LA FUNZIONE MODULO O VALORE ASSOLUTO

RADICALI
Definizione ingenua : estrarre la radice n-esima di un numero a significa determinare un numero b la
cui potenza n-esima sia uguale ad a.
In simboli
n
a = b ⏐ b n = a con n ∈ N, n > 1
dove a è il radicando, b = n a è il radicale ( risultato dell’estrazione di radice ), n è l’indice.
[ N.B. se n = 1 il radicale è uguale al radicando ; se n = 0 il radicale non esiste. ]
Osservazione :
5 non è un numero razionale, il problema dell’estrazione verrà risolto ampliando Q .
Osservazioni e problemi connessi all’estrazione di radice
Occorre distinguere fra indice pari e indice dispari.
a)
n dispari
esempio:
3
⏐ b 3 = 8 quindi b = + 2
8 = b
esempio:
− 8 = b ⏐ b 3 = − 8 quindi b = − 2
Dato un radicando ad esso corrisponde uno e un solo radicale e viceversa.
Sussiste una corrispondenza biunivoca fra radicando e radicale e si conserva il segno: infatti se
a > 0 anche b > 0 , se a < 0 anche b < 0 , a = 0 anche b = 0.
b) n pari
3
esempio : 4 − 16 = b ⏐ b 4 = − 16
dà una potenza negativa.
4
b non esiste perchè nessun numero reale elevato a esponente pari
16 = b ⏐ b 4 = 16 b = − 2 oppure b = 2 e l’operazione sarebbe indeterminata avendo
due risultati.
N.B. Affinchè il radicale di indice pari esista, il radicando deve essere NON NEGATIVO.
Non è vero però che, dato un radicando non negativo, ad esso corrisponda uno e un solo radicale e viceversa,
viene quindi a mancare la corrispondenza biunivoca fra radicando e radicale.
Per ripristinare la corrispondenza biunivoca e avere un’operazione determinata, si conviene di considerare il
radicale di indice pari di un numero non negativo in senso aritmetico.
Quindi
4
16 = + 2 , − 2 è l’opposto di
4
16 , perciò − 2 = − 4 16 .
Osservazione : il segno meno può essere trasportato fuori o dentro radice SOLO se l’indice è dispari.
ESEMPI
−
invece
− 4 64 = − 8
3
8 =−2=
3
−8
mentre
,
4
− 64
non esiste in R
FUNZIONI IRRAZIONALI
Esaminiamo la funzione y = n x , con x ∈ R .
Occorre distinguere fra indice pari e indice dispari.
a) n pari : affinchè la funzione esista il radicando deve essere non negativo, in tal caso la funzione
restituisce valori reali non negativi.
Dominio ( o C.E. ) : x ≥ 0 , codominio : y ≥ 0 .
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
1
b) n dispari : la funzione esiste comunque sia il radicando e restituisce valori concordi con il radicando.
Dominio ( o C.E. ) : y esiste purchè esista x , codominio : y ∈ R .
Esaminiamo la funzione
y=
n
f (x ) , con x ∈ R .
Il radicando è una funzione della variabile x .
Anche in questo caso occorre distinguere tra:
a) n pari : affinchè la funzione irrazionale esista il radicando deve essere non negativo, in tal caso la
funzione irrazionale restituisce valori reali non negativi.
Dominio ( o C.E. ) : f (x) ≥ 0 , codominio : y ≥ 0 .
b) n dispari : la funzione irrazionale esiste purchè esista il radicando e restituisce valori concordi con il
radicando.
Dominio ( o C.E. ) : y esiste purchè esista f (x) , codominio : y ∈ R .
ESEMPIO 1
Stabilire le condizioni di esistenza del radicale:
x2 − 5x + 6
x +1
y=
ove f ( x ) =
x2 − 5x + 6
e
x +1
n=2 (numero pari)
1) si eseguono, se possibile, i passaggi algebrici per arrivare alla scomposizione del radicando
y=
x2 − 5x + 6
=
x +1
( x − 2)( x − 3)
x +1
2) poichè l’indice è pari il radicale esiste quando il radicando è non negativo. Si risolve perciò la
disequazione razionale fratta
( x − 2)( x − 3)
≥0
x +1
x−2≥0
x−3≥0
x+1>0
−1
x
x≥2
x≥3
x > −1
− imp
N.B.
x+1>0
e non
x+1≥0
Grafico da interpretare con la regola dei segni
2
+
3
−
0
codominio
+
−
+
C.E. ( dominio) − 1 < x ≤ 2 ∨ x ≥ 3
0
y ≥ 0.
ESEMPIO 2
Stabilire le condizioni di esistenza del radicale:
y=
3
x −1
x − 5x − 6
2
ove f ( x ) =
x −1
e
x − 5x − 6
2
n=3 (numero dispari)
1) si eseguono i passaggi algebrici per arrivare alla scomposizione del radicando
y=3
x −1
( x + 1)( x − 6)
2) poichè l’indice è dispari il radicale esiste se esiste il radicando. Il radicando è una funzione razionale fratta
che
esiste
quando
ogni
fattore
del
denominatore
è
diverso
da
zero.
C.E. ( dominio) ∀ x ∈ R / x ≠ −1 ∧ x ≠ 6
codominio y ∈ R .
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
2
y =5 x−2
ESEMPIO 3
L’indice è dispari , il radicando è una funzione razionale intera che esiste per ogni x ∈ R .
C.E. ∀x ∈ R .
x+3
=
x − 2x + 1
y=
ESEMPIO 4
x+3
( x − 1) 2
2
L’indice è pari , la condizione di realtà è data dalla disequazione razionale fratta :
x+3
≥0
( x − 1) 2
-3
x+3≥0
( x − 1) 2 > 0
∀x≠1
x
−
C.E.
1
x ≥ −3
0
+
+
x≥−3 ∧ x≠1
y=
ESEMPIO 5
− x2 + 2x − 1
=
x2 + 2x + 1
− ( x − 1)
(x + 1)2
2
L’indice è pari , la condizione di realtà è data dalla disequazione razionale:
− ( x − 1)
≥0
(x + 1)2
2
− ( x − 1)
≤ 0 ∀x ≠ −1 il radicale esiste solo quando il radicando è uguale a zero.
(x + 1)2
N.B. una frazione, ridotta ai minimi termini, si annulla solo quando si annulla il
x =1
2
Poiché
C.E.
numeratore.
y = 4 − x 4 − 10
ESEMPIO 6
− x 4 − 10 ≥ 0
L’indice è pari , la condizione di realtà è data dalla disequazione razionale:
Tale disequazione non è mai verificata e pertanto il radicale non esiste.
DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI ESISTENZA DI UN’ ESPRESSIONE
Se nell’espressione compaiono più radicali, prima ancora di eseguire le operazioni indicate, si determina il
C.E. dell’intera espressione.
