Modellazione a Parametri Concentrati Meccanica delle Vibrazioni

Parte 4 – Modellazione a Parametri Concentrati
Meccanica delle Vibrazioni – II modulo
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4–2
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Parte 4 – Modellazione a Parametri Concentrati
Modello di un azionamento con controllo di posizione e velocità
Nel seguito viene mostrato un esempio di modello di una trasmissione meccanica e del relativo
azionamento. L’azionamento, mostrato in Fig. E.1, è costituito da un motore elettrico a corrente
continua con controllo in loop di corrente (vedi Fig. E.4) che applica una coppia motrice ad un
mandrino che, a sua volta, trasmette il moto ad una pinza terminale attraverso un albero intermedio.
Il moto viene controllato in posizione ed in velocità confrontando le letture di posizione e velocità
fornite da due encoder montati in prossimità del mandrino. In Fig. E.4 è mostrato uno schema del
sistema di controllo.
MANDRINO
MOTORE
θ
PINZA
θ
2
1
ENCODER
θ
3
Fig. E.1 – Schema della trasmissione.
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Parte 4 – Modellazione a Parametri Concentrati
Fig. E.2 – Schema dell’intero azionamento.
Fig. E.3 – Legge di moto, regolatore di posizione e di velocità.
Fig. E.4 – Modello Motore Elettrico con controllo in loop di corrente
Meccanica delle Vibrazioni – II modulo
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Parte 4 – Modellazione a Parametri Concentrati
Modello Motore Elettrico a Corrente Continua
R
L
eq(t)
Campo
fisso
vq(t)
Cm(t )
iq
θm(t )
Fig. E.5 – Schema del motore elettrico
Equazione del circuito d’armatura (iq corrente di armatura, vq forza contro-elettromotrice, eq
tensione ai capi del circuito di armatura, R resistenza di armatura, L induttanza di armatura):
R ⋅ iq (t ) + L ⋅
diq (t )
dt
+ v q (t ) = eq (t )
R ⋅ I q (s ) + L ⋅ s ⋅ I q (s ) + Vq (s ) = E q (s )
La forza contro-elettromotrice si può esprimere in funzione della velocità del rotore (Kb costante di
forza contro-elettromotrice):
v q (t ) = K b ⋅ ϑm (t )
Vq (s ) = K b ⋅ s ⋅ Θ m (s )
La coppia motrice Cm è proporzionale alla corrente (Kc costante di coppia):
C m (t ) = K c ⋅ iq (t )
Cm (s ) = K c ⋅ I q (s )
Le due precedenti, sostituite nell’equazione del circuito di armatura, forniscono:
(R + L ⋅ s ) Cm ( s ) = E q (s ) − K b ⋅ s ⋅ Θ m (s )
Kc
Cm ( s ) = K c
E q (s ) − K b ⋅ s ⋅ Θ m (s )
Infine, ricordiamo che è:
R + L⋅s
Kc = Kb.
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Parte 4 – Modellazione a Parametri Concentrati
Modello Meccanico
Il modello meccanico ha tre gradi di libertà.
La prima coordinata è associata all’inerzia del motore elettrico. La seconda e la terza sono associate
a due inerzie della trasmissione meccanica a valle del motore elettrico.
Le equazioni del moto sono le seguenti:
(
J mϑm = C m + k1 (ϑ 2 − ϑm ) + c1 ϑ2 − ϑm
(
)
(
)
)
(
J 2ϑ2 = − k1 (ϑ 2 − ϑm ) − c1 ϑ2 − ϑm + k 2 (ϑ3 − ϑ 2 ) + c2 ϑ3 − ϑ2
J 3ϑ3 = − k 2 (ϑ3 − ϑ2 ) − c2 ϑ3 − ϑ2
)
I trasduttori di posizione e velocità sono montati in corrispondenza dell’inerzia J2 per cui si ha:
ϑE = ϑ2
e
ϑE = ϑ2
Fig. E.6 – Schema del modello meccanico
Dati numerici
Dati del motore elettrico:
L = 0.003
[Vs/A]
[Nm/A]
Kc = 5
R = 0.4
Kb = 5
[Ohm]
[Vs/rad]
Parametri dei controllori ad azione Proporzionale – Integrale
Anello di corrente
Kpc = 8
[V/A]
Tic = 0.002 [s]
Anello di velocità
Kpv = 95
[Nm/(rad/s)]
Tiv = 0.1
[s]
Parametri del modello meccanico
J2 = 0.085 kgm2
J3 = 0.085 kgm2
k1 = 1.15 106 Nm/rad
k2 = 1.15 105 Nm/rad
Meccanica delle Vibrazioni – II modulo
Jm = 0.6 kgm2

1 

G ( s ) = K p 1 +
 Ti s 
Anello di posizione
Kpp = 72
[1/s]
Tip = 1000
[s]
(di fatto è un controllo ad azione
Proporzionale)
(Velocità di rotazione = 20 rpm)
c1 = q k1
c2 = q k2
q = 10–5 s
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Parte 4 – Modellazione a Parametri Concentrati
Fig. E.7 – Schema dell’intero modello
Risultati
Legge teorica - spostamento [deg]
50
40
30
20
10
0
0
100
200
[deg]
300
Fig. E.8 – Legge teorica (spostamento).
Legge teorica - velocita' [deg/s]
50
0
-50
0
4
x 10
100
-5
200
[deg]
300
Fig. E.9 – Legge teorica (velocità).
300
Fig. E.10 – Errore meccanico (differenza
tra la coordinata 2 e la posizione del
motore).
Errore meccanico X2-X1 [deg]
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
100
200
[deg]
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2
x 10
-4
Errore meccanico X3-X2 [deg]
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
Fig. E.11 – Errore meccanico (differenza
tra la coordinata 3 e la coordinata 2).
-1.5
-2
0
100
200
[deg]
300
Osservazione
Il regolatore di posizione è ad azione proporzionale. Ne consegue un moto effettivo ritardato
rispetto a quello imposto. Sarebbe improprio considerare come errore la semplice differenza tra la
coordinata 2 e il moto imposto (vedi Fig. E.12). E’ più opportuno considerare l’errore a meno del
ritardo (Fig. E.13).
Errore del controllo X2-Xrif [deg]
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
100
200
300
[deg]
Errore del controllo X2-Xrif senza ritardo [deg]
Fig. E.12 – Errore del controllo
(differenza tra la coordinata 2 e il moto
di riferimento).
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
-0.02
0
100
200
[deg]
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300
Fig. E.13 – Errore del controllo
(differenza tra la coordinata 2 e il moto
di riferimento) a meno del ritardo.
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Parte 4 – Modellazione a Parametri Concentrati
Ø Indicazioni Bibliografiche
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Modellazione a Parametri Concentrati di Meccanismi
Meccanica delle Vibrazioni – II modulo
Meccanica delle Vibrazioni – Modulo II
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