Un numero - Un Museo per la Matematica Avellino

mathematica…
[mentis]
rubrica di cultura matematica
a cura del CIRPU
resp. scient. Prof. Italo Di Feo
Un numero
1089
Continua il nostro viaggio attraverso la matematica...
Il divertimento è una delle forze più ricche di motivazioni dell’umanità. Benché i matematici qualche volta
sminuiscano il lavoro di un collega definendolo “matematica ricreativa”, una parte considerevole di
matematica “seria” trae origine da problemi ricreativi, che mettono a prova logica e rivelano profondità
matematiche.
Ivan Peterson
1089
Scriviamo un numero di tre cifre con la prima e la terza cifra che abbiano almeno una
differenza di due; insomma se una delle due cifre è 9, l’altra deve essere inferiore a 8Per esempio 734
-
Invertiamolo e sottraiamo il più piccolo dal più grande
-
734437=
297
invertiamo ancora e addizioniamo alla somma precedente
1089
297+
792=
1089
qualsiasi numero di tre cifre scriviamo, ripetendo le stesse operazioni, otterremo sempre
321-
198+
924-
495+
123=
891=
429
594
198
1089
495 1089
nel caso che la prima e terza cifra sono uguali, otterremo al primo passaggio 0; mentre se
tra esse c’è la differenza di 1, avremo come risultato 198.
Pag. 1
453-
99+
354=
99=
99
198
Con l’aiuto dell’algebra e la scrittura polinomiale possiamo dimostrare questa proprietà
dei numeri di tre cifre.
Quando scriviamo 452 sintetizziamo 4x100+5x10+2 e quindi se scriviamo un generico
numero di tre cifre abc è come scrivere
100a + 10b + c
con a>c+1
Invertendo e sottraendo, abbiamo
100a + 10b + c –
100c + 10b + a
e poiché c<a, per poter eseguire la sottrazione dobbiamo scrivere:
100a-100
100c
100+10b-10
10b
10+c a
=
100(a-1-c)
90
10+c-a
100(a-1-c)
90
10+c-a
100(10+c-a)
90
a-1-c
1000-100
180
9
Ed ancora
+
=
ossia 1089
-
Esiste una proprietà simile per numeri di quattro cifre?
Questo caso risulta più complicato per il fatto che le cifre interne (centinaia e decine) sono
due. Scriviamo un numero di quattro cifre con la solita precauzione che tra la prima cifra e la
quarta la differenza sia almeno di due.
4652-
invertiamo solo la prima con l’ultima cifra e sottraiamo
2654=
1998
Pag. 2
1998+
8991=
10989 è sempre quello che otterremo con ogni numero di 4 cifre.
Se invece al secondo passaggio invertiamo completamente il numero di quattro cifre, il
risultato alla fine delle due operazioni è diverso a seconda che la cifra delle centinaia è maggiore
o minore della cifra delle decine e in particolare è 10890 o 9999; se sono uguali avremo ancora
10989.
4652-
6>5
2564=
2088
2088+
8802=
10890
Nel caso di 7254 si ha:
7254-
2<5
4527=
2627+
7262=
9999
85544558=
3996+
6993=
10989
Possiamo sempre effettuare una dimostrazione rigorosa:
Sia abcd il numero dato, avremo:
Pag. 3
1000a+100b+10c+d1000d+100b+10c+a
inversione solo della prima ed ultima cifra
Per poter eseguire la sottrazione (a>d+1) dobbiamo scrivere
1000a-1000
1000+100b-100
1000d
100+10c-10 10+d -
100b
10c
a
=
1000(a-1-d)
900
90
10+d-a +
1000(10+d-a)
900
90
a-1-d =
1800
180
9000
9 e quindi
9000+1800+180+9=10989
Nel caso dell’inversione completa con b>c, avremo:
1000a
100b
10c
d-
1000d
100c
10b
a
1000a
+
100b-100 +
1000d
10b
a =
+ 100(b-1-c) + 10(9+c-b) + 10+d-a +
1000(10+d-a) 100(9+c-b)
10.000
100+10c-10 + 10+d -
100c
1000(a-d)
da cui
+
800
10(b-1-c)
+
80
a-d =
+
10=10890
Con b<c
1000a-1000
1000d
1000(a-1-d)
1000+100b
10c-10
10+d
100c
10b
a
=
100(10+b-c)
10(c-1-b)
10+d-a
+
10(10+b-c)
a-1-d
=
90
9
1000(10+d-a) 100(c-1-b)
9000
+ 900
-
=9999
Anche per i numeri di cinque cifre abbiamo gli stessi problemi ossia daremo una risposta
anticipata solo se al primo passaggio invertiamo la prima con l’ultima cifra. Facciamo un
esempio.
