Capitolo 2 TEORIA DEL PORTAFOGLIO

Capitolo 2
TEORIA DEL PORTAFOGLIO
La teoria del portafoglio si propone di studiare il modo ottimale di distribuire la
ricchezza fra più titoli disponibili tenendo conto del rischio e del rendimento dei
singoli titoli. È necessario definire prima tali grandezze in termini finanziari.
2.1
Rendimenti incerti
Consideriamo un solo titolo e la variabile rendimento di un titolo in un intervallo di tempo che assumiamo unitario.
Un titolo di puro sconto, acquistato al prezzo P oggi, in t = 0, che vale M in
t = 1, è considerato un titolo certo, o investimento certo, non rischioso ed è
l’unico tipo di titoli che viene considerato tale.
Per esso la varianza (o rischiosità) è nulla ed il rendimento (certo) è noto:
P
M
|_______ |_______
0
1
t
P (1 + i) = M
M
M −P
−1 =
P
P
Nella teoria del portafoglio il tasso effettivo di rendimento, nel periodo considerato, viene anche indicato con r o R:
i=
R=
e chiamato rendimento.
M −P
P
2
Teoria del portafoglio
Se consideriamo invece un titolo con cedole intermedie (nell’intervallo considerato) allora il rendimento effettivo non è noto se non ex post, una volta che si
siano reinvestite le cedole e ritirato alla scadenza il capitale, pur essendo noto
il prezzo di acquisto P pagato in t = 0. Per esempio:
P
iC
iC + C
_|____ _|____ _|___
t=0
t=1
Il montante M in t = 1 (che include anche eventuali premi e reinvestimenti di
cedole) non è noto con certezza, ed ha il carattere di una variabile casuale, per
esempio
Mk = iC (1 + jk ) + (iC + C)
con probabilità pk e possiamo, quindi, considerare la v.c. rendimento del titolo,
avente le uscite
Mk − P
Rk =
P
con probabilità pk .
Definiamo rendimento atteso µ = E (Rk , pk ) il valore atteso di tale v.c.,
µ=
Rk pk
(2.1)
k
e assumiamo come misura della rischiosità del titolo, la varianza
σ 2 (Rk ) =
k
(Rk − µ)2 pk = E R2 − µ2
(2.2)
(la varianza è una misura di quanto il rendimento effettivo, Rk , che si realizza possa discostarsi, in media, dal valore atteso). Nel caso di titoli azionari
anch’essi appartenenti alla classe di attività finanziarie rischiose il rendimento
del titolo, dato il prezzo Pt al tempo iniziale t, ed il prezzo Pt+1 al tempo t + 1,
viene calcolato da:
Pt+1 − Pt + Dt+1
Rt =
(2.3)
Pt
dove Dt+1 sono i dividendi pagati tra il tempo t ed il tempo t + 1.
Esempio 1. Molto spesso per semplicità si assume che le realizzazioni possibili, Rk , siano tutte equiprobabili, non avendo sufficienti informazioni sull’effettiva probabilità pk associata a ciascuna realizzazione. I rendimenti di un titolo
3
Rendimenti come variabili casuali normali
vengono determinati utilizzando i prezzi del titolo a diverse scadenze. Per esempio, supponiamo di conoscere i prezzi di un titolo ai tempi t = 0, 1, ..., 12
mesi
P0
P1
P2
···
P12
_|____ _|____ |____ _____ _|_____
0
1
2
N = 12
possiamo quindi calcolare il rendimento mensile, assumendo che abbia le realizzazioni
R1 =
con probabilità pari a p1 =
1
N
=
1
12
P1 − P0
P0
, e in generale la realizzazione
Rk =
Pk − Pk−1
Pk−1
1
con probabilità pk = 12
, k = 1, . . . , 12.
Il rendimento atteso (mensile) del titolo è, quindi,
1
µ = E (R) =
12
12
Rk
k=1
Se vogliamo calcolare i rendimenti annui equivalenti:
ik = (1 + Rk )12 − 1
2.2
∀k
Rendimenti come variabili casuali normali
Il rendimento di un titolo rischioso può, quindi, essere trattato come una variabile casuale con valore atteso µ e varianza σ 2 . Tali parametri ci permettono
di elaborare una teoria del portafoglio per la determinazione della combinazione
ottimale dei titoli da inserire in un portafoglio di titoli rischiosi.
Un’ipotesi semplificatrice che viene frequentemente adottata nello sviluppo della teoria del portafoglio è l’ipotesi che i rendimenti costituiscano una
variabile casuale normale o gaussiana. Le variabili casuali normali sono descritte in modo completo dalle loro medie e varianze. Pertanto per ottenere un
quadro completo dei possibili rendimenti di un’attività finanziaria è sufficiente
conoscere i valori di µ e σ 2 .
4
Teoria del portafoglio
La media e la varianza di un titolo non sono le uniche misure adottate per
misurare rispettivamente il rendimento atteso e il rischio di un titolo, non
sempre infatti rappresentano misure adeguate per tali grandezze. Tuttavia se il
rendimento del titolo considerato ha una distribuzione normale allora la media
e la varianza racchiudono in forma sintetica tutte le informazioni possibili su
quel titolo.
2.3
Portafoglio di due titoli rischiosi
Supponiamo ora che un investitore scelga di investire in due titoli rischiosi A1
ed A2 , monoperiodali (della durata di un anno per fissare le idee). Facciamo poi
l’ipotesi che i titoli siano infinitamente divisibili ossia che si possa acquistare
un titolo anche solo parzialmente e quanto si realizza in t = 1 è proporzionale
a quanto si è investito in t = 0. Consideriamo allora il portafoglio che consiste
nell’investire:
x1 nel titolo A1
x2 nel titolo
A2
con
x1 + x2 = 1,
xi ≥ 0
(2.4)
dove xi è la frazione del capitale unitario che vogliamo investire nel titolo Ai (se
W è il capitale totale da investire e Wi le quote da investire nel titolo i, allora
i
xi = W
).
W
Note le caratteristiche rischio/rendimento dei singoli titoli A1 ed A2 , la
composizione del portafoglio dipende da x1 e x2 . Cambiando la composizione
l’investitore può cambiare il rendimento ed il rischio del portafoglio. Come
vedremo rischio e rendimento del portafoglio (di composizione x1 ed x2 ) si
possono esprimere in funzione delle caratteristiche di rischio e rendimento dei
singoli titoli.
Indichiamo con Ri la v.c. rendimento dei titoli:
R1 = R(1)k , p(1),k
k = 1, . . . , N1
R2 = R(2)k , p(2),k
k = 1, . . . , N2
dove
R(1)k =
M(1)k − P1
P1
Portafoglio di due titoli rischiosi
5
si realizza con probabilità p(1)k .
Essendo P1 il prezzo in t = 0 del titolo A1 ed M(1)k le realizzazioni in t = 1
con probabilità p(1)k . Analogamente per R2 . Indichiamo con R il rendimento
del portafoglio, che sarà una v.c, le cui realizzazioni dipendono da quelle dei
titoli componenti.
Se per il rendimento del titolo A1 si ha la realizzazione R(1)i e per il titolo
A2 , R(2)j, ; allora il rendimento del portafoglio di composizione (x1 , x2 ) è
x1 1 + R(1)i + x2 1 + R(2) j − (x1 + x2 )
(x1 + x2 )
= x1 1 + R(1)i + x2 1 + R(2) j − 1
= x1 R(1)i + x2 R(2) j + x1 + x2 − 1
Rij =
da cui
Rij = x1 R(1) i + x2 R(2)j
osserviamo che si poteva ottenere lo stesso risultato direttamente, considerando
di investire il capitale W in quantità W1 nel titolo A1 e quantità W2 nel titolo
A2 ottenendo
(W1 + W2 )
M(1)i + M(2)j
M1,i = W1 1 + R(1)i
_________ ____ _____________
M2,j = W2 1 + R(2)j
t=0
t=1
Rij =
M(1)i + M(2)j − (W1 + W2 )
(W1 + W2 )
=
W1 + W1 R(1)i + W2 + W2 R(2)j − (W1 + W2 )
(W1 + W2 )
=
W2
W1
R(1)i +
R(2)j = x1 R(1)i + x2 R(2)j
W
W
quindi la v.c. rendimento del portafoglio è una combinazione lineare della v.c.
rendimento dei singoli titoli ed avremo un totale di N= N1 ·N2 possibili uscite,
dal valore Rij (i = 1, · · · , N1 ; j = 1, · · · N2 ) con associata probabilità pij avendo
6
Teoria del portafoglio
indicato con pij = p R(1) i , R(2)j la probabilità che si realizzi l’evento R(1)i per
la v.c. R1 e l’evento R(2)j per la v.c. R2 , detta anche probabilità composta. Si
parla della distribuzione di probabilità composta perchè un evento è definito
dal verificarsi di una coppia di sottoeventi. Poichè almeno 1 (ed 1 solo) delle
N1 · N2 possibili coppie si realizza, dovrà essere
N1
N2
i
j
pij = 1
Osserviamo che se fissiamo l’uscita R(1)k per il primo titolo A1 , allora ponendo
N2
p(1)k =
pkj
k = 1, . . . , N1
j=1
si ha
N1
p(1)k = 1
k=1
quindi qualunque sia l’uscita del secondo titolo, p(1)k è la probabilità che il
primo titolo esca con realizzazione R(1)k . Allo stesso modo
N1
p(2)k =
pik
k = 1, . . . , N2
i=1
rappresenta la probabilità che il secondo titolo esca con realizzazione R(2)k
(qualunque sia l’uscita del primo titolo). Quindi se sono note le probabilità
composte, allora la probabilità delle realizzazioni dei singoli titoli si ottengono
da questa, sommando per riga o per colonna, avendo posto i valori pij in una
tabella
R(2)1 R(2)2 . . . R(2)N2
R(1)1
p11
p12
···
p(1)1
R(1)2
p21
p22
···
p(1)2
..
..
..
.
.
.
R(1)j
..
.
···
R(1)N1
p1N1
p(2)1
p1j
..
.
p(1)j
..
.
p(1)N1
p(2)2
···
p(2)N2
7
Portafoglio di due titoli rischiosi
Purtroppo però le probabilità composte pij non si conoscono, mentre si possono
ottenere generalmente le probabilità dei singoli titoli, ossia i valori
p(1)k
p(2)k
k = 1, . . . , N1
k = 1, . . . , N2
Fortunatamente per calcolare il rendimento atteso del portafoglio è sufficiente
conoscere le probabilità marginali p(1)k e p(2)k dei titoli componenti il portafoglio.
Infatti, considerando il rendimento atteso, E (R), che indicheremo anche con
µ, del portafoglio (con R v.c. di valori Rij con probabilità pij ) si ha:
N1
N2
µ = E (R) =
Rij pij
i=1 j=1
N1
N2
x1 R(1)i + x2 R(2)j pij
=
i=1 j=1
N1
N2
N1
=
x1 R(1)i pij +
i=1 j=1
N1
=
i=1
N2
i=1 j=1


