esercizi di microeconomia

ESERCIZI DI MICROECONOMIA
Economia Applicata all’Ingegneria 1
Docente: Prof. Ing. Donato Morea
Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Facoltà di Ingegneria - Dipartimento di Ingegneria Industriale
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
A.A. 2012-2013
ESERCIZIO 1 - Equilibrio di mercato e spostamenti delle curve di domanda e di offerta
La quantità domandata di un certo bene è descritta dalla funzione:
p
(D)
mentre la quantità offerta è descritta dalla funzione:
(S)
a) Determinare la configurazione di equilibrio del mercato.
b) Determinare (anche graficamente) come cambia l’equilibrio di mercato a seguito di uno shock
positivo sull’offerta tale per cui la nuova curva di offerta è
e di uno shock
negativo sulla domanda per cui la domanda cala del 20%.
Soluzione
a) L’equilibrio di mercato si ha in corrispondenza del livello di prezzo per cui la quantità
domandata è uguale alla quantità offerta. Il prezzo di equilibrio si ottiene, quindi, uguagliando
la domanda all’offerta:
da cui si ottiene p* = 2 . Sostituendo tale valore di equilibrio per il prezzo nella funzione di
domanda (o nella funzione di offerta) si ottiene che la quantità scambiata in equilibrio è Q* =
9.
b) Per determinare il nuovo equilibrio di mercato, è necessario conoscere le nuove funzioni di
domanda e di offerta. Per quanto riguarda la curva di offerta, essa è descritta dalla funzione
Q '= 6 p + 2 (S’). Osserviamo che la curva di offerta si è spostata parallelemente a se stessa, in
quanto non è cambiata la pendenza della curva ma solo la sua intercetta. Per determinare la
nuova curva di domanda, dobbiamo, invece, tenere presente che, per ogni livello di prezzo, la
quantità domandata è diminuita del 20%; quindi, per dato p, la quantità domandata sarà pari
all’80% di quella che era in precedenza, cioè:
1
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Economia Applicata all’Ingegneria 1
Docente: Prof. Ing. Donato Morea
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(D’)
Il nuovo equilibrio di mercato si ottiene uguagliando Q D ' e Q S' :
da cui si ottiene p*'=
e, per sostituzione, Q*'=
. Quindi, sia il prezzo che la quantità
scambiata in equilibrio sono diminuiti a seguito dello spostamento delle curve di domanda e di
offerta.
Per rappresentare graficamente le curve di domanda e di offerta nel piano cartesiano con la
quantità in ascissa e il prezzo in ordinata, è necessario utilizzare le curve di domanda e di offerta
inverse (in cui, cioè, il prezzo è funzione della quantità).
D:
S:
D’:
S’:
(domanda diretta) ⇒
(offerta diretta) ⇒
(domanda inversa)
(offerta inversa)
(domanda diretta) ⇒
(offerta diretta) ⇒
(domanda inversa)
(offerta inversa)
Possiamo, ora, rappresentare graficamente le quattro curve ed i due equilibri E ed E’:
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p
D
D’
S
2
15/16
E
S’
E’
61/8 9
Q
ESERCIZIO 2 - Controllo sui prezzi
Le funzioni di domanda e di offerta su un determinato mercato sono rispettivamente:
a) Determinare l’equilibrio del mercato.
b) Determinare come si modifica l’equilibrio a seguito dell’introduzione, da parte dell’Autorità
Pubblica, di un tetto di prezzo pari a
.
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c) Determinare come si modifica l’equilibrio a seguito dell’introduzione, da parte dell’Autorità
Pubblica, di un pavimento di prezzo pari a
.
Soluzione
a) L’equilibrio di mercato si ottiene uguagliando domanda e offerta:
da cui si ottiene
e, per sostituzione,
.
b) La fissazione di un tetto di prezzo non è altro che l’impostazione di un livello di prezzo massimo
oltre il quale non è consentito effettuare transazioni sul mercato.
