errori ed approssimazioni - Liceo Classico Scientifico XXV Aprile

LEZIONE 1
APPROSSIMAZIONI NUMERICHE-MATEMATICA
ESERCIZI
Arrotondare i seguenti numeri a due, tre
e quattro cifre dopo la virgola:
6,41287; 4,12161; 8,19919
Arrotondamento
Numeri a 4 cifre a 3 cifre a 2 cifre
6,41287 6,4129
6,413
6,41
4,12161 4,1216
4,122
4,12
8,19919 8,1992
8,199
8,20
Quante cifre significative hanno i
Soluzione. i quattro numeri hanno
seguenti numeri 273,16; 4000; 28,140; rispettivamente 5, 4, 5, 3, 2 cifre significative
0,00460; 0,76
Il metro, unità di misura della lunghezza,
era definito come 1 650 763,73 volte la
lunghezza d’onda nel vuoto della luce
rosso-arancione emessa nella scarica
gassosa del krypton 86.
Esprimere lo stesso numero in notazione
esponenziale con quattro cifre
significative
Soluzione. Il numero dato ha nove cifre
significative; riducendole a quattro, il numero
diventa 1 651 000, cioè, in notazione
esponenziale, dovendo spostare la virgola di
sei posti verso sinistra, 1,651 . 10 6
Dati i due numeri 1,0474 e 1,0313, calcolarne la somma, differenza, quoziente e prodotto
nei seguenti casi :
a) arrotondare a tre cifre decimali dopo aver eseguito le operazioni ;
b) arrotondare subito ed eseguire le operazioni ( OK)
Calcolare l’errore percentuale che si commette, assumendo come valore corretto quello
del caso a
Per il caso a) Le operazioni richieste danno i seguenti risultati: 2,079 (+); 0,016 (-) 1,016
(/) 1,080 (x)
Per il caso b) i due numeri diventano: 1,047 e 1,031 e i risultati sono: 2,078 (+) 0,016 (-)
1,015 (/) 1,079 (x).
L’errore commesso considerando esatta la procedura a) è
2,079 - 2,078 *100 = 0,05% per la Somma
2,079
0,016 - 0,016 *100 = 0% per la Differenza
0,016
1,016 - 1,015 * 100 = 0,1% per il Quoziente
1,016
1,080 - 1,079 100=0,09 per il Prodotto
Buona Norma: Arrotondare subito i dati esprimendoli tutti con lo stesso numero di
cifre decimali di quello meno preciso, e poi fare i calcoli.
Un’asta di legno viene costruita incollando assieme tre pezzi, il primo di lunghezza l1 =
20,26 cm, il secondo l2 = 12,4 cm e il terzo l3 = 6,164 cm.
Qual è la lunghezza dell’asta?
Soluzione: Eseguendo l=l1+l2+l3 si ottiene 38,824 cm, Il numero di cifre decimali con cui
possiamo dare la lunghezza dell’asta non può essere superiore a quello minimo con cui
sono note le lunghezze parziali. Il pezzo misurato con peggiore sensibilità è 12,4 . Anche
la somma deve essere data con una sola cifra decimale. Ogni cifra in più non ha
significato.
Avremmo potuto arrotondare la somma 38,824 a 38,8, ma non avremmo in questo caso il
risultato più corretto.
Il procedimento corretto consiste nello scrivere le tre lunghezze con una sola cifra
decimale e nel sommare quindi i tre numeri cosi ottenuti:
20,26 diventa quindi 20,3; 6,164 diventa 6,2
la somma diventa 20,3 +12,4+ 6,2 = 38,9cm.
Quante cifre significative ci sono nei seguenti numeri:
149,8
149,80
0,0028
0,00280
1,00280
9
4,0 1030
7,56782 102
4
5
2
3
6
1
2
6
Qual è l'Errore Massimo in ciascuna delle seguenti misure?
73,854 cm
0,09800 cm3
3,867 108 km
intervallo 73,8535 - 73,8545
intervallo 0,097995 - 0,098005
intervallo 3,8665 108 - 3,8675 108
Errore Max. 0,0005 cm
Errore Max. 0,000005
Errore Max. 0,0005 108
CALCOLI
Quando si fanno moltiplicazioni, divisioni ed estrazione di radice, il risultato finale non può avere
più cifre significative di quante ne abbia il numero con il minor numero di cifre significative.
Quando si compiono addizioni e sottrazioni di numeri, il risultato finale non può avere più decimali
dell’addendo con meno cifre decimali.
Il prodotto dei numeri 5,74 e 3,8 (tre e due cifre significative) non può avere più di due cifre
significative.
Primo metodo:
5,74 x 3,8 = 21,812, ma non tutte le cifre di questo prodotto hanno significato (solo 2).
