Sviluppo di un modello matematico per le piene del fiume Arno

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI FIRENZE
FACOLTA' DI INGEGNERIA
Corso di Laurea in Ingegneria per l'Ambiente e Territorio
CORSO DI
TEORIA DEI SISTEMI
A.A. 2000/2001
OGGETTO : Sviluppo di un modello matematico per le piene
del fiume Arno
Docente: Prof. Alessandro Casavola
Allievi : Francesco Criscione, Nicola Monami, Sofia Morandi, Francesca Repeti
Modello A.R.M.A
Indice
INDICE
I – Introduzione ____________________________________________ 1
1 – L’Arno ed il suo Corso____________________________________ 2
1.1 – Descrizione del bacino del fiume ____________________________________ 2
1.2 – Inquadramento climatico __________________________________________ 6
1.3 – Interventi strutturali sull’Arno _______________________________________ 9
1.4 – Interventi realizzati dopo il 1966_____________________________________ 9
1.5 – Interventi per la riduzione del rischio idraulico ________________________ 11
1.6 – Manutenzione ordinaria e straordinaria dell’Arno e dei suoi affluenti _______ 12
2 – Modello matematico del fiume Arno _______________________ 13
2.1 – Il modello dell’Arno ______________________________________________ 13
2.2 – Descrizione del modello A.R.M.A___________________________________ 13
2.3 – Costruzione del modello di stato ( i / s / u ) ___________________________ 25
3 – Simulazione ___________________________________________ 29
3.1 – Simulazione del modello _________________________________________ 29
3.2 – Verifica del modello _____________________________________________ 35
4 – Ricostruzione dell’ingresso ______________________________ 39
4.1 – Ricostruzione dell’ingresso : eventi di notevole intensità_________________ 40
4.2 – Ricostruzione degli ingressi : eventi di piccola intensità _________________ 44
Conclusioni_______________________________________________ 47
Bibliografia _______________________________________________ 48
Modello A.R.M.A
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INTRODUZIONE
L’obiettivo che ci siamo proposti di raggiungere con il presente lavoro, è stata la
realizzazione di un modello idraulico in grado di simulare il comportamento del fiume
Arno a seguito di eventi di piena prodotti da precipitazioni meteoriche sia di notevole
che di piccola intensità, proprio per questo motivo il nostro studio ha preso in
considerazione due periodi dall’anno tra loro diversi.
I modelli da noi realizzati permettono di prevedere, a partire da valori noti di
portate orarie affluenti all’Arno dai quattro bacini principali che si trovano a monte della
Valdarno Superiore, Sieve ) e di precipitazioni meteoriche
relative agli stessi sottobacini attraversati dal fiume, i valori di portata oraria del nostro
corso d’acqua alle porte di Firenze, seppur con approssimazione.
Inizialmente , sulla base di dati noti relativi alle portate orarie misurate in
corrispondenza
delle
sezioni
di
chiusura
di
ognuno
dei
sottobacini
presi
in
considerazione e, di quelli relativi agli afflussi meteorici, abbiamo costruito un modello
A.R.M.A e in una fase successiva il corrispondente modello di stato.
Dopo la determinazione del modello abbiamo effettuato una simulazione
tramite cui ci siamo riproposti di determinare i valori delle portate orarie misurate a
Firenze in occasione di eventi rilevanti verificatesi nei mesi di Novembre ed Aprile del
1999. Nella fase immediatamente seguente abbiamo proposto una verifica del modello,
tarato sulla base dei dati noti di portate e precipitazioni meteoriche relative ai mesi di
Aprile e Novembre del 1960, tarando il modello sui dati del 1999 ( dati utilizzati in
precedenza per la simulazione ) ed effettuando una simulazione volta in questo caso a
considerare però soltanto due dei sottobacini considerati.
Successivamente
abbiamo
affrontato
il
problema
di
ricostruzione
dell’ingresso, limitandoci anche in questo caso a considerare due soli sottobacini
( Casentino e Valdarno Superiore ).
Tutti i calcoli necessari sono stati effettuati con l’ausilio dei programmi MATLAB
ed EXCEL , quest’ultimo è stato utilizzato anche per la realizzazione di tutti i grafici
riportati nel nostro lavoro.
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1 – L’ARNO ED IL SUO CORSO
1.1 – Descrizione del bacino del fiume
Il corso del fiume inizia a 1358 m di quota alle pendici del Monte Falterona e
dopo aver attraversato tutta la Toscana centro-settentrionale, sfocia nel Mar Tirreno con
un piccolo delta, presso Marina di Pisa.
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La valle dell’Arno ha rappresentato da sempre un polo di attrazione-repulsione
per le popolazioni che storicamente l’hanno abitata. Attrazione per i terreni resi fertili dai
depositi alluvionali che permettevano messi abbondanti, repulsione per le improvvise
piene devastatrici.
La portata dell’Arno può passare infatti, da 4 mc/s a 2500 mc/s, come è avvenuto
nell’alluvione del 1966, dati che sottolineano il regime a carattere torrentizio del maggior
fiume toscano.
Figura 2 : L’Arno a Pratovecchio
Il suo bacino, che raccoglie le acque di tutti i maggiori corsi toscani ad eccezione
del Serchio e dell’Ombrone grossetano, fa parte di quelli che i geologi
definiscono
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“trasversali”, poiché racchiusi tra catene di ordine inferiore rispetto alla dorsale
appenninica principale.
Questa è una caratteristica che produce nel corso del fiume un susseguirsi di
conche e di ripiani che l’Arno ha dovuto superare per aprirsi lo sbocco al mare.
Il Casentino
, la prima delle sei conche in cui può essere suddivisa la valle
dell’Arno, è abitato da epoca remota. La valle, che ha asse nord-ovest/sud-est, è chiusa
a nord dalla dorsale appenninica che si unisce attraverso la Consuma al massiccio del
Pratomagno; quest’ultimo delimita ad ovest la vallata casentinese e
con le sue
propaggini ostacola il corso del fiume fino a Pontassieve, alla chiusura del secondo
bacino del Valdarno di Sopra. L’Arno in questo primo bacino perde 1000 m di quota,
scendendo a circa 300 m sul livello del mare, e ha l’aspetto proprio di un torrente con
fondale roccioso e correnti veloci.
Il corso del fiume diviene più calmo già nel basso Casentino, dove il letto si
allarga e l’Arno riceve le acque dei suoi primi immissari.
Il secondo bacino del fiume è costituito dalla Piana di Arezzo , l’Arno entra in
questa zona dopo aver superato le rive alte e rocciose tra Subbiano e Capolona e dopo
aver ricevuto le acque del torrente Chiassa ; appena dentro la Piana di Arezzo l’Arno
volge verso Firenze mutando una direzione che pareva puntare in linea retta su Arezzo