In corrispondenza di un tetto di prezzo pari a
disposti ad acquistare è pari a
, la quantità che i consumatori sono
mentre la quantità che i produttori sono
disposti a vedere è pari a
. Sul mercato, si verifica, quindi, un eccesso di
domanda pari a 3. A seguito del tetto di prezzo, la quantità effettivamente scambiata sul
mercato è pari a 2, poiché questa è la quantità massima che i produttori sono disposti a vedere
a tale prezzo.
Rappresentiamo graficamente l’effetto del tetto di prezzo: le curve di domanda e di offerta
inversa sono rispettivamente
e
.
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p
S
E
6
4
E’
Eccesso di
domanda
D
2
3
5
Q
c) La fissazione di un pavimento di prezzo consiste nell’imposizione di un prezzo minimo sotto il
quale non è possibile effettuare scambi sul mercato in oggetto.
In corrispondenza di un pavimento di prezzo pari a
, la quantità che i consumatori
desiderano acquistare è
, mentre la quantità che i produttori desiderano vendere
è Qs (8) = 4. Quindi, la quantità effettivamente scambiata sul mercato è pari a 1 e sul mercato
vi è un eccesso di offerta pari a 3.
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p
S
Eccesso di
offerta
8
E
6
D
1
3
4
Q
ESERCIZIO 3 - Elasticità
In un determinato mercato, la domanda e l’offerta inverse sono rappresentate rispettivamente
dalle funzioni:
a) Determinare l’equilibrio di mercato.
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b) Calcolare l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di equilibrio.
c) Calcolare l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in corrispondenza del punto in cui il
prezzo è pari a 30.
d) Determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a 1 (in valore
assoluto).
Soluzione
a) Per determinare la quantità scambiata sul mercato in equilibrio, uguagliamo le curve di
domanda e di offerta inverse:
Otteniamo, quindi,
e , per sostituzione,
.
b) Ricordiamo che l’elasticità della quantità domandata rispetto al prezzo è data dalla formula:
dove
indica la derivata della quantità rispetto al prezzo, cioè la pendenza della curva di
domanda (diretta).
Poiché la curva di domanda in oggetto è lineare, cioè ha pendenza costante, la derivata
costante. La pendenza della curva di domanda inversa è:
è
. Quindi, la pendenza della
curva di domanda diretta è pari a
(alternativamente, si può ricavare la curva di
domanda diretta, che è pari a
derivata rispetto a p è pari a – 30).
da cui si vede immediatamente che la
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Il valore dell’elasticità della domanda al prezzo nel punto di equilibrio è, quindi:
Procediamo allo stesso modo per determinare l’elasticità della quantità dell’offerta al prezzo
nel punto di equilibrio. La pendenza della curva di offerta inversa è pari a
, la
pendenza della curva di offerta diretta è
. L’elasticità della curva di offerta nel punto
di equilibrio è, quindi:
c) Per calcolare l’elasticità della domanda nel punto in cui il prezzo è pari a 30, dobbiamo
innanzitutto determinare la quantità corrispondente a tale prezzo sulla curva di domanda.
Sostituendo p = 30 nell’equazione della curva di domanda diretta:
Quindi, l’elasticità in tale punto è:
d) Per determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a – 1,
imponiamo, appunto, che l’elasticità assuma tale valore [sappiamo già dal punto a) che la
pendenza della curva di domanda è costante e pari a
]:
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da cui
. Sostituendo questa espressione nella curva di domanda diretta, otteniamo:
da cui
e per sostituzione
Abbiamo, quindi, determinato le coordinate della
curva di domanda in cui l’elasticità al prezzo è unitaria (in valore assoluto).
Al fine di vedere come varia l’elasticità puntuale lungo la curva di domanda, può essere utile
rappresentare graficamente la curva di domanda ed associare i valori dell’elasticità che
abbiamo determinato ai vari punti della curva a cui corrispondono.
p
80
50
40
30
D
900 1200
1500
2400
Q
Dalla figura, possiamo notare che l’elasticità è più elevata (in valore assoluto) nella parte alta della
curva di domanda (fino ad arrivare a - ∞ nell’intersezione con l’asse verticale) e decresce
progressivamente man mano che ci si muove verso il basso lungo la curva di domanda (fino ad
arrivare a zero nell’intersezione con l’asse orizzontale). Si noti che, in presenza di una funzione
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lineare, il punto di elasticità unitaria è esattamente il punto medio della porzione della curva di
domanda che giace nel quadrante positivo.