5,74 può valere per qualsiasi numero compreso tra 5,735 e 5,745, mentre 3,8 può valere
per qualunque numero compreso tra 3,75 e 3,85. Il più piccolo valore possibile del
prodotto è 5,735 x 3,75 = 21,506 25, e il più grande valore possibile è 5,745 x 3,85 =
22,118 25.
Il campo dei valori possibili è compreso tra 21,506 25 e 22,118 25, che viene
rappresentato da 22 che può valere per qualunque numero compreso tra 21,5 e 22,5.
ARROTONDAMENTI DI DATI
73,24 x 4,52 = 331,044 = 331
38,7 = 6,2209 = 6,22
a f
1648 / 0,023 = 72 * 10
( tre cifre significative)
( tre e due cifre significative)
8,416⋅(50) = 420,8
(se 50 è esatto, quattro cifre significative))
8,416 x 50 = 420,8 (se 50 ha due cifre significative) = 4,2⋅102 ( due cifre significative)
8,35/98 = 0,085 = 8,5⋅10-2 ( due cifre significative)
28x4,193x182 = 21,36⋅106 = 21⋅106
Sommare i numeri 4,35; 8,65; 2,95; 12,45; 6,65; 7,55; 9,75 (a) direttamente, (b)
arrotondando al primo decimale secondo la convenzione del “numero pari”, (c) arrotondando
aumentando il numero prima del 5.
Soluzione:
(a)
4,35
8,65
2,95
12,45
6,65
7,55
9,75
______
totale 52,35
(b)
4,4
8,6
3,0
12,4
6,6
7,6
9,8
______
totale 52,4
(c)
4,4
8,7
3,0
12,5
6,7
7,6
9,8
______
totale 52,7
Si noti che il procedimento (b) è migliore del procedimento (c), poiché gli errori cumulativi
di arrotondamento in b) vengono minimizzati
CIFRE SIGNIFICATIVE DELLE GRANDEZZE DERIVATE
AB = (2,87 ± 0,01)m
BC = (1,349 ± 0,007)m
Errore assoluto
Errore assoluto
L’errore deve essere espresso con la stessa precisione del dato.
dato ed errore al cm.
dato ed errore al mm.
AC = AB + BC = 2,87 + 1,349 = 4,219m
∆AC = ∆AB + ∆BC = 0,01 + 0,007 = 0,017 m
E’ assurdo dire che AC =4 m
21 cm 9 mm
con errore di
1 cm 7 mm
è più logico dire
AC = 4 m
22 cm
errore
2 cm
AC = (4,22 ± 0,02)m
Risultato che si sarebbe ottenuto scrivendo
AB
BC
AB + BC
∆ ( AB + BC )
AB + BC
= (2,87 ± 0,01 ) mm
= (1,349 ± 0,007 ) m
= 2,87 + 1,35 =
4,22
= 0,01 + 0,007 = 0,017 ⇒ 0,02
⇒
(1,35 ± 0,007)
= ( 4,22 ± 0,02) m
Esempio
C
S
R=
+
8S 2
C misurato a meno di 1 mm
S misurato a meno di 0,1 mm
∂f
∂f
∆f ≤
∆x +
∆y
∂x
∂y
∆R
esprimendo i valori di C
∆R ≤
C
0,1
4S
e
C
1
C
∆C + − + ∆S
≤
2
4S
8S
R = 1,77 ± 0,07 ⇒ 1,8 ± 0,1
S in cm si ottiene ∆R in cm
C
1
+
0, 01 = 0, 07
8S
2
+−
C = ( 3,4 ± 0,1) cm.
S = (1,27 ± 0,01) cm.
• In un litro di aria ci sono 30 000 000 000 000 000 000 000 molecole.
Esprimi questo numero nella notazione esponenziale con base 10.
R: 3*1022
• Scrivi il numero 0,.000000015, utilizzando la notazione esponenziale con base 10.
R: 1,5 10-8
• La massa del Sole è M0 = 1,989 x 1030 kg. La massa di un protone è mp = 1,673 x 10-27
kg. Qual è l’ordine di grandezza del rapporto M0/mp ?
R: 1057
• In un floppy disc da 3”1/2, i dati sono registrati sulle due superfici magnetiche
comprese all’incirca tra 2 e 4 cm dal centro. Sul dischetto possono essere memorizzati
fino a un milione e mezzo di caratteri.
Quanto è grande, in media, l’area occupata da un carattere, in mm2 ?
R: 0,005 mm2
• Due rotoli di filo di rame hanno lo stesso peso. Il primo filo ha un diametro di 1 mm,
l’altro di 0,4 mm. Che rapporto c’è tra le lunghezze? Se il primo è lungo 100 m, quanto
è lungo il secondo?
