Problemi risolti gas perfetti, calore specifico

LEZIONE 5 - 6
GAS PERFETTI, CALORE, ENERGIA TERMICA
ESERCITAZIONI 1: SOLUZIONI
Gas Perfetti
La temperatura è legata al movimento delle particelle. Un gas perfetto (ovvero che rispetta
la legge dei gas perfetti PV = nRT, dove n numero moli, R costante dei gas perfetti),
monoatomico ha velocità quadratica media pari a:
v2 r.m.s. = 3 RT/M
dove M è la massa molare (la massa di una mole di gas, cioè una quantità di gas
composta da un Numero di Avogadro NA di molecole).
Energia cinetica media delle molecole di un gas a temperatura T:
k = 3/2 kB T
dove kB è la costante di Boltzmann.
Ricordiamo che:
1 u.m.a = 1/12 massa del C12 (quindi è praticamente la massa
10-27 kg
del protone) = 1.67 x
1 mole = NA di atomi della sostanza in esame
massa molare = NA x massa di un atomo (o molecola) della sostanza
Esempio:
Idrogeno ha peso atomico 1 u.m.a; un atomo di idrogeno pesa 1.67 x 10-27 kg; 1 mole di H
ha una massa NA x 1.67 x 10-27 kg = 1.01 x 10-3 kg (1g); 1 mole di H2 ha una massa di NA x
2 x 1.67 x 10-27 kg = 2. 01 x 10-3 kg (2g).
La mole è stata introdotta in un periodo in cui non si conosceva ancora bene la struttura
dei vari atomi. A partire dalla mole e dal Numero di Avogadro è possibile ricavare il valore
dell'unità di massa atomica:
1moleC = N AatomiC = 12g
1moleH = N AatomiH = 1g
1moleC N AatomiC 12g
=
=
NA
NA
NA
1moleH N AatomiH
1g
=
=
= 1u.m.a. = 1.67 × 10 −27 kg
NA
NA
NA
La somma delle energie di tutte le molecole in un gas è detta energia interna del sistema
(U). Per un gas monoatomico, se trascuro l'energia potenziale e gli effetti vibrazionali e
rotazionali vale:
U = n 3/2 RT
Quando fornisco dell'energia a un sistema in una certa fase (es. solido) l'energia può
superare l'energia di legame fra le molecole, deterimando un cambio di fase. Questa
esergia fornita al sistema (o persa) durante un cambio di fase si chiama energia latente.
In un fluido in movimento la densità di energia connessa al moto del fluido stesso è data
da P v (pressione applicata sul fluido x volume specifico, cioè per unità di massa). Allora
l'energia totale è detta entalpia (h) e vale
h = u + Pv
Calori specifici
Si definisce calore specifico la quantità di energia per unità di massa necessaria per far
aumentare la temperatura del corpo di 1 grado:
c =
∆E
J / (kg ·°C)
(∆T ⋅ m )
Il calore specifico può essere a pressione costante cp (nel processo aumenta il volume)
oppure a volume costante cv. Per un gas ideale
cp = cv + R
Il calore specifico è legato alla variazione di energia interna e all'entalpia di un sistema.
Per un gas ideale, in particolare:
du = cv dT
dh = cp dT
Se la variazione di temperatura non è infinitesima, allora
∆u = cv, medio ∆T
Se il solido è incomprimibile cp = cv = c
∆h = cp, medio ∆T
Trasferimento di calore (energia termica)
Corpo più caldo, corpo più freddo: flusso di calore (energia termica) dal più caldo al più
freddo.
