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Torsione - Corsi di Laurea a Distanza
Comportamento meccanico dei materiali Torsione Il caso delle travi Torsione Sollecitazioni di torsione nelle sezioni circolari Sollecitazioni di torsione nelle sezioni rettangolari Sollecitazioni di torsione nelle sezioni aperte a parete sottile Sollecitazioni di torsione nelle sezioni cave a parete sottile Confronto sezioni chiuse e sezioni aperte Sezioni miste aperte e chiuse 2 © 2006 Politecnico di Torino 1 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Torsione Definizioni (1/4) c L R 4 © 2006 Politecnico di Torino 2 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Definizioni (2/4) cc’ = ∆θR c’ c L R ∆θ 5 Definizioni (3/4) γR cc’ = ∆θR c’ c L ∆θ © 2006 Politecnico di Torino R 6 3 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Definizioni (4/4) γR cc’ = ∆θR c’ dd’ = ∆θr d’ c L d r ∆θ R 7 Spostamenti e deformazioni (1/4) γR c ∆θR ∆L tan γR ≅ γR = c’ ∆θR ∆L 8 © 2006 Politecnico di Torino 4 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Spostamenti e deformazioni (2/4) γR c γr d ∆θR ∆θr c’ ∆L tan γR ≅ γR = ∆θR ∆L d’ ∆L tan γ r ≅ γ r = ∆θr ∆L 9 Spostamenti e deformazioni (3/4) γR c γr d ∆θR ∆L tan γR ≅ γR = c’ ∆θR ∆L γ ∆L γ r ∆L ∆θ = R = R r © 2006 Politecnico di Torino ∆θr d’ ∆L tan γ r ≅ γ r = ∆θr ∆L 10 5 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Spostamenti e deformazioni (4/4) γR γr c d ∆θR ∆θr c’ ∆L tan γR ≅ γR = ∆θR ∆L γ ∆L γ r ∆L ∆θ = R = R r d’ ∆L tan γ r ≅ γ r = γ γr = R r R ∆θr ∆L 11 Distribuzione delle tensioni (1/6) Legge di Hooke: τ = Gγ 12 © 2006 Politecnico di Torino 6 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Distribuzione delle tensioni (2/6) Legge di Hooke: τ = Gγ γ τ γ r = R r ⇒ τr = R r R R τR τR 13 Distribuzione delle tensioni (3/6) Legge di Hooke: τ = Gγ Rif. cartesiano γ τ γ r = R r ⇒ τr = R r R R Mz = ∫ (τ yz x − τ xz y )dA A τR τR © 2006 Politecnico di Torino 14 7 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Distribuzione delle tensioni (4/6) Legge di Hooke: τ = Gγ Rif. cartesiano τR Rif. polare γ τ γ r = R r ⇒ τr = R r R R Mz = ∫ (τ yz x − τ xz y )dA A Mz = ∫ τr rdA A τR 15 Distribuzione delle tensioni (5/6) Legge di Hooke: τ = Gγ Rif. cartesiano τR Rif. polare γ τ γ r = R r ⇒ τr = R r R R Mz = ∫ (τ yz x − τ xz y )dA A Mz = ∫ τr rdA A τ τ τ Mz = R ∫ r 2dS = R Jp = r Jp R R r S τR © 2006 Politecnico di Torino 16 8 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Distribuzione delle tensioni (6/6) Legge di Hooke: τ = Gγ Rif. cartesiano τR Rif. polare γ τ γ r = R r ⇒ τr = R r R R Mz = ∫ (τ yz x − τ xz y )dA A Mz = ∫ τr rdA A τ τ τ Mz = R ∫ r 2dS = R Jp = r Jp R R r S M τr = z r Jp τR 17 Modulo di resistenza: sez. piene (1/4) M τr = z r Jp τmax πD 4 Jp = 32 2R τmax 18 © 2006 Politecnico di Torino 9 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Modulo di resistenza: sez. piene (2/4) M τr = z r Jp τmax 2R τmax = πD 4 Jp = 32 Mz M R= z Jp Wt τmax 19 Modulo di resistenza: sez. piene (3/4) M τr = z r Jp τmax 2R τmax = Wt = Jp R = πD 4 Jp = 32 Mz M R= z Jp Wt 2Jp D = πD 3 = 2Wf 16 τmax 20 © 2006 