Si ottiene il C.E. dell’intera espressione determinando il C.E. dei singoli radicali e poi si mettono tali
condizioni in sistema.
x 2 − 5x + 6
x−3 3 1
⋅
⋅4
x +1
x−4
( x − 2) 2
ESEMPIO
C.E. 1° radicale : −1 < x ≤ 2 ∨ x ≥ 3
C.E. 2° radicale :
x −3≥0
( x − 2) > 0
2
( si veda ESEMPIO b)1 pag. 4 )
x−3
≥0
( x − 2) 2
x≥3
2
3
∀x≠2
−
x
C.E. 2° radicale
x≥3
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
_
_
−
0
+
3
C.E. 3° radicale : ∀ x ≠ 4 poichè l’indice è dispari è sufficiente che esista il radicando, quindi che il
denominatore sia diverso da zero.
⎧− 1 < x ≤ 2 ∨ x ≥ 3
⎪
⎨x ≥ 3
⎪∀x ≠ 4
⎩
Si imposta il sistema :
−1
x
2
3
4
verificata
x
Si determinano gli intervalli in cui tutte le condizioni sono verificate. La soluzione del sistema è data
dall’unione degli intervalli in cui sono evidenziate tante righe quante sono le disequazioni.
C.E. dell’espressione : x ≥3 ∧ x ≠ 4 .
OSSERVAZIONE Il C.E. dei singoli radicali e quello dell’intera espressione devono essere determinati
prima di effettuare qualunque trasformazione perchè le trasformazioni potrebbero alterare il C.E.
dell’espressione assegnata.
ESEMPIO
x −2⋅ x +3
C.E. 1° radicale x ≥ 2
C.E. 1° radicale x ≥ −3
2
⎧x ≥ 2
⎨
⎩ x ≥ −3
Si imposta il sistema :
Il C.E. dell’intera espressione è :
−3
x≥2.
Se però si eseguisse la moltiplicazione prima di determinare il C.E. si otterrebbe
( x − 2)( x + 3)
Per determinare il C.E. di questa espressione formata da un solo radicale si deve risolvere la disequazione
razionale intera
(x−2)(x+3)≥0
−3
2
x−2≥0
x≥2
x+3≥0
x≥−3
+
0
−
0
+
Il grafico deve essere interpretato con la regola dei segni ( non si tratta di un sistema ) .
C.E. dell’espressione : x ≤ −3 ∨ x ≥ 2.
Come si può notare il C.E. dell’espressione assegnata è diverso da quello ottenuto eseguendo prima la
moltiplicazione.
Determinare il dominio
1) a)
10
2 x 2 − 18
7 − 2x
2) a)
6
x3 + x2
x 2 + 2x − 3
3) a)
10
− 5(x 2 − 4)
7 − 3x
7⎤
2 ⎥⎦
b)
3
x2 + 3
x2 − x − 6
[− 3 < x < −1 ∨ x ≥ 1 x = 0]
b)
10
− 5x 2 − 7
x 2 − 4x + 4
7⎤
⎡
⎢⎣− 2 ≤ x ≤ 2 ∨ x > 3 ⎥⎦
b)
⎡
⎢⎣ x ≤ −3 ∨ 3 ≤ x <
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
x2 − 9
x 3 − 27
[x ≠ 3 ∧ x ≠ −2]
[imp.]
[x ≥ −3 ∧ x ≠ 3]
4
x 2 − 2x
2x + 6
4) a)
5) a) 12
(8x
[− 3 < x ≤ 0 ∨ x ≥ 2]
3x 2 − x
3
) (x − 4)
+1
1
1
⎡
⎤
⎢⎣ x < − 2 ∨ 0 ≤ x ≤ 3 ∨ x > 4⎥⎦
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
6) a)
x 2 − 5x + 6
[1 ≤ x < 2 ∨ x > 3]
x2 + 4
+2
7) a)
x−2
[− 2 ≤ x ≤ 0 ∨ x > 2]
6
8) a) 6 x + 3 ⋅ 4 2 − 3x
9) a) 12
4 x 2 + 12 x + 9
⋅ x2 +1
4
− x −1
b)
3
b) 21
b)
6− x
25 x − 10 x + 1
⎡
⎢⎣ x ≠
2
(8x
3x 2 − x
3
) (x − 4)
+1
1
⎡
⎤
⎢⎣ x ≠ − 2 ∧ x ≠ 4⎥⎦
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
x2 + 6
4 x 2 + 20 x + 25
b)
− x6 − 4
12
2 ⎤
⎡
⎢⎣− 3 ≤ x ≤ 3 ⎥⎦
b)
3⎤
⎡
⎢⎣ x = − 2 ⎥⎦
b)
3
1⎤
5 ⎥⎦
x + 3 ⋅ 4 2 − 3x
[x ≥ 1]
5⎤
⎡
⎢⎣ x = − 2 ⎥⎦
2 ⎤
⎡
⎢⎣ x ≤ 3 ⎥⎦
1
x−2 4 x+2
⋅3
⋅
2
x
x−2
4−x
[imp.]
Per gestire il calcolo con i radicali si devono dimostrare alcune proprietà che verranno di seguito introdotte
insieme alle loro applicazioni.
Teorema
uguali.
Se le potenze di ugual esponente di due numeri positivi sono uguali allora le basi sono
Hp. a > 0 ∧ b > 0 ∧ n ∈ N ∧ a n = b n
Th. a = b
n
n
Da a = b si ricava
a n − b n = 0 . Scomponendo in fattori il 1° membro si ottiene
(a − b ) a n−1 + a n−2 b + a n−3b 2 + ............ + ab n−2 + b n−1 = 0
(
)
poiché per ipotesi a > 0 ∧ b > 0 , anche tutte le loro potenze sono positive, perciò il secondo fattore è
⇒ a − b = 0 da ciò si ricava a = b .
Se a = b = 0 è evidente che a = b = 0
positivo(quindi diverso da zero)
Osservazione
n
n
N.B. In maniera analoga si dimostra che il teorema sussiste anche nel caso in cui entrambe le basi siano
negative.
N.B. Se non si conosce nulla sul segno di a e b e l’esponente comune è pari, non si può sapere se le basi
sono uguali od opposte
Esempio 1
4
4
Se a = b = 16 ⇒
a = b = 2 ∨ a = b = −2
uguaglianza verificata
(a = 2 ∧ b = −2) ∨ (a = −2 ∧ b = 2 )
uguaglianza non verificata
Se l’esponente è dispari dall’uguaglianza delle potenze (di ugual esponente) si può dedurre l’uguaglianza
delle basi poiché in tal caso sussiste la concordanza dei segni tra basi e potenze.
Esempio 2
3
3
Se a = b = −8 ⇒ a = b = −2 .
