Probabilità 1 - Facoltà di Economia

Introduzione alla Probabilità
Probabilità
•
•
•
•
Esperimenti, Eventi, Probabilità
Regole Calcolo Probabilità
Probabilità Condizionata
Teorema di Bayes
Maura Mezzetti
[email protected]
Cos’è la probabilità?
Probabilità studia esperimenti aleatori o casuali
Un esperimento è un qualsiasi processo di
osservazione o misurazione
Un fenomeno è aleatorio quando di esso non si
può predire con certezza il risultato.
Esempi: il lancio di un dado / di una moneta, il
rapporto euro/dollaro nei prossimi giorni, il
numero di vendite di un determinato prodotto
• Spazio campionario {Ω}: l’insieme degli
eventi elementari di un esperimento.
• Eventi semplici (risultati elementari): punti
campione dello spazio campionario. Uno
dei possibili risultati della prova, verrà
denotato con ω. Un evento semplice è un
sottoinsieme unitario di Ω
• Evento composto (risultati non elementari):
combinando gli eventi elementari possiamo
costruire eventi complessi.
1
• Evento certo: un evento che si deve
necessariamente verificare; è
rappresentato da tutti i punti dello spazio
campionario
• Evento impossibile: un evento che non si
può verificare; è definito dall’insieme vuoto
{ ∅} che non contiene alcun punto
campione
Operazioni su Insiemi di Eventi
unione di 2 eventi = l’uno o l’altro o tutti e due E1∪E2
.OR.
Esperimento
Spazio
Campionario
Lancio di una moneta:
Lancio 2 monete
Estrazione di 1 carta
Estrazione di 1 carta, colore
Partita di calcio
Esame universitario
Numero dei clienti
Durata di una lampadina
Rendimenti di un titolo
Testa, Croce
TT, TC, CT, CC
2♥, 2♦, ..., A♠ (52)
Rosso, Nero
Vittoria, Sconfitta, Pareggio
{Insuff, 18, …. , 30, 30 lode}
{0,1,2,…..,10,….}
R+ = [0, ∞)
R = (- ∞, ∞)
Operazioni su Insiemi di Eventi
Eventi mutuamente esclusivi A e B mutuamente
esclusivi se non hanno elementi in comune
E1∩E2 =ø
E1 ∪ E2
intersezione di 2 eventi = l’uno e l’altro E1∩E2
Evento Complementare Ac : l’insieme degli eventi
elementari che appartengono a Ω ma non ad A
.AND.
E1∩E2
2
Esempio Eventi
mutuamente esclusivi
Esempio
Esperimento: estrai una carta da un mazzo.
Nero
Spazio
campionario
:2R♥, 2R♦,
2B♣, ..., AB♠
S
Evento nero:
2B♣, 2B♠, ..., AB♠
Complementare dell’evento
Nero, Neroc: 2R♥, 2R♦, ..., AR♥,
AR♦
Diagramma di Venn
Spazio
Campionario:
2♥, 2♦, 2♣,
..., A♠
♥
♠
Evento Picche:
2♠, 3♠, 4♠, ..., A♠
S
Evento ♠ &♥ Mutuamente esclusivi
Unione di Eventi (A ∪ B ):
A
Evento (A):
Cuore:
2♥ , 3♥ ,
4♥, ..., A♥
B
A
Spazio Campionario (S) :
Intersezione di eventi (A ∩ B ):
A
A∩ B
E1
B
E2
Ek
S
3
Eventi mutuamente esclusivi (A ∩ B =ø):
A
B
Evento complementare ( A ) :
A
A
Come assegnare
probabilità
Cos’è la probabilità?
•
Una misura numerica
della confidenza che si
verifichi un evento
•
Numero da 0 & 1
•
Somma di probabilità di
eventi mutuamente
esclusivi ed esaustivi è
uguale1
assumiamo tutti gli eventi siano
equiprobabili
Metodo delle frequenze relative
Metodo soggettivo
Certo
0.5
0
Impossibile
Approccio classico
La probabilità dell’evento A è
Metodo Classico
1
P( A ) =
NA
N
dove NA è il numero di esiti che soddisfano le condizioni
dell’evento A e N è il numero totale di eventi dello spazio
campionario
Esempio
Esperimento: Lancio del dado
Spazio campionario: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilità: ogni elemento dello spazio
campionario ha 1/6 di probabilità di realizzarsi
4
Molte ripetizioni
• Qual è la probabilità di
ottenere testa se si
lancia una moneta non
truccata? Ipotizziamo 0
(croce) e 1 (testa).
• Lancia la moneta due
volte. Otteniamo una
volta testa e una volta
croce?
