La prova matematica dell`esistenza di Dio

matematicamente.it
• Numero 7 – Luglio 2008 •
93. La prova matematica
dell’esistenza di Dio
di Alexander Pigazzini
Questo articolo intende
esporre in modo molto breve ed
essenziale, senza scendere nei rigori della logica, la prova ontologica
di Kurt Gödel (Brno,1906-Princeton, 1978).
La speranza è infatti quella di stimolare, in poche righe, la curiosità dei lettori su questa chicca matematica del secolo scorso, ma soprattutto di ricordare il grande
matematico a trent’anni dalla sua
scomparsa.
no seguente si laurea in Matematica
discutendo una tesi davanti ad Hahn
e Furtwangler nella quale dimostra la
completezza della Logica del primo
ordine; la tesi di Gödel viene pubblicata nel 1931. Solamente un anno
più tardi ottiene la libera docenza
(Privatdozent). Finalmente nel 1933
ha inizio la sua carriera all’Insitute of
Advanced Study di Princeton; prima
su invito di Von Neumann; dopo vari rientri a Vienna e dopo vari problemi di depressione riesce a ottenere la
cittadinanza americana nel 1948, diventa professore all’I.A.S. nel 1953. L’ultima parte della vita di
Gödel è segnata da un rapporto totalmente squilibrato con il cibo: Gödel soffre di ulcera duodenale, di depressione e teme continuamente di essere avvelenato;
nel gennaio del 1978 viene lasciato solo a casa dalla
moglie che rientra in Europa, e si lascia morire probabilmente di denutrizione.
La vita di Gödel ci mostra un chiaro esempio di come una persona geniale si possa trovare in seria difficoltà di fronte ai problemi della vita quotidiana. Dal
punto di vista scientifico Gödel è passato alla storia
grazie ai suoi fondamentali risultati nel campo della
logica matematica. La dimostrazione della completezza della logica del primo ordine è solo il primo
grande risultato che Gödel ottiene; Gödel chiarisce bene la differenza tra verità e dimostrabilità.
Ma i risultati più significativi devono ancora arrivare: i Teoremi di incompletezza. Se un sistema assiomatico è coerente, ovvero da esso non si possono
dedurre un’affermazione e la sua negazione contemporaneamente, allora, sotto certe condizioni, il sistema è incompleto, ovvero esistono affermazioni che
non sono né dimostrabili né confutabili; questo è il
primo Teorema di Gödel. Se uno pensa che il primo
Teorema di Gödel sia un risultato negativo per i
fondamenti della Matematica allora si deve preparare a leggere il secondo Teorema di incompletezza:
SUNTO.
Kurt Gödel, una vita tra genio e follia:
breve biografia
(a cura di Luca Lussardi)
Trent’anni fa, Princeton (USA), 14 Gennaio 1978,
a 72 anni di età muore, per denutrizione, uno dei
più grandi geni che la Logica, e forse l’intera Matematica, abbiano mai avuto.
Kurt Gödel nasce a Brno, in Moravia, il 28 Aprile
1906. Gödel fin da bambino dimostra di essere una
persona estremamente seria, riservata e al limite della paranoia circa le proprie condizioni di salute. E’
pur vero che Gödel ha dei problemi di salute durante la sua vita, ma non tali da giustificare l’ossessione verso la malattia.
Nel 1924 comincia a studiare Fisica all’Università
di Vienna, anche se certe lezioni di Teoria dei numeri di Philip Furtwangler lo affascinano troppo. Dopo due anni comincia a frequentare il Circolo di
Vienna, ovvero un gruppo costituito per lo più da filosofi che discutono di Logica e questioni di linguaggio. Un anno più tardi conosce Adele Porkert, ballerina più vecchia di lui che lo sposerà nel 1938. Gödel prende nel 1929 la cittadinanza austriaca e l’an-
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se un sistema assiomatico è coerente allora la coerenza del sistema non è dimostrabile all’interno del sistema stesso. Sostanzialmente non è possibile dimostrare l’assenza di contraddizioni logiche restando
all’interno del sistema assiomatico.
Gödel si occupa anche di Teoria degli insiemi, e dello studio del rapporto tra mente e macchina (Turing). Nell’ultima parte della sua vita si interessa
anche di Relatività, diventando amico di Albert
Einstein.