Teorema 1 Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero naturale l’indice di radice e l’esponente
del radicando di un radicale aritmetico si ottiene un radicale equivalente al dato
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
5
Hp a ≥ 0 ∧ m ∈ N ∧ n ∈ N − {0} ∧ p ∈ N − {0}
am =
n
Th
np
a mp
Se a = 0 , entrambi i membri sono nulli. Se a > 0 eleviamo allo stesso esponente np entrambi i membri
1° membro
2° membro
⎛⎜ np a mp ⎞⎟
⎝
⎠
( )
p
⎡⎛ n m ⎞ n ⎤
am
=
=
⎜ a ⎟ ⎥
propr . potenze ⎢⎣⎝
⎠ ⎦ def . radicale
np
⎛⎜ n a m ⎞⎟
⎝
⎠
np
p
mp
=
propr . potenze a
=
a mp
def . radicale
Dalla positività delle basi e dall’uguaglianza delle potenze np-esime si deduce l’uguaglianza delle basi.
Applicando la proprietà simmetrica si ottiene
np
a mp = n a m .
Se la base del radicando è negativa la proprietà non sussiste qualora si moltiplichino o dividano
N.B.
indice ed esponente del radicando per uno stesso numero pari.
4
Esempio
È invece
8
(− 2)3
(− 2)6
non è un numero reale, mentre
8
(− 2)6
è un numero reale ⇒
4
(− 2)3
≠ 8 (− 2)
6
= 4 − 2 = 4 23 .
3
Osservazione importante
Se per calcolare un’espressione contenente radicali si sottopongono i radicali a trasformazioni, è necessario
che tali trasformazioni lascino inalterato tanto il campo di esistenza quanto il codominio. I problemi
legati alle trasformazioni sono di due tipi:
a) problema di esistenza
( che riguarda il radicando )
b) problema di concordanza del segno ( che riguarda il radicale ).
SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALE
Caso 1
Se si dividono indice ed esponente del radicando per uno stesso fattore comune pari possono
sussistere sia problemi di esistenza che problemi di concordanza del segno.
a)
L’uguaglianza
4
x 2 = x non è identicamente vera
C.E. del radicale dato ( primo membro )
:
∀x
C.E. del radicale trasformato ( secondo membro ):
x≥0.
Come si può osservare sussiste un problema di esistenza : infatti
mentre
x esiste per x ≥ 0.
4
x2
esiste per ogni valore di x ,
La trasformazione restringe il dominio.
Per risolvere il problema è necessario scrivere
4
x2 =
x
Per sciogliere il modulo si ricorre a un grafico ausiliario che riguarda l’argomento del modulo e si
sovrappone a questo grafico il C.E. dell’intera espressione, cancellando gli intervalli in cui l’espressione non
esiste.
x se x ≥ 0
4
x2 =
x =
− x se x ≤ 0
[ N.B. il segno “meno” è sotto il simbolo di
radice, infatti per x < 0 −
b) L’uguaglianza
6
x2 = 3 x
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
x
NON ESISTE ! ]
non è identicamente vera .
6
3
6
x 2 esiste per ogni x come pure
Non si tratta però di un problema di esistenza, infatti
In questo caso sussiste invece un problema di concordanza del segno.
x .
Esaminiamo il radicale a primo membro :
di indice pari è inteso in senso aritmetico.
y=
6
x2
è non negativo perchè il radicale
Esaminiamo il radicale a secondo membro :
nullo perchè il radicale di indice dispari è
y=
3
x
può essere positivo, negativo o
concorde con il radicando.
Sussiste un problema di concordanza del segno, per risolverlo è necessario scrivere:
6
x2 =
3
3
x se x ≥ 0
3
− x = − 3 x se x ≤ 0
x =
[N.B. Il segno – può essere portato fuori
di radice poiché l’indice è dispari]
Caso 2
Se si dividono indice ed esponente del radicando per uno stesso fattore comune dispari non
sussiste alcun problema .
a)
L’uguaglianza
6
x 3 = x è identicamente vera
C.E. del radicale dato ( primo membro ) :
C.E. del radicale trasformato ( secondo membro ):
Non sussiste alcun problema di esistenza.
x≥0
x≥0.
Esaminiamo ora i due radicali:
tanto il radicale y = 6 x 3
quanto il radicale
sono non negativi perchè i radicali di indice pari sono intesi in senso aritmetico.
Non sussiste alcun problema di concordanza del segno
b) L’uguaglianza
9
x
y=
x 3 = 3 x è identicamente vera
C.E. del radicale dato ( primo membro ) : ∀ x
C.E. del radicale trasformato ( secondo membro ): ∀ x
Non sussiste un problema di esistenza.
Esaminiamo i due radicali :
3
y = 9 x 3 è concorde con x che è concorde con x e anche y =
Non sussiste un problema di concordanza del segno.
Esempio
Si debba semplificare il seguente radicale :
4
3
( x + 1) 2
( x − 2) 2
( x + 1) 2
≥0
( x − 2) 2
Si determina innanzitutto il C.E. risolvendo la disequazione :
C.E
x è concorde con x.
∀x ∧ x≠2
Si semplifica
4
( x + 1) 2
=
( x − 2) 2
x +1
x−2
Si ricorre ad un grafico ausiliario che riguarda unicamente l’argomento del modulo .
Il grafico traduce la condizione
x+1≥0
x−2>0
x +1
≥ 0 [ N.B. non è un campo di esistenza ]
x−2
x≥−1
x>2
-1
2
x
+
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
0
−
+
7
Si sovrappone a questo grafico il C.E. ( o addirittura il C.E. dell’intera espressione se il radicale è inserito in
un’espressione ), cancellando gli intervalli in cui l’espressione non esiste ( nell’esempio l’espressione è
costituita da un solo radicale con C.E. x ≠ 2)
Si interpreta il grafico con la regola dei segni e si ottiene :
4
+
x + 1 se x ≤ 1 ∨ x > 2
x−2
−
x + 1 se − 1 ≤ x < 2
x−2
( x + 1) 2
=
( x − 2) 2
[N.B. il segno “meno” è sotto il simbolo di
radice]
Riassumendo:
a) Se si semplificano indice ed esponente del radicando per un fattore comune PARI possono presentarsi
problemi di esistenza o di concordanza del segno.
b) Se si semplificano indice ed esponente del radicando per un fattore comune DISPARI non sussistono
problemi, qualunque sia l’indice del radicale assegnato.