e verso il Tevere che scorre più a sud. La Piana di Arezzo ha assunto l’attuale aspetto
idraulico dopo secoli di studi operativi e di regimazioni non solo dell’Arno ma soprattutto
della Chiana, attuale maggiore tributario del bacino.
I confini geografici del secondo bacino risultano meno definiti di quelli
casentinese. A nord vi sono infatti le pendici del Pratomagno, ad ovest la dorsale
appenninica, mentre a sud, per l’inversione della Chiana, il bacino è molto largo ed
arriva fino al Lago di Montepulciano e ad est vi sono i Monti del Chianti.
Il Valdarno Superiore, al contrario della Piana di Arezzo, è una classica valle
solcata dal corso fluviale principale. Paralleli al fiume, sulla destra le pendici del
Pratomagno e sulla sinistra i Monti del Chianti delimitano il bacino. L’unico tributario di
rilievo della zona è il fiume Ambra, che getta le sue acque in Arno proprio all’inizio della
vallata. Dopo Rignano il fiume riceve la acque della Sieve, il più importante affluente
dell’intero bacino e, aumentando notevolmente la propria portata si immette nella Conca
di Firenze.
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Figura 3 : Arno nel centro urbano di Firenze all’altezza di Ponte S.Niccolò.
Passata la città, il maggior centro attraversato dal fiume è Signa, posto a ridosso
della Gonfolina, alla confluenza dell’Arno col Bisenzio, uno dei maggiori affluenti
insieme al Pesa, alla Greve e all’Ombrone pistoiese. L’Arno ha già percorso 150 km,
portandosi ad una quota di circa 25 m s.l.m., quando si trova a superare l’ultimo grande
ostacolo posto alla sua corsa verso il mare: la dorsale del Montalbano, che tagliando la
pianura da nord a sud sbarra il corso del fiume.
Questo tratto di alveo non vanta un’individualità geografica ben definita
potendosi dilatare verso nord fino ad includere la Piana di Lucca e la Val di Nievole
e
verso sud fino ai confini della Val d’Era e della Val d’Elsa. I maggiori affluenti di questo
bacino sono appunto l’Era e l’Elsa.
Il Valdarno Inferiore è caratterizzato oggi da numerosi centri di antica origine
ma di moderno sviluppo topografico, che si susseguono nel fondovalle sia a sud che a
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nord del corso del fiume; anche se geograficamente non si può identificare un confine
ben delineato dal Monte Pisano fino al mare ugualmente si è soliti dividere con una
certa arbitrarietà il Valdarno Inferiore dalla Piana di Pisa.
Figura 4 : Arno in località San Giovanni alla Vena nel comune di Pisa.
In quest’ultimo tratto l’Arno scorre lentamente attraverso la piana generata dai
detriti alluvionali che il fiume ha depositato durante il corso dei secoli.
1.2 – INQUADRAMENTO CLIMATICO
La temperatura media annua nel bacino dell’Arno diminuisce progressivamente
procedendo dal mare verso l’interno, con una escursione annua variabile in funzione
dell’altitudine e della vicinanza al mare.Le temperature minime si registrano in genere
nel mese di gennaio
o febbraio, mentre le massime in luglio o agosto.Il clima è in
genere temperato, variabile fra temperato fresco, sulle catene del Pratomagno e del M.
Falterona, fino a temperato con periodo arido estivo nella pianura di Pisa.Le
precipitazioni medie annue presentano valori relativamente variabili nelle varie porzioni
del bacino, mostrando una stretta influenza da parte del rilievo.
Nel Valdarno Superiore e su un’ampia zona allungata e parallela del crinale
appenninico, le precipitazioni non scendono mai al di sotto sei 1000 mm. I valori
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massimi si registrano sull’Appennino Pistoiese e nell’alto bacino del Bisenzio, dove
superano i 1900 mm, mentre valori compresi fra 1400 e 1800 mm sono raggiunti sul M.
Falterona e valori intorno ai 1600 mm sul Pratomagno.Valori nettamente inferiori
caratterizzano la porzione meridionale del bacino, con minimi fino a 800 mm nella Val
di Chiana, nell’alto bacino dell’Elsa e nella zona costiera.
I valori medi mensili delle precipitazioni evidenziano per gran parte delle stazioni
un minimo estivo (Luglio) ed un massimo autunnale (Ottobre o Novembre), talora
seguito da un massimo relativo tardo invernale o primaverile.
Dall’analisi delle variazioni pluviometriche dell’ultimo secolo, emerge una
generale tendenza alla diminuzione delle precipitazioni medie annue, fenomeno
osservato anche per altre regioni italiane, che si protrae fino al 1989, mentre dall’anno
successivo sembra riscontrarsi un nuovo incremento delle precipitazioni.
Per quanto riguarda le portate il regime ideologico del fiume è caratterizzato da
accentuate differenze fra valori minimi e massimi. A portate di magra estremamente
ridotte si contrappongono portate massime eccezionali in grado di provocare disastrose
inondazioni.Per quanto riguarda le piene dell’Arno verificatesi in epoche storiche è stata
ricostruita la successione di quelle che hanno inondato Firenze a partire dal 1177,
distinguendo tre categorie: MEDIE , INTENSE , ECCEZIONALI.
Fra l’eccezionali si annoverano quelle del 1844 e del 1966. Riportiamo di seguito
una breve testimonianza fotografica dell’evento eccezionale che si è verificato nel 1966.
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Figura 5 : Firenze. Vista dall’alto
Figura 6 : Firenze. L’Arno ha ormai invaso le strade
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Figura 7: Firenze. Ponte Vecchio.
1.3 – INTERVENTI STRUTTURALI SULL’ARNO
In generale occorre proseguire nella realizzazione di interventi organici di difesa
dalle piene per dare continuità e completezza alle poche opere realizzate ( scolmatore
di Pontedera, ampliamenti dell’alveo a monte di Firenze, stabilizzazione dell’alveo tra
Firenze e Fucecchio etc. ),
Per una maggiore chiarezza sulla situazione analizziamo in maniera più
dettagliata le opere fino ad oggi compiute e successivamente indicheremo una serie di
interventi necessari per diminuire il rischio idraulico ancora troppo elevato.
1.4 – INTERVENTI REALIZZATI DOPO IL 1966
A seguito del disastroso evento di piena del 1966 fu istituita la Commissione
Internazionale per lo studio della sistemazione idraulica e della Difesa del Suolo, nota
anche come Commissione De Marchi, con la finalità di individuare le strategie di difesa
degli eventi alluvionali per tutto il territorio nazionale.
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Le numerose proposte, gli studi e i progetti che si sono succeduti nel tempo solo
in piccolissima parte si sono a tutt'oggi concretizzati in interventi strutturali effettivi per la
difesa dalle piene.
Tra quelli realizzati dopo l'evento del1966 si ricordano per la loro importanza:
1. Il completamento dello Scolmatore d'Arno a Pontedera, concepito e iniziato