x1 R(1)i
N2
j=1
p(1)i
= x1
x2 R(2)j pij


pij  +
R(1)i p(1)i + x2
i
N2
j=1


x2 R(2)j
N1
i=1
p(2)j


pij 
R(2)j p(2)j
j
= x 1 µ1 + x 2 µ2
(2.5)
l’equazione ottenuta:
E (R) = x1 E (R1 ) + x2 E (R2 )
ossia
µ = x1 µ1 + x2 µ2
(2.6)
8
Teoria del portafoglio
mostra come, noti i rendimenti attesi dei singoli titoli componenti il portafoglio,
il rendimento atteso del portafoglio (di composizione x1 , x2 ) sia una combinazione lineare dei due rendimenti, con coefficienti pari alla composizione
(x1 , x2 ) del portafoglio.
Il rischio del portafoglio, misurato dalla varianza σ 2 (R) del portafoglio,
dipende dalle varianze dei singoli titoli e dalle correlazioni esistenti fra i vari
titoli. La correlazione fra due variabili casuali R1 ed R2 :
R1 =
R2 =
R(1)k , p(1)k ; k = 1, . . . , N1 ,
R(2)k , p(2)k ; k = 1, . . . , N2
viene misurata mediante la covarianza fra le v.c. Vediamo intuitivamente perchè il rischio di portafoglio è sensibile alla covarianza (o correlazione) fra i vari
titoli.
Se le coppie di possibili realizzazioni R(1)i , R(2)j , aventi tutte uguale probabilità di verificarsi, sono disposte come in figura 6.1. allora diciamo che vi è
una relazione inversa fra il rendimento di R1 e quello di R2 (se R1 è alto, R2 è
probabile che sia basso, e viceversa).
Considerando un portafoglio composto da questi due titoli avremo che il rendimento atteso di portafoglio sarà relativamente stabile perchè si recupera su
un’attività (titolo 1) quello che si perde sull’altra (titolo 2).
Se esiste, invece, una relazione positiva fra i due rendimenti del tipo riportato in figura 6.2, per cui a rendimenti elevati del primo titolo corrispondono
rendimenti elevati del secondo titolo, avremo che un portafoglio costituito da
questi due titoli potrà avere un rendimento atteso molto alto (in presenza di un
andamento positivo di entrambi) o molto basso (in presenza di un andamento
sfavorevole di entrambi).
9
Portafoglio di due titoli rischiosi
Figura 6.1 Titoli negativamente correlati.
Figura 6.2. Titoli positivamente correlati.
La relazione fra due variabili casuali viene misurata mediante un indice statistico: la covarianza. Fra due v.c. (per noi i rendimenti R1 ed R2 ) la covarianza
è definita da
N1
N2
cov (R1 , R2 ) =
i=1 j=1
R(1)i − µ1
R(2)j − µ2 pij
(2.7)
10
Teoria del portafoglio
È immediato verificare la simmetria
cov (R1 , R2 ) = cov (R2 , R1 )
mentre
cov (Ri , Ri ) = σ 2i
(2.8)
infatti, dimostrandolo per i = 1, si ha:
Cov (R1 , R1 ) =
i
=
i
2
j
R(1)i − µ1
R(1)i − µ1
2
2
pij =
i
R(1)i − µ1
2
pij
j
p(1) j
= σ (R1 )
= σ 21
Dalla definizione di covarianza si vede che se vi è la probabilità che in entrambi
i titoli la realizzazione di R1 sia maggiore del suo valor atteso µ1 e quella di R2
sia maggiore di µ2, allora la covarianza sarà positiva (analogamente se vi è la
probabilità che entrambe le realizzazioni siano minori del loro valore atteso).
Al contrario, in presenza di movimenti discordanti del rendimento di ciascun
titolo rispetto al corrispondente valore medio (ad esempio è probabile che R1
sia superiore a µ1 e, contemporaneamente, R2 inferiore a µ2 , o viceversa), allora
la covarianza è negativa.
Nel caso illustrato in figura 6.1 la covarianza è < 0; mentre nel caso illustrato
in figura 6.2 la covarianza è > 0.
La covarianza, quindi, è una misura sintetica delle correlazioni esistenti fra le
coppie di rendimenti R(1)i , R(2)j . Si dice che le v.c sono non correlate ⇐⇒
cov = 0.
Per esempio, ciò succede quando le due variabili casuali sono statisticamente
indipendenti fra loro:
pij = p(1)i · p(2)j
Condizione sufficiente - ma non necessaria - perchè due v.c. abbiano covarianza nulla è l’indipendenza fra le due variabili. Può comunque accadere che
la covarianza sia nulla senza che siano statisticamente indipendenti, ed in tal
caso le variabili si dicono non correlate.
11
Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi
2.4
Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi
Vediamo ora come si calcola la varianza di un portafoglio:
N1
N2
2
σ (R) =
i=1 j=1
(Rij − µ)2 pij
i
j
=
i
j
j
2
pij
2
2
+
2x1 x2 R(1)i − µ1
= x21
i
j
+ x22 R(2)j − µ2
R(2)j − µ2
R(1)i − µ1
2
pij
pij +x22
i
j
σ 21
2x1 x2
i
pij
x1 R(1)i − µ1 + x2 R(2)j − µ2
x21 R(1)i − µ1
=
i
2
x1 R(1)i + x2 R(2)j − x1 µ1 − x2 µ2
=
j
R(2)j − µ2
2
pij +
σ 22
R(1)i − µ1
R(2)j − µ2 pij
σ 12
da cui:
σ 2 (R) = x21 σ 21 + x22 σ 22 + 2x1 x2 σ 12
(2.9)
dove σ 12 = cov (R1 , R2 ) .
Molto spesso per tenere conto della relazione esistente fra i due titoli, si fa riferimento al coefficiente di correlazione, ρ12 , indice relativo non dipendente dall’unità di misura delle variabili su cui è calcolato grazie alla relazione esistente
tra questo e la covarianza σ 12 , il coefficiente di correlazione è definito come
il rapporto fra la covarianza, σ 12 e il prodotto delle due deviazioni standard
σ 1 = σ 21 e σ 2 = σ 22 . :
ρ12 =
σ 12
−→ σ 12 = ρ12 σ 1 σ 2
σ1 σ2
(2.10)
12
Teoria del portafoglio
Il nuovo indice introdotto (il coefficiente di correlazione) è una sorta di covarianza normalizzata e varia fra −1 e 1,
ρ12 ∈ [−1, 1]
Riassumendo, dati due titoli R1 ed R2 caratterizzati ciascuno da rendimenti
medi µ1 e µ2, con rischi σ 21 e σ 22 e coefficiente di correlazione noto ρ12 , il rendimento µ, e la varianza σ 2 del portafoglio di composizione x1 ed x2 sono dati
da
µ = E (R) = x1 µ1 + x2 µ2
σ (R) = x21 σ 21 + x22 σ 22 + 2x1 x2 ρ12 σ 1 σ 2
2
(2.11)
(2.12)
Visto che cov (Ri , Ri )=σ 2i , si usa introdurre la matrice di varianza-covarianza
(simmetrica):

 2
ρ12 σ 1 σ 2
σ1

V =
2
ρ12 σ 1 σ 2
σ2
così che, posto x = [x1 , x2 ]T , la varianza di un portafoglio con composizione x
è data dalla forma quadratica associata a V :
σ 2 (R) = xT V x
Definiamo in dettaglio il luogo dei portafogli ammissibili nel piano M −V ossia
(σ 2 , µ).
In corrispondenza di ogni fissato valore della composizione (x1 , x2 ) abbiamo
una coppia di valori
2
σ =
µ = x1 µ1 + x2 µ2
+ x22 σ 22 + 2x1 x2 ρ12 σ 1 σ 2
x21 σ 21
(2.13)
e, quindi, un punto P (σ 2 , µ) del piano M − V .
Poichè deve valere il vincolo di bilancio
x1 + x2 = 1
(2.14)
(tutta la ricchezza disponibile viene investita nei due titoli), e assumiamo anche
che si possa investire solo la ricchezza disponibile, (non è possibile investire soldi
presi in prestito - vendite allo scoperto non ammesse)
xi ≥ 0
13
Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi
abbiamo un solo parametro effettivo da stimare, per esempio x2 , dato che dalla
(2.14) segue
x1 = 1 − x2
quindi l’insieme che otteniamo nel piano M − V è un insieme unidimensionale,
ossia, le (2.13) sono le equazioni parametriche di una curva:
µ = (1 − x2 ) µ1 + x2 µ2
σ = (1 − x2 )2 σ 21 + x22 σ 22 + 2 (1 − x2 ) x2 ρ12 σ 1 σ 2
2
con
(2.15)
x2 ∈ [0, 1]
Eliminando il parametro x2 troviamo l’equazione cartesiana della curva (ossia
il luogo dei portafogli ammissibili nel piano M − V ).
Dalla (2.15) osserviamo che
x2 = 0 → µ = µ1 , σ 2 = σ 21
x2 = 1 → µ = µ2
σ 2 = σ 22
quindi i due punti estremi sono i punti P1 e P2 relativi ai singoli titoli A1 ed A2
(i.e. si investe tutto nel titolo A1 per x2 = 0 e tutto nel titolo A2 per x2 = 1).
Figura 6.3. Estremi del portafoglio descritto dalla 2.15.
Al variare di x2 fra 0 e 1 otteniamo una curva che congiunge P1 con P2 . Chiamiamo A1 il titolo con varianza inferiore, ossia σ 21 < σ 22 ed assumiamo quindi
14
Teoria del portafoglio
che sia µ1 < µ2 (in quanto l’altro caso, µ1 ≥ µ2 non sarebbe realistico, o
meglio, per il criterio M − V verrebbe A1 sempre preferito ad A2 , e quindi non
si porrebbe il problema di una distribuzione del capitale fra i due titoli).
I due punti P1 e P2 sono disposti come in figura 6.3.
Discutiamo separatamente i casi particolari che si ottengono assumendo
specifiche relazioni riscontrate fra i due titoli: caso ρ = 1, ρ = −1, e ρ = 0.
2.4.1 Caso di perfetta correlazione positiva: ρ = 1
In questo caso si ha
µ = (1 − x2 ) µ1 + x2 µ2
σ = (1 − x2 )
+
+ 2 (1 − x2 ) x2 σ 1 σ 2 = [(1 − x2 ) σ 1 + x2 σ 2 ]2
(2.16)
Dobbiamo rappresentare il luogo dei portafogli nel piano (σ 2 , µ), occorre quindi
esplicitare µ = f (σ 2 ) . Dalla seconda equazione otteniamo:
2
2
σ 21
x22 σ 22
σ = (1 − x2 ) σ 1 + x2 σ 2
esplicitando x2 :
x2 =
σ − σ1
σ2 − σ1
(2.17)
(2.18)
e sostituendo nella prima equazione otteniamo:
σ − σ1
(µ − µ1 )
σ2 − σ1 2
µ1 σ 2 − µ1 σ 1 + σµ2 − σ 1 µ2 − σµ1 + µ1 σ 1
=
σ2 − σ1
µ = µ1 +
=
µ1 σ 2 − σ 1 µ2
µ − µ1
+σ 2
σ2 − σ1
σ2 − σ 1
a
(2.19)
b
che è l’equazione di una retta con coefficiente angolare b > 0, (date le ipotesi sui
punti P1 e P2 ) che dipende dalla relazione tra i rendimenti attesi e le varianze
dei due titoli, ed intercetta pari ad a. La frontiera efficiente in questo caso è
rappresentata dal segmento di retta congiungente i due punti P1 e P2 , ed è
anche il luogo dei portafogli ammissibili,
15
Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi
Figura 6.4. Caso di correlazione positiva tra i due titoli. ( ρ = +1)
2.4.2 Caso di perfetta correlazione negativa (ρ = −1).
Si ha
2
2
σ = (1 − x2 )
σ 21
+
µ = (1 − x2 ) µ1 + x2 µ2
− 2 (1 − x2 ) x2 σ 1 σ 2 = [(1 − x2 ) σ 1 − x2 σ 2 ]2
(2.20)
x22 σ 22
da cui
σ = |(1 − x2 ) σ 1 − x2 σ 2 |
ossia, essendo
(1 − x2 ) σ 1 − x2 σ 2 ≥ 0
per
x2 ≤
si ha
σ=
Per 0 < x2 ≤
σ1
σ1 + σ2