Determinare il C. E. e semplificare i seguenti radicali affrontando le problematiche connesse
⎡ x−5
⎢⎣
1)
4
x 2 − 10 x + 25
2)
6
x6 − 4x5 + 4x 4
3)
4
x 4 − 6x3 + 9x2
4)
12
5)
12
6)
12
⎡3 x 2 ( x − 2 )
⎢⎣
⎡ x ( x − 3)
⎢⎣
⎡ x−3
⎢6
⎢⎣ 2 x + 3
x 4 − 6x3 + 9x 2
(2 x
(3x
2
2
+ 3x
+2
)
2
se x ≥ 5;
se x ≥ 2 ∨ x = 0;
6
3− x
2x + 3
2
+ 2x
⎡ (3x + 2)2
⎢3
x−5
⎢⎣
) (x
5
7)
60
8)
6
x 3 ( x + 5)
(x − 5)6
9)
6
x 2 ( x + 5)
(x − 5)4
(
⎤
3
< x ≤ 3 ∧ x ≠ 0⎥
2
⎥⎦
⎡ 3x 2 + 2
⎢3
2
⎢⎣ ( x − 5)
4
(x − 5)8
(x
x 2 (2 − x ) se x ≤ 2⎤⎥
⎦
se −
)
(3x + 2)8
(x − 5)4
x x3 + 6x 2
− 2x + 1
3
(
⎡ x ( x + 5)
⎢3
2
⎢⎣ ( x − 5)
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
3
(3x + 2)2
5− x
⎤
se x < 5⎥
⎥⎦
)
⎡ x ( x + 5)
⎢
2
⎢⎣ ( x − 5)
3
2
2
se x > 5 ∨ x = − ;
3
⎤
con x ≠ 5⎥
⎥⎦
⎡30 2
⎤
3
⎢ x ( x + 2 )( x − 1) se x < −2 ∨ x ≥ 1 ; ⎥
⎢30 3
⎥
3
2
⎣ x + 2 x (1 − x ) se − 2 < x ≤ 1 ∧ x ≠ 0⎦
)
+ 12 x + 8)
2
se x ≤ 5⎤
⎥⎦
x (3 − x ) se 0 ≤ x ≤ 3⎤⎥
⎦
se x ≤ 0 ∨ x ≥ 3;
3
se x < − ∨ x ≥ 3;
2
3
5− x
se
x ≤ −5 ∨ x ≥ 0 ∧ x ≠ 5;
se
3
−
⎤
x ≤ −5 ∨ x ≥ 0 ∧ x ≠ 5⎥
⎥⎦
x ( x + 5)
( x − 5 )2
⎤
se − 5 ≤ x ≤ 0⎥
⎦⎥
8
⎡ 1− 2x
⎢
⎣ x
10)
6
1
6 12
− 2 + −8
3
x
x
x
11)
12
x 3 − 125
+ 3x
25 − 5 x
12)
48
13)
6
x 2 (x 2 − 4 )
14)
9
1
6 12
+ 2 + +8
3
x
x
x
15)
6
8(3 x − 1)
−
27 x 3
16)
6
25x 6 − 50 x 5 + 25 x 4
17)
36
(x
2
[imp.]
)
⎡ ( x − 5)3
⎢16
x−2
⎢⎣
− 7 x + 10 ( x − 5)
(x
2
8
− 4x + 4
)
2
⎡3 x 3 − 4 x
⎢⎣
2
se − 2 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2; − 3 x 3 − 4 x
[ 5x (x − 1)
2
3
x 2 − 14 x 3 + 49 x 4
3
se
⎤
x < 2 ∨ x ≥ 5⎥
⎥⎦
x ≤ −2 ∨ 0 ≤ x ≤ 2⎤⎥
⎦
se
⎡ 1 + 2x
⎢3
x
⎣
4
⎡
2(3 x − 1)
⎢ −
3x
⎢⎣
12
(27 x
1⎤
se 0 < x ≤ ⎥
2⎦
− 54 x 2 + 36 x − 8
)
2
se
⎤
∀ x ≠ 0⎥
⎦
1⎤
x < 0∨ x = ⎥
3⎥
⎦
]
se x ≥ 1 ∨ x = 0 ; 3 5 x 2 (1 − x ) se x ≤ 1
⎡ x2 − 7x
2
se x ≤ 0 ∨ < x ≤ 7;
⎢18
3
3
⎣⎢ (2 − 3 x )
18
x2 − 7x
(3x − 2)3
se 0 ≤ x <
⎤
2
∨ x ≥ 7⎥
3
⎦⎥
TRASFORMAZIONE DELL’INDICE DI UN RADICALE
Caso 1
Se il radicale da trasformare è di indice dispari e si moltiplicano l’indice e l’esponente del
radicando per uno stesso numero pari , può sussistere un problema di concordanza del segno.
3
L’uguaglianza
x =
6
x2
non è identicamente vera .
3
Non si tratta di un problema di esistenza, infatti
Esaminiamo il radicale a primo membro:
x esiste ∀ x ( indice dispari ) come pure
6
x2 .
3
y = x può essere positivo, negativo o nullo perchè il radicale di indice dispari è concorde
con il radicando.
Esaminiamo il radicale a secondo membro:
y=
6
x 2 è invece non negativo perchè il radicale di indice pari è inteso in senso aritmetico .
Sussiste un problema di concordanza del segno.
Per determinare il segno del radicale da trasformare si ricorre a un grafico ausiliario che riguarda il radicando
del radicale di indice dispari, prima che venga effettuata la trasformazione.
x2
se x ≥ 0
−6 x2
se x ≤ 0
6
3
x=
[ N.B. il segno “meno” è fuori dal simbolo di radice,
infatti
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
6
− x 2 , per x ≠ 0 , NON ESISTE ! ]
9
Caso 2
Se il radicale da trasformare è di indice dispari e si moltiplicano l’indice e l’esponente del
radicando per uno stesso numero dispari , non sussiste alcun problema.
3
L’uguaglianza
x =
9
x3
è identicamente vera .
∀x.
∀x.
C.E. del radicale a primo membro :
C.E. del radicale a secondo membro :
Non sussiste alcun problema di esistenza
Esaminiamo i due radicali :
3
3
y = x è concorde con x che è concorde con x che è concorde con y =
Non sussiste alcun problema di concordanza del segno.
9
x3 .
Caso 3 Se il radicale da trasformare è di indice pari e si moltiplicano l’indice e l’esponente del radicando
per uno stesso numero dispari non sussiste alcun problema.
x =
L’uguaglianza
6
x3
è identicamente verificata .
C.E. del radicale a primo membro :
C.E. del radicale a secondo membro :
Non sussiste alcun problema di esistenza.
Esaminiamo i due radicali :
x≥0
x≥0
y = x è non negativo come pure il radicale y = 6 x 3 perchè i radicali di indice pari sono intesi in senso
aritmetico .
Non sussiste alcun problema di concordanza del segno.
Caso 4 Se il radicale da trasformare è di indice pari e si moltiplicano l’indice e l’esponente del radicando
per uno stesso numero pari , occorre tenere presente che il C.E. è quello del radicale di partenza.
