Leonardo Colzani LA QUADRATURA DEL CERCHIO E DELL

Leonardo Colzani
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
E DELL0 IPERBOLE
= 3; 1415926535 8979323846
2643383279 5028841971
" " o&
6939937510 5820974944
peripheria circuli
5923078164 0628620899
8628034825 3421170679 :::
e = 2; 7182818284 5904523536
0287471352 6624977572
4709369995 9574966967
exponentialis
6277240766 3035354759
4571382178 5251664274 :::
”Qual è ’l geometra che tutto s’a¢ ge per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond’elli indige,...”
”Il quadrato è il …ne del travagliamento delle super…tie geometriche... Quella
super…tie è sempre quadrabile in se medesima, alla quale si dà quadrato eguale a
lei...”
”Frustra laborant quotquot se calculationibus fatigant pro inventione quadraturae circuli...”
Ci siamo serviti di queste dotte citazioni dal XXXIII canto del paradiso di
Dante Alighieri, da Leonardo da Vinci, ”omo sanza lettere”, e da Michael Stifel,
per introdurre il problema della retti…cazione e quadratura del cerchio, cioè la
costruzione di un segmento con la stessa lunghezza di una data circonferenza
e di un quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Denotiamo con ,
” " " o&”, ”peripheria circuli”, il rapporto tra la lunghezza della circonferenza
ed il diametro di un cerchio, o che è lo stesso, il rapporto tra l’area ed il quadrato
del raggio,
=
circonf erenza
area del cerchio
=
:
diametro
quadrato del raggio
La quadratura del cerchio è stata uno dei problemi centrali della matematica
per più millenni e ha dato origine ad una vera e propria malattia, il ”morbus
cyclometricus”, che in certe epoche ha assunto dimensioni di epidemia e non è
ancora completamente debellata. Anzi, in epoche più recenti è anche comparso
il ”morbus decimalium”, la spasmodica ricerca delle cifre decimali. Anche noi
contagiati, senza alcuna pretesa di rigore …lologico vogliamo presentare qualche
notizia sulla storia, sul calcolo numerico, ed altre curiosità su questo numero e,
già che ci siamo, anche sul suo fratello naturale, il numero e, ”exponentialis”. La
bibliogra…a sull’argomento è vasta ma frammentata e come referenze di carattere
generale, oltre a qualche buon testo di storia della matematica, citiamo solo la
raccolta di articoli a cura di L.Berggren, J.Borwein, P.Borwein, ” : a source
book”, Springer, 1997.
L’indice della nostra esposizione è il seguente:
2
0- Cronologia di .
1- La quadratura del cerchio e dell’iperbole. Babilonesi, egizi, ebrei. La
matematica greca. India e Cina. Ultimi seguaci di Archimede. I logaritmi. La
nascita del calcolo. L’analisi. Costruzioni con riga e compasso. Numeri algebrici e trascendenti. Equiscomponibilità e decomposizioni paradossali. Il morbo
decimale. Il morbo ciclometrico.
2- Le lunule di Ippocrate.
3- Archimede ed il metodo di esaustione.
4- Le tavole delle corde di Tolomeo e le tavole dei logaritmi di Nepero.
5- Il prodotto in…nito di Wallis.
6- La serie del logaritmo di Mercatore e Newton e la serie dell’arco tangente
di Gregory e Leibniz.
7- Eulero e la serie dei reciproci dei quadrati.
8- Le frazioni continue di Eulero e Lagrange.
9- Bu¤on e i metodi Montecarlo.
10- Il problema del cerchio di Gauss.
11- La lemniscata dei Bernoulli e le medie aritmetico geometriche di Gauss.
12- La catenaria e il problema isoperimetrico.
13- La cicloide.
14- Numeri razionali, algebrici, trascendenti.
15- Riga, compasso, origami.
16- Una de…nizione astratta di .
Il capitolo zero è una tabella con vari valori numerici che sono stati attribuiti
a . Il primo capitolo copre circa quattromila anni di storia ed è piuttosto discorsivo, gli altri sono brevi ma un poco più tecnici. In ogni caso, ogni capitolo è
indipendente dagli altri.
3
CRON OLOGIA DI
2000 a.C.
Babilonesi
3 + 1=8 = 3; 125
2000 a.C.
Egizi
(16=9)2 = 3; 160:::
1200 a.C.
Cinesi
3
550 a.C.
Ebrei
p
p 3
380 a.C.
Platone
2 + 3 = 3; 146:::
250 a.C.
Archimede
3 + 10=71 < < 3 + 1=7 = 3; 142:::
150 d.C.
Tolomeo
377=120
= 3; 1416:::
p
250
Chung Hing
10 = 3; 162:::
250
Wang Fau
142=45 = 3; 155:::
263
Liu Hui
3927=1250 = 3; 1416
480
Zu Chongzhi
3; 1415926 < < 3; 1415927
499
Aryabhata
62832=20000
= 3; 1416
p
640
Brahmagupta
10 = 3; 162:::
800
Al Khowarizmi
3; 1416
1220
Leonardo Pisano
864=275 = 3; 1418:::
1429
Al Kashi
16 decimali
p
p
1464
Nicola da Cusa
(3=4) 3 + 6 = 3; 13:::
1573
V. Otho
355=113 = 3; 1415929:::
1583
S. Duchesne
(39=22)2 = 3; 142:::
1593
F. Viete
9 decimali
1593
A. van Rooman
15 decimali
1609
L. van Ceulen
35 decimali
1630
Grienberger
39 decimali
1674
Seki
10 decimali
1723
Takebe
41 decimali
1730
Kamata
25 decimali
1739
Matsunaga
50 decimali
4
1665
I. Newton
16 decimali
1699
A. Sharp
71 decimali
1706
J. Machin
100 decimali
1719
F. de Lagny
127 decimali (112 corretti)
1794
G. von Vega
140 decimali
1824
W. Ruthenford
208 decimali (152 corretti)
1844
M.Z. Dase
200 decimali
1847
T. Clausen
248 decimali
1853
W. Lehmann
261 decimali
1853
W. Ruthenford
440 decimali
1874
W. Shanks
707 decimali (527 corretti)
1947
D.S. Ferguson e J.W. Wrench
808 decimali
1949
L.B. Smith e J.W. Wrench
1120 decimali
1949
G.W. Reitwiesner (ENIAC)
2037 decimali
1958
F. Genuys (IBM)
10020 decimali
1961
D. Shanks e J.W. Wrench (IBM)
100265 decimali
1973 J. Guilloud e M. Bouyer (CDC7600)
Un milione di decimali
1989
D. Chudnovsky e G. Chudnovsky
Un miliardo di decimali
2002
Y. Kanada (Hitachi).
Mille miliardi di decimali
5
LA QU ADRAT U RA DEL CERCHIO E DELL0 IP ERBOLE
Il titolo 3,1415926535... è lungo perché è lunga la storia da raccontare e poi la
storia della quadratura del cerchio risulta così strettamente connessa alla storia
di tutta la matematica che ad ogni passo si cade nella tentazione di fare qualche
digressione. Non tutti i numeri sono nati uguali, e questo vale in particolar modo
per e per e. Entrambi sembrano essere dei …gli di nessuno e non sappiamo
darne una precisa data di nascita, il secondo può essere stato concepito con il
problema dell’interesse composto ed è venuto alla luce solo dopo la comparsa dei
logaritmi, il primo deve essere vecchio quanto il cerchio ed anche il luogo di nascita
è sconosciuto.
BABILONESI, EGIZI, EBREI.
Iniziamo la nostra storia in Mesopotamia, circa nel 2000 a.C.. In alcune tavolette d’argilla scritte in caratteri cuneiformi si trovano regole per il calcolo di
aree e perimetri che danno le stime = 3 e = 3 + 7=60 + 30=3600 = 3; 125.
In altre tavolette della stessa epoca si legge: ”La lunghezza è 4 e la diagonale 9.
Quant’è la larghezza? 4 per 4 è 16, 5 per 5 è 25, se da 25 si toglie 16 rimane
9 e per ottenere 9 si deve moltiplicare 3 per 3. La larghezza è 3”. Nella tavoletta Plimpton 322 ci sono delle liste di numeri che possono essere interpretati
come terne pitagoriche a2 + b2 = c2 , con i rapporti a2 =b2 che sono i quadrati
della cotangente di un angolo del triangolo con lati (a; b; c). Forse è l’inizio della
trigonometria. Nella tavoletta YBC 7289, accanto alla diagonale di un quadrato,
si trova il numero
1 + 24=60 + 51=602 + 10=603 = 1; 414212:::. Se il lato è uno, la
p
diagonale è 2 = 1; 414213:::. Ci sono anche tavolette in cui compaiono equazioni
esponenziali. ”In quanto tempo un interesse del 20% raddoppia il capitale iniziale?” Si tratta dell’equazione (1 + 20=100)x = 2 con soluzione x = 3; 80:::. La
soluzione babilonese probaabilmente ottenuta tabulando (6=5)n ed interpolando
linearmente tra 3 e 4, è invece 3 + 47=60 + 13=602 + 20=603 = 3; 78:::, 3 anni 9
mesi 13 giorni. Infatti (6=5)3 = 216=125, (6=5)4 = 1296=625, (x 3) = (4 3) =
(2 216=125) = (1296=625 216=125), x = 409=108.
Il papiro Golenischef del 1850 a.C. contiene una formula approssimata per
il calcolo della super…cie di una semisfera e la formula esatta del volume di un
tronco di piramide. Anche nel papiro Rhind datato intorno al 1700 a.C., ”Per la
conoscenza di tutte le cose e gli oscuri segreti... copiato da Ahmes nel 4o mese
della stagione dell’inondazione nel 33o anno del regno del re dell’alto e basso Egitto
6
Auserre...”, ci sono alcuni problemi collegati alla costruzione delle piramidi. ”La
base di una piramide è 360 cubiti e l’altezza 250. Quant’è l’inclinazione? Dividi
360 per 2, 180, dividi 180 per 250, 1/2+1/5+1/50, moltiplica per 7, 5+1/25.”
L’inclinazione viene misurata dal rapporto tra lo spostamento orizzontale in palmi
e quello verticale in cubiti e, siccome un cubito sono sette palmi, questa inclinazione è 7 volte la cotangente dell’angolo. Per il calcolo dell’area di un cerchio
nel papiro copiato dallo scriba Ahmes si trova la seguente regola:
”Modo di operare per un campo rotondo di 9 khet. Quant’è l’area? Prendi 1/9
di esso, cioè 1, il resto è 8, moltiplica 8 per 8, viene 64. Questa è l’area, 64 setat.
1 1=9
1 2 4 8
Fai così:
, tolto questo rimane 8,
, l’area è 64 setat.”
9 1
8 16 32 64
Secondo Ahmes, un cerchio con diametro 9
ha la stessa area di un quadrato con lato 8.
Se dai vertici del quadrato circoscritto al
cerchio si tolgono 4 triangoli rettangoli di
lato 3, si ottiene un ottagono con area 63.
Questo ottagono è poco più piccolo del
cerchio e 63 è poco meno di 64. Di fatto
l’area del cerchio è (9=2)2 = 63; 617:::.
Un setat è un khet quadrato, un khet è cento cubiti, un cubito sono sette
palmi ed un palmo quattro dita, misurandosi le dita si arriva alla stima di un
campo del diametro di 450 metri. Generalizzando, per quadrare un cerchio basta
togliere 1/9 del diametro e costruire un quadrato sul rimanente. Se D = 2R è
il diametro, la stima per l’area è (D D=9)2 = 256=81R2 = 3; 16:::R2 . Gli egizi
usano solo frazioni con numeratore uno, se invece di 1/9 del diametro si toglie 1/8
o 1/10 l’approssimazione peggiora. La piramide di Cheope ha base di 440 cubiti
e altezza 280, il rapporto tra perimetro di base e altezza 44/7 è molto prossimo
a 2 . Questo ed altro danno adito a parecchie speculazioni sui costruttori della
grande piramide, ma secondo Erodoto le dimensioni sono tali che la super…cie di
ogni faccia
è uguale al quadrato dell’altezza. Se L ed A sono il lato e l’altezza,
pp
20 2 = 3; 144:::. Il rapporto tra lato e altezza della piramide del
2L=A =
sole maya è invece prossimo a . La congettura naturale è che per ogni " > 0
7
esiste un n tale che ogni insieme di n misure ne contiene almeno due il cui rapporto
di¤erisce da per meno di ".
Nel ”Libro dei Re” e nelle ”Cronache”, descrivendo la costruzione del Tempio
di Salomone nel X secolo a.C., si stima che il rapporto tra la circonferenza ed il
diametro di un cerchio è circa uguale a 3:
”Fece un bacino di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo all’altro, rotondo; la
sua altezza era di cinque cubiti e la sua circonferenza di trenta cubiti.”
Per alcuni commentatori il diametro è esterno e la circonferenza interna, tenendo
conto dello spessore il conto torna. Per altri, ancor più fondamentalisti, il rapporto tra circonferenza e diametro è cambiato nel tempo. Per i più tolleranti, un
errore relativo (
3) = inferiore al 5% è un peccato veniale.
LA MATEMATICA GRECA.
Nel VI secolo a.C. Talete di Mileto e Pitagora di Samo importano in Grecia le
conoscenze matematiche egizie e babilonesi ed alla scuola pitagorica si attribuisce
la scoperta che p
non esiste un sottomultiplo comune del lato e della diagonale di un
quadrato, cioè 2 non è un rapporto tra numeri interi. Questa è forse la prima
dimostrazione di impossibilità in matematica. Se il rapporto tra diagonale e lato
di un quadrato è un numero complicato, …guriamoci il rapporto tra circonferenza
e diametro di un cerchio. Nel V secolo a.C. tra i primi a cercare di quadrare un
cerchio, cioè costruire un quadrato con la stessa area di un dato cerchio, troviamo
Anassagora di Clazomene, che si occupa di questo problema mentre è in prigione
con l’accusa di empietà per opinioni cosmologiche contrarie alla natura divina
degli astri, il Sole è un sasso incandescente e la Luna è fatta di terra e non brilla
di luce propria. Sempre nel V secolo a.C. il so…sta Antifonte enuncia, più o
meno, il principio di esaustione. Si parte da un poligono regolare inscritto in
un cerchio e su ogni lato si costruisce un triangolo isoscele con vertice sul punto
medio dell’arco, ottenendo in questo modo un poligono regolare con un numero
doppio di lati. Ripetendo più volte la costruzione, il poligono tende a confondersi
con la circonferenza, quindi se è possibile quadrare un poligono, allora deve anche
essere possibile quadrare un cerchio. Secondo Aristotele, ”anche ammettendo la
quadratura del cerchio possibile”, l’argomentazione ”non è fondata sui principi”.
Ma se dal punto di vista di un logico o di un matematico puro la conclusione non è
corretta, per un matematico applicato l’algoritmo funziona, perché i triangoli che
si costruiscono ad ogni passo riempiono più della metà della regione tra cerchio e
8
poligono e l’errore si riduce di più della metà. Brisone di Eraclea ritiene che l’area
di un cerchio sia la media aritmetica delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti.
Ippia di Elide costruisce una curva poi usata da Dinostrato, Nicomede, e altri,
per trisecare gli angoli e quadrare i cerchi. Aristofane nella commedia ”Uccelli” si
prende gioco di questi geometri che sprecano il loro tempo cercando di trasformare
un cerchio in quadrato.
La quadratrice di Ippia è intersezione tra una retta uniformemente ruotata
ed una uniformemente traslata. Se i fasci di rette traslate e ruotate hanno
equazioni x = 1 # e y=x = tan ( #=2) , l’intersezione è y = x cot ( x=2)
ed al limite per x ! 0 si ha x cot ( x=2) ! 2= .
Ippocrate di Chio, omonimo e contemporaneo del medico, dopo vani sforzi di
quadrare un cerchio per primo riesce a quadrare delle regioni curve, le lunule. In
particolare, è attribuito ad Ippocrate un risultato poi riscoperto dal matematico
arabo medioevale Ibn Alhaitam e da Leonardo da Vinci (1452-1519). Se sui lati
di un triangolo rettangolo si tracciano tre semicerchi, per il teorema di Pitagora la
somma delle aree dei semicerchi costruiti sui cateti è uguale all’area del semicerchio
costruito sull’ipotenusa. La somma delle aree delle due lunule interne ai semicerchi
sui cateti ed esterne al semicerchio sull’ipotenusa che passa per i tre vertici del
triangolo è uguale all’area del triangolo. Per quadrare queste lunule basta poi
quadrare il triangolo.
9
Le lunule di Ippocrate.
Se sui lati di un quadrato inscritto in un cerchio
si tracciano quattro semicirconferenze, le quattro
lunule hanno area uguale al quadrato.
Se sui lati di un esagono regolare inscritto in
un cerchio si tracciano sei semicirconferenze,
sei lunule più due semicirconferenze hanno
area uguale all’esagono.
Le lunole di
Leonardo da Vinci.
”Qui sempre li due semicirculi a, b insieme sono equali al terzo, dov’è
fatto l’ortogonio. E se a cose equali si leva la parte equale, il rimanente
saranno equali. Se dunque che tolto il depennato (ch’è doppio) allo a e tolto
al b restano le e lunole; e di poi, tolto il depennato al semicirculo maggiore n
che vale a due predetti, seguita che n, ortogonio resta equale alle due lunole
a, b; resta a dare la parte dell’ortogonio a esse due lunole che sia quadrabile,
la qual si farà nell’angolo delle proporzioni.”
10
Le lunghezze hanno dimensione uno, le aree dimensione due, i volumi dimensione tre. In particolare, il perimetro di un cerchio deve essere proporzionale al
raggio e l’area al quadrato del raggio, la super…cie di una sfera deve essere proporzionale al quadrato del raggio ed il volume al cubo. Infatti, nel XII Libro degli
”Elementi” di Euclide (III secolo a.C.) insieme alla determinazione dei volumi di
cilindri e coni si trovano le seguenti proposizioni:
”I cerchi stanno tra loro come i quadrati dei diametri.”
”Le sfere stanno tra loro in ragione triplicata rispetto a quella dei diametri.”
Pare che questi enunciati siano essenzialmente dovuti ad Ippocrate, ma le dimostrazioni sono basate sulla teoria della proporzioni e sul principio di esaustione
di Eudosso di Cnido (IV secolo a.C.).
Il primo postulato negli ”Elementi” di Euclide asserisce che si può tracciare
una retta per due punti dati ed il terzo che si può tracciare un cerchio di dato
centro e raggio. Queste sono le costruzioni con riga e compasso. Problemi classici
della geometria greca sono la trisezione dell’angolo, la duplicazione del cubo, la
retti…cazione e quadratura del cerchio, possibilmente con il solo utilizzo di questi
mezzi.
La duplicazione del cubo
di Ippocrate e Menecmo.
Per costruire un cubo con volume x3 : a3 = b : a basta trovare due medie
proporzionali tra i dati a e b, a : x = x : y = y : b. Infatti, a3 : x3 = (a : x)3
= (a : x)(x : y)(y : b) = a : b. Il punto (x; y) è l’intersezione tra le parabole
x2 = ay e y 2 = bx e l’iperbole xy = ab.
Ippocrate osserva che, se per duplicare un quadrato basta inserire una media
proporzionale tra 1 e 2, 1 : x = x : 2, per duplicare un cubo basta inserirne due,
1 : x = x : y = y : 2. Per ottenere una scala musicale temperata, J.S.Bach divide
un’ottava in 12 semitoni inserendo 11 medie proporzionali tra 1 e 2. Menecmo (IV
secolo a.C.), tagliando un cono con base circolare, scopre le coniche e dimostra che
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intersecando queste curve si possono sia duplicare i cubi che trisecare gli angoli.
Sempre per risolvere questi problemi, Diocle (II secolo a.C.) introduce la cissoide
(a x)y 2 = x3 e Nicomede (II secolo a.C.) la concoide (a x)2 (x2 + y 2 ) = b2 x2 .
Per esempio, i punti della p
cissoide y= (a x) = (y=x)3 sono intersezione delle
rette y=(a x) = t e y=x = 3 t. Se la prima retta
p interseca l’asse x = 0 in (0; at),
la seconda interseca l’asintoto x = a in a; a 3 t . Quindi con la cissoide, o con
qualche altra curva di terzo grado, si possono estrarre le radici cubiche.
La cissoide
di Diocle.
Se A e B sono due punti di intersezione di una retta per un punto O con
due curve e e se P è un punto sulla retta tale che jP Oj = jA Bj ,
al variare della retta il luogo dei punti P è a cissoide di e rispetto
ad O. Partendo da un cerchio, una sua tangente ed il punto sul cerchio
opposto al punto di contatto, si ottiene la cissoide di Diocle.
La concoide
di Nicomede.
Se A è un punto di intersezione di una retta per un punto …sso O con una
curva , sulla retta esistono due punti P e Q tali che jP Aj = jQ Aj =
k, costante …ssata. Al variare della retta il luogo di questi punti P e Q è
la concoide di rispetto ad O. Quella di Nicomede è la concoide di una
retta rispetto ad un punto. La concoide di Nicomede è anche la cissoide
di una retta ed un cerchio rispetto al centro del cerchio.
Accanto a queste curve algebriche, i greci ne introducono anche di trascendenti.
La quadratrice di Ippia e Dinostrato è il luogo dei punti intersezione di una retta
12
traslata ed una ruotata con moto uniforme. Se i fasci di rette traslate e ruotate
hanno equazioni x = 1 # e y=x = tan ( #=2), l’intersezione è y = x cot ( x=2) ed
al limite per x ! 0 si ha x cot ( x=2) ! 2= . È semplice costruire dei dispositivi
che permettono di tracciare la cissoide e la concoide, un poco più complicato è
tracciare la quadratrice di Ippia. Anzi, nella de…nizione di rotazione uniforme
sembra essere implicitamente già presente la misura degli archi di cerchio che si
vogliono misurare. Comunque, con queste curve è possibile trisecare gli angoli e
quadrare i cerchi, ma in modo ”meccanico”, non ”geometrico”. Questo contrasta
con l’ideologia dell’Accademia di Platone (427-348 a.C.), perché ”procedendo in
modo meccanico si perde il meglio della geometria”. Insomma, le costruzioni geometriche perfette sono solo quelle con riga e compasso. Il problema della trisezione
dell’angolo è quello di dividere un dato angolo in tre parti uguali utilizzando solo
la riga ed il compasso. Il problema della duplicazione del cubo è quello di costruire con riga e compasso il lato di un cubo con volume doppio di un cubo dato.
Il problema della retti…cazione e quadratura del cerchio è quello di costruire con
riga e compasso un segmento con la stessa lunghezza di una data circonferenza ed
un quadrato con la stessa area di un dato cerchio. Insomma, …ssata una unità di
misura,
si tratta di costruire con riga e compasso dei segmenti di lunghezza 2 e
p
.
A parte le lunule di Ippocrate, la prima quadratura esatta di una regione
curva sembra essere quella della parabola, dovuta ad Archimede di Siracusa (287212 a.C.). A lui si attribuiscono le famose a¤ermazioni ”Eureka” e ”Datemi un
punto d’appoggio e solleverò il mondo”. In e¤etti, se con leve reali Archimede
costruisce macchine da guerra per difendere la sua città, con leve immaginarie
trova una quadratura meccanica della parabola. Questa quadratura meccanica
viene presentata nel trattato sulla ”Quadratura della parabola”, insieme ad una
quadratura geometrica basata sul principio di esaustione.
La ”Quadratura della parabola” di Archimede.
”Qualunque segmento compreso tra una
retta e una sezione di cono rettangolo è
quattro terzi del triangolo con la stessa
base e uguale altezza.”
In un segmento di parabola delimitato da una corda AB si iscrive un triangolo
ABC, con C il punto della parabola con tangente parallela alla corda AB. Le
13
corde AC e CB delimitano due nuovi segmenti di parabola e i triangoli inscritti in
questi segmenti hanno ciascuno area 1/8 del precedente. Iterando la costruzione
si ottiene un’in…nità di triangoli che riempiono il segmento di parabola e la somma
delle aree di questi triangoli è una serie geometrica,
1 + 1=4 + 1=42 + 1=43 + ::: ABC = 4=3 ABC:
Il risultato, espresso in modo geometrico, è equivalente alla formula
Z
x
t2 dt =
0
x3 =3. Nella matematica greca le lunghezze, aree e volumi non sono numeri, ma
grandezze che vengono confrontate con grandezze della stessa specie. Il formalismo
algebrico a cui siamo abituati è piuttosto recente.
Archimede
e la quadratura
meccanica della
parabola.
Su un segmento di parabola si costruisce un triangolo rettangolo con
ipotenusa sulla tangente alla parabola ed un cateto sulla base del segmento,
poi si raddoppia il segmento di base. Se si considera questo doppio segmento
come una leva con fulcro nel punto di mezzo, le sezioni di triangolo con rette
parallele ad un cateto bilanciano le sezioni di parabola spostate all’estremo
della leva, quindi tutto il triangolo lasciato dove sta bilancia esattamente il
segmento di parabola spostato all’estremo della leva. Siccome il baricentro
del triangolo si trova ad un terzo dell’altezza, il triangolo ha un’area tripla
del segmento di parabola.
Nel trattato ”Sulle spirali” Archimede de…nisce una curva descritta da un
punto che si muove uniformemente su una semiretta che a sua volta ruota uniformemente intorno al suo estremo, in coordinate polari = #. L’area e la
lunghezza di un tratto di spirale sono rispettivamente
Z
#
2
2
Z
#
( =2) d# = ( =2)
#2 d# = 2 #3 =6;
0
Z #
Z #q
p
p
p
2
2
(d ) + ( d#) =
1 + #2 d# = ( =2) # 1 + #2 log 1 + #2
0
0
0
14
#
:
2
Anche la lunghezza
Z x del tratto di parabola y = x =2 dal vertice al punto (x; y) è
p
data dall’integrale
1 + x2 dx. Non conoscendo i logaritmi, Archimede calcola
0
le aree ma non le lunghezze.
La spirale di Archimede.
”Se si traccia nel piano una linea retta ed
essa con un’estremo …sso viene ruotata
con velocità costante, se al tempo stesso
sulla linea rotante si trasporta un punto
con moto uniforme a partire dall’estremo
…sso, il punto descrive una spirale.”
”L’area delimitata dalla spirale e dalla retta ritornata nella posizione
da cui è partita è la terza parte del cerchio con centro nel punto …sso
e raggio uguale alla distanza percorsa lungo la retta dal punto mobile
in una rivoluzione. L’area delimitata dalla prima rivoluzione è un sesto
di quella aggiunta nella seconda. Le aree aggiunte nelle rivoluzioni
successive sono multipli dell’area aggiunta nella seconda, l’area
della terza è il doppio della seconda, la quarta il triplo,...”
Sempre di Archimede sono le formule per il perimetro e l’area del cerchio e per
la super…cie ed il volume della sfera. La ”Misura del cerchio” contiene tre sole
proposizioni:
”Ogni cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo se ha il raggio uguale ad un
cateto e la circonferenza uguale alla base.”
”Il cerchio ha con il quadrato del diametro il rapporto che 11 ha con 14.”
”La circonferenza di un cerchio è tripla del diametro e lo supera ancora di
meno di un settimo del diametro e di più di dieci settantunesimi.”
3 + 10=71 <
15
< 3 + 1=7:
Un cerchio si può decomporre in triangoli con altezza il raggio e somma
delle basi la circonferenza. L’area del cerchio è il prodotto del raggio
per metà circonferenza.
Secondo un commentatore quest’opera ha intendimenti pratici, ”È un libro necessario per i bisogni della vita”. Pare che in un’opera andata perduta Archimede
abbia ottenuto delle approssimazioni di più precise ed è probabile che l’opera
pervenutaci sia un sunto e qualche copista abbia invertito l’ordine delle proposizioni, infatti la seconda proposizione presuppone la prima, la terza poi non è un
risultato esatto ma una stima dell’area con
22=7.
I poligoni regolari con n lati inscritti e
circoscritti in una circonferenza di raggio
uno hanno lati 2 sin ( =n) e 2 tan ( =n) e per i
perimetri di questi poligoni vale la disuguaglianza
n sin ( =n) < < n tan ( =n) . L’approssimazione
è dominata da n tan ( =n) n sin ( =n) < 3 =n2 e
raddoppiando i lati l’approssimazione migliora
di un fattore quattro.
Archimede ottiene delle approssimazioni per difetto ed eccesso di iscrivendo
e circoscrivendo ad un cerchio dei poligoni regolari. I poligoni regolari con n lati
iscritti e circoscritti in una circonferenza di raggio uno hanno lati 2 sin( =n) e
2 tan( =n), quindi i perimetri di questi poligoni inscritti e circoscritti sono rispettivamente P (n) = 2n sin( =n) e Q(n) = 2n tan( =n), si ha P (n) < 2 < Q(n)
e aumentando il numero dei lati l’approssimazione migliora. Archimede ricava
Q(2n) prendendo la media armonica tra P (n) e Q(n) e poi ricava P (2n) prendendo la media geometrica tra P (n) e Q(2n):
16
Q(2n) =
2Q(n)P (n)
;
Q(n) + P (n)
P (2n) =
p
Q(2n)P (n):
La veri…ca di queste formule è un esercizio di trigonometria. Un modo alternativo per ottenere P (2n) in funzione di P (n) e Q(2n) in funzione di Q(n) consiste
nell’applicare le formule di bisezione del seno e della tangente,
q
p
P (2n) = 4n sin ( =2n) = 2n
2 2 1 sin2 ( =n)
r
q
= 2n
2
4 (P (n)=n)2 :
In questo modo, partendo dall’esagono regolare iscritto in un cerchio che ha
perimetro sei volte il raggio e raddoppiando ripetutamente i lati si ottiene
6 sin( =6) =p3;
12 sin( =12) = 6q 2
p
3;
p
24 sin( =24) = 12
2
2
+
3;
r
q
p
p
48 sin( =48) = 24
2
2 + 2 + 3;
s
r
q
p
p
2
2 + 2 + 2 + 3; :::
96 sin( =96) = 48
p
Il calcolo numerico di radici quadre senza un adeguato sistema di numerazione non è banale. Partendo dagli
p esagoni inscritti e circoscritti
p con perimetri
12 sin( =6) = 6 e 12 tan( =6) = 12= 3, Archimede approssima 1= 3 = 0; 5773502:::
dal di sotto con 780=1351 = 0; 5773501::: e dal di sopra con 153=265 = 0; 577358:::.
Poi, utilizzando un’aritmetica degli intervalli per controllare gli errori, stima per
difetto ed eccesso il perimetro di poligoni con 12, 24, 48, 96 lati. Il risultato
…nale 3 + 10=71 = 3; 140::: < < 3 + 1=7 = 3; 142::: è un’approssimazione di
a meno di 22=7 223=71 = 1=497. Per diagnosticare una forma maligna del
”morbus cyclometricus”, il più delle volte è su¢ ciente confrontare una presunta
quadratura del cerchio con queste stime, ma spesso non ci si arrende neanche di
fronte all’evidenza.
Se in un cilindro con base circolare ed altezza metà del diametro di base si
iscrive una semisfera e nella semisfera si iscrive un cono, il volume del cono risulta
uguale ad un terzo del cilindro e si può congetturare che la sfera, intermedia tra
17
cono e cilindro, sia due terzi del cilindro. Questa congettura è corretta. Nel trattato ”Sul cilindro e la sfera”, ideale continuazione del XII Libro degli ”Elementi”
di Euclide, si trovano le seguenti proposizioni:
”La super…cie di una sfera è quadrupla del suo cerchio massimo.”
”La sfera è quadrupla del cono con base uguale al cerchio massimo e altezza
uguale al raggio.”
”Un cilindro con base il cerchio massimo della sfera e altezza il diametro è una
volta e mezza la sfera e la sua super…cie, comprese le basi, è una volta e mezza la
super…cie della sfera.”
Più in generale, Archimede trova anche volumi ed aree di calotte sferiche:
”La super…cie di un segmento sferico è uguale ad un cerchio con raggio la
distanza tra il vertice del segmento e la circonferenza di base.”
”Un settore sferico è uguale ad un cono con base uguale alla super…cie del
segmento sferico ed altezza il raggio della sfera.”
”Sul cilindro e la sfera”.
”Un cilindro con base il cerchio massimo
di una sfera ed altezza il diametro è una
volta e mezza la sfera e la sua super…cie,
basi comprese, è una volta e mezza
la super…cie della sfera.”
Questi risultati sono dimostrati in modo rigorosamente geometrico, ma nel
”Metodo” Archimede spiega ad Eratostene di Cirene (276-194 a.C.) come sia arrivato a ”scoprire certe verità matematiche per mezzo della meccanica”.
18
”Archimede ad Eratostene salute...
Ti scrivo per esporti un certo metodo
che ti darà la possibilità di trattare
problemi matematici per mezzo della
meccanica...”
Tagliamo il cilindro fy 2 + z 2 4R2 ; 0 x 2Rg , il cono
fy 2 + z 2 x2 ; 0 x 2Rg e la sfera fx2 + y 2 + z 2 2Rxg con la
famiglia di piani fx = tg . Pensando all’asse x come una leva con fulcro
in x = 0, le sezioni di sfera (2Rt t2 ) e cono t2 spostate in x = 2R
bilanciano la sezione del cilindro 4 R2 lasciata in x = t, quindi la sfera
ed il cono con baricentri in x = 2R bilanciano il cilindro con baricentro
in x = R. Se il volume del cilindro 8 R3 è il doppio del cono 8=3 R3 più
la sfera, il volume della sfera è 4=3 R3 . In modo analogo è anche possibile
calcolare il volume di segmenti di sfera. In…ne, come un cerchio è equivalente
ad un triangolo con base il perimetro del cerchio ed altezza il raggio, così
una sfera è equivalente ad un cono con base la super…cie della sfera ed
altezza il raggio. Quindi la super…cie della sfera è 4 R2 .
Compiaciuto dell’elegante rapporto tra volume e area del cilindro e della sfera,
Archimede chiede che sulla sua tomba sia incisa una sfera inscritta in un cilindro.
Sembra che le ultime parole di Archimede al soldato che lo avrebbe ammazzato
siano state: ”Noli tangere circulos meos”. Non sappiamo se siano state pronunciate in greco o in latino, ma tradotte in varie lingue sono entrate nell’uso comune.
”Il centro del corpo umano è l’ombelico. Se un uomo allarga le braccia e
le gambe, le dita delle mani e dei piedi toccano la circonferenza descritta da un
compasso centrato nell’ombelico. E come il corpo umano dà un contorno circolare,
così è possibile trovarvi una …gura quadrata. Se si misura l’altezza dai piedi alla
testa e la larghezza delle braccia distese, queste risultano le stesse.”
Oltre a queste interessanti speculazioni, nel ”De architectura” M.Vitruvio (I
secolo a.C.) descrive l’odometro, un congegno che contando i giri di una ruota
19
permette di misurare le distanze, e usa 3 + 1=8 come approssimazione di . Se in
molte applicazioni pratiche una semplice formula approssimata può essere più ef…ciente di una complicata formula esatta, nei calcoli astronomici è spesso richiesta
la miglior precisione possibile. Aristarco di Samo (III secolo a.C), un precursore
di N.Copernico (1473-1543) nel formulare l’ipotesi eliocentrica, nel trattato ”Sulle
dimensione e distanze del Sole e della Luna”osserva che quando la Luna ci mostra
esattamente metà della sua faccia l’angolo Terra Luna Sole è retto. Misura allora
l’angolo Luna Terra Sole e lo trova di 87o . Ne deduce che l’angolo Luna Sole
Terra è 3o ed il rapporto tra le distanze Terra Luna e Terra Sole è sin ( =60),
più di 1/18 e meno di 1/20. Il Sole e la Luna visti dalla Terra sembrano avere
lo stesso diametro, infatti durante le eclissi il disco della Luna copre esattamente
quello del Sole. A partire dalle distanze stimate e dalle dimensioni apparenti,
Aristarco deduce che il Sole deve avere un volume 7000 volte la Luna. Il ragionamento corretto ha una conclusione viziata da un errore di misura, l’angolo non è
87o ma circa 89o 500 , il rapporto tra le distanze circa 1/350 ed il rapporto tra i volumi circa 1/64000000. In…ne, dalle eclissi di Luna Aristarco stima che il rapporto
tra i diametri del Sole e della Terra è tra 19/3 e 43/6, una stima più corretta è
1/109. Un calcolo più fortunato è dovuto a Eratostene. Questi misura al solstizio
d’Estate l’altezza del Sole ad Alessandria e a Siene, una a Nord e l’altra a Sud
sullo stesso meridiano. Quindi dalle di¤erenti altezze del Sole, un cinquantesimo
di cerchio, e dalla distanza tra le due città, 5000 stadi, deduce che la circonferenza
della Terra è circa 250000 stadi, un errore del 1% rispetto al valore reale di 40000
Km. Altri fanno conti simili, misurando l’altezza di certe stelle sull’orizzonte a
diverse latitudini, comunque stime più precise della lunghezza di un meridiano
terrestre sono ottenute solo nel XVII secolo d.C., utilizzando una tecnologia più
so…sticata ma ancora la stessa matematica di Eratostene. Anche Fidia, il padre di
Archimede, si occupa delle dimensioni del cosmo ed il …glio nell’”Arenario”, dopo
aver introdotto un opportuno sistema di numerazione, stima che si possa riempire
l’intero universo con al più 1063 granelli di sabbia.
La creazione della trigonometria piana e sferica è motivata dalla necessità
di una geometria ed astronomia quantitative. Ipparco di Nicea (II secolo a.C.)
e Menelao (I secolo a.C.), tra i primi ad occuparsi di trigonometria, costruiscono delle tavole di corde in un cerchio. Anche la ”Sintassi matematica”, o ”Almagesto”, di C.Tolomeo (87-165 d.C.) contiene una tavola delle corde:
”Costruiremo ora una tavola di queste rette, dividendo la circonferenza in 360
parti. Tutti gli archi della nostra tavola andranno crescendo di mezzo grado e
daremo per ognuno di questi archi il valore della corda, supponendo il diametro di20
viso in 120 parti... Adopereremo la divisione sessagesimale per evitare le frazioni,
e nelle moltiplicazioni e divisioni prenderemo sempre i valori più approssimati...”
La stima per la corda di un grado è 1+2=60+50=602 , da cui si ricava, moltiplicando per 360 gradi e dividendo per il diametro 120, il rapporto tra circonferenza
e diametro 3 + 8=60 + 30=602 = 3:141666:::. Se ai numeratori delle ultime frazioni
si aggiungono o tolgono delle unità le approssimazioni peggiorano.
INDIA E CINA.
Sia in India che in Cina si ottengono ottime approssimazioni di . Apastamba
(IV secolo a.C.) in una costruzione di un quadrato uguale ad un cerchio implicitamente pone uguale a 3,09. Nei ”Nove capitoli dell’arte matematica” di Liu
Hui (III secolo d.C.) si trova la seguente regola pratica per stimare l’area di un
campo circolare:
”Per trovare l’area di un cerchio... moltiplica metà circonferenza per metà
diametro. Oppure moltiplica il diametro per sé stesso, poi per tre e dividi per
quattro. Oppure moltiplica la circonferenza per sé stessa e dividi per dodici.”
Il primo metodo è corretto, gli altri due presuppongono
Liu Hui sa che questa è solo un’approssimazione.
uguale a 3, comunque
L’approssimazione di Liu Hui.
Se l(n) e a(n) sono lato ed apotema di un poligonoqregolare con n
lati inscritto in un cerchio di raggio r, si ha a(n) = r2 (l(n)=2)2 e
q
l(2n) = (l(n)=2)2 (r a(n))2 . Se A(n) = na(n)l(n)=2 è l’area del
poligono ed A l’area del cerchio, si ha anche A(2n) = nrl(n)=2 e
A(2n) < A < A(n) + 2 (A(2n) A(n)) .
Utilizzando il teorema di Pitagora, Liu Hui calcola le aree dei poligoni regolari
con 6, 12, 24, 48, 96 e 192 lati inscritti in un cerchio di raggio 10 ed ottiene la
21
stima
(314 + 4=25) =100 = 3; 1416. La stessa stima 62832=20000 = 3; 1416 è
ottenuta da Aryabhata (475-550) con un poligono di 384 lati:
”Aggiungi 4 a 100, moltiplica la somma per 8 e aggiungi 62000. Il risultato
è approssimativamente la circonferenza di un cerchio con diametro 20000... Perché diamo un’approssimazione invece del valore esatto? Perché il rapporto tra
circonferenza e diametro non si può esprimere come rapporto tra numeri interi”.
p
Brahmagupta (VI secolo d.C.) suggerisce 3 come ”valore pratico” e 10 =
3; 162::: come ”valore esatto”. Questa è una stima piuttosto popolare per tutto il
medio evo, sia in oriente che in occidente. Zu Chongzhi (430-501) con il metodo
di Liu Hui ed un poligono di 24576 lati trova le approssimazioni 3; 1415926 < <
3; 1415927. Con queste stime a partire dal raggio si potrebbe calcolare la circonferenza della Terra con un’approssimazione inferiore al metro. Zu Chongzhi suggerisce anche le approssimazioni razionali 22/7 e 355/113. La frazione 355=113 =
3; 1415929::: è ritrovata da A.A.Metius (1527-1607), che dimostra in modo archimedeo
la disuguaglianza 333=106 < < 377=120 e poi prende la media aritmetica dei
numeratori e dei denominatori. Per meglio apprezzare questi risultati osserviamo
che 22/7 e 355/113 sono ridotte dello sviluppo in frazioni continue di ,
1
1
0; 1415926535:::
1
1
:
=3+
=3+
1
1
7+
7+
1
1
15 +
1
0; 0625133059:::
1+
292 + :::
Le ridotte dello sviluppo in frazioni continue di danno le approssimazioni
= 3 + 0; 1415926535::: = 3 +
333
355
22
< <
< :
106
113
7
La stima ”inaccurata” 3 + 1=7 = 22=7 è la migliore approssimazione di
con frazioni di denominatore minore o uguale a 7, mentre la stima ”accurata”
3 + 1=(7 + 1=(15 + 1=1)) = 355=113 è la migliore approssimazione con frazioni
di denominatore minore o uguale a 113. Questa approssimazione è molto buona
perché il termine successivo nello sviluppo in frazioni continue 292 è piuttosto
grande, aggiungendo questo termine si ottiene l’approssimaziome 103993/33102
con nove decimali corretti.
3<
22
Lasciamo ora il cerchio per occuparci della sfera. Nei ”Nove capitoli dell’arte
matematica” di Liu Hui si trova la seguente regola, che ha un errore relativo di
poco superiore al 2%:
”Moltiplica il volume della sfera per 16 e dividi per 9, poi prendi la radice
cubica. Il risultato è il diametro.”
L’idea è la seguente. Si parte da una sfera inscritta in un cilindro inscritto
in un cubo. Le sezioni del cilindro e del cubo con piani paralleli alle basi hanno
rapporto =4, quindi anche il rapporto tra i volumi del cilindro e del cubo è
=4. Assumendo che anche il rapporto tra i volume della sfera e del cilindro sia
circa =4, si arriva ad un rapporto tra i volumi della sfera e del cubo di 2 =16,
che diventa 9/16 se si stima uguale a 3. Comunque Liu Hui è ben cosciente
che queste sono solo approssimazioni. Infatti osserva che se si intersecano i due
cilindri fx2 + z 2 1g e fy 2 + z 2 1g, le sezioni di questa …gura con i piani di
normale z sono quadrati di area 4 (1 z 2 ). Questi stessi piani tagliano la sfera
fx2 + y 2 + z 2 1g in cerchi di area (1 z 2 ). Quindi il rapporto tra il volume
della sfera ed il volume dell’intersezione dei cilindri è esattamente =4. Il volume
dell’intersezione dei cilindri, già noto ad Archimede, è poi calcolato da Zu Gengzhi
(VI secolo d.C.), …glio di Zu Chongzhi, che osserva che le sezioni con i piani
di normale z della regione interna al cubo fjxj 1; jyj 1; jzj 1g ed esterna
all’intersezione tra i cilindri hanno area 4z 2 , esattamente come le sezioni di una
piramide con base di area 4 ed altezza 1. Quindi il volume dell’intersezione tra
i cilindri è uguale al volume del cubo meno il volume di due piramidi, quindi il
volume di una sfera di raggio uno è (4=3) . Osserviamo che nella dimostrazione di
questi risultati sia Liu Hui che Zu Gengzhi utilizzano sistematicamente il principio
di B.Cavalieri (1598-1647), che Zu Gengzhi enuncia così:
”Se si costruiscono dei volumi sovrapponendo delle aree e se le aree corrispondenti sono uguali, allora i volumi non possono essere diversi”.
ULTIMI SEGUACI DI ARCHIMEDE.
In un testo dell’anno 1000 si ritrova la regola di Ahmes per la quadratura del
cerchio: ”Circumducto quantolibet circulo, alterum circulum interiorem exteriori
circulo nona parte contractiorem, aequos habebis quadratum et circulum”. In altri
testi le regole sono di¤erenti e c’è chi commenta: ”Hi omnes a veritate longe
absunt”. Nel ”Libro d’abaco” di Leonardo da Pisa, il Fibonacci (1180-1250), si
trova il seguente problema:
23
”Quante coppie di conigli si ottengono in un anno se, iniziando con una coppia,
ciascuna coppia produce ogni mese una nuova coppia che diviene produttiva al
secondo mese della sua esistenza?”
Il modello teorico prevede una crescita esponenziale, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...,
ma nella realtà dopo qualche mese le simpatiche bestiole sono pronte per essere
cucinate. Il Fibonacci importa dall’oriente in Italia il sistema di numerazione
decimale. Con questo sistema il calcolo numerico risulta facilitato e Fibonacci,
dichiarando di poter far meglio di Archimede, trova un’approssimazione di con
tre decimali corretti. Dai poligoni inscritti e circoscritti con 96 lati ottiene i valori
1440=(458 + 4=9) e 1440=(458 + 1=5) e, prendendo una media, 1440=(458 + 1=3) =
3; 1418:::. Inizia a di¤ondersi il ”morbus decimalium”. A Samarcanda l’astronomo
Al Kashi (XV secolo), per calcolare la circonferenza di un cerchio grande come
l’intero universo con un’approssimazione inferiore ad un crine di cavallo, con un
poligono di 3 228 lati calcola le prime sedici cifre decimali di 2 ,
16
59
28
1
34
51
46
14
50
+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9:
60 60
60
60
60
60
60
60
60
Di fatto, il rapporto tra la distanza della Terra dal Sole e lo spessore di un
capello è dell’ordine di 1016 , sedici decimali sono appena su¢ cienti per calcolare
con l’approssimazione di un capello l’orbita della Terra intorno al Sole. A.Rooman
(1561-1615) con un poligono di 230 lati trova quindici decimali di . Nel 1584
S.van der Eycke stima = 1521=484 = 3; 142:::, ma nel 1585 con un poligono
di 192 lati Ludolph van Ceulen (1540-1610) dimostra che < 1521=484, van der
Eycke replica con la stima = 3; 1416055 e van Ceulen nel 1586 dimostra che
3; 14103 <
< 3; 142732. Poi van Ceulen calcola il perimetro di un poligono
di 60 233 lati e pubblica nel 1596 i primi venti decimali di , in…ne ne calcola
trentacinque che vengono anche inscritti sulla sua pietra tombale.
6+
”Hic iacet sepultus Mr. Ludol¤ van Ceulen, professor belgicus dum viveret
mathematicarum scientiarum in athenaeo huius urbis, natus hildeshemia anno
1540 die XXVIII ianuarii et denatus XXXI decembris 1610, qui in vita sua multo
labore circumferentiae circuli proximam rationem ad diametrum invenit sequentem:
quando diameter est 100000000000000000000000000000000000 tunc circuli circumferentia plus est quam 3141592653589793233846264338327950288 et minus
quam 3141592653589793233846264338327950289.”
Dopo tanta fatica, ”requiescat in pace”.
24
La quadratura del cerchio è nella sua formulazione originaria un problema
geometrico, ma nel 1593 entra in gioco l’analisi. F.Viète (1540-1603) con poligoni
di 6 216 lati stima compreso tra 3,1415926535 e 3,1415926537, poi pubblica una
formula che, almeno in Europa, è forse la prima espressione analitica in…nita di :
=
r
1
2
s
1 1
+
2 2
r
1
2
2
v
s
u
u1 1 1 1r1
t +
+
2 2 2 2 2
:
Anche questa formula viene ottenuta con un procedimento archimedeo, partendo dall’area di un quadrato iscritto in un cerchio di raggio uno ed ottenendo
in modo ricorsivo l’area dei poligoni regolari
con 8, 16, 32,... lati. L’area del
p
quadrato è 2, l’area dell’ottagono è 2= 1=2, l’area del poligono con sedici lati è
p q
p
2=
1=2 1=2 + 1=2 1=2 ,...
R.Descartes (1596-1650) esprime seri dubbi sulla possibilità di quadrare esattamente delle regioni curve: ”La geometria non dovrebbe occuparsi di linee che
sono come corde, un po’dritte e un po’storte, perché i rapporti tra linee dritte e
curve non sono noti e credo che neanche possano essere scoperti, quindi nessuna
conclusione su questi rapporti può essere considerata rigorosa ed esatta”. Comunque Cartesio invece di quadrare un cerchio trova il modo di rendere rotondo
un quadrato. Il diametro del cerchio inscritto in un poligono regolare di perimetro
p e m lati è d = p=m cot ( =m). Se xn è il diametro del cerchio inscritto in un
poligono regolare con perimetro 4x0 e 2n+2 lati, allora xn (xn xn 1 ) = 4 n x20 . Si
possono così ottenere in modo ricorsivo i diametri dei cerchi inscritti in poligoni
isoperimetrici con 4, 8, 16,..., lati e questi diametri convergono al diametro del
cerchio isoperimetrico al quadrato.
25
La quadratura del
cerchio di Cartesio.
”Per quanto riguarda la quadratura del cerchio, non trovo niente di
più appropriato che aggiungere ad un quadrato dato di base AB il
rettangolo di base BC con vertice sul prolungamento della diagonale
del quadrato ed area un quarto del quadrato, poi un altro rettangolo
di base CD con vertice sul prolungamento della diagonale del quadrato
ed area un quarto del rettangolo precedente, e così via all’in…nito. Tutti
questi rettangoli saranno uguali ad un terzo del quadrato e la base AX
sarà il diametro di una circonferenza uguale al perimetro del quadrato.
Infatti AC è il diametro di un cerchio inscritto in un ottagono con lo
stesso perimetro del quadrato, OC il diametro di un cerchio inscritto
in una …gura con sedici lati, e così via all’in…nito.”
Il problema della retti…cazione della circonferenza consiste nel cercare di stimare un arco di cerchio, che è storto ed intrinsecamente di¢ cile da misurare, con
delle combinazioni di segmenti dritti ad esso collegati ed esplicitamente misurabili,
come il seno ed il coseno. In particolare, il metodo di calcolo della lunghezza di
una circonferenza con poligoni inscritti e circoscritti si basa sul fatto che un arco
di cerchio è compreso tra il seno e la tangente dell’angolo, ma nella ”Perfezione
matematica” il Cardinale Nicola da Cusa (1401-1464) trova un’approssimazione
migliore:
”Il rapporto tra tre semidiametri e tre semidiametri meno una freccia è minore
del rapporto tra arco e corda”.
In un cerchio di raggio uno ad un arco 2x corrispondono una corda 2 sin(x) ed
una freccia 1 cos(x) e si ha la disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x, che è
una disuguaglianza più stretta di sin(x) < x,
sin(x) <
3 sin(x)
< x:
2 + cos(x)
26
La prima disuguaglianza sin(x) < 3 sin(x)= (2 + cos(x)) è equivalente a cos(x) <
1. Per dimostrare la seconda disuguaglianza 3 sin(x)= (2 + cos(x)) < x utilizzando
la nostra tecnologia, basta osservare che la funzione x 3 sin(x)= (2 + cos(x)) si and
nulla in zero ed è crescente,
(x 3 sin(x)= (2 + cos(x))) = (1 cos(x))2 = (2 + cos(x))2 .
dx
Ponendo x = =6 nell’
3 sin(x)= (2 + cos(x)) si
puguaglianza approssimata x
ottiene
18= 4 + 3 = 3; 140:::. Per trovare i primi due decimali di
Archimede deve utilizzare un poligono con 96 lati, a Nicola da Cusa basta l’esagono.
Sostenitore della concordanza dei contrari, Nicola da Cusa congettura anche una
relazione tra il poligono con il minimo numero di lati e quello con il massimo,
il triangolo ed il cerchio. Inscrive un quadrato in un cerchio e stima questo cerchio uguale al triangolo equilatero inscritto in un cerchio di diametro il lato del
quadrato
p
ppiù il raggio del cerchio dato. La costruzione fornisce per il valore
3 3 + 6 =4, ma nel 1464 J.M.Regiomontano (1436-1476) dimostra che questa
quadratura non è corretta e a sua volta propone il valore 3,14343.... A Regiomontano si deve anche una rinascita dell’interesse per la trigonometria piana e sferica.