prima dell'alluvione del 1966, in grado di smaltire una portata massima
nominale di 1400 mc/sec, oggi utilizzata per circa 1000 mc/sec.
2. L'abbassamento delle platee di Ponte Vecchio e Ponte alle Grazie a Firenze
e l'innalzamento delle spallette del Lungarno, tali da incrementare la portata
massima limitatamente a quel tratto urbano della città portandola da 2500
mc/sec (1966) a 3100-3400 mc/sec senza franco.
3. La risagomatura del tratto fluviale a monte di Firenze, fino alla zona
dell'Albereta.
4. La stabilizzazione del fondo mediante la realizzazione di quattro traverse nel
tratto tra Montelupo e Pontedera.
5. La realizzazione dell'invaso di Bilancino sul fiume Sieve per circa 80 milioni di
metri cubi di acqua (oggi in fase di completamento), a uso multiplo efficace
per raggiungere la portata minima "vitale" nell'Arno durante il periodo estivo e
con volume riservato alla laminazione delle piene per circa 15 milioni di metri
cubi.
6. Il diversivo di Castelfiorentino sul fiume Elsa.
C'è pero' da osservare che negli ultimi decenni le trasformazioni socioeconomiche hanno radicalmente mutato il livello di sviluppo italiano in generale e del
bacino dell'Arno in particolare.
In generale l'aggravamento del rischio idraulico nel bacino, dopo l'evento
catastrofico del 1966, è molto aumentato a causa dei fenomeni antropici più recenti che
hanno preso impulso soprattutto negli ultimi 30-40 anni e che hanno spesso devastato i
caratteri di naturalità di gran parte del territorio. Il motivo principale di aggravamento del
rischio è certamente dovuto allo sviluppo dell'edificazione in aree di pertinenza fluviale o
ad elevato rischio idraulico sia lungo l'Arno sia sugli affluenti.
Modello A.R.M.A
Figura 8 : Così si presentavano i Lungarni la mattina del 4 Novembre
1966
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Modello A.R.M.A
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Figura 9 : Il centro della città ormai invaso dalle acque.
1.5 – INTERVENTI PER LA RIDUZIONE DEL RISCHIO IDRAULICO
• Riduzione del dissesto idrogeologico
Per contenere il rischio idraulico nel bacino dell’Arno è innanzitutto necessario
intervenire per contenere il dissesto idrogeologico, dando immediato inizio a interventi
di sistemazione idraulico-forestale nei bacini montani e di riduzione del dissesto dei
versanti: essi tuttavia potranno dare risultati apprezzabili non prima di diversi anni,forse
di un ventennio.
Queste opere di estrema necessità coincidono in parte con quelle indicate dalla
Regione Toscana in occasione degli eventi alluvionali dell’Ottobre-Novembre 1992.
• Sospensione delle costruzioni nelle aree di pertinenza fluviale
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Contestualmente è necessario sospendere le costruzioni nelle aree di pertinenza
fluviale o comunque a rischio idraulico, sia lungo l’Arno, sia lungo gli affluenti, sia nelle
aree parzialmente edificate della bassa pianura, dove è fortemente in crisi anche il
reticolo idraulico minore.
1.6 – MANUTENZIONE ORDINARIA E STRAORDINARIA DELL’ARNO E
DEI SUOI AFFLUENTI.
Gli interventi devono essere finalizzati alla eliminazione di situazioni di pericolo
per i centri abitati e per le infrastrutture in conseguenza di eventi critici di deflusso e
riguardare la manutenzione e il ripristino delle opere idrauliche esistenti, il
consolidamento delle sponde e degli argini, la risagomatura delle sezioni ostruite
dell’alveo e la rimozione delle piante spezzate, sradicate o adagiate nel fiume, che
rappresentano in certi casi un pericolo per la creazione di sbarramenti temporanei in
corrispondenza di ponti, interventi di potatura della vegetazione sulle sponde con tagli
autorizzati è controllato dal Corpo Forestale. Ove possibile, gli interventi dovrebbero
prendere in considerazione la rinaturalizzazione delle sponde, intesa come protezione
delle sponde dissestate o friabili e l’utilizzazione nel fiume di tecnologie di ingegneria
ambientale.
Modello A.R.M.A
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2 – Modello matematico del fiume arno
2.1 – Il modello dell’Arno
Il modello che ci apprestiamo a descrivere si propone di simulare il
comportamento del fiume Arno nel tratto che va dal Monte Falterona dove il fiume
nasce fino alla città di Firenze. Per la verità vengono costruiti due modelli per poter
simulare il comportamento del fiume in conseguenza di eventi pluviometrici di notevole
intensità ma anche di bassa intensità e ottenere così i valori delle portate orarie del
fiume, partendo da valori noti delle distribuzioni spaziali e temporali delle precipitazioni
nonché delle portate che affluiscono al corso principale del fiume da parte dei bacini
che si trovano a monte. Tutto questo permette di valutare il valore della portata oraria in
prossimità di Firenze.
Il modello è stato costruito in base a rilievi topografici dell’alveo effettuati
dall’Ufficio Idrografico e Mareografico di Pisa [ 4 ].
Per la sua taratura sono state adoperate osservazioni idrologiche relative agli
eventi di piena verificatisi nel Novembre del 1960 e in corrispondenza di eventi
pluviometrici di bassa intensità verificatisi nell’Aprile dello stesso anno.
2.2 – Descrizione del modello A.R.M.A
Sulla base di valori di portate orarie e piogge orarie riguardanti eventi storici e
contenuti negli annali idrologici pubblicati dall’Istituto Idrologico e Mareografico di Pisa,
abbiamo costruito un modello A.R.M.A descritto dalla seguente espressione:
y ( t ) + a1 y ( t - 1 ) +…….+ an y ( t – n ) = b0 u ( t ) + b1 u ( t – 1 ) + …..+ bn u ( t – n )
Come detto in precedenza, seguendo la suddivisione classica, che in parte si rifà
all’origine delle conche lacustri dell’Appennino Centrale, si suole suddividere il bacino
Modello A.R.M.A
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dell’Arno in cinque sottobacini, quelli da noi considerati sono: il Casentino, la Chiana, il
Valdarno Superiore, la Sieve.
Per ognuno dei bacini considerati, sono stati stimati i parametri a1 , a2 , … , an
e, b0 , b1 , … , bn .
I dati relativi agli eventi utilizzati per la stima dei parametri sono riportati nei files
taraCas60.txt, taraChi60.txt, taraVal60.txt, taraSiev60.txt.
Per la stima di tali parametri si possono adottare in linea di principio , tre metodi
diversi : il metodo dei momenti, il metodo della massima verosimiglianza, il metodo dei
minimi quadrati.
Per la stima dei parametri ci siamo serviti proprio del METODO DEI
MINIMI QUADRATI
tramite cui è stato possibile, partendo da misure ingresso
uscita realizzate nell’intervallo i-N-1 ≤ t ≤ i , stimare i parametri
minimizzando
l’indice di prestazione quadratico dato da :
n
n