ESERCIZIO 4 - Funzioni di domanda ed offerta non lineari
Si consideri un mercato in cui la domanda e l’offerta sono rappresentate dalle seguenti funzioni:
a) Determinare l’equilibrio di mercato.
b) Calcolare l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di equilibrio.
Soluzione
a) Determiniamo, innanzitutto, la configurazione di equilibrio:
da cui si ottiene p* = 5 e, quindi, Q* = 8.
b) Ricordiamo che l’elasticità della quantità domandata al prezzo è data dalla formula:
Calcoliamo, quindi, la pendenza della curva di domanda:
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Si noti che, poiché la funzione di domanda non è lineare, la pendenza non è costante lungo la
curva.
Quindi, l’elasticità della domanda nel punto di equilibrio è pari a:
L’elasticità della quantità offerta al prezzo è invece:
Calcoliamo, quindi, la pendenza della curva di offerta:
Come la funzione di domanda, anche la funzione di offerta non è lineare, quindi, la pendenza non
è costante lungo la curva.
Allora, l’elasticità dell’offerta nel punto di equilibrio è pari a:
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ESERCIZIO 5 - Interpolazione della curva di domanda
Si ipotizzi che la funzione di domanda di un certo bene sia lineare. Si è osservato che, in
corrispondenza di un prezzo pari a 5, la quantità domandata è pari a 30. Inoltre, si stima che
l’elasticità puntuale in corrispondenza di tale punto della curva di domanda sia pari al 40%.
Determinare l’equazione della curva di domanda di tale bene.
Soluzione
L’equazione della curva di domanda è:
dove a e b sono i parametri incogniti che dobbiamo determinare.
Il parametro b, cioè l’opposto della pendenza della curva, può essere ricavato dall’informazione
che abbiamo sull’elasticità. In particolare, sappiamo che l’elasticità della domanda è pari in valore
assoluto a 0,4, quindi sostituiamo questo valore e quelli di p e Q dati nella formula dell’elasticità
(poiché si tratta di una funzione lineare, la sua pendenza sarà costante):
da cui si ottiene b = 2,4 .
Ora, sostituiamo il valore di b, insieme a quelli di p e Q, nell’equazione della curva di domanda:
dalla quale si ottiene a = 42.
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Una volta determinati i valori di entrambi i parametri a e b, possiamo, quindi, scrivere l’equazione
della curva domanda come:
ESERCIZIO 6 - Scelte del consumatore, curve di Engel e curve di domanda
Un consumatore ha preferenze rappresentate dalla seguente funzione di utilità:
a) Determinare la scelta ottimale del consumatore se il suo reddito monetario è pari a 210 ed i
prezzi dei beni sono
e
.
b) Determinare l’ottimo del consumatore nel caso in cui il reddito passi da 210 a 180.
c) Determinare le curve di Engel per i due beni.
d) Determinare come cambia la scelta del consumatore nel caso in cui il prezzo del bene x passi
da 15 a 20.
e) Determinare la curva di domanda per il bene x e per il bene y.
Soluzione
a) L’ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema
in cui la prima equazione rappresenta la condizione di tangenza tra curva di indifferenza ed il
vincolo di bilancio e la seconda il vincolo di bilancio del consumatore.
Nel nostro caso, il saggio marginale di sostituzione, è dato dal rapporto:
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Possiamo, quindi, scrivere il sistema:
Dalla prima equazione si ottiene:
Sostituendo questa espressione nel vincolo di bilancio, si ottiene
Risolvendo questa equazione in
troviamo:
e , per sostituzione:
Quindi, l’equilibrio del consumatore è dato dal paniere:
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b) Dato il nuovo reddito del consumatore, il sistema da risolvere è ora:
dalla prima equazione otteniamo, come nel caso precedente:
e, sostituendo nella seconda:
per cui:
Il nuovo equilibrio è, quindi:
Rappresentiamo graficamente lo spostamento del vincolo di bilancio a seguito dell’aumento
del reddito del consumatore ed il relativo ottimo del consumatore medesimo.