Nel “Ciclometricus” del 1621 W. Snell (1580-1626) completa la scoperta di
Nicola da Cusa, trovando che
3 sin(x)
tan(x) + 2 sin(x)
<x<
:
2 + cos(x)
3
Queste stime corrispondono alle seguenti costruzioni geometriche. Dato il cerchio x2 + y 2 = 1, la retta per A = (cos(#); sin(#)) e B = ( 2; 0) interseca la
tangente al cerchio x = 1 nel punto di ordinata 3 sin(#)= (2 + cos(#)). Invece la
retta per A = (cos(#); sin(#)) e C = ( 2 cos(#=3); 0) interseca x = 1 nel punto di
ordinata tan(#=3)+2 sin(#=3). Quest’ultima costruzione coincide con la trisezione
dell’angolo attribuita ad Archimede. Il punto D = ( cos(#=3); sin(#=3)) è la
seconda intersezione della retta BC con la circonferenza, il segmento CD ha
lunghezza uno e forma con l’asse delle ascisse un angolo #=3. Con queste disuguaglianze Snell scopre anche un e¢ ciente metodo per accelerare la convergenza
nel calcolo di . Se con poligoni di 96 lati Archimede trova due decimali di , con
gli stessi poligoni Snell ne trova sei,
3; 1415926::: = 96
3 sin( =96)
<
2 + cos( =96)
< 96
tan( =96) + 2 sin( =96)
= 3; 1415928::::
3
Se con poligoni di 60 233 van Ceulen calcola 20 decimali, con poligoni di 230
lati Snell ne trova 34. Anche se Snell non dimostra in modo soddisfacente i suoi
27
risultati, queste applicazioni numeriche che forniscono le stesse cifre di van Ceulen
sono un convincente indizio della loro correttezza.
La retti…cazione approssimata
di un arco di cerchio di
Nicola da Cusa e Snell:
3 sin(#)
#
.
2 + cos(#)
Se A = (1; 0), B = (cos(#); sin(#)) , C = (1; #) , l’arco AB è uguale al
segmento AC. La retta BC interseca l’asse y = 0 nel punto di ascissa
(cos(#) sin(#)) = (# sin(#)) e questa ascissa tende a
2 se # ! 0.
Viceversa, se B = (cos(#); sin(#)) e D = ( 2; 0), la retta BD interseca
la retta x = 1 nel punto di ordinata 3 sin(#)= (2 + cos(#)) . Invece, se
l’angolo tra la retta per B e l’asse orizzontale è #=3, questa retta
interseca x = 1 nel punto di ordinata tan(#=3) + 2 sin(#=3).
C.Huygens (1629-1695) dimostra rigorosamente con metodi di geometria elementare i risultati di Snell e nel 1654 pubblica ”La scoperta della grandezza del
cerchio”, con 20 proposizioni, cioè 14 teoremi più 4 problemi.
Stimando di esserci occupati recentemente con qualche successo dell’antico
problema della quadratura del cerchio, il più celebre di tutti anche agli occhi di
quelli che non si intendono di Matematica, e avendo ottenuto alcuni risultati
migliori di quelli trovati …no ad oggi, almeno secondo noi, vogliamo comunicarli
ai geometri insieme alle loro dimostrazioni...
”Teorema 1: Se in un segmento di cerchio minore di metà cerchio si iscrive il
più grande triangolo possibile e similmente si iscrivono dei triangoli nei segmenti
restanti, il primo triangolo risulta minore del quadruplo della somma degli altri
due.”
”Teorema 2: Dato un segmento di cerchio minore di metà cerchio e sulla base
un triangolo con i due altri lati tangenti al segmento, tracciata una tangente al segmento nella sua sommità, questa retta taglia nel triangolo un triangolo maggiore
della metà del più grande triangolo che si può iscrivere nel segmento.”
”Teorema 3: Il rapporto tra un segmento di cerchio minore di metà cerchio ed
il più grande triangolo che si può iscrivere nel segmento è più grande di quattro a
tre.”
28
”Teorema 4: Un segmento di cerchio minore di metà cerchio è minore dei due
terzi del triangolo con la stessa base ed i due altri lati tangenti al segmento.”
”Teorema 5: Un cerchio è maggiore di un poligono equilatero iscritto più un
terzo della di¤erenza tra questo poligono ed un poligono inscritto con metà lati.”
”Teorema 6: Un cerchio è minore dei due terzi di un poligono equilatero circoscritto più un terzo del poligono simile inscritto.”
”Teorema 7: La circonferenza di un cerchio è maggiore del perimetro di un
poligono equilatero iscritto più un terzo della di¤erenza tra i perimetri di questo
poligono e di un poligono inscritto con metà lati.”
”Teorema 8: Se all’estremità del diametro di un cerchio si traccia la tangente e
dall’estremità opposta si tira una retta che taglia il cerchio ed incontra la tangente,
i due terzi della tangente intercettata più un terzo della retta che a partire del punto
di intersezione cade ad angolo retto sul diametro sono maggiori dell’arco tagliato
adiacente.”
”Teorema 9: La circonferenza di un cerchio è minore dei due terzi del perimetro
di un poligono equilatero iscritto più un terzo del perimetro di un poligono simile
circoscritto.”
”Problema 1:Trovare il rapporto tra la circonferenza ed il diametro, quanto si
voglia vicino al vero.”
”Problema 2: Prendere una retta uguale alla circonferenza di un dato cerchio.”
”Problema 3: Prendere una retta uguale ad un arco qualsiasi.”
”Teorema 10: Il lato di un poligono equilatero iscritto in un cerchio è medio
proporzionale tra il lato del poligono simile circoscritto e la metà del lato del
poligono inscritto con metà lati.”
”Teorema 11: La circonferenza di un cerchio è minore della più piccola delle
due medie proporzionali tra i perimetri di poligoni regolari simili, uno inscritto
nel cerchio e l’altro circoscritto. E il cerchio è più piccolo del poligono simile a
questi, con perimetro uguale alla più grande delle medie.”
”Teorema 12: Se fra il prolungamento del diametro di un cerchio e la circonferenza si pone una retta uguale al raggio, che prolungata taglia ancora il cerchio
ed incontra la tangente ad esso nell’estremità opposta del diametro, questa retta
intercetta sulla tangente una parte più grande dell’arco adiacente formato.”
”Teorema 13: Se al diametro di un cerchio si aggiunge un semidiametro e a
partire dall’estremità della retta aggiunta si conduce una retta che taglia il cerchio
incontrando la tangente al cerchio nell’estremità opposta del diametro, questa retta
intercetta sulla tangente una parte più piccola dell’arco adiacente formato.”
”Teorema 14: Il centro di gravità di un segmento di cerchio divide il diametro
29
del segmento in modo tale che la parte al vertice è più grande dell’altra e minore
una volta e mezzo dell’altra.”
”Teorema 15: Un segmento di cerchio minore di un semicerchio sta al triangolo
massimo inscritto in un rapporto più grande di quattro a tre, ma più piccolo del
rapporto tra tre ed un terzo del diametro del segmento restante ed il diametro del
cerchio con il triplo della retta dal centro del cerchio alla base del segmento.”
”Teorema 16: Un arco qualunque, più piccolo di una semicirconfernza, è più
grande della corda sottesa aumentata di un terzo della di¤erenza tra la corda ed
il seno. Ma un tale arco è minore della corda più la retta che sta al detto terzo
come il quadruplo della corda più il seno sta al doppio della corda più il triplo del
seno.”
”Problema 4: Trovare il rapporto tra la circonferenza e il diametro e, per mezzo
di corde date inscritte in un cerchio, trovare la lunghezza degli archi ai quali esse
sono sottese.
Denotando con A(n) = n sin( =n) cos( =n) e B(n) = n tan( =n) le aree dei
poligoni regolari con n lati inscritti e circoscritti ad un cerchio di raggio uno e con
P (n) = 2n sin( =n) e Q(n) = 2n tan( =n) i perimetri di questi poligoni inscritti
e circoscritti, i teoremi 5 e 6 si traducono nelle disuguaglianze
1
1
2
(A(2n) A(n)) < < A(n) + B(n):
3
3
3
Ponendo poi x = =n, questi teoremi si riducono alle disuguaglianze trigonometriche
A(2n) +
8 sin(x)
sin(2x)
sin(2x) + 4 tan(x)
:
6
6
Similmente, i teoremi 7 e 9 si traducono nelle disuguaglianze
<x<
1
2
1
P (2n) + (P (2n) P (n)) < 2 < P (n) + Q(n);
3
3
3
8 sin(x=2) sin(x)
2 sin(x) + tan(x)
<x<
:
3
3
Il teorema 11 si traduce nelle disuguaglianze
p
p
2 < 3 Q(n)P 2 (n);
< 3 A(n)B 2 (n);
sin(x)
x< p
:
3
cos(x)
30
Nel teorema 14, nel cerchio x2 + y 2
1 il segmento con vertice (1; 0) ed
estremi (cos(#); sin(#)) ha diametro con estremi (cos(#); 0) e (1; 0) e l’ascissa
del baricentro è
Z 1
p
2
x 1 x2 dx
2 sin3 (#)
cos(#)
=
:
Z 1
p
3#
3
cos(#)
sin(#)
2
1 x2 dx
cos(#)
Le disuguaglianze nel teorema sono dunque
2 sin3 (x)
2 sin3 (x)
cos(x) < 1
;
3x 3 sin(x) cos(x)
3x 3 sin(x) cos(x)
3
2 sin3 (x)
2 sin3 (x)
1
<
cos(x) :
3x 3 sin(x) cos(x)
2 3x 3 sin(x) cos(x)
Svolgendo i conti, la prima disuguaglianza si trasforma nella disuguaglianza
già contenuta nei teoremi 5 e 7, 4 sin(x) sin(x) cos(x) < 3x. Invece la seconda
disuguaglianza si trasforma in
x<
sin(x) (10 + 6 cos(x) cos2 (x))
:
6 + 9 cos(x)
In…ne, i teoremi 15 e 16 si traducono in disuguaglianze contenute nei teoremi
precedenti. Tutti questi teoremi sono dimostrati da Huygens utilizzando solo
la geometria euclidea, ma una volta tradotti in formule trigonometriche non è
di¢ cile dimostrarli con un po’ d’analisi. Per esempio, per dimostrare l’ultima
disuguaglianza, che è la più precisa tra quelle presentate da Huygens, è su¢ ciente
osservare che la funzione
sin(x) (10 + 6 cos(x) cos2 (x))
6 + 9 cos(x)
x
si annulla in x = 0 ed è crescente
d
dx
sin(x) (10 + 6 cos(x) cos2 (x))
6 + 9 cos(x)
x
2 (1 + cos(x)) (1 cos(x))3
=
4 + 12 cos(x) + 9 cos2 (x)
0:
E dopo la teoria Huygens passa alla pratica. Nel problema 1 si osserva che il
perimetro di un esagono regolare inscritto in un cerchio di raggio 10000 è 60000 ed
31
il perimetro di un dodecagono è circa 62116 + 1=2 ed un terzo della di¤erenza dei
perimetri è 705 + 1=2. Quindi, applicando il teorema 7, si deduce un rapporto tra
circonferenza e diametro un poco maggiore di 62822=20000 = 3; 1411, un risultato
migliore di quello ottenuto da Archimede con poligoni di 96 lati. Poi nel problema 4, utilizzando il teorema sui baricentri di segmenti di cerchio, si ottengono
stime ancora più precise. Comunque dopo Huygens tutti questi metodi vengono
sostituiti dalle nuove tecniche del calcolo di¤erenziale ed integrale. In particolare,
I.Newton (1642-1727) nella sua corrispondenza con G.W.Leibniz (1646-1716) osserva che le disuguaglianze di Snell ed i teoremi di Huygens si possono dimostrare
facilmente sviluppando in serie di potenze le funzioni interessate:
”Per trovare un’approssimazione di un arco con corda A e con B la corda di
metà arco, se z è l’arco e r il raggio del cerchio, allora A, il doppio del seno della
metà di z, e B sono
z3
z5
+
&c:
4 6r2 4 4 120r4
z
z3
z5
B=
+
&c:
2 2 16 6r2 2 16 16 120r4
Moltiplichiamo B per un numero …ttizio n, dal prodotto sottraiamo A, poi
poniamo uguale a zero il termine nz 3 = (2 16 6r2 ) z 3 = (4 6r2 ). Da questo
risulta n = 8 e
A=z
8B
A = 3z
3z 5
+ &c:
64 120r4
Quindi z = (8B A) =3, con un errore per eccesso di solo z 5 =7680r4
Questo è il teorema di Huygens.”
&c.
Poi Newton dimostra come far meglio di Huygens. Per stimare la misura
dell’arco di cerchio x2 + y 2 = 1 da (0; 0) a (cos(#); sin(#)), che ha lunghezza #,
si traccia la retta per i punti ( + cos (#) ; 0) e (cos(#); sin(#)), che interseca la
tangente al cerchio x = 1 in un punto di ordinata
sin(#) (
1 + cos (#))
+(
1) cos (#)
+ 2 3 ( + 11 + 4) ( +
1) 10 ( +
# +
)
120 ( +
1)2
y=
=#+
+
6 (1
32
+ 2) (
1)
#5 + :::
Scegliendo
ottiene
=
9=5 e
=
1=5 si annullano i coe¢ cienti di #3 e #5 e si
sin(#) (14 + cos (#))
= # #7 =2100 #9 =18000 + :::
9 + 6 cos (#)
Se nell’uguaglianza approssimata #
sin(#)
p (14 + cos (#)) = (9 + 6 cos (#)) si
sostituisce # = =6 si ottiene
81 25 3 =12 = 3; 14156:::. Alla luce di
queste osservazioni di Newton, torniamo ad analizzare il metodo di Archimede
ed i successivi ra¢ namenti di Nicola da Cusa, Snell, Huygens. Iniziamo con le
disuguaglianze utilizzate da Archimede:
sin(x) = x x3 =6 + x5 =120 x7 =5040 + x9 =362880 + :::
tan(x) = x + x3 =3 + 2x5 =15 + 17x7 =315 + 62x9 =2835 + :::
Quindi, sostituendo all’arco x il seno o la tangente si commette un errore per
difetto dell’ordine di x3 =6 o per eccesso dell’ordine di x3 =3. Veniamo ora alle
disuguaglianze di Nicola da Cusa e Snell:
3 sin(x)
= x x5 =180 x7 =1512 x9 =25920 + :::
2 + cos(x)
tan(x) + 2 sin(x)
= x + x5 =20 + x7 =56 + 7x9 =960 + :::
3
In entrambi i casi le approssimazione dell’arco x è dell’ordine di x5 , se l’arco è
piccolo il guadagno rispetto alle approssimazioni di Archimede è notevole. Consideriamo in…ne alcune delle disuguaglianze di Huygens, iniziando dai teoremi 5 e
6:
8 sin(x)
sin(2x)
= x x5 =30 + x7 =252 x9 =4320 + :::
6
sin(2x) + 4 tan(x)
= x + 2x5 =15 + 2x7 =63 + 2x9 =135 + :::
6
In entrambi i casi l’approssimazione dell’arco x è dell’ordine di x5 ed anche nei
teoremi 7, 9, 11 l’ordine dell’approssimazione è lo stesso. Invece nel teorema 14
l’approssimazione è dell’ordine di x7 :
sin(x) (10 + 6 cos(x) cos2 (x))
= x + x7 =350 + x9 =4500 + :::
6 + 9 cos(x)
A questo punto risulta naturale congetturare che esistono approssimazioni ancora migliori. Un semplice modo per ottenerle è di partire dall’identità x =
33
arcsin (sin(x)) o x = arctan (tan(x)) e sviluppare in serie di potenze l’arco seno
o l’arco tangente. È chiaro che ci stiamo allontanando dalla tradizione greca e
stiamo incontrando una nuova matematica.
I LOGARITMI.
I prodotti sono operazioni più complicate delle somme e prima dell’introduzione
dei logaritmi si sono usate delle tavole dei quadrati e delle tavole trigonometriche
per trasformare questi in quelle,
a b=
(a + b)2
b)2
(a
;
cos(
) + cos( + )
:
cos( ) cos( ) =
2
G.J.Rheticus (1514-1576), discepolo e collaboratore di Copernico, inizia la
compilazione di tavole trigonometriche con 15 decimali, poi completate nel 1596.
Nell’”Arenario” di Archimede si trova la seguente a¤ermazione:
4
”Siano dati dei numeri in proporzione continua A, B, C, D, E, F, G, H, I, K,
L,..., a partire dall’unità A. Si moltiplichi D per H e si prenda nella proporzione
il termine L distante da H quanto D dista dall’unità, allora L è uguale al prodotto
D per H.”
L’”Arithmetica integra” di M.Stifel (1487-1567) contiene la tavola
3
1=8
2
1=4
1
1=2
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
”L’addizione in progressioni aritmetiche corrisponde alla moltiplicazione in
progressioni geometriche... La sottrazione corrisponde alla divisione... La moltiplicazione all’elevamento a potenza... La divisione all’estrazione di radice...”
Una tavola di numeri simile ma abbastanza densa rende possibile e conveniente
la trasformazione di prodotti in somme. Nel 1614 J.Napier (1550-1617) pubblica
la ”Descrizione del meraviglioso canone dei logaritmi” e nel 1619 la ”Costruzione
del meraviglioso canone dei logaritmi”, con la de…nizione:
”I logaritmi sono numeri che associati a proporzioni conservano uguali differenze.”
0
`
0
" o o
# o&", numero del rapporto. I logaritmi di progressioni geometriche sono progressioni aritmetiche. In una progressione geometrica a, a2 , a3 ,...,
34
il rapporto a tra due termini consecutivi è la ragione, a2 la ragione seconda, a3
la ragione terza,..., i numeri 1, 2, 3,... sono i numeri della ragione. Nepero dà
anche una descrizione cinematica dei suoi logaritmi, che sono logaritmi di seni
di angoli. Se un punto x si muove tra r e 0 con velocità decrescente x e se
contemporaneamente un punto y si muove tra 0 e +1 con velocità uniforme r,
allora y è il logaritmo di x. Si tratta del sistema di equazioni di¤erenziali
dx=dt = x;
x(0) = r;
dy=dt = r;
y(0) = 0;
con soluzioni x(t) = r exp( t) e y(t) = rt, cioè x = r exp( y=r) e y = r log(r=x).
In questa de…nizione il logaritmo del prodotto non è la somma dei logaritmi, ma
quasi, se x1 e x2 hanno logaritmi y1 e y2 , allora y1 +y2 è il logaritmo di r 1 x1 x2 . In
particolare, se r è una potenza di 10 ed i numeri sono scritti in frazioni decimali,
la conversione da r 1 x1 x2 a x1 x2 è immediata. Infatti la scelta di Nepero per r è
107 ed a lui si deve l’odierna notazione decimale:
”Nei numeri con un punto in mezzo, quello che viene dopo il punto è una
frazione, il denominatore della quale è una unità con tanti zeri quante sono le
4
cifre dopo il punto. Per esempio, 10000000:04 è lo stesso che 10000000
”.
100
In…ne, Nepero osserva che per calcolare il logaritmo di un numero intero è
su¢ ciente conoscere i logaritmi dei fattori primi, è quindi possibile costruire una
tavola di logaritmi a partire da un numero ridotto di logaritmi primitivi. Nepero
non ha una precisa idea di base per il suo sistema di logaritmi, le sue tavole fanno
semplicemente corrispondere una progressione aritmetica ad una geometrica. Il
legame tra il logaritmo e la funzione esponenziale e la de…nizione di logaritmo
come esponente da dare ad una base per ottenere un numero si trova in J.Gregory
(1638-1675), ”Gli esponenti sono come logaritmi”, poi in J.Wallis (1616-1703) che
nella sua ”Algebra” del 1685 considera le progressioni aritmetiche 0, 1, 2, 3,... e
geometriche r0 , r1 , r2 , r3 ,... ed osserva:
”Gli esponenti si chiamano logaritmi. Questi sono numeri arti…ciali che sono
associati ai numeri naturali in modo tale che le loro addizioni e sottrazioni corrispondono alle moltiplicazioni e divisioni dei numeri naturali”.
In…ne, nella ”Introduzione all’analisi dell’in…nito”pubblicata nel 1748 L.Eulero
(1707-1783) de…nisce esplicitamente le funzioni esponenziali ed i logaritmi:
”Le quantità esponenziali non sono nient’altro che potenze con esponente variabile e dalla loro inversione si arriva in modo naturale i logaritmi... az è la potenza
35
di una quantità costante a con un esponente variabile z... Se az = y... questo
valore z si chiama logaritmo di y...ed a si chiama base del logaritmo”.
La base dei logaritmi naturali è il numero e, ”il numero il cui logaritmo iperbolico è uguale ad uno”. In quest’opera, dopo il capitolo ”Sulle quantità esponenziali
ed i logaritmi”, nel capitolo ”Sulle quantità trascendenti che nascono dal cerchio”
si de…niscono anche le funzioni trigonometriche nel modo tuttora in uso. J.Bürgi
(1552-1632) sembra sia arrivato alla scoperta dei logaritmi qualche anno prima
di Nepero, ma pubblica le sue tavole solo nel 1620. Le prime tavole di logarn
itmi neperiani sono basate sulla progressione geometrica 107 (1 10 7 ) , cioè il
n
logaritmo neperiano di 107 (1 10 7 ) è n, mentre quelle di Bürgi sono basate
n
sulla progressione 108 (1 + 10 4 ) . In entrambi i casi si intravede in embrione la
de…nizione di e = limn! 1 (1 + 1=n)n e dei logaritmi naturali compaiono in appendice all’opera di Nepero, con l’osservazione che numeri con rapporto 2 hanno
logaritmi con di¤erenza 6931469; 22 e numeri con rapporto 10 hanno logaritmi con
di¤erenza 23025842; 34. Infatti log(2) = 0; 693147::: e log(10) = 2; 302585:::..
I logaritmi suscitano un immediato e generale entusiasmo:
”La matematica ha ricevuto considerevoli vantaggi prima dall’introduzione dei
caratteri indiani e poi delle frazioni decimali. Ora dall’invenzione dei logaritmi
sta raccogliendo almeno tanto quanto dalle altre due assieme. Per mezzo di questi,
come tutti sanno, dei numeri quasi in…niti ed in altro modo intrattabili sono trattati facilmente e rapidamente. Il marinaio governa il suo vascello, il geometra
investiga la natura delle curve, l’astronomo determina la posizione delle stelle, il
…losofo spiega i fenomeni naturali e, per …nire, l’usuraio calcola gli interessi dei
suoi soldi”.
Nepero e H.Briggs (1561-1639) si accordano per costruire delle tavole con il
logaritmo di 1q
uguale a 0 e quello di 10 uguale a 1. Prendendo delle radici iterate
pp
pp
p
54
10,
10,
10,..., Briggs arriva a calcolare 102
e, posto log10 (1) = 0
54
e log10 102
= 2 54 , utilizzando il fatto che il logaritmo del prodotto di due
numeri è la somma dei logaritmi, costruisce delle tavole di logaritmi in base 10
con quattordici decimali. Le tavole di Briggs sono pubblicate nel 1624. All’amico
ed ex insegnante M.Maestlin (1550-1631), che esprime dubbi sulla la teoria di
questi logaritmi e che osserva che non è poi il caso di entusiasmarsi tanto per un
mero aiuto al calcolo, J.Keplero (1571-1630) replica dimostrando le proprietà dei
logaritmi a partire dalla teoria delle proporzioni nel Libro V degli ”Elementi” di
Euclide. Poi calcola delle tavole di logaritmi con otto cifre. Queste tavole, insieme
36
a tabelle e regole per predire la posizione dei pianeti ed un catalogo con più di mille
stelle, sono pubblicate tra dal 1624 al 1627. Per il povero Keplero, che ha pagato
di tasca propria la pubblicazione, non è un gran successo editoriale: ”I compratori
sono pochi. È sempre così con delle opere di matematica, specialmente in questi
tempi di caos”. Nel 1620 E.Gunter (1581-1626) costruisce dei regoli rudimentali e
qualche anno dopo W.Oughtred (1574-1660) ne costruisce di più perfezionati. Nel
1653 viene pubblicato il primo trattato sui logaritmi in Cina e nel 1722 i logaritmi
raggiungono il Giappone.
Concludiamo con qualche curiosità. Nel XIX secolo si scopre che nostra
risposta a stimoli luminosi, acustici, o altri, non dipende dalla di¤erenza tra le intensità di questi stimoli, ma dal loro rapporto, cioè la scala delle nostre percezioni
è logaritmica. Anche senza saperlo, abbiamo sempre avuto i logaritmi nel cervello.
Nel 1881 l’astronomo S.Newcomb, osservando che le prime pagine delle sue tavole
dei logaritmi sono più sporche e consunte delle ultime, formula la legge empirica
che le frequenze dei numeri che iniziano con una data cifra d = 1; 2; 3; :::; 9 non
sono tutte uguali a 1=9 = 0; 111:::, ma la cifra d ha una frequenza log10 (1 + 1=d),
in particolare l’uno compare più del due, il due più del tre,..., il nove meno di
tutti.
Cifra
Frequenza
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,301 0,176 0,124 0,096 0,079 0,066 0,057 0,051 0,045
Nel 1938 il …sico F.Benford, analizzando le più disparate tavole di numeri,
comprese le statistiche dell’American League di baseball, arriva a formulare la
stessa legge. Insomma, viviamo in un mondo logaritmico.
LA NASCITA DEL CALCOLO.
Il problema di calcolare la velocità conoscendo lo spazio percorso in funzione
del tempo ed il problema inverso di calcolare lo spazio conoscendo la velocità
conducono in modo naturale allo studio delle tangenti e delle aree sottese dalle
curve che descrivono il moto. Anche i problemi di ri‡essione e rifrazione in ottica
conducono allo studio delle tangenti. Nel XVII secolo, con la meccanica di Galileo
Galilei (1564-1642) e la geometria analitica di Descartes e P.Fermat (1601-1665),
vengono studiate molte nuove curve e per mezzo del nascente calcolo se ne tracciano le tangenti e misurano il perimetro e l’area. I risultati sono così numerosi e
si susseguono con tale rapidità che risulta di¢ cile assegnarne la paternità.
37
La quadratura di un’ellisse
con un asse doppio dell’altro
di Leonardo da Vinci.
”La …gura ovale esser doppia del circolo posto nel medesimo parallelo di
tal …gura ovale... e questa tal …gura è doppia al circolo... e questa tal prova
resta persuasiva immaginando esser diviso il circolo in istrettissimi paralleli,
a modo di sottilissimi capelli in continuo contatto tra loro e che il moto di
ciascun parallelo sia rectamente duplicato nel medesimo parallelo...”
Il volume della sfera
secondo Luca Valerio.
Tagliando il cilindro fx2 + y 2 R2 ; 0 x Rg , il cono fx2 + y 2 z 2 ;
0 z Rg e la semisfera fx2 + y 2 + z 2 R2 ; 0 x Rg con la famiglia
di piani fx = tg , si ottengono sezioni di area R2 , t2 , (R2 t2 ) . Quindi
le sezioni della semisfera sono uguali alle sezioni del cilindro meno il cono,
la semisfera ha volume uguale al cilindro meno il cono.
Le quadrature di parabole ed ellissi sono opera di Archimede. Fermat, Cavalieri
e E.Torricelli (1608-1647) quadrano le parabole ed iperboli generalizzate y m = xn e
Z b
m n
y x = 1. In notazione moderna
x dx = (b +1 a +1 ) = ( + 1), se + 1 6= 0.
a
Ecco come Cavalieri calcola l’area sotto la curva y = x2 . Sommando le ordinate
dell’identità x2 + (a x)2 = a2 =2 + 2 (x a=2)2 , noi diremmo integrando,
Z a
Z a
Z a
Z a
2
2
2
x dx +
(a x) dx = a =2
dx + 2
(x a=2)2 dx:
0
0
0
0
I primi due integrali sono uguali al volume di una piramide con base quadrata
di lato a e altezza a. Il terzo integrale è il volume di un parallelepipedo con lati a,
38
a, a=2. L’ultimo integrale, a parte il fattore 2, è il volume di due piramidi con basi
e altezza a=2. Per la similitudine tra le piramidi, se quelle grandi hanno volume V ,
quelle piccole hanno volume V =8. Si ottiene quindi l’uguaglianza 2V = a3 =2+V =2,
da cui si ricava V = a3 =3. Anche se è un risultato già noto ai greci, il metodo
è nuovo e si presta ad essere generalizzato a potenze superiori alla seconda. Per
calcolare l’area sotto la curva y = x , Fermat divide l’intervallo 0 < x < a in una
progressione geometrica a, aq, aq 2 , aq 3 ,..., con q < 1, ed approssima la regione
sotto la curva con i rettangoli di base aq n aq n+1 e altezza (aq n ) . Quindi,
sommando rispetto ad n e prendendo il limite per q ! 1 ,
Z
0
a
x dx = lim
q!1
( +1
X
In questo conto
(aq n )
aq n
aq n+1
n=0
>
)
=a
+1
lim
q!1
1
1
q
q
+1
1, ma un conto analogo permette di calcolare
=
Z
a
+1
a
+1
:
+1
x dx
con
< 1. Il calcolo dell’integrale di x 1 è opera del Gesuita Gregorio di
San Vincenzo (1584-1667). Nella sua ”Opera geometrica per la quadratura del
cerchio e delle sezioni di cono”del 1647, insieme a presunte quadrature del cerchio
subito contestate da Cartesio e Huygens, si trova anche una vera quadratura
dell’iperbole. Se da un asintoto di una iperbole si tracciano delle parallele all’altro
asintoto e se le aree dei quadrilateri mistilinei che si vengono a formare sono
uguali, allora le lunghezze dei segmenti paralleli sono in progressione geometrica
e viceversa, se le lunghezze sono Zin progressione
Z ab geometrica, allora le aree sono
b
dx
dx
uguali. Si tratta della relazione
=
che si può dimostrare con un
x
1 x
a
cambio di variabile x
ax, se la base dx si dilata di un fattore a e l’altezza
1=x si contrae di 1=a, l’area dx=x non cambia. La dimostrazione di Gregorio
utilizza il metodo di esaustione, dividendo le basi dei segmenti di iperbole in una
progressione geometrica. Nell’iperbole y = 1=x l’area compresa tra le ascisse q n
e q n+1 è compresa tra q n 1 (q n+1 q n ) e q n (q n+1 q n ), cioè 1 q 1 e q 1.
Quindi l’area da q m a q n è compresa tra (n m) (1 q 1 ) e (n m) (q 1), se le
ascisse crescono un modo geometrico, le aree crescono in modo aritmetico.
39
La quadratura
dell’iperbole di
Gregorio di San
Vincenzo.
”Se delle parallele ad un asintoto di una iperbole tagliano segmenti
di area uguale, queste parallele sono in progressione continua”.
M.Mersenne (1588-1648) pone il problema: ”Date tre grandezze, razionali o
irrazionali, ed i logaritmi di due di queste, trovare geometricamente il logaritmo
della terza”. A.A.de Sarasa (1618-1667) risolve il problema, traducendo la proposizione del confratello Gregorio in termini di logaritmi, l’area sotto un’iperbole
soddisfa l’equazione funzionale del logaritmi,
Z a
Z ab
Z a
Z b
Z ab
dx
dx
dx
dx
dx
=
+
=
+
:
x
x
1
1 x
a
1 x
1 x
Z x L’area sotto l’iperbole equilatera y = 1=x de…nisce i logaritmi iperbolici log(x) =
dt
e la base di questi logaritmi è il numero e. Di fatto i logaritmi così
1 t
de…niti sono l’unica funzione di¤erenziabile che trasforma i prodotti in somme,
L(x y) = L(x) + L(y). Infatti, ponendo x = y = 1 in questa uguaglianza, si ri0
cava L(1) = 0. Derivando rispetto a y si ottiene xL0 (x
Z xy) = L (y) e, per y = 1, si
dt
ottiene anche L0 (x) = L0 (1)=x. Quindi, L(x) = L0 (1)
e la scelta naturale per
1 t
la costante L0 (1) è 1. Nella ”Geometria speciosa” del 1659 P.Mengoli (1625-1686)
de…nisce esplicitamente i logaritmi naturali come limiti di successioni,
log(p=q) = lim
n!+1
1
1
1
+
+ ::: +
qn qn + 1
pn
:
Infatti, dividendoZ l’area sotto la curva y = 1=x in rettangoli con base uno si
pn
dx
vede che log(p=q) =
è maggiore dell’ipologaritmo e minore dell’iperlogaritmo,
qn x
1
1
1
+
+ ::: +
<
qn + 1 qn + 2
pn
Z
pn
qn
dx
1
1
1
<
+
+ ::: +
:
x
qn qn + 1
pn 1
40
Per dimostrare la formula log(xy) = log(x) + log(y) basta poi osservare che
log
lim
n!+1
a c
= lim
n!+1
b d
1
1
+ ::: +
bdn
adn 1
+ lim
n!+1
1
1
+ ::: +
=
bdn
acn 1
1
1
a
c
+ ::: +
= log
+ log
:
dan
can 1
b
d
In particolare, Mengoli osserva che il logaritmo di 2 è il limite per n ! +1 di
1=n + 1=(n + 1) + ::: + 1=2n
= (1 + 1=2 + ::: + 1=2n) (1 + 1=2 + ::: + 1=(n 1))
= (1 + 1=3 + 1=5 + ::: + 1=(2n 1)) (1=2 + 1=4 + 1=6 + ::: + 1=2n)
= 1 1=2 + 1=3 1=4 + ::: + 1=(2n 1) 1=2n:
Cavalieri si fa divulgatore dei logaritmi in Italia e Torricelli per primo studia
le proprietà della curva esponenziale, che chiama semi iperbole logaritmica perché
si costruisce con i logaritmi ed assomiglia ad una iperbole con un solo asintoto, ne
traccia il gra…co, calcola l’area sottostante, determina il volume del solido generato dalla rotazione della curva attorno all’asse delle ascisse. Nel 1638 F.de Beaune
pone a Cartesio il problema di determinare una curva con sottotangente costante.
La sottotangente è il rapporto tra l’ordinata e la pendenza, si tratta quindi di
risolvere l’equazione di¤erenziale dy=dx = y=m. Nel 1644 Torricelli dimostra che
soluzione è la curva logaritmica, se y = ax si ha dy=dx = ax log(a) e la sottotangente è 1= log(a). Torricelli dimostra ancheZche l’area tra due ascisse è la di¤erenza
q
ax dx = (aq
tra le ordinate per la sottotangente, cioè
ap ) = log(a). Nel 1661
p
Huygens de…nisce una curva con la proprietà che l’ordinata del punto medio tra
due ascisse è media proporzionale tra le ordinate di queste ascisse e, come Torricelli, chiama questa curva logaritmica. Utilizzando delle tavole di logaritmi, Huygens calcola il rapporto tra la sottotangente ed il tempo di dimezzamento, 1= log(2)
che approssima con 13/9. Calcola anche 17 cifre decimali del logaritmo in base 10
di e, ma apparentemente non considera questa costante come il logaritmo di un
numero, poi il numero e appare esplicitamente in una lettera di Leibniz a Huygens.
In…ne, nel 1684 Leibniz pubblica le sue ricerche sul calcolo di¤erenziale, con la
sua soluzione del problema di de Beaune, una curva con sottotangente costante è
esponenziale. Il numero e corrisponde alla sottotangente uno. La funzione esponenziale fa la sua apparizione anche in …sica. Nel 1668 Huygens studia la caduta
41
di un corpo soggetto ad una gravità costante eR ad una resistenza proporzionale alla
t
velocità. Risolvendo l’equazione a(t) = g k 0 a(s)ds, con a(t) l’accelerazione, riconosce nella soluzione la funzione logaritmica. La teoria non si accorda però con
gli esperimenti e Huygens sostituisce una resistenza proporzionale al quadrato
della velocità, ma la soluzione si complica. Nel 1701 Newton presenta i risultati dei suoi esperimenti sulla di¤usione del calore che mostrano che un oggetto
riscaldato si riavvicina alla temperatura ambiente in modo approssimativamente
esponenziale. In particolare, Newton congettura una perdita di calore del corpo
proporzionale alla di¤erenza tra la temperatura del corpo e dell’ambiente e da
questo deduce che il logaritmo della di¤erenza di temperatura varia uniformemente col tempo. Le applicazioni …siche dell’esponenziale si moltiplicano e risulta
di¢ cile farne un elenco, per esempio la scoperta di E.Rutherford (1871-1937) del
decadimento radioattivo è del 1903. L’interpretazione probabilistica del fenomeno è che gli atomi non hanno memoria e la probabilità di decadere in un certo
intervallo di tempo ha una distribuzione esponenziale.
Se un oggetto è trascinato
con una fune con un estremo
che si muove su una retta, la
traiettoria è la trattrice di
Huygens.
La fune è tangente alla traiettoria e la lunghezza della tangente è costante.
Se la fune ha lunghezza uno ed un estremo sull’asse delle ascisse, le p
coordinate
(x; y) dell’oggetto soddisfano l’equazione di¤erenziale dy=dx = y= 1 y 2 ,
p
p
con soluzione x c = log 1 + 1 y 2 =y
1 y2.
Nell’opera ”Aritmetica degli in…niti” pubblicata nel 1665 Wallis de…nisce le
potenze con esponenti negativi o frazionari. Con un complicato processo di inn
duzione ed interpolazione passa dall’area sotto le curve y = (1 x2 ) a quella
p
n=2
sotto le curve y = (1 x2 ) ed esprime l’area del semicerchio y = 1 x2 sotto
forma di prodotto in…nito,
2 2 4 4
2
1 3 3 5
ottenendo anche le approssimazioni
6
5
=
42
6
7
8
7
8
9
:::
;
:::
8
4
3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13
>
>
>
<
>
<
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14
r
r
>
>
>
4
3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13
>
: >
2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14
1+
1
;
13
1+
1
:
14
Le aree sotto le curve
n=2
y = (1 x2 )
ed il
prodotto in…nito di Wallis.
Z
+1
Z
1
(1 x ) dx =
;
2
Z +1 1
1 3
3=2
(1 x2 ) dx =
;
2 4
Z +1 1
1 3 5
5=2
;
(1 x2 ) dx =
2 4 6
1
Z
+1
(1
lim
n!+1
n+1=2
x2 )
dx
1
Z
= 1;
+1
(1
+1
2
1
x2 ) dx = 2;
3
Z +1 1
2
4
2
(1 x2 ) dx =
2;
3 5
Z +1 1
2 4 6
3
(1 x2 ) dx =
2; :::
3 5 7
1
2 1=2
2
x2 )n dx
=
2
1
(1
2
3
4
3
4
5
6
5
6
7
:::
:
:::
1
Dopo il cerchio x2 + y 2 = 1, Wallis a¤ronta l’iperbole x2 y 2 = 1, questa
volta senza successo. Comunica le sue scoperte a W.Brouncker (1620-1684), il
primo presidente della Royal Society, che riesce a calcolare l’area tra 1 e 2 sotto
l’iperbole xy = 1 sotto forma di serie 1 1=2+1=3 1=4+ ::: e riesce a trasformare
il prodotto in…nito di Wallis nello sviluppo in frazioni continue
4
12
=1+
32
2+
:
52
2 + :::
Le frazioni continue sono implicitamente contenute nell’algoritmo euclideo
per la ricerca del massimo comun divisore tra due numeri e sono introdotte nel
2+
43
”L’Algebra” da R.Bombelli (1526-1573) come ”Modo di formare il rotto nella estrattione delle radici quadrate”. Sono poi esplicitamente de…nite, ”rotti, & rotti di
rotti...”, da P.A.Cataldi (1548-1626) nel ”Trattato del modo brevissimo di trovare
la radice quadra delli numeri, et regole da approssimarsi di continuo al vero nelle
radici de’ numeri non quadrati...”. Prima di scoprire le frazioni continue, nel
”Trattato della quadratura del cerchio” Cataldi cerca di trasformare i primi venti
decimali di in frazioni. Nella progettazione degli ingranaggi di un planetario,
Huygens utilizza le frazioni continue per approssimare i rapporti tra i periodi di
rivoluzione dei pianeti con frazioni di denominatore basso.
Lo sviluppo in frazioni continue di
p
1
:
2=1+
1
2+
1
2+
2 + :::
Se D e L sono la diagonale ed il lato di un quadrato,
D
D L
1
1
1
=1+
=1+
=1+
=1+
:
L
2L
D
D
L
L
1+
1+
D L
D L
L
Trascuriamo ancora per un momento il cerchio e l’iperbole per occuparci brevemente di qualche altra curva. Una spirale è una curva descritta in coordinate
polari da un’equazione = f (#). La prima ad essere studiata è stata la spirale di
Archimede = #, per le altre si è dovuto aspettare più di 1800 anni. Nel ”Dialogo dei massimi sistemi” Galileo Galilei, discorrendo del moto di un proiettile,
osserva che un corpo che ruota attorno ad un centro con velocità angolare uniforme
e cade verso il centro con velocità uniforme descrive una spirale di Archimede, ma
se la velocità verso il centro è uniformemente accelerata la curva descritta è differente. Galileo ritiene che sia un semicerchio, invece è ancora una spirale, # = t
2 2
e =
t2 , quindi =
# . Fermat calcola l’area spazzata da questa
spirale e ne studia altre, m = #n . Nel 1638 Cartesio, forse insoddisfatto della
teoria di Galileo e pensando che il moto dei pianeti sia provocato da immensi
vortici di etere, de…nisce una curva con la proprietà di essere tagliata con angoli
costanti da rette per l’origine, d =( d#) = , quindi log( ) = # + . È una
spirale logaritmica, che ad angoli in progressione aritmetica associa raggi in progressione geometrica. Cartesio dimostra che la lunghezza di un tratto di spirale
44
è proporzionale alla distanza dal centro ed anche Torricelli studia questa curva,
calcolandone la lunghezza e l’area spazzata dal raggio. In notazione in…nitesimale,
posteriore a Cartesio
di un tratto in…nitesimo di spirale
qe Torricelli, la lunghezza
p
= exp( # + ) è (d )2 + ( d#)2 = 1 + 2 d e un elemento in…nitesimo di
area è 2 1 2 d# = 2 1 1 d . In particolare, la lunghezza di un tratto di curva è
direttamente proporzionale all’incremento del raggio e l’area spazzata dal raggio
è proporzionale al quadrato del raggio.
Le
”Spirali in…nite”
di Torricelli.
Le tangenti ad una spirale logaritmica hanno un angolo costante con i
raggi per il polo O. Se P è un punto sulla spirale e Q l’intersezione tra la
tangente alla spirale in P e la retta per O perpendicolare al raggio OP , il
segmento P Q è lungo quanto il tratto di spirale da P ad O e l’area del
triangolo OP Q è doppia dell’area spazzata dal raggio nei suoi in…niti
avvolgimenti da P a O.
Gli indivisibili
di Cavalieri e le
”Iperboli in…nite”
di Torricelli.
Il ”solido acuto iperbolico” ottenuto ruotando l’iperbole f0 < y < 1=xg
intorno all’asintoto y = 0 può essere scomposto
negli ”indivisibili curvi”
n
o
p
2
2
formati dalle super…ci laterali dei cilindri 0 < x < t; y + z = 1=t ,
che
uguali a 2 . Da questoosegue che il solido in…nito
n sono tutte
p
x > 0; y 2 + z 2 < min f1=a; 1=xg ha volume …nito 2 =a.
Anche Newton, come Cartesio e Torricelli, all’inizio pensa che la traiettoria di
un proiettile soggetto ad una forza centripeta sia una spirale, invece R.Hooke
45
(1635-1703) avanza l’ipotesi di una traiettoria ellittica. Newton ci ripensa e
sostituendo ad una accelerazione uniforme una inversamente proporzionale al
quadrato della distanza riesce a dare ragione delle leggi di Keplero.
Una curva molto studiata è la cicloide, descritta da un punto di un cerchio che
rotola lungo una retta. Questa Elena dei matematici, bella ma fonte di dispute,
suscita l’interesse di Nicola da Cusa e poi di Galileo Galilei, G.P.Robenval (16021675), B.Pascal (1623-1662), C.Wren (1632-1723), Fermat, Cartesio, Torricelli,
Huygens, Wallis, Leibniz, Newton, dell’intera famiglia Bernoulli e di tanti altri.
Galileo Galilei
e la cicloide.
”Quella linea arcuata sono più di cinquant’anni che mi venne in mente il
descriverla, e l’ammirai per una curvità graziosissima per adattarla agli
archi di un ponte. Feci sopra di essa e sopra lo spazio da lei e dalla sua
corda compreso diversi tentativi per dimostrarne qualche passione, e
parve da principio che tale spazio potesse essere triplo del cerchio
che lo descrive ma non fu così, benché la di¤erenza non sia molta.”
La cicloide riceve il suo nome da Galileo nel 1599. Galileo scopre che un
modello di un arco di cicloide pesa circa tre volte più del suo cerchio generatore. Conscio dei possibili errori di misura e nella costruzione dei modelli e forse
sospettoso per un numero così semplice, congettura che il rapporto tra l’area della
cicloide e del cerchio sia . Invece Robenval, e poi Cartesio, Fermat, Torricelli,
provano che l’area sotto la cicloide è proprio tre volte quella del cerchio generatore. Oltre alla quadratura, questi studiosi riescono anche a determinare le
tangenti alla cicloide. In particolare, per studiare la cicloide Robenval introduce
e studia la sua curva compagna, la sinusoide. Tiene però segrete le sue ricerche,
salvo poi accusare di plagio Torricelli quando questi riscopre gli stessi risultati.
Cartesio giudica il risultato di Robenval ”bello, uno che non avevo ancora notato,
ma che non avrebbe causato di¢ coltà ad un geometra di media abilità” e rende
pubblica la sua soluzione solo ”per far vedere a quelli che fanno troppo rumore
che questa è molto facile”. Wren, architetto della cattedrale di S.Paolo a Londra,
46
prova che la lunghezza dell’arco di cicloide è otto volte il raggio del cerchio generatore. Infatti, la cicloide Zdi equazioni x = # sin(#) e y = 1 cos(#) ha area
Z
2
2 p
ydx = 3 e lunghezza
dx2 + dy 2 = 8. Pascal trova molte altre propri0
0
età di questa curva, che lo distraggono dall’insonnia e dal mal di denti. O¤re poi
premi in denaro per la soluzione di problemi su aree e centri di gravità di parti di
cicloide sopra segmenti paralleli alla base e su volumi e centri di gravità dei solidi
di rotazione generati da queste parti. Wallis ottiene solo soluzioni parziali ma
niente soldi. Huygens scopre che l’evoluta di una cicloide è ancora una cicloide
e scopre anche l’isocronia delle oscillazioni su un arco di cicloide, poi progetta
e costruisce a partire dal 1657 orologi a pendolo cicloidali. Pubblica in…ne nel
1673 le sue scoperte di dinamica nel trattato ”Horologium oscillatorium”. Mentre
gli orologi con bilanciere a verga prima di Huygens hanno una imprecisione di
qualche minuto al giorno, gli orologi di Huygens, i primi orologi a pendolo, hanno
una imprecisione di qualche secondo al giorno. Si studiano anche cicloidi accorciate o allungate, descritte da un punto interno o esterno ad un cerchio che rotola
lungo una retta. Robenval ne trova l’area e Pascal osserva che la loro lunghezza
dipende da quella delle ellissi. Newton utilizza queste cicloidi per ”trovare ad un
dato tempo la posizione di un corpo che si muove lungo una ellisse”, cioè risolvere
l’equazione di Keplero t = A# B sin(#).
Cicloidi accorciate e allungate
x = r# d sin(#);
y = r d cos(#):
Invece di rotolare lungo una retta il cerchio può anche rotolare lungo un’altra
curva. Per esempio, il moto dei pianeti intorno alla Terra è composizione di moti
quasi circolari uniformi. Se al moto del Pianeta intorno al Sole si somma il moto
del Sole intorno alla Terra, con raggi delle orbite A e B e periodi di rivoluzione
2 = e2 = ,
P
T = (P
S) + (S
T ) = A exp (i t) + B exp (i t) :
47
Gli epicicli di Tolomeo sono i progenitori delle serie di J.Fourier (1768-1830).
Le orbite della Terra, eccentricità 1/60, e di Venere, eccentricità 1/150, sono
praticamente circolari ed i conti tornano. Al contrario, l’eccentricità dell’orbita di
Marte è 1/11 e per vincere la sua ”guerra contro Marte” Keplero deve cambiare
sistema.
Le orbite dei pianeti intorno alla Terra secondo Tolomeo.
L’anno venusiano è 0,61 volte
il terrestre e la distanza media
di Venere dal Sole è 0,72 volte la
distanza del Sole dalla Terra.
L’anno marziano è 1,88 volte
il terrestre e la distanza media
di Marte dal Sole è 1,52 volte la
distanza del Sole dalla Terra.
Torniamo alle curve algebriche. Cartesio e Fermat sanno che un’equazione di
primo grado in (x; y) rappresenta una retta ed una di secondo grado una conica.
Sanno anche che con opportune traslazioni e rotazioni degli assi queste equazioni si
posso portare a delle forme canoniche, y = ax2 è una parabola, (x=a)2 +(y=b)2 = 1
un’ellisse e (x=a)2 (y=b)2 = 1 un’iperbole. Nella ”Classi…cazione delle curve del
terz’ordine” Newton asserisce che tutte le curve piane di terzo grado si possono
ricondurre con appropriate scelte degli assi a quattro forme canoniche:
xy 2 + ey = ax3 + bx2 + cx + d;
xy = ax3 + bx2 + cx + d;
y 2 = ax3 + bx2 + cx + d;
y = ax3 + bx2 + cx + d:
A seconda degli zeri del polinomio di destra, Newton trova 72 tipi di cubiche.
Nel 1717 J.Stirling (1692-1770) trova quattro nuove cubiche ed il catalogo viene
completato nel 1740 con l’aggiunta di altre due cubiche. Newton asserisce anche che tutte queste curve si possono ottenere da y 2 = ax3 + bx2 + cx + d per
mezzo di opportune proiezioni. Nel 1657 W.Neil (1637-1670), smentendo il dogma
48
cartesiano sull’impossibilità di retti…care esattamente delle linee curve, retti…ca
la parabola
y 2 = ax3 dall’origine a
Z x semicubica. La lunghezza
Z x dell’arco di curvaq
p
p
(x; y) è
1 + (dy=dx)2 dx =
1 + 9ax=4dx =
(4 + 9ax)3 8 =27a.
0
0
Di fatto, tutte le lunghezze delle parabole generalizzate y 2n = ax2n+1 sono calcolabili algebricamente. Nel 1658 Huygens e Wallis dimostrano che l’area tra la
cissoide di Diocle e l’asintoto è tre volte l’area del Zcerchio generatore, l’area tra
ap
p
3
la cissoide y =
(a x) =x e l’asintoto x = 0 è 2
(a x)3 =xdx = 3 a2 =4.
0
Poi Newton dimostra che anche la lunghezza di un arco di cissoide si può calcolare in modo elementare. Un’altra cubica la cui quadratura è riconducibile a
quella del cerchio è la ”versaria” o ”curva con seno verso”, che si incontra in
Fermat, Huygens, G.Grandi (1671-1742) e nelle ”Instituzioni analitiche ad uso
della gioventù italiana di D.na MariapGaetana Agnesi Milanese...”, pubblicate
nel 1748. Si tratta della curva y = a (a x)=x, cioè x = a3 = (a2 + y 2 ). L’area
Z +1
1
tra la versiera e l’asintoto è
a3 (a2 + y 2 ) dy = a2 .
1
”Instituzioni analitiche
ad uso della gioventù italiana
di D.na Maria Gaetana Agnesi Milanese...”
”Dato il semicircolo ADC del diametro AC;
si ricerca fuori di esso il punto M tale, che
condotta M B normale al diametro AC, che
taglierà il circolo in D, sia AB, BD :: AC
alla BM , e perché in…niti sono i punti M ,
che soddisfano al problema, se ne dimanda
il luogo.
Sia M uno di questi punti, e chiamata
AC = a, AB = x, BM = y, sarà, per
p
la proprietà del circolo, BD = ax
p xx, e per la condizione del
p problema,
sarà AB; BDp:: AC; BM
p , cioè x; ax xx :: a; y; e però y = a ax xx=x,
o sia y = a a x= x, equazione alla curva da descriversi, che dicesi la
Versiera.”
Le quadrature dell’ellisse, della cicloide, della versiera e di molte altre curve si
riconducono dunque a quella del cerchio, ma questo sembra resistere imperterrito
49
ad ogni tentativo di quadratura elementare.
I …ori geometrici di G.Grandi,
= sin (k#) :
”La rodonea è generata da un duplice movimento, uno di un raggio che
ruota con moto circolare intorno al centro, l’altro di un punto che si muove
su e giù su questo raggio, sollecitato da una forza armonica uguale al seno
di un angolo in un dato rapporto …sso con l’angolo descritto dal raggio.”
”L’area di una foglia di rodonea = sin (#a=b) sta al quadrante di
cerchio come b sta ad a.”
L’ANALISI.
