..., rN −1 } sarebbe il suo vettore rappresentativo. Pero’ il segnale
r(t) e’ dato dalla somma di uno dei segnali gm (t), che appartiene allo spazio dei segnali, con
il rumore, che in generale non appartiene allo spazio dei segnali. Quindi dal vettore r̄ non e’
possibile ricostruire esattamente il segnale r(t), ma solo la parte di questo segnale che cade nello
spazio del segnale, e che e’ detta proiezione del segnale (sullo spazio dei segnali). Un punto da
sottolineare e’ che, nonostante che r(t) non sia rappresentabile nello spazio dei segnali, la parte
di r(t) che cade al di fuori dello spazio dei segnali e’ inutile ai fini della decisione sul simbolo
trasmesso: infatti, come abbiamo appena visto, il ricevitore ottimo (ML) basa la sua decisone
solo sul vettore r̄ cioe’ sulla proiezione di r(t). Questo e’ anche intuitivo, visto che la parte di r(t)
che cade al di fuori dello spazio dei segnali e’ costituita solo da rumore. Adesso consideriamo un
ricevitore a correlazione. Per comodita’ riscriviamo la formula di decisione per questo ricevitore,
data dalla (2.18):
ŝ = argmaxi {Ri − Ei /2}
(2.33)
−1
N −1 2
2
possiamo
Ora ricordiamo che Ri = N
k=0 gi,k rk , che Ei = gi (t) dt =
k=0 gi,k , e notiamo che P
−1 2
moltiplicare per 2 l’ argomento della massimizzazione, sottrargli la quantita’ Er = N
k=0 rk ,
pari all’ energia della proiezione del segnale ricevuto, senza alterarne il funzionamento. Infine
possiamo cambiare segno all’ argomento della massimizzazione trasformando la massimizzazione
in una minimizzazione. Quindi il ricevitore stima il simbolo trasmesso come
R
P
N
−1
X
ŝ = argmini {
k=0
rk2 − 2
N
−1
X
rk gi,k +
k=0
N
−1
X
k=0
P
N
−1
X
2
gi,k
} = argmini {
k=0
[rk − gi,k ]2 }
(2.34)
Quest’ ultima formula ci permette visualizzare il funzionamento del ricevitore nello spazio dei
segnali. Il ricevitore calcola per prima cosa il punto r̄ = {r0 , ..., rN −1 } corrispondente alla
proiezione del segnale ricevuto. Per il calcolo delle rk il ricevitore puo’ usare sia il front-end
del ricevitore a correlazione che il front-end del ricevitore a filtro adattato appena visti. Per
P −1
2
decidere quale fosse il segnale trasmesso calcola N
k=0 [rk − gi,k ] , cioe’ il quadrato della distanza
fra il punto r̄ ed i punti della costellazione corrispondenti ai possibili segnali trasmessi, e sceglie
quello che rende minima la distanza, cioe’ che cade piu’ vicino alla proiezione del segnale ricevuto.
Quindi il ricevitore e’ ancora a distanza minima, ma opera nello spazio dei segnali. Scegliendo
di adottare un front-end a filtri adattati il ricevitore ha la forma mostrata in fig. 2.10, in cui il
decisore e’ un decisore a distanza minima che implementa la (2.34)
La maniera di operare del ricevitore a distanza minima si comprende intuitivamente considerando come i valori rk sono legati al segnale trasmesso e al rumore. Il segnale ricevuto r(t)
e’ dato dalla somma di una delle M forme d’onda gm (t) con il rumore n(t). Assumiamo per
esempio che fosse stata trasmessa la forma d’onda gi (t), rappresentata nello spazio dei segnali
dal punto ḡi = {gi,0 , ..., gi,N −1 }. In questo caso risulta
rk =
Z
r(t)fk (t)dt =
Z
gi (t)fk (t)dt +
Z
n(t)fk (t)dt = gi,k + nk
(2.35)
L’ ultima espressione mostra che il vettore r̄ e’ dato dalla somma del vettore che identifica il
segnale trasmesso, cioe’ uno dei punti della costellazione, con un vettore {n0 , ..., nN −1 } dovuto
2.4. SPAZIO DEI SEGNALI E SEMPLIFICAZIONE DEL RICEVITORE
43
Figura 2.10: Ricevitore a distanza minima nello spazio dei segnali.
al rumore. Visto che il rumore, in un sistema che funzioni correttamente, sara’ piccolo rispetto
al segnale, e’ chiaro che il vettore r̄ sara’ vicino al punto trasmesso la maggior parte delle
volte, il che’ giustifica intuitivamente la maniera di operare del ricevitore a distanza minima. Il
ricevitore a distanza minima di fig. 2.10 e’ probabilmente la forma piu’ semplice ed intuitiva per
il ricevitore, e sara’ quella che useremo di preferenza.
OM e PAM. Per terminare vediamo piu’ in dettaglio la struttura dei ricevitore nello spazio
dei segnali per i casi di OM e PAM. Per quanto riguarda la OM, visto che gli M segnali gm (t)
sono fra loro ortogonali, la base dello spazio di segnali che li contiene e’ costituita dai segnali
gm (t) stessi, scalati per una costante che renda la loro energia unitaria. Quindi le strutture
che abbiamo visto in questa sezione contengono lo stesso numero di correlatori e filtri delle
strutture generali che abbiamo visto nelle sezioni precedenti, e non si ha nessuna particolare
semplificazione. Notiamo anche che, visto che i segnali trasmessi sono fra loro ortogonali, lo
spazio dei segnali e’ M -dimensionale, e i vettori rappresentativi dei segnali trasmessi sono del
tipo: ḡ0 = {g0,0 , 0, ...., 0}, ḡ1 = {0, g1,1 , ...., 0}, ..., ḡN −1 = {0, 0, ...., gN −1,N −1 }. In altre parole il
vettore rappresentativo di gi (t) e’ diverso da 0 solo nell’ i − esimo coefficiente. La costellazione
e’ quindi costituita da M punti disposti sugli assi dello spazio, come mostrato in fig. 2.11 per il
caso di uno spazio bidimensionale (cioe’M = 2).
Per il caso PAM, visto che tutti i segnali sono ottenuti scalando un impulso di base g(t),
e’ facile verificare che lo spazio che contiene i segnali trasmessi e’ unidimensionale, e la sua
base e’ proprio g(t). Infatti assumendo, senza perdita’ di generalita’, che g(t) sia ad energia
unitaria, visto che gm (t) = am g(t) risulta che qualsiasi segnale trasmesso e’ esprimibile come
’combinazione lineare’ del solo g(t), con coefficiente gm,0 = am . In questo caso gli M segnali
appartengono ad uno spazio unidimensionale e quindi con un singolo asse. Su questo asse i
valori am costituiscono i punti della costellazione, come mostrato in fig. 2.12. Il ricevitore puo’
dunque essere fortemente semplificato. Per esempio, realizzandolo come ricevitore a distanza
minima, avra’ la forma di fig. 2.13, in cui e’ presente un solo filtro adattato. L’ uscita del filtro
e’ passata ad un decisore a distanza minima che la confronta con i punti della costellazione e
sceglie il piu’ vicino come stima del simbolo trasmesso.
44
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
Figura 2.11: Costellazione OM.
Figura 2.12: Costellazione PAM.
2.5
Appendice
Dimostrazione del teorema 1. L’ approccio che seguiamo nella dimostrazione e’ il seguente.
Inizialmente supponiamo di non avere a disposizione l’ intero segnale ricevuto r(t), ma solo una
sua versione limitata in banda e nel tempo, che indicheremo con r T,H (t), e ricaviamo il ricevitore
ML per questo segnale. Successivamente facciamo tendere ad infinito i limiti sulla banda e sul
tempo in modo che il segnale r T,H (t) tenda al segnale effetivamente disponibile r(t) e il ricevitore
ML per il segnale r T,H (t) tenda al ricevitore ML per il segnale r(t). Nel tentativo di semplificare
la dimostrazione si e’ scelto di limitare la complessita’ degli strumenti matematici utilizzati. In
particolare la conoscenza della serie di Fourier e’ sufficiente per seguire la dimostrazione. Questo
pero’ rende la dimostrazione un po’ lunga. Nei testi riportati in bibliografia7 e’ possibile trovare
dimostrazioni piu’ compatte.
Per prima cosa vediamo come si ottiene la versione limitata in banda e nel tempo del segnale ricevuto. Dato il segnale r(t) consideriamo solo la parte di questo segnale compresa nell’
intervallo di tempo [−T /2, T /2], ed indichiamo questo segnale con r T (t). Questo segnale ha una
7
Per es. [6].
45
2.5. APPENDICE
Figura 2.13: Ricevitore a distanza minima PAM.
durata limitata ed e’ nullo al di fuori dell’ intervallo [−T /2, T /2]. In formule
r T (t) = r(t) per |t| ≤ T /2
(2.36)
r T (t) = 0 per |t| > T /2
(2.37)
E ora possibile considerare una ripetizione periodica di questo segnale per ottenere un segnale
P
periodico indicato con r P (t) dato da r P (t) = k r T (t − kT ). Essendo periodico, r P (t) puo’
essere espanso in serie di Fourier. I coefficienti dell’ espansione sono dati da
1
T
Z
T /2
Rk =
1
T
Z
T /2
=
r P (t)e−j2πfk t dt =
(2.38)
r(t)e−j2πfk t dt
(2.39)
−T /2
−T /2
dove fk = k/T . Nell’ intervallo [−T /2, T /2] risulta r P (t) = r(t) e quindi abbiamo:
r(t) =
X
k
Rk ej2πfk t per t ∈ [−T /2, T /2]
(2.40)
Infine e’ possibile considerare il segnale che si ottiene nell’ intervallo [−T /2, T /2] quando ci si
limita a considerare i primi 2H + 1 coefficienti della serie di Fourier. Indicando questo segnale
con r T,H (t) abbiamo
r T,H (t) =
H
X
k=−H
Rk ej2πfk t per t ∈ [−T /2, T /2]
(2.41)
Questo segnale e’ diverso da r(t) nell’ intervallo [−T /2, T /2], ma per H che tende a ∞ tende
a coincidere con r(t) nell’ intervallo, e quindi, facendo tendere ad infinito sia H che T r T,H (t)
tende a r(t).
Per dimostrare il teorema supponiamo inizialmente di non utilizzare, ai fini della decisione,
l’ intero segnale ricevuto r(t), ma di basare la decisione sul segnale r T,H (t). Un ricevitore ML
che operi su questo segnale stimera’ il simbolo trasmesso come ŝ = argmaxi {p(r T,H (t)|s = i)}.
46
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
Dobbiamo dunque calcolare la funzione di verosimiglianza per il particolare segnale ricevuto e
trovarne il massimo al variare di i. Per calcolarla notiamo che il segnale r T,H (t) e’ un processo
aleatorio. In particolare, osservando l’ eq. che definisce r T,H cioe’ eq. (2.41), si nota che ogni possibile segnale r T,H (t) e’ specificato dal valore dei coefficienti Rk k = −H, ..., H. Questi
coefficienti non sono noti a priori. Sono la determinazine di altrettante variabili aleatorie, visto che dipendono dal rumore e dal simbolo trasmesso, e costituiscono una variabile aleatoria
.
multidimensionale R̄ = {R−H , ..., RH } che avra’ una densita’ di probabilita’ che indichiamo con
pR (R−H , ..., RH |s = i). Visto che ogni determinazione di questa variabile aleatoria e’ associata ad uno dei segnali del processo e viceversa, questa e’ una variabile aleatoria associata al
processo. Come sappiamo i segnali del processo si possono scrivere indicando esplcitamente
la variabile aleatoria associata, cioe’ come r T,H (t, R̄), e la densita’ di probabilita’ del processo e’ definita in termini della densita’ di probabilita’ della variabile aleatoria associata, e cioe’
p(r T,H (t, R̄)|s = i) = pR (R−H , ..., RH |s = i). Per realizzare un ricevitore ML dobbiamo quindi
calcolare i coefficienti Rk a partire dal segnale ricevuto, sostituirli nella pR (R−H , ..., RH |s = i)
e poi trovare il massimo al variare di i. Dobbiamo quindi calcolare pR (R−H , ..., RH |s = i) piu’
esplicitamente.
Per calcolare pR (R−H , ..., RH |s = i) notiamo che il procedimento che abbiamo applicato a
r(t) per ottenere r T,H (t) e’ lineare. Infatti e’ facile verificare che, visto che r(t) = s(t) + n(t), i
coefficienti RK possono essere scritti come
RK = SK + NK
dove
1
T
Z
T /2
Sk =
1
T
Z
T /2
Nk =
(2.42)
s(t)e−j2πfk t dt
(2.43)
n(t)e−j2πfk t dt
(2.44)
−T /2
−T /2
I coefficienti Sk e Nk sono i coefficienti che specificano le versioni limitate in banda e nel tempo
del segnale trasmesso e del rumore, ovvero che specificano i segnali sT,H (t) e nT,H (t). Per
calcolare pR (R−H , ..., RH |s = i) si puo’ notare che, quando s = i allora il segnale trasmesso
era s(t) = gi (t), e i coefficienti Sk non sono piu’ aleatori, ma si possono calcolare sostituendo
gi (t) al posto di s(t) nell’ eq. (2.43). Indichiamo questi coefficienti con Gi,k . Invece i coeffcienti
Nk sono aleatori, non dipendono in alcun modo dal segnale ricevuto, ed avranno una densita’
di probabilita’ che indichiamo con pN (N−H , ..., NH ). Visto che Rk = Gi,k + Nk la probabilita’
(infinitesima) che i coefficienti del segnale ricevuto assumano un particolare valore Rk coincide
con la probabilita’ (infinitesima) che risulti Nk = Rk − Gi,k . Ovvero risulta pR (R−H , ..., RH |s =
i) = pN (R−H − Gi,−H , ..., RH − Gi,H ). Per calcolare pR (R−H , ..., RH |s = i) dobbiamo dunque
calcolare pN (N−H , ..., NH ).
Per calcolare pN (N−H , ..., NH ) studiamo le variabili aleatorie Nk date dall’ eq. (2.44). Per
prima cosa notiamo che il generico Nk e’ a distribuzione Gaussiana Circolare8 . Inoltre, visto che
n(t) e’ a media nulla, Nk e’ a media nulla, come e’ facile verificare. Allora la densita’ di probabilita della variabile aleatoria congiunta pN (N−H , ..., NH ), sara’ una distribuzione Gaussiana
Circolare multidimensionale a media nulla. Questa distribuzione dipende solo dalle covarianze
8
Cfr. per es. [6].
47
2.5. APPENDICE
fra tutte le coppie possibili di variabili aleatorie Nk . La covarianza fra Nh e Nk e’ data da
E{Nh Nk∗ } (notiamo che in generale le Nk sono numeri complessi) e quindi:
E{Nh Nk∗ }
Z
T /2
T /2
Z
1
= 2
T
1
= 2
T
Z
Z
T /2
E{n(t)n(τ )}e−j2πfh t ej2πfk τ dtdτ =
(2.45)
t=−T /2 t=−T /2
t=−T /2
T /2
t=−T /2
1 N0
= 2
T 2
Z
N0
δ(t − τ )e−j2π(fh t−fk τ ) dtdτ =
2
T /2
(2.46)
e−j2π(fh −fk )t) dt
(2.47)
t=−T /2
Notiamo che nei passaggi precedenti abbiamo usato il fatto che E{n(t)n(τ )∗ } = δ(t − τ )N0 /2.
Dall’ ultima formula, osservando che l’ integrale e’ sempre nullo tranne che se fh = fk , nel qual
caso l’ integrale vale T , abbiamo
E{Nh Nk∗ } =
1 N0
δk−h
T 2
(2.48)
Quest’ ultima equazione ci dice che le variabili Nh e Nk sono incorrelate, visto che δk−h =
0 per k 6= h. Inoltre valutata per h = k, l’espressione precedente coincide con la varianza di
0
Nk . La varianza e’ quindi σ 2 = N
2T ed e’ uguale per tutte le variabili marginali. Visto che le
Nk sono variabili aleatorie Gaussiane e incorrelate, sono anche statisticamente indipendenti, e la
densita’ di probabilita’ della variabile congiunta si ottiene dal prodotto delle densita’ marginali.
Le densita’ marginali sono tutte pari a pNk (Nk ) =
1 −
πσ2 e
H
Y
pN (N−H , ..., NH ) =
k=−H
|Nk |2
σ2
. La densita’ congiunta e’ dunque:
1 − |Nk2|2
e σ
πσ 2
(2.49)
La (2.49) esprime pN (N−H , ..., NH ) e quindi permette di calcolare pR (R−H , ..., RH |s = i).
In particolare risulta
pR (R−H , ..., RH |s = i) = pN (R−H − Gi,−H , ..., RH − Gi,H ) =
H
Y
k=−H
1 − |Rk −G2i,k |
σ
e
πσ 2
2
(2.50)
Dall’ ultima espressione siamo finalmente in grado di ricavare la struttura di un decisore ML.
Infatti un decisore ML deve trovare il massimo, al variare di i, delle quantita’ precedenti, in
cui i termini Rk devono ora essere pensati come quantita’ deterministiche, calcolate a partire
dal segnale r T,H (t). Visto che l’ unica quantita’ che dipende da i nell’espressione precedente e’
costituita dai coefficienti Gi,k , risulta
argmaxi {
H
Y
2
k=−H
= argmaxi {
1 − |Rk −G2i,k |
2σ
e
}=
πσ 2
H
Y
k=−H
= argmaxi {e−
2
e−|Rk −Gi,k | } =
PH
k=−H
|Rk −Gi,k |2
}
(2.51)
(2.52)
(2.53)
48
CAPITOLO 2. TRASMISSIONE DI SIMBOLO
Al variare di i, l’ espressione precedente assume il massimo valore quando l’ esponente e’ masP
2
simo, quindi quando H
k=−H |Rk − Gi,k | e’ minimo. Dunque un ricevitore ML puo’ realizzarsi
cosi’
H
X
ŝ = argmini {
k=−H
|Rk − Gi,k |2 }
(2.54)
Come ultimo passo, notiamo che, applicando il teorema di Parseval per segnali periodici al
segnale differenza r T,H (t) − giT,H (t), risulta
H
X
k=−H
|Rk − Gi,k |2 =
Z
T /2
−T /2
|r T,H (t) − giT,H (t)|2 dt
(2.55)
dove giT,H (t) e’ la versione limitata in banda e nel tempo del segnale gi (t). Dunque, quando il
segnale a disposizione per la decisone e’ r T,H (t), il ricevitore ML si realizza calcolando
Di =
Z
T /2
−T /2
|r T,H (t) − giT,H (t)|2 dt
(2.56)
e stimando il simbolo ricevuto come
ŝ = argmini {Di }
(2.57)
Facendo tendere T ed H ad infinito r T,H (t) tende a r(t), giT,H (t) tende a gi (t), e le espressioni
precedenti tende alle (2.11) e (2.12) del teorema. Q.E.D.
Capitolo 3
Trasmissione di sequenze
Nel capitolo 2 abbiamo studiato il trasmettitore di simbolo e due sue possibili specializzazioni,
il trasmettitore OM ed il trasmettitore PAM. Questi trasmettitori sono importanti da un punto
di vista teorico, ma non sono utilizzabili in un sistema reale dove il numero di bit da trasmettere
e’ alto. Il problema e’ che, visto che i trasmettitori inviano i bit da trasmettere come un unico
blocco, la loro complessita’, e quella dei ricevitori, cresce esponenzialmente con il numero di bit
da trasmettere. Per esempio, indicando con K il numero di bit da trasmettere, nel ricevitore
di un sistema OM servono M = 2K correlatori o filtri adattati. Analogamente in un ricevitore
PAM i punti della costellazione sono M = 2K , ed il decisore deve confrontare il segnale ricevuto
con tutti i punti della costellazione. Quindi, non appena il numero di bit da trasmettere diviene
elevato, questi sistemi non sono realizzabili. In questo capitolo studiamo trasmettitori e ricevitori
la cui complessita’ cresce linearmente con il numero dei bit da trasmettere.
3.1
Trasmettitori di sequenza
Consideriamo il diagramma a blocchi di figura 3.1. La sorgente produce una sequenza di bit xn .
L’ indice n e’ un indice temporale. Il bit n-esimo viene emesso nell’ istante nTb dove Tb e’ la durata
di un bit. La lunghezza delle sequenza e’ qualsiasi, al limite infinita. Per trasmettere la sequenza
di bit e’ possibile dividerla in blocchi di K bit e trasmettere questi blocchi separatamente. Come
al solito, un blocco di K bit viene visto come un simbolo che assume valori in un alfabeto di
M = 2K elementi, che per ora conviene considerare formato dai numeri interi da 0 a M − 1. Il
simbolo viene prodotto dal codificatore di simbolo che segue la sorgente. Il codificatore osserva
il valore di un blocco di K bit ed emette il numero intero corrispondente. La sequenza di bit
xn viene cosi’ trasformata in una sequenza di simboli sk ∈ {0, ..., M − 1}. Notiamo che se nella
sequenza di bit originaria ogni bit aveva una durata di Tb sec (corrispondente ad un frequenza
di bit pari a fb = 1/Tb bit/sec), nella sequenza di simboli ogni simbolo avra’ una durata di
Ts = KTb sec (corrispondente ad un frequenza di simbolo pari a fs = 1/Ts = fb /K simb/sec)
e si puo’ pensare che il k-esimo simbolo sia prodotto dal codificatore nell’ istante kTs . I tre
blocchi successivi sono il trasmettitore, il canale ed il ricevitore. Il trasmettitore ha il compito
di produrre un segnale analogico a partire dalla sequenza di simboli. Il segnale attraversa il
canale e viene da questo disturbato e distorto. Il ricevitore ha il compito di effettuare una stima
della sequenza trasmessa a partire dal segnale ricevuto. Quindi il ricevitore produce in uscita
49
50
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
Figura 3.1: Trasmissione di sequenze su canale Gaussiano.
una sequenza di stime dei simboli trasmessi, indicata con ŝk . Questa sequenza viene passata
al decodificatore di simbolo che produce la configurazione di bit corrispondente. Naturalmente,
se ŝk = sk la stima e’ corretta ed i bit riprodotti coincidono con quelli trasmessi. Al contrario
se ŝk 6= sk i bit saranno errati. L’ obbiettivo del ricevitore e’ dunque quello di compiere meno
errori possibili nella stima della sequenza trasmessa.
Trasmettitore di sequenza. Esaminiamo una possibile maniera per realizzare il trasmettitore. Ricordiamo che questo ha il compito di produrre un segnale analogico a partire dalla
sequenza dei simboli da trasmettere. A questo fine assegniamo un insieme di M forme d’onda di
energia diverse indicate con gm (t) m = 0, ..., M − 1. Notiamo che questo insieme verra’ ancora
detto l’ insieme dei possibili segnali trasmessi e che contiene tanti segnali quanti sono i possibili
valori del simbolo. Consideriamo poi un trasmettitore che forma il seguente segnale
s(t) =
X
k
gsk (t − kTs )
(3.1)
Un trasmettitore che forma il segnale come indicato in (3.1) verra’ detto trasmettitore di sequenza
ed e’ l’unico che studieremo in dettaglio. Come si vede dall’ equazione, in questo trasmettitore
il k-esimo simbolo viene usato per scegliere una delle M forme d’onda dell’ insieme dei possibili
segnali trasmessi. Questa forma d’onda viene poi centrata sull’ istante kTs e sommata alle
analoghe forme d’onda relative agli altri simboli. Per chiarirne il funzionamento e’ utile fare un
esempio. Il caso piu’ semplice e’ quello di un trasmettitore binario, in cui K = 1. Il simbolo puo’
assumere M = 2 valori, ed in particolare sk ∈ {0, 1}. Il trasmettitore ha due possibili segnali
trasmessi, g0 (t) e g1 (t). Per esempio possiamo scegliere g0 (t) = rect(t/Ts ) e g1 (t) = −rect(t/Ts ).
In figura 3.2 e’ riportato il segnale s(t) che si ottiene per questo trasmettitore supponendo che
venga trasmessa una sequenza sk di 6 simboli, di valore s0 = 0, s1 = 1, s2 = 1, s3 = 0, s4 = 1, s5 =
0, cosicche’ nella sommatoria compaiono solo 6 termini. Come si vede il segnale risultante e’ un’
onda quadra.
Ricevitore ottimo. Come abbiamo detto l’ obbiettivo del ricevitore e’ quello di compiere
meno errori possibili nella stima della sequenza trasmessa. Un ricevitore che riesca a garantire
questo obbiettivo viene detto un ricevitore ottimo e naturalmente siamo interessati a studiare
la sua struttura. D’ altra parte se il trasmettitore e’ un trasmettitore di sequenza del tipo
3.2. SISTEMI A SEGNALI ORTOGONALI NEL TEMPO
51
Figura 3.2: Onda quadra.
descritto dalla (3.1) la derivazione del ricevitore ottimo, anche se possibile, risulta complicata
e viene rinviata al capitolo 6. Il ricevitore ottimo non e’ solo difficile da ricavare, e’ anche
difficile da realizzare in pratica visto che richiede l’ implementazione di algoritmi che, in certi
casi, hanno una complessita’ computazionale troppo elevata per essere effettivamente realizzati.
Fortunatamente e’ possibile imporre delle condizioni ulteriori sull’ insieme dei possibili segnali
trasmessi che semplificano grandemente sia la derivazione che l’ implementazione del ricevitore.
Queste condizioni, e la struttura del ricevitore ottimo risultante, sono descritte nella sezione
successiva. Data la semplificazione che consentono di ottenere nella realizzazione pratica del
ricevitore, molti dei sistemi reali (ma non tutti) impongono effettivamente queste condizioni.
3.2
Sistemi a segnali ortogonali nel tempo
Consideriamo un trasmettitore di sequenza e supponiamo che i possibili segnali trasmessi gm (t)
verifichino le seguenti condizioni dette condizioni di ortogonalita’ nel tempo:
Z
gi (t − kTs )gj (t − hTs )dt = 0 per h 6= k e per i, j = 0...M − 1
(3.2)
A parole la condizione (3.2) richiede che, presi due qualsiasi segnali gi (t) e gj (t) fra gli M possibili
segnali trasmessi, sia nullo l’ integrale del prodotto di due copie traslate di questi segnali: le copie
sono traslate di hTs e kTs secondi rispettivamente. Notiamo che non e’ difficile trovare insiemi
di segnali che verifichino le condizioni di ortogonalita’ nel tempo. Per esempio consideriamo un
insieme di forme d’onda gm (t) che verifichino le seguenti condizioni:
gm (t) = 0 per |t| > Ts /2
(3.3)
A parole le condizioni precedenti richiedono che le forme d’onda gm (t) siano di durata limitata
e compresa fra −Ts /2 e Ts /2. E’ facile verificare che queste forme d’onda risultano ortogonali
nel tempo. Quando una forma d’onda verifica le (3.3) si dira’ che la forma d’onda e’ a durata
limitata. Le forme d’onda a durata limitata sono un primo ed il piu’ semplice esempio di segnali
che verificano le condizioni di ortogonalita’ nel tempo. Nel seguito vedremo altri esempi.
52
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
Ricevitore ML. Per sistemi in cui i possibili segnali trasmessi verificano le condizioni (3.2) e’
possibile realizzare un ricevitore ML che opera simbolo per simbolo. Abbiamo infatti il seguente
teorema:
Teorema 2 Per un trasmettitore di sequenza su canale Gaussiano che impieghi un insieme segnali trasmessi gm (t) che verificano la condizione (3.2), il ricevitore ML puo’ realizzarsi calcolando
le seguenti quantita’:
Ri,k
.
=
Z
r(t)gi (t − kTs )dt
.
Ei =
Z
i = 0...M − 1 ∀k
gi (t)2 dt
(3.4)
(3.5)
Cio’ posto, il ricevitore ML stima la sequenza trasmessa come
ŝk = argmaxi {Ri,k − Ei /2}
(3.6)
Dim:
Sulla base della (3.1), il trasmettitore di sequenza puo’ essere visto come una serie di trasmettitori di simbolo del tipo visto in sezione 2 le cui uscite vengono sommate prima di essere inviate
sul canale. In particolare sk viene trasmesso da un trasmettitore di simbolo che impiega l’ insieme di M forme d’onda gm (t − kTs ). Concentriamoci su questo simbolo ed assumiamo che sia
l’ unico simbolo trasmesso. Il segnale trasmesso sarebbe s′ (t) = gsk (t − kTs ) (abbiamo aggiunto un apice al segnale trasmesso per distinguerlo dal segnale di eq. (3.1)). Il segnale ricevuto
sarebbe r ′ (t) = s′ (t) + n(t) dove n(t) e’ il rumore aggiunto dal canale. Il ricevitore potrebbe
essere realizzato in uno qualsiasi dei modi visti in sezione 2. Usando, per esempio, un ricevitore
a correlazione la decisone sul valore del simbolo sk potrebbe essere presa in modo ottimo sulla
base della correlazione fra il segnale ricevuto e i possibili segnali trasmessi (2.16) e sulla base
delle energie dei possibili segnali trasmessi (2.17). Le energie non dipendono dal segnale ricevuto
e quindi possono essere calcolate tramite le (3.5). Invece la correlazione fra il segnale ricevuto,
r ′ (t), ed i possibili segnali trasmessi, gi (t − kTs ), e’ data da:
′
Ri,k
=
=
Z
Z
r ′ (t)gi (t − kTs )dt =
gsk (t − kTs )gi (t − kTs )dt +
Z
n(t)gi (t − kTs )dt per i = 0, ..., M − 1
(3.7)
(3.8)
′ , saremmo in grado di realizzare un
Quindi, se fossimo in grado di calcolare le quantita’ Ri,k
ricevitore ottimo per il simbolo sk , che stimerebbe il simbolo usando la (2.18), cioe’ come ŝk =
′ − E /2}. In generale, per calcolare queste quantita’ dovremmo essere in grado di
argmaxi {Ri,k
i
isolare, nel segnale ricevuto complessivo r(t) = s(t) + n(t), la parte relativa al solo simbolo sk ,
′
cioe’ r ′ (t). D’ altra parte, se valgono le condizioni (3.2), per calcolare le Ri,k
e’ possibile usare
direttamente l’ intero segnale ricevuto nella correlazione. Infatti risulta
Ri,k =
=
Z X
h
Z
r(t)gi (t − kTs )dt =
gsh (t − hTs )gi (t − kTs )dt +
Z
n(t)gi (t − kTs )dt =
(3.9)
(3.10)
53
3.2. SISTEMI A SEGNALI ORTOGONALI NEL TEMPO
=
XZ
h
gsh (t − hTs )gi (t − kTs )dt +
Z
n(t)gi (t − kTs )dt
(3.11)
Ora notiamo che se valgono le condizioni (3.2) gli integrali nella equazione precedente al variare
di h sono tutti nulli tranne che per h = k. L’ equazione precedente si riduce quindi a
Ri,k =
Z
gsk (t − kTs )gi (t − kTs )dt +
Z
n(t)gi (t − kTs )dt
(3.12)
e confrontando con la (3.8) si ottiene
′
Ri,k = Ri,k
(3.13)
′ e quindi il
Quest’ ultima equazione mostra che le quantita’ (3.4) coincidono con le quantita’ Ri,k
ricevitore ottimo si puo’ realizzare direttamente stimando il simbolo come ŝk = argmaxi {Ri,k −
Ei /2}, Q.E.D.
Per illustrare uno schema realizzativo del ricevitore descritto nel teorema precedente consideriamo le quantita’ Ri,k date dalla (3.4). Introducendo le funzioni hi (t) = gi (−t) possiamo
scrivere
Ri,k =
Z
r(t)gi (t − kTs )dt =
Z
r(t)hi (kTs − t)dt =
Z
r(τ )hi (kTs − τ )dτ
(3.14)
L’ ultimo integrale mostra che Ri,k si ottiene campionando l’ uscita di un filtro con risposta
impulsiva hi (t) al cui ingresso sia applicato r(t). Infatti l’ uscita di questo filtro e’ data dalla
convoluzione fra l’ ingresso e la risposta impulsiva e cioe’ da
y(t) =
Z
r(τ )hi (t − τ )dτ
(3.15)
e confrontando con la (3.14) si vede che
Ri,k = y(kTs )
(3.16)
Quindi il ricevitore puo’ realizzarsi come mostrato in figura 3.3. Il front-end del ricevitore e’
costituito da un banco di filtri adattati ai possibili segnali trasmessi con risposta impulsiva
hi (t). Le uscite di questi filtri vengono campionate negli istanti kTs per produrre le Ri,k . Le
quantita’ Ei date dalle (3.5) non dipendono dal segnale ricevuto e possono essere precalcolate al
ricevitore. Il decisore implementa la (3.6). Questo ricevitore verra’ detto ricevitore di sequenza a
filtro adattato. Si noti che, come desiderato, il ricevitore opera simbolo per simbolo ed e’ quindi
di semplice realizzazione.
Osserviamo che il ricevitore di sequenza a filtro adattato che abbiamo appena descritto e’
molto simile al corrispondente ricevitore di simbolo a filtro adattato. In effetti confrontando lo
schema con la figura 2.6 si nota che i due ricevitori compiono le stesse operazioni. Quello di
simbolo su un unico simbolo. Quello di sequenza su tutti i simboli della sequenza. Ripetendo
i ragionamenti gia’ fatti per il ricevitore di simbolo e’ naturalmente possibile porre il ricevitore
in tutte le forme equivalenti che abbiamo gia’ visto. Non le vedremo tutte, ci limitiamo a
considerare il ricevitore a distanza minima.
Ricevitore di sequenza a distanza minima. Sia assegnato un trasmettitore di sequenza
con un insieme di M possibili segnali trasmessi indicati con gm (t) ortogonali nel tempo, ovvero
54
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
Figura 3.3: Ricevitore per sequenze a filtro adattato.
che verificano la (3.2). Come e’ noto e’ sempre possibile ricavare una base ortonormale per
i segnali trasmessi. Supponiamo quindi assegnata una base ortonormale di N funzioni fn (t).
Ciascuno dei possibili segnali trasmessi risulta associato ad un punto (vettore) dello spazio dei
segnali generato dalla base. In particolare indichiamo il punto associato all’ m-esimo possibile
segnale trasmesso con il vettore ḡm = [gm,0 , gm,1 , ..., gm,N −1 ]. Ricordiamo che l’insieme di questi
punti e’ detto costellazione. Cio’ posto, ripetendo i ragionamenti gia’ fatti per un ricevitore
di simbolo, e’ facile verificare che il ricevitore ML per sequenze puo’ essere posto nella forma
mostrata in figura 3.4. Il ricevitore e’ composto da un banco di filtri adattati alle funzioni della
base, ovvero con risposte impulsive pari a hn (t) = fn (−t). Le uscite di questi filtri vengono
campionate negli istanti kTs . I campioni cosi’ ricavati, indicati con rn,k , vengono forniti al
decisore per la decisone. Il decisore e’ un decisore a distanza minima. Quindi questo decisore
sceglie la stima per il k-esimo simbolo trasmesso impiegando la seguente regola:
N
−1
X
ŝk = argmini {
n=0
[rn,k − gi,n ]2 }
(3.17)
A parole, il ricevitore calcola il quadrato della distanza fra la proiezione del segnale ricevuto
al k-esimo istante di campionamento (il vettore r̄k = [r0,k , r1,k , ..., rN −1,k ]) e tutti i punti della
costellazione. E decide che era stato trasmesso il simbolo associato al punto di costellazione che
risulta piu’ vicino alla proiezione del segnale ricevuto.
3.3
Sistemi PAM e ortogonali
Fino ad ora non e’ stato necessario specificare i segnali gi (t) che compongono l’ insieme dei
segnali trasmessi. Infatti la struttura del ricevitore ottimo e’ stata ricavata in forma parametrica
rispetto a questi segnali. D’ altra parte per realizzare in pratica un trasmettitore di simbolo
e’ necessario specificare questi segnali. In questa sezione cominciamo ad occuparci di questo
argomento, che sara’ poi approfondito anche nelle sezioni successive. Come per i trasmettitori
di simbolo, per i trasmettitori di sequenza le due modulazioni piu’ importanti sono quella PAM
e quella ortogonale.
55
3.3. SISTEMI PAM E ORTOGONALI
Figura 3.4: Ricevitore a distanza minima per sequenze.
Modulazione ortogonale. Consideriamo un trasmettitore di sequenza. Si dira’ che questo
trasmettitore impiega una modulazione ortogonale (OM) quando i possibili segnali trasmessi
gm (t) sono fra loro ortogonali, ovvero verificano la seguente condizione
Z
gh (t)gk (t)dt = 0 per h 6= k
(3.18)
Per esempio e’ possibile usare un insieme di segnali analogo a quello gia’ visto per il trasmettitore
di simbolo OM. In particolare, supponendo che il trasmettitore operi con una durata di simbolo
pari a Ts = 1/Fs e definito τ = Ts /M e’ possibile considerare il seguente insieme di segnali
trasmessi:
t − τ /2 − mτ
gm (t) = rect(
) per m = 0..M − 1
(3.19)
τ
Come e’ facile verificare questi segnali sono fra loro ortogonali. Sono inoltre a durata limitata e
quindi ortogonali nel tempo.
La struttura di un ricevitore a distanza minima per un sistema OM e’ quella riportata in
figura 3.4. Visto che i segnali trasmessi sono ortogonali fra loro, la base ortonormale e’ data
dagli stessi segnali normalizzati in modo da renderli a energia unitaria. Sono quindi necessari
M filtri adattati per realizzare il ricevitore.
Modulazione PAM. Consideriamo un trasmettitore di sequenza. Si dira’ che questo
trasmettitore impiega una modulazione PAM quando i possibili segnali trasmessi gm (t) sono
dati da
gm (t) = am g(t)
m = 0, ..., M − 1
(3.20)
dove g(t) e’ un qualsiasi segnale di energia e l’ insieme {a0 , a1 , ..., aM −1 } e’ un insieme di numeri
reali detto costellazione PAM.
Per sistemi PAM si hanno diverse semplificazioni rispetto al caso generale. Prima di tutto,
assumendo per il simbolo sk un alfabeto coincidente con la costellazione PAM e tenendo conto
della (3.20), il segnale trasmesso dato dalla (3.1) puo’ essere scritto nella seguente maniera
s(t) =
X
k
sk g(t − kTs )
(3.21)
56
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
Figura 3.5: Sistema di trasmissione PAM
Si noti che questo segnale e’ un onda PAM del tipo descritto in sezione 1.7. E’ quindi prodotto da
un filtro sagomatore al cui ingresso viene fornita la sequenza dei simboli da trasmettere. Inoltre
la struttura di un ricevitore a distanza minima per un sistema PAM si semplifica notevolmente.
