Conduzione in transitorio

Lo scambio termico conduttivo
La Conduzione Termica in Transitorio
Corso di Trasmissione del calore
Lo scambio termico conduttivo in regime Transitorio
La soluzione di un problema di conduzione termica in regime transitorio è analiticamente
possibile solo in casi semplici, pertanto è frequente l’uso di ipotesi semplificative che tendano a
ridurre il numero di variabili indipendenti o che si basino su tecniche numeriche e su abachi di
soluzione analitiche complesse.
Il primo caso si incontra qualora si voglia valutare la variazione di temperatura di un corpo
ipotizzando ogni suo punto istantaneamente alla stessa temperatura: è il caso del Metodo dei
Parametri Concentrati, dove il sistema varia la sua temperatura nel tempo a causa di una
generazione interna di calore e/o in virtù delle condizioni a contorno ed iniziali del problema.
Il secondo caso ricalca quanto visto in precedenza per i sistemi multidimensionali stazionari,
dove, mediante approssimazione numerica delle equazioni differenziali che reggono il problema,
le Differenze Finite ci hanno consentito di risolvere la distribuzione di temperatura interna al
corpo oggetto di studio.
Il terzo ed ultimo metodo è quello della soluzione analitica mediante il Metodo della Separazione
delle Variabili, le cui soluzioni possono essere utilizzate grazie alla presenza in letteratura di
abachi grafici (Grafici di Heisler-Grober) dai quali è possibile calcolare il flusso termico locale e la
temperatura interna ad un corpo in geometrie semplici ed in una combinazione lineare delle
stesse.
Approccio Dimensionale al Problema Non Stazionario
Si consideri un corpo “caldo” a temperatura
uniforme pari a Ti immerso istantaneamente in
un fluido a temperatura minore; con il passare
del tempo inizia a formarsi una regione, in
prossimità del contorno dell’oggetto in cui la
temperatura T si porta ad un valore compreso
fra la Ti e la T∞ del fluido.
L’estensione di tale regione aumenta con il
passare del tempo sino a quando gli effetti del
raffreddamento arrivano ad influenzare la
temperatura del centro del corpo.
Si possono individuare tre regimi di flusso
corrispondenti alle tre schematizzazioni della
figura in basso. Il primo a sinistra sarà il
regime “iniziale” in cui il gradiente termico
rimane concentrato in prossimità
dell’interfaccia con il fluido. Il secondo, al
centro, corrisponde ad un regime di
“transizione il cui l’effetto del raffreddamento
arriva al nucleo. Il terzo, a destra, prevede una
distribuzione di temperatura all’interno del
corpo pressoché costante.
Approccio Dimensionale al Problema Non Stazionario
∂ 2T
1 ∂T
Equazione della Diffusione monodimensionale
2
∂
t
α
∂x
 ∂T 
 ∂T 
−



2
∂ T  ∂x  x δ  ∂x  x =0

δ −0
∂x 2
Poiché:
=
Ti − T0
 ∂T 
 ∂T 
∧


0




δ
 ∂x  x δ
 ∂x  x =0
Il termine precedente diventa:
∂ 2T
−
Ti − T0
∂x 2
δ2
A sua volta:
∂T T0 − Ti