• R: 625 m
• Una finestra è larga 140 cm, e dista 4,5 m dalla parete opposta di una stanza. Stando
accostati alla parete opposta, si osserva, in direzione perpendicolare alla parete, un
campanile lontano, proprio allineato al bordo destro della finestra. Per vedere lo stesso
campanile allineato con il bordo sinistro bisogna spostarsi di 143 cm.
A che distanza si può stimare il campanile ?
R: 210 m
• Una certa sostanza assorbe l’umidità dell’aria in proporzione alla sua superficie.
Avendone a disposizione un volume cubico di spigolo l, per ottenere un maggior effetto
deumidificante conviene o no tagliare il cubo in N cubetti più piccoli ?
• R: si
• Versando una goccia di acido oleico (fortemente diluito in un solvente volatile) su una
superficie d’acqua, questo galleggia e si espande formando uno strato superficiale
approssimativamente circolare. Si può ritenere che l’espansione termini quando lo
spessore dello strato è dell’ordine di grandezza delle dimensioni molecolari, mentre il
solvente è completamente evaporato.
Sia q la frazione in volume di acido oleico nella soluzione, r il raggio della goccia ed R il
raggio dello strato superficiale. Scrivi l’espressione che esprime l’ordine di grandezza delle
dimensioni molecolari dell’acido oleico.
R: 4r3q/(3R2)
•
Due grandezze sono tra loro inversamente proporzionali: y = k/x. Si eseguono 4 misure
ottenendo la seguente tabella:
x
1,20 2,15 3,00 4,10
y
2,68 1,48 1,08 0,77
Stima il valore della costante k.
Suggerimento: conviene riportare in un grafico il prodotto xy e stimarne il valore medio.
R:3,2
•
La distanza tra Milano e Roma rilevata da una tabella di un atlante stradale, è di 574
km. Quali possono essere i fattori di indeterminazione? Che significato ha questo
numero?
•
Un orologio va avanti di 10 minuti al giorno. Quale errore si compie misurando con
questo orologio, subito dopo averlo regolato, una durata di 3 ore ?
E’ una misura sbagliata per eccesso o per difetto ? Si tratta di un errore casuale o
sistematico ?
R: 75 secondi per eccesso, sistematico
• Per determinare il volume medio di un fagiolo si può pensare di riempire di fagioli un
vasetto nota (V ± ∆V) e successivamente di contare i fagioli contenuti (N). Quali tipi di
errore si commettono ? Come si può ovviare ?
•
E’ noto che misurando l’intervallo di tempo tra un lampo e il tuono si può stimare la
distanza del temporale. Discuti la precisione della misura, gli eventuali errori casuali e
quelli sistematici.
•
Quale delle seguenti misure è più precisa:
(5730 ± 1) m,
(34,5 ± 0,1)m,
R: la prima
• Quale delle due misure di tempo è più precisa:
(10,25 ± 0,01) m ?
(12,0 ± 0,2) oppure (2400 ± 30) s ?
Calcola l’errore relativo percentuale delle due misure.
R: la seconda: 1,7%; 1,3%.
• Due studenti misurano la lunghezza di due matite con due strumenti diversi. Il primo
studente trova che la sua matita misura (15,0 ± 0,5) cm, l’altro studente afferma di aver
misurato (14,80 ± 0,25) cm.
Calcola l’errore relativo percentuale delle due misure.
R: 3,3%; 1,7%.
• Il tachimetro di un’automobile funziona attraverso la misura del tempo di rotazione delle
ruote. Se le ruote non sono gonfiate in modo corretto che tipo di errore si produce ?
Stima tale errore.
R: un errore sistematico di qualche percento
• Il diametro di un palloncino viene misurato per tre giorni consecutivi, utilizzando metodi
e strumenti diversi. Il primo giorno si trova (32,2 ± 0,8) cm; il secondo (31,1 ± 0,8) cm; il
terzo (30,7 ± 1,5) cm. Si può affermare con certezza che il palloncino si sta
sgonfiando?
R: No, per quanto sia probabile
• Nel misurare una lunghezza il cui valore è 12 m, si è compiuto un errore relativo
percentuale del 5%.
Qual è l’intervallo di incertezza della misura ?
R: ±0,6 m
• La misura di un intervallo di tempo ha dato come risultato 15,6 s con un errore relativo
percentuale del 2%.
Calcola l’intervallo di incertezza associato a questa misura.
R: ±0,3 s
•
Supponi di aver misurato dieci volte la durata del periodo di oscillazione di un pendolo
e di aver trovato i seguenti valori (in secondi):
15,21;
15,43;
15,32;
15,50;
15,61;
15,45;
15,61;
15,24
15,55;
15,48;
Calcalo il valore attendibile della misura, l’intervallo di incertezza associato alla misura e
l’errore assoluto.