In particolare la base ortonormale e’ costituita dal solo impulso g(t) che, senza perdita’ di
generalita’, puo’ essere assunto ad energia unitaria. Un sistema di trasmissione PAM ha dunque
la struttura mostrata in figura 3.5. Nella figura il segnale trasmesso e’ prodotto facendo transitare
la sequenza dei simboli in un filtro sagomatore. Il ricevitore e’ costituito da un filtro adattato
a g(t), con risposta impulsiva g(−t), seguito da un campionatore e da un decisore a distanza
minima. Le variabili decisione, indicate con rk , vengono confrontate dal decisore con i punti
della costellazione. In particolare il decisore stima il simbolo trasmesso come
ŝk = argminai {[rk − ai ]2 }
(3.22)
I sistemi PAM sono piu’ semplici dei sistemi ortogonali e sono molto usati in pratica. Per
questi motivi nel seguito ci concentreremo principlamente su questi sistemi.
Sistema PAM binario con impulso rettangolare. Descriviamo un sistema PAM particolarmente semplice da realizzare ed importante. Questo sistema impiega un impulso rettangop
lare g(t) = 1/Ts rect(t/Ts ) come filtro sagomatore ed utiliza per il simbolo un alfabeto binario
ovvero risulta sk ∈ {−1, 1}. Quindi K = 1 e M = 2 per questo sistema. Si noti che i possibili
segnali trasmessi sono a durata limitata e quindi ortogonali nel tempo ed il ricevitore e’ quindi
quello descritto in fig. 3.5. Il segnale trasmesso s(t) che si ottiene e’ un’ onda quadra, come
mostrato in fig. 3.6, ed e’ semplice da realizzare per Ts non troppo piccolo, cioe’ per fs non
troppo elevate. Il filtro adattato ha risposta impulsiva h(t) = g(−t) = g(t), visto che l’ impulso
e’ simmetrico rispetto all’ origine. Quindi il valore rk e’ dato da
rk =
Z
1
r(τ )g(τ − kTs )dτ = √
Ts
Z
kTs +Ts /2
r(τ )dτ
(3.23)
kTs −Ts /2
L’ ultima equazione mostra che rk e’ pari all’ integrale del segnale ricevuto esteso all’ intervallo di
tempo [kTs − Ts /2, kTs + Ts /2]. Questo intervallo di tempo e’ infatti quello relativo alla trasmissione del k-esimo simbolo. Questa forma di ricevitore e’ quindi molto semplice da realizzare in
57
3.4. CONDIZIONI DI NYQUIST ED ISI
pratica, ed e’ mostrata in fig. 3.7. Il ricevitore e’ costituito da un blocco (circuito) detto ’integrate and dump’, che integra il segnale ricevuto nell’ intervallo [kTs − Ts /2, kTs + Ts /2], fornisce
in uscita il valore dell’ integrale ed azzera (dump) l’ integratore per ripetere il procedimento per
il simbolo successivo. Anche il decisore e’ estremamente semplice: visto che deve scegliere fra
−1 e +1 basta che controlli il segno dell’ uscita dell’ integratore. Se questa e’ positiva scegliera’
+1, al contrario se e’ negativa scegliera’ −1.
Figura 3.6: Segnale trasmesso in un sistema PAM con impulso rettangolare
Figura 3.7: Sistema PAM con impulso rettangolare
3.4
Condizioni di Nyquist ed ISI
Consideriamo il sistema PAM di figura 3.5 e cerchiamo di capirne piu’ a fondo il funzionamento.
Ricordiamo che il segnale trasmesso e’ dato da
s(t) =
X
k
sk g(t − kTs )
(3.24)
58
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
dove il simbolo sk appartiene ad una costellazione (alfabeto) di M valori reali {a0 , ..., aM −1 }.
Inoltre l’ impulso g(t) verifica le condizioni di ortogonalita’ nel tempo ovvero risulta:
Z
g(t − kTs )g(t − hTs )dt = 0 per h 6= k
(3.25)
Come passo preliminare e’ utile studiare una conseguenza della condizione (3.25). Consideriamo la funzione di autocorrelazione dell’ impulso g(t), data da:
Rg (t) =
Z
g(τ )g(τ + t)dτ
(3.26)
Confrontando questo integrale con quello di equazione (3.25) si nota che la condizione di ortogonalita’ nel tempo per l’ impulso g(t) e’ equivalente alla seguente condizione sulla autocorrelazione
dell’ impulso Rg (t):
(3.27)
Rg ((k − h)Ts ) = 0 per k 6= h
Ricordando che g(t) e’ assunto a energia unitaria possiamo quindi scrivere in forma compatta
Rg (kTs ) = δk
(3.28)
dove δk e’ l’ impulso discreto. Ora notiamo che data una qualsiasi forma d’onda x(t) si dice che
questa verifica le condizioni di Nyquist nel tempo se risulta
x(kTs ) = δk
(3.29)
e quindi la (3.28) mostra che nei sistemi PAM a segnali ortogonali nel tempo l’ autocorrelazione
dell’ impulso di trasmissione verifica le condizioni di Nyquist. Come vedremo questa circostanza
gioca un ruolo essenziale nel funzionamento del sistema.
Per capire l’ importanza delle condizioni di Nyquist analizziamo piu’ a fondo il funzionamento
del sistema. Per semplificare supponiamo assente il rumore, cosicche’ r(t) = s(t) e studiamo la
forma d’onda che si ottiene all’ uscita del filtro adattato, m(t). Questa e’ data dalla convoluzione
fra r(t) e h(t) = g(−t). Abbiamo quindi
m(t) =
Z
r(τ )h(t − τ )dτ
(3.30)
e sostituendo r(t) con s(t)
m(t) =
X
k
sk
Z
g(τ − kTs )h(t − τ )dτ =
=
X
k
sk
Z
X
k
sk
Z
g(τ − kTs )g(τ − t)dτ =
g(τ + t − kTs )g(τ )dτ
(3.31)
(3.32)
Confrontando l’ ultima equazione con la (3.26) si nota che l’ integrale in eq. (3.32) e’ pari all’
autocorrelazione dell’ impulso g(t) valutata negli istanti t − kTs . Possiamo quindi scrivere m(t)
come:
X
m(t) =
sk Rg (t − kTs )
(3.33)
k
59
3.4. CONDIZIONI DI NYQUIST ED ISI
il che mostra che m(t) e’ un’onda PAM con impulso Rg (t). Ora consideriamo le variabili di
decisone rn = m(nTs ). Dall’ equazione precedente abbiamo:
rn = m(nTs ) =
X
k
sk Rg (nTs − kTs ) = sn Rg (0) +
X
k6=n
sk Rg ((n − k)Ts )
(3.34)
L’ ultima equazione mostra che rn dipende in generale da tutti i simboli trasmessi sk e non dal
solo sn . D’ altra parte se Rg (t) verifica le condizioni di Nyquist (3.28) ovvero se g(t) risulta
ortogonale nel tempo questa dipendenza viene eliminata. Infatti l’ equazione si riduce a:
rn = sn
(3.35)
che dimostra che all’ uscita del campionatore e’ presente esattamente il simbolo trasmesso.
Lo stesso risultato si ricava in maniera piu’ immediata ed intuitiva pensando a come si forma il
segnale m(t). Questo segnale e’ ottenuto sommando un contributo sk Rg (t−kTs ) per ogni simbolo
trasmesso, come indicato dalla (3.33). In fig. (3.8) e’ graficata la forma d’onda m(t) ed i segnali
componenti, nell’ ipotesi che i simboli trasmessi siano solo i seguenti s−1 = −1, s0 = 1, s1 = −1,.
Visto che Rg (t) si annulla nei multipli di Ts ed e’ pari a 1 in 0, si vede immediatamente che il
simbolo sk determina il valore di m(t) nell’ istante kTs , cioe’ che m(kTs ) = sk , e non influenza
m(t) negli altri istanti multipli di Ts .
Figura 3.8: m(t)
Rumore termico e ISI. Abbiamo appena visto che se l’ impulso usato nel sistema e’
ortogonale nel tempo e quindi la sua autocorrelazione verifica le condizioni di Nyquist risulta
rn = sn e quindi e’ chiaro che il decisore e’ in grado di stimare il simbolo correttamente.
Naturalmente nel sistema completo e’ presente anche il rumore. In particolare il rumore all’
ingresso del campionatore e’ costituito dal rumore filtrato dal filtro di ricezione, che possiamo
indicare con n′ (t) = n(t) ∗ h(t). Questo segnale si somma al segnale utile e viene campionato.
Indicando con nk = n′ (kTs ) il generico campione, all’ uscita del campionatore risultera’:
rk = sk + nk
(3.36)
Notiamo che nk e’ una variabile aleatoria a distribuzione Gaussiana. Come tale puo’ assumere
qualsiasi valore, da −∞ a +∞ e quindi e’ sempre possibile che il decisore sbagli la stima per via
di un picco di rumore.
60
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
Oltre al rumore, nei sistemi reali esiste un secondo peggioramento, che si presenta quando il
campionamento non e’ effettuato esattamente negli istanti kTs . Per approfondire supponiamo
che il campionatore, invece di campionare il segnale negli istanti kTs campioni il segnale negli
istanti kTs +θ. Il segnale m(t) e’ sempre dato dalla (3.33) ma ora il campione e’ rn = m(nTs +θ).
Quindi dalla (3.33) si ottiene:
rn = m(nTs + θ) =
X
k
sk Rg (nTs − kTs + θ) = sn Rg (θ) +
X
k6=n
sk Rg ((n − k)Ts + θ)
(3.37)
L’ ultima equazione mostra che rn dipende in generale da tutti i simboli trasmessi sk e non
dal solo sn . Inoltre la dipendenza permane anche se la funzione di autocorrelazione verifica le
condizioni di Nyquist visto che la funzione non e’ piu’ valutata negli istanti kTs . Nell’ espressione
precedente il termine sn Rg (θ) e’ la parte utile della variabile di decisione, ovvero quella che porta
effettivamente informazione su sn . Al contrario il termine
ISI =
X
k6=n
sk Rg ((n − k)Ts + θ)
(3.38)
che si somma alla parte utile e’ un termine che disturba la decisione e puo’ indurre un errore
di decisione anche in assenza di rumore. Questo disturbo, visto che dipende dagli altri simboli
della sequenza, viene detto Interfernza Intersimbolica (ISI, Inter Symbol Interference). L’ ISI
sull’ n-esimo simbolo e’ costituita dalla somma di tutti gli altri simboli trasmessi moltiplicati
per dei coefficienti dati da Rg (kTs + θ). Naturalmente anche se la sommatoria ha limiti infiniti,
in pratica i coefficienti tendono rapidamente a zero al crescere di k, e la sommatoria comprende
un numero finito di termini. L’ ISI e’ presente in tutti i sistemi reali. Infatti nei sistemi reali
e’ sempre presente un errore sull’ istante di campionamento. D’ altra parte in un sistema ben
realizzato questo errore e’ piccolo, cioe’ θ ≈ 0. In questo caso risulta Rg (kTs + θ) ≈ 0 per k 6= 0
e l’ ISI e’ trascurabile.
3.5
Sistemi a radice di coseno rialzato
Continuiamo a considerare sistemi di trasmissione con segnali ortogonali nel tempo, ovvero il cui
insieme di segnali trasmessi verifica la (3.2). Come abbiamo notato M forme d’ onda di durata
limitata, ovvero che verificano le (3.3), risultano anche ortogonali nel tempo. Le forme d’onda
a durata limitata sono una maniera semplice di realizzare forme d’ onda ortogonali nel tempo
ma presentano uno svantaggio intrinseco. Per comprendere quale sia consideriamo il segnale
prodotto da un trasmettitore di sequenza PAM, dato dalla (3.21). Questo segnale e’ un’onda
PAM il cui spettro verra’ calcolato nel capitolo successivo. Supponendo che la sequenza sk sia
a simboli indipendenti lo spettro e’ dato da:
Ps (f ) =
P[s]
|G(f )|2
Ts
(3.39)
dove G(f ) e’ la FT della risposta del filtro sagomatore e P[s] = E{s2k } e’ la potenza della sequenza
sk . Osservando l’ ultima formula si nota che la banda del sistema e’ determinata dalla FT della
risposta del filtro sagomatore. Come e’ noto segnali di durata limitata nel tempo hanno FT che
sono diverse da zero su tutto l’ asse delle frequenze. Quindi teoricamente hanno banda infinita.
3.5. SISTEMI A RADICE DI COSENO RIALZATO
61
Naturalmente, in pratica, la FT tende a zero e la banda puo’ essere considerata limitata. Ma
e’ comunque vero che le forme d’onda limitate nel tempo richiedono bande elevate e che questo
e’ uno svantaggio, visto che la banda e’ una delle risorse utilizzate dal sistema di trasmissione e
come tale il suo uso deve essere oculato. In questa sezione vedremo che esistono altre soluzioni
che non presentano questo svantaggio. Ci concentreremo sul caso PAM ma i risultati possono
essere facilmente estesi al caso OM.
Impulsi di Nyquist. Siamo interessati a cercare impulsi che verifichino le condizioni di
ortogonalita’ (3.2) minimizzando al contempo l’ occupazione di banda. A questo fine conviene,
come passo preliminare, introdurre una diversa forma per le condizioni di Nyquist. Consideriamo
una funzione h(t) che verifichi le condizioni di Nyquist e quindi tale che:
h(kTs ) = δk
(3.40)
E’ possibile esprimere le condizioni di Nyquist non direttamente sulla forma d’onda h(t), ma sulla
sua trasformata di Fourier H(f ). Le condizioni di Nyquist in frequenza si ottengono notando
che le (3.40) sono equivalenti alla seguente condizione:
h(t)
X
k
δ(t − kTs ) = δ(t)
(3.41)
Calcoliamo la trasformata di Fourier della espressione precedente. Ricordando che la trasformata
P
P
del treno di impulsi k δ(t−kTs ) e’ pari a (1/Ts ) k δ(f −k/Ts ), che la trasformata dell’ impulso
δ(t) e’ pari a 1, e che la trasformata di un prodotto si ottiene dalla convoluzione delle trasformate
otteniamo:
1 X
H(f ) ∗ [
δ(f − k/Ts )] = 1
(3.42)
Ts k
da cui, calcolando la convoluzione e moltiplicando per Ts si ricava
X
H(f − k/Ts ) = Ts
(3.43)
che costituisce la forma delle condizioni di Nyquist in frequenza. Le condizioni sono illustrate
in fig. 3.9. In pratica richiedono che centrando una copia di H(f ) in ogni frequenza multipla
di fs = 1/Ts e sommando, si ottenga un valore costante. In figura sono mostrate due H(f ) che
verificano le condizioni di Nyquist, una di forma rettangolare ed una di forma triangolare. In
figura e’ anche mostrata una H(f ) rettangolare che non verifica le condizioni di Nyquist.
Torniamo ora al problema di ricercare impulsi g(t) che risultino ortogonali nel tempo ed
abbiano una occupazione di banda contenuta. Per cercare questi impulsi ricordiamo che le
condizioni di ortogonalita’ nel tempo (3.2) sono equivalenti a richiedere che l’ autocorrelazione
dell’ impulso Rg (t) verifichi le condizioni di Nyquist nel tempo (3.27). A sua volta la FT della
funzione di autocorrelazione, e cioe’ lo spettro di densita di energia dell’ impulso, dato da
Eg (f ) = F T {Rg (t)} = |G(f )|2
(3.44)
dovra’ verficare le condizioni di Nyquist in frequenza. Allora, assegnata una qualsiasi H(f ) che
verifichi la (3.43), reale e pari1 , da questa e’ possibile identificare una infinita’ di impulsi ortogonali nel tempo. In particolare qualsiasi impulso tale che |G(f )|2 = H(f ) risultera’ ortogonale
1
Le condizioni di Nyquist non richiedono che H(f ) sia reale e pari. E’ necessario pero’ imporre questa restrizione
perche’ lo spettro di densita’ di energia di un impuso reale e’ una funzione reale e pari.
62
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
Figura 3.9: Condizioni di Nyquist
nel tempo. Quest’ ultima condizione vincola solo il modulo della FT dell’ impulso. La fase
puo’ essere scelta a piacere e conviene prenderla a zero2 . Ovvero conviene calcolare la FT dell’
p
impulso come G(f ) = H(f ). Il corrispondente impulso nel tempo si ottiene antitrasformando.
Questa maniera di costruire gli impulsi e’ comoda, perche’ permette di tenere sotto controllo la
banda del segnale. Infatti la banda del segnale coincide con la banda di H(f ) = |G(f )|2 , e quindi per limitarla e’ necessario considerare H(f ) che abbiano una occupazione di banda limitata.
A questo proposito notiamo che esiste una banda minima per H(f ) al di sotto della quale le
condizioni di Nyquist non possono essere piu’ verificate. Infatti se la banda di H(f ) e’ minore di
fs /2 e’ chiaramente impossibile che H(f ) verifichi la (3.43): ci sarebbero sempre delle porzioni di
spettro dove la sommatoria della (3.43) vale zero. Quindi la banda minima del segnale trasmesso
necessaria per realizzare una trasmissione che verifichi la (3.2) e quindi non sia affetta da ISI
e’ proprio fs /2. Questa banda e’ detta banda di Nyquist. L’ unica H(f ) di banda fs /2 che
verifica la (3.43) e’ una H(f ) di forma rettangolare data da H(f ) = Ts rect(f /fs ). In questo
p
√
√
caso otteniamo G(f ) = H(f ) = Ts rect(f /fs ), e, antitrasformando, g(t) = fs sinc(t/Ts ).
Impulsi a radice di coseno rialzato. Consideriamo ora una famiglia di impulsi di Nyquist
molto usata in pratica, detta a coseno rialzato. Alcune delle H(f ) della famiglia dei coseni
rialzati sono mostrate in fig. 3.10. L’ espressione analitica di questi impulsi puo’ trovarsi su
qualsiasi testo di comunicazioni3 . Questa famiglia e’ caratterizzata da un parametro ρ detto rolloff. Le funzioni sono costituite da una parte costante, che si estende da − f2s (1 − ρ) a f2s (1 − ρ) ed
e’ centrata sull’ origine delle frequenze, e da due raccordi che fanno discendere la funzione verso
lo zero in modo graduale. La parte discendente e’ costituita da meta’ periodo di un coseno,
rialzato, centrato sulla frequenza fs /2 e scalato in modo da avere una durata pari a ρfs /2. Le
funzioni raggiungono lo zero alla frequenza (1 + ρ)fs /2 e il parametro ρ varia fra 0 e 1. La banda
di questi impusli e’ dunque data dalla seguente equazione
B=
2
fs
(1 + ρ)
2
(3.45)
Questa scelta fa’ si’ che i filtri di trasmissione e ricezione risultino non-causali. In pratica sara’ necessario
ritardare, e cioe’ considerare una fase lineare, le risposte di questi filtri in modo da renderli causali.
3
Per esempio [3].
3.5. SISTEMI A RADICE DI COSENO RIALZATO
63
Per ρ = 0 si ottiene la H(f ) con banda minima, pari a fs /2, di forma rettangolare. Per ρ = 1
si ottiene la H(f ) con banda massima, pari a fs .
Figura 3.10: Impulsi a coseno rialzato in frequenza.
Nel tempo gli impulsi a coseno rialzato hanno l’ andamento mostrato in fig. 3.11. Come
si vede tutti gli impulsi si annullano negli istanti multipli di kTs . Inoltre notiamo che, all’
aumentare del roll-off, gli impulsi tendono a zero sempre piu’ velocemente. Questa osservazione
conferma che banda e durata sono inversamente proporzionali.
Figura 3.11: Impulsi a coseno rialzato nel tempo.
Per qualsiasi valore del roll-off, a partire dalla H(f ) e’ possibile ottenere un impulso g(t) da
p
usarsi nel trasmettitore del sistema PAM. Come abbiamo visto basta scegliere G(f ) = H(f )
e calcolare l’ antitrasformata. Gli impulsi g(t) che si ottengono in questa maniera sono detti
impulsi a radice di coseno rialzato. L’ espressione analitica di questi impulsi nel tempo puo’
trovarsi su qualsiasi testo di comunicazioni4 .
Il valore del roll-off determina la banda dell’ impulso e quindi del segnale trasmesso. Gli
impulsi con roll-off pari a 0 occupano la banda minima, pari a fs /2. Pero’ lo spettro presenta un
brusco salto che rende difficile la loro realizzazione anche approssimata e fa’ si’ che, nel tempo, l’
4
Per esempio [3].
64
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
impulso scenda a 0 lentamente. Aumentando il roll-off aumenta la banda impiegata ma diviene
piu’ graduale la discesa verso lo zero in frequenza, con il risultato di avere un discesa piu’ rapida
dell’ impulso nel tempo. Una discesa piu’ rapida nel tempo e’ una caratteristica desiderabile.
Per comprendere perche’ consideriamo ancora l’ equazione (3.38) che fornisce l’ ISI in presenza
di un errore sull’ istante di campionamento e notiamo che se |G(f )|2 = H(f ) allora Rg (t) = h(t).
La (3.38) si puo’ quindi scrivere cosi’
ISI =
X
k6=n
sk h((n − k)Ts + θ).
(3.46)
Nell’ equazione precedente il numero di termini che occorre considerare in pratica nella sommatoria dipende dalla velocita’ con cui h(t) tende a zero e dall’ entita’ dell’ errore sull’ istante
di campionamento θ. A parita’ di errore sull’ istante di campionamento una h(t) che tenda
rapidamente a zero e’ preferibile ad una che ci tenda lentamente perche’ i coefficienti dell’ ISI
vanno piu’ rapidamente a zero e la sommatoria comprende pochi termini. Quindi impulsi con
roll-off piu’ alto permettono di rilassare i requisiti sulla precisione del sistema di sincronizzazione
ma naturalmente questo vantaggio viene pagato con una maggiore occupazione di banda.
3.6
Sistemi di Nyquist
In questa sezione consideriamo dei sistemi PAM, simili ma piu’ generali dei sistemi ad impulsi
ortogonali nel tempo, detti sistemi di Nyquist. Lo schema e’ mostrato in figura 3.12. Come si
vede nello schema sono presenti un filtro sagomatore (o di trasmissione) con risposta impulsiva
gt (t) ed un filtro di ricezione con risposta gr (t). Il decisore e’ un decisore a distanza minima. Il
segnale trasmesso e’ dato da:
X
s(t) =
sk gt (t − kTs ).
(3.47)
k
Perche’ il sistema possa dirsi di Nyquist e’ necessario che la convoluzione fra la risposta dei filtri
.
di trasmissione e ricezione, indicata con h(t) = gt (t) ∗ gr (t) sia di Nyquist e cioe’ che risulti
h(kTs ) = δk
(3.48)
Notiamo che i sistemi a impulsi ortogonali nel tempo sono particolari sistemi di Nyquist. Infatti
in questi sistemi risulta gt (t) = g(t) e gr (t) = g(−t) cosi’ che h(t) = Rg (t) ed e’ di Nyquist quando
g(t) e’ ortogonale nel tempo.
E’ facile verificare che i sistemi di Nyquist operano in assenza di ISI. Il ragionamento e’
identico a quello seguito per i sistemi ad impulsi ortogonali. In particolare consideriamo il
segnale m(t) presente all’ ingresso del campionatore
m(t) =
Z
r(τ )gr (t − τ )dτ =
Z
gr (τ )r(t − τ )dτ
Supponendo per il momento assente il rumore termico risulta r(t) = s(t) =
sostituendo nell’ ultimo integrale si ottiene
m(t) =
X
k
sk
Z
gr (τ )gt (t − kTs − τ )dτ
(3.49)
P
k sk gt (t
− kTs ) e
(3.50)
65
3.6. SISTEMI DI NYQUIST
Figura 3.12: Sistema PAM.
L’ integrale nell’ ultima equazione e’ pari alla convoluzione fra gt (t) e gr (t) valutata nell’ istante
t − kTs e quindi
X
m(t) =
sk h(t − kTs )
(3.51)
k
il che mostra che m(t) e’ un’onda PAM con impulso h(t). Per l’ n-esimo campione in ingresso
al decisore rn risulta
rn = m(nTs ) =
X
k
sk h(nTs − kTs ) = sn h(0) +
X
k6=n
sk h((n − k)Ts )
(3.52)
e poiche’ h(t) verifica le condizioni di Nyqist si ottiene
rn = sn
(3.53)
che mostra come rn non dipenda dai simboli rk per k 6= n e dunque l’ ISI sia assente. Per questo
motivo e’ possibile impiegare un decisore simbolo per simbolo a distanza minima.
Notiamo che i sistemi di Nyquist sono una classe piu’ generale di quella dei sistemi con
impulsi ortogonali nel tempo. Infatti abbiamo visto che i sistemi con impulsi ortogonali nel
tempo sono anche di Nyquist. Ma non tutti i sistemi di Nyquist sono anche ortogonali nel
tempo. Un esempio di sistema di Nyquist ma non ortogonale e’ mostrato in fig. 3.13. Nel
diagramma g0 (t) e’ un impulso a coseno rialzato con roll-off maggiore di zero. Il sistema impiega
un filtro di trasmissione gt (t) = g0 (t) e il filtro di ricezione gr (t) e’ un passabasso con banda
passante esattamente pari a quella dell’ impulso g0 (t). Che il sistema sia di Nyquist lo si verifica
facilmente notando che, visto che gr (t) e’ un passabasso ideale, non altera l’ impulso trasmesso
e per la convoluzione fra i due risulta h(t) = gt (t) ∗ gr (t) = gt (t) = g0 (t) che e’ di Nyquist per
ipotesi. D’ altra parte un impulso a coseno rialzato con roll-off diverso da zero non e’ un impulso
ortogonale nel tempo (lo e’ un impulso a radice di coseno rialzato), e quindi il sistema non e’
ortogonale nel tempo.
Visto che i sistemi di Nyquist sono piu’ generali dei sistemi ad impulsi ortogonali nel tempo
ci si potrebbe aspettare che le prestazioni dei sistemi di Nyquist possano superare le prestazioni
dei sistemi ortogonali nel tempo. In realta’ come verificheremo in una sezione successiva, questo
non succede quando la trasmissione avviene su un canale Gaussiano. In questo caso infatti le
66
CAPITOLO 3. TRASMISSIONE DI SEQUENZE
Figura 3.13: Sistema di Nyquist con sagomatura in trasmissione.
prestazioni dei sistemi di Nyquist sono al massimo pari a quelle dei sistemi ad impulsi ortogonali
nel tempo ed in generale sono peggiori. Per esempio, per il sistema mostrato in figura 3.13 la
perdita di prestazioni dipende dal roll-off e puo’ arrivare fino a 1.76 dB rispetto ad un sistema
ad impulsi ortogonali nel tempo che impieghi la stessa banda. Questo e’ dovuto al fatto che il
ricevitore utilizzato nei sistemi di Nyquist non e’ un ricevitore ottimo. Non esiste infatti per
i sistemi di Nyquist un analogo del teorema 2. Il ricevitore e’ solo un ricevitore semplice, che
permette di prendere le decisioni simbolo per simbolo, ma potrebbe essere migliorato rinunciando
a questa semplificazione. Al contrario per i sistemi ad impulsi ortogonali il teorema 2 garantisce
che il ricevitore semplice e’ anche ottimo.
I sistemi di Nyquist sono comunque importanti per due motivi. Per prima cosa possono essere
piu’ semplici dei sistemi ad impulsi ortogonali. Per esempio il sistema di figura 3.13 richiede
un passabasso al ricevitore e non una radice di coseno rialzato come nei sistemi ad impulsi
ortogonali. Inoltre, come vedremo in una sezione successiva, quando il canale di trasmissione
non e’ gaussiano la maggiore liberta’ di scelta che esiste nei sistemi di Nyquist diviene utile.
Capitolo 4
Prestazioni
In questo capitolo studiamo i principali parametri di un sistema di trasmissione e come sono
legati i loro valori. Per prima cosa calcoliamo lo spettro dei segnali trasmessi, perche’ questo
permette di valutare la banda necessaria per la trasmissione. In seguito vedremo come si calcola
la probabilita’ d’errore del sistema e da quali parametri dipende. Ci concentreremo in particolare
su un sistema di tipo PAM, visto che e’ il piu’ semplice da trattare, ma presenteremo i risultati
che si hanno nel caso di un sistema OM per confrontare questi due sistemi. Infine vedremo quali
sono le prestazioni di un sistema di trasmissione ottimo e le confronteremo con quelle dei sistemi
PAM ed OM.
4.1
Parametri di sistema
Consideriamo il sistema di trasmissione su canale gaussiano di fig. 4.1. In questo sistema e’
possibile identificare un certo numero di parametri. Alcuni di questi sono gia’ stati introdotti,
altri verrano visti in questa sezione.
Figura 4.1: Sistema di trasmissione: s+cod+tx+ch+rx+dec
Un primo insieme di parametri e’ relativo alle frequenze con cui vengono prodotti e trasferiti
i bit ed i simboli. La frequenza di bit della sorgente, fb , misura il numero di bit al secondo che
vengono trasferiti dal sistema, ed e’ quindi anche detta velocita’ di trasmissione. Come sappiamo
67
68
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
i bit vengono trasferiti in simboli di K ≥ 1 bit. I simboli sono prodotti a frequenza fs = fb /K e
ogni simbolo puo’ assumere M = 2K valori diversi. L’ inverso delle frequenze di simbolo e di bit
e’ pari alla durata di un simbolo Ts e di un bit Tb rispettivamente. Naturalmente le frequenze
sono misurate in Hz = 1/sec (oppure in bit/sec quella di bit e in simb/sec quella di simbolo) e
le durate in sec.
Un secondo insieme di parametri riguarda il segnale trasmesso s(t). In particolare i due
parametri principali sono la banda B del segnale s(t) e la sua potenza Ps , detta potenza di
trasmissione, entrambi ottenibili dallo spettro di densita’ di potenza del segnale Ps (f ). In
particolare la banda e’ pari alla porzione dell’ asse delle frequenze (solo la parte positiva) per cui
lo spettro e’ (sensibilmente) diverso da 0, mentre la potenza e’ pari all’ integrale dello spettro.
Un terzo insieme di parametri riguarda il segnale ricevuto r(t) = s(t) + n(t). Nel segnale
ricevuto e’ presente una componente utile s(t) ed una componente di disturbo, il rumore n(t).
Il livello del rumore e’ specificato dal suo spettro di densita’ di potenza dato da Pn (f ) = N0 /2.
Il livello della parte utile e’ misurato dalla potenza del segnale utile ricevuto, indicata con Pr :
notiamo che con Pr non indichiamo la potenza del segnale r(t), ma solo della componente utile di
questo segnale, ovvero s(t). Quindi, numericamente, la potenza ricevuta Pr e’ pari alla potenza
trasmessa Ps . Questo e’ vero su un canale Gaussiano che non attenua il segnale, ma si limita ad
aggiungere rumore. Nei canali reali, invece, sara’ presente una attenuazione che riduce la potenza
in uscita e rende Pr diverso da Ps . Per questo motivo conviene considerare separatamente queste
due potenze.
Un altro insieme di parametri riguarda la qualita’ del trasferimento delle sequenze trasmesse.
In particolare la probabilita’ d’errore sul simbolo, data da Pe = pr{sk 6= ŝk }, misura il numero
medio di errori compiuti nella ricostruzione della sequenza dei simboli. In modo analogo e’
possibile considerare la probabilita’ d’ errore sul bit, data da Pb = pr{xn 6= x̂n }, che misura il
numero medio di bit sbagliati. Come vedremo queste due probabilita’ sono legate l’ una all’
altra.
I parametri che abbiamo visto finora non sono indipendenti l’ uno dall’ altro, ma sono legati
da relazioni che in parte conosciamo e in parte vedremo nel seguito. Inoltre, a partire da questi
parametri e’ possibile definirne altri che risultano comodi per l’analisi o per la presentazione.
Vediamone alcuni.
In primo luogo consideriamo le energie impiegate per la trasmissione di un bit o di un simbolo.
Ricordando che la potenza e’ una misura dell’ energia trasferita nel tempo, moltiplicando la
potenza ricevuta Pr per la durata di un bit si ottiene l’energia ricevuta per bit, data da Eb =
Pr Tb = Pr /fb . Analogamente si puo’ calcolare l’ energia ricevuta per simbolo come Es = Pr Ts =
Pr /fs . E naturalmente si possono considerare le energie trasmesse, per bit e per simbolo.
Un parametro che e’ spesso usato per confrontare diversi sistemi e’ l’ efficienza spettrale, data
da η = fb /B, che misura quanti bit/sec il sistema trasferisce per ogni Hz di banda impiegato. Si
misura in bit/sec/Hz. L’ efficienza spettrale e’ utile perche’, come vedremo, e’ sempre possibile
aumentare la velocita’ di trasmissione aumentando la banda. Quindi non sarebbe corretto
confrontare le velocita’ di trasmissione di sistemi che impiegano bande diverse. Al contrario e’
possibile confrontare le loro efficienze spettrali.
Un ultimo parametro estremamente importante e’ costituito dal rapporto fra la potenza del
segnale utile e la potenza del rumore. Questo rapporto, detto SNR (signal to noise ratio) puo’
essere valutato in diversi punti del sistema, e su diverse bande di rumore. Non esiste quindi
69
4.2. SPETTRI
un solo SNR, ma ne possono essere definiti molti diversi. L’ importanza dell’ SNR e’ dovuta al
fatto che la probabilita’ d’errore dipende proprio dall’ SNR. Un SNR importante e’ lo SNR al
ricevitore, indicato con SN Rrx . Questo SNR si ottiene considerando, all’ ingresso del ricevitore,
e cioe’ subito prima del filtro di ricezione, la potenza ricevuta Pr e la potenza del rumore in una
banda di fb Hz, indicata con Pn . Questa potenza si ottiene integrando lo spettro del rumore
Pn (f ) = N0 /2 nella banda e quindi
Pn =
Z
fb
−fb
N0
df = N0 fb
2
(4.1)
A questo punto per l’ SNR al ricevitore abbiamo
Pr
Eb
. Pr
SN Rrx =
=
=
Pn
N0 fb
N0
(4.2)
L’ ultima espressione mostra che l’ SN Rrx e’ numericamente pari al rapporto fra l’ energia
ricevuta per bit e il livello del rumore.
4.2
Spettri
In questa sezione studiamo gli spettri e le efficienze spettrali dei sistemi PAM e OM. Consideriamo un segnale di tipo PAM, cioe’ del tipo
s(t) =
X
k
sk g(t − kTs + τ )
(4.3)
dove τ e’ una variabile aleatoria uniformemente distribuita in 0..Ts , che tiene in conto dell’
alatorieta’ dell’ istante di inizio della trasmissione. Quando sk e’ una serie stazionaria s(t) e’ un
processo stazionario e il suo spettro di densita’ di potenza e’ ricavato in appendice ed e’ dato da
Ps (f ) =
1
Ps [f T ]|G(f )|2
Ts
(4.4)
Nell’ equazione precedente, G(f ) e’ la Trasformata di Fourier dell’ impulso g(t), mentre Ps [f ] e’
lo spettro di densita’ di potenza della serie sk . Nel caso, quasi sempre vero in pratica, in cui la
serie sia a simboli indipendenti e a media nulla il suo spettro risulta piatto, pari a Ps [f ] = P[s]
dove P[s] e’ il valore quadratico medio del generico campione della serie: P[s] = E{|sk |2 }. In
questo caso lo spettro del segnale trasmesso si semplifica ed e’ dato da
Ps (f ) =
P[s]
|G(f )|2
Ts
(4.5)
La forma dello spettro dipende dunque dall’ impulso g(t) usato nel filtro di trasmissione. Nel
seguito esaminiamo due casi, quello di impulso rettangolare e quello di impulso a radice di coseno
rialzato.
Quando g(t) e’ una una funzione rettangolare di durata Ts , cioe’ g(t) = rect(t/Ts ), lo spettro
avra’ la forma di un sinc(f /fs )2 riportata in figura 4.2. In questo caso lo spettro si estende su
tutto l’ asse delle frequenze e teoricamente il segnale ha una banda illimitata. In pratica si puo’
sempre trovare una frequenza oltre la quale lo spettro diviene trascurabile e considerare questa
70
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
frequenza la banda del segnale. Per esempio, con un’ approssimazione grossolana, possiamo
definire la banda B di questo sistema come il primo punto in cui lo spettro si annulla, ovvero
B = fs . Quando g(t) e’ una funzione a radice di coseno rialzato, lo spettro avra’ un andamento
a coseno rialzato. Ricordando le proprieta’ degli impulsi a coseno rialzato, risulta che la banda
e’ data da:
fs
B = (1 + ρ)
(4.6)
2
Notiamo che in tutti e due gli esempi precedenti la banda e’ direttamente proporzionale alla
frequenza di simbolo e quindi alla velocita’ di trasmissione fb = Kfs . Questo e’ un risultato
generale per i sistemi PAM e non dipende dalla particolare forma dell’ impulso usato (cfr. la
proprieta’ di scala della trasformata di Fourier, eq. (1.39)).
Figura 4.2: Spettri per segnali PAM a impulso rettangolare e di Nyquist, e per segnali OM con
impulso rettangolare
A partire dalla banda e’ possibile calcolare l’ efficienza spettrale del sistema. Per esempio
considerando il caso di impulso a radice di coseno rialzato, l’ efficienza spettrale si ottiene
immediatamente ricrdando che fs = fb /K = fb /log2 (M ). Abbiamo
fb
2log2 (M )
2K
=
=
,
(4.7)
B
1+ρ
1+ρ
mentre nel caso di un impulso rettangolare:
fb
= log2 (M ) = K.
(4.8)
η=
B
Notiamo che nei sistemi PAM l’efficienza spettrale aumenta aumentando M , il numero di punti
della costellazione. Infatti aumentando M e lasciando invariati gli altri parametri, il sistema
trasmette lo stesso numero di simboli al secondo nella stessa banda, ma ogni simbolo porta
piu’ bit. L’ efficienza spettrale quindi aumenta. Come vedremo nella sezione successiva questo
miglioramento viene pagato con un aumento della probabilita’ d’errore. Questo risultato e’ valido
in generale per tutti i sistemi PAM. Piu’ precisamente in tutti i sistemi PAM, indipendentemente
dalla forma dell’ impulso, l’ efficienza spettrale e’ direttamente proporzionale a log2 (M ) = K.
