4. fluidi aeriformi nei condotti

Politecnico di Torino
Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine
4. FLUIDI AERIFORMI NEI CONDOTTI
Nello studio delle macchine si pone il problema di determinare la conformazione
dei condotti in modo che il fluido subisca determinate trasformazioni durante il
suo passaggio; il problema complementare è rappresentato dall’individuazione
dell’evoluzione che il fluido sperimenta nell’attraversare un condotto di forma
assegnata e con determinate condizioni al contorno.
Nella presente trattazione ci si riferirà esclusivamente al moto di fluidi aeriformi
(comprimibili), tralasciando l’estensione al caso dei fluidi incomprimibili (liquidi).
4.1 DEFINIZIONI PRELIMINARI
VELOCITA’ DEL SUONO
La velocità del suono è generalmente identificata con la velocità di
propagazione delle “piccole perturbazioni” in un fluido in cui si ritiene
trascurabile la conducibilità termica. Il suo valore non dipende dalla geometria
del campo di moto (monodimensionale, bidimensionale,…), ma esclusivamente
dallo stato fisico del mezzo:
 ∂p 
c S =   ,
 ∂ρ  S
dove p è la pressione del fluido, ? la sua densità, mentre la derivata sotto radice
quadrata è effettuata ad entropia costante (si considera la propagazione di una
perturbazione infinitesima: le variazioni delle grandezze fisiche attraverso l’onda
sono infinitesime e le trasformazioni del fluido si possono considerare
reversibili; inoltre il fluido è supposto un sistema adiabatico, privo di
conducibilità termica).
Utilizzando la legge di evoluzione isentropica (p/?K=cost), l’espressione della
velocità del suono diventa la seguente:
cS = k
p
,
ρ
valida per qualunque aeriforme (gas perfetto, fluido reale, vapore, ecc.). Nel
caso di gas perfetto, utilizzando l’equazione di stato, si ottiene:
c S = kRT .
Nel caso del vapor d’acqua occorrerà far riferimento al diagramma di Mollier per
determinare l’esponente k dell’evoluzione isentropica. Ad esempio, noti valori di
p1 e ?1 (punto iniziale della trasformazione), spostandosi isentropicamente si
possono leggere i valori p2 e ?2 di un generico punto lungo l’evoluzione. E’
possibile allora calcolare il valore di k mediante la seguente espressione:
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p2
p1
k=
.
ρ2
ln
ρ1
ln
E’ opportuno notare che errori anche piccoli di lettura dei valori di pressione e
volume specifico sul diagramma di Collier possono condurre a valori di k,
calcolati per mezzo dell’equazione precedente, assai imprecisi.
NUMERO DI MACH
Il rapporto tra la velocità del fluido in un punto e la velocità locale del suono
prende il nome di numero di Mach:
M=
c
.
cS
GRANDEZZE TOTALI (DI RISTAGNO) DI UNA CORRENTE
Si definiscono proprietà o grandezze di ristagno (o totali, o di arresto) di una
corrente fluida i valori che i parametri termodinamici della corrente
acquisterebbero se questa fosse decelerata fino a velocità nulla
isentropicamente.
Figura 4.1: Grandezze totali di una corrente fluida.
L’entalpia totale è definita dalla somma dell’entalpia e dell’energia cinetica. Per
l’unità di massa:
c2
i0 = i +
.
2
Applicando il primo principio della termodinamica in forma locale ad una
trasformazione adiabatica e senza scambio di lavoro con l’esterno, si ottiene:
Q e + L i = ∆i + ∆E c ,cf ,gr ,
( Q e = Li = ∆E cf ,gr = 0 )
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∆i + ∆E c = 0 ⇒ ∆( i +
c2
c2
) = 0 ⇒ i 0 = cos t = i +
.
2
2
Dalle precedenti relazioni si deduce che, per un fluido in moto stazionario
(anche non isentropico), in una trasformazione adiabatica e senza scambi di
lavoro l’entalpia totale è una grandezza costante.
Per un gas ideale vale inoltre la seguente relazione:
c2
c2
c2
) = 0 ⇒ c PT +
= cos t ⇒ T +
= cos t = T 0 ,
2
2
2c P
0
dove con il simbolo T si è indicata la temperatura totale, che dunque è una
grandezza costante (per un gas ideale) in una trasformazione adiabatica e
senza scambi di lavoro con l’estero applicata ad un fluido in moto stazionario
(anche non isentropico).
E’ bene rimarcare il fatto che le precedenti equazioni sono state ricavate non
imponendo l’isentropicità del moto. Le definizioni e la costanza dell’entalpia
totale e, per un gas ideale, della temperatura totale non dipendono pertanto da
questa assunzione.
Le altre grandezze di arresto, invece, per loro stessa definizione, sono i valori
raggiunti dalle corrispondenti grandezze statiche quando la corrente viene
arrestata con un processo isentropico.
La pressione totale può essere calcolata con la seguente relazione,
supponendo l’evoluzione isentropica:
∆i 0 = 0 ⇒ ∆( i +
T 