Esaminiamo l’uguaglianza
x =
4
x2 .
C.E. del radicale a primo membro :
C.E. del radicale a secondo membro :
x≥0
∀x .
Nonostante il C.E. si sia “allargato” eseguendo la trasformazione, non sussistono problemi: infatti nel calcolo
di un’espressione il C.E. viene determinato una volta per tutte prima di qualunque trasformazione e viene
successivamente utilizzato solo il C.E. determinato inizialmente.
Esaminiamo i due radicali :
y = x è non negativo come pure il radicale
senso aritmetico .
y=
4
x 2 perchè i radicali di indice pari sono intesi in
Non sussiste alcun problema di concordanza del segno.
4
x =
Quindi
x 2 è vera purchè x ≥ 0 .
Riassumendo:
a) Se un radicale di indice DISPARI viene trasformato in un radicale di indice PARI può presentarsi un
problema di concordanza del segno.
b) In tutti gli altri casi non sussistono problemi.
Esempio
2− x
x+2
Si debbano trasformare allo stesso indice i seguenti radicali :
;
3
2x + x 2
x−2
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
10
1) Si determina innanzitutto il C.E. dei singoli radicali
x+2
≥0
2−x
per il 1° radicale si pone
-2
2−x>0
da cui
x−2<0
2
x<2
x
x + 2 ≥ 0 ; x ≥ −2
C.E. 1° radicale
−2< x≤2
C.E. 2° radicale
∀x ≠ 2
-
0
−
+
⎧− 2 < x ≤ 2
⎨
⎩∀x ≠ 2
2) Si determina il C.E. comune risolvendo il sistema
da cui
−2< x<2
C.E. comune
3) Si esegue la trasformazione dei radicali all’indice comune 6 ( m.c.m degli indici dei radicali dati)
(2 − x )
2−x
=6
x+2
(x + 2)3
3
Per il radicale di indice pari non sussistono problemi
se − 2 < x < 2
Per il radicale di indice dispari che si trasforma in radicale di indice pari si ricorre a un grafico ausiliario
2x + x 2
≥ 0 da cui
che riguarda il radicando, prima che venga effettuata la trasformazione:
x−2
x( x + 2 )
≥0
x−2
x≥0
x + 2 ≥ 0 ; x ≥ −2
-2
0
2
x
x−2>0 ; x>2
-
0
+
0
-
+
4) Si sovrappone a questo grafico il C.E.comune, cancellando gli intervalli che non appartengono a tale C.E.
−∞
-2
0
+∞
2
x
x
non esiste
+
0
−
non esiste
Si interpreta il grafico con la regola dei segni .
Esaminando il grafico ausiliario si deduce che per il radicale di indice dispari ( che è concorde con il suo
radicando ) sussistono due casi:
−
3
x 2 (x + 2)
2
6
x(x + 2)
=
x−2
+6
(x − 2)2
se
0≤ x<2
se
−2< x≤0
x 2 (x + 2)
2
(x − 2)2
Trasformare i seguenti radicali allo stesso indice dopo aver determinato il C.E. comune
1)
4
x+2
;
3
(x − 2)(x 2 − 4)
2)
5
2− x
;
4
x−2
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
⎡12 ( x + 2)3
⎢⎣
;
12
(x − 2)8 (x + 2)4
⎡− 20 (x − 2 )4
⎢⎣
;
20
(x − 2)5
se x ≥ −2⎤
⎥⎦
se x ≥ 2⎤
⎥⎦
11
[
x −1
4
3)
(x − 1)
+ 12
+
3
4)
x 2 + 3x
x−3
5)
9 − x2
x2
6)
1− x
x +1
[
7)
8)
+
6
+
x 2 − 5x + 6
+ 12
−
;
5
;
3
(1 − x )3
(x + 1)3
3x − x
⎡ x 5 (x + 3)5
⎢10
⎢⎣
(x − 3)5
2
−
6
+
;
⎡ (x + 3)7 (3 − x )7
⎢14
x14
⎢⎣
x 2 (x + 1)
2
(1 − x )
;
[
x 2 ( x − 3)
2
2
2
⎤
se − 3 ≤ x ≤ 0 ∨ x > 3⎥
⎥⎦
⎤
se − 3 ≤ x ≤ 3 ∧ x ≠ 0⎥
⎥⎦
3
;
3x − 4
(x − 2) x 2 − 4
(
3
]
)
6
8
( x − 4 ) ( x + 3)
3
3
⎤
se x < −3 ∨ x > 4⎥
⎥⎦
1
1− x
;
4 x 2 + 12 x + 9
2x − 5
;
; −
12
(3x − 4)4
(x − 2)8 (x + 2)4
;
12
1
(1 − x )6
⎤
se − 2 < x < 1⎥
⎥⎦
2x + 3
;
3
(2 x − 5)
(2 x + 3)3
6
+ 12
+
10)
[
4 x 2 − 20 x + 25
2x + 3
4
10
; − 14 ( x − 4 ) (x + 3)
⎡6
2
2
⎢ (x − 2) (x + 2)
⎢⎣
2
⎡ ( x − 1)3 (3x − 4)3
⎢12
(x + 2)9
⎢⎣
9)
; −
dove i segni superiori valgono se − 1 < x ≤ 0
e i segni inferiori valgono se 0 ≤ x < 1
2
2
x − x − 12
;
]
dove i segni superiori valgono se 1 ≤ x ≤ 2 ∨ x ≥ 3
e i segni inferiori valgono se 2 ≤ x ≤ 3
4
x2 + x
1− x
(x − 1)(3x − 4)
(x + 2)3
4
(x − 2 ) (x − 3)
4
x 2 − x − 12
7
;
;
x2 − 4
3
3
;
+ 12
+
;
− 12
+
(2 x + 3)
(2 x − 5)4
8
;
+ 12
+
(2 x + 3)6
2
12
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
2 x 4 (x + 1)
7
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
2 x ( x + 1)
4
7
;
;
3
1− x
2x 2 + 2x
+ 12
−
;
6
(1 − x )4
4
16 x 4 ( x + 1)
(x + 1)3
x −1
;
+ 12
+
(x + 1)6
(x − 1)2
dove i segni superiori valgono se x < −1
e i segni inferiori valgono se x > 1
Teorema 2
Il prodotto di radicali aritmetici dello stesso indice è un radicale avente lo stesso
indice e per radicando il prodotto dei radicandi.
