LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA` ed

LA TRASFORMATA DI FOURIER:
PROPRIETA’ ed ESEMPI
1
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (1) x(t)
TDF
X(f)
LINEARITA’: la TDF della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali
e’ uguale alla combinazione lineare delle TDF dei due segnali.
a1 x1(t) +a2 x2(t)
TDF
a1 X1 (f) +a2 X2 (f)
SCALATURA TEMPORALE
z(t)=x(at)
TDF
Z(f)=(1/|a|)X(f/a)
TDF
Z(f)=X(-f)
z(t)=X(-t)
TDF
Z(f)=x(f)
z(t)=X(t)
TDF
Z(f)=x(-f)
a = -1, z(t)=x(-t)
DUALITA’:
SIMMETRIA: la TDF di una segnale REALE gode di simmetria complessa coniugata
(simmetria Hermitiana). La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto all’origine
(pari), la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto all’origine (dispari).
x(t) reale
2
TDF
X(f) = X*(-f)
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (2)
TDF di una segnale REALE
|X(f)| = |X(-f)|
Modulo
fase X(f) = - fase X(-f)
A
Fase
f
f
Re{X(f)} = Re{X(-f)}
A
A
Reale
Im{X(f)} = - Im{X(-f)}
f
f
Immag.
Casi particolari
x(t) reale pari
x(t) reale dispari
X(f) reale pari
X(f) immaginario dispari
TDF
3
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (3)
Valori nell’origine
∞

