Parametri concentrati - caso generale

CONDUZIONE NON STAZIONARIA
Caso generale dei sistemi a temperatura uniforme
• Sebbene il processo di conduzione non stazionaria in un solido sia comunemente dovuto allo scambio
termico convettivo dal fluido circostante, altri processi di scambio termico ed energetici possono coesistere:
–
–
–
Scambio termico per irraggiamento fra il solido e l’ambiente (ad esempio se il solido è contenuto in un’ampia
cavità, vuota o riempita di gas trasparente all’irraggiamento, le cui pareti hanno temperatura diversa da quella del
solido);
Flusso termico imposto su tutta, o parte, la superficie del solido (dovuto, ad esempio, ad un riscaldatore elettrico a
film attaccato sulla superficie);
Generazione interna di energia (es.: passaggio di corrente elettrica nel solido).
– Si assume che inizialmente (t = 0) la temperatura del solido (Ti) differisce
da quella del fluido, T∞, e dell’ambiente, Tamb.
– Si ipotizza inoltre che ambedue le modalità di scambio energetico, di
superficie qs′′ e volumetrica q&g , sono iniziate simultaneamente a t = 0;
ρ, c, V, T(0) = Ti
E& g
Tamb
– Il flusso termico imposto e lo scambio termico convettivo-radiativo
avvengono su porzioni mutuamente esclusive della superficie, As,h e As(c,r);
′′
qrad
– Lo scambio termico convettivo-radiativo avviene dalla superficie del
solido;
qs′′
E& st
As,h
– Sebbene la convezione e l’irraggiamento siano stati prescritti sulla stessa
superficie, queste, in numerose situazioni, possono differire (As,c ≠ As,r).
′′
qconv
As(c,r)
T∞, h
Trasmissione del calore - Conduzione non stazionaria
1
Caso generale dei sistemi a temperatura uniforme – cont.
• Applicando il primo principio (per sistemi chiusi) si ottiene:
dT
′′ + qrad
′′ )As (c ,r ) = ρVc
qs′′ As ,h + E& g − (qconv
dt
(1)
ed esplicitando le espressioni note per i flussi termici specifici:
[
]
4
) As (c,r ) = ρVc dT
qs′′ As ,h + E& g − h (T − T∞ ) + εσ (T 4 − Tamb
dt
( 2)
• Sfortunatamente l’equazione (2) è un’equazione differenziale non-lineare, non omogenea del primo ordine, che
in generale richiede di venire risolta numericamente, utilizzando uno dei numerosi pacchetti/sistemi disponibili
(es. MATLAB, MATHEMATICA, OCTAVE etc.).
• Tuttavia soluzioni analitiche esatte si possono ottenere in alcuni casi semplici.
1. Assenza di flusso imposto e di generazione interna, e scambio termico convettivo nullo o trascurabile
rispetto allo scambio termico per irraggiamento:
– In tal caso l’equazione (2) si semplifica nella:
ρVc
dT
4
)
= −ε As ,r σ (T 4 − Tamb
dt
(3)
– Separando le variabili ed integrando fra la condizione iniziale ed il generico tempo t si ottiene:
ε As ,r σ
ρVc
∫
t
o
dT
Ti T
−T4
dt = ∫
T
4
amb
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( 4)
2
Assenza di flusso imposto e di generazione interna, e scambio termico convettivo nullo
– Valutando ambedue gli integrali nell’equazione (4) e risolvendo per il tempo t, si ottiene:
t=
 Tamb + T
Tamb + Ti
ρVc
ln
−
ln

