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Lavoro delle forze nei fluidi
L = L P + LG + Latt + Lest = ∆EC
Sm
1
1
1
⎛1
2
2
2
2 ⎞
∆EC = mvv − mvm = ⎜ ρvv − ρv m
⎟V
2
2
2
⎠
⎝2
C
Sv
C’
D D’
lv= vv
∆t
AA
’
hv
BB
’
hm
lm= vm∆t
L P = PmSmv m ∆t − PvSvvv ∆t = (Pm − Pv )V = − ∆P ⋅V
LG = mghm − mghv = (ρgh m − ρghv )V = - ∆EP
(Pm − Pv ) + (ρghm
Latt Lest ⎛ 1
1
2
2 ⎞
− ρghv ) +
+
= ⎜ ρvv − ρv m
⎟
2
V
V
⎝2
⎠
Latt Lest
∆EP ∆EC
+
= ∆P +
+
V
V
V
V
Fluidi ideali: Teorema di Bernoulli
L = L P + L G + L att + L est = ∆EC
L att L est
1
⎛1
2
2 ⎞
+
= (Pv − Pm ) + (ρgh v − ρgh m ) + ⎜ ρv v − ρv m ⎟ = 0
2
⎝2
⎠
V
V
Pv Pm
1 2 1 2
+ hv − h m +
vv −
vm = 0
ρg ρg
2g
2g
P2
v 22
v12
P1
+ h1 +
=
+ h2 +
= costante
2g
ρg
2g
ρg
Dinamica dei fluidi reali: viscosità
v=0
In un condotto di lunghezza L
Fa = 4πηLv M
η= coefficiente di viscosità.
Diminuisce per T ↑
vM
Parete
Dimensioni [η] = [L-1][M][T-1]
Unità di misura: [SI] poiseuille; 1 poiseuille ≡ 1 N.s/m2
[CGS] poise (P); 1 P ≡ 1 dina.s/cm2
Fattore di ragguaglio
1 poiseuille = 10 P
sostanza
acqua
sangue
η
≈ 0.01 P
≈ 0.04 P
Fluidi reali: lavoro delle forze di attrito
Latt Lest
∆EP ∆EC
∆P
+
=
+
+
V
V
V
V
In un condotto di lunghezza L
Fa = 4πηLv M
L att
8 ηL
= − 4 Q = −RQ
V
πr
S
r
R = resistenza
Per un condotto cilindrico
a sezione costante:
8ηL
− 4Q
πr
L
8ηL
Lest
∆EP ∆EC
− 4Q+
= ∆P +
+
πr
V
V
V
Fluidi reali: legge di Poiseuille
8ηL
Lest
∆EP ∆EC
− 4Q+
= ∆P +
+
πr
V
V
V
8ηL
− 4 Q = ∆P = Pv − Pm
πr
S
r
L
8ηL
legge
di
Poiseuille
Pm − Pv =
Q
4
πr
Pressione e velocità del sangue e volume dei
vasi
velocità
pressione
mm Hg
aorta
arterie
100
capillari venule
arteriole
cava
60
20
cm/s
50
30
10
cm3
volume
vene
2200
2000
1000
100
325
50
250
300
300
APPLICAZIONI
Da un vaso sanguigno con sezione S di area di 8mm2 si
diramano 4 vasi più piccoli di sezioni S’ uguali tra loro.
Quale dev’essere l’area di ciascuna di tali sezioni perché la
velocità del sangue sia la stessa che nel vaso grande?
4S’ = S
Un liquido scorre in un condotto di raggio r = 2,5 cm, che
si suddivide in N condotti tutti uguali. Sapendo che la
velocità del liquido nel condotto principale è v=12 cm/s e
che la portata (flusso) di ciascuna diramazione è Q = 78,5
cm3/s, calcolare N.
N=3
πr2v=NQ
N=3.14x6.25x12/78.5=3
Aneurisma e
stenosi
S1
v1
S2
S2>S1
v2
S1
costanza della portata: v 2 = v1
S2
legge di Bernoulli:
P1 v12 P2 v 22
+
=
+
ρg 2g ρg 2g
v2<v1
P2>P1
Pertanto l’aneurisma tende a peggiorare.
Analogamente in corrispondenza a un restringimento
(stenosi) la velocità aumenta e la pressione diminuisce.
La stenosi tende a peggiorare.
Esempio: Un’arteria di raggio r1=2,5 mm è parzialmente
bloccata da una placca. Nella regione ostruita il raggio
effettivo è r2=1,8 mm e la velocità media del sangue è v2 =50
cm/s. Calcolare la velocità media v1 del sangue nella regione
non ostruita.
Soluzione: Chiamando S1 e S2 le sezioni dell’arteria
rispettivamente nelle regione non ostruita e ostruita
S1v1 = S 2v 2
S2
v2 =
⇒ v1 =
S1
πr22
πr12
v2
(
1,8 × 10 )
=
(2,5 ×10 )
−1 2
−1 2
× 50 = 25,9 cm s .