 (1 − x2 ) σ 1 − x2 σ 2

σ1
σ 1 +σ 2
− (1 − x2 ) σ 1 + x2 σ 2
per 0 < x2 ≤
per
abbiamo:
x2 =
σ1 − σ
σ1 + σ2
σ1
σ 1 +σ 2
σ1
σ 1 +σ2
≤ x2 < 1
(2.21)
16
Teoria del portafoglio
e sostituendo nelle prima equazione della (2.20) otteniamo:
µ =
=
1−
σ1 − σ
σ1 + σ2
µ1 +
σ1 − σ
µ
σ1 + σ2 2
µ − µ1
σ 2 µ1 + σ 1 µ2
−σ 2
σ1 + σ2
σ1 + σ2
a1
b1
che descrive l’equazione di una retta nel piano con coefficiente angolare (−b1 ) <
0, (essendo b1 > 0).
1
In corrispondenza di x2 = σ1σ+σ
il rischio di portafoglio è nullo, σ = 0, ed il
2
rendimento
σ 2 µ1 + σ 1 µ2
µ=
(2.22)
σ1 + σ2
Per
σ1
σ 1 +σ 2
< x2 < 1 si ha, dalla seconda in (2.21) :
x2 =
σ + σ1
σ1 + σ2
(2.23)
e sostituendo nella prima equazione della (2.20):
µ =
=
1−
σ + σ1
σ1 + σ2
µ1 +
σ + σ1
µ
σ1 + σ2 2
σ 2 µ1 + σ 1 µ2
µ2 − µ1
+
σ1 + σ2
σ1 + σ2
σ
b1
a1
otteniamo l’equazione di una retta con coefficiente angolare b1 > 0.
Il portafoglio a rischio nullo ha composizione x = (x1 , x2 ) , con
x2 =
σ1
σ1 + σ2
x1 = 1 − x2 =
σ2
σ1 + σ2
(2.24)
(2.25)
17
Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi
e rendimento atteso
µ=
µ2 σ 1 + µ1 σ 2
σ1
= µ1 +
(µ − µ1 )
σ1 + σ2
σ1 + σ2 2
In questo caso il luogo dei portafogli ammissibili è rappresentato nella figura
6.5.
Figura 6.5 Luogo delle opportunità nel caso di ρ = −1.
2.4.3 Rendimenti non correlati ρ = 0.
Nel caso in cui i rendimenti dei due titoli non siano correlati la media e la
varianza del portafoglio assume la forma:
(2.26)
µ = (1 − x2 ) µ1 + x2 µ2
σ 2 = (1 − x2 )2 σ 21 + x22 σ 22
esplicitando x2 dalla prima equazione otteniamo
x2 =
µ − µ1
µ2 − µ1
1 − x2 =
e sostituendo nella seconda si ha
σ2 =
µ2 − µ
µ2 − µ1
2
σ 21 +
µ2 − µ
µ2 − µ1
µ − µ1
µ2 − µ1
2
σ 22
σ 2 (µ2 − µ1 )2 = (µ2 − µ)2 σ 21 + (µ − µ1 )2 σ 22
(2.27)
2
2
2
2
2
2 2
2 2
= µ σ 1 + σ 2 − 2µ µ2 σ 1 + µ1 σ 2 + µ2 σ 1 + µ1 σ 2
che nel piano (σ, µ) è l’equazione di una conica, mentre nel piano (µ, σ 2 ) è
l’equazione di una parabola, fig. 6.6 riporta il grafico nel piano più usuale
(σ 2 , µ) .
18
Teoria del portafoglio
Figura 6.6. Luogo delle opportunità per ρ = 0
Cerchiamo il portafoglio di rischio minimo. Possiamo seguire due approcci
diversi:
1. Possiamo risolvere per il minimo della funzione σ 2 (x2 ) data in (2.26);
2. Risolvere per il minimo della funzione σ 2 (µ) data in (2.27)(vertice della
parabola).
Vediamo la 1, da
σ 2 = (1 − x2 )2 σ 21 + x22 σ 22
dσ 2
= −2 (1 − x2 ) σ 21 + 2x2 σ 22 = 0
dx2
(2.28)
la (2.28) si annulla per valori di x2 pari:
x∗2 =
σ 21
;
σ 21 + σ 22
e dal vincolo di bilancio (2.14):
x∗1
σ 22
= 2
σ 1 + σ 22
(2.29)
19
Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi
essendo
d2 2
σ = 2 σ 21 + σ 22 > 0
dx22
si ha che (x∗1 , x∗2 ) minimizzano σ 2 (e quindi σ) e rappresentano la composizione
del portafoglio a rischio minimo, σ ∗2
σ
∗2
σ 22
σ 21 + σ 22
=
2
σ 21
+
σ 21
σ 21 + σ 22
2
σ 22
(2.30)
che fornisce un rendimento, µ∗ :
µ∗ = µ1 +
σ 21
µ2 σ 21 + µ1 σ 22
(µ
−
µ
)
=
2
1
σ 21 + σ 22
σ 21 + σ 22
(2.31)
Seguendo il secondo approccio, da
σ 2 = µ2
σ 21 + σ 22
µ2 σ 21 + µ1 σ 22 µ22 σ 21 + µ21 σ 22
−
2µ
+
(µ2 − µ1 )2
(µ2 − µ1 )2
(µ2 − µ1 )2
σ 2 + σ 22
µ2 σ 21 + µ1 σ 22
d 2
σ = 2µ 1
−
2
dµ
(µ2 − µ1 )2
(µ2 − µ1 )2
d 2
e si verifica immediatamente che dµ
σ = 0 per µ = µ∗ , con µ∗ definito nella
(2.31) , ed è punto di minimo essendo:
d2 2
σ 21 + σ 22
σ
=
2
>0
dµ2
(µ2 − µ1 )2
La composizione del portafoglio a rischio minimo si ottiene da
x∗2 =
µ∗ − µ1
σ2
= 2 1 2,
(µ2 − µ1 )
σ1 + σ2
x∗1 = 1 − x∗2
2.4.4 Caso generico con ρ ∈ (−1, 1)
Le equazioni descritte nella (2.15) sono sempre le equazioni parametriche di una
conica nel piano (σ, µ) (e di una parabola nel piano (σ 2 , µ)) (la cui equazione
cartesiana si ottiene eliminando il parametro x2 ).
20
Teoria del portafoglio
Figura 6.7. Caso generico.
Il portafoglio di rischio minimo (quando esiste) si determina come illustrato
nel par. 6.4.3 minimizzando σ 2 (x2 ) oppure minimizzando σ 2 (µ) che si ottiene dall’equazione cartesiana, eliminando x2 dalle equazioni parametriche.
Proseguendo come si è fatto nel caso ρ = 0 si ha:
σ2 =
=
1
2 2
2 2
2 (µ − µ2 ) σ 1 + (µ − µ1 ) σ 2 + 2 (µ − µ1 ) (µ2 − µ) ρσ 1 σ 2
(µ2 − µ1 )
1
2
σ 21 + σ 22 − 2ρσ 1 σ 2
2 µ
(µ2 − µ1 )
−2µ µ2 σ 21 + µ1 σ 22 + ρσ 1 σ 2 (µ1 + µ2 ) + µ22 σ 1 + µ21 σ 22 − 2ρσ 1 σ 2 µ1 µ2
Determiniamo il portafoglio a rischio minimo calcolando la derivata di
σ 2 (x2 ) = (1 − x2 )2 σ 21 + x22 σ 22 + 2 (1 − x2 ) x2 ρσ 1 σ 2
otteniamo:
d 2
σ = −2 (1 − x2 ) σ 21 + 2x2 σ 22 + 2 (1 − 2x2 ) ρσ 1 σ 2
dx2
e
dσ 2
dx2
= 0 è soddisfatta per x = x∗2 con
x∗2 =
σ 1 (σ 1 − ρσ 2 )
+ σ 22 − 2ρσ 1 σ 2
σ 21
(2.32)
21
Vendite allo scoperto
se consideriamo la derivata seconda di σ 2 otteniamo:
d2 2
σ = 2 σ 21 + σ 22 − 2ρσ 1 σ 2 > 0
dx2
(2.33)
Infatti osserviamo che è sempre
σ 21 + σ 22 − 2ρσ 1 σ 2 > 0
per
|ρ| < 1
in quanto
σ 21 + σ 22
=ρ
(2.34)
2σ 1 σ 2
dove ρ > 1 quindi ρ < ρ (quantità maggiore di 1) è sempre soddisfatta per
ρ ∈ (−1, 1) che è il caso che ci interessa,quindi il punto descritto dalla 2.32
è un punto di minimo e vediamo che si ha x∗2 > 0 per σ 1 − ρσ 2 > 0, ossia
ρ < σσ12 (< 1) .
Un portafoglio con rischio minimo σ ∗ < σ 1 esiste per valori di ρ tali che −1 <
ρ < σσ12 .
In questi casi, la composizione del portafoglio è data da ((1 − x∗2 ) , x∗2 ), ed il
rendimento atteso da µ∗ = µ1 +x∗2 (µ2 − µ1 ) . Per valori di x2 ∈ (0, x∗2 ) si hanno
portafogli non preferiti; per valori di x2 ∈ (x∗2 , 1) si hanno i punti della frontiera
efficiente.
σ 21 + σ 22 > 2ρσ 1 σ 2
2.5
per
ρ<
Vendite allo scoperto
Fino ad ora ci siamo limitati a considerare portafogli con composizione (x1 , x2 )
ed xi ≥ 0. Possiamo eliminare questa limitazione, pur mantenendo il vincolo
di bilancio:
x1 + x2 = 1
(2.35)
ed assumere xi ∈ ℜ. È chiaro che se è, per esempio, x1 < 0 allora x2 =
1 − x1 > 1. Ma cosa significa una composizione x1 negativa? Se x1 è negativo vuol dire che il titolo A1 è “venduto allo scoperto”, il che significa che
l’operatore vende titoli che in realtà non possiede, deve prenderli in prestito
per poterli vendere e si impegna a restituirli ad una data futura, concordata.
Sostanzialmente “si indebita” per poter acquistare di più (x2 > 1) del titolo
A2 .
Per comprendere il meccanismo associato alle vendite allo scoperto ragioniamo su un semplice esempio. Consideriamo un investitore che possiede la
22
Teoria del portafoglio
quantità di denaro W e vuole investire in un mercato di due soli titoli, A e B.
Per poter investire di più nel titolo B l’investitore vende allo scoperto dei titoli
A che non possiede ma prende in prestito con l’impegno di restituirli ad una
data prefissata. In questo modo l’investitore si rivolge al detentore del titolo A
e prende in prestito una quantità di titoli pari ad un ammontare Y che rivende
subito sul mercato procurandosi così la quantità di denaro Y che gli permette
di investire complessivamente nel titolo B l’ammontare (W + Y ) .
Il prestito è denominato in unità del titolo A e non in ammontare di
denaro (Y ), l’investitore per poter vendere allo scoperto i titoli A dovrà fornire
delle garanzie al detentore dei titoli A, garanzie rappresentate, solitamente,
dal versamento di una somma precauzionale pari ad una percentuale α del
valore dei titoli presi in prestito (ad esempio per i mercati azionari statunitensi
α è pari al 50%), somma che viene comunque restituita al momento della
restituzione del prestito. A questo punto l’investitore dispone di una ricchezza
iniziale pari a W = WA + WB dove la ricchezza investita nel primo titolo è
WA = −Y mentre la ricchezza investita nel secondo titolo è WB = W + Y.
Dopo un’unità di tempo l’investitore si trova in possesso della quantità (1 + rB ) WB
derivante dal possesso del titolo B (ipotizzando che il rendimento realizzato dal
titolo B nel periodo sia misurato da rB ) ma deve restituire i titoli A che compra
sul mercato al prezzo − (1 + rA ) Y. Complessivamente si trova a disporre della
quantità
W
′
= − (1 + rA ) Y + (1 + rB ) (W + Y )
= W − rA Y + rB (W + Y )
(2.36)
ed il rendimento dell’operazione è dato da
W′ − W
Y
= rA −
W
W
Y
= rB + (rB − rA )
W
rp =
+ rB
W +Y
W
(2.37)
Si noti tuttavia che il “prestito ottenuto” si dovrà rimborsare non solo restituendo i titoli, e quindi spendendo − (1 + rA ) Y, bensì anche “pagando” il vantaggio