Pag. 4
7852338527=
39996+
69993=
109.989 è il risultato che possiamo anticipare solo se al
primo passaggio invertiamo la prima cifra con l’ultima. Nel caso che invertiamo al primo
passaggio tutto il numero, per dare la risposta dobbiamo aspettare prima che scrivano il numero
ed in tal caso daremo la risposta a seconda che la II cifra (migliaia) è maggiore o minore della
quarta (decine)
Nel caso precedente
78523-
8>2
32587=
45936+
63954=
109.890
Mentre per
63251-
3<5
15236=
48015+
51084=
99099
In conclusione dato il numero di 5 cifre abcde, con l’inversione completa al primo
passaggio ottieni 109.890 se b>d
e
99099 se b<d
Nel caso di due numeri
72-
45+
27=
54
45
99
Pag. 5
nel caso di due cifre, quindi, con la condizione della differenza almeno di 2 tra le due cifre,
il risultato è sempre 99.
-
Dimostriamolo-- dato il numero di due cifre ab, avremo 10a + b –
10b + a=
10a-10
+10+b –
10b
+a =
10a-10-10b
100+10b-10a
90
+
10+b-a +
a-1-b=
9 = 99
Da tutti i casi esaminati abbiamo ottenuto sette numeri.; proviamo ad addizionare le loro
cifre anche più volte fino ad ottenere una sola cifra:
I) 1+0+8+9=18; 1+8=9
II) 1+0+9+8+9=27; 2+7=9
III) 9+9+9+9=36; 3+6=9
IV) 1+0+9+9+8+9=36; 3+6=9
V) 1+0+9+8+9+0=27; 2+7=9
VI) 9+9+0+9+9=36; 3+6=9
VII) 9+9=18; 1+8=9
Il risultato finale è sempre 9 e possiamo spiegare il perché trattando questo fantastico
numero.-
IL MAGICO 9
Un matematico ha chiamato la somma delle cifre di un numero, fino ad ottenerne una
sola, radice numerica del numero, da non confondere con la radice quadrata. Per esempio la
radice numerica di 124 è 1+2+4=7 e quella di 3486 è 3+4+8+6=21; 2+1=3.Si definisce radice numerica di un numero n il valore che si ottiene sommando le cifre del
numero, ripetendo eventualmente l’operazione sui risultati successivi finché non si arriva ad una
sola cifra. Talvolta è utile indicare la radice numerica con R[n].
Pag. 6
ogni qual volta si addiziona 9 ( anche multipli di 9) ad un numero la somma delle sue
cifre resta invariata ossia la radice numerica resta invariata. In effetti addizionare 9 è come
addizionare 10-1; rispetto al numero di partenza abbiamo una decina in più e un unità in meno e
ciò significa far restare invariata la somma delle cifre.
123 ha radice numerica 6; 123+9=132 che ha la stessa radice numerica.
La radice numerica di un multiplo di 9 è sempre 9; in effetti è come addizionare più volte
9. Io usavo intuitivamente questa proprietà da piccolo per ricordarmi la tabellina del nove.
9x1=9
9x2=18
9x3=27
9x4=36…. La somma delle due cifre è sempre 9; il moltiplicatore meno 1 produce le decine mentre
le unità sono date dalla cifra che sommata ci fa ottenere 9; per esempio 9x7 abbiamo 6 decine
(7-1) e 3 unità (9-6). Dopo queste semplici considerazioni diciamo che cos’è in realtà la “radice
numerica” di un numero intero. Partiamo da qualche esempio:
14= 10+4=9+(1+4) in parentesi abbiamo la radice numerica
34=30+4=3x10+4=3(9+1)+4=3x9+(3+4)
42=4x(9+1)+2=4x9+(4+2)
134=100+30+4=(99+1)+3(9+1)+4=99+3x9+(1+3+4)=9x14+8
Il procedimento si può reiterare per numeri di quattro cifre e oltre. Visto che conosciamo
l’algebra, possiamo rendere il procedimento generale. Un numero di due cifre mn è dato da
10m+n=9m+m+n.