min ∑  y(t ) − ∑ a j y (t − j ) − ∑ b j u (t − j ) j 
a j bj

t = i − N +1 
j =1
j =1
i
2
Come detto nel nostro studio abbiamo preso in considerazione sia eventi legati a
piogge di notevole intensità che di bassa intensità considerando due periodi ben distinti
Per il periodo invernale abbiamo considerato un evento verificatosi nel mese di
Novembre, in seguito alla stima dei parametri abbiamo ottenuto i quattro modelli relativi
ai bacini considerati e abbiamo costruito il modello A.R.M.A complessivo; lo stesso è
stato poi fatto per il periodo estivo.
Nei due modelli di seguito riportati abbiamo indicato con
u le PIOGGE che
costituiscono gli “ingressi” del nostro sistema e che vengono riportate in mc/sec. (
considerando pertanto gli effetti che le precipitazioni hanno sulla portata del fiume nei
diversi sottobacini).
Modello A.R.M.A
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Occorre infatti sottolineare come per la costruzione del modello siano state
considerate precipitazioni indipendenti per
Casentino, Chiana, Sieve, Valdarno
Superiore.
Le PORTATE sono invece indicate con Q, esse costituiscono le “uscite” del
sistema e vengono indicate in mc/sec.
I ritardi massimi sono stati assunti pari al
Tempo di corrivazione determinati grazie ad alcune delle principali caratteristiche
geografiche dei sottobacini del fiume da noi presi in considerazione e riportate nella
tabella sottostante.
S [Km2]
SUPERFICIE DEL
SOTTOBACINO
im [%]
qm [m slm]
T [ORE]
PENDENZA MEDIA
QUOTA MEDIA
TEMPO DI
DELL'ASTA PRINCIPALE DEL SOTTOBACINO CORRIVAZIONE
CASENTINO
895
0.75
441
4
CHIANA
1362
0.57
296
6
VALDARNO
997
1.1
126
3
SIEVE
846
1.51
193
3
Tabella 1.
Nella tabella abbiamo considerato, indicandolo con T il Tempo di corrivazione,
come il tempo necessario affinchè una goccia d’acqua raggiunga dai punti più lontani
del bacino la sezione di chiusura. Poiché il tempo di corrivazione di un bacino dipende
dalla sua estensione, dalla sua morfologia, dal suo profilo altimetrico ed anche,
sebbene in misura minore, dalla vegetazione presente e dalla velocità di infiltrazione
dell’acqua, non esiste un’unica formula per calcolarlo, ma abbiamo a disposizione varie
formule empiriche proposte da diversi autori:
KIRPICH :
VENTURA:
T = 0,066 L0,77[ 1000L /( qmax - qm)]
T = 0,1272 w S / im
Modello A.R.M.A
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In base a quanto appena detto i ritardi risultano diversi per ciascuno dei bacini
considerati. Occorre peraltro aggiungere che i valori di portata relativi a quelle che si
considerano come sezioni di chiusura per i
sottobacini di Casentino, Chiana, Sieve
vengono considerati come indipendenti l’uno dall’altro, mentre una dipendenza (
evidenziata tramite termini posti fuori dalla diagonale ) di tali valori da quelli uscenti dai
bacini di monte, si ha per il sottobacino del Valdarno Superiore.
Modello A.R.M.A complessivo:
.
0
0
0
0
0
 Qcas ( t)   0975

 
0
0
0
0.9116 0
 Qchi ( t )   0
 Q ( t )  =  0.0046 0.0209 0.0087 00120
.
0
0.05
 val  
0
0
0
0
0
 Qsiev ( t )  0
 Qcas ( t − 1) 


 Qcas ( t − 2 ) 
 Q ( t − 3) 

 cas
 Qcas ( t − 4 ) 
 Q ( t − 1) 

 chi
 Qchi ( t − 2) 
 Q ( t − 3)   0.0046 0.0209
 
 chi
0
 Qchi ( t − 4)   0
.
 + 0
(
)
0
Q
t
−
5
chi
 

 Qchi ( t − 6)   0
0


(
)
Q
t
−
1

 val
 Qval ( t − 2) 


 Qval ( t − 3) 
 Q (t − 1) 

 siev
 Q siev ( t − 2)
 Q ( t − 3) 

 siev
0.0087
0
0
0
0.0120 0 0
0
0
0 0 0.004
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0 07499
.
0 0.2
0
0
0
0
0 0 0.4261 0.2322
0
0
0
0
0.0013 0 0.043
0
0
0
0
0.0064
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0

0 .
0

0
 ucas ( t − 1) 


 ucas ( t − 2 ) 
 u ( t − 3) 

 cas
 ucas ( t − 4 ) 
 u ( t − 1) 

 chi
 u chi ( t − 2) 
0
0   uchi ( t − 3) 

 
0
0   u chi ( t − 4) 
.


0
0   uchi ( t − 5) 

0.1973 0.1673  uchi ( t − 6) 


 u val ( t − 1) 
 u ( t − 2) 

 val
 uval ( t − 3) 
 u ( t − 1) 

 siev
 usiev ( t − 2 )