di poter fare questa operazione, e si dovrà quindi stare attenti che ciò non comY
ottenuto. Si nota così che se
porti un costo superiore al vantaggio (rB − rA ) W
rB > rA questa operazione è favorevole, in quanto il rendimento del portafoglio
23
Vendite allo scoperto
rp è maggiore del rendimento rB che si sarebbe ottenuto investendo la ricchezza iniziale W nel solo titolo B. E’ chiaro che se rB < rA questa operazione
è svantaggiosa (in tal caso converrebbe vendere allo scoperto il titolo B ed
investire di più in A). Si noti anche la rischiosità dell’operazione in quanto il
rendimento rA può non rimanere costante.
Notiamo che da un punto di vista formale possiamo pensare che la
ricchezza iniziale W sia così decomposta:
W = WA + WB
(2.38)
e in termini di capitale unitario a frazioni di esso investite:
W
W
WA WB
+
W
W
W +Y
Y
1 = − +
W
W
= xA + xB
=
con xA < 0 ed xB = 1 − xA > 1. Il capitale a fine periodo è così dato da
′
W = (1 + rA ) WA + (1 + rB ) WB
gli interessi
′
con rendimento
W − W = rA WA + rB WB
′
W −W
= rA xA + rB xB
(2.39)
rp =
W
come già si è trovato nella (2.37) .
L’unica differenza con l’equazione che descrive il rendimento di un
portafoglio composto da due titoli è data dal fatto che nella (2.39) xA < 0
ed xB > 1. Il vincolo di bilancio, xA + xB = 1 è comunque soddisfatto.
Per quanto riguarda il luogo dei punti ammissibili nel piano rischiorendimento, osserviamo che le curve ottenute prima, con il vincolo 2.35 vanno
ancora bene, ed eliminando il vincolo x2 ∈ [0, 1] , non dobbiamo limitarci a
considerare solo la porzione di curva compresa fra i punti P1 e P2 , ma tutta
la curva la cui equazione parametrica è data nelle (2.15), e rappresentate per
i vari casi nelle figg. 6.8, 6.9 e 6.10.
24
Teoria del portafoglio
Quello che abbiamo fatto fino ad ora è stato ”applicare il criterio M-V”
e determinare, in corrispondenza di ogni possibile scelta di portafoglio (x1 , x2 ),
qual’è la rischiosità ed il rendimento atteso del portafoglio, così da determinare
nel piano (σ, µ) o (σ 2 , µ) il luogo dei portafogli efficienti (ed in particolare il
portafoglio di rischio minimo). Fino ad ora non abbiamo ancora tenuto conto
delle preferenze individuali.
Figura 6.8. Caso ρ = 1
Figura 6.9. Caso ρ = −1
Figura 6.10. Frontiera di portafoglio nel caso di ρ ∈ −1, σσ12
Fissata la composizione (x1 , x2 ), la media e la varianza del portafoglio sono quei
determinati valori per tutti gli operatori, e dipendono solo dalle caratteristiche
25
Selezione di un portafoglio ottimale
dei titoli componenti, A1 ed A2 , che si considerano (per i quali i rendimenti
µ1 , µ2 , le varianze σ 21 , σ 22 e ρ sono delle opportune costanti). Determinata la
frontiera efficiente (qui il luogo efficiente), per determinare il portafoglio ottimale bisogna tener conto delle preferenze dei singoli investitori (per esempio
facendo uso delle curve di utilità).
2.6
Selezione di un portafoglio ottimale
Il problema dell’investitore è quello di scegliere l’allocazione di portafoglio che
conduce alla combinazione (per lui) ottimale di rischio-rendimento. Quindi occorrono informazioni precise sulle preferenze degli operatori, che supponiamo
siano rappresentate da curve di preferenza, o curve di isoutilità, nel piano
(σ, µ), e che possiamo pensare come le curve di livello di una funzione di utilità individuale G (σ, µ), o funzione di soddisfazione. Ogni operatore sceglierà
quindi la composizione che massimizza la propria soddisfazione, restringendo
l’analisi ai soli punti della frontiera efficiente.
Abbiamo già visto un criterio per determinare una funzione di utilità.
Nota una utilità del danaro u (x), la funzione
G (σ, µ) = u (µ) − σ
oppure
G (σ, µ) = βu (µ) − ασ
α, β > 0; β ∈ (0, 1)
può essere assunta come funzione di utilità nel piano (σ, µ).
Ma non è necessario partire sempre da una funzione u (x). È sufficiente che
una funzione G (σ, µ), o G (σ 2 , µ) soddisfi alcuni criteri generali che richiediamo
debbano valere per una funzione di utilità.
In particolare, le curve di isoutilità G (σ, µ) = C (costante), pensando di esplicitarle nella forma µ = F (σ, C), devono essere crescenti e convesse, dF
>
dσ
d2 F
0; dσ2 > 0, in quanto al crescere di σ, cioè aumentando il rischio, la soddisfazione resta la stessa solo se si ottiene un rendimento maggiore (da cui
F ′ > 0). Inoltre, se il rischio non è elevato, allora un piccolo aumento di
rischio sarà compensato, per l’indifferenza, da un piccolo aumento di rendimento, ma se il rischio è elevato, un aumento anche piccolo del rischio sarà
compensato, per l’indifferenza, da un maggior incremento del rendimento (da
′′
cui F > 0).
Quindi le curve sono del tipo riportato in fig. 6.11, crescenti e convesse.
26
Teoria del portafoglio
Figura 6.11. Funzioni di utilità crescente.
Osserviamo che non è possibile pensare di assumere curve di isoutilità decrescenti, del tipo riportato in fig. 6.12, in quanto si avrebbe che l’investitore
stima della stessa soddisfazione portafogli aventi basso rischio e alto rendimento e portafogli aventi alto rischio e basso rendimento contraddicendo il criterio
M −V.
Figura 6.12. Curve di isoutilità non ammissibili.
Esempi di possibili funzioni di utilità G sono i seguenti:
1. G (σ, µ) = µ − aσ,
(a > 0 costante) , in questo caso le rette di isouti-
Selezione di un portafoglio ottimale
27
lità (luogo dei punti in cui il livello di utilità rimane invariato) hanno
equazione G = c (costante), ossia µ − aσ = c e sono rette di pendenza a
ed intercetta c (fig. 6.13.).
2. G (σ, µ) = µσ le curve di isoutilità µσ = c ossia µ = cσ sono rette passanti
per l’origine con coefficiente angolare c, vedi fig. 6.14.
Figura 6.13. Curve di isoutilità. µ − aσ = c.
Figura 6.14. Curve di isoutilità, . µ/σ = c.
3. G (σ, µ) = µ − aσ 2 , a > 0
28
Teoria del portafoglio
le curve di isoutilità sono date da µ − aσ 2 = c ossia µ = aσ 2 + c che
individuano delle parabole con intercetta c, fig. 6.15.
Figura 6.15. Curve di isoutilità µ − aσ 2 = c.
4. G (σ, µ) = µ −
1
(b−σ)
(per σ < b)
b rappresenta il livello massimo di rischiosità individuale. Le curve di
isoutilità in questo caso sono determinate da:
µ−
1
1
=c, µ=
+c
b−σ
b−σ
che definiscono dei rami di iperbole con asintoto orizzontale c ed asintoto
verticale b.
29
Selezione di un portafoglio ottimale
Figura 6.16. Curve di isoutilità G = µ −
1
b−σ
.
Determinato il luogo dei portafogli ammissibili, per un investitore che è fortemente avverso al rischio, la scelta ottimale sarà prossima al portafoglio di
rischio minimo (fig. 6.17).
Figura 6.17. Portafogli ammisibili per investitori fortemente avversi al rischio.
Per un investitore mediamente avverso al rischio il portafoglio la scelta ottimale
sarà del tipo riportato in fig. 6.18.
30
Teoria del portafoglio
Figura 6.18. Caso investitore mediamente avverso al rischio.
Per un investitore poco avverso al rischio il punto scelto cadrà lontano dal
portafoglio di rischio minimo, potrebbe anche superare il punto P2 e, se fossero consentite vendite allo scoperto, la scelta ottimale potrebbe consistere
nell’investire “più di quanto si ha” nel solo titolo A2 , come in figura 6.19b.
Figura 6.19(a) Investitore propenso al rischio.
Figura 6.19(b) .Investitore fortemente propenso al r
Facciamo ancora alcune osservazioni sul problema della scelta ottimale,
individuale, del portafoglio. Supponiamo che sia nota la funzione di preferenza
G (σ, µ)
oppure G σ 2 , µ
31
Selezione di un portafoglio ottimale
Per determinare il punto della frontiera efficiente che fornisce la massima utilità non è necessario determinare prima il luogo geometrico effettivo delle frontiera efficiente, possiamo risolvere direttamente il problema di ottimizzazione.
Sappiamo che la regione ammissibile è definita dalle equazioni parametriche
µ = x 1 µ1 + x 2 µ2 = x T r
σ 2 = x21 σ 21 + x22 σ 22 + 2x1 x2 ρσ 1 σ 2 = xT V x
(2.40)
soggette al vincolo
x1 + x2 = 1
Quindi per ogni fissata composizione, x = (x1 , x2 ) , possiamo calcolare direttamente il valore di soddisfazione corrispondente:
F (x) = F (x1 , x2 ) = G (σ (x1 , x2 ) , µ (x1 , x2 ))
s.a.
x1 + x2 = 1
dove il vincolo x1 + x2 = 1 si può scrivere anche uT x = 1 dove u è il vettore di
componenti tutte uguali a uno.
Si può quindi impostare direttamente il problema di ottimo