Politecnico di Torino 10 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Modulo di resistenza: sez. piene (4/4) M τr = z r Jp τmax 2R τmax = πD 4 Jp = 32 Mz M R= z Jp Wt πD 3 = = = 2Wf Wt = R D 16 Jp τmax 2Jp τmax = Mz 16Mz = Wt πD 3 21 Modulo di resistenza : sezioni cave ( πD4 πd4 π D4 − d4 Jp = − = 32 32 32 ( ) ) π D4 − d4 = = 2Wf Wt = D 16D 2Jp d τmax D τmax © 2006 Politecnico di Torino 22 11 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Rotazione relativa (1/3) γ ∆L τr ∆L ∆θ = r = r Gr γR c’ d’ c L d r ∆θ R 23 Rotazione relativa (2/3) γ ∆L τr ∆L = ∆θ = r r Gr γR M τr = z r Jp c’ d’ c L d r ∆θ © 2006 Politecnico di Torino R 24 12 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Rotazione relativa (3/3) γ ∆L τr ∆L ∆θ = r = r Gr γR M τr = z r Jp ∆θ = Mz ∆L GJp c’ d’ c L d r ∆θ R 25 Torsione © 2006 Politecnico di Torino 13 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni rettangolari (1/6) r τp=Mzr/Jp ? 27 Sezioni rettangolari (2/6) r τp=Mzr/Jp ? 28 © 2006 Politecnico di Torino 14 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni rettangolari (3/6) τzy r τp τp=Mzr/Jp ? 29 Sezioni rettangolari (4/6) τzy τzx r τp τp=Mzr/Jp ? 30 © 2006 Politecnico di Torino 15 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni rettangolari (5/6) τyz =0 τzy τxz =0 τzx r τp τp=Mzr/Jp ? 31 Sezioni rettangolari (6/6) τyz =0 τzy τzx τxz =0 r τp τp=Mzr/Jp ? τp = 0 !!!! 32 © 2006 Politecnico di Torino 16 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sez. rettangolari: sol. approssimata (1/4) y τzy = 2Mz x Jt Jt = 1 (h − 2 ⋅ 0.3 ⋅ b )b3 3 τzy h x Mz b Jt= fattore di rigidezza torsionale 33 Sez. rettangolari: sol. approssimata (2/4) y τzy = τzy h 2Mz x Jt τmax = Jt = 1 (h − 2 ⋅ 0.3 ⋅ b )b3 3 2Mz b Mz = b Jt 2 Jt x Mz b Jt= fattore di rigidezza torsionale 34 © 2006 Politecnico di Torino 17 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sez. rettangolari: sol. approssimata (3/4) y τzy = τzy h x Mz 2Mz x Jt τmax = Jt = 1 (h − 2 ⋅ 0.3 ⋅ b )b3 3 2Mz b Mz = b Jt 2 Jt 1 h >> b ⇒ Jt = hb3 3 b Jt= fattore di rigidezza torsionale 35 Sez. rettangolari: sol. approssimata (4/4) y τzy = τzy h x Mz b 2Mz x Jt τmax = Jt = 1 (h − 2 ⋅ 0.3 ⋅ b )b3 3 2Mz b Mz = b Jt 2 Jt 1 h >> b ⇒ Jt = hb3 3 3M h >> b ⇒ τmax = 2z hb Jt= fattore di rigidezza torsionale 36 © 2006 Politecnico di Torino 18 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Rotazione sez. rettangolari Si assume che la sezione ruoti di un angolo θ: y τzy h x ∆θ Mz = ∆L GJt Mz b non restando nel contempo piana N.B. Soluzione esatta tensioni e rotazione sezioni rettangolari: Saint Venant - 1856 37 Torsione © 2006 Politecnico di Torino 19 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni aperte: modulo di rigidezza (1/5) Ipotesi: Mz = ∑ Mzi i h1 b1 ∆θ = ∆θi h2 b2 b3 h3 39 Sezioni aperte: modulo di rigidezza (2/5) Ipotesi: Mz = ∑ Mzi i ∆θi Mzi = ∆L GJti h1 b1 ∆θ = ∆θi ∆θ Mz = ∆L GJt h2 b2 b3 h3 40 © 2006 Politecnico di Torino 20 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni aperte: modulo di rigidezza (3/5) Ipotesi: Mz = ∑ Mzi i h1 b1 ∆θ = ∆θi ∆θi Mzi = ∆L GJti ∆θ Mz = ∆L GJt Mzi Mz = Jti Jt Mzi = h2 Mz Jti Jt b2 b3 h3 41 Sezioni aperte: modulo di rigidezza (4/5) Ipotesi: Mz = ∑ Mzi i h1 ∆θi Mzi = ∆L GJti ∆θ Mz = ∆L GJt Mzi Mz = Jti Jt Mzi = Mz = ∑ Mzi = i © 2006 Politecnico di Torino b1 ∆θ = ∆θi Mz ∑ Jti Jt i Mz Jti Jt h2 b2 b3 h3 42 21 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni aperte: modulo di rigidezza (5/5) Ipotesi: Mz = ∑ Mzi i h1 ∆θi Mzi = ∆L GJti ∆θ Mz = ∆L GJt Mzi Mz = Jti Jt Mzi = Mz = ∑ Mzi = i b1 ∆θ = ∆θi h2 Mz Jti Jt b2 b3 h3 Mz ∑ Jti Jt i Jt = ∑ Jti 43 Sezioni aperte: tensioni e rotazione (1/4) Jt = = h1 ∑ Jti = b1 1 ∑ 3 (hi − 0.3 ⋅ bi ⋅ mi )bi3 mi = n° estremità libere h2 b2 b3 h3 44 © 2006 Politecnico di Torino 22 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni aperte: tensioni e rotazione (2/4) Jt = = h1 ∑ Jti = b1 1 ∑ 3 (hi − 0.3 ⋅ bi ⋅ mi )bi3 mi = n° estremità libere h >> b Jt = h2 b2 b3 1 ∑ 3hibi3 h3 45 Sezioni aperte: tensioni e rotazione (3/4) Jt = = h1 ∑ Jti = b1 1 ∑ 3 (hi − 0.3 ⋅ bi ⋅ mi )bi3 mi = n° estremità libere b3 1 ∑ 3hibi3 h >> b Jt = τmax i = Mzi M bi = z bi Jti Jt © 2006 Politecnico di Torino h2 b2 h3 46 23 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni aperte: tensioni e rotazione (4/4) Jt = = h1 ∑ Jti = b1 1 ∑ 3 (hi − 0.3 ⋅ bi ⋅ mi )bi3 mi = n° estremità libere h2 b2 b3 1 ∑ 3hibi3 h >> b Jt = τmax i = Mzi M bi = z bi Jti Jt h3 ∆θ Mz = ∆L GJt 47 Torsione © 2006 Politecnico di Torino 24 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Torsione sezioni chiuse in parete sottile (1/4) linea media L q = ∫ τdt t Il flusso q è costante! O Ω t τ 49 Torsione sezioni chiuse in parete sottile (2/4) linea media L q = ∫ τdt t Il flusso q è costante! dL r Mz = ∫ dF ⋅ r = ∫ qdL ⋅ r = q ⋅ ∫ rdL O dF L L L Ω t τ 50 © 2006 Politecnico di Torino 25 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Torsione sezioni chiuse in parete sottile (3/4) linea media L q = ∫ τdt t Il flusso q è costante! dL r Mz = ∫ dF ⋅ r = ∫ qdL ⋅ r = q ⋅ ∫ rdL L O dF Ω L L ∫ rdL = 2Ω ⇒ Mz = q2Ω L t τ 51 Torsione sezioni chiuse in parete sottile (4/4) linea media L q = ∫ τdt t Il flusso q è costante! dL r Mz = ∫ dF ⋅ r = ∫ qdL ⋅ r = q ⋅ ∫ rdL L O dF Ω t τ L ∫ rdL = 2Ω ⇒ Mz L = q2Ω L q= Mz 2Ω τ= Mz 2Ωt 52 © 2006 Politecnico di Torino 26 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Rotazione sezioni chiuse in parete sottile linea media L dL r O Ω τ= Mz 2Ωt 4Ω2 Jt = dL ∫ t (L ) t = costante ⇒ t ∆θ Mz = ∆L GJt τ 4Ω2t Jt = L 53 Tensioni nei raccordi sezioni rettangolari t r s τmax = 1.74 t ⋅ τmax r 54 © 2006 Politecnico di Torino 27 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Torsione Confronto sezioni quadrate (1/7) lato = h (linea media) spessore = t 56 © 2006 Politecnico di Torino 28 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Confronto sezioni quadrate (2/7) lato = h (linea media) spessore = t Jt = 4 3 ht 3 57 Confronto sezioni quadrate (3/7) lato = h (linea media) spessore = t 4 Jt = ht 3 3 4Ω2t 4h4 t Jt = = = h3t l 4h 58 © 2006 Politecnico di Torino 29 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Confronto sezioni quadrate (4/7) lato = h (linea media) spessore = t 4Ω2t 4h4 t Jt = = = h3t l 4h 