OM. Consideriamo ora il caso di sistemi OM. Per questi sistemi il segnale puo’ essere scritto
come
X
s(t) =
gsk (t − kTs + τ )
(4.9)
η=
k
71
4.3. PROBABILITA’ D’ERRORE
dove τ e’ una variabile aleatoria uniformemente distribuita in 0..Ts , che tiene in conto dell’
alatorieta’ dell’ istante di inizio della trasmissione. La sequenza sk assume valori nell’ insieme
{0, ..., M − 1} e sono assegnate le M forme d’onda gm (t) che costituiscono l’ insieme dei possibili segnali trasmessi. Lo spettro per questi segnali ha una forma complicata. Si semplifica
quando, come spesso e’ possibile assumere in pratica, la sequenza sk e’ a simboli indipendenti
ed uniformemente distribuiti. In questo caso lo spettro e’ ricavato in appendice ed e’ dato da
Ps (f ) =
−1
M
−1
X
X
1 M
1
|Gm (f )|2 + 2 2 |
Gm (f )|2 (Πfs (f ) − 1).
Ts M m=0
Ts M m=0
(4.10)
in cui Gm (f ) e’ la FT della funzione gm (t). Lo spettro per questi segnali dipende quindi dalla
FT dei possibili segnali trasmessi ed ha una componente discreta costituita dal treno di impulsi
Πfs (f ).
In sezione 2.3 avevamo visto un esempio di gm (t) ortogonali. Le gm (t) erano funzioni rettangolari con durata Ts /M . Queste forme d’onda hanno tutte una FT il cui modulo ha forma
sinc(f /(M fs )), con il primo zero spettrale alla frequenza M fs . Quindi lo spettro del segnale
trasmesso, dato dalla (4.10), avra’ uno zero spettrale a quella frequenza ed una forma del tipo
sinc(f /(M fs ))2 riportata in figura 4.2. Scegliendo il primo zero spettrale come banda del sistema
risulta quindi
B = M fs
(4.11)
Notiamo che la banda e’ direttamente proporzionale sia a M che a fs , ed aumenta aumentando il
numero di punti della costellazione. Anche se abbiamo ottenuto questo risultato per modulazioni
OM con impulsi rettangolari, il risultato e’ vero per tutte le modulazioni OM, indipendentemente
dalla forma degli impulsi.
A partire dalla banda possiamo calcolare l’ efficienza spettrale del sistema OM con impulsi
rettangolari visto prima. Abbiamo
η=
log2 (M )
fb
=
B
M
(4.12)
Come si vede nel caso di OM l’ efficienza spettrale diminuisce all’ aumentare di M . Al contrario
che nel caso PAM. Come vedremo nella prossima sezione questo peggioramento e’ controbilanciato da un miglioramento della probabilita’ d’errore. Questo risultato, pur essendo stato ottenuto
per impulsi rettangolari, ha carattere generale. Piu’ precisamente1 , in qualsiasi sistema OM
l’efficenza spettrale e’ proporzionale a log2 (M )/M e quindi peggiora all’ aumentare di M .
4.3
Probabilita’ d’errore
In questa sezione calcoliamo la probabilita’ d’errore Pe per un sistema PAM. Per sistemi OM,
invece, ci limiteremo ad enunciare il risultato senza calcoli. Inoltre la Pe sara’ calcolata solo per
una particolare costellazione PAM, quella piu’ usata in pratica. Questa costellazione e’ costituita
da M punti equispaziati, separati da una distanza d e centrati sull’ origine, ed e’ mostrata in
fig. 4.3 per M = 8. Indicando con A = d/2 la semidistanza fra i punti, questa costellazione e’
1
Si veda per esempio [5].
72
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
dunque costituita dai valori {a0 , ..., aM −1 } = {−(M − 1)A, ..., −3A − A, A, 3A, ..., (M − 1)A},
cioe’
ai = (M − 1)A + 2Ai i = 0, ..., M − 1
(4.13)
Figura 4.3: Costellazione PAM per M = 8.
Probabilita’ d’errore del decisore. Per il calcolo della Pe conviene procedere in due passi.
Nel primo passo consideriamo un problema generale di teoria della decisione, la cui soluzione
e’ necessaria nel secondo passo. Il problema generale e’ quello del calcolo della probabilita’
d’errore di un decisore a distanza minima in rumore Gaussiano e fa riferimento allo schema di
fig. 4.4. Nella figura un trasmettitore invia un simbolo, indicato con s, che assume valori in una
costellazione PAM, cioe’ s ∈ {a0 , ..., aM −1 }. Il simbolo s e’ una variabile aleatoria che assume
con uguale probabilita’ uno dei valori della costellazione. Il simbolo viene inviato attraverso
un canale discreto, che aggiunge al simbolo un rumore costituito da una variabile aleatoria
Gaussiana n, a media nulla e con varianza σn2 . Il valore ricevuto e’ dunque r = s + n. Il valore
ricevuto viene passato ad un decisore a distanza minima. In particolare il decisore stima il
simbolo trasmesso come ŝ = argminai {|r − ai |2 }. Per questo sistema, quando la costellazione
Figura 4.4: Trasmissione su canale Gaussiano discreto.
usata e’ quella equispaziata data dalle (4.13), la Pe = P r{ŝ 6= s} e’ data nel seguente teorema.
73
4.3. PROBABILITA’ D’ERRORE
Teorema 3 La probabilita’ d’errore di un decisore a distanza minima in rumore Gaussiano e’:
s
M −1
Pe =
erf c(
M
d2
)
8σn2
(4.14)
dove d e’ la distanza da cui sono separati i punti della costellazione, σn2 e’ la varianza del rumore
e dove erf c(x) e’ data da
Z ∞
2
2
erf c(x) = √
e−y dy
(4.15)
π x
Figura 4.5: Calcolo della Pe su canale Gaussiano discreto.
Dim:
Utilizzando il teorema delle probabilita’ totali, la Pe puo’ essere messa in questa forma.
Pe =
M
−1
X
i=0
Pe|s=ai pr{s = ai }
(4.16)
nella quale Pe|s=ai e’ la probabilita’ d’errore condizionata al fatto che il simbolo trasmesso fosse
ai . Per calcolare quest’ ultima probabilita’ assumiamo che il simbolo trasmesso fosse uno dei
simboli centrali, cioe’ che non sia a0 o aM −1 . Il valore ricevuto e’ r = s+n = ai +n, ed e’ formato
da una parte deterministica, ai , ed una aleatoria n. In particolare n e’ una variabile aleatoria
p
2
2
Gaussiana a media nulla, con densita’ di probabilita’ pN (n) = (1/ 2πσn2 )e−n /(2σn ) , e r e’ una
variabile aleatoria Gaussiana con media ai e caratterizzata da una densita’ di probabilita’ che
si ottiene da quella di n centrandola sul valor medio, cioe’ pR (r) = pN (r − ai ). La densita’
di probabilita’ di r e’ mostrata in fig. 4.5. Da questa figura e’ possibile calcolare la Pe|s=ai .
Notiamo che la decisione giusta e’ ŝ = ai , visto che assumiamo che il simbolo trasmesso fosse
proprio ai . Tenendo presente che il decisore sceglie sceglie il punto della costellazione piu’ vicino
al valore ricevuto, si vede che il decisore commette un errore quando il valore di r e’ distante
piu’ di d/2 dal punto ai . La probabilita’ di questo evento coincide con l’integrale della densita’
di probabilita’ di r esteso ai due intervalli −∞, ai − d/2 e ai + d/2, +∞. La probabilita’ di questo
evento coincide dunque con l’ area tratteggiata in figura. In maniera equivalente possiamo dire
che si ha un errore tutte le volte che il rumore e’ superiore a d/2, cioe’ quando |n| > d/2. La
probabilita’ di questo evento e’ data da:
pr{|n| > d/2} =
Z
−d/2
−∞
pN (n)dn +
Z
∞
d/2
pN (n)dn
(4.17)
74
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
ovvero si ottiene integrando le due code della distribuzione Gaussiana del rumore. Visto che le
due code hanno la stessa area otteniamo:
pr{|n| > d/2} = 2
Z
∞
d/2
pN (n)dn = 2
Z
∞
d/2
2
s
− n2
1
2σn
p
e
dn = erf c(
2πσn2
d2
)
8σn 2
(4.18)
La probabilta’ precedente e’ la probabilita’ di errore quando il simbolo trasmesso era uno dei
simboli centrali. Nel caso in cui il simbolo fosse uno dei simboli estremi e’ facile convincersi che
la probabilita’ d’errore si ottiene integrando una singola coda della distribuzione Gaussiana, ed
e’ quindi la meta’. A questo punto siamo in grado di calcolare la Pe sostituendo nella (4.16).
In particolare notiamo che pr{s = ai } = 1/M , visto che i simboli sono equiprobabili, e che nella
sommatoria compaiono M − 2 termini di valore (4.18) (corrispondenti ai simboli centrali) e 2
termini di valore pari alla meta’ di (4.18) (corrispondenti ai due simboli estremi). Sostituendo
e sommando si ottiene:
s
M −1
d2
)
(4.19)
Pe =
erf c(
M
8σn2
Q.E.D.
Il teorema precedente fornisce una prima forma per la Pe di un decisore in rumore Gaussiano
ma naturalmente la Pe si puo’ scrivere in altre forme. Vediamone una seconda. Consideriamo
il valore che entra nel decisore, e cioe’ r = s + n. Questo valore e’ la somma di una parte utile,
s, e di un rumore, n. Possiamo quindi definire l’ SNR al decisore, indicato con SN Rdec , come il
rapporto fra il valore quadratico medio della parte utile sul valore quadratico medio del rumore.
Ovvero come:
E{s2 }
σs2
=
(4.20)
SN Rdec =
E{n2 }
σn2
La probabilita’ d’errore puo’ essere espressa in funzione di questo SNR. Infatti:
Corollario. La probabilita’ d’errore per il sistema descritto precedentemente e’ data da:
s
M −1
Pe =
erf c(
M
3 SN Rdec
)
2 M2 − 1
(4.21)
Dim:
Si noti che, visto che s assume con uguale probabilita’ i valori della costellazione, risulta
−1
1 MX
E{s } =
a2 .
M i=0 i
2
(4.22)
Sostituendo i valori di ai dati dalle (4.13) nell’ espressione precedente con un po’ di calcoli (ed
P
P
(N +1)N
(2N +1)(N +1)N
2
usando le seguenti relazioni: N
e N
) si ottiene
n=1 n =
n=1 n =
2
6
E{s2 } =
e quindi
d2 (M 2 − 1)
12
(4.23)
12E{s2 }
(4.24)
M2 − 1
Sostituendo l’ espressione precedente nella (4.14) e ricordando la (4.20) si ottiene immediatamente la (4.21). Q.E.D.
d2 =
75
4.3. PROBABILITA’ D’ERRORE
Probabilita’ d’errore del sistema PAM. Consideriamo il sistema PAM mostrato in
figura 4.6, in cui il decisore e’ un decisore a distanza minima. La costellzione usata dal sistema
e’ quella data dalle (4.13). Naturalmente assumeremo che l’impulso g(t) sia ortogonale nel tempo
e che il sistema sia perfettamente sincronizzato. Inoltre assumiamo che l’ impulso g(t) sia ad
energia unitaria. Questa non e’ una limitazione visto che possiamo variare l’ ampiezza della
forma d’onda trasmessa variando la distanza fra i punti della costellazione. Inoltre assumiamo
che la sequenza trasmessa, sk , sia a simboli indipendenti ed equiprobabili. Per il calcolo della
Figura 4.6: Sistema PAM
probabilita’ d’errore osserviamo che il decisore prende la decisione sul simbolo sk sulla base del
valore rk . Visto che il sistema e’ sincronizzato e di Nyquist il valore di rk e’ quello dato dalla
(3.36) e cioe’
rk = sk + nk
(4.25)
dove sk e’ il simbolo trasmesso e nk e’ un campione del segnale n(t) dopo il passaggio per il filtro
di ricezione. Inoltre, visto che filtrando un processo Gaussiano si ottiene in uscita un processo
Gaussiano, nk risulta essere una variabile aleatoria Gaussiana, e risulta a media nulla come e’
facile verificare. Ora notiamo che, pensando k fisso, siamo esattamente nelle condizioni previste
dal teorema 3. La probabilita’ d’ errore Pe = P r{ŝk 6= sk } e’ dunque data dalla (4.21). Nella
(4.21) la Pe e’ espressa in funzione dell’ SNR di decisione. Puo’ essere messa in una forma piu’
utile calcolando questo SNR in funzione di altri paramtri del sistema PAM.
Per il calcolo di SN Rdec notiamo che integrando lo spettro del segnale si ottiene
Pr =
Z
Ps (f ) =
Z
P[s]
P[s]
|G(f )|2 df =
Ts
Ts
(4.26)
Nell’ espressione precedente, in cui abbiamo fatto uso del fatto che g(t) ha energia unitaria, P[s]
e’ la potenza della serie sk , data da
P[s] = E{|sk |2 }.
(4.27)
E{|sk |2 } = Pr Ts = Es = Eb K
(4.28)
Dalle ultime due equazioni si ottiene
76
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
dove Es e’ l’ energia ricevuta per simbolo, Eb l’ energia ricevuta per bit e K = log2 (M ) e’
il numero di bit portato da ogni simbolo. Consideriamo ora la varianza del rumore. Questa
coincide con la potenza del processo di rumore all’ uscita del filtro di ricezione e si ottiene
integrando lo spettro. Lo spettro di potenza del rumore all’ uscita del filtro e’ pari allo spettro
di ingresso moltiplicato per il modulo quadro della risposta in frequenza del filtro. Il filtro ha
risposta impulsiva g(−t) che ha trasformata G(−f ) e poiche’ g(−t) e’ un segnale reale risulta
|G(−f )|2 = |G(f )|2 . Lo spettro del rumore all’ uscita del filtro sara’ quindi |G(f )|2 N0 /2 e per
la potenza si ottiene
Z
N0
N0
2
2
E{|nk | } = σn = |G(f )|2
df =
(4.29)
2
2
Sostituendo le ultime due equazioni nella definizione dell’ SNR di decisione (4.20) otteniamo:
SN Rdec =
2Es
2Eb log2 (M )
=
N0
N0
(4.30)
Infine, sostituendo l’ ultima equazione nella (4.21) si ricava:
s
s
M −1
Eb log2 (M )
M −1
log2 (M )
Pe =
erf c( 3
)=
erf c( 3SN Rrx
)
2
M
N0 (M − 1)
M
(M 2 − 1)
(4.31)
Nell’ ultima formula la probabilita’ d’errore e’ espressa in funzione del numero dei punti della
costellazione M , dell’ energia ricevuta per bit, Eb , e della densita’ spettrale del rumore N0 .
Questa formula e’ pratica perche’ utilizza direttamente parametri fisici che e’ possibile definire
e calcolare in tutti i sistemi. Permette quindi il confronto fra diversi sistemi. Una osservazione
importante e’ che la Pe non dipende dalla forma dell’ impulso g(t) usato.
Probabilita’ d’errore per un sistema OM. Per sistemi OM il calcolo della probabilita’
d’errore e’ piu’ complesso, e non sara’ qui svolto. Ci limitiamo a riportare il risultato2 . Per un
sistema OM si ha:
s
M
Pe ≈
erf c(
2
s
Eb log2 (M )
M
log2 (M )
)=
erf c( SN Rrx
)
N0
2
2
2
(4.32)
Confronto fra sistemi PAM e OM. Nelle figure 4.7 e 4.8 sono riportate le curve della
probabilita’ d’errore per sistemi PAM e OM in funzione di Eb /N0 per diversi valori di M . Piu’
precisamente le figure riportano la curva log10 (Pe ) al variare di 10log10 (Eb /N0 ), cioe’ i grafici
sono logaritmici su entrambi gli assi. Questo permette di comprendere un ampio raggio di valori
per la probabilita’ d’errore e per l’ SNR nella stessa figura, e permette di apprezzare le differenze
fra le curve anche per valori di Pe molto prossimi allo 0 che sono quelli che interessano in pratica.
Come si vede dalle curve sia per sistemi PAM che per sistemi OM la Pe tende rapidamente a
0 al crescere dell’ SNR. Questo e’ dovuto al fatto che la funzione erf c(x) tende rapidamente a
0 al crescere dell’ argomento. Quindi e’ sempre possibile ridurre la Pe aumentando la potenza
ricevuta o diminuendo il rumore. Invece il comportamento al variare di M e’ diverso nei due casi.
In particolare dalle curve notiamo che al crescere di M (ed a parita’ di SNR) la Pe aumenta per
sistemi PAM mentre diminuisce per sistemi OM. Una diversa maniera di dire la stessa cosa e’ di
dire che, a parita’ di Pe , nei sistemi PAM all’ aumentare di M cresce l’ SNR richiesto per ottenere
2
Si veda, per es., [3].
77
4.3. PROBABILITA’ D’ERRORE
la fissata Pe mentre nei sistemi OM all’ aumentare di M l’ SNR richiesto diminuisce. I sistemi
OM sono dunque utili quando si ha a disposizione una bassa potenza di trasmissione, visto che
possiamo sempre migliorare la Pe aumentando M . Naturalmente c’e’ una controindicazione:
come abbiamo visto in sezione 4.2 all’ aumentare di M aumenta la banda richiesta dal sistema
OM. Quindi la diminuzione di potenza viene ottenuta a scapito di una maggiore banda di
trasmissione. Al contrario nei sistemi PAM aumentando M la banda di trasmissione diminuisce.
I sistemi PAM ed OM hanno dunque caratteristiche diverse e complementari. In particolare
la modulazione PAM e’ appropriata in tutte le situazioni in cui la potenza di trasmissione e’
abbondante ma la banda scarsa. Per questo la modulazione PAM e’ detta efficiente in banda. Al
contrario una modulazione OM e’ appropriata nelle situazioni in cui la potenza di trasmissione
e’ scarsa ma la banda e’ abbondante. Per questo motivo la modulazione OM e’ detta efficiente
in potenza.
SER per un sistema PAM
0
10
−1
10
−2
10
−3
Pe
10
M=2
−4
10
M=4
M=8
M=16
M=32
−5
10
−6
10
−7
10
5
10
15
20
25
30
Eb/No (dB)
Figura 4.7: Pe per sistemi PAM
Probabilita’ d’errore sul bit. La probabilita’ d’errore che abbiamo considerato finora e’ la
probabilita’ d’errore sul simbolo, Pe = P r{ŝk 6= sk }. Una seconda probabilita’ d’errore che e’ di
interesse e’ la probabilita’ d’errore sul bit, Pb = P r{x̂n 6= xn }. Queste due probabilita’ d’errore
sono sempre legate. La forma del legame dipende dal codificatore di simbolo. Consideriamo per
esempio un sistema PAM. In figura 4.9 riportiamo due possibili tabelle di codifica. La prima e’
nota come codifca naturale. In questa forma di codifica l’ i-esimo punto della costellazione, ai ,
viene codificato da una stringa di bit che rappresenta il numero i in forma binaria. La seconda
forma di codifica, nota come codifica di Gray, e’ invece caratterizzata dal fatto che la codifica
dell’ i-esimo simbolo si ottiene dalla codifica del simbolo i + 1-esimo o i − 1-esimo variando
78
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
SER per un sistema OM
0
10
−1
10
−2
10
M=2
−3
Pe
10
M=4
−4
10
M=8
−5
10
M=32
−6
10
M=16
−7
10
2
4
6
8
Eb/No (dB)
10
12
14
Figura 4.8: Pe per sistemi OM
un solo bit. Per calcolare la Pb dalla Pe , quando la costellazione e’ quella data dalle (4.13), si
puo’ fare la seguente ipotesi semplificativa: quando si commette un errore di simbolo il simbolo
stimato e’ uno dei simboli adiacenti al simbolo trasmesso. Cio’ significa che se sk = ai e si
verifca un errore di decisone, allora ŝk = ai−1 oppure ŝk = ai+1 . Questa ipotesi e’ verificata con
ottima approssimazione da tutti i sistemi PAM a patto che l’ SNR sia sufficientemente alto, e
quindi non appena la Pe e’ bassa (indicativamente per Pe ≤ 0.1). Sulla base di questa ipotesi,
ed assumendo di utilizzare una codifica di Gray, e’ semplice calcolare le Pb a partire dalla Pe .
Infatti in questo caso ad ogni simbolo sbagliato corrisponde un bit sbagliato nella sequenza di
K bit associata al simbolo. La probabilita’ di sbagliare i bit e’ dunque pari a
Pb ≈ Pe /K
(4.33)
Al contrario se si adottasse una codifica naturale, ad ogni errore di simbolo potrebbe corrispondere piu’ di un errore sui bit. In questo caso il calcolo della Pb e’ piu’ complesso e non verra’
svolto. Comunque e’ chiaro che la Pb risultera’ piu’ alta che nel caso in cui si usi una codifica di
Gray. Per questo motivo la codifica normalmente usata nei sistemi PAM e’ la codifica di Gray.
Per sistemi OM il calcolo della Pb a partire dalla Pe e’ piu’ complesso e non verra’ qui
considerato. Ci limitiamo a dare il seguente valore approssimato3
Pb ≈ Pe /2
3
Si veda, per es., [3].
(4.34)
4.4. CAPACITA’ DEL CANALE
79
Figura 4.9: Codifica naturale e di Gray
4.4
Capacita’ del canale
Nelle sezioni precedenti abbiamo visto diversi sistemi di trasmissione. Disporre di una varieta’ di
soluzioni e’ utile. Infatti in tutti i casi pratici esistono dei vincoli sulle risorse (banda, potenza,
complessita’) disponibili per la realizzazione del sistema. Avere diverse soluzioni ci permette
di scegliere quella che offre le migliori prestazioni rispettando i vincoli. Ci permette quindi
di ottimizzare il sistema. In particolare, i principali parametri da prendere in considerazione
nella ottimizzazione di un sistema sono la banda B, la potenza trasmessa Ps , la probabilita’
d’errore Pe e la velocita’ di trasmissione fb . Scelto un particolare sistema di trasmissione ed il
livello del rumore N0 , questi quattro parametri non sono fra loro indipendenti, ma sono legati
dalla relazione sulla probabilita’ d’errore e da altre relazioni che abbiamo visto. In pratica e’
possibile assegnare a piacere il valore di tre di questi parametri, mentre il valore del quarto
e’ determinato dal valore dei primi tre. Allora un esempio di problema di ottimizzazione e’
il seguente: supponendo assegnate la potenza Ps , la banda B e la probabilita’ d’errore Pe
del sistema, e supponendo nota la densita’ di potenza del rumore N0 , trovare il sistema che
massimizzi la velocita’ di trasmissione fb . In pratica, per risolvere questo problema, il progettista
calcola la fb che si ottiene, dati i vincoli, nei diversi sistemi di trasmissione (PAM o OM,
impulsi rettangolari o di Nyquist, etc. etc.) e sceglie il sistema che offre la velocita’ massima.
Naturalmente il progettista dovra’ anche tener conto di altri vincoli, primo fra tutti quello sulla
complessita’ e quindi sul costo del sistema.
Consideriamo ancora il problema di ottimizzazione descritto prima. Abbiamo visto che
in pratica si risolve provando le diverse soluzioni per il sistema di trasmissione, e scegliendo
quello che garantisce la massima velocita’ di trasmissione dati i vincoli sulla banda e sulla
potenza. Pero’ questa maniera di procedere non esclude che possa esistere una altro sistema di
trasmissione, magari non ancora scoperto, che fornisca una velocita’ di trasmissione maggiore.
Almeno da un punto di vista teorico ci piacerebbe sapere se questo sistema esiste o no. Piu’
in generale ci piacerebbe sapere quale e’ il limite massimo sulla velocita’ di trasmissione che e’
possibile ottenere dati i vincoli sulla banda e sulla potenza. Il concetto di capacita’ del canale,
definito nella teoria dell’ informazione, risponde a queste domande. La capacita’ del canale,
indicata con C, e’ definita come il massimo numero di bit al secondo che e’ possibile inviare sul
80
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
canale con un tasso d’errore trascurabile, impiegando una certa banda B ed una certa potenza in
trasmissione Ps . Su un canale Gaussiano (ma la capacita’ puo’ essere calcolata anche su modelli
di canale piu’ complessi) caratterizato da un livello di rumore pari a N0 /2, la capacita’ e’ data
da4 :
Ps
C = Blog2 (
+ 1) bit/sec
(4.35)
BN0
In particolare, dato un sistema di trasmissione che operi a velocita’ di trasmissione fb , finche’
fb e’ minore di C, la teoria dell’ informazione dimostra che e’ possibile ridurre la probabilita’
d’errore a piacere, al limite a 0, a patto di aumentare la complessita’ del sistema di trasmissione.
Visto che C e’ il massimo valore per fb , nel seguito diremo che un sistema di trasmissione in
cui fb = C e’ un sistema di trasmissione ottimo. La teoria dell’ informazione ci assicura che
un sistema ottimo esiste ma purtroppo non indica come realizzarlo. Nonostante cio’ la teoria e’
utile perche’ permette di confrontare le prestazioni di un particolare sistema di trasmissione con
il sistema di trasmissione ottimo.
La (4.35) esprime la capacita’ in funzione della banda e della potenza trasmessa che sono
le risorse fisiche utilizzate dal sistema di trasmissione. Per confrontare i sistemi che abbiamo
studiato con il sistema ottimo conviene scrivere la (4.35) in una forma diversa. In particolare
consideriamo un sistema ottimo: per questo sistema la velocita’ di trasmissione fb e’ pari alla
capacita’, quindi, dall’ eq. (4.35), possiamo scrivere:
fb
Ps /fb
= log2 (
+ 1)
B
N0 B/fb
(4.36)
da cui, visto che fb /B = η e’ l’efficenza spettrale e che Ps /fb = Eb , si ottiene
η = log2 (
Eb
η + 1) = log2 (SN Rrx · η + 1)
N0
(4.37)
Quest’ ultima forma permette di confrontare in modo semplice i sistemi di trasmissione col
sistema ottimo. In particolare l’ ultima formula esprime il legame fra efficenza spettrale e SNR
in un sistema ottimo. Rappresentandola con una curva nel piano η, SN Rrx si ottiene la curva
di figura 4.10. La curva puo’ essere usata per ottenere l’ efficienza spettrale del sistema ottimo
dato l’SNR o viceversa. A questo punto, confrontare un sistema reale con il sistema ottimo e’
semplice. Dato un sistema reale che operi ad una certa efficienza spettrale e ad un certo SNR,
questo identifica un punto nel piano η, SN Rrx di fig. 4.10. In figura sono riportati i punti
corrispondenti a diversi sistemi che abbiamo studiato. Notiamo che per tracciare questi punti e’
necessario fissare la Pe del sistema reale. Questa viene scelta molto piccola: in fig. 4.10 e’ pari a
10−5 . Come si nota dalla figura, i punti corrispondenti ai sistemi reali giacciono tutti al di sotto
della curva relativa al sistema ottimo. Dato un punto, tracciando una retta orizzontale su di esso,
l’ intersezione fra la curva e la retta corrisponde al sistema ottimo che trasmette con la stessa
efficienza spettrale del sistema reale. Naturalmente il sistema ottimo richiede un minore SNR e
quindi minore potenza di trasmissione a parita’ di rumore. Alla stessa maniera tracciando una
retta verticale sul punto, l’ intersezione fra la curva e la retta corrisponde al sistema ottimo che
trasmette con lo stesso SNR del sistema reale. Naturalmente il sistema ottimo ha una maggiore
efficenza spettrale e richiede quindi meno banda a parita’ di velocita’ di trasmissione. Si noti
4
Cfr. [14, 7].
81
4.5. APPENDICE
inoltre che l’ efficenza spettrale tende a zero per Eb /N0 → −1, 6 dB: al di sotto di questo valore
per lo SN Rrx non sono possibili trasmissioni con probabilta’ d’errore accettabile.
Figura 4.10: Legame fra efficenza spettrale e SNR nel sistema ottimo
4.5
Appendice
In questa appendice ricaviamo le espressioni per gli spettri del segnale PAM ed OM usate nel
capitolo. Inizialmente consideriamo una situazione piu’ generale. In particolare consideriamo
una sequenza di variabili aleatorie sk e supponiamo che sia nota la densita’ di probabilita’
congiunta di ogni coppia di variabili estratte dalla sequenza. Indichiamo con pSk ,Sh (sk , sh ) la
densita’ per le variabili estratte negli istanti k e h. Supponiamo che la densita’ sia invariante ad
una traslazione degli istanti di estrazione ovvero che dipenda solo dalla differenza fra gli istanti.
In altre parole supponiamo che risulti
pSk ,Sh (sk , sh ) = pS0 ,Sh−k (sk , sh ).
(4.38)
Per esempio la sequenza sk potrebbe essere una serie WSS, in cui le variabili sk assumono valori
reali o complessi. Ma piu’ generalmente possiamo suppore che le VA sk siano multidimensionali
o che assumano valori in un insieme finito. Ora supponiamo ad ognuna delle possibili determinazioni della variabile sk sia associata una forma d’ onda impulsiva gsk (t). E consideriamo il
seguente segnale aleatorio:
X
s(t) =
gsk (t − kT + θ)
(4.39)
k
in cui T e’ un tempo di simbolo assegnato e θ e’ una variabile aleatoria (VA) uniformemente
distribuita in [0..T ]. Il processo s(t) dato dalla (4.39) e’ una forma in cui possono essere scritti
tutti i segnali aleatori di interesse nel campo delle comunicazioni. I diversi segnali sono ottenuti
specializzando opportunamente la serie aleatoria e la tabella di associazione fra forme d’onda
e determinazioni di sk . E’ utile quindi ricavare una forma generale per lo spettro di questo
segnale, e poi specializzarla per trovare gli spettri dei segnali di interesse.
Per il calcolo dello spettro cominciamo col calcolare l’ autocorrelazione:
Rs (τ, t) = E{s(τ )∗ s(τ + t)}.
(4.40)
82
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
Sostituendo s(t) otteniamo
X
Rs (τ, t) = E{
k,h
gsk (τ − kT + θ)∗ gsh (τ + t − hT + θ)}
(4.41)
Scambiando il valore atteso con la sommatoria ed effetuando la sostituzione di variabile h = k +l
l’ ultima espressione diventa:
Rs (τ, t) =
X
k,l
E{gsk (τ − kT + θ)∗ gsk+l (τ + t − (k + l)T + θ)}
(4.42)
Nell’ espressione precedente il valore atteso e’ su tre VA: sk ,sk+l e θ. Calcoliamo esplicitamente
il valore atteso su θ. Si ottiene
Z T
1X
Rs (τ, t) =
E{
gsk (τ − kT + θ)∗ gsk+l (τ + t − (k + l)T + θ)dθ}
T k,l
0
(4.43)
in cui il valore atteso e’ sulle VA sk ,sk+l , ed il termine T1 e’ la densita’ di probabilita’ (uniforme)
di θ. Ora notiamo che per ipotesi la gerarchia del secondo ordine dipende solo dalla distanza
temporale dei due campioni estratti dalla serie. In altre parole la gerarchia del secondo ordine
relativa a sk ,sk+l e’ la stessa che quella relativa alle VA s0 ,s0+l . Sulla base di questa osservazione
possiamo effettuare una sostituzione fra sk ,sk+l e s0 ,sl senza cambiare il valore atteso. Otteniamo
Z T
1X
Rs (τ, t) =
E{
gs0 (τ − kT + θ)∗ gsl (τ + t − (k + l)T + θ)dθ}
T k,l
0
(4.44)
Infine, portando la sommatoria in k all’ interno del valore atteso possiamo scrivere
Z
1X X T
Rs (τ, t) =
E{
gs0 (τ − kT + θ)∗ gsl (τ + t − (k + l)T + θ)dθ} =
T l
0
k
=
Z
1X
E{ gs0 (θ)∗ gsl (t − lT + θ)dθ} =
T l
(4.45)
(4.46)
Ora si noti, confrontando con la (1.77), che l’ integrale nella equazione precedente e’ pari alla
correlazione fra le due forme d’onda gs0 (t) e gsl (t) valutata in t − lT . Risulta quindi
Rs (τ, t) = Rs (t) =
1X
E{Rs0 ,sl (t − lT )}
T l
(4.47)
Dove Rs0 ,sl (t) e’ l’ intercorrelazione fra le forme d’onda gs0 (t) e gsl (t). L’ ultima formula mostra
che il processo s(t) e’ WSS, visto che la sua autocorrelazione non dipende da τ . A questo punto,
effettuando una trasformata di Fourier su t ed usando la (1.87) e la proprieta’ di traslazione nel
tempo otteniamo il seguente spettro
Ps (f ) =
1X
E{Gs0 (f )∗ Gsl (f )}e−j2πf lT
T l
(4.48)
In cui Gs0 (f ) e Gsl (f ) sono le FT dei segnali gs0 (t) e gsl (t). La formula precedente e’ una formula
generale che puo’ essere usata per calcolare lo spettro per molti segnali di interesse. Vediamo
alcuni esempi.
83
4.5. APPENDICE
Onda PAM. Consideriamo un’ onda PAM data da
s(t) =
X
k
sk g(t − kT + θ)
(4.49)
in cui sk e’ una serie WSS che assume valori in una costellazione PAM, g(t) e’ un impulso di
energia, T e’ un tempo di simbolo assegnato e θ e’ una variabile aleatoria (VA) uniformemente
distribuita in [0..T ]. L’ onda PAM e’ un caso particolare del processo considerato nella sezione
precedente, in cui
gsk (t) = sk g(t)
(4.50)
Il suo spettro puo’ essere dunque calcolato a partire dalla (4.48). Naturalmente risulta
Gsk (f ) = sk G(f )
(4.51)
dove G(f ) e’ la FT di g(t). Sostituendo nella (4.48) si ottiene
Ps (f ) =
1X
E{s∗0 sl }|G(f )|2 e−j2πf lT .
T l
(4.52)
Nell’ espressione precedente il valore atteso fornisce l’ autocorrelazione della sequenza sk . Abbiamo quindi
|G(f )|2 X
Ps (f ) =
Rs [l]e−j2π(f T )l .
(4.53)
T
l
Nell’ espressione precedente, confrontando con la (1.31), si riconosce che la sommatoria fornisce
una versione scalata di un fattore T sull’ asse delle frequenze della FT dell’ autocorrelazione della
sequenza che come e’ noto (teorema di Wiener) e’ pari allo spettro della sequenza. Indicando
con Ps [f ] lo spettro di potenza della sequenza risulta quindi
Ps (f ) =
|G(f )|2
Ps [f T ].
T
(4.54)
L’ ultima formula esprime lo spettro dell’ onda PAM e coincide con (4.4) usata nel capitolo.
Sequenze a simboli indipendenti. L’ espressione generale dello spettro data dalla (4.48)
si semplifica nel caso in cui le VA della sequenza sk siano indipendenti ed abbiano tutte la
stessa distribuzione. In questo caso il valore atteso che compare nella (4.48) assume due valori
diversi. Quando l = 0 risulta E{Gs0 (f )∗ Gsl (f )} = E{|Gs0 (f )|2 } = E{|Gsa (f )|2 } dove sa e’
una VA con la stessa distribuzione del generico sk . Quando l 6= 0 risulta E{Gs0 (f )∗ Gsl (f )} =
E{Gs0 (f )∗ }E{Gsl (f )} = E{Gsa (f )∗ }E{Gsa (f )} dove sa e’ una VA con la stessa distribuzione
del generico sk . Sostituendo nella (4.48) si ottiene
Ps (f ) =
X
1
(E{|Gsa (f )|2 } + E{Gsa (f )∗ }E{Gsa (f )}
e−j2πf lT )
T
l6=0
=
X
1
(E{|Gsa (f )|2 } + |E{Gsa (f )}|2
e−j2πf lT ).
T
l6=0
(4.55)
(4.56)
Dall’ ultima espressione, aggingendo e sottraendo 1 alla sommatoria, e ricordando la (1.51), si
ottiene infine
1
1
Ps (f ) = E{|Gsa (f )|2 } + 2 |E{Gsa (f )}|2 (ΠF (f ) − 1)).
(4.57)
T
T
84
CAPITOLO 4. PRESTAZIONI
dove F = 1/T e
ΠF (f ) =
X
k
δ(f − kF )
(4.58)
Sistemi con forme d’onda ortogonali. Per sistemi di trasmissione a forme d’onda
ortogonali il segnale trasmesso e’ dato da
s(t) =
X
k
gsk (t − kT + θ)
(4.59)
in cui sk assume valori nell’ insieme α = {0, 1, ..., M −1} ciascuno associato ad uno di M possibili
segnali trasmessi gm (t), T e’ un tempo di simbolo assegnato e θ e’ una variabile aleatoria (VA)
uniformemente distribuita in [0..T ]. Supponendo che la sequenza sk sia a simboli indipendenti
e che il generico sk sia uniformemente ditribuito in α e’ possibile ricavare lo spettro del segnale
dalla (4.57). Risulta
Ps (f ) =
−1
M
−1
X
1 MX
1
|Gm (f )|2 + 2 2 |
Gm (f )|2 (ΠF (f ) − 1).
T M m=0
T M m=0
che coincide con la (4.10) usata nel capitolo.
(4.60)
Capitolo 5
Trasmissioni in banda traslata
B = fs (1 + ρ)
(5.1)
SER per un sistema QAM
−1
10
−2
10
−3
Pe
10
M=16
M=4
−4
10
M=64
M=256
−5
10
−6
10
−7
10
4
6
8
10
12
14
16
Eb/No (dB)
18
Figura 5.1: Pe per sistemi QAM
85
20
22
24
86
CAPITOLO 5. TRASMISSIONI IN BANDA TRASLATA
SER per un sistema PSK
0
10
−1
10
−2
10
−3
Pe
10
M=8
M=2, M=4
−4
10
M=16
M=32
−5
10
−6
10
−7
10
4
6
8
10
12
14
16
Eb/No (dB)
18
Figura 5.2: Pe per sistemi PSK
20
22
24
Capitolo 6
Trasmissione su canali selettivi in
frequenza
Il canale Gaussiano e’ un modello molto importante da un punto di vista teorico. Inoltre, come
abbiamo visto, quando e’ esteso considerando la presenza di una attenuazione, descrive bene
molte situazioni reali. D’ altra parte altre situazioni richiedono modelli di canale piu’ completi.
Il passo successivo e’ quello di considerare il canale come un sistema lineare e permanente (filtro)
che inoltre aggiunge in uscita rumore Gaussiano. Il sistema di trasmissione e’ dunque quello
mostrato in figura 6.1. Nella figura il segnale prodotto dal trasmettitore s(t) viene filtrato da un
filtro con risposta impulsiva c(t) e successivamente gli viene aggiunto rumore Gaussiano bianco.