 u siev ( t − 3) 
Di seguito sono riportati i grafici relativi alla simulazione dei dati utilizzati per la
taratura dei modelli e anche quelli relativi agli errori commessi nella stima. Vengono
considerati dati relativi al mese di Novembre ricavati dalla consultazione degli Annali
Modello A.R.M.A
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idrologici conservati presso l’Ufficio Idrografico e Mareografico di Pisa [ 4 ]. ( I dati
relativi a ciascuno dei bacini considerati si trovano nei files taraCas60 .txt ,
taraChi60.txt , taraSiev60.txt , taraVal60 ).
Andamento delle portate orarie per il Casentino
(Taratura del modello)
150
90
Dati Reali
Modello
60
30
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
Errore di taratura per il Casentino
100
80
60
40
Errore (mc/s)
Portata (mc/s)
120
20
0
-20 0
Errore
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
-40
-60
-80
-100
Tempo (ore)
Modello A.R.M.A
Indice
Figura 10 : Occorre sottolineare che il valore 1 sull’asse delle ascisse è da leggersi
come le ore 7 del 12 Novembre del 1960.
Andamento delle portate orarie per la Chiana
(Taratura del modello)
180
Portate (mc/s)
150
Dati reali
Modello
120
90
60
30
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
Errore di taratura per la Chiana
80
60
Errore (mc/s)
40
20
0
-20
Errore
0
2
4
6
8
-40
-60
-80
Tempo (ore)
10
12
14
Modello A.R.M.A
Indice
Figura 11 : Occorre sottolineare che il valore 1 sull’asse delle ascisse è da leggersi
come le ore 7 del 12 Novembre del 1960.
Andamento delle portate orarie per il Valdarno
(Taratura del modello)
80
Portata (mc/s)
60
Dati reali
Modello
40
20
0
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Errore di taratura per il Valdarno
10
8
6
Errore (mc/s)
4
2
Errore
0
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-4
-6
-8
-10
Tempo (ore)
Figura 12 : Occorre sottolineare che il valore 1 sull’asse delle ascisse è da leggersi
come le ore 7 del 12 Novembre del 1960.
Andamento delle portate orarie per la Sieve
(Taratura del modello)
300
270
Portata (mc/s)
240
210
Dati reali
Modello
180
150
120
90
60
30
0
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Errore di taratura per la Sieve
90
Errore (mc/s)
70
50
30
Errore
10
-10 0
2
4
6
8
10
12
14
16
-30
-50
Tempo (ore)
Figura 13 : Occorre sottolineare che il valore 1 sull’asse delle ascisse è da leggersi
come le ore 7 del 12 Novembre del 1960.
I grafici inseriti nelle pagine precedenti si riferiscono alla taratura di un modello A.R.M.A
per eventi legati a precipitazioni di notevole intensità.
Quelli riportati di seguito si riferiscono ad un modello dello stesso tipo ma
ricavato a partire da dati di portata e di pioggia ottenuti in seguito ad osservazioni
eseguite nel periodo in cui le precipitazioni sono molto meno frequenti.
Più precisamente vengono considerati dati relativi al mese di Aprile ricavati dalla
consultazione degli Annali idrologici
conservati presso l’Ufficio Idrografico e
Mareografico di Pisa [4]. ( I dati relativi a ciascuno dei bacini considerati si trovano nei
files taraCas(AP)60 .txt , taraChi(AP)60.txt , taraSiev(AP)60.txt , taraVal(AP)60 ).
Modello A.R.M.A
Indice
Andamento delle portate orarie per il Casentino
(Taratura del modello)
50
Portate (mc/s)
40
30
Dati reali
Modello
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Errore di taratura per il Casentino
1.5
Errore (mc/s)
1
0.5
Errore
0
0
5
10
15
-0.5
-1
-1.5
Tempo (ore)
Figura 14 : Occorre sottolineare che il valore 1 sull’asse delle ascisse è da leggersi
come le ore 7 del 4 Aprile del 1960.
Andamento delle portate orarie per la Chiana
(Taratura del modello)
25
Portate (mc/s)
20
Dati reali
Modello
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Errore di taratura per la Chiana
1
0.8
Errore (mc/s)
0.6
0.4
0.2
Errore
0
-0.2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Tempo (ore)
Figura 15 : Occorre sottolineare che il valore 1 sull’asse delle ascisse è da leggersi
come le ore 7 del 4 Aprile del 1960.
Portate (mc/s)
Andamento delle portate orarie della Sieve
(Taratura del modello)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Dati reali
Modello
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Errore (mc/s)
Errore di taratura per la Sieve
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
-10
Errore
2
4
6
8
10
12
14
16
Tempo (ore)
Figura 16 : Occorre sottolineare che il valore 1 sull’asse delle ascisse è da leggersi
come le ore 7 del 4 Aprile del 1960.
Andamento delle portate orarie per il Valdarno
(Taratura del modello)
280
Portate (mc/s)
240
200
Dati reali
Modello
160
120
80
40
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Tempo (ore)
16
18
20
22
24
Modello A.R.M.A
Indice
Errore di taratura per il Valdarno
50
40
Errore (mc/s)
30
20
Errore
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-10
-20
Tempo (ore)
Figura 17 : Occorre sottolineare che il valore 1 sull’asse delle ascisse è da leggersi
come le ore 7 del 4 Aprile del 1960.
2.3 – Costruzione del modello di stato ( i / s / u )
• Dalla teoria sappiamo che un sistema lineare Σ a TD è un sistema con t (tempo)
intero in cui :
x ( t + 1 ) = A x( t ) + B u( t )
y ( t ) = C x( t ) + D u( t )
dove A, B, C, D sono matrici reali di dimensioni n x n, n x m, p x n, p x m.
Il sistema dinamico lineare Σ può essere definito anche così:
y ( t ) + a1 y ( t – 1 ) + ….. + an y ( t – n ) = b0 u ( t ) + b1 u ( t – 1 ) + ….. + bn u ( t – n )
che risolto rispetto alla y ( t ) fornisce la seguente relazione :
Modello A.R.M.A
Indice
y ( t ) = - a1 y ( t – 1 ) - ….. - an y ( t – n ) + b0 u ( t ) + b1 u ( t – 1 ) + ….. + bn u ( t – n ) ♠
quest’ ultima afferma che in ogni istante di tempo t l’uscita y di un sistema lineare è la
somma di una combinazione lineare degli ultimi n + 1 ingressi. Poiché la prima di
queste due combinazioni rappresenta in statistica un termine autoregressivo e la
seconda una media mobile il modello ♠ è spesso chiamato modello autoregressivo a
media mobile o modello A.R.M.A .
• Nella pratica per poter studiare il modello di stato ( i / s / u ) abbiamo convertito il
modello A.R.M.A in un sistema TD
x ( t + 1 ) = A x( t ) + B u( t )
y ( t ) = C x( t ) + D u( t )
dove abbiamo scelto di utilizzare la rappresentazione canonica di raggiungibilità 1
( RCR1) per scrivere le quattro matrici A, B, C, D :
 0
.A=
 − an
Poi
I n −1


− an −1.....− a1 
abbiamo
ricavato
 0
 
 .
 .
B= 
 .
 0
 
 1
un
C = (b n . . . b1 )
modello
di stato per ogni
successivamente il modello di stato complessivo :
Q( t + 1 ) = A Q( t ) + B u( t )
y ( t ) = C Q( t )
con D = 0
D = b0
sottobacino e
Modello A.R.M.A
Indice
dove :
 Qcas ( t − 2)


 Qcas ( t − 1) 
 Qcas ( t ) 


 Qcas ( t + 1) 
 Q ( t − 4) 

 chi
 Qchi ( t − 3) 


 Qcas ( t + 1)   Qchi ( t − 2)


Qchi ( t + 1)   Qchi ( t − 1) 

Q( t + 1) = 
=

Qval ( t + 1)   Qchi ( t ) 


 Qsiev ( t + 1)  Qchi ( t + 1) 


 Qval ( t − 1) 
 Q (t) 
val


Q
 val ( t + 1) 
 Q ( t − 1)
 siev

 Qsiev ( t ) 


 Qsiev ( t + 1)
1
0
0
 0

0
1
0
 0
 0
0
0
1

0
0
− 0.9775
 0
 0
0
0
0

0
0
0
0

 0
0
0
0

0
0
0
 0
A=
0
0
0
0

 0
0
0
0

0
0
0
 0
 0
0
0
0

 0.012 0.0087 0.0209 0.0046
 0
0
0
0

0
0
0
0


 0
0
0
0
 Qcas ( t ) 


 Qchi ( t ) 
Q( t ) = 
Q (t) 
 val 
 Qsiev ( t )
 Qcas ( t − 3) 


 Qcas ( t − 2) 
 Qcas ( t − 1) 


 Qcas ( t) 
 Q ( t − 5) 

 chi
 Qchi ( t − 4) 
 Q ( t 3) 
 chi − 
 Qchi ( t − 2) 
=

 Qchi ( t − 1) 
 Qchi ( t ) 


 Qval ( t − 2) 
 Qval ( t − 1) 


 Qval ( t ) 
 Q ( t − 2 )

 siev
 Qsiev ( t − 1) 


 Qsiev ( t ) 
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0 0
0 1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 − 0.9116
0 0 0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
− 0.2 0 − 0.7499 0
0
0
0
0 0 0 0
0 0.05 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
0 − 0.2322
1
0





0 
0 

0 
0 

0 
0 

0 

0 
0 

0 
0 

1 

− 0.4261
0
0
0
Modello A.R.M.A
0

0
0

1
0

0
0

0
B=
0

0

0
0

0
0

0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Indice
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0