p 0 = p
T 
0
k
k −1
,
nella quale, al solito, l’apice “0” serve a distinguere le grandezze totali da quelle
statiche. Per la densità totale, analogamente, vale l’espressione seguente:
1
 T 0  k −1
 .
ρ 0 = ρ 
T 
Per quanto detto, pressione e densità totali si conservano in tutto il dominio solo
nel caso di moto permanente isentropico, in assenza di scambi di calore e
lavoro con l’esterno.
Con passaggi relativamente semplici, si ricavano infine le seguenti espressioni
delle grandezze totali:
T0
k −1 2
= 1+
M ,
T
2
k
p0
k − 1 2 k −1
= (1 +
M ) ,
p
2
1
ρ0
k − 1 2 k −1
= (1 +
M ) .
ρ
2
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La prima delle precedenti relazioni è valida solo nell’ipotesi di gas ideale, le
altre due valgono anche per gas reale o vapore.
4.2 EFFUSORI E DIFFUSORI
Per lo studio del moto dei fluidi nei condotti si adotteranno le seguenti ipotesi
semplificative:
a) Flusso unidimensionale - un’unica coordinata, cioè l’ascissa misurata lungo
l’asse del condotto, è sufficiente per individuare le condizioni del flusso, e
quindi in ogni sezione normale all’asse del condotto il fluido si trova in
condizioni termodinamiche e di velocità uniformi.
b) Flusso stazionario - le caratteristiche del fluido non sono funzioni del tempo,
ma solo dello spazio, cioè le caratteristiche del fluido in ogni singola sezione
sono costanti nel tempo.
EFFUSORE
Un effusore è un condotto in cui l'effetto utile è costituito da un aumento della
velocità in uscita rispetto a quella in ingresso a spese di una riduzione di
pressione fra monte e valle del sistema stesso. Applicando il primo principio
della termodinamica in forma euleriana ad un sistema comprendente un
condotto fisso (rispetto al sistema di riferimento inerziale) attraverso il quale un
fluido comprimibile ideale si muove in moto stazionario, la velocità di efflusso,
trascurando il termine legato alla variazione di energia potenziale, può essere
scritta nel modo seguente ipotizzando il flusso unidimensionale:
c 2 = 2 ⋅ (i 1 − i 2 ) + 2 ⋅ Q e + c12 ,
dove i pedici “1” e “2” indicano rispettivamente la sezione di ingresso e quella di
uscita.
Utilizzando invece il primo principio in forma mista, si ottiene:
 2

c2 = 2 − ∫ vdp − Lw  + c12 .
 1

Se si considera il caso particolare di notevole importanza pratica in cui il flusso
evolve secondo una politropica adiabatica con perdite (Qe = 0 e Lw ≠ 0), e se si
assume che la velocità in ingresso sia trascurabile rispetto a quella finale, la
velocità di efflusso può essere espressa dalle relazioni seguenti:
m −1
m −1




m




p2
k
p2 m 



c2 = 2 ⋅ c p (T1 − T2 ) = 2 c pT1 1 −  
= 2
p1v1 1 −  
,



p
k
1
p1  
−

1 







p
 m
c2 = 2
p1v 1 1 −  2
  p1
m − 1


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


m −1
m


 −L .
w 




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Come si può notare dalle equazioni precedenti, la velocità di uscita da un
condotto può essere calcolata se sono note le condizioni del fluido in ingresso
(p1 e T1), la pressione in uscita p2 e l'esponente m della trasformazione
(ovviamente devono anche essere note le proprietà del fluido). Spesso,
piuttosto che ragionare in termini di conoscenza del coefficiente della
politropica, si preferisce fare riferimento al valore del coefficiente di riduzione di
velocità φ = c2 / c2,is . Questo, nel caso di trasformazione adiabatica e con
velocità in ingresso al condotto trascurabile, può essere scritto, nel modo
seguente:
m −1
ϕ=
c2
c 2is
p  m
1 −  2 
 p1 
=
,
k −1
k
p 
1 −  2 
 p1 
ricordando che la velocità di efflusso isentropico vale
c 2 is

p
k
= 2
p1 v 1 1 −  2

k −1
p
  1



k −1
k

.


I rendimenti idraulico ed isentropico dell'effusore sono definiti nel modo
seguente:
∆E c
∆E c
η ye =
,
ηe =
.
∆E c + Lw
∆E cis
Se il sistema non è inerziale, tutte le relazioni precedenti sono applicabili con
riferimento al moto relativo.
DIFFUSORE
Un diffusore è un condotto in cui l'effetto utile è costituito da un aumento della
pressione in uscita rispetto a quella in ingresso a spese di una riduzione della
velocità tra ingresso ed uscita. Applicando il primo principio della termodinamica
in forma euleriana ad un sistema comprendente un condotto fisso (rispetto al
sistema di riferimento inerziale) attraverso il quale un fluido comprimibile ideale
si muove in moto stazionario, e ipotizzando che la trasformazione alla quale è
soggetto il fluido sia una politropica, risulta:
m −1


 p2  m



Qe = ∆i + ∆Ec = c pT1  
− 1 + ∆Ec ,
 p1 



m
Q − ∆E c
 m −1
p 2 = p1  e
+ 1
,

 c pT1
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dove, al solito, è stato trascurato il termine dovuto alla variazione di energia
potenziale.
Applicando il primo principio in forma mista, si ottiene:

p
m
L i = 0 = ∫ vdp + Lw + ∆E c =
RT1  2
 p1
m −1
1

2



m −1
m

− 1 + Lw + ∆E c ,


m
 m −1


L + ∆Ec 
p2 = p1 1 − w
 .
m

RT1 
m −1


Analogamente a quanto visto per l’effusore, il rendimento idraulico ed il
rendimento isentropico di un diffusore sono definiti nel modo seguente (∆Ec <
0):
∆E c + Lw
∆i
η yd =
,
η d = is .
∆E c
∆i
Se il sistema non è inerziale, tutte le relazioni precedenti sono applicabili con
riferimento al moto relativo.
4.3 ANDAMENTO DELLE AREE IN UN CONDOTTO
Esprimendo la variazione di portata fra due sezioni distanti dx lungo il condotto
e considerando il fluido in moto permanente, si può scrivere:
& dA dc dρ
dm
=
+
+
=0.
&
m
A
c
ρ
[1]
Dal primo principio della termodinamica espresso in forma euleriana con Li = 0
e Lw = 0 risulta (sistema inerziale):
dp
= −c ⋅ dc ,
ρ
da cui si evince che ad un aumento di velocità corrisponde una diminuzione di
pressione, e viceversa. Sostituendo nella [1], si ottiene:
dA dp dρ
ρ dA
1
1
1 dA
1
1
1
−
+
=0⇒
−
+
=0⇒
= 2 − 2.
[2]
2
2
A dp c
A
ρc
ρ
A dp ρc
ρ  dp 
c
s
 dρ 


Nella scrittura delle precedenti relazioni si è assunta l’ipotesi di moto
isentropico, e dunque si è calcolata la derivata della pressione rispetto alla
densità ad entropia costante:
 dp 
2


= cs ,
 dρ S = cos t
dove cS è la velocità del suono. La [2] può essere anche scritta come segue:
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ρ dA 1
= 2 1− M2
A dp c
(
)
dove M è il numero di Mach.
Si possono a questo punto effettuare alcune considerazioni sull’andamento
delle aree delle sezioni di passaggio del fluido lungo la linea d’asse di un
effusore o un diffusore, secondo quanto riassunto nella tabella seguente:
Effusore
Diffusore
Subsonico
c < cs M < 1
Supersonico
c > cs M > 1
dA < 0
dA > 0
dA > 0
dA < 0
dp < 0
dp > 0
Risulta pertanto che un effusore o ugello è un convergente se il moto
all’ingresso del condotto è subsonico, è un divergente se invece è supersonico.
Per un diffusore valgono le condizioni opposte. Nel caso di ugello convergentedivergente, dunque, se nella sezione minima non si è raggiunta la velocità del
suono, rendendo divergente il condotto il flusso non viene più accelerato.
Si parla di condizioni critiche quando in un punto viene raggiunta la velocità
del suono (M=1).
Tali conclusioni sono valide anche se il sistema non è inerziale, purchè si faccia
riferimento al moto relativo.
4.4 PRESSIONE CRITICA IN UN CONVERGENTE
Ipotizzando di avere a disposizione un condotto convergente nel quale il fluido
evolva secondo una trasformazione isentropica (Qe = 0 e Lw = 0), il primo
principio della termodinamica si semplifica in questo modo:
2
2
c 2 ,is − c1
0 = i 2 ,is − i 1 +
.
2
La massima pressione di valle che rende sonica la velocità di efflusso è detta
pressione critica pcr. Se per ipotesi, inoltre, c1 = 0, applicando il primo principio
al condotto, risulta:
 dp 
2

c 22,is = c 2s = 
= 2c p (T1 − T2,cr ) ,
 dρ  S =cos t
con
2
c 2 s = kRT2 ,cr .
Si può pertanto scrivere:
2
T2 ,cr