1970, venne allo scoperto parlandone e mostrando lo scritto a Dana Scott, forse perché in quel
periodo si dice che fosse molto preoccupato per la
sua salute e temeva che morendo, la dimostrazione svanisse con lui.
A distanza di diciassette anni, nel 1987, la sua
“Ontologisches Beweis” venne finalmente pubblicata negli Stati Uniti, all’interno di un volume
che raccoglieva diversi suoi lavori.
Prima di iniziare un’analisi punto per punto della prova, ne riporto una sintesi1.
P(ϕ) ϕ è positivo (o ϕ ∈ P)
LA PROVA ONTOLOGICA
ASSIOMA 1.
ASSIOMA 2.
P(ϕ) . P(ψ) ⊃ P(ϕ . ψ)
P(ϕ) ∨ P(∼ϕ) (Disgiunzione esclusiva)
di Alexander Pigazzini
G(x) ≡ (ϕ) [ P(ϕ) ⊃ ϕ(x) ] (Dio)
ϕ Ess.x ≡ (ψ) [ ψ(x) ⊃ N(y) [ ϕ(y)
⊃ ψ(y) ]] (Essenza di x)
DEFINIZIONE 1.
Uno dei punti più affascinanti della vita scientifica di Gödel sta nel suo tentativo di dimostrare
l’esistenza di Dio. Vari logici atei si erano cimentati nel problema, ma Gödel non era ateo, ed egli
stesso afferma che il suo interesse per la prova dell’esistenza di Dio è solamente logico. Gödel fornisce una dimostrazione puramente logica, detta
anche prova ontologica, prima nel 1941, poi rivista e conclusa nel 1970.
Per introdurre questo notevole lavoro, anche se
non il più brillante della sua carriera, vorrei innanzitutto spendere due parole sul concetto di
prova ontologica.
Per prova ontologica (dal greco òntos, genitivo di
òn, participio presente di eimì, essere) si intende
una dimostrazione logica dell’esistenza dell’essere, solo per mano della scolastica divenne la dimostrazione a priori dell’esistenza di Dio.
Partendo dalle origini, fu per opera di Anselmo
d’Aosta che, con il suo “credo ut intelligam” del
Proslogion e con quattro prove ontologiche a posteriori nel suo Monologion, prese il via la vera ricerca di una prova ontologica riuscendo, nei rispettivi periodi, a coinvolgere menti straordinarie
quali Cartesio, Leibniz, Kant, e per l’appunto
Gödel.
Si presume che quest’ultimo iniziò a lavorarci nei
primi anni quaranta, ma solo nel febbraio del
1
DEFINIZIONE 2.
p ⊃ Nq = N(p ⊃ q) (Necessità)
P(ϕ) ⊃ NP(ϕ)
∼P(ϕ) ⊃ N ∼P(ϕ)
Poiché ciò segue dalla natura della proprietà.
ASSIOMA 3.
TEOREMA.
G(x) ⊃ G Ess.x
E(x) = (ϕ) [ϕ Ess. x ⊃ N (∃x) ϕ(x) ]
(Esistenza necessaria)
DEFINIZIONE 3.
ASSIOMA 4.
P(E)
G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
quindi (∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)
quindi M(∃x) G(x) ⊃ MN(∃y) G(y) (M = possibilità)
TEOREMA.
M(∃x) G(x) significa che il sistema di tutte le
proprietà positive è compatibile.
Ciò è reso grazie a:
ASSIOMA 5.
P(ϕ) . ϕ ⊃ Nψ : ⊃ P(ψ) che implica
x = x è positivo
x ≠ x è negativo
Tratta interamente dal libro “la prova matematica dell’esistenza di Dio” a cura di G. Lolli e P. Odifreddi, Bollati Boringhieri Editore.
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Ripartendo dall’inizio, Gödel introduce come
prima cosa il concetto di proprietà positiva, evidenziandone i caratteri più importanti con una
serie di assiomi.
Quinto Assioma: se una proprietà positiva ne implica necessariamente un’altra, allora di conseguenza anche quest’ultima è positiva.
Dopo aver svolto la “traduzione” in ogni sua parte, ricapitolo il tutto dandone una mia interpretazione.
Inutile dire che questa prova è valida solo se è
possibile che Dio esista, cioè se è possibile combinare tra loro tutte le proprietà positive esistenti.