Vincolo di bilancio prima dell’aumento del reddito:
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Vincolo di bilancio dopo l’aumento del reddito:
y
7/2
3
7/4
3/2
E
E’
6
7
12
14
x
c) Le curve di Engel esprimono la relazione tra il reddito a disposizione del consumatore e la
domanda di ciascuno dei due beni. A livello qualitativo, dal confronto tra gli equilibri E ed E’, si
può notare come al diminuire del reddito diminuisca la quantità domandata di entrambi i beni:
x e y sono pertanto beni normali. Per ricavare algebricamente le curve di Engel, occorre
risolvere il sistema seguente (uguale ai precedenti, tranne che per il fatto che non assegniamo
un valore numerico al reddito ma lo indichiamo con un generico R):
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Risolvendo, otteniamo:
che sono le curve engeliane, rispettivamente per il bene x e per il bene y. Come osservato in
precedenza, tali funzioni esprimono una relazione positiva tra reddito e consumo per
entrambi i beni, in quanto sono rette con pendenza positiva. Rappresentiamo le curve di Engel
sul piano cartesiano. Per convenzione, si indica il reddito in ordinata e la quantità consumata
del bene in ascissa, quindi le due curve di Engel inverse sono R = 30x ed R = 120y .
R
R
y
x
d) Nel caso in cui p x ' = 20 (al reddito iniziale R=210), l’ottimo del consumatore si ottiene
risolvendo il sistema:
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Dalla prima equazione, si ricava:
che, sostituita a y nel vincolo di bilancio, dà:
Per cui:
Quindi, all'aumentare del prezzo di x, il consumo del bene x diminuisce, mentre quello del bene y
rimane invariato.
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y
7/2
E
E’’
21/4
7
21/2
14
x
e) Analizziamo, più approfonditamente, la relazione tra prezzo e consumo dei due beni ricavando
le curve di domanda per il bene y e per il bene x (al livello di reddito iniziale). Per fare ciò,
impostiamo un sistema simile a quelli dei precedenti punti, lasciando però indicati i prezzi dei
due beni come px e py.
Dalla prima equazione, si ricava:
che sostituiamo nella seconda per ottenere:
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da cui si ricava:
e, sostituendo nell’equazione per y:
Queste equazioni sono le curve di domanda rispettivamente del bene x nonché del bene y ed
esprimono la relazione tra prezzo di un bene e quantità domandata dello stesso. Risulta, quindi,
evidente che entrambi i beni, in questo caso, seguono la legge della domanda, in quanto
all’aumentare del prezzo diminuisce la quantità domandata del bene in oggetto (e viceversa).
Inoltre, in questo esempio, nell’equazione della curva di domanda per il bene x non compare il
prezzo del bene y (e lo stesso vale per la domanda di y rispetto al prezzo di x): questo significa che
i due beni sono indipendenti, in quanto al variare del prezzo di y, la domanda per il bene x rimane
invariata. In particolare, si può verificare che l’elasticità incrociata della domanda del bene y
rispetto al prezzo del bene x è nulla (e lo stesso vale per quella di x rispetto a py ). L’elasticità
incrociata della domanda di y rispetto al prezzo di x è definita come il rapporto tra la variazione
percentuale della quantità domandata di y e la variazione percentuale del prezzo di x, ovvero:
L’elasticità incrociata è, dunque, il prodotto tra la derivata della funzione di domanda di y rispetto
al prezzo di x in un punto e il rapporto tra i valori del prezzo e della quantità domandata in quel
punto.
Nel nostro caso, la derivata prima della funzione di domanda di y rispetto al prezzo di x è nulla in
ogni punto, per cui il valore dell’elasticità incrociata è sempre zero. Questo significa che i due beni
sono indipendenti, ovvero al variare del prezzo di uno dei due beni la quantità domandata
dell’altro rimane invariata.
