Esercizio 1. (1) Siano H, X matrici complesse n × n tali che [H, X]=2X

Esercizio 1.
(1) Siano H, X matrici complesse n × n tali che [H, X] = 2X. Dimostrare che
X è nilpotente.
(2) Dimostrare che se X ∈ Mn (C) è nilpotente allora esiste H ∈ Mn (C) tale che
[H, X] = 2X. (Mettere X in forma di Jordan)
(3) Dimostrare che se 0 6= X ∈ Mn (C) è è nilpotente, allora esistono H, Y in
Mn (C) tali che la sottoalgebra generata da X, Y, H è isomorfa a sl(2, C).
Esercizio 2. Sia g un’algebra di Lie semplice e b una sottoalgebra di Borel.
(1) Dimostrare che se i è un ideale abeliano di b, allora è del tipo i = ⊕α∈Σ gα ,
per qualche Σ ⊂ ∆+ .
(2) Determinare le condizioni su Σ per cui i = ⊕α∈Σ gα è un ideale abeliano di
b.
(3) Sia g = sl(n + 1, C). Dimostrare che esistono esattamente 2n ideali abeliani
di b.
Esercizio 3. Sia g un’algebra di Lie complessa risolubile e a un ideale minimale
proprio. Dimostrare che dim a = 1.
Esercizio 4. Sia g un’algebra di Lie complessa nilpotente di dimensione finita.
Dimostrare che la forma di Killing è identicamente nulla.
Esercizio 5. Sia g un’algebra di Lie semplice complessa di dimensione finita.
Dimostrare che due qualsiasi forme bilineari simmetriche non degeneri invarianti su
g sono proporzionali.
Da ora in poi g è un’algebra di Lie semplice complessa di dimensione finita, h
una sottoalgebra di Cartan, ∆ il sistema di radici di (g, h), W il gruppo di Weyl,
∆+ un sistema positivo e Π il corrispondente sistema semplice. ρ è la semisomma
delle radici positive.
Esercizio 6. Sia ∆ un sistema di radici irriducibile dimostrare che se (α, β) ≥
0 ∀β ∈ ∆+ allora α è la più alta tra le radici della sua lunghezza.
Esercizio 7. Dimostrare quanto segue:
(a). Se α, β ∈ ∆+ e α < β, allora esistono β1 , . . . , βh ∈ ∆+ tali che α+
j
P
βi ∈ ∆+
i=1
per j = 1, . . . , h, e α +
h
P
βi = β.
i=1
(b). Se α + β, γ, α + β + γ ∈ ∆, allora almeno una tra α + γ, β + γ è una radice.
Esercizio 8. Sia ∆ = {±ei ± ej | 1 ≤ i 6= j ≤ 3} ∪ {±e1 , ±e2 , ±e3 } un sistema
di radiciPdi tipo B3 . Dimostrare che la proiezione ortogonale di ∆ sul sottospazio
di V = 3i=1 Rei ortogonale a e1 + e2 + e3 è un sistema di radici di tipo G2 .
1
2
Esercizio 9. Per λ ∈ h∗ definiamo
∆λ = {α ∈ ∆ | hλ, α∨ i ∈ Z}.
(1) Determinare ∆λ quando g è di tipo B2 e λ è la metà della radice semplice
corta.
(2) Dimostrare, in generale, che ∆λ è un sistema di radici in R∆λ .
(3) È vero che ∆λ ∩ ∆+ è un sistema positivo per ∆λ ? Se si’, è vero che ∆λ ∩ Π
è un sistema semplice per ∆λ ∩ ∆+ ?
Esercizio 10. Sia w ∈ W e si fissi un’espressione ridotta w = si1 · · · sik . Si
ponga poi
N (w) = {α ∈ ∆+ | w−1 (α) ∈ −∆+ }.
(1) Dimostrare che N (w) = {αi1 , si1 (αi2 ), . . . si1 · · · sik−1 (αik )}.
(2) Dimostrare che L ⊆ ∆+ è del tipo N (w) per qualche w ∈ W se e solo se
α, β ∈ L, α + β ∈ ∆ =⇒ α + β ∈ L
α, β ∈ ∆+ \ L, α + β ∈ ∆ =⇒ α + β ∈ ∆+ \ L
(Procedere per induzione sulla cardinalità di L, osservando che le condizioni
precedenti garantiscono che L contiene una radice semplice).
Esercizio 11. Sia W un gruppo di Weyl di un sistema di radici e ` la funzione
lunghezza (rispetto a una fissata scelta di radici positive). Dimostrare che
`(w1 w2 ) = `(w1 ) + `(w2 ) − 2|{α ∈ ∆ | α ∈ ∆+ , w1 (α) ∈ ∆− , w2−1 (α) ∈ ∆− }|.
(Usare l’esercizio 10).
Esercizio 12. Determinare i sistemi di radici irriducibili ∆ per cui −1 ∈ W (∆).