 max F (x)
s.a.
(2.41)
 T
u x=1
e determinare direttamente il portafoglio ottimo risolvendo il problema vincolato.
In questo caso il vincolo è lineare, e può essere anche subito eliminato, riconducendo il problema ad uno di ottimizzazione libera sostituendo ovunque, per
esempio x1 = 1 − x2 , si ha
µ = (1 − x2 ) µ1 + x2 µ2
σ 2 = (1 − x2 )2 σ 21 + x22 σ 22 + 2 (1 − x2 ) x2 ρσ 1 σ 2
e, quindi, considerare
f (x2 ) = G (σ (x2 ) , µ (x2 ))
(2.42)
32
Teoria del portafoglio
e risolverlo come un problema libero:
max f (x2 )
(x2 ∈ ℜ)
(si noti che è f (x2 ) = F ((1 − x2 ) , x2 )).
Osserviamo che se la funzione di utilità G soddisfa le proprietà richieste (curve
di isoutilità crescenti e convesse) e la frontiera efficiente è rappresentata da un
ramo crescente e concavo, allora il problema di ottimo ha un’unica soluzione.
I due problemi, vincolato e libero, forniscono la stessa soluzione ottima.
Una volta risolto il problema di ottimo e determinata la composizione ottima (x1 , x2 ) che rende massima la funzione di utilità, il valore corrispondente
del rischio, σ 2 , ed il valore atteso del rendimento, µ, si calcolano dalle usuali
epressioni nella (2.40) o (2.42) .
Questo modo di procedere è certamente individuale (un operatore, convinto
della propria utilità, fa il proprio conto), mentre il riportare la frontiera efficiente nel piano (σ, µ) o (σ 2 , µ), parte comune a tutti gli operatori, è utile per
effettuare confronti (fra operatori diversi).
2.7
Portafoglio con n titoli rischiosi
(Modello di Markowitz)
Nel caso di un portafoglio con n titoli rischiosi, A1 , A2 , . . . , An , si complicano formalmente le espressioni analitiche ma concettualmente non vi è
differenza dal caso di un portafoglio di due titoli.
Supponiamo che siano assegnati n titoli rischiosi Ak , k = 1, 2, . . . , n per ciascuno dei quali sono noti i rendimenti con relative probabilità
R(k)ik ik = 1, 2, . . . , Nk
R(k)1 , R(k)2 , . . . , R(k)Nk
p(k)ik
p(k)1 , p(k)2 , . . . , p(k)Nk
ik = 1, 2, . . . , Nk
Nk
p(k)ik = 1
ik =1
e, quindi, anche il rendimento atteso
Nk
µk =
R(k)ik p(k)ik
ik =1
33
Portafoglio con n titoli rischiosi
e la varianza
Nk
σ 2k
=
ik =1
R(k)ik − µk
2
p(k)ik = E Rk2 − µ2k
o la deviazione standard
σk =
σ 2k
(2.43)
che viene usata come stima della rischiosità. Dovremo analizzare il portafoglio
(generico) che si ottiene investendo x1 lire in A1 , . . . , xn lire in An tenendo
conto del vincolo di bilancio
x1 + x2 + . . . + xn = 1
(2.44)
In forma compatta, il portafoglio di composizione x = (x1 , . . . , xn ) con il vincolo uT x = 1 dove u= (1, . . . , 1) . Osserviamo che se non mettiamo il vincolo di
non negatività x ≥ 0, significa che sono consentite vendite allo scoperto. Per
semplicità ora lo omettiamo, quindi una composizione xj < 0 significa che il
titolo Aj è venduto allo scoperto (ci impegniamo a pagarlo ad una data futura
concordata).
Ricordiamo anche le ipotesi che stanno alla base del problema in esame:
• tutti i titoli hanno la medesima durata (modello uniperiodale);
• i titoli sono infinitamente divisibili (si può così ragionare nell’investimento di 1 lira diversificata fra i vari titoli);
• sono consentite vendite allo scoperto;
• non si tiene conto dei costi di transazione o gravami fiscali (che modificano
eventualmente il rendimento);
• non esistono rischi di insolvenza (il solo rischio è misurato dalla varianza
o dalla deviazione standard);
• gli agenti sono massimizzatori di profitto (o massimizzatori dell’utilità
attesa o della soddisfazione personale);
• gli agenti sono price taker: non influenzano il prezzo dei titoli ed il
mercato (esiste una base oggettiva per tutti che è la frontiera efficiente);
34
Teoria del portafoglio
• il mercato è coerente (assenza di arbitraggio, nel calcolare i rendimenti);
• la distribuzione dei rendimenti di ogni titolo è di tipo Normale con media
µ e varianza σ 2 ;
′′
• si è in presenza di investitori avversi al rischio (u (x) < 0).
Vediamo quanto vale il rendimento atteso di un portafoglio di composizione x =
(x1 , x2 , . . . , xn ). Analogamente al caso con due soli titoli, si trova che il rendimento atteso di portafoglio µ (x), è una combinazione lineare dei rendimenti
attesi dei singoli titoli:
µ (x) = x1 µ1 + x2 µ2 + . . . + xn µn
= rT x
(2.45)
dove r = (µ1 , . . . , µn ) .
Per quanto riguarda la varianza σ 2 (x), del portafoglio di composizione x ci
aspettiamo che, analogamente al caso con due titoli, intervengano le covarianze
dei titoli a due a due. Supponendo che siano note le probabilità congiunte per
i titoli a due a due, (Ar , As ), ossia
p R(r)ir , R(s)is
ir = 1, . . . , Nr ; is = 1, . . . , Ns
per cui si ha
Nr
Ns
cov (Ar , As ) =
ir =1 is =1
R(r)irk − µr
R(s)is − µs p R(r)ir R(s)is = σ r,s
potremo disporre le varianze e le covarianze degli n titoli in una matrice V ,
detta matrice di varianza-covarianza, con
V (i, i) = cov (Ai , Ai ) = σ 2i
V (i, j) = V (j, i) = cov (Ai , Aj ) = σ i,j
potremmo, anche, introdurre i coefficienti di correlazione a 2 a 2:
ρi,j =
cov (Ai , Aj )
σiσj
(2.46)
35
Portafoglio ottimo
così che si possa scrivere anche
σ ij = cov (Ai , Aj ) = ρij σ i σ j
(2.47)
La matrice V (quadrata di ordine n) è ovviamente simmetrica, e noi assumeremo che sia anche definita positiva.
La varianza del portafoglio di composizione x = (x1 , x2 , . . . , xn ), analogamente
al caso di due titoli, risulta essere la forma quadratica associata alla matrice
di varianza-covarianza V :
σ 2 (x) = xT V x
n
=
Vij xi xj
(2.48)
i,j=1
e la deviazione standard del portafoglio è
σ (x) =
σ 2 (x)
(2.49)
Riassumendo, note le caratteristiche dei singoli titoli A1 , A2 , . . . , An per il
portafoglio di composizione x = (x1 , x2 , . . . , xn ) si ha:
 2
σ (x) = xT V x



µ (x) = rT x
(2.50)
s.a.


 T
u x=1
dove r = (µ1 , µ2 , . . . , µn ) , Vij = cov (Ai , Aj ) = σ ij ; u = (1, . . . , 1) .
2.8
Portafoglio ottimo
Se supponiamo che un investitore abbia una data funzione di preferenza individuale G (σ, µ) o G (σ 2 , µ) da massimizzare, potremo risolvere direttamente il
problema di ottimo, per determinare il portafoglio di massima soddisfazione:

 max F (x1 , . . . , xn ) = G (σ (x1 , . . . , xn ) , µ (x1 , . . . , xn ))
s.a.

i xi = 1
oppure eliminare il vincolo di uguaglianza e risolvere un problema libero in
(n − 1) variabili.
36
Teoria del portafoglio
Esempio 2. Se l’operatore assume G (σ, µ) = µ − aσ 2 si avrà

 max F (x1 , . . . , xn ) = rT x − axT V x
s.a.
 T
u x=1
ed essendo V definita positiva, −V è definita negativa, ed il problema di
massimo ha un’unica soluzione che definisce il portafoglio ottimo.
Inoltre, essendo la funzione obiettivo concava ed il vincolo lineare, il problema
è di ottimizzazione convessa così che le condizioni del I ordine sono necessarie
e sufficienti per risolvere il problema.
Consideriamo la lagrangiana
L (x, λ) = rT x − axT V x − λ uT x − 1
(2.51)
per le condizioni del I ordine, ∇L = 0 fornisce
∇x L = 0
;
∇λ L = 0
r − 2aV x − λu = 0
uT x = 1
dalla prima equazione ricaviamo
2aV x = r − λu
1 −1
x =
V (r − λu)
2a
e sostituendo nella seconda:
1 T
u −λV −1 u + V −1 r = 1
2a
−λuT V −1 u + uT V −1 r = 2a
λ∗ =
uT V −1 r − 2a
uT V −1 u
e, quindi,
x∗ = −
= −
1 ∗ −1
1
λ V u + V −1 r
2a
2a
(2.52)
1 uT V −1 r − 2a −1
1
V u + V −1 r
T
−1
2a u V u
2a
(2.53)
Portafoglio ottimo
37
Come già si è visto nel caso di due titoli, conviene a volte risolvere la “parte
tecnica” comune a tutti gli investitori, e determinare nel piano (σ, µ) o (σ 2 , µ)
la regione dei portafogli ammissibili e la frontiera efficiente (luogo dei portafogli
efficienti).
Nell’ipotesi che siano ammesse le vendite allo scoperto, xi qualsiasi, per determinare il luogo dei portafogli ammissibili si procede nel modo seguente:
per ogni fissato livello di rendimento µ = Π (costante fissata), cerchiamo il
portafoglio di rischio minimo, ossia il vettore x∗ (Π) che minimizza la varianza,
soluzione del problema di ottimo