e quindi:
∂t
t −0
1
T −T
1 T − Ti
− i 20  ⋅ 0
⇒ δ  (α ⋅ t ) 2
t
α
δ
tc 
r02
α

r02
regime "iniziale"
t 

α
→
r02

regime "finale"
t

α

Se si considera lo strato di materiale di spessore
“δ”, in cui avviene la maggior parte del gradiente
termico, e si assume un suo spessore piccolo, in
relazione alla grandezza del corpo, si può introdurre
una approccio monodimensionale.
Un’analisi dimensionale dei singoli termini porta a
dire che il gradiente di temperatura in prossimità
della fine dello strato “δ” è pressoché nullo e quindi
la derivata seconda della temperatura rispetto ad x
equivale al rapporto fra la differenza (Ti – T0 ) ed il
quadrato dello spessore dello strato termicamente
più coinvolto.
Combinando i singoli termini si vede che lo
spessore dello strato interessato dal gradiente
termico cresce con il tempo e dipende anche dalla
grandezza diffusività termica.
Considerando che il regime “transitorio” si avrà nel
momento in cui l’onda termica arriva al nucleo, si
ottiene:
Il numero di Fourier
L
L
L
Q
Q conduzione
Q accumulato
Si è così creato un gruppo
adimensionale, Fo, che è
anche variabile indipendente
adimensionale
 1
k L2   ∆T
αt
attraverso L per un corpo di volume L3
L
τ
=
= =
Potenza termica accumulata
3
2
ρ c p L ∆T L
3
Potenza termica trasmessa per conduzione
Fo
A differenza della diffusività
termica del corpo che indica la
capacità intrinseca dello
stesso di rispondere alle
sollecitazioni termiche esterne,
il Numero di Fourier fornisce
una indicazione sulla
variazione temporale
dell’Inerzia Termica, che è
legata non solo alla proprietà
del corpo ma anche alla sua
dimensione ed all’istante
temporale in cui viene valutata.
in un corpo di volume L
t
Parametri Concentrati
Il Regime “Finale”
6
Approccio ai Parametri Concentrati
Ipotesi:
1. Il Corpo sia inizialmente ad una temperatura Ti uniforme;
2. Il Corpo venga immerso istantaneamente in un fluido a
temperatura differente pari a T∞
3.
La capacità termica del fluido sia tale che la sua
temperatura rimane invariata nel tempo;
4.
Il coefficiente di scambio termico convettivo possa
essere assunto costante e pari ad h;
5.
La resistenza termica interna conduttiva del corpo sia trascurabile così da poter avere la temperatura di
tutti i punti interni uniforme;
6. Il numero di Biot sia <<1.
V
h⋅
As h ⋅ Lc
=
Bi =
k
k
V = volume del corpo
As = Superficie esterna del corpo
k = Conducibilità termica del corpo
Lc = Lunghezza caratteristica
Sotto queste ipotesi il calore scambiato all’interfaccia solido fluido dovrà necessariamente essere uguale alla
variazione di energia interna del corpo.
dT
−h As (T ( t ) − T∞ ) =
ρ cV
dt
Approccio ai Parametri Concentrati
1
− Q =
∆U
− h As (T ( t ) − T∞ ) =
ρ cV
dT
dt
θ ≡ T ( t ) − T∞
=
− h As θ ρ cV
⇒
⇒
0
dθ
dt
t
ρ cV
0
h As
− ∫ dt
⇒=
− dt
θ
∫θ
i
dθ
θ
θ 
−t
ln   =
h As
 θi 
ρ cV
θ
0.368
dove
ρ cV dθ
h As θ
θi ≡ Ti − T∞
  h As  
t
 −
t
−
θ T ( t ) − T∞
ρ
cV



e
e RC
⇒ =
=
=
Ti − T∞
θi
Il comportamento del solido
che si raffredda secondo le
modalità
a
parametri
concentrati è assimilabile al
comportamento
di
un
condensatore che si scarica su
di una resistenza elettrica.
Dopo una costante di tempo τ il
delta di temperatura fra corpo e
fluido si ridurrà a ca. 1/3 di
quello iniziale.
Dopo 3τ sarà il 5% e dopo 4τ il
2%.
8
Approccio ai Parametri Concentrati
Per conoscere il calore scambiato in un dato lasso di tempo:
=
Q
t
t
0
0
q dt h As ∫ θ dt ⇒
∫=
⇒
t
h As ∫ θi e
0
−
t
RC
t
t
−