Calcolare la differenza tra le pressioni nelle due sezioni
Per la legge di Bernoulli:
ρ 2 2 1
P1 − P2 = v2 − v1 = ⋅ 502 − 262 = 912 dine/cm2 = 0,68mmHg
2
2
(
)
(
)
Circolazione del sangue
Possiamo calcolare la caduta di pressione nel sangue
quando attraversa un capillare.
Un capillare ha una lunghezza tipica di ≈1 mm, raggio
r = 2.10-6 m, <v> = 0,33mm/s e η = 4.10-3 N.s/m2.
8ηL
8ηL 2
Pm − Pv = 4 Q = 4 πr 〈v 〉
πr
πr
Pm − Pv =
8 × 4 × 10 −3 × 10 −3 × 0,33 × 10 −3
4 × 10
−12
=
= 0,26 × 10 4 N m 2 = 19,5 mm Hg
Esempio: Lungo un tratto di un condotto cilindrico, inclinato di 30˚
rispetto ad un piano orizzontale, scorre un liquido ideale in condizione di
moto stazionario. Si determini la differenza di pressione tra due
sezioni del condotto che distano L= 80 cm se la densità del liquido è ρ =
1g/cm3. Se la sezione del condotto andasse
restringendosi verso l’alto, tale differenza
di pressione sarebbe maggiore,minore o
hm
uguale rispetto al valore
30°
h
v
determinato?
Soluzione:
Si può applicare il teorema di Bernoulli
1
⎛1
2
2 ⎞
(Pv − Pm ) + (ρghv − ρghm ) + ⎜ ρvv − ρv m ⎟ = 0
2
⎝2
⎠
Il condotto è cilindrico
(Pv
vv = vm
− Pm ) = ρg (hm − hv ) = ρgL senθ = 1 ⋅ 980 ⋅ 80 ⋅ 0,5 =
= 39200 dine/cm 2 = 29,4mmHg
Esempio: Lungo un tratto di un condotto cilindrico verticale, di diametro
d=10 mm e lungo 10 m, scorre acqua in condizioni di moto
stazionario in regime laminare. La velocità media dell’acqua S
B
hB
in corrispondenza della sezione in basso (SA)è <v>=1 m/s.
(a)Quanto vale la differenza di pressione PA-PB se il
liquido scorre verso l’alto?
L
(b) Quanto vale la differenza di pressione se il liquido
scorre verso il basso? (η = 0,01 poise, ρ = 1 g/cm3).
hA
SA
∆EP
Soluzione: ∆P = -RQ -
RQ =
∆EP
V
8ηL
πr 4
V
πr 2v = 32000 dine/cm 2
= ρgL = 1 × 980 × 1000 = 9,8 × 10 5 dine/cm 2
(a)
PA − PB = − ∆P = RQ + ρgL = 10,12 × 10 5 dine/cm 2
(b)
PA − PB = ∆P = −RQ + ρgL = 9,48 ×10 5 dine/cm 2
Lungo un tratto verticale di un condotto cilindrico di
diametro D=20mm scorre verso il basso acqua in condizioni
di moto stazionario in regime laminare con velocità media
v=50 cm/s nella sezione in basso. Qual’ è la differenza di
pressione tra due sezioni del condotto che distano L=10m?
Il coefficiente di viscosità dell'acqua è pari a 0,01 poise e
la sua densità è d=1 g/cm3
∆EP
SB
∆P
-RQ
=
hB
V
8 ηL 2
2
RQ =
π
r
v
=
4000
dine/cm
πr 4
L
SA
hA
∆EP
V
= ρgL = 1 × 980 × 1000 = 9,8 × 10 5 dine/cm 2
PA − PB = ∆P = −RQ + ρgL = 9,76 ×10 5 dine/cm 2
PA − PB = 732,2 mmHg
Esempio: Dato il condottoin figura percorso da un fluido ideale, tracciare
un grafico che rappresenti in modo qualitativo l’andamento della pressione
lungo il condotto medesimo.
SA
Fare questo partendo dalla sezione
SB
A-A ed arrivando alla sezione E-E,
SE
attraverso le sezioni B-B, C-C e D-D,
S
SC
D
con SA =SB =SC =SD.
Soluzione:
1
P + ρgh + ρv 2 = costante
2
Sv = costante ⇒ v A = v B = vC = v D > v E
PE
PC
PA
A
B
C
D
E
Lavoro del cuore: Calcolare il lavoro cardiaco di ogni
pulsazione per un soggetto sotto sforzo in cui la frequenza
cardiaca è di 180 pulsazioni al minuto, il volume pulsatorio di
160 cm3, la pressione media del ventricolo sinistro è di 150
mmHg e la pressione nella vena cava è uguale a zero.
Determinare la potenza cardiaca media.
Soluzione:
Il lavoro cardiaco compiuto nel corso di una pulsazione è:
(
)
L = ∆P × V = (150 mmHg ) × 160 cm 3 =
= (150 × 1333 ) × 160 = 3,2 × 107 erg = 3,2J
Questo lavoro viene eseguito nel tempo di (60/180) s =0,33 s.