0
0

0
0

0
1
 ucas ( t ) 


 uchi ( t ) 
u( t ) = 
u (t) 
 val 
 usiev ( t )
 ucas ( t − 3) 


 ucas ( t − 2 ) 
 ucas ( t − 1) 


 ucas ( t ) 
 u ( t − 5) 

 chi
 uchi ( t − 4) 
 u ( t 3) 
 chi − 
 uchi ( t − 2) 
=

 uchi ( t − 1) 
 uchi ( t ) 


 uval ( t − 2) 
 uval ( t − 1) 


 uval ( t ) 
 u ( t − 2) 

 siev
 usiev ( t − 1) 


 usiev (t ) 
3 – SIMULAZIONE
3.1 – Simulazione del modello
In generale per provare la rispondenza e l’attendibilità di un modello creato
vengono simulati eventi verificatesi in passato ( o che si verificheranno in futuro ), per i
quali sono disponibili le relative osservazioni di natura idrologica.
Nel nostro caso i parametri utilizzati nella simulazione sono stati ricavati dalla
costruzione del modello A.R.M.A tarato sulla base di osservazioni e dati riportati negli
annali idrologici e riguardanti i periodi di Novembre ed Aprile del 1960 mentre gli eventi
sperimentati si riferiscono ai mesi di Novembre ed Aprile del 1999.
I dati relativi agli eventi simulati riguardano la quantità di pioggia e i valori di
portata oraria relativi a ciascun sottobacino del fiume Arno. Tali valori sono stati ricavati
dalle registrazioni dei pluviometri e dei misuratori di portata situati nei vari bacini: per il
Casentino abbiamo considerato la stazione di Subbiano, per la Chiana la stazione di
Ponte Ferrovia, per il Valdarno Nave di Rosano, per la Sieve Fornacina. Di seguito
riportiamo alcune delle principali caratteristiche delle stazioni considerate.
Modello A.R.M.A
Indice
• SUBBIANO: bacino di dominio 895 Kmq, altitudine media 720 m.s.m.,distanza dalla
confluenza con il Canale della Chiana 13.5 Km ( a monte ), inizio osservazioni
1/10/1929.
• PONTE FERROVIA: bacino di dominio 1362 Kmq, altitudine media 409 m.s.m.
distanza dalla confluenza con l’Arno 5.75 Km, inizio delle osservazioni 1/1/1911.
• NAVE DI ROSANO : bacino di dominio 997 Kmq, altitudine media 450 m.s.m. ,
distanza dalla confluenza con il fiume Greve 22 Km inizio delle osservazioni 1/12/1920.
• FORNACINA: bacino di dominio 846 Kmq, altitudine media 490 m.s.m. , distanza
dalla foce circa 4.25 Km, inizio delle osservazioni 1/1/1921.
Di seguito riportiamo i grafici relativi all’andamento delle portate orarie registrate
per i 4 sottobacini insieme a quelle ottenute servendoci del modello costruito.
Occorre ricordare che in tutti i grafici il valore 1 sull’asse delle ascisse deve
essere letto come le ore 7 del mattino.
Andamento delle portate orarie per il Casentino
50.00
Portate (mc/s)
40.00
30.00
Dati reali
Modello
20.00
10.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Andamento delle portate orarie per la Chiana
50.00
Portate (mc/s)
40.00
30.00
Dati reali
Modello
20.00
10.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
Andamento delle portate orarie per il Valdarno
80.00
70.00
Portate (mc/s)
60.00
50.00
40.00
Dati reali
30.00
Modello
20.00
10.00
0.00
-10.00 0
2
4
6
8
10
12
-20.00
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Andamento delle portate orarie per la Sieve
100.00
Portate (mc/s)
70.00
Dati reali
Modello
40.00
10.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-20.00
Tempo (ore)
Figura 9 : Simulazione di eventi di piena verificatesi nel mese di Novembre del 1999.
Andamento delle portate a Firenze
70.00
Portate (mc/s)
60.00
50.00
40.00
Dati reali
Modello
30.00
20.00
10.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
L’analisi dei grafici sopra riportati sottolinea come sia piuttosto evidente una certa
somiglianza tra quello che è l’andamento delle portate orarie reali registrate in
Modello A.R.M.A
Indice
corrispondenza delle sezioni di chiusura dei sottobacini considerati, e quello delle
portate orarie ricostruite con l’ausilio del nostro modello. Quanto detto evidenzia come,
quantomeno da un punto di vista qualitativo il modello da noi costruito, sia in grado di
simulare seppur con qualche approssimazione la realtà del fenomeno fisico analizzato.
I grafici riportati tuttavia evidenziano anche un altro fatto piuttosto interessante : i
valori di portata ricostruiti con il modello risultano, seppur con qualche eccezione
sempre sensibilmente superiori a quelli reali; ciò è in parte giustificato anche dal fatto
che, in seguito storica alluvione del 1966, sono stati eseguiti tutta una serie di lavori volti
a produrre la messa in sicurezza del fiume, proprio per evitare il ripetersi di eventi tanto
disastrosi.
Andamento delle portate per il Casentino
50.00
Portate (mc/s)
40.00
30.00
Dati reali
20.00
Modello
10.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16 18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Andamento delle portate orarie per la Chiana
25.00
Portate (mc/s)
20.00
15.00
Dati reali
Modello
10.00
5.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
Andamento delle portate orarie del Valdarno
200.00
180.00
Portate (mc/s)
160.00
140.00
120.00
100.00
Dati reali
80.00
Modello
60.00
40.00
20.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Andamento delle portate orarie per la Sieve
100.00
90.00
Portate (mc/s)
80.00
70.00
60.00
50.00
Dati reali
40.00
Modello
30.00
20.00
10.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
Figura 20 : Simulazione di eventi di piena verificatesi nel mese Aprile del 1999.
Andamento delle portate orarie a Firenze
300.00
Portata (mc/s)
250.00
200.00
Dati reali
Modello
150.00
100.00
50.00
0.00
0
5
10
Tempo (ore)
15
20
Modello A.R.M.A
Indice
Anche in questo caso
l’osservazione dei grafici sopra riportati sottolinea una
certa somiglianza tra l’andamento delle portate orarie reali e quello delle portate orarie
ricostruite tramite il nostro modello .
3.2 – Verifica del modello
Per rendere ancor più completo il nostro studio abbiamo effettuato un’ulteriore
verifica provando a costruire un nuovo modello A.R.M.A tarato in questo caso sui dati
di portate orarie ed afflussi meteorici nei mesi di Aprile e Novembre del 1999.
Una volta costruito il modello abbiamo provato ad effettuare una simulazione
cercando in particolare di ricostruire in questo caso i valori di portata oraria registrati in
corrispondenza della sezione dei sottobacini da noi considerati, in occasione di eventi
verificatesi negli stessi mesi del 1960. Quanto fatto ha sostanzialmente lo scopo di
verificare quanto i modelli tarati nel 1999 e nel 1960 e utilizzati per effettuare
simulazioni rispettivamente nel 1960 e nel 1999 sono tra loro “interscambia