Il segnale ricevuto e’ dunque dato da r(t) = s(t) ∗ c(t) + n(t). La trasformata della risposta
impulsiva del canale, indicata con C(f ), e’ la funzione di trasferimento del canale, e, per motivi
fisici (il canale e’ un elemento passivo), dovra’ risultare |C(f )| ≤ 1. Inoltre per ora assumeremo
che C(f ) sia di banda base, ovvero che sia diversa da zero in un insieme di frequenze centrato
sulla frequenza zero. La massima frequenza per cui C(f ) e’ diversa da zero e’ detta la banda del
canale. In figura 6.2 e’ riportata una possibile C(f ). La trasformata del segnale ricevuto e’ data
da R(f ) = S(f )C(f ). Notiamo che le componenti a diverse frequenze del segnale trasmesso
vengono attenuate e sfasate in modo diverso visto che modulo e fase di C(f ) variano con la
frequenza. Per questo motivo il canale e’ detto canale selettivo in frequenza.
Entro certi limiti la teoria sviluppata nei capitoli precedenti sul canale Gaussiano puo’ essere
riapplicata a canali selettivi. Consideriamo un trasmettitore di sequenza, che quindi forma il
seguente segnale
X
s(t) =
gsk (t − kTs )
(6.1)
k
in cui sk e’ una sequenza di simboli ad M possibili valori e le gm (t) per m = 0...M − 1 sono M
diverse possibili forme d’ onda. Nell’ attraversare il canale questo segnale viene convoluto con
la risposta impulsiva c(t). E’ facile verificare che il segnale ricevuto puo’ essere messo in questa
forma:
X
r(t) =
ḡsk (t − kTs ) + n(t)
(6.2)
k
dove le ḡm (t) sono M forme d’onda di energia date da gm (t) ∗ c(t). Notiamo che questo sarebbe
anche il segnale che si riceverebbe se il trasmettitore usasse direttamente le ḡm (t) per formare
87
88
CAPITOLO 6. TRASMISSIONE SU CANALI SELETTIVI IN FREQUENZA
Figura 6.1: Canale lineare e permanente.
Figura 6.2: Funzione di trasferimento del canale.
il segnale ed il canale fosse un canale Gaussiano. Quindi un ricevitore ottimo per quest’ ultima
situazione lo sarebbe anche per la prima. E tutta la teoria svolta per il caso di canale Gaussiano
si puo’ riapplicare supponendo che le forme d’onda utilizzate nel trasmettitore siano le ḡm (t).
Questa osservazione permette di riutilizzare molti dei risultati gia’ ottenuti. Per esempio e’
possibile realizzare un ricevitore ottimo (ML) sotto ipotesi molto generali (ovvero che le ḡm (t)
abbiano una durata finita). Questo ricevitore ha la struttura mostrata in figura 6.3 ed e’ quindi
costituito da un banco di filtri le cui uscite vengono campionate e passate ad un decisore. Come
per il caso di canale Gaussiano, in mancanza di vincoli ulteriori sulle ḡm (t) il decisore e’ complesso
da realizzare, ed in particolare, per prendere la decisione su un simbolo trasmesso richiede l’
osservazione dell’ intera sequenza di valori ricevuti. Ma come per il caso di canale Gaussiano e’
possibile semplificare il decisore imponendo vincoli piu’ forti sulla forma d’ onda ricevuta. Per
esempio, imponendo che le ḡm (t) risultino ortogonali nel tempo (ovvero che verifichino le (3.2))
sono verificate le ipotesi del teorema 2 ed e’ possibile costruire un ricevitore ottimo (ML) che
operi con un decisore semplice, che operi simbolo per simbolo. Naturalmente il trasmettitore non
emettera’ direttamente le ḡm (t). Invece emettera’ delle forme d’onda gm (t) che tengano conto
della presenza del canale (e per farlo deve conoscere c(t)) e che diano luogo, al ricevitore, alle
89
Figura 6.3: Ricevitore.
forme d’onda desiderate. In pratica il trasmettitore annulla l’ effetto del canale trasmettendo
forme d’onda che tengono conto della sua presenza. In generale l’ insieme delle operazioni
compiute per contrastare la presenza del canale, sia dal trasmettitore che dal ricevitore, prende
il nome di equalizzazione del canale.
Nello studio della trasmissione su canali selettivi in frequenza ci sono anche considerazioni
dettate da questioni pratiche. In generale per effettuare la trasmissione su un canale selettivo e’
necessario conoscere la risposta impulsiva del canale c(t) o, in modo equivalente, la sua risposta
in frequenza C(f ). Da questo punto di vista ci sono situazioni diverse. Consideriamo alcuni
esempi. Esempio 1: Come primo esempio consideriamo due centrali telefoniche connesse da
un cavo o da una fibra ottica. In questo caso il canale che unisce il trasmettitore ed il ricevitore
non cambia fra una trasmissione e la successiva. Ovvero la c(t) e’ fissa e non varia da una
trasmissione all’ altra. Di conseguenza e’ possibile misurare la c(t) in fase di costruzione del
collegamento e realizzare gli apparati di ricetrasmissione delle due centrali tenendo conto di
questa c(t). Esempio 2: Come secondo esempio consideriamo una centrale telefonica connessa
via cavo ad una serie di utenti. La centrale si connette ad un utente per la durata di una
chiamata ed il canale e’ in generale diverso da utente ad utente, visto che possono variare la
distanza e le caratteristiche del cavo. In questo caso dunque il canale non e’ fisso. La c(t) puo’
variare fra una trasmissione e l’altra e deve essere misurata per ogni trasmissione. Una prima
conseguenza di cio’ e’ che non e’ possibile realizzare i sistemi di ricetrasmissione assumendo di
conoscere la risposta c(t) del canale. Invece i sistemi dovranno essere realizzati in modo da
operare con una serie di possibili c(t). Divranno effettuare una misurazione del canale e poi
adattare i propri sistemi di ricetrasmissione alla particolare c(t) incontrata. La misurazione del
canale viene effettuata in questo modo: il trasmettitore, in una fase iniziale della chiamata,
emette un segnale noto e concordato col ricevitore. Il ricevitore misura il segnale ricevuto e
visto che conosce il segnale trasmesso e’ in grado di calcolare la risposta impulsiva del canale.
Una volta che il ricevitore ha misurato la risposta impulsiva del canale, se e’ disponibile un
collegamento in senso inverso, puo’ comunicarla al trasmettitore che cosi’ puo’ cooperare nell’
equalizzazione. Invece se non e’ disponibile il canale di ritorno, il trasmettitore non puo’ prendere
parte all’ equalizzazione. Esempio 3: Come terzo esempio consideriamo una stazione televisiva
che trasmette ad una moltitudine di utenti contemporaneamente. In questo caso esiste un canale
90
CAPITOLO 6. TRASMISSIONE SU CANALI SELETTIVI IN FREQUENZA
diverso fra il trasmettitore ed ognuno dei possibili ricevitori. La conseguenza principale e’ che il
trasmettiore non puo’ partecipare all’ equalizzazione. Infatti se adattasse il segnale trasmesso ad
uno dei ricevitori questo segnale non sarebbe adatto per gli altri ricevitori. In questo caso quindi
l’ onere dell’ equalizazione ricade interamente sul ricevitore. Il contributo del trasmettitore e’
quello di trasmettere, ad intervalli regolari, segnali noti e prestabiliti, che permettono ai ricevitori
che via via si sintonizzano sul segnale di stimare il canale. Inoltre in questo esempio la risposta
del canale dipende dal percorsi seguiti dal campo elettromagnetico per giungere al ricevitore,
che possono variare se varia l’ ambiente in cui avviene la propagazione. In questi casi il canale
risulta tempo variante ed e’ necessario ripetere la misura della risposta ad intervalli regolari ed
adattare via via l’ equalizzazione al canale. Questa tecnica e’ detta equalizzazione adattativa.
In conclusione la trasmissione su canali selettivi ha somiglianze e differenze con la trasmissione su canali Gaussiani. Per motivi di tempo non avremo modo di studiare tutti gli aspetti
della questione. Nel seguito di questo capitolo ci limiteremo a considerare sistemi PAM ed in
particolare l’ unico caso che analizzeremo con una certa profondita’ sara’ quello dei sistemi di
Nyquist. Daremo solo cenni ad altre soluzioni possibili.
6.1
Sistemi di Nyquist
In figura 6.4 e’ riportato il diagramma a blocchi di un sistema di trasmissione PAM su un canale
selettivo. La differenza con i sistemi PAM che abbiamo finora considerato e’ la presenza del
filtro c(t) che tiene conto del canale. Consideriamo il segnale presente all’ uscita del filtro di
ricezione, indicato come al solito con m(t). Trascurando per il momento il rumore termico, e’
semplice verificare che il segnale puo’ essere messo in questa forma
m(t) =
X
k
sk h(t − kTs )
(6.3)
.
dove h(t) = gt (t) ∗ c(t) ∗ gr (t) e’ pari alla convoluzione delle risposte dei fitri di trasmissione e di
ricezione e della risposta impulsiva del canale. Il sistema si dice di Nyquist quando e’ verificata
la seguente condizione:
h(kTs ) = δk
(6.4)
Il senso della condizione e’ il solito. La condizione garantisce che il k-esimo campione passato
al decisore rk = m(kTs ) dipenda dal solo sk e non da altri elementi della sequenza dei simboli
trasmessi. Infatti sostituendo la (6.4) nella (6.3) e calcolando il valore di rk = m(kTs ) si ottiene
immediatamente, trascurando il rumore, rk = sk . Di conseguenza la decisione si puo’ realizzare
simbolo per simbolo. In particolare viene utilizzato un decisore a distanza minima.
Rispetto ai sistemi di Nyquist operanti su canale Gaussiano ci sono differenze importanti. Per
prima cosa per realizzare un sistema di Nyquist, come per il caso di canale Gaussiano, occorre
scegliere i filtri di trasmissione e ricezione in modo da soddisfare la condizione (6.4). Ma ora
occorre tenere in conto anche la risposta impulsiva del canale nella scelta dei filtri. Le risposte
dei filtri di trasmissione e ricezione dipenderanno dalla risposta del canale. Richiedere che le
risposte dei filtri siano ad energia unitaria, come abbiamo fatto nell’ analisi delle prestazioni
di un sistema PAM, sarebbe in questo caso una complicazione e non una semplificazione. L’
analisi sara’ fatta quindi senza nessun vincolo per le risposte dei filtri. Una seconda differenza
91
6.1. SISTEMI DI NYQUIST
Figura 6.4: Trasmissione PAM su canale lineare e permanente.
importante fra canali gaussiani e canali selettivi e’ che nello schema di figura 6.4 la potenza
trasmessa e la potenza ricevuta sono diverse e non coincidenti come avveniva nel caso di canale
P
Gaussiano. Calcoliamole. La potenza trasmessa e’ la potenza del segnale s(t) = k sk gt (t−kTs ).
La potenza si puo’ calcolare integrando lo spettro di densita’ di potenza del segnale. Assumendo
che la sequenza dei simboli trasmessi sia una sequenza a simboli indipendenti, lo spettro del
segnale s(t) e’ come al solito dato da
Ps (f ) =
P[s]
|Gt (f )|2
Ts
(6.5)
dove P[s] e’ il valore quadratico medio del generico simbolo trasmesso. La potenza trasmessa e’
quindi
Z
P[s] Z
Ps = Ps (f )df =
|Gt (f )|2 df
(6.6)
Ts
La potenza ricevuta e’ la potenza (della parte utile) del segnale r(t). Lo spettro di questo segnale
si calcola notando che il segnale si ottiene facendo passare s(t) nel filtro c(t), e quindi risulta
Pr (f ) = Ps (f )|C(f )|2 . La potenza ricevuta e’ quindi data da
Pr =
Z
Ps (f )|C(f )|2 df
(6.7)
Visto che |C(f )| ≤ 1 la potenza ricevuta risulta minore della potenza trasmessa. E’ conveniente
.
definire una attenuazione di potenza come A = PPrs . L’ attenuazione si puo’ calcolare sostituendo
le (6.5) e (6.5) nella sua definizione. Si ottiene:
A= R
|Gt (f )|2 df
|Gt (f )C(f )|2 df
R
(6.8)
Notiamo che l’ attenuazione non dipende solo dal canale, ma anche dal filtro di trasmissione.
Questo fatto e’ intutitivo se si considera che il canale attenua in modo diverso le diverse frequenze
del segnale che lo attraversa: se la potenza trasmessa, la cui distribuzione in frequenza e’ fissata
dallo spettro di s(t) e quindi dal filtro di trasmissione, viene concentrata in una banda in cui
il canale attenua molto (e cioe’ in cui |C(f )| << 1), l’ attenuazione sara’ piu’ alta che se si
92
CAPITOLO 6. TRASMISSIONE SU CANALI SELETTIVI IN FREQUENZA
concentrasse la potenza trasmessa in una banda in cui il canale attenua poco (e cioe’ in cui
|C(f )| ≈ 1).
Visto che la potenza trasmessa e ricevuta non sono piu’ coincidenti, saranno diverse anche
tutte le quantita’ ad esse legate. Per esempio saranno diverse le energie per bit trasmessa e
ricevuta. In particolare l’ energia ricevuta per bit e’ data dalla potenza ricevuta per la durata
del bit ovvero Eb = Ps Tb , mentre l’ energia trasmessa per bit sara’ data dalla potenza ricevuta
per la durata del bit, ovvero Et = Pr Tb . Naturalmente le due saranno legate dall’ attenuazione
ed in particolare risultera’ Eb = Et /A, come e’ facile verificare. Fin’ ora abbiamo espresso la
probabilita’ d’errore in termini di Eb /N0 . Mentre su un canale Gaussiano questa e’ una maniera
del tutto soddisfacente di esprimere la probabilita’ d’errore non lo e’ piu’ nel caso di canale
selettivo. Infatti e’ l’ energia trasmessa e non quella ricevuta che indica il consumo del sistema.
Quindi per il caso di canale selettivo sara’ necessario calcolare la probabilita’ d’errore in funzione
di Et /N0 . Naturalmente e’ ancora possibile esprimere la probabilita’ d’errore in funzione di
Eb /N0 visto che le due sono legate ed in alcuni casi cio’ puo’ essere utile. In particolare,
mentre esprimere la probabilita’ d’errore in funzione di Et /N0 ci permette di valutare quanto
efficientemente un sistema utilizza l’ energia trasmessa, esprimere la probabilita’ d’errore in
funzione di Eb /N0 ci permette di valutare quanto efficientemente un sistema utilizza l’ energia
ricevuta.
Torniamo ora al problema della scelta dei filtri di trasmissione e ricezione. Consideriamo il
sistema di figura 6.4. Affinche’ il sistema sia di Nyquist occorre che sia verificata la condizione
(6.4). Come al solito risulta piu’ comodo lavorare nel dominio della frequenza invece che nel
dominio del tempo. In particolare sappiamo che la condizione (6.4) sulla h(t) e’ equivalente
alla condizione (3.43) sulla H(f ). Lavorare in frequenza e’ piu’ comodo perche’ risulta H(f ) =
Gt (f )C(f )Gr (f ), cioe’ risulta che la H(f ) e’ uguale al prodotto delle trasformate delle risposte
dei filtri e del canale, mentre nel tempo la h(t) e’ uguale alla convoluzione delle risposte, una
situazione piu’ complicata da analizzare. Inoltre gia’ conosciamo diverse H(f ) che verificano la
condizione (3.43). Per esempio possiamo assumere che H(f ) sia un coseno rialzato con un certo
roll-off. Cio’ fatto possiamo riscrivere il legame fra la H(f ) e le trasformate dei filtri e del canale
ottenendo la seguente equazione
Gt (f )C(f )Gr (f ) = H(f )
(6.9)
Nell’ equazione precedente si deve intendere che C(f ) e H(f ) sono funzioni note ed assegnate.
In particolare C(f ) e’ la risposta del canale supposta nota perche’ misurata, mentre H(f ) e’ un
coseno rialzato (o un’altra funzione che verifica le condizioni di Nyquist). Scegliendo Gt (f ) e
Gr (f ) in modo da verificare la (6.9) il sistema sara’ di Nyquist. Ora notiamo che in generale
esistono una infinita’ di scelte per il filtri di trasmissione e ricezione. In particolare possiamo
pensare di fissare a piacere uno dei due e determinare l’ altro dalla (6.9). Per esempio possiamo
assegnare Gt (f ) a piacere e calcolare Gr (f ) come:
Gr (f ) =
H(f )
Gt (f )C(f )
(6.10)
Rimane quindi il problema di scegliere Gt (f ) in qualche modo. Nel seguito considereremo questo
problema in due casi distinti. Nel primo caso supponiamo di poter variare, sulla base della
conoscenza delle risposta impulsiva del canale, sia il filtro di trasmissione che quello di ricezione,
93
6.1. SISTEMI DI NYQUIST
come e’ possibile per le situazioni viste negli esempi 1 e 2 della sezione precedente. Chiameremo questo caso il caso dell’ equalizzazione distribuita. Nel secondo caso invece supponiamo di
poter variare solo il filtro di ricezione, come e’ necessario per la situazione vista nell’ esempio
3 della sezione precedente. Chiameremo questo caso il caso dell’ equalizzazione concentrata al
ricevitore. In tutti e due i casi siamo interessati a valutare le prestazioni del sistema, ovvero la
sua probabilita’ d’errore. Quindi per proseguire conviene per prima cosa ricavare l’ espressione
della probabilita’ d’errore in funzione delle risposte dei filtri. Prima di farlo notiamo che se il
canale ha degli zeri Gr (f ) ha delle singolarita’ e non e’ realizzabile. Infatti se il canale ha degli
zeri e’ impossibile imporre una caratteristica complessiva di Nyquist alla h(t) e l’ approccio di
equalizzazione che stiamo seguendo non e’ utilizzabile. L’ approccio e’ comunque utile perche’
nei canali reali la risposta in frequenza puo’ essere piccola ma difficilmente pari a zero. Inoltre
notiamo che l’ equalizzazione concentrata e’ piu’ semplice da realizzare ma avra’ prestazioni
peggiori.
Probabilita’ d’errore. Per il calcolo della probabilita’ d’errore supponiamo verificata la
(6.9). In questo caso nel decisore entra una variabile di decisione rumorosa rk = sk + nk in cui
sk appartiene ad una costellazione PAM a media nulla e con punti a distanza d = 2A (ovvero
sk ∈ {..., −3A, −A, A, 3A, ...}). Per questo decisore risultava (cfr. teorema 3)
s
M −1
Pe =
erf c(
M
d2
)
8σ 2
(6.11)
dove M e’ il numero di punti della costellazione e σ 2 = E{|nk |2 }. Come sappiamo d e’ legata
alle potenze trasmessa e ricevuta e quindi alle energie per bit trasmessa e ricevuta, mentre σ 2 e’
legata ad N0 , il livello del rumore. Questi legami coinvolgono i fitri di trasmissione e ricezione.
Vediamoli.
Per quanto riguarda σ 2 il calcolo e’ semplice. Visto che nk e’ ottenuto campionando il
processo di rumore dopo il filtro di ricezione, σ 2 = E{|nk |2 } coincide con la potenza del segnale
di rumore dopo il filtro di ricezione. Questo segnale avra’ spettro |Gr (f )|2 N0 /2, e la sua potenza
si ottiene integrando lo spettro. Quindi:
σ2 =
N0
2
Z
|Gr (f )|2 df
(6.12)
Per quanto riguarda d conviene ricavarla in funzione di Et , l’energia trasmessa per bit.
Questa e’ data da Et = Ps Tb = Ps Ts /log2 M . La potenza trasmessa si calcola integrando lo
spettro di s(t). Visto che s(t) e’ un’onda PAM, e supponendo che i simboli sk siano indipendenti
P R
risulta quindi Ps = T[s]
|Gt (f )|2 df , dove P[s] e’ il valore quadratico medio di sk , e, per una
s
costellazione a distanza d, risultava P[s] =
d2 = 12Et
d2
2
12 (M − 1).
Utilizzando queste espressioni ricaviamo
log2 M
1
R
2
M − 1 |Gt (f )|2 df
(6.13)
Ora sostituendo le (6.12) e (6.13) nella (6.11) otteniamo la seguente espressione per la Pe :
s
M −1
Et log2 M
1
R
R
Pe =
erf c( 3
)
2
2
M
N0 M − 1 |Gt (f )| df |Gr (f )|2 df
(6.14)
94
CAPITOLO 6. TRASMISSIONE SU CANALI SELETTIVI IN FREQUENZA
Quest’ ultima espressione fornisce il valore della probabilita’ d’errore per un sistema in cui e’
verificata la condizione (6.9). D’ altra parte come abbiamo visto se la (6.9) e’ verificata le
risposte dei filtri sono legate dalla (6.10) e quindi, sostituendo quest’ultima equazione nella
(6.14), la probabilita’ d’errore puo’ essere espressa alternativamente come
v
u
M −1
1
u Et log2 M
)
Pe =
erf c(t3
R
R
|H(f )|2
M
N0 M 2 − 1 |Gt (f )|2 df
|C(f )Gt (f )|2 df
(6.15)
Equalizzazione distribuita. In questo caso assumiamo di poter variare Gt (f ) sulla base
di C(f ). L’ espressione (6.15) ci fornisce la Pe in funzione di Gt (f ). La scelta migliore e’ quella
che rende minima la Pe . Visto che la funzione erf c(x) e’ una funzione decrescente per rendere
minima la Pe dobbiamo massimizzare l’ argomento della erf c. Per massimizzare l’ argomento
dobbiamo minimizzare il termine
Z
2
|Gt (f )| df
Z
|H(f )|2
df
|C(f )Gt (f )|2
(6.16)
che divide l’ argomento. La minimizzazione puo’ essere effettuata sulla base della disuguaglianza
di Schwartz. Questa disuguaglianza dice che, date due funzioni f (x) e g(x) risulta
Z
2
|f (x)| dx
Z
Z
2
|g(x)| dx ≥ (
|f (x)||g(x)|dx)2
(6.17)
e l’ uguaglianza si ha solo quando i moduli delle due funzioni sono uguali a meno di un fattore di
scala, ovvero quando |f (x)| = K|g(x)| dove K e’ una costante qualsiasi. Osservando la (6.16) ci
si rende conto che e’ nella forma del termine di sinistra della disuguaglianza di Schwartz (ed in
)
particolare il ruolo delle f (x) e’ preso da Gt (f ) e quello di g(x) da C(fH(f
)Gr (f ) ). Quindi il minimo
si otterra’ prendendo
H(f )
|
(6.18)
|Gt (f )| = |
C(f )Gt (f )
in cui abbiamo fissato il valore della costante a K = 1 ed il valore minimo sara’ dato dal termine
di destra della disuguaglianza ovvero da
Z
(
|Gt (f )||
H(f )
|df )2 = (
C(f )Gt (f )
Z
|
H(f )
|df )2
C(f )
(6.19)
Le ultime due equazioni ci permettono di indicare come devono essere scelti i filtri e di calcolare
la probabilita’ d’errore finale. In particolare dalla (6.18) si ottiene la seguente espressione per il
modulo di Gt (f ):
s
|H(f )|
|Gt (f )| =
(6.20)
|C(f )|
Notiamo che la fase di Gt (f ) non e’ vincolata dalla espressione precedente, e puo’ essere scelta
a piacere. Questo e’ dovuto al fatto che l’ espressione della Pe non dipende dalla fase di Gt (f )
ma solo dal suo modulo. Per quanto riguarda Gr (f ), questa si calcola a partire dalla (6.10). In
particolare per il modulo di Gr (f ), dalle (6.10) e (6.20) si ottiene
|Gr (f )| =
s
|H(f )|
|C(f )|
(6.21)
95
6.1. SISTEMI DI NYQUIST
mentre la fase dovra’ essere scelta in modo da verificare la (6.10)1 .
La Pe si ottiene sostituendo la (6.19) nella (6.15) ed e’ data da
v
u
M −1
1
u Et log2 M
Pe =
)
erf c(t3
R H(f )
2
2
M
N0 M − 1 ( |
|df
)
C(f )
(6.24)
Su quest’ ultima espressione e’ possibile fare alcune considerazioni. Per prima cosa notiamo che
nel caso di canale Gaussiano, cioe’ nel caso in cui C(f ) = 1, per i filtri si ottengono le seguenti
forme:
q
|Gt (f )| = |H(f )|
(6.25)
|Gr (f )| =
q
|H(f )|
(6.26)
il che mostra che nel caso di canale Gaussiano il miglior sistema di Nyquist e’ quello che impiega
dei filtri di trasmissione e ricezione a radice di coseno rialzato. Quindi, nel caso di canale
Gaussiano non si ha nessun vantaggio di prestazioni nel passare da sistemi con segnali ortogonali
nel tempo a sistemi di Nyquist. Il vantaggio esiste invece per il caso di canali selettivi. Una
seconda considerazione piuttosto ovvia e’ che, a parita’ di energia trasmessa per bit, la Pe
e’ peggiore su un canale selettivo rispetto al caso di un canale Gaussiano. Questo si verifica
immediatamente notando che, su un canale Gaussiano, Et = Eb . La Pe per un canale Gaussiano
e’ data dalla (4.31). Confrontando la (4.31) con la Pe per un canale selettivo data dalla (6.24)
R
)
2
si nota che l’ effetto del canale e’ tenuto in conto dalla presenza del termine ( | H(f
C(f ) |df ) che
divide l’ argomento della erf c. Questo termine e’ sempre maggiore di uno, visto che risulta
(ricordiamo che |C(f )| ≤ 1):
Z
|
H(f )
|df ≥
C(f )
Z
|H(f )|df =
Z
H(f )df = h(0) = 1
(6.27)
ed e’ quindi sempre un peggioramento. Come si nota, il peggioramento dipende solo dal modulo
della funzione di trasferimento del canale e non dalla fase, che puo’ essere equalizzata senza
perdite di prestazioni. Da punto di vista fisico il peggioramento e’ dovuto a due fattori. Uno
e’ ovvio, ed e’ costituito dal fatto che su un canale selettivo parte dell’ energia trasmessa viene
dissipata sul canale e non giunge al ricevitore. Il secondo fattore e’ meno ovvio e dipende dalla
forma della funzione di trasferimento del canale. In particolare tutte le volte che il modulo della
funzione di trasferimento non e’ costante al variare della frequenza (e cioe’ quando il canale e’
selettivo) il filtro di ricezione amplifica il rumore che si aggiunge alla variabile di decisione. Per
comprendere piu’ a fondo questo secondo aspetto e’ utile confrontare le probabilita’ d’errore che
si ottiene su un canale Gaussiano e su un canale selettivo a parita’ di energia ricevuta invece che
di energia trasmessa. In questo modo infatti si eliminano gli effetti dell’ attenuazione introdotta
dal canale e si ottiene il peggioramento dovuto alla selettivita’ del canale. Per realizzare questo
1
Per esempio potremmo fissare la fase di Gt (f ) a zero. In questo caso i filtri sarebbero dati da:
Gt (f ) =
Gr (f ) =
r
|H(f )|
|C(f )|
H(f )
C(f )Gt (f )
(6.22)
(6.23)
96
CAPITOLO 6. TRASMISSIONE SU CANALI SELETTIVI IN FREQUENZA
confronto ricaviamo la Pe in funzione dell’ energia ricevuta per il caso di canale selettivo. Il
calcolo e’ immediato ricordando che risulta Et = AEb dove A e’ l’ attenuazione data dalla (6.8).
Sostituendo nell’ espressione della Pe data dalla (6.24), dopo qualche passaggio, si ottiene
v
u
M −1
1
u Eb log2 M
)
Pe =
erf c(t3
R
R
M
N0 M 2 − 1 |H(f )C(f )|df | H(f ) |df
C(f )
(6.28)
e confrontando con la (4.31) si ricava che il peggioramento dovuto alla forma della funzione di
trasferimento del canale e’ dato dal termine:
Z
Z
H(f )
|df
(6.29)
|H(f )C(f )|df |
C(f )
E’ possibile utilizzare la disuguaglianza di Schwartz per ricavare quale e’ la forma del canale che
risulta nel minimo peggioramento. In particolare, usando la disuguaglianza risulta
Z
|H(f )C(f )|df
Z
=(
Z
H(f )
|
|df ≥ (
C(f )
2
Z
|H(f )|df ) = (
s
Z q
|H(f )C(f )| |
H(f )
|df )2 =
C(f )
H(f )df )2 = h(0)2 = 1
(6.30)
(6.31)
)
e l’ uguaglianza si ha solo quando risulta |H(f )C(f )| = K| H(f
C(f ) | dove K e’ una costante qualsiasi.
Da quest’ ultima equazione si ricava che il peggioramento e’ pari a uno (cioe’ e’ assente) solo
quando |C(f )|2 = K cioe’ solo quando il canale e’ non selettivo. In tutti gli altri casi l’ energia
ricevuta e’ sfruttata peggio e a parita’ di Eb /N0 la Pe sara’ piu’ alta.
Equalizzazione concentrata al ricevitore. In questo caso assumiamo di non poter variare
Gt (f ) sulla base di C(f ). Il valore di Gt (f ) deve essere quindi fissato a priori, indipendentemente
dal canale. Conviene scegliere per Gt (f ) la soluzione piu’ semplice, per esempio, supponendo che
H(f ) sia un coseno rialzato, possiamo scegliere Gt (f ) come una radice di coseno rialzato, ovvero
p
scegliere Gt (f ) = H(f ). Oppure possiamo scegliere direttamente un filtro di trasmissione a
coseno rialzato e cioe’ Gt (f ) = H(f ). Per qualsiasi scelta di Gt (f ) il filtro di ricezione e’ fissato
dalla (6.10) e si occupa di equalizzare il canale. Una volta fissati i valori dei due filtri e’ possibile
valutare le probabilita’ d’errore tramite la (6.14). Per esempio, scegliendo i filtri cosi’
|Gt (f )| =
q
|H(f )|
(6.32)
p
|H(f )|
|C(f )|
sostituendo queste due espressioni nella (6.14) e tenendo conto che
|Gr (f )| =
per la Pe si ottiene
Z
2
|Gt (f )| df =
Z
|H(f )|df =
v
Z
(6.33)
H(f )df = 1
u
M −1
u Et log2 M
Pe =
erf c(t3
R
M
N0 M 2 − 1
1
|H(f )|
|C(f )|2 df
)
(6.34)
(6.35)
Su questa equazione si possono ripetere le stesse considerazioni fatte sulla (6.24). In particolare
R |H(f )|
l’ effetto del canale e’ tenuto in conto dalla presenza del termine ( |C(f
)|2 df ) che divide l’
argomento della erf c e che rappresenta un peggioramento visto che e’ sempre maggiore di uno.
Inoltre, visto che i filtri non sono stati calcolati minimizzando la Pe , il peggioramento sara’
maggiore di quello che si aveva nel caso di equalizzazione distribuita.
6.2. ALTRE FORME DI EQUALIZZAZIONE: MSE
6.2
Altre forme di equalizzazione: MSE
6.3
Equalizzazione numerica: DFE
97
98
CAPITOLO 6. TRASMISSIONE SU CANALI SELETTIVI IN FREQUENZA
Capitolo 7
Modello fisico di un sistema di
trasmissione
Un sistema di telecomunicazioni puo’ essere descritto a diversi livelli di dettaglio. Fino ad ora
abbiamo descritto i sistemi tramite diagrammi a blocchi, preoccupandoci di specificare la funzione dei diversi blocchi, ma senza preoccuparci di specificare la natura e le dimensioni (unita’
di misura) dei segnali che vengono scambiati fra i vari blocchi ne’ di vedere come questi blocchi possano essere realizzati in pratica. Questo livello di descrizione puo’ dirsi livello logico ed
i diagrammi a blocchi possono pensarsi come modelli logici del sistema. Il livello logico e’ di
fondamentale importanza nella progettazione e nello studio dei sistemi, visto che risulta estremamente semplice e cattura gli aspetti principali. D’ altra parte per arrivare alla realizzazione del
sistema occorre passare a modelli piu’ vicini alla realta’ fisica. L’ ultimo livello di descrizione
e’ uno schema circuitale in cui si specifica la realizzazione dei singoli blocchi e che puo’ essere
usato per l’implementazione del sistema. Noi non ci occuperemo di questo livello, che e’ trattato
in altri corsi. E’ pero’ utile introdurre un livello di descrizione intermedio fra i due che pur
mantenendo la semplicita’ del livello logico permetta di introdurre dei parametri fisici che sono
importanti per una comprensione piena degli apparati di telecomunicazione.
7.1
Struttura dei sistemi di trasmissione numerica
L’ apparato che realizza un sistema di trasmissione numerico e’ diviso in due parti distinte: la
parte analogica e la parte numerica. Queste due parti sono realizzate in modo diverso. La parte
numerica e’ realizzata da programmi che girano su processori specializzati (DSP Digital Signal
Processor, FPGA Field Programmable Gate Array) oppure su processori non programmabili
ma comunque realizzati in elettronica digitale (ASIC Application Specific Integrated Circuit)
mentre la parte analogica e’ realizzata in elettronica analogica. In generale, dato un modello
logico del sistema, i blocchi in cui entrano ed escono sequenze (cioe’ segnali tempo-discreto)
costituiscono la parte numerica mentre i blocchi in cui entrano ed escono segnali (tempo continui)
costituiscono la parte analogica. I blocchi misti, in cui entrano segnali ed escono sequenze o
viceversa, costituiscono il confine fra le due parti. Per esempio nel sistema di trasmissione PAM
di banda base rappresentato in figura 7.1 i blocchi di confine sono il filtro di trasmissione ed il
campionatore. Naturalmente in pratica un modello logico puo’ essere realizzato in molte maniere
99
100
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
Figura 7.1: Sistema PAM sorg+fitroTX+ch+filtroRX+camp+deci
diverse. Inoltre il punto di confine fra la parte analogica e quella numerica non e’ univoco e
molte parti del sistema possono essere realizzate in modo analogico od in modo numerico. Per
esempio il filtro di ricezione del sistema di figura precedente potrebbe essere realizzato come
mostrato in figura 7.2, dove e’ stato separato in due parti: la prima, ancora analogica, e’ un
passabasso che ha il compito di eliminare il rumore che cade al di fuori della banda del segnale
utile; la seconda, numerica, e’ posta dopo il campionatore e si occupa di filtrare effettivamente
il segnale ricevuto.
Figura 7.2: Sistema PAM con filtro di ricezione numerico
In generale i sistemi digitali sono estrememente piu’ versatili dei sistemi analogici, sono
meno soggetti a variazioni dei parametri con la temperatura e le condizioni ambientali, sono
normalmente piu’ economici da realizzare (infatti uno stesso DSP puo’ essere realizzato per
implementare un numero enorme di diverse funzioni, semplicemente cambiando il programma
che ci gira, e quindi puo’ essere realizzato in un gran numero di esemplari il che permette
economie di scala) e sono piu’ facili da modificare. Per questo motivo la tendenza e’ quella
di realizzare la maggior parte possibile del sistema in elettronica digitale1 . Il limite ultimo e’
1
Questo approccio alla progettazione di apparati ricetrasmittenti e’ noto come ’Software radio’ [12].
7.1. STRUTTURA DEI SISTEMI DI TRASMISSIONE NUMERICA
101
costituito dalla velocita’ di elaborazione limitata dei componenti numerici e dell’ ADC che a
tutt’ oggi costringe a realizzare alcune parti del sistema in elettronica analogica.
DAC e ADC. Il filtro di trasmissione ed il campionatore sono anche chiamati DAC (digital
to analog converter) e ADC (analog to digital converter) visto che realizzano la trasformazione
del segnale da analogico a numerico (digitale). Una possibile realizzazione del DAC e’ mostrata
in figura 7.3. Nella figura e’ presente un primo blocco che in tutti gli istanti kTs produce un
impulso rettangolare di durata τ centrato nell’ istante kTs e di area proporzionale al valore del
simbolo da trasmettere. Il blocco e’ seguito da un filtro analogico con risposta impulsiva g(t).
Questo sistema produrrebbe esattamente l’ onda PAM di equazione (3.21) a patto che gli impulsi
siano di Dirac. In pratica gli impulsi non sono di Dirac, ma se sono sufficientemente brevi2 il
segnale e’ quello PAM con ottima approssimazione. Naturalmente sono possibili altre soluzioni.
Per esempio apparati di trasmissione piu’ moderni tendono ad effettuare la sagomatura parte in
digitale e parte in analogico, come mostrato in figura 7.4.
Figura 7.3: DAC (filtro di TX): formatore di impulsi seguito da un filtro g(t).
Figura 7.4: DAC (filtro di TX): filtro numerico+formatore di impulsi+filtro analogico.
Per quanto riguarda l’ ADC una sua possibile realizzazione e’ mostrata in figura 7.5. Nella
2
Piu’ precisamente e’ necessario che risulti τ << 1/B dove B e’ la banda di G(f ).
102
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
figura il primo blocco e’ un circuito di campionamento e tenuta (sample and hold) che produce
un’ onda quadra. Il blocco successivo e’ un quantizzatore che, durante i tratti in cui l’ ingresso
e’ costante, ne misura il livello e lo rappresenta in uscita con un certo numero di bit. Questo
schema realizza in modo approssimativo il campionatore. L’ approssimazione e’ dovuta al fatto
che il valore prodotto non e’ un valore continuo, come nel campionatore ideale, ma quantizzato. Naturalmente e’ sempre possibile aumentare a piacere la fedelta’ della rappresentazione
aumentando il numero di bit prodotti in uscita dal quantizzatore e quindi approssimare quanto
si vuole un campionatore ideale. D’altra parte non e’ sempre necessario che il valore misurato
sia rappresentato con precisione. In generale la precisione richiesta dipende dal tipo di ricevitore. Per esempio, nel caso di una trasmissione PAM binaria, in cui l’ onda di ingresso assume
(supponendo assente il rumore) un valore positivo o negativo a seconda del bit trasmesso, il
quantizzatore puo’ essere realizzato in modo da produrre in uscita un solo bit, pari a uno se
l’ ingresso e’ positivo e pari a zero se l’ ingresso e’ negativo. In questo modo il quantizzatore
realizza anche le funzioni del decisore e produce direttamente la sequenza di bit stimata. Se
invece il ricevitore e’ piu’ complesso e prevede una parte di elaborazione numerica del segnale
(es. filtraggio o sincronizazione) allora il quantizzatore deve produrre una rappresentazione piu’
accurata dell’ ingresso.
Figura 7.5: ADC (campionatore): sample and hold + quantizzatore.