k
RT1 1 −
k −1
T1

T
T

2 
 = kRT2 ,cr = kRT1 2 ,cr ⇒
1 − 2 ,cr
T1
k −1 
T1

 T2 ,cr
 =
,
 T1
da cui si ottiene:
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T2 ,cr
T1
k
p 2 ,cr  2  k −1
2
=
⇒
=
 .
k +1
p1
 k +1
La velocità del suono nella sezione ristretta può essere espressa in funzione
delle sole condizioni di monte:
2
c2 s = kRT2 cr = kRT1
2
2
2
= c1s
.
k +1
k +1
Nell’ipotesi in cui le condizioni a monte dell’ugello siano pari a quelle totali o di
arresto, la pressione critica può essere ricavata immediatamente come segue:
k
k
p0
k − 1 k −1
p0
 k + 1 k −1
= (1 +
=
) ⇒
 .
2
p2,cr
p2,cr  2 
Il valore del rapporto critico tra pressione di uscita e pressione di monte dipende
solo dal valore di k (nell’ipotesi di moto isentropico). Generalmente il rapporto
p2,cr/pmonte è compreso tra 0.487 e 0.58 per k variabile tra 1.66 (gas
monoatomici) e 1.135 (vapore saturo secco).
4.5 UGELLO SEMPLICEMENTE CONVERGENTE (CASO IDEALE)
Consideriamo la figura 4.2, in cui è rappresentato un ugello semplicemente
convergente (effusore subsonico) e, sovrapposto, un grafico che riporta
l’andamento della portata in massa di fluido che lo attraversa in funzione della
pressione all’uscita del condotto.
Siano p1 e p2 le pressioni all’ingresso e all’uscita dell’ugello rispettivamente. Se
le due pressioni coincidono, non ci sarà portata all’interno del condotto, ma,
mano a mano che la pressione all’uscita diminuisce, la portata aumenta.
Quando nella sezione di uscita si sono raggiunte le condizioni critiche, ovvero la
velocità del fluido è pari a quella del suono e la pressione è uguale a p2,cr, allora
la portata si mantiene costante, cioè non aumenta più, anche abbassando
ulteriormente la pressione p2. Questo può essere spiegato da un punto di vista
fisico in questo modo: quando la pressione all’uscita è maggiore della pressione
critica, il fluido si muove verso valle ad una velocità più bassa rispetto a quella
del suono. Abbassando p2, ma mantenendosi ancora al di sopra della pressione
critica, l’informazione di questo abbassamento, che viaggia alla velocità del
suono, riesce a procedere verso monte (visto che la velocità del fluido è minore
della velocità del suono), richiamando altro fluido (e quindi la portata aumenta).
Allorchè nella sezione di uscita si sono raggiunte le condizioni critiche, ovvero la
pressione è pari a p2,cr e la velocità del flusso nella sezione di uscita è uguale
alla velocità del suono, l’informazione di un’ulteriore diminuzione della
pressione di sbocco non è più in grado di procedere verso monte, e di
conseguenza la portata si mantiene costante.
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Figura 4.2: Andamento della portata in massa in funzione della pressione di sbocco e
della velocità per un ugello semplicemente convergente.
Nella figura sottostante è riportato lo stesso andamento della portata al variare
della pressione all’uscita del condotto in un grafico ribaltato rispetto alla figura
precedente:
Figura 4.3: Andamento della portata in massa di fluido in funzione della pressione di
sbocco.
Per un ugello semplicemente convergente la più alta velocità raggiungibile dal
fluido è la velocità del suono nella sezione di uscita.
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CALCOLO DELLA PORTATA
E’ possibile ricavare l’equazione del “tratto curvo” del grafico di figura 4.3,
ovvero della portata in funzione della pressione della sezione di uscita (detta
sezione, essendo la più piccola viene anche chiamata sezione ristretta o
sezione di gola).
1° caso: p2 ≥ p2,cr : la portata in massa di fluido vale:
1
0
k
k p1
0  p2 


m = ρAc = ρ 2 Ar c 2 = Ar ρ1  0  2
k − 1 ρ10
 p1 
•
•
m = Ar
0
1
p
p10v 10
k −1


k


1 −  p2  
 p0 ,
  1  
k +1
2


k




p2 k 
k  p2 
−  0   = Ar
2
k − 1  p10 
 p1  


0
p1
0
p10v 1
 p 
f  k , 20  .
 p1 
[3]
2° caso: p2 ≤ p2,cr : la pressione nella sezione di sbocco risulta essere
costantemente uguale a p2,cr (condizioni critiche). La portata dell’ugello risulta
essere allora la seguente:
•
m cr = Ar
k +1
0
p1
0
p10v 1
 2  k −1
k