Potenza termica = variazione di calore nel tempo
•
Q = dQ/dt (J/s = W)
Nota la potenza termica posso conoscere il calore trasferito da un sistema all'altro in un
•
tempo ∆t facendo l'integrale di Q dt. Se la potenza termica è costante, allora
•
Q = Q (t) ∆t
In un sistema in cui trasferisco il calore attraverso una superficie A, il flusso di calore vale
•
•
q = Q /A (W/m2)
Primo principio termodinamica
Ein - Eout = ∆Esys (J)
•
•
E in − E out =
dE
(W)
dt
In un sistema chiuso (la massa non cambia nel tempo) avrò
•
•
E in = E out
Ein - Eout = ∆U = m cV ∆T (J)
Se ho solo variazioni di temperatura
∆U = Q = m cV ∆T
Portata di massa:
•
m = ρvA (kg/s)
Portata Volumetrica:
•
•
V =
m
ρ
= Av
•
•
In caso di flusso stazionario, m = costante mentre V = costante solo se ρ costante e la
variazione di energia in un qualunque volume è dato dalla variazione di entalpia:
•
•
Q = m c p ∆T
Conduzione del calore: legge di Fourier
•
Q COND = −kA
∆T
(il segno "-" che compare davanti alla conducibilità k è inserito per far si
∆x
•
che Q COND sia una quantità positiva.
k è la conducinilità termica del materiale. Le sue unità di misura sono W/m°C.
Convezione del calore: legge di Newton
Quando il calore viene trasportato grazie al movimento di un fluido o di un gas si parla di
convezione. La convezione può essere naturale o forzata (es. ventilatore).
Anche quando ho un cambiamento di fase si ha trasporto di calore convettivo. La legge
generale del trasporto convettivo si chiama legge di Newton e vale
•
Q CONV = hAS (T S − T ∞ )
dove AS e TS sono rispettivamente l'area e la temperatura della superficie attraverso la
quale avviene il trasporto di calore e T∞ la temperatura in un punto sufficientemente
lontano.
h (W/m2 °C) è il coefficiente di trasporto convettivo. h non è una proprietà intrinseca
del materiale: viene determinato sperimentalmente e dipende dal tipo di fluido, dalle
condizioni di flusso, dalla velocità del flusso, etc.
Numero di Nusselt: Nu = hL / k
alla conduzione.
rappresenta quanto è efficace la convezione rispetto
Se moltiplichiamo cp per la densi del materiale, ρ, otteniamo quella che viene definita
capacità termica e che indichiamo con Cp. La capacità termica rappresenta la capacita di
un materiale di immagazzinare calore per unita di volume:
Il rapporto tra conducibilità termica e caèacità termica è la velocità con cui il calore si
propaga all'interno di un materiale e si chiama diffusività termica:
α =
k
m2/s
ρC P
Irraggiamento
L'irraggiamento è l'emìnergia che viene emessa dalla materia sotto forma di onde
elettromagnetiche o fotoni come risultato di un cambio nella configurazione elettronica
degli atomi o delle molecole. A differenza della conduzione e della convezione, il
trasferimento di energia attraverso l'irraggiamento non richiede la presenza di un mezzo.
Se un corpo con suerficie a temperatura TS emette come un corpo nero allora la potenza
termica emessa è
•
Q = AS σT S4
dove AS è l'area della superficie emissiva. Questa è la legge di Stefan-Boltzmann che
descrive l'emissione di un corpo nero perfetto.
Nei casi reali l'emissione è molto meno efficiente che in un corpo nero perfetto, così che la
legge di Stefan-Boltzmann può essere generalizzata come segue:
•
Q = εAS σT S4
dove ε è un parametro compreso tra 0 e 1 chiamato emissività. Esprime, di fatto, quanto
un corpo si discosta da un corpo nero ideale quando emette radiazione.
I metalli, di solito, hanno un'emissività molto bassa (cioè sono molto riflettenti).