7.2
Modello fisico
La maggior parte dei segnali scambiati nella parte analogica dei sistemi di trasmissione reali e’
costituita da segnali elettrici. Quindi un modello fisico utile per la parte analogica e’ un circuito
a costanti concentrate. In particolare la configurazione di maggior interesse e’ quella di figura
7.6 e cioe’ un circuito costituito da un bipolo (rete una porta) generatore collegato ad un bipolo
di carico tramite una serie di reti due porte. Il modello fisico e’ importante per diversi motivi. In
primo luogo rappresenta piu’ precisamente il sistema reale che realizza l’ apparato di trasmissione
e quindi permette un suo studio piu’ approfondito. Inoltre fornisce anche una metodologia di
progetto che permette di passare dal diagramma logico alla sua realizzazione. In particolare
dato un diagramma logico del sistema possiamo sostituire ogni blocco con una rete e considerare
103
7.2. MODELLO FISICO
i segnali scambiati nel modello logico come le tensioni3 presenti alle porte delle reti e quindi
misurati in Volt V . Per esempio in figura 7.7 lo schema logico composto da un trasmettitore, un
canale ed un ricevitore e’ rappresentato da un modello fisico composto da un bipolo generatore
che rappresenta il trasmettitore e produce il segnale di tensione s(t), da una rete due porte che
rappresenta il canale e da un bipolo di carico che rappresenta il ricevitore. Il segnale ricevuto
e’ la tensione r(t) presente ai capi del carico. E’ poi possibile passare ad un livello di dettaglio
maggiore e quindi procedere verso la realizzazione. Per esempio nel modello fisico di figura 7.6
possiamo separare ed espandere il ricevitore come mostrato in figura 7.8. Il primo elemento e’
un bipolo generatore che e’ l’ equivalente di Thevenin del circuito che si trova alla sinistra del
ricevitore nello schema originario e quindi schematizza la porta di uscita del canale e produce il
segnale ricevuto r(t). Il bipolo alimenta una serie di blocchi che sono l’ espansione del ricevitore
del diagramma originario e che, in questo esempio, e’ diviso in un filtro, un amplificatore ed un
campionatore. Questi blocchi possono essere espansi ulteriormente per arrivare ai loro schemi
circuitali. Di solito pero’ non e’ necessario arrivare allo schema circuitale di ogni blocco visto che
esistono in commercio componenti che svolgono le funzioni tipicamente richieste negli apparati
di comunicazione come filtraggio, DAC, ADC, amplificazione, modulazione, etc. e quindi il
progettista si limita a selezionare un componente con caratteristiche adeguate alle sue esigenze.
Figura 7.6: Bipologen+reti2p+carico.
Come abbiamo notato e’ possibile associare un modello fisico ad ogni modello logico. Naturalmente questo e’ utile solo se la teoria sviluppata per il modello logico si applica al modello
fisico e quindi permette di prevedere le sue prestazioni. Da questo punto di vista una differenza
importante fra il sistema fisico e quello logico e’ la seguente. Nell’ analisi teorica le prestazioni
sono calcolate in funzione del rapporto fra la potenza di un segnale utile, per esempio s(t), e
quella del rumore che gli si somma. La potenza e’ quella definita nella teoria dei segnali data da
1
Ps = lim
T →∞ T
Z
T
2
− T2
s(t)2 dt.
(7.1)
Nel modello fisico il segnale s(t) e’ una tensione, e’ misurato in V e quindi, visto che sia T
che dt sono tempi, risulta che Ps e’ misurata in V 2 . Non e’ quindi una potenza in senso
3
Naturalmente, se conviene, possiamo anche considerare il segnale come la corrente che scorre alle porte.
104
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
Figura 7.7: Bipolo (tx) + reti (ch) +carico (tx).
Figura 7.8: Tx: bipolo+filtro di rx+ampli+campionatore.
fisico, che sarebbe misurata in Watt W . Nei sistemi reali invece le prestazioni dipendono dalle
potenze fisiche portate dai segnali, misurate in W . Infatti la potenza misura la capacita’ di
compiere lavoro e il segnale ricevuto deve essere in grado di compiere lavoro per esempio per far
vibrare la membrana di un altoparlante in un sistema di trasmissione analogico o per caricare il
condensatore del campionatore di un sistema di trasmissione numerico. Quindi per una analisi
completa del sistema fisico occorre ricavare la potenza effettivamente dissipata dal segnale utile
sulla impedenza di carico. D’ altra parte questo rende l’ analisi del sistema piu’ complicata
ed e’ un passo necessario solo nella fase di realizzazione del sistema. L’ analisi teorica si puo’
fare su un modello fisico ulteriormente semplificato. Il modello fisico semplificato e’ costituito
ancora da uno schema del tipo di figura 7.6 dove pero’, come mostrato in figura 7.9 il bipolo
generatore e’ un generatore ideale di tensione, il bipolo di carico e’ una resistenza pari ad 1 Ω
e le reti due porte sono reti ideali con resistenza di ingresso pari ad 1 Ω e in cui il ramo di
uscita e’ costituito da un generatore ideale di tensione controllato dalla tensione presente sulla
porta di ingresso. Normalmente le reti che compongono il modello sono lineari e permanenti. In
questo caso la rete e’ caratterizzata da una risposta impulsiva h(t) e la tensione di uscita e’ pari
alla convoluzione fra la tensione di ingresso e la risposta impulsiva. Pero’ per descrivere alcuni
7.2. MODELLO FISICO
105
apparati e’ necessario considerare un legame piu’ complesso, non permanente o non lineare. Su
Figura 7.9: BipologenIdeale+reti2pIdeali+caricoIdeale.
questo modello semplificato la potenza del segnale, misurata in V 2 , e la potenza fisica ceduta
al bipolo di carico, misurata in W , sono numericamente identiche e l’ analisi teorica puo’ essere
applicata direttamente. Naturalmente il modello semplificato appena introdotto non e’ adatto
per la progettazione del sistema ne’ permette di studiare aspetti importanti dei sistemi reali
come il trasferimento di potenza fra le reti e l’ adattamento di impedenza fra le reti. Per l’
analisi di questi problemi e’ necessario considerare il modello fisico completo visto prima ma noi
d’ora in poi ci limiteremo a considerare il modello semplificato4 . Il modello fisico semplificato e’
comunque un concetto utile perche’ permette di assegnare un significato fisico ai parametri del
modello logico: in primo luogo abbiamo visto che le potenze risultano misurate in W , ma anche
altre quantita’ del sistema hanno una unita’ di misura nel modello fisico. Per esempio le energie
trasmessa e ricevuta per bit si misurano in Joule o in W · sec. Per quanto riguarda gli spettri di
densita’ di potenza, visto che integrandoli sull’ asse delle frequenze si ottiene una potenza, cioe’
W , sono misurati in W/Hz. Inoltre il modello semplificato non e’ poi cosi’ distante dai sistemi
reali come sembrerebbe. Infatti nei sistemi reali si cerca sempre di rendere le impedenze delle reti
tutte resistive e pari ad un valore prefissato (per esempio 50 o 75 Ω). Questo approccio presenta
il vantaggio che la progettazione delle diverse reti puo’ essere fatta in modo indipendente: il
costruttore della rete progetta il componente assumendo le prefissate impedenze di chiusura ed
e’ compito del progettista garantire che nel sistema finale le impedenze di chiusura siano quelle
previste.
Prima di terminare notiamo che le reti ed i bipoli reali introducono rumore, come vedremo
meglio in una sezione successiva. Il rumore puo’ essere tenuto in conto nel modello fisico che
stiamo considerando aggiungendo un generatore di tensione in serie sull’ uscita della rete, come
mostrato in figura 7.10.
Unita’ di misura logaritmiche. Decibel. Come abbiamo visto il modello fisico permette di
introdurre delle unita’ di misura per le grandezze di un sistema di trasmissione. Nella pratica
spesso e’ comodo considererare non i valori effettivi delle grandezze in questione, ma una loro
versione logaritmica. Come primo esempio consideriamo il decibel. Il decibel, indicato con il
4
Il modello fisico completo e’ trattato piu’ a fondo per esempio in [1, 9]
106
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
Figura 7.10: BipologenIdeale(TX)+rete2pIdeale con AWGN (CH)+caricoIdeale(RX).
simbolo dB, e’ una unita’ di misura che permette di esprimere una grandezza adimensionale
e positiva in forma logaritmica ed e’ tipicamente utilizzato per esprimere rapporti di potenze
come attenuazioni e guadagni. Allora per esempio consideriamo due potenze P1 e P2 entrambe
misurate in W . Il loro rapporto vale R = P1 /P2 ed e’ un numero puro. Per esprimere il rapporto
in dB si deve prendere il logaritmo in base 10 e moltiplicare per 10. Ovvero:
R|dB = 10log10 R
(7.2)
Piu’ in generale, data una qualsiasi grandezza fisica X ≥ 0 espressa in una unita’ di misura
U e’ possibile esprimere quella grandezza in db su U , indicando questa nuova unita’ di misura
con dBU . Allora per esempio la potenza P1 misurata in W puo’ essere espressa in dBW alla
seguente maniera
(7.3)
P1 |dBW = 10log10 P1 |W
Alla stessa maniera si puo procedere se la grandezza e’ espressa con un multiplo dell’ unita’ di
misura. Per esempio se P1 e’ data in mW possiamo calcolare la sua espressione in dB sul mW
(indicati con dBm) alla seguente maniera
P1 |dBm = 10log10 P1 |mW
(7.4)
Il procedimento puo’ essere applicato a qualsiasi grandezza fisica. Per esempio data una banda
B misurata in Hz la possiamo esprimere in dB su Hz (dBHz) cosi’:
B|dBHz = 10log10 B|Hz
(7.5)
L’ uso di unita’ logaritmiche e’ comodo per due motivi principali: in primo luogo in questo
modo e’ possibile rappresentare su uno stesso grafico intervalli di valori molto ampi ed apprezzare
le differenze anche quando i valori sono molto prossimi allo zero. In secondo luogo l’ uso di
unita’ logaritmiche trasforma i prodotti in addizioni, le divisioni in sottrazioni e gli elevamenti
a potenza in moltiplicazioni rendendo piu’ semplici i calcoli. Infatti per i logaritmi valgono le
seguenti prorieta’:
logAB = logA + logB
logA/B = logA − logB
logAB = BlogA;
(7.6)
107
7.3. CANALI E ATTENUAZIONE
allora, riprendendo l’ esempio del rapporto di potenze, risulta:
R|dB = 10log10
P1 |W
= 10log10 P1 |W − 10log10 P2 |W = P1 |dBW − P2 |dBW
P2 |W
(7.7)
e quindi R in dB e’ pari alla differenza fra le potenze espresse in dBW . Come ulteriore esempio
consideriamo un segnale s(t) con spettro di potenza pari a Ps (f ) = X/2 [W/Hz] e banda B
[Hz]. La potenza totale del segnale e’ pari a Ps = XB [W ] e risulta:
Ps |dBW = 10log10 (X|W/Hz B|Hz ) = 10log10 X|W/Hz + 10log10 B|Hz = X|dBW/Hz + B|dBHz (7.8)
e quindi Ps in dBW e’ pari alla somma del livello spettrale espresso in dBW/Hz e della banda
espressa in dBHz.
Naturalmente, data una quantita’ X epressa in dBU , dove U e’ una qualsiasi unita’ di
misura, e’ sempre possibile ricavare la stessa quantita’ misurata direttamente in U con la seguente
formula
X|dBU
X|U = 10 10
(7.9)
Per concludere facciamo qualche esempio numerico: supponiamo di avere una potenza P di
1 W . Allora risulta:
P |W = 1
P |mW = 1000
P |dBW = 0
(7.10)
P |dBm = 30
P |dBKW = −30.
(7.11)
Supponiamo di avere una densita’ di potenza N0 pari a 10−20,4 dBW/Hz. Allora risulta:
N0 |W/Hz = 10−20,4
N0 |dBm/Hz = −174
7.3
N0 |mW/Hz = 10−17,4
N0 |dBW/KHz = −174
N0 |dBW/Hz = −204
N0 |dBm/KHz = −144.
(7.12)
(7.13)
Canali e attenuazione
Nel modello fisico che abbiamo introdotto il canale di trasmissione e’ rappresentato da una rete
due porte in cui entra una tensione e da cui esce una tensione. Discutiamo meglio i limiti e
il campo di applicazione di questo modello e studiamo in quali casi la rete che rappresenta
il canale puo’ essere considerata lineare e permanente. Un primo punto da considerare e’ il
seguente. Nei sistemi reali non sempre i segnali sono di tipo elettrico. Per esempio in un sistema
di comunicazione o di rilevamento SONAR il segnale e’ costituito da un’ onda di pressione che si
propaga nell’ acqua. In altri casi il segnale e’ di natura elettromagnetica, ma il mezzo non si puo’
considerare un circuito a costanti concentrate. Per esempio nella trasmissione radio il segnale e’
costituito da un campo elettromagnetico che si propaga nell’ atmosfera e il fenomeno non puo’
essere rappresentato in dettaglio con un circuito a costanti concentrate. Quindi il modello fisico
puo’ non essere adeguato per uno studio dettagliato del canale. D’ altra parte e’ sempre possibile
individuare dei punti di interfaccia fra il sistema di trasmissione ed il canale nei quali i segnali
scambiati sono delle tensioni. In particolare il segnale di tensione prodotto dal trasmettitore
viene fornito ad un trasduttore di ingresso (per esempio, nel caso di trasmissione radio, all’
antenna di trasmissione) che si occupa di trasformarlo in un segnale adatto alla propagazione
sul canale. Analogamente il segnale all’ uscita del canale viene rilevato da un trasduttore di
108
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
uscita (per esempio, sempre nel caso di trasmissioni radio, l’ antenna di ricezione) che si occupa
di trasformarlo in una tensione che viene fornita al ricevitore. In questo modo, considerando
i trasduttori di ingresso e di uscita come facenti parte del canale, tutti i canali possono essere
schematizzati come reti in cui entra una tensione e da cui esce una tensione. I canali reali sono
poi con buona approssimazione lineari e permanenti. Naturalmente questo e’ vero entro certi
limiti: per esempio se su una linea di trasmissione mandiamo due segnali con potenza di qualche
W o mW all’ uscita troveremo la somma delle uscite relative ai singoli segnali, ma se i segnali
di ingresso hanno una potenza di 1 GW la linea si brucia e non e’ lineare. Circa la permanenza
mentre alcuni canali sono permanenti con ottima approssimazione altri, e tipicamente il canale
radio, possono risultare tempo varianti ed in questo caso e’ necessario considerare modelli piu’
complessi che saranno visti in seguito. In conclusione il canale puo’ essere schematizzato come
una rete lineare e permanente in molti casi pratici entro limiti che dipendono dal particolare
canale fisico che si considera.
Un canale lineare e permanente e’ caratterizzato dalla sua risposta impulsiva c(t). Il segnale
ricevuto e’ costituito dalla convoluzione fra il segnale trasmesso e la risposta del canale ed e’
quindi dato da r(t) = c(t) ∗ s(t). In generale il segnale ricevuto ha quindi una forma diversa
dal segnale trasmesso e ne costituisce una copia distorta. Questa distorsione e’ normalmente
dannosa, per esempio puo’ provocare ISI, e deve essere combattuta per esempio tramite un
equalizzatore. Naturalmente se la distorsione e’ piccola e cioe’ se il segnale ricevuto e’ una
copia quasi fedele (eventualmente scalata e ritrdata) del segnale di ingresso per semplificare il
ricevitore si puo’ tralasciare l’ equalizzazione e tollerare la distorsione e questa e’ una situazione
che si verifica in pratica in molti casi. Per studiare meglio quando il canale non distorce in modo
apprezzabile consideriamo la trasformata di Fourier della risposta impulsiva del canale, indicata
con C(f ) detta la funzione di trasferimento del canale o la risposta in frequenza. La funzione
di trasferimento in generale e’ una funzione complessa della frequenza. E’ quindi possibile
considerare il suo modulo |C(f )| e la sua fase 6 C(f ) come mostrato in fig. 7.11. Per motivi
fisici (il canale e’ un elemento passivo) nei canali reali risulta |C(f )| ≤ 1. Inoltre visto che c(t)
e’ una funzione reale, il modulo e’ una funzione pari e la fase una funzione dispari. Quando il
Figura 7.11: Modulo e fase della risposta in frequenza del canale. Trasmissione a banda stretta.
segnale trasmesso e’ Fourier Trasformabile (e quindi in tutti i casi reali) allora la trasformata
del segnale di uscita e’ data dalla trasformata del segnale di ingresso moltiplicata per la funzione
7.4. AMPLIFICAZIONE
109
di trasferimento del canale, e cioe’ risulta R(f ) = S(f )C(f ). Un caso particolare e’ quando
nella banda del segnale il modulo della funzione di trasferimento rimane (approssimativamente)
costante e la fase ha un andamento (approssimativamente) lineare come mostrato in figura
7.11 per un segnale di banda base. Come si vede dalla figura questa condizione puo’ sempre
essere verificata a patto che il segnale abbia una banda sufficientemente piccola. Nel seguito
quando questa condizione e’ verificata diremo che la trasmissione e’ a banda stretta. Quando la
trasmissione e’ a banda stretta la relazione fra l’ ingresso e l’ uscita si semplifica. In particolare,
nella banda del segnale, e supponendo che il segnale abbia trasformata centrata sull’ origine
.
delle frequenza, risultera’ |C(f )| ≈ |C(0)| = g e 6 C(f ) ≈ −2πf τ , e quindi C(f ) ≈ ge−j2πf τ
nella banda del segnale. La trasformata del segnale d’ uscita e’ data da: R(f ) = S(f )C(f ) =
gS(f )e−j2πf τ . Antitrasformando si ottiene il seguente legame fra ingresso ed uscita: r(t) =
gs(t − τ ). Quindi il segnale ricevuto e’ una copia attenuata (poiche’ g ≤ 1) e ritardata del
segnale di ingresso ed il canale si comporta, per questo segnale, come un canale ideale con
risposta impulsiva c(t) = gδ(t − τ ). Il ritardo viene compensato dal sistema di sincronizzazione
del ricevitore, che ritarda tutte le operazioni della stessa quantita’ di tempo e quindi non ha
effetto sulle prestazioni. Per questo motivo puo’ essere escluso dal modello. Il guadagno g ≤ 1
riduce l’ ampiezza del segnale. Anche la potenza ricevuta viene ridotta. In particolare la potenza
trasmessa e’ la potenza di s(t), indicata con Ps , e quella ricevuta e’ la potenza della parte utile
di r(t), cioe’ gs(t), ed e’ data da Pr = g2 Ps . E’ quindi possibile definire un guadagno di potenza
G = g2 ≤ 1 tale che Pr = GPs . Normalmente pero’ si preferisce definire le attenuazioni di
ampiezza, a = 1/g ≥ 1, e di potenza A = 1/G ≥ 1 e lavorare con queste invece che con i
guadagni. Usando l’ attenuazione la potenza ricevuta e trasmessa sono legate da Pr = Ps /A. In
conclusione quando la trasmissione e’ a banda stetta il canale si semplifica e invece di considerare
la sua risposta impulsiva e’ sufficiente considerare la sua attenuazione o il suo guadagno per
descriverlo completamente.
7.4
Amplificazione
Un componente spesso presente nei sistemi di trasmissione reali e’ l’ amplificatore. In un amplificatore ideale, mostrato in fig 7.12, la tensione di uscita y(t) e’ una copia scalata della tensione
di ingresso x(t), ed in particolare risulta y(t) = gx(t) dove g e’ il guadagno di ampiezza dell’
amplificatore. Normalmente un amplificatore viene pero’ caratterizzato dal suo guadagno di
potenza, G = g2 ≥ 1, che permette di calcolare la potenza di uscita come Py = GPx .
Gli amplificatori reali realizzano entro certi limiti un amplificatore ideale. In primo luogo
in un’ amplificatore reale se l’ ampiezza del segnale di ingresso supera un certo valore, l’ uscita
satura, cioe’ giunge ad un valore massimo e non e’ piu’ proporzionale all’ ingresso. In ogni
caso anche prima della saturazione completa si perde la diretta proporzionalita’ fra l’ ingresso e
l’uscita e quindi l’ amplificatore si comporta come un componente non lineare. Un secondo limite
degli amplificatori reali e’ sulla banda del segnale di ingresso. Un amplificatore riesce a garantire
un guadagno costante solo su una certa banda di frequenze. Oltre una certa frequenza massima,
la banda passante dell’ amplificatore, il guadagno diminuisce e tende a zero. Gli amplificatori
reali sono inoltre limitati da una massima potenza (media e di picco) che possono emettere.
Infine tutti gli amplificatori aggiungono rumore al segnale che amplificano.
110
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
Figura 7.12: Amplificatore ideale.
7.5
Rumore e distorsioni
Distorsioni. Come abbiamo visto in un sistema di trasmissione il segnale utile viene distorto dal
canale e da altre parti del sistema, come gli amplificatori (non ideali). Per esempio supponiamo
di aver trasmesso il segnale s(t) e di ricevere invece il segnale r(t) = s(t) ∗ c(t). In questo
caso il segnale ricevuto si puo’ vedere come un segnale utile piu’ un disturbo che dipende dal
segnale stesso ed e’ detto distorsione. Infatti possiamo sempre scrivere r(t) = s(t) + s(t) ∗
[c(t) − δ(t)] = s(t) + d(t) in cui d(t) e’ il disturbo dovuto alla distorsione5 . E’ possibile definire
un SNR come la potenza di s(t) sulla potenza di d(t) e se lo SNR e’ troppo basso e’ necessario
combattere la distorsione. Notiamo che non e’ possibile combattere la distorsione aumentando la
potenza del segnale. Infatti la distorsione, se e’ lineare, aumenta proporzionalemente al segnale
e lo SNR non cambia. Nel caso distorsioni non lineari l’ SNR puo’ variare ma in questo caso
normalmente aumentando il livello del segnale le cose peggiorano invece di migliorare. Quindi
per combattere la distorsione e’ necessario seguire altre vie, per esempio equalizzare il sistema
in caso di distorsioni lineari o ridurre la potenza nel caso di distorsioni non lineari.
Rumore. Un secondo tipo di disturbo sempre presente nei sistemi di trasmissione e’ l’
aggiunta al segnale utile di altri segnali, indipendenti dal segnale trasmesso. In questo caso,
indicato con s(t) il segnale utile, il segnale ricevuto e’ r(t) = s(t) + n(t) dove n(t) rappresenta
gli altri segnali che si sommano al segnale utile ed e’ detto rumore o interferenza. Questi segnali
possono avere origine da molte cause. Per esempio possono essere l’ interferenza di altri segnali
che si propagano in prossimita’ del segnale utile e che vengono in parte ricevuti. Oppure possono
essere segnali spuri prodotti da apparati come motori o l’ interferenza radio a 50 Hz causata dalla
rete di distribuzione dell’ energia elettrica. Ancora possono essere dovuti a fenomeni naturali
come i lampi e la pioggia. Anche in questo caso il livello di rumore puo’ essere quantificato
calcolando un SNR pari al rapporto fra la potenza del segnale utile e la potenza del rumore. Per
combattere la presenza del rumore e’ possibile aumentare la potenza del segnale utile. Infatti
in questo caso, visto che il disturbo non dipende dal segnale utile, la sua potenza non varia e
lo SNR aumenta. Non abbiamo tempo di approfondire la trattazione delle distorsioni e dell’
5
Per una definizione piu’ precisa di distorsione dovremmo considerare, come segnale desiderato da sottarre al
segnale ricevuto, una copia eventualmente scalata e ritardata del segnale di ingresso.
7.5. RUMORE E DISTORSIONI
111
interferenza. Ci limiteremo a considerare con maggiore dettaglio un particolare tipo di disturbo,
il rumore termico.
Rumore termico. Bipoli. Consideriamo una resistenza. Anche se la resistenza non e’
connessa a nessun generatore se si effettua una misura ai suoi capi si trova che e’ presente una
piccolissima tensione che indichiamo con n(t). La tensione e’ dovuta all’ agitazione termica
degli elettroni del materiale che costituisce la resistenza che, a patto che la temperatura a cui
si trova la resistenza sia maggiore dello zero assoulto, sono in continuo e casuale movimento e
con i loro spostamenti provocano delle piccole correnti che causano la differenza di potenziale
ai capi della resistenza. Questa tensione e’ diversa da resistenza a resistenza e varia nel tempo
in modo non predicibile. Per questo motivo la tensione viene considerata un processo aleatorio
e viene detta rumore termico. Il rumore termico risulta a media nulla e tutte le sue gerarchie
risultano gaussiane. Il processo e’ quindi un processo gaussiano. Inoltre e’ possibile calcolare,
con procedimenti di meccanica quantistica, il suo spettro di densita’ di potenza. Lo spettro
risulta essere piatto fino a frequenza molte elevate, prima di cominciare a scendere verso lo zero.
In particolare in tutte le bande coinvolte dai sistemi di trasmissione lo spettro risulta essere
piatto e di valore Pn (f ) = kT /2 W/Hz dove k e’ la costante di Boltzmann e T e’ la temperatura
a cui si trova la resistenza6 . Per comodita’ quindi si assume che lo spettro risulti piatto su
tutto l’ asse delle frequenze il che rende n(t) un segnale di potenza infinita noto come processo
Gaussiano Bianco. La potenza infinita non e’ un problema in pratica visto che nel sistema di
trasmissione sara’ sempre presente un filtro che si occupera’ di limitare la banda del rumore in
modo da renderlo a potenza finita. Come si vede dall’ espressione dello spettro la potenza del
rumore termico e’ proporzionale alla temperatura a cui si trova la resistenza. Se si trova allo zero
assoluto i suoi elettroni sono immobili ed il rumore termico sparisce, ma se la temperatura e’
maggiore di zero il rumore e’ presente ed e’ tanto piu’ forte quanto maggiore e’ la temperatura.
In particolare, alla temperatura ambiente di T0 = 290 K risulta kT0 = −204 dBW/Hz. In
altre parole il rumore, integrato su una banda di 1 Hz avra’ una potenza −204 dBW ovvero di
10−20,4 W . Integrato su una banda di 1000 Hz ovvero di un KHz, avra’ una potenza di −174
dBW ovvero di 10−17,4 W .
Naturalmente il rumore termico non e’ introdotto solo dalle resistenze, ma anche da tutti
gli altri componenti del sistema. Consideriamo per esempio un bipolo costituito da elementi
passivi comunque connessi e tutti alla stessa temperatura T . Anche in questo caso alla porta del
bipolo e’ presente un rumore termico ed e’ possibile calcolare il suo spettro che risulta ancora
pari a Pn (f ) = kT /2. Quando invece nel bipolo sono presenti elementi a diversa temperatura
oppure sono presenti elementi attivi lo spettro del rumore non risulta piatto e non e’ in generale
possibile calcolarlo. E’ pero’ possibile misurarlo. Una volta misurato Pn (f ) e’ possibile definire,
.
per uniformita’ col caso di bipolo passivo, una temperatura equivalente Te (f ) = 2Pn (f )/k cosi’
da poter scrivere Pn (f ) = kTe (f )/2.
Nel modello fisico il rumore termico puo’ essere tenuto in conto aggiungendo al bipolo un
generatore di tensione in serie su una delle uscite della porta, come mostrato in figura 7.13. Nella
figura e’ schematizzato un sistema di trasmissione composto da un trasmettitore, un canale e
un ricevitore e sono evidenziati i rumori dei due bipoli del modello ovvero del trasmettitore e
6
Piu’ precisamente Pn (f ) e’ lo spettro di densita’ di potenza disponibile del rumore termico. Si veda [1] per
una trattazione piu’ approfondita.
112
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
del ricevitore. Questi sono tenuti in
Notiamo che questi generatori, per
dalla temperatura equivalente a cui
da loro prodotto. Nel diagramma
generatori.
conto dai due generatori posti in serie alle porte dei bipoli.
quello che ci interessa, sono completamente caratterizzati
si trovano, che permette di calcolare lo spettro del segnale
le temperature equivalenti sono riportate al di sopra dei
Figura 7.13: Modello fisico: Tx+ch+rx con rumori di Tx e Rx.
Rumore termico. Reti due porte. Fino ad ora ci siamo occupati solo del rumore introdotto dai bipoli, ma naturalmente anche le reti due porte del sistema introducono rumore.
Per vedere come caratterizzare il rumore introdotto dalle reti consideriamo inizialmente la situazione descritta in figura 7.14 A) in cui un bipolo passivo e’ connesso ad una rete passiva e tutti
gli elementi si trovano alla stessa temperatura T . In questo caso, guardando dentro la porta
aperta della rete si vede ancora un bipolo passivo e quindi il rumore termico dell’ intero bipolo
e’ puo’ essere tenuto in conto con un generatore di rumore a temperatura T e quindi con spettro
kT /2 come mostrato in figura B). Ora facciamo una osservazione importante e che useremo piu’
volte in seguito. Supponiamo che la rete sia lineare e permanente e quindi sia caratterizzata
da una risposta impulsiva h(t) che identifica la funzione di trasferimento H(f ) della rete, il
suo guadagno di potenza G(f ) = |H(f )|2 e la sua attenuazione (di potenza) A(f ) = 1/G(f ).
Ora notiamo che e’ possibile spostare il generatore di tensione dalla seconda porta della rete
alla prima porta, come mostrato in figura C) e fare in modo che, esternamente, e cioe’ per un
osservatore che guarda nella rete dalla seconda porta, il rumore sia lo stesso di prima. Infatti
supponiamo di eliminare il generatore di rumore a temperatura T posto all’ uscita della rete e di
sostituirlo con un generatore a temperatura Tx (f ) = T /G(f ) = T A(f ) posto all’ ingresso della
rete. Dopo questa modifca il rumore presente all’ uscita della rete non e’ cambiato. Infatti il
rumore prodotto dal generatore all’ ingresso della rete sara’ un processo Gaussiano con spettro
Px (f ) = kTx (f )/2 e quando attraversa la rete produce in uscita un nuovo processo ancora Gaussiano e con spettro pari a Pn (f ) = Px (f )|H(f )|2 = kT /2 e cioe’ identico allo spettro di prima.
Quindi il rumore visto all’esterno della rete non e’ cambiato. A questo punto siamo in grado di
isolare il contributo al rumore della sola rete. Per prima cosa notiamo che il generatore di rumore di figura C) tiene ancora conto sia del rumore termico introdotto dal bipolo che dalla rete.
D’ altra parte il contributo del bipolo e’ noto ed e’ un rumore a temperatura T posto in serie
alla porta del bipolo con spettro kT /2. Visto che il rumore complessivo ha spettro kT A(f )/2
7.5. RUMORE E DISTORSIONI
113
e’ possibile sottrargli il contributo del bipolo per isolare il contributo della rete. Procedendo
in questo modo si ottiene che il rumore dovuto alla rete ha spettro kT A(f )/2 − kT /2. Sempre
per uniformita’ con il caso di bipolo passivo conviene definire una temperatura equivalente di
ingresso data da Tei (f ) = T (A(f ) − 1) in modo che lo spettro del rumore della rete si possa
scrivere come kTei (f )/2. La situazione a questo punto diviene quella indicata in figura D) in cui
i contributi della rete e del bipolo sono separati ed il contributo della rete e’ tenuto in conto da
un generatore di rumore con temperatura Tei (f ) = T (A(f ) − 1). Notiamo che i due generatori
di rumore producono processi che sono statisticamente indipendenti l’ uno dall’ altro e quindi
i cui spettri si sommano per formare uno spettro di rumore complessivo uguale a quello che si
aveva in figura C).
Figura 7.14: A) Bipolo+rete B) Bipolo+rete+rumore complessivo. C) Bipolo + rete +rumore
complessivo riportato all’ ingresso. D) Bipolo + rete + rumore separato all’ ingresso. E)
bipolo+rumor bipol+rete+ rumore all’ uscita.
Come abbiamo appena visto il rumore introdotto da una rete due porte passiva i cui elementi
si trovano tutti alla stessa temperatura T si puo’ tenere in conto mettendo all’ ingresso della
rete un generatore di rumore caratterizzato da una temperatura equivalente (di ingresso) data
da Tei (f ) = T (A(f ) − 1). Se la rete non e’ passiva oppure se i suoi elementi non sono tutti
alla stessa temperatura la situazione si complica ma e’ comunque sempre possibile tenere in
conto del rumore della rete con un generatore di rumore posto all’ ingresso della rete. In questo
caso pero’ la temperatura equivalente di ingresso non ha una espressione analitica e in generale
viene ricavata tramite misure e prove di laboratorio: il costruttore della rete effettua le misure e
riporta fra le specifiche del componente la sua temperatura equivalente di ingresso in modo che
lo spettro del rumore si possa ricavare come Pn (f ) = kTei (f )/2.
La temperatura equivalente di ingresso non e’ l’ unica maniera di rappresentare il contributo
di una rete al rumore. Per esempio, tornando all’ esempio di prima, e’ possibile spostare il
contributo della rete dall’ ingresso all’ uscita, ottenendo lo schema di figura 7.14 D). Come
abbiamo visto e’ infatti possibile spostare un generatore di rumore a patto di modificare la sua
temperatura in modo che il rumore complessivo visto alla porta di uscita non cambi. Quindi
in figura D) il contributo della rete e’ rappresentato da un generatore di rumore a temperatura
Teu (f ) = Tei (f )G(f ) = T (A(f ) − 1)G(f ). In questo modo il rumore totale non cambia come e’
facile controllare. La Teu (f ) e’ detta la temperatura equivalente di uscita della rete e costituisce
114
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
una seconda maniera, equivalente, di caratterizzare il rumore introdotto da una rete. Una
terza maniera usata in pratica, e’ quella di specificare il fattore di rumore della rete, definito da
.
F (f ) = 1+Tei (f )/T0 . Il fattore di rumore descrive ancora il rumore introdotto dalla rete visto che
da questo e’ possibile calcolare la temperatura equivalente di ingresso come Tei (f ) = (F (f )−1)T0 .
Per concludere facciamo due osservazioni: la prima e’ che molte delle considerazioni fatte in
questa sezione valgono solo per le frequenze in cui il guadagno delle reti coinvolte e’ maggiore di
0. Infatti se il guadagno va a 0 l’ attenuazione va a ∞ e, per esempio, le temperature equivalenti
per le reti passive non sono calcolabili. Questo non e’ un problema perche’ la rumorosita’
dei componenti deve essere valutata solo per le frequenze in cui e’ allocato il segnale utile e
in queste frequenze il guadagno delle reti in un sistema ben fatto deve essere diverso da 0
altrimenti il segnale utile non giunge a destinazione. Una seconda considerazione e’ che, anche
se per generalita’ abbiamo considerato le temperature di rumore come funzione della frequenza,
nella pratica si cerca sempre di rendere queste temperature costanti nella banda del segnale
utile. Questo infatti permette di semplificare la realizzazione dell’ apparato ricetrasmittente
e la condizione e’ tanto piu’ facile a realizzarsi quanto piu’ e’ piccola la banda del segnale
utile. D’ora in poi assumiamo che questa situazione sia effettivamente realizzata cosi’ che le
temperature risultano delle costanti e non delle funzioni della frequenza.
7.6
Modello del sistema di trasmissione
In figura 7.15 e’ riportato il modello fisico di un sistema di trasmissione piu’ dettagliato di quelli
che abbiamo visto finora. Il modello di figura comprende gli amplificatori e il rumore introdotto
dalle varie reti. Inoltre il canale e’ supposto essere un attenuatore passivo e quindi questo e’ un
modello adeguato per studiare sistemi di trasmissione a banda stretta. Inoltre la situazione di
maggior interesse per le comunicazioni e’ quella in cui l’ attenuazione e’ alta, molto maggiore
di uno, e nel seguito ci limitiamo a considerare questo caso. Il trasmettitore ed il ricevitore
possono realizzare un qualsiasi sistema di mo-demodulazione numerica, per esempio PAM o
OM. Il segnale prodotto dal trasmettitore, indicato con s′ (t) viene passato all’ amplificatore
di trasmissione che ha un guadagno di potenza Gt , transita sul canale che e’ caratterizzato da
una attenuazione pari ad A, viene passato all’ amplificatore di ricezione che ha un guadagno di
potenza Gr e giunge quindi al ricevitore. Il rumore introdotto dai componenti e’ tenuto in conto
dai generatori di rumore ed in particolare le temperature di rumore (riportate all’ingresso per
le reti due porte) sono: T1 quella del trasmettitore, T2 quella dell’ amplificatore di trasmissione,
T3 quella del canale, T4 quella dell’ amplificatore di ricezione e T5 quella del ricevitore. Infine
supponiamo che il canale sia una rete passiva e si trovi a temperatura T e che l’ amplificatore
di trasmissione abbia un fattore di rumore pari a F cosi’ che risulta T4 = (F − 1)T0 . Vediamo
ora in che modo e’ possibile applicare la teoria svolta nei capitoli precedenti per analizzare le
prestazioni del sistema fisico appena descritto.
La prima importante differenza fra il modello appena descritto e quelli considerati nella teoria
e’ che nel sistema fisico il rumore e’ distribuito su tutta la connessione e non e’ introdotto solo
all’ uscita del canale. D’ altra parte, come abbiamo visto nella sezione precedente, e’ possibile
spostare i generatori di rumore e fare in modo che il rumore presente all’ ingresso del ricevitore
non cambi. Allora per esempio il rumore introdotto dal canale al suo ingresso, caratterizzato
7.6. MODELLO DEL SISTEMA DI TRASMISSIONE
115
da una temperatura T3 = (A − 1)T dove T e’ la temperatura a cui si trova la linea, puo’ essere
spostato all’ uscita del canale e quindi sostituito da un generatore di rumore a temperatura
T3 /A = T (A − 1)/A; inoltre visto A >> 1 la temperatura di uscita risulta circa pari a T .
