Omotopia, forme chiuse e esatte Per curva intendiamo una curva

Omotopia, forme chiuse e esatte
Per curva intendiamo una curva orientata regolare a tratti. Data una curva
γ denoteremo con −γ la curva ottenuta cambiando orientazione, si ha
Z
Z
ω=− ω
per ogni forma ω
(1)
−γ
γ
Due curve γ, η tali che il punto finale di γ coincide con quello iniziale di η si
possono concatenare, la curva cosi’ ottenuta si denota con γ + η e si ha
Z
Z
Z
ω= ω+ ω
per ogni forma ω.
(2)
γ+η
γ
η
P
Theorem 0.1. Sia ω = i ωi (x) dxi una forma chiusa continua e A ⊂ RN un
aperto connesso. ω è esatta se e solo se
Z
ω=0
per ogni curva chiusa γ con supporto contenuto in A.
(3)
γ
Proof. Consideriamo scontato che l’esistenza di una primitiva implica (3). Mostriamo che se vale (3) allora ω ammette primitiva in A.
Fissiamo arbitrariamente un punto x0 ∈ A e denotiamo con x la variabile
corrente in A. Dato che A è aperto connesso esistono delle curve con supporto
contenuto in A che collegano x0 a x. Se η è una di tali curve, definiamo una
funzione u in A tramite
Z
u(x) = ω.
η
La definizione è ben posta nel senso che non dipende dalla particolare curva scelta
tra x0 e x. Se infatti ξ fosse un’altra curva contenuta in A con punto iniziale x0 e
finale x avremmo che η −ξ = η +(−ξ) è una curva chiusa contenuta in A cosicchè,
sfruttando (1), (2) e l’ipotesi
Z
Z
Z
ω− ω=
=0
η
ξ
η−ξ
Dato v ∈ RN h > 0, definiamo
γh (t) = x + tv
t ∈ [0, h]
si ha per (2) e per il Teorema del valor medio integrale, si ricordi che ω è continua
R
R
Z
ω
−
ω
1
u(x + h v) − u(x)
η+γh
η
= lim+
= lim+
ω
lim
h→0
h→0 h γ
h→0+
h
h
h
Z
1 h
= lim+
ω(x + t v)(v) dt = ω(x)(v).
h→0 h 0
1
In particolare, ponendo v = ei , i = 1, · · · , N , si ha
∂
= ωi (x)
∂xi
per ogni i,
quindi, dato che per ipotesi ω è continua, u ha tutte le derivate parziali continue e
per il Teorema del differenziale totale è di classe C 1 in A con differenziale uguale
a ω. In altri termini u è una primitiva di ω. Questo conclude la dimostrazione.
Definition 0.2. Un aperto A si dice stellato con centro x0 se
(1 − t) x0 + t x ∈ A
per ogni x ∈ A.
È chiaro che ogni aperto stellato è connesso e ogni aperto convesso è stellato
con centro un qualsiasi elemento dell’insieme.
Theorem 0.3. Sia A un aperto stellato. Ogni forma chiusa in A è esatta.
Proof. Possiamo supporre che, a meno di traslazioni, il centro della stella si 0.
Data ω chiusa in A e x ∈ A, definiamo
per t ∈ [0, 1]
γ(t) = t x
e
Z
Z
u(x) =
ω=
1
ω(t x)(x) dt.
γ
0
Applicando il teorema di derivazione sotto il segno d’integrale, otteniamo
Z 1
d
[ω(t x)(x)] dt,
Du(x) =
0 dx
utilizzando le regole di derivazione di funzioni composte, abbiamo
d
[ω(t x)(x)] = t Dω(t x)(x) + ω(t x).
dx
Riconosciamo che l’espressione di sopra è la derivata rispetto a t di
t 7→ t ω(t x),
e utilizzando il teorema fondamentale del calcolo per funzioni reali di variabile
reale, possiamo scrivere
Z 1
d
Du(x) =
[t ω(t x)] dt = [t ω(t x)]10 = ω(x).
0 dt
Questo conclude la dimostrazione.
2
Definition 0.4. Sia A ⊂ RN un aperto connesso, [a, b] un intervallo reale, due
curve γ0 e γ1 parametrizzate in [a, b], con sostegno contenuto in A e soddisfacenti
γ0 (a) = γ1 (a), γ0 (b) = γ1 (b), si dicono omotope in A se esiste una funzione
continua, detta omotopia
H : [0, 1] × [a, b] → A
soddisfacente
i) t 7→ H(s, t) è una curva per ogni s ∈ [0, 1];
ii) t 7→ H(0, t) è uguale a γ0 , t 7→ H(1, t) è uguale a γ1 ;
iii) H(s, a) = γ0 (a) = γ1 (a) e H(s, b) = γ0 (b) = γ1 (b) per ogni s.
