Elettrostatica

Elettrostatica
Carica elettrica
Legge di Coulomb
Campo elettrico
Principio di sovrapposizione
Energia potenziale del campo elettrico
Moto di una carica in un campo elettrico statico
Teorema di Gauss
Campo elettrico e potenziale di
una carica puntiforme
un dipolo elettrico
un condensatore
Superfici equipotenziali
Conduttori
Isolanti
Elettrostatica
pag. 1
Carica elettrica
Proprieta elettriche della materia:
note fin dall’antichità (es. attrazione per strofinio)
ma normalmente “nascoste” nella struttura atomica.
Costituzione dell’atomo:
nucleo con protoni (carica +e) e neutroni (carica 0)
elettroni (carica -e) “orbitanti” attorno al nucleo
Carica elettrica = proprietà intrinseca della materia,
grandezza fisica scalare derivata (
v.corrente elettrica)
con unità di misura: Coulomb (C) (C = A⋅⋅s)
Proprietà fondamentali:
• 3 stati di carica: positiva/negativa (i due tipi di carica) e neutra
• sempre multipla di ±e = ±1.6•10-19 C carica elementare
• si conserva (non si crea e non si distrugge, ma si separa/unisce)
L’elettrostatica studia i fenomeni elettrici in cui le cariche sono a riposo.
Elettrostatica
pag. 2
Forza di Coulomb
Tra due corpi di carica q1 e q2 (a riposo),
posti a distanza r, si esercita sempre
una forza di attrazione o di repulsione
-diretta lungo la congiungente tra i due corpi
-proporzionale alle due cariche
-inversamente proporzionale al quadrato di r
LEGGE DI COULOMB
F = ± K q1 q2 r
r2 r
attrazione tra cariche opposte
repulsione tra cariche uguali
K = 9•109 N•m2/C2
costante di Coulomb nel vuoto
ANALOGIA CON LA
FORZA GRAVITAZIONALE
Elettrostatica
pag. 3
Forza coulombiana vs. forza gravitazionale
Analogie tra forza coulombiana e forza gravitazionale:
- diretta lungo la congiungente tra i due corpi
- proporzionale alle due cariche / alle due masse
- inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza
Differenze tra forza coulombiana e forza gravitazionale:
COULOMBIANA
attrattiva o repulsiva
GRAVITAZIONALE
sempre attrattiva
K = 9•109 NC-2m2 molto grande
G = 6.67•10-11 NKg-2m2 molto piccola
Es.
Tra protone e elettrone nell’atomo (r=10-10 m):
FG = - G mpme /r2 = - (6.67•10-11)•(1.67•10-27)•(9.1•10-31)/(10-10)2 N
= - 101•10-11+(-27)+(-31)-(-20) N = - 101 •10-49 N = - 1.01 •10-47 N
FC = K qpqe /r2 = (9•109)•(+1.6•10-19)•(-1.6•10-19)/(10-10)2 N
= - 23•109+(-19)+(-19)-(-20) N = - 23•10-9 N = - 2.3 •10-8 N
La forza coulombiana è 1039 volte più grande di quella gravitazionale!
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pag. 4
Uguaglianza di cariche elementari + e La materia è globalmente neutra: le forze elettriche non sono
generalmente visibili a scale superiori rispetto a quella atomica,
anche se molto più intense delle forze gravitazionali (es: nel
moto dei corpi celesti conta solo l’interazione gravitazionale).
Esempio per assurdo: supponiamo qp = (1+10-9)⋅⋅qe, con qp (qe) =
carica del protone (elettrone). Valutiamo la forza elettrica con cui
si respingerebbero due palle di Fe di 1 kg a distanza R = 1 m.
Massa atomica 26Fe ~ 55. Massa molare ~ 55 g. NA = 6.023 × 1023
Numero di atomi in 1 kg di Fe = (1000/55) × NA = 1.1 × 1025
Numero di p (e) in 1 kg di Fe: N = 26 × 1.1 × 1025 = 2.86
×
1026
Qsfera (“netta”) = N(qp-qe) = 2.86×
×1026×1.6×
×10-19×10-9 C ∼ 4.58×
×10-2 C
F = k Q2/R2 = 9×
×109 NC-2m2× (4.58×
×10-2 C)2×1m-2 ∼ 1.89 × 107 N !!!
(corrispondente alla forza-peso per una massa di ~ 1.93 × 106 Kg !!!)
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pag. 5
Forza di Coulomb nella materia (cenni)
Normalmente la forza di Coulomb si scrive nella forma
F = 1 q1 q2
K = 1 costante di Coulomb
4πε0
r2
4πε0
nel vuoto
ε0 = 8.85•10-12 C2/Nm2
In generale:
K = 1/(4π
π ε 0 ε r)
q1
ε = ε0εr = costante dielettrica
assoluta del mezzo
q1
εr = costante dielettrica
relativa del mezzo (adimens.)