Hp a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 ∧ n ∈ N − {0}
Th
]
5
dove i segni superiori valgono se − < x <
2
2
5
x>
2
5
x>
e i segni inferiori valgono se
n
a
n
b = n ab
Eleviamo allo stesso esponente n entrambi i membri
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
12
]
1° membro
(
a
2° membro
(
ab
n
n
n
b
)
n
)
n
=
propr . potenze
( a) ( b)
n
n
n
n
=
ab
def . radicale
=
ab
def . radicale
Dalla positività delle basi e dall’uguaglianza delle potenze n-esime si deduce l’uguaglianza delle basi.
ab = n a n b
n
Applicando la proprietà simmetrica si ottiene
N.B. se a o b sono negativi l’uguaglianza non sussiste qualora l’indice sia pari
(− 2)(− 8) = 4 16 = 2
4
4
reali ⇒ 4 (− 2 )(− 8) ≠ − 2 − 8 .
Esempio
4
− 2 4 − 8 non è eseguibile poiché i fattori non sono numeri
4
mentre
Teorema 3
Il quoziente di radicali aritmetici dello stesso indice è un radicale avente lo stesso
indice e per radicando il quoziente dei radicandi.
Hp a ≥ 0 ∧ b > 0 ∧ n ∈ N − {0}
a :n b = n a:b = n
n
Th
a
b
Eleviamo allo stesso esponente n entrambi i membri
1° membro
(
a :n b
2° membro
(
a :b
n
n
)
n
)
n
( a) :( b)
=
propr . potenze
n
n
n
n
=
a:b
def . radicale
=
a:b
def . radicale
Dalla positività delle basi e dall’uguaglianza delle potenze n-esime si deduce l’uguaglianza delle basi.
a:b = a : b
Applicando la proprietà simmetrica si ottiene
N.B. Se a o b sono negativi l’uguaglianza non sussiste qualora l’indice sia pari.
n
n
n
(− 192) : (− 12) = 4 16 = 2 mentre 4 − 192 : 4 − 12 non è eseguibile poiché gli
4 (− 192) : (− 12 ) ≠ 4 − 192 : 4 − 12
⇒
operandi non sono numeri reali
Esempio
4
Teorema 4
La potenza di un radicale aritmetico è un radicale avente per indice lo stesso indice e
per radicando la data potenza del radicando.
( )
n
Hp a > 0 ∧ n ∈ N − {0} ∧ m ∈ N
Th
a = n am
Eleviamo allo stesso esponente n entrambi i membri
m
( )
n
1° membro
⎡n a
⎢⎣
2° membro
⎛⎜ n a m ⎞⎟
m
=
⎝
⎠ def . radicale a
m
⎤
=
⎥⎦ propr . potenze
( a)
m
n
⎡
=
propr . potenze ⎢⎣
( a ) ⎤⎥⎦
n
n
m
=
def . radicale
am ;
n
Dalla positività delle basi e dall’uguaglianza delle potenze n-esime si deduce l’uguaglianza delle basi.
Applicando la proprietà simmetrica si ottiene
n
am =
( a)
n
m
N.B. Se la base del radicando è negativa la proprietà non sussiste qualora l’indice sia pari
Esempio
(
4
−2
)
12
non è un numero reale mentre
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
4
(− 2)12
= 4 212 = 2 3 ⇒
(
4
−2
)
12
≠ 4 (− 2) .
12
13
TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE
n
Dato il radicale
Teorema 5
aq
con esponente del radicando è maggiore dell’indice di radice, se
m è il quoziente intero della divisione q : n e p è il resto di tale divisione, allora
Ricordando che
Hp
n
dividendo = divisore • quoziente + resto ,
⎧a ≥ 0 ∧ n ∈ N − {0} ∧ q ∈ N ∧ q > n
⎨
⎩q = mn + p
a q = n a nm + p
=
propr . potenze =
n
a nm ⋅ a p
Th
n
aq = am ⋅ n a p
risulta q = mn + p
n
aq = am n a p
=
propr . radicali
n
a nm ⋅ n a p
=
m n
p
propr . radicali a ⋅ a
N.B. Se la base del radicando è negativa la proprietà non sussiste qualora l’indice sia pari
Esempio
4
(− 2)6 è un numero positivo; mentre − 2 ⋅ 4 (− 2)2
È invece
4
(− 2)6
è negativo ⇒ 4 (− 2) ≠ −2 ⋅ 4 (− 2)
6
2
= 4 26 = 2 ⋅ 4 22 = − 2 ⋅ 4 22 .
Se il radicando non è un numero , ma è una funzione si scompone in fattori il radicando e si vede se qualche
fattore ha esponente maggiore o uguale all’indice di radice.
Caso 1
Se l’indice è dispari si può trasportare il fattore con esponente maggiore o uguale all’indice
fuori dal segno di radice senza alcun problema ricordando che in questo caso
Esempio 1
L’uguaglianza
3
3
x3z = x z
n
xn = x
è identicamente verificata.
C.E. del 1° radicale : ∀ x ∧ ∀ z .
C.E. del 2° radicale : ∀ x ∧ ∀ z .
Non sussiste alcun problema di esistenza.
Esaminiamo ora i radicali : tanto y =
3
3
x 3 z quanto y = x z assumono valori positivi se x e z sono
concordi, negativi se x e z sono discordi, nulli se x = 0 ∨ z = 0 , non si presentano quindi problemi di
concordanza del segno .
Caso 2
Se l’indice è pari possono sussistere problemi di concordanza del segno .
x 2 z = x z non è identicamente verificata.**
C.E. del 2° radicale : z ≥ 0.
C.E. del 1° radicale : ∀ x ∧ z ≥ 0 ∨ x = 0 ∧ ∀z .
Esempio 2
L’uguaglianza
Non sussiste alcun problema di esistenza.
Esaminiamo ora il radicale a primo membro:
y = x 2 z è non negativo perchè il radicale di indice pari è inteso in senso aritmetico.
Esaminiamo il radicale a secondo membro:
y = x z può essere positivo, negativo o nullo perchè è concorde con x .
Sussiste quindi un problema di concordanza del segno.
Per risolvere il problema è necessario scrivere:
x2z = x
− x z
se x ≥ 0
+ x z
se x ≤ 0
z =
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
14
( x + 1) 2 ( x − 1)
( x − 2) 3
Dato il radicale
Esempio 3
radice.
C.E.
x≤1 ∨ x>2
trasportare quanto possibile fuori dal segno di
( verificarlo per esercizio ) .
( x + 1) 2 ( x − 1)
=
( x − 2) 3
x +1
x−2
x −1
x−2
Per sciogliere il modulo si ricorre ad un grafico ausiliario che riguarda unicamente l’argomento del modulo .
Il grafico traduce la condizione
x +1
≥0
x−2
[ N.B. non si tratta di un C.E. ]
-1
x+1≥0
x−2>0
2
x≥−1
x>2
x
−
0
−
.
+
Si sovrappone a questo grafico il C.E. ( o addirittura il C.E. dell’intera espressione se il radicale è inserito in
un’espressione ) cancellando gli intervalli in cui il radicale ( o l’intera espressione ) non esiste .