”Ci sono 7 case e in ogni casa 7 gatti, ogni gatto mangia 7 topi, ogni topo ha
mangiato 7 chicchi di grano ed ogni chicco avrebbe prodotto 7 misure di grano.
Quant’è il totale? 7 case + 49 gatti + 343 topi + 2401 chicchi di grano + 16807
misure di grano = 19607.”
Nel papiro copiato dello scriba Ahmes c’è 2301 invece di 2401, ma noi ci siamo
permessi di correggere l’errore. Questo è comunque uno dei primi esempi di somma
di una progressione geometrica. Nel IX libro degli ”Elementi” di Euclide si trova
la seguente proposizione:
”Dati quanti si voglia numeri in proporzione continua, la di¤erenza fra il secondo e il primo sta al primo come la di¤erenza tra l’ultimo e il primo sta alla
somma di tutti i termini che precedono l’ultimo.”
Cioè, data la progressione geometrica a, ax, ax2 ,..., axn , si ha
axn a
:
a
a + ax + ax2 + ::: + axn 1
La dimostrazione di Euclide, basata sulla teoria delle proporzioni, può essere
sostituita da una veri…ca diretta:
ax
(1
x) 1 + x + ::: + xn
a
1
=
= 1 + x + ::: + xn
50
1
x + ::: + xn
1
+ xn = 1 xn :
Quindi, per ogni x 6= 1 si ha
n 1
X
xk = (1
xn ) = (1
x) e, come osservato
k=0
da Viète, se jxj < 1 e n ! +1 si ottiene
+1
X
xk = 1= (1
x). Questa serie
k=0
geometrica è la capostipite di una lunga dinastia. In particolare, Gregorio di
San Vincenzo propone una soluzione dei paradossi di Zenone di Elea (V secolo
a.C.) sommando delle serie geometriche e calcola l’istante esatto in cui il pie’
veloce Achille raggiunge e sorpassa la tartaruga. Secondo Zenone non può esistere
movimento perché per passare da un punto iniziale ad uno …nale si deve prima
passare per il punto medio e, anche ammesso che ci arrivi, si deve poi passare
per il punto medio del rimanente, e così via ad in…nitum. Per Aristotele non ha
senso dividere inde…nitivamente lo spazio e il tempo, per Gregorio, se ha senso
una divisione in…nita deve avere anche senso una somma in…nita. Se la distanza
iniziale è 1, la metà è 1/2, la metà della metà 1/4, la metà della metà della metà
1/8 e, sommando la serie geometrica, 1=2 + 1=4 + 1=8 + ::: = 1. Nell’opera di
Gregorio di San Vincenzo si trova anche una delle prime de…nizioni limite e di
serie.
Nel 1668 N.Mercatore (1620-1687) pubblica lo sviluppo in serie del logaritmo,
log(1 + x) = x
x2 =2 + x3 =3
x4 =4 + ::::
Queste serie di potenze sono fondamentali nell’opera matematica di Newton. ”Applicando all’algebra la dottrina delle frazioni decimali,... ed osservando
l’analogia tra numeri decimali e termini algebrici continuati all’in…nito...”, intuisce che, come i numeri possono essere sviluppati in somme di potenze di 10, così
le funzioni possono essere sviluppate in somme di potenze delle variabili. Negli
anni 1665 e 1666, tornato a casa dall’università di Cambridge chiusa per peste,
scopre la formula delle potenze di un binomio:
”Le estrazioni di radici possono essere molto abbreviate dal seguente teorema:
(P + P Q)m=n = P m=n +
m
m n
m 2n
m 3n
AQ +
BQ +
CQ +
CQ + etc:
n
2n
3n
4n
P + P Q è la quantità di cui si deve ricercare la radice... P indica il primo termine di tale quantità, Q i rimanenti termini divisi per il primo, m=n l’indice numerico della potenza di P +P Q... il termine A è P m=n , il termine B è (m=n)AQ,
e cosí per gli altri termini.”
51
Newton scopre questa formula ispirato dalle ricerche di Wallis sulle aree sotto
n=2
le curve y = (1 x2 ) , estendendo all’indietro il triangolo aritmetico di Pascal
e riempiendo gli spazi tra le righe,
:::
:::
:::
:::
:::
1
2
3
4
:::
1
3=2
15=8
35=16
:::
1
1
1
1
:::
1
1
1=2 0
3=8
0
5=16 0
:::
:::
1
1
1=2
1
1=8 0
1=16 0
:::
:::
1
1
1
1
3=2
2 5=2 3
3=8
1 15=8 3
1=16 0 5=16 1
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
I numeri in colonna sono i coe¢ cienti di xn nello sviluppo del binomio (1+x) ,
1)(
2) 3
x + ::::
1
1 2
1 2 3
Newton non ha una dimostrazione rigorosa della sua formula, ma si limita a
veri…carne la validità per esponenti razionali positivi e negativi, con delle divisioni
ed estrazioni di radice. Forse le prime dimostrazioni ”rigorose” della formula
del binomio per esponenti qualsiasi sono dovute a A.L.Cauchy (1789-1857) e a
N.H.Abel (1802-1829). Comunque, dalla serie binomiale Newton ricava parecchi
altri sviluppi in serie. Integrando termine a termine una serie geometrica (1 +
x) 1 = 1 x+x2 :::, Newton ottiene l’area sotto l’iperbole z = x x2 =2+x3 =3 :::.
Ponendo poi x = az + bz 2 + cz 3 + ::: ed uguagliando le potenze di z dello stesso
grado,
(1 + x) = 1 +
x+
(
1)
x2 +
(
2
3
z = (az + bz 2 + cz 3 + :::) (az + bz 2 + cz 3 + :::) =2 + (az + bz 2 + cz 3 + :::) =3
= az + (b a2 =2) z 2 + (c ab + a3 =3) cz 3 + :::;
:::
ricava i primi termini dello sviluppo della funzione inversa x = z + z 2 =2 + z 3 =6 + :::
ed indovina lo sviluppo completo. In modo simile, integrando termine a termine
lo sviluppo in serie della funzione (1 x2 ) 1=2 , ottiene la lunghezza di un arco di
cerchio e quindi l’arco seno, poi per inversione ricava lo sviluppo di seno e coseno,
cos(x) = 1
x2 =2! + x4 =4!
x6 =6! + :::;
52
sin(x) = x
x3 =3! + x5 =5!
x7 =7! + ::::
La serie dell’arco seno,
del seno e coseno di
Newton.
p
Nel semicerchio y = 1 x2 , il triangolo con lati pfx; y; 1g è simile al
triangolo fdy; dx; dsg , in particolare ds=dx = 1=Z 1 x2 . Sviluppando
x
1=2
in serie ed integrando si ottiene arcsin(x) =
(1 t2 )
dt
0
Z x
1
1 3 4 1 3 5 6 1 3 5 7 8
t +
t +
t + ::: dt
=
1 + t2 +
2
2 4
2 4 6
2 4 6 8
0
1 3
1 3 4
1 3 5 7
1 3 5 7 9
=x+
x +
x +
x +
x + :::
2 3
2 4 5
2 4 6 7
2
4
6
8
9
Risolvendo poi rispetto a z l’equazione z = x + x3 =6 + 3x5 =40 + :::, si ottiene
sin(z) = z x3 =3! + x5 =5! ::: e similmente cos(z) = 1 x2 =2! + x4 =4! :::.
Nel ”Metodo delle ‡ussioni e serie in…nite”, terminato nel 1671 ma pubblicato
solo nel 1736, Newton sviluppa un calcolo per somme, sottrazioni, moltiplicazioni,
divisioni, estrazioni di radici per serie in…nite e dedica due corti paragra… alla
quadratura dell’iperbole e del cerchio.
”Data la quantità aa + xx, si può estrarne la radice quadrata in questo modo,
p
x2
x4
x6
+
:::
2a 8a3 16a5
Dato un semicerchio di diametro a, denotati con x l’ascissa ed y l’ordinata si
ha
p
aa + xx = a +
xp
x2 p
x3 p
ax
ax
ax :::
2a
8a2
16a3
p
Data un’iperbole di equazione x + xx = z, l’area sottesa risulta uguale a
y=
ax
xx =
p
ax
2 3=2 1 5=2
x + x
3
5
1 7=2
1
5 11=2
x + x9=2
x
:::
28
72
704
p
Dato il cerchio di equazione x xx = z, l’area sottesa risulta uguale a
2 3=2
x
3
1 5=2
x
5
1 7=2
x
28
53
1 9=2
x
72
:::
L’area del cerchio di¤erisce dall’area dell’iperbole solo per i segni ... Benché
queste aree non siano comparabili geometricamente, si possono trovare con lo
stesso calcolo aritmetico.”
La quadratura
del cerchio
p
y = x x2 di Newton.
p
Z 1=4
p
3
=
+
x x2 dx
24
32
0
p
Z 1=4
3
1 3=2 1 5=2
1 7=2
=
+
x1=2
x
x
x
::: dx
32
2
8
16
0
p
3 2 1 3=2 1 1 5=2
1 1 7=2
1 1 9=2
=
+ ( )
( )
( )
( ) + :::
32p 3 4
5 4
28 4
72 4
3 3
1
1
1
1
=
+ 24
+ ::: :
4
3 22 5 25 7 29 9 212
p
Integrando 22 termini dello sviluppo in serie di y = x x2 tra 0 e 1/4
Newton ottiene = 3; 1415926535897928:::, gli ultimi due decimali sono errati.
Similmente, sviluppando in serie l’area iperbolica calcola i logaritmi
(log (1 + 1=10) log (1 1=10)) =2 = 1=10 + (1=10)3 =3 + (1=10)5 =5 + :::;
(log (1 + 1=10) + log (1 1=10)) =2 = (1=10)2 =2 + (1=10)4 =4 + (1=10)6 =6 + ::::
Da cui ricava log (0; 9) = 0; 1053605156577::: e log (1; 1) = 0; 0953101798043:::.
Poi calcola log (0; 8) = 0; 2231435513142::: e log (1; 2) = 0; 1823215567939::: e ricava
1; 2
= 2 log (1; 2) log (0; 8) log (0; 9) = 0; 6931471805597:::;
0; 9
2 2 2
log(10) = log
= 3 log (2) log (0; 8) = 2; 3025850929933::::
0; 8
log(2) = log
1; 2
0; 8
Ed ancora log(9) = log(0; 9)+log(10) e log(11) = log(1; 1)+log(10), ottenendo
quindi i logaritmi dei numeri primi 2, 3, 5, 11. Similmente, calcola i logaritmi di
54
altri numeri primi da cui si possono dedurre con somme i logaritmi di numeri
composti. Più tardi scrive: ”Ho vergogna di confessare …no a quante cifre ho
portato avanti questi calcoli, non avendo a quel tempo nient’altro da fare. Allora
mi compiacevo troppo in queste ricerche”. Infatti dal 1665 al 1666 Newton si trova
a casa in campagna, perché l’università di Cambridge è stata chiusa per peste.
Nei ”Principi matematici della …loso…a naturale”, pubblicati nel 1687, Newton
deduce le leggi di Keplero dalla legge di gravitazione universale. L’orbita di un
pianeta intorno al sole è ellittica con il sole in un fuoco e l’area spazzata dal raggio
vettore dal sole al pianeta è proporzionale al tempo impiegato a percorrerla. Nel
Lemma XXVIII dimostra che quest’area non è una funzione algebrica del tempo.
”Non esiste alcuna …gura ovale la cui area, tagliata da rette tracciate a piacere, possa in generale trovarsi mediante equazioni …nite per numero di termini
e di dimensioni. All’interno dell’ovale si prenda un punto intorno al quale, come
ad un polo, si ruoti con moto uniforme una linea retta e su questa retta un punto
mobile esca dal polo e prosegua con velocità proporzionale al quadrato della parte
di retta nell’ovale. In tal modo il punto descriverà una spirale con in…niti avvolgimenti. Se una porzione dell’area dell’ovale tagliata dalla retta si potesse trovare
mediante un’equazione …nita, con la stessa equazione si troverebbe anche la distanza del punto dal polo, distanza che è proporzionale all’area, e perciò tutti i
punti della spirale potrebbero essere trovati mediante un’equazione …nita. Ma ogni
retta inde…nitamente prolungata taglia la spirale in un numero in…nito di punti e
l’equazione con la quale si trova l’intersezione tra due linee esibisce le intersezioni
come radici, perciò arriva a tante dimensioni quante sono le intersezioni... Quindi
le in…nite intersezioni di una retta con una spirale richiedono equazioni con un
numero in…nito di dimensioni... Analogamente, se l’intervallo tra il polo ed il
punto che descrive la spirale è preso proporzionale al perimetro dell’ovale tagliato,
si può dimostrare che la lunghezza del perimetro non può essere in generale esibita mediante un’equazione …nita... Di conseguenza, l’area dell’ellisse, che è descritta mediante un raggio condotto dal fuoco verso il corpo mobile, non può essere
espressa a partire dal tempo per mezzo di un’equazione …nita, e perciò non può
essere determinata mediante la descrizione di curve geometricamente razionali.”
Leibniz commenta: ”L’impossibilità di integrare una generica parte di cerchio o ellisse mi pare su¢ cientemente dimostrata, ma non ho ancora visto una
dimostrazione della non integrabilità dell’intero cerchio o di una sua parte determinata”. Invece Huygens osserva perplesso che il risultato non si applica a
55
delle semplici curve quali un triangolo o un quadrato, o ad una curva a forma di
otto come la parabola virtuale di Gregorio di Z
S.Vincenzo y 2 = x2 x4 . Infatti
p
3=2
l’area sotto questa curva è data dall’integrale
x2 x4 dx = (1 x2 ) =3.
Visti i dubbi di un così autorevole esperto, ripetiamo l’argomentazione di Newton.
Gli ovali considerati sono curve analitiche chiuse e convesse senza punti singolari.
L’area A(#) spazzata da una semiretta che ruota attorno ad un punto interno alla
curva è una funzione analitica dell’angolo di rotazione #, ma non è una funzione
algebrica dei coseni direttori della semiretta, cioè non esiste un polinomio in tre
variabili P (x; y; z) con P (cos(#); sin(#); A(#)) = 0 per ogni #. Denotiamo infatti
con z1 (#), z2 (#), z3 (#),..., zn (#) le radici di un polinomio P (cos(#); sin(#); z) di
grado n nella variabile z. Se A(#), che è una funzione analitica, è radice del
polinomio anche solo per un piccolo intervallo di valori di #, per il principio di
identità delle funzioni analitiche quest’area è radice del polinomio per ogni valore
di #. Se A(#) = z1 (#) per # vicino a zero, dopo un giro l’area aumenta di una
quantità uguale all’area totale nella curva e si trasforma in una seconda radice
z2 (#) diversa dalla prima, dopo due giri in una terza radice z3 (#) diversa dalle
due precedenti,..., e dopo n giri si raggiunge una contraddizione. L’argomento non
2
2
4
si applica alla parabola virtuale di Gregorio di S.Vincenzo
Z y = x x , che ha un
punto doppio nell’origine, perché l’integrale dell’area ydx prolungato analiticamente lungo un giro di curva è zero. Un altro esempio di curva a cui l’argomento
non si applica è la foglia di Cartesio x3 xy + y 3 = 0, che ha un punto doppio
nell’origine e due rami che vanno all’in…nito. Intersecando la curva con un fascio
di rette per il punto doppio y = tx si ottiene la rappresentazione parametrica
(x; y) = (t= (t3 + 1) ; t2 (t3 + 1)), che permette di calcolare algebricamente l’area,
Z
Z
t2 d
t
4t3 + 1
dt
=
:
ydx =
t3 + 1 dt t3 + 1
6 (t + 1)2 (t2 t + 1)2
Quindi, per il lemma di Newton è impossibile
quadrare algebricamente un
Z
p
generico spicchio di cerchio, cioè l’integrale
1 x2 dx de…nisce una funzione
trascendente. Al contrario, come mostrato da Archimede, il volume di un segmento sferico è una funzione algebrica della distanza tra il piano che taglia il segmento
di sfera ed il centro della sfera. Infatti, questo volume dipende dall’integrale
Z
(1 x2 ) dx.
56
L’area di un segmento
di cerchio nella
”Metrica” di Erone.
Se la base b è molto più grande dell’altezza a, il segmento di cerchio
può essere approssimato con una parabola di area 2ab=3. Se la base è
comparabile all’altezza, si può approssimare l’area del segmento di
cerchio con a (a + b)=2 + (b=2)2 =14. Per l’area di un semicerchio di
raggio R si ottiene la stima di Archimede 22=14R2 .
Anche Gregory cerca di dimostrare che la lunghezza della circonferenza non è
una funzione algebrica del raggio e nella ”Vera quadratura del cerchio e dell’iperbole”
del 1667 trova un algoritmo per calcolare in modo archimedeo l’area di un settore
di ellisse o iperbole. Dati due punti A e B su una conica di centro O, si denota
con x0 l’area del triangolo OAB e y0 l’area del quadrilatero con lati OA, OB, e
le due tangenti alla conica per A e B. Poi si de…niscono ricorsivamente
2xn+1 yn
:
xn+1 + yn
Queste medie armonico geometriche convergono all’area del settore di conica
individuato dai punti OAB ed opportune combinazioni di xn e yn aumentano la
velocità di convergenza. Nel caso di un cerchio l’area è un arco tangente e nel caso
di un’iperbole l’area è un logaritmo, uno stesso processo analitico può generare
sia funzioni trigonometriche che logaritmi. In una lettera del 15 Febbraio 1671 a
J.Collins, che gli ha fatto conoscere le ricerche di Newton, Gregory scrive:
xn+1 =
p
xn yn ;
yn+1 =
”Sia il raggio = r, l’arco = a, la tangente = t, la secante = s, allora”
t3
t5
t7
t9
a=t
+
+
etc:::
6
3r2 5 5r4 7r
9r8 9
3
7
a
2a
17a
3233a
t=a+ 2 +
+
+
etc:::
8
3r 2 15r44 315r66 181440r
a
5a
61a
277a8
s=r+
+
+
+
etc:::
2r 24r3 720r5 8064r7
Il coe¢ ciente di nono grado nello sviluppo della tangente non è corretto. La
serie dell’arco tangente si trova anche in una lettera di Leibniz del 27 Agosto 1676
57
e in precedenti corrispondenze di questi con Huygens, ma viene pubblicata senza
dimostrazione solo nel 1682 negli ”Acta eruditorum”.
”La quadratura aritmetica del cerchio è contenuta nel seguente teorema: Essendo il raggio unitario e t la tangente di un arco, la grandezza dell’arco sarà
t=1 t3 =3 + t5 =5 t7 =7 + t9 =9 etc. Trovati gli archi, è facile trovare gli spazi, ed un
corollario del teorema è che se il diametro e il suo quadrato sono uno, il cerchio è
1=1 1=3 + 1=5 1=7 + 1=9 etc.”
La quadratura è aritmetica perché utilizza solo i numeri interi e le quattro
operazioni elementari. Alla formula =4 = 1 1=3 + 1=5 1=7 + ::: Leibniz
aggiunge il commento: ”Dio ama i numeri dispari”. Nel 1684 Leibniz pubblica
un ”Nuovo metodo per i massimi e minimi e per le tangenti, che non si arresta
di fronte a quantità frazionarie o irrazionali, ed un singolare genere di calcolo per
questi problemi”. In questa memoria si de…niscono i di¤erenziali dy e dx come dei
segmenti il cui rapporto dy=dx è uguale al rapporto tra ordinata e sottotangente,
cioè il coe¢ ciente angolare della retta tangente, e si enunciano le regole del calcolo
con queste quantità.
”Siano date più curve con ordinate v, w, y, z,... ed ascissa x... Preso un
segmento arbitrario dx, siano dv, dw, dy, dz,... dei segmenti che stanno a dx
come le ordinate stanno alle sottotangenti... Ciò posto, le regole del calcolo sono
queste:
Se a è una quantità costante, si ha da = 0 e dax = adx...
Somme e Sottrazioni: Se v = z y + w + x, si ha dv = dz dy + dw + dx...
Moltiplicazioni: Se y = xv, si ha dy = xdv + vdx...
2
Divisioni: Se z = v=y, si ha dz = ( ydv vdy) =y
...
p
p
b
b
a
a 1
a
Potenze: dx = ax dx... Radici: d x = (a=b) xa b dx...
Poiché le ordinate v a volte crescono ed altre volte decrescono, dv è positivo o negativo... E quando le ordinate v non crescono né decrescono ma sono
stazionarie, dv = 0... Se crescendo le ordinate v crescono anche gli incrementi o
di¤erenziali dv, se cioè le di¤erenze delle di¤erenze ddv sono positive, la curva
volge all’asse la sua concavità, o nel caso contrario la sua convessità... Si trova
quindi un punto di ‡esso quando ddv = 0... Dalla conoscenza di questo algoritmo,
o di questo calcolo che io chiamo di¤erenziale, si possono ricavare tutte le altre
equazioni di¤erenziali per mezzo del calcolo comune, ed ottenere i massimi e minimi e le tangenti... La dimostrazione di tutte le regole esposte è facile per chi è
58
versato in questi studi. Una sola cosa non è stata …n qui enfatizzata a su¢ cienza,
cioè che si possono prendere dx, dy, dv, dw, dz proporzionali alle di¤erenze o
incrementi o diminuzioni istantanee di x, y, v, w, z,...”
Non essendoci ancora una esatta convenzione sull’uso dei segni in geometria
analitica, Leibniz spiega come scegliere i ”segni ambigui in d(v=y) = (qydv vdy) =y 2 ”.
p
Poi Leibniz prosegue trovando il minimo della funzione h a2 + x2 +k b2 + (c x)2 ,
problema già risolto da Fermat nello studio della rifrazione della luce. A questo
proposito Fermat osserva: ”La natura sceglie sempre la via più breve”. In…ne
Leibniz risolvere l’equazione di¤erenziale dy=dx = y=m e dimostra che una curva
con sottotangente costante è logaritmica. Anche questo è un problema già risolto
da Torricelli.
Il problema di de Beaune sulla
curva con sottotangente costante
e la soluzione di Leibniz.
”Si tratta di trovare una curva Y Y tale che, condotta all’asse una tangente
Y C, la sottotangente XC sia uguale ad un segmento costante a. Ora XY ,
cioè y, sta a XC, cioè a, come dy sta a dx. Se dunque dx, che si può
prendere ad arbitrio, si assume costante uguale a b, allora y = (a=b)dy,
per cui le ordinate y risultano proporzionali alle loro stesse di¤erenze o
incrementi, cioè se le x formano una progressione aritmetica, allora le y
formano una progressione geometrica. In altre parole, se y sono i numeri,
allora x sono i logaritmi, la linea è logaritmica.”
A poco a poco i rapporti tra isola e continente cominciano a guastarsi e scoppiano delle polemiche con accuse incrociate di plagio sulla priorità dell’invenzione
del calcolo, con le parti in causa e gli amici delle parti in causa che danno il meglio
di se. Newton osserva che le serie di Gregory e Leibniz sono casi particolari di
risultati più generali di cui è in possesso:
”Io sono capace di comparare geometricamente alle sezioni coniche tutte le
curve con ordinate
59
p
d e + f xn + gx2n
dx2n 1
dxn 1
; :::
; :::
; :::
e + f xn + gx2n
e + f xpn + gx2n
x
r
e + f xn
dxn 1
dxn 1 e + f xn
n 1
p
; :::
:::
; ::: dx
g + hxn
g + hxn
e + f xn + gx2n
qualunque sia n, intero o frazionario, positivo o negativo... Questi risultati generano delle serie in più di un modo. Nel primo esempio, se n = 1 e f = 0 si
ottiene d= (e + gx2 ), da cui proviene la serie che mi è stata comunicata. Similmente, se n = 1 e 2eg = f 2 , per la lunghezza di un quarto di cerchio con corda
uno si ottiene la serie 1 + 1=3 1=5 1=7 + 1=9 + 1=11 1=13 1=15 + :::
Comunque, queste proposizioni mi sembrano più belle che utili e tutti questi problemi possono esser risolti con minor fatica... Per ottenere archi di cerchio, o
settori di sezioni coniche, io preferisco le serie di seni. Infatti, se si volesse
calcolare la lunghezza di un quadrante con 20 decimali per mezzo della serie
1+1=3 1=5 1=7+1=9+1=11 1=13 1=15+:::, occorrerebbero circa 5000000000
termini e sarebbero appena su¢ cienti mille anni. Il calcolo con la serie della
tangente di 45 gradi sarebbe ancora piùp
lento. Invece, con il seno di 45 gradi
basterebbero 50 o 60 termini della serie 1=2 (1 + 1=12 + 3=160 + 5=896 + :::) e
penso che questo calcolo dovrebbe richiedere solo tre o quattro giorni.”
Per calcolare 1 + 1=3 1=5
trasformare la serie in integrale,
1=7 + 1=9 + 1=11
1=13
1=15 + ::: si può
1 + 1=3 1=5 1=7 + 1=9 + 1=11 1=13 1=15 + :::
Z 1
=
(1 + x2 x4 x6 + x8 + x10 x12 x14 + :::) dx
Z 01
Z 1
1 + x2
2
4
8
12
=
(1 + x ) (1 x + x
x + :::) dx =
dx
4
0
0 1+x
Z 1
Z 1
1=2
1=2
p
p
=
dx +
dx
2
2
1
2x
+
x
1
+
2x
+
x
0
0
p
p
p 1
p
= arctan 2x 1 + arctan 2x + 1 = 2 0 = = 2 2 :
Nell’ultima uguaglianza si è utilizzata la formula arctan (x) + arctan (1=x) =
=2. Raggruppando i termini 1 + (1=3 1=5) (1=7 1=9) + (1=11 1=13) ::: si
ottiene una serie a segni alterni con termini 1=(4k 1) p
1=(4k +1) = 2= (16k 2 1)
20
10
e questi termini sono minori di 10
solo per k > 10 = 8. Questo sono i termini
da sommare per ottenere circa 20 decimali.
60
Sia la serie dell’arco tangente di Leibniz e di Gregory che le serie di Newton
sono casi particolari della formula di B.Taylor (1685-1731) apparsa nel 1715 sul
”Medodo diretto ed inverso degli incrementi” ed ancora nel 1742 sul ”Trattato
sulle ‡ussioni” di C.MacLaurin (1698-1746),
f (x) =
+1 (n)
X
f (a)
n=0
n!
(x
a)n :
Taylor ottiene questo sviluppo in serie come limite di una formula di Gregory
e Newton sull’interpolazione di una funzione con polinomi. MacLaurin utilizza
invece il metodo dei coe¢ cienti indeterminati. Se f (x) = a + bx + cx2 + dx3 + :::,
ponendo x = 0 si ottiene f (0) = a. Derivando, f 0 (x) = b + 2cx + 3dx2 + :::
e ponendo x = 0 si ottiene poi f 0 (0) = b. Derivando ancora, f 00 (x) = 2c +
6dx + ::: e ponendo x = 0 si ottiene f 00 (0) = 2c.... Anche questa formula scatena
polemiche ed accuse di plagio con la famiglia Bernoulli. È comunque pericoloso
litigare sulla priorità delle proprie scoperte, infatti sia la serie dell’arco tangente
che le serie di altre funzioni trigonometriche compaiono in India già nel XV secolo,
attribuite a Madhava sono pubblicate da Nilakantha nel libro sanscrito in versi
”Tantrasangraha”:
”Prendi un arco circolare, con ascissa non inferiore all’ordinata. Moltiplica
l’ordinata per metà diametro e dividi per l’ascissa, questo è il primo termine.
Moltiplica questo termine per il quadrato dell’ordinata e dividi per il quadrato
dell’ascissa, questo è il secondo termine. Ripeti il processo di moltiplicare per
il quadrato dell’ordinata e dividere per il quadrato dell’ascissa. Ottieni quindi i
termini successivi che devi dividere per i numeri dispari 1, 3, 5,... Se si sommano
i termini di posto dispari e si sottraggono quelli di posto pari, quello che si ottiene
è la circonferenza.”
Di più, ci sono interessanti stime per l’errore di troncamento della serie,
1 1 1
+
+ :::
3 5 7
E(n) n= (4n2 + 1) ;
=4 1
E(n)
1=4n;
1
E(n) ;
2n 1
E(n) (n2 + 1) = (4n3 + 5n) :
Dieci termini della serie più l’ultima formula di correzione dell’errore danno
sei decimali corretti, mentre senza correzione l’errore è già al primo decimale.
61
Nilakantha propone anche l’approssimazione
corretti ed altre serie, tra cui
1
=3+4
= 16
33
15
1
+4
1
53
3
35
5
+
104348=33215 con nove decimali
1
73
1
7
1
1
+ 5
+ 12 5 + 20
93
75
9
+ ::: ;
1
+ ::: :
+ 28
In…ne, Nilakantha esprime seri dubbi sulla razionalità del rapporto tra circonferenza e diametro:
”Se il diametro, misurato in una qualche unità di misura, è commensurabile
con l’unità, allora la circonferenza non può essere misurata con la stessa unità e
viceversa, se è possibile misurare la circonferenza non si può misurare il diametro”.
La serie dell’arco tangente di Nilakantha.
Iscritto un quarto di cerchio di raggio uno
in un quadrato e diviso un lato del quadrato
in segmenti di lunghezza ", se si congiungono
i punti di divisione al centro del cerchio, il
k-esimo arco di cerchio risulta circa uguale
a "= (1 + ("k)2 ) ed un arco di circonferenza
con tangente x circa uguale a
x="
x="
+1 X
X
X
"
=
( )n "2n+1 k 2n
2
1
+
("k)
n=0 k=0
k=0
+1
X
( )n x2n+1
:
2n + 1
n=0
Anche se eleganti, sia il prodotto di Wallis che la serie di Leibniz non sono dei
metodi pratici per il calcolo numerico
di . Su suggerimento di E.Halley (1656p
1742), con la serie di arctan 1= 3 = =6 nel 1699 A.Sharp (1651-1742) calcola
71 decimali di . Nel 1706 J.Machin (1680-1752) osserva che
=4 = 4 arctan(1=5)
arctan(1=239)
e con le serie di arctan(1=5) e arctan(1=239) che convergono rapidamente calcola
le prime cento cifre decimali di . Sempre nel 1706 in ”Una nuova introduzione
alle matematiche” di W.Jones viene introdotta la notazione per il rapporto tra
circonferenza e diametro, mentre la notazione e per il numero con logaritmo iperbolico uguale ad uno è del 1728 e si trova nelle ”Meditazioni su recenti esperimenti
62
di spari di cannoni” di Eulero. Adottate da Eulero nella ”Introduzione all’analisi
dell’in…nito”, queste notazioni divengono poi d’uso comune.
Logaritmi ed esponenziali compaiono in modo naturale in problemi di interesse
semplice o composto. Nella ”Summa de arithmetica, geometria, proportioni et
proportionalità” di Luca Pacioli (1445-1514) si trova la seguente regola:
”A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l’anno, in quanti anni sarà
tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre
partirai per l’interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato.
Esempio: Quando l’interesse è a 6 per 100 l’anno, dico che si parta 72 per 6; ne
viene 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale.”
Con un interesse del y per cento, il tempo x in cui il capitale raddoppia è
soluzione dell’equazione esponenziale (1 + y=100)x = 2. La soluzione esatta è
x = log(2)= log(1 + y=100), ma ponendo log(1 + y=100)
y=100 si ottiene una
soluzione approssimata x
100 log(2)=y. Invece di 100 log(2) = 69; 314::: può
essere comodo usare 72 che è un numero intero con molti divisori. Questo problema riguarda il calcolo dell’interesse semplice. Nel 1690 J.Bernoulli (1654-1705)
pubblica la seguente questione sull’interesse composto:
”Se qualcuno presta i suoi soldi ad usura, con la condizione che il suo capitale
aumenti in ogni istante di una parte proporzionale all’interesse annuo, quanto
deve ricevere alla …ne dell’anno?”
Se x è l’interesse annuo, dopo un anno il capitale è moltiplicato per il fattore
limn!+1 (1 + x=n)n . Bernoulli non collega immediatamente
Z y questa espressione ai
dt
de…niscono la stessa
logaritmi, comunque questo limite e l’equazione x =
1 t Z
E(x;")
funzione y. Infatti, perturbando l’equazione si ottiene x =
t" 1 dt, da cui
1
ricava E(x; ") = (1 + "x)1=" . Osserviamo che t" 1 decresce se " decresce, quindi
E(x; ") cresce. Osserviamo in…ne che, per la formula del binomio,
lim
n! 1
x
1+
n
n
= lim
n! 1
n
X
n(n
k=0
63
1):::(n
k!nk
k + 1)
k
x =
+1 k
X
x
k=0
k!
Quindi l’integrale di Gregorio di S.Vincenzo x =
+1
X
k=0
Z
1
y
dt
, la serie di Newton
t
+1
xk =k! e la successione di Bernoulli f(1 + x=n)n gn=1 de…niscono una stessa fun-
zione y = exp(x). L’interesse è proporzionale all’integrale rispetto al tempo del
capitale. Nella serie esponenziale il termine 1 rappresenta il capitale iniziale, x
l’interesse, x2 =2 l’interesse sull’interesse,...
Un problema dei fratelli Bernoulli:
Trovare le traiettorie ortogonali alle
curve logaritmiche per un punto
dato e con un dato asintoto.
La famiglia di curve y = exp ( x) soddisfa l’equazione di¤erenziale
dy=dx = y log(y)=x, quindi la famiglia ortogonale
p soddisfa l’equazione
dy=dx = x=y log(y), con soluzioni x = y 2 =2 y 2 ln y + C.
A partire dal 1694 J.Bernoulli (1667-1748), fratello del precedente, inizia ad
interessarsi del calcolo esponenziale e, insieme agli esponenziali semplici ax , studia
anche funzioni più complicate del tipo (f (x))g(x) . In particolare, per la quadratura
della curva esponenziale y = xx sviluppa in serie xx = exp (x log(x)) = 1
x log(x) + x2 log2 (x)=2 ::: ed integra per parti i vari termini, ottenendo
Z 1
xx dx = 1 1=22 + 1=33 1=44 + :::
0
Nel 1697, de…nita la logaritmica come curva con sottotangente costante, o
come curva che a successioni aritmetiche in ascissa fa corrispondere successioni
geometriche in ordinata, de…nisce le regole del calcolo,
log (mn ) = n log (m) ;
d log (m) =
dm
;
m
d (mn ) = nmn 1 dm + mn log (m) dn:
Nel 1702 Bernoulli osserva che l’integrazione di funzioni razionali si può ridurre
all’integrazione di frazioni con denominatori semplice e genera solo funzioni razionali, logaritmi, arcotangenti.
64
”Dato il di¤erenziale pdx : q, con p e q quantità razionali di una variabile x
ed altre costanti, se ne ricerca l’integrale o come somma algebrica o lo si riduce
alla quadratura dell’iperbole o del cerchio”
Poi osserva che un di¤erenziale che dipende dalla quadratura del cerchio si può
anche scomporre in due di¤erenziali di logaritmi immaginari,
adz
1 adz
1 adz
=
+
:
2
+z
2b b + iz 2b b iz
Con la sostituzione z = ib (t 1) = (t + 1) il di¤erenziale adz= (b2 + z 2 ) si
trasforma in (ia=2b) dt=t, quindi con i numeri complessi si può esprimere l’integrale
sia come arco tangente che come logaritmo. Bernoulli comunica questa sua scoperta dell’integrazione delle funzioni razionali a Leibniz, che risponde di essere già
a conoscenza del risultato dai tempi della sua quadratura aritmetica del cerchio.
Poi dal 1702 al 1712 Bernoulli e Leibniz si interrogano, senza venirne a capo, della
possibile esistenza di logaritmi di numeri negativi o immaginari. Per Leibniz i logaritmi dei numeri negativi non esistono, perché un logaritmo positivo corrisponde
ad un numero maggiore di 1 ed un logaritmo negativo ad un numero tra 0 e 1. Per
Bernoulli log( x) = log(x), infatti 2 log( x) = log (( x)2 ) = log (x2 ) = 2 log(x).
Formule per i logaritmi di numeri complessi sono pubblicate da R.Cotes (16821716) nel 1714,
b2
log (cos(#) + i sin(#)) = i#;
ed anche G.C.de’Toschi di Fagnano (1682-1766) nel 1719 trova le formule
2i log(i) = 2i log ((1
i) = (1 + i)) = :
Nel 1714 Cotes de…nisce esplicitamente il numero e ed utilizzando la serie
di potenze dell’esponenziale ne calcola 12 cifre decimali, poi nel 1748 Eulero ne
calcola 23. Il XVIII secolo è il secolo di Eulero, è l’autore di circa un terzo delle
pubblicazioni di matematica e meccanica del secolo ed ha una parte di primo
piano anche nella storia di e di e. Nel 1736 Eulero riesce a calcolare la somma
dei reciproci dei quadrati, poi di tutte le potenze pari,
+1
X
k=1
2
k
2
=
6
;
+1
X
k=1
4
k
4
=
90
;
+1
X
k=1
65
6
k
6
=
945
;
+1
X
k=1
8
k
8
=
9450
:::
Nel 1737 Eulero scopre come trasformare delle serie in frazioni continue e
viceversa,
A
A
B=
1+
A
B+C =
;
B
A
A
B
;
B
1+
AC
B+
B C
A
A B+C D =
;
B
1+
AC
A B+
BD
B C+
C D
A
B+C D+E =
; :::
B
1+
AC
A B+
BD
B C+
CE
C D+
D E
A
A
Similmente,
1
A
1
1
+
B C
1
+ ::: =
D
1
AA
A+
B
:
BB
A+
CC
D C + :::
In particolare, le frazioni parziali dello sviluppo in frazioni continue di Lord
Brouncker coincidono con le somme parziali della serie di Gregory e Leibniz,
C
66
B+
x
x3 x5
+
3
5
x7 x9
+
7
9
x
::: =
;
x2
1+
3
9x2
x2 +
25x2
3x2 +
7 5x2 + :::
1
:
::: =
1
1+
9
2+
25
2+
2 + :::
5
4
1 1
+
3 5
=1
1 1
+
7 9
In modo empirico Eulero congettura lo sviluppo in frazioni continue di e,
e
1
1=1+
;
1
1+
1
2+
1
1+
1
1+
1
4+
1
1+
1
6 + :::
che poi dimostra utilizzando le equazioni di¤erenziali di Riccati. Da questo
sviluppo in…nito segue l’irrazionalità di e, perché lo sviluppo in frazioni continue
semplici di un numero razionale è …nito. La regolarità di questo sviluppo contrasta
con quella di = 3 + 1=(7 + 1=(15 + 1=(292 + :::))). Un altro risultato di Eulero è
1+
1
e1=q = 1 +
q
:
1
1+
1
1+
1
1+
3q
1
1+
1
1+
1
5q 1 + :::
Utilizzando la formula di A.DeMoivre (1667-1754) (cos(#) + i sin(#))n = cos(n#)+
i sin(n#), Eulero dimostra che l’equazione z n = a + ib nel campo complesso ha
1+
67
p
n radici. Se = p
a2 + b2 e se si de…nisce # in modo da avere cos(#) = a e
p
sin(#) = b, allora n a + ib = n (cos ((# + 2k ) =n) + i sin ((# + 2k ) =n)) con
k = 0; 1; :::; n 1. Eulero scopre che exp(x) = limn!+1 (1 + x=n)n e inversamente
log(y) = limn!+1 n y 1=n 1 . Poi intuisce che nel campo complesso la funzione
logaritmo ha in…niti valori, perché log(x) = limn!+1 n x1=n 1 e ci sono due
radici quadrate, tre radici cubiche,.... In…ne, studiando le equazioni di¤erenziali a
coe¢ cienti costanti, nel 1743 Eulero scopre la relazione tra funzioni esponenziali
e trigonometriche e tra i numeri 0, 1, i, e, ,
exp(ix) = cos(x) + i sin(x);
exp(i ) + 1 = 0:
Infatti le funzioni exp(ix) e cos(x) + i sin(x) soddisfano la stessa equazione
di¤erenziale d2 y=dx2 + y = 0 con condizioni iniziali y(0) = 1 e y 0 (0) = i ed hanno
lo stesso sviluppo in serie 1 + ix x2 =2 ix3 =6 + :::. Questo risolve l’enigma
dei logaritmi di numeri complessi. Se a + ib = exp(x p
+ iy), allora a = ex cos(y)
x
e b = e sin(y), la parte reale del logaritmo x = log a2 + b2 è univocamente
de…nita, mentre la parte immaginaria y = arctan(b=a) è solo de…nita a meno di
multipli di 2 , log(a + ib) = x + i(y + 2k ) con k = 0; 1; 2; :::. Le seguenti
formule si ritrovano nella ”Introduzione all’analisi dell’in…nito”:
x
ex = (1 + )i ;
i
p
p
e+vp 1 = cos :v +
1 sin :v;
p
v
1
e
= cos :vp
1 psin :v;
+v
1
e
+e v 1
cos :v =
;
2
p
p
e+v 1 e v 1
p
sin :v =
:
2
1
68
La formula di Eulero
exp(ix) = cos(x) + i sin(x):
n=2
(1 + ix=n)n ha modulo (1 + x2 =n2 ) ! 1 e argomento n arctan(x=n) ! x
se n ! +1. Quindi exp(ix) = limn!+1 (1 + ix=n)n = cos(x) + i sin(x).
La dimostrazione di Eulero è leggermente diversa. Nella formula
(cos(#) + i sin(#))n = cos(n#) + i sin(n#) pone n# = x, sostituisce
cos(x=n) 1 e sin(x=n) x=n, quindi conclude che
cos(x) + i sin(x) (1 + ix=n)n exp(ix).
J.Riccati (1676-1754) è noto per i sui studi sulle equazioni di¤erenziali. Il …glio
V.Riccati (1707-1775) nel 1757 de…nisce il coseno e seno iperbolico,
exp(x) + exp( x)
exp(x) exp( x)
;
sinh(x) =
:
2
2
Le funzioni iperboliche si possono ottenere da quelle trigonometriche per mezzo
della formula di Eulero, cosh(#) = cos(i#) e sinh(#) = i sin(i#). Come le funzioni
trigonometriche (cos(#); sin(#)) sono una parametrizzazione del cerchio x2 +y 2 = 1
ed il parametro # è il doppio dell’area del settore di cerchio con vertici (0; 0), (1; 0),
(x; y), così le funzioni iperboliche (cosh(#); sinh(#)) sono una parametrizzazione
dell’iperbole x2 y 2 = 1 e # è il doppio dell’area del settore d’iperbole (0; 0),
(1; 0), (x; y).
cosh(x) =
Le funzioni trigonometriche ed iperboliche.
y = cos(x);
y = sin(x);
y = cosh(x);
69
y = sinh(x):
Nel capitolo VIII ”Sulle quantità trascendenti che nascono dal cerchio” della
”Introduzione all’analisi dell’in…nito”, Eulero riporta le prime 127 cifre decimali
di , 112 corrette, calcolate nel 1719 da T.F.de Lagny (1660-1734). Non rilevando
alcuna periodicità in questo sviluppo, Eulero conclude: ”Se il raggio di un cerchio,
o il seno totale, è uguale a uno, è chiaro che il perimetro di questo cerchio non si
può esprimere in numeri razionali”. Poi nel 1755 scrive: ”Sembra quasi certo che
il perimetro del cerchio è una così peculiare quantità trascendente, che in nessun
modo può essere comparata con altre quantità, siano esse radici o altre quantità
trascendenti”. Basandosi sui lavori di Eulero, nel 1761 J.H.Lambert (1728-1777)
ottiene lo sviluppo in frazione continua della tangente dividendo gli sviluppi in
serie di seno e coseno,
x3 =6 + x5 =120 :::
x
=
2
2
4
1 x =2 + x4 =24 :::
x =2 + x =24 :::
1 x2 =6 + x4 =120 :::
x
x
=
=
2
4
x =3 x =30 :::
x2
1
1
3 x2 =2 + :::
1 x2 =6 + x4 =120 :::
1 x2 =10 :::
x
x
=
=
:::
2
x
x2
1
1
x2 + :::
x2
3
3
5 + :::
5 x2 =2 + :::
1 + :::
x
sin(x)
=
cos(x)
1
Quindi,
x
tan(x) =
:
x2
1
x2
3
x2
5
7 :::
Poi dimostra che se dei razionali a=b, c=d, e=f ,... sono strettamente compresi
a c e
tra 0 e 1, allora la frazione continua
::: è irrazionale. Posto infatti
b d f
a c e
X =
::: = a= (b Y ), se fosse X = A=B, con A < B interi, allora
b d f
c e
Y =
::: = (aB bA)=A sarebbe una frazione con denominatore A < B.
d f
70
Iterando un numero in…nito di volte si otterrebbe una contraddizione. Questi
risultati implicano il seguente.
”Tutte le volte che un arco di cerchio è commensurabile al raggio, la tangente
di questo arco è incommensurabile; reciprocamente, ogni tangente commensurabile
non è quella di un arco commensurabile.”
Cioè, se x è un razionale non nullo allora tan(x) non è razionale. Similmente, se
x è un razionale non nullo allora exp(x) non è razionale. In particolare exp(1) = e
non è razionale. Similmente, tan( =4) = 1, quindi anche non è razionale. Ai
suoi teoremi Lambert aggiunge un commento: ”Ho buone ragioni di dubitare che
il presente lavoro sarà letto o compreso da coloro i quali potrebbero trarne maggior
pro…tto, cioè da chi spende tempo e fatica cercando di quadrare il cerchio”. Nel
1794 A.M.Legendre (1752-1833) dimostra che anche 2 è irrazionale e si associa
a chi esprime dubbi sulla quadratura algebrica del cerchio: ”È probabile che il
numero
non sia contenuto tra le irrazionalità algebriche, cioè non sia radice
di una equazione con un numero …nito di termini con coe¢ cienti razionali. Ma
questa proposizione sembra piuttosto di¢ cile da dimostrare rigorosamente”. Nel
1770 Lambert pubblica una memoria sulla retti…cazione di curve, che estende
alcuni dei risultati di Huygens. Se una liscia curva congiunge due punti vicini
A = (0; 0) e B = ("; 0), si può scriverne l’equazione nella forma y = x (" x) '(x),
con '(x) = + x + x2 + x3 :::. Per stimare la lunghezza dell’arco di curva da
A a B, osserviamo che ordinando i termini "m xn con potenze m + n crescenti si
ha
= "
d
dy
=
(x (" x) ( + x + x2 + x3 + :::))
dx
dx
2 x + 2 "x 3 x2 + 3 "x2 4 x3 + 4 "x3 5 x4 + :::
La lunghezza dell’arco di curva ha quindi lo sviluppo in serie
Z "
Z "q
2
1 + (dy=dx) dx =
1 + (dy=dx)2 =2 (dy=dx)4 =8 + ::: dx
0
Z 0"
2 2
2
=
(1 + " =2 2 "x + 2 2 x2 + 2 "2 x 7 "x2 + 6 x3 + :::) dx
0
="+
2 3
" =6 +
71
"4 =6 + :::
La tangente alla curva in A è y = "'(0)x e quella in B è y = "'(") (" x),
l’intersezione tra queste tangenti è C = ("'(")= ('(0) + '(")) ; "2 '(0)'(")= ('(0) + '("))).
Si ha
AC =
=
"
2
+
"2 +
2 4
4
s
+2
8
2
2
"2 '(0)'(")
+
'(0) + '(")
2
4
2
+
4 2
4
"3 +
16 3
"'(")
'(0) + '(")
2
+
3
"4 + :::
Similmente si ha
BC =
=
"
2
4
"2 +
2
4
s
2
"'(0)
+
'(0) + '(")
2 + 2 3 6 4
" +
8 2
"2 '(0)'(")
'(0) + '(")
4 2 +4
16 3
2
3
"4 + :::
Una media ponderata tra le lunghezze dei segmenti inscritti AB e circoscritti
AC + BC è
2
1
AB + (AC + BC) = " +
3
3
2 3
" =6 + "4 =6 + :::
Z "q
Quindi la di¤erenza tra la lunghezza della curva
1 + (dy=dx)2 dx e 2=3AB+
0
1=3 (AC + BC) è dell’ordine di "5 . Se la curva è un cerchio, si ritrova uno dei
risultati di Huygens.
La retti…cazione
approssimata di
una curva di
Lambert.
La lunghezza di un tratto di curva può essere approssimata dalla somma
di due terzi della base più un terzo dei lati obliqui del triangolo formato
dalla corda e dalle tangenti.
Nella ”Enciclopedia metodica”, edita da D.Diderot (1713-1784) e J.R.D’Alembert
(1717-1783), alla voce ”Quadratura del cerchio” si legge:
72
”Il rapporto tra diametro e circonferenza è impossibile, perché queste due linee
sono per la loro natura intellettuale incommensurabili. La linea curva circolare non
può avere un rapporto esatto con la linea retta, per la ragione che una è curva e
l’altra è dritta, non si può applicare una misura comune all’una ed all’altra. Una
linea curva si può misurare soltanto con una curva, una retta con una retta, un
piano con un piano, un solido con un solido. Per quanto piccola sia la misura che
si utilizza per misurare prima la retta e poi la curva, questa non potrà misurarle
entrambe esattamente, la curva sarà sempre un poco più lunga della retta. Più
questa misura sarà piccola, più si avvicinerà ad una misura comune tra le due,
ma mancherà sempre qualcosa per quanto esatta possa essere la misura. Questa
è la ragione per cui ci si può avvicinare arbitrariamente al rapporto tra diametro
e circonferenza, senza però riuscire a determinarlo esattamente.”
Più avanti viene presentata una curiosa pseudo dimostrazione dell’impossibilità
di quadrare un cerchio:
”Tra tutte le …gure con lo stesso perimetro, il cerchio è quella che racchiude più
super…cie... Poiché la super…cie di un cerchio è sempre più grande di quella dei
poligoni con un qual si voglia numero di lati ed uguale perimetro, non si troverà
mai un poligono con la stessa super…cie, per quanti lati possa avere... Se lo spirito
umano arriverà a trovare una …gura rettilinea con super…cie uguale a quella del
cerchio, così come si sono quadrate le lunule di Ippocrate, i lati di questa …gura
rettilinea saranno necessariamente incommensurabili con la circonferenza.”
In…ne si ripropone l’argomento di Newton sull’impossibilità di quadrare una
generica porzione di cerchio:
”Se la quadratura inde…nita del cerchio fosse possibile, si avrebbe una equazione
algebrica con un numero …nito di termini tra un arco x ed il suo seno y. Questa
equazione potrebbe essere resa razionale con un numero …nito di operazioni algebriche e conseguentemente per un dato valore di y non darebbe che un numero
…nito di valori di x. Ma per un dato seno ci sono in…niti archi.”
Il sospetto sull’impossibilità della quadratura del cerchio cresce insieme al numero delle supposte soluzione così tanto che nel 1775 l’Accademia Reale delle
Scienze di Parigi, immediatamente imitata da altre accademie e società, si trova
costretta a rilasciare una lunga dichiarazione in proposito:
”L’Accademia ha preso quest’anno la risoluzione di non esaminare più alcuna
soluzione dei problemi della duplicazione del cubo, della trisezione dell’angolo, o
73
della quadratura del cerchio, né alcuna macchina annunciata come un moto perpetuo. Crediamo anche opportuno rendere conto dei motivi che hanno determinato
questa decisione. Il problema della duplicazione del cubo è stato celebre presso i
greci. Si dice che l’oracolo di Delo, consultato dagli ateniesi sul modo di far cessare
la peste, avesse loro prescritto di consacrare al Dio di Delo un altare doppio di
quello che si vedeva nel tempio... Il problema della trisezione dell’angolo fu ugualmente celebre presso gli antichi, e lo si risolve con una costruzione che richiede la
descrizione di una curva di terzo grado... Siccome gli antichi consideravano come
geometriche solo le costruzioni con la linea retta ed il cerchio, la riga ed il compasso, questo ha fatto nascere un pregiudizio che regna ancora tra gli uomini meno
illuminati. Continuano a cercare delle soluzioni geometriche di questi problemi;
gli uni, non impiegando che riga e compasso, danno delle soluzioni errate; gli altri ne danno di vere, ma senza saperlo impiegano delle curve e le loro soluzioni
rientrano tra quelle già note... Il problema della quadratura del cerchio è invece
di un ordine di¤erente. La quadratura della parabola trovata da Archimede, quella
delle lunule di Ippocrate di Chio, danno delle speranze di quadrare il cerchio, cioè
di conoscere la misura della sua super…cie. Archimede ha mostrato che questo
problema e quello della retti…cazione del cerchio dipendono l’uno dall’altro, e per
questo i due problemi sono stati confusi. Non si conoscono che dei metodi approssimati per quadrare il cerchio, il primo è dovuto ad Archimede ed un gran numero di geometri famosi ne hanno proposti di nuovi, molto ingegnosi, molto semplici, molto comodi nella pratica. È possibile perfezionare ancora questi metodi;
l’Accademia non esclude questo genere di ricerche. Ma quelli che si occupano
della quadratura del cerchio non cercano dei metodi di approssimazione, aspirano
invece ad una soluzione rigorosa del problema... Senza conoscere la natura e la
di¢ coltà di questi problemi, i metodi da costoro impiegati non possono condurre
ad una soluzione, sempre che questa sia possibile... Comunque, la quadratura del
cerchio è il solo dei problemi ri…utati dall’Accademia che possa dar luogo a delle
ricerche utili, e se un geometra la venisse a trovare, la delibera dell’Accademia non
farebbe che aumentare la sua gloria, mostrando quale opinione i geometri hanno
della di¢ coltà, per non parlare dell’insolubilità del problema.”
COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO.
Facciamo una digressione sulle costruzioni geometriche con riga e compasso,
iniziando dal primo e terzo dei postulati negli ”Elementi” di Euclide.
”Si può condurre una linea retta da un qualunque punto ad un qualunque altro
punto.”
74
”Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi distanza.”
Nel Libro VI degli ”Elementi” si spiega come moltiplicare, dividere, estrarre
radici quadre.
”Date tre rette, trovare la quarta proporzionale dopo di esse.”
”Date due rette, trovare la media proporzionale.”
Moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di radici quadre
negli ”Elementi” di Euclide.
Per risolvere l’equazione a : b = c : x,
dato un triangolo con lati a e c basta
costruirne uno simile con lati b e x.
Per risolvere l’equazione a : x = x : b
basta costruire un triangolo rettangolo
con proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
a e b ed altezza relativa all’ipotenusa x.
Il metodo di Cartesio è di trasformare le costruzioni geometriche in equazioni,
infatti l’indice del Libro I della ”Geometria” è il seguente:
”Problemi la cui costruzione non utilizza che linee rette e cerchi.”
”Come i calcoli dell’aritmetica si rapportano alle operazioni della geometria.”
”Come si fanno geometricamente le moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di
radici quadrate.”
”Come si possono utilizzare i numeri in geometria.”
”Come occorre arrivare a delle equazioni per risolvere i problemi...”
Con la riga e il compasso di Euclide si possono solo tracciare rette e cerchi,
che nel piano di Cartesio sono curve descritte da equazioni di primo e secondo
grado. Le intersezioni di rette e cerchi si ottengono risolvendo equazioni di primo
o secondo grado. Viceversa, le equazioni di primo o secondo grado, o scomponibili
in equazioni di primo e secondo grado, si possono risolvere intersecando rette e
cerchi. Con riga e compasso si possono costruire tutti e soli i numeri in estensioni
quadratiche iterate del campo numerico di partenza, cioè numeri che si possono
75
ottenere a partire dal numero uno con un numero …nito di addizioni, sottrazioni,
moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di radici quadre.
Nel ”General trattato di numeri et misure” di N.Tartaglia (1500-1557) ”Si
mostra il modo di essequire con il compasso, et con la regha tutti li problemi
geometrici di Euclide et da altri philosophi, et con modi più espedienti, e brevi di
quelli dati da esso Euclide. Materia non men’ utile che necessaria à Geometrici,
Designatori, Prospettivi, Architettori, Ingenieri, et Machinatori, si naturali, come
Mathematici”. Il suo allievo G.B.Benedetti (1530-1590) nel 1553 pubblica ”La
soluzione di tutti i problemi di Euclide con un solo cerchio di apertura data”.
G.Mohr (1640-1697) nel ”Euclide Danico” del 1672 e poi L.Mascheroni (17501800) nella ”Geometria del compasso” del 1797 dimostrano che ogni costruzione
con riga e compasso si può anche ottenere col solo compasso. La motivazione
di Mascheroni è di carattere pratico, perché le costruzioni col compasso sono in
genere più precise di quelle con la riga. L’opera è dedicata a Napoleone Bonaparte
liberatore d’Italia, che subito provvede a publicizzarla in Francia. P.S.Laplace
(1749-1827) rivolgendosi al suo ex allievo commenta: ”Da voi generale potevamo
aspettarci di tutto, salvo che delle lezioni di matematica”. Ovviamente con un
compasso non si può tracciare una retta, ma una retta è individuata da due punti
e col compasso è possibile trovare l’intersezione di rette con rette o rette con
circonferenze, se di ogni retta si conoscono due punti. Nella direzione opposta
J.V.Poncelet (1788-1867) e J.Steiner (1796-1863) dimostrano che, dati un cerchio
col suo centro, ogni altra costruzione con riga e compasso si può anche ottenere
con la sola riga. Infatti, da un punto di vista analitico, le quattro operazioni
elementari si possono eseguire intersecando delle rette e per calcolare la radice
quadra di un dato
la retta x = (1 a)=(1 + a) con il
p numero a basta intersecare
p
semicerchio y = 1 x2 , il risultato è a = y(1 + a)=2. Con la sola riga non si
può però far tutto, per esempio non si può trovare il centro di un cerchio. Una
presunta costruzione deve consistere di un dato numero di rette due delle quali
si intersecano nel centro del cerchio. Esistono però trasformazioni proiettive che
mandano rette in rette, …ssano il cerchio ma ne muovono il centro. Quindi la
costruzione trasformata non funziona più.
La costruzione di poligoni regolari con 3, 4, 5, 6, 8, 10 lati è già nota ai
pitagorici e per altri poligoni sono note delle costruzioni approssimate. Per esempio, nella ”Metrica” di Erone di Alessandria (II secolo d.C.) si danno i rapporti
esatti o approssimati tra lato e apotema dei poligoni regolari da tre a dodici lati.
In particolare, la diagonale di un quadrato è il diametro del cerchio circoscritto,
l’esagono ha lato uguale al raggio ed il decagono ha lato uguale alla parte aurea del
76
raggio. Poi, partendo da un poligono con n lati si può facilmente costruire quello
con 2n lati, e con n=2 lati se n è pari. Cotes e DeMoivre mostrano che queste
costruzioni si possono ricondurre alle soluzioni dell’equazione ciclotomica z n = 1,
con radici z = cos(2k =n)+i sin(2k =n), e A.T.Vandermonde (1735-1796) veri…ca
…no ad n
11 che questa equazione può essere risolta per radicali. C.F.Gauss
(1777-1855) inizia i suoi diari il 30 Marzo 1796 con
”I principi da cui dipende la divisione del cerchio e la divisibilità geometrica
dello stesso in diciassette parti, etc.”
Nelle ”Disquisizioni aritmetiche” pubblicate nel 1801 Gauss dimostra che è
possibile costruire con riga e compasso ogni poligono regolare con 2m p1 p2 :::pn lati
k
se i pj sono numeri primi distinti della forma 22 + 1, ed a¤erma che nessun altro
poligono è costruibile. La congettura di Fermat è che ogni numero della forma
k
22 + 1 è primo e questo è vero per k = 0, 1, 2, 3, 4, ma Eulero mostra che
5
22 + 1 è composto. Per esempio, le lunghezze dei lati dei poligoni regolari p
con
3, 4, 5, 6, 8, 10 lati iscritti in un cerchio di raggio uno sono rispettivamente 3,
p
p
p
p
p q
5 =2, 1, 2
2,
5 1 =2, quindi questi poligoni sono costru2,
5
ibili. Anche 2 sin( =17) è una combinazione di radicali quadratici, l’eptadecagono
è costruibile ed una costruzione esplicita che utilizza solo la geometria sintetica
è pubblicata nel 1803. Similmente, nel 1832 viene pubblicata una costruzione
del poligono regolare con 257 lati. A partire dal 1714 Fagnano studia archi di
curve con somme o di¤erenze determinabili algebricamente. In particolare trova
degli archi di iperbole e di ellissi che non si riescono a misurare algebricamente
ma la cui p
di¤erenza è algebrica. Fagnano studia poi la lemniscata di Bernoulli
2
2
x + y = x2 y 2 e questo lo porta a considerare delle formule di addizione per
integrali ellittici. Anche Eulero, Gauss ed Abel, si interessano agli integrali ellittici ed alla divisione con riga e compasso di archi della lemniscata. In particolare,
Gauss a¤erma che la sua teoria sulla divisione delle funzioni circolari si applica anche
Z ad una più vasta classe di funzioni trascendenti ”che dipendono dall’integrale
p
dt= 1 t4 ”. Nel 1837 P.L.Wantzel (1814-1848) dimostra l’impossibilità di ri-
solvere una generica equazione di terzo grado con solo riga e compasso, ed in
particolare risolve in negativo il problema della duplicazione del cubo, x3 = 2, e
della trisezione dell’angolo, sin(#) = 3 sin(#=3) 4 sin3 (#=3). Geometricamente,
la duplicazione del cubo si ottiene intersecando le parabole x2 = y e y 2 = 2x,
mentre la trisezione dell’angolo si ottiene intersecando la parabola y 2 = x=4 col
cerchio x2 + y 2 13=4x + 4 sin(#) = 0. Cartesio dimostra che intersecando due
77
coniche si possono risolvere, oltre alle equazioni di primo e secondo grado, anche
quelle di terzo e quarto, anzi, sono su¢ cienti la riga, il compasso, ed una conica
diversa dal cerchio. Eulero e poi nel 1840 T.Clausen (1801-1855) scoprono due
lunule quadrabili con riga e compasso che si aggiungono alle tre trovate da Ippocrate. Dei classici problemi della matematica greca resta ancora aperto quello
della retti…cazione e quadratura del cerchio, ma almeno risulta chiarita la natura
algebrica del problema geometrico.
”Una costruzione geometrica
approssimata per ” del 1685
di A.A.Kochansky:
r
p
40 6 3
= 3; 14153:::
3
”Tracciamo le perpendicolari dall’estremità del diametro di un cerchio e
costruiamo un angolo di trenta gradi con vertice nel centro e lato sul diametro.
Congiungiamo il punto di intersezione tra l’altro lato e la perpendicolare col
punto sull’altra perpendicolare che dista tre raggi dalla base. La linea così
ottenuta è un’ottima approssimazione di metà circonferenza.”
La costruzione di
J. de Gelder del 1849:
355
= 3; 141592920:::
113
In una circonferenza di raggio uno si traccia il diametro AOB ed il raggio
OC perpendicolare al diametro. Sul raggio si prende un segmento OD = 7=8
e sulla retta per AD un segmento AE = 1=2. Tracciata la perpendicolare EF
al diametro, si congiunge F con D ed in…ne si traccia la parallela a DF per
E. Questa parallela interseca il diametro in un punto G con AG = 355=113 3.
NUMERI RAZIONALI, ALGEBRICI, TRASCENDENTI.
I numeri interi sono i numeri 0, 1, 2, 3,..., i numeri razionali sono rapporti di
numeri interi, i numeri algebrici sono le radici di equazioni algebriche a coe¢ cienti
78
interi, tutti gli altri numeri sono trascendenti. In particolare, un razionale
p=q è
p
n
radice dell’equazione di primo grado qx p = 0 e una radice
p=q è radice
dell’equazione qxn p = 0.
Il calcolo di una radice quadrata nei
”Nove capitoli dell’arte matematica”
di Liu Hui.
Per calcolare la radice quadrata di un numero N con 2k + 1 o 2k + 2
cifre, si cerca il più grande A = a 10k con A2 N , poi il più grande
B = b 10k 1 con A2 + B 2 + 2AB N , poi il più grande C = c 10k 2
2
con Ap
+ B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC N ...
N = a 10k + b 10k 1 + c 10k 2 :::
Le soluzioni di equazioni di primo e secondo grado sono note …n dall’antichità.
In particolare dal 2000 a.C. i babilonesi sanno risolvere il sistema u + v = p
e u v = q, che è equivalente all’equazione x2 px + q = 0. Dal medio evo
i matematici arabi sanno che per risolvere le equazioni di secondo grado basta
saper completare i quadrati. Moltiplicando per 4a l’equazione ax2p+ bx + c = 0 si
trasforma in (2ax + b)2 = b2 4ac, e da qui le soluzioni x =
b
b2 4ac =2a.
L”’Algebra” di Al-Khowarizmi:
Un quadrato e dieci sue radici sono uguali
a trentanove. Prendi metà delle radici, 5, e
moltiplica questo numero per se stesso, 25,
aggiungi a 39, il risultato è 64, prendi la
radice, 8, sottrai la metà del numero delle
radici, 5. Il risultato è 3, questa è la radice”.
Per risolvere l’equazione x2 + 2bx = c, al quadrato x2 e ai due rettangoli bx
si aggiunge un altro quadrato b2 . Il risultato
è un quadrato (x + b)2 = b2 + c.
p
Quindi x = b2 + c b.
Nel XVI secolo ad un facoltoso mercante tedesco preoccupato per l’educazione
del …glio viene dato il seguente consiglio: ”Per imparare le somme e le sottrazioni
79
bastano le università francesi o tedesche, ma per andare oltre, se il ragazzo è sveglio, è meglio andare in Italia”. Nella ”Summa de Arithmetica” del 1494 Luca
Pacioli denota l’incognita x ”cosa”, x2 ”censo”, x3 ”cubo”, x4 ”censo de censo”,...
e ritiene ”Impossibile censo de censo e censo uguale a cosa.... Impossibile censo
de censo e cosa uguale a censo...”, cioè ritiene impossibile trovare una regola generale per risolvere le equazioni ax4 + bx2 = cx e ax4 + bx = cx2 . Questa s…da
suscita l’interesse della comunità matematica italiana e nella prima metà del XVI
secolo vengono risolte sia le equazioni di terzo grado che quelle di quarto. Il primo
che risolve delle particolari equazioni cubiche, senza il termine quadratico, pare
sia stato del S.Ferro (1465-1526), che non pubblica la soluzione ma la comunica
in punto di morte ad un suo allievo, A.M.Fior. Venuto a conoscenza della cosa,
nel 1535 Tartaglia trova a sua volta la soluzione. L’incredulo Fior lancia una
pubblica dis…da matematica a Tartaglia con in premio un banchetto o¤erto dal
perdente al vincitore con tanti suoi invitati quanti i quesiti risolti. Tartaglia risolve i trenta quesiti proposti da Fior, tutti del capitolo di cosa e cubo uguale a
numero, ”Trovame uno numero che azontoli la sua radice cuba venghi 6”, mentre
questi non riesce a risolvere i quesiti di Tartaglia che, già sazio di gloria, rinuncia al
banchetto. Nel 1539, con lusinghe e promesse di denaro, G.Cardano (1501-1576)
convince Tartaglia a rivelargli la sua scoperta con la garanzia di mantenere il segreto, ”Io vi giuro, ad sacra Dei evangelia, et da real gentil’huomo, non solamente
di non pubblicar giammai tali vostre inventioni, se me le insegnate, ma anchora vi
prometto, et impegno la fede mia da real cristiano, da notarmela in zifera, acciocchè da poi la mia morte alcuno non la possa intendere”. Il sospettoso Tartaglia
nasconde la sua scoperta in un sonetto piuttosto criptico, che Cardano riesce però
a decifrare. Venuto poi a conoscenza delle ricerche di del Ferro, Cardano si ritiene sciolto dal giuramento e pubblica la soluzione delle equazioni di terzo grado
nell’”Ars magna” del 1545, attribuendola a del Ferro ma dando il dovuto credito
anche a Tartaglia. Nel libro, ”Scritto in cinque anni, possa durarne altrettante
migliaia”, compare anche la soluzione delle equazioni di quarto grado attribuita al
suo discepolo L.Ferrari (1522-1565). Tartaglia furioso nel vedersi imbrogliato accusa Cardano di plagio. Questi cerca di tirarsi fuori dalla polemica, ”Credo... che
stati uscito di cervello forsi per il vostro troppo studiare”, ma Ferrari, prendendo
le sue difese, accusa a sua volta Tartaglia di aver plagiato del Ferro e nel 1547
lancia una pubblica dis…da a Tartaglia, che si dichiara ben felice di ”Disputar con
ambidue largamente in geometria, in arithmetica,..., astronomia, musica, cosmogra…a,... et altre,..., ma anchora sopra le mie nuove inventioni...”, proponendosi
di ”Lavarve ottimamente el capo ad ambidui in un sol colpo, cosa che non sapria
80
fare alcun barbier de Italia”. La dis…da in sei cartelli, contro…rmati da testimoni
ed inviati a studiosi nei principali capoluoghi italiani, dura circa due anni. Gli
argomenti dibattuti sono di algebra, geometria, astronomia e …loso…a. Alcuni dei
quesiti posti dal Ferrari richiedono la soluzione di equazioni di quarto grado.
”Trovatemi sei quantità continue proportionali che la prima e la sesta giunte
facciano 6, et la seconda e terza giunte facciano 2”.
Se le quantità sono a, ax, ax2 , ax3 , ax4 , ax5 , e se a + ax5 = 6 e ax + ax2 = 2,
allora 1 + x5 = 3 (x + x2 ) e dividendo per 1 + x si ottiene x4 x3 + x2 4x + 1 = 0,
equazione che Tartaglia non è in grado di risolvere. In un altro dei quesiti Ferrari
chiede di scomporre 8 nella somma x+y rendendo massimo il prodotto x y (x y),
cioè trovare il massimo del polinomio di terzo grado
p x(8 x)(2x 8) nell’intervallo
0 x 8. La risposta di Tartaglia è x = 4 + 5 + 1=3.
”Fatemi di otto due tal parti, che’l prodotto dell’una nel altra moltiplicato nella
loro di¤erenza, faccia più che possibil sia, dimostrando il tutto.”
”Ve rispondo che la maggior parte fu 4 più R.(5+1/3) et la menore fu 4
men R.(5+1/3), el produtto è 10+2/3, qual moltiplicato nella di¤erentia che è
R.(21+1/3) fa R.2423+7/27, et questa è di frutto della nostra pianta con li quali
pensavati farmi guerra, ma el vi ha fallato el pensiero.”
Tra i quesiti posti da Tartaglia a Ferrari, si richiedono delle costruzioni geometriche con il terzo postulato di Euclide modi…cato: ”Sopra qual si voglia centro
si possa disegnare un cerchio secondo la data quantità del compasso”. Questo dà
al Ferrari l’opportunità di dimostrare tutto Euclide con un compasso ad apertura
…ssa. In de…nitiva il Ferrari si dimostra un osso ben più duro del Fior e la guerra
si conclude senza vincitori né vinti. Ma ecco la soluzione dell’equazione di terzo
grado nelle parole di Tartaglia, con tra parentesi la traduzione in formule:
”Quando chel cubo con le cose appresso
Se agguaglia à qualche numero discreto (x3 + px = q)
Trovan dui altri di¤erenti in esso. (u v = q)
Da poi terrai questo per consueto
Che’l lor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto, (u v = (p=3)3 )
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti p
p
3
v = x)
Varrà la tua cosa principale. ( 3 u
81
In el secondo de cotesti atti
Quando che’l cubo restasse lui solo (x3 = px + q)
Tu osservarai quest’altri contratti,
Del numer farai due tal part’à volo (u + v = q)
Che l’una in l’altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stolo (u v = (p=3)3 )
Delle qual poi, per commun precetto
Torrai li lati cubi insieme gionti
p
p
Et cotal somma sarà il tuo concetto. ( 3 u + 3 v = x)
El terzo poi de questi nostri conti (x3 + q = px)
Se solve col secondo se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trovai et non con passi tardi
Nel mille cinquecente, quatro e trenta
Con fondamenti ben sald’è gagliardi
Nella città dal mar’intorno centa.”
L’equazione x3 + px = q con la sostituzione x = y + z diventa y 3 + z 3 +
(p + 3yz)(y + z) = q. Se poi yz = p=3, allora y 3 e z 3 diventano soluzioni
del sistema y 3 + z 3 = q e y 3 z 3 = p3 =27, cioè dell’equazione di secondo grado
t2 qt p3 =27 = 0. Quindi
s
s
p
p
3 q +
3 q
q 2 + 4p3 =27
q 2 + 4p3 =27
+
:
x=
2
2
Nel campo complesso le due radici cubiche hanno ognuna tre determinazioni,
ma dovendo richiedere che il prodotto yz sia p=3, si ottengono tre soluzioni. Il
Ferrari osserva che ogni equazione di terzo grado t3 + at2 + bt + c = 0 con la
sostituzione t = x a=3 perde il termine di secondo grado e prende la forma
3
x3 + px + q = 0. Se p 0 la funzione
p x + px + q è crescente,pmentre se p < 0
la funzione ha massimo in x =
p=3 e minimo in x =
p=3. Inoltre,
2
3
se q + 4p =27 < 0 nel massimo la funzione è positiva e nel minimo negativa.
Concludendo, il polinomio x3 +px+q ha un solo zero reale quando q 2 +4p3 =27 0
e tre zeri reali quando q 2 + 4p3 =27 < 0. Osserviamo in…ne che in quest’ultimo
”casus irreducibilis”, anche se tutti e tre gli zeri sono reali, la formula risolutiva
dell’equazione contiene delle radici quadrate di numeri negativi e si può dimostrare
che non è possibile esprimere la soluzione in radicali reali.
Messer Zuanne de Tonini da Coi propone a Tartaglia il seguente problema:
82
”Sono tre che hanno comprato L.20 di carne e tante ne ha comprate uno di
loro, che moltiplicato tal numero di lire in sè medesimo tal prodotto è uguale alla
moltiplicazione delle lire che hanno comprato gli altri due, cioè quelle dell’uno per
quelle dell’altro, e moltiplicate ancora le due minor quantità di lire l’una per l’altra
fanno precisamente 8”.
Cioè, x+y+z = 20, x x = y z, x y = 8, ed eliminando y e z si ottiene x4 +8x2 +
64 = 160x. La risposta di Tartaglia si fa attendere e Cardano, venuto a conoscenza
del problema, lo propone al Ferrari che lo risolve. Ecco il suo procedimento. Data
un’equazione di quarto grado,
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0;
con la traslazione x = y
a=4 si elimina il termine di terzo grado,
y 4 + py 2 + qy + r = 0:
Trasformando y 4 + py 2 in un quadrato perfetto ed aggiungendo una nuova
variabile si ottiene
y2 + p + z
2
= (2z + p)y 2
qy + z 2 + 2pz + p2
r:
Ora basta scegliere z in modo da avere anche a destra un quadrato perfetto,
(2z + p)y 2
qy + z 2 + 2pz + p2
r = (2z + p) (y
s)2 :
Per far questo basta risolvere l’equazione di terzo grado in z,
q2
4(2z + p) z 2 + 2pz + p2
2
r = 0:
Si è così ottenuta un’equazione (y 2 + p + z) = (2z + p) (y s)2 che è facilmente risolubile. Comunque, le equazioni di quarto grado sono considerate solo
una curiosità, perché, secondo Cardano, ”Conseguito lo scioglimento delle equazioni
cubiche, l’arte analitica ne ha a su¢ cienza, perché …no al cubo vi è una graduazione in natura, essendovi linee, super…ci e corpi,... quindi le equazioni... sopra
al cubo ascendono non per loro medesime, ma per accidente”. Nel ”Ars Magna”,
insieme alle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, c’è anche
una ”Regola aurea” per la risoluzione approssimata di equazioni che consiste nel
cercare intervalli i cui estremi siano soluzioni approssimate per difetto e per eccesso e nel trovare poi una nuova approssimazione con una interpolazione lineare.
83
In…ne, in questa opera si introducono anche i numeri complessi, che Cardano
considera ”tanto sottili quanto inutili”.
”Se qualcuno ti chiede di dividere 10 in due parti, una delle quali moltiplicata
nell’altra produca 40, è evidente che questo è impossibile... Comunque,pmettendo
da parte
15 per
p la tortura mentale che questo provoca, moltiplichiamo 5 +
5
15, il risultato è 25 ( 15), quindi il prodotto è 40... Tutto questo è
veramente so…stico...”
Anche Bombelli ritiene che questi numeri siano ”un’idea assurda... basata su
considerazioni so…stiche”, ma nel’”Algebra” del 1572
p ne stabilisce le regole di
calcolo. Lo scopo è di trasformare un’espressione a + ib nella forma c + id,
per risolvere il caso irriducibile della formula di Cardano. Di fatto questi numeri
complessi, sottoprodotto delle ricerche degli algebristi del XVI secolo, si rivelano
ben più importanti dei risultati che li hanno generati.
Viète scopre una semplice relazione tra il caso irriducibile delle equazioni di
terzo grado e la trisezione dell’angolo. La sostituzione x = y a=3 trasforma
l’equazione
x3 +ax2 +bx+c = 0 in y 3 +dy+e = 0 e, se d < 0, l’ulteriore sostituzione
p
4d=3z trasforma l’equazione in z 3 3=4z f =4 = 0. L’equazione ha tre
y=
radici reali se e solo se jf j < 1. Per l’identità trigonometrica cos3 (#) 3=4 cos(#)
1=4 cos(3#) = 0, posto cos(3#) = f , si ottiene z = cos(#) = cos (arccos (f ) =3). In
particolare, la formula di Viète utilizza i numeri reali esattamente quando quella
di Cardano utilizza i complessi. Inoltre, questa formula suggerisce la possibilità di
risolvere problemi algebrici con metodi trascendenti. Nel 1757 Lambert trova degli
sviluppi in serie di potenze per soluzioni di equazioni trinomie z n z + t = 0 e nel
1769 J.L.Lagrange (1736-1813) trova gli sviluppi in serie di soluzioni di equazioni
z = t + "'(z). Se z = z("; t) è una soluzione di questa equazione,
(1
"'0 (z)) @z=@" = '(z);
(1
Da queste formule si ricava che per ogni
@
@t
(z)
@
@"
(z)
(z) e
@
@"
=
"'0 (z)) @z=@t = 1:
(z)
(z),
@
@t
(z) :
Poi, per induzione si può mostrare che
@k
@"k
(z) =
@k
@tk
Poiché z = t se " = 0, sviluppando
1
'(z)k
1
@
@t
(z) :
(z) in serie di potenze di " si ottiene
84
(z("; t)) =
+1 k
X
" @k
(t) +
k! @tk
k=1
1
1
'(t)k
@
@t
(t) :
Se '(z) e (z) sono funzioni analitiche, le derivate che compaiono nella formula crescono al più come ck k!, quindi la serie converge almeno per " abbastanza
piccolo. In particolare, una generica equazione di quinto grado si può ricondurre
con trasformazioni algebriche alla forma z 5 z + t = 0 e la formula di Lagrange
da lo sviluppo in serie
+1
X
5k t4k+1
z=
:
k
4k
+
1
k=0
Questa serie de…nisce una funzione ipergeometrica generalizzata. Anche le
equazioni trinomie z n + z m + t = 0 si possono risolvere in modo simile. Riassumendo, per risolvere le equazioni di primo grado bastano le quattro operazioni
elementari +
:. Le equazioni di secondo, terzo e quarto grado si possono
risolvere con le quattro operazioni elementari più le radici, che sono le funzioni
z = (t) de…nite dall’equazione z n t = 0. Per risolvere le equazioni di quinto
grado si può utilizzare la funzione z = '(t) con z 5 + z + t = 0, per le equazioni di
sesto grado si può utilizzare la funzione z = (u; v) con z 6 + z 2 + uz + v = 0, e
così le equazioni di settimo, ottavo, nono,....
Nel 1608 P.Roth (?-1617) e A.Girard (1590-1633) nel 1629 enunciano il teorema
fondamentale dell’algebra: ”Ogni equazione di grado n ha n radici, e nessuna di
più”, ”Ogni equazione algebrica ha tante radici, quante indicate dall’esponente più
alto”. Anche nella ”Geometria” di Cartesio si trova l’enunciato: ”Ogni equazione
può avere tante radici distinte quanto la dimensione dell’incognita... Ma alcune di
queste radici possono essere false, cioè minori di zero”. I tentativi di dimostrare
questo risultato sono diversi. Nel 1746 D’Alembert dimostra l’esistenza delle radici
di un’equazione algebrica P (z) = 0, assumendo l’esistenza di un punto di minimo
per il modulo jP (a)j e dimostrando che se P (a) 6= 0 allora in un qualche intorno di
a esistono punti jP (z)j < jP (a)j. Se infatti P (1) (a) = P (k 1) (a) = 0 e P (k) (a) 6= 0,
scegliendo l’angolo # in modo che P (a) e eik# P (k) (a) risultino opposti rispetto
P (a) + k eik# P (k) (a)=k! risulta più vicino
all’origine, per piccolo P a + ei#
all’origine di P (a). Dopo aver criticato le dimostrazioni precedenti, nella sua
dissertazione di dottorato del 1797 Gauss dà una nuova dimostrazione del teorema
fondamentale dell’algebra e questa è seguita da tre altre dimostrazioni successive.
Una semplice dimostrazione topologica del teorema fondamentale dell’algebra è la
85
seguente. Se P (z) = az n + ::: + b, con a 6= 0 e b 6= 0, per piccolo e 0 # < 2 la
curva P ( ei# ) b la curva gira intorno al punto b lasciando l’origine all’esterno,
mentre per grande P ( ei# )
a n ein# gira intorno all’origine. Al variare di
queste curve si deformano in modo continuo, quindi per un raggio opportuno
P ( ei# ) passa per l’origine.
Basandosi sulle ricerche di Lagrange, nel 1799 P.Ru¢ ni (1765-1822), di professione medico come Cardano, dimostra l’impossibilità di risolvere per radicali una
generica equazione di quinto grado. Questo risultato è riscoperto da Abel nel 1824
e nel 1830 E.Galois (1811-1832) trova delle condizioni sulla risolubilità per radicali
di equazioni algebriche. Nel 1840 J.Liouville (1809-1882) dimostra che la base dei
logaritmi naturali non è radice di nessun polinomio di secondo grado a coe¢ cienti
interi. Poi, nel 1844, dimostra che esistono numeri trascendenti, cioè non radici di
polinomi a coe¢ cienti interi. Più precisamente, se un numero irrazionale è radice
di un polinomio di grado n a coe¢ cienti interi, axn +bxn 1 +:::+cx+d = 0, allora
esiste " > 0 tale che per ogni razionale p=q si ha jx p=qj > "=q n . Questo implica
che ogni numero ben approssimabile con frazioni con denominatore piccolo non è
algebrico. Un esempio esplicito è
+1
X
10
n!
= 0; 110001000000000000000001000:::
n=1
Liouville non studia solo i numeri, ma anche le funzioni trascendenti. In particolare dimostra
che le primitive di certe funzioni
elementari, come l’integrale
Z
Z
p
ellittico dx= 1 x4 o la funzione errore
exp ( x2 ) dx, o più in generale le
soluzioni di certe equazioni di¤erenziali, non si possono esprimere come composizione di funzioni elementari.
Nel 1874 G.Cantor (1845-1918) dimostra che l’insieme dei numeri algebrici
è numerabile mentre l’insieme di tutti i numeri reali non lo è. Non solo esistono numeri trascendenti, ma questi sono molti di più degli algebrici. Nel 1858
C.Hermite (1822-1901) e L.Kronecker (1823-1891) risolvono le equazioni di quinto
grado utilizzando le funzioni ellittiche, poi F.Brioschi (1824-1897) risolve quelle
di sesto. Nel 1873 Hermite dimostra che e è trascendente ma stranamente si ri…uta di a¤rontare , ”Non voglio neanche tentare di dimostrare la trascendenza
di ”. Invece la distanza tra e e è più breve del previsto. Con le tecniche
di Hermite, nel 1882 C.L.F.Lindemann dimostra che se , ,..., sono numeri
complessi algebrici distinti e se a, b,..., c sono numeri complessi algebrici non
nulli, allora ae + be + ::: + ce non può essere zero. Per la formula di Eulero
86
ei + e0 = 0, quindi i non è algebrico e anche è trascendente. Più in generale,
da eix e ix 2 sin(x) = 0 si ricava che se la corda 2 sin(x) è algebrica, l’arco
x è trascendente. In particolare, questa è una risposta parziale alla domanda
formulata da Leibniz a proposito del lemma XXVIII dei ”Principia Mathematica” di Newton su una possibile relazione tra la trascendenza di una funzione e la
trascendenza dei valori assunti da tale funzione.
Z 1 L’area di un segmento di cerchio
p
x2 + y 2 = 1 con estremi (cos(#); sin(#)) è 2
1 x2 dx = # sin(#) cos(#).
cos(#)
Se gli estremi del segmento hanno coordinate algebriche, l’area è trascendente. Ma
per quali altre curve algebriche questo è vero? Sui lavori di Cantor, Lindemann,
ed in generale sulla matematica non costruttiva, c’è un interessante commento
di Kronecker: ”Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”,
e poi ”A cosa serve questa bella ricerca su ? Perché studiare queste cose se
i numeri irrazionali non esistono?”. Estensioni e sempli…cazioni dei teoremi di
Hermite e Lindemann vengono pubblicate da K.T.W.Weierstrass (1815-1897) nel
1885, da D.Hilbert (1862-1943) nel 1893, poi da altri ancora. Ora ciascun teorema
occupa più o meno una pagina. Questo pone …ne al problema della quadratura
del cerchio. Per il teorema di Ru¢ ni, le radici di polinomi possono essere numeri più complicati di combinazioni di radici quadrate o cubiche. Per il teorema
di Lindemann è un numero ancora più complicato. Non solo non appartiene
ad estensioni quadratiche iterate del campo dei razionali, questi sono i numeri
costruibili con riga e compasso, ma neppure appartiene ad estensioni algebriche.
Il pronostico di Stifel, ”Invano faticano tutti quanti si a¤aticano in calcoli per
trovare la quadratura del cerchio”, si è rivelato errato e con il paziente contributo
di generazioni di matematici si è venuti a capo del problema. Ma è proprio vero
che di questo numero si sa tutto quanto si può o si deve sapere?
EQUISCOMPONIBILITÀ E DECOMPOSIZIONI PARADOSSALI.
Nel 1832 F.Bolyai (1775-1856) pubblica un saggio in cui, tra l’altro, dimostra
che poligoni con area uguale sono equiscomponibili, cioè decomponibili in un numero …nito di pezzi poligonali a due a due uguali. L’idea è che un poligono è decomponibile in triangoli, un triangolo è equiscomponibile con un parallelogrammo,
due parallelogrammi con base ed altezza uguali sono equiscomponibili, due rettangoli con area uguale sono equiscomponibili. In appendice al saggio del padre,
J.Bolyai (1802-1860) pubblica le sue ricerche sul postulato delle parallele, introduce una geometria non euclidea e dimostra che in questa geometria la quadratura
del cerchio è a volte possibile. Nella geometria iperbolica la lunghezza di una cir87
conferenza di raggio R è 2 k sinh(R=k) e l’area k 2 sinh2 (R=2k), mentre nella
geometria ellittica la lunghezza di una circonferenza di raggio R è 2 k sin(R=k) e
l’area 4 k 2 sin2 (R=2k), la costante k 2 è la curvatura gaussiana. In geometria
euclidea un quadrato e un cerchio
p hanno la stessa area se il rapporto tra lato del
quadrato e raggio del cerchio è
. In geometria non euclidea i rapporti tra lati e
raggi di quadrati e cerchi di area uguale non sono costanti. Se per esempio questo
rapporto è un intero, la quadratura del cerchio diventa possibile. Il rovescio della
medaglia è che altre semplici costruzioni euclidee risultano impossibili.
Torniamo allo spazio euclideo. Per comparare i volumi di poliedri è su¢ ciente
l’equiscomponibilità o è necessaria l’esaustione? Due tetraedri con stessa area
di base e stessa altezza sono equiscomponibili? Questo problema di Gauss è il
terzo dei 23 problemi presentati al congresso internazionale dei matematici del
1900 da Hilbert ed il primo ad essere risolto. Infatti nel 1902 M.Dehn (1878-1952)
dimostra che per l’equiscomponibilità, oltre all’uguaglianza dei volumi occorrono
anche condizioni sulla lunghezza degli spigoli e sugli angoli tra le facce. L’idea è
di de…nire un funzionale sull’insieme dei poliedri con (P [ Q) = (P ) + (Q)
se P e Q sono disgiunti. Un tale funzionale assume uguale valore su poliedri
equiscomponibili e, viceversa, se il funzionale assume valori diversi i poliedri non
sono equiscomponibili. Per costruire il funzionale si costruisce prima una funzione
additiva (x + y) = (x) + (y) su R. Se fej g è una base dello spazio vettoriale R
sul campo Q, cioè ogni numero
una comP reale si può scomporre in modo unico inP
binazione lineare …nita x = xj ej con xj razionali, si de…nisce (x) = xj (ej )
con (ej ) arbitrari. Ad ogni poliedro
PP con spigoli di lunghezza ed angoli tra le
facce # si associa il numero (P ) =
(#). Se ( ) = 0 questa funzione
P (P ) è
additiva, cioè se P può essere scomposto nei poliedri fPj g allora (P ) =
(Pj ).
In particolare, (P ) = (Q) se i poliedri P e Q sono equiscomponibili. In…ne,
se tutti i rapporti tra e gli angoli # sono razionali, (P ) = 0 e, al contrario, se
uno di questi rapporti è irrazionale si può scegliere la funzione (x) in modo da
avere (P ) 6= 0. Nel 1902 H.Lebesgue (1875-1941) pubblica la sua teoria della
misura e dell’integrazione e nel 1905 G.Vitali (1875-1932) costruisce un insieme
non misurabile, provando che non esistono misure numerabilmente additive invarianti per traslazioni de…nite su ogni sottoinsieme della retta. Nel 1924 S.Banach
(1892-1945) e A.Tarsky (1902-1983) mostrano che due qualsiasi insiemi di punti
nello spazio che contengono punti interni possono essere decomposti in un numero
…nito di insiemi congruenti. Per esempio, una sfera di un dato volume è equiscomponibile con un cubo, anche di volume diverso. La dimostrazione utilizza
l’assioma della scelta ed il paradosso si spiega con il fatto che le parti in cui si
88
decompongono gli insiemi non sono necessariamente misurabili. Banach mostra
anche che, contrariamente al caso dello spazio, sulla retta e nel piano è possibile
de…nire una misura …nitamente additiva per ogni insieme limitato, che estende
la misura classica ed assegna la stessa misura a insiemi congruenti. Quindi in
una o due dimensioni non ci sono decomposizioni paradossali. La di¤erenza tra
le varie dimensioni è legata alla struttura dei rispettivi gruppi di movimenti rigidi
ed all’esistenza di misure invarianti.
Nel 1963 L.Dubins, M.W.Hirsch e J.Karush dimostrano l’impossibilità di decomporre un cerchio ed un quadrato della stessa area in un numero …nito di regioni
uguali, anche se queste hanno bordi curvi. L’idea è semplice. Per ogni punto sul
bordo di un dominio A si de…nisce una funzione (x) che vale +1 se in x il bordo è
convesso, 1 se è concavo, 0 seZ è piatto. L’integrale di questa funzione sul bordo
de…nisce una misura (A) =
(x)ds invariante per traslazioni e rotazioni e
@A
tale che se A e B sono equiscomponibili allora (A) = (B). Per un disco di
raggio R si ha (D) = 2 R e per un quadrato si ha (Q) = 0, quindi cerchio e
quadrato non sono equiscomponibili. Questa dimostrazione si estende anche a più
dimensioni, ma vale solo per decomposizioni in domini con bordo retti…cabile. Nel
1990 M.Laczkovich dimostra che un cerchio ed un quadrato della stessa area, o
più in generale due …gure con la stessa area delimitate da curve abbastanza lisce,
sono equiscomponibili in un numero …nito di parti congruenti, ma questi insiemi
di punti sono molto irregolari.
IL MORBO DECIMALE.
Torniamo ora ad occuparci dei decimali di e e , iniziando con delle cu1=7
1=6
riosità. (2e3 + e8 )
di¤erisce da per meno di 10 3 , p
mentre ( 4 + 5 )
differisce da e per meno di 10 7 . Indicando con = 1 + 5 =2 la sezione aurea,
si ha 2 + 1=10 = 2; 7180::: e 6 2 =5 = 3; 1416:::. Non è di¢ cile ottenere delle
buone approssimazioni razionali di e a partire dallo sviluppo in frazioni continue
o dalla serie dell’esponenziale. Consideriamo ora le approssimazioni di . Le
approssimazioni razionali di Archimede 22=7 = 3; 142::: e di Metius 355=113 =
3; 14159292::: sono le migliori approssimazioni con frazioni di denominatore minore
o uguale a 7 e a 113, la migliore approssimazione successiva è solo 52163=16604 =
3; 14159238:::. Partendo dallo sviluppo decimale di e dall’approssimazione di
Archimede 22/7, il giovane Gauss risolve l’equazione = (22=7) = (x + 1)=x,
x = 2485; 4:::, e trova l’approssimazione (22=7) (2484=2485). Iterando poi il procedimento, trova l’approssimazione con 13 decimali corretti (22=7) (2484=2485)
(12983009=12983008). In modo simile, ma partendo dall’approssimazione 355/113,
89
S.Ramanujan (1887-1920) trova che (1 3=35330000) (355=113)
p è maggiore di
15
di circa 10 . Una semplice approssimazione algebrica è 10 = 3; 162:::, la
migliore approssimazione p
di p
con la radice quadrata di un intero. Passando da
una a due radici troviamo 2+ 3 = 3; 146:::. Questa approssimazione, attribuita
a Platone, è la media aritmetica dei perimetri del quadrato inscritto e dell’esagono
circoscritto ad una circonferenza di diametro
uno. Altre buone approssimazioni
q
p
p
sono 146 13=50 = 3; 141591::: e
40 6 3 =3 = 3; 14153:::. Le seguenti
approssimazioni di costruibili con riga e compasso sono dovute Ramanujan.
19 p
7 = 3; 1418:::;
16 r
9
9
+
= 3; 1416:::;
5
5
p !
3
7
1+
= 3; 1416:::;
3
5
99
80
63
25
7
p
= 3; 1415927:::;
7 3 2p !
17 + 15 5
p
= 3; 1415926538:::;
7 + 15 5
192
9 +
22
1=4
2
= 3; 141592652::::
Ramanujan scopre anche l’approssimazione, con 31 decimali corretti,
p
4
522
e le serie
0
p
p
log @ 5 29 + 11 6
=
1
p
p
p !6
9+3 6+ 5+3 6 A
2
p
1 X 2n 42n + 5
=
;
16 n=0 n
212n
p +1
8 X (4n)!(1103 + 26390n)
1
1
p !3
5 + 29
p
2
+1
9801 n=0
3
(n!)4 (396)4n
:
Queste serie o¤rono un e¢ ciente metodo per il calcolo di . Il termine n-esimo
della prima serie ha un ordine di grandezza di 2 6n . La seconda serie converge
ancora più velocemente, il termine n-esimo ha un ordine di grandezza di (99) 4n , il
primo termine dà già le prime cinque cifre decimali di ed ogni termine successivo
ne aggiunge circa otto.
Un altro e¢ ciente algoritmo, di R.Brent e E.Salamin, per il calcolo di utilizza
le medie aritmetico geometriche di Gauss. Dati due numeri positivi x0 e y0 ,
90
de…niamo ricorsivamente le medie aritmetiche xn+1 = (xn + yn ) =2 e geometriche
p
yn+1 = xn yn . Se x0 > y0 , allora xn > xn+1 > yn+1 > yn e queste successioni
convergono
p velocemente ad uno stesso limite AGM (x0 ; y0 ). Partendo da x0 = 1 e
y0 = 1= 2, si ottiene
4x21
= 3; 187672642:::;
1 4 (x21 y12 )
4x22
= 3; 141680294:::;
1 4 (x21 y12 ) 8 (x22 y22 )
4x23
= 3:141592646:::;
1 4 (x21 y12 ) 8 (x22 y22 ) 16 (x23 y32 )
p
4x2n
4 AGM (1; 1= 2)2
= lim
=
:
n
+1
X
n!+1
X
1
2k+1 (x2k yk2 )
1
2k+1 (x2k yk2 )
k=1
k=1
Prima di questi metodi, per il calcolo di sono state molto utilizzate formule di
addizione per l’arcotangente del tipo Machin = 16 arctan(1=5) 4 arctan(1=239)
insieme allo sviluppo di Taylor arctan(x) = x x3 =3 + x5 =5 :::. Con carta e
penna si è arrivati a calcolare 707 cifre decimali di e con calcolatrici meccaniche
1120 decimali. Su suggerimento di J.vonNeumann (1903-1957) nel Luglio del 1949
ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) calcola in 20 ore 2010
cifre decimali di e utilizzando la serie dei reciproci dei fattoriali. Poi, nel Settembre
del 1949 ENIAC calcola in 70 ore 2035 cifre decimali di utilizzando la formula
di Machin. Nei cinquant’anni successivi al primo calcolatore elettronico le cifre
decimali di conosciute sono raddoppiate ogni due anni. Nel 1973 M.Bouyer e
J.Guilloud, con una formula tipo Machin, infrangono il muro del milione di cifre
e nel 1989 i fratelli D. e G.Chudnovsky, con una formula tipo Ramanujan, quello
del miliardo,
=
+1
X
(6n)!(13591409 + 545140134n)
12 ( )n
(3n)!(n!)3 (640320)3n+3=2
n=0
!
1
:
Il XX secolo si chiude con un record di P.Demichel, più di un miliardo di
decimali di e, ed un analogo record di D.Takahashi e Y.Kanada, più di 206 miliardi
di decimali di con le medie aritmetico geometriche di Gauss. In…ne, il XXI secolo
si apre con un nuovo record del team di Kanada, in 600 ore più di mille miliardi
di cifre esadecimali di , convertite in più di 1200 miliardi di decimali, calcolati e
controllati utilizzando due formule di tipo Machin,
91
= 48 arctan (1=49) + 128 arctan (1=571) 20 arctan (1=239) + 48 arctan (1=110443) ;
= 176 arctan (1=57) + 28 arctan (1=239) 48 arctan (1=682) + 92 arctan (1=12943) :
Con un programma di calcolo formale nel 1995 D.Bailey, P.Borwein, e S.Plou¤e
trovano che
+1
X
1
=
16n
n=0
4
8n + 1
2
8n + 4
1
8n + 5
1
8n + 6
:
Per veri…care l’identità basta osservare che
+1
X
n=0
16
n
(8n + k)
1
=
+1
X
n=0
k=2
2
Z
2
1=2
x
0
8n+k 1
k=2
dx = 2
Z
0
2
1=2
xk 1
dx;
1 x8
poi calcolare gli integrali. Con questa formula è possibile calcolare una singola
cifra binaria di senza bisogno di tutte le precedenti. Il calcolo di diventa quasi
un test per misurare l’a¢ dabilità dei calcolatori e l’e¢ cienza degli algoritmi di
calcolo. I decimali di sono anche sottoposti a svariati test statistici e sembra
emergere un paradosso: questo numero è perfettamente deterministico, ma le sue
cifre decimali appaiono del tutto aleatorie. In si possono cercare le date di
nascita di parenti e amici, per esempio, la data 22 11 1995 compare a partire dal
5357330-esimo decimale.
A questo punto può essersi generata l’impressione che, utilizzando solo le quattro operazioni elementari e magari le estrazioni di radici, è piuttosto semplice calcolare miliardi di decimali di , di e, o di altri numeri. Per suggerire che non è
proprio così, accenniamo a problemi di complessità computazionale che mostrano
come alcuni algoritmi di calcolo tradizionali non hanno necessariamente una ef…cienza ottimale. Le somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, con numeri
piccoli non costituiscono un problema, ma con numeri grandi le cose si complicano. Per sommare o sottrarre due numeri si sommano o sottraggono le cifre di
un numero a quelle dell’altro e si eseguono dei riporti. Sommare o sottrarre due
numeri di n cifre richiede circa n operazioni elementari, e non si può sperare di
meglio. La moltiplicazione è più complicata, si deve moltiplicare ogni cifra di
un numero per tutte le cifre dell’altro e poi sommare i risultati. In de…nitiva la
moltiplicazione di due numeri di n cifre richiede circa n2 operazioni elementari.
Osserviamo le formule
92
(10n a + b) (10n c + d) = 102n ac + 10n (ad + bc) + bd;
(10n a + b) (10n c + d) = 102n ac + 10n ((a b)(d c) + ac + bd) + bd:
La prima formula è quella che corrisponde all’algoritmo di moltiplicazione
tradizionale, sembra più naturale e richiede il calcolo di tre somme e quattro moltiplicazioni, ac, ad, bc, bd. Con questo algoritmo di moltiplicazione raddoppiando
le cifre si quadruplicano le operazioni. La seconda formula sembra più complicata perché richiede sei somme o sottrazioni ma solo tre moltiplicazioni, ac, bd,
(a b)(d c). Con questo algoritmo raddoppiando le cifre si triplicano le operazioni, la moltiplicazione di due numeri di n cifre richiede circa nlog2 (3) operazioni
elementari. Si può fare di meglio, cn log(n), ma gli algoritmi si complicano.
Dei metodi e¢ cienti per dividere o estrarre radici sono basati sul metodo delle
tangenti di Newton per calcolare gli zeri di una funzione. Per trovare gli zeri di
una funzione y = f (x) si parte da una approssimazione a dello zero cercato e si
sviluppa in serie y = f (a)+f 0 (a)(x a)+:::. Si risolve poi l’equazione linearizzata
f (a) + f 0 (a)(x a) = 0, con la speranza che la soluzione x = a f (a)=f 0 (a) di
questa equazione sia una migliore approssimazione della vera soluzione. Di fatto
se x0 è abbastanza vicino alla soluzione di f (x) = 0 e se f 0 (x) 6= 0, le iterate
xn+1 = xn f (xn )=f 0 (xn ) convergono quadraticamente alla soluzione, jxn+1 xj
c jxn xj2 , perché nello sviluppo in serie si trascurano i termini quadrati. Più
precisamente,
xn+1 x = (xn
f (xn )=f 0 (xn )) (x
f (x)=f 0 (x)) = f (y) f 00 (y)=f 0 (y)2 (xn
x) ;
con y compreso tra x e xn . Se f (x) = 0, allora jf (y)j
c jxn xj e quindi
2
jxn+1 xj
c jxn xj . Grosso modo ogni iterazione raddoppia il numero di
decimali corretti. Per il calcolo degli inversi il metodo di Newton applicato
all’equazione y 1=x = 0 fornisce le iterazioni xn+1 = xn (2 yxn ). Queste
iterazioni si calcolano solo con somme e moltiplicazioni e convergono velocemente
a 1=y, quindi si possono ridurre le divisioni a delle moltiplicazioni. Similmente
il metodo di Newton applicato all’equazione x2 y = 0 fornisce le iterazioni
p
xn+1 = (xn + y=xn ) =2 e coincide con il metodo di Erone per il calcolo di y. È
anche possibile calcolare le radici quadre senza utilizzare divisioni. Dall’equazione
x 2 y = 0 si ricavano le iterazioni xn+1 = xn (3 x2n y) =2 che convergono a
p
y 1=2 e con un’ultima moltiplicazione si ottiene y y 1=2 = y. Osserviamo che
oltre a somme e moltilicazioni si sono utilizzate solo divisioni per 2, che in base
93
2 sono uno spostamento delle cifre. Ci sono algoritmi per radici di ogni indice.
Per esempio, le iterazioni xn+1 = xn (3 x3n y 2 ) =2 convergono a y 2=3 e con una
p
p
moltiplicazione per y si ottiene 3 y. Il risultato è che il calcolo di 1=y o di y con
una precisione di n cifre ha essenzialmente la stessa complessità computazionale
della moltiplicazione di due numeri con n cifre. In de…nitiva, calcolare n decimali
di non è troppo più complicato che moltiplicare due numeri di n cifre. Ma è
così banale moltiplicare numeri con miliardi di cifre?
IL MORBO CICLOMETRICO.
Delle più importanti costanti …siche non si conoscono che poche cifre decimali.
Della più importante costante matematica si conoscono miliardi di cifre e di tanto
in tanto compare qualcuno che crede di aver …nalmente trovato l’ultima. Abbiamo
accennato a quadrature errate di persone competenti come Nicola da Cusa o
Gregorio di San Vincenzo, ma ci sono molti altri esempi più o meno famosi.
Folgorato dalla lettura di Euclide, il …losofo T.Hobbes pubblica a partire dal
1655 unap
dozzina di soluzioni della quadratura del cerchio con diversi valori per ,
3 + 1=5, 10,... e nel 1669 a¤ronta anche la duplicazione del cubo, ”Quadratura
circuli, cubatio sphaerae, duplicatio cubi breviter demonstrata”. Wallis, ”homo
homini lupus”, dà allora inizio ad una feroce polemica che si chiude solo dopo
un quarto di secolo alla morte del …losofo novantenne. Hobbes pubblica ”Sei
lezioni al professore di matematica...”, ”Osservazioni sulla geometria assurda, il
linguaggio rurale etc. del Dottor Wallis”, ”Esame ed emendamento della matematica odierna”, ”Sui principi e ragioni delle geometrie, contro i falsi professori di
geometria”,... e Wallis replica con ”Punizioni da in‡iggere al Signor Hobbes per
non aver appreso correttamente la sua lezione” e commenti del tipo: ”Non posso
non osservare l’abitudine di Hobbes a contraddirsi. Trovo vergognoso che un sì
grande pretendente a tali alte cose in geometria, sia poi così miseramente ignorante delle comuni operazioni dell’aritmetica pratica”. Newton si tiene lontano da
questa polemica, ”La …loso…a è una signora così impertinente e litigiosa, che per
un uomo è meglio esser citato in giudizio che aver a che fare con lei”, ma qualche
anno dopo inizia la sua polemica con Hooke per la priorità delle scoperte sull’ottica
e la gravitazione e poi con Leibniz per il calcolo di¤erenziale ed integrale.