εr = 1 nel vuoto e nell’aria
> 1 nei materiali (≈
≈80 nell’acqua)
ε0 = costante
→
+F
r
→
++F –– + –
+ –– + –
+ – + –
Effetto dovuto alla polarizzazione delle molecole
del mezzo “indotta” dalla presenza delle cariche.
Elettrostatica
dielettrica del vuoto
→
–F
→
+ –F–
+ –
+ –
+
vuoto
q2
+ materia
q2
Nell’acqua la forza è
80 volte più debole!
pag. 6
Principio di sovrapposizione
La forza che agisce su una carica (es: q1) ad opera
di altre cariche (es: q2, q3, q4) è uguale alla somma
vettoriale delle forze che le cariche eserciterebbero
su di essa da sole.
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pag. 7
Campo elettrico: forza per unità di carica
Tra due cariche q e Q poste a distanza r si esercita la forza:
1 Qq
F=
r̂
2
4πε0 εr r
Visione alternativa con cui studiare il fenomeno:
la carica Q “crea” attorno a sé un campo elettrico.
La regione di spazio attorno a una
carica elettrica Q (“sorgente”) è
sede di un campo di forza, il campo
elettrico E: ogni altra carica q
(“di prova”) che si trova in quella
regione risente di una forza di
attrazione/repulsione, dovuta alla
presenza della carica “sorgente” Q,
descritta dalla legge di Coulomb.
Elettrostatica
Carica di prova
unitaria positiva
q = + 1 C
E = F
q
N/C
pag. 8
Campo elettrico: esempi
Carica puntiforme Q:
Q>0 linee di forza uscenti
(F repulsiva su q)
Q<0 linee di forza entranti
(F attrattiva su q)
Distribuzione di cariche:
risultante vettoriale del
contributo di ciascuna carica
separatamente dalle altre
(principio di sovrapposizione)
→
E
→
E
+q
+Q
+q
P
–Q
+ + + +
→
E
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pag. 9
Linee di Forza: campo elettrico di due cariche
Linee di forza:
in ogni punto la direzione della tangente alla linea di forza indica la
direzione di E in quel punto, il verso di E è indicato sulla linea;
il numero di linee che attraversano una superficie unitaria normale ad
esse è proporzionale all’intensità di E;
le linee di forza escono dalle cariche positive ed entrano in quelle
negative.
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pag. 10
Energia potenziale elettrostatica
La forza coulombiana è conservativa (come gravitazione):
il lavoro compiuto per spostare una carica q in un campo elettrico
lungo una traiettoria chiusa è nullo.
Il lavoro LAB (=-LBA) per portare q da A
a B dipende solo dalla posizione relativa
di A e B e non dal cammino seguito.
q
B
A
Q
rA
D
rB
C
Energia potenziale gravitazionale:
lavoro della forza peso sollevando m da A a B LAB = UA-UB
Se UA=0 (“terra”) UB = energia potenziale nel punto B
Energia potenziale elettrostatica:
lavoro della forza coulombiana spostando q da A a B LAB = UA-UB
Se UA=0 (“terra”) UB = energia potenziale nel punto B
Elettrostatica
pag. 11
Ricordiamo che per le forze conservative:
Se una forza è conservativa si può
(1)
A
definire una opportuna funzione
(3) (2)
scalare della posizione (U(x) = f(x) + k)
detta energia potenziale, sempre definita
a meno di una costante arbitraria, in modo che:
LAB = UA – UB = -ΔU
B
Questo permette di ricavare una importante relazione
funzionale tra F e U:
→
F = -dU/dx
(caso 1-D)
F = -(dU/dx, dU/dy, dU/dz)
(caso 3-D)
→
→ Nota l’energia potenziale si ricava la forza e viceversa.
Ad esempio per la forza di Coulomb: U(r) = kQq/r + cost.
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pag. 12
Potenziale elettrico: U per unità di carica
Il lavoro compiuto “contro” la forza coulombiana (L = -LAB) si ritrova
sotto forma di energia potenziale “immagazzinata” dalla carica
(o meglio dal sistema di cariche....)
In ogni punto del campo elettrico si può definire un’energia potenziale
rispetto a un punto di riferimento arbitrario a energia potenziale nulla.
Potenziale elettrico in un punto = energia potenziale
di una carica unitaria positiva (q=+1 C) “posta” in quel punto
potenziale elettrico = lavoro per portare la carica q da “terra” a P
(nel punto P)
V = L/q
carica trasportata q
V
Volt =
Joule/Coulomb
V = J/C = (N•m)/C
E = N/C = V/m
Cariche negative si muovono spontaneamente da V minore a V maggiore.
Viceversa le cariche positive.