−1
1
2
o
+
−
0
0 non esiste
+
Si interpreta il grafico con la regola dei segni .
( x + 1) 2 ( x − 1)
=
( x − 2) 3
+
x +1
x−2
x −1
x−2
−
x +1
x−2
x −1
x−2
se x ≤ −1 ∨ x > 2
se −1 ≤ x ≤ 1
x 4 ( x + 1)
Esempio 4
C.E. x ≥ −1 ( verificarlo per esercizio ) .
2
x 4 ( x + 1) = x
x +1 = x2
x +1
x 2 infatti è sempre non negativo.
Riassumendo:
a) se si trasporta un fattore fuori da un radicale di indice DISPARI non sussiste alcun problema.
b) se si trasporta un fattore fuori da un radicale di indice PARI
concordanza del segno.
si può presentare un problema di
Data l’espressione , determinarne il C.E. e trasportare fuori dal simbolo di radice tutto ciò che è
possibile affrontando le problematiche connesse
1)
(a
− 2a )
a−4
2
2
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
⎡ 2
⎢ a − 2a
⎣
(
)
⎤
1
con a > 4 ∨ a = 0 ∨ a = 2⎥
a−4
⎦
15
2)
1− x2
x2 − 6x + 9
3)
x 2 − 2x + 1
x 2 − 2x
⎡
1
se x < 0 ∨ x = 1;
⎢(1 − x ) 2
x
x
−
2
⎣
(x − 1)(x 2 − 3x + 2)
4)
5)
⎡ 1
⎤
2
⎢⎣ 3 − x 1 − x con − 1 ≤ x ≤ 1⎥⎦
x 2 − 8 x + 16
3
⎡3 − x
⎢
⎣ x
2
− a − 2) (a + 1)
7)
(a − 1)2
(81 − 18b + b )
⎡
1
se 0 < b ≤ 9;
⎢(9 − b ) 4
9b
⎣
8)
9b
4
(x
9)
2
3
− 1)
x
⎡ 2− x
⎢
2
⎢⎣ ( x − 5)
4
(x + 3)3
( x − 5 )2
(
(x − 2) (x + 1)
2
6
)
25
⎛
⎞
− 20 ⎟
27⎜ 4a +
a
⎝
⎠
(
15)
4
16)
3
(a
2
− 4a + 4
(a
2
−9
)
⎡1 − x
⎢⎣ x 2
2
−4
)
)
4
(1 − x )
2 3
( x − 2) x − x − 2
⎤
1
se b ≥ 9⎥
9b
⎦
⎤
se x ≥ 2 ∧ x ≠ 5⎥
⎥⎦
⎤
1
se 0 < x ≤ 1 ∨ x = −1⎥
x
⎦
⎤
a (a − 2 )
1
se 1 < a ≤ 2 ∨ a = 0⎥
1− a
a −1
⎦
x + 3 se − 3 ≤ x ≤ 1 ∧ x ≠ 0;
(2a − 5)
3
se a ≥
a
5⎤
⎥
2⎦
x −1
⎤
x + 3 se x ≥ 1 ⎥
2
x
⎦
⎡
x
⎢ 2
2
⎢⎣ (x − 4)
6
2
⎤
con x ≠ 0⎥
⎦
⎤
con 1 ≤ x ≤ 2⎥
⎦
2−a
⎡ a−2
⎤
⎢ a 2 − 9 a − 2 se a > 3 ; a 2 − 9 a − 2 se 2 ≤ a < 3;
⎥
⎢
⎥
⎢ a − 2 2 − a se − 3 < a ≤ 2; 2 − a 2 − a se a < −3 ⎥
⎢⎣ a 2 − 9
⎥⎦
a2 − 9
3
)
(
( x − 5 )2
4
(x + 3)3
( x − 5 )2
1
⎡
2
⎢⎣− x 2 − 3 x − x + 3 x − 2
2x3 + x 4
(x
x
2
(b − 9) 4
⎡
3
5
se 0 < a ≤ ;
⎢(5 − 2a )
a
2
⎣
3
− x 2 + 3x − 2
x 2 x 2 − 6x + 9
1
−1
⎡
⎤
2
⎢⎣ x 2 − x − 2 x − x con 0 ≤ x ≤ 1⎥⎦
2
x4
14)
se − 3 ≤ x ≤ 2;
⎡ a (a − 2 )
1
se a ≥ 2 ∨ a = 0;
⎢
a
−
1
a
−
1
⎣
(x − 1)2 (x + 3)
13)
x−2
⎡ 2
3
1
se x ≥ 1 ∨ x = −1;
⎢ x −1
x
⎣
6
x − x2
11)
17)
)
a 4 − 4a 3 + 4a 2
a 3 − 3a 2 + 3a − 1
10)
12)
(
( x − 2) x 2 + x − 6
( x 2 − 10 x + 25) 5
3
⎡a +1
⎤
⎢⎣ a − 1 a − 2 con a ≥ 2 ∨ a = −1⎥⎦
2 2
4
1− x
⎤
x − 2 se 2 ≤ x < 4 ∨ x = 1⎥
x−4
⎦
27 − 27 x − x 3 + 9 x 2
x5
(a
6)
⎡ x −1
⎢⎣ x − 4 x − 2 se x > 4 ∨ x = 1;
⎤
1
se
x
x
>
2
∨
=
1
⎥
x 2 − 2x
⎦
(x − 1)
)
5
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
3
⎤
x + 3 con x ≠ ±2⎥
⎥⎦
⎡( x − 2)3 ( x + 1)2 x + 1 se x ≥ 2 ∨ x = −1; ⎤
⎢
⎥
3
2
⎣⎢(2 − x ) ( x + 1) x + 1 se − 1 ≤ x ≤ 2
⎦⎥
16
TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO IL SEGNO DI RADICE
Come corollario del teorema 2 segue il
Hp a > 0
Teorema 5
Infatti
am
n
ap
Th
am
n
a p = n a nm + p
n
n
=
=
a nm ⋅ n a p
=
a nm ⋅ a p
propr . potenze
propr . radicali
propr . radicali
n
a nm + p
N.B. se a<0 la proprietà non sussiste se l’indice è pari
Es. − 2 ⋅ 4 2 è negativo, mentre
È invece
4
(
(− 2)4 ⋅ 2 è un numero positivo;
)
⇒ −2 ⋅ 4 2 ≠ 4 (− 2) ⋅ 2
4
− 2 ⋅ 4 2 = − 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = −4 2 4 ⋅ 2 = −4 2 5
Se il radicale non è un numero ma una funzione sussistono due casi.
Caso 1
Se l’indice è dispari non sussiste alcun problema.
si avrà x ⋅ 3 z =
Ricordando che
x = n xn
Tale uguaglianza è identicamente verificata .
3
x3z .
C.E. del 1° radicale : ∀ x ∧ ∀ z .