R: 15,4 sec; 0,4 sec; 0,2 sec.
• Il tempo di caduta di un oggetto viene misurato 50 volte con un sistema capace di
apprezzare il centesimo di secondo. La tabella indica quante volte si è ottenuto uno
stesso valore:
valori (in s)
n. di volte
1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26
2
5
7
9 10 7
6
3
1
Disegna l’istogramma delle frequenze e determina il valore medio del tempo di caduta e
l’errore massimo relativo.
R: 1,22 sec; 0,04 sec.
• Il volume di un piccolo oggetto pesante può essere misurato lasciando cadere l’oggetto
in una provetta graduata in mm e contenente acqua. Il diametro interno della provetta
misura 30 mm e il livello dell’acqua sale da 98 a 112 mm. Con quale errore percentuali
si determina il volume del piccolo oggetto se i valori dati sono affetti da un errore di ±
0,5 mm ?
R: 10% circa
• Due grandezze X e Y sono legate dalla relazione Y = k Xn. Verifica che, se X è nota
con un errore relativo ∈ , allora l’errore relativo su Y è n ∈ . Applica il risultato al calcolo
del volume di un cubo il cui spigolo è (12 ± 0,3) cm.
R: (1728±130) cm3
• Il pavimento di una stanza misura 4,71 m in una direzione e 6,12 m nell’altra. Calcola la
sua area con il numero corretto di cifre significative.
R: 28,8 m2
• Il lato di un quadrato misura 0,135 m. Come si esprime la lunghezza della sua
diagonale con il corretto numero di cifre significative ?
R: 0,1914 m
• Un giornale sportivo, riportando la vittoria di un ciclista, dice che questi ha percorso i
113 km della tappa in 2 ore 36 minuti e 41 secondi, alla media di 43,272 km/h. E’
corretta questa affermazione ?
R: No, la media è (43±0,2)km/h
• Una sfera rotola lungo un piano inclinato. La lunghezza del piano, misurata con un’asta
graduata in mm, risulta 1,780 m. Il tempo impiegato dalla sfera per percorrere il piano
viene misurato con un cronometro: per maggiore precisione, la misura viene ripetuta 20
volte, ottenendo i seguenti valori (in secondi):
0,70
0,69
0,69 0,68 0,74 0,71 0,71 0,69 0,70 0,71 0,68
0,70 0,70 0,66 0,70 0,71 0,68 0,69 0,69 0,72
Qual è l’errore relativo percentuale commesso nel determinare la lunghezza del piano ?
Qual è il valore più probabile del tempo impiegato e con quale incertezza ha tale valore ?
Qual è il valore della velocità media della sfera (ottenuta dividendo la lunghezza del piano
per il tempo impiegato), espresso con il numero corretto di cifre significative ?
R: 0,03%; (0,70±0,02) sec; 2,6 m/sec
•
Su un foglio trasparente traccia una sottile linea chiusa, ben definita, di forma
qualunque. Ponendo il trasparente su un foglio quadrettato (con quadretti da 1 cm, da
5 mm, da 4 mm, e su carta millimetrata), stabilisci una procedura per valutare l’area
compresa entro la curva chiusa e stima l’errore associato. Le misure ottenute con i
diversi metodi risultano compatibili entro gli errori stimati.
•
Un automobilista viaggia in autostrada mantenendo costante la velocità; il tachimetro
indica 120 km/h con un’indeterminazione del 5 %. La lunghezza del percorso è
desumibile da una carta stradale, sommando un certo numero di distanze parziali
espresse in km: 5,20, 15, 38, 7, 25, 21, 14, 37, 8. Quanto tempo impiegherà
l’automobilista ?
R: tra 1h 28m e 1h 42m
• Si usa una livella a bolla lunga 30 cm per stabilire se la superficie di un tavolo da 150
cm è piana. La bolla, per un angolo di 0,5° rispetto orizzontale, si sposta di 1 mm. Se
spostamenti della bolla minori di 1/5 mm sono inapprezzabili, quanto può essere il
dislivello tra i due estremi del tavolo, se la livella appare sempre in piano ?
R: 2,6 mm
• Si ipotizza che tra due grandezze x e y valga la relazione y = kx3 con k costante, pari a
5,0. Si misurano quindi i seguenti valori delle due grandezze, in un sistema coerente di
unità di misura, intendendo che tutte le cifre riportate siano significative
X
y
1,23
9,23
2,46
73,8
5,8
1,01 x 103
12,1
8,36 x 103
Che cosa si può dire circa la verifica sperimentale della legge