RC
d t=
h As θi  − RC e
 ⇒

0
t
−


⇒
Q =θi C 1 − e RC 


Ricordando che:
h Lc
αt
∧
Bi =
Fo =
λ
L2c
si ha:
hA t hL αt
t
= s = c ⋅ 2 =Bi ⋅ Fo
RC ρ V c
λ Lc
⇒
Q =θi C 1 − e − Bi ⋅Fo 
9
Esempio: La Termocoppia
Si consideri una termocoppia con elemento sensibile di diametro 1mm. Posti i dati di
seguito riportati, si calcoli il tempo necessario affinché la giunzione raggiunga il 99%
della differenza di temperatura iniziale rispetto al fluido.
 W 
 W 
 J 
 kg 
=
=
=
=
c
h
λ 35 
ρ
8500
320
210
 2 
p



 3
m
K
kg
K
m


 m K 




Soluzione:
Come prima cosa si calcola la lunghezza caratteristica del corpo:
π
D3
V
6 = 1D
L=
=
= 1.67 × 10−4 [ m ]
c
2
A πD
6
Successivamente si calcola il numero di Biot per la verifica delle Ipotesi:
h Lc 210 × 1.67 × 10−4
=
= 0.0001 < 0.1
Bi =
35
λ
10
Esempio1: La Termocoppia
Verificata la possibilità di utilizzare il metodo ai parametri concentrati basterà verificare che
per avere il 99% del delta iniziale il rapporto adimensionale delle temperature dovrà
essere pari a 0.01.
Calcolata successivamente la costante di tempo RC si può invertire l’espressione della
diminuzione esponenziale di temperatura, ottenendo la variabile che si stava cercando.
T ( t ) − T∞
Ti − T∞
= 0.01
hA
h
1
210
1 
= = =
=
0.462
 s 
RC ρ c p V ρ c p Lc 8500 × 320 × 1.67 × 10−4
t
−
T ( t ) − T∞
= e RC ⇒ 0.01
= e −0.462 t ⇒=
t 10 [ s ]
Ti − T∞
11
Esempio2
Una persona viene rinvenuta morta in una stanza in cui la temperatura ambientale è
stata mantenuta praticamente costante da un impianto di riscaldamento al valore
Ta=22°C. Per poter risalire all’ora del decesso, si misura la temperatura corporea del
morto e si ottiene il valore Tb=26°C.
Si stima che il coefficiente di scambio termico tra la superficie del corpo e l’ambiente
circostante sia h=10W/(m2K). Determinare da quanto tempo è avvenuto il decesso
In prima approssimazione si può modellizzare il corpo come un cilindro avente diametro
D=30 cm ed altezza H=1,70 m.
Soluzione:
π D2
L
=
V
=
A
4
H
π DH + 2
πD
4
=
2
0,3m
=
= 0, 07 m
D
0,3
4+2
4+2
H
1, 7
D
12
Esempio2
Per quanto riguarda le proprietà termofisiche del corpo si assumono i seguenti valori
(molto prossimi a quelli dell’acqua, considerando che circa il 70% della massa del corpo
umano è costituito da questo elemento):
c p ≈ 4, 2
kJ
kgK
λ ≈ 0, 7
W
mK
ρ = 1200
kg
m3
Usando l’approccio ai parametri concentrati:
Bi=
Rint erna hc L
=
=
λb
Resterna
10
W
2
⋅ 0, 07 m
m K
0, 7
W
mK
= 1 > 0,1
R
C
Il numero di Biot non soddisfa una delle condizioni per l’applicabilità del metodo. Si prova
comunque a vedere il risultato per un eventuale successivo confronto.
13
Esempio2
Tb (t ) = T∞ + (T0 − T∞ ) e
RC=
t
RC
R
=
−
ρ c pV
ρcp L
hA
h
=
t=
− RC ln
=
1200
kg
m3
⋅ 4, 2103
10
1
C ρ c pV
=
hA
J
⋅ 0, 07 m
kgK
W
≈ 3, 5 ⋅104 s ≈ 10h
m2 K
Tb − T∞
( 26 − 22 )
=
−3, 5 ⋅104 ⋅ ln
≈ 46260 s ≈ 13h
T0 − T∞
( 37 − 22 )
14
Il Solido Semi Infinito
Nel regime iniziale lo strato di solido
interessato
dal
gradiente
termico
è
rappresentato dalla distanza delta; qualora
tale distanza sia piccola in relazione
all’estensione del corpo di potrà introdurre
una trattazione di corpo semi-infinito con un
approccio di tipo monodimensionale nello
strato iniziale.
Nella figura accanto viene introdotta l’ipotesi
che il coefficiente di scambio termico
convettivo sia abbastanza elevato da faer
coincidere la temperatura superficiale esterna
con la temperatura del fluido indisturbato.
∂ 2T
1 ∂T
∂x 2 α ∂t
=
T T=
per
t 0
i
=
=
T T=
per
x 0
∞
T → Ti
per
x→∞
Osservando la figura di sinistra si vede come
le curve siano fra loro simili nel partire dal
medesimo punto per arrivare ad una
temperatura Ti mediante un’unica curvatura.
Questa osservazione ci suggerisci di cercare
un profilo di temperatura di similarità che sia
funzione dello spazio e del tempo:
T T=
=
(η ) con η
x
(α ⋅ t )
1
2
15
Il Solido Semi Infinito
∂T dT ∂η dT
1
=
⋅
=
⋅
∂x dη ∂x dη (α ⋅ t ) 1 2
Applicando il cambio di variabile e
sostituendo i singoli termini che descrivono
l’equazione della conduzione nello strato
delta, si ottiene una nuova equazione che
può facilmente essere riordinata per una
successiva separazione delle variabili ed
integrazione.
⇓
∂ 2T
d  ∂T
=