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ESERCIZIO 7 - Effetto reddito ed effetto sostituzione
Si consideri un individuo con funzione di utilità:
a) Determinare il paniere ottimale dato il reddito di 1200 ed i prezzi px = 1 e py = 4 .
b) Determinare il paniere ottimale se p x’ = 4 e il reddito rimane invariato.
c) Scomporre la variazione intervenuta nella domanda ottimale del bene x a seguito della
variazione di p x in effetto reddito ed effetto sostituzione.
Soluzione
a) Il saggio marginale di sostituzione tra x e y è:
L’equilibrio del consumatore si ottiene risolvendo il sistema:
Dalla prima equazione, si ottiene:
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e, sostituendo nella seconda equazione del sistema:
da cui:
Quindi, l’equilibrio del consumatore è
.
b) Al nuovo prezzo di x, l’equilibrio del consumatore si ottiene risolvendo il sistema:
Dalla prima equazione:
e, sostituendo nella seconda, si ottiene:
Per cui:
Quindi, il nuovo equilibrio è
.
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c) L’effetto prezzo, ovvero l’effetto totale della variazione del prezzo di x sulla quantità
domandata del bene x stesso, è:
Quindi, l’effetto prezzo è negativo: all’aumentare del prezzo, la quantità domandata di x
diminuisce. Tale bene rispetta quindi la legge di domanda.
Vogliamo scomporre l’effetto prezzo totale in effetto sostituzione ed effetto reddito, in modo
da distinguere quale parte della variazione della quantità domandata è dovuta esclusivamente
alla variazione dei prezzi relativi e quanto invece è dovuto al fatto che il potere d’acquisto del
consumatore è diminuito a seguito dell’aumento del prezzo di x.
Per fare ciò, immaginiamo di dare all’individuo, successivamente all’aumento del prezzo di x,
una compensazione di reddito tale da consentirgli di raggiungere lo stesso livello di utilità che
raggiungeva nel punto E (prima dell’aumento). Questo ci consente di disegnare una parallela
al nuovo vincolo di bilancio che sia tangente alla curva di indifferenza di partenza (passante
per E). Questo vincolo di bilancio fittizio, che ha pendenza pari al nuovo vincolo di bilancio ma
è tangente alla curva di indifferenza iniziale, riflette il fatto che immaginiamo di aumentare il
reddito nominale dell’individuo in modo da isolare l’effetto di sostituzione. Occorre dunque
calcolare le coordinate del punto Ec, cioè del punto di tangenza tra la curva di indifferenza
passante per E e il vincolo di bilancio fittizio con pendenza pari al nuovo rapporto tra i prezzi.
Per trovare il punto Ec, dobbiamo risolvere il seguente sistema:
La prima equazione esprime il fatto che il livello di utilità associato a Ec deve essere lo stesso di
quello associato ad E; la seconda condizione stabilisce che la curva di indifferenza passante
per Ec sia tangente al vincolo di bilancio fittizio la cui pendenza è pari al nuovo rapporto tra i
prezzi.
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Calcoliamo, innanzitutto, il valore dell’utilità nel punto E:
Quindi, il sistema diviene:
Dalla seconda equazione, si ricava:
e, sostituendo nella prima:
Da questa, si ricava:
E, per sostituzione:
Le coordinate del punto
sono, quindi,
.
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Possiamo, ora, scomporre l’effetto prezzo in effetto reddito ed effetto sostituzione.
1) Effetto sostituzione
L’effetto sostituzione misura l’effetto sulla quantità domandata derivante dal fatto che, a
seguito dell’aumento del prezzo di x, è cambiato il prezzo relativo dei due beni e quindi il bene
y è diventato relativamente meno costoso.
L’effetto sostituzione si misura nel passaggio da E ad
Se, quindi, a seguito dell’aumento del prezzo di x il consumatore viene compensato in modo
da mantenere inalterato il livello di utilità, la variazione della quantità domandata di x sarà
negativa: aumentando il prezzo relativo di x, il consumatore sarà portato a diminuire la sua
domanda per tale bene, poiché è diventato relativamente più costoso rispetto al bene y (cioè
passando da E ad Ec
cresce mentre x cala: ↑ x ↓⎞ effetto sostituzione negativo).
