elemento infinitesimo d`area

Matematica B
Chimica
Integrali doppi
Volume (con segno) sotto la superficie
: elemento infinitesimo d’area
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Matematica B
Chimica
Integrali doppi: calcolo
Se la regione D è un rettangolo [a,b]x[c,d] posso integrare
indifferentemente
• tagliando a fette parallele all’asse x
Cioè integro prima rispetto a x (tengo y costante) e poi rispetto a y
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Matematica B
Chimica
Esempio di integrale doppio: “fette parallele all’asse x”
3
2
Integro rispetto a x
tenendo y costante
Integro rispetto a y
3
Matematica B
Chimica
Integrali doppi: calcolo
• tagliando a fette parallele all’asse y
Cioè integro prima rispetto a y
(tengo x costante) e poi rispetto a x
Teorema di Fubini: se
è continua nella regione di
integrazione, gli integrali calcolati tagliando per fette parallele
all’asse x e all’asse y sono uguali
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Matematica B
Chimica
Esempio di integrale doppio: “fette parallele asse y”
3
2
Integro rispetto a y
tenendo x costante
Integro rispetto a x
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Matematica B
Chimica
Se la regione si può “tagliare a fette” parallele ad un asse
y
Ad esempio l’asse x
: curva inferiore
: curva superiore
x
z
y
x
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Matematica B
Chimica
Esempio:
7
Matematica B
Chimica
Coordinate polari
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Matematica B
Chimica
Integrali doppi in coordinate polari
elemento infinitesimo d’area
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Matematica B
Chimica
Esempio di integrali doppi in coordinate polari
=
Nota: in generale, se
Area di
10
"
"
B
Chimica
I"3
% "* ?'*'2$-' 10!!"$)0 &0*!"/'2$2' %*$Matematica
+2$!402)$."0*'
/" &002/"*$+'
/'
$
" 7 "8-( .9(
Cambiamento di coordinate (in generale)
# 7 #8-( .9(
come si esprime l’ elemento infinitesimo d’area dA = dxdy
/0(' 8-( .9 !0*0 -' *%0(' &002/"*$+'@ F* <%'!+0 &$!0 /" 10*' 8!" 2"&02/" -$ 4
se cambio coordinate:
x=x(u,v), y=y(u,v)?
/'2"($."0*' +0+$-'9
Abbiamo:
/"
!- :
//#
!# 7
!- :
/-
!" 7
dx = xu du + xv dv
dy = yu du + yv dv
1'2 &%"
%
/"
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/#
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!- ! !.
v /- /. " u
v
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( /- /. +
7 /'+ )
, !- ! !. 7 08-( .9 !- ! !.&
/# /#
/- /.
(xu du + x dv)(y du + y dv) =
dxdy
!" ! !# 7
(xu yv − xv yu )dudv
2#3#4553
6&(7%
matrice jacobiana
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