 k + 1
[4]
Questa è anche l’equazione del tratto lineare del grafico di figura 4.3.
Si definisce pressione di adattamento quella pressione per la quale si verifica
uguaglianza tra la pressione dell’ambiente di valle e la pressione della sezione
di scarico. A parità di condizioni di monte, al variare della pressione di valle,
l’ugello si mantiene adattato finchè si raggiunge allo sbocco la pressione critica.
Raggiunta la velocità del suono, in uscita, ulteriori abbassamenti della
pressione di valle non modificano le portate. E’ quindi inutile, ai fini delle
portate, creare un vuoto spinto a valle, in quanto la portata dipende ora solo
dalle condizioni di monte.
Se l’ugello non è adattato, cioè la pressione nell’ambiente esterno è minore
della pressione di sbocco (nella sezione di gola), allora il fluido è costretto ad
espandersi all’esterno dell’ugello con inevitabili perdite di natura fluidodinamica.
Si consideri un ugello semplicemente convergente in certe condizioni di
pressione in corrispondenza della sezione di ingresso. A tale ugello
corrisponderà un grafico della portata in funzione della pressione di sbocco del
tipo di quello introdotto in precedenza, con il tratto curvo rappresentato dalla
relazione [3] e con il tratto rettilineo rappresentato dalla relazione [4].
Se, a parità di temperatura T1° del fluido, la pressione totale all’ingresso
aumenta, come mostrato nella figura 4.4, anche la pressione critica dovrà
necessariamente aumentare, dal momento che la quantità p2,cr / p10 è costante.
Di conseguenza, in queste nuove condizioni di esercizio, l’andamento della
portata in funzione della pressione di sbocco sarà rappresentato da una curva
del tutto simile a quella precedente, ma caratterizzata da un valore di portata
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critica più elevato. Si noti, nel grafico di figura 4.4 (che riporta l’andamento della
portata in funzione della pressione di sbocco per diversi valori della pressione in
corrispondenza della sezione di ingresso), come i punti rappresentativi delle
condizioni critiche siano tutti allineati secondo una retta uscente dall’origine.
Figura 4.4: Andamento della portata in massa di fluido in funzione della pressione di
sbocco al variare della pressione in corrispondenza della sezione di ingresso. I punti
rappresentativi delle condizioni critiche sono allineati lungo una retta uscente
dall’origine.
4.6 UGELLO CONVERGENTE – DIVERGENTE (UGELLO DI DE LAVAL)
(CASO IDEALE)
Per ottenere il passaggio da un flusso subsonico ad uno supersonico è
necessario disporre di un condotto convergente – divergente: infatti se
all’ingresso si ha un flusso subsonico, per accelerare la corrente bisogna
incanalarla in un condotto convergente, permettendo così al flusso di
espandersi fino al valore della pressione critica nella sezione di gola e di
raggiungere in tale sezione la velocità del suono; ora, se si desidera che la
velocità aumenti ulteriormente, diventando supersonica, il condotto, a partire
dalla sezione di gola, deve diventare divergente permettendo così un’ulteriore
espansione del flusso.
Si faccia riferiemento riferimento alla figura 4.5, che rappresenta l’andamento
della portata in massa di fluido e della velocità di sbocco in funzione della
pressione di uscita.
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Figura 4.5: Andamento della portata in massa di fluido in funzione della pressione di
sbocco e della velocità per un ugello di De Laval.
Sia p10 la pressione totale all’imbocco. Se la pressione in corrispondenza della
sezione di uscita è uguale a quella in ingresso, allora la portata sarà nulla.
Mano a mano che la pressione allo sbocco diminuisce, la portata tende ad
aumentare. La pressione nella sezione ristretta diventa critica quando la
pressione allo sbocco raggiunge un determinato valore, chiamato pressione
limite (p2,lim). In queste condizioni, nella sezione di gola, la velocità del flusso è
pari alla velocità del suono. Fino al raggiungimento della p2,lim il fluido si
espande nel convergente aumentando la propria velocità, mentre nel divergente
si comprime, diminuendola. La velocità della corrente in corrispondenza della
sezione di sbocco alla pressione limite è stata indicata con c2,lim (minore della
velocità del suono). Per quanto riguarda la portata che attraversa l’ugello, al
diminuire della pressione di uscita essa tende ad aumentare e diventa critica
soltanto quando la pressione di sbocco ha raggiunto il valore limite.
Riducendosi la pressione all’uscita al di sotto della p2,lim, la portata non
aumenterà più. Nel caso in cui la pressione di valle p2 sia compresa tra p2,lim e
p2,ad, il comportamento dell’ugello non può essere spiegato se non facendo
ricorso a fenomeni non isentropici, detti urti. Si tratta concettualmente di sezioni
di discontinuità nella pressione e nell’entropia (che aumentano) e nella velocità
(che diminuisce). Gli urti possono essere retti, se la sezione di discontinuità è
perpendicolare all’asse del condotto, e attraverso essi un flusso supersonico
diventa subsonico, oppure obliqui, se la sezione di discontinuità non è
perpendicolare all’asse del condotto, e attraverso essi un flusso supersonico
può o meno diventare subsonico; a valle di un urto retto il flusso è ancora
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isentropico, mentre a valle di uno obliquo la vena fluida in genere si stacca dalle
pareti e tutto procede “come se in quel punto il condotto terminasse”.
Esiste un valore della pressione di valle che localizza l’urto retto allo sbocco del
condotto. Al di sotto di questo valore di pressione si manifestano urti obliqui a
monte dello sbocco a seguito dei quali la pressione aumenta, la vena fluida si
stacca dalle pareti del condotto e procede indisturbata.
Per riuscire ad utilizzare l’ulteriore espansione del fluido nel divergente e quindi
portare la corrente all’uscita del condotto da sonica a supersonica, è necessario
abbassare la pressione di sbocco fino alla pressione di adattamento p2,ad.
Questa è da considerarsi condizione ottimale ed è pertanto da intendersi come
situazione di funzionamento in condizioni di progetto.
Se la pressione di sbocco è inferiore alla pressione di adattamento,
l’andamento della pressione nel condotto è quello di adattamento e
l’espansione dal valore di pressione di adattamento al valore di valle si realizza
nell’ambiente di scarico attraverso onde di espansione.
CALCOLO DELLA PORTATA
Per un condotto convergente – divergente ideale, la relazione
& = A2 ⋅
m
k +1
2


k
 p2  k 
k  p2 

 − 

2
k − 1  p1 ° 
p1 °  



0
1
p
0
p10v 1
[5]
è vera solo fino a quando le condizioni di portata nel condotto consentono
condizioni di espansione isentropiche, ovvero:
-
nei casi in cui il condotto funzioni come tubo di Venturi (espansione e
ricompressione), fino al raggiungimento del punto in cui si verifica la
condizione sonica nella sezione ristretta (condizione limite);
-
in corrispondenza della condizione di adattamento.
La massima portata è quella critica, pari a:
k +1
0
& cr = Ar c sr ρ r = Ar
m
 2  k −1
k
=

 k + 1
p1
0
p10v 1
0
= A2 c 2,lim ρ 2,lim = A2 ⋅
p1
0
p10v 1
0
= A2 c 2,ad ρ 2,ad = A2 ⋅
p1
0
p10v 1
k +1
2