2) Effetto reddito
L’effetto reddito di una variazione di prezzo misura come varia la quantità domandata di x a
seguito esclusivamente della diminuzione del reddito reale a disposizione del consumatore (a
parità di prezzi relativi). Vediamo, innanzitutto, come cambia la quantità domandata al variare
del reddito. Nel passaggio da E c ad E’, la variazione della quantità domandata è
Quindi, da E c ad E’, la quantità domandata diminuisce.
A seguito della diminuzione del reddito che è avvenuta nel passaggio da Ec ad E’, l’individuo ha
deciso di consumare una minore quantità del bene x. Ciò, significa che il bene x è un bene
normale (al diminuire del reddito disponibile ne diminuisce il consumo da parte
dell’individuo). In termini di effetto reddito della variazione di prezzo, questo significa che
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all’aumentare del prezzo di x il reddito reale diminuisce e, poiché il bene è un bene normale,
anche la quantità domandata diminuisce. Quindi, in questo caso, l’effetto reddito ha segno
negativo (se px aumenta, considerando esclusivamente la diminuzione di reddito reale che
questo aumento comporta, si avrà una diminuzione della quantità domandata del bene x: px
↑ R ↓ x ↓ ⎞ l’effetto reddito, cioè l’effetto dell’aumento del prezzo sulla quantità
domandata attraverso una diminuzione del potere d’acquisto, è negativo).
Poiché l’effetto sostituzione e l’effetto reddito, in questo caso, hanno segno concorde,
negativo per entrambi, l’effetto prezzo derivante dalla somma dei due effetti sarà negativo:
all’aumentare del prezzo di x, la quantità domandata di x diminuisce, sia perché è aumentato
il prezzo relativo di questo bene sia perché è diminuito il reddito reale a disposizione del
consumatore.
Di seguito, graficamente, la scomposizione dell’effetto prezzo totale in effetto reddito ed
effetto sostituzione.
y
EC
E
200
150
E’
150
267
Effetto
reddito
400
x
Effetto
sostituzione
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Trattazione analitica di effetto reddito ed effetto sostituzione
L’effetto prezzo, ovvero l’effetto totale della variazione del prezzo di x sulla quantità domandata
del bene x stesso, è:
La variazione totale di x in seguito alla variazione di px può essere scomposta in effetto reddito ed
effetto sostituzione nel modo seguente:
Il primo addendo rappresenta l’effetto sostituzione, che abbiamo calcolato essere pari a:
L’effetto reddito è, invece:
Vediamo, innanzitutto, come cambia la quantità domandata al variare del reddito. Il reddito
necessario all’individuo per acquistare il paniere Ec, ai nuovi prezzi è:
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Quindi, la compensazione necessaria a consentire al consumatore di raggiungere lo stesso livello di
utilità, precedente all’aumento dei prezzi sarà:
Nel caso di un aumento di prezzo, la compensazione necessaria a fare restare il consumatore sulla
stessa curva di indifferenza deve essere positiva, perché il suo reddito reale diminuisce.
Vediamo come cambia la quantità domandata nel passaggio da E c a E’ (a seguito cioè di una
diminuzione del reddito reale):
Questa variazione relativa è la prima componente dell’effetto reddito. Per quanto riguarda la
seconda componente, essa è pari a:
Tale componente è negativa poiché, all’aumentare del prezzo del bene, il reddito reale a
disposizione del consumatore diminuisce.
L’effetto reddito è, quindi, pari a:
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Sommando effetto sostituzione ed effetto reddito (entrambi negativi) otteniamo l’effetto totale
dell’aumento del prezzo di x sulla quantità domandata di tale bene, già calcolato in precedenza:
ESERCIZIO 8 - Beni sostituti
Le preferenze di un consumatore per lo zucchero di barbabietola (bene x) e lo zucchero di canna
(bene y) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità:
I prezzi dei beni è
nonché
ed il reddito a disposizione dell’individuo è pari a 20.
Determinare la scelta ottimale del’individuo.