∞
X (0) =  ∫ x(t ) ⋅ exp{− j 2πft }dt  = ∫ x(t )dt
 −∞
 f =0 −∞
x(t)
X(0)
t
∞
∞

x(0) =  ∫ X ( f ) ⋅ exp{ j 2πft }df  = ∫ X ( f )df
−∞
 t =0 −∞
X(f)
x(0)
f
4
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (4)
Coniugazione:
x*(t )
TDF
X*(-f )
Traslazione nei tempi: la TDF del segnale ritardato e’ uguale a quella del
segnale originale moltiplicata per un esponenziale complesso
x(t-t0 )
e-j2πf t0 X(f)
TDF
Traslazione nelle frequenze: traslare in frequenza la TDF del segnale, equivale
a moltiplicare il segnale nei tempi per un esponenziale complesso
x(t ) ej2π f0 t
X(f- f0 )
TDF
5
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Esempio: la trasformata di Fourier del coseno
Un impulso di area unitaria in frequenza ha come TDF inversa una costante
∞
unitaria nei tempi:
∫ δ ( f ) exp{j 2π ft} df
=1
−∞
Quindi la TDF di una costante unitaria e’ un impulso nelle frequenze.
La trasformata di Fourier del coseno si ricava da quella della costante utilizzando
le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:
y (t ) = cos(2π f o t ) =
1
1
exp j 2π f o t + exp − j 2π f o t
2
2
{
}
{
}
TDF
1
1
Y ( f ) = δ ( f − fo ) + δ ( f + fo )
2
2
6
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Esempio: la trasformata di Fourier del seno
La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le
proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:
y (t ) = sin (2π f o t ) =
j
j
exp{− j 2π f o t }− exp{j 2π f o t}
2
2
TDF
j
j
Y ( f ) = δ ( f + fo ) − δ ( f − fo )
2
2
7
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (5)
Derivazione: la TDF del segnale derivato nel tempo e’ uguale a quella del
segnale originale moltiplicata per una rampa immaginaria in frequenza:
dx(t )
dt
TDF
j 2π f X ( f )
j 2π t x(t )
TDF
-
Dualmente:
dX(f)
df
Integrazione:
t
∫ x(τ )dτ
TDF
−∞
1
1
X(f )+ δ(f )
j 2π f
2
Dualmente:
−1
1
x(t ) + δ (t )
j 2π t
2
8
f
TDF
∫ X (η )dη
−∞
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (6)
Moltiplicazione nelle frequenze: la TDF inversa del prodotto delle TDF di due
segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L’integrale di
convoluzione e’ un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come
vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempoinvarianti.
∞
∫ x(τ ) y(t − τ )dτ
X(f)Y(f)
TDF
−∞
Moltiplicazione nei tempi (modulazione): la TDF del prodotto di due segnali e’
uguale all’integrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze).
∞
x(t )y(t)
∫ X (ξ )Y ( f − ξ )dξ
TDF
−∞
Modulazione d’ampiezza:
x(t ) cos (2πf0t)
(1/2)(X(f+ f0 )+ X(f-f0 ))
TDF
9
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (7)
Relazione di Parseval:
∞
∫ x(t ) y (t )dt =
*
−∞
∞
*
X
(
f
)
Y
( f )df
∫
−∞
Ponendo y(t)=x(t) si ottiene che l’energia di un segnale e’ uguale all’integrale del
modulo quadrato della sua TDF
∞
Ex =
X(f )
Quindi
∫
−∞
2
2
x(t ) dt =
∞
∫
2
X ( f ) df
−∞
integrata su tutto l’asse delle frequenze fornisce l’energia del segnale.
X(f )
2
rappresenta l’energia del segnale in ogni intervallo di frequenze
infinitesimo df.
X(f )
10
2
viene detta DENSITA’ SPETTRALE DI ENERGIA
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (8)
Funzione di autocorrelazione:
rx (τ ) =
∞
∫ x (t )x(t + τ )dt
*
−∞
Dalla relazione di Parseval si ottiene:
rx (τ ) =
∞
∫ X ( f )X
*
( f )e
j 2 π fτ
df =
−∞
∞
∫
X ( f ) e j 2π fτ df ⇒ F [rx (τ )] = X ( f )
2
2
−∞
cioe’, la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione e’ la densita’ spettrale di
energia.
Proprieta’:
1. rx (τ ) = x (− τ ) * x(τ )
*
2. rx (τ ) = rx (− τ ) (la trasformat a di rx (τ ) e' reale ⇒ vale la simmetria Hermitiana )
*
3. Se x (t ) e' reale l' autocorrel azione e' reale pari : rx (τ ) = rx (− τ )
4. rx (0 ) = E x (dalla definizione)
5. rx (0 ) ≥ rx (τ )
11
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (9)
Funzione di cross-correlazione:
rxy (τ ) =
∞
∫ x(t + τ )y (t )dt
*
−∞
Dalla relazione di Parseval (per y(t) = x(t+τ )) si ottiene:
rxy (τ ) =
∞
*
j 2π f τ
(
)
(
)
X
f
Y
f
e
df
∫
[
]
⇒ F rxy (τ ) = X ( f )Y * ( f )
−∞
cioe’, la trasformata di Fourier della funzione di cross-correlazione e’ il cross-spettro tra i
segnali x e y (prodotto della trasformata del primo per quella coniugata del secondo).
Proprieta’:
1. rxy (τ ) = y (− τ )* x (τ )
*
2. rxy (τ ) = ryx (− τ )
*
3. Se x (t ) e y (t ) sono reali la cross - correlazione e' reale e rxy (τ ) = ryx (− τ )
4. Se y (t ) = x (t − t0 ) : ryx (τ ) = rx (τ − t0 )
12
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La trasformata di Fourier di segnali periodici (1)
In generale, un segnale periodico y(t) di periodo T0 si puo’ esprimere in funzione del
singolo periodo x(t):
y (t ) =
∞
x(t − nT0 ) = x(t )* δ (t − nT0 )
∑ x(t − nT )
0
n = −∞
∞


 ∞

Y ( f ) = F  x(t )* ∑ δ (t − nT0 ) = X ( f ) ⋅ F  ∑ δ (t − nT0 )
n = −∞


 n = −∞

 ∞
 1
F  ∑ δ (t − nT0 ) =
 n = −∞
 T0
1
⇒ Y( f ) =
T0

k 


f
δ
−
∑

T0 
k = −∞ 
∞
k  
k 



−
δ
X
f
∑  T   T 
k = −∞
0 
 0 
∞
La trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) e’ una sequenza di impulsi alle
frequenze f=k/T0.
13
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La trasformata di Fourier di segnali periodici (2)
y (t ) =
∞
∑ x(t − nT0 )
⇒
n = −∞
1
Y( f ) =
T0
k  
k 