Questo e’ un risultato generale: il rumore introdotto da una rete passiva a temperatura T con
attenuazione elevata puo’ essere tenuto in conto da un generatore di rumore a temperatura T
posto all’ uscita della rete. Analogamente si potrebbe procedere per il rumore introdotto dal
trasmettitore e dall’ amplificatore di trasmissione, spostandoli all’ uscita del canale. D’ altra
parte notiamo che questi rumori sono trascurabili in un sistema ben fatto. Infatti la temperatura
equivalente di rumore complessiva T1 + T2 sara’ superiore alla temperatura fisica a causa della
presenza di elementi attivi nel trasmettitore e nell’ amplificatore ma in un sistema ben fatto
questo aumento viene contenuto ed il rumore complessivo ha potenza assoluta molto bassa. Per
esempio supponendo che il segnale s′ (t) abbia una banda di 1 MHz e che la temperatura di
rumore sia T1 + T2 = 100T0 la potenza del rumore sulla banda del segnale sara’ −124 dBW e
cioe’ circa 10−12 W. Allora se il segnale s′ (t) ha una potenza di 1 mW e cioe’ −30 dBW lo SNR
e’ di 94 dB e il rumore e’ assolutamente trascurabile dato che la sua potenza e’ un miliardesimo
di quella del segnale utile. Lo stesso discorso si puo’ fare relativamente al rumore introdotto dal
ricevitore. Infatti questo rumore si somma al segnale ricevuto dopo che e’ stato amplificato e
in un sistema ben fatto la potenza all’ uscita dell amplificiatore di ricezione deve sempre essere
sufficiente a rendere il rumore introdotto dagli stadi successivi trascurabile. Piu’ precisamente
notiamo che se spostiamo il rumore del ricevitore prima dell’ amplificatore dobbiamo usare un
generatore con temperatura pari a T5 /Gr e possiamo quindi rendere questo rumore trascurabile
rispetto a quello introdotto dal canale, caratterizzato da una temperatura T a patto di garantire
un guadagno adeguato per l’ amplificatore di ricezione. Infine consideriamo il rumore introdotto
dall’ amplificatore di ricezione e notiamo che questo si somma al segnale r(t) presente all’ uscita
del canale. Visto che A >> 1 questo segnale potrebbe essere di potenza molto bassa. In
particolare questo e’ il punto del modello in cui il segnale ha potenza minore in assoluto ed e’
quindi il piu’ critico dal punto di vista del rumore. Per questo motivo non e’ possibile trascurare
il rumore introdotto dall’ amplificatore di ricezione. Sulla base delle considerazioni fatte fino ad
ora possiamo sostituire il modello di figura 7.15 con quello di figura 7.16 in cui e’ presente un unico
generatore di rumore a temperatura Ts , detta temperatura di sistema, che tiene conto di tutto
il rumore introdotto dal sistema. In particolare, avendo trascurato il rumore del trasmettitore,
dell’ amplificatore di trasmissione e del ricevitore, risulta Ts = T +(F −1)T0 ovvero che il rumore
complessivo e’ dominato dal rumore introdotto dal canale e dall’ amplificatore di ricezione. Nel
caso, tipico, in cui il canale sia a temperatura ambiente T0 , risulta Ts = F T0 .
Il sistema di figura 7.16 e’ simile ai modelli logici che abbiamo studiato. In particolare il
rumore avra’ uno spettro pari a
Pn (f ) = kTs /2 = N0 /2
(7.14)
e quindi N0 e’ pari a kTs nel sistema fisico che stiamo considerando. Rispetto ai modelli logici
che abbiamo studiato l’ unica differenza e’ la presenza degli amplificatori e del canale. D’
altra parte questi componenti si limitano a scalare il segnale senza distorcerlo e quindi e’ sempre
possibile passare ad un modello equivalente in cui gli effetti di questi componenti sono considerati
riportando la scalatura direttamente sui punti della costellazione in modo da poter applicare la
teoria sviluppata. Procedendo in questo modo si trova che nel modello fisico la probabilita’
116
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
d’errore e’ sempre una funzione dell’ SNR al ricevitore e cioe’ di SN Rrx = Pr /(N0 fb ) = Eb /N0 .
D’altra parte il modello di figura e’ piu’ dettagliato e permette di studiare piu’ a fondo il
sistema. In primo luogo notiamo che la potenza ricevuta e’ pari alla potenza trasmessa (e
cioe’ alla potenza del segnale s(t) presente all’ uscita dell’ amplificatore di trasmissione) divisa
per l’ attenuazione del canale e quindi Pr = Ps /A. Inoltre notiamo che i due amplificatori
hanno funzioni diverse. Come abbiamo gia’ notato l’ amplificatore di ricezione deve avere una
potenza di uscita tale da rendere trascurabile il rumore introdotto dagli stadi successivi. Oltre
questo livello di potenza e’ inutile aumentare ulteriormente il suo guadagno visto che cosi’ si
amplifica sia il segnale utile che il rumore all’ ingresso del ricevitore e quindi non migliora lo
SNR7 . Per questo motivo l’ amplificatore di ricezione non e’ un amplificatore di potenza; al
contrario, visto che il suo fattore di rumore determina la temperatura di sistema, il suo requisito
principale e’ quello di essere poco rumoroso (LNA, low noise amplifier). L’ amplificatore di
trasmissione ha il compito di amplificare il segnale prima della trasmissione sul canale. Questo
amplificatore deve essere di potenza, visto che deve fornire al segnale potenza sufficiente a
controbilanciare l’ attenuazione inflitta dal canale. In particolare, visto che questo amplificatore
amplifica solo il segnale utile aumentando la potenza emessa da questo amplificatore lo SN Rrx
migliora e la potenza deve essere regolata in modo da fornire un SNR adeguato al ricevitore. La
potenza assoluta dipende dall’ attenuazione: su collegamenti brevi puo’ anche essere modesta
ma per esempio nelle trasmissioni da e verso satelliti puo’ arrivare fino ad alcuni KW . Quindi l’
amplificatore di trasmissione deve essere un amplificatore di potenza (HPA high power amplifier)
e piu’ che la sua rumorosita’ sono critiche altre sue caratteristiche, prima fra tutte la linearita’.
Figura 7.15: tx+ampli+ch+ampli+rx: tutti con rumore all’ ingresso
7.7
Sincronizzazione.
I sistemi che abbiamo studiato richiedono di effettuare certe operazioni in istanti precisi. Per
esempio consideriamo il sistema di trasmissione PAM di banda base a filtro adattato descritto
in sezione 3.3. In questo sistema il trasmettitore deve emettere un simbolo ogni Ts secondi;
7
Tipicamente la potenza di uscita dell’ amplificatore di ricezione in un sistema numerico viene regolata in
modo da far coincidere la dinamica del segnale r ′ (t) con la dinamica dell’ADC.
7.7. SINCRONIZZAZIONE.
117
Figura 7.16: tx+ampli+ch+ampli+rx: con rumore all’ uscita del canale
ed il ricevitore deve campionare l’ uscita dei filtri adattati esattamente negli istanti kTs per
evitare l’ ISI. Quindi nel sistema deve essere presente una parte dedicata alla temporizzazione
o sincronizzazione che, per esempio, produce un segnale di clock che abbia transizioni in tutti
gli istanti kTs . Per brevita’ rinunciamo a studiare in modo approfondito come realizzare questa
parte e ci limitiamo ad alcune considerazioni qualitative.
Nel trasmettitore il segnale di sincronismo puo’ essere realizzato tramite un oscillatore a
frequenza fs , che produce, per esempio, un’onda quadra con transizioni in tutti gli istanti kTs .
Si potrebbe pensare di generare il sincronismo in maniera analoga al ricevitore, impiegando un
secondo oscillatore a frequenza fs . Purtroppo questa non e’ una soluzione praticabile perche’
qualsiasi oscillatore ha delle piccole deviazioni dalla sua frequenza nominale di oscillazione, che
dipendono dai fattori piu’ disparati (temperatura, rumore termico, invecchiamento). Usando
due oscillatori diversi, anche se fosse possibile farli partire esattamente nello stesso istante, dopo
un certo tempo le onde quadre dei due risulterebbero sfasate. La soluzione consiste nel derivare
il clock del ricevitore direttamente dal clock del trasmettitore, in modo da tenere i due clock in
fase (o, come si dice, ’agganciati’).
Per derivare il clock del ricevitore da quello del trasmettitore sono possibili una grande varieta’ di soluzioni. La piu’ elementare e’ quella di inviare il clock del trasmettitore oltre al segnale
di informazione. Questa soluzione e’ molto semplice ma richiede una linea di trasmissione dedicata al clock, ed e’ quindi poco conveniente. Una soluzione piu’ efficiente e’ quella di derivare il
clock del ricevitore dal segnale trasmesso. In pratica nel ricevitore si usa un oscillatore a frequenza variabile, la cui frequenza viene controllata (accellerata o rallentata) in modo da mantenerla
identica a quella dell’ oscillatore di trasmissione. Il segnale di controllo per l’ oscillatore viene
ottenuto dal segnale ricevuto, come mostrato in figura 7.17. Non abbiamo tempo di vedere in
dettaglio come funzionano questi circuiti di aggancio (detti PLL: phase lock loop), ma, intuitivamente, considerando per esempio un PAM binario con impulsi rettangolari che trasmetta
una sequenza di valori alternati, +1, −1, +1, −1, ...., e’ chiaro che il segnale trasmesso contiene
informazioni sulla sincronizzazione: il segnale e’ un’onda quadra che cambia valore esattamente
ogni Ts secondi. Naturalmente in pratica i simboli trasmessi non saranno alternati, ma se nel
segnale ci sono un numero sufficiente di transizioni e’ comunque possibile controllare il segnale
di clock con il segnale ricevuto, risincronizzando il clock ad ogni transizione. Un problema si
118
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
puo’ avere pero’ in presenza di una lunga sequenza di valori uguali, per es. una sequenza di +1.
In questo caso il segnale ricevuto potrebbe non contenere un numero sufficiente di transizioni e
si rischia di perdere l’ aggancio fra i due clock. Questa eventualita’ viene evitata in pratica in
molte maniere. Per esempio e’ possibile forzare la trasmissione di un −1 quando viene identificata una lunga sequenza di +1. Oppure e’ possibile inserire periodicamente una sequenza di
valori alternati nel segnale trasmesso: questa sequenza non porta informazione, ma e’ usata solo
per la sincronizzazione. Ancora, e’ possibile usare impulsi particolari, che favoriscono la sincronizzazione: un esempio e’ in fig. 7.18. In fig. 7.18 il segnale g(t) e’ composto da due porzioni
rettangolari, una positiva ed una negativa. Questo segnale garantisce almeno una transizione
per ogni simbolo nel segnale trasmesso.
Figura 7.17: Sistema PAM con sincronizzazione
Notiamo che oltre alla necessita’ di identificare gli istanti di campionamento kTs (sincronizzazione di tempo), in un sistema di trasmissione sono necessarie altre forme di sincronizzazione.
Per esempio, oltre a dover riconoscere gli istanti kTs , il ricevitore deve essere in grado di identificare il valore di k, cioe’ di capire se il simbolo per cui sta’ prendendo la decisone e’ il primo,
il secondo etc. di quelli trasmessi. Anche in questo caso normalmente il segnale trasmesso
contiene informazioni che aiutano questa operazione. Per esempio i simboli trasmessi possono
essere divisi in blocchi (trame) che iniziano con una sequenza di simboli prestabilita. In questo
modo il ricevitore, riconoscendo questa sequenza, e’ in grado di rivelare l’ inizio di una trama
e quindi di capire se il simbolo ricevuto e’ il primo, il secondo etc. della trama. Questa forma
di sincronizzazione si chiama sincronizzazione di trama o di sequenza. Inoltre, nei sistemi di
trasmissione in banda traslata, in cui il segnale trasmesso e’ ottenuto modulando un segnale
sinusoidale, per effettuare la demodulazione e’ necessario produrre una copia di questo segnale
sinusoidale al ricevitore ed e’ necessario mantenere la copia in fase con la sinusoide utilizzata dal trasmettitore. Questa e’ una terza forma di sincronizzazione, detta sincronizzazione di
frequenza.
7.7. SINCRONIZZAZIONE.
Figura 7.18: Onda con impulso ’Manchester’
119
120
CAPITOLO 7. MODELLO FISICO DI UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
Capitolo 8
Canali di trasmissione
I canali di trasmissione usati in pratica sono molti e diversi. Una possibile classificazione divide
i canali in tre tipi: le linee di trasmissione (una qualsiasi coppia di conduttori), canali radio
e fibre ottiche. Questi tre tipi di canale non coprono la totalita’ dei canali esistenti1 ma la
maggior parte delle comunicazioni avviene su uno di questi canali che quindi sono gli unici che
consideriamo nel seguito. In particolare daremo dei cenni sulle loro caratteristiche fisiche2 e
dei modelli che ne schematizzano il comportamento e che possono essere usati nell’ analisi e
nel dimensionamento di sistemi di trasmissione. Lo schema di riferimento e’ il modello fisico
riportato in figura 8.1 in cui il canale e’ schematizzato come un filtro lineare e permanente con
risposta impulsiva c(t). All’ ingresso viene applicata la tensione s(t) che costituisce il segnale
trasmesso ed all’ uscita e’ presente la tensione r(t) = s(t)∗c(t) che costituisce il segnale ricevuto.
Si noti che consideriamo compresi nel canale i ttasduttori di ingresso e uscita. Dato il modello
Figura 8.1: Tx+c(t)+Rx.
di figura 8.1 per caratterizzare un canale e’ necessario specificare la sua risposta impulsiva
c(t) oppure, equivalentemente, la sua funzione di trasferimento C(f ). D’ altra parte abbiamo
visto nel capitolo 6 che la fase della funzione di trasferimento, almeno in teoria, non ha effetto
1
Come esempi di canali che non rientrano nei tre tipi analizzati si consideri la trasmissione via SONAR fra
due sommergibili oppure le comunicazioni via infrarossi fra un telecomando e un apparecchio televisivo.
2
Per un approfondimento si vedano per esempio [1, 9].
121
122
CAPITOLO 8. CANALI DI TRASMISSIONE
sulle prestazioni (si vedano le equazioni (6.15) e (6.24)). Per questo motivo, oppure perche’ la
fase e’ lineare, e’ sufficiente specificare il solo modulo della funzione di trsferimento, |C(f )|. Il
modulo della funzione di trasferimento rappresenta il guadagno di ampiezza che la componente a
frequenza f subisce nell’ attraversare il canale mentre |C(f )|2 e’ il guadagno di potenza. Queste
quantita sono per motivi fisici (il canale e’ un elemento passivo) minori di uno. Per questo spesso
si preferisce lavorare con i reciproci di queste quantita’ ovvero con le attenuazioni di ampiezza
a(f ) = 1/|C(f )| o di potenza A(f ) = 1/|C(f )|2 . Infine l’ attenuazione di potenza e’ spesso
espressa in dB: A(f )|dB = 10log10 A(f ).
8.1
Linee di trasmissione
Le linee di trasmissione sono il primo canale che e’ stato usato usato per la trasmissione elettrica.
Una linea di trasmissione e’ costituita da una coppia di conduttori separati da un dielettrico a cui
viene applicata una differenza di potenziale (il segnale trasmesso). Questa differenza di tensione
si propaga e puo’ essere rivelata all’ uscita. Esempi di linee di trasmissione sono mostrati in
figura 8.2 e sono le linee aeree (ormai obsolete, usate per il telegrafo), il doppino telefonico (che
collega il telefono fisso di ogni casa con la centralina telefonica) ed il cavo coassiale (usato per
esempio per realizzare una rete locale di computer).
Figura 8.2: Linee aeree, doppino telefonico e cavo coassiale.
Nel caso delle linee di trasmissione non sono necessari trasduttori particolari per immettere il
segnale (che e’ una tensione) sulla linea e per rivelarlo alla sua uscita. Pero’ per evitare distorsioni
e garantire un trasferimento ottimale della potenza e’ necessario adattare l’ impedenza degli
amplificatori (di trasmissione e ricezione) a quella della linea il che viene fatto tramite una rete
di adattamento di impedenza.
Una caratteristica comune a tutte le linee di trasmissione (ed alle fibre ottiche) e’ che l’
attenuazione aumenta esponenzialmente con la lunghezza del collegamento. Infatti sulle linee di
trasmssione l’ attenuazione e’ dovuta al fatto che il materiale assorbe una parte della potenza
che lo attraversa e si riscalda. La quantita’ di potenza assorbita e’ proporzionale alla potenza
che attraversa il materiale. Per esempio, considerando un tratto di linea di 1 m, supponiamo
che all’ uscita della linea sia presente una potenza pari al 99% di quella immessa all’ ingresso
(ovvero che 1 m di linea assorba l’ 1% della potenza che lo attraversa). Allora se si immette
123
8.1. LINEE DI TRASMISSIONE
una potenza di Ps W all’ ingresso di una linea di 1 m all’ uscita la potenza e’ 0.99Ps . Se la linea
prosegue con un altro tratto di 1 m, la potenza all’ uscita e’ 0.99 · 0.99Ps . In generale, se la linea
e’ lunga L metri la potenza all’ uscita e’ 0.99L Ps = Ps /A. Da quest’ ultima formula si deduce che
A = (1/0.99)L , e cioe’ che l’ attenuazione cresce esponenzialmente con la lunghezza della linea.
In generale per qualsiasi tipo di linea di L m risulta A = αL
0 dove α0 e’ l’ attenuazione di 1 m
di linea (α0 = 1/0.99 nell’esempio precedente). Normalmente si preferisce lavorare con i Km
invece che con i m. Allora, ripetendo il ragionamento precedente, si ricava che A = αL
0 dove L
e’ misurata in Km e α0 e’ l’ attenuazione di 1 Km di linea. Infine normalmente le attenuazioni
.
sono calcolate in dB, e risulta A|dB = 10log10 A = L10log10 α0 = LA0 dB dove A0 = 10log10 α0
e’ l’ attenuazione in dB/Km della linea. Notiamo che, quando e’ espressa in dB, l’ attenuazione
e’ direttamente proporzionale alla lunghezza della linea.
Nei canali reali la quantita’ di potenza assorbita varia in generale dalla frequenza del segnale
di tensione che viene immesso sulla linea. In particolare la funzione di trasferimento C(f ) della
linea dipende da un gran numero di fattori comprendenti la forma, le dimensioni ed il materiale
usato per realizzare i conduttori ed il dielettrico che li separa.
Per esempio su un cavo coassiale adattato correttamente l’ attenuazione risulta approssimativamente costante ed indipendente dalla fraquenza fino ad una frequenza di qualche decina di
KHz. Per frequenza superiori a 100 KHz la resistenza del cavo aumenta a causa dell’ effetto
pelle (ovvero la tendenza degli elettroni a concentrarsi sulla superfice esterna dei conduttori). In
generale, per frequenze superiori a circa 100 KHz, l’ attenuazione di potenza di un cavo coassiale
e’ descritta dalla formula seguente:
q
A(f )|dB = A1 f |M Hz L|Km dB.
(8.1)
Nella formula precedente, che fornisce l’ attenuazione di potenza espressa in dB di un cavo di L
Km, la costante A1 (dB/Km) e’ l’ attenuazione di 1 Km di linea quando la linea e’ chiusa su un
carico adattato e all’ ingresso viene applicata una tensione sinusoidale con frequenza di 1 MHz.
La costante A1 e’ un valore che dipende dalle caratteristiche fisiche della linea e viene misurato
e fornito dal produttore della linea stessa. Per valori di frequenza al di sotto dei 100 KHz l’
attenuazione tende a diventare costante. Il valore limite dell’ attenuazione, cioe’ quello per cui
f → 0 dipende ancora dal tipo di cavo che si sta usando e dalle condizioni di adattamento agli
estremi. Comunque per frquenze al di sotto dei 100 KHz l’ attenuazione si puo’ scrivere come
A|dB = A0 L|Km dB.
(8.2)
dove la costante A0 (dB/Km) e’ l’ attenuazione di 1 Km di linea quando la linea e’ chiusa su un
carico adattato e all’ ingresso viene applicata una tensione costante.
Per concludere diciamo che il rumore introdotto da una linea si ricava notando che questa e’
schematizzabile come una rete due porte passiva. Sulla base dell’ analisi svolta in sezione 7.6 il
suo contributo di rumore puo’ quindi essere tenuto in conto, nel caso generale, con un generatore
di rumore posto al suo ingresso e caratterizzato da un fattore di rumore F (f ) = A(f ). Nel caso
in cui l’ attenuazione non vari in modo apprezzabile con la frequenza si ha, piu’ semplicemente
F = A.
124
CAPITOLO 8. CANALI DI TRASMISSIONE
8.2
Canale radio
Nelle trasmissioni radio il segnale e’ costituito dal campo elettromagnetico. I trasduttori di
ingresso e di uscita sono le antenne di trasmissione e ricezione che si occupano di convertire
una tensione in un campo elettromagnetico e viceversa. Il mezzo in cui si propaga il campo
elettromagnetico (e quindi il canale vero e proprio) dipende dalla applicazione che si considera.
Il caso piu’ semplice ed importante e’ quello in cui il mezzo di propagazione e’ costituito dallo
spazio libero (vuoto) il che, entro certi limiti, modella bene anche il caso in cui lo spazio e’
occupata dall’ atmosfera.
Antenne. Prima di passare a vedere alcuni modelli di canale diamo alcune nozioni elementari
sulle antenne3 . Ricordiamo che qualsiasi segnale puo’ essere visto (grazie alla trasformata di
fourier) come una somma di sinusoidi e che le antenne sono dispositivi lineari. Allora per studiare
le caratteristiche di una antenna possiamo studiare quello che succede quando le si applica all’
ingresso una sinusoide. Infatti quando il segnale e’ una somma di sinusoidi possiamo ripetere
l’ analisi per le varie componenti e sommare i risultati. Consideriamo quindi una antenna a
cui sia applicata una tensione sinusoidale a frequenza f Hz. In risposta a questa tensione
l’ antenna produce un campo elettromagnetico sinusoidale alla stessa frequenza. L’ antenna
e’ caratterizzata da una impedenza di ingresso e applicando una tensione su questa impedenza
eroghiamo potenza all’ antenna. Questa potenza viene in parte trasferita dall’ antenna al campo
elettromagnetico e in parte sprecata per esempio per scaldare per scaldare il conduttore che
costituisce l’ antenna stessa. Allora un parametro importante dell’ antenna e’ il rapporto fra la
potenza che si riesce ad immettere nell’ antenna e quella effettivamente trasmessa (trasferita al
campo elettromagnetico). Naturalmente l’ efficienza dell’ antenna e la sua impedenza di ingresso
sono diverse a seconda della frequenza della sinusoide che gli viene applicata ed in particolare
per avere buone efficenze e basse impedenze di ingresso occorre che le dimensioni dell’ antenna
siano paragonabili a quelle della lunghezza d’onda del campo elettrico che produce. Visto che, nel
vuoto, il campo elettrico si propaga alla velocita’ della luce c = 3 · 108 m/sec la lunghezza d’onda
e’ data da λ = c/f e ricaviamo che le dimensioni delle antenne devono essere tanto maggiori
quanto piu’ bassa e’ la frequenza. In particolare quando la frequenza tende a zero (ossia quando
si applica una tensione continua) l’ impedenza di ingresso di una antenna reale (che ha dimensioni
necessariamente finite) tende ad infinito e quindi il segnale non viene trasferito per nulla al campo
elettromagnetico. Per questo motivo sul canale radio non e’ possibile inviare segnali di banda
base ma solo segnali di banda traslata. In particolare le antenne vengono progettate in modo
da avere impedenza e efficienza grosso modo costanti in una banda di frequenze centrata sulla
frequenza portante del segnale trasmesso e le dimesnioni dell’ antenna risultano inversamente
proporzionali alla frequenza portante. Si pensi per esempio alla sede della radio vaticana vicino
al lago di Martignano: le trasmissioni sono a bassa frequenza (dell’ ordine di pochi MHz) o,
come si dice, ad onde lunghe e le antenne sono di centinaia di metri. Un apparecchio televisivo,
che opera a frequenze dell’ ordine di qualche centinaio di MHz, richiede antenne molto piu’
piccole dell’ ordine del metro di dimensioni. Un telefono cellulare, che trasmette su frequenze
dell’ ordine del GHz, richiede antenne ancora piu’ piccole, con dimensioni dell’ ordine di qualche
centimetro.
3
Per un approfondimento si consulti []
125
8.2. CANALE RADIO
Una altra caratteristica importante delle antenne e’ la loro capacita’ di concentrare il campo
elettromagnetico che emettono in una particolare direzione. Il caso piu’ semplice e’ quello di
antenna isotropa: questo modello di antenna e’ solo teorico e corrisponde ad una antenna che
irradia il campo in uguale misura in tutte le direzioni. Le antenne reali invece hanno delle
direzioni prefernziali ed e’ possibile, dando all’ antenna una forma opportuna (per esempio
parabolica), concentrare il fascio elettromagnetico in direzioni particolari. Questa capacita’ di
concentrazione viene misurata da una funzione detta guadagno dell’ antenna. Per capire come
e’ definita questa funzione si osservi la figura 8.3. In questa figura una antenna e’ posta al centro
di un sistema di riferimento polare ed e’ possibile identificare la direzione di un raggio uscente
dall’ antenna specificando due angoli, θ e φ, che danno gli angoli sottesi dal raggio uscente con
gli assi del sistema di riferimento. Una antenna isotropa emette potenza alla stessa maniera
in tutte le direzioni. Invece le antenne reali emettono piu’ potenza in certe direzioni e meno
in altre e questa loro caratteristica e’ misurata da una funzione G(φ, θ). che e’ un coefficiente
moltiplicativo per il quale bisogna moltiplicare la potenza emessa da una antenna isotropa per
calcolare la potenza emessa da una antenna reale in quella direzione. In altre parole una antenna
isotropa ha guadagno G(φ, θ) = 1, uguale in tutte le direzioni, mentre le antenne reali hanno
G(φ, θ) > 1 in certe direzioni (e quindi emettono piu’ potenza di una antenna isotropa in quella
direzione) mentre risulta G(φ, θ) < 1 in altre direzioni (e quindi emettono meno potenza di una
antenna isotropa in quella direzione). La funzione guadagno puo’ essere rappresentata come una
superfice nello spazio a tre dimensioni: la distanza dall’ origine della superfice nella direzione
φ, θ e’ posta pari a G(φ, θ). Come esempio si osservino le funzioni di guadagno riportate in
figure 8.3. Le antenne possono essere classificate in base alla loro funzione di guadagno: antenne
isotrope, a spillo, a bandiera etc. Come ulteriore commento si noti che in tutti i casi pratici
l’ antenna ricevente viene posta sulla direzione dove e’ massimo il guadagno: si puo’ quindi
definire un parametro, chiamato ancora guadagno di antenna, dato da G = maxφ,θ G(φ, θ), che
non dipende dalla direzione e che rappresenta il guadagno dell’ antenna nella direzione dell’
antenna di ricezione.
Figura 8.3: Guadagno.
Un ’altra caratteristica delle antenne a cui accenniamo e’ la loro capacita’ di ricevere potenza.
In linea generale un campo elettromagnetico che si propaga trasporta potenza ed e’ possibile
calcolare la densita’ superficiale di potenza presente in ogni punto dello spazio in cui il campo
126
CAPITOLO 8. CANALI DI TRASMISSIONE
si sviluppa. Una antenna immersa nel campo e’ in grado di assorbire questa potenza ed in
particolare tutta quella che colpisce la sua superfice. La potenza che assorbe una antenna e’
quindi proporzionale alla sua superfice. D’ altra parte la situazione non e’ cosi’ semplice. In
primo luogo, come succede per la trasmissione di potenza, l’ antenna e’ in grado di assorbire
potenza solo se il campo elettromagnetico ha una lunghezza d’onda confrontabile o minore
delle dimensioni dell’ antenna e quindi la quantita’ di potenza effettivamente assorbiat varia
con la frequenza del campo elettromagnetico. Inoltre, come per la potenza emessa, e’ possibile
rendere l’ antenna piu’ sensibile alla potenza proveniente da una certa direzione piuttosto che
da un’ altra: queste due caratteristiche vengonpo tenute in conto introducendo una funzione
Ae (φ, θ) detta area efficace che da’ il valore di area (che puo essere maggiore o minore dell’ area
effettiva) da considerare per l’ antenna quando il campo elettromagnetico che la colpisce proviene
dalla direzione φ, θ. Per ogni antenna questa funzione e’ legata alla funzione di guadagno ed
in particolare risulta4 Ae (φ, θ) = G(φ, θ)λ2 /(4π). Infine notiamo che, in pratica, l’ antenna
ricevente viene orientata in modo che l’ antenna trasmittente sia allineata con la direzione in
cui l’ antenna ha la massima area efficace (che e’ anche quella dove ha il massimo guadagno) e
in questo caso e’ possibile tralasciare la direzione e scrivere piu’ semplicemente Ae = Gλ2 /(4π)
dove G e’ il massimo guadagno dell’ antenna.
Infine notiamo che le antenne, come tutti gli altri componenti di un sistema di trasmissione,
introducono rumore termico. In particolare il rumore introdotto dall’ antenna di trasmissione e’
normalmente trascurabile, visto che in questo stadio del sistema la potenza del segnale e’ sempre
molto maggiore di quella del rumore e quindi lo SNR e’ alto. Al contrario il rumore introdotto
dall’ antenna di ricezione cade nel punto del collegamento in cui il segnale utile ha la minima
potenza e non e’ quindi possibile trascurarlo. Il rumore introdotto e’ sia quello termico dell’
antenna stessa, che e’ una rete passiva, nonche’ i disturbi e le interferenze che questa capta. Il
livello del rumore dipende quindi da molti fattori fra cui la temperatura a cui si trova l’ antenna,
dal suo puntamento e dalla banda di frequenze in cui avviene la trasmissione. Senza approfindire
l’ argomento nel seguito ci limiteremo a considerare che il rumore introdotto dall’ antenna possa
essere tenuto in conto da un generatore di rumore a temperatura pari a quella a cui si trova l’
antenna posto in serie alla porta d’ uscita dell’ antenna.
Canale Gaussiano: Propagazione nello spazio libero Il primo e piu’ importante modello
di propagazione per le trasmissioni radio e’ quelo cosi’ detto da spazio libero, nel quale si suppone
che l’ antenna trasmittente e quella ricevente siano separate da spazio vuoto, privo di ostacoli.
Supponiamo inoltre, in questa prima fase, che le antenne siano isotrope ovvero che emettano e
ricevano potenza in modo uguale in tutte le direzioni e che abbiano efficenza unitaria. In queste
ipotesi la potenza trasmessa, indicata con Pt , viene irradiata in tutte le direzioni. Dato che la
propagazione avviene nel vuoto non c’e’ assorbimento di energia da parte del mezzo e quindi,
ad una distanza L m dall’ antenna di trasmissione, l’ intera potenza di trasmissione si trovera’
distribuita su una sfera di superfice 4πL2 dimodoche’ la densita’ superficiale di potenza sara’
Pt /(4πL2 ). L’ antenna di ricezione e’ in grado di catturare la potenza che la colpisce. Allora
indicando con Ar l’ area dell’ antenna ricevente, la potenza ricevuta sara’
Pr =
4
Si veda, per esempio, [1].
Pt Ar
4πL2
(8.3)
127
8.2. CANALE RADIO
L’ equazione precedente da’ l’ attenuazione nel caso di antenne isotrope ma nella pratica le
antenne, come abbiamo visto, non sono isotrope. Per tenere conto delle caratteristiche reali, e
supponendo che le antenne siano allineate in modo che l’ antenna di ricezione sia posta sulla
direzione di massima emissione dell’ antenna di trasmissione e che l’ antenna di trasmissione sia
posta sulla direzione in cui l’ antenna di ricezione ha la massima capacita di assorbire energia,
dobbiamo in primo luogo moltiplicare la potenza trasmessa per il guadagno dell’ antenna di
trasmissione, che indichiamo con Gt ed in secondo luogo sostituire l’ area fisica dell’ antenna
di ricezione con la sua area efficace, data da Ae = Gr λ2 /(4π) dove abbiamo indicato con Gr
il guadagno dell’ antenna di ricezione. Effettuando queste sostituzioni ed usando la relazione
λ = c/f dove c e’ la velocita’ della luce nel vuoto ricaviamo:
Pr = Pt Gr Gt (
c 2
)
4πLf
(8.4)
4π 2 L2 f 2
)
c Gt Gr
(8.5)
Da quest’ ultima espressione si ricava
A(f ) = Pt /Pr = (
Nell’ equazione precedente risulta pratico misurare le distanze in Km e le frequenze in MHz =
1/usec. In questo caso la velocita’ della luce va espressa in KM/usec e risulta c = 3 · 105 Km/sec
= 0, 3 Km/usec. Infine conviene esprimere la’ attenuazione in dB, ovvero prendere 10log10 dell’
espressione precedente. Si ricava
A(f )|dB = 10log10 ((
4π 2
) ) + 20log10 (f |M Hz ) + 20log10 (L|Km ) − Gt |dB − Gr |dB .
c
(8.6)
ed infine, sostituendo c = 0, 3 Km/usec e calcolando il logaritmo
A(f )|dB = 32, 4 + 20log10 (f |M Hz ) + 20log10 (L|Km ) − Gt |dB − Gr |dB .
(8.7)
L’ espressione precedente fornisce l’ attenuazione di potenza espressa in dB del canale radio in
condizioni di propagazione nello spazio libero ed a’ anche nota col nome di equazione di Frijs.
Circa la fase della funzione di trasferimento del canale radio si noti che il campo elettromagnetico
si propaga nel vuoto alla velocita’ della luce indipendentemente dalla frequenza a cui oscilla: la
fase sara’ quindi una funzione lineare della frequenza (il che corrisponde ad un ritardo uguale
su tutte le frequenze: cfr la proprieta’ di traslazione nel tempo delle FT) e sara’ proporzionale
alla distanza fra le antenne. Come osservazione si noti che nel canale radio l’ attenuazione
di potenza in dB aumenta con il logaritmo della distanza (ovvero, in lineare, con il quadrato
della distanza): questa e’ una condizione estremamente piu’ favorevole di quanto avveniva per
le linee di trasmissione, in cui l’ attenuazione in dB aumentava proporzionalmente alla distanza
(cioe’, in lineare, esponenzialmente). Questo vantaggio e’ dovuto al fatto che, nel canale radio,
l’ attenuazione non e’ dovuta all’ assorbimento di potenza da parte del mezzo, che aumenta
esponenzialmente con la distanza, ma alla dispersione della potenza trasmessa, cha aumenta col
quadrato della distanza.
Canale selettivo in frequenza: canale a due cammini
Canale tempo variante e effetto doppler
Canale aleatorio: affievolimento e attenuazione supplementare
128
CAPITOLO 8. CANALI DI TRASMISSIONE
8.3
Fibre ottiche
La struttura di una fibra ottica e’ simile a quella di un cavo coassiale ed e’ mostrata in figura
8.4. La fibra e’ costituita da un nucleo (core) e da un mantello (cladder) che avvolge il nucleo
entrambi costruiti in materiale trasparente. Il segnale che si propaga sulla fibra e’ la luce, ovvero
un campo elettromagnetico che oscilla alle frequenze della luce visibile. Il nucleo ed il mantello
hanno indici di rifrazione diversi e tali che un raggio luminoso immesso nel nucleo (entro un
certo angolo) viene riflesso completamente dal mantello: in questo modo il raggio si propaga in
modo guidato all’ interno del nucleo stesso. I trasduttori di ingresso sono dispositivi in grado di
convertire una tensione in un segnale luminoso ed i piu’ usati sono il diodo LED (Light Emitting
Diode) ad il Laser. I trasduttori di ingresso svolgono la funzione opposta e producono una
tensione proporzionale alla potenza luminosa che ricevono. I piu’ usati sono i diodi PIN o i
diodi a valanga (APN). Il tipo di modulazione piu’ usata e’ quella OOK (On Off Keying) ovvero
quella in cui si invia un impuslo di luce per un bit a 1 e nessun impulso per un bit a 0.
Le fibre ottiche sono mezzi di trasmissione diversi dalle linee e dal canale radio. Per esempio, oltre al rumore termico, sono presenti disturbi specifici, come il rumore quantico, ma un
loro studio approfondito e’ al di fuori degli scopi di questo testo5 . Come commento generale
notiamo che le fibre sono mezzi di trasmissione estremamente buoni rispetto alle linee ed alle
trasmissioni radio: si riescono a raggiungere velocita’ di trasmissione di qualche Gbit/sec su
distanze di qualche decina di Km con probabilita’ d’errore trascurabili, dell’ ordine di 10−10 .
Spesso il fattore che limita la velocita’ di trasmissione non e’ la fibra in se’, ma l’ elettronica
del trasmettitore e del ricevitore. Per questo motivo le fibre ottiche sono ormai usate in tutte
le tratte ad alta velocita’ e lunga distanza delle reti di trasmissione e stanno via via sostituendo
le linee ovunque queste sono usati. Fra i pochi svantaggi delle fibre ottiche citiamo la maggiore
rigidezza rispetto ai cavi che non permette sempre di sostituire un cavo con una fibra. Inoltre
la quantita’ di collegamenti realizzati tramite linee di trasmissione e’ tale che non risulta economicamente conveniente sostitire i cavi con fibre. Inoltre le tecniche di trasmissione moderne
(per esempio i sistemi xDSL) hanno permesso di incrementare in modo considerevole la velocita’ di trasmissione che si riesce a realiizare sui cavi. Per questi motivi le linee di trasmissione
continueranno ad essere un mezzo di trasmissione molto usato ancora per parecchi anni.
5
Si veda per esempio [1, 5].
8.3. FIBRE OTTICHE
Figura 8.4: Linee aeree, doppino telefonico e cavo coassiale.
129
130
CAPITOLO 8. CANALI DI TRASMISSIONE
Capitolo 9
Analisi e dimensionamento di sistemi
di trasmissione
In questo capitolo proponiamo diversi esempi ed applicazioni della teoria svolta nei capitoli
precedenti. In tutti gli esempi assumiamo, se non diversamente specificato, che i simboli da
trasmettere siano equiprobabili. Inoltre gli schemi che consideriamo sono modelli fisici e quindi
i segnali scambiati sono tensioni e tutte le reti coinvolte hanno impedenza d’uscita nulla e
impedenza di ingresso pari a 1Ω.
9.1
9.1.1
Trasmissioni in banda base su canale Gaussiano
Analisi di un sistema PAM
Figura 9.1: Sistema PAM: sorg+g(t)+ampli+noise+g(-t)+camp+deci
Si consideri il sistema di trasmissione PAM riportato in figura 9.1. La sequenza di simboli
sk assume valori in una costellazione 4-PAM e precisamente sk ∈ {−3, −1, 1, 3} · 10−3 ed e’
prodotta con una frequenza di simbolo fs = 10KHz. Il filtro sagomatore ha risposta g(t) =
p
1/ (Ts )rect(t/Ts ). La potenza del segnale all’ uscita dell’ amplificatore di trasmissione e’ Ps =
40 dBm. Il canale e’ ideale e si limita a ridurre l’ ampiezza del segnale; in particolare e’
131
132
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
caratterizzato da una attenuazione di potenza pari a A = 160 dB. Il rumore Gaussiano n(t) ha
spettro di densita’ di potenza dato da Pn (f ) = N0 /2 dove N0 = −200 dBW/Hz. Cio’ posto:
1) Calcolare la velocita’ di trasmissione del sistema.
2) Calcolare la costellazione vista dal decisore.
3) Calcolare la probabilita’ d’errore sul simbolo a cui opera il sistema.
4) Graficare lo spettro del segnale s(t) e calcolare la banda al primo zero.