Soluzione
Poiché la funzione di utilità è lineare, il saggio marginale di sostituzione tra i due beni è costante e
pari a:
Questo significa che le curve di indifferenza sono lineari e, quindi, che il punto di ottimo sarà una
soluzione d'angolo, il che significa che il consumatore acquisterà solo uno dei due beni. Per sapere
quale dei due ed in che quantità, occorre considerare la pendenza delle curve di indifferenza (che
indica in che proporzione l'individuo è disposto a scambiare un bene con l'altro) e quella del
vincolo di bilancio (che indica il rapporto in cui i due beni sono scambiati sul mercato). Un SMS pari
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a 3 significa che il consumatore è disposto a cedere 3 unità di y per una di x. Invece, sul mercato, il
bene y è, invece, scambiato contro due unità di x (la pendenza del vincolo di bilancio,ovvero il
rapporto
è pari a 1/2). Di conseguenza, il consumatore preferirà spendere il suo reddito solo
nell’acquisto del bene x, acquistandone una quantità pari a:
y
2
E
4
x
ESERCIZIO 9 - Produzione e costi
Un’impresa utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione:
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I prezzi dei fattori lavoro e capitale sono rispettivamente
dotazione di capitale è fissa e pari a
.
e
. Nel breve periodo, la
a) Determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo.
b) Determinare la domanda di lavoro nel breve periodo.
c) Determinare la combinazione ottima di fattori nel caso in cui si voglia produrre una quantità
pari a 100.
d) Dimostrare che la stessa scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema
duale di massimizzazione dell’output sotto un vincolo di costo, imponendo che l’impresa possa
sostenere una spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200.
e) Determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.
Soluzione
a) Determiniamo, tramite la funzione di produzione, l’impiego del fattore lavoro in funzione della
quantità prodotta, tenendo presente che, nel breve periodo, il capitale è fisso:
Quindi, il costo totale di breve periodo è:
Il costo medio e marginale di breve periodo sono, rispettivamente:
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b) Per determinare la domanda ottimale di lavoro di breve periodo, occorre impostare la
massimizzazione del profitto:
Dalla massimizzazione del profitto rispetto al lavoro, si ottiene:
Questa è, appunto, la funzione di domanda di lavoro in funzione del prezzo.
c) La scelta ottimale dell’impresa si determina individuando l’isocosto più vicino all’origine
tangente all’isoquanto che corrisponde ad una quantità pari a 100. Quindi, occorre risolvere il
seguente sistema:
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in cui, la prima equazione esprime l’uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione tecnica
ed il rapporto tra i prezzi dei fattori e la seconda impone che il
livello di produzione sia pari a 100.
Dalla prima equazione si ottiene
, che, sostituita nella seconda, dà:
da cui si ottiene
e
.
I costi totali sostenuti dall’impresa sono pari a:
d) La stessa scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema duale di
massimizzazione dell’output sotto un vincolo di costo, imponendo che l’impresa possa
sostenere una spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200. Il sistema da risolvere, in
questo caso, è:
da cui si ottiene
e
.
e) Per determinare le curve di costo di lungo periodo, occorre, innanzitutto, determinare come si
modifica la domanda ottimale di lavoro e capitale (che nel lungo periodo non è più un input
fisso) in funzione del livello di produzione. Riscriviamo, quindi, il sistema utilizzato nel punto c)
lasciando, però, indicato come q un generico livello di output.
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da cui ricaviamo le domande ottimali di K e L in funzione di q:
La curva di costo totale di lungo periodo è, quindi:
Nel lungo periodo,
.
ESERCIZIO 10 - I costi di produzione
Si consideri un’impresa con la seguente funzione di produzione:
I prezzi di mercato dei fattori sono
ed
ed il saggio marginale di sostituzione
tecnica, calcolato come rapporto tra la produttività marginale del capitale e la produttività
marginale del lavoro, è:
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a) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di breve periodo, supponendo che
nel breve periodo l’impresa sia vincolata ad utilizzare una quantità di lavoro
.
b) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di lungo periodo.