k  plim  k  plim  k 


 − 
⋅ 2
=
k − 1  p1 ° 
p1 °  



2
k +1


k  pad  k  pad  k 


 − 
⋅ 2
.
k − 1  p1 ° 
p1 °  



La portata subcritica dipende dalle condizioni totali, ma anche dalle condizioni
di valle. Nel caso invece di ugello critico, le variazioni di valle non possono
risalire la corrente (dal momento che la velocità di trascinamento è maggiore o
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uguale a quella del suono). Di qui l’indipendenza della portata critica dalla
pressione di valle.
Si consideri ora il grafico di figura 4.6, che riporta l’andamento della portata in
massa di fluido al variare della pressione di sbocco.
Figura 4.6: Andamento della portata in massa di fluido in funzione della pressione di
sbocco.
Tracciando la curva della portata (equazione [5]), si ottiene la curva tratteggiata
in figura 4.6, e quindi anche il valore della portata critica rappresentata dal tratto
rettilineo, il quale interseca la curva relativa al convergente in corrispondenza
della pressione di adattamento e della pressione limite.
Analogamente al caso dell’ugello semplicemente convergente, nel piano che
rappresenta la portata in massa di fluido in funzione della pressione di sbocco,
aumentando la pressione totale in corrispondenza della sezione di ingresso si
ottengono tante curve con portata critica crescente, in cui tutti i punti angolosi
individuati dalla pressione limite sono allineati lungo una retta uscente
dall’origine (figura 4.7).
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Figura 4.7: Andamento della portata in massa di fluido in funzione della pressione di
sbocco al variare della pressione in corrispondenza della sezione di ingresso. I punti
dati dalla pressione limite sono allineati lungo una retta uscente dall'origine
CALCOLO DELLA PRESSIONE LIMITE
Per calcolare la pressione limite esistono due metodi:
1) si uguaglia la formula della portata in condizioni generiche con quella della
portata critica (la pressione limite è in corrispondenza dell’intersezione tra le
due curve descritte da queste due equazioni); si ottiene:
 2 
Ar k 

 k + 1
k +1
k −1
= A2
2
k +1


k




p2 k 
2k  p2 
−  0   .
k − 1  p10 
 p1  


Le soluzioni fisicamente accettabili sono due, date dalle due intersezioni della
curva di portata con il tratto orizzontale che individua la portata critica: la
pressione limite e la pressione di adattamento.
2) si può anche procedere mediante “l’approssimazione ellittica della portata”,
ovvero è possibile approssimare la curva che esprime la portata reale ad
un’ellisse. Per l’ugello semplicemente convergente si perviene alla seguente
equazione:
 •
 m
 •
 m cr
2
  p − p 2
  2
cr

 +  p 0 − p  = 1 ,
cr 
 
mentre per l’ugello di De Laval:
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2

 •
 m Ar   p2 − pcr
 +  p° − p
 •
cr
 m cr A2  
2

 = 1.

Se in quest’ultima equazione si pone:
•
•
m = mcr ,
ovvero si interseca l’ellisse con una retta orizzontale avente come ordinata il
valore della portata critica, si perviene ad un’equazione di secondo grado le cui
due soluzioni sono la pressione di adattamento e la pressione limite.
In genere il tratto convergente degli ugelli è abbastanza corto dal momento che
non esiste il pericolo del distacco della vena fluida; inoltre, minore è la sua
lunghezza, minori sono le perdite di natura fluidodinamica. Il tratto divergente,
invece, è decisamente più lungo affinchè il fluido possa espandere senza
incorrere nel pericolo di un distacco della vena. Infine è necessario che il
divergente termini con le pareti parallele all’asse dell’ugello per evitare che la
velocità del fluido in uscita abbia componenti perpendicolari all’asse.
4.7 ESERCIZI SVOLTI
1) Ad un ugello convergente-divergente perviene elio (k = 1.67; cp = 5130 J /
(kg*K)) con velocità d'ingresso c0 = 100 m / s, p0 = 10 MPa e t0 = 800 °C. Le
condizioni di adattamento sono pari a p1ad = 4 MPa e t1ad = 500 °C e l'ugello può
essere considerato adiabatico. Calcolare la velocità di sbocco ed il lavoro delle
resistenze passive, ammettendo politropica la linea di trasformazione.
SOLUZIONE
Applicando il primo principio in forma euleriana con Qe = 0 e Li = 0, risulta:
2
2
c1 − c 0
∆i + ∆E c = c p (T1ad − T0 ) +
=0.
2
La velocità di efflusso nella sezione di sbocco è:
c1 = 2 c p (T0 − T1ad ) + c0 = 1757.27 m/s .
2
L'esponente della politropica può essere calcolato per mezzo della formula
seguente:
T
lg 0
m −1
T1ad
=
= 0.3579 ,
p0
m
lg
p1ad
da cui risulta:
m = 1.5574.
Il calore specifico della trasformazione vale:
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c = cp
da cui il lavoro di attrito:
(m / k ) −1
= −620.543 kJ/kgK
m −1
Lw = c (T1ad − T0 ) = 186.163 kJ/kg .
2) Un ugello convergente-divergente riceve nella sezione di ingresso (A0 = 100
cm2) aria (k = 1.4; R = 287 J / (kg*K)) con velocità d'ingresso c0 = 200 m / s,
pressione e temperatura d’ingresso rispettivamente p0 = 120 kPa e t0 = 150 0C.
Il tratto convergente è isentropico e, al termine di esso, la temperatura, in
corrispondenza della sezione ristretta, è pari a tr = 100 °C; il tratto divergente
invece, pur essendo adiabatico, ha un’evoluzione di tipo politropico con
esponente pari a 1.47. Nella sezione di uscita l'aria ha una velocità c1 = 100 m /
s. Calcolare le aree della sezione ristretta e della sezione allo sbocco, e
determinare la pressione in corrispondenza di tali sezioni.
SOLUZIONE
Applicando il primo principio in forma euleriana con Qe = 0 e Li = 0, nel tratto
convergente dell'ugello risulta:
2
2
cr − c0
∆i + ∆E c = c p (T r − T0 ) +
=0,
2
dove Tr e cr sono rispettivamente la temperatura e la velocità nella sezione
ristretta; esplicitando cr risulta:
cr = 2
k
2
R (T0 − Tr ) + c0 = 374.766 m/s .
k −1
La velocità del suono nella sezione ristretta vale
cs = kRTr = 387.132 m/s > cr ,
e l'ugello pertanto non è critico.
Applicando il primo principio in forma euleriana con Qe = 0 e Li = 0, nel tratto
divergente dell'ugello risulta:
2
2
c1 − c r
∆i + ∆E c = c p (T1 − T r ) +
=0,
2
da cui si può ricavare la temperatura nella sezione di sbocco:
2
2
cr − c1
T1 = Tr +
= 437.932 K ,
2cp
dove:
k
cp =
R = 1004.5 J/kgK .
k −1
Le pressioni e le masse volumiche nella sezione ristretta e in quella di sbocco
possono essere calcolate per mezzo delle seguenti relazioni:
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T
p r = p 0  r
 T0
p
ρr = r
RTr



