3.1. Lo schema delle scommesse di de Finetti. La

ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA
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3.1. Lo schema delle scommesse di de Finetti. La nostra analisi della
logica probabilistica si è fino a qui basata su due assunzioni. La prima
è che la logica dei gradi di convinzione sia vincolata dalla (relazione di)
conseguenza classica sugli eventi. Questo è del tutto ragionevole se riteniamo
che il ragionamento in condizioni di certezza sia un caso particolare del
ragionamento in condizioni di incertezza. E non ci sono motivi cogenti per
dubitarne. Dobbiamo però precisare in che modo interpretiamo gli enunciati
di EL come eventi.
3.1.1. Enunciati, fatti ed eventi. Nel nostro sviluppo della logica (proposizionale, classica) della certezza, abbiamo assunto che l’insieme delle valutazioni proposizionali fosse abitato da funzioni totali. Insieme al principio
di composizionalità questo implica una forma di onniscienza, da parte dei
nostri agenti logici: ogni variabile proposizionale è decisa21 da ogni valutazione, e di conseguenza lo è ogni enunciato in EL. Non sembra esserci molto
spazio per l’incertezza in questo quadro, che sembra chiaramente parlare di
fatti e non di eventi.
Anche questa volta le apparenze sono fuorvianti. Rammentiamo dalla Sezione 2.4 che l’oggetto del nostro interesse sono entità che è comodo chiamare
agenti logici. È certamente possibile, in tale contesto, contemplare la situazione in cui tutte le variabili proposizionali in L sono decise dalle valutazioni
su L, ma senza che il nostro agente sappia come. È questa ignoranza che
distingue gli “eventi” dai “fatti”.
Definizione 3.5 (Eventi). Per un dato agente Ag, ✓ 2 EL è un evento se
(1) Ag non conosce il valore di verità di ✓
(2) Ag conosce le condizioni di verifica di ✓, cioè sa quali sono le condizioni sotto cui si potrà dire se ✓ si è verificato oppure no.
Un’analogia può aiutare la comprensione di questo punto importante e delicato. Pensiamo al “mondo” come a un film. Il montaggio è eseguito in modo
tale che a ogni fotogramma venga decisa una (nuova) variabile proposizionale e che all’ultimo fotogramma si decida l’ultima variable proposizionale di
L che ancora rimane da decidere. Supponete ora che ✓ 2 EL sia una formula
particolarmente complicata. Prima dell’inizio del “film” non sapete quale
sarà il valore di verità di ✓, ma sapete che alla fine del film avrete tutte le
informazioni necessarie per decidere se ✓ si è verificato oppure no. Si tratta
dunque di un evento.
21Cioè v(p) 2 {0, 1}, per ogni p 2 L.
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Il rapporto logico tra “fatti” ed eventi è molto stretto. Per i nostri scopi
possiamo addirittura spingerci fino a dire che sono i fatti che permettono di
decidere se un certo evento si è verificato oppure no. Il seguente esempio,
essenzialmente dovuto a Emile Borel, illustra il punto.
Esempio 3.6 (Fatti ed eventi). Supponete di chiedere a un’amica di lanciare
una moneta da un euro lunedı̀ pomeriggio alle 4 e di nasconderla sotto
una tazza. Supponete che sia uscita testa. L’enunciato “è uscita testa” è
sicuramente un “fatto”. Martedı̀ mattina l’enunciato ✓ che sta per “è uscita
croce” è certamente deciso da questo fatto, ma per voi è un evento fino a
che non avrete modo di sollevare la tazza e verificarne l’occorrenza.
Esercizio 14. Sia ✓ la formalizzazione di “l’aereo da Londra a Pisa è in
orario”. Si tratta di un evento o di un fatto? Argomentare brevemente.
3.1.2. Incertezza e probabilità. La seconda assunzione che abbiamo fatto
senza discussione è che l’incertezza del nostro agente logico sia rappresentata
formalmente dalla sua funzione di probabilità. Benché la probabilità nasca22
come misura dell’incertezza, non abbiamo alcuna garanzia, a meno di argomentare dettagliatamente, sul fatto che una funzione d’insieme monotona,
normalizzata e (finitamente) additiva, come quella della definizione 3.2 sia
una misura adeguata dell’incertezza del nostro agente. Un altro modo di
formulare la domanda è questo:
Perché (P1) e (P2) nella definizione 3.2 sono proprietà desiderabili dei gradi di convinzione razionale di un agente
idealizzato?
Il compito che a↵ronteremo nella parte rimanente di questa sezione è quindi
giustificare la nostra scelta di formalizzare i gradi di convinzione attraverso
funzioni di probabilità sull’insieme degli eventi EL. Per farlo useremo lo
schema delle scommesse introdotto da Bruno de Finetti intorno alla fine
degli anni 20 del secolo scorso.23
Esempio 3.7. Vi o↵rono24 di scommettere su chi sarà il capo del prossimo
governo della Repubblica italiana, cioè simultaneamente sugli eventi ✓1 ,✓2 ,
✓3 , ✓4 a cui assegnate le seguenti probabilità:
22Con un travaglio di oltre un secolo tra la fine del 1500 e l’inizio del 1700.