Quindi un numero di due cifre è uguale ad un multiplo di 9 più la somma delle sue due
cifre.
Un
numero
di
tre
cifre
mnp
si
può
scrivere
100m+10n+p=99m+m+9n+n+p=9x(11m+n)+m+n+p.
Un numero di tre cifre è uguale ad un multiplo di 9 più la somma delle sue cifre. In
generale qualsiasi numero può essere espresso da 9k+s dove s è la somma delle cifre;se tale
somma delle cifre non è espressa da una sola cifra si può ripetere il procedimento su s:
n=9k+s=9k+9h+s’. In conclusione n=9k+R[n] ogni numero intero è dato da un multiplo di 9 più la
sua radice numerica; se la radice numerica è 9 avremo che il numero è divisibile per 9.
Se la radice numerica è minore di 9, essa rappresenta il resto della divisione di quel
numero per 9.
324 ha radice numerica 9 e quindi è divisibile per 9; 324=9x36
Pag. 7
321 ha radice numerica 6; 321=9x35+6. In definitiva se vogliamo il resto della divisione
per 9 di un qualsiasi numero basta trovare la radice numerica del numero. Ora siamo in grado di
comprendere perché 1089 e gli altri numeri hanno come somma delle cifre un multiplo di 9. Il
primo passaggio del procedimento era invertire le cifre e sottrarre dal più grande il più piccolo;
l’inversione delle cifre ovviamente lascia inalterata la somma delle cifre per cui avremo per un
numero di tre cifre: abc=9k+s e cba=9k’+s; abc-cba=9(k-k’). Facciamo qualche esempio:
732=9x81+3 e 237=9x26+3; 732-237=9x81-9x26=9(81-26)=9x55
Questo argomento di matematica, che è diventato importante (serve nello studio dei
numeri primi) nei nostri tempi, è stato analizzato dal matematico Gauss, che creò su di esso un
famoso “calcolatore ad orologio”.
Gauss fece notare che su un orologio le nostre normali operazioni hanno risultati diversi. Per
esempio 4+9=1; infatti la lancetta dell’orologio dopo aver percorso l’intero quadrante ritorna
nella sua posizione iniziale ossia in 1 e così se percorre tre giri e tre tacche arriva in 3 e quindi
39=3x12+3=3. Gauss, per non disorientare con queste uguaglianze che sembrano assurde, usò il
linguaggio:
4+9=13≡1(mod.12). La moltiplicazione o l’elevamento a potenza di un numero su un calcolatore
di Gauss funzionano nello stesso modo: si calcola il risultato, lo si divide per 12 e si prende il resto
della divisione per scoprire il numero che le lancette segnano.
13x15=195; 195:12
75 16
3
195≡3(mod.12)
Attenzione 13≡1(mod.12) 15≡3(mod.12) 3x1≡3(mod.12)
Il calcolatore di Gauss funziona con qualsiasi numero ore segnate sul quadrante: per esempio con
5 ore abbiamo che 2x2x2x2x2=32≡2(mod.5).
In matematica lo studio della teoria degli insiemi tratta ampiamente l’argomento precedente
attraverso le congruenze e le classi di equivalenza.
Viene dimostrato il teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché due numeri siano
congrui tra loro in modulo n è che, divisi per n, diano resti uguali. Viene anche dimostrata che la
relazione di congruenza è una relazione di equivalenza perché gode delle proprietà riflessiva,
simmetrica e transitiva. Pertanto l’insieme dei numeri che divisi per n danno lo stesso resto
costituiscono una classe di equivalenza. Ricordo che il resto della divisione di un numero per n è
minore di n; quindi qualsiasi numero intero (vale anche per i relativi) è congruo rispetto al
modulo n con uno dei numeri 0, 1, 2, 3, 4,…………..n-1. Si usa il simbolo [a], con a =resto.
Le classi mod.3 per esempio sono tre ossia le classi 0, 1 e 2.
Pag. 8
Classe 0mod.3
0-3-6-9-12-15-18-21…………..
Classe 1mod.3
1-4-7-10-13-16-19……………..
Classe 2mod.3 2-5-8-11-14……………………
In effetti nell’argomento di questo articolo, che stiamo trattando in un linguaggio accessibile a
tutti, troviamo le classi mod.9. ossia le classi [0][1][2]…… [8]
Se facciamo la somma di due numeri, scopriremo che la radice numerica della somma è
uguale alla somma delle radici numeriche degli addendi.