k
k −1
= 77.263 kPa ,
= 0.7217 kg/m3 ,
m
m −1
T 
p1 = pr  1 
= 127.633 kPa ,
 Tr 
p
ρ1 = 1 = 1.0155 kg/m3 ,
RT1
mentre la massa volumica nella sezione di ingresso vale:
p
ρ0 = 0 = 0.9884 kg/m3 .
RT0
La portata di fluido che passa attraverso l'ugello vale
& = A0 ρ0 c0 = 1.977 kg/s
m
e, per l'equazione di continuità, si ha:
& = Ar ρ r c r = A1 ρ1 c1 ,
m
da cui si possono ottenere la sezione ristretta e la sezione di uscita, che
valgono rispettivamente Ar = 73.09 cm2 e A1 = 194.68 cm2.
3) Due ugelli di De Laval disposti in serie l'uno rispetto all'altro con interposta
una capacità (in cui il primo dissipa l'energia cinetica di scarico) presentano le
seguenti condizioni:
• ingresso 1° effusore - aria (k = 1.4; R = 287 J / (kg*K)) a p0I = 30 bar e T0I =
1200 K con velocità di ingresso trascurabile. La sezione minima è ArI = 5
cm2. L'espansione è adiabatica reversibile, in condizioni adattate.
2
• il 2° effusore presenta una sezione minima ArII = 20 cm e scarica
nell'ambiente (1 bar e 20 °C) con un'espansione adiabatica reversibile, in
condizioni adattate.
Calcolare la portata dei due effusori e la velocità di scarico dei due ugelli.
Calcolare inoltre le aree di sbocco dei due effusori.
SOLUZIONE
Entrambi gli ugelli sono adattati, pertanto nella sezione ristretta si ha la
pressione e la temperatura critica. Per il primo ugello pertanto si ha, ricordando
che la pressione e la temperatura di monte coincidono con le rispettive
grandezze totali (°):
k
p rI = p0 I
0
k
 2  k −1
 2  k −1
= 15.848 bar ,
= p0 I 



 k +1
 k +1
 2 
T rI = T0 I 
 = 1000 K ,
 k +1
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4. Moto degli Aeriformi nei Condotti - pag. 53
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ρ rI =
prI
= 5.522 kg/m3 ,
RTrI
crI = kRTrI = 633.877 m/s .
La portata che transita attraverso il primo ugello vale:
& = ArI ρ rI c rI = 1.75 kg/s .
m
La temperatura a monte del secondo ugello può essere calcolata per mezzo del
primo principio in forma euleriana applicato ad un sistema termodinamico
comprendente il primo ugello e l'intera capacità. In questo modo risulta che la
sezione di uscita del fluido corrisponde alla sezione di ingresso del secondo
ugello, per la quale la velocità del fluido stesso è trascurabile in quanto
dissipata all'interno della capacità.
Ricordando che questo sistema termodinamico è adiabatico (Qe = 0), senza
organi mobili (Li = 0) e con variazione di energia cinetica nulla, risulta:
∆i = c p (T0 II − T0 I ) = 0 ,
cioè:
T0 II = T0 I = 1200 K .
Applicando ora l'equazione di continuità ai due ugelli, si ottiene:
k +1
p 0II
 2  k −1
& = ArI ρ rI c rI = ArII ρ rII c rII = ArII
m
k
.

RT0II
 k + 1
Da questa relazione è possibile ricavare la pressione in ingresso al secondo
effusore, uguale a quella di uscita dal primo p0II = p1I = 1.499 bar.
Applicando il primo principio in forma euleriana con Qe = 0 e Li = 0 al primo e al
secondo effusore, risulta che le velocità di efflusso dalle sezioni di sbocco
valgono rispettivamente:

p
k
k
c1I = 2
R (T0 I − T1I ) = 2
RT0 I 1 −  1I

k −1
k −1
 p0 I


p
k
c1II = 2
RT0 II 1 −  1II

k −1
p
  0 II



k −1
k



k −1
k

 = 887.983 m/s ,



 = 1027.186 m/s .