Facciamo ora una piccola digressione, dalla misura del cerchio in geometria alla
misura delle distanze sulla sfera terrestre. La determinazione della latitudine è un
problema relativamente semplice, che si può ridurre alla misura dell’altezza della
Stella Polare rispetto all’orizzonte, oppure l’altezza del Sole a mezzogiorno. La
determinazione della longitudine è più problematica e nei secoli delle grandi scoperte geogra…che molti stati europei hanno o¤erto grossi premi per la soluzione di
94
questo problema di grande importanza per la navigazione. Galileo nel 1610 scopre
le lune di Giove, ”Sidera Medicea”, e ne studia i movimenti. Ha poi l’intuizione
di utilizzare le eclissi di questi satelliti che regolarmente compaiono e scompaiono
dietro al pianeta come un orologio astronomico, che visto da ogni punto della
Terra segna la stessa ora. Con questo orologio è semplice risalire alla longitudine,
che risulta proporzionale alla di¤erenza tra questa ora astronomica e l’ora solare.
Nel 1616 cerca di vendere senza successo la sua idea alla Spagna. Ritenta poi con
l’Olanda, che ha o¤erto un premio di 30.000 scudi per la soluzione del problema.
Non riceve il premio in denaro, ma una catena d’oro. Il metodo di calcolo della
longitudine proposto da Galileo è laborioso, comunque G.D.Cassini (1625-1712)
nel 1668 pubblica le ”Efemeridi delle stelle medicee”, poi utilizzate in varie spedizioni geogra…che. Nel 1714 il parlamento britannico o¤re £ 20.000 per un metodo
di determinazione della longitudine in mare con un’approssimazione inferiore a
mezzo grado, £ 15.000 per un’approssimazione inferiore a due terzi di grado e £
10.000 per un’approssimazione inferiore ad un grado. Uno dei metodi proposti,
che in verità si rivela poco pratico, si basa sulla tabulazione della direzione del
moto della Luna rispetto alle stelle …sse. Nel 1762 Eulero e T.Mayer ricevono £
3.000 per delle tavole dei movimenti lunari. Finalmente nel 1765 J.Harrison riceve
£ 10.000 per la costruzione di un cronometro che, a di¤erenza degli orologi a pendolo, riesce a funzionare anche sulle navi. Di fatto, molti fraintendono il problema
della longitudine con quello della misura del cerchio e, trovata una misura più o
meno precisa, chiedono la ricompensa.
Accade spesso che Tizio trovi una o più quadrature, magari distinte, se poi
queste vengono contestate da Caio, non è per aver violato il principio di non
contraddizione, ma semplicemente perché non coincidono con la vera quadratura
trovata da Caio stesso o da Sempronio. Molti tra quelli che presentano delle
quadrature del cerchio promettono ricompense a chi trova l’errore, tanto anche
se perdono poi non pagano, molti altri vogliono essere pagati per il contributo
dato al sapere. Nel 1724 J.Mathulon, di professione medico, presenta un paio di
presunte quadrature del cerchio, insieme ad una macchina che promette il moto
perpetuo e ad altre interessanti invenzioni. Lamentandosi per lo scarso interesse
suscitato dalle sue scoperte, che ”se fossero state portate a conoscenza di sua
maestà, avrebbero già potuto essere utilizzate in tutto il regno”, deposita 1000 scudi
presso un notaio per chi trova l’errore. L’errore si trova ed i soldi sono devoluti
ai poveri. Comunque il lupo perde il pelo ma non il vizio e qualche anno dopo
lo scacco subito presenta all’Accademia Reale delle Scienze una terza quadratura.
Nel 1753 J.L.V.de Mauléon de Causans propone una sottoscrizione di 4000 quote
95
da 1000 lire ciascuna per rivelare la sua quadratura del cerchio, impegnandosi a
restituire a ciascun sottoscrittore 1500 lire nel caso si dimostrasse falsa. Visto
lo scarso successo della sottoscrizione, tappezza i muri di Parigi con l’avviso che
sono state depositate presso un notaio 1000 lire per chi dimostra la falsità della
sua quadratura, cosa non di¢ cile visto che il quadrato circoscritto risulta uguale
al cerchio inscritto. Citato in giudizio da chi vuole riscuotere il premio, viene
salvato dal tribunale che dichiara nulle le promesse fatte. Non contento per lo
scampato pericolo, trova una seconda quadratura con
= 25=8 ed una terza
ancora ed invia delle suppliche al re accusando l’Accademia Reale delle Scienze di
cattiva fede. Nel 1773 D.Lafrenaye, dopo aver de…nito la radice quadrata come
l’ottava parte di un numero, dimostra un cerchio ha la stessa area di un quadrato
tale che il lato più la sua radice siano uguali al diametro. Ha ritrovato cioè la
regola di Ahmes, se D = L + L=8 è il diametro del cerchio, l’area è L2 . Anche
questa scoperta provoca una polemica con l’Accademia Reale delle Scienze, che
in…ne nel 1775 reagisce con la dichiarazione: ”L’Accademia ha preso quest’anno la
risoluzione di non esaminare più alcuna soluzione dei problemi della duplicazione
del cubo, della trisezione dell’angolo, o della quadratura del cerchio, né alcuna
macchina annunciata come un moto perpetuo”. Nel 1836 M.J.Lacomme, uno
scavatore di pozzi analfabeta, chiede ad un matematico quante pietre occorrono
per pavimentare il fondo di un pozzo circolare, poi studia da solo il problema e
trova il valore 3 + 1=8. Già si conoscono più di cento cifre decimali di , ma il
tentativo viene premiato con delle medaglie. Un tale Recalcati di Milano o¤re la
quadratura del cerchio a chiunque versi cinque franchi, con garanzia di restituzione
in caso di soluzione non completamente rigorosa. Il garante è un banchiere.
Un altro caso di quadratura del cerchio è quello di E.J.Goodwin, un medico
nello stato dell’Indiana, il quale molto umilmente dichiara che, non per suo merito
ma per pura grazia, ”Nella prima settimana di Marzo del 1888 è stato in modo
soprannaturale illuminato sulla esatta misura del cerchio... nessuna autorità nella
scienza dei numeri può dire come il rapporto è stato scoperto...”. Su richiesta
dell’autore la scoperta viene pubblicata nel 1894 sull’”American Mathematical
Monthly” e nel 1895 dopo la quadratura del cerchio è la volta della trisezione
dell’angolo e della duplicazione del cubo:
”Un’area circolare è uguale al quadrato su di una linea uguale al quadrante
della circonferenza; e l’area di un quadrato è uguale all’area del cerchio la cui
circonferenza è uguale al perimetro del quadrato. (Copyrighted by the author,
1889. All rights reserved.)”
96
”Trisezione di un angolo: La trisezione della corda di ogni arco di cerchio
triseca l’angolo dell’arco. Duplicazione del cubo: Duplicare la dimensione di un
cubo ottuplica il suo contenuto, e duplicare il suo contenuto aumenta la sua dimensione del venticinque più uno per cento.”
Se la circonferenza 2 r è uguale al perimetro del quadrato, il lato del quadrato
è un quadrante r=2 e l’area del quadrato è 2 r2 =4. Se l’area del quadrato è
uguale all’area del cerchio, 2 r2 =4 = r2 e si ricava = 4. Il dottor Goodwin
cerca il riconoscimento del governo per le sue scoperte e chiede di includerle nei
programmi di studio delle accademie di West Point ed Annapolis. Riesce poi a
convincere il suo deputato locale a presentare una proposta di legge per …ssare il
valore legale di .
”Progetto di legge n o 246. Presentato da T.I.Record. Letto per la prima volta
alla Camera il 18/1/1897. Inviato al Comitato per i Canali ed inviato al Comitato
per l’Educazione il 19/1/1897. Letto per la seconda e terza volta il 5/2/1897.
Approvato il 5/2/1897, Si 67, No 0. Letto per la prima volta al Senato il 18
Gennaio 1897. Inviato al Comitato per la Temperanza il 11/2/1897. Parere
favorevole il 12/2/1897...”
”Progetto di legge per introdurre una nuova verità matematica ed o¤erto come
contributo all’educazione, da essere usato senza costi o diritti d’autore dal solo
Stato dell’Indiana se accettato ed adottato dalla legislatura nel 1897... Si è trovato
che l’area circolare sta al quadrante della circonferenza come l’area di un rettangolo
equilatero sta al quadrato su un lato. Secondo la presente regola l’uso del diametro
come unità lineare per il calcolo dell’area del cerchio è completamente sbagliato...
Prendendo il quadrante della circonferenza del cerchio come unità lineare si soddisfano i requisiti richiesti per la quadratura e la retti…cazione della circonferenza
del cerchio. Inoltre, si è rivelato che il rapporto tra la corda ed un arco di novanta
gradi è come sette a otto, e anche che il rapporto tra la diagonale ed un lato di
un quadrato è come dieci a sette, questo rivela l’importante fatto che il rapporto
tra diametro e circonferenza è come cinque quarti a quattro. Per questo ed altro,
la regola …nora in uso non funziona sia matematicamente che nelle applicazioni
pratiche...”
p
p
2r = ( r=2). Se 2 2= =
Il rapporto tra corda ed arco di novanta gradi è
p
7=8 si ricava che
= 16 2=7. Inoltre, se il rapporto tra diagonale e lato di
97
p
un quadrato è dieci a sette,
= 16 2=7 = 160=49. Sono valori diversi dal
= 4 ottenuto precedentemente, ma non è certo il caso di arrendersi davanti al
principio di non contraddizione. L’”Indianapolis Sentinel” del 20/1/1897 titola:
”Quadrare il cerchio, ci sono voci che questo vecchio problema sia stato risolto”.
Per caso la proposta di legge viene mostrata ad un matematico in visita alla Camera, con la preghiera di scrivere una presentazione del dotto autore, ma questi
declina l’invito con la scusa che di pazzi ne conosce già troppi. A questo punto
i senatori cominciano ad aver qualche dubbio ed uno di loro pubblicamente confessa: ”Può essere che io sia particolarmente ignorante su questa questione di
Matematica”. L’assemblea unanime si associa decidendo, pur senza entrare nel
merito dell’argomento, di rimandare a tempo inde…nito l’approvazione de…nitiva.
Di fatto, tutti quelli che pagano le tasse su proprietà tonde e subiscono passivamente interessi irrisori sui depositi e da usura sui debiti possono essere piuttosto
interessati ai valori legali dei numeri ed e.
A.De Morgan osserva che ”è più facile quadrare un cerchio che arrotondare un
matematico” e propone una spiegazione astrologica ai diversi valori di apparsi
in epoche di¤erenti. Il rapporto tra circonferenza e diametro non è costante, ma
varia col tempo secondo la formula = 3 + 13=80 + 3=80 cos(S L), con S e L
longitudini del Sole e della Luna. Ma forse le perturbazioni di qualche pianeta
sono responsabili di valori minori di 3,125 o maggiori di 3,2.
Terminiamo questa breve introduzione con l’ovvia osservazione che la soluzione
del problema della quadratura del cerchio non pone …ne alla storia di il cui studio,
insieme a quello di tanti altri numeri interessanti, continuerà ancora per molto.
98
LE LU N U LE DI IP P OCRAT E
Una lunula è una parte di piano delimitata da due archi di cerchio. Nel 1724
D.Bernoulli (1700-1782), poi Eulero ed altri, traducono in formule le quadrature
geometriche delle lunule di Ippocrate. Se un arco ha raggio R e angolo 2' e l’altro
ha raggio S e angolo 2 , la corda comune misura 2R sin(') = 2S sin( ) e l’area
della lunula è
R2 '
R2 sin(2')=2
S2
S 2 sin(2 )=2 :
La lunula è una parte di piano delimitata
da archi di cerchio. Se (R; 2') e (S; 2 )
sono i raggi e gli angoli degli archi di
cerchio, l’area della lunula è
R2 (' sin(2')=2) S 2 (
sin(2 )=2) :
Data la lunula si possono misurarne raggi e corda ma, per il teorema di
Lindemann, a seni algebrici corrispondono angoli trascendenti, non si possono
quindi misurare separatamente le aree dei settori circolari. Comunque, se i settori circolari hanno area uguale queste quantità trascendenti si eliminano. Se
2
R2 ' = S 2 , l’area della lunula diventa
) R2 sin(2')) =2, la condizione
p (S sin(2 p
R sin(') = S sin( ) si trasforma in
sin(') = ' sin( ) e, ponendo ' = m# e
= n#, si ha n sin2 (m#) = m sin2 (n#). Quando questa equazione è risolubile per
radicali quadratici la lunula risulta quadrabile con riga e compasso. In particolare
se il rapporto '= è 2/1, 3/1, 3/2, 5/1, 5/3, la lunula risulta quadrabile. Le
prime tre lunule sono di Ippocrate e le ultime due di Eulero sono poi ritrovate da
Clausen.
99
'= = 2=1
'= = 3=1
'= = 3=2
'= = 5=1
'= = 5=3
1
cos(') = p
2
p
1 p
cos(') =
1+ 3
2
1 p
cos(') =
33 1
8p
p
1
cos(2') =
5+4 5 1
0s4
r
r
2
1 @ 20
20
5
cos( ') =
+
+
3
3
4
3
3
1
1A
Con Viète osserviamo che se '= = 4=1 la quadratura della lunula si riconduce ad una equazione cubica 4 cos3 (') 2 cos(') 1 = 0. Utilizzando
il teorema di Lindemann, E.Landau (1877-1937) e L.Chakalov (1866-1963) dimostrano che le condizioni R2 ' = S 2 e '= razionale sono necessarie per la
quadratura con riga e compasso della lunula. Le sostituzioni
' = m#,
=
p
p
n#, sin(#) = (exp(2i#) 1) = (2i exp(2i#)), trasformano
sin(') = ' sin( )
2 m n
2
n
m
nell’equazione algebrica m (z
1) z
n (z
1) = 0 e studiando questa
equazione N.G.Cebotarev e A.W.Dorodnov dimostrano che oltre a quelle di Ippocrate e Clausen non ci sono altre lunule quadrabili. Esistono comunque altre …gure delimitate da archi di cerchio quadrabili in modo elementare o la cui
quadratura si può ricondurre a quella del cerchio. In particolare, gli appunti di
Leonardo da Vinci contengono molte di queste …gure.
L’arbelo ed il salino di Archimede.
L’arbelo è delimitato da tre semicirconferenze e il salino da quattro.
L’area è uguale al cerchio con diametro l’altezza della …gura.
100
Il fuso circolare e il drepanoide di Archimede.
Un quadrante ha area uguale a due semicerchi, il fuso circolare ha area
uguale al triangolo curvilineo. Il triangolo curvilineo delimitato da tre
circonferenze con uguale diametro ha area uguale al parallelogramma.
La rosetta formata da sei archi
di cerchio ha perimetro
p
4 ed area 2
3 3.
La rosa camuna formata da otto
archi di cerchio ha il perimetro
10 ed area 16 + .
Le lune falcate di Leonardo.
L’arco di cerchio grande è
doppio dei piccoli e le quattro
regioni hanno la stessa area.
101
ARCHIM EDE ED IL M ET ODO DI ESAU ST ION E
Approssimando un cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti è possibile, almeno in linea di principio, calcolare con una approssimazione arbitrariamente piccola ed Archimede è tra i primi ad implementare questo metodo da un
punto di vista numerico. Nell’esposizione che segue, traduciamo il suo linguaggio
geometrico in trigonometria. Un poligono regolare con n lati iscritto in una circonferenza di raggio uno si ottiene dividendo un angolo giro in n parti uguali. Il
lato risulta lungo 2 sin( =n) ed il perimetro 2n sin( =n). Analogamente, il lato
di un poligono regolare con n lati circoscritto ad una circonferenza di raggio uno
risulta lungo 2 tan( =n) ed il perimetro 2n tan( =n). I perimetri dei poligoni iscritti sono una stima per difetto ed i perimetri dei poligoni circoscritti sono una
stima per eccesso della lunghezza della circonferenza,
n sin( =n) <
< n tan( =n):
Tanto più grande è il numero dei lati, tanto meglio i poligoni iscritti e circoscritti approssimano la circonferenza. In particolare, dagli sviluppi in serie
sin(x) = x x3 =6 + ::: e tan(x) = x + x3 =3 + ::: si ricava che la discrepanza tra
i perimetri dei poligoni e la circonferenza è dell’ordine di n 2 ,
n sin( =n)
3
2
3
2
=6n e n tan( =n)
=3n .
Archimede ottiene i perimetri dei poligoni regolari di 6, 12, 24, 48, 96 lati per
mezzo di un procedimento che permette di passare dal perimetro di un poligono
con un certo numero di lati al perimetro di un poligono con un numero doppio
di lati. Il processo ricorsivo, formalizzato da J.F.Pfa¤ (1765-1825), è il seguente.
Indicando con P (n) = 2n sin( =n) e con Q(n) = 2n tan( =n), è possibile ricavare
Q(2n) prendendo la media armonica tra P (n) e Q(n) e poi ricavare P (2n) prendendo la media geometrica tra P (n) e Q(2n):
sin(2x) tan(2x)
;
sin(2x) + tan(2x)
2Q(n)P (n)
Q(2n) =
;
Q(n) + P (n)
2 sin(x) =
tan(x) =
p
P (2n) =
2 sin(2x) tan(x);
p
Q(2n)P (n):
Un altro modo di procedere è il seguente. Per conoscere P (n) basta conoscere
sin( =n) e, noto sin( =n), si può ricavare sin( =2n) dalle formule di bisezione,
102
P (2n) = 4n sin ( =2n) = 2n
r
q
q
2
p
2 1
sin2 ( =n)
(P (n)=n)2 :
p
In particolare, partendo con sin( =4) = 1= 2, si ottiene ricorsivamente
p
P (4) =
4
p 2;p
P (8) =q
8 2
2;
p
p
P (16) =r
16 2
2 + 2;
q
p
p
P (32) = 32 2
2 + 2 + 2;
s
r
q
p
p
2 + 2 + 2 + 2; :::
P (64) = 64 2
= 2n
2
4
Similmente, partendo con sin( =6) = 1=2,
P (6) =
p 6; p
P (12) =q
12 2
3;
p
p
P (24) =r
24 2
2 + 3;
q
p
p
2 + 2 + 3;
P (48) = 48 2
s
r
q
p
p
P (96) = 96 2
2 + 2 + 2 + 3; :::
P (n)=2 è dell’ordine di n 2 :
Osserviamo che l’approssimazione
3
P (n)=2 = n sin ( =n) =
=6n2 +
5
=120n4
:::
Per accelerare la convergenza delle successioni fP (n)g e fQ(n)g, si può partire
dalle identità x = arcsin (sin(x)) e x = arctan (tan(x)) e sviluppare in serie di
potenze l’arco seno o l’arco tangente. In questo modo si ottiene
= n arcsin (P (n)=2n) = P (n)=2 + P (n)3 =48n2 + 3P (n)5 =1280n4 + :::;
= n arctan (Q(n)=2n) = Q(n)=2 + Q(n)3 =24n2 + Q(n)5 =160n4 + ::::
103
Con k termini di queste serie si hanno approssimazioni dell’ordine di n 2k . Per
esempio, P (6)=2 = 3 è l’approssimazione biblica, P (6)=2 + P (6)3 =48 62 = 3 + 1=8
è quella babilonese, l’approssimazione successiva 3+1=8+9=640 = 3; 139::: è quasi
buona come quella di Archimede. Per accelerare la convergenza di questi processi
di approssimazione si può anche utilizzare il metodo di Snell e Huygens, che ha
un’approssimazione dell’ordine di n 4 ,
2
P (2n)
3
1
P (n) = (8n=3) sin ( =2n)
6
5
(n=3) sin ( =n) =
=480n4 + :::
Il metodo di Snell e Huygens si presta ad una immediata generalizzazione. Nel
1927 L.F.Richardson osserva che se una certa quantità P è limite per x ! 0 di
una funzione f (x) con sviluppo asintotico
f (x) = P + Ax + Bx + Cx + :::;
con 0 <
<
< :::, allora f (y) approssima P meglio di f (x) se y < x,
ma è possibile ottenere un’approssimazione ancora migliore con una opportuna
combinazione lineare tra f (x) e f (y) che elimina la potenza ,
x f (y)
x
x y
y f (x)
=P +B
y
x
y x
x y
+C
y
x
y x
+ ::::
y
È interessante notare che per applicare il metodo è su¢ ciente conoscere gli
esponenti dello sviluppo asintotico e non è necessario conoscerne i coe¢ cienti.
Per esempio, il calcolo numerico di un integrale con il metodo dei trapezi con
passo (b a)=n porta ad una formula del tipo
Z b
f (t)dt = T (n) + n 2 + n 4 + n 6 + ::::
a
L’area dei trapezi T (n) approssima l’integrale a meno di n 2 , ma (4T (n) T (2n)) =3
è un’approssimazione a meno di n 4 ed iterando il procedimento si può anche eliminare questo termine ed i successivi.
Ci sono altri metodi, anche non lineari, per accelerare la convergenza di una
successione. Nel 1674 Takakazu Seki (1642-1708), calcolati P (215 ), P (216 ), P (217 ),
ottiene dieci cifre decimali di utilizzando la formula
P (2n) +
(P (2n) P (n)) (P (4n) P (2n))
:
(P (2n) P (n)) (P (4n) P (2n))
104
Il metodo di Seki è riscoperto da A.Aitken nel 1926, il quale osserva che se
fx(n)g converge a z in modo geometrico, x(n) = z + n con j j < 1, allora
x(n) x(n 1)
x(n) z
=
;
x(n 1) x(n 2)
x(n 1) z
x(n)x(n 2) x(n 1)2
z=
:
x(n) 2x(n 1) + x(n 2)
Questo suggerisce di associare alla successione fx(n)g la successione
y(n) = x(n)
(x(n) x(n 1))2
x(n) 2x(n 1) + x(n
2)
:
In generale, se fx(n)g ! z anche fy(n)g ! z, ma la convergenza è più veloce,
(y(n) z) = (x(n) z) 1. Confrontiamo numericamente i metodi di Archimede,
Huygens, Seki, ricordando che = 3; 1415926535:::.
Archimede:
Huygens:
Seki:
n
0
1
2
3
4
x(n) = (6 2n ) sin ( = (6 2n )) :
4x(n) x(n 1)
y(n) =
:
3
(x(n) x(n 1))2
z(n) = x(n)
x(n) 2x(n 1) + x(n
x(n)
3
3; 105828541:::
3; 132628613:::
3; 139350203:::
3; 141031950:::
y(n)
2)
:
z(n)
3; 141104721:::
3; 141561970::: 3; 141717032:::
3; 141590732::: 3; 141600361:::
3; 141592533::: 3; 141593134:::
Il metodo di Viète per stimare è simile a quello di Archimede, ma utilizza
le aree invece dei perimetri. Qui, seguendo Eulero, traduciamo la geometria in
analisi. Si parte dalle identità
sin(x) = 2 cos(x=2) sin(x=2) = 4 cos(x=2) cos(x=4) sin(x=4)
= 2n cos(x=2) cos(x=4)::: cos(x=2n ) sin(x=2n ):
p
Da cos(#=2) = (1 + cos(#)) =2 e 2n sin(2 n #) ! #, si ricava
105
sin(x)
= cos(x=2) cos(x=4) cos(x=8):::
x
v
s
s
u
r
r
r
u
1 cos(x) 1 1 1 cos(x) t 1 1 1 1 1 cos(x)
+
:::
+
+
=
+
+
+
2
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
2
Ponendo x = =2 si ottiene la formula di Viète,
v
s
r s
r u
r
u
1 1 1 1 t1 1 1 1 1
2
=
+
+
+
:::
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Con dei metodi iterativi non solo è possibile stimare
funzioni trigonometriche e logaritmi. Per esempio si ha
lim 2n tan 2
n!+1
n
, ma anche calcolare
arctan(x) = arctan(x):
p
Inoltre tan(y=2) = tan(y)= 1 + 1 + tan2 (y) . Quindi arctan(x) è limite
della successione de…nita ricorsivamente da
A0 (x) = x;
An+1 (x) =
1+
Similmente,
lim 2n (1 + x)2
n
n!+1
2An (x)
q
1 + (2
nA
:
2
n (x))
1 = log(1 + x):
Quindi log(1 + x) è limite della successione de…nita ricorsivamente da
L0 (x) = x;
Ln+1 (x) =
1+
2Ln (x)
p
1+2
nL
n (x)
:
torniamo al metodo di esaustione ed a . L’area di un cerchio di raggio uno
ZMa
1p
1 x2 dx e si può stimare questo integrale con qualche metodo numerico.
è4
0
Z b
Per stimare un integrale
f (x)dx si possono utilizzare i metodi di esaustione
con rettangoli o trapezi,
a
106
Z
Z
b
f (x)dx
n
a
b
f (x)dx
a
b
a
n
aX
n 1
b
f (a + k(b
a)=n) ;
k=0
f (a) + f (b) X
+
f (a + k(b
2
k=1
n 1
!
a)=n) ;
che danno errori dell’ordine di n 1 e n 2 , o metodi più so…sticati. Per esempio,
con il metodo di Simpson con passo 1/4 si ottiene già una buona approssimazione
di ,
12
p
1
p !
3
= 12
1 x2 dx
8
0
p
p
(0=4)2 + 4
1 (1=4)2 + 1 (2=4)2
12
p
p
= 1 + 15
3 = 3; 140932:::
Z
1=2 p
p !
3
8
Il metodo di Simpson è basato sull’interpolazione e quadratura con parabole,
è quindi un metodo archimedeo.
107
LE T AV OLE DELLE CORDE DI T OLOM EO
E LE T AV OLE DEI LOGARIT M I DI N EP ERO
Utilizzando la formula di Taylor, non è di¢ cile calcolare numericamente le
funzioni trigonometriche ed i logaritmi. Per esempio, il polinomio x x3 =6 +
x5 =120 approssima sin(x) nell’intervallo 0
x
=2 con un errore inferiore
3
a 5 10 . Modi…cando opportunamente i coe¢ cienti si può anche migliorare
l’approssimazione. Per esempio, per approssimare log(1 + x), invece del polinomio
di Taylor x x2 =2 + x3 =3 x4 =4 + x5 =5, si può utilizzare ax + bx2 + cx3 + dx4 + ex5 ,
con a = 0; 99949556, b = 0; 49190896, c = 0; 28947478, d = 0; 13606275,
e = 0; 03215841. L’approssimazione in 0
x
1 è a meno di 10 5 . Ma non è
così che sono state calcolate le prime tavole di queste funzioni.
In un cerchio di raggio r una corda sottesa da un angolo # misura 2r sin(#=2).
Le tavole di corde sono quindi tavole di seni. Ecco come Tolomeo calcola le sue
tavole, con l’avvertenza che in Tolomeo il diametro del cerchio è 120 e gli angoli
sono in gradi, mentre qui il raggio è uno e gli angoli sono in radianti. Tolomeo
conosce degli equivalenti delle formule trigonometriche
cos2 (#) + sin2 (#) = 1;
cos(# ') = cos(#) cos(') sin(#) sin(');
sin(# ') = cos(#) sin(') cos(') sin(#);
sin2 (#=2) = (1 cos(#)) =2:
Poi sa da Euclide che il quadrato sul lato del pentagono regolare iscritto in
una circonferenza è uguale alla somma dei quadrati sui lati dell’esagono e del
decagono. In particolare,
sin( =6) = 1=2;
sin( =5) =
p
10
p
2 5
4
;
sin( =10) =
p
5 1
:
4
Con la formula di sottrazione si ottiene sin( =5
=6) = sin( =30), poi con
bisezione sin( =60), sin( =120), sin( =240). Per ottenere una stima di sin( =180)
basta interpolare tra =120 e =240. Aristarco ha mostrato che se 0 < ' <
# < =2, allora sin( )= sin(') < =' < tan( )= tan('). Questo segue dal fatto
che le funzioni sin(x)=x e tan(x)=x sono rispettivamente decrescenti e crescenti
nell’intervallo 0 < x < =2. In particolare,
108
sin( =120)
sin( =180)
sin( =240)
<
<
;
=120
=180
=240
2
4
sin( =120) < sin( =180) < sin( =240):
3
3
2=3 sin( =120) = 0; 017451::: e 4=3 sin( =240) = 0; 017452:::, l’approssimazione
per sin( =180) è dell’ordine di 10 6 . Poi, con passi di mezzo grado Tolomeo
completa le sue tavole di corde, con cinque decimali corretti. Un modo alternativo per calcolare sin( =180) partendo da sin( =60) utilizza la formula sin(#) =
3 sin(#=3) 4 sin3 (#=3). Risolvendo numericamente l’equazione sin( =60) = 3x
4x3 Al Kashi trova che sin( =180) è circa
2
49
43
11
14
44
16
19
16
1
+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + :::
60 60
60
60
60
60
60
60
60
60
L’errore è solo dalle potenze 60 9 in poi.
Veniamo ora alle prime tavole dei logaritmi di Nepero. Queste sono basate sulla
n
progressione geometrica 107 (1 10 7 ) ed i conti in linea di principio sono semplici, perché la moltiplicazione per 1 10 7 si riduce alla sottrazione (1 10 7 ) x =
x 10 7 x ed in notazione decimale, Nepero è tra i primi ad adottare in Europa
tale notazione, le cifre di 10 7 x sono le stesse cifre di x con la virgola spostata.
”Dal raggio 10000000.0000000, con aggiunte sette cifre per maggiore accuratezza, si sottrae 1.0000000 e si ottiene 9999999.0000000; da questo si sottrae
0.9999999 e si ottiene 9999998.0000001;...”
Il metodo si rivela troppo laborioso e Nepero passa subito dal rapporto 1 10 7
al rapporto 1 10 5 . Le tavole di Bürgi sono simili, ma basate sulla successione
n
108 (1 + 10 4 ) . Le tavole dei logaritmi di Briggs sono in base 10, con log10 (1) = 0
e log10 (10) = 1. Poiché log10 (x 1 ) = log10 (x), è su¢ ciente calcolare log10 (x) con
1 x 10. Briggs calcola questi logaritmi con delle estrazioni iterate di radici
p
quadrate, utilizzando la formula log10 ( xy) = (log10 (x) + log10 (y)) =2.
109
100 = 1
101 = 10
1=2
10 = 3; 162277:::
101=4 = 1; 778279:::
103=4 = 5; 623413:::
101=8 = 1; 333521:::
103=8 = 2; 371373:::
105=8 = 4; 216965:::
107=8 = 7; 498942:::
log10 (1) = 0
log10 (10) = 1
log10 (3; 162277:::) = 1=2
log10 (1; 778279:::) = 1=4
log10 (5; 623413:::) = 3=4
log10 (1; 333521:::) = 1=8
log10 (2; 371373:::) = 3=8
log10 (4; 216965:::) = 5=8
log10 (7; 498942:::) = 7=8
54
Briggs arriva …no a 102 , un numero molto prossimo a uno, poi osserva che per
x piccolo, log10 (1+x) risulta circa proporzionale a x, log10 (1+x) (0; 434294:::)x.
È il primo termine dello sviluppo in serie
log10 (1 + x) = log10 (e) x
x2 =2 + x3 =3
::: :
Per calcolare il logaritmo di un numero y basta allora prendere un certo numero
n
di radici quadre y 2 = 1 + x per poi ottenere log10 (y) = 2n log10 (1 + x)
2n (0; 434294:::)x.
In…ne, anticipando Newton, per calcolare le radici Briggs trova
p
la formula 1 + y = 1 + y=2 y 2 =8 + :::.
I logaritmi si possono calcolare facilmente anche utilizzando lo sviluppo in
serie di Mercatore e Newton log(1 + x) = x x2 =2 + x3 =3 :::. Per esempio,
per calcolare il fattore di conversione tra i logaritmi naturali e quelli di Briggs
log10 (e) = 1= log(10), seguendo il suggerimento di Newton è su¢ ciente calcolare
per serie log (1 1=10) e log (1 2=10), poi sommando log(2) = 2 log (12=10)
log (8=10) log (9=10) ed in…ne log(10) = 3 log (2) log (8=10).
Oggi le tavole di seni e logaritmi sono diventate quasi un oggetto di antiquariato, sostituite da un qualche algoritmo di calcolo nella memoria dei calcolatori. Siccome anche i regoli sono scomparsi dal mercato, terminiamo illustrandone brevemente il funzionamento. Su due righe che possono scorrere parallele sono segnate delle tacche numerate, per esempio 1, 2, 3,..., 9, 10, nelle posizioni log10 (1) = 0, log10 (2) = 0; 301:::, log10 (3) = 0; 477:::, log10 (9) = 0; 954::::,
log10 (10) = 1.
j1
j1
j2
j2
j3
j3
j4
j4
110
j5
j5
j6
j6
j7
j7
j8 j9 j10
j8 j9 j10
Per moltiplicare due numeri, si fanno scorrere le righe facendo coincidere la
tacca 1 sulla riga sotto con quella x sopra, allora la tacca y sotto coincide con
quella xy sopra. Viceversa, per dividere si muove la tacca y sotto quella x, allora
la tacca 1 risulta sotto x=y. Se nel calcolare prodotti o divisioni si …nisce fuori
scala, basta dividere o moltiplicare per 10.
Concludiamo illustrando brevemente un algoritmo per il calcolo di funzioni elementari che utilizza solo un numero …sso di addizioni o sottrazioni e di traslazioni
della virgola. Questo algoritmo CORDIC (Coordinate Rotation Digital Computer) è stato introdotto nel 1959 per risolvere dei problemi trigonometrici legati
alla navigazione ed è stato implementato in molte calcolatrici tascabili. Ruotando
un vettore [x; y] di un angolo # si ottiene
cos(#)
sin(#)
sin(#)
cos(#)
x
y
1
=p
2
1 + tan (#)
1
tan(#)
tan(#)
1
x
y
In particolare [cos(#); sin(#)] è la rotazione di un angolo # del vettore [1; 0].
L’idea è di approssimare una rotazione arbitraria con una successione di rotazioni
elementari. Partendo da [X(0); Y (0)] = [1; 0] e ponendo tan(#(j)) = 2 j , si
de…nisce la successione
X(j) = X(j 1) 2 j Y (j 1);
Y (j) = 2 j X(j 1) + Y (j 1):
Osserviamo che in numerazione binaria la moltiplicazione per delle potenze di
due si riduce ad una traslazione della virgola, quindi il calcolo degli [X(j); Y (j)]
richiede solo queste traslazioni e delle somme e sottrazioni. Se dopo n iterazioni
n
Y
1=2
si moltiplica il vettore [X(n); Y (n)] per il fattore
(1 + 2 2j )
, il risultato è
j=1
la rotazione del vettore [1; 0] di un angolo
n
X
arctan (2 j ). L’algoritmo per il
j=1
calcolo di cos(#) e sin(#) è dunque il seguente. Fissata la precisione 2 n con cui
si vuole operare, si calcolano le costanti "(j) = arctan (2 j ) ed il fattore K =
n
Y
1=2
(1 + 2 2j )
. Questi dati sono immagazzinati nella memoria del calcolatore.
j=1
Per calcolare cos(#) e sin(#) occorre poi scegliere i segni
111
(j) =
1 in modo
n
X
da avere
#. Quindi, dato # e posto #(0) = 0, basta de…nire
(j)"(j)
j=1
ricorsivamente
8
(j) = 1 se #(j 1) > #, (j) = +1 se #(j
>
>
<
#(j) = #(j 1) + (j)"(j);
X(j) = X(j 1) 2 j (j)Y (j 1);
>
>
:
Y (j) = 2 j (j)X(j 1) + Y (j 1):
1)
#;
In…ne,
cos
n
X
!
(j)"(j)
j=1
= KX(n);
sin
n
X
(j)"(j)
j=1
La possibilità di approssimare # con
n
X
!
= KY (n):
(j)"(j) dipende dall’osservazione
j=1
seguente. Se "(1)
"(2)
:::
"(n) > 0 e "(k)
"(n) +
n
X
"(j) per ogni
j=k+1
1
k
n, se j#j
n
X
"(j), se #(0) = 0 e #(j) = #(j
1) + (j)"(j), con
j=1
(j) = 1 se #(j 1) > # e (j) = +1 se #(j 1) #, allora j# #(n)j "(n).
Questo algoritmo non si applica solo al seno e coseno, ma anche al calcolo di
altre funzioni trigonometriche dirette ed inverse, radici quadrate, esponenziali
e logaritmi. Per esempio, per calcolare exp(#) basta applicare l’algoritmo alle
funzioni iperboliche cosh(#) e sinh(#). Con un algoritmo simile si possono anche
calcolare moltiplicazioni e divisioni. Dati X e Z, posto Y (0) = 0 e Z(0) = Z, si
de…niscono ricorsivamente
8
(j) = 1 se Z(j 1) < 0, (j) = +1 se Z(j 1) 0;
>
>
>
j
>
X
>
>
< Z(j) = Z
(k)2 k ;
k=1
>
j
>
X
>
>
>
>
(k)2 k :
: Y (j) = X
k=1
Quando Z(n)
0, allora Y (n) = XZ.
112
IL P RODOT T O IN F IN IT O DI W ALLIS
Wallis ha ottenuto la formula
2
=
2
1
2
3
4
3
4
5
6
5
8
7
8
9
:::
;
:::
x2 )m=2 . Il cambio di variabili x
studiando le aree sotto le curve y = (1
porta a studiare gli integrali
I(n) =
6
7
Z
cos(#)
=2
sinn (#)d#:
0
Integrando per parti si ha
Z
=2
sinn (#)d#
0
Z =2
=2
n 1
= cos(#) sin (#) 0 + (n 1)
cos2 (#) sinn 2 (#)d#
0
Z =2
2
n 2
= (n 1)
(1 sin (#)) sin (#)d# = (n 1) (I(n 2) I(n)) :
I(n) =
0
Quindi I(0) = =2, I(1) = 1, I(n) = ((n
3
5
2), e iterando,
(2n 1)
;
2 4 6 ::: (2n)
2
2 4 6 ::: (2n)
I(2n + 1) =
:
1 3 5 ::: (2n + 1)
I(2n) =
1
1) =n) I(n
:::
Da queste uguaglianze e dalle disuguaglianze
I(2n + 2) < I(2n + 1) < I(2n);
1 < I(2n)=I(2n + 1) < I(2n)=I(2n + 2) = (2n + 2)=(2n + 1);
si ottiene
1<
1
2
3
2
5
4
:::
6
(2n 1)
::: (2n)
1
3
2
113
5
4
:::
6
(2n + 1)
2n + 2
<
! 1:
::: (2n)
2n + 1
Gli integrali
Z
=2
sinn (#)d# hanno a che fare con il volume della sfera in uno
0
spazio euclideo ad n dimensioni. Se indichiamo con V (n) il volume di una sfera
di raggio uno, allora V (n)rn è il volume di una sfera di raggio r. La misura
dell’intervallo [ 1; 1] è V (1) = 2 e per ricorrenza si può calcolare V (n),
Z
Z 1Z
V (n) =
dx =
dydt
p
fx2Rn :jxj 1g
1 fy2Rn 1 :jyj
1 t2 g
Z 1
Z =2
2 (n 1)=2
= V (n 1)
(1 t )
dt = 2V (n 1)
sinn (#)d#:
1
0
Il volume della buccia di sfera, cioè dell’insieme di punti a distanza h dal
bordo, è V (n)(r + h)n V (n)(r h)n . Dividendo questo volume per l’altezza 2h si
ottiene una approssimazione dell’area della buccia. L’area della super…cie sferica
A(n)rn 1 è la derivata del volume V (n)rn ,
A(n)rn
1
= lim
V (n)(r + h)n
V (n)(r
h)n
2h
h!0
= nV (n)rn 1 :
In particolare,
V (1) = 2
A(1) = 2
V (2) =
A(2) = 2
V (3) = 4 =3
A(3) = 4
Z +1
ed in termini della funzione Gamma di Eulero (x) =
tx
1
exp( t)dt,
0
n=2
2 n=2
2
;
V (n) =
:
(n=2)
n (n=2)
Z 1
Z 1
2 m=2
m+1
C’è un legame tra l’integrale
(1 u ) du = 2
tm=2 (1 t)m=2 dt e la
1Z
0
1
funzione Beta di Eulero B(x; y) =
tx 1 (1 t)y 1 dt = (x) (y)= (x + y). In
A(n) =
0
particolare,
Z
=2
p
((n + 1)=2)
:
2 ((n + 2)=2)
0
C’è un legame tra il prodotto di Wallis, la funzionepGamma di Eulero e la
formula asintotica di Stirling per il fattoriale n! nn e n 2 n. Si può usare una
formula per dimostrare l’altra, e viceversa,
n
sin (#)d# =
114
4 ::: (2n) (2n)
24n (n!)4
=
1
::: (2n 1)p (2n + 1)
(2n)!(2n + 1)!
4
4n
n
n
2 n
2 n e
:
p
p
2
(2n)2n e 2n 2 (2n) (2n + 1)2n+1 e 2n 1 2 (2n + 1)
2
3
2
3
4
5
Come ultima applicazione degli integrali di Wallis e del binomio di Newton, calcoliamo la lunghezza dell’ellisse (x=a)2 +(y=b)2 = 1, cioè (x; y) = (a cos(#); b sin(#)).
La lunghezza dell’ellisse p
è un integrale ellittico che si può sviluppare in serie di
potenze dell’eccentricità (a2 b2 ) =a2 , se a b > 0:
Z
p
dx2 + dy 2
Z =2 p
Z =2 r
b 2 a2
2
2
2
2
cos2 (#)d#
=4
a sin (#) + b cos (#)d# = 4a
1+
2
a
0
0
+1
+1
n Z =2
X
X
1=2
b 2 a2
1=2 2n
b 2 a2
2n
= 4a
cos
(#)d#
=
2
a
n
a2
n
n
4a2
0
n=0
n=0
f(x=a)2 +(y=b)2 =1g
n
:
La serie converge tanto più velocemente quanto più l’eccentricità è piccola e se
questa è nulla si riottiene il perimetro del cerchio. Questa formula per la lunghezza
di un’ellisse è del 1742 ed è dovuta a MacLaurin. Una formula equivalente è data
dalla serie di Gauss-Kummer
+1
X
1=2
(a + b)
n
n=0
2
a b
a+b
2n
:
p
Un’ellisse di semiassi a e b ed un cerchio di raggio ab hanno la stessa area ab
ma, per la proprietà isoperimetrica
del cerchio, il perimetro dell’ellisse è maggiore
p
del perimetro del cerchio
p 2 ab. Inoltre la media aritmetica (a + b) =2 è maggiore
di quella geometrica ab. Con queste motivazioni, nel 1609 Keplero propone per
il perimetro dell’ellisse il valore (a + b), che è il primo termine della serie di
Gauss-Kummer. Una buona approssimazione per il perimetro dell’ellisse è
(a + b)
16(a + b)2 + 3(a b)2
:
16(a + b)2 (a b)2
115
Se l’eccentricità è nulla questa formula dà il valore esatto 2 a, se l’eccentricità
è uno la formula approssimata dà a 19=15 = a 3; 979::: contro il valore esatto 4a.
L’orbita di Mercurio è circa un’ellisse con eccentricità 1/5 e la formula approssima
la lunghezza dell’orbita con un errore di pochi millimetri. L’eccentricità dell’orbita
di Venere è circa 1/150, la Terra 1/60, Marte 1/11, Giove 1/21, Saturno 1/18„
Urano 1/22, Nettuno 1/88, Plutone 1/4.
116
LA SERIE DEL LOGARIT M O DI M ERCAT ORE E N EW T ON
E LA SERIE DELL0 ARCO T AN GEN T E DI GREGORY E LEIBN IZ
Per ogni x 6= 1 si ha
n 1
X
xk = (1
xn ) = (1
x) ed integrando questa serie geo-
k=0
metrica si può ottenere lo sviluppo in serie del logaritmo di Mercatore e Newton,
=
Z
log(1 + x) =
0
x
(1
0
2
x =2 + x3 =3
=x
Z
x
dt
1+t
t + ::: + ( t)n + ( t)n+1 (1 + t) 1 ) dt
Z x
4
n n+1
n+1
x =4 + ::: + ( ) x =(n + 1) + ( )
tn+1 (1 + t) 1 dt:
2
t+t
3
0
Z
x
tn+1 (1 + t)
0
1
dt ! 0 se
1<x
log(1 + x) = x
1 e n ! +1, quindi
x2 =2 + x3 =3
x4 =4 + ::::
Questa serie converge solo se 1 < x 1, ma la formula log(z) = log(1=z)
riduce il calcolo dei logaritmi dei numeri maggiori di uno a quello dei logaritmi
minori di uno. Comunque Gregory osserva che è possibile calcolare il logaritmo
di ogni numero positivo anche con la serie
log
1+x
1 x
= log (1 + x)
log (1
x) = 2 x + x3 =3 + x5 =5 + x7 =7 + ::: :
La serie dell’arco tangente di Gregory, Leibniz, Madhava, Nilakantha, si può
ottenere in modo simile:
Z x
dt
arctan(x) =
2
0 1+t
Z x
=
(1 t2 + t4 t6 + :::) dt = x x3 =3 + x5 =5 x7 =7 + ::::
0
Osserviamo la somiglianza tra le due serie x + x3 =3 + x5 =5 + ::: e x
x =5 + :::. Con la sostituzione ix
x = tan(#) si ottiene
5
117
x3 =3 +
arctan(x) =
1
log
2i
1 + ix
1 ix
;
1
log
2i
cos(#) + i sin(#)
cos(#) i sin(#)
= #:
Queste formule sono anche conseguenza dell’identità di Eulero exp(i#) =
cos(#) + i sin(#), o della scomposizione di Bernoulli
arctan(x) =
Z
0
x
dt
1
=
2
1+t
2
Z
0
x
1
1
+
1 + it 1 it
dt =
1
log
2i
1 + ix
1 ix
:
Ma torniamo al campo reale. La serie dell’arco tangente converge per 1
x +1 e la convergenza è tanto più rapida quanto più x è piccolo. In particolare,
=4 = arctan(1) = 1 1=3 + 1=5 1=7 + 1=9 :::;
p
1
1
1
1
1
=6 = arctan 1= 3 = p
1
+
+
2
3
3 3 5 3
7 3
9 34
3
:::: :
La prima serie non si presta al calcolo numerico di perché converge troppo
lentamente. La di¤erenza tra il valore della serie e quello delle somme parziali è
dell’ordine del primo termine che si trascura e per ottenere con questa serie una
approssimazione di a meno di un centesimo bisogna sommare un centinaio di
termini. La seconda serie converge già abbastanza velocemente, ma è possibile far
di meglio. Dalla formula di addizione della tangente si ricava, per x e y piccoli,
tan( ) + tan( )
;
1 tan( ) tan( )
x+y
arctan(x) + arctan(y) = arctan
;
1 xy
1 x
arctan(x) + arctan
= arctan(1) = =4:
1+x
Possiamo usare quest’ultima formula per calcolare l’arco tangente di 0 < x <
+1 usando la serie dell’arco tangente di 1 < (x 1) = (x + 1) < 1, ma possiamo
anche usare questa formula per calcolare . Un modo sistematico per ottenere
formule di questo tipo si basa sulla fattorizzazione degli interi di Gauss + i ,
con e interi relativi, in fattori primi di Gauss,
tan( + ) =
+ i = ( 1 + i 1 ) ::: ( n + i n )
arctan ( = ) = arctan ( 1 = 1 ) + ::: + arctan ( n =
118
n)
+ 2 k:
In particolare, poiché i primi di Gauss sono 1 i, 2 i, 3, 3 2i, 4 i, 5 2i, 6 i,
5 4i, 7,..., si può scomporre arctan ( = ) in una somma di arctan(1), arctan(1=2),
arctan(1=3), arctan(2=3),.... Fissato n, il numero delle soluzioni dell’equazione
arctan (1= 1 ) + ::: + arctan (1= n ) = è …nito, in particolare si può decomporre
= a arctan (1=m) b arctan (1=n) con a, b, m e n interi, solo in cinque modi,
(1 + i)4 = 4;
(2 + i)4 (3 + i)4 = 2500;
4(2 + i)8 = (7 + i)4 ;
(3 + i)8 (7 + i)4 = 25000000;
(5 + i)16 = 64(239 + i)4 ;
= 4 arctan (1) ;
= 4 arctan (1=2) + 4 arctan (1=3) ;
= 8 arctan (1=2) 4 arctan (1=7) ;
= 8 arctan (1=3) + 4 arctan (1=7) ;
= 16 arctan (1=5) 4 arctan (1=239) :
La seconda formula è di Eulero 1738, la terza di Hermann 1706, la quarta di
Hutton 1776, la quinta di Machin 1706 e ci sono molte altre formule, di Eulero,
Gauss ed altri, con tre o più addendi. Sviluppando in serie l’arco tangente, dalla
formula di Machin si ottiene
1
1
1
1
1
+
+ :::
4
::: :
3
5
7
5 3 5
5 5
7 5
239
Queste due serie convergono abbastanza velocemente ed essendo a termini alterni,
le somme parziali di¤eriscono dal valore delle serie per meno dei primi termini
trascurati. Sommando solo i termini indicati si ottiene 1231847548=392109375 =
3; 141591:::, una approssimazione di per difetto a meno di 16= (9 59 )+4= (3 2393 ),
circa un milionesimo. Con la formula di Machin, nel 1873 W.Shanks (1812-1882)
calcola 707 cifre decimali di , ma solo 527 sono corrette.
Abbiamo detto che 1 1=3 + 1=5 1=7 + ::: converge molto lentamente, ma
si può accelerare la convergenza di questa ed altre serie con delle trasformazioni
di Eulero. L’idea è di aggiungere la metà di un termine alla metà del termine
successivo ed iterare,
= 16
1 1
+
1
2 2
1 1
1
= +
1
2 4
3
1 1
1
= +
1
+
2 4
3
=
1
3
+
1
8
1
+
3
1
2
1
5
1
3
1
2
1
+
4
3
2 1
1
+
3 5
1
119
1
+ :::
7
1
1 1 1
+
:::
5
2 5 7
1
1 1 2 1
+
+ :::
5
4 3 5 7
1
3 3 1
+
1
+
+ :::
16
3 5 7
In questo modo si ottiene
+1 n 1
+1
X
X
( )n
2
(n!)2
=
;
2n
+
1
(2n
+
1)!
n=0
n=0
ma la seconda serie converge più velocemente della prima, dieci termini della
seconda serie sono meglio di cento termini della prima. Questa serie è un caso
particolare di un’altra formula di Eulero del 1755,
arctan(x) =
+1
x X 22n (n!)2
1 + x2 n=0 (2n + 1)!
x2
1 + x2
n
:
Con questa serie e la formula
= 20 arctan(1=7) + 8 arctan(3=79), Eulero
calcola 20 decimali di in un’ora!
Concludiamo con una curiosità. C’è una relazione tra , l’arco tangente e i
numeri di Fibonacci, F (1) = F (2) = 1, F (n + 2) = F (n) + F (n + 1). Si ha infatti
arctan (1=F (2n)) = arctan (1=F (2n + 1)) + arctan (1=F (2n + 2)) ;
+1
X
= 4 arctan (1=F (2)) = 4
arctan (1=F (2n + 1)) :
n=1
120
EU LERO E LA SERIE DEI RECIP ROCI DEI QU ADRAT I
p
La media geometrica tra due numeri positivi a e b è ab e la media armonica
è 2ab= (a + b). Nella serie geometrica 1 + x + x2 + x3 + ::: ogni termine è la media
geometrica dei termini contigui e, similmente, nella serie armonica 1 + 1=2 +
1=3 + 1=4 + ::: ogni termine è la media armonica dei termini contigui. La prima
dimostrazione della divergenza della serie armonica è forse quella di N.Oresme
(1323-1382).
”Spostati di un piede, poi di un mezzo, un terzo, un quarto,... La somma totale
è in…nita. Infatti è possibile formare un numero in…nito di gruppi di termini con
somma maggiore di un mezzo. 1=3 + 1=4 è maggiore di 1=2, 1=5 + 1=6 + 1=7 + 1=8
è maggiore di 1=2, 1=9+1=10+1=11+1=12+1=13+1=14+1=15+1=16 è maggiore
di 1=2, e così all’in…nito”.
La somma dei reciproci dei numeri triangolari è dovuta a Mengoli,
1
1 2
+
1
2 3
+
1
3 4
+ ::: =
1
1
1
2
+
1
2
1
3
+
1
3
1
4
+ ::: = 1:
Dal risultato di Mengoli segue facilmente che la somma dei reciproci dei quadrati
1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + ::: è …nita e compresa tra uno e due. Più precisamente,
Wallis calcola che la somma è circa 1; 645, ma trovare il valore esatto della serie
non è banale. Comunque, nel 1736 Eulero riesce dove Mengoli, Wallis, Huygens,
Leibniz, i Bernoulli, ed altri, hanno fallito:
”In maniera inaspettata ho trovato un’elegante espressione per la somma della
serie 1+1=4+1=9+1=16+etc, che dipende dalla quadratura del cerchio... Sei volte
la somma di questa serie è uguale al quadrato della circonferenza di un cerchio
con diametro uno”.