dη  ∂x
∂x 2
Inoltre:
2
1
 ∂η d T
=
⋅

 ∂x dη 2 (α ⋅ t )
d (T ' )
T'

∂T dT ∂η dT 
x
−

=
⋅
=
3 
1
∂t
dη ∂t
dη 
 2 ⋅α 2 ⋅ t 2 
Riprendendo l'equazione della Conduzione:
 d 2T η
 2+
2
 dη
2
∂ T
1 ∂T

=
⇒
T= T∞
2
∂
t
α
∂x
T →
i



dT
=
0
dη
per
per
η= 0
η →∞
dT
η
T'=
=
− dη con
dη
2
⇓
T'
η2
ln T ' =
−
+ ln C1 ⇒ ln 
−
=
C
4
4
 1
⇓
η2
 η2
dT
= C1 exp  −
 4
dη




⇓
T= C1
∫
η
0
 β2
exp  −
 4


 d β + C2

16
Il Solido Semi Infinito
Prendendo in esame la prima condizione al contorno:
  β 2 
=
− T∞ C1
exp  −    d β
C2 T∞ e quindi T=
0
  2  
Nell'espressione dell'integrale si riconosce la definizione della funzione errore:
∫
=
erf ( x )
2
π
1
2
∫
x
(
η
)
exp − m 2 dm
0
in cui erf ( =
0 ) 0 , erf ( ∞
=
) 1e
d
erf ( x ) x ==
0
dx
π
2
= 1.1284
1
2
Riscrivendo l'equazione del solido semi infinito:
T − T∞ = 2C1
π
1
2
2
2
π
1
2
∫
η
2
0
2
exp  − ( m )  dm = C3 ⋅ erf


η 
 
2
Introducendo infine la seconda condizione al contorno:


Ti − T∞
T − T∞
x
 ∂T 
 ed inoltre q '' ( t ) =
=
−
=
−
erf 
k
k


1 
1

Ti − T∞
x
∂


2
0
=
x
t
t
⋅
⋅
⋅
⋅
2
α
π
α
(
) 2
) 
 (
17
Il Solido Semi Infinito
– Flusso Termico Constante q ''  α ⋅ t 
T ( x, t ) − Ti 2 
=

k  2 
1
2


 x 2  q ''
x

x ⋅ erfc 
exp  −
−
1
 4α t  k

2


⋅
t
2
α
(
)


dove:
erfc ( x ) = 1 − erf ( x )
L'andamento nel tempo della temperatura superficiale sarà:
q ''  α ⋅ t 
T0 ( t ) −=
Ti T ( 0, t ) −=
Ti 2 

k  2 
1
2
(q'' costante)
- Scambio Convettivo all’Interfaccia-
 ∂T 
−k 
h (T∞ − T ) =