La definizione si dà anche per γ0 , γ1 curve chiuse mantenendo le condizioni i),
ii), e sostituendo iii) con
iii’) H(b, s) = H(a, s) o, equivalentemente, t 7→ H(s, t) è una curva chiusa, per
ogni s.
Il prossimo teorema, detto Teorema di Omotopia, è il risultato centrale della
teoria, vale per qualsiasi omotopia continua. Noi ne daremo qui una versione
semplificata supponendo che l’omotopia sia di classe C 2 .
Theorem 0.5. Sia A un aperto connesso di RN e ω una forma chiusa di classe
C 1 , γ0 , γ1 due curve omotope in A con un’omotopia H : [0, 1] × [a, b] → A di
classe C 2 , o con gli stessi punti iniziali e finali oppure chiuse, allora
Z
Z
ω=
ω.
γ0
γ1
Proof. Denotiamo con γs , per s ∈ [0, 1], la curva t 7→ H(s, t), definita in [a, b].
Poniamo
Z
Z b
J(s) =
ω=
ω(γs (t))(γ̇s (t)) dt
γs
b
a
Z
=
ω(H(s, t))
a
d
H(s, t)) dt
dt
s ∈ [0, 1],
per il teorema di derivazione sotto il segno d’integrale la funzione J è derivabile
e si ha
Z b
d
d
0
J (s) =
ω(H(s, t))
H(s, t)
dt.
(4)
dt
a ds
Calcolando la derivata nella formula di sopra tramite le usuali regole di derivazione
otteniamo
d
d d
d
Dω(H(s, t)) H(s, t) ·
H(s, t) + ω(H(s, t))
H(s, t)
(5)
ds
dt
ds dt
3
utilizzando il fatto che Dω è simmetrica, dato che ω è chiusa, e la commutatività
delle derivate seconde miste di H, dovuta alla sua regolarità C 2 , otteniamo che
(5) uguaglia
d
d d
d
H(s, t) + ω(H(s, t))
H(s, t) .
Dω(H(s, t)) H(s, t) ·
dt
ds
dt ds
Riconosciamo per verifica diretta che questa espressione non è altro che
d
d
ω(H(s, t))
H(s, t)
dt
ds
per cui otteniamo da (4), applicando il teorema fondamentale del calcolo per
funzioni reali di variabile reale
b
Z b d
d
d
0
ω(H(s, t))
H(s, t)
dt = ω(H(s, t))
H(s, t)
.
J (s) =
ds
ds
a dt
a
Nel caso γ1 , γ2 abbiano stessi punti iniziali e finali, la condizione iii) della
definizione di omotopia implica
d
d
H(s, a) = H(s, b) = 0
ds
ds
per ogni s ∈ [0, 1],
(6)
nel o γ1 , γ2 siano curve chiuse, abbiamo per iii’)
H(s, a) = H(s, b) e
d
d
H(s, a) = H(s, b)
ds
ds
per ogni s ∈ [0, 1].
(7)
Ricaviamo sia da (6) sia da (7)
J 0 (s) ≡ 0
in [0, 1],
da cui si ottiene la tesi, tenuto conto della definizione di J.
Definition 0.6. Una aperto connesso A ⊂ RN si dice semplicemente connesso se
due qualsiasi curve parametrizzate nello stesso intervallo, aventi gli stessi punti
iniziali e finale e con supporto contenuto in A sono omotope tra di loro o equivalentemente ogni curva chiusa con supporto contenuto in A è omotopa a una curva
costante, cioè con supporto costituito da un punto.
Theorem 0.7. Ogni forma chiusa definita su un insieme semplicemente connesso
A è esatta in A.
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Proof. Sia ω una forma chiusa in A e γ una qualsiasi curva chiusa con supporto
contenuto in A, per definizione di insieme semplicemente connesso γ è omotopa
ad una curva costante η e per il Teorema 0.5
Z
Z
ω = ω = 0.
γ
η
In definitiva l’integrale di ω su ogni curva chiusa è nullo, ma questa è condizione
necessaria e suffciente per l’esistenza di una primitiva in base ql Teorema0.1. In
altri termini, ω è esatta in A, come si voleva dimostrare.
Antonio Siconolfi, Dipartimento di Matematica, Università di Roma “La Sapienza”.
[email protected]
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