126+344=470 che ha radice numerica 4+7=11 e 1+1=2 (470≡2mod.9). La radice numerica di 126
è 9; la radice numerica di 344 è 2 e 2+9=11 che ha radice numerica uguale a 2.
La stessa proprietà vale per la moltiplicazione: la radice numerica del prodotto di due o
più numeri è uguale al prodotto delle radici numeriche dei fattori. 112x26=2912 che ha radice
numerica 5.
La radice numerica di 112 è 4, quella di 26 è 8 e 4x8=32 che ha radice 5.
La prova del nove
Dobbiamo stare molto attenti nell’applicarla perché ci troviamo in una situazione di
condizione non sufficiente ad affermare che l’operazione eseguita è esatta. Se non viene
verificata la prova del nove, siamo sicuri di aver commesso qualche errore; mentre se riesce la
prova non siamo certi che l’operazione è esatta. Se considero il numero 2013 (dividendo) e lo
divido per 32 (divisore) abbiamo
2013 : 32
93 62 (quoziente)
29
In questo caso si scrive 2013=32x62+29 (dividendo=divisore per quoziente più resto). Per
le regole date sulle radici numeriche a proposito dell’addizione e la moltiplicazione possiamo dire
che R[2013]=R[32]x R[62]+R[29]ossia la prova del nove consiste nel dimostrare che la radice
numerica (famoso fuori nove delle scuole elementari) del dividendo è uguale al prodotto delle
radici numeriche del divisore e del quoziente più la radice numerica del resto. Nel nostro caso
riportiamo sul primo rigo le radici numeriche del dividendo e del divisore e nel secondo quelle del
quoziente e del resto
6
8
5
2
Pag. 9
5x8+2=42 che corrisponde alla radice numerica 6 uguale a quella del dividendo.
Immaginiamo di aver sbagliato il resto e di aver scritto:
2013=32x62+2 (abbiamo dimenticato il 9). Puoi notare che la prova del 9 riesce e così se è
errato il quoziente come 2013=32x53+29 la prova ancora una volta riesce ma la divisione è
errata. In matematica si dice che la prova del nove dà una condizione necessaria ma non
sufficiente.
Questo vale anche per la moltiplicazione:
27x31=837 il prodotto delle radici numeriche dei fattori è 9x4=36 con radice numerica 9
uguale a quella del prodotto: 8+3+7=18, 1+8=9.
Se, sbagliando, scriviamo 27x31=927 la “cosiddetta” prova è verificata.
Le precedenti osservazioni sul numero nove possono permettere alcuni giochetti
matematici elementari.
1) Chiedi a qualche amico di pensare ad un numero e di sommare le cifre.
2) Fai sottrarre dal numero la somma delle cifre.
3) Fai sommare le cifre della differenza ottenuta fino ad una sola cifra. A questo punto puoi
dichiarare ad alta voce che il risultato è 9.
La spiegazione è semplice: poiché un numero n=9k+s, n-s=9k e un multiplo di nove ha
come radice numerica 9.
Esempio 143 con s=1+4+3=8; 143-8=135 che ha radice numerica 9.
Simpatico è anche quest’altro giochetto: scriviamo su un foglio la frase “Un rinoceronte
nero in Danimarca” e piegalo. Dai poi ad un interlocutore le seguenti istruzioni
1) Pensa ad un numero di due cifre (esempio 6)
2) Moltiplica il numero ottenuto per 9 e somma le cifre (6x9=54; 5+4=9)
3) Sottrai 5 dal numero ottenuto (9-5=4) e individua la lettera dell’alfabeto corrispondente a
questo numero (4 corrisponde a D).
4) Pensa al nome di una nazione europea che inizi con tale lettera (D farà pensare a Danimarca)
5) Prendi la terza lettera della nazione trovata e pensa ad un colore che inizia con tale lettera (n—
nero)
6) Trova il nome di un grosso mammifero che inizia con la terza lettera del colore pensato (r—
rinoceronte).
Pag. 10
A questo punto si mostra il biglietto precedentemente scritto che sicuramente
sorprenderà gli interlocutori.
Saggezza: Quando non hai niente di buono da dire, stai zitto
Italo Di Feo
Nota: L’ultima parte dell’articolo è tratta dal libro di Ennio Peres “L’elmo della mente”.
Pag. 11