 ∂x  x =0




 h ⋅ x h 2α ⋅ t 
1
T ( x, t ) − T∞
x
x
h
 + exp 

2
erfc
t
= erf 
+
+
⋅
α
(
)

1 
1
 k



Ti − T∞
k
k 2 
2
2

t
t
α
α
2
2
⋅
⋅
(
)
(
)




18
Il Solido Semi Infinito
19
Il Solido Semi Infinito
20
Il Solido Semi Infinito – Esempio -
Rif. Pag. Prec.
Si consideri una tazza ad una temperatura iniziale di 25 [°C] in cui viene istantaneamente
versato del tè alla temperatura di 70 [°C]. Si assuma che la temperatura della superficie
interna arrivi immediatamente ad una temperatura di 70 [°]. Calcolare dopo quanto tempo
un punto della tazza a 2 [mm] da tale superficie arriverà ad un temperatura di 30 [°C].
21
Il Solido Semi Infinito
– Esempio 

T − T∞
x

= erf 
1

Ti − T∞
2
t
2
α
⋅
⋅
(
)




x
30 − 70

 0.889
= erf
=
1

25 − 70
2
t
2
α
⋅
⋅
(
)


Dalle tabelle relative ai valori dell'argomento della funzione errore si trova:
x
2 ⋅ (α ⋅ t )
1
2
4[mm 2 ]
1
x2
≅ 1.14 ⇒ t ≅
=
⋅
= 1.92 [ s ]
2
2 −1
5.2
0.004[cm s ]
( 2.28 ) ⋅ α
22
Soluzioni Analitica e Grafica
θ ( x, t ) =
Temperatura adimensionalizzata
Distanza adimensionalizzata
x
L
=
X
Coeff. Di Scambio Termico adimensionalizzato
Bi =
Tempo adimensionalizzato
τ=
hL
λ
αt
L2
T ( x, t ) − T∞
Ti − T∞
≡
r
r0
(Numero di Biot)
(Numero di Fourier)
Il vantaggio di presentare i vari parametri in forma adimensionale deriva dalla successiva facilità nella loro
rappresentazione in forma grafica.
23
Soluzioni Analitiche Approssimate
Per τ >0.2, trascurando i termini superiori al primo della soluzione esatta, si commette un
errore inferiore al 2%.
Allora per un corpo:
• inizialmente a temperatura uniforme Ti;
• privo di generazione interna;
Distribuzione di
Temperatura
Adimensionale
• Con scambio convettivo con un fluido a temperatura T∞ con coefficiente di scambio
termico h costante e uniforme.
Parete Piana
=
: θ ( x, t )
T ( x, t ) − T∞
2
λ x
= A1 e − λ1 τ cos  1 
Ti − T∞
 L 
T ( r , t ) − T∞
 λ1 r 
− λ12 τ
Cilindro : =
J 0 cos 
θ ( x, t ) = A1 e

Ti − T∞
r
 0 
Sfera :
=
θ ( x, t )
T ( r , t ) − T∞
2
= A1 e − λ1 τ
Ti − T∞
sin  λ1 r 
r0 

λ1 r r
0
24
Scambio
Termico
Rapporto di
Temperatura
al Centro
Della Geometria
Soluzioni Analitiche Approssimate
( x 0) :
=
Centro della Parete Piana
θ=
0, parete
(r 0) :
=
Centro del Cilindro
θ=
0,cilindro
(r 0) :
=
Centro della Sfera
θ 0, sfera
=
2
T0 − T∞
= A1 e − λ1 τ
Ti − T∞
2
T0 − T∞
= A1 e − λ1 τ
Ti − T∞
2
T0 − T∞
= A1 e − λ1 τ
Ti − T∞
Parete Piana
 Q 
sin λ1
= 1 − θ 0, parete