23De Finetti, B. 1931. “Sul Significato Soggettivo Della Probabilità.” Fundamenta
Mathematicae 17: 289–329.
24L’esempio non può sviluppare quello discusso durante la lezione del 21 gennaio 2013.
Quando ho scritto quell’esempio non contemplavo l’ipotesi che Bersani potesse arrivare
primo senza vincere. La logica classica è ovviamente inadeguata come modello degli eventi
politici del Belpaese.
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P (✓1 ) = p1 (governerà Berlusconi)
P (✓2 ) = p2 (governerà Bersani)
P (✓3 ) = p3 (governerà Grillo)
P (✓4 ) = p4 (governerà un candidato che ha avuto più di un quarto
dei voti)
Nello schema delle scommesse che stiamo per sviluppare interpretiamo pi , i =
1, 2, 3, 4 come il prezzo di un biglietto che vi dà diritto a ricevere 1 se
si verifica ✓i e 0 altrimenti (con una perdita netta di pi .) Risulta chiaro
che, sotto l’ipotesi di essere obbligati a comprare tutti e quattro i biglietti
simultaneamente, debba essere soddisfatta l’equazione
p 4 = p 1 + p2 + p3 .
(3.3)
Se cosı̀ non fosse vi esporreste a perdita certa causata dal fatto che sareste
disposti a pagare due cifre diverse per biglietti logicamente equivalenti25.
Esporsi alla possibilità logica della perdita certa rappresenta un tipo di comportamento ovviamente irrazionale. Uno cioè che rivela opinioni incoerenti
o gradi di convinzione inammissibili.
Nell’esempio precedente è facile vedere come l’additività della funzione di
probabilità (cioè P2) ci permetta di evitare la perdita sicura e costituisca
quindi una condizione necessaria per la coerenza delle opinioni soggettive.
Vedremo adesso come l’interpretazione della probabilità come prezzo ci permetta di rendere questa conclusione matematicamente precisa ed estenderne
notevolmente le conseguenze.
Prima di entrare nel dettaglio dell’argomento è utile anticiparne i due passi
principali:
(1) identificazione dei gradi di convinzione di un agente con la sua disposizione a compiere determinate scelte (scommettere a favore o
contro certi eventi)
(2) dimostrazione che la condizione necessaria e sufficiente affinché l’agente eviti di compiere scelte ovviamente irrazionali è che i suoi gradi
di convinzione soddisfino (P1) e (P2).
Il punto (1) consiste nella formalizzazione del problema (informale) di definire il concetto di scelta ovviamente irrazionale da cui concludiamo l’incoerenza delle opinioni. Il punto di arrivo è un’astrazione del problema originario
che chiameremo il problema di de Finetti. All’interno di quest’ultimo possiamo a↵rontare il punto (2) in modo matematico. Dimostreremo cioè il
teorema di coerenza di de Finetti.
25Poiché uno e uno solo sarà il capo del governo, segue chiaramente che ✓ ⌘ W3 ✓
4
i=1 i
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Figura 3. Bruno de Finetti (1906-1985).
Osservazione 3.8. È opportuno tenere ben presente fin da ora che l’identificazione a cui arriveremo dei gradi di convinzione razionale con i gradi
di probabilità non vale in senso assoluto. Dipende invece dalle ipotesi che
facciamo in (1) nella costruzione del modello e in particolare dall’idealizzazione dell’agente e dall’astrazione del problema di scelta che introdurremo
a breve. Si tratta, in altre parole, di un modello normativo che si applica
soltanto a una classe specifica di problemi.26
3.1.3. Il problema di scelta. Siano ✓ 2 EL, p 2 [0, 1] e 2 R che assumiamo
espresso in una qualche divisa, per esempio Euro. Una scommessa è una
variable aleatoria a valori reali. Denotiamo le scommesse con F, G ecc.,
eventualmente con opportuni pedici.
Il problema di scelta di de Finetti (o più semplicemente, il problema di scelta) che vogliamo costruire cattura l’interazione tra due agenti Allibratore e
Giocatrice le cui caratteristiche vedremo tra un attimo.
Lo scopo del problema di scelta è quello di rendere analizzabile il comportamento di scelta di Allibratore in modo da
permetterci di misurare i suoi gradi di convinzione.
26
In statistica, economia, intelligenza artificiale, filosofia della scienza, ecc., l’ideologizzazione del dibattito sui fondamenti della probabilità raggiunge picchi imbarazzanti. È
bene immunizzarsi subito.
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Definizione 3.9. Uno schema di scommesse è una coppia ( , !) dove
EL è un insieme finito di eventi e
!:
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✓
! [0, 1]
è un assegnamento.