Elettrostatica
pag. 13
Differenza di potenziale
Poiché, come per il campo gravitazionale, il punto di
riferimento del valore del potenziale (V=0) è arbitrario,
non conta il valore assoluto del potenziale in ogni punto
ma la differenza tra due valori di potenziale,
che non cambia anche se cambia il valore di riferimento arbitrario.
-∆
∆V = VA-VB
= lavoro (energia) necessario per spostare
una carica di 1 Coulomb da A a B
(fatto “contro” la forza di coulomb)
diff.di potenziale (d.d.p.) o tensione elettrica
fornita ad es. da:
rete elettrica
∆V = 220 V (alternata a 50 Hz)
pila
∆V = 1.5 V (stilo)
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pag. 14
ElettronVolt
Volt =
Joule/Coulomb
Joule =
Coulomb•Volt
Lavoro = Energia = Carica elettrica • ∆Potenziale elettrico
Unità di misura pratica di energia su scala atomica:
energia di 1 elettrone in una d.d.p. di 1 V
elettronVolt (eV) = (1.6•10–19 C)•(1 V) = 1.6•10–19 J
e
1 eV = 1.6 •10-19 J
carica elettrone
1 J = 1/(1.6 • 10-19) eV = 6.25 • 1018 eV
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pag. 15
Moto di una carica in un campo elettrostatico
Una carica q di massa m e’ lasciata libera e in quiete nella posizione x = 0m
in una regione di spazio in cui esiste un campo elettrostatico uniforme concorde
e parallelo all’asse x. Descriverne il moto.
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Carica puntiforme (nel vuoto)
1 Q
E=
r̂
2
4πε0 r
N/C = V/m
1 Qq
U=
4πε0 r
J
1 Q
V=
4πε0 r
J/C = V
r r
B r
r Qq  1 1 
 −  = U ( A) − U ( B) = q[V ( A) − V ( B)]
L( A → B ) = ∫ F ⋅ ds = q ∫ E ⋅ ds =
A
A
4πε 0  rA rB 
B
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pag. 17
Dipolo elettrico (cenni)
→
p = momento di dipolo elettrico
d
r
r
p = qd
r
r
p
E∝ 3
r
Eext
Se il dipolo elettrico si trova in un
campo elettrico esterno, il campo
esercita su di esso un momento
torcente pxEext. Il dipolo ha un’energia
potenziale associata all’ orientamento
nel campo U = - p·Eext
Elettrostatica
pag. 18
Teorema di Gauss (1)
Il flusso del campo elettrico attraverso
una superficie è proporzionale al numero
di linee di forza che la attraversano.
r r
Φ = ∑ E ⋅ ∆A
ε 0 Φ = Q int = ∑ q
int
i
i
La legge di Gauss mette in relazione il
flusso del campo elettrico attraverso
una superficie chiusa con la carica
racchiusa dalla superficie stessa.
Può essere considerata come una
generalizzazione della legge di Coulomb.
Elettrostatica
pag. 19
Teorema di Gauss (2)
Il Teorema di Gauss è utile per il calcolo
dei campi elettrici di distribuzioni di
cariche con particolari simmetrie.
Una volta individuato il tipo di simmetria
si sceglie un’opportuna “superficie
gaussiana” attraverso cui calcolare il
flusso del campo.
Esempio: carica puntiforme → simmetria
sferica
Elettrostatica
pag. 20
Teorema di Gauss (3)
Esempio: piastre conduttrici
r
A
r
A
d
Condensatore
r σ
E=
r ±σ
E=
2ε 0
ε0
σ = densità superficiale di carica [C/m2]
Elettrostatica
r
σ
∆V = E d = d
ε0
pag. 21
Superfici equipotenziali (cenni)
Spostare una carica nel campo elettrico senza che sia richiesto un lavoro
(pos. o neg.), ovvero muoverla lungo una superficie equipotenziale, implica:
Elettrostatica
pag. 22
Conduttori (cenni)
I conduttori sono sostanze attraverso
cui le cariche si muovono liberamente
(nei metalli, gli elettroni di conduzione).
Un conduttore si può caricare:
• per contatto con un corpo
carico (acquista la stessa carica)
• per induzione elettrostatica
(acquista carica opposta)
Elettrostatica
pag. 23
Proprietà dei conduttori (cenni)
In condizioni di equilibrio elettrostatico (cariche a riposo):
E = 0 V/m all’interno di un conduttore posto in campo esterno
⇒ schermo elettrostatico (conduttori cavi): gabbia di Faraday.
Le cariche si distribuiscono sulla superficie esterna del conduttore
(da legge di Gauss, altrimenti ci sarebbe E ≠ 0 V/m nel conduttore).
Il conduttore ha potenziale costante (la sua superficie e’ equipotenziale).
Le linee di forza del campo elettrico cadono perpendicolarmente sulla
superficie del conduttore.