L'equazione di continuità scritta con riferimento alla sezione ristretta e alla
sezione di sbocco permette di ottenere la relazione seguente:
2
Au = Ar
k − 1  2  k −1


2  k + 1
2
k
 p1 
p 
  −  1 
 p0 
 p0 
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k +1
k
.
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La precedente relazione, applicata ai due effusori, permette il calcolo delle due
aree di sbocco che valgono rispettivamente: AuI = 14.55 cm2 e AuII = 21 cm2.
4.8 ESERCIZI
1) Calcolare la portata e la velocità del getto di un endoreattore con effusore
refrigerato, per il quale le condizioni in camera di combustione sono di 18
ata e 3500 K, la pressione esterna (di adattamento) di 0.5 ata. L’espansione
è politropica con esponente m = 1.19, il gas ha massa molecolare pari a 25
kg/kmol, l’esponente k = 1.2, il calore massico scambiato è pari a 30 kcal/kg,
la sezione di sbocco A2 = 20 cm2.
•
[Risultati: c2 = 2413 m / s; m = 0.36 kg / s]
2) In un ugello convergente - divergente del distributore di una turbina a vapore
si fanno espandere 3.5 kg / s di vapor d’acqua da 30 bar e 500 °C (c1 = 0 m /
s) fino a 10 bar. Ammettendo isentropica l’espansione, calcolare la sezione
finale del condotto e valutare l’area della sezione ristretta.
[Risultati: c2 = 825.8 m / s; A2 = 11.8 cm2; k = 1. 257; Amin = 10.4 cm2]
3) Un ugello semplicemente convergente con condizioni a monte 5 ata e 150°C
(c1 =0 m / s), e pressione di valle 2 ata lascia passare 3 kg / s di aria (k =
1.4, R = 287 J / (kg*K)). Calcolare la velocità e la temperatura nella sezione
si sbocco per una espansione isentropica. Calcolare inoltre la nuova portata
se le condizioni di monte diventano 10 ata e 300 °C e la pressione di valle 4
ata.
•
[Risultati: c2 = 376. 34 m / s; t2 = 79. 5 °C; m' = 5.15 kg / s]
4) Ad un ugello adiabatico, ma con resistenze passive, perviene azoto (k = 1.4,
M = 28 kg / kmol) a 7 ata e 500 °C (c1 = 100 m / s). Sapendo che la sezione
di sbocco è pari a 2 cm2 e che le condizioni di adattamento si verificano per
pressione di sbocco di 2 ata e 300 °C di temperatura, trovare la portata, la
velocità di sbocco e il valore di LW.
•
[Risultati: m = 0.15 Kg / s, c2 = 652.6 m / s, LW = 9.65 kcal / kg]
5) Un ugello convergente - divergente espande isentropicamente aria (k = 1.4,
cp = 0.24 kcal / kg). Nella sezione ristretta di area Amin = 100 cm2 si ha cs =
400 m / s con ps = 1.02 ata. In uscita la pressione di adattamento è pari a p2
= 0.102 ata. Calcolare la portata, la velocità dell’aria e l’area della sezione
di sbocco. Determinare inoltre nella sezione di sbocco la pressione limite e
la relativa velocità.
•
[Risultati: ts = 124 °C; m = 3. 5 Kg / s; c2 = 738 m / s; A2 = 280 cm2; p0 = 1.
93 ata; t0 = 204 °C; plim = 1. 87 ata; clim = 95 m / s]
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4. Moto degli Aeriformi nei Condotti - pag. 55
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6) Un diffusore adiabatico riceve aria (k = 1.4; R = 287 J / (kg*K)) a pressione
1.4 ata e temperatura 320 K, con velocità 250 m / s. Volendo ridurre la
velocità a soli 50 m / s, calcolare la pressione raggiunta dall’aria in uscita al
diffusore, sia nell’ipotesi di compressione isentropica sia nell’ipotesi di
compressione reale con rendimento del diffusore pari a 0.9.
[Risultati: pd = 1.91 ata; p’d = 1.85 ata]
7) Un diffusore reale riceve nella sezione d’ingresso (area trasversale A = 100
cm2) aria (k = 1.4, cp = 1004 J / (kg*K)) alla velocità c1 = 300 m / s con p1 =
100 kPa e t1 = 30 °C. Nella sezione d’uscita la velocità dell’aria è pari c2 =
30 m / s. L’evoluzione nel diffusore può essere considerata una politropica
di esponente m = 1.5. Le resistenze passive nel diffusore dissipano un
lavoro Lwd equivalente al 20% della variazione di energia cinetica nel
diffusore stesso.
Determinare la pressione in uscita al diffusore, l’area A2 trasversale della
sezione di uscita, la quantità di calore Qe eventualmente scambiata nel
diffusore con l’esterno (specificando se il diffusore è refrigerato o
riscaldato).
[Risultati: t2 = 71.4 °C; p2 = 146.8 kPa; A2 = 774 cm2; Qe = -2974.4 J / kg,
diffusore refrigerato]
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