5) Supponendo che la sequenza sk sia composta da soli 4 simboli ed in particolare s0 = 3,
s1 = −1, s2 = 1s3 = −3 graficare il segnale s(t) e il segnale m(t) (supponendo assente il
rumore).
Problema 1. La risposta e’ immediata. Visto che il generico simbolo puo’ assumere M = 4
valori diversi esso porta K = log2 M bit. La frequenza di bit (pari alla velocita’ di trasmissione)
e’ quindi data da : fb = Kfs = 20 KHz (Kbit/sec).
Problema 2. Per il calcolo della costellazione vista dal decisore possiamo procedere come segue.
Innanzitutto notiamo che se il canale e l’ amplificatore di trasmissione fossero assenti, visto che
l’ energia dell’ impulso g(t) e’ unitaria, ci troveremmo esattamente nella situazione di figura
3.5 e quindi il decisore vedrebbe esattamente la stessa costellazione usata dal trasmettitore. La
presenza dell’ amplificatore e del canale produce invece una scalatura della costellazione ricevuta
ed in particolare la costellazione viene scalata di un fattore g/a dove g e’ il guadagno di ampiezza
dell’ amplificatore e a e’ l’ attenuzaione di ampiezza del canale. Il calcolo dell’ attenuazione del
√
canale puo’ effettuarsi ricordando che A = 160dB = 1016 e che a = A = 108 . Per il calcolo del
guadagno di ampiezza dell’ amplificatore possiamo procedere cosi’. Innanzi tutto calcoliamo la
potenza del segnale s̄(t). Questo segnale e’ dato da
s̄(t) =
X
k
sk g(t − kTs )
(9.1)
ed e’ quindi un’ onda PAM il cui spettro e’ dato dall’ equazione (4.5) ed e’ pari a
Ps̄ (f ) =
P[s]
|G(f )|2 .
Ts
(9.2)
La potenza del segnale e’ quindi calcolabile come
Ps̄ =
Z
P[s] Z
Ps̄ (f )df =
|G(f )|2 df = P[s] 104 W
Ts
(9.3)
dove nell’ ultima espressione abbiamo usato il fatto che g(t) ha energia unitaria e che Ts = 10−4
sec. Nell’ espressione precedente P[s] = E{s2k } e’ il MSV della serie sk . Circa le unita’ di misura
si noti che l’ energia dell’ impulso e’ misurata in Wsec e che il tempo di simbolo e’ misurato in
sec mentre il MSV della serie sk e’ adimensionale: come risultato si ottengono dei W. Il MSV
della serie si calcola facilmente ricordando che il generico simbolo puo’ assumere con uguale
probabilita’ i valori della costellazione e quindi:
P[s] = E{s2k } =
1
[(−3)2 + (−1)2 + 12 + 32 ]10−6 = 5 · 10−6
4
(9.4)
dunque la potenza del segnale che entra nell’ amplificatore di trasmissione sara’
Ps̄ = 5 · 10−6 · 104 = 50 · 10−3 W = 50mW ≈ 17 dBm = −13 dBW
(9.5)
133
9.1. TRASMISSIONI IN BANDA BASE SU CANALE GAUSSIANO
Visto che la potenza all’ uscita dell’ amplificatore e’ di 40 dBm ed e’ data da Ps = GPs̄ per il
guadagno di potenza dell’ ampli dato da G = Ps /Ps̄ si ricava, in dB,
G|dB = Ps |dBm − Ps̄ |dBm = 40 − 17 = 23 dB
(9.6)
√
Il guadagno di potenza e’ dunque G = 23 dB ≈ 200 quello di ampiezza e’ g = 200 = 14, 14 e la
costellazione vista dal decisore e’ data da {−3, −1, 1, 3} · 10−3 g/a ≈ {−3, −1, 1, 3} · 1, 4 · 10−10 .
Il decisore dovra’ usare questa costellazione per prendere le decisioni. In alternativa e’ possibile
usare un amplificatore di ricezione con un circuito AGC per riscalare la costellazione ad un
valore appropriato.
Problema 3. Per il calcolo della probabilita’ d’errore e’ necessario calcolare il valore di
SN Rrx = Eb /N0 . Per quanto riguarda Eb questa e’ data da Eb = Pr Tb = Pr Ts /K dove Pr
e’ la potenza ricevuta a sua volta data da Pr = Ps /A dove Ps e’ la potenza trasmessa e A l’
attenuazione. Per Eb possiamo quindi scrivere:
Eb =
Ts Ps
W sec
KA
(9.7)
e passando ai dB (ovvero prendendo 10log10 della precedente espressione) si ricava:
Eb |dBW sec = Ts |dBsec + Ps |dBW − A|dB − K|dB
(9.8)
Ts |dBsec = 10log10 (Ts |sec ) = 10log10 (10−4 ) = −40 dBsec
(9.9)
K|dB = 10log10 (K) = 10log10 (2) = 3 dB
(9.10)
e risulta
e inoltre sappiamo che Ps = 40 dBm = 10 dBW e che A = 160 dB. Sostituendo questi valori
numerici nella espressione precedente otteniamo:
Eb = −40 + 10 − 160 − 3 = −193 dBW sec.
(9.11)
Possiamo ora calcolare lo SNR al ricevitore. Ricordando che SN Rrx = Eb /N0 otteniamo:
SN Rrx |dB = Eb |dBW sec − N0 |dBW/Hz = −193 + 200 = 7 dB
(9.12)
A questo punto possiamo usare le curve di figura 4.7 per il calcolo della Pe . Usando la curva
etichettata con M = 4 si ricava
Pe ≈ 3 · 10−2
(9.13)
quindi il sistema compie circa 3 errori ogni 100 simboli trasmessi.
Problema 4. Il segnale trasmesso e’ dato da
s(t) = g
X
k
sk g(t − kTs )
(9.14)
dove g e’ il guadagno di ampiezza dell’ ampli di trasmissione. Questo segnale e’ un’ onda PAM,
il suo spettro si ottiene dall’ equazione 4.5 ed e’ pari a
Ps̄ (f ) = G
P[s]
|G(f )|2
Ts
(9.15)
134
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
P
dove G e’ il guadagno di potenza dell ampli. Il termine G T[s]
non dipende dalla frequenza e
s
quindi non ha impatto sulla forma dello spettro che e’ invece dettata dalla FT di g(t). Visto che
p
g(t) = 1/ (Ts )rect(t/Ts ) trasformando si ottiene
G(f ) =
q
(Ts )sinc(f Ts ) =
q
(Ts )sinc(f /fs ).
(9.16)
e lo spettro del segnale sara’ quindi
|G(f )|2 = Ts sinc2 (f /fs ).
(9.17)
Lo spettro ha la forma riportata in figura 9.2. Si annulla in tutte le frequenza multiple di 10
KHz. La banda al primo zero occupata dal segnale trasmesso e’ dunque B = 10 KHz.
Figura 9.2: Spettro del segnale s(t)
Problema 5. Visto che consideriamo la trasmissione di soli 4 simboli il segnale trasmesso e’
dato da
s(t) = g
3
X
k=0
sk g(t − kTs )
(9.18)
dove g e’ il guadagno di ampiezza dell’ ampli di trasmissione. Sulla base dell’ analisi svolta in
sezione 3.2 all’ uscita del filtro di ricezione, visto che questo e’ il filtro adattato all’ impulso
usato dal formatore di onda PAM, si otterra’ un’ onda PAM costruita con l’ autocorrelazione
dell’ impulso e quindi data da
3
gX
m(t) =
sk Rg (t − kTs )
a k=0
(9.19)
dove Rg (t) = tri(t/Ts ) e’ l’ autorcorrelazione di g(t) ed in cui si e’ tenuto conto dell’ attenuazione
di ampiezza inflitta dal canale. Per disegnare i segnali occorre valutare e riportare su un grafico
i 4 contributi della sommatoria, cioe’ quelli relativi ad s0 = 3, s1 = −1, s2 = 1s3 = −3.
Questi contributi sono riportati (a meno di un coefficiente di scala) in figura 9.3 assieme alla
loro somma che costituisce il segnale effettivo. Come osservazione notiamo che il sistema che
stiamo considerando non e’ causale. Infatti, per esempio, la risposta del filtro di ricezione e’
diversa da zero anche prima del tempo zero. Inoltre, supponendo che la sorgente produca il
9.1. TRASMISSIONI IN BANDA BASE SU CANALE GAUSSIANO
135
Figura 9.3: Segnali s(t) e m(t)
simbolo k-esimo nell’ istante kTs , si nota che il formatore di onda PAM produce in risposta a
questo simboli il contributo sk g(t − kTs ) che e’ un segnale che inizia prima dell’ istante kTs .
Naturalmente il fatto di considerare sistemi non causali e’ solo una comodita’ matematica: i
sistemi reali saranno ritardati di un tempo sufficiente a renderli causali. Un’ altra osservazione
e’ che, visto che l’ impulso che stiamo usando e’ rettangolare, il filtro di ricezione puo’ essere
sostituito da un circuito di Integrate and Dump, molto piu’ semplice da realizzare.
9.1.2
Dimensionamento. Sensibilita’ del ricevitore.
Nella sezione precedente abbiamo affrontato un problema di analisi del sistema. Ovvero data la
struttura del sistema abbiamo ricavato le sue prestazioni in termini di velocita’ di trasmissione,
banda e probabilita’ d’errore. Un’ altra classe di problemi di interesse pratico sono quelli cosi’
detti di dimensionamento del sistema. In un problema di dimensionamento vengono specificati
alcuni requisiti sul sistema e si cercano i valori dei parametri del sistema che permettono di
verificare i requisiti assegnati. Un esempio di problema di dimensionamento e’ il seguente:
6) Consideriamo ancora il sistema del problema 1. Supponiamo che venga richiesto di abbassare
la probabilita’ d’errore ed in particolare che risulti Pe = 10−4 . Supponiamo inoltre che tutti gli
altri parametri del sistema debbano restare invariati eccetto la potenza di trasmissione che invece
viene alzata per abbassare la Pe . In queste condizioni calcolare la nuova potenza di trasmissione.
Problema 6. Per rispondere alla domanda dobbiamo innanzitutto calcolare il valore di Eb /N0
che garantisce una Pe = 10−4 . Usando le curve di figura 4.7 per M = 4 si trova che questa
probabilita’ d’errore si ottiene quando Eb /N0 ≈ 13 dB. Per il calcolo della nuova potenza di
trasmissione si noti che nel sistema del problema 1 risultava Eb /N0 = 7 dB. Dobbiamo dunque
aumentare il valore di Eb /N0 di 6 dB (ovvero moltiplicarlo per circa 4). Visto che N0 non cambia
dobbiamo aumentare Eb di 6 dB. Ricordando che
Eb |dBW sec = Ts |dBsec + Ps |dBW − A|dB − K|dB
(9.20)
e visto che Ts , K a A non devono cambiare, si capisce che per aumentare Eb di 6 dB occorre
aumentare la potenza trasmessa di 6 dB. Visto che la potenza di trasmissione era Ps = 40 dBm
la nuova potenza di trasmissione richiesta sara’ di Ps = 46 dBm.
136
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
Come commento generale notiamo che la probabilita’ d’errore e’ legata alla potenza trasmessa
e ricevuta e puo’ essere variata variando queste potenze. In particolare imporre un valore di
probabilita’ d’errore ad un sistema permette di calcolare la minima potenza che il sistema deve
ricevere per garantire la probabilita’ d’errore richiesta. Questo valore e’ detto la sensibilita’ del
sistema. Per esempio nel sistema che stiamo considerando, visto che Eb /N0 = Pr Tb /N0 deve
essere 13 dB per assicurare la Pe richiesta si ricava che la sensibilita’ e’
Pr |dBW = 13 + N0 |dBW/Hz − Tb |dBW sec = −164 dBW = −134 dBm
9.1.3
(9.21)
Confronto con il sistema ottimo
Come abbiamo visto in sezione 4.4 quando il canale e’ Gaussiano e’ possibile ricavare le prestazioni
di un sistema ottimo. E’ quindi interessante confrontare le prestazioni dei sistemi reali con quelle
del sistema ottimo.
7) Si confrontino le prestazioni del sistema del problema 6 con quelle del sistema ottimo.
Problema 7. Le prestazioni del sistema ottimo sono descritte in modo compatto dal grafico
di figura 4.10 che riporta l’ efficienza spettrale del sistema ottimo in funzione dello SN Rrx =
Eb /N0 . Questo grafico e’ riportato in figura 9.4. Per confrontare il nostro sistema con quello
ottimo dobbiamo mettere un punto sul grafico che corrisponda al nostro sistema. A questo fine
ricodiamo che il sistema del problema 6 operava con un Eb /N0 = 13 dB. Inoltre ricordiamo che
la sua banda era di B = 10 KHz e che la sua velocita’ di trasmissione era fb = 20 Kbit/simb.
La sua efficenza spettrale e’ dunque
η=
fb
= 2 bit/sec/Hz.
B
(9.22)
Possiamo dunque mettere un punto in figura 9.4 con coordinate Eb /N0 = 13 e η = 2 e questo
punto corrisponde al sistema reale che abbiamo analizzato. Per confrontare il sistema reale con
quello ottimo possiamo procedere in due modi. Nel primo modo confrontiamo i sistemi a parita’
di efficienza spettrale, tracciando una riga orizzontale che passi per il punto del sistema reale
e osservando dove questa linea taglia la curva del sistema ottimo. Cosi’ si nota che il sistema
ottimo potrebbe garantire la stessa efficenza spettrale del sistema reale (e quindi, a parita’ di
banda, la stessa velocita’ di trasmissione) con un Eb /N0 ≈ 3dB. Il sistema reale richiede invece
un Eb /N0 = 13 dB e quindi maggiore di 10 dB rispetto al sistema ottimo. A parita’ di rumore
questo maggiore SNR si traduce in un analogo aumento sull’ energia per bit e quindi sulla
potenza ricevuta e trasmessa: il sistema reale usa 10 volte la potenza del sistema ottimo. Nel
secondo modo confrontiamo i sistemi a parita’ SNR, tracciando una riga verticale che passi per il
punto del sistema reale e osservando dove questa linea taglia la curva del sistema ottimo. Cosi’
si nota che il sistema ottimo potrebbe garantire una efficenza spettrale maggiore del sistema
reale (e quindi, a parita’ di banda, una maggiore velocita’ di trasmissione) con lo stesso Eb /N0 .
In particolare il sistema ottimo potrebbe garantire una efficienza spettrale di η = 6 bit/sec/Hz.
A parita’ di banda il sistema ottimo potrebbe dunque trasmettere 60 Kbit/sec.
Oltre ai vantaggi appena visti il sistema ottimo e’ superiore a quello reale per due motivi.
In primo luogo la probabilita’ d’errore del sistema ottimo e’ piccola a piacere mentre quella
del sistema reale e’ bassa ma finita e deve comunque essere assegnata per poter calcolare le
coordinate del punto corrispondente al sistema reale nel piano della figura 4.10. In particolare
9.1. TRASMISSIONI IN BANDA BASE SU CANALE GAUSSIANO
137
Figura 9.4: Confronto fra un sistema reale ed il sitema ottimo
il sistema del problema precedente operava con una Pe = 10−4 . In secondo luogo il notiamo che
nel calcolo dell’ efficenza spettrale per il sistema reale abbiamo usato la banda B che e’ la banda
al primo zero. Quindi il sistema reale ha emissioni anche al di fuori della banda che abbiamo
usato nel calcolo.
9.1.4
Dimensionamento della banda in un sistema PAM.
Un altro problema di interesse pratico e’ quello di realizzare una velocita’ di trasmissione assegnata in una banda assegnata (in altre parole, di realizzare un sistema con una assegnata
efficenza spettrale). Nei sistemi PAM l’ efficenza spettrale e’ controllata dal parametro M cioe’
dal numero dei punti della costellazione. D’ altra parte questo parametro ha effetto anche sulle
prestazioni del sistema in termini di potenza e probabilita’ d’errore. Per approfondire questi
punti consideriamo i seguenti problemi:
8) Si supponga di voler ridurre la banda del sistema analizzato nel problema 6 a parita’ di
velocita’ di trasmissione e potenza trasmessa. In particolare supponiamo che il sistema debba
avere una banda (al primo zero) di B = 5 KHz. Calcolare il valore di M che garantisce questi
requisiti.
9) Calcolare la probabilita’ d’errore a cui opera il sistema.
10) Calcolare quale deve essere la potenza trasmessa per rendere la probabilita’ d’errore del
sistema pari a Pe = 10−4 .
Problema 8. Ricordando i risultati della sezione 4.2 nel sistema PAM con impulso rettangolare
che stiamo considerando la banda al primo zero e’ data da B = fs . La velocita’ di trasmissione
e’ fb = 20 KHz. Visto che risulta fs = fb /K imponendo fs = B = 5 KHz ricaviamo K =
log2 M = 4 e risulta M = 16.
Problema 9. Il calcolo della probabilita’ d’errore puo’ farsi notando che il valore di M non
ha impatto su Eb /N0 . Il valore dello SNR e’ quindi ancora quello ricavato nel problema 6 ed e’
quindi Eb /N0 = 13 dB. per il calcolo della probabilita’ d’errore usiamo ancora le curve di figura
4.8 ed in particolare quella relativa ad M = 16. In questo modo ricaviamo che Pe ≈ 0, 2 ed e’
molto maggiore di quella che si aveva nel sistema con M = 4.
Problema 10. Questo e’ un problema di dimensionamento, analogo a quello gia’ visto nel
138
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
problema 6. Per risolverlo calcoliamo il valore di Eb /N0 che garantisce una Pe = 10−4 . Usando
le curve di figura 4.7 per M = 16 si trova che questa probabilita’ d’errore si ottiene quando
Eb /N0 ≈ 22 dB e deve quindi essere aumentato di 9 dB rispetto al valore che aveva nel problema
precedente. Visto che N0 non cambia dobbiamo aumentare Eb di 9 dB. Ricordando che Eb =
Ps Tb /A, che A e’ data e che Tb non cambia poiche’ non cambia fb , dobbiamo aumentare Ps di
9 dB. Visto che la potenza di trasmissione era Ps = 46 dBm la nuova potenza di trasmissione
sara’ Ps = 55 dBm.
I tre problemi precedenti mostrano che in un sistema PAM e’ possibile ridurre la banda a
parita’ di velocita’ di trasmissione aumentando il numero di punti della costellazione M . Questo
vantaggio si paga con un aumento della probabilita’ d’errore se non viene variata la potenza
di trasmissione oppure in una maggiore potenza di trasmissione se si mantiene invariata la
probabilita’ d’errore. Per questo motivo i sistemi PAM sono detti efficienti in banda.
9.1.5
Sistemi efficenti in potenza
Come abbiamo visto nei problemi precedenti in un sistema PAM e’ possibile ridurre banda
impiegata a parita’ di velocita’ di trasmissione aumentando il numero di punti della costellazione
M e la potenza trasmessa. Questo comodo in molte situazioni visto che la banda e’ spesso un
bene scarso. D’ altra parte in altri casi la banda puo essere abbondante ed invece puo’ essere la
potenza a scarseggiare: si pensi per esempio alla trasmissione da un satellite su Marte verso la
terra. La grande distanza richiede enormi potenze di trasmissione che sono diffcili da realizzare
su un satellite. Il segnale che giunge a terra sara’ debole e spesso cosi’ che puo’ occupare tutta la
banda che vuole visto che non avra’ potenza sufficiente da creare disturbi ad altre trasmissioni.
Allora consideriamo il seguente problema:
11) Supponiamo che, fermi restando gli altri parametri, e in particolare fb = 20 Kb/sec e
Pe = 10−4 , vengano rimossi i limiti sulla banda che il sistema puo’ occupare ma venga richiesta
una potenza massima di 40 dBm. Progettare un sistema che verifichi questi requisiti.
Problema 11. Notiamo che la potenza, l’ attenuazione, la velocita’ di trasmissione e il rumore
sono gli stessi che si avevano nel problema 1. Questi parametri fissano il valore di Eb /N0 = 7
dB. Questo valore e’ fissato dai requisiti: cerchiamo un sistema che ci permetta di ottenere una
Pe = 10−4 con questo SNR. Osservando le curve di figura 4.7 notiamo che i sistemi PAM non
possono garantire tutti i requisiti. Infatti il sistema PAM che richiede il minimo SNR per una
data Pe e quello con M = 2 e questo sistema richiede piu’ di 8 dB per garantire Pe = 10−4 . Invece
osservando le curve di figura 4.8 notiamo che un sistema OM con M = 16 ha una Pe ≈ 10−4
quando Eb /N0 = 7 dB e permette quindi di garantire i requisiti. I sistemi OM permettono
dunque di ridurre ulteriormente la potenza rispetto ai sistemi PAM: per questo motivo sono
detti efficienti in potenza.
9.1.6
Sistemi OM
12) Progettare le forme d’onda per il sistema ortogonale ottenuto nel punto precedente, ricavare
la costellazione, tracciare un diagramma a blocchi del sistema e commentarlo.
13) Calcolare la banda richiesta dal sistema OM e confrontarne l’ efficienza spettrale con quella
del sistema PAM ricavato nel problema 6.
9.1. TRASMISSIONI IN BANDA BASE SU CANALE GAUSSIANO
139
14) Progettare il codificatore di simbolo (cioe’ la corrispondenza fra blocchi di bit e forme d’onda)
e tracciare il segnale s(t) supponendo che i bit trasmessi siano 1010 0010 1011 1101 e che siano
trasportati dai simboli s0 , s1 , s2 e s3 rispettivamente.
Problema 12. Ricordiamo che le forme d’onda gm (t) di un sistema OM devono verificare
due requisiti: le (2.22) che impongono l’ ortogonalita’ mutua fra le forme d’onda e le (3.2) che
impongono l’ ortogonalita’ nel tempo delle forme d’onda il che garantisce l’ assenza di ISI nel
sistema. Possiamo per esempio usare le forme d’onda fornite dalle (2.23) e date da
1
t − τ /2 − mτ
gm (t) = √ rect(
)
τ
τ
(9.23)
Visto che ci occore un sistema con M = 16 forme d’onda nelle equazioni precedenti m = 0..15
e il valore di τ e’ pari a Ts /M . Per calcolare τ ricordiamo che il sistema opera a fb = 20 KHz
e che Ts = KTb = log2 M/fb = 200 usec. Risulta quindi τ = 200/16 = 12, 5 usec. Le forme
d’onda sono delle rect di durata 12, 5 usec e sono riportate in figura 9.5. Come sappiamo dalla
sezione 2.3 queste forme d’onda sono ortogonali fra loro. Ed e’ anche facile verificare che sono
ortogonali nel tempo. Infatti la durata di tutte e 16 le forme d’onda e’ minore della durata di
un simbolo. Queste forme d’onda verificano quindi le (3.3) il che garantisce l’ ortogonalita’ nel
tempo. Circa la costellazione notiamo che, grazie al fatto di aver normalizzato l’ energia delle
Figura 9.5: Forme d’onda e costellazione del sistema OM
√
forme d’onda a 1 tramite la dvisione per τ , le forme d’onda che impiega il sistema sono una
base ortonormale. Allora, banalmente, i punti della costellazione sono i versori dello spazio R16 .
Circa il diagramma a blocchi del sistema, questo e’ riportato in figura 9.6. Un osservazione
utile e’ che, data la forma delle risposte impulsive dei filtri di ricezione, e’ possibile sostituire
tutti questi filtri con un unico circuito di integrate and dump come mostrato in figura 9.7, che
operi una integrazione su 1/16 della durata di un simbolo e produca in questo modo i 16 valori
richiesti per la decisione.
Problema 13. Per il calcolo della banda possiamo usare la formula (4.11) che forniva la banda
al primo zero per l’ insieme di forme d’ onda che stiamo considerando. Ricaviamo
B = M fs = 16 · fb /4 = 80 KHz
(9.24)
140
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
Figura 9.6: Diagramma a blocchi del sistema OM. Versione con filtri adattati.
Figura 9.7: Diagramma a blocchi del sistema OM. Versione con Integrate and dump.
Questo sistema opera ad una efficenza spettrale di
η = fb /B = 0, 25 bit/sec/Hz
(9.25)
Per il sistema PAM la banda richiesta era 10 KHz e la velocita’ di trasmissione era la stessa,
ovvero fb = 20 KHz. L’ efficenza spettrale del sistema PAM era dunque 2 bit/sec/Hz ovvero
otto volte quella del sistema OM.
Problema 14. Il codificatore di simbolo piu’ semplice e’ quello con codifica naturale, ovvero
quello che guarda la sequenza di K = 4 bit come un numero intero scritto in binario. Applicando
questo codificatore la sequenza di simboli trasmessa risulta essere s0 = 10, s1 = 2, s2 = 11 e
s3 = 13. rispettivamente. Per tracciare il grafico della forma d’onda ricordiamo che in un sistema
OM il segnale trasmesso si puo’ scrivere, visto che la trasmissione coinvolge solo 4 simboli, come:
s(t) =
3
X
k=0
gsk (t − kTs )
(9.26)
Allora, valutando i termini della sommatoria per i 4 valori di k coinvolti e’ possibile determinare
i contributi di ciascun simbolo al segnale e sommando questi contributi si ottiene il segnale s(t)
complessivo, mostrato in figura 9.8.
9.1. TRASMISSIONI IN BANDA BASE SU CANALE GAUSSIANO
141
Figura 9.8: Segnale trasmesso per il sistema OM
9.1.7
Sistemi PAM a radice di coseno rialzato.
Si consideri ancora il sistema di trasmissione PAM di problema 1 e si supponga di sostituire
l’ impulso rettangolare con un impulso a radice di coseno rialzato con roll-off ρ. In queste
condizioni: 15) Calcolare la velocita’ di trasmissione del sistema e la probabilita’ d’errore a cui
opera.
16) Graficare lo spettro del segnale s(t) e calcolarne la banda per ρ = 0, ρ = 0, 5 e ρ = 1.
17) Supponendo che la sequenza sk sia composta da soli 4 simboli ed in particolare s0 = 3,
s1 = −1, s2 = 1s3 = −3 graficare il segnale s(t) per ρ = 0.
Problema 15. Notiamo che la forma dell’ impulso non ha effetto sulla velocita’ di trasmissione.
Infatti la velocita’ e’ dettata da K e fs ed in particolare e’ data da fb = Kfs bit/sec. La velocita’
di trasmissione rimane dunque quella che si aveva nel problema 1 ed in particolare risulta fb = 20
Kbit/sec. Lo stesso vale per la probabilita’ d’errore. Questa e’ data dall’ equazione (4.31) e non
dipende dalla forma dell’ impulso ma solo dall’ energia ricevuta per bit, che non cambia se non
cambiano Pr e fb , e dal livello del rumore, che non cambia per ipotesi. La probabilita’ d’errore
e’ dunque quella del problema 1 e cioe’ Pe = 3 · 10−2 .
Problema 16. La banda del sistema dipende dallo spettro che a sua volta dipende dalla forma
dell’ impulso come si vede dall’ equazione (4.5). Visto che G(f ) e’ la radice di coseno rialzato
il suo modulo quadro e’ un coseno rialzato e la forma dello spettro del segnale trasmesso e’
graficata in figura 9.9 per i tre valori di roll-off considerati. La banda del segnale e’ quindi pari
alla banda dell’ impulso trasmesso che, per gli impulsi a coseno rialzato, e’ legata al roll-off ed
alla frequenza di simbolo dalla formula (3.45) che qui riportiamo:
B=
fs
(1 + ρ)
2
(9.27)
Visto che il sistema opera con fs = 10 KHz la banda e’ pari a B = 5 KHz per ρ = 0, B = 7, 5
KHz per ρ = 0, 5 e B = 10 KHz per ρ = 1.
Problema 17.
142
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
Figura 9.9: Spettro del segnale trasmesso nel caso di impulsi a radice di coseno rialzato per tre
diversi valori del roll-off.
Figura 9.10: Segnale trasmesso s(t) nel caso di impulsi a radice di coseno rialzato.
9.2
9.2.1
Trasmissioni in banda traslata su canale Gaussiano
Sistema QAM
Si consideri il sistema di trasmissione QAM riportato in figura 9.11. Il sistema impiega una
costellazione 16-QAM cioe’ QAM con M = 16 punti di costellazione e un impulso a radice di
coseno rialzato con roll-off ρ = 1. Il canale e’ un attenuatore ideale con attenuazione di potenza
A = 120 dB. La velocita’ di trasmissione richiesta e’ fb = 1 Mb/sec. La probabilita’ d’ errore
sul simbolo richiesta e’ Pe = 10−5 . La frequenza portante impiegata dal modem IQ e’ fp = 1
GHz. Il livello del rumore e’ N0 = −190 dBW/Hz. Cio’ posto:
1) Graficare lo spettro del segnale trasmesso e calcolare la banda impiegata dal sistema.
2) Calcolare la potenza di trasmissione necessaria a garantire le specifiche sulla probabilita’
d’errore.
Problema 1. Visto che il sistema opera con una costellazione a M = 16 punti ogni simbolo
porta K = log2 M = 4 bit. Data la frequenza di bit fb = 1 MHz per la frequenza di simbolo
risulta fs = fb /K = 250 KHz. A questo punto per il calcolo della banda possiamo usare la
9.2. TRASMISSIONI IN BANDA TRASLATA SU CANALE GAUSSIANO
143
Figura 9.11: Sistema QAM: sorg+g(t)+mod+ampli+ch+noise+demod+g(-t)+camp+deci
formula (5.1) che dava la banda di un sistema QAM quando si impiega un impulso a radice di
coseno rialzato. La banda sara’
B = fs (1 + ρ) = 500 KHz
(9.28)
Lo spettro si ottiene notando che l’ inviluppo complesso del segnale trasmesso e cioe’ il segnale
s̄(t) e’ dato da
X
sk g(t − kTs )
(9.29)
s̄(t) =
k
ed e’ quindi un’onda PAM. Il suo spettro e’ quindi dato dalla (4.5) ed ha una forma data da
|G(f )|2 dove G(f ) e’ la FT di g(t). Visto che G(f ) e’ una radice di coseno rialzato il suo modulo
quadro e’ un coseno rialzato con frequenza fs = 250 KHz e roll-off ρ = 1 ed e’ mostrato in figura
9.12. Il segnale all’ uscita del modem IQ ha un spettro che e’ quello dell’ inviluppo complesso
centrato pero’ sulla frequenza portante a cui opera il modem. Questo e’ lo spettro del segnale
trasmesso ed e’ riportato nella stessa figura.
Figura 9.12: Spettro del sistema PAM: spettro dell’ inviluppo complesso e spettro a
radifrequenza.
Problema 2. Per il calcolo della potenza di trasmissione in primo luogo dobbiamo determinare
144
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
a quale valore di Eb /N0 deve operare il sistema. A questo scopo usiamo le curve d’errore per il
sistema QAM di figura 5.1. Dalla curva etichettata con M = 16 si nota che per una Pe = 10−5
e’ richiesto una valore di Eb /N0 ≈ 14 dB. Visto che Eb = Ps Tb /A = Ps /(fb A) possiamo scrivere,
in decibel:
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz
(9.30)
e, visto che fb |dBHz = 10log10 (fb |Hz ) = 10log10 (106 ) = 60, sostituendo i valori numerici
otteniamo
14 = Ps |dBW − 60 − 120 + 190
(9.31)
da cui si ricava
Ps = 4 dBW
9.2.2
(9.32)
Sistema PSK
Nel sistema considerato nei problemi precedenti si supponga di sostituire la modulazione 16QAM con una modulazione 16-PSK. In queste condizioni:
3) Graficare lo spettro del segnale trasmesso e calcolare la banda impiegata dal sistema.
4) Calcolare la potenza di trasmissione necessaria a garantire le specifiche sulla probabilita’
d’errore.
Problema 3. La soluzione di questo problema e’ identica a quella gia’ considerata per il QAM.
Si ottiene la stessa banda e lo stesso spettro.
Problema 4. Anche in questo caso possiamo procedere esattamente come gia’ fatto per il
QAM. Quindi in primo luogo dobbiamo determinare a quale valore di Eb /N0 deve operare il
sistema. A questo scopo usiamo le curve d’errore per il sistema PSK di figura 5.2. Dalla curva
etichettata con M = 16 si nota che per una Pe = 10−5 e’ richiesto una valore di Eb /N0 ≈ 18
dB ovvero 4 dB in piu’ di quanto era richiesto per il QAM. Questo aumento si traduce in un
analgolo aumento sulle potenze. Per verificarlo ricordiamo che
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz
(9.33)
e, sostituendo i valori numerici,
18 = Ps |dBW − 60 − 120 + 190
(9.34)
Ps = 8 dBW
(9.35)
da cui si ricava
Come commento notiamo che il sistema PSK e’ peggiore rispetto al sistema QAM. Infatti i due
sistemi operano alla stessa velocita’ di trasmissione, alla stessa probabilita’ d’errore e richiedono
la stessa banda, ma il PSK richiede piu’ potenza.
9.2.3
Confronti fra sistemi di trasmissione
Nei due problemi precedenti abbiamo visto che il sistema QAM e’ migliore del sistema PSK. In
particolare abbiamo visto che a parita’ di banda, velocita’ di trasmissione e probabilita’ d’errore
il sistema QAM richiede meno potenza del PSK. Questa e’ una prima maniera di confrontare
questi due sistemi (o in generale due sistemi di trasmissione) ma ne esistono altre. Per esempio,
9.2. TRASMISSIONI IN BANDA TRASLATA SU CANALE GAUSSIANO
145
continuiamo a considerare il sistema di figura 9.11 e consideriamo i seguenti problemi, in cui si
suppone che i parametri non specificati siano identici a quelli del problema 4.
5) Si consideri un sistema 16-QAM che operi con fb = 1 Mbit/sec e potenza trasmessa Ps = 8
dBW. Si calcoli la banda richiesta dal sistema e la sua probabilita’ d’errore.
6) Si consideri un sistema 64-QAM che operi con fb = 1 Mbit/sec e potenza trasmessa Ps = 8
dBW. Si calcoli la banda richiesta dal sistema e la sua probabilita’ d’errore.
Problema 5. Circa la banda, visto che questa e’ data da
B = fs (1 + ρ)
(9.36)
e che fs non e’ cambiata visto che non sono cambiate fb ed M , non si ha nessuna differenza
rispetto al sistema del problema 1. La banda e’ sempre 500 KHz e lo spettro e’ quello di figura
9.12. Circa la probabilita’ d’errore notiamo che il valore di Eb /N0 a cui opera il sistema e’ ancora
quello trovato nel problema 4 ed e’ Eb /N0 = 18 dB. La probabilta’ d’errore corrispondente si
ottiene dalle curve di figura 5.1 ed in particolare da quella etichettata con M = 16: il valore
non e’ compreso nel grafico ma la Pe e’ minore, molto minore di 10−7 . Quindi questo sistema
QAM opera alla stessa velocita’ di trasmissione, con la stessa banda e con la stessa potenza del
sistema PSK di problema 4, ma garantisce una migliore probabilita’ d’errore.
Problema 6. In questo sistema, che opera con M = 64 risulta K = log2 M = 6. La banda e’
quindi
fb
fb
B = fs (1 + ρ) = (1 + ρ) =
= 333, 3̄ KHz
(9.37)
K
3
Circa la probabilita’ d’errore notiamo che il valore di Eb /N0 a cui opera il sistema e’ ancora
quello trovato nel problema 4 ed e’ Eb /N0 = 18 dB. Infatti Eb /N0 = Ps Tb /(AN0 ) e questi
parametri non sono cambiati rispetto al problema 4. La probabilta’ d’errore corrispondente si
ottiene dalle curve di figura 5.1 ed in particolare da quella etichettata con M = 64: si ottiene
Pe ≈ 10−5 . Quindi questo sistema QAM opera alla stessa velocita’ di trasmissione, con la stessa
probabilita’ d’errore e con la stessa potenza del sistema PSK di problema 4, ma richiede la meta’
della banda.
Nei problemi precedenti abbiamo confrontato i sistemi PSK e QAM considerando sistemi
che operavano a parita’ di alcuni parametri e facendo vedere che il QAM permette di migliorare
il valore di un altro parametro di sistema. Questo approccio e’ quello da seguire in generale per
confrontare sistemi di trasmissione e permette di concludere che il QAM e’ un sistema migliore
rispetto al PSK nel modello di sistema che abbiamo considerato e cioe’ la trasmissione su canale
Gaussiano. D’ altra parte il modello e’ piuttosto semplificato rispetto alla realta’ e trascura
molti aspetti pratici dei sistemi di trasmissione. Di fatto il PSK e’ un metodo di trasmissione
piu’ semplice del QAM e presenta i vantaggi citati in sezione 5. Puo’ quindi risultare conveniente
rispetto al QAM in alcune applicazioni.
9.2.4
Sistemi PAM e ASK
Continuiamo a considerare un sistema con le specifiche del problema 4 e cioe’ in cui il canale e’
un attenuatore ideale con attenuazione di potenza A = 120 dB; l’ impulso usato in trasmissione
e’ a radice di coseno rialzato con roll-off ρ = 1; la velocita’ di trasmissione richiesta e’ fb = 1
Mb/sec; la probabilita’ d’ errore sul simbolo richiesta e’ Pe = 10−5 ; la banda disponibile e’
146
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
di B = 500 KHz centrata su 1 GHz e livello del rumore e’ N0 = −190 dBW/Hz. In questa
situazione poniamoci questi problemi:
7) Calcolare il valore di M e la potenza richiesta in trasmissione se il sistema viene realizzato
con una modulazione PAM di banda traslata.
8) Calcolare il valore di M e la potenza richiesta in trasmissione se il sistema viene realizzato
con una modulazione ASK.
Infine supponendo che si dimezzi la velocita’ di trasmissione che diviene quindi fb = 500
Kb/sec e lasciando inalterati gli altri requisiti:
9) Calcolare il valore di M e la potenza richiesta in trasmissione se il sistema viene realizzato
con una modulazione PAM.
Problema 7. Visto che B = (fb /K)(1 + ρ) = 500 KHz si ricava K = 4 da cui M = 16.
Usando le curve della probabilita’ d’errore del sistema PAM per M = 16 ricaviamo che per una
Pe = 10−5 e’ richiesto un Eb /N0 ≈ 23 dB. Visto che
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz
(9.38)
sostituendo i valori numerici e risolvendo si ricava
Ps = 13 dBW
(9.39)
Problema 8. Visto che B = (fb /K)(1 + ρ) = 500 KHz si ricava K = 4 da cui M = 16.