Numero teste/
Numero di lanci
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
0
25
50
75
100
125
Numero dei Lanci
Probabilità definita tramite
frequenza relativa
Definire la probabilità tramite la frequenza
relativa significa attribuire come probabilità ad
un evento la proporzione di volte che l’evento A
si verifica ripetendo infinite volte l’esperimento,
P( A ) =
nA
N
dove nA è il numero di volte che l’evento A si
verifica ripetendo lìesperimento N volte
Assiomi della probabilità
1) P(Ω)=1
2) Per ogni evento A, P(A)≥0
3) Se Ei sono eventi disgiunti (Ei∩ Ej=Ø)


P U Ei  = ∑ P ( Ei )
 k
 k
5
Regole di Probabilità
Regola della Probabilità
Evento complementare
Sia A un evento e A il suo complementare,
allora:
P( A ) = 1- P(A)
Addizione
Siano A e B due eventi. La probabilità della loro
unione è data da:
P(A ∪ B ) = P ( A ) + P( B ) - P( A ∩ B )
se A e B sono mutuamente esclusivi
P(A ∪ B ) = P ( A ) + P( B )
evento= una coppia di valori: uno per ciascuna variabile
titolo di studio del genitore
elementare media
diploma
4
1
0
titolo di elementare
studio
media
6
24
5
del figlio diploma
5
30
25
totale
15
55
30
Probabilità Condizionata
totale
5
35
60
100
P(E1|E 2 )=
P(E1 ∩ E 2 )
P(E 2 )
Probabilità condizionata
P(Gd∪Fd)=P[(genitore=diploma) o (figlio=diploma)] = 0,30+0,60-0,25 = 0,65
P(Ge∪Fe)=P[(genitore=element.) o (figlio=element.)]= 0,05+0,15-0,04= 0,16
SI
E2
Probabilità dell’unione di eventi:
Evento
Evento
Probabilità di eventi marginali :
P(Gd) = P(titolo di studio del genitore = diploma) = 0,30
P(Fd) = P(titolo di studio del figlio
= diploma) = 0,60
NO
SI
E1
NO
E1∩E2
E2
E1
1,0
P(Gd∪Fe)=P[(genitore=diploma) o (figlio=element.)] = 0,30+0,05-0,00= 0,35
6
Probabilità Condizionata
Probabilità condizionata
P(Fd | Ge)= P[(figlio=diploma) tra quelli con (genitore=elementari)]
Condizionare per “un evento” significa considerare
quell’evento come il nuovo spazio degli eventi.
Per pesto motivo si divide per la sua probabilità.
E’ come dividere per il totale di riga o il totale di colonna
quando nella tabella ci sono frequenze invece di
probabilità.
P(E1 ∩ E 2 )=P(E1|E 2 ) ⋅ P(E 2 )
=
1
10
×
40
4
=
100
100
= 0,25/0,30 = 0,83
Vai alla
tabella
EVENTI INDIPENDENTI
Si
No
Capelli rossi
(E2)
Si
No
4
21
25
36
39
25
40
100
Eventi Indipendenti?
Esempio dei due dadi
P(somma=10 | due dadi sono uguali)
1/6
P(somma=pari | due dadi sono diversi)
12/30
P(dadi uguali | primo dado pari)
3/18
P(primo dado pari | dadi uguali)
3/6
= 0,30/0,55 = 0,54
P(Fd | Gd)= P[(figlio=diploma) tra quelli con (genitore=diploma)]
Due eventi sono indipendenti quando la probabilità del primo condizionata al secondo
è uguale alla probabilità del primo non condizionata (e viceversa)
Carattere
docile (E1)
P(E1 ∩ E2 )
4
1
P(E1|E 2 ) =
=
≠ P(E1 )=
P(E 2 )
40
4
= 0,05/0,15 = 0,33
P(Fd | Gm)= P[(figlio=diploma) tra quelli con (genitore=medie)]
Esempio dei titoli di studio di genitori e figli
≠ P(figlio con
diploma)
≠ 0,60
0,83
P(figlio con medie | genitore con diploma) ≠ P(figlio con medie)
≠ 0,35
0,16
P(E1 |E2) = P(E1)
ed
P(E2|E1) = P(E2)
allora E1 ed E2 sono indipendenti
4. Proprietà Moltiplicativa della probabilità
≠ P(somma=10)
≠ 3/36
Falso
≠ P(somma = pari)
≠ 18/36
Falso
= P(dadi uguali)
= 6/36
Vero
= P(primo dado pari)
= 18/36
Se
Vero
P(figlio con diploma | genitore con diploma)
P(E1∩E2)=P(E1|E2)xP(E2)
Dalla definizione di probabilità condizionata si
deriva la proprietà
Intuizione:
Fingiamo per un attimo che E2 si verifichi con certezza, e calcoliamo
P(E1|E2).
Adesso, rilasciamo questo assunto; E2 ridiventa un evento
incerto, quindi moltiplichiamo per la probabilità di P(E2).
Il prodotto è
la probabilità che E1 ed E2 si verifichino, cioè la probabilità
dell’intersezione dei due eventi.