Di seguito sono riportati i grafici ottenuti con l’ausilio del programma Excel
facendo riferimento solo a due dei bacini considerati: quello del Casentino e quello della
Chiana ( dati utilizzati per la taratura dei due modelli sono riportati nei files :
taraCas99.txt e taraChi99.txt )
Andamento delle portate orarie per il Casentino
( Taratura del modello )
50.00
Portate (mc/s)
40.00
30.00
Dati reali
Modello
20.00
10.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16
18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Errore di taratura per il Casentino
5.00
4.00
Portate (mc/s)
3.00
2.00
1.00
Errore
0.00
-1.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
-2.00
-3.00
-4.00
-5.00
Tempo (ore)
Figura 11 : Taratura del modello sulla base dei dati relativi al mese di
Ottobre del 1999
Andamento delle portate per il Casentino
50.00
Portate (mc/s)
40.00
30.00
Dati reali
20.00
Modello
10.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
Tempo (ore)
14
16 18
20
Modello A.R.M.A
Indice
Figura 12 : Simulazione di un evento di piena verificatesi nel mese di Novembre del
1960.
Andamento delle portate orarie per la Chiana
(Taratura del modello)
50.00
Portate (mc/s)
40.00
Dati reali
Modello
30.00
20.00
10.00
0.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
Errore di taratura per la Chiana
10
8
Errore (mc/s)
6
4
2
0
-2 0
Errore
2
4
6
8
-4
-6
-8
-10
Tempo (ore)
10
12
14
Modello A.R.M.A
Indice
Figura 13 : Taratura del modello sulla base dei dati relativi ad un evento
verificatesi nel mese di novembre del 1999.
Andamento delle portate orarie per la Chiana
Portate (mc/s)
180
150
Dati reali
120
Modello
90
60
30
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
Figura 14 : Simulazione di un evento di piena verificatesi nel mese di
Novembre del 1960.
4 – RICOSTRUZIONE DELL’INGRESSO
In questo capitolo ci proponiamo di esaminare il problema della ricostruzione
∧
degli ingressi che ha come scopo la determinazione di una stima
u(.)
dell’ingresso
u( . ) che viene applicato ad un sistema in un intervallo di tempo [ 0 , t ], partendo dal
rilevamento dell’uscita y( . ) nello stesso intervallo di tempo. Nel nostro caso dalla
conoscenza delle portate orarie che si hanno in uscita da ciascuno dei quattro
sottobacini presi in considerazione, vogliamo determinare i valori delle quantità
di pioggia che devono cadere in ogni bacino per avere il valore noto di portata in
corrispondenza della sezione di chiusura.
Modello A.R.M.A
Indice
Dalla teoria [ 1 ] sappiamo che tale problema nasce in tutte quelle situazioni in
cui
viene misurata una grandezza mediante uno strumento che,
avendo una sua
dinamica fornisce come misura di u ( t ) una seconda grandezza y( t ) ≠ u( t ); in questi
casi occorre chiedersi se è possibile manipolare la misura ( y ) così da ottenere una
stima migliore della grandezza da misurare ( u ).
∧
Nel nostro studio abbiamo supposto che l’ingresso ricostruito
u(
. ) sia
ammissibile ovvero in grado di generare un’uscita y( . ) per almeno uno stato iniziale.
Da un punto di vista matematico ci proponiamo di calcolare l’ingresso u( . ) che
determina l’uscita y( . ) per un dato sistema ( A , B , C, D ).
∧
Avendo indicato con
u ( . ) la stima della variabile di ingresso e assumendo
e( t )
pari all’errore di stima cioè
∧
e( t ) = u ( t ) − u( t )
chiameremo esatto il ricostruttore nel caso in cui
e( t ) è identicamente nullo e
asintotico quando e( t ) → 0.
Affinché sia possibile determinare un ricostruttore dell’ingresso occorre che la
funzione di trasferimento del sistema abbia zeri stabili ( modulo < 1 ) ciò determina il
carattere evanescente degli ingressi nascosti.
Nel nostro caso abbiamo considerato i valori di pioggia e portata relativi ad eventi
verificatesi nei mesi di Aprile e Novembre del 1999 [ 3 ], ricostruendo i valori delle
precipitazioni nei suddetti periodi. In particolare abbiamo effettuato una ricostruzione
degli ingressi per i bacini di Casentino e Valdarno Superiore, rispettivamente per i mesi
di Novembre ed Aprile, dal momento che tali sottobacini verificano le suddette
condizioni di esistenza di un ricostruttore dell’ingresso.
4.1 – Ricostruzione dell’ingresso : eventi di notev
Per ognuno dei quattro sottobacini da noi considerato sono state calcolate le
funzioni di trasferimento con i relativi zeri :
Modello A.R.M.A
Indice
∧
W ( z) =
B( z)
A( z )
CASENTINO:
0.0012
z − 1.001 z 3 − 0.0002 z 2
4
Nessuno zero
Poli: [ 0 ; 0 ; 0.0002 ; -1.0017 ]
CHIANA:
0.0094 z 5 + 0.0034 z 4 + 0.0007 z 3 − 1305
. e −017 z 2 + 0.0023 z + 0.003
z 6 + 0.945 z 5
Zeri: [ 0.5942 ± 0.5479 i ; -0.4072 ± 0.7059 i ; -0.7356 ]
Poli: [ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; -0.9450 ]
VALDARNO:
0.0102 z 2 − 3.735 e −019 z + 0.0344
z 3 + 3.331 e − 016 z 2 + 0.4678 z + 0.3676
Zeri: [ 0 ± 1.8365 i ]
Poli: [ -0.5071 ; 0.2535 ± 0.8128 i ]
SIEVE:
0.0023 z − 3.99 e −021
z 3 + 0.4896 z + 0.0115
Modello A.R.M.A
Indice
Zeri: [ 1.7347e-018 ]
Poli: [ -0.0240 ; -0.2328 ± 0.6513 i ]
Le funzioni di trasferimento di
Chiana, Valdarno e Sieve hanno tutte zeri sia
stabili che instabili : ammettono dunque nel caso di zeri stabili l’esistenza di un
ricostruttore asintotico; quella del Casentino non presenta alcuno zero, questo implica
l’esistenza di un ricostruttore esatto.
Per semplicità abbiamo considerato proprio il bacino del Casentino, per il quale è
possibile determinare il valore degli ingressi sfruttando le portate orarie ( note ),
mediante la seguente relazione:
∧
u( t ) = A ' ( z ) ⋅ y ( t )
dove A’ ( z ) è ricavata
dividendo A ( z ) per il fattore comune tra numeratore e
∧
denominatore, mentre y indica il valore noto delle portate e
da ricostruire.
u(
. ) quello della pioggia
Partendo da tale relazione abbiamo ricostruito il valore degli ingressi
(valori riportati nel file: Ricostr_NOV.txt ) ed in seguito riportato su grafico i valori degli
errori commessi.
Modello A.R.M.A
Indice
Errore di ricostruzione degli ingressi per il Casentino
0.9000
0.8000
Errore (mc/s)
0.7000
0.6000
0.5000
Errore
0.4000
0.3000
0.2000
0.1000
0.0000
-0.1000 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tempo (ore)
Dall’osservazione del grafico si nota come nella realtà il ricostruttore non risulta
esatto ( e ( t ) = 0 ) ma la sua correttezza è comunque garantita dal fatto che già dopo
ero ( il calcolo dell’errore di ricostruzione è stato effettuato
nel file di Excel CasN60-99 ).