Soluzione
a) Se il fattore di produzione lavoro è fisso nel breve periodo, la funzione di produzione
diventa:
Quindi, la domanda dell’input variabile K in funzione dell’output è :
Il costo totale di breve periodo è, quindi:
Questo è il costo economico per l’impresa, ovvero il costo per l’acquisto dei fattori variabili
nel breve periodo (in questo caso il capitale). La spesa totale nei fattori comprende invece
anche il costo per il fattore che nel breve periodo è fisso per l’impresa (il lavoro), ma che
non rientra nei costi economici in quanto il fattore fisso non ha un impiego alternativo (e
quindi un costo opportunità) nel breve periodo.
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Il costo marginale e il costo medio di breve periodo sono:
b) Nel lungo periodo, tutti gli input sono variabili, quindi, per ricavare la funzione di costo di
lungo periodo, occorre determinare prima le funzioni di domanda di entrambi i fattori in
funzione dell’output:
Quindi, dato che
, il sistema diventa:
da cui si ricava che le funzioni di domanda dei due fattori in funzione del livello di
produzione sono:
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Quindi, la funzione di costo di lungo periodo è:
I costi marginali e medi associati a questa funzione di costo di lungo periodo sono:
Il fatto che i costi medi di lungo periodo sono costanti indica che la funzione di produzione
in oggetto ha rendimenti di scala costanti.
ESERCIZIO 11 - Concorrenza perfetta
In un mercato perfettamente concorrenziale operano, nel breve periodo, 50 imprese identiche
caratterizzate dalla seguente funzione di produzione:
con
e il prezzo dei fattori K e L dato da
e
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, rispettivamente.
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La funzione di domanda di mercato è:
.
Determinare:
a) l’offerta di breve periodo dell’impresa e del mercato;
b) il prezzo e la quantità di equilibrio del mercato, nonché la quantità prodotta e il profitto realizzato
dalla singola impresa nel breve periodo;
c) il prezzo e la quantità di equilibrio e il numero delle imprese operanti nel mercato nel lungo
periodo.
Soluzione
a) Per ricavare la funzione di offerta della singola impresa occorre innanzitutto determinare la
curva di costo di breve periodo di ciascuna impresa. Per fare ciò, sostituiamo il valore fisso di K
nella funzione di produzione:
Quindi, la funzione di domanda dell’input lavoro in funzione della quantità prodotta è:
La funzione di costo di breve periodo è:
Si noti che tale funzione non include il costo per il capitale, poiché nel breve periodo tale
costo, essendo appunto fisso, non entra nel novero dei costi “economici”, ma piuttosto dei
costi contabili.
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Quindi, la funzione di costo marginale di breve periodo è:
La condizione di massimizzazione dei profitti richiede nel breve periodo che
, ovvero:
Quindi, la curva di offerta di breve periodo dell’impresa i è:
Moltiplicando per il numero delle imprese presenti sul mercato nel breve periodo, otteniamo
la curva di offerta aggregata:
b) Per trovare l’equilibrio di mercato, uguagliamo domanda e offerta di breve periodo:
da cui si ottiene
e
ed i relativi profitti sono:
, mentre la quantità prodotta da ciascuna impresa è
.8
c) Poiché nel breve periodo le imprese presenti sul mercato hanno un profitto positivo, nel lungo
periodo nuove imprese decideranno di entrare sul mercato finché i profitti non si
annulleranno, ovvero finché il prezzo non sarà uguale al costo medio minimo di lungo periodo
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(questo perché deve valere anche la condizione che il prezzo sia uguale al costo marginale, ma
implica che il prezzo sia uguale al costo medio minimo, poiché il costo marginale interseca la curva
di costo medio nel suo punto di minimo).
Supponiamo che la funzione di costo di lungo periodo sia uguale a quella di breve periodo,
ovvero:
Quindi, la funzione costo medio è:
Per trovare il punto di minimo di tale curva di costo medio, uguagliamo a zero la derivata
prima rispetto a q:
da cui si ottiene
.
a cui corrisponde, sostituendo nella funzione di offerta
,
Per ricavare il numero delle imprese presenti sul mercato nel lungo periodo, determiniamo la
quantità della domanda:
In equilibrio, deve valere l’uguaglianza tra quantità domandata e quantità offerta, ovvero:
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dove
è il numero di imprese che vogliamo determinare.
Sostituiamo, quindi, il valore di
:
da cui si ottiene che:
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