min σ 2 (x) = xT V x



s.a.
(2.54)
rT x = Π


 T
u x=1
Anche questo è un problema di ottimizzazione vincolata convessa, la cui soluzione
x∗ (Π) è già stata calcolata esplicitamente (nel paragrafo 4.7).
Un punto (σ 2 (x∗ (Π)) , µ (x∗ (Π))) è, quindi, un punto della frontiera
della regione D dei portafogli ammissibili, alla cui destra stanno i portafogli
di D. Al variare di Π si ottiene tutta la frontiera di D, e si è già visto che nel
piano (σ 2 , µ) tale frontiera è una parabola di vertice σ 2m = β1 ; µm = βγ , fig.
6.20.
Figura 6.20. Frontiera efficiente.
38
Teoria del portafoglio
dove posto
α = rT V −1 r
β = uT V −1 u
i valori di ottimo
γ = rT V −1 u = uT V −1 r
δ = αβ − γ 2 > 0
1
(Πβ − γ) V −1 r + (α − γΠ) V −1 u
(2.55)
δ
1 2
σ 2 (x∗ (Π)) =
Π β − 2γΠ + α
(2.56)
δ
sono già stati calcolati precedentemente alla fine del paragrafo 4.6).
Come vedremo,
interessa anche riportare la frontiera efficiente nel piano (σ, µ)
√
2
con σ = σ deviazione standard. In tal caso le equazioni date sopra forniscono, per frontiera della regione D nel piano (σ, µ), un arco di iperbole (fig.
6.21), dove
1
γ
σ m = σ 2m =
,
µm =
(2.57)
β
β
x∗ (Π) =
Figura 6. 21. Frontiera efficiente nel piano ( σ, µ).
39
Proprietà della frontiera efficiente
2.9
Proprietà della frontiera efficiente
È immediato vedere che nel problema di ottimizzazione risolto prima, la soluzione
ottima x∗ (Π) è una funzione affine di Π. Infatti è
$
! −1
" #
−1
−1
−1
βV
r
−
γV
u
u
−
γV
r
αV
x∗ (Π) = Π
+
δ
δ
y
z
ossia
x∗ (Π) = Πy + z
(2.58)
quindi, se
x1 = Π1 y + z
è soluzione ottima corrispondente al rendimento Π1 (con varianza σ 21 ) e
x2 = Π2 y + z
è soluzione ottima corrispondente al rendimento Π2 (con varianza σ 22 ), allora la
soluzione ottima corrispondente al rendimento (combinazione lineare convessa)
Π = aΠ1 + (1 − a) Π2
(2.59)
x∗ = ax1 + (1 − a) x2
(2.60)
è data da
Infatti è
ax1 = aΠ1 y + az
(1 − a) x2 = (1 − a) Π2 y + (1 − a) z
e, quindi
ax1 + (1 − a) x2 = (aΠ1 + (1 − a) Π2 ) y + z
= Πy + z
= x∗
Si è con ciò dimostrato il seguente
40
Teoria del portafoglio
Teorema 6.1. Portafoglio di frontiera con vendite allo scoperto consentite.
Se sono consentite vendite allo scoperto, qualunque combinazione lineare convessa di portafogli di frontiera è ancora un portafolgio di frontiera.
O, più esplicitamente se sono consentite vendite allo scoperto, dati x1 e
x2 , due portafogli di frontiera con rendimenti attesi Π1 e Π2 , per ogni a ∈ ℜ
x∗ = ax1 + (1 − a) x2
(2.61)
è il portafoglio di frontiera corrispondente al rendimento atteso
Π = aΠ1 + (1 − a) Π2
Da questa proprietà segue immediatamente la seguente proposizione: Tutti i
portafogli di frontiera si possono ottenere a partire da due qualunque di essi.
Infatti, noti due portafogli di frontiera x1 ed x2 corrispondenti ai rendimenti attesi Π1 e Π2 , per determinare la soluzione ottima corrispondente al rendimento
atteso di livello µ è sufficiente determinare il valore a tale che
µ = aΠ1 + (1 − a) Π2
(2.62)
ossia
a=
µ − Π2
Π1 − Π2
1−a =
Π1 − µ
Π1 − Π2
e si ha immediatamente
x∗ = ax1 + (1 − a) x2
Si noti, tuttavia, che la relazione intercorrente fra i corrispondenti valori di
varianza, σ 2 (x∗ ) e σ 21 = σ 2 (x1 ) , σ 22 = σ 2 (x2 ), non è lineare. Infatti si ha:
σ 2 (x∗ ) =
=
=
=
x∗T V x∗
(ax1 + (1 − a) x2 )T V (ax1 + (1 − a) x2 )
a2 xT1 V x1 + 2a (1 − a) xT1 V x2 + (1 − a)2 xT2 V x2
a2 σ 21 + 2a (1 − a) xT1 V x2 + (1 − a)2 σ 22
Portafogli che includono un’attività non rischiosa
2.10
41
Portafogli che includono un’attività non rischiosa
Osserviamo subito che insieme ai titoli rischiosi (n ≥ 1 come vedremo) consideriamo solo un titolo non rischioso. Questo perchè nel caso monoperiodale
in cui ci siamo messi non ha senso considerare più titoli non rischiosi (da attivare oggi e scadenti fra un periodo), in quanto, valutati quelli oggi disponibili,
la nostra preferenza cadrà sicuramente su quel titolo certo che ha il massimo
rendimento (tasso effettivo di rendimento). Sia questo il titolo non rischioso N
che consideriamo, la cui varianza è quindi nulla, σ f = 0, ed il cui rendimento
certo è un determinato valore Rf ∗ .
2.11
Portafogli con un titolo rischioso ed un titolo certo
Supponiamo che nel mercato sia possibile effettuare operazioni di debito o
credito esenti da rischio ad un tasso effettivo di rendimento (nel periodo fissato)
Rf . Investendo un capitale C in tale titolo non rischioso N, a fine periodo si
avrà il montante C (1 + Rf ).
Supponiamo che sia disponibile anche un titolo rischioso A, con varianza σ 2A e
rendimento atteso µA .
Figura 6.22. Presenza di un titolo non rischioso.
Si indica solitamente il rendimento ed il rischio del titolo privo di rischio con il pedice
f , in conformita’ alla notazione anglosassone in cui il titolo privo di rischio viene indicato
con risk free asset. Di qui Rf e σf .
∗
42
Teoria del portafoglio
È naturale richiedere
µA > Rf
altrimenti opteremmo per il titolo non rischioso, per il criterio M − V e non
vi sarebbe il problema della diversificazione del portafoglio (per aumentare il
rendimento atteso).
Consideriamo allora il portafoglio ottenuto investendo xf lire nel titolo N e
(1 − xf ) nel titolo A, otteniamo un portafoglio (xf , 1 − xf ) avente rendimento
atteso
µ = xf Rf + (1 − xf ) µA
(2.63)
e varianza
σ 2 = x2f σ 2f + (1 − xf )2 σ 2A + 2xf (1 − xf ) σ f σ a ρAf
= (1 − xf )2 σ 2A
(2.64)
in quanto la varianza del titolo certo è nulla. Inoltre, anche la covarianza tra un
titolo certo ed un titolo rischioso è sempre nulla
ij (Ri − µA ) (Rf − Rf ) pij = 0 .
Dalla 2.64 si deduce la deviazione standard
(2.65)
σ = (1 − xf ) σ A
Eliminando il parametro xf dalle equazioni (2.63) e (2.65) otteniamo il luogo,
nel piano (σ, µ), dei portafogli ammissibili.
Essendo
σ
σ
(1 − xf ) =
e xf = 1 −
σA
σA
si ottiene
µ =
1−
= Rf −
σ
σA
Rf +
σ
µ
σA A
Rf − µA
σ
σA
ossia
µA − R f
σ
(2.66)
σA
che è l’equazione di una retta nel piano (σ, µ), la retta congiungente i due punti
rappresentantivi di N ed A (ed è anche frontiera efficiente).
µ = Rf +
43
Portafogli con un titolo rischioso ed un titolo certo
Figura 6.23 Frontiera efficiente in presenza di un titolo privo di rischio.
La (2.66) è l’equazione della frontiera efficiente di un portafoglio composto da
un titolo privo di rischio ed un titolo rischioso (fig. 6.23). La quantità Rf
viene chiamata “premio per il tempo” (investendo in un titolo privo di rischioµ −R
ad esempio un BOT- si è premiati per l’attesa) mentre il coefficiente m = AσA f
rappresenta il “premio per il rischio” e misura l’incremento di rendimento ∆µ
corrispondente ad un incremento unitario di rischiosotà (∆σ = 1). A seconda
delle curve di isoutilità si avrà la scelta del portafoglio ottimo (che massimizza
l’utilità G (σ, µ)).
La soluzione ottima è, geometricamente, un punto (σ ∗ , µ∗ ) di tangenza, e,
dovendo appartenere alla retta, soddisfa
µ∗ =
µA − R f
σA
allora
x∗f = 1 −
σ ∗ + Rf
σ∗
σA
è la quantità investita nel titolo N, e
1 − x∗f =
è la quantità investita in A.
σ∗
σA
(2.67)
(2.68)
44
Teoria del portafoglio
Se il punto di tangenza è sopra A, ossia σ ∗ > σ A , allora x∗f < 0: è più conveniente vendere allo scoperto il titolo certo ed investire di più nel titolo rischioso
A che fornisce un rendimento maggiore.
2.12
Portafogli con n titoli rischiosi ed 1 non rischioso (CAPM,
Capital Asset Pricing Model)
Come si è visto, nel piano (σ, µ) il luogo dei portafogli efficienti corrispondenti
ad un titolo non rischioso N ed un titolo rischioso A, è costituito da una retta,
congiungente i punti rappresentativi dei due titoli.
A questo semplice risultato, e anche molto rilevante, si perviene anche quando
dobbiamo diversificare il capitale fra un titolo N e diversi (n) titoli rischiosi.
In tal caso il ruolo del titolo A viene svolto da un particolare portafoglio degli
n titoli rischiosi, detto portafoglio di mercato, M, che è lo stesso per tutti gli
operatori razionali.
Consideriamo n titoli rischiosi A1 , A2 , . . . , An e supponiamo note le caratteristiche dei singoli titoli, r = (µ1 , µ2 , . . . µn ) i rendimenti attesi e V la matrice
(n × n) di varianze-covarianze. Per un portafoglio p di composizione y =
(y1 , y2 , . . . , yn ), ni=1 yi = 1, si ha quindi rendimento atteso
µp = r T y
(2.69)
σ 2p = y T V y
(2.70)
e varianza
e l’analisi oggettiva che ogni operatore può fare porta alla determinazione della
frontiera (efficente) della regione ammissibile che già abbiamo visto. Per esempio, nel piano (σ, µ) si ottiene un ramo di iperbole del tipo di fig. 6.24.
Portafogli con n titoli rischiosi ed 1 non rischioso (CAPM, Capital Asset Pricing Model) 45
Figura 6.24. Frontiera efficiente nel piano ( σ, µ).
Con i soli titoli rischiosi non è possibile comporre un portafoglio che abbia
un livello di rischiosità inferiore al valore minimo σ m (in termini di deviazione
standard, o di σ 2m in termini di varianza) (perchè tutti i punti della regione
ammissibile hanno varianza maggiore).
Se invece è disponibile un’attività non rischiosa N con tasso effettivo di rendimento Rf , e varianza nulla, allora combinando gli (n + 1) titoli è possibile
ampliare la regione ammissibile ed avere dei portafogli con rischisità inferiore
a σm.
Per motivi analoghi a quelli visti prima nel caso di due titoli, è lecito assumere
che sia
Rf < µm
(altrimenti optiamo sicuramente per investire tutto nel titolo certo e non si
pone il problema di diversificare il portafoglio per aumentare il rendimento).
Consideriamo il portafoglio costituito dagli (n + 1) titoli in cui investiamo xf
nel titolo certo N, ed xi nei titoli Ai , con il vincolo
xf + x1 + x2 + . . . + xn = 1
(2.71)
il rendimento atteso è dato da
n
µ = xf Rf +
x i µi
i=1
(2.72)
46
Teoria del portafoglio
e la varianza da
σ 2 = xT V x
(2.73)
dove x = (x1, x2, . . . , xn ) e V è la matrice (n × n) di varianze-covarianze degli
n titoli rischiosi. Dovendo essere
n
i=1
poniamo
yi =
così che
xi = 1 − xf
xi
(1 − xf )
i = 1, . . . , n
n
yi = 1
i=1
e
xi = (1 − xf ) yi
i = 1, . . . , n
in tal modo il rendimento (2.72) e la varianza (2.73) del portafoglio si riscrivono
come
n
µ = xf Rf + (1 − xf )
y i µi
(2.74)
i=1
µp
σ 2 = (1 − xf )2 y T V y
(2.75)
σ 2p
dove intervengono il rendimento µp e la varianza σ 2p di un generico portafoglio
costituito dagli n titoli rischiosi A1 , A2 , . . . , An di composizione (y1 , . . . , yn ) con
n
i=1 yi = 1. Inoltre, da (2.75), la deviazione standard è
σ = (1 − xf ) σ p
σp =
yT V y
ed eliminando il parametro xf fra le equazioni (2.74) e (2.76):
µ = xf Rf + (1 − xf ) µp
σ = (1 − xf ) σ p
(2.76)
Portafogli con n titoli rischiosi ed 1 non rischioso (CAPM, Capital Asset Pricing Model) 47
si ottiene
(1 − xf ) =
σ
;
σp
xf = 1 −
σ
σp
ed, infine
µ=
µp − Rf
σp
σ + Rf
che nel piano (σ, µ) è l’equazione di una retta, congiungente il punto (0, Rf ) del
titolo N con un qualsiasi punto σ p , µp della regione ammissibile del problema
con soli n titoli rischiosi (fig. 6.25).
Figura 6.25. Frontiera efficiente titoli rischiosi e titolo privo di rischio.
Quindi la regione ammissibile si è ampliata, è un cono di vertice (0, Rf ), nel
titolo N , e la frontiera efficiente è ora una retta: la retta L uscente dal punto
(0, Rf ) e tangente al ramo di iperbole della frontiera efficiente ℑ relativa ai soli
titoli rischiosi. Il punto di tangenza, sia (σ m , µm ) è quello che corrisponde al
portafoglio detto di mercato, m, (o portafoglio aleatorio ottimo, optimal portfolio of risky assets). Sia (y1m , y2m , . . . , ynm ) la composizione del portafoglio di
mercato, avente rendimento atteso µm e varianza σ 2m , rappresentante il punto
di tengenza fra la retta L e la frontiera efficiente ℑ del problema avente solo
i titoli rischiosi. La nuova frontiera efficiente, la retta L, è la congiungente il
titolo N con il punto rapppresentativo di m, ed è come se ci fossimo ricondotti
al problema di investire xf lire nel titolo certo N e (1 − xf ) lire nel portafoglio
m con redimento µm e varianza σ 2m (che svolge lo stesso ruolo del titolo A
48
Teoria del portafoglio
nel caso semplice di due titoli visto prima). Il portafoglio m di composizione
(y1m , . . . , ynm ) svolge quindi un ruolo molto particolare, mostra un comportamento che è comune a tutti gli operatori. Infatti fra tutti i portafogli rischiosi
possibili essi ripartiscono tutti la loro ricchezza nei titoli rischiosi in proporzione
al portafoglio di mercato. In questo consiste il teorema di separazione: gli investitori individuano il portafoglio m (ed il punto (σ m , µm )), e solo successivamente risolvono il problema di investire xf in N ed (1 − xf ) in m, quindi la
proporzione dei titoli rischiosi da inserire in portafoglio m viene determinata
indipendentemente dalle preferenze degli investitori. Quanto investire, ossia la
scelta ottima di xf , dipenderà poi solo dalla particolare avversione al rischio
(individuale), ma una volta determinato xf (da investire nel titolo certo) la
composizione del portafoglio di n titoli rischiosi è
(1 − xf ) y1m , (1 − xf ) y2m , . . . , (1 − xf ) ynm
in cui si vede che la scelta di xf cambia con l’investitore mentre i valori
(y1m , . . . , ynm ) del portafoglio di mercato sono gli stessi per tutti gli operatori.
µ=
µm − Rf
σm
σ + Rf
(2.77)
La (2.77) è l’equazione della frontiera efficiente detta anche linea critica o retta
di mercato (capital market line). La retta di mercato è quindi una frontiera
efficiente molto particolare (rappresenta le preferenze di tutti gli operatori e la
tendenza del mercato), ed anche la sua pendenza è particolare,
θ∗ =
µm − Rf
σm
(2.78)
prende il nome di prezzo di mercato del rischio infatti fornisce il premio, incremento di rendimento corrispondente ad un incremento unitario di rischiosità
∆σ = 1 (in deviazione standard) per i portafogli efficienti. Ossia, θ∗ rappresenta il premio al rischio per unità di rischio assunta dall’investitore, lungo la
retta di mercato.
La retta fornisce una relazione oggettiva, valida per tutti gli investitori.
dice infatti che ogni portafoglio composto razionalmente con i titoli disponibili,
deve avere rendimento atteso uguale al tasso Rf (non rischioso) maggiorato
della quantità σθ ∗ , dove σ rappresenta la propensione al rischio dell’investitore.
49
Vendite allo scoperto non ammesse
Non abbiamo ancora visto come determinare il portafoglio di mercato. Sappiamo che la regione ammissibile è costituita da rette uscenti dal punto Rf e
congiungenti N con i punti P della regione delimitata da ℑ (frontiera efficiente
nel problema di n titoli rischiosi). Le rette di pendenza
θp =
µp − Rf
σp
(2.79)
variano quindi al variare del punto P nella regione delimitata dal ramo di iperbole. Il punto di tangenza (che individua il potafoglio di mercato) corrisponde
quindi alla retta che ha pendenza θp massima, inoltre, poichè Rf < µm (vertice) e la frontiera è un ramo di iperbole, abbiamo che la retta ha un solo punto
di tangenza. Possiamo allora risolvere il seguente problema di ottimo: determinare (y1m , y2m , . . . , ynm ) (composizione del portafoglio di mercato, che esiste
ed è unico) come soluzione del problema