Nel caso in cui il corpo si trovi racchiuso in una superficie a temperatura costante allora lo
scambio radiativo fra le due superfici è dato da:
•
(
4
Q rad = σAS T S4 − Tambiente
)
Costanti
R = 8.3143 J/(mol K)
NA = 6.022 x 1023
kB = 1.38 x 10-23 J/K
σ = 5.6704 x 10-8 W/m2k4
Esercizio 1
L'Ossigeno allo stato elementare si trova in forma molecolare. Una molecola di Ossigeno è
formata da due atomi (O2). Sapendo che il peso di un atomo di Ossigeno è 0.016 kg/mol e
che R (costante dei gas pefetti) = 8.3143 J/(mol · K), calcolare:
1. la massa molare di O2
2. la velocità quadratica media (v r.m.s.) delle singole particelle in O2 ad una
temperatura T = 300K (temperatura ambiente)
3. in O2 ad una temperatura T = 220K (temperatura a 10km di quota)
Risposta:
1. 0.032 kg/mol
2. v2 r.m.s. = 3RT/M = (3 x 8.3143 x 300)/0.032 J/kg = 233839.7 J/kg = 233839 m2/s2
v r.m.s. = radq (233839 m2/s2) = 483.6 m/s
3. v2 r.m.s. = 3RT/M = (3 x 8.3143 x 220)/0.032 J/kg = 233839.7 J/kg = 171484.4 m2/s2
v r.m.s. = radq (233839 m2/s2) = 414.1 m/s
Esercizio 2
Qual'è l'energia interna (U) di 3 moli di un gas ideale monoatomico a 273K?
Si ricorda che R (costante dei gas pefetti) = 8.3143 J/(mol · K).
Sapendo che 1 caloria (cal) = 4.184 Joule, calcolare a quante kcal corrisponde l'energia
interna precedentemente valutata.
Risposta:
per un gas monoatomico l'energi interna è data dall'espressione U = n 3/2 RT, dove n è il
numero delle moli. Quindi:
U = 3 x 1.5 x 8.3143 J/(mol · K) x 273K = 10214.1 J
10214.1 / 4.184 = 2441.2 cal = 2.441 kcal
Esercizio 3
L'Azoto a temperatura ambiente è costituito da molecole biatomiche (N2) molto stabili e,
per questo, viene utilizzato, ad esempio, nella conservazione degli alimenti (atmosfera
inerte).
Calcolare per una molecola di N2:
1. la massa
2. l'energia cinetica media a una temperatura T= 200K
3. l'energia potenziale gravitazionale a una quota h = 300 m s.l.m
sapendo che:
1.
2.
3.
4.
il peso di una mole di molecole N2 è 28g
NA = 6.022 x 1023
kB = 1.38 x 10-23 J/K
accelerazione gravità (g) = 9.8 m/s2
Risposta:
poichè una mole contiene un numero di Avogadro di molecole di N2, il peso di una
molecola di N2 è 0.028 kg / NA = 4.65 x 10-26 kg.
K = 3/2 kB T = 1.5 x 1.38 x 10-23 J/K x 200 K = 4.14 x 10-21 J
Upot = m g h = 4.65 x 10-26 kg x 9.8 m/s2 x 300 m = 1.37 x 10-22 kg m2 / s2 = 1.37 x 10-22 J.
Esercizio 4
Il calore specifico medio del corpo umano cav = 3.6 kJ/(kg · °C). Se la temperatura
corporea di un uomo di 70 kg passa da 37°C a 39°C durante un'intensa attività fisica,
calcolare l'incremento di energia termica nel corpo dovuto all'incremento di temperatura.
Risposta
c =
∆E
∆T × m
Moltiplico entrambi i lati dell'uguaglianza per ∆T × m , ottenendo
∆E = c x ∆T × m = 3.6 kJ/(kg · °C) x (39-37)°C x 70 kg = 504 kJ
Esercizio 5
Il calore specifico del latte è c = 3.77 kJ/(kg · °C). Quanto latte (in ml) riesco a raffreddare
passando da 15°C a 5 °C se sottraggo 103 J di calore? Si supponga che la densità del
latte sia uguale a quella dell'acqua.
Risposta
Scopo dell'esercizio è calcolare il volume di latte che riesco a raffreddare togliendo una
certa quantità di calore nel passaggio da 15°C a 5°C.
Dal primo principio della termodinamica so che per un sistema chiuso la variazione di
energia interna di un sistema è data da:
Ein - Eout = ∆U = m cV ∆T (J)
Se si modifica solo la temperatura, la variazione di energia interna coincide con la quantità
di calore del sistema stesso. Quindi:
∆U = Q = m c ∆T
Q = -103 J = -1 kJ (il segno è negativo perché é calore che viene sottratto)
∆T = 5 -(15) = -10°C
m = Q/(c x ∆T) = 0.026 kg = 0.026 l = 26 ml