Per maggiore completezza abbiamo provato a ricostruire l’ingresso anche per il
bacino del Valdarno, la cui funzione di trasferimento presenta uno zero instabile ( lo
zero ha infatti un modulo maggiore di uno ).
VALDARNO:
0.0102 z 2 − 3.735 e −019 z + 0.0344
z 3 + 3.331 e − 016 z 2 + 0.4678 z + 0.3676
Zeri: [ 0 ± 1.8365 i ]
Poli: [ -0.5071 ; 0.2535 ± 0.8128 i ]
Modello A.R.M.A
Indice
Considerando la relazione:
y( t ) =
N
u( t )
D
u( t ) =
D
y( t )
N
ricaviamo il nostro ingresso:
Dal momento che la funzione di trasferimento ammette
zeri
instabili occorre
scomporne il numeratore nel seguente modo:
N = N+ N −
dove:
N+ costituisce un polinomio le cui radici presentano un modulo minore di uno
N- costituisce un polinomio le cui radici presentano un modulo maggiore o
uguale a uno.
Il rapporto tra denominatore e numeratore può essere visto come segue:
D
A
B
=
+
N + N− N + N−
e quindi:
N− A + N+ B = D
riprendendo la formula iniziale otteniamo:
 A
B 
u( t ) = 
+
 y( t )
 N + N− 
Applicando tale procedimento siamo giunti,nel nostro caso, alla seguente relazione:
z 3 + 0.4678 z + 0.3676
0.0102 z 3 + 0.0344
Modello A.R.M.A
Indice
Moltiplicando e dividendo per z-3 ed operando un opportuno cambio di variabile
otteniamo :
y( t + 3 ) + 0.46 y ( t + 1 ) + 0.36 y( t ) − 0.01 u( t + 2 ) = 0.03 u( t )
Di seguito riportiamo il grafico relativo alla ricostruzione dell’ingresso per il bacino del
Valdarno ( i calcoli sono effettuati nel file di Excel ValA60-99 ).
Errore di ricostruzione degli ingressi per il Valdarno
0.2000
0.1500
Errore (mc/s)
0.1000
0.0500
0.0000
-0.0500
Errore
0
5
10
15
20
-0.1000
-0.1500
-0.2000
Tempo (ore)
la correttezza del ricostruttore è garantita dal fatto che già dopo poche ore l’errore tende
a zero.
4.2 – Ricostruzione dell’ingresso : eventi di piccola intensità.
Modello A.R.M.A
Indice
Anche in questo caso abbiamo effettuato tutte le operazioni descritte nel
paragrafo precedente a partire dal calcolo delle funzioni di trasferimento per i quattro
sottobacini:
CASENTINO:
0.084
z + 1035
.
z3
4
Nessuno zero
Poli: [ 0 ; 0 ; 0 ; -1.0348 ]
CHIANA:
0.0004 z 3 + 0.0003 z 2 + 0.0003 z + 0.0003
z 6 + 0.6406 z 5 − 111
. e − 016 z 4 + 1665
.
e −016 z 3 + 0.3392 z 2
Zeri : [ 0.0619 ± 0.9243 i ; -0.8739 ]
Poli : [ 0 ; 0 ; - 0.7337 ± 0.4875 i ; 0.4134 ± 0.5160 i ]
VALDARNO:
0.3451
z + 1031
.
z2
3
Nessuno zero
Poli: [ 0 ; 0 ; -1.0306 ]
Modello A.R.M.A
Indice
SIEVE:
0.3468
z + 0.9248 z 2
3
Nessuno zero
Poli: [ 0 ; 0 ; -0.9248 ]
Per semplicità abbiamo considerato in questo caso il sottobacino del Valdarno,
ricostruendone gli ingressi ( i valori sono riportati nel file Ricostr_APR.txt ) e
valutandone gli errori di ricostruzione di seguito graficati.
Errore di ricostruzione degli ingressi per il Valdarno
0.3000
Errore (mc/s)
0.2000
0.1000
0.0000
Errore
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.1000
-0.2000
-0.3000
Tempo (ore)
Anche in questo caso la correttezza del ricostruttore è garantita dal fatto che già
dopo poche ore l’errore tende a zero ( il calcolo dell’errore di ricostruzione è stato
effettuato nel file di Excel ValA60-99 ).
Modello A.R.M.A
Indice
CONCLUSIONI
L’obiettivo che ci siamo proposti di raggiungere con il presente lavoro, e stata la
realizzazione di un modello idraulico in grado di simulare il comportamento del fiume
Arno a seguito di eventi di piena prodotti da precipitazioni meteoriche sia di notevole
che di piccola intensità, proprio per questo motivo il nostro studio ha preso in
considerazione due periodi dall’anno tra loro diversi.
Dall’osservazione dei risultati ottenuti e, in particolare da quella dei grafici
contenuti nel lavoro è possibile concludere che per quanto riguarda la fase di taratura
del modello, gli errori commessi non sono di particolare rilevanza,soprattutto in
considerazione delle portate che caratterizzano il corso del fiume nei sottobacini
considerati.
La fase di simulazione ha permesso di determinare i valori delle portate orarie
misurate a Firenze in occasione di eventi rilevanti verificatesi nei mesi di Novembre ed
Aprile del 1999, con una buona approssimazione. Questo grazie ad una evidente
somiglianza tra quello che è l’andamento delle portate orarie reali, in corrispondenza
delle sezioni di chiusura dei sottobacini considerati, e quello delle portate orarie
ricostruite con l’ausilio del nostro modello. La verifica del modello tarato sui dati del
1960 con quello tarato sui dati del 1999 ha evidenziato una certa interscambiabilità tra i
due.
Anche la fase di ricostruzione dell’ingresso ha portato a concludere come nella
realtà non esista in nessuno dei casi considerati un ricostruttore esatto, tuttavia gli errori
di ricostruzione mostrano un andamento asintotico a zero piuttosto rapido , ciò a
testimonianza della correttezza del ricostruttore.
Modello A.R.M.A
Indice
Bibliografia
“Appunti di idrologia - Le piene fluviali ”, U. Maione
1985, Pavia, La
goliardica Pavese.
[ 1 ] “ I sistemi lineari : teoria, modelli, applicazioni” , Rinaldi S.
Piccardi C. , Città Studi Edizioni 1997.
[ 2 ] “ Modello matematico delle piene dell’Arno “ Vol. I , II. AA.VV.,
IBM Italia – Centro Scientifico di Pisa, Pisa, 1978.
Casentino: Evento del 12 / 11 / 1960 dalle ore 7 : 00 alle ore 24 : 00
Chiana : Evento del 12 / 11 / 1960 dalle ore 7 : 00 alle ore 24 : 00
Valdarno: Evento del 12 / 11 / 1960 dalle ore 7 : 00 alle ore 24 : 00
Sieve : Evento del 12 / 11 / 1960 dalle ore 7 : 00 alle ore 24 : 00
[ 3 ] “ Modello matematico delle piene dell’Arno “ Vol. I , II. AA.VV.,
IBM Italia – Centro Scientifico di Pisa, Pisa, 1978.
Casentino: Evento del 04 /04 / 1960 dalle ore 7 : 00 alle ore 24 : 00
Chiana : Evento del 04 / 04 / 1960 dalle ore 7 : 00 alle ore 24 : 00
Valdarno: Evento del 04 / 04 / 1960 dalle ore 7 : 00 alle ore 24 : 00
Sieve : Evento del 04 / 04 / 1960 dalle ore 7 : 00 alle ore 24 : 00
[ 4 ]“Ufficio Idrografico e Mareografico di Pisa” , Lungarno Pacinotti,
Annali Idrologici.
“L’Arno : trent’anni dall’alluvione” Pacini - 1997
“Studi e ricerche per la simulazione dei fenomeni di formazione e
propagazione delle onde di piena per il bacino dell’Arno”, Gallanti M. ,
IBM – Centro Scientifico di Pisa, Pisa.
"Il diluvio su Firenze”, Eugenio Pucci, Bonechi Editore.
"I Ponti sull’Arno dal Falterona al mare”, Gurrieri F. , Bracci L. ,
Pedreschi C., Edizioni Polistampa Firenze, 1998
Modello A.R.M.A
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