n
µp −Rf
i=1 yi µi −Rf

 max σp = √ V y y
ij
s.a

 n
i=1
2.13
ij i j
yi = 1
Vendite allo scoperto non ammesse
Quando non sono consentite vendite allo scoperto, il modello di Markowitz per
determinare la composizione (x1 , . . . , xn ) di un portafoglio di n titoli rischiosi,
si complica formalmente in quanto si devono introdurre i vincoli di nonegatività
xi ≥ 0.
Un portafoglio di composizione (x1 , . . . , xn ) ha sempre valore atteso del rendimento
µ (x) = rT x
e varianza
σ 2 (x) = xT V x
ma ora si devono considerare i vincoli:
uT x = 1
x≥0
50
Teoria del portafoglio
Per determinare la frontiera della regione ammissibile D procediamo come prima, fissato un livello di rendimento Π (compreso fra il minimo ed il massimo dei
rendimenti attesi dei singoli titoli rischiosi), risolviamo il problema di ottimo

min xT V x




 s.a.
rT x = Π
(2.80)

T

u x=1



x≥0
la cui risoluzione è ora più complessa, in generale. Utilizzando le condizioni di
Kuhn-Tuker per la lagrangiana del problema
L = xT V x − λ1 rT x − Π − λ2 uT x − 1 − vT x
dove λ1 , λ2 e v = (v1 , v2 , . . . , vn ) sono moltoplicatori di Lagrange, le condizioni
diventano:

2V x − λ1 r − λ2 u − v = 0


 T

 r x=Π
uT x = 1


v x = 0 ∀i


 i i
x ≥ 0; v ≥ 0
(2n + 2) equazioni nelle (2n + 2) incognite x1 , x2 , . . . xn , λ1 , λ2 , v1 , . . . , vn .
O anche (eliminando vi usando la prima equazione):

 xi [2V x − λ1 r − λ2 u]i = 0
rT x = Π
 T
u x=1
In ogni caso, tutta la regione D ammissibile (o luogo delle opportunità) è
rappresentata nel piano (σ 2 , µ) dalle equazioni
 2
σ = xT V x





µ = rT x


uT x = 1



x≥0
51
I vantaggi della diversificazione
la cui frontiera nel piano (σ 2 , µ) è una curva costituita da archi di parabole,
è quindi differenziabile con continuità eccetto che in un numero finito di punti, detti vertici (corner portfolios) che collegano fra loro archi appartenenti a
parabole diverse, ed ogni arco appartiene alla frontiera della regione ammissibile di un sottoinsieme degli n titoli.
Figura 6.26. Frontiera efficiente in assenza di vendite allo scoperto.
2.14
I vantaggi della diversificazione
Per comprendere i vantaggi derivanti dalla costruzione di portafogli composti
da n attività rischiose rispetto all’investimento in singole attività analizziamo
più attentamente le caratterstiche della varianza di portafoglio, σ 2p , data da:
N
σ 2p
N
x2i σ 2i
T
=x Vx =
i=1
N
+
xi xj σ ij
(2.81)
i=1 j=1
i=j
Consideriamo prima il caso in cui tutti i titoli siano fra loro indipendenti e la
covarianza sia nulla, σ ij = 0, in questo caso la (2.81) diventa:
N
σ 2p
x2i σ 2i
=
i=1
(2.82)
52
Teoria del portafoglio
ipotizziamo di investire la stessa quantità xi in ciascuna delle N attività
finanziarie, pertanto xi = N1 , in questo caso la (2.82) diventa
N
σ 2p =
i=1
1
N
2
1
σ 2i =
N
#
N
i=1
1 2
σ
N i
$
dove il termine fra parentesi quadra rappresenta una valore medio, σ 2 , essendo
la media delle varianze dei titoli compresi in portafoglio. Possiamo scrivere
σ 2p =
1 2
σ
N
e studiarne il comportamento per N che diventa arbitrariamente grande:
1 2
σ =0
N→∞ N
lim σ 2p = lim
N→∞
Ciò implica che se sul mercato sono disponibili un gran numero di titoli indipendenti fra loro si può costruire un portafoglio con varianza molto bassa ed
al limite tendente a zero.
In generale, nella maggior parte dei mercati azionari ciò non accade, al
contrario ci troviamo in presenza di titoli che presentano covarianza positiva.
In questo caso il rischio di portafoglio non può essere annullato ma si può
ottenere un portafoglio la cui varianza è inferiore alla varianza di ciascun titolo
compreso nel portafoglio. In particolare, consideriamo nella 2.81 di investire
uguale ammontare xi = N1 in ciascun titolo:
N
σ 2p
=
i=1
1
N
N
N
2
σ 2i
1
N
+
i=1 j=1
i=j
1
N
σ ij
che possiamo riscrivere
σ 2p
1
=
N
#
N
i=1
$
1 2
σ +
N i