X
f
δ
−
∑
T  
T
k = −∞
0 
 0 
∞
La trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) si ottiene a partire dalla
trasformata di Fourier X(f) del singolo periodo x(t):
1. moltiplicando X(f) per un treno di impulsi alle frequenze k/T0
2. scalando il risultato per 1/T0.
Periodicizzare nei tempi x(t) con periodo T0 equivale a campionare nelle
frequenze X(f) con passo di campionamento 1/T0
14
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Relazione fra serie e trasformata di Fourier di segnali periodici
Abbiamo visto che la trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) e’ costituita
da impulsi alle frequenze f=k/T0:
Y ( f ) = f0
∞
∑ X (kf )δ ( f − kf )
k = −∞
0
0
Dallo sviluppo in serie di Fourier di y(t) si ottiene:
y (t ) =
∞
{
∑ Yk ⋅ exp j 2π kf 0t
k = −∞
}
⇒ Y( f )=
∞
∑ Y ⋅ δ ( f − kf )
k = −∞
k
0
Cioe’ l’area degli impulsi alle frequenze f=kf0 della trasformata di Fourier Y(f) e’ data
dai campioni Yk della serie di Fourier del segnale y(t).
Inoltre, fra i coefficienti della serie Fourier Yk e la trasformata di Fourier del singolo
periodo X(f) vale la relazione:
Yk = f 0 X (kf 0 ) = area impulso in kf 0
15
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La trasformata di Fourier del coseno (2)
La serie di Fourier del coseno ricavata in precedenza e’ costituita da due
campioni di ampiezza 1/2 rispettivamente in k= +1 e k= -1
y (t ) = cos( 2π f o t )
La TDF del coseno si ottiene dalla serie di
1/2 per k = ±1
Yk = 
 0 per k ≠ ±1
0.6
Yk
Fourier ponendo alle frequenze f=kfo, impulsi
0.4
fo e’ la frequenza fondamentale del segnale
0.2
di area pari ai campioni Xk della serie, dove
periodico
0
1
1
Y ( f ) = δ ( f − fo ) + δ ( f + fo )
2
2
16
-0.2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
k
La trasformata di Fourier del seno (2)
La serie di Fourier del seno ricavata in precedenza e’ costituita da due
campioni immaginari di ampiezza +j/2 e -j/2 rispettivamente in k= +1 e k= -1
y (t ) = sin (2π f o t )
La TDF del seno si ottiene dalla serie di
Fourier ponendo alle frequenze f=kfo impulsi
di area pari ai campioni Xk della serie, dove
fo e’ la frequenza fondamentale del segnale
 j
− 2 per k = +1
 j
per k = −1
Yk = +
2

 0 per k ≠ ±1

Yk
0.5
periodico
0
j
j
Y ( f ) = δ ( f + fo ) − δ ( f − fo )
2
2
-0.5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
17
k
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Esempio: l’onda quadra a media nulla
1/2
y(t)
To /2
To /2
Serie di Fourier
t
0.6
π k
1 sin
2 per k ≠ 0
Yk =
2 π k
2
0.4
Yk
0.2
0
-0.2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
π k
1 sin
2 δ  f- k  per k ≠ 0
Y( f ) = ∑
 T 
k = −∞ 2 π k
o

2
∞
Trasformata di Fourier
18
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
k
Esempio: l’onda quadra a media non nulla (1)
1
y(t)
t
To /2
To /2
0.6
πk
sin
1
2
Yk =
2 πk
2
Serie di Fourier
Yk
0.4
0.2
0
-0.2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Trasformata di Fourier
k
πk
1
2 δ  f − k 
Y( f ) = ∑
π k 
To 
k = −∞ 2
2
∞
19
sin
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Esempio: l’onda quadra a media non nulla (2)
Trasformata di Fourier del singolo
periodo x(t) {rettangolo di ampiezza
unitaria e durata To/2}
T
X(f ) = 0
2
πTo f
2
πTo f
2
To/2
sin
0
-2/To 0 2/To
Trasformata di Fourier del segnale
periodico y(t)

k 
X ( f )δ  f − 
∑
To 
k = −∞

k  
k 
1 ∞
=
X  δ  f − 
∑
To 
To k = −∞  To  
1
Y( f ) =
To
∞
sin
π k
1
2 δ  f − k 
= ∑

To 
k = −∞ 2 π k

2
∞
20
f
1/2
0
-2/To 0 2/To
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
f
ESERCIZI PROPOSTI
1 Dati i segnali
a) x(t)=exp(j2π fo t) b) x(t)=cos(2π fo t) c) x(t)= δ(t)
e i sistemi LTI con risposta in frequenza
a) H(f)=10exp(-j2πf/ fo) b) H(f)=exp{ - | f / fo | - j2π f / fo } c) H(f)=1/(1+j f/fo )
che espressione hanno i segnali in uscita y(t)?
2 Dato il segnale x(t)= 3cos(π t / To)+5cos(2π t / To) che passa attraverso un sistema
LTI con risposta in frequenza H(f)=rect(f To/3), che espressione ha l’uscita y(t)?
3 Sia dato un segnale con Trasformata di Fourier X(f) riportata in figura e un filtro con
risposta in frequenza H(f) riportata in figura. Disegnare la trasformata di Fourier Y(f)
dell’uscita.
X(f)
1
H(f)
1
1/2
-2fc
21
2fc
-fc
fc
Fondamenti di Segnali e Trasmissione