4 Jt = ht 3 3 Maz 3 Maz τ = t= Jt 4 ht 2 a 59 Confronto sezioni quadrate (5/7) lato = h (linea media) spessore = t 4 Jt = ht 3 3 4Ω2t 4h4 t = = h3t Jt = l 4h Maz 3 Maz τ = t= Jt 4 ht 2 τc = a Mcz Mc = 2z 2Ωt 2h t 60 © 2006 Politecnico di Torino 30 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Confronto sezioni quadrate (6/7) lato = h (linea media) spessore = t 4 Jt = ht 3 3 4Ω2t 4h4 t = = h3t Jt = l 4h Maz 3 Maz τ = t= Jt 4 ht 2 Mcz Mcz τ = = 2Ωt 2h2t a c ∆θa Maz 3 Maz = = ∆L GJt 4 Ght 3 61 Confronto sezioni quadrate (7/7) lato = h (linea media) spessore = t 4 Jt = ht 3 3 4Ω2t 4h4 t = = h3t Jt = l 4h Maz 3 Maz τ = t= Jt 4 ht 2 τc = a ∆θa Maz 3 Maz = = ∆L GJt 4 Ght 3 Mcz Mc = 2z 2Ωt 2h t ∆θc Mcz Mcz = = ∆L GJt Gh3t 62 © 2006 Politecnico di Torino 31 Comportamento meccanico dei materiali Torsione … a parità di momento A parità di momento Mz: τc Mcz 4ht 2 2 t Mcz 2 t = = = τa 2h2t 3Maz 3 h Maz 3 h Mcz 4Ght 3 2 Mcz 4 ⎛ t ⎞ 4⎛t⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝h⎠ Maz 3 ⎝ h ⎠ ∆θa Gh3t 3Maz ∆θ c 2 63 … a parità di momento (grafico) A parità di momento Mz: 0.35 0.3 0.25 τc/τa 0.2 0.15 0.1 ∆θc/∆θa 0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 h/t © 2006 Politecnico di Torino 32 Comportamento meccanico dei materiali Torsione … a parità di rotazione A parità di rotazione ∆θ: 2 ∆θ c 2 Mcz 4 ⎛ t ⎞ Maz 4 ⎛ t ⎞ Mcz 3 h2 = = ⇒ = ⇒ = 1 ⎜ ⎟ a a 3 ⎜⎝ h ⎟⎠ c a 3 h ⎝ ⎠ ∆θ Mz Mz Mz 4 t 2 τc 2 h Mcz 2 t 3 h2 1 h = = = ⇒ a a 2 3 t 3 h 4 2 t Mz t τ τa t 2 = h τc 65 … a parità di rotazione (grafico) A parità di rotazione ∆θ: 1.2 1 τa/τc 0.8 0.6 Maz Mcz 0.4 0.2 0 1 2 3 © 2006 Politecnico di Torino 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 h/t 33 Comportamento meccanico dei materiali Torsione … a parità di tensione A parità di tensione τ: 2 t Mcz Maz 2 t Mcz 3 h = =1⇒ c = ⇒ a = τa 3 h Maz Mz 3 h Mz 2 t τc 2 2 ∆θ a 1 h Mcz 4 ⎛ t ⎞ 4⎛ t ⎞ 3h t = =2 ⇒ c = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 3 ⎝h⎠ 2 t h 2t ∆θa Maz 3 ⎝ h ⎠ ∆θ ∆θ c 67 … a parità di tensione (grafico) A parità di tensione τ: 1.2 1 ∆θc/∆θa 0.8 0.6 0.4 Maz Mcz 0.2 0 1 2 © 2006 Politecnico di Torino 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 146815 h/t 34 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Torsione Sezioni miste aperte/chiuse (1/5) 1 2 Mz = Mz1 + Mz2 70 © 2006 Politecnico di Torino 35 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni miste aperte/chiuse (2/5) 2 1 Mz = Mz1 + Mz2 ∆θ1 ∆θ2 M M = ⇒ z1 = z2 ∆L ∆L GJt1 GJt 2 71 Sezioni miste aperte/chiuse (3/5) 2 1 Mz = Mz1 + Mz2 ∆θ1 ∆θ2 M M J = ⇒ z1 = z2 ⇒ Mz2 = Mz1 t 2 ∆L ∆L GJt1 GJt 2 Jt1 72 © 2006 Politecnico di Torino 36 Comportamento meccanico dei materiali Torsione Sezioni miste aperte/chiuse (4/5) 2 1 Mz = Mz1 + Mz2 M M J ∆θ1 ∆θ2 = ⇒ z1 = z2 ⇒ Mz2 = Mz1 t 2 ∆L ∆L GJt1 GJt 2 Jt1 ⎛ J ⎞ J + Jt 2 Mz = Mz1 ⎜1 + t 2 ⎟ = Mz1 t1 Jt1 ⎠ Jt1 ⎝ 73 Sezioni miste aperte/chiuse (5/5) 2 1 Mz = Mz1 + Mz2 M M ∆θ1 ∆θ2 = ⇒ z1 = z2 ⇒ Mz2 = Mz1 GJt1 GJt 2 ∆L ∆L ⎛ J ⎞ J + Jt 2 Mz = Mz1 ⎜⎜1 + t 2 ⎟⎟ = Mz1 t1 Jt1 ⎠ Jt1 ⎝ Mz1 = Mz Jt1 Jt1 + Jt 2 Mz2 = Mz Jt 2 Jt1 Jt 2 Jt1 + Jt 2 74 © 2006 Politecnico di Torino 37