3
Tamb − Ti
4ε As ,r σ Tamb
 Tamb − T
 −1  T 

−1  Ti  




+ 2  tan 
 − tan  T  
T
amb


 amb  

(5)
– Tale espressione, tuttavia, non si presta ad essere utilizzata per valutare esplicitamente la temperatura T in funzione di t, Ti e
Tamb.
Inoltre, la (5) non conduce direttamente al risultato per il caso particolare Tamb = 0 (radiazione nello spazio). Questo caso
particolare può essere affrontato partendo nuovamente dalla (4), ed ottenendo:
t=
ρVc
3ε As ,r σ
 1
1 
 3 − 3 
Ti 
T
(6)
2. Assenza di irraggiamento con coefficiente convettivo indipendente dal tempo:
– Definendo θ ≡ T - T∞, con dθ/dt = dT/dt, l’equazione (2) si semplifica in un’equazione differenziale non omogenea lineare
del primo ordine, la cui forma è:
dθ
+ aθ − b = 0
dt
dove
a ≡ (h As ,c ρVc )
e
[
b ≡ (qs′′ As ,h + E& g ) ρVc
(7)
]
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3
Assenza di irraggiamento con coefficiente convettivo indipendente dal tempo
– Sebbene l’equazione (7) possa venir risolta sommando la soluzione dell’equazione omogenea e la soluzione particolare,
un’alternativa è quella di eliminare la non omogeneità attraverso la trasformazione:
θ′ ≡θ −
b
a
(8)
– Osservando che dθ’/dt = dθ /dt, e sostituendo l’equazione (8) nella (7) si ha:
dθ ′
+ aθ ′ = 0
dt
(9)
– Separando le variabili ed integrando da 0 a t ( da θ i′ a θ ′ ), segue che:
e sostituendo θ’ e θ:
da cui:
θ′
= exp(− a t )
θ i′
(10)
T − T∞ − (b a )
= exp(− at )
Ti − T∞ − (b a )
(11)
T − T∞
ba
[1 − exp(− at )]
= exp(− at ) +
Ti − T∞
Ti − T∞
(12)
E’ immediato notare che la (12), come deve, per b = 0 si semplifica nella più semplice espressione ricavata nel caso di solo
scambio termico convettivo, e fornisce T = Ti per t = 0.
Inoltre, per t → ∞ la (12) si riduce a (T - T∞) = (b/a), risultato che può essere facilmente ottenuto attraverso un bilancio di
primo principio sulla superficie del corpo.
Trasmissione del calore - Conduzione non stazionaria
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Esempio numerico
Un pannello di lega di alluminio (k = 177 W/(m⋅K), c = 875 J/(kg ⋅ K), e ρ = 2770 kg/m3) di spessore 2L = 3 mm è rivestito su
ambedue le facce con uno strato di epoxy (caratterizzato da un valore dell’emissività ε = 0.8), che deve essere indurito in forno, ad
una temperatura maggiore o uguale di 150°C, per almeno 5 minuti.
La linea di produzione per il trattamento prevede due fasi:
1. Riscaldamento in un forno le cui pareti sono a Tamb,f = 160 °C ed in cui l’aria ha una temperatura di T∞,f = 175 °C, e nel
quale il coefficiente di scambio termico è stimato pari a hf = 40 W/(m2 ⋅K);
2. Raffreddamento successivo in un ambiente chiuso di grandi dimensioni, le cui pareti si trovano a Tamb,c = 20 °C e l’aria è a
T∞,c = 25 °C, con un coefficiente di scambio termico convettivo hc = 15 W/(m2⋅K).
La fase di riscaldamento del processo è eseguita per un intervallo di tempo te che, come osservato, eccede il tempo tc, necessario
per raggiungere la temperatura di 150°C, di 5 minuti (te = tc + 300 s).
Se il pannello è introdotto nel forno ad una temperatura iniziale di 25 °C, e viene rimosso a fine raffreddamento ad una
temperatura, sicura per gli operatori, di 37 °C, quanto vale il tempo necessario per l’intero trattamento ?
Soluzione
Per determinare la validità del metodo dei parametri concentrati, in questo caso, è necessario tener conto anche dell’irraggiamento,
ed effettuare la verifica per ambedue le fasi, riscaldamento e raffreddamento.
Ritenendo valida l’ipotesi di corpo di piccole dimensioni (pannello) in un ambiente di dimensioni molto maggiori (forno e camera
di raffreddamento), vale la:
4
4
qrad = ASεσ (TS − Tamb )
che può venire espressa come:
dove:
qrad = hr AS (TS − Tamb )
2
)
hr ≡ εσ (TS + Tamb )(TS2 + Tamb
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Soluzione – cont.
Sostituendo i valori numerici è agevole verificare che, nelle fasi di riscaldamento e raffreddamento, i valori rappresentativi di hr
sono i seguenti:
hr,f = 14.2 W/(m2⋅K), con TS = 423 K e Tamb = 433 K
hr,c = 8.6 W/(m2⋅K), con TS = 423 K e Tamb = 293 K
Tali valori sono dello stesso ordine di grandezza dei coefficienti di scambio convettivo, e perciò lo scambio termico per
irraggiamento non può essere trascurato.
Pertanto i valori del numero di Biot sono:
Bi f
(h
=
f
+ hr , f ) L
Bic =
k
(
40 + 14.2 )1.5 ⋅ 10 −3
=
= 4.6 ⋅ 10 −4
177
(h
c
+ hr ,c ) L (15 + 8.6 )1.5 ⋅ 10−3
=
= 2 ⋅ 10−4
k
177
Quindi l’approccio ai parametri concentrati è ampiamente giustificato e corretto.
Nel problema in esame non vi è generazione interna di energia, e non vi sono parti della superficie del pannello sulle quali il flusso
termico sia noto ed imposto.
Osservando che:
V = 2 L AS
As ,c = As ,r = 2 AS
la (2) si semplifica nella:
ρcL
[
]
dT
4
)
= − h (T − T∞ ) + εσ (T 4 − Tamb
dt
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Soluzione – cont.
Il problema è stato risolto per mezzo di MATLAB, ed in particolare utilizzando la funzione ode45 – solutore di (sistemi di)
equazioni differenziali ordinarie del prim’ordine non-stiff.
Il risultato numerico è:
Tempo totale necessario
Di cui:
Tempo per il riscaldamento
Tempo per il raffreddamento
= 846.0034[s]
= 433.936[s]
= 412.0674[s]
Mentre l’andamento grafico è:
Soluzione numerica di un problema di conduzione non stazionaria
180
160
Temperatura [° C]
140
120
Raffreddamento
100
80
Riscaldamento
60
40
20
0
200
400
600
tempo [s]
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800
1000
7