λ1
 Qmax  parete
Cilindro
J1 ( λ1 )
 Q 
=
−
θ
1
2


0,cilindro
λ1
 Qmax cilindro
Parete Piana
 Q 
sin λ1 − λ1 cos λ1
θ
=
−
1
3


0, sfera
λ13
 Qmax  sfera
25
Soluzioni Analitiche Approssimate
26
Soluzione Grafica: Heisler Gröber
T ( x, t ) − T∞
Ti − T∞
T ( x, t ) − T∞
=
Ti − T∞
T ( x, t ) − T∞
=
Ti − T∞
∞
∑
2
n =1
sin ( λn )
x
α ⋅t 


cos  λn  exp  −λn2 2 
λn + sin ( λn ) cos ( λn )
L

L 

∞
∑ (λ
2
n
n =1
∞
∑
n =1
2 ⋅ Bi
+ Bi 2
)

α ⋅t 
r 

⋅ J 0  λn  exp  −λn2 2 
L 

J 0 ⋅ λn
 r0 
λ r
sin  n 
sin ( λn ) − λn cos ( λn )
 r0  exp  −λ 2 α ⋅ t 
⋅
2
 n 2 
λn r
λn − sin ( λn ) cos ( λn )
L 

r0
Qi =
ρWHLc (Ti − T∞ )
∫
t
Q (t ) =
WH q '' dt
0
 T ( x, t ) − T∞ 


 Ti − T∞  solido
 T ( x, t ) − T∞ 
 T ( 0, t ) − T∞ 
⋅ c



 Tc − T∞ differenza sul centro  Ti − T∞
centro
A ciascuna geometria sono associati 3 diagrammi che,
noto il numero di Biot per la geometria considerata,
consentono:
1. di calcolare la temperatura T0 al centro della
geometria in un dato istante t;
2. di calcolare la temperatura in altri punti del solido
nello stesso istante in funzione di T0;
3. di calcolare la quantità complessiva di calore
trasmesso fino al tempo t.
Facendo ad esempio riferimento al caso della lastra
piana, si osserva immediatamente che la temperatura
al centro della lastra, per un determinato istante t, si
ottiene direttamente dal grafico di diapositiva 32
calcolati l’inverso del numero di Biot ed il numero di
Fourier.
Se a questo punto volessimo sapere la temperatura in
un qualsiasi punto intermedio fra l’asse di mezzeria
della lastra e la superficie esterna, potremmo trovarlo
dal grafico in diapositiva 33 che lega la temperatura
del punto incognito al tempo t con la temperatura della
mezzeria al medesimo istante.
Volendo infine conoscere il flusso termico attraverso i
contorni del solido sino al tempo t, basterà usare il
grafico in diapositiva 34 che relaziona Q al calore Qi
pari alla variazione totale di energia interna.
27
La Lastra Piana
28
La Lastra Piana
29
La Lastra Piana
30
Il Cilindro
31
Il Cilindro
32
Il Cilindro
33
La Sfera
34
La Sfera
35
La Sfera
36
Esempio: Parete in Laterizio Pieno




2L =
30 [ cm ] =
0.3 [ m ] 

 W 

h = 10  2 

m K 

2
−3  m 
= 1.7 ⋅10 
α

 h 
 W 

m K 
λ = 0.75 
⇒
hL
Bi = =
2 ⇒
λ
1
=
0.5
Bi
37
Esempio: Parete in Laterizio Pieno
Tx − T∞
θ ( x ) Ti − T∞ Tx − T∞
θ ( x)
=
=
⇒ T * ( x ) = T0*
θ 0 ( 0 ) T0 − T∞ T0 − T∞
θ0 ( 0 )
Ti − T∞
38
Esempio: Parete in Laterizio Pieno
T * (1) = 0.1 per
= 1.4
=
Fo
αt
L2
⇓
T * ( 0 )= 0.1 per Fo= 2.1=
αt
L2
⇒ t= 2.1
L2
α
t = 1.4
 28h
L2
α
 18.5h
39