Come abbiamo visto, un ente per essere Dio deve possedere tutte e sole le proprietà positive; una
proprietà positiva è necessariamente positiva, ossia è positiva in tutti i mondi possibili e l’intersezione delle proprietà positive ci restituisce ancora una proprietà positiva.
Detto questo si deduce che “Essere Dio” è una
proprietà positiva e grazie al quarto assioma sappiamo che anche l’esistenza necessaria lo è.
Tirando le somme, il tutto porta a dire che esisterà necessariamente un ente che tra tutte le varie
proprietà positive possiederà anche la proprietà
“Essere Dio”.
Quanto esposto ha ovviamente la limitazione di
esistere solo in un universo che ammettere un finito numero di proprietà positive e Gödel infatti, per ovviare a questa costrizione, aggiunge un
ultimo assioma (il quinto), il quale prevede che se
una proprietà positiva ne implica necessariamente una seconda, allora anche quest’ultima è una
proprietà positiva.
Primo Assioma: la composizione tra due proprietà
positive ci rende una proprietà positiva, per capirci meglio se “essere bello” è una proprietà positiva
e lo è anche “essere alto”, allora di conseguenza lo
sarà anche “essere bello e alto”.
Secondo Assioma: è una disgiunzione esclusiva,
una proprietà è positiva oppure lo è il suo contrario, ma entrambe non possono essere positive o
non positive.
Prima Definizione: introduce il concetto di Dio;
un ente è di natura divina se e solo se possiede
tutte e sole le proprietà positive.
Seconda Definizione: ϕ è un’essenza di x se e soltanto se per ogni proprietà ψ, x include ψ necessariamente se ϕ implica ψ.
Qui Gödel introduce il concetto di necessità, ossia se “p” implica necessariamente “q” allora è necessario che “p” implichi “q” .
Terzo Assioma: se una proprietà è positiva allora è
necessariamente positiva e di conseguenza se una
proprietà non è positiva, allora è necessariamente
non positiva. Una proprietà è necessaria se e solo
se è vera in tutti i mondi possibili, mentre è possibile se è vera solo in alcuni di questi mondi.
Primo Teorema: se un ente è di natura divina, allora la proprietà dell’esistenza gli appartiene per
essenza.
Terza Definizione: x esiste necessariamente se e
soltanto se la sua essenza (o ogni suo elemento essenziale) esiste necessariamente.
Quarto Assioma: l’esistenza necessaria è una proprietà positiva.
Secondo Teorema: se Dio esiste, allora esiste necessariamente; quindi se è possibile che Dio esiste di
conseguenza è possibile che Dio esiste necessariamente, dunque Dio esiste necessariamente.
Raimondo Lullo (1232-1316),
Prova logica dell'esistenza di Dio
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Questa “clausola” finale riesce a raggirare brillantemente il “blocco” della finitezza, permettendo
l’esito sperato alla prova.
L’autore avvertì sempre l’urgenza di trovare un
ordine logico-matematico da porre a fondamento
dell’esistenza dell’universo e forse un tale ordine
gli sembrava fosse garantito solo dalla necessità
logica dell’esistenza di Dio.
Nonostante furono anche esigenze di carattere esistenziale e religioso a spingere il compimento di
questa prova, è giusto specificare che essa derivi dal
concetto di ultrafiltro (teoria degli insiemi) e non ha
molto da spartire con la teologia tradizionale, d’altro
canto lo stesso Gödel, a scanso d’equivoci, ci tenne
a precisare in più occasioni che questo suo lavoro fu
concepito solo come un esercizio di pura logica.
In conclusione, visto che troppe cose ci sarebbero
da aggiungere sulla vita e sulle opere di questo
grande e controverso genio del ’900, vorrei limitarmi semplicemente nel ricordare che i suoi studi hanno segnato una svolta fondamentale nella
storia della logica, condizionando ogni successiva
ricerca e determinando la nascita di nuove e importanti discipline logiche.
BIBLIOGRAFIA
“Gödel”, Lettera matematica Pristem n.62/63,
Aprile 2007, Springer.
Kurt Gödel, La prova matematica dell’esistenza
di Dio. A cura di Gabriele Lolli e Piergiorgio
Odifreddi, Bollati Boringhieri, Torino, 2006.
C. Boyer, Storia della Matematica, Mondadori
Editore, 1990.
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