E = σ/εε0 in prossimità del conduttore
⇒
Effetto delle punte
Elettrostatica
pag. 24
Isolanti (cenni)
Gli isolanti (o dielettrici) sono sostanze in cui
le cariche non si possono muovere liberamente
Se si avvicina ad un isolante una sbarretta
carica, gli atomi vengono deformati e si
produce eccesso di carica (di “polarizzazione”)
sulla superficie del corpo.
Elettrostatica
pag. 25
Esercizi (I)
Es. 16.3 (Gia)
Quanto vale il modulo della forza di attrazione elettrostatica tra un
nucleo di ferro (q = +26e) e il suo elettrone più interno che orbita a
circa 1.5·10-12 m?
Es. 16.3-Esempi (Gia)
Tre particelle, aventi carica Q1 = -8 µC, Q2 = +3 µC e Q3 = -4 µC,
sono disposte su una retta. La carica “2” è posta tra le altre due
ad una distanza di 0.3 m dalla “1” e di 0.2 m dalla “3”. Calcolare il
modulo della forza totale agente sulla particella “3” dovuta alle altre due.
Es. 16.8-Esempi (Gia)
Due cariche elettriche da -25 µC e +50 µC distano 10 cm.
(a) Determinare l’intensità e la direzione del campo elettrico nel punto P
posto tra le due cariche lungo la congiungente a distanza di 2 cm dalla
carica negativa. (b) Determinare l’accelerazione iniziale (modulo e direzione)
di un elettrone (m = 9.11·10-31 Kg) posto a riposo nel punto P.
Es. 16.30 (Gia)
Calcolare l’intensità del campo elettrico in un punto dello spazio in cui un
protone (m = 1.67·10-27 Kg) è sottoposto ad una accelerazione di 106 g.
Elettrostatica - Esercizi
pag. 26
Esercizi (II)
Es. 1
Quattro cariche uguali di 5×10-10 C sono disposte ai quattro vertici di un quadrato
di 10 cm di lato. (a) Calcolare modulo e direzione della forza agente su ciascuna
carica. (b) Calcolare il campo elettrico e il potenziale nel centro del quadrato. (C) Come
cambia il risultato se sui vertici ci sono alternativamente cariche di segno opposto?
Es. 2
L’atomo di idrogeno è costituito da un protone e un elettrone (me = 9.1 × 10-31 kg,
mp = 1.67 × 10-27 kg). Nello stato fondamentale l’elettrone descrive un’orbita circolare
di raggio 0.5 × 10-10 m attorno al protone. Calcolare l’energia totale del sistema.
Es. 3
Un elettrone si sposta tra due punti A e B sotto l’azione di un campo elettrico.
La velocità dell’elettrone in A è nulla. La differenza di potenziale tra A e B è di 10 V.
Calcolare la velocità dell’elettrone in B.
Es. 17.2-Esempi (Gia)
Un elettrone nel tubo catodico di un televisore viene accelerato dalla sua
posizione di riposo mediante una differenza di potenziale Vab = +5000 V.
(a) Quanto vale la variazione di energia potenziale elettrica dell’elettrone?
(b) Quanto vale la velocità finale dell’elettrone? (m = 9.11·10-31 Kg).
Elettrostatica - Esercizi
pag. 27
Esercizi (III)
Es. 17.3 (Gia)
Un elettrone si muove dal punto A al punto B per effetto di un campo elettrico. La sua energia
cinetica aumenta di 7.45·10-16 J. Determinare la differenza di potenziale tra i punti A e B e
quale dei due è a potenziale maggiore.
Es. 17.7 (Gia)
Calcolare la differenza di potenziale necessaria per incrementare l’energia cinetica di un
nucleo di elio (particella α, Q = 2e) di 65 KeV.
Es. 16-H (Gia)
Un filo molto lungo è carico con densità lineare di carica Q/L uniforme. Determinare il campo
elettrico in punti vicini al filo (esterni ad esso) e lontani dalle sue estremità.
Es. 4
Dimostrare che il campo elettrico sulla superficie di un conduttore vale E = σ/εo.
Es. 16.47 (Gia)
Il campo elettrico tra due lastre metalliche quadrate, di lato 1 m e distanti 3 cm, vale 130 N/C.
Calcolare la carica presente su ciascuna lastra, supponendo le cariche uguali ed opposte e
trascurando gli effetti di bordo.
Es. 16.49 (Gia)
Una sfera metallica piena di raggio 3 m ha carica - 3.5 µC. Quanto vale il campo elettrico a
distanza (a) 0.15 m, (b) 2.9 m, (c) 3.1 m, (d) 6 m dal centro? (e) Come cambierebbero le
risposte se il conduttore fosse, invece di una sfera piena, un guscio sferico sottile?
Elettrostatica - Esercizi
pag. 28