N
N −1 


N
i=1
N
j=1
i=j


1
σ ij 

N (N − 1)
53
I vantaggi della diversificazione
dove nella seconda sommatoria si è moltiplicato e diviso per (N − 1) . Il primo
termine fra parentesi rappresenta la media delle varianze dei singoli titoli compresi nel portafoglio, anche il secondo termine fra parentesi rappresenta una
media e precisamente la media delle N (N − 1) covarianze fra i titoli. Possiamo
quindi riscrivere
1
N −1
σ 2p = σ 2i +
σ ij
(2.83)
N
N
Anche in questo caso possiamo studiare cosa accade a σ 2p per N che aumenta
lim
N→∞
σ 2p
= lim
N→∞
!
1 2
σ +
N i
"
N −1
σ ij = σ ij
N
Ciò implica che nel rischio totale di portafoglio il rischio individuale di ciascun
titolo può essere eliminato includendo un numero N abbastanza grande di
titoli, al contrario del rischio derivante dalla covarianza fra i vari titoli che non
può essere eliminato.
La riduzione del rischio di potafoglio all’aumentare del numero di titoli
introdotti può essere illustrata dai seguenti dati rilevati per il mercato statunitense:
Numero di Titoli Varianza di Portafoglio
σ 2p
1
46.619
2
26.839
4
16.948
6
13.651
8
12.003
10
11.014
20
9.036
30
8.376
50
7.585
100
7.453
500
7.137
1000
7.059
σ 2i = 46.619; σ ij = 7.058
54
Teoria del portafoglio
All’aumentare del numero di titoli si vede che la varianza di portafoglio tende
alla covarianza media (vedi tabella 1.). Se riscriviamo la 2.83 in modo diverso:
1
σ 2 − σ ij + σ ij
N i
si evidenzia l’effetto della diversificazione sul rischio di portafoglio. All’aumentare dei titoli nel portafoglio (aumentare di N), l’effetto della differenza fra il
rischio medio e la covarianza media si riduce e il contributo predominante è
dato dalla covarianza media.
σ 2p =
2.15
Esercizi svolti
6.1Siano dati il titolo Fiat ed il titolo IBM caratterizzati dai seguenti dati :
!
"
!
"
6
1, 5 −0, 35
µ=
V =
3, 5
−0, 35
4
1. si determini la composizione di portafoglio di rischio minimo ipotizzando
siano ammesse vendite allo scoperto
2. .Calcolare il rischio del portafoglio ottenuto.
Soluzione:
Il problema da risolvere è del tipo:
min f (x1 , x2 ) = [x1 , x2 ] · V ·
!
x1
x2
"
= 1, 5x21 + 4x22 − 0, 7x1 x2
soggetto al vincolo
x1 + x2 = 1
x1
min 1, 5x21 + 4x22 − 0, 7x1 x2
s.a
= 1 − x2
sostituisco il vincolo nella funzione da minimizzare:
min 1, 5 (1 − x2 )2 + 4x22 − 0, 7 (1 − x2 ) x2
1, 5 + 1, 5x22 − 3x2 + 4x22 − 0, 7x2 + 0, 7x22
55
Esercizi svolti
Calcolo la derivata prima per individuare il punto di minimo:
∂f
= 3x2 − 3 + 8x2 − 0, 7 + 1, 4x2 = 0
∂x2
12, 4x2 − 3, 7 = 0
3, 7
x2 =
= 0, 298
12, 4
x1 = 0, 702
Dati x1 ed x2 posso calcolare il rischio del portafoglio usando la formula della
varianza σ 2 .:
σ 2 = 1, 5 (1 − 0, 298)2 + 4 · 0, 2982 − 0, 7 · 0, 702 · 0, 298 = 1, 2408
6.2. Sia
U (x1 x2 ) = x21 + x22 − 3x1 x2
la funzione di utilità di un consumatore dipendente dalle quantità acquistate
del bene 1 e del bene 2. Si ipotizzi che il prezzo del bene 1 è pari a 30 Euro e
il prezzo del bene 2 è pari a 35 euro.
1. Si determini il massimo di U ipotizzando il consumatore voglia spendere
un massimo di 1500 Euro.
2. Si dica se la funzione di utilità individua un investitore avverso al rischio
3. Esiste un criterio efficiente di selezione del portafoglio per un individuo
caratterizzato da tale funzione di utilità? Quale?
Soluzione:
1. Il problema da risolvere è il seguente:
max U (x1 x2 ) = x21 + x22 − 3x1 x2
s.a.
30x1 + 35x2 ≤ 1500
x1 > 0, x2 > 0
56
Teoria del portafoglio
Riporto il problema in forma standard

 min −U (x1 , x2 ) = −x21 − x22 + 3x1 x2
s.a.

−30x1 − 35x2 ≥ −1500
Costruisco la Lagrangiana:
L(x, λ, µ, ν) = −x21 − x22 + 3x1 x2 − λ (−30x1 − 35x2 + 1500) − µx1 − νx2
Utilizzo le condizioni di Kuhn Tucker
∇x L(x, λ, µ, ν)
λg (x)
µx1
νx2
=
=
=
=
0
0
0
0

−2x1 + 3x2 + 30λ − µ = 0




 −2x2 + 3x1 + 35λ − ν = 0
λ (−30x1 − 35x2 + 1500) = 0


µx1 = 0



νx2 = 0

Icaso : λ = 0




−2x

1 + 3x2 − µ = 0


−2x2 + 3x1 − ν = 0
λ=0




µx

1 = 0


νx2 = 0

λ=0




−2x

1 + 3x2 = µ


−2x2 + 3x1 = ν
λ=0




µx

1 = 0


νx2 = 0





x1 = + 32 x2



−2x2 + 92 x2 = 0
λ=0




µ=0



ν=0

:λ=0




−2x

1 + 3x2 = 0


−2x2 + 3x1 = 0
→
λ=0




µ
=0



ν=0





x1 = 0



x2 = 0
→
λ=0




µ=0



ν=0
57
Esercizi svolti





II caso : λ = 0, µ = 0, ν = 0



−2x1 + 3x2 + 30λ − µ = 0
−2x2 + 3x1 + 35λ − ν = 0



(−30x1 − 35x2 + 1500) = 0

II caso :



−2x1 + 3x2 + 30λ = 0
−2x2 + 3x1 + 35λ = 0



−30x1 − 35x2 + 1500 = 0
II caso :
300−7x2
−2 6 + 3x2 + 30λ = 0
2
−2x2 + 3 300−7x
+ 35λ = 0

6


300−7x2
x1 =
6

II caso :



x1 = 24.84
λ
=
− 300
= −0.380

785


x1 = 21.02
→
→







II caso :
2
−2 300−7x
+ 3x2 + 30λ = 0
6
900
245
−150 + 11 + 11 λ + 540
λ + 1050
11
11
300−7x2
x1 =
6
non accettabile poichè λ<0
Ho quindi una possibile soluzione: A = (0, 0; 0),devo solo verificare che
sia un minimo, calcolo l’Hesiana:
!
"
−2 3
H=
→ D1 < 0, D2 < 0
3 −2
l’Hessiana risulta indefinita quindi il punto è un punto di sella.
2. La funzione di utilità considerata individua un investitore nè propenso nè
averso al rischio in quanto l’Hessaina di tale funzione si presenta indefinta.
3. Visto che la funzione di utilità non si riferisce ad investitore avverso al
rischio non esistono criteri efficienti per la selezione del portafoglio.
6.3. Un investitore con la seguente funzione di utilità:
u(x) = 3x + e−0,5x
=0
58
Teoria del portafoglio
possiede l’investimento nel portafoglio Fideuram che può realizzare i seguenti
rendimenti con relative probabilità
xi
50
X (p) = 100
2
−10
pi
0.3
0.25
0.4
0.05
Si determini il certo equivalente (C) ed il premio per il rischio (R).
Soluzione:
1. L’investimento nel portafoglio ha il seguente valore atteso:
E(x) = 50 · 0, 3 + 100 · 0, 25 + 2 · 0, 4 − 10 · 0, 05 = 40, 3
La distribuzione dell’utilità risulta essere
U (xi )
3 · 50 + e−0.5·50 = 150
3 · 100 + e−0.5·100 = 300
3 · 2 + e−0.5·2 = 2, 3679
3 · (−10) + e−0.5·(−10) = 118, 4132
pi
0, 3
0, 25
0, 4
0, 05
per cui il valore atteso dell’utilità risulta:
E(U(X)) = 150·0, 3+300·0, 25·2, 3679·0, 4+118, 4132·0, 05 = 126, 86782
Il certo equivalente è la somma C tale per cui
U (C) = E(U(X))
3x + e−0,5x = 126, 86782 ⇒ x ≃ 42, 28
Il premio per il rischio è dato dalla differenza fra l’equivalente certo ed il
valore atteso:
R = C − E(X) = 42, 28 − 40, 3 = 1, 98
59
Esercizi svolti
In questo caso in presenza di un premio positivo ci troviamo di fronte
ad un investitore propenso al rischio.
6.4. Un investitore ha le seguenti informazioni su tre titoli azionari
µ1 = 0.11 σ 21 = 0.06 σ 12 = 0.05
µ2 = 0.09 σ 22 = 0.14 σ 13 = 0.09
µ3 = 0.13 σ 22 = 0.18 σ 23 = 0.1
1. Calcolare rischio e rendimento dei seguenti portafogli
Portafoglio TITOLI
1
2
A
0
1
B
0.25 0.5
C
0.3 0.3
3
0
0.25
0.4
2. Individuare poi il portafoglio di rendimento più elevato composto dai soli
titoli 2 e 3 e dotato di rischio σ 2 = 0.15.
3. Individuare il portafoglio a rischio minimo composto dai tre titoli.
Soluzione:
1. In base alle formule per il calcolo del portafoglio medio e del rischio
avremo per i portafpgli considerati
E (A RP ) = x1 E (R1 ) + x2 E (R2 ) + x3 E (R3 )
= 0 · 0.11 + 1 · 0.09 + 0 · 0.13
= 0.09
E (B RP ) = x1 E (R1 ) + x2 E (R2 ) + x3 E (R3 )
= 0.25 · 0.11 + 0.5 · 0.09 + 0.25 · 0.13
=
60
Teoria del portafoglio
E (cRP ) = x1 E (R1 ) + x2 E (R2 ) + x3 E (R3 )
= 0.3 · 0.11 + 0.3 · 0.09 + 0.4 · 0.13
=
e relativamente al rischio
σ 2A = x21 σ 21 + x22 σ 22 + x23 σ 23 + 2x1 x2 σ 1,2 + 2x1 x3 σ 13 + 2x2 x3 σ 23
= 0 · 0.06 + 1 · 0.14 + 0 · 0.18 + 2 · 0 · 1 · 0.05 + 2 · 1 · 0 · 0.1
2 · 0 · 0 · 0.09
= 0.14
σ 2B = 0.08625
σ 2C = 0.1014
2. determinare la composizione di portafoglio contenente i soli titoli 2 e
3 che massimizzi il rendimento in corrispondenza di un rischio pari a
σ 2 =0.15.
max µ = 0, 09x2 + 0, 13 (1 − x2 )
s.a.
σ 2 = 0, 15
ma σ 2 =0.15 solo se x2 ed x3 risutano come soluzioni di:
0.14x22 + 0.12 (1 − x2 )2 + 0.2x2 − 0.2x22 = 0.15
0.06x22 − 0.04x2 − 0.13 = 0
x2 = 1.84
√
0.02± 0.022 +0.06·0.13
x2 =
=
0.06
x2 = −1.17
Si ottengono così le due possibili combinazioni
A → x2 = 1.84; x3 = −0.8426
B → x2 = −1.17; x3 = 2.17
I n corrsipondenza della combinazione B si ha il rendimento di portafoglio
più alto, pari a µ = 0, 1768
Esercizi svolti
61
3. Per determinare il portafoglio di minimo rischio devo trovare il minimo
della seguente forma quadratica:

 min σ 2p = 0, 06x21 + 0, 14x22 + 0, 18x23 + 0, 10x1 x2 + 0, 18x1 x3 + 0, 20x2 x3
s.a.

x1 + x2 + x3 = 1 → x1 = (1 − x3 − x2 )
Esplicito x3 nella funzione obiettivo e risolvo il problema come un problema di ottimizzazione libera:
σ 2p = 0.06(1 − x3 − x2 )2 + 0.14x22 + 0.18x23 + 0.10(1 − x3 − x2 )x2 + 0.18(1 − x3 − x2 )x3 + 0.20x2 x
= 0.10x22 + 0.06x23 − 0.02x2 + 0.06x3 + 0.04x2 x3 + 0.06
Per trovare il minimo annullo il gradiente:
"
!
0.2x2 − 0.02 + 0.04x3
=0
∇ =
0.12x3 + 0.06 + 0.04x2
x2 = 0.215
x3 = −0.57