L’intuizione è che un assegnamento corrisponda alla pubblicazione da parte
di Allibratore delle sue quote di scommessa per gli eventi in . Le scommesse
sono regolate da un contratto che ha le seguenti clausole:
(C0) Il contratto è valido soltanto per eventi;
(C1) Allibratore pubblica, per ogni evento ✓i 2 le sue quote pi 2 [0, 1];
(C2) Giocatrice, ha facoltà di puntare una quantità 2 R a suo piacimento e di scegliere tra le variabili aleatorie Fp (✓) e Ap (✓) dove
(
(1 p) se v(✓) = 1
Fp (✓) =
p
se v(✓) = 0,
e
Ap (✓) =
(
p
se v(✓) = 0
(1
p)
se v(✓) = 1.
Ne risulta che Fp (✓) è il valore (monetario) che Giocatrice ottiene puntando
unità su ✓ alla “quota” p. Analogamete Ap (✓) è il ricavo che ottiene
puntando unità contro ✓ alla quota p.
Osservazione 3.10. La scelta tra Fp (✓) e Ap (✓) si riduce e↵ettivamente
alla scelta del segno di . Se Scommettitrice vuole scommmettere contro
✓, deve moltiplicare il prezzo della scommessa per la puntata negativa
.
Questo è particolarmente chiaro da visualizzare se rappresentiamo il ricavo
di Giocatrice con la matrice della figura 4.
Fp (✓)
Ap (✓)
v(✓) = 1
(1 p)
(1 p)
v(✓) = 0
p
p
Figura 4. La matrice di ricavo di Giocatrice
3.1.4. L’astrazione del problema.
(1) Il problema di scelta di de Finetti è quindi un gioco in forma estesa
a somma zero. La prima mossa è di Allibratore, che sceglie, per ogni
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✓i nello schema, un assegnamento pi . Successivamente Giocatrice ha
la scelta tra pagare Fp (✓) e Ap (✓). Nel momento in cui Allibratore
fa la sua scelta dei pi , sa che successivamente Giocatrice farà la
propria, e potrà farla in numero illimitato di volte. Giocatrice può
cioè scommettere un numero arbitrario di volte.
(2) Poiché il valore combinato di Fp (✓) e Ap (✓) è 0, la scelta di un
valore negativo di S equivale alla decisione unilaterale di Giocatrice
di scambiare ruolo con Al.27
(3) Per evitare distorsioni dovute al decremento dell’utilità marginale si
assume28 che i valori in euro siano piccoli.
3.1.5. L’idealizzazione degli agenti. Assumiamo che Allibratore e Giocatrice
siano agenti idealizzati e in particolare che:
(Id1 ) siano logicamente onniscienti e infallibili
(Id2 ) siano immuni da limitazioni computazionali
(Id3 ) siano indi↵erenti rispetto al rischio (cioè no provino attrazione né
repulsione a scommettere)
(Id4 ) abbiano a disposizione somme illimitate di denaro
Gli agenti reali (io, voi, ecc) violano spesso le assunzioni (Id1 ) (Id4 ). Questo significa che l’argomento che stiamo costruendo non ha valore descrittivo. Detto altrimenti, non spiega il comportamento di scelta che osserviamo
(sperimentalmente) negli individui e non è questo l’obiettivo. Siamo invece
interessati a capire come dovrebbe scegliere nel problema di de Finetti un
individuo che non si trovi ad essere limitato da tempo, denaro, disattenzione
ecc.
A queste idealizzazioni, si aggiunge la seguente assunzione fondamentale.
Assunzione 3.11 (Desiderabilità delle vincite). Allibratore e Giocatrice
preferiscono le vincite rispetto alle perdite.
La discussione sull’ipotesi di desiderabilità delle vincite è per certi aspetti
molto debole, ma per altri ricca di insidie. Basti pensare ai fiumi di inchiostro che sono stati stampati sull’idea di “razionalità economica” incarnata
da homo economicus.29
27Questa è senza dubbio la principale astrazione del problema di de Finetti rispetto alla
pratica reale delle scommesse. Nessun allibratore reale prenderebbe mai in considerazione
l’ipotesi di vendere una scommessa per una quantità negativa di denaro!
28Un’assunzione che de Finetti chiama ipotesi di rigidità.
29Gli interessati possono farsi un’idea sfogliando
• Camerer, C., and Fehr, E. 2006. “When Does ‘Economic Man’ Dominate Social
Behavior?” Science 311 (5757): 47–52.
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Per noi si tratta di una discussione marginale. È infatti chiaro che sotto
(Id3 ) preferire la vincita (monetaria) rispetto alla perdita sia una condizione
riassumibile nel fatto che gli agenti hanno un obiettivo. Le implicazioni
“morali” della massimizzazione del valore monetario sono quindi del tutto
irrilevanti. Ci possiamo facilmente spingere fino a dire che l’unico vero ruolo
delle controparti monetarie nello schema delle scommesse di de Finetti è
quello di permetterci di fare i conti.
• Binmore, K. 2005. “Economic Man–or Straw Man?” Behavioral and Brain
Sciences 28:817–828.