C.E. del 2° radicale : ∀ x ∧ ∀ z .
Non sussiste alcun problema di esistenza.
Esaminiamo ora i radicali: tanto y = x 3 z quanto y =
3
x3z
assumono valori positivi se x e z sono
concordi, negativi se x e z sono discordi, nulli se x = 0 ∨ z = 0 , non si presentano quindi problemi di
concordanza del segno .
Caso 2
Se l’indice è pari sussistono problemi di concordanza del segno.
L’uguaglianza x z =
x 2 z non è identicamente verificata
C.E. del 1° radicale : z ≥ 0.
C.E. del 2° radicale : ∀ x ∧ z ≥ 0.
Non sussiste alcun problema di esistenza.
Esaminiamo l’espressione a primo membro:
y = x z può essere positivo, negativo o nullo perchè y è
concorde con x ( il radicale è non negativo perchè l’indice è pari ) .
Esaminiamo il radicale a secondo membro:
y = x2z
è non negativo perchè il radicale di indice pari è inteso in senso aritmetico.
Sussiste quindi un problema di concordanza del segno.
Per risolvere il problema è necessario scrivere:
−
x2z
se x ≤ 0
+
x2z
se x ≥ 0
x z =
Esempio
x + 2 1− x
⋅
x +1 x + 2
C.E. del fattore esterno : x ≠ − 1 ( funzione razionale fratta ) .
C.E. del radicale : −2 < x ≤ 1 ( verificarlo per esercizio ) .
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
17
Per risolvere l’eventuale problema di concordanza del segno si ricorre ad un grafico ausiliario che
riguarda unicamente il fattore da trasportare sotto il segno di radice ( prima che tale fattore sia stato
trasportato ) .
Il grafico traduce la condizione
x+2
≥0
x +1
−2
x+2≥0
x+1>0
−1
x ≥ −2
x > −1
x
+
0
−
+
Si sovrappone a questo grafico il C.E. ( o addirittura il C.E. dell’intera espressione se il radicale è inserito in
un’espressione ) cancellando gli intervalli in cui il radicale ( o l’intera espressione ) non esiste .
−∞
+∞
−2
−1
1
x
x
−
non esiste
+
0
non esiste
Si interpreta il grafico con la regola dei segni .
−
( x + 2) 2 (1 − x )
= −
( x + 1) 2 ( x + 2)
( x + 2)(1 − x )
( x + 1) 2
se −2 < x < −1
+
( x + 2) 2 (1 − x )
= +
( x + 1) 2 ( x + 2)
( x + 2)(1 − x )
( x + 1) 2
se −1 < x ≤ 1
x + 2 1− x
⋅
=
x +1 x + 2
Riassumendo:
a) se si trasporta un fattore sotto una radice di indice DISPARI non sussistono problemi
se si trasporta un fattore sotto una radice di indice PARI si può presentare un problema di concordanza del
segno.
Determinarne il C. E. e trasportare sotto il simbolo di radice affrontando le problematiche connesse
1) 2 x
3
4x
3)
13
x
x
5)
1− 2
x
2
7) (− a − 3)
1− 3
8)
x
⎡ 3x
⎢⎣
con x > 0 ⎤
⎥⎦
⎡ 1
⎤
⎢3 2 con x ≠ 0⎥
⎣ x
⎦
x2 +1
2 2 −3
[ imp.]
2)
2
− 6x
3x
4)
− 3⋅ 4
6) (a + 2)
⎡
8
⎢− −
3x
⎣
4−2 3
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
⎤
x < 0⎥
⎦
⎡− 4 3x con x ≥ 0⎤
⎢⎣
⎥⎦
x
27
a−2
a + 4a + 4
2
⎡ a−2
⎢⎣
⎡− 9 − a 2
⎢⎣
9 − a2
a 4 + 6a 2 + 9
x2
con
[
con a ≥ 2⎤
⎥⎦
con − 3 ≤ a ≤ 3⎤⎥
⎦
1 se x < 0; − 1 se x > 0]
18
9)
x−3
x +1
x −1
10)
x
x−2
⎡
⎢
⎢⎣
(x − 3)2 (x + 1)
(x − 1)2
se − 1 ≤ x < 1 ∨ x ≥ 3; −
⎡
1
⎢
⎣ x(x − 2 )
x−2
x3
(x + 2)(2 − 3x )
4 x 2 − 12 x + 9
11)
2
3
3x + 4 x − 4 8 x − 36 x 2 + 54 x − 27
⎡0 se x < 0; 2 2
⎢⎣
2+x
13)
x − 12 x − 12
:
x −1 x −1
15) (a + 2)(a − 2)
⎡ ( x − 5 )2
⎢ 2
⎢⎣ x − 6 x + 8
a
a −4
16) a(a + 2 )(a − 2 )
2
1
a −4
2
x −1 x + 2
4
17)
x + 2 ( x − 1)2
18)
19)
x−3
2x − 1
x−3
20) a
⎤
x > 2⎥
⎦
3⎤
⎥
2⎦
se x > 0⎤
⎥⎦
⎡ x −1
⎤
se x < 1 ∨ x > 12⎥
⎢
⎣ x − 12
⎦
x−2
x−4
(2 x − 1)2
x<0 ∨
se
2x − 3
2
con x < −2 ∨ < x <
(x + 2)(2 − 3x )
3
2
x2
12)
x−5
14)
x−2
⎡
⎢
⎣
⎤
se 1 < x ≤ 3⎥
⎥⎦
(x − 3)2 (x + 1)
(x − 1)2
x−3
2x − 1
( x − 3)2
2x − 1
1
−a
a
Adriana Cerri & Maria Grazia Luini
se x < 2 ∨ x ≥ 5;
⎡ − a 3 − 4a
⎢⎣
( x − 5)2
−
x 2 − 6x + 8
se − 2 < a ≤ 0;
⎡ − a 4 − 4a 2
⎢⎣
se a < −2;
a 3 − 4a
a 4 − 4a 2
⎤
se 4 < x ≤ 5 ⎥
⎥⎦
se a > 2⎤⎥
⎦
se a > 2⎤⎥
⎦
2
⎡ ( x − 1)2
⎤
(
x − 1)
4
⎢4
⎥
>
1
;
−
−
2
<
<
1
se
x
se
x
3
(x + 2)3
⎢⎣ ( x + 2 )
⎥⎦
⎡
⎢−
⎢⎣
(2 x − 1)3
x−3
⎡
⎢⎣− 2 x − 1 se
[−
a − a3
se x <
1
;
2
1
< x < 3;
2
se a ≤ −1;
(2 x − 1)3
x−3
2 x − 1 se
a − a3
⎤
se x > 3⎥
⎥⎦
⎤
x>3 ⎥
⎦
se 0 < a ≤ 1
]
19