Falso
Se E1 ed E2 sono indipendenti
Falso
P(E1|E2)=P(E1)
quindi P(E1∩E2) = P(E1) x P(E2)
7
Regola del prodotto
PROBABILITÀ: PROSPETTO RIASSUNTIVO
Dato l'insieme I : {A1 , A2 , ... An ∈ I}
Evento certo: p(A1 ∪ A2 ∪ ... An ) = p(I) = 1
P(E1∩E2) = P(E1) x P(E2)
Questo è un caso particolare della proprietà moltiplicativa:
La probabilità che due eventi indipendenti si verifichino entrambi
è uguale al prodotto delle loro probabilità
(esempio: probabilità di fare testa due volte di seguito =
= probabilità testa 1° lancio x probabilità testa 2° lancio
= 0,5 x 0,5 = 0,25)
1)
due eventi mutuamente esclusivi non sono mai indipendenti
Evento impossibile: p(B | [B ∉ I]) = 0
Evento complementare: p(A i )=1-p(A i )
Unione di eventi: p(Ai∪Aj)=p(Ai) + p(Aj) - p(Ai∩Aj)
Evento condizionato: p(Ai | Aj ) = p(Ai ∩ Aj ) /p(Aj )
Intersezione di eventi: p(Ai ∩ Aj ) = p(Aj ) × p(Ai | Aj )
Eventi incompatibili: p(Ai ∩ Aj ) = 0
regola della somma : p(Ai ∪ Aj ) = p(Ai ) + p(Aj )
Eventi indipendenti: p(Ai | Aj ) = p(Ai )
2)
due eventi indipendenti, non sono mai mutuamente esclusivi
regola del prodotto : p(Ai ∩ Aj ) = p(Ai ) × p(Aj )
Esercizi
Esercizi
• Siano A e B due eventi tali che P(A)=0.7 e
P(B)=0.4. I due eventi possono essere
incompatibili?
• Siano A e B due eventi tali che P(A)=0.7 e
P(B)=0.4. I due eventi possono essere
incompatibili? NO PERCHE’ CI SAREBBE
UN EVENTO AUB CON PROBABILITà
MAGGIORE DI 1
• Siano A e B due eventi indipendenti dello
spazio campionario, si sappia che
P(A)=0.5 e P(B)=0.4. Determinare P(A∪B)
• Siano A e B due eventi indipendenti dello
spazio campionario, si sappia che
P(A)=0.5 e P(B)=0.4. Determinare P(A∪B)
8
Un qualunque esito per uno dei due dadi può manifestarsi in concomitanza con un
qualunque esito per l'altro dado. Se entrambi i dadi sono ben bilanciati, tutte le facce
hanno la medesima probabilità di comparire. L'esito del lancio di uno qualunque dei
due dadi è ininfluente sull'esito del lancio dell'altro dado.
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
4
5
6
7
5
6
7
6
7
8
dado
A
dado
B
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
8
9
3
4
5
6
7
8
9
8
9
10
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
11
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
12
punti
dado
A
punti
UNIONE DI EVENTI(1) Evento:E (punteggio< 6) ∪ (punteggio≥ 8)
PROBABILITÀ DI UN EVENTO
Evento: E
Note:
Punteggi ottenibili con due dadi da gioco a 6 facce
= punteggio minore di 6
p(E)
= p(2) + p(3) + p(4) + p(5) =
1
36
=
+
2
36
3
36
+
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
+
4
36
=
10
36
dado
A
=
punti
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10 11
6
7
8
9
10
11 12
dado
A
+
punti
9
UNIONE DI EVENTI (2)
INTERSEZIONE DI EVENTI (1)
Evento:E(punteggio PARI)∪(punteggio<6)
Evento:E (punteggio PARI)∩(punteggio<6)
p(E) = p(PARI) + p(<6) - p([PARI]∩[<6] =
=
18
36
+
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
10
4
36
36
p(E)
= 24
36
=
dado
A
8
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
punti
INTERSEZIONE DI EVENTI (2) Evento:E= (A=1)∩(punteggio=7)
6
×
36
1
=
6
1
36
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
 dado A
dado
B
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
4
36
dado
A
punti
– Si estraggono due palline SENZA
reimmissione. Si calcoli la probabilità di
ottenere due palline bianche.
– Si supponga invece che l’estrazione avvenga
CON reimmissione, calcolare la probabilità di
ottenere due palline bianche.
punti
nb: (A=1) e (punteggio=7) sono eventi indipendenti P(7) = p(7|A=1) =
4 =
18
×
Si supponga che in un'urna U vi siano 4
palline bianche, 3 rosse e 3 nere.
dado
B
18
36
Esercizio
p(E)= p(A=1) × p(7|A=1) =
=
= p(PARI) × p(<6|PARI) =
1
6
10
Esercizio
Esercizio
In un mazzo di carte da briscola vi sono
dieci carte (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, J, D, R) per
ciascuno dei quattro semi (♥,♦,♠,♣). Dopo
avere ben mischiato il mazzo di carte,
estraggo tre carte a caso. Qual è la
probabilità che non più di due siano Picche?
Un’urna contiene 4 palline gialle e 6 rosse.
Lancio una moneta: se esce testa aggiungo
all’urna una pallina gialla, se esce croce ne
aggiungo una rossa. Estraggo ora una
pallina dall’urna: qual è la probabilità che sia
gialla?
11