Usando le curve della probabilita’ d’errore del sistema ASK per M = 16 ricaviamo che per una
Pe = 10−5 e’ richiesto un Eb /N0 ≈ 24 dB. Visto che
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz
(9.40)
sostituendo i valori numerici e risolvendo si ricava
Ps = 14 dBW
(9.41)
Come commento notiamo che questi sistemi trasmettono alla stessa velocita’, alla stessa
probabilita’ d’errore e nella stessa banda dei sistemi QAM e PSK considerati nei problemi 2 e
4 i quali richiedevano, rispettivamente 4 dBW e 9 dBW per realizzare la trasmissione. Questo
e’ un confronto corretto fra questi 4 sistemi e mostra che il QAM e’ il migliore e l’ ASK il
peggiore. Naturalmente le peggiori prestazioni sono compensate da una maggiore semplicita’ di
ralizzazione.
Problema 9. Visto che B = (fb /K)(1 + ρ) = 500 KHz si ricava K = 2 da cui M = 4. Usando
le curve della probabilita’ d’errore del sistema PAM per M = 4 ricaviamo che per una Pe = 10−5
e’ richiesto un Eb /N0 ≈ 14 dB. Questo valore e’ lo stesso che si aveva per il sistema 16-QAM di
problema 2 e quindi, visto che N0 e’ lo stesso nei due sistemi, mostra che il sistema in esame
richiede la stessa energia ricevuta per bit di un 16-QAM per garantire la stessa Pe . Pero’ il
sistema 16-QAM era in grado di realizzare una velocita’ di trasmissione doppia pur impiegando
la stassa banda e risulta quindi ancora una volta un metodo migliore. Per quanto riguarda la
potenza, visto che il sistema richiede la stessa energia per bit ma invia solo la meta’ dei bit
al secondo, ci aspettiamo un dimezzamento, ossia una diminuzione di 3 dB, rispetto a quella
impiegata dal sistema di problema 2. In effetti risulta
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz
(9.42)
9.3. TRASMISSIONI SU CAVO E SISTEMI MULTI-TRATTA
147
e sostituendo i valori numerici si ricava
Ps = 1 dBW
(9.43)
che e’ proprio la meta’ della potenza richiesta dal sistema di problema 2.
9.3
9.3.1
Trasmissioni su cavo e sistemi multi-tratta
Trasmissione su cavo coassiale
Figura 9.13: Sistema: tx+HPA+CH+LNA+RX
Consideriamo il sistema di trasmissione di banda base di figura 9.13 che collega un trasmettitore ed un ricevitore distanti L = 240 Km. La velocita’ di trasmissione richiesta e’ di fb = 100
Kbit/sec. La probabilita’ d’errore sul simbolo richiesta e’ Pe = 10−5 . La trasmissione viene realizzata con una modulazione 2-PAM con impulso a radice di coseno rialzato con roll-off ρ = 0, 5.
Il collegamento viene realizzato tramite un cavo coassiale con attenuazione chilometrica pari a
A0 = 1 dB/Km. Il ricevitore impiega un amplificatore con un fattore di rumore F = 4 dB. In
queste condizioni
1) Calcolare banda del segnale trasmesso e discutere il problema dell’ equalizzazione del segnale.
2) Calcolare la potenza che deve erogare l’ ampli di trasmissione.
Problema 1. Circa la banda, visto che stiamo impiegando un sistema PAM di banda base con
impulso a radice di coseno rialzato questa e’ data dall’ equazione (4.6) e quindi si ricava:
B=
fs
fb
(1 + ρ) =
(1 + ρ) = 75 KHz
2
2log2 M
(9.44)
Circa l’ equalizzazione notiamo che la banda e’ al di sotto dei 100 KHz e quindi, sulla base
della discussione sulle caratteristiche dei cavi coassiali fatta in sezione 8, concludiamo che l’
attenuazione e’ grosso modo costante nella banda del segnale e quindi non e’ richiesta una
equalizzazione al ricevitore.
Problema 2. Come primo passo ricaviamo il valore di N0 in questo sistema. A questo fine
effettuiamo il calcolo della temperatura di sistema all’ ingresso dell’ ampli di ricezione. Il cavo
e’ un elemento passivo. Dalla discussione sul rumore termico svolta in sezione 7.6 sappiamo che
148
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
la sua temperatura equivalente di uscita e’ pari alla temperatura a cui si trova, che supponiamo
essere T0 = 290 K. Il contributo dell’ ampli di trasmissione e’ trascurabile mentre quello dell’
ampli di ricezione e’ una temperatura equivalente Te = T0 (F −1). sommando le due temperatura
otteniamo Ts = F T0 e, sulla base dell’ equazione (7.14) risulta
N0 |dBW/Hz = kTs |dBW/Hz = F kT0 |dBW/Hz = F |dB + kT0 |dBW/Hz = 4 − 204 = −200 dBW/Hz
(9.45)
Come secondo passo valutiamo l’ attenuazione della linea. Questa e’ data dall’ equazione (8.2)
ed e’ pari a
A = A0 L = 240 dB
(9.46)
Passiamo al calcolo della potenza di trasmissione. Usiamo innanzi tutto le curve della probabilita’ d’errore del sistema PAM per M = 2 e ricaviamo che per una Pe = 10−5 e’ richiesto un
Eb /N0 ≈ 10 dB. Come sappiamo risulta:
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz = 10 dB
(9.47)
sostituendo i valori numerici trovati ai punti precedenti, ed usando fb |dBHz = 10log10 100 · 103 =
50 dBHz, risolvendo per Ps si ricava
Ps = 100 dBW = 10 GW
(9.48)
Come commento si noti che la potenza di trasmissione richiesta e’ molto elevata dell’ ordine dei
GigaWatt: in pratica una tale potenza non e’ realizzabile.
9.3.2
Ripetitore analogico
Figura 9.14: Sistema: tx+HPA+CH+LNA+HPA+CH+LNA+RX
Allo scopo di ridurre la potenza di trasmissione il sistema del problema 1 viene separato in
due tratte di 120 Km ciascuna, come mostrato in figura 9.14. Le due tratte sono collegate da un
ripetitore analogico. Il ripetitore ha la funzione di ricevere il segnale in uscita dalla prima tratta e
ritrasmetterlo, amplificato e cioe’ scalato per una costante maggiore di uno, sulla seconda tratta.
Il ripetitore e’ costituito da una coppia di ampilficatori: il primo, a basso rumore, e’ identico a
9.3. TRASMISSIONI SU CAVO E SISTEMI MULTI-TRATTA
149
quello usato nel ricevitore e quindi ha un fattore di rumore di 4 dB,, mentre il secondo, di potenza,
e’ identico a quello usato nel trasmettitore ed in particolare supponiamo, per semplicita’, che i
due emettano la stessa potenza Ps . Supponiamo inoltre che nel ripetitore il guadagno del LNA
sia tale da rendere trascurabile il rumore introdotto dall HPA. Le specifiche sulla velocita’ di
trasmissione e sulla probabilita’ d’errore restano invariate nonche’ la modulazione, che rimane
una 2-PAM. In queste condizioni:
3) Calcolare la potenza che devono erogare gli ampli di trasmissione.
Problema 3. Anche in questo caso come primo passo ricaviamo il valore di N0 in questo
sistema. A questo fine effettuiamo il calcolo della temperatura di sistema all’ ingresso dell’
ampli di ricezione. La situazione e’ lievemente piu’ complessa di quanto accadeva nel problema
2. In particolare i contribuiti di rumore che dobbiamo considerare sono mostrati in figura 9.15
e sono quelli dei due tratti di linea, pari a T0 e posti all’ uscita di ciascuna tratta, e quelli
dei due ampli a basso rumore, pari a (F − 1)T0 e posti all’ ingresso dei due ampli. Come
si vede alla fine di ciascuna tratta e’ presente un generatore con temperatura F T0 . Per il
calcolo della temperatura di sistema occore riportare il contributo della prima tratta alla fine
della seconda. Nello spostamento il rumore attraversa l’ amplificatore, e quindi la temperatura
andra’ moltiplicata per il guadagno G complessivo dell’ amplificatore, e la seconda tratta, e
quindi la temperatura andra’ divisa per l’ attenuazione A della seconda tratta. L’ attenuazione
delle due tratte e’ identica e si calcola facilmente moltiplicando l’ attenuazione Kilometrica per
la lunghezza della tratta: A = A0 L = 120 dB. Per quanto riguarda il guadagno del ripetitore
notiamo che, per le ipotesi che abbiamo fatto, la potenza all’ uscita del ripetitore e’ identica a
quella in uscita dal trasmettitore Ps . Inoltre la potenza in ingresso al ripetitore e’ Pr = Ps /A.
D’ altra parte la potenza in uscita dal ripetitore e’ pari alla potenza di ingresso per il guadagno.
Possiamo quindi scrivere
Ps = Pr G = Ps G/A
(9.49)
G = A = 120 dB
(9.50)
da cui si ricava
Ora siamo pronti per riportare il contributo di rumore della prima tratta alla fine della seconda
ed effettuare il calcolo della temperatura di sistema. Il generatore a temperatura F T0 posto alla
fine della prima tratta si puo’ spostare oltre il ripetitore moltiplicandolo per G e oltre la seconda
tratta dividendolo per A. Visto che G = A il contributo si ritrova inalterato alla fine della
seconda tratta e si somma al contributo della seconda tratta per dare luogo ad una temperatura
di sistema pari a Ts = 2F T0 . La temperatura e’ il doppio di quella che si aveva nel problema 2
e per il livello del rumore risulta
N0 |dBW/Hz = kTs |dBW/Hz = 2F kT0 |dBW/Hz = F |dB +kT0 |dBW/Hz +3 = −197 dBW/Hz (9.51)
Per il calcolo della potenza di trasmissione procediamo come nel problema 2. Usiamo le curve
della probabilita’ d’errore del sistema PAM per M = 2 e ricaviamo che per una Pe = 10−5 e’
richiesto un Eb /N0 ≈ 10 dB. Risulta:
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz = 10 dB
(9.52)
150
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
dove pero’ ora l’ attenuazione da considerare e’ quella di una tratta di 100 Km e quindi A = 120
dB. Usando fb = 50 dBHz, risolvendo per Ps si ricava
Ps = −17 dBW = 13 dBmW ≈ 20 mW
(9.53)
Si noti la drastica riduzione della potenza di trasmissione. Per un confronto equo col sistema
precedente notiamo che questa potenza e’ emessa sia dal trasmettitore che dal ripetitore e
quindi la potenza complessiva impiegata dal sistema e’ di 40 mW in ogni caso molto inferiore
rispetto a quella richiesta dal sistema a singola tratta. Questo problema dimostra che quando le
distanze in gioco sono elevate separare la trasmissione in piu’ tratte e’ assolutamente necessario.
Naturalmente dividendo la trasmissione in tre o piu’ tratte potermmo ridurre ulteriormente la
potenza richiesta. D’ altra parte la potenza che abbiamo ottenuto dividendo in due tratte e’
bassa a sifficienza da rendere la divisione in tre tratte non conveniente: infatti per realizzare
la trasmissione in tre tratte avremmo bisogno di due ripetitori e verosimilmente il costo di un
ripetitore e’ superiore agli ulteriori vantaggi di potenza che potremmo ottenere.
9.3.3
Ripetitore numerico o rigenerativo
Figura 9.15: Sistema: tx+HPA+CH+rx+LNA+HPA+tx+CH+LNA+RX
Consideriamo ora una soluzione alternativa che impiega un ripetitore numerico invece che
analogico. La situazione e’ quella mostrata in figura 9.15: il ripetitore numerico e’ costituito da
un ricevitore identico a quello posto alla fine della seconda tratta che stima i simboli trasmessi
e li passa ad una un trasmettitore identico a quello presente all’ ingresso della prima tratta che
li invia sulla seconda tratta. In pratica su ciascuna tratta si realizza un sistema di trasmissione
numerico completo ed indipendente da quello dall’ altra tratta. Supponendo che le specifiche
del sistema restino invariate:
4) Calcolare la potenza che devono erogare gli ampli di trasmissione.
Problema 4. Per risolvere questo problema facciamo alcune considerazioni preliminari. Notiamo per prima cosa che un simbolo trasmesso attraversa entrambe le tratte prima di arrivare
alla destinazione e puo’ essere ricevuto in modo errato o corretto su ciascuna delle tratte. Per
ciascuna tratta esiste quindi una probabilita’ d’errore. Visto che le tratte sono identiche questa
9.3. TRASMISSIONI SU CAVO E SISTEMI MULTI-TRATTA
151
probabilita’ d’errore e’ la stessa e verra’ indicata con Pt . D’ altra parte quello a cui siamo interessati e’ la probabilita’ d’errore complessiva Pe , sull’ insieme delle due tratte. Per legarla alla
probabilita’ d’errore sulla singola tratta notiamo che le due tratte possono essere viste come due
fenomeni aleatori indipendenti visto che i rumori termici aggiunti sulle due tratte sono processi
statisticamente indipendenti (infatti gli elettroni della prima tratta si agitano in modo indipendente dagli elettroni della seconda tratta). Per calcolare la Pe notiamo che Pe = 1−Pc dove Pc e’
la probabilita’ che il simbolo sia consegnato correttamente sull’ insieme delle due tratte. D’ altra
parte perche’ il simbolo sia consegnato correttamente sulle due tratte deve essere consegnato
correttamente sia sulla prima tratta, il che avviene con probabilita’ 1 − Pt che sulla seconda, il
che avviene ancora con probabilita’ 1 − Pt . Visto che le tratte sono indipendenti la probabilita’
che il simbolo sia consegnato correttamente su entrambe le tratte e’ Pc = (1−Pt )2 = 1−2Pt +Pt2 .
Inoltre, visto che Pt << 1, possiamo trascurare il termine Pt2 e scrivere Pc = 1 − 2Pt , da cui,
visto che Pe = 1 − Pc , si ricava
Pe = 2Pt
(9.54)
che costituisce la relazione che cercavamo fra la probabilita’ d’errore sulla singola tratta e quella
complessiva1 . Per la soluzione del problema notiamo che se la probabilita’ d’errore complessiva
deve essere Pe = 10−5 , dall’ equazione precedente si ricava che la probabilita’ d’errore sulla
singola tratta deve essere Pt = 0, 5 · 10−5 . Dobbiamo quindi calcolare la potenza necessaria a
garantire questa probabilita’ d’errore su ciascuna tratta.
Come al solito come primo passo ricaviamo il valore di N0 sulla singola tratta. Possiamo
ripetere le considerazioni gia’ svolte nel problema 2: la temperatura di sistema e’ la somma della
temperatura di uscita del cavo T0 con quella di ingresso dell’ ampli di ricezione (F − 1)T0 e
sommando le due temperatura otteniamo Ts = F T0 . Per N0 risulta
N0 |dBW/Hz = kTs |dBW/Hz = F kT0 |dBW/Hz = F |dB + kT0 |dBW/Hz = −200 dBW/Hz
(9.55)
L’ attenuazione della linea e’ ancora pari a 120 dB (stiamo considerando una sola tratta). Per
il calcolo della potenza di trasmissione usiamo le curve della probabilita’ d’errore del sistema
PAM per M = 2 e ricaviamo che per una Pt = 0, 5 · 10−5 e’ richiesto un Eb /N0 ≈ 10, 2 dB.
Possiamo dunque scrivere
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz = 10 dB
(9.56)
e sostituendo i valori numerici per Ps si ricava
Ps = −19, 8 dBW
(9.57)
Come commento notiamo che questa potenza e’ circa la meta’ di quella richiesta dal sistema
che usava il ripetitore analogico. Il ripetitore numerico e’ quindi una soluzone milgiore ma piu’
costosa, visto che e’ piu’ complesso. Per capire il perche’ notiamo che il ripetitore analogico fa
passare (e amplifica) sia il segnale che il rumore introdotto nella prima tratta. Al contrario il
1
Si noti che anche se abbiamo lavorato su un caso particolare di due tratte con la stessa probabilta’ d’errore
potremmo procedere in modo analogo se le tratte fossero N e fossero caraterizzate da probabilita’ d’errore diverse.
In questo caso, sempre nell’ ipotesi che le probabilita’ d’errore siano piccole, indicando con Pi la probabilita’
PN
d’errore sulla i-esima tratta per la probabilita’ d’errore complessiva si ricava Pe = i=1 Pi .
152
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
ripetitore numerico, supponendo che riesca a stimare i simboli in modo corretto, fornisce sulla
sua uscita una copia del segnale trasmesso depurata dal rumore. Il ripetitore numerico e’ quindi
in grado di eliminare, almeno in parte visto che comunque puo’ commettere errori, il rumore
introdotto sulla prima tratta: per questo motivo il ripetitore numerico e’ anche detto ripetitore
rigenerativo.
9.4
9.4.1
Trasmissioni radio e accesso multiplo
Trasmissione su canale radio
Figura 9.16: Sistema tx radio
Si consideri il ponte radio mostrato in figura 9.16. Il trasmettitore ed il ricevitore sono
distanti L = 100 Km. Le antenne sono direttive, in linea di vista e caratterizzate da un guadagno
Gt = Gr = 5, 2 dB: e’ quindi possibile assumere la condizione di propagazione nello spazio libero.
La frequenza portante a cui opera il sistema e’ fc = 1 GHz ed il sistema di trasmissione e’ un
QAM che impiega un impulso a radice di coseno rialzato con roll-off ρ = 1. Il fattore di rumore
dell’ ampli del ricevitore e’ F = 14 dB. Si richiede che la probabilita’ d’errore sul simbolo sia
Pe = 10−5 , che la velocita’ di trasmissione sia almeno pari a 18 Mbit/sec e che la massima
variazione dell’ attenuazione nella banda del segnale sia 0, 1 dB di modo che l’ attenuazione
possa essere considerata costante e non sia necessario equalizzare il collegamento2 . In queste
condizioni:
1) Calcolare il valore di M , la banda del segnale trasmesso e graficarne lo spettro.
2) Calcolare la potenza di trasmissione necessaria.
Problema 1. La forma dello spettro e’ dettata dall’ impulso che usiamo e quindi lo spettro
sara’ un coseno rialzato centrato sulla frequenza portante come mostrato in figura 9.17. Per
calcolare la banda del sistema si noti che l’ unica limitazione sulla banda e’ data dai requisiti
sull’ attenuazione. Indicando la banda del sistema con B la frequenza minima e massima saranno
date da f1 = fc − B/2 e f2 = fc + B/2. Cio’ posto, indicando con A(f ) l’ attenuazione del
2
Se la variazione dell’ attenuazione e’ di 0, 1 dB l’ attenuazione alla fine della banda sara’ pari a 100,01 = 1, 02
volte quella all’ inizio della banda: una variazione del 2% che e’ normalmente ininfluente sulle prestazioni.
153
9.4. TRASMISSIONI RADIO E ACCESSO MULTIPLO
collegamento radio, la condizione sull’ attenuazione si puo’ scrivere come:
A(f2 )|dB − A(f1 )|dB = 0, 1
(9.58)
L’ attenuazione del collegamento radio e’ data dalla (8.7). Sostituendo la (8.7) nell’ ultima
espressione ed semplificando si ricava:
A(f2 )|dB − A(f1 )|dB = 20log10 f2 − 20log10 f1 = 20log10
Dall’ ultima espressione si ricava
f2
= 0, 1
f1
f2
= 100,1/20 ≈ 1, 01
f1
(9.59)
(9.60)
Sostituendo f1 e f2 si ottiene il seguente requisito sulla banda
che puo’ scriversi come
1+
da cui
fc + B/2
= 1, 01
fc − B/2
(9.61)
B
B
= 1, 01(1 −
)
2fc
2fc
(9.62)
B
≈ 0, 01
fc
(9.63)
L’ ultima espressione mostra che quando la banda del sistema e’ circa lo 1 % della frequenza
portante la massima differenza fra le attenuazioni ai due estremi della banda e’ 0, 1 dB. Nel
nostro caso, in cui fc = 1 GHz si ricava una banda pari a
B = 0, 01fc = 10 M Hz
(9.64)
Ora cha abbiamo calcolato la banda a disposizione possiamo calcolare M . Nei sistemi QAM a
Figura 9.17: Spettro
radice di coseno rialzato la banda e’ data da (si ricordi che K = log2 M )
B=
fb
(1 + ρ)
K
(9.65)
154
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
da cui
fb
(1 + ρ) = 3, 6.
(9.66)
B
Naturalmente K puo’ assumere solo valori interi e quindi poniamo K = 4 e cioe’ M = 16. In
questo modo la banda effettivamente utilizzata sara’ minore di quella disponibile ed in particolare
K=
fb
(1 + ρ) = 9 M Hz
(9.67)
K
Possiamo quindi completare il disegno dello spettro aggiungendo i valori della frequenza iniziale
e finale.
Problema 2. Per risolvere il problema 2 ricaviamo per prima cosa il valore di N0 in questo
sistema. A questo fine effettuiamo il calcolo della temperatura di sistema all’ ingresso dell’
ampli di ricezione. I contributi da considerare, mostrati in figura 9.18, sono quello dell’ antenna
di ricezione, supposto pari a T0 , e quello dell’ ampli di ricezione che e’ a una temperatura
equivalente Te = T0 (F − 1). Sommando le due temperature otteniamo Ts = F T0 e, sulla base
dell’ equazione (7.14) risulta
B=
Figura 9.18: Rumore nel sistema radio
N0 |dBW/Hz = kTs |dBW/Hz = F kT0 |dBW/Hz = F |dB + kT0 |dBW/Hz = −190 dBW/Hz
(9.68)
Come secondo passo valutiamo l’ attenuazione della collegamento. Come abbiamo imposto
questa sara’ grosso modo la stessa su tutta la banda di trasmissione e quindi la approssimiamo
come quella data dall’ equazione (8.7) valutata in corrispondenza della frequenza portante.
Otteniamo
A = A(fc ) = 32, 4 + 20log10 (fc |M Hz ) + 20log10 (L|Km ) − Gt |dB − Gr |dB .
(9.69)
Sostituendo i valori numerici ricaviamo
A = 32, 4 + 60 + 40 − 5, 2 − 5, 2 = 122dB.
(9.70)
Passiamo al calcolo della potenza di trasmissione. Usiamo innanzi tutto le curve della probabilita’ d’errore del sistema QAM per M = 16 e ricaviamo che per una Pe = 10−5 e’ richiesto un
Eb /N0 ≈ 14 dB. Come sappiamo risulta:
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz
(9.71)
9.4. TRASMISSIONI RADIO E ACCESSO MULTIPLO
155
Sostituendo i valori numerici e risolvendo per Ps si ricava
Ps = 18, 5 dBW = 70, 8 W
9.4.2
(9.72)
Sistemi multi-utente FDMA
Si consideri un sistema di telefonia cellulare. Studiamo il dimensionamento del down-link (cioe’
delle trasmissioni dalla stazione base verso gli utenti). La cella e’ circolare ed ha un raggio di
L Km. La stazione base, posta al centro della cella, deve servire fino ad un massimo di 64
utenti contemporaneamente attivi. Ciascun utente deve ricevere una velocita’ di trasmissione
di 32 Kbit/sec con una probabilita’ d’errore sul simbolo al massimo pari a Pe = 10−5 . Il
sistema utilizza una modulazione 4-QAM con impulso a radice di coseno rialzato con roll-off
ρ = 0. Il fattore di rumore dell’ amplificatore di ricezione delle unita’ utente e’ F = 14 dB. Il
guadagno dell’ antenna di trasmissione (quella della centrale) e’ Gt = 7, 4 dB mentre l’ antenna
del terminale mobile e’ isotropa (per evitare che l’ utente abbia la necessita’ di puntare il telefono
durante la chiamata, che sarebbe decisamente fastidioso). L’ attenuazione introdotta dal canale
e’ assunta, per semplicita’, pari a quella dello spazio libero. Per gestire l’ accesso multiplo
al canale radio la stazione base usa la tecnica della divisione di frequenza (FDMA: Frequency
Division Multiple Access). In questa tecnica la stazione base genera un segnale QAM diverso,
ed in particolare con una diversa frequenza portante, per ciascun utente e trasmette un segnale
che e’ la somma di tutti i segnali QAM relativi ad i singoli utenti. I segnali vengono tenuti
separati in frequenza spaziando le frequenze portanti di un passo opportuno (almeno pari alla
banda dei segnali). In questo modo per ciascun utente si realizza un canale dedicato: infatti
ciascun utente puo’, attraverso un filtro passabanda, isolare il segnale a lui destinato prima di
effettuarne la demodulazione ed eliminare cosi’ i segnali destinati agli altri utenti. Il sistema
ha a disposizione una banda centrata sulla frequenza di 2 GHz e si richiede che impieghi la
minima banda necessaria date le specifiche descritte fino a qui. Infine si suppone che la potenza
complessiva erogata dalla stazione base sia di Pt = 0 dBW e che venga equamente ripartita sui
vari canali. In queste condizioni:
Figura 9.19: Sistema multiutente
3) Graficare lo spettro del segnale emesso dalla stazione base.
156
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
4) Tracciare un diagramma a blocchi del ricevitore dell’ utente numero 32 (cioe’ quello che usa
la 32-esima portante) specificando la banda passante del filtro e la frequenza a cui opera il
demodulatore IQ.
5) Calcolare il raggio della cella L.
Problema 3. Ciascun utente riceve un segnale 4-QAM che trasporta un flusso di fb = 32
Kbit/sec. Come sappiamo, la banda richiesta da ciascun segnale e’ data da
B = fs (1 + ρ) = fs = fb /2 = 16 KHz.
(9.73)
in cui abbiamo tenuto conto del fatto che ρ = 0 e che log2 M = K = 2. Nel complesso la
stazione base deve trasmettere 64 segnali di questo tipo. Nella pratica sara’ necessario separare
gli spettri segnali con opportune bande di guardia, per evitare interferenze e per semplificare
la realizzazione del filtro del ricevitore ma in teoria possiamo, per occupare il minimo possibile
della banda, accostare gli spettri dei segnali senza separazione. Lo spettro complessivo avra’
allora l’ aspetto mostrato in figura 9.20: e’ costituito da 64 funzioni rect affiancate e centrate
sulla frequenza 2 GHz. L’ occupazione complessiva di banda e’
Btot = 64 · B = 1.024 KHz = 1, 024 M Hz.
(9.74)
Figura 9.20: Spettro del sistema FDMA
Problema 4. Il diagramma a blocchi del ricevitore e’ riportato in figura 9.21. Come si nota e’
costituito da un normale ricevitore QAM con l’ aggiunta di un filtro passabanda ideale prima
del demodulatore. Questo filtro ha la funzione di isolare il segnale di interesse dagli altri segnali.
Osservando la figura relativa allo spettro si nota che la portante numero 32 e’ centrata sulla
frequenza fp = 1, 999992 GHz (cioe’ 2 GHz - 8 KHz). Quindi, per effettuare la ricezione di
questo canale, il filtro dovra’ avere una banda passante di 16 KHz compresa fra fp = 1, 999984
GHz e 2 GHz. La frequenza portante a cui opera il demodulatore IQ e’ fp = 1, 999992 GHz.
Problema 5. Il quesito chiede di calcolare il raggio della cella. Questo viene imposto dalle
specifiche date nel testo del problema. Infatti il raggio della cella determina la distanza (massima) fra un utente e la stazione base che a sua volta determina l’ attenuazione del collegamento.
9.4. TRASMISSIONI RADIO E ACCESSO MULTIPLO
157
Figura 9.21: Diagramma a blocchi di un ricevitore in un sistema FDMA.
Visto che la potenza e la probabilita’ d’errore sono fissate dalle specifiche esiste un valore massimo per l’ attenuazione a cui corrisponde un valore massimo per la distanza fra stazione base
ed utente che determina il raggio della cella.
Come passo preliminare per la soluzione calcoliamo la densita’ spettrale del rumore. Il
rumore e’ costituito dal contributo introdotto dall’ antenna di ricezione, tenuto in conto da un
generatore a temperatura T0 , e da quello dell’ amplificatore di ricezione, caratterizzato da una
temperatura equivalente Te = T0 (F − 1). Sommando le due temperature otteniamo Ts = F T0
e, sulla base dell’ equazione (7.14) risulta
N0 |dBW/Hz = kTs |dBW/Hz = F kT0 |dBW/Hz = F |dB + kT0 |dBW/Hz = −190 dBW/Hz
(9.75)
Il passo sucessivo e’ quello di user le curve della probabilita’ d’errore del sistema QAM per M = 4
e ricavare che per una Pe = 10−5 e’ richiesto un Eb /N0 ≈ 10 dB. Possiamo allora impostare la
seguente equazione per ciascuno dei 64 segnali QAM prodotti dalla stazione base:
Eb /N0 |dB = Ps |dBW − fb |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz = 10 dB
(9.76)
L’ equazione precedente e’ relativa ad un singolo utente. Quindi fb = 32000 Hz e risulta
fb |dBHz ≈ 45 dBHz.
(9.77)
Anche la potenza e’ quella relativa ad un singolo utente. Visto che la potenza totale e’ Pt = 0
dBW = 1 W, che questa e’ equamente ripartita sui vari canali e che i canali sono 64 ricaviamo
Ps = 1/64 W ≈ −18 dBW
(9.78)
A questo punto, sostituendo questi valori numerici nella (9.76), ricaviamo il valore di attenuazione per il quale risulta Pe = 10−5 . Si ottiene:
A = 117 dB
(9.79)
A questo punto possiamo effettuare il calcolo del raggio della cella. A questo fine notiamo che
l’ attenuazione e’ data dalla (8.7) ed e’ quindi una funzione della frequenza. D’ altra parte,
158
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
come sappiamo dal problema 1) e vista la banda limitata occupata dal segnale trasmesso in
confronto alla frequenza piortante, possiamo fare l’ ipotesi semplificativa che per tutti i canali
l’ attenuazione sia grosso modo la stessa e pari a quella che si ha alla frequenza centrale dello
spettro e cioe’ 2 GHz = 2000 MHz. Possiamo quindi scrivere
A = 32, 4 + 20log10 (2000) + 20log10 (L|Km ) − Gt |dB − Gr |dB
(9.80)
inoltre sappiamo che Gt = 7, 4 dB mentre Gr = 1 = 0 dB visto che l’ antenna di ricezione e’
isotropa. Sostituendo i valori numerici ed imponendo A = 117 dB ricaviamo
20log10 L = 26.
(9.81)
L = 1026/20 = 20 Km
(9.82)
da cui
che e’ il raggio della cella che cercavamo. Infatti quando un utente si trova esattamente a 20
Km dalla stazione base l’ attenuazione sara’ 117 dB e la Pe = 10−5 . Per un utente che sia piu’
vicino l’ attenuazione sara’ minore e risultera’ Pe < 10−5 . Al contrario per un utente che si trovi
ad una distanza maggiore risultera’ Pe > 10−5 e il requisito sulla probabilita’ d’errore non e’
verificato.
9.4.3
Sistemi multi-utente TDMA
Consideriamo ora il down-link di un sistema cellulare identico a quello dei problemi precedenti
e con le stesse specifiche. In particolare supponiamo che la stazione base debba servire fino
ad un massimo di 64 utenti contemporaneamente attivi, che ciascun utente debba ricevere una
velocita’ di trasmissione di 32 Kbit/sec con una probabilita’ d’errore sul simbolo al massimo
pari a Pe = 10−5 . Come nei problemi precedenti il sistema utilizza una modulazione 4-QAM
con impulso a radice di coseno rialzato con roll-off ρ = 0 e il segnale trasmesso deve essere
centrato su una frequenza di 2 GHz. Il fattore di rumore dell’ amplificatore di ricezione delle
unita’ utente e’ F = 14 dB. Il guadagno dell’ antenna di trasmissione e’ Gt = 7, 4 dB mentre
l’ antenna del terminale mobile e’ isotropa. La potenza complessiva trasmessa dalla stazione
base e’ ancora Pt = 0 dBW. Supponiamo pero’ che il sistema di accesso multiplo sia diverso e
sia basato sulla tecnica della divisione di tempo (TDMA: Time Division Multiple Access). In
questa tecnica la stazione base genera un unico segnale QAM che trasporta i bit destinati a
tutti gli utenti. In particolare i bit trasmessi vengono raggruppati in trame di un certo numero
di bit, per esempio 6400 bit, e i bit di una trama sono relativi a diversi utenti, per esempio i
primi 100 sono destinati al primo utente, i secondi cento al secondo e cosi’ via. In questa tecnica
ogni utente deve ricevere solo i bit a lui destinati. Continuando l’ esempio precedente il primo
utente deve ricevere solo i primi cento bit di ogni trama e puo’ ignorare gli altri: per esempio
puo’ spegnere il proprio apparato di ricezione mentre avviene la trasmissione dei bit destinati
agli altri utenti. Oppure puo’ ricevere tutti i bit e ’buttare’ quelli destinati agli altri utenti. In
pratica in un sistema di questo tipo e’ necessario prevedere una procedura di sincronizzazione
di trama, in modo che ogni utente sappia quando iniza la trama, per esempio si puo’ effettuare
la trasmissione di una sequenza di bit di riferimento, che marca l’ inizio della trama, ma noi nel
seguito del problema ignoreremo questa necessita’ e supporremo che la stazione base invii solo
i bit destinati agli utenti. Cio’ posto consideriamo i seguenti problemi:
9.4. TRASMISSIONI RADIO E ACCESSO MULTIPLO
159
6) Graficare lo spettro del segnale emesso dalla stazione base.
7) Calcolare il raggio della L cella.
Problema 6. Nel sistema TDMA che stiamo considerando ogni utente deve ricevere in media
32 Kb/s. Questa velocita’ media e’ ottenuta trasmettendo ad una velocita’ 64 volte superiore ma
riservando a ciascun utente solo 1/64-esimo del tempo di trasmissione (ovvero dei bit trasmessi).
Quindi la stazione base, che deve trasmettere 32 Kb/sec per ciascuno dei 64 utenti, dovra’
trasmettere ad una velocita’ totale di ft = 32·64 = 2048 Kb/sec. Questi bit vengo trasportati dal
segnale 4-QAM che quindi opera ad una frequenza di simbolo fs = 1024 KHz/sec. Considerando
che il sistema usa un impulso a radice di coseno rialzato con roll-off pari a 0 la banda occupata
sara’
B = fs (1 + ρ) = fs = 1024 KHz.
(9.83)
e lo spettro avra’ la forma riportata in figura 9.22 ed e’ costituito da una rect di banda 1024
KHz centrata sulla frequenza di 2 GHz. Si noti che la forma dello spettro e’ identica a quella
che si aveva nel caso di sistema FDMA.
Figura 9.22: Spettro del segnale trasmesso in un sistema TDMA.
Problema 7. Il quesito e’ simile a quello gia’ risolto nel problema 6). La densita’ spettrale del
rumore e’ identica, visto che l’ ampli di ricezione ha lo stesso fattore di rumore, ed e’ data da
N0 |dBW/Hz = kTs |dBW/Hz = F kT0 |dBW/Hz = F |dB + kT0 |dBW/Hz = −190 dBW/Hz
(9.84)
Visto che il sistema e’ sempre un 4-QAM per una Pe = 10−5 e’ richiesto ancora un Eb /N0 ≈ 10
dB. Possiamo allora impostare la seguente equazione:
Eb /N0 |dB = Pt |dBW − ft |dBHz − A|dB − N0 |dBW/Hz = 10 dB
(9.85)
si noti che l’ equazione precedente e’ relativa al segnale complessivo trasmesso dalla stazione base
ed infatti abbiamo usato i valori totali della potenza e della velocita’ trasmissione. In particolare
ft = 1024 KHz e Pt = 0 dBW. Sostiuendo i valori numerici ricaviamo il seguente valore per l’
attenuazione del collegamento:
A = 117 dB
(9.86)
Si noti che abbiamo ottenuto esattamente lo stesso valore che nel sistema FDMA: infatti la
frequenza binaria e’ 64 volte maggiore che nel sistema FDMA ma lo e’ anche la potenza di
160
CAPITOLO 9. ANALISI E DIMENSIONAMENTO DI SISTEMI DI TRASMISSIONE
trasmissione e le due variazioni si compensano. Possiamo ora procedere esattamente come nel
caso FDMA: l’ attenuazione e’ data dalla (8.7) ed quindi varia con la frequenza. D’ altra parte
possiamo fare l’ ipotesi semplificativa che l’ attenuazione sia grosso modo costante nella banda
del segnale e pari a quella che si ha alla frequenza centrale dello spettro e cioe’ 2 GHz = 2000
MHz. Possiamo quindi scrivere
A = 32, 4 + 20log10 (2000) + 20log10 (L|Km ) − Gt |dB − Gr |dB
(9.87)
Sostituendo i valori numerici ed imponendo A = 117 dB ricaviamo
20log10 L = 26.
(9.88)
L = 1026/20 = 20 Km
(9.89)
da cui
che e’ il raggio della cella che cercavamo ed e’ identico a quello ottenuto nel caso FDMA. Anche
in questo caso un utente che si trovi piu’ vicino avra’ Pe < 10−5 mentre per un utente che si
trovi ad una distanza maggiore risultera’ Pe > 10−5 .
I problemi precedenti mostrano che, almeno in teoria, i sistemi FDMA e TDMA sono equivalenti dal punto di vista delle prestazioni. Naturalmente i due sistemi hanno vantaggi e svantaggi
pratici. Per esempio il sistema FDMA richiede che il ricevitore sia sempre in funzione ma che
operi ad una frequenza di 32 Kbit/sec. Invece nel sistema TDMA il ricevitore deve funzionare
solo 1/64-esimo del tempo ma quando e’ attivo deve ricevere un flusso ad una velocita’ 64 volte
superiore a quella del sistema FDMA. Non si puo’ quindi affermare che un sistema sia migliore o
peggiore e spesso i sistemi reali usano una combinazione di questi due schemi di accesso multiplo
(per esempio il GSM li impiega entrambi).
Come commento finale notiamo che nei problemi precedenti abbiamo considerato il solo
down-link ma in un sistema reale occorre realizzare anche la trasmissione in up-link ovvero dalle
unita’ utente verso la stazione base. In altre parole i sistemi reali realizzano delle comunicazioni
full-duplex e cioe’ che avvengono contemporaneamente nelle due direzioni. A questo scopo e’
ancora possibile sfruttare sia una tecnica a divisione di frequenza che una tecnica a divisione
di tempo. In una tecnica TDD (Time Division Duplex) meta’ del tempo di trasmissione e’
riservato alla trasmissione del down-link (che avviene nell’ intera banda a disposizione) e l’ altra
meta’ alla trasmissione dell’ up-link. In un sistema FDD (Frequency Division Duplex) i segnali
di up-link e di down-link vengono trasmessi contemporaneamente ma in bande separate: meta’
della banda e’ riservata all’ up-link e l’ altra meta’ al down-link.
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