W =
L
V
= ∆P ×
= ∆P × Q
∆t
∆t
W =
3,2
= 9,7 watt.
0,33
Esempio: Calcolare la resistenza del circolo sistemico sapendo che la
gittata cardiaca (portata) vale 6 l/min, la pressione media nell’aorta è di
90 mm Hg e la pressione nell’atrio destro è di 6 mm Hg. Esprimere il
risultato in unità [cgs].
Si supponga di voler aumentare la gittata cardiaca di 4 volte, senza con ciò
imporre al cuore un aumento di potenza. Perché ciò accada deve
aumentare il raggio medio delle arteriole. Supponendo che il resto del
circolo presenti resistenza nulla, di quanto deve aumentare questo raggio?
Soluzione:
R = 1.2x103 dine.s/cm5
R’ = R/16
r’ = 2r
Esempio: Se la viscosità del sangue aumenta del 10%, di
quanto deve aumentare la potenza del cuore per mantenere
costante la gittata cardiaca?
Soluzione:
− RQ + W Q = 0
W = RQ
2
Per un condotto cilindrico: R =
W' = 1,1W
8ηL
πr 4
Esempio: Tre tubi antincendio sono collegati ad un idrante antincendio.
Ciascun tubo ha il raggio r di 2,0 cm. L’ acqua entra nell’ idrante
attraverso un tubo il cui raggio è R=8,0 cm. In questo tubo l’acqua ha la
velocità V di 3 m/s.
a) Si trovi la velocità v dell’acqua in ciascuno
dei 3 tubi piccoli.
b) Quanti litri di acqua vengono riversati su
un incendio in un’ora?
Soluzione:
a)
2R
Q = S × v = cost
πR 2V = 3πr 2v ⇒ v =
2r
πR 2V
3πr
2
⇒
64 × 3 × 10 2
v=
cm/s = 16 m/s
3×4
2
b) vol. = πR V × ∆t = 3,14 × 64 × 300 × 3600 ≈ 217.000litri
Esempio: Un liquido fluisce lungo un tubo orizzontale il cui raggio è r =
2,0 cm. Il tubo si piega lungo la verticale ascendente per un tratto L=
10 m e si unisce ad un altro tubo orizzontale
il cui raggio è R = 4,0 cm. Si determini la
2R
portata che mantiene uguali le pressioni
nei due tubi orizzontali.
2r
Soluzione:
A
B
Q = S A × v A = SB × vB
(
)
1
PA − PB + ρg (h A − h B ) + ρ v A2 − v B2 = 0
2
Q = πR 2 × v A = πr 2 × v B ⇒ v B =
(
)
2g (h A − hB ) + v A2 − 16v A2 = 0
2gL
= 15v A2
R2
r
2
v A = 4v A
2
2
⇒vA =
gL =
× 9,8 ×10 = 13,07 = 3,7 m/s
15
15
Esempio: Un tratto di vaso sanguigno di sezione costante (lunghezza l =20
cm e raggio r =1 mm) è disposto come in figura. La differenza di quota tra
SAe SB è h=10cm. Si determini la differenza di pressione PA-PB tra le
pressioni ematiche esistenti in corrispondenza delle sezioni SAe SB se il
sangue scorre nel verso indicato con velocità media vA =4 cm/s in
corrispondenza della sezione SA . Il coefficiente di viscosità del sangue è
η=0,04 poise e la sua densità è ρ = 1g/cm3.
SB
Latt Lest
∆EP ∆EC
+
= ∆P +
+
V
V
V
V
Soluzione:
SA
v
PA-PB = (9800+2560) dine/cm2=9,27mmHg
Se il sangue scorresse verso il basso, si avrebbe:
PA-PB = (9800-2560) dine/cm2=5,43mmHg
h
- Una grande arteria ha un raggio di 4mm e il sangue vi scorre con una
portata di 1.5 cm3/s. Calcolare: a) la velocità media del sangue, b) la
caduta di pressione, in mmHg, in un tratto dell’arteria lungo 10 cm quando
l’individuo è disteso. (η = 0.04 poise) (a: v=2.98 cm/s, b: ∆P=0.05 mmHg).
- L’aorta di un individuo ha un raggio di 1.4 cm. Calcolare la resistenza e la
caduta di pressione in un tratto lungo 20 cm se la portata e di 100 cm3/s
(R=5.3 unità CGS, ∆P=0.04 mmHg).
- Un vaso sanguigno di raggio R si ramifica in numerosi vasi di raggio
r=R/6. Se la velocità media del sangue nei vasi più piccoli è un terzo di
quella del vaso più grande, quanti sono i vasi secondari? (n=108).
- Calcolare la pressione idrostatica esercitata da una colonna di sangue
alta 80 cm. (densità del sangue=1.06g/cm3) (P=63.16 mmHg).