1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + 1=36 + ::: =
2
=6:
L’idea della dimostrazione è semplice. Si parte dallo sviluppo in serie di
potenze della funzione seno,
sin(x) = x
3
5
x =3! + x =5!
:::;
p
sin( x)
p
=1
x
121
x=3! + x2 =5!
::::
Uguagliando a zero l’ultima espressione si ottiene una equazione con radici
x = 2 ; 4 2 ; 9 2 ; :::,
0=1
x=6 + x2 =120
:::
In un polinomio con termine noto uno, il coe¢ ciente del termine di primo
grado cambiato di segno è uguale alla somma degli inversi delle radici. Quindi
+1
X
è naturale congetturare che
k 2 = 2 =6. Per convincersi che il risultato è
k=1
corretto basta un riscontro numerico ed Eulero dal 1731 sa che la somma degli
inversi dei quadrati è circa 1,644934..., conclude quindi che anche se si può avere
qualche perplessità sul metodo, non è lecito dubitare del risultato.
Illustriamo più in dettaglio i lavori di Eulero. Nel 1673 Leibniz osserva che
Z x
log(1 t)
dt = x + x2 =4 + x3 =9 + x4 =16 + :::
t
0
Seguendo questo suggerimento, Eulero ottiene
Z 1
log(1 t)
log(1 t)
dt
dt
t
t
0
x
Z 1 x
Z x
log(1 t)
log(1 t)
= log(x) log(1 x)
dt
dt
t
t
0
0
+1
+1
X
X
2 k
= log(x) log(1 x) +
k x +
k 2 (1 x)k :
+1
X
1
=
k2
k=1
Z
x
k=1
k=1
Se x = 1=2,
+1
X
k=1
k
2
=
+1
X
1
k 2
k
k=1
!2
+1
X
+ 2 k 22 k :
k=1
Le serie a destra convergono più rapidamente di quella a sinistra e permettono
+1
X
di ottenere la stima numerica
k 2 = 1; 644934::: In seguito Eulero scopre una
k=1
formula di sommazione che permette di comparare una serie ad un integrale e
riottiene più semplicemente questa stima.
Se di un polinomio si conoscono gli zeri, questo polinomio può essere scomposto in fattori lineari. Eulero congettura una simile scomposizione anche per
122
certe funzioni trascendenti. In particolare, la funzione sin(x) ha gli zeri in x =
0;
; 2 ; ::: e sin(x) x se x è piccolo, quindi
sin(x) = x 1 +
x
x
=x 1
1
1+
2
2
2
x
1
x
4 2
x
x
1
2
2
x2
1
:::
9 2
:::
Uguagliando lo sviluppo in serie di potenze al prodotto in…nito, Eulero ottiene
= x (1
=x
x x3 =6 + x5 =120 :::
x2 = 2 ) (1 x2 =4 2 ) (1 x2 =9 2 ) :::
((1 + 1=4 + 1=9 + :::)= 2 ) x3 + :::
In…ne, uguagliando i coe¢ cienti di x3 Eulero ottiene il valore della serie dei
+1
X
reciproci dei quadrati,
k 2 = 2 =6. Uguagliando i coe¢ cienti di x5 Eulero
k=1
ricava anche il valore della serie dei reciproci delle quarte potenze,
+1
X
k
4
=
4
=90
k=1
e, più in generale, i valori delle serie dei reciproci delle potenze pari.
Eulero ottiene il prodotto in…nito di Wallis ponendo x = =2 nel suo prodotto
in…nito,
x
x
1+
2
1 3 3 5
1=
:::
2 2 2 4 4
e confrontando i termini lineari in
sin(x) = x 1 +
1
sin(x) = 1
x + x3 =6
1
::: = (1
x
1
x
2
:::;
2x= )2 (1 + 2x=3 )2 (1 + 2x=5 )2 :::;
ottiene la serie di Leibniz =4 = 1 1=3 + 1=5 :::.
Nel 1743 Eulero presenta un’altra dimostrazione della somma dei p
reciproci
dei quadrati. Si parte dalla formula (d=dx) arcsin2 (x) = 2 arcsin(x)= 1 x2 .
Sviluppando in serie di Taylor l’arco seno ed integrando termine a termine si
ottiene
123
2
Z
1
arcsin(x)
p
dx
8
1 x2
0
Z
Z 1
Z 1
1
x3
x5
x
1
1 3
p
p
p
dx +
dx +
dx + :::
=
2 3 0 1 x2
2 4 5 0 1 x2
1 x2
0
1
1
=1+
+
+ :::
3 3 5 5
=
Per ottenere la somma dei reciproci dei quadrati basta osservare che
X = 1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + 1=36 + :::
= (1 + 1=9 + 1=25 + :::) + (1 + 1=4 + 1=9 + :::) =4 = 2 =8 + X=4:
Mostriamo ora come è semplice calcolare la somma dei reciproci delle potenze
pari con l’aiuto dei polinomi di Bernoulli e delle serie di Fourier. De…niamo i
polinomi f n (x)g+1
n=0 ricorsivamente:
8
0 (x) = 1;
>
>
>
< d
n+1 (x) = n (x);
Zdx1
>
>
>
:
n+1 (x)dx = 0:
0
Per esempio, 1 (x) = x 1=2, 2 (x) = x2 =2 x=2 + 1=12,... Lo sviluppo in
serie di Fourier nell’intervallo 0 x 1 di x 1=2 è
x
Integrando si ricava
1
=
2
1 X sin(2 kx)
:
k
k=1
+1
+1
X
cos(2 kx)
2
;
2n (x) = ( )
(2 k)2n
k=1
+1
X
sin(2 kx)
n+1
2
:
2n+1 (x) = ( )
(2 k)2n+1
k=1
n+1
In particolare, per x = 0 e x = 1=4 si ottengono le serie
124
+1
X
+1
X
k
2n
= ( )n+1 22n
1 2n
2n (0);
k=1
( )k (2k + 1)
2n 1
= ( )n+1 22n
2n+1
2n+1 (1=4):
k=0
Questi sviluppi in serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli sono dovuti ad
Eulero, il quale osserva che se siamo capaci di sommare una serie di potenze,
siamo anche capaci di sommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z =
r (cos(#) + i sin(#)), allora
+1
X
k=0
ck z k =
+1
X
ck rk cos(k#) + i
k=0
+1
X
ck rk sin(k#):
k=0
Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio di convergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergenti che poi
integra e deriva a piacimento. In particolare,
1 + z + z 2 + z 3 + ::: = 1=(1 z);
cos(#) cos(2#) + cos(3#) ::: = 1=2;
sin(#) sin(2#)=2 + sin(3#)=3 ::: = #=2:
La seconda serie si ottiene ponendo z = exp(i#) nella serie geometrica. La
terza si ottiene integrando la seconda ed osservando in # = 0 che la costante di
integrazione è nulla. Questi sviluppi sono validi in
< # < , traslando e
riscalando si possono ottenere gli sviluppi in altri intervalli.
+1
x X ( )k+1 sin(kx)
Dieci termini della serie di Eulero-Fourier =
,
2
k
k=1
con il fenomeno di Wilbraham-Gibbs nei punti di discontinuità x =
.
125
Abbiamo visto come Eulero calcola le serie dei reciproci delle potenze pari. E
le potenze dispari? ”Tutti i miei sforzi sono stati vani...”. Anche Eulero ha i suoi
limiti.
126
LE F RAZION I CON T IN U E DI EU LERO E LAGRAN GE
Le frazioni continue compaiono implicitamente nell’algoritmo di Euclide per
la determinazione del massimo comun divisore. Dati due interi a e b, esistono due
interi c ed r con a = b c + r e 0 r < b. Esistono poi d ed s con b = r d + s
e0
s < r... I resti decrescono e l’ultimo resto non nullo è il massimo comun
divisore tra a e b. Si può riscrivere l’algoritmo come una frazione continua,
a
r
1
1
1
=c+ =c+ =c+
= :::
=c+
s
1
b
b
b
d+
d+ r
r
r
s
Per esempio, il massimo comun divisore tra 103993 e 33102 è 292, infatti
103993
=3+
33102
1
:
1
7+
1
15 +
1
292
In un linguaggio funzionale più astratto, se [y] è la parte intera di y e F (x) =
1=x [1=x] la parte frazionaria di 1=x, allora per ogni 0 < x < 1 si ha
1+
x=
1
=
[1=x] + F (x)
1
1
[1=x] +
[1=F (x)] + F 2 (x)
1
=
:
1
[1=x] +
[1=F (x)] +
1
[1=F 2 (x)]
+ :::
In particolare, i numeri razionali hanno sviluppi in frazioni continue semplici
…nite e viceversa. Per comodità tipogra…ca si usa anche scrivere
1
a(0) +
1
a(1) +
1
a(3) + :::
1
1
1
= a(0) +
:::
a(1)+ a(2)+ a(3)+
= [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] :
a(2) +
127
Le n esime convergenti p(n)=q(n) = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::; a(n)] si possono
calcolare in modo ricorsivo ponendo
p(0) = a(0); p(1) = a(0)a(1) + 1; p(n) = a(n)p(n
q(0) = 1;
q(1) = a(1);
q(n) = a(n)q(n
1) + p(n
1) + q(n
2);
2):
Per dimostrare queste formule per induzione, basta scrivere la frazione con n
termini [a(0); :::; a(n)] nella forma con n 1 termini [a(0); :::; a(n 1) + 1=a(n)].
Se x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] e x(n) = [a(n); a(n + 1); a(n + 2); a(n + 3); :::],
risulta
x(n + 1)p(n) + p(n 1)
;
x(n + 1)q(n) + q(n 1)
p(n + 1) p(n)
( )n
=
;
q(n + 1) q(n)
q(n)q(n + 1)
p(n + 1)
q(n)
p(n)
=
x
q(n + 1)
x(n + 2)q(n + 1)
q(n)
x=
x
:
Quindi p(n + 1)=q(n + 1) dista da x meno di p(n)=q(n) e
p(2)
p(4)
p(5)
p(3)
p(1)
p(0)
<
<
< ::: < x < ::: <
<
<
;
q(0)
q(2)
q(4)
q(5)
q(3)
q(1)
p(n)
1
1
< x
<
:
2q(n)q(n + 1)
q(n)
q(n)q(n + 1)
Le frazioni continue possono essere utilizzate per approssimare dei numeri
irrazionali con delle frazioni, o dei numeri razionali con denominatore alto con
razionali con denominatore basso. Per esempio, la lunghezza di un anno astronomico è circa 365 giorni 5 ore 48 minuti 46 secondi, cioè, in giorni,
15778463
= 365 +
43200
1
:
1
4+
1
7+
1
1+
3+
1
1
64
La prima ridotta della frazione è 1/4 e la terza 8/33, cioè 24/99. Questo
suggerisce di porre un anno bisestile ogni 4 e di eliminarne uno ogni 100. Su
5+
128
suggerimento di C.Clavius (1537-1612), nel 1572 il Papa Gregorio XIII riforma il
calendario giuliano introducendo la seguente regola: Gli anni divisibili per quattro
sono bisestili, con l’eccezione degli anni divisibili per 100 ma non per 400.
L’orbita della Luna
intorno alla Terra.
La durata del mese sinodico, da Luna nuova a Luna nuova, è 29,53059
giorni. Il mese draconico, da nodo a nodo, è 27,21222. Il mese anomalistico,
da perigeo a perigeo, è 27,55455. Il ciclo del Saros è di 223 mesi sinodici,
che corrispondono quasi esattamente a 242 mesi draconici o 239 mesi
anomalistici. Questo ciclo, scoperto dai caldei, governa le eclissi di
Sole e di Luna ed anche le maree.
2953059=2721222 = [1; 11; 1; 2; 1; 4; 3; 4; 1; 3; 10; 6]
[1; 11; 1; 2; 1; 4] = 242=223
223 29; 53059 = 6585; 32157
242 27; 21222 = 6585; 35724
239 27; 55455 = 6585; 53745
Per il calcolo delle radici quadrate Bombelli e Cataldi propongono la formula
p
b
a2 + b = a +
:
b
2a +
2a +
b
2a + :::
p
Basta osservare che a2 + b è la soluzione positiva dell’equazione x = a +
b= (a + x) e sostituire ripetutamente
x=a+
b
=a+
a+x
b
b
a+ a+
a+x
129
b
=a+
2a +
= :::
b
a+ a+
b
a+x
Il metodo è semplice
ed e¢ ciente. Per esempio, 1 + 1= (2 + 1= (2 + 1=2)) =
p
17=12 = 1; 416::: e 2 = 1; 414:::.
Per risolvere l’equazione x2 ax 1 = 0 si può trasformarla in x = a + 1=x
ed iterare, x = a + 1= (a + 1=x),.... Nel 1770 Lagrange mostra che ogni frazione
continua e periodica da un certo posto in poi è radice di una equazione di secondo
grado a coe¢ cienti interi, e viceversa. Nel 1829 Galois dimostra che una frazione
continua è puramente periodica se e solo se è la radice maggiore di 1 di una
equazione di secondo grado a coe¢ cienti interi e la radice coniugata è compresa
tra 1 e 0. Nel 1769 Lagrange propone un algoritmo per trovare lo sviluppo in
frazioni continue delle radici di un generico polinomio a coe¢ cienti interi. Se un
polinomio P (x) di grado n ha una sola radice nell’intervallo < x < , allora
il polinomio (1 + x)n P (( + x) = (1 + x)) ha una sola radice in 0 < x < +1.
Consideriamo ora un polinomio Q(x) di grado n con una sola radice positiva e
denotiamo con a la parte intera di questa radice. Questa parte intera è determinata
dalla disequazione Q(a) 0 < Q(a + 1), o dalla disequazione inversa. Operiamo
la sostituzione x = a + 1=y e poniamo R(y) = y n Q (a + 1=y). Anche questo
polinomio ha una sola radice positiva, con parte intera b. Se y = b + 1=z, anche
S(z) = z n R (b + 1=z) ha una sola radice positiva, con parte intera c... In questo
modo si ottiene lo sviluppo in frazione continua della radice Q(x) = 0,
1
x=a+
:
1
b+
c + :::
Nel 1776 Lagrange propone il seguente metodo per ottenere lo sviluppo in
frazioni continue della soluzione di un’equazione di¤erenziale. Sia dy=dx = F (x; y).
Assumendo y(x)
a(x) per jxj piccolo, si pone y = a= (1 + z) e sostituendo
questa espressione nell’equazione di¤erenziale si ottiene un’equazione di¤erenziale
dz=dx = G(x; z). Assumendo z(x)
b(x), si pone z = b= (1 + z), e così via.
In questo modo si ottiene lo sviluppo y = a= (1 + b= (1 + :::)). Non è semplice
ottenere una formula generale per i termini a, b,..., ma a volte il metodo funziona.
La classe delle equazioni di¤erenziali di Riccati dy=dx = a(x)+b(x)y +c(x)y 2 è invariante per i cambi di variabili y = ( (x) + (x)z) = ( (x) + (x)z). Assumiamo
k + 2n 6= 0 per n = 1; 2; ::: e consideriamo l’equazione
dy
+ ky + y 2 + x2 = 0;
y(0) = 0:
dx
Inserendo una serie di potenze a + bx + cx2 + ::: nell’equazione ed uguagliando
a zero le potenze di x si ottiene lo sviluppo y = x2 = (k + 2) + :::. Ponendo
x
130
y = x2 = (k + 2 + z), si ottiene poi un’equazione per z analoga a quella per y, ma
con k + 2 al posto di k,
dz
+ (k + 2)z + z 2 + x2 = 0;
z(0) = 0:
dx
Si può iterare il procedimento ponendo z = x2 = (k + 4 + w), e così via... In
tal modo si ottiene lo sviluppo
x
x2
y=
x2
k+2+
:
x2
k + 6 + :::
Consideriamo ora l’equazione di¤erenziale a variabili separabili
k+4+
dy
= 1 + y2;
y(0) = 0:
dx
La soluzione è y = tan(x), ma procediamo come sopra. Ponendo y = x= (1 + z),
si ottiene un’equazione per z,
dz
+ z + z 2 + x2 = 0;
z(0) = 0:
dx
x2 = (3 x2 = (5 x2 =(7 :::))) e
x
Quindi z =
x
tan(x) =
:
x2
1
x2
3
x2
5
7 :::
Questa frazione continua converge per ogni x e sostituendo x con
tengono anche gli sviluppi in frazioni continue di tanh(x) e exp(x),
131
ix si ot-
exp(x) exp( x)
=
exp(x) + exp( x)
1
exp(x) =
=
2
1
1
x
i tan(ix) =
1
1
i tan(ix=2)
;
x2
1+
x2
3+
x2
5+
7 + :::
1
:
2x
x2
2+x+
x2
6+
x2
10 +
14 + :::
Questi sviluppi sono scoperti nel 1737 da Eulero e sono poi riottenuti nel 1761
da Lambert e nel 1794 da Legendre, che li utilizzano per dimostrare l’irrazionalità
di e di e, e più in generale l’irrazionalità di tan(p=q) e di exp(p=q) per ogni
razionale p=q. Qui osserviamo solo che ponendo x = 1 nello sviluppo di exp(x) e
x = 1 in quello di tanh(x) si ottengono degli sviluppi in frazioni continue semplici,
e
1
2
1
=
;
1
1+
6+
e2 1
=
e2 + 1
1
1
1+
1
3+
1
10 +
14 + :::
:
1
5+
1
7 + :::
Da questi sviluppi segue immediatamente che sia e che e2 sono irrazionali.
Inoltre questi numeri non sono radici di un polinomio di secondo grado a coe¢ cienti interi, perché tali radici dovrebbero avere uno sviluppo in frazioni continue
periodico. Scriviamo ora e 1 = 2= (1 + 1= (6 + 1= (10 + :::))) e cerchiamo di
moltiplicare per due uno sviluppo in frazioni continue. Si ha
2
1
(2a + 1) +
b
1
=
:
1
a+
1
1+
1+
2
b 1
In particolare, con a = 0 e b = 6 + 1= (10 + 1=(14 + :::)), si ottiene
132
e
2
1=
1+
=1+
1
1
2
:
1+
1 1
1 1
6+
:::
5+
:::
10+ 14+
10+ 14+
Similmente, con a = 2 e b = 10 + 1= (14 + 1=(18 + :::)),
e
1
1=1+
2
1 1
5+
:::
10+ 14+
1
:
=1+
1
1+
1
2+
1
1+
2
1+
1
9+
:::
14+
Iterando si ottiene lo sviluppo in frazioni continue di e 1, quindi di e. Questi
sviluppi si possono anche ottenere più direttamente nel modo seguente. Se una
successione fX(n)g+1
n=0 veri…ca una relazione di ricorrenza con tre termini
1+
(an + A)X(n) = (bn + B)X(n + 1) + (cn + C)X(n + 2);
ponendo Y (n) = X(n)=X(n + 1) ed iterarando la relazione
X(n + 2)
X(n)
= (bn + B) + (cn + C)
;
X(n + 1)
X(n + 1)
(bn + B)
(cn + C)
Y (n) =
+
;
(an + A) (an + A)Y (n + 1)
si ottiene uno sviluppo in frazioni continue per Y (0). In particolare, de…niamo
(an + A)
2n X (n + k)!
X(n; x) = n
x
x k=0 k!(2n + 2k)!
+1
2k
;
Y (n; x) =
X(n; x)
:
X(n + 1; x)
Si ha X(0; x) = cosh(1=x), X(1; x) = sinh(1=x), ed anche
X(n; x) = (2n + 1)xX(n + 1; x) + X(n + 2; x);
1
Y (n; x) = (2n + 1)x +
:
Y (n + 1; x)
133
Quindi,
Y (0; x) = x +
1
=x+
Y (1; x)
1
3x +
1
Y (2; x)
exp(1=x) + exp( 1=x)
=x+
exp(1=x) exp( 1=x)
1
=x+
1
3x +
5x +
1
1
3x +
5x + :::
1
Y (3; x)
:
Le frazioni continue sono un metodo di approssimazione spesso più e¢ ciente
delle serie di Taylor, che danno solo approssimazioni locali. Per esempio, le frazioni
parziali x, 3x= (3 x2 ), (15x x3 ) = (15 6x2 ),..., dello sviluppo in frazioni conx x2 x2
tinue tan(x) =
::: approssimano questa funzione anche oltre le singolar1 3 5
3
2
ità in =2, p
3 =2,.... tan(x) ha un polo
p in =2 mentre (15x x ) = (15 6x ) ha
un polo in 10=2, in particolare
10 = 3; 162:::.
Lo sviluppo in frazioni continue della tangente.
y=
105x 10x3
945x 105x3 + x5
;
y
=
;
105 45x2 + x4
945 420x2 + 15x4
y = tan(x):
Descriviamo in…ne un semplice algoritmo di D.Shanks per calcolare lo sviluppo
in frazioni continue di logaritmi. Per calcolare logb0 (b1 ), con 1 < b1 < b0 , troviamo
n +1=x1
n1 tale che bn1 1 < b0 b1n1 +1 . Si ha allora b0 = b1 1
con x1 1, e in particolare
logb0 (b1 ) = 1= (n1 + 1=x1 ). Determinati fb0 ; b1 ; :::; bk 1 g e fn1 ; :::; nk 1 g, de…niamo
n
n +1=xk
bk = bk 2 bk 1k 1 e troviamo nk tale che bnk k < bk 1 bnk k +1 . Allora bk 1 = bk k
nk+1 +1=xk+1
1=x
con xk
1. Ora osserviamo che bk = bk+1
e bk+1 = bk 1 bk nk = bk k ,
quindi xk = nk+1 + 1=xk+1 . Da questa relazione di ricorrenza si conclude che
134
logb0 (b1 ) =
1
n1 +
1
x1
1
=
1
n1 +
n2 +
135
1
=
1
x2
1
n1 +
n2 +
1
n3 + :::
BU F F ON E I M ET ODI M ON T ECARLO
Alla domanda di un assicuratore su come stimare l’aspettativa di vita di un assicurato, un matematico risponde che se e sono la media e lo scarto quadratico,
la probabilità che la durata sia tra a e b è descritta approssimativamente dall’area
sotto una curva a campana,
Z b
1
p
exp
(x
)2 =2 2 dx:
2
a
Non tenta neanche di spiegare cos’è la funzione esponenziale, ma ricorda che
è quel numero che nasce dalla misura del cerchio. A questo punto l’interlocutore
perplesso osserva che ci deve essere un errore, cosa c’entra la vita di una persona
con un cerchio? Che relazione ci può essere tra e, e la probabilità?
La curva di Gauss
y = exp( x2 ).
Una variabile aleatoria normale con media
1
1
ha densità di probabilità p
exp
2
2
e varianza
!
2
x
2
.
Lanciando 2n volte una moneta non truccata, la probabilità di ottenere esat2n
tamente n teste ed n croci è esattamente
2 2n e, per la formula di Stirling,
n
si ha
p
2n
(2n)2n e 2n 4 n
1
2n
p :
2
p
2 =
n
n
22n nn e n 2 n
Non è un metodo e¢ ciente per calcolare , ma dimostra comunque una relazione tra questo numero e la probabilità.
All’interno di un quadrato tracciamo un cerchio. Se scegliamo ”a caso” un
numero grande di punti nel quadrato e contiamo quanti di questi punti sono
136
anche nel cerchio, è ragionevole supporre che il rapporto tra il numero di punti
nel cerchio ed il numero di punti nel quadrato è circa uguale al rapporto tra l’area
del cerchio e quella del quadrato:
numero di punti nel cerchio
numero di punti nel quadrato
area del cerchio
:
area del quadrato
Questa uguaglianza approssimata, per un numero di punti che cresce all’in…nito
diventa esatta. Probabilmente abbiamo quadrato il cerchio... Se l’area è una
misura dell’insieme dei punti che intersecano una …gura, il perimetro è una misura
dell’insieme delle rette che intersecano una …gura convessa. La probabilità che una
retta che interseca un quadrato intersechi anche un cerchio interno al quadrato
è uguale al rapporto tra il perimetro del cerchio e quello del quadrato. Probabilmente abbiamo retti…cato il cerchio... Per la stima dell’errore in un metodo
Montecarlo si può solo parlare di errore probabile. Supponiamo che un esperimento abbia probabilità di successo p e probabilità di insuccesso 1 p. Ripetendo
N volte l’esperimento
p si ha un numero atteso di N p successi, con uno scarto
quadratico medio N p(1 p).
Probabilità geometrica.
Un punto nel quadrato è anche
nel cerchio con probabilità
area del cerchio
.
area del quadrato
Una retta nel quadrato interseca
il cerchio con probabilità
perimetro del cerchio
.
perimetro del quadrato
Scegliere a caso un oggetto equivale a scegliere a caso le sue coordinate. La
de…nizione di numero casuale è piuttosto problematica perché una de…nizione in
genere descrive una qualche proprietà, mentre un numero casuale dovrebbe essere
un numero senza proprietà particolari. Comunque, le stelle sembrano quasi gettate
a caso nel cielo così che le coordinate stellari dovrebbero essere numeri casuali.
Anche i numeri generati dalle roulettes del Casinò di Montecarlo dovrebbero essere
casuali. Un’altra successione di numeri casuali sembra essere la successione delle
cifre decimali di . Se le cifre decimali di sono casuali, tra i primi N decimali
p ogni
cifra deve comparire circa N=10 volte, con uno scarto quadratico medio N 3=10.
137
Per esempio, tra i primi 100 decimali di
scarti inferiori a cinque,
ogni cifra compare circa 10 volte, con
= 3; 1415926535 8979323846 2643383279
5028841971 6939937510 5820974944
5923078164 0628620899 8628034825
3421170679:::
Anche tra il primo milione di cifre decimali di
ogni cifra compare circa
centomila volte, con scarti inferiori a cinquecento. In un numero a caso di N cifre
9
X
la somma degli scarti quadratici pesati 10=N
(Xk N=10)2 tra le frequenze Xk
k=0
delle cifre k e le frequenze attese N=10 ha media 9 e varianza 18. Applichiamo
questo test statistico chi quadro ai decimali di con N = 100 e N = 1000000,
Cifra Frequenza Scarto quadrato
0
8
4
1
8
4
2
12
4
3
11
1
4
10
0
5
8
4
6
9
1
7
8
4
8
12
4
9
14
16
Totale
100
42
Cifra Frequenza Scarto quadrato
0
99959
1681
1
99758
58564
2
100026
676
3
100229
52441
4
100230
52900
5
100359
128881
6
99548
204304
7
99800
40000
8
99985
225
9
100106
11236
Totale
1000000
550908
In entrambi i casi lo scarto quadratico pesato ha un valore prossimo a 5,
inferiore al valor medio 9. Con possiamo anche giocare a poker, dividendo i suoi
decimali in blocchi di cinque. I primi dieci milioni di decimali danno due milioni
di mani, tra queste le coppie sono 1007151, i tris 144375, i poker sono 8887, contro
dei valori attesi di 1008000, 144000, 9000. All’apparenza non c’è niente di strano,
pare onesto. Un numero si dice normale se nel suo sviluppo decimale ogni cifra
compare con frequenza 1/10 e, più in generale, ogni combinazione di cifre compare
con la frequenza dovuta. Quasi ogni numero è normale ed anche ed e sembrano
normale, anzi i decimali di questi due numeri speciali sembrano del tutto casuali.
138
La relazione tra e la probabilità sembra aver origine da un gioco d’azzardo
descritto da G.L.Leclerc, Comte de Bu¤on (1707-1788) : Si getta una moneta
sul pavimento di una stanza, c’è chi scommette che la moneta cade all’interno di
una piastrella, chi scommette che la moneta tocca due piastrelle e chi scommette
che ne tocca più di due. Quali sono le possibilità di vincite dei ognuno di questi
scommettitori? Su incarico del conte un ragazzo ha dovuto fare più di duemila
lanci... Un problema più semplice è quello dell’ago di Bu¤on:
”Io suppongo che in una stanza, con il pavimento semplicemente diviso in
linee parallele, si getta per aria un bastoncino, e uno dei giocatori scommette che
il bastoncino non toccherà nessuna delle linee parallele sul pavimento, l’altro al
contrario scommette che il bastoncino toccherà qualcuna di queste parallele; mi
chiedo quale è la sorte di questi due giocatori. Si può giocare questo gioco con un
ago da cucito...”
Sia D la distanza tra le linee sul pavimento e L la lunghezza dell’ago, supponiamo per semplicità L < D. Denotiamo con x la distanza tra il centro dell’ago
e la linea più vicina, 0
x
D=2, e denotiamo con # l’angolo tra ago e linea,
0 #
. Gettare a caso l’ago equivale a scegliere a caso x e # e 2dxd#= D è
una misura di probabilità su f0 x D=2g f0 #
g. L’ago interseca la
linea quando x L=2 sin(#) e la probabilità di questo evento è
P
x
L
sin(#)
2
2
=
D
Z Z
0
0
L
2
sin(#)
dxd# =
2L
:
D
In particolare, indicando con P la probabilità di intersezione, si ottiene =
2L=DP . Con esperimenti ripetuti è in principio possibile ottenere delle approssimazioni di e sono molti quelli che ci hanno provato. Nel 1901 M.Lazzarini. in
”Un’applicazione del calcolo della probabilità all ricerca sperimentale di un valore approssimato di ” ripete l’esperimento di Bu¤on con L=D = 5=6 e in 3408
lanci ottiene 1808 intersezioni. Da questo si deduce la stima 2(5=6)(3408=1808) =
355=113 che approssima con sei decimali corretti. È un risultato troppo preciso per non far nascere qualche sospetto, a parte gli errori di misurazione delle
lunghezze e l’ambiguità sulla presenza o meno di intersezioni, c’è anche il fatto
che questi esperimenti danno il risultato sotto forma di frazione e non sono molte
le frazioni con un denominatore basso che approssimano bene . Per esempio,
dallo sviluppo in frazioni continue si hanno le approssimazioni 3=1 < 333=106 <
139
< 355=113 < 22=7. La migliore approssimazione successiva è solo 52163/16604.
Insomma, tutti questi numeri fanno nascere il sospetto che l’esperimento di Lazzarini sia stato costruito a tavolino.
Generalizzando il risultato di Bu¤on, nel 1812 Laplace dimostra che la probabilità che un ago di lunghezza L intersechi una griglia rettangolare con dimensioni
A e B è 2L= A + 2L= B L2 = AB, se l’ago ha dimensioni minori della griglia.
Se invece l’ago è molto lungo e la griglia quadrata unitaria, per ogni angolo # tra
ago e griglia ci sono circa L cos(#) intersezioni con le linee orizzontali e L sin(#)
intersezioni con quelle verticali ed i valori attesi del numero di intersezioni X e
del quadrato X 2 sono circa
Z =2
2L
E (X)
(cos(#) + sin(#)) d# = 4L= ;
0
Z
=2
2L2
(cos(#) + sin(#))2 d# = (1 + 2= ) L2 :
E (X 2 )
0
Quindi il valore atteso di X=L risulta 4= e la varianza 1 + 2=
16= 2 =
0; 015::: è piuttosto piccola. Questo metodo per stimare risulta più accurato dei
precedenti.
Un problema simile all’ago di Bu¤on è contare le intersezioni tra delle linee parallele ed una curva gettata a caso su di esse. Denotando con X la variabile aleatoria
che conta il numero di intersezioni di un segmento col sistema di parallele, il valore
atteso di intersezioni è una funzione della lunghezza del segmento, E (X) = (L).
Gettando a caso n segmenti il numero atteso di intersezioni è E (X1 + ::: + X1 ) =
E (X1 )+:::+E (Xn ) = (L1 )+:::+ (Ln ) e questo vale anche se le variabili aleatorie non sono indipendenti, come quando gli estremi dei segmenti sono concatenati
e formano una poligonale. D’altra parte, se i segmenti sono esattamente allineati
e formano un unico segmento si ha anche E (X1 + ::: + X1 ) = (L1 + ::: + Ln ).
Quindi, (L1 + ::: + Ln ) = (L1 ) + ::: + (Ln ), la funzione (L) = cL è lineare.
Concludendo, il numero atteso di intersezioni di una poligonale col sistema di parallele risulta proporzionale alla lunghezza della poligonale e, prendendo il limite
di poligonali, anche per ogni curva retti…cabile si ha E (X) = cL. Per calcolare la
costante di proporzionalità basta osservare che se la distanza tra le parallele è D e
la curva è un cerchio di diametro D, con probabilità uno il numero di intersezioni
è due, quindi c = 2= D, cioè per ogni curva retti…cabile E (X) = 2L= D. Quasi
senza far conti abbiamo riottenuto il risultato di Bu¤on, e con degli aghi storti! In
particolare, se una curva chiusa e convessa ha in ogni direzione diametro costante
uguale a D le intersezioni sono sempre 2, quindi il perimetro è legato al diametro
140
dalla relazione L = D. Le curve con spessore costante D hanno perimetro D.
Il cerchio non è la sola curva con spessore costante. De…nendo metà curva in
modo pressoché arbitrario, si può completare l’altra metà ottenendo uno spessore
costante in ogni direzione.
La formula di Cauchy per l’area
di una super…cie convessa:
A(C) =
Z
(n 1) ((n 1)=2)
n 1 (C; #) d#:
2 (n 1)=2
Sn 1
In questa formula C è un convesso in Rn , n 1 (C; #) la misura della
proiezione di C sul sottospazio ortogonale a #, Sn 1 l’insieme dei vettori
di norma uno, 2 (n 1)=2 =(n 1) ((n 1)n=2) il volume della sfera unitaria
in Rn 1 . Se C è un poliedro con facce Fj di area A (Fj ) !e normali nj ,
Z
Z
1X
A (Fj ) jnj #j d#
n 1 (C; #) d# =
2 j
Sn 1
Sn 1
!
Z
X
1
=
jn #j d#
A (Fj ) .
2 Sn 1
j
In particolare, una curva chiusa con spessore costante D ha lunghezza
D.
Nel 1881 E.Cesaro (1859-1906) descrive una interessante relazione tra probabilità, teoria dei numeri, e . Quale è la probabilità che due interi positivi scelti
a caso siano primi tra loro? Indichiamo con P (n) la cardinalità dell’insieme delle
coppie di numeri minori o uguali ad n e primi tra loro. La probabilità che due
numeri siano primi tra loro è data dal limite limn!+1 P (n)=n2 = p. Assumendone
l’esistenza, calcoliamo questo limite. Calcoliamo la probabilità pk che il massimo
comun divisore tra due numeri interi positivi a e b sia uguale a k. Vogliamo che
sia a che b siano multipli di k e che a=k e b=k siano primi tra loro. I primi due
eventi hanno probabilità 1=k mentre il terzo ha probabilità p, inoltre questi eventi
sono indipendenti. Quindi pk = 1=k 1=k p e sommando otteniamo
1=
+1
X
k=1
pk =
+1
X
k 2 p = p 2 =6:
k=1
La probabilità che due numeri siano primi tra loro è quindi 6=
141
2
= 0; 607927:::
Questa probabilità ha la seguente interpretazione geometrica. Nel piano cartesiano consideriamo il reticolo dei punti a coordinate intere. Si può vedere (a; b) da
(c; d) se e solo se ja cj e jb dj sono relativamente primi. Denotiamo con (n) la
funzione di Eulero che conta i numeri tra 1 e n primi con n. Dividendo un quadrato
in otto triangoli si mostra
X che il numero di punti
X nel quadrato fjaj x; jbj xg
visibili dall’origine è 8
(n). La stima
(n) 3 2 x2 divisa per l’area
1 n x
1 n x
2
del quadrato 4x fornisce la percentuale dei punti visibili dall’origine. Di fatto
questi risultati sono essenzialmente contenuti nei diari di Gauss in data 6 Settembre 1796 e sono pubblicati nel 1849 da P.G.L.Dirichlet (1805-1859). Più in
generale, la probabilità che n interi
scelti a caso abbiano massimo comune
!positivi
1
+1
X
multiplo uno è uguale a
k n
.
k=1
Torniamo al Casinò di Montecarlo per una partita a carte. Due giocatori
con due mazzi di n carte identiche le scoprono una ad una. Uno scommette
che ogni volta le due carte scoperte saranno diverse ed uno che qualche volta
compariranno carte uguali. Qual’è la sorte di ciascuno dei due giocatori? Il calcolo
di queste probabilità si riduce alla determinazione del numero di permutazioni con
e senza punti …ssi ed è dovuto a N.Bernoulli (1687-1759) ed Eulero. Se denotiamo
con Ai le permutazioni con i …sso, la probabilità che i1 , i2 ,..., ik siano …ssi è
n
sottoinsiemi di k elementi
P [Ai1 \ Ai2 \ ::: \ Aik ] = (n k)!=n! e ci sono
k
scelti tra n. Per il principio di inclusione ed esclusione, la probabilità che ci sia
qualche punto …sso è
=
X
i
P [Ai ]
X
i6=j
P [A1 [ A2 [ :::X
[ An ]
P [Ai \ Aj ] +
P [Ai \ Aj \ Ak ]
:::
i6=j;j6=k;k6=i
n (n 1)!
n (n 2)!
n (n 3)!
=
+
:::
n!
2
n!
3
n!
1
= 1 1=2! + 1=3! ::: + ( )n =n! 1 1=e:
La probabilità di vincere di chi scommette su carte diverse è circa 1=e =
0; 367879:::.
Un altro problema molto concreto in cui compare inaspettatamente il numero
e è quello della scelta del miglior partito. Assumiamo che ogni ragazza in età da
marito abbia diritto a n pretendenti, non contemporaneamente ma in successione.
Dopo aver conosciuto un pretendente ha due possibilità, o ne accetta la corte o lo
142
pianta, ma ogni lasciato è perso! La strategia per scegliere il miglior partito è di
scartare i primi k pretendenti e poi scegliere il primo tra i rimanenti migliore dei
primi k, ed il problema è trovare il k che massimizza la probabilità di successo.
Se il miglior partito è tra i primi k, con la strategia descritta è perso. Se il miglior
partito è al posto j > k, allora la strategia ha successo qualora il migliore tra
i primi j 1 partiti sia tra i primi k. Denotando con A l’evento di riuscire a
scegliere il miglior partito e con Bj l’evento che il miglior partito è il j-esimo, si
ha quindi
P [A] =
n
X
P [Aj Bi ] P [Bj ] =
j=1
n
X
j=k+1
k
j
1
:
1n
Se n e k sono grandi questa probabilità risulta approssimativamente uguale
a (k=n) log(n=k). Quando n=k
e la probabilità è massima ed è circa 1=e. La
controindicazione a questa strategia è una probabilità di rimaner zitella piuttosto
alta, k=n 1=e, mentre la probabilità di non sposar l’uomo giusto è minore, circa
1 2=e. Ma torniamo alla storia. Dopo aver perso la prima moglie, Keplero analizza scienti…camente per un paio d’anni pregi e difetti di undici possibili candidate,
per poi tornare sui suoi passi alla quinta da cui poi ha sette …gli. Osservando che
11=e = 4; 046:::, si sarebbe risparmiato tempo e fatica e non avrebbe corso il rischio di trovare la sua bella già sposata con qualcun altro. La morale, se proprio ci
si vuole sposare, è di non dir subito di sì al primo venuto, ma anche di non tirar
troppo per le lunghe.
143
IL P ROBLEM A DEL CERCHIO DI GAU SS
Un metodo elementare per stimare l’area di una …gura è di riportarla su della
carta a quadretti di lato uno contando poi i quadretti contenuti nella …gura stessa.
Sorge però il problema di quei quadrati che intersecando il bordo della …gura danno
un contributo minore di una all’area e risulta conveniente contare non i quadrati
ma i centri di tali quadrati, che in un opportuno sistema di coordinate cartesiane
sono punti a coordinate intere.
Il problema del cerchio
di Gauss: stimare l’area
contando i punti interi.
Nel 1899 G.Pick ha dimostrato il seguente risultato. Sia A l’area di un poligono
semplice con vertici a coordinate intere, I il numero di punti a coordinate intere
interni al poligono e B il numero di punti a coordinate intere sul bordo. Allora A =
I +B=2 1. Si può dimostrare il risultato per i triangoli e poi estenderlo alle …gure
triangolabili. Ovviamente questo risultato per i poligoni non si estende a …gure
generiche. Non si può sperare di calcolare in modo esatto l’area semplicemente
contando i punti interi, ma questa è pur sempre una buona approssimazione.
Infatti nel 1947 M.V.Jarnik e H.Steinhaus hanno dimostrato il seguente risultato.
Sia una curva piana, chiusa, semplice, retti…cabile di lunghezza L 1. Sia A
l’area racchiusa dalla curva e sia N il numero di punti a coordinate intere interni
alla curva. Allora jN Aj < L. Se inoltre il dominio racchiuso dalla curva è
convesso, allora L=2 < N A L=2 + 1 e l’uguaglianza vale solo per rettangoli
con vertici interi e lati paralleli agli assi. L’idea della dimostrazione è la seguente.
Associamo ad ogni punto intero il quadrato con centro nel punto e lati di lunghezza
uno paralleli agli assi. Se un quadrato è interno alla curva, allora contribuisce +1
sia all’area che al numero di punti interi, quindi contribuisce 0 all’errore N A.
Similmente, anche i quadrati esterni alla curva non danno contributo all’errore.
Gli unici quadrati che danno un contributo all’errore sono quelli che intersecano la
144
curva e il contributo all’errore di uno di questi quadrati è minore della lunghezza
di quella parte della curva contenuta nel quadrato.
Applichiamo questo metodo per stimare un’area al calcolo di . Su un foglio di
carta a quadretti disegniamo una circonferenza di raggio R quadretti, poi contiamo
i punti interi interni alla circonferenza. Il numero di questi punti N di¤erisce
dall’area del cerchio R2 per meno di metà circonferenza R, quindi dividendo
per R2 si ottiene l’approssimazione j
R 2N j < R 1 + R 2.
Parecchi problemi in teoria dei numeri conducono alla stima del numero di
punti interi contenuti in una regione del piano o dello spazio. Consideriamo per
esempio un classico problema studiato da Fermat, Eulero, Lagrange, Legendre,
Gauss, Jacobi, ed altri. È possibile decomporre un dato numero intero nella
somma di due quadrati? Un certo numero può non essere rappresentabile come
somma di due quadrati, per esempio un numero congruo a 3 modulo 4 non è somma
di due quadrati, al contrario altri numeri possono avere parecchie rappresentazioni.
Per esempio, 25 = 02 + 52 = 32 + 42 e 26 = 12 + 52 , ma 27 non è somma di due
quadrati, 83 e 84 non sono somme di due quadrati, mentre 85 = 22 + 92 = 62 + 72 .
Il cerchio con centro nell’origine e raggio
25 contiene 20 punti con coordinate intere,
( 25; 0), ( 24; 7), ( 20; 15), ( 15; 20),
( 7; 24), (0; 25). Il poligono
con questi
p
vertici
ha
12
lati
lunghi
5
2
e
8
lati lunghi
p
4 5. Il rapporto tra il perimetro del
poligono
del cerchio è
p e il diametro
p
60 2 + 32 5 =50 = 3; 128:::.
Denotiamo con r(n) il numero delle decomposizioni di n nella somma di due
quadrati,
r(n) =
(x; y) 2 Z
Z : x2 + y 2 = n
:
Si può mostrare che un numero è somma di quadrati se e solo se nella sua scomposizione in fattori primi ogni primo della forma 4n + 3 compare un numero pari
di volte. Più precisamente Legendre ha dimostrato che r(n) = 4 (d1 (n) d3 (n)),
dove d1 (n) e d3 (n) sono i numeri dei divisori di n della forma 4n + 1 e 4n + 3.
Questa funzione aritmetica dipende quindi dalla scomposizione in fattori primi
ed è piuttosto irregolare, ma l’irregolarità viene mitigata considerandone il valor
145
medio. La somma r(1) + r(2) + ::: + r(n) è il numero di soluzioni intere della
disequazione x2 + y 2 n ed è uguale alpnumero di punti a coordinate intere in un
cerchio con centro nell’origine e raggio n. Il numero di punti interi in un cerchio
è approssimativamente uguale all’area del cerchio, quindi un numero ha in media
rappresentazioni come somma di quadrati,
r(1) + r(2) + ::: + r(n)
= :
n!+1
n
Dalla formula r(n) = 4 (d1 (n) d3 (n)), denotando con [x] il più grande intero
minore o uguale a x, si ricava la seguente formula di Gauss,
lim
r(1) + r(2) + ::: + r(n) = 1 + 4 ([n=1]
[n=3] + [n=5]
[n=7] + :::) :
Al limite per n ! +1 si riconosce la serie di Leibniz 1 1=3+1=5 1=7+::: =
=4. È anche possibile calcolare esplicitamente r(1) + r(2) + ::: + r(n) con un
semplice metodo, sempre di Gauss del 1834. Dividiamo i punti interi nel cerchio
in quattro sottoinsiemi: A = { l’origine },pB = { i punti sugli assi, esclusa l’origine
}, C = { i punti nel quadrato di lato 2 n=2 iscritto nel cerchio, esclusi i punti
sugli assi }, D = { i punti restanti }. Denotando con [x] il più grande intero
minore o uguale a x, si ha
X
r(k) = jAj + jBj + jCj + jDj
0 k n
p
= 1 + 4 [ n] + 4
hp
i2
X
n=2 + 8
p
n=2<k
p
p
n
k2 :
n
Malgrado l’aspetto, questa formula non è di di¢ cile uso perché non utilizza che
la parte intera delle radici quadrate. Per esempio, se n = 100, jAj = 1, jBj = 40,
jCj = 196, jDj = 80, quindi la disequazione x2 + y 2
(10)2 ha 317 soluzioni
intere. Ecco qualche valore calcolato da Gauss.
Xn =
r(k) =
100
317
1000
3149
10000
31417
100000
314197
1000000
3141549
0 k n
Con questi numeri si ottengono già buone stime di e tra l’altro il metodo
utilizzato è assolutamente elementare. Quello che non è elementare è la stima
146
X
dell’errore. Gauss ha mostrato che
r(k)
n
2
p
n, ma esperimenti
0 k n
numerici suggeriscono stime migliori. Di fatto W.Sierpinski, J.G.van der Corput,
e altri, hanno mostrato che questo errore è minore di cn1=3 " per qualche c e " > 0,
mentre G.H.Hardy e Landau hanno mostrato che può essere molto maggiore di
cn1=4 . Sempre Hardy ha mostrato che l’errore quadratico medio è dell’ordine di
cn1=4 . Per dare un’idea di questi risultati, accenniamo ad una generalizzazione
del problema del cerchio di Gauss ed al legame con le serie di Fourier. Quanti
punti interi stanno in un dominio D in Rd ? Per complicare un poco la domanda
chiediamoci quanti punti interi stanno in un traslato D t. Questo numero è una
funzione periodica della traslazione t che possiamo sviluppare in serie di Fourier
sul toro Td = Rd =Zd = [0; 1)d ,
X
D t (k)
k2Zd
=
Z X
X
=
Td
j2Zd
X
j2Zd
XZ
k2Zd
=
D (k
k2Zd
f( ) =
!
+ s) exp( 2 ij (k + s))ds exp(2 ij t)
X Z
D (x) exp(
Rd
= jDj +
Z
2 ij s)ds exp(2 ij t)
Td
j2Zd
^
D s (k) exp(
f (x) exp( 2 i
Rd
!
X
j2Zd
2 ij x)dx exp(2 ij t)
^
D (j) exp(2
ij t):
f0g
x)dx è la trasformata di Fourier in Rd ed il
conto non è nient’altro che la formula di sommazione di S.D.Poisson (1781-1840)
X
X^
f (k) =
f (j). Gli esponenziali exp(2 ij t) hanno media nulla sul toro,
k2Zd
j2Zd
quindi integrando sopravvive solo il termine jDj. Le traslate D t contengono
in media tanti punti interi quanto la misura del dominio jDj e l’errore quadratico
medio è, per l’uguaglianza di M.A.Parseval (?-1836),
8
<Z
:
Td
X
k2Zd
D (k
+ t)
!2
jDj
91=2 8
=
< X
dt
=
;
: d
j2Z
147
f0g
^
D (j)
91=2
2=
;
:
In particolare, la trasformata di Fourier della funzione caratteristica di una
sfera è una funzione di F.W.Bessel (1784-1846),
Z
exp( 2 i x)dx = rd=2 j j d=2 Jd=2 (2 r j j) :
fx2Rd ;jxj rg
È quindi possibile scrivere esplicitamente una serie di Fourier che rappresenta
il numero di punti interi in una sfera e dalla disuguaglianza Jd=2 (z)
c jzj 1=2
segue poi che l’errore quadratico medio è dell’ordine di cr(d 1)=2 .
Il problema del cerchio studia in quanti modi si può decomporre un numero in
somma di due quadrati, quello della sfera studia le decomposizioni nella somma di
tre o quattro quadrati. Salendo di dimensione il problema si sempli…ca. Consideriamo ora dei problemi analoghi. In quanti modi si può decomporre un numero
in un prodotto di due numeri, cioè quanti divisori ha un dato numero intero? Il
numero dei divisori è legato alla scomposizione in fattori primi. Un numero primo
ha due soli divisori, mentre i divisori di n = pa q b :::rc con p, q,..., r primi e a, b,...,
c interi positivi, sono (a + 1)(b + 1):::(c + 1). Il numero dei divisori di n dipende
da n in modo abbastanza irregolare. Riformuliamo allora la domanda. Quanti
sono in media i divisori di un numero intero? Indichiamo con d(n) il numero dei
divisori di n,
d(n) = jf(x; y) 2 N
N : xy = ngj :
Questo numero è uguale al numero dei punti (x; y) a coordinate intere e positive
sull’iperbole xy = n e d(1) + d(2) + ::: + d(n) è uguale al numero dei punti interi
(x; y) con 0 < y Z n=x. Una approssimazione di questo numero è data dall’area
n
dx
= n log(n), quindi in media il numero dei divisori di
sotto l’iperbole n
1 x
n è circa log(n). Di fatto, nel 1849 Dirichlet ha dimostrato un risultato più
preciso.
Scomponiamo
p
p p
p la regione sotto l’iperbole nel quadrato di
p vertici
p (0;
p 0),
(0; n), ( n; n), ( n; 0), nel trapezio curvilineo
di
vertici
(0;
n),
(
n;
p
p pn),
(1; n), (0; n), e nel trapezio curvilineo di vertici ( n; 0), (n; 0), (n; 1), ( n; n).
Siccome il numero di punti interi nei due trapezi è lo stesso, il numero di punti
interi sotto l’iperbole 0 < y n=x è
148
n
X
j=1
p
j=1
p
n]
[X
= 2n
1=j
n
X
Per stimare
1
L’integrale
Z
1
j=1
p
p 2
[ n] :
n=j) + n
1=j, sostituiamo alla serie un integrale,
n
X
1
j=1
n
p 2
[ n]
j=1
j=1
Z
n]
[X
p
[ n]) = 2
[n=j]
n]
[X
n+2
([n=j]
j=1
=
p
n]
[X
p 2
d(j) = [ n] + 2
([n=j]
dx
+
x
+1
Z
j
=
+1
Z
1
x [x]
x [x]
n
1
dx
+
x
x [x]
x [x]
Z
n
1
dx
1
[x]
Z
1
x
dx +
+1
x [x]
x [x]
n
dx = limn!+1
n
X
1
n
1=j
dx +
!
log(n)
1
:
n
de…nisce la costante
j=1
p
p
di Eulero Mascheroni = 0; 577215:::. Insieme a , e, 2, 1 + 5 =2,..., è una
delle costanti della matematica. Quindi in media il numero dei divisori di n è
uguale a log(n) + (2
1),
d(1) + d(2) + ::: + d(n)
n
(log(n) + (2
1))
c
p :
n
Come per il problema del cerchio, questa stima dell’errore può essere migliorata.
I diari di Gauss in data 20 Giugno 1796 contengono la seguente a¤ermazione:
2
”All’in…nito la somma dei fattori =
la somma dei numeri.”
6
Indichiamo con (n) la somma dei divisori di n. La somma dei numeri interi
n
X
da 1 ad n è
k = n(n + 1)=2 n2 =2. I divisori di k sono tanti quanti i punti
k=1
(x; y) a coordinate intere e positive sull’iperbole xy = k e la somma dei divisori
dei numeri positivi minori o uguali ad n è
149
n
X
k=1
(k) =
n
X
k=1
0
@
[n=k]
X
j=1
1
jA =
n
X
k=1
i
1 hni hn
+1
2 k k
n2 X 1
2 k=1 k 2
n
2 2
n
:
12
Quindi, come enunciato da Gauss, si ha
n
X
(k)
k=1
n
n!+1 X
lim
2
=
k
6
:
k=1
Un ulteriore esempio del legame tra la teoria dei numeri interi ed i numeri
ed e è dato dal teorema dei numeri primi. I numeri primi si diradano via via
che diventano grandi ed hanno una distribuzione piuttosto irregolare. Per cercare
una regolarità in questa irregolarità, costruiamo una tabella con nella la prima
colonna un numero n, nella seconda colonna il numero (n) di primi minori di n,
nella terza colonna n= (n) la distanza media tra due primi.
n
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
10000000000
(n) = numeri
primi tra 1 e n.
4
25
168
1229
9592
78498
664579
5761455
50847534
455052511
n= (n) = distanza
media tra i primi.
2; 5
4
5; 952:::
8; 136:::
10; 425:::
12; 739:::
15; 047:::
17; 356:::
19; 666:::
21; 975:::
In questa tabella si osserva che se n cresce di un fattore 10, la distanza media
tra i primi tra 1 e n cresce di circa 2; 3 e dalle tavole dei logaritmi risulta che
2; 3 è circa uguale a log(10). In base a osservazioni simili, alla …ne del XVIII
secolo Legendre e Gauss congetturano che il numero dei numeri primi p
n è
circa n= log(n) e P.L.Cebicev (1821-1894) mostra che a meno di un fattore (1 ")
150
l’ordine di grandezza è corretto. Seguendo la strada aperta da G.F.B.Riemann
(1826-1866), nel 1898 C.J.G.N.de la Vallée Poussin (1866-1962) e J.Hadamard
(1865-1963) provano la congettura. La dimostrazione del teorema dei numeri
primi si basa sullo studio della funzione, introdotta da Eulero e studiata nel campo
complesso da Riemann,
(s) =
+1
X
k=1
k
s
=
Y
1
p
1
s
:
p primo
Come per il problema del cerchio di Gauss e dei divisori di Dirichlet, trovata
una stima asintotica per il numero di numeri primi, si cerca una stima dell’errore.
151
LA LEM N ISCAT A DEI BERN OU LLI E
LE M EDIE ARIT M ET ICO GEOM ET RICHE DI GAU SS
Iniziamo con un breve richiamo sugli integrali e le funzioni ellittiche. Nel 1694
i fratelli Bernoulli risolvono il problema, proposto da Leibniz, di determinare la
curvatura di una sbarra elastica con una estremità …ssa e piegata da un peso
attaccato all’estremità libera. La di¤erenza tra le tensioni in due facce opposte
di un tratto in…nitesimo di sbarra risulta inversamente proporzionale al raggio
di curvatura della sbarra ed in condizioni di equilibrio il momento di questa
risultante deve eguagliare il momento del peso. Quindi in un sistema di coordinate con origine nell’estremo libero ed asse delle ordinate in direzione del
3=2 2
peso si ottiene l’equazione di¤erenziale (1 + (dy=dx)2 )
d y=d2 x = 2ax. Una
1=2
prima integrazione dà (dy=dx) (1 + (dy=dx)2 )
= ax2 + b, quindi dy=dx =
(ax2 + b) 1
2
(ax2 + b)
1=2
y=c
e con una seconda integrazione
Z
ax2 + b
q
dx:
2
2
1 (ax + b)
In particolare, se a = 1 e b = c = 0 la curva elastica risulta uguale all’area sotto
la curva y 2 (1 x4 ) = x2 , ma gli sforzi dei Bernoulli per calcolare esplicitamente
quest’area in termini elementari
risultano vani. Supponiamo di dover calcolare
Z
un integrale della forma R(x; y)dx con R(x; y) funzione razionale e y funzione
algebrica di x, cioè Q(x; y) = 0 per un opportuno polinomio in due variabili. Se la
curva Q(x; y) = 0 ha una parametrizzazione
(x; y) = (A(t); B(t)), con A(t) e B(t)
Z
razionali, l’integrale si trasforma in
R (A(t); B(t)) A0 (t)dt ed è quindi calcola-
bile in modo elementare scomponendo la funzione razionale R (A(t); B(t)) A0 (t)
in frazioni semplici. In particolare Zle coniche hanno parametrizzazioni razionali
p
e quindi tutti gli integrali del tipo R x; ax2 + bx + c dx sono calcolabili in
Z
p
modo elementare. Gli integrali ellittici sono integrali del tipo R x; P (x) dx
con R (x; y) razionale e P (x) polinomio di terzo o quarto grado. Se Q(x) è un
polinomio di quarto grado con una radice , la sostituzione x = + 1=t trasforma
Q(x) in t 4 P (t) con P (t) di terzo grado e con ulteriori trasformazioni ci si può
poi ricondurre alle tre forme canoniche di Legendre
152
Z
p
dx
P (x)
;
Z
xdx
p
;
P (x)
Z
(x
dx
p
:
) P (x)
Liouville ha mostrato che in generale non è possibile esprimere questi integrali
per mezzo di funzioni elementari. Dato un polinomio P (x) senza radici multiple,
de…niamo
Z x
dt
p
f (x) =
:
P (t)
0
Abel e C.G.J.Jacobi (1804-1851) hanno l’idea di studiare la funzione inversa
di questo integrale. p
Se x = g(z) è la funzione inversa di z = f (x), si ha
0
0
g (f (x)) = 1=f (x) = P (x). In particolare, posto x = g(z) e y = g 0 (z), si ottiene
una parametrizzazione della curva y 2 = P (x). Per esempio, se P (x) = 1 x2 allora
f (x) = arcsin(x), e (g(z); g 0 (z)) = (sin(z);
Z xcos(z)) sono parametrizzazioni del cerp
chio. L’inversione dell’integrale ellittico
dt= P (t), con P (t) polinomio di terzo
0
o quarto grado, genera le funzioni ellittiche che sono delle parametrizzazioni delle
curve ellittiche. Se le funzioni trigonometriche sono semplicemente periodiche, nel
campo complesso le funzioni ellittiche sono doppiamente periodiche, cioè esistono
!1 e !2 linearmente indipendenti sui reali tali che g (z + !1 ) = g (z + !2 ) = g (z)
e queste funzioni hanno delle formule di addizione simili alle formule di addizione
delle funzioni trigonometriche. L’ellisse, curva di secondo grado, non è una curva
ellittica, ma la lunghezza di un’ellisse, o di un’iperbole, è un’integrale ellittico.
L’ellisse è il luogo dei punti in un piano con somma delle distanze da due punti
…ssi costante e l’iperbole il luogo dei punti con di¤erenza delle distanze costante.
Il luogo dei punti con costante il prodotto delle distanze da due punti …ssi sono
gli ovali di Cassini, che non convinto delle teoria copernicana introduce queste
curve nel 1680 per descrivere i moti del Sole
p e della Luna intorno alla Terra. In
particolare, se questi punti …ssi sono
1= 2; 0 ed il prodotto delle distanze è
2
1=2, si ottiene la lemniscata di equazione cartesiana x2 y 2 = (x2 + y 2 ) . Con
x = cos(#) e y = sin(#), l’equazione diventa 2 = cos(2#). In coordinate polari
l’equazione
= cos( #) descrive una iperbole se = 2, una retta se = 1,
una parabola se = 1=2, un cerchio se = 1. La curva n = cos(n#) quando n è
un intero positivo ha la forma di un …ore con n petali, quindi la nostra lemniscata
di petali ne ha due.
153
p
p
Se A = ( 1= 2; 0) e B = (1= 2; 0), la lemniscata
è il luogo dei punti P con jAP j jBP j = 1=2.
Se O = (0; 0), C = ( 1; 0) e D = (1; 0), la lemniscata
[
\
è il luogo dei punti P con CP
O DP
O = =2.
Se sulle
di raggio uno con centri in
p circonferenze p
A = ( 1= 2; 0) e B = (1= 2; 0) si considerano due punti
variabili M e N con jM N j = jABj e M N non parallelo ad AB,
il punto medio del segmento M N descrive la lemniscata. Questo
permette di tracciare la lemniscata con un sistema articolato.
Applicando all’iperbole equilatera w2 z 2 = 1 l’inversione
circolare w = x= (x2 + y 2 ) e z = y= (x2 + y 2 ) , si ottiene la
2
lemniscata x2 y 2 = (x2 + y 2 ) .
Nel 1694 i fratelli Bernoulli, indipendentemente, descrivono questa curva ”fatta
come un 8 o un nastro annodato” ed una disputa sulla priorità di questa ed
altre scoperte, catenaria, brachistocrona, problema isoperimetrico,..., guasta i loro
rapporti. All’interno della famiglia Bernoulli la matematica è un a¤are troppo
serio. Il motto del fratello maggiore è ”Contro la volontà di mio padre studio
le stelle”. Un …glio del fratello minore partecipa ad un concorso dell’Accademia
delle Scienze di Parigi in cui anche il padre è concorrente, vince e viene cacciato
da casa. Poi il …glio accusa il padre di averlo derubato dell’intera ”Idrodinamica”
mutandone solo il titolo in ”Idraulica”.
Dall’equazione della lemniscata in coordinate polari 2 = cos(2#) e la formula per l’elemento in…nitesimo di lunghezza ds2 = d 2 + 2 d#2 , si ricava ds =
4 1=2
(1
)
d . Quindi la lunghezza Z
dell’arco di lemniscata dall’origine …no al
x
1=2
punto a distanza x è data dall’integrale
(1 t4 )
dt, un analogo dell’integrale
0
Z x
1=2
(1 t2 )
dt = arcsin(x) che dà la lunghezza di un arco di cerchio. Nel 1730
0
Stirling calcola le approssimazioni
154
Z
1
dx
= 1; 31102877714605987:::;
4
Z0 1 12 x
x dx
p
= 0; 59907011736779611:::;
1 x4
0
ed Eulero dimostra che
Z 1
Z 1 2
dx
x dx
p
p
4
= :
4
1 x4
1 x4
0
0
p
Infatti con il cambio di variabile x
t1=4 i due integrali si riconducono alla
3=2
2
funzione Beta, ( =2)
(3=4) il primo e (2 ) 1=2 2 (3=4) il secondo. Nel 1718
Fagnano scopre come dividere con riga e compasso l’arco di lemniscata nel primo
quadrante in due, tre, o cinque parti uguali e nel 1758 Eulero trova una formula
di addizione per integrali ellittici,
p
p
x 1 + ay 2 y 4 + y 1 + ax2 x4
z=
;
1 + x2 y 2
Z x
Z y
Z z
dt
dt
dt
p
p
p
+
=
:
2
4
2
4
1 + at
t
1 + at
t
1 + at2 t4
0
0
0
Anche Gauss si interessa alla lemniscata e dimostra che, come per il cerchio,
è possibile dividere con riga e compasso l’arco di lemniscata nel primo quadrante
k
in 2m p1 p2 :::pn parti uguali se i pj sono numeri primi distinti della forma 22 + 1.
Questo risultato è poi riscoperto da Abel nel 1826. Dal 1796 in poi i diari di Gauss
contengono parecchie a¤ermazioni sugli integrali ellittici e le medie aritmetico
geometriche:
”La lemniscata si divide in cinque parti in modo geometrico.”
”Sulla lemniscata abbiamo trovato le cose più eleganti al di là di tutte le aspettative e questo con un metodo che apre un intero nuovo campo.”
p
”Abbiamo provato che la media aritmetico geometrica tra 1 e 2 è =! …no
a 11 cifre, una volta dimostrata la cosa si aprirà certamente un nuovo campo in
analisi.”
”La media aritmetico geometrica è una quantità integrale. Dimostrato!”
Z 1
1=2
! =2
(1 t4 )
dt è la lunghezza di metà lemniscata, l’analogo di =
0
Z 1
1=2
2
(1 t2 )
dt per il cerchio. Per dividere il cerchio in n parti uguali basta
0
155
trovare sin(2 k=n), k = 0; 1; :::; n 1, e sin(x) è la funzione inversa di
Z
x
(1
t2 )
1=2
0
Analogamente, per
Z x dividere la lemniscata basta trovare (2!k=n), con (x) fun1=2
zione inversa di
(1 t4 )
dt. La media aritmetico geometrica AGM (x0 ; y0 )
0
tra due numeri positivi x0 e y0 è il limite comune delle successioni de…nite rip
corsivamente da xn+1 = (xn + yn ) =2 e yn+1 = xn yn . Il legame tra le medie
aritmetico geometriche e gli integrali ellittici è trovato da Lagrange nel 1785 e
riscoperto qualche anno dopo da Gauss,
Z +1
dx
p
:
=
2
AGM (a; b)
(a + x2 ) (b2 + x2 )
1
Per dimostrare l’uguaglianza basta mostrare che questi integrali sono invarianti
p
rispetto alla trasformazione (a; b)
(a + b) =2; ab e questo segue dal cambio
di variabile x
(x ab=x) =2. Iterando la trasformazione gli integrali ellittici
convergono a degli integrali elementari,
Z +1
dx
p
2
(a + x2 ) (b2 + x2 )
Z +1 1
dx
q
=
1
((a + b)=2)2 + x2 (ab + x2 )
Z +1
dx
p
=
:
(AGM (a; b)2 + x2 ) (AGM (a; b)2 + x2 )
1
Per illustrare la relazione tra le medie aritmetico geometriche e , si può partire
dall’integrale ellittico
Z
1 +1
dx
p
:
H(a; b) =
2
(1 + x =a2 ) (1 + x2 =b2 )
1
Il cambio di variabile x
Z
0
Quindi
p
N
p
N=x mostra che
dx
(1 + x2 ) (1 + x2 =N 2 )
=
Z
156
+1
p
N
dx
p
(1 + x2 ) (1 + x2 =N 2 )
:
dt.
Z
p
N
Z
p
N
x2 =2N 2 + :::
p
=
dx
H(1; N ) =
1 + x2
(1 + x2 ) (1 + x2 =N 2 )
0
0
!
p
p
p
p
p
N 2 + N log( N + N + 1)
4
+ :::
=
log( N + N + 1)
4N 2
2
log(4N )
= log(4N ) +
+ O (N 2 ) :
2 N2
4
p
4
dx
Per ottenere un’approssimazione di
osservare che
N
(H(1; N + 1)
2
1
a partire dalla funzione H(1; N ), basta
H(1; N )) =
1
+ O(N
1
):
In de…nitiva, si può approssimare con (N (H(1; N + 1) H(1; N )) =2) 1 e
si possono approssimare H(1; N + 1) e H(1; N ) per mezzo delle medie aritmetico
geometriche. Malgrado le apparenze, questo algoritmo è e¢ ciente perché le medie
aritmetico geometriche convergono rapidamente, con velocità quadratica,
a+b
2
p
ab =
4
(a b)2
:
a+b p
+ ab
2
Grosso modo, ogni iterazione raddoppia il numero di decimali corretti. Una
variante di questo algoritmo permette di calcolare in modo e¢ ciente i logaritmi,
da cui si possono ricavare con il metodo iterativo di Newton gli esponenziali.
157
LA CAT EN ARIA E IL P ROBLEM A ISOP ERIM ET RICO
Vogliamo presentare due esempi del ruolo di e e di nel calcolo delle variazioni.
Qual’è la posizione di equilibrio di una catena sospesa ai due estremi? Galileo
osserva che:
”La corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si
avvicinano alle paraboliche,... e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la
segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte
con elevazioni sotto ai gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la
parabola”.
La costruzione della
catenaria di Huygens.
”Due o più pesi appesi ad una corda …ssata ai due estremi possono avere una
sola posizione di equilibrio, che rende il baricentro il più basso possibile”.
Nel 1646 il diciassettenne Huygens postula che la posizione di equilibrio di
una catena deve renderne il baricentro il più basso possibile e, poiché la parabola
non ha questa proprietà, deduce che quella proposta da Galileo è solo una buona
approssimazione, che peggiora con l’aumentare dell’inclinazione della catena. Poi
nel 1691 i fratelli Bernoulli con Huygens e Leibniz scoprono che la soluzione esatta
è un coseno iperbolico e Leibniz ipotizza l’utilizzo di una catena per calcolare i
logaritmi.
158
La costruzione di
Leibniz della catenaria
ax + a x
y=
.
2
Dei segmenti verticali con base su una linea orizzontale equispaziati e
con lunghezza in progressione geometrica continua generano una curva
logaritmica. I punti sulla catenaria si ottengono prendendo per ogni coppia
di ascisse simmetriche rispetto ad un’origine un’ordinata uguale alla semi
somma delle ordinate sulla curva logaritmica. Viceversa, data una catenaria
si possono ottenere dei segmenti in progressione geometrica, cioè si possono
trovare i logaritmi dei numeri ed i numeri dei logaritmi.
Il più vecchio dei fratelli Bernoulli dimostra che tra tutte le curve per due
punti e di data lunghezza, la catenaria è quella con il baricentro più basso e più
tardi Eulero osserva che ”ogni e¤etto in natura segue un principio di massimo
o minimo”. La dimostrazione seguente si trova nelle lezioni del più giovane dei
due Bernoulli a G.F. Marquis de l’Hospital (1661-1704). Denotiamo con V =
(v; w) il vertice e con Q = (x; y) un generico punto sulla catenaria. Le forze
che agiscono sul pezzo di catena da V a Q sono le tensioni T (V ) e T (Q) nei
punti V e Q ed il peso del pezzo di catena P (V; Q). Il pezzo di catena è in
equilibrio se la somma delle forze che agiscono su di essa è nulla, T (V ) + T (Q) +
P (V; Q) = 0. Il peso agisce lungo la verticale ed è proporzionale alla lunghezza
della curva L(V; Q). Le tensioni agiscono invece lungo direzioni tangenti alla
curva. In particolare la tensione nel vertice T (V ) è orizzontale e non dipende
da Q. Per l’equilibrio, la componente orizzontale di T (Q) deve essere uguale a
T (V ), mentre la componente verticale di T (Q) deve essere uguale a P (V; Q).
Se indichiamo con dy=dx la derivata della curva nel punto Q, la condizione di
equilibrio diventa
Z xq
dy
P (V; Q)
=
= L(V; Q) =
1 + (dy=dx)2 dx:
dx
T (V )
v
La costante dipende dalla tensione in V e dal peso speci…co della catena.
Derivando si ottiene l’equazione di¤erenziale
159
q
d2 y
=
1 + (dy=dx)2 :
2
dx
Con la sostituzione p
dy=dx = z l’equazione si abbassa di grado e diventa a
variabili separabili, dz= 1 + z 2 = dx. Quindi z = sinh( x + ) ed integrando
nuovamente,
y=
1
cosh( x + ) + :
Le costanti e hanno il solo e¤etto di spostare la catena a destra o sinistra
e in su o in giù, mentre il parametro è legato alla lunghezza della catena. Se
= = 0,
Z xq
2
1 + (dy=dx) dx =
0
Z xq
2
1 + sinh ( x)dx =
0
Z
x
cosh( x)dx =
sinh( x)
:
0
Nei suoi lavori sulla catenaria Leibniz suggerisce di studiare la forma di una
catena con densità variabile, di una fune elastica, di una vela al vento, lamentandosi di non aver abbastanza tempo da dedicare a questi problemi. Comunque i
Bernoulli a¤rontano tutti questi problemi ed anche il problema inverso, data la
forma della catena, determinarne la densità. In…ne, Huygens osserva che se il peso
su un elemento di catena è proporzionale alla lunghezza della proiezione sull’asse
delle ascisse, come nel caso dei cavi che sostengono un ponte, si ottiene l’equazione
dy=dx = x con una parabola per soluzione.
Veniamo al problema isoperimetrico, o problema di Didone. Dopo esser fuggita da Tiro ed approdata sulle coste africane, Didone contratta e compra tanta
terra quanta si può cingere con la pelle di un toro. Questa pelle è allora ridotta in una sottile stringa e con essa si racchiude il suolo su cui sorge Cartagine.
Tra tutte le curve semplici chiuse di data lunghezza, qual’è quella che racchiude l’area massima? Di fatto il problema è più antico di Didone. Le api nella
costruzione dei favi ottimizzano l’uso della cera per contenere il miele, perché tra i
poligoni regolari che tassellano il piano, triangoli, quadrati, esagoni, questi ultimi
a parità di perimetro rendono massima l’area. C’è anche chi sostiene che le api
non conoscono la matematica e costruiscono favi esagonali solo perché hanno sei
zampe. Ma smettiamola di disturbare queste laboriose creature e torniamo ad
occuparci del problema isoperimetrico. Nel II secolo a.C. Zenodoro dimostra:
”Tra i poligoni con uguale perimetro e uguale numero di lati, il poligono equilatero ed equiangolo è il più grande in area.”
160
”Tra i poligoni regolari di uguale perimetro, il più grande in area è quello con
il maggior numero di lati.”
”Un cerchio è più grande di tutti i poligoni regolari di uguale perimetro.”
”Tra tutte le …gure solide di uguale super…cie, la sfera ha il volume massimo.”
Steiner a partire dal 1838 presenta diverse dimostrazioni elementari ed eleganti
della proprietà isoperimetrica del cerchio. È semplice mostrare che una soluzione
del problema isoperimetrico deve essere convessa e che ogni retta che divide in
parti uguali il perimetro divide in parti uguali anche l’area, e viceversa. Si può
allora dividere in due il problema, cercando una curva con estremi su una retta
e di lunghezza data che racchiude area massima. Ogni punto A su questa curva
deve vedere gli estremi B e C sulla retta secondo un angolo retto, perché tra i
triangoli con due lati dati quello di area massima è rettangolo. Se il triangolo
CAB non è rettangolo in A, senza variare la forma degli archi CA e AB e quindi
la lunghezza della curva, si può aprire o chiudere l’angolo aumentando l’area del
triangolo e quindi della …gura curvilinea CAB. Ma il luogo dei punti che vedono
un segmento dato secondo un angolo retto è una semicirconferenza, quindi la curva
isoperimetrica è un cerchio. Un’altra dimostrazione di Steiner è la seguente. Se
una regione non è circolare, esistono quattro punti sul suo bordo che non sono
ciclici. Se si pongono delle cerniere in questi punti, la regione si scompone in
quattro lunule …sse ed un quadrilatero snodabile. Basta quindi mostrare che tra
tutti i quadrilateri con lati …ssati, quello ciclico ha area massima. Questo fatto
è conseguenza di un formula di Brahmagupta per l’area di un quadrilatero piano
con lati a, b, c, d, ed angoli , , , ,
s
(a + b + c
d) (a + b
c + d) (a
16
b + c + d) ( a + b + c + d)
abcd cos2
+
2
Dati i lati a, b, c, d, l’area risulta massima quando + = + = , cioè se
il quadrilatero è ciclico. Dimostriamo questa formula. La diagonale per e ha
lunghezza
p
a2 + b 2
2ab cos ( ) =
p
c2 + d2
2cd cos ( ):
Questa diagonale divide il quadrilatero in due triangoli di area ab sin( )=2 e
cd sin( )=2. Quindi, se A è l’area del quadrilatero,
= a2 b2 + c2 d2
4A2 = (ab sin( ) + cd sin( ))2
(ab cos( ) cd cos( ))2 2abcd cos ( + ) :
161
:
Osservando che 2 (ab cos( ) cd cos( )) = a2 + b2
2 cos2 (( + ) =2) 1, si conclude che
16A2 = 4 (a2 b2 + c2 d2 )
(a + b + c
d) (a + b
(a2 + b2
c + d) (a
c2
2
d2 )
c2
d2 e che cos ( + ) =
8abcd 2 cos2
b + c + d) ( a + b + c + d)
+
2
16abcd cos2
1
=
+
2
In particolare, se d = 0 la formula di Brahmagupta si riduce a quella di Erone
per l’area di un triangolo con lati a, b, c,
r
(a + b + c) (a + b c) (a b + c) ( a + b + c)
:
16
Come osservano Dirichlet e Weierstrass, queste dimostrazioni di Zenodoro e
Steiner non sono completamente rigorose perché presuppongono l’esistenza di
una curva massimizzante. È infatti possibile dare esempi di problemi di massimo o minimo senza soluzioni. Comunque queste dimostrazioni possono essere
completate utilizzando degli argomenti di compattezza. Se A è l’estremo superiore per l’area delle …gure con perimetro P , esiste una successione di …gure con perimetri j@ n j = P ed aree limn!+1 j n j = A. Queste …gure possono essere prese convesse e contenute in un insieme limitato, infatti prendendo
l’involucro convesso di una …gura non convessa si diminuisce il perimetro ed aumenta l’area, inoltre una …gura con perimetro P può essere racchiusa in un cerchio con diametro P . In…ne, de…nita la distanza tra due insiemi d (X; Y ) =
supx2X inf y2Y jx yj + supy2Y inf x2X jx yj, si può mostrare che da ogni successione di convessi contenuti in un insieme limitato si può estrarre una sottosuccessione convergente. Nel nostro caso la sottosuccessione converge ad una …gura
con perimetro P ed area A. A questo punto si possono applicare gli argomenti di
Steiner e concludere che una …gura di area massima deve essere un cerchio.
Esistono molte altre dimostrazioni della disuguaglianza isoperimetrica. Per
esempio, la seguente dimostrazione analitica è dovuta a A.Hurwitz (1859-1919).
Sia una regione piana delimitata da una curva semplice chiusa @ di lunghezza
uno, parametrizzata dalla lunghezza d’arco e descritta da una funzione periodica
di periodo uno s
z(s) = x(s) + iy(s). Questa funzione ha uno sviluppo in serie
di Fourier
162
:
z(s) =
+1
X
^
z(k) exp(2 iks):
k= 1
Siccome jdz=dsj = 1, la lunghezza della curva è
j@ j =
=
(
+1
X
Z
0
1
)1=2
2
d
z(s) ds
ds
0
( +1
)1=2
X
2
^
=2
k 2 z(k)
:
d
z(s) ds =
ds
)1=2
^
2
2 ik z(k)
k= 1
(Z
1
k= 1
Similmente, l’area della regione delimitata dalla curva è
Z
Z
1 1
d
1
j j=
dxdy =
(xdy ydx) = Im
z(s) z(s)ds
2 @
2 0
ds
!
+1
+1
X
X
2
1
^
^
^
= Im
2 ik z(k)z(k) =
k z(k) :
2 k= 1
k= 1
ZZ
Comparando l’area con il quadrato del perimetro, si ottiene
2
j@ j
4 j j=4
2
+1
X
k2
^
2
k z(k) :
k= 1
Poiché tutti i termini della serie sono non negativi, si ha j@ j2
^
^
4 j j,
con uguaglianza se e solo se z(s) = z(0) + z(1) exp(2 is), che è l’equazione di
un cerchio. In…ne, se la disequazione j@ j2
4 j j è veri…cata per curve di
lunghezza uno, per omogeneità è veri…cata per curve di lunghezza arbitraria.
Questa dimostrazione suggerisce anche la possibilità di misurare quantitativamente la di¤erenza tra perimetro e area. Per esempio, se r e R sono i raggi del
più grande cerchio inscritto e del più piccolo cerchio circoscritto alla …gura, allora
2
j@ j2 4 j j
(R r)2 .
Accenniamo all’analogo del problema isoperimetrico in tre dimensioni, tra
tutte le super…ci che racchiudono un dato volume, la sfera ha area minima.
Una dimostrazione …sica di questo fatto è data dalle bolle di sapone, che racchiudono un certo volume d’aria con la tensione super…ciale che rende minima
l’area. Una dimostrazione matematica si può ricavare dalla disuguaglianza di
163
H.Brunn e H.Minkowski (1864-1909). Se X e Y sono insiemi compatti non vuoti
in Rd con volumi jXj e jY j, allora jX + Y j1=d
jXj1=d + jY j1=d . L’uguaglianza
vale solo quando il volume della somma è zero, o un’insieme si riduce ad un solo
punto, o gli insiemi sono omotetici. Dimostriamo la disuguaglianza quando X e
Y sono parallelogrammi con spigoli paralleli agli assi di lunghezza fxj g e fyj g.
In questo caso, anche X + Y è un parallelogrammo con spigoli fxj + yj g. Per la
disuguaglianza tra le medie aritmetiche e geometriche,
d
Y
xj
x + yj
j=1 j
!1=d
+
d
Y
yj
x + yj
j=1 j
!1=d
1 X xj
1 X xj
+
= 1:
d j=1 xj + yj d j=1 xj + yj
Quindi,
1=d
jXj
d
d
1=d
+ jY j
d
Y
=
d
Y
xj
j=1
!1=d
(xj + yj )
j=1
!1=d
+
d
Y
yj
j=1
!1=d
= jX + Y j1=d :
Dimostriamo ora la disuguaglianza quando X e Y sono unione di parallelogrammi con spigoli paralleli agli assi, per induzione sul numero di parallelogrammi
in X [Y . Con una opportuna traslazione si può assumere che l’iperpiano fxd = 0g
divide X in due parti X sopra e sotto questo iperpiano, che contengono ciascuna
meno parallelogrammi di X. Con un’altra traslazione anche Y risulta diviso da
fxd = 0g in due parti Y con jX j = jXj = jY j = jY j. Si ha X + Y
fxd 0g
e X+ + Y+ fxd 0g ed il numero di parallelogrammi in X [ Y e in X+ [ Y+
risulta minore del numero di parallelogrammi in X [ Y . Per l’ipotesi di induzione
su questo numero si ha
jX + Y j
jX + Y j + jX+ + Y+ j
d
d
jX j1=d + jY j1=d + jX+ j1=d + jY+ j1=d
!d
!d
jY j1=d
jY j1=d
+ jX+ j 1 +
= jXj1=d + jY j1=d
= jX j 1 +
1=d
1=d
jXj
jXj
164
d
:
In…ne, con un processo di approssimazione la disuguaglianza si estende dall’unione
di parallelogrammi a compatti arbitrari. Ricordiamo ora la de…nizione di area di
Minkowski. Se = fjxj 1g è la sfera di raggio uno con centro nell’origine e se
è un compatto arbitrario, si può de…nire l’area di @ come il limite, se esiste,
j@ j = lim
!0+
j +
j
j j
:
Cioè il rapporto tra il volume e l’altezza della buccia f0 < d(x; ) < g tende
all’area j@ j della super…cie @ . La derivata dell’area è il perimetro e la derivata
del volume è l’area. Con questi strumenti la dimostrazione della disuguaglianza
isoperimetrica è immediata. Per la disuguaglianza di Brunn-Minkowski e per la
de…nizione di area di Minkowski,
j1=d
j +
j +
j
j j
1=d
j j
j@ j
j j1=d
d
X
j=1
j +
d j j1=d j j(d
j j1=d ;
j)=d
j(d
1)=d
j j(j
1)=d
;
:
In altre parole, j@ jd dd j j j jd 1 . Quando è una sfera tutte queste disuguaglianze diventano uguaglianze. In particolare, se la dimensione è uno j@ j 2,
se la dimensione è due j@ j2 4 j j, se la dimensione è tre j@ j3 36 j j2 ,...
Anche la catenaria compare nella teoria delle super…ci minime. Per il teorema
di Pappo di Alessandria (IV secolo d.C.) e P.Guldino (1577-1643) la super…cie
generata dalla rotazione di una curva intorno ad un asse è uguale alla lunghezza
della curva per la lunghezza del cerchio percorso dal baricentro della curva. C’è
quindi una relazione tra le super…ci di rotazione minime e le curve con il baricentro
basso. Una curva y = y(x) con a x b e y(a) = A e y(b) = B che ruota inZ b
q
torno all’asse delle ascisse genera una super…cie di area
2 y 1 + (dy=dx)2 dx.
a
Per minimizzare questo integrale rispetto a tutte le curve per (a; A) e (b; B),
si considera una variazione y + "z, si deriva l’integrale rispetto ad " ed imponendo alla derivata di essere nulla per ogni scelta di z con z(a) = z(b) = 0 si
ottiene l’equazione di Eulero-Lagrange y (d2 y=dx2 ) (dy=dx)2 1 = 0, che ha
come soluzione la catenaria. Questo è un risultato di Eulero. Un’altra super…cie minima è l’elicoide (s cos(t); s sin(t); t) ed altre ancora si possono ottenere con
165
esperimenti con lamine saponate. Con questi esperimenti J.A.F.Plateau (18011883) ha trovato un certo numero di proprietà delle super…ci minime, che sono
state poi dimostrate rigorosamente.
166
LA CICLOIDE
La cicloide è la curva descritta da un punto di un cerchio che rotola lungo una
retta. Se alla traslazione del centro del cerchio (#; 1) si somma la rotazione del
punto intorno al centro (sin(#); cos(#)), si ottiene la rappresentazione parametrica
x=#
y=1
sin(#);
cos(#):
Se suggerimento di M.Marsenne (1588-1648), Robenval studia le proprietà di
questa curva e nel 1634 trova che l’area sotto la cicloide è tre volte quella del
cerchio generatore. Similmente, Wren dimostra la lunghezza della cicloide è otto
volte il raggio del cerchio generatore,
Z 2
Z 2
ydx =
(1 cos(#))2 d# = 3 ;
0
Z 2 p
Z 20 q
2
2
dx + dy =
(1 cos(#))2 + (sin(#))2 d# = 8:
0
0
La quadratura di Robenval utilizza gli indivisibili di Cavalieri e l’osservazione
che sezioni parallele alla base della cicloide (# sin(#); 1 cos(#)) sono uguali a
sezioni del cerchio (sin(#); 1 cos(#)) più sezioni della curva compagna della cicloide (#; 1 cos(#)), la sinusoide. Quindi l’area sotto la cicloide è uguale all’area
del cerchio più l’area sotto la sinusoide e, per simmetria, questa sinusoide è la
metà del rettangolo con base la circonferenza ed altezza il diametro.
Per Robenval la
cicloide è ugale
al cerchio più la
sua compagna.
x=#
y=1
sin(#);
cos(#);
x = sin(#);
y = 1 cos(#);
x = #;
y = 1 cos(#):
La ricetta di Robenval per trovare la tangente ad una curva è la seguente:
167
”La direzione del moto di un punto che descrive una linea curva è la tangente
alla curva... Se esaminate i diversi movimenti del punto e tirate la risultante di
questi movimenti, avrete la tangente alla linea curva.”
Componendo la rotazione intorno al centro del cerchio con la traslazione del
centro, Robenval dimostra che la tangente ad una cicloide è la retta per il punto
sulla cicloide ed il punto sul cerchio generatore diametralmente opposto al punto
di contatto alla retta base. Poi trova anche il volume del solido generato dalla
rotazione di un arco di cicloide intorno alla base, ma non pubblica le sue scoperte.
Il motivo è che il Collegio Reale di Parigi mette a concorso ogni tre anni una
cattedra con una competizione su argomenti scelti dal titolare. Vinta la cattedra
nel 1634, Robenval riesce a conservala per quarant’anni. Quando poi le proprietà
della cicloide vengono ritrovate da altri, scoppiano le polemiche. In particolare
Torricelli osserva che il principio di composizione delle velocità di Robenval è già
presente in Galileo ed anche Fermat utilizza questo principio ottenendo, in un
certo senso, la nostra de…nizione di derivata. La tangente alla curva y = f (x)
si ottiene componendo gli spostamenti orizzontali (x + h) x con quelli verticali
f (x + h) f (x), il coe¢ ciente angolare della tangente è il limite dei rapporti
incrementali (f (x + h) f (x)) =h.
La lunghezza di un arco
di cicloide secondo Wren.
Se si tracciano le tangenti alla cicloide nel suo vertice V ed in un punto P
e se le due tangenti si intersecano in un punto Q, l’arco di cicloide V P
è il doppio del segmento V Q.
Nel 1673 Huygens de…nisce l’evolvente e l’evoluta di una curva.
”Se si considera un …lo avvolto su una linea concava, rimanendo un’estremità
del …lo sempre attaccata alla curva e l’altra restando libera in modo che la parte
non legata rimanga sempre tesa, è chiaro che questa estremità del …lo descriverà
un’altra curva che sarà descritta per evoluzione. La linea alla quale il …lo era
avvolta si chiama evoluta.”
168
In termini moderni l’evoluta è il luogo dei centri di curvatura di una curva
e, relativamente alle coniche, si trova già nelle Coniche di Apollonio di Perga
(262-190 a.C.). Dopo aver mostrato che le rette tangenti all’evoluta incontrano
l’evolvente ad angoli retti, Huygens dimostra che l’evolvente di una cicloide è
ancora una cicloide. In’altra curva con questa proprietà di autoriprodursi è la
spirale logaritmica. Infatti, come mostrato da Bernoulli, l’evoluta di una spirale
logaritmica è la stessa spirale.
Huygens e l’evolvente ed
evoluta di una cicloide.
”Se una linea retta è tangente ad una cicloide nel suo vertice e su questa
retta presa come base viene costruita un’altra cicloide uguale alla prima
con inizio nel vertice, una qualunque retta tangente alla cicloide inferiore
incontra ad angoli retti la cicloide superiore... Per evoluzione, a partire
da una semicicloide si descrive un’altra semicicloide uguale all’evoluta,
la cui base coincide con la retta che tocca la cicloide evoluta nel vertice.”
La normale alla cicloide per il punto di parametro # ha equazione
y
(1
x
cos(#) 1
(x (# sin(#))) ;
sin(#)
x cos(#) + y sin(#) + # cos(#) # = 0;
cos(#)) =
e la normale in un punto in…nitesimamente vicino di parametro # + d#,
(x x cos(#) + y sin(#) + # cos(#)
+ (x sin(#) + y cos(#) + cos(#) # sin(#)
#)
1) d# = 0:
Il punto di intersezione di queste due normali in…nitamente vicine è una cicloide
uguale alla prima ma traslata di ( ; 2), (x; y) = (sin(#) + #; cos(#) 1). Se A =
(# sin(#); 1 cos(#)) è un punto sulla evolvente, B = (sin(#) + #; cos(#) 1) il
punto corrispondente sulla evoluta, C = ( ; 2) il vertice della cicloide evoluta,
169
la distanza tra A e B è 4 sin(#=2) e la lunghezza dell’arco di cicloide tra B e C
è 4 4 sin(#=2). Quindi la somma del segmento AB più l’arco BC è costante e
uguale a quattro volte il raggio.
Huygens scopre anche che la cicloide è tautocrona.
Huygens e la
tautocronia della cicloide.
”In una cicloide rovesciata, i tempi di discesa di un corpo che parte da punti
qualsiasi della curva e raggiunge il punto più basso sono uguali. Il rapporto
tra questi tempi ed il tempo di caduta verticale lungo l’asse della cicloide
è uguale al rapporto tra metà circonferenza e diametro del cerchio.”
Scivolando senza attrito lungo una cicloide rovesciata (# sin(#); cos(#) 1)
un corpo pesante raggiunge il punto più basso ( ; 2) in un tempo indipendente
dal punto di partenza. Per la conservazione dell’energia cinetica e potenziale, se in
un punto di parametro pla velocità iniziale è v( ) = 0, in un punto di parametro
# la velocità è v(#) = 2g (y( ) y(#)). Siccome tempo = spazio=velocita, il
tempo impiegato per scivolare lungo la cicloide da un punto di parametro al
punto di parametro è
q
Z
(1 cos(#))2 + ( sin(#))2
p
d#
2gZ((cos( ) 1) (cos(#) 1))
sin(#=2)
1
p
d#
=p
2 ( =2)
2 (#=2)
g
cos
cos
Z 1
dw
2
p
=p :
=p
g
g 0 1 w2
p
Il tempo di caduta lungo la verticale da ( ; 0) a ( ; 2) è invece 2= g, quindi
il rapporto tra il tempo di discesa lungo la cicloide e lungo l’asse verticale è
=2. L’evoluta di una cicloide è ancora una cicloide e la cicloide è tautocrona.
Questi sono i principi utilizzati da Huygens nella costruzione di orologi a pendolo
cicloidali. Se un pendolo oscilla tra due guide cicloidali rovesciate, descrive una
170
cicloide ed il periodo dell’oscillazione è indipendente dall’ampiezza dell’oscillazione
stessa.
I classici pendoli circolari sono solo approssimativamente tautocroni per piccole
oscillazioni. Infatti il tempo impiegato da un corpo pesante per scivolare lungo un
pendolo circolare (R sin(#); R R cos(#)) da un punto di parametro al punto
di parametro 0 è un integrale ellittico,
s Z
s Z
=2
d#
d'
R
R
p
p
:
=
2
2g 0
g 0
cos(#) cos( )
1 sin ( =2) sin2 (')
Per
piccolo il termine sin2 ( =2) sin2 (') risulta trascurabile, quindi, come
osservato da Galileo, il periodo
delle piccole oscillazioni di un pendolo circolare è
p
approssimativamente 2
R=g. Al contrario,
il periodo di tutte le oscillazioni di
p
R=g. Tenuto però conto dei vari attriti
un pendolo cicloidale è esattamente 4
che in ogni caso compromettono la precisione di un orologio, le migliori prestazioni
di un pendolo cicloidale sono più teoriche che reali.
Nel 1696 Bernoulli pubblica la seguente s…da.
”Si invitano i matematici a risolvere un problema nuovo. Dati due punti A e
B in un piano verticale, trovare la curva AMB lungo la quale un corpo mobile M,
che parte da A e scende per gravità, arriva a B nel più breve tempo possibile.”
Il problema è di fatto già presente in Galileo, il quale congettura che ”il movimento più veloce da punto a punto non ha luogo lungo la linea più breve, cioè la
retta, ma lungo un arco di cerchio”. La soluzione corretta viene data nel 1697 da
entrambi i fratelli Bernoulli, de l’Hospital, Leibniz, e da un anonimo:
”Problema: Trovare la curva AB lungo la quale un corpo pesante scende per
gravità da un punto A ad un punto B più velocemente.
Soluzione: Per il punto A tracciare la linea orizzontale e su questa una cicloide che interseca la linea AB nel punto Q, poi una seconda cicloide con base e
altezza rispetto alla base e altezza della prima cicloide come AB sta a AQ. Questa
seconda cicloide passa per A e B ed è la curva lungo la quale il corpo discende più
velocemente dal punto A a B.”
L’anonimo viene identi…cato con Newton, ”ex ungue leonem”. La soluzione
del più giovane dei Bernoulli utilizza un’analogia con il principio di rifrazione di
Fermat e ”l’ipotesi di Galileo” secondo la quale la velocità di un corpo che cade
171
è proporzionale alla radice quadrata dell’altezza. Poniamo un sistema di assi
cartesiani con origine nel punto di partenza ed asse delle ordinate rivolto verso
il basso e denotiamo con ' l’angolo tra questo asse e la tangente
p alle curva. La
velocità v e l’altezza y del corpo sono legate dalla relazione v = p
2gy. Se pensiamo
a degli strati di materiali dove la velocità della luce è data da v = 2gy, il cammino
più rapido è quello che in ogni punto soddisfa la legge di rifrazione v= sin(') = k.
1=2
Poiché sin(') = 1 + (dy=dx)2
, si ottiene l’equazione di¤erenziale
r
q
y
dx
2
=
:
2gy 1 + (dy=dx) = k;
dy
2r y
La soluzione per (0; 0) è la cicloide (x; y) = r (# sin(#); 1 cos(#)) e scegliendo
il raggio r si può imporre il passaggio per un altro punto. Bernoulli osserva anche
che se la velocità di caduta non è proporzionale alla radice quadrata dell’altezza
ma alla radice cubica, allora la brachistocrona è algebrica e la tautocrona trascendente. Se invece la velocità di caduta è proporzionale all’altezza, sia la brachistocrona che la tautocrona sono algebriche, la prima è un cerchio e la seconda una
retta.
Consideriamo ora un modello più realistico di brachistocrona con attrito. Sia
(x(s); y(s)) l’equazione parametrica di una curva, con lunghezza d’arco s. Sia T =
x(s); y(s) la tangente e N =
y(s); x(s) la normale alla curva, F = (0; mg)
la forza di gravità e
"(F N )T =
"mg x(s) x(s); y(s) l’attrito. Le componenti
del peso e dell’attrito lungo la curva sono mg y(s) e
Newton,
m
d2 s
= mg y(s)
dt2
"mg x(s):
Sostituendo v = ds=dt e dv=dt = vdv=ds =
d
ds
v2
2
=g
"mg x(s) e, per la legge di
d
(y
ds
d 2
(v =2), si ottiene
ds
"x) :
Se nell’origine la velocità del corpo è zero si ottiene v =
tempo per percorrere un tratto L di curva da (0; 0) a (a; b) è
s
Z L
Z a
ds
1 + (dy=dx)2
dx:
=
2g(y "x)
0 v
0
172
p
2g(y
"x) ed il
La curva che rende minimo questo integrale si trova risolvendo un’equazione
di Eulero-Lagrange e l’equazione è
x = r (#
y = r (1
sin(#)) + "r (1 cos(#)) ;
cos(#)) + "r (# + sin(#)) :
Brachistocrone con e senza attrito.
Se c’è attrito ci sono punti non raggiungibili da una brachistocrona, se l’attrito
è troppo il corpo non si muove.
173
N U M ERI RAZION ALI; ALGEBRICI; T RASCEN DEN T I
La matematica si è sempre occupata di numeri, ma cosa sia esattamente un
numero non è mai stato chiaro, infatti l’introduzione di un qualche nuovo numero,
lo zero, i negativi, gli irrazionali, gli immaginari, ha sempre creato sospetti e perplessità. Di fatto una de…nizione rigorosa di numero è relativamente recente e
risale solo alla seconda metà del secolo XIX. Dimenticando l’a¤ermazione di Kronecker, ”Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”, nel 1889
G.Peano (1858-1932) introduce l’insieme dei numeri naturali N con un sistema
di assiomi espresso in simboli che noi ci permettiamo di tradurre in parole: 1)
Zero è un numero. 2) Il successore di un numero è un numero. 3) Il numero zero
non ha successore. 4) Due numeri con lo stesso successore sono uguali. 5) Se un
insieme di numeri contiene lo zero ed il successore di ogni numero nell’insieme,
allora questo insieme contiene tutti i numeri. Quest’ultimo assioma è il principio
di induzione. L’addizione tra numeri naturali si de…nisce ricorsivamente ponendo
a + 0 uguale ad a, a + 1 uguale al successore di a e, per induzione, a + (b + 1)
uguale al successore di a + b. Similmente si de…nisce la moltiplicazione ponendo
a 1 = a e a (b + 1) = (a b) + a. Peano de…nisce poi i numeri interi relativi Z
come coppie di interi (a; b), con addizione (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) e relazione
di equivalenza (a; b) = (c; d) se a + d = b + c. La coppia (a; b) rappresenta quindi
il numero a b. Sia Weierstrass che Peano de…niscono in modo astratto i numeri
razionali Q come coppie ordinate di interi. Nell’insieme di tutte le coppie di interi relativi (a; b), con b > 0, si de…niscono le operazioni di somma e prodotto,
(a; b)+(c; d) = (ad + bc; bd) e (a; b) (c; d) = (ac; bd). Si de…nisce poi una relazione
di equivalenza, (a; b) = (c; d) se ad = bc, ed una relazione d’ordine, (a; b) > (c; d)
se ad > bc. L’insieme delle coppie di interi relativi con questa somma e prodotto,
quozientato rispetto alla relazione di equivalenza è il campo dei numeri razionali
ed invece di (a; b) si scrive a=b. I razionali, più che su¢ cienti per tutti i problemi
pratici, non esauriscono però l’insieme di tutti i numeri. Intuitivamente si possono de…nire i numeri reali come limiti di successioni razionali. Infatti Cantor nel
1872 de…nisce i numeri reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchy
di numeri razionali. Una successione è fondamentale se per ogni " > 0 tutti i
suoi termini da un certo posto in poi di¤eriscono per meno di ", cioè fx(n)g+1
n=1
è fondamentale se dato " > 0 esiste k tale che jx(n) x(m)j < " se n; m > k.
Ogni successione fondamentale di numeri razionali è per de…nizione un numero
+1
reale e due successioni fx(n)g+1
n=1 e fy(n)gn=1 de…niscono lo stesso numero se
174
jx(n) y(n)j tende a zero per n ! +1. Le operazioni sui numeri reali sono ereditate delle operazioni sulle successioni di razionali. In particolare, si può associare
ad ogni numero reale la successione delle somme parziali del suo sviluppo decimale,
quindi questa de…nizione astratta risulta più o meno equivalente alla de…nizione
di numero reale come sviluppo decimale in…nito. Contemporaneamente a Cantor,
nel 1872 J.W.R.Dedekind (1831-1916) pubblica le sue ri‡essioni su ”Continuità e
numeri irrazionali”.
”L’essenza della continuità è nel seguente principio: Se tutti i punti di una
linea retta sono divisi in due classi in modo che ogni punto della prima sia a
sinistra di ogni punto della seconda, allora esiste uno ed un solo punto che produce
questa divisione in classi, questa sezione della retta in due parti.”
Poi Dedekind estende questa osservazione apparentemente banale dalla retta
ai numeri e de…nisce i numeri reali come elementi separatori tra classi contigue
di razionali. Di fatto, senza presupporre a priori l’esistenza di un elemento separatore tra due classi contigue, è possibile de…nire un numero reale come una
coppia di classi contigue di numeri razionali. Anzi, visto che una classe determina l’altra, è possibile de…nire i reali nel modo seguente. Una sezione del campo
dei numeri razionali Q è un sottoinsieme proprio non vuoto di razionali con le
proprietà: 1) Se x appartiene alla sezione, ogni razionale y minore di x appartiene alla sezione. 2) I razionali nella sezione non hanno massimo, cioè per ogni
x nella sezione esiste y nella sezione maggiore di x. Denotiamo con , , ,..., le
sezioni e con R l’insieme di tutte le sezioni. Ad ogni razionale z si può associare
la sezione di tutti i razionali x < z. Questo permette di identi…care Q con un
sottoinsieme di R, ma non tutte le sezioni sono ottenute in questo modo. p
Per
2
esempio, l’insieme dei razionali negativi e positivi con x < 2, che de…nisce 2,
non è una sezione razionale. Nell’insieme delle sezioni è possibile introdurre un
ordinamento, ponendo < se è un sottoinsieme proprio di . Con questo
ordinamento, ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato in R ha un
estremo superiore de…nito dalla sezione sup 2A = [ 2A . La somma di due
sezioni è la sezione + = fx + y; x 2 ; y 2 g. Il prodotto di sezioni positive
è la sezione
= fz < x y; x 2 ; y 2 ; x > 0; y > 0g. Poi, se < 0 e < 0,
= ( ) ( ). Se > 0 e < 0,
= ( ( )). L’insieme R con la
somma ed il prodotto così de…niti risulta essere un campo, il campo dei numeri
reali. De…niti i reali, si possono de…nire i numeri complessi C come coppie di
numeri reali (a; b), con addizione (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) e moltiplicazione
(a; b) (c; d) = (ac bd; ad + bc). Ponendo (0; 1) = i, invece (a; b) si può scrivere a + ib. Questa de…nizioni dei numeri complessi è dovuta a W.R.Hamilton
175
p
(1805-1865). Poiché i2 = 1, si hap formalmente i =
1, quindi
p si hanno i
numeri complessi nella forma a + b
1. In…ne, sostituendo x a
1, si possono identi…care i numeri complessi con l’insieme dei polinomi a coe¢ cienti reali,
modulo x2 + 1, cioè con l’estensione algebrica del campo reale per mezzo delle
radici di x2 + 1. A questo punto sorge naturale una domanda. Si hanno le inclusioni N Z Q R C. C’è qualcosa sopra C? La risposta di Gauss a questa
domanda è la seguente:
”Le relazioni tra oggetti in insiemi con più di due dimensioni non possono dare
origine ad una aritmetica generalizzata.”
In particolare, non è possibile de…nire nello spazio tridimensionale una struttura di somma e prodotto compatibili con quelli sulla retta reale e sul piano
complesso. Se così fosse, indicata con e = (1; 0; 0) l’unità di questa algebra, con
i = (0; 1; 0) l’unità immaginaria, i i = e, con j = (0; 0; 1) una terza unità, si
avrebbe i j = e + i + j con , , reali. Allora j = (i i) j = i (i j) =
(
)e + ( + )i + 2 j. Quindi, per l’indipendenza dei vettori e, i, j, si
dovrebbe avere 2 = 1, contrariamente all’ipotesi reale. Più in generale, se
fosse possibile estendere le quattro operazioni dell’aritmetica da R a R2n+1 , si
tratterebbe di una estensione algebrica, ma un polinomio di grado dispari ha sempre una radice reale. I numeri complessi possono essere immersi nei quaternioni
di Hamilton, ma si perde la commutatività del prodotto. I quaternioni possono
essere immersi negli ottetti di A.Caley (1821-1895), ma si perde anche la proprietà
associativa.
Ma, dopo queste de…nizioni astratte, torniamo ad occuparci di numeri in modo
più concreto. I razionali sono rapporti di interi. Per esempio, gli antichi egizi
usano solo frazioni con numeratore uno, ma ogni razionale può essere scomposto
in somme di razionali distinti con numeratore uno e un algoritmo naturale per
scomporre una frazione in frazioni egizie è dovuto al Fibonacci. Dato m=n, si
sceglie a tale che 1=a
m=n < 1=(a 1) e, se 1=a 6= m=n, si sceglie b tale
che 1=b
m=n 1=a < 1=(b 1),.... In un numero …nito di passi si ottiene
m=n = 1=a + 1=b + ::: + 1=c. Per dimostrare che l’iterazione ha termine, basta
osservare che m=n 1=a = p=q, con p < m. Infatti m=n 1=a = (ma n)=na
e ma n < m se e solo se m=n < 1=(a 1). Comunque la scomposizione in
frazioni egizie non è unica, per esempio 1=n = 1=(n + 1) + 1=(n2 + n). Ogni
numero razionale ha sviluppo decimale periodico. Per esempio, dividendo 22 per
7 si ottiene 3 con resto 1, dividendo 10 per 7 si ottiene 1 con resto 3, dividendo
30 per 7 si ottiene 4 con resto 2,..., il resto è sempre compreso tra 0 e 6 e quando
176
si ripetere si ottiene il periodo, 22=7 = 3; 142857 142857::: Viceversa, ogni numero
con sviluppo decimale periodico è razionale. Per esempio
142857 X
3; 142857 142857 142857::: = 3 +
1000000
1000000 k=0
+1
k
=3+
142857
22
= :
999999
7
Un corollario di quanto mostrato è che ogni numero con sviluppo decimale
non periodico non è razionale. Quindi esistono numeri irrazionali, anzi secondo
Cantor gli irrazionali sono molti più dei razionali. Iniziamo osservando che i
numeri razionali sono numerabili, cioè possono essere messi in corrispondenza
biunivoca con gli interi 1, 2, 3,... ed allineati in una successione. Infatti, per ogni
n esiste solo un numero …nito di razionali p=q con jpj + jqj = n e questi possono
essere ordinati per modulo crescente. In particolare, se n = 1 si ha solo 0=1, se
n = 2 si ha 1=1 e 1=1, se n = 3 si ha 2=1, 1=2, 1=2, 2=1,... In questo modo
si ottiene l’ordinamento 0=1, 1=1, 1=1, 2=1, 1=2, 1=2, 2=1, 3=1, 1=3, 1=3,
3=1, 4=1, 3=2, 2=3, 1=4, 1=4, 2=3, 3=2, 4=1,... I numeri algebrici sono le
radici di equazioni algebriche a coe¢ cienti interi. Anche questi sono numerabili,
infatti per ogni n esiste solo un numero …nito di equazioni algebriche a coe¢ cienti
interi axk + bxk 1 + cx + d = 0 con k + jaj + jbj + ::: + jcj + jdj = n, le soluzioni di
queste equazioni possono essere ordinate per modulo crescente ed in questo modo
si ottiene un ordinamento dei numeri algebrici. Dimostriamo in…ne che i numeri
reali non sono numerabili. Assumendo il contrario, esisterebbe un ordinamento
di tutti i reali 0 < x < 1, con x(1) = 0; x11 x12 x13 :::, x(2) = 0; x21 x22 x23 :::,
x(1) = 0; x31 x32 x33 :::. A partire da questa lista è però possibile costruire un
numero reale 0 < y < 1 non nella lista. Per esempio, il numero y = 0; y1 y2 y3 ::: con
yj = xjj + 1 se 0 xjj 4 e yj = xjj 1 se 5 xjj 9 di¤erisce da x(1) almeno
nel primo decimale, da x(2) nel secondo, da x(3) nel terzo,.... Quindi y non ha
un posto nella lista supposta esaustiva. Un immediato corollario è che se i numeri
algebrici sono numerabili ed i reali no, devono esistere numeri trascendenti. Ma se
è semplice dimostrare che esistono numeri irrazionali ed anche trascendenti, può
essere più complicato mostrare che un particolare numero
p proprietà.
p hapquesta
Si attribuisce alla scuola pitagorica la scopertapche 2, 3, 5,... non sono
rapporti tra numeri interi p=q. Questi numeri m sono radici del polinomio
x2 m = 0 e, come osserva Gauss, le radici razionali di un polinomio con coe¢ cienti interi si possono determinare esplicitamente in un numero …nito di tentativi.
Infatti se un polinomio a coe¢ cienti interi axn + bxn 1 + ::: + cx + d = 0 ha una
177
radice razionale x = p=q, sostituendo p=q nell’equazione e moltiplicando per q n si
ottiene
dq n = p ( cq n
apn = q ( bpn
1
1
:::
:::
bpn 2 q apn 1 ) ;
cpq n 2 + dq n 1 ) :
Se p e q non hanno divisori comuni, dalla prima uguaglianza si ricava che p
deve dividere d e dalla seconda che q deve dividere a. In particolare, se tra i
divisori di a e d non si trovano radici p=q, il polinomio non ha radici razionali.
+1
X
Lo sviluppo in serie della funzione esponenziale exp(x) =
xn =n! converge
n=0
rapidamente e con la formula exp(x) = (exp(x=2))2 la convergenza è accelerata.
È poi semplice calcolare per ricorrenza le somme parziali,
n
X
xk
k=0
k!
=
A(x; n)
n A(x; n 1) + xn
=
:
n!
n!
Per esempio, se x = 1 si ha A(1; 10)=10! = 9864101=3628800. Questo approssima e per difetto a meno di 1= (10 10!), meno di tre centomilionesimi. Di
fatto
e = 2; 7182818284 5904523536 0287471352
6624977572 4709369995 9574966967
6277240766 3035354759 4571382178
5251664274:::
I numeri razionali hanno uno sviluppo decimale periodico, ma almeno in queste
cento cifre decimali non sembra essere presente nessuna periodicità. Con un poco
di fatica, dallo sviluppo decimale si riescono ad ottenere i primi termini dello
sviluppo in frazione continua e si intuisce anche quale è lo sviluppo completo.
Dallo sviluppo in frazioni continue segue immediatamente l’irrazionalità di e, ma
vogliamo presentare una semplice dimostrazione di questa irrazionalità dovuta a
+1
X
Fourier. Poiché e =
1=n!, si ha
n=0
0<e
N
X
1=n! =
n=0
<
1
(N + 1)!
1+
+1
X
1=n!
n=N +1
1
1
+
+ :::
N + 2 (N + 2)2
178
=
1
N +2
:
(N + 1)! N + 1
Se per assurdo e fosse razionale, e = p=q, prendendo N q e moltiplicando per
N
X
N ! la disuguaglianza 0 < e
1=n! < 1=N N ! si otterrebbe l’assurdo di un intero
n=0
maggiore di zero e minore di uno. Similmente si può mostrare che e non è radice di
un polinomio di secondo grado con coe¢ cienti interi, ae2 + be + c 6= 0. Sostituendo
in ae+b+ce 1 = 0 gli sviluppi in serie di e e di e 1 , poi moltiplicando per N ! con N
grande si ottiene un assurdo. A questa dimostrazione dell’irrazionalità di e si può
dare una veste geometrica. Partiamo dall’intervallo I(1) = [2; 3] e per induzione
de…niamo I(n) dividendo I(n
e scegliendo il secondo
" n 1) in nn intervalli uguali
#
X
X
T
di questi intervalli, I(n) =
1=k!;
1=k! + 1=n! . Allora e = +1
n=1 I(n). Da
k=0
k=0
questa costruzione ricava che je m=n!j > 1=(n + 1)!, in particolare e deve essere
irrazionale.
Presentiamo ora una semplice dimostrazione dell’irrazionalità di dovuta a
I.Niven. Partiamo dal polinomio P (x) = xn (1 x)n =n! ed integriamo ripetutamente per parti P (x) sin( x),
Z 1
P (2n) (0) + P (2n) (1)
P (0) + P (1)
:::
:
P (x) sin( x)dx =
2n+1
0
Se 0 x 1 si ha jP (x)j < 1=n! e tutte le derivate di P (x) sono numeri interi
se valutate in x = 0 o x = 1. Fissato un intero p, se n è abbastanza grande si ha
Z 1
2n+1
0<p
P (x) sin( x)dx < p2n+1 =n! < 1:
0
Se fosse per assurdo
= p=q, con p e q interi, la quantità
Z 1
2n+1
p
P (x) sin( x)dx
= p2n q (P (0) + P (1))
0
:::
q 2n+1 P (2n) (0) + P (2n) (1)
sarebbe un intero maggiore di zero e minore di uno.
Ogni numero reale può essere approssimato arbitrariamente bene con razionali ma, interessati all’economia, cerchiamo approssimazioni con razionali di denominatore non troppo grande. Per esempio, ridimostriamo l’approssimazione di
Archimede 3 + 10=71 < < 3 + 1=7 con un metodo non archimedeo. Partiamo
dall’integrale
179
=
Z
Z
x
0
x
x
6
x4 (1 x)4
dx
1 + x2
4x5 + 5x4
4
1 + x2
4x2 + 4
0
1
2 6
4 3
= x7
x + x5
x + 4x 4 arctan(x):
7
3
3
Ponendo x = 1 si ottiene
Z 1 4
x (1 x)4
dx = 22=7
:
1 + x2
0
Poi osserviamo che
1
1=1260 =
2
Z
1
4
x (1
4
x) dx <
0
Z
0
x
x4 (1 x)4
dx <
1 + x2
Z
1
x4 (1
x)4 dx = 1=630:
0
Quindi
22=7
1=630 <
< 22=7
1=1260:
La frazione 22/7 è la migliore approssimazione di con denominatore minore
o uguale a 7 e 355/113 la migliore approssimazione con denominatore al più 113.
Lagrange ha mostrato che dallo sviluppo in frazioni continue di un numero irrazionale x si possono costruire in…niti razionali p=q tali che jx p=qj < 1=q 2 .
Per esempio je 2721=1001j < 1001 2 . Dirichlet ha ridimostrato questo risultato utilizzando il principio che se n scatole contengono n + 1 oggetti, allora
c’è una scatola con almeno due oggetti. Le n scatole sono gli intervalli [0; 1=n),
[1=n; 2=n),..., [(n 1)=n; 1) e gli n + 1 oggetti sono le parti decimali dei numeri 0x, 1x, 2x,..., nx, almeno due tra le parti decimali di 0x, 1x,..., nx differiscono per meno di 1=n, cioè esistono interi h, k, j, con 0 h < k n e con
2
jkx hx jj < 1=n. Quindi
p jx j=(k h)j < 1=n(k h) 1=(k2 h) . In particolare, per approssimare m con una frazione p=q a meno di q , basta risolvere
p
p
1
l’equazione mq 2 p2 = 1. Infatti, m p=q = ( m + p=q) (mq 2 p2 ) q 2 .
Questo metodo risale
alla scuolappitagorica. Osserviamo che si è anche ottenuta la
p
1
2
pitagorico
disuguaglianza j m p=qj
p ( m + p=q) q , il metodo
p è ottimale,
non si può approssimare m con p=q a meno di q 2 . Similmente j 3 m p=qj
1
p
p
3
m2 + 3 mp=q + p2 =q 2
q 3 , e così per le altre radici. Osserviamo in…ne che
se m=n e p=q sono numeri razionali distinti, allora jm=n p=qj > 1=nq, un numero
180
razionale può essere ben approssimato solo da se stesso. Liouville ha mostrato che
se x è un numero irrazionale algebrico, radice di un polinomio P (x) = 0 di grado
n a coe¢ cienti interi, allora esiste una costante c tale che per ogni razionale p=q si
ha jx p=qj > c=q n . Infatti se p=q è un razionale abbastanza vicino ad x, allora
P (p=q) è un razionale non nullo con denominatore q n e
1
qn
P
p
q
= P
p
q
P (x) =
d
p
P (#)
dx
q
x
c
p
q
x :
In particolare, se x è irrazionale e se per in…niti n e p=q si ha jx p=qj < q n ,
+1
n
X
X
allora x è trascendente. Per esempio, se x =
10 k! e p=q =
10 k! , allora
k=1
jx
p=qj < q
n
. Il numero di Liouville
+1
X
10
k!
k=1
è trascendente. Come osservato
k=1
da P.Erdös, ogni numero è somma o prodotto di due numeri di Liouville. Infatti,
+1
+1
X
X
n
se z =
"(n)2 con "(n) = 0; 1, basta de…nire x =
(n)2 n con (n) = "(n)
n=1
se (2k
1)!
n=1
n < (2k)! e (n) = 0 altrimenti, y =
+1
X
(n)2
n
con (n) = "(n) se
n=1
(2k)! n < (2k + 1)! e (n) = 0 altrimenti. Sia x che y sono numeri di Liouville e
x + y = z. L’esponente nel teorema di Liouville non è il migliore possibile, infatti
K.F.Roth ha dimostrato che per ogni numero algebrico x ed ogni > 2 esiste
c > 0 tale che jx p=qj > c=q per ogni razionale p=q 6= x. Comunque la costante
c nel teorema di Liouville è calcolabile esplicitamente, mentre quella di Roth non
lo è. Un numero x è approssimabile se per in…niti p=q si ha jx p=qj < q . Un
razionale è sono solo 1 approssimabile con razionali diversi dal numero stesso, se
m=n 6= p=q allora jm=n p=qj 1=nq. Per il teorema di Dirichlet ogni irrazionale
è 2 approssimabile, mentre i numeri di Liouville sono quelli approssimabili per
+1
X
ogni . Se '(q) > 0 e
'(q) < +1, l’insieme degli x con jqx pj < '(q) per
q=1
in…niti p e q ha misura nulla. Infatti, un 0 x 1 con jqx pj < '(q) per in…niti
0
p
q deve appartenere ad in…niti intervalli [p=q 1=q'(q); p=q + 1=q'(q)],
q
+1 X
X
2=q'(q) < +1, quindi
la misura dell’unione di questi intervalli è …nita,
q=1 p=0
181
l’intersezione di un numero in…nito di questi intervalli ha misura zero. In particolare, l’insieme dei numeri reali approssimabili ha misura di Lebesgue zero
se > 2. Più precisamente, M.V.Jarnik e A.S.Besicovitch hanno dimostrato che
questo insieme ha dimensione di Hausdor¤ 2= . Se dal punto di vista della misura
i numeri ben approssimabili sono pochi, dal punto di vista della categoria sono
la
Infatti i numeri di Liouville sono intersezione di aperti densi,
T maggioranza.
S
p=qj < q n g.
p=q fjx
n
K.Mahler ha dimostrato che non è approssimabile se è troppo grande,
cioè non è un numero di Liouville. Anche il numero e non è un numero di
Liouville, anzi per ogni > 2 esiste c > 0 tale che je p=qj > cq . Per mostrare
+1
questo occorre ricordare lo sviluppo in frazioni continue di e = 2; 1; 2n; 1 n=1 e
qualche proprietà delle frazioni continue x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::]. Se jxq pj <
1=2q, la frazione p=q è una convergente di x. Per ogni convergente p(n)=q(n) e per
ogni p=q 6= p(n)=q(n) con 0 < q q(n) si ha jxq(n) p(n)j < jxq pj. Inoltre
1
< x
2q(n)q(n + 1)
p(n)
1
<
:
q(n)
q(n)q(n + 1)
Si ha anche q(n + 1) = a(n + 1)q(n) + q(n
x
1) < (a(n + 1) + 1) q(n) e quindi,
1
1
p(n)
>
>
:
q(n)
2q(n)q(n + 1)
2 (a(n + 1) + 1) q(n)2
Osserviamo in…ne che la successione fq(n)g ha una crescita almeno esponenziale, infatti deve crescere almeno come
p la successione di Fibonacci associata
allo sviluppo di [1; 1; 1; 1; :::] = 1 + 5 =2, F (1) = F (2) = 1, F (n + 2) =
F (n + 1) + F (n),
p !n
p !n !
1+ 5
1
1
5
F (n) = p
:
2
2
5
Quindi, se x = [a(0); a(1); a(2); a(3); :::] e se la successione fa(n)g non ha
crescita esponenziale, cioè per ogni " > 0 esiste c > 0 tale che ja(n)j c exp ("n),
allora per ogni
> 2 esiste c > 0 tale che jx p=qj > cq . Per esempio,
dall’ottava convergente di (e 1)=2 = [0; 1; 6; 10; 14; :::] si ricava la stima
e
848456353
= 2; 718281828459045234:::
312129649
182
L’ultima cifra corretta è 5. Con un denominatore di nove cifre si sono ottenuti
quasi diciotto decimali corretti, come previsto l’errore è circa l’inverso del quadrato
del denominatore.
Nel 1873 Hermite dimostra che e è trascendente e nel 1882 Lindemann dimostra che anche è trascendente. Nel 1885 Weierstrass dimostra la trascendenza di log(2). Nel 1934 O.Gelfond e T.Schneider dimostrano che se a e b
sono numeri algebrici, con
b irrazionale e a diverso da 0 o 1, allora ab è trascenp p2
dente. In particolare 2 e e = ( 1) i sono trascendenti. Mahler dimostra che
se P (x) è un polinomio a coe¢ cienti interi, allora il numero con sviluppo decimale 0; P (1)P (2)P (3)::: è trascendente. In particolare 0,12345678910111213... è
trascendente. Almeno uno dei due numeri e + e e
deve essere irrazionale,
p p2
p
2
perché e e sono radici di x2 (e + )x + e = 0. e ? ee ? ? 2
?...
183
RIGA; COM P ASSO; ORIGAM I
La riga ed il compasso sono gli strumenti principe della geometria greca e
l’origami è l’arte di piegare la carta giapponese. Se i postulati della riga e compasso risalgono almeno ad Euclide, quelli dell’origami sono una creazione italogiapponese più recente.
Nella geometria della riga e compasso si possono introdurre i seguenti postulati:
(RC-1) Si può tracciare una retta per due punti.
(RC-2) Si può tracciare una circonferenza di centro e raggio dati.
(RC-3) Si può trovare l’intersezione tra due rette.
(RC-4) Si può trovare l’intersezione tra una retta ed un cerchio.
(RC-5) Si può trovare l’intersezione tra due cerchi.
Il signi…cato geometrico dei postulati di riga e compasso è evidente, ed anche
quello algebrico non è di¢ cile da spiegare. Partendo da due punti, con riga e
compasso si può tracciare la retta congiungente e la perpendicolare a questa retta
per uno dei punti. Si ottiene così in un sistema di assi cartesiani un punto di
coordinate (0; 0) ed uno di coordinate (1; 0). Con riga e compasso si possono
poi trovare i punti (x; y) con coordinate ottenibili a partire dai numeri 0 e 1 con
un numero …nito di somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di
radici quadrate. Questo è conseguenza del fatto che analiticamente l’intersezione
tra rette e cerchi porta a risolvere equazioni di primo e secondo grado, cosa che
richiede appunto delle somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, estrazioni di
radici quadrate.
Ricordiamo ora qualche nozione di teoria dei campi. Dati due campi H K,
si può vedere il più grande come spazio vettoriale sul più piccolo. Se [K : H]
è la dimensione di questo spazio vettoriale e se H
K
L, allora [L : H] =
[L : K] [K : H]. Un numero è radice di un polinomio di grado n con coe¢ cienti
in K se e solo 1, , a2 ,..., n sono linearmente dipendenti su K. Se inoltre 1,
, a2 ,..., n 1 sono linearmente indipendenti, gli elementi del più piccolo campo
K( ) che contiene sia K che hanno la rappresentazione k0 +k1 +:::+kn 1 n 1 ,
con kj in K. In particolare, è algebrico su K se e solo se [K( ) : K] < +1.
L’equazione [K( ; ) : K] = [K( ; ) : K( )] [K( ) : K] mostra in…ne che se
e sono algebrici su K, allora anche
,
e = sono algebrici. Quindi
i numeri
algebrici
formano
un
campo.
Se
K
è
un
campo
e k un elemento di K
p
p
con k non in K, l’estensione quadratica di K con k è il più piccolo campo che
p
p
contiene sia K che k. Questa estensione K
k può essere identi…cata con le
184
p
espressioni della forma u + v k, con u e v in K. Un punto (x; y) è costruibile con
riga e compasso a partire dai punti (0; 0) e (1; 0) se e solo se le coordinate x e y
appartengono ad un campo K estensione quadratica iterata del campo dei numeri
razionali Q. In particolare, siccome ogni estensione quadratica ha grado due, la
dimensione di K come spazio vettoriale su Q è una potenza di due, [K : Q] = 2n .
Un corollario di questo fatto è l’impossibilità di risolvere con riga e compasso delle
generiche equazioni di terzo grado, che portano ad estensioni di grado multiplo di
tre. In parole povere, non si possono ottenere le radici cubiche mettendo insieme
delle radici quadrate. Ridimostriamo più in dettaglio questo risultato.
Se un’equazione cubica a coe¢ cienti razionali non ha radici razionali, allora nessuna radice appartiene ad una estensione quadratica iterata del campo
razionale. Per dimostrare questa proposizione, assumiamo che x sia una radice di
un polinomio x3 + ax2 + bx + c = 0 a coe¢ cienti razionali ed esista una catena
di campi Q = K0
K1
:::
Kn con Kj estensione quadratica di Kj 1 e
x in Kn . Assumiamo inoltre questo indice n minimale, cioè nessuna radice del
polinomiopappartenga adp
estensioni quadratiche di lunghezza
minore di n. Posto
p
x = u + v k e y = u v k, con u, v, k in Kn 1 ma k non in Kn 1 , si ha
u
p
v k
3
+a u
p
v k
= (u3 + 3uv 2 k + au2 + av 2 k + bu + c)
2
+b u
p
v k +c
p
(3u2 v + v 3 k + 2auv + bv) k:
p
Se x = u + v k è una radice del polinomio, allora u3 + 3uv 2 kp
+ au2 + av 2 k +
2
3
bu + c = 0 e 3u v + v k + 2auv + bv = 0. Quindi anche y = u v k è una radice
e questo implica che la terza radice del polinomio z = x y a = 2u a
appartiene a Kn 1 , in contraddizione con la minimalità di n.
Applichiamo questo risultato alla duplicazione del cubo. L’equazione x3 2 =
0 non ha radici razionali, quindi neppure in estensioni quadratiche del campo
razionale. La duplicazione del cubo con riga e compasso è impossibile. Applichiamo ora il risultato alla trisezione dell’angolo. Ricordando la formula cos(#) =
4 cos3 (#=3) 3 cos(#=3), si deduce che se # è l’angolo da dividere in tre parti
uguali e x = cos(#=3) l’incognita, si deve avere 4x3 3x = cos(#). In particolare,
se # = =3 si ha 8x3 6x = 1. Sostituendo ad x un numero razionale p=q si
ottiene 2p (4p2 3q 2 ) = q 3 , ma questa uguaglianza con p e q primi tra loro è impossibile. Quindi il polinomio 8x3 6x 1 = 0 non ha radici razionali, e neppure
in estensioni quadratiche del campo razionale. È impossibile trisecare con riga e
compasso un angolo di sessanta gradi.
185
Consideriamo in…ne il problema della costruzione dei poligoni regolari. Iniziamo osservando che se è possibile costruire un poligono regolare con pq lati,
allora congiungendo i vertici di indici 1, p, 2p,..., si ottiene un poligono regolare
con q lati. Viceversa, se sono costruibili i poligoni con p e q lati, p e q primi tra
loro, anche il poligono con pq lati è costruibile. Basta infatti costruire due poligoni
con p e q lati inscritti nella stessa circonferenza e con un vertice in comune, congiungendo un opportuno vertice del primo poligono con uno del secondo si ottiene
il lato cercato. Infatti, wm = exp(2 im=p) e z n = exp(2 in=q) sono i vertici di
poligoni regolari con p e q lati inscritti nella circonferenza con centro nell’origine
e raggio uno. Si ha wm z n = z n (wm z n 1) e wm z n = exp (2 i(mq np)=pq)
e, se p e q sono primi tra loro, esistono m e n con mq np = 1. Quindi dati
exp(2 i=p) e exp(2 i=q) è possibile trovare exp (2 i=pq). In…ne, dato un poligono
con p lati, bisecando gli angoli al centro se ne costruisce uno con 2p lati. Concludendo, si possono costruire tutti i poligoni regolari con 2n pq::: lati, se e solo
se i poligoni p, q,... sono costruibili. Le lunghezze dei lati dei poligoni regolari con 3,q4, 5, 6 lati iscritti in un cerchio di raggio uno sono rispettivamente
p p
p
3, 2,
5
5 =2, 1, questi poligoni sono costruibili con riga e compasso.
Per procedere in modo più sistematico, osserviamo che i punti z = exp (2 ik=n),
k = 0; 1; 2; :::, sono le radici del polinomio z n 1 = 0 e sono i vertici di un
poligono regolare con n lati inscritto nella circonferenza jzj = 1. Per individuare
questi vertici è su¢ ciente determinarne le ascisse (z + 1=z) =2 = cos (2 k=n), o le
ordinate.(z 1=z) =2i = sin (2 k=n). Il polinomio z n 1 si fattorizza in
zn
1 = (z
1) z n
1
+ zn
2
+ ::: + z + 1 :
In particolare, se n = 3 si ha
z 2 + z + 1 = z ((z + 1=z) + 1) :
Quindi cos (2 =3) = (z + 1=z) =2 =
1=2. Se n = 5 si ha
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = z 2 (z + 1=z)2 + (z + 1=z) 1 :
p
Quindi cos (2 =5) = (z + 1=z) =2 =
5 1 =4. In…ne, se n = 7,
z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = z 3 (z + 1=z)3 + (z + 1=z)2
2 (z + 1=z)
1 :
Quindi, se z =
6 1 è un vertice dell’eptagono, x = z+1=z è soluzione dell’equazione
x3 + x2 2x 1 = 0. Sostituendo ad x un numero razionale p=q si ottiene
186
p (p2 + pq 2q 2 ) = q 3 , un’uguaglianza impossibile. L’equazione non ha radici
razionali e quindi neanche radici in estensioni quadratiche iterate del campo
razionale. Se z fosse costruibile, anche x = z + 1=z lo sarebbe, cosa che abbiamo appena mostrato essere falsa. Quindi l’eptagono regolare non è costruibile
con riga e compasso. Per la costruzione è però su¢ ciente risolvere un’equazione
di terzo grado, o trisecare un angolo. Infatti dalle formule di Cardano o da quelle
di Viète si ottiene
p
p
p
1 p
3
3
3
28
1 + 3 3i + 1
12
p !
p
6
arctan 3 3
21952
=
cos
3
6
cos(2 =7) =
p
3 3i
2
1
:
6
Veniamo ora all’origami. Anche per la geometria della carta piegata si possono
introdurre dei postulati:
(O-1) Si può trovare la piega che congiunge due punti.
(O-2) Si può trovarne il punto d’intersezione tra due pieghe.
(O-3) Si può trovare la piega che porta un punto su un altro punto.
(O-4) Si può trovare una piega che porta una retta su un’altra retta.
(O-5) Si può trovare una piega che …ssa un punto e porta un altro punto su
una retta.
(O-6) Si può trovare una piega che manda un punto su una retta ed un altro
punto su un’altra retta.
Per illustrare il signi…cato algebrico di questi postulati, immaginiamo un foglio
molto grande che identi…chiamo con il piano cartesiano. Una piega produce una
retta e realizza una simmetria del piano rispetto a questa retta. I postulati (O-1)
e (O-2) dell’origami sono i corrispondenti dei postulati (RC-1) e (RC-3) di riga e
compasso, si può tracciare la retta per due punti e trovare l’intersezione tra due
rette. La piega in (O-3) realizza l’asse del segmento con i due punti per estremi.
In (O-4) le possibili pieghe sono due e sono le bisettrici tra le due rette, ma c’è
una sola piega se le rette sono parallele. In (O-5), se un punto è …sso l’altro si
muove su una circonferenza. È l’intersezione tra una retta ed una circonferenza.
Quindi i primi cinque postulati dell’origami permettono di trovare le intersezioni
di rette con rette e rette con cerchi. Siccome in geometria analitica l’intersezione
tra due circonferenze si riduce all’intersezione tra una retta ed una circonferenza,
i primi cinque postulati dell’origami risultano equivalenti ai cinque postulati di
riga e compasso. Rimane in…ne da analizzare il sesto postulato, ma per far questo
diamo un’altra interpretazione del quinto. Una piega che …ssa un punto P e
187
manda un altro punto F su una retta d è tangente ad una parabola con fuoco F
e direttrice d. Per un punto ci sono due tangenti ad una parabola e trovarle è un
problema di secondo grado. Una piega che manda un punto su una retta ed un
altro punto su un’altra retta è tangente a due parabole. Due parabole hanno, in
generale, tre rette tangenti in comune e trovarle è un problema di terzo grado.
Questo suggerisce che con il sesto postulato dell’origami si possono estrarre le
radici cubiche. Dato un numero a, la parabola con fuoco (0; a) e direttrice y = a
ha equazione y = x2 =4a e quella con fuoco (1; 0) e direttrice x = 1 equazione
x = y 2 =4. Queste parabole
hanno una sola tangente comune y = a 1=3 x a1=3
p
e la radice cubica 3 a si trova intersecando la tangente con gli assi. Con i primi
quattro postulati dell’origami si possono risolvere le equazioni di primo grado,
anzi, bastano i primi tre se in partenza si hanno a disposizione tre punti non
allineati. Con i primi cinque postulati si possono risolvere le equazioni di secondo
grado ed il sesto postulato permette di risolvere le equazioni di terzo grado ed
anche quelle di quarto. Infatti queste ultime si risolvono con estrazioni di radici
quadrate e cubiche. In particolare, con l’origami si possono duplicare cubi e
trisecare angoli, ma ancora non si possono quadrare cerchi.
188
I postulati di riga e compasso.
Con riga e compasso si possono trovare:
Una retta per due punti.
Una circonferenza dati centro e raggio.
L’intersezione tra due rette. Le intersezioni tra una retta ed un cerchio.
Le intersezioni tra due circonferenze.
189
I postulati dell’origami.
Con l’origami si possono trovare:
La piega che congiunge due punti.
L’intersezione tra due pieghe.
La piega che porta un punto
su un altro punto.
La piega che porta una retta
su un’altra retta.
La piega che …ssa un punto
e porta un altro punto
su una retta.
La piega che manda un punto
su una retta ed un altro punto
su un’altra retta.
190
U N A DEF IN IZION E AST RAT T A DI
Abbiamo de…nito come il rapporto tra lunghezza della circonferenza e diametro di un cerchio, o il rapporto tra area e quadrato del raggio. Questa
de…nizione è solo apparentemente elementare, perché di fatto presuppone le nozioni
di lunghezza e di area, che per quanto intuitive non sono banali. Poi, per il calcolo di abbiamo sistematicamente usato il calcolo di¤erenziale ed integrale. In
particolare, se è una curva semplice che circonda un punto w e se f (z) è una
funzione olomorfa, si ha la formula di Cauchy
Z
1
f (z)
dz = f (w):
2 i z w
Questo spiega perché compare così spesso nel calcolo di integrali. Anzi, si
può de…nire come valore di certi integrali, per esempio,
Z +1
dx
= ;
2
Z 11 1 + x
p
4
1 x2 dx = ;
0
Z b
dx
p
= ;
(x a)(b x)
a
Z +1
2
2
exp( x )dx = :
1
Abbiamo visto come per molti secoli si sia cercato di costruire
con riga
e compasso o, più in generale, si sia cercato di esprimere questo numero come
radice di un polinomio a coe¢ cienti interi. Ma se con i polinomi non funziona,
perchè non provare con altre funzioni? Landau nelle sue lezioni all’università
di Göttingen de…nisce =2 come il primo zero positivo della funzione cos(x) =
1 x2 =2 + x4 =24 ::: e con questo ed altri pretesti nel 1934 viene brutalmente
allontanato dall’insegnamento. Un suo collega tenta di giusti…care l’accaduto affermando che ”Il suo stile non germanico di insegnamento e ricerca è diventato intollerabile per la sensibilità germanica... Si devono ri…utare insegnanti di un’altra
razza che lavorano per imporre idee estranee...”. Da Cambridge Hardy commenta
amaramente: ”Molti di noi, sia inglesi che tedeschi, durante la guerra hanno detto
cose che a malapena volevamo dire che ora ricordano con rincrescimento. L’ansia
per la propria posizione, il timore di essere lasciati indietro il nascente torrente di
191
follia, la determinazione a tutti i costi di non essere da meno, possono essere delle
scusanti naturali anche se non particolarmente eroiche. La reputazione del professor Bieberbach esclude tali spiegazioni per le sue a¤ermazioni ed io sono portato
alla non caritatevole conclusione che lui le creda vere”. Casi simili a questo descritto si sono veri…cati in molti altri paesi, compreso il nostro. Ma torniamo a .
Anche se un po’astratta e niente a¤atto geometrica, la de…nizione di Landau è
rigorosa e da questa seguono le principali proprietà di questo numero.
Iniziamo col de…nire in modo astratto le funzioni trigonometriche e la funzione
esponenziale, la funzione più importante dell’analisi. Ecco più o meno come Eulero
introduce la formula del binomio di Newton e gli sviluppi in serie della funzione
esponenziale az e del logaritmo l(1+x) nella ”Introduzione all’analisi dell’in…nito”.
”Le funzioni irrazionali si possono trasformare in serie per mezzo di questo
teorema universale,
m
P
m
n
(P + Q) n =
m m n
m(m n) m 2n 2 m(m n)(m 3n) m 3n 3
+ P n Q+
P n Q +
P n Q + etc:
n 2n 3n
n
n 2n
... Poiché a0 = 1... se ! è in…nitamente piccolo... a! = 1 + k!... ai! =
(1 + k!)i qualunque sia i. Quindi
i(i 1) 2 2 i(i 1)(i 2) 3 3
i
ai! = 1 + k! +
k ! +
k ! + etc:
1
1 2
1 2 3
Ponendo i = z=!, se z è un numero …nito e ! un numero in…nitamente
piccolo, i diventa un numero in…nitamente grande...
z
a =
kz
1+
i
i
1
1(i 1) 2 2 1(i 1)(i 2) 3 3
= 1 + kz +
k z +
k z + etc:
1
1 2i
1 2i 3i
... Poiché i è in…nitamente grande, (i
az = 1 +
1) =i = 1, (i
2) =i = 1,...
kz k 2 z 2
k3z 3
k4z 4
+
+
+
+ etc: all’in…nito.
1
1 2 1 2 3 1 2 3 4
... Ponendo ai! = (1 + k!)i = 1 + x, si ha l(1 + x) = i!...
(1 + k!)i = 1 + x; ::: i! =
192
i
(1 + x)1=i
k
1 :
... Inoltre
1
1(i 1) 2 1(i 1)(2i 1) 3
(1 + x)1=i = 1 + x
x +
x
etc:
i
i 2i
i 2i 3i
Se i è in…nito, (i 1) =2i = 1=2, (2i 1) =3i = 2=3,... conseguentemente
1 x xx x3 x4
+
+ etc: :
k 1
2
3
4
... Poiché si può scegliere arbitrariamente la base a dei logaritmi, si può fare
questa scelta in modo da avere k = 1. Ponendo k = 1 nella serie sopra trovata,
l(1 + x) =
1
1
1
1
+
+
+
+ etc:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
= 2; 71828182845904523536028 etc:
a=1+
I logaritmi in questa base si chiamano naturali o iperbolici, perché con essi è
possibile quadrare l’iperbole. Per brevità chiamiamo questo numero 2,718281828459
etc. con la lettera e...”
In notazione odierna si sono dimostrate le formule
exp(z) = lim
n!+1
z
1+
n
n
=
+1 n
X
z
n!
n=0
;
+1
X
( )n 1 z n
log(1 + z) =
:
n
n=1
Osserviamo che Eulero non è in possesso di una dimostrazione completamente
rigorosa della formula del binomio di Newton per ogni esponente reale. Inoltre,
ponendo a! = 1 + k! si assume implicitamente la di¤erenziabilità della funzione
esponenziale. Per evitare questi problemi, può essere conveniente partire direttamente dallo sviluppo in serie per de…nire l’esponenziale e ricavare dallo sviluppo
in serie le altre proprietà di questa funzione.
TEOREMA: De…niamo
exp(z) =
+1 n
X
z
n=0
n!
;
exp(iz) + exp( iz) X ( )n z 2n
cos(z) =
=
;
2
(2n)!
n=0
+1
exp(iz) exp( iz) X ( )n z 2n+1
sin(z) =
=
2i
(2n + 1)!
n=0
193
+1
1) Queste serie convergono per ogni numero complesso e veri…cano le equazioni
di¤erenziali
d
exp(z) = exp(z);
dz
d
sin(z) = cos(z);
dz
d
cos(z) =
dz
sin(z):
2) Le funzioni esponenziali e trigonometriche veri…cano le equazioni funzionali
exp(z + w) = exp(z) exp(w);
cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w);
sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w);
cos2 (z) + sin2 (z) = 1:
3) Esiste un numero positivo tale che exp(z + 2 i) = exp(z) e exp(z + iy) 6=
exp(z) se 0 < y < 2 .
4) La funzione esponenziale ristretta all’asse reale è positiva e crescente, con
limx! 1 exp(x) = 0+ e limx!+1 exp(x) = +1. Inoltre, applica l’asse immaginario sulla circonferenza jwj = 1, cioè jexp(iy)j = 1 se y è reale. In…ne, per ogni
w 6= 0 esistono in…niti z tali che w = exp(z).
Dimostrazione: 1) jz n+1 =(n + 1)!j = jz n =n!j = jzj =(n + 1) ! 0 e per il criterio del rapporto la serie esponenziale converge per ogni z. Derivando termine a
termine si veri…ca che (d=dz) exp(z) = exp(z) e analogamente si veri…cano le altre
relazioni.
2) Per dimostrare la formula di addizione dell’esponenziale basta moltiplicare
due serie,
+1
X
(z + w)n
n=0
n!
=
+1
X
1
n!
n=0
n
X
n!
z k wn
k!(n
k)!
k=0
k
!
=
+1 n
X
z
n=0
n!
!
+1 n
X
w
n=0
n!
!
:
Per dimostrare le formule di addizione del seno e coseno basta osservare che
cos(z + w) + i sin(z + w) = exp(i(z + w))
= exp(iz) exp(iw) = (cos(z) + i sin(z)) (cos(w) + i sin(w))
= (cos(z) cos(w) sin(z) sin(w)) + i (sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)) :
Inoltre,
194
cos2 (z) + sin2 (z) =
exp(iz) + exp( iz)
2
2
+
exp(iz)
exp( iz)
2i
2
= 1:
Le formule di addizione sono anche conseguenza immediata della formula di
+1
X
Taylor f (z + w) =
f (n) (z)wn =n!. La relazione cos2 (z) + sin2 (z) = 1 si può
n=0
veri…care osservando che cos2 (z) + sin2 (z) vale 1 nell’origine ed ha derivata nulla.
Di fatto si può dimostrare che le equazioni funzionali per l’esponenziale e delle
funzioni trigonometriche caratterizzano quasi completamente queste funzioni. Per
esempio, derivando '(x+y) = '(x)'(y) rispetto a y si ottiene '(x+y) = '(x)'(y)
e ponendo y = 0 si ricava '(x) = '(0)'(x). Quindi, per il teorema di unicità per
soluzioni di un’equazione di¤erenziale, '(x) = C exp '(0)x e dalla relazione
'(0 + 0) = '(0)'(0) si deduce che C = 0 o C = 1. In de…nitiva, '(x) = 0 oppure
'(x) = ax , con a = exp '(0) . Di fatto l’ipotesi di derivabilità di '(x) può
essere sostituita dalla misurabilità, ma esistono soluzioni non misurabili.
3) Si ha cos(1) > 1 1=2! = 1=2 e cos(2) < 1 22 =2! + 24 =4! = 1=3, quindi la
funzione coseno ha uno zero tra 1 e 2. Denotiamo con =2 il primo zero positivo
del coseno, cos( =2) = 0. Siccome la funzione seno cresce se il coseno è positivo e
siccome cos2 (y) + sin2 (y) = 1, nell’intervallo 0 y
=2 la funzione sin(y) cresce
da 0 a 1, mentre cos(y) decresce da 1 a 0. Inoltre, per le formule di addizione,
cos(y) = sin(y + =2) = cos(y + ) = cos(y + 2 );
sin(y) = cos(y + =2) = sin(y + ) = sin(y + 2 ):
In particolare, le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2
funzione esponenziale è periodica di periodo 2 i,
e la
exp(z + 2 i) = exp(z) exp(2 i) = exp(z) (cos(2 ) + i sin(2 )) = exp(z):
Una dimostrazione complessa Zdella periodicità della funzione esponenziale è
z
w 1 dw , allora dF (z)=dz = 0, quindi F (z)
la seguente. Se F (z) = z 1 exp
1
Z
è costante. D’altra parte w 1 dw = 2 i se la curva compie un giro intorno
all’origine. Quindi exp(z) è periodica con periodo 2 i.
195
4) Se x > 0 allora exp(x) > 0, inoltre exp(x) > xn =n! ! +1 se x ! +1.
Dalla relazione exp(x) exp( x) = 1 si ricava che anche exp( x) > 0 e exp( x) !
0+ se x ! +1. Da (d=dx) exp(x) = exp(x) > 0 si deduce in…ne che sull’asse
reale la funzione esponenziale è monotona crescente. Se y è reale, exp(iy) =
cos(y) + i sin(y) è un numero complesso di modulo uno e, per la continuità delle
funzioni seno e coseno, ogni numero complesso di modulo uno si può ottenere
in questo modo. Per concludere, se w è un numero complesso non nullo, per
opportuni x e y si ha
p
a2 + b2 = exp(x);
p
a
= cos(y);
a2 + b 2
p
b
= sin(y):
a2 + b 2
x è unicamente determinato e y è determinato a meno di multipli di 2 . Quindi,
p
a
b
+ ip
a2 + b 2
a2 + b 2
= exp(x) (cos(y) + i sin(y)) = exp(x) exp(iy) = exp(x + iy):
w = a + ib =
a2 + b 2
p
Dopo aver introdotto in modo astratto i numeri e e e le funzioni esponenziali
e trigonometriche, riproponiamo un rompicapo proposto da Clausen nel 1827:
2 i
e1+2 i = e =) (e1+2 i )
= e2
i
=) e2
i 4
La soluzione sta in una precisa de…nizione di
2
se
= e2
e
i
=) e
4
2
= 1:
sono numeri complessi.
TEOREMA: De…niamo
log(1
z) =
+1 n
X
z
n=1
Questa serie converge per jzj
log (exp(z)) = exp (log(z)) = z.
n
:
1, z 6= 1, inoltre si ha (d=dz) log(z) = 1=z e
Dimostrazione: Per il criterio del rapporto la serie
+1
X
z n =n converge per
n=1
ogni jzj < 1 e si può mostrare che converge anche se jzj = 1 e z 6= 1. Derivando
la serie del logaritmo si ottiene la serie geometrica,
196
d
(log(1
dz
+1 n
X
z
d
z)) =
dz
n=1
n
!
=
+1
X
zn
1
=
n=1
1
:
1 z
Per dimostrare che log (exp(z)) = exp (log(z)) = z basta poi osservare che
exp(z)
d
(log (exp(z))) =
= 1:
dz
exp(z)
log (exp(0)) = 0;
Quindi y = log (exp(z)) è soluzione dell’equazione di¤erenziale dy=dz = 1 con
y(0) = 0.
TEOREMA: Se de…niamo (1 + z) = exp ( log(1 + z)), si ha (1 + z)1 =
1 + z e (1 + z) (1 + z) = (1 + z) + . Inoltre,
(1 + x) = 1 +
1
x+
(
1)
1 2
x2 +
(
1)(
1 2 3
2)
x3 + ::::
Dimostrazione: Le formule (1 + z)1 = 1 + z e (1 + z) (1 + z) = (1 + z) +
sono conseguenza della formula di inversione exp(log(w)) = w e di addizione
exp( w) exp( w) = exp(( + )w). Per dimostrare lo sviluppo in serie basta
osservare che sia la serie 1+ x+ ( 1)x2 =2+::: che la funzione exp ( log(1 + z))
soddisfano l’equazione di¤erenziale
(
dw
(1 + z)
= w;
dz
w(0) = 1:
Torniamo ora ad occuparci della quadratura del cerchio.
TEOREMA: La lunghezza della circonferenza fx2 + y 2 = R2 g è 2 R e l’area
del cerchio fx2 + y 2 R2 g è R2 .
Dimostrazione: Parametrizziamo la circonferenza fx2 + y 2 = R2 g ponendo
x = R cos(#);
y = R sin(#);
0
#<2 :
p
L’elemento in…nitesimale di lunghezza è dx2 + dy 2 = Rd#, quindi la lunghezza
dell’arco con estremi (R; 0) e (R cos(#); R sin(#)) è R# e la lunghezza dell’intera
circonferenza fx2 + y 2 = R2 g è
197
Z
fx2 +y 2 =R2 g
L’area del cerchio fx2 + y 2
Z Z
fx2 +y 2
R2 g
Z
dxdy = 4
p
dx2
+
dy 2
Z
=
2
Rd# = 2 R:
0
R2 g è
Rp
R2
x2 dx
= 4R
0
2
Z
=2
sin2 (#)d# = R2 :
0
In particolare le funzioni trigonometriche sopra de…nite coincidono con quelle
introdotte in geometria e la de…nizione astratta di coincide con quella classica.
Per …nire, seguendo le dimostrazioni di Hilbert ed altri, mostriamo che i numeri
di Archimede e di Nepero sono trascendenti.
TEOREMA: Il numero e è trascendente.
Dimostrazione: Se P (x) è un polinomio, integrando per parti si ha
Z
x
P (t) exp(x
0
+1
X
t)dt = exp(x) P (j) (0)
j=0
+1
X
P (j) (x):
j=0
Se e è radice di un polinomio a coe¢ cienti interi c0 + c1 e + c2 e2 + ::: + cn en = 0
con c0 6= 0, allora
Z k
n
X
ck P (t) exp(k
t)dt =
0
k=0
n X
+1
X
ck P (j) (k):
k=0 j=0
Prendiamo un numero primo p maggiore di c0 e di n e poniamo
P (x) = xp 1 (x
Se 0
x
n si ha jP (x)j
2)p :::(x
n)p :
(n!)p , dunque
Z k
n
X
ck P (t) exp(k
k=0
1)p (x
t)dt
0
p
(n!)
n
X
k=0
198
ek
1 jck j :
Ora valutiamo
n X
+1
X
ck P (j) (k). Si ha P (0) = ::: = P (p
2)
(0) = 0 e P (p
1)
(0) =
k=0 j=0
( )np (n!)p (p 1)!, le altre derivate da P (p) (0) in poi sono divisibili per p!. Similmente si mostra che tutti gli altri P (j) (k), k = 1; 2; :::; n, sono divisibili per p!. In
n X
+1
X
ck P (j) (k) è un intero divisibile per (p 1)! ma non per per p.
conclusione
k=0 j=0
Quindi
(p 1)!
n X
+1
X
ck P
(j)
k=0 j=0
Z k
n
X
(k) =
ck P (x) exp(t
k=0
k)dx
p
(n!)
0
n
X
ek
1 jck j :
k=0
Per concludere la dimostrazione basta osservare che (p
mente di (n!)p se p ! +1.
1)! cresce più rapida-
La dimostrazione della trascendenza di è un poco più complicata ed utilizza le
proprietà dei polinomi simmetrici, cioè invarianti per permutazioni delle variabili
P (x1 ; x2 ; :::; xn ) = P x (1) ; x (2) ; :::; x (n) . Ricordiamo che i polinomi simmetrici
elementari nelle variabili x1 , x2 ,..., xn sono de…niti dalle relazioni
= xn
X
!
xi xn
1 i n
(x
1
+
x1 ) (x x!2 ) ::: (x
X
xi xj xn 2
1 i<j n
xn )
X
xi xj xk
1 i<j<k n
!
xn
3
+ :::
Newton ha mostrato che ogni polinomio simmetrico nelle variabili (x1 ; x2 ; :::; xn )
è anche un polinomio in questi polinomi simmetrici elementari e se il polinomio
di partenza ha coe¢ cienti interi anche la decomposizione in polinomi elementari
è a coe¢ cienti interi. Per semplicità di scrittura dimostriamo questo risultato
con le tre variabili (x; y; z). Ordiniamo gli esponenti dei monomi x y z in modo
lessicogra…co, ( ; ; ) > ( ; "; ) se > , o se = ma > ", o se = e
= " ma > . Dato un polinomio simmetrico P (x; y; z) con monomio di indice
maggiore cx y z , poniamo
Q(x; y; z) = c (x + y + z)
(xy + yz + zx)
(xyz) :
Anche Q(x; y; z) contiene il monomio cx y z e P (x; y; z) Q(x; y; z) è ancora
un polinomio simmetrico, ma l’indice maggiore in P (x; y; z) Q(x; y; z) è minore
199
dell’indice maggiore in P (x; y; z). Iterando si eliminano tutti i monomi e ad un
certo punto si arriva a zero. In particolare,X
se x1 , x2 ,..., x
n sono le radici di
X
n
n 1
n 2
n 3
ax + bx
+ cx
+ dx
+ ::: = 0, si ha
axi = b,
axi axj = ac,....
1 i n
1 i<j n
Quindi un polinomio a coe¢ cienti interi e simmetrico in ax1 , ax2 ,..., axn è anche
un polinomio a coe¢ cienti interi in a, b, c, d,.... Se a, b, c, d,... sono interi, anche
il polinomio a coe¢ cienti interi e simmetrico nelle variabili ax1 , ax2 ,..., axn ha un
valore intero.
TEOREMA: Il numero
è trascendente.
Dimostrazione: Poiché i numeri algebrici formano un campo, se x è algebrico,
anche ix lo è. Questo si può anche veri…care direttamente come segue:
axn + bxn 1 + cxn 2 + dxn
c(ix)n 2 + :::) + i (b(ix)n 1
2
c(ix)n 2 + :::) + (b(ix)n 1
n
(a(ix)
(a(ix)n
3
+ ::: = 0;
d(ix)n 3 + :::) = 0;
2
d(ix)n 3 + :::) = 0:
La terza uguaglianza deriva dalla seconda perché U 2 + V 2 = (U iV )(U + iV ).
In particolare, se è algebrico anche i lo è. Supponiamo i sia una delle radici
x1 , x2 ,..., xn di un polinomio irriducibile di grado n a coe¢ cienti interi, axn +
bxn 1 + ::: + cx + d = 0. Per la formula di Eulero ei + 1 = 0, quindi
(ex1 + 1) (ex2 + 1) ::: (exn + 1) = ey1 + ey2 + ::: + ey2n = 0;
con yk = "k;1 x1 + "k;2 x2 + ::: + "k;n xn e "k;j = 0; 1. Assumendo y1 6= 0, y2 6= 0,...,
ym 6= 0, e ym+1 = ym+2 = y2n = 0, si ha
ey1 + ey2 + ::: + ey2n = ey1 + ey2 + ::: + eym + 2n
m = 0:
Un polinomio a coe¢ cienti interi e simmetrico nelle variabili ay1 ,..., aym si
può estendere ad un polinomio a coe¢ cienti interi simmetrico in ay1 ,..., ay2n , che
è anche un polinomio a coe¢ cienti interi simmetrico in ax1 ,..., axn , quindi è un
intero. Se P (x) è un polinomio, integrando per parti si ha
I(x) =
Z
x
P (t) exp(x
0
In questa formula poniamo
+1
X
t)dt = exp(x) P (j) (0)
j=0
200
+1
X
j=0
P (j) (x):
P (x) = xp 1 (ax
ay1 )p (ax
ay2 )p :::(ax
aym )p ;
con p primo. Allora
=
m
X
k=1
yk
e
+1
X
P
(j)
(0)
j=0
J = I(y1 ) + I(y2 ) + ::: + I(ym )
+1
X
(j)
n
P (yk ) = (m 2 )
P (j) (0)
m X
+1
X
k=1 j=0
Le quantità
m
X
j=0
+1 X
m
X
P (j) (yk ):
j=0 k=1
P (j) (yk ) sono polinomi a coe¢ cienti interi simmetrici in ay1 ,...,
k=1
aym , sono quindi interi divisibili per p! perché P (j) (yk ) 6= 0 solo se il fattore
(ax ayk )p è derivato p volte. Similmente, anche i P (j) (0) sono interi divisibili
per p! se j 6= p 1, mentre P (p 1) (0) = ( )mp (ay1 ay2 :::aym )p (p 1)! è divisibile
per (p 1)! ma non per p se questo primo è abbastanza grande. Quindi J è un
intero divisibile per (p 1)! ma non per per p, jJj (p 1)!. Osserviamo in…ne
che per ogni x complesso,
jI(x)j =
Z
x
P (t) exp(x
0
t)dt
jxj ejxj max jP (t)j
jtj jxj
C (a; x1 ; :::; xn ; x)p :
Si può scegliere la costante C (a; x1 ; :::; xn ; x) dipendente da a, x1 ,..., xn , x, ma
non da p. Concludendo, esiste C tale che per ogni p,
(p
1)!
jJj
jI(y1 )j + jI(y2 )j + ::: + jI(ym )j
Ma, se p ! +1, questa disuguaglianza è assurda.
201
C p:
CON CLU SION E
In un interessante saggio del 1974 lo scrittore Achille Campanile ha analizzato
in dettaglio le relazioni tra gli asparagi e l’immortalità dell’anima, giungendo alla
sorprendente conclusione che probabilmente di relazioni non ce ne sono. Noi, al
contrario, speriamo di aver dimostrato ad abundantiam l’esistenza di molteplici
relazioni tra i numeri ed e e diversi capitoli della matematica. Siamo comunque
convinti che queste relazioni siano molto di più di quelle a cui abbiamo accennato
e certamente abbiamo dimenticato qualcosa di importante.
202
Il frontespizio dell’opera di Gregorio di San Vincenzo
203
Le